Využití rezonance v silnoproudé elektrotechnice

1
Využití rezonance v silnoproudé elektrotechnice
© Ing. Ladislav Kopecký, 24.11.2013
Tento článek předpokládá znalost teorie obvodů a základů vyšší matematiky, ale většině textu se dá
porozumět i bez těchto znalostí.
1. Úvod
Fyzikální jev rezonance je ve vědě a technice již dlouho dobře znám a podrobně prostudován. Technici se jí
většinou vyhýbají, neboť jim způsobuje mnohdy nečekané problémy . V radiotechnice je potom základním
principem, bez něhož bychom si nemohli naladit ani oblíbenou stanici na rádiu, o televizi, mobilech a
dalších komunikačních zařízeních nemluvě.
My se však na rezonanci podíváme z nového, pro mnohé nečekaného úhlu pohledu a budeme se snažit najít
její uplatnění v netradičních oblastech, kde – stejně jako v komunikační technice – má rovněž obrovský
potenciál.
2. Teorie rezonance
V této práci se budeme zabývat výhradně elektrickou sériovou rezonancí. Sériový rezonanční obvod najdete
na obr. 1.
Obr. 1
V článku http://free-energy.xf.cz/teorie/free-energy.pdf byla provedena analýza tohoto obvodu a odvozen
napěťový přenos v rezonanci
Au(jωr) = U2 / U1 = j√(L/C) / R
(1)
Pokud zaměníme pozici cívky L1 a kondenzátoru C1 (obr. 2), můžeme analogicky sestavit rovnici pro
obrazový Laplaceův přenos:
Au(p) = 1 / (p2LC + pRC + 1)
(2)
Když Laplaceův operátor p nahradíme operátorem frekvenčního přenosu
p = jω
kde j je imaginární jednotka a ω je úhlový kmitočet, dostaneme vztah pro napěťový přenos jako funkci
úhlového kmitočtu ω:
(3)
2
Au(jω) = 1 / ((1 - ω2LC) + jωRC)
(4)
Ve vztahu (4) máme ve jmenovateli komplexní číslo s reálnou a imaginární částí. Abychom se jej zbavili a
mohli vztah převést na reálnou a imaginární část v čitateli, čitatele a jmenovatele zlomku vynásobíme
komplexním číslem (1 - ω2LC) - jωRC a dostaneme:
Au(jω) = ((1 - ω2LC) - jωRC) / ((1 - ω2LC)2 + (ωRC)2
A když položíme
1 – ω2LC =0
(5)
a dosadíme za ω = 1 / √(LC), získáme výsledný vztah pro napěťový přenos v rezonanci:
Au(jωr) = U2/U1 = -j√(L/C)/R
(6)
Obr. 2
Porovnáme-li vztahy (1) a (6), zjistíme, že se liší pouze ve znaménku pře písmenem „j“. Co to znamená?
Znamená to, že proti harmonickému napětí zdroje
U1(t) = Usin(ωt)
(7)
je U2 zpožděno o úhel π/2 (90ᵒ), zatímco v předchozím případě napětí na cívce napětí zdroje o úhel π/2 (90ᵒ)
předbíhá. Z toho dále plyne, že napětí na cívce a napětí na kondenzátoru jsou v protifázi (posunuty o úhel π,
tj. 180°) a mají stejně velkou amplitudu.
Ze vztahu (5) odvodíme vzorec pro rezonanční kmitočet:
ω2 = (2πf)2 = 1 / LC
f = 1 / (2π√(LC))
což je známý Thompsonův vzorec.
Ve výše zmíněném článku je také odvozen vztah pro impedanci v rezonanci. Zde provedeme odvození
jednodušším způsobem. Obrazová impedance sériového rezonančního obvodu je
Z(p) = R + pL + 1/pC
Opět dosadíme za operátor p operátor frekvenčního přenosu jω:
Z(jω) = R + jωL + 1/jωC
(8)
3
U posledního členu na pravé straně s j ve jmenovateli rozšíříme zlomek vynásobením čitatele a jmenovatele
imaginární jednotkou „-j“ a dostaneme:
Z(jω) = R + j(ωL – 1/ωC)
(9)
Když
ωL – 1/ωC < 0,
má impedance kapacitní charakter, když
ωL – 1/ωC > 0,
má impedance induktivní charakter a když
ωL – 1/ωC = 0
(10)
je obvod v rezonanci a impedance má činný charakter a platí
Z(jωr) = R
(11)
Jinými slovy: když je kmitočet nižší než rezonanční, impadance má kapacitní charakter a když je kmitočet
vyšší než rezonanční, má impedance Z induktivní charakter. Přemýšlivému čtenáři je již jasné, že rovnice
(10) je jen jiný tvar rovnice (5).
Na závěr teoretické části si pro ilustraci spočítáme jednoduchý příklad. Máme sériový rezonanční obvod
podle obr. 2, kde R = 12Ω, L = 1mH a C = 100nF. Obvod je připojen k ideálnímu zdroji harmonického
napětí o amplitudě 12V. U zdroje lze plynule měnit frekvenci. Naším úkolem bude spočítat, při jakém
kmitočtu bude obvod v rezonanci, jak velký bude při rezonančním kmitočtu protékat obvodem proud a jak
velká bude amplituda napětí na výstupu.
Řešení:
Pro určení rezonančního kmitočtu použijeme vzorec (8):
f = 1 / (2π√(LC)) = 1 / (2π√(10-3.10-7)) = 15915,5Hz
Perioda je
T = 1/f = 62,832μs
Amplitudu proudu vypočítáme jednoduše pomocí Ohmova zákona:
I = U/R = 12V / 12Ω = 1A
Amplitudu výstupního napětí U2 vypočítáme ze vztahu pro přenos (6)
Au(jωr) =/U1 = -j√(L/C)/R
U2 = U1.|Au(jωr)| = U1.√(L/C)/R
|Au(jωr)| = √(L/C)/R = √(10-3.107)/12 = 100/12
U2 = U1.|Au(jωr)| = 100V
(12)
4
3. Simulace
Nyní je čas teoretické závěry ověřit v praxi. Abychom se vyhnuli potřebě laboratorních přístrojů,
elektronických součástek a dalšího vybavení, vystačíme si simulací. Na obr. 3 je schéma z obr. 2 překresleno
pomocí simulačního programu LT Spice.
V1
R1
L1
12
1m
C1
100n
.tran 1m startup
SINE(0 12 15915.5)
Obr. 3
Na obr. 3 se můžeme přesvědčit, že jako hodnoty součástek jsme použili výsledky z předchozího příkladu,
včetně amplitudy a kmitočtu zdroje. Nyní se podíváme na výsledek simulace:
V( n003)
100V
V( n001)
I ( L1)
1. 0A
80V
0. 8A
60V
0. 6A
40V
0. 4A
20V
0. 2A
0V
0. 0A
- 20V
- 0. 2A
- 40V
- 0. 4A
- 60V
- 0. 6A
- 80V
- 0. 8A
- 100V
0. 0m
s
0. 1m
s
0. 2m
s
0. 3m
s
0. 4m
s
0. 5m
s
Obr. 4
0. 6m
s
0. 7m
s
0. 8m
s
0. 9m
s
- 1. 0A
1. 0m
s
5
Na obr. 4 se můžeme přesvědčit, že amplituda proudu je skutečně 1A, amplituda napětí na výstupu je 100V,
že průběh napětí na výstupu (modrá) je proti vstupu (červená) posunut o 90 stupňů a že proud (zelená) je s
napětím zdroje ve fázi. Poslední poznatek svědčí o tom, že zátěž se ze zdroje jeví jako činná. To má pro naše
další úvahy mimořádný význam. Zaprvé nám umožní automaticky naladit a udržovat rezonanci a také
zkostruovat stroje s velmi zajímavými vlastnostmi.
Pro realizaci zdroje sinusového napětí bychom potřebovali točivý generátor připojený na motor, u něhož
bychom mohli plynule měnit otáčky. To by bylo velmi drahé a nepraktické, proto najdeme jiný, jednodušší
způsob: rezonanční obvod budeme budit obdélníkovými impulzy. Nahradíme tedy zdroj na obr. 3 zdrojem
obdélníkového průběhu. Abychom mohli snadno porovnávat, Bude mít tento zdroj stejnou amplitudu, tj.
12V, i kmitočet, a bude nabývat jak kladných, tak záporných hodnot napětí. Pro výsledek se podívejme dolů
na obr. 5:
V( n003)
150V
V( n001)
I ( L1)
1. 5A
120V
1. 2A
90V
0. 9A
60V
0. 6A
30V
0. 3A
0V
0. 0A
- 30V
- 0. 3A
- 60V
- 0. 6A
- 90V
- 0. 9A
- 120V
- 1. 2A
- 150V
0. 0m
s
0. 1m
s
0. 2m
s
0. 3m
s
0. 4m
s
0. 5m
s
0. 6m
s
0. 7m
s
0. 8m
s
0. 9m
s
- 1. 5A
1. 0m
s
Obr. 5
Vidíme, že amplitudy proudu i napětí vzrostly více než o čtvrtinu (cca o 27%). Je to způsobeno působením
vyšších harmonických, které jsou v obdélníkovém průběhu obsaženy. Tento poznatek využijeme ke
konstrukci oscilátoru, buzeného obdélníkovým průběhem. Jednu z možných variant najdete na obr. 6:
6
R1
L1
11
1m
.tran 1m startup
.include LM2903.5_1
C1
U1
100n
R2
1
R3
10k
SW-Hi
S1
LM2903
D1
V3
1N5819
SW-Lo
S2
12
.model SW-Hi SW(Ron=.1 Roff=10Meg Vt=5 Vh=-.4)
.model SW-Lo SW(Ron=10Meg Roff=.1 Vt=5 Vh=-.4)
12
V1
Obr. 6
Nyní si obvod na obr. 6 popíšeme. Vidíme, že v obvodu přibyl odpor R2, který je jedním koncem připojen
na vstup komparátoru U1, a že k výstupu tohoto komparátoru je připojena dvojice spínačů S1, S2, jež
nahrazuje střídavý zdroj napětí. Když si uvědomíme, jaké jsou průběhy napětí a proudů v rezonančním
obvodu (obr. 5), funkce zařízení na obr. 6 je zcela zřejmá a není k tomu třeba cokoli vysvětlovat. Na obr. 7
se můžete podívat na výsledky simulace, které jsou téměř shodné s obr. 5:
V( n004)
150V
V( n001)
I ( L1)
1. 5A
120V
1. 2A
90V
0. 9A
60V
0. 6A
30V
0. 3A
0V
0. 0A
- 30V
- 0. 3A
- 60V
- 0. 6A
- 90V
- 0. 9A
- 120V
- 1. 2A
- 150V
0. 0m
s
0. 1m
s
0. 2m
s
0. 3m
s
0. 4m
s
0. 5m
s
0. 6m
s
0. 7m
s
0. 8m
s
0. 9m
s
- 1. 5A
1. 0m
s
Obr. 7
V tomto případě však obě amplitudy vzrostly dokonce téměř o 29%. Je to způsobeno tím, že jsme se předtím
při zadávání frekvence generátoru dopustili zaokrouhlovací chyby.
Na závěr této části dokumentu uvedeme reálnější simulaci s modely skutečných součástek a kde je místo
dvou zdrojů a půlmůstku použit zdroj jeden a úplný H-můstek se čtyřmi elektronickými spínači:
7
* IR2104 Behav ioral Model by analog@ ieee.org
.subckt IR2104 V cc In S D Com V B HO V S LO
C1 Com In 10p Rpar=1e6
D2 Com In Dd
D1 In V cc Dd
A1 In Com 0 0 0 2 1 0 SCHMITT Vt=1.9 Vh=1
+ Trise=1110n Tfall=100n Tripdt=50n
A2 V B VS 0 0 0 0 3 0 SCHMITT Vt=8.9 Vh=.35
A3 3 1 0 6 7 5 4 0 AND Trise=100n Tripdt=20n
S1 HO VB 4 0 SH
C2 HO VB 22p
D3 HO VB Dd
S2 HO VS 5 0 SL
C3 HO VS 22p Rpar=100k
D4 V S HO Dd
D5 V S VB 25V
D6 Com V B 625V
C4 Com S D 10p Rpar=1e6
D8 Com S D Dd
D7 S D Vcc Dd
A4 S D Com 0 0 0 0 6 0 S CHMITT V t=1.9 V h=1
+ Trise=120n Tripdt=25n
A5 V cc Com 0 0 0 0 7 0 S CHMITT Vt=8.9 Vh=.35
A6 7 6 0 2 0 9 8 0 AND Trise=100n Tripdt=20n
S3 LO V cc 8 0 S H
C5 LO V cc 22p
D9 LO V cc Dd
S4 LO Com 9 0 S L
C6 LO Com 22p Rpar=100k
D10 Com LO Dd
D11 Com Vcc 25V
.model Dd D(Ron=.5 V fwd=.5)
.model 25V D(Ron=.5 Vfwd=.5 V rev =25.2 Roff=25e4)
.model 625V D(Ron=.5 V fwd=.5 V rev =625 Roff=12e6)
.model SH SW (V t=.5 Vh=-.5 Ron=42 Ilimit=.21)
.model SL S W (V t=.5 V h=-.5 Ron=20 Ilimit=.36)
.ends IR2104
Half Bridge IR2104 Test Circuit
Helmut S ennewald V 1.0
modified for better conv ergence - analogspiceman
.include ir2104.sub
.include irf830.spi
.include LM2903.5_1
.tran 0 300m 1u 1u startup uic
D2
D1
1N5819
V1
12
Rser=50m
U1
R6
3k3
M1
VB 8
1 V CC
C1
2 IN
3 SD
VS 6
4 COM
LO 5
C2
R4
20
1
100n
.1
R5
L2
10m
M2
20
R3
K1 L2 L3 .5
Rser=10
L1
R2
IR2104
U3
C3
irf830
R1
HO 7
20
LM2903
M3
irf830
100n
U2
1N5819
V4
100
Rser=50m
irf830
L3
10m
M4
8 VB
VCC 1
7 HO
IN 2
100n
R8
LM2903
10k
6 VS
SD 3
5 LO
COM 4
R9
10k
U4
R10
10k
20
IR2104
irf830
Obr. 8
30KV
V( n014)
V( n007)
I ( L1)
10A
- 3KV
- 36KV
282m
s
- 1A
- 12A
284m
s
286m
s
288m
s
290m
s
292m
s
294m
s
296m
s
298m
s
Obr. 9
4. Využití rezonance v elektrotechnice
Využití sériové rezonance v této oblasti vidím především u motorů na střídavý proud, které lze pomocí výše
popsaného rezonančního oscilátoru napájet ze stejnosměrného zdroje. U jednofázových a dvoufázových
indukčních motorů lze použít velmi jednoduchou elektroniku. U třífázových strojů je situace trochu
komplikovanější, neboť vytvořit fázový posun 120° pro širší rozsah rezonančních kmitočtů není úplně
jednoduché. Vytvořit fázový posun 90° pro dvoufázové rezonanční řízení je naproti tomu velmi snadné, jak
si ukážeme dále. Rezonančně řídit trojfázový motor však lze snadno pomocí mikroprocesoru. Také jsem
experimentoval s využitím fázového závěsu, ale proti mikroprocesorovému řízení je toto řešení
komplikovanější a méně spolehlivé.
Obecně platí, že pro konstrukci rezonančně řízeného motoru použijeme takové materiály a principy, které
zachovají vysoký činitel jakosti rezonančního obvodu. To znamená, že například pro magnetický obvod
použijeme materály, které mají nízké ztráty vířivými proudy. Dále použijeme jakostní konzátory s nízkým
ESR (ekvivalentní sériový odpor).
4.1. Asynchronní motor
Řídit rezonančně jednofázový a dvoufázový asynchronní motor je velmi snadné. Jedinou nevýhodou je jeho
kotva nakrátko, která při mechanickém zatížení hřídele v důsledku zvětšeného skluzu snižuje činitel jakosti
rezonančního obvodu. Takže tady nám příliš nepomůže, použijeme-li pro magnetický obvod speciální
8
materiál potlačující vířivé proudy. Na obr. 10 můžete vidět schéma zapojení elektroniky pro rezonanční
řízení dvoufázového motoru:
* IR2104 Behav ioral Model by analog@ ieee.org
.subckt IR2104 V cc In S D Com V B HO V S LO
C1 Com In 10p Rpar=1e6
D2 Com In Dd
D1 In V cc Dd
A1 In Com 0 0 0 2 1 0 S CHMITT Vt=1.9 V h=1
+ Trise=1110n Tfall=100n Tripdt=50n
A2 V B VS 0 0 0 0 3 0 SCHMITT Vt=8.9 Vh=.35
A3 3 1 0 6 7 5 4 0 AND Trise=100n Tripdt=20n
S1 HO VB 4 0 SH
C2 HO VB 22p
D3 HO VB Dd
S2 HO VS 5 0 SL
C3 HO VS 22p Rpar=100k
D4 V S HO Dd
D5 V S VB 25V
D6 Com V B 625V
C4 Com S D 10p Rpar=1e6
D8 Com S D Dd
D7 S D Vcc Dd
A4 S D Com 0 0 0 0 6 0 S CHMITT V t=1.9 V h=1
+ Trise=120n Tripdt=25n
A5 V cc Com 0 0 0 0 7 0 S CHMITT Vt=8.9 Vh=.35
A6 7 6 0 2 0 9 8 0 AND Trise=100n Tripdt=20n
S3 LO V cc 8 0 S H
C5 LO V cc 22p
D9 LO V cc Dd
S4 LO Com 9 0 S L
C6 LO Com 22p Rpar=100k
D10 Com LO Dd
D11 Com Vcc 25V
.model Dd D(Ron=.5 V fwd=.5)
.model 25V D(Ron=.5 Vfwd=.5 V rev =25.2 Roff=25e4)
.model 625V D(Ron=.5 V fwd=.5 V rev =625 Roff=12e6)
.model SH SW (V t=.5 Vh=-.5 Ron=42 Ilimit=.21)
.model SL S W (V t=.5 V h=-.5 Ron=20 Ilimit=.36)
.ends IR2104
Half Bridge IR2104 Test Circuit
Helmut S ennewald V 1.0
modified for better conv ergence - analogspiceman
.include ir2104.sub
.include irf830.spi
.include LM2903.5_1
.tran 0 300m 1u 1u startup uic
D2
D1
1N5819
V1
12
Rser=50m
U1
R6
3k3
M1
1 VCC
VB 8
2 IN
HO 7
3 SD
VS 6
C1
100n
U2
LO 5
20
IR2104
U3
C3
irf830
R1
R3
Rser=10
L1
1
R2
4 COM
M3
irf830
20
LM2903
1N5819
V4
24
Rser=50m
M2
Rser=10
L2
C2
4.7µ
R9
820k
R4
.1
irf830
C4
4.7µ
8 VB
V CC 1
7 HO
IN 2
100n
R8
LM2903
10k
U4
20
1
6 VS
SD 3
5 LO
COM 4
R7
M4
20
IR2104
irf830
BZX84C6V2L
Obr. 10
Funkce zapojení na obr. 10 je velmi jednoduchá: fázového posunu o 90° je dozaženo tak, že druhý
komparátor je řízen napětím na rezonančním kondenzátoru, které je proti proudu posunut právě o 90°.
Úroveň napětí pro komparátor je upravena pomocí odporového děliče. Dále je ke vstupu komparátoru
připojena ochranná Zenerova dioda.
Na dalším obrázku je zobrazen výstup simulace, kde jsou zobrazeny průběhy proudů obou rezonančních
obvodů. Všimněte si, že fázový posun je cca 90° a amplituda proudu druhé cívky je o něco nižší. Je to
způsobeno tím, že vlivem přechodového děje ještě nedošlo k ustálenému stavu.
I ( L1)
600m
A
I ( L2)
500m
A
400m
A
300m
A
200m
A
100m
A
0m
A
- 100m
A
- 200m
A
- 300m
A
- 400m
A
- 500m
A
- 600m
A
0m
s
10m
s
20m
s
30m
s
40m
s
50m
s
Obr. 11
4.2. Synchronní motor
60m
s
70m
s
D3
4k7
R5
80m
s
90m
s
9
Výše uvedenou nevýhodu odstraňuje synchronní motor, který v rotoru nemá kotvu nakrátko, ale
permanentní magnety. Z principu by měl mít při použití vhodných materiálů vyšší účinnost. Jeho nevýhodou
však je, že je nutné ho nějak roztočit na synchronní otáčky.
4.3. Stejnosměrný motor s elektronickou komutací
Dále je možné rezonančně řídit stejnosměrný motor s elektronickou komutací, označovaný zkratkou EC
(Electronic Commutation) nebo BLDC (BrushLess DC). Zde však z principu nelze LC oscilátor použít,
protože elektronika řídí spínání proudu do jednotlivých vinutí v závislosti na poloze rotoru. Zde by
rezonanční řízení probíhalo tak, že po dosažení rezonančních otáček by se do série s vinutím zařadil
kondenzátor o vhodné kapacitě. Rezonance by se udržovala řízením otáček změnou zatížení motoru.
Nejsnáze lze toto zařídit pomocí generátoru s řízenou zátěží. U EC motoru speciální konstrukce lze
generátor zařadit přímo do motoru. Vhodnou konstrukcí EC motoru ve funkci motorgenerátoru je použití
diskového rotoru s plochými permanentními magnety ve tvaru hranolu nebo válce. Lze použít například
feritové nebo neodymové magnety. V prvním případě pro konstrrukci mag. obvodu použijeme ferit, v
druhém případě mohou být cívky vzduchové nebo lze použít nějaký vhodný materiál se sycením kolem
1,5T. Takové materiály však bývají buď drahé (např. Metglass), nebo jsme nuceni improvizovat s nejistým
výsledkem.
4.4. Výroba vysokého napětí
Rezonančního LC oscilátoru lze také s úspěchem použít pro výrobu vysokého napětí pro nejrůznější účely.
Zde se můžeme nechat inspirovat výzkumy Nikoly Tesly. Například Patrick Kelly popisuje na svém webu
http://www.free-energy-info.co.uk/ zařízení (obr. 12), které údajně vynalezl právě Tesla. Není to však jisté,
neboť si jej nikdy nedal patentovat. V podstatě se jedná o výrobu iontů pomocí vysokého napětí. Tyto ionty
jsou potom vychylovány magnetickým polem a zachycovány dvojicí plochých elektrod.
Vysokonapěťový ionizátor vzduchu lze nahradit zdrojem ionizujícího záření, jak ilustruje obrázek 13.
Místo radia můžeme použít třeba thorium, o němž se uvažuje jako o náhradě za nebezpečný a snadno
zneužitelný uran. Britské listy před dvěma lety psaly o potlačování vynálezu thoriové baterie zde:
http://www.blisty.cz/art/59645.html. Domnívám se, že vynálezci, o nichž je v článku řeč, využili právě
tohoto jednoduchého principu.
10
Obr. 12
Obr. 13
11