A p

áš
a
M
2
-P
av
el
Laplaceova transformace
X3
1
EO
EO2 – Přednáška 3
Pavel Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
ÚVODEM
-P
av
el
M
áš
a
• Víme, že Fourierova transformace díky přísným podmínkám existence neexistuje pro řadu běžných signálů – dokonce i funkce sin musela být zatlumena
EO
2
Jak zajistit existenci transformace pro většinu funkcí (téměř všechny fyzikálně realizovatelné časové průběhy)?
X3
1
Zatlumíme si ji sami – transformovanou funkci vynásobíme tlumící funkcí e¡¾t
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
OD FOURIEROVY K LAPLACEOVĚ TRANSFORMACI
Máme Fourierovu transformaci
•
Abychom rozšířili počet transformovatelných funkcí, funkci f (t) zatlumíme e¡¾t
áš
a
•
0
X3
1
EO
2
-P
av
el
M
– Tlumení ale funguje pouze pro čas t ≥ 0,
pro záporný čas naopak funkci „zesiluje“,
musíme proto zavést podmínku t ≥ 0
– Při analýze elektrických obvodů ale řešíme situace „co se stalo po tom, co...“, takže tato
podmínka není omezující
– Historii obvodu popíšeme pomocí počátečních podmínek (napětí kondenzátoru, proud
cívkou v čase t = 0).
Z +1
Z +1
Z +1
F(¾; j!) =
f (t)e¡¾te¡j!t dt =
f (t)e¡(¾+j!)t dt =
f (t)e¡pt dt
0
0
•
Přímá Laplaceova transformace
•
Pro σ = 0 přechází Laplaceova transformace na Fourierovu transformaci
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
Poznámka – matematické fonty
Pro Fourierovu a Laplaceovu transformaci se používají dva různé matematické fonty
Můžeme se proto setkat se symboly – Pro Fourierovu transformaci
F ff (t)g
M
– Pro Laplaceovu transformaci
áš
a
•
-P
av
el
L ff (t)g
Poznámka
X3
1
EO
2
• Namísto operátoru p se někdy používá operátor s
• p / s se též nazývá komplexní frekvence
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
OBLAST KONVERGENCE
• Pro tlumící funkci jsme definovali podmínku, že t
e¡¾t
≥0
f (t)e¡¾t
• To ale nezaručuje, že (Fourierův) integrál funkce konverguje
áš
a
– Pro σ < 0 opět funkce netlumí, ale „zesiluje“, záleží ale na charakteru funkce f(t)
œ Pro určitou funkci f(t) integrál konverguje, pouze pokud ¾ > ¾min
-P
av
el
M
œ Ta část p‐roviny, která vyhovuje této podmínce, se nazývá oblastí konvergence (pozor, neplést si s oblastí stability obvodu, kde se naopak budeme pohybovat v levé části p‐roviny, nalevo od oblasti konvergence!!! – póly divergují)
Stabilní systém
X3
1
EO
2
• Je to obvod, který má při libovolném omezeném vstupu omezený výstup
• Pasivní obvod vždy, pokud obsahuje rezistor, s nulovým odporem mez stability
• Aktivní obvod (se zesilovačem) musí mít zpětnou vazbu
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
P (p) =
1
1 + pRC
R = 100 Ð
C = 1 mF
pól
pp = ¡10
X3
1
EO
2
-P
av
el
M
pól (jde až do ∞)
áš
a
PŘÍKLAD – 1 PÓL V P‐ROVINĚ
Fourierova transformace (frekvenční charakteristika)
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
PŘÍKLAD – NULY A PÓLY V P‐ROVINĚ
R = 10 Ð
3‐D pohled na p‐rovinu, pohled ze strany
L = 0:1 H
C = 1 mF
5 000
4 200
póly
3 800
M
3 400
áš
a
4 600
-P
av
el
3 000
2 600
2 200
1 800
pC(pL + R)
p2LC + pRC + 1
Nuly: p01 = 0; p02 = ¡100
Póly:
pp1;2 = ¡50 § 86:6j
pohled na stejnou p‐rovinu shora
2
1 400
P (p) =
EO
1 000
600
póly
-200
-150
-100
sigma
-50
X3
1
200
-120 -80
-200-160
omega
-40 0
-200
40 80
120
50
160 200
100
nuly
Fourierova transformace – imaginární osa
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
VYBRANÉ VLASTNOSTI LAPLACEOVY TRANSFORMACE
vlastnost
vzor
obraz
n
X
n
X
ak Fk (p)
ak fk (t)
Linearita
k=1
Posunutí v originále
áš
a
k=1
f (t ¡ t0 )
Věta o obrazu integrálu
0
M
df (t)
dt
Z t
f (¿ ) d¿
-P
av
el
Věta o obrazu derivace
Z
1
F (p)
p
2
t
f (t) ¤ g(t) =
EO
pF (p)¡f (0+ )
f (¿ )g(t ¡ ¿ ) d¿
F (p)G(p)
0
X3
1
Obraz konvoluce
F (p) e¡pt0
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
ZÁKLADNÍ SLOVNÍK LAPLACEOVY TRANSFORMACE
Diracův impuls
Oblast konvergence
1
¡1 · ¾ · 1
1
p
¾>0
1
p+a
¾ > ¡a
!
p2 + ! 2
¾>0
-P
av
el
M
±(t)
Operátorová oblast (obraz)
áš
a
Časová oblast
Jednotkový skok (stejnosměrné napětí připojené v čase t = 0)
EO
2
1(t)
X3
1
Exponencielní impuls
e¡at1(t)
sin(!t) ¢ 1(t)
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
Operátorová oblast (obraz)
p
p2 + ! 2
Časová oblast
cos(!t) ¢ 1(t)
!
(p + a)2 + ! 2
sin(!t) ¢ 1(t)
¾>0
¾ > ¡a
-P
av
el
M
e
¡at
áš
a
Exponencielně tlumený sin Oblast konvergence
Exponencielně tlumený cos
e¡at cos(!t) ¢ 1(t)
EO
2
t ¢ 1(t)
X3
1
tn
¢ 1(t)
n!
Fázové posunutý sin
Um sin(!t + ') ¢ 1(t) =
= (A cos !t + B sin !t) ¢ 1(t)
p
A
Um = A2 + B 2 tan ' =
B
p+a
(p + a)2 + ! 2
¾ > ¡a
1
p2
¾>0
1
pn+1
Ap + B!
p2 + ! 2
¾>0
¾>0
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
ZPĚTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMACE
Vyjdeme ze zpětné Fourierovy transformace
1
f (t) =
2¼
¡1
Odtud
Z
Z
áš
a
¡¾t
1
=
2¼
1
f (t) =
2¼
+1
F(p)ej!t d!
¡1
Z
+1
¾t j!t
F(p)e e
¡1
+1
d! =
F(p)ept d!
¡1
¡1
EO
2
Záměnou integračních mezí dostaneme zpětnou Laplaceovu transformaci
1
fF (p)g = f (t) =
2¼j
X3
1
•
F(j!)ej!td!
Zpětnou Fourierovou transformací vyjádříme tlumenou funkci
f (t)e
•
+1
M
•
Z
-P
av
el
•
Z
¾+1
F(p)ept dp
¾¡1
) pokud je to možné, nepoužíváme přímo definiční integrál, ale snažíme se využít vlastností a známých obrazů ze slovníku
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
POSTUP PŘI HLEDÁNÍ ZPĚTNÉ LAPLACEOVY TRANSFORMACE
•
Obvodovou funkci (např. přenos P(p)) / veličinu (obraz napětí U(p), obraz proudu I(p), …) dostaneme ve formě racionálně lomené funkce, která je podílem dvou polynomů
p2 ¡ 1990p + 751000
F (p) = 2
2p ¡ 4000p + 1500000
áš
a
P (p)
F (p) =
Q(p)
Nejprve musíme případným dělením zajistit, aby polynom P(p) v čitateli byl nižšího řádu, nežli polynom Q(p) ve jmenovateli; současně můžeme ve jmenovateli vytknout koeficient u nejvyšší mocniny p
0
1
5p + 500
Pn¡1 (p)
0
F (p) = + 2
F (p) = R(p) + F (p) = R(p) +
0
2 p ¡ 2000p + 750000
Q (p)
•
Najdeme kořeny polynomů v čitateli (nuly) i jmenovateli (póly) funkce
F (p) =
1
5(p + 100)
+
2 (p ¡ 500)(p ¡ 1500)
Náhrada parciálními zlomky nyní závisí na charakteru pólů
1. Jednoduché reálné kořeny 0
n
X
3
1
8
Pn¡1 (p)
Ai
0
F (p) = ¡
+
=
F (p) = Qn
2 p ¡ 500 p ¡ 1500
K i=1 (p ¡ pi)
p ¡ pi
i=1
X3
1
•
EO
2
-P
av
el
M
•
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
2. Reálné kořeny s násobností α, β, γ
0
Pn¡1 (p)
=
F (p) =
K(p ¡ pa )® ¢ (p ¡ pb)¯ ¢ (p ¡ pc)° ¢ ¢ ¢
°
®
X
X̄
X
Ai
Aj
Ak
+
+
+ ¢¢¢
=
i
j
k
(p
¡
p
)
(p
¡
p
)
(p
¡
p
)
a
b
c
i=1
j=1
0
áš
a
k=1
-P
av
el
M
p2 + 3500 p + 1500000
¡1000000
1500
1
=
+
+
(p + 1000)3
(p + 1000)3 (p + 1000)2 p + 1000
3. Dvojice komplexně sdružených kořenů 0
00
(p ¡ pi)(p ¡ pi ) = p2 ¡ 2®ip + ®i2 + ¯i2 = p2 + ai p + bi
0
Pn¡1 (p)
=
F (p) =
K(p2 ¡ aa p + bi )® ¢ (p2 ¡ abp + bb )¯ ¢ ¢ ¢
®
X
X̄
A i p + Bi
Aj p + Bj
+
+ ¢¢¢
=
2 ¡ a p + b )i
2 ¡ a p + b )j
(p
(p
a
a
b
b
i=1
j =1
X3
1
EO
2
0
p2 + 4000p + 1500000
3996 p + 1499000
1
=
+
(p2 + 4p + 1000)2
(p2 + 4p + 1000)2 p2 + 4p + 1000
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
Nyní zbývá najít konstanty A, B, …
Metoda neurčitých koeficientů (porovnání koeficientů u stejných mocnin)
1.
Funkci F’(p) (po rozkladu na parciální zlomky) vynásobíme původním jmenovatelem
2.
porovnáme koeficienty u stejných mocnin operátoru p v čitateli původní funkce
-P
av
el
M
áš
a
p2 ¡ 1990p + 751000
p2 ¡ 2000p + 750000 + (10p + 1000)
F (p) = 2
=
=
2p ¡ 4000p + 1500000
2(p2 ¡ 2000p + 750000)
1
5p + 500
1
5(p + 100)
1
A
B
= + 2
= +
= +
+
2 p ¡ 2000p + 750000 2 (p ¡ 500)(p ¡ 1500) 2 p ¡ 500 p ¡ 1500
1.
5(p + 100)
A
B
=
+
(p ¡ 500)(p ¡ 1500) p ¡ 500 p ¡ 1500
2.
5p + 500 = A(p ¡ 1500) + B(p ¡ 500) = (A + B)p ¡ 1500A ¡ 500B
2
j¢(p ¡ 500)(p ¡ 1500)
EO
1.
X3
1
•
A+B =5
¡1500A ¡ 500B = 500
B =5¡A
¡1500A ¡ 2500 + 500A = 500
A = ¡3
B =8
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
-P
av
el
M
áš
a
2. Zakrývací pravidlo
není univerzální, u násobných kořenů lze použít pouze pro nejvyšší mocninu, ostatní koeficienty je nutné dopočítat
• Ve funkci F’(p) substituujeme za proměnnou p hodnotu kořene pi.
• Závorku, obsahující kořen pi.musíme vyloučit (je nulová). Matematicky:
0
Pn¡1(p)
0
®i
Qn
lim F (p) ¢ (p ¡ pi ) = lim
¢ (p ¡ pi)®i
®i
p!pi
p!pi K
i=1 (p ¡ pi ) ¢ ¢ ¢ ¢
Příklad:
5p + 500
A
B
=
+
(p ¡ 500)(p ¡ 1500) p ¡ 500 p ¡ 1500
X3
1
EO
2
¯
¯
5p + 500
¯
A=
¯
(p ¡ 500) (p ¡ 1500) ¯
=
p=500
¯
¯
5p + 500
¯
B=
¯
(p ¡ 500) (p ¡ 1500) ¯
p=1500
5 ¢ 500 + 500
3000
=
= ¡3
500 ¡ 1500
¡1000
=
5 ¢ 1500 + 500 8000
=
=8
1500 ¡ 500
1000
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
OPERÁTOROVÉ CHARAKTERISTIKY DVOJPÓLŮ
→
diL (t)
dt
Z
1 t
iL (t) =
u (¿ ) d¿ + iL (0+)
L 0 L
Z
1 t
uC (t) =
i (¿ ) d¿ + uC (0+)
C 0 C
→
duC (t)
dt
X3
1
iC (t) = C
EO
2
-P
av
el
uL (t) = L
M
iR (t) = GuR (t)
áš
a
→
uR (t) = RiR (t)
obraz derivace – násobení operátorem p
obraz integrálu – dělení operátorem p
UL (p) = pL IL (p) ¡ LiL (0+ )
→
IL (p) =
1
i (0+)
UL (p) + L
pL
p
→
UC (p) =
1
u (0+ )
IC (p) + C
pC
p
→
IC (p) = pC UC (p) ¡ CuC (0+)
Kirchhofovy zákony platí i v oblasti obrazů
pokud (σ = 0) a vyloučíme počáteční podmínky œ Fourier, je sinusový zdroj œ HUS
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
NÁHRADNÍ OBVODY PRO OPERÁTOROVÉ CHARAKTERISTIKY DVOJPÓLŮ
1
u (0+ )
IC (p) + C
pC
p
IC (p) = pC UC (p) ¡ CuC (0+)
počáteční podmínka
zdroj proudu
M
počáteční podmínka
zdroj napětí
áš
a
UC (p) =
EO
1
i (0+)
UL (p) + L
pL
p
počáteční podmínka
zdroj proudu
X3
1
IL (p) =
2
-P
av
el
operátorová
impedance
operátorová
admitance
UL (p) = pL IL (p) ¡ LiL (0+)
počáteční podmínka
zdroj napětí
operátorová
admitance
operátorová
impedance
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
NÁHRADNÍ OBVOD A SVORKY REÁLNÉ SOUČÁSTKY
Kapacitor byl nabit na napětí 10 V. Nejděte proud tekoucí kapacitorem.
Sériový náhradní obvod
10 ¢ C
1 + pRC
M
=¡
-P
av
el
IC (p) =
uC (0+ )
p
¡
1
R + pC
áš
a
• Ohmův zákon
Paralelní náhradní obvod
• Děličem proudu
0
R
pRC
=
C
¢
10
¢
1
1 + pRC
R + pC
X3
1
EO
2
IC (p) = C uC (0+)
??? Proud kapacitorem by měl být stejný ???
Toto je reálný kapacitor !!!
IC (p) = C ¢ 10 ¢
10C pRC ¡ 10C(1 + pRC)
¡10 ¢ C
pRC
¡ 10C =
=
1 + pRC
1 + pRC
1 + pRC
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
V čase t = 0 tekl induktorem proud iL(0) = 2 A. Najdtěte Laplaceův obraz proudu tekoucího induktorem pro t > 0 a obraz napětí na induktoru pro t > 0.
Paralelní náhradní obvod
M
¡i (0) LR
iL (0) pLR
= L
p pL + R
pL + R
-P
av
el
UL (p) = ¡
áš
a
μ
¶
iL (0) iL (0)
iL (0) R
R
L iL (0)
+
=
IL (p) = ¡
1¡
=
p R + pL
p
p
R + pL
R + pL
Sériový náhradní obvod
2
L iL (0)
R + pL
EO
IL (p) =
X3
1
UL (p) = L iL (0)
pL
¡i (0) LR
¡L iL (0) = L
pL + R
pL + R
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
S nulovými počátečními podmínkami dostáváme obdobné obvodové charakteristiky, jako u Fourierovy transformace, resp. HUS
Y (p) =
I(p)
U (p)
Přenos (napěťový, proudový, …)
PI (p) =
I2(p)
I1(p)
-P
av
el
U2(p)
U1(p)
2
P (p) =
EO
•
U(p)
I(p)
M
Z(p) =
áš
a
Impedance a admitance včetně vstupních a výstupních u dvoj či vícebranů
X3
1
•
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace
PŘÍKLAD – STEJNÝ, JAKO V MINULÉ PŘEDNÁŠCE
Um
0
t0
t
P (p) =
3.
1
1 + pRC
U2(p) = U1 (p) ¢ P (p) =
2
2.
¤
Um £
1¡e¡pt0
p
EO
1.
U1(p) =
-P
av
el
pro nalezení obrazu využijeme slovníku Laplaceovy transformace
obdélníkový impuls je superpozicí dvou skoků s amplitudou Um
¤
£
1
Um
1 ¡ e¡pt0
p 1 + pRC
X3
1
•
•
M
áš
a
Integrační článek na obrázku je vybuzen obdélníkovým impulsem dle obrázku. Vypočítejte časový průběh výstupního napětí. Kondenzátor nebyl před připojením zdroje nabit (nulová počáteční podmínka).
Hranatou závorku prozatím ignorujeme (nese informaci o časovém zpoždění dvou průběhů)
μ
¶
³
´
t
1
B
1
A
0
0
¡ RC
U2 (p) = +
)
u2 (t) = Um 1 ¡ e
1 = Um p ¡
1
p p + RC
p + RC
Transformací hranaté závorky jsou dva jednotkové skoky
i
h
t¡t0
t
¡
u2 (t) = Um (1 ¡ e RC )1(t) ¡ (1 ¡ e RC )1(t ¡ t0 )
X31EO2 - Pavel Máša - Laplaceova transformace