2. Kvazistacion arn obvody

c) R2 6= 0, maly. Proud v sekundarnm obvode bereme
jako v prpade transformatoru nakratko a dosazenm dI2=dt
do rovnice pro primarn obvod dostaneme rovnici
L1 ( 1
E1
k2
)
dI1
dt
=
R1
+
n21
R
n22 2
!
I1 :
V primarnm obvodu tedy pusob efektivn indukcnost a efektivn odpor.
2. Kvazistacion
arn
obvody
Nejdrve prozkoumame takzvane prechodove stavy v elektrickych obvodech, ktere nastavaj pri zapnut a vypnut zdroje
emn. Na obr. 5.9 jsou znazorneny RC obvod (s odporem a
kondenzatorem v serii) a LC obvod (s odporem a cvkou v
serii) s prepnacem, ktery umoznuje zapnout a vypnout zdroj
konstantnho emn.
Je-li U napet a Q naboj na kondenzatoru, potom v RC
obvodu pri zapojenem emn mame
E
U
=
RI; Q
=
CU; I
=
dQ
dt
a pro zmenu naboje na kondenzatoru mame diferencialn rovnici
dQ
1 Q= E:
+
dt
RC
R
Obecne resen teto rovnice se sklada z obecneho resen
homogenn rovnice a partikularnho (zvlastnho) resen neho205
a)
b)
obr. 5.9
mogenn rovnice:
t
Q(t) = konst : e RC + E C :
Konstantu musme pak urcit vzdy z pocatecnch podmnek.
Nehomogenn rovnice odpovda zapnutemu zdroji emn, homogenn rovnice stavu bez zapojeneho emn. Zapneme-li zdroj v
okamziku t = 0, kdy je kondenzator nenabity, poroste na nem
naboj (a napet) podle zakona
Q
= EC 1
e
t RC
;
U
=
Q
:
C
Vypneme-li zdroj v okamziku t0, kdy bylo na kondenzatoru
dosazeno napet U0, bude naboj (a napet) klesat podle zakona
t t
Q = U0 C e RC :
0
206
obr. 5.10
207
Tento prubeh zmeny naboje na kondenzatoru pri jeho nabjen
a vybjen vidme na obr. 5.10.
Vidme, ze napet na kondenzatoru nabha a klesa s charakteristickou dobou C = RC , ktere rkame casova konstanta
obvodu. Pri vybjen kondenzatoru klesne za tuto dobu napet
na 1=e-tinu. To je treba mt na pameti - kondenzatory o velke
kapacite zkratovane pres znacny odpor potrebuj dostatecny
cas k tomu, aby napet na nich pokleslo na bezpecnou hodnotu.
Charakteristicky tvar napet'oveho pulsu na obr. 5.10 muze
byt vyuzit v impulsove technice; vhodnou volbou parametru
obvodu muzeme takto generovat pulsy trojuhelnkoveho nebo
piloviteho prubehu. Podotkneme, ze pilovita napet potrebujeme
naprklad k rozmtan elektronoveho paprsku na televizn obrazovce.
Prubeh proudu v obvodu dostaneme snadno zderivovanm
naboje podle casu; pri nabjen a vybjen tak mame:
E e RCt ; I = U0 e tRCt :
dQ
=
I =
dt
R
R
Prubeh proudu vidme na obr. 5.11.
Podobne bychom mohli analyzovat pomery v RL obvodu.
Pak bychom resili diferencialn rovnici
dI
R
E
+
I =
dt
L
L
s vysledkem pri zapnut a vypnut emn
E 1 e RL t ; I = I e RL (t t ) :
I =
0
R
Vidme, ze tentokrat casovy prubeh proudu odpovda casovemu
prubehu naboje u RC obvodu na obr. 5.10 s casovou konstan0
0
208
obr. 5.11
209
tou L = L=R.
Prejdeme nyn k seriovemu RLC obvodu. Plat v nem
dU
= R I ; I = dQ
=
C
:
dt
dt
Nejvhodnejs zrejme bude vyjadrit z techto vztahu diferencialn
rovnici pro U :
d2 U
(5.20)
+ R dU + 1 U = E :
E
U
L
dt2
dI
dt
L dt
LC
LC
To je ale rovnice pro vynucene kmity harmonickeho oscilatoru, kterou jsme v mechanice zapisovali ve tvaru
d2 x
dt2
+ !02 x = f :
+ 2 dx
dt
Pritom jsme oznacili vlastn frekvenci obvodu
1
! = p
0
LC
(5.21)
(tzv. Thomsonuv vzorec), dekrement utlumu
a frekvenci
= 2RL
q
(5.22)
(5.23)
= !02 2 :
Uvazme napred resen homogenn rovnice, kdy emn E = 0.
V prpade slabeho utlumu (2 !02 < 0) se bude napet v
obvodu menit harmonicky podle zakona
U (t) = U0 e t sin(!t + '0 )
!
210
Amplitudu U0 a fazovou konstantu '0 musme ovsem urcit z
pocatecnch podmnek. Proud I najdeme jako
dU
I (t) = C
= C U0 e t [ sin(!t+'0) + ! cos(!t+'0)] =
dt
0 ! t
= CU
sin e [sin(!t + '0) cos + cos(!t + '0) sin ] =
= I0 e t sin(!t + '0 + ) :
Pritom jsme zavedli velicinu , ktera vyjadruje fazovy
rozdl mezi napetm a proudem v obvodu vztahem
cotg = ! :
Pri nulovem utlumu je cotg = 0 a proud je posunut
vuci napet prave o =2. Obvod pritom kmita na vlastn frekvenci ! = !0. Pri kritickem utlumu ( = !0) a silnem utlumu
(2 !02 > 0) nastava aperiodicky rezim a napet i proud v
obvodu klesaj exponencialne k nule.
Necht' nyn v obvodu pusob harmonicke emn E = E0 cos t.
Amplituda vynucujc sly je tedy f0 = E0=LC . Potom musme
resit nehomogenn rovnici pro vynucene kmity, ktere je souctem
obecneho resen homogenn rovnice a partikularnho resen nehomogenn rovnice. R esen homogen rovnice je vzdy tlumeno
a brzy klesne k nule. Obvod zacne oscilovat na frekvenci vynucenych kmitu bez utlumu. Energie pohlcovana na odporu
bude dodavana zdrojem emn. Mame tak resen
U (t) = U0 sin(
t + '0 );
kde amplitudu kmitu U0 a fazovou konstantu '0 muzeme najt
stejnym zpusobem jako v prpade vynucenych kmitu mechanickeho oscilatoru. Dostaneme tak
2
2
tg '0 = !02 = R1 1C L ; (5.24)
211
U0
E0 cos ' :
E0 q 1
=
=
0
(!02 2)2 + 42
2 LC 1 + tg2 '0 RC (5.25)
Pro proud dostaneme
=
I (t)
f0
q
=
C
dU
dt
=
C U0 cos(
t + '0 )
takze amplituda proudu je
I0
=
C U0 =
I0
cos(
t + '0) ;
(5.26)
= ER0 cos '0 :
(5.27)
Proud a napet na kondenzatoru jsou tedy vzajemne posunuty o =2 a proud je posunut vzhledem k emn o '0. Situace
je znazornena na obr. 5.12.
Amplituda napet (a proudu) dosahuje maxima na rezonancn frekvenci
s
q
1 R2 ;
(5.28)
r = !02 22 = LC
2L2
a to
f
E
q 0
q 0
U0max =
=
:
(5.29)
2 !02 2 RC LC1 4RL
Pri = 0 nastava staticka vychylka U0st = f0=!02. Tangens
'0 se men od =2 do =2 a pri rezonanci je roven nule. To
je rezonance v amplitude.
Pokud jde o rezonanci v energii, musme urcit zavislost I02
na . Pro energii nahromadenou v obvodu mame
1
E02 2
W = L I02 =
2
2L[ ( !02 2 )2 + 4 2
2 ] : (5.30)
212
2
2
5.13
obr. 5.12
obr.
213
Maximum energie v rezonanci odpovda
E2
Wmax = 0 2 :
8L
Z rezonancn krivky v energii (obr. 5.13) muzeme urcit dekrement utlumu. Z mechaniky vme, ze srka teto rezonancn
krivky v polovine vysky je rovna prave 2 . C initel jakosti
obvodu je pak roven
s
1
L
!0
=
(5.31)
Q =
2 R C :
Zbyva vysetrit otazku, jaky vykon vyvj zdroj emn v RLC
obvodu. Okamzity vykon, zavisly na case je
P = E I = E0 I0 cos t cos(
t+'0 ) = E0 I0 ( cos2 t cos '0 cos t sin t sin '0 ) :
Prvn clen se nazyva vykon cinny, druhy vykon jalovy. Vystredujemeli totiz okamzity vykon v case, druhy clen vymiz a prvn da
1
(5.32)
< P > = E0 I0 cos '0 = Eef Ief cos '0 :
2
p
Zavedli
jsme
efektivn
hodnoty
emn
a
proudu
E
=
E
=
2; Ief =
ef
0
p
I0 = 2. Velicinu cos '0 nazyvame ucink. Je-li ucink roven
jedne, lze tedy stredn vykon urcit jako soucin efektivnch
hodnot emn a proudu. Jinak zalez i na prtomnosti kapacity a indukcnosti v obvodu. Maximaln vykon je odebran
pri rezonanci, naopak blz-li se '0 k =2, klesa vykon k
nule.
Elektricke obvody v nichz pusob harmonicky promenne
emn nazyvame strdavymi. Take pro ne muzeme pouzvat
Ohmuv zakon a Kirchhoova pravidla a resit je jako elektricke ste. Musme vsak vzt v uvahu, ze emn a proudy jsou
214
popsany jednak svymi amplitudami jednak fazovymi konstantami, mohou byt vzajemne fazove posunuty. Sctan vzajemne
fazove posunutych sinusovych a kosinusovych proudu a napet
by bylo velmi slozite. Navc predpokladame, ze v cele sti je
jedna spolecna uhlova frekvence .
Jeden zpusob, jak takove ste resit, je prechod ke komplexnm obrazum emn a proudu nazyvanym fazory. Fazory
muzeme pritom znazornovat v komplexn rovine vektorovymi
diagramy. Provedeme prirazen
A0 cos(
t + ) ! A0 ei = A^ :
Lze se presvedcit, ze poctan s goniometrickymi funcemi
da touz vyslednou amplitudu a fazovou konstantu jako poctan
s fazory. Vysledkem je ovsem komplexn cslo; chceme-li dostat casovy prubeh dane veliciny, stac vynasobit ei
t a vzt
realnou cast.
Uvazme vyse zkoumany seriovy RLC obvod. Emn a proudu
muzeme priradit fazory E^ = E0 a I^ = I0ei' . Pro fazory
muzeme napsat Ohmuv zakon v komplexnm tvaru jako
E^ E
(5.33)
Z = ^ = 0 e i ' = Z0 e i ' :
I0
I
Komplexn velicina Z se nazyva impedance obvodu. Podle
(5.24) a (5.27) zjistme, ze velikost impedance je
s
2
E
1
0
2
Z0 =
= R + L C
I0
a tangens jejho argumentu
tg = tg '0 = R1 L 1C :
215
0
0
0
Je to tedy komplexn cslo
Z
=
R
+ iX =
R
+ i L
1
C
:
(5.34)
Realnou cast impedance R nazyvame rezistance, imaginarn
cast X reaktance. Ta se sklada z induktance L a kapacitance
1=
C . Vodivosti odpovda prevracena hodnota impedance
1 = G + iS
Y =
Z
nazyvana admitance. Jej realna cast G je konduktance a imaginarn cast S susceptance.
1. Paraleln RLC obvod
Na obr. 5.14 je znazornen paraleln RLC obvod.
Pri takovem paralelnm zapojen se sctaj admitance:
1
Y = i
C +
R+i L
Tato admitance je realna na rezonancn frekvenci
s
1 R2
! =
0
LC
L2
a v idealnm prpade R = 0 bude na rezonancnm kmitoctu
nulova. V tom prpade se paraleln obvod chova jako nekonecny
odpor; vsechna energie osciluje v obvodu a neprochaz dale.
Bude-li obvod zapojen zpusoby znazornenymi na obr. 5.15,
5.16, 5.17, budou odpovdajc rezonancn frekvence rovny
s
1
1
1
! =
; ! = p ; ! = p :
0
LC
R2 C 2
0
216
LC
0
LC
5.15
5.17
obr. 5.14
obr.
obr. 5.16
obr.
217
2. Trojfazovy proud
Pri prenosu prumyslovych strdavych proudu se pouzva
trojfazove soustavy. Generator v elektrarne produkuje tri strdava
napet, ktera jsou fazove posunuta vzdy o 2=3. Usporadameli tato napet do trojuhelnka (obr. 5.18) a budou-li amplitudy
vsech tr napet stejne, bude zrejme soucet jejich fazoru nulovy:
U^1 + U^2 + U^3 = 0 :
Urcme proud protekajc kterymkoli vodicem veden. Naprklad
do vrcholu 3 vteka vetv 2-3 proud I^1 = I0ei', ktery se rozdel
na proud I^2 = I0ei('+2=3) ve vetvi 3-1 a proud I^ = Imaxei
vychazejc vedenm z vrcholu 3. Polozme-li ' = 0, dostaneme
z Kirchhoova zakona
p
I^ = I^1 I^2 = I0 1 ei2=3 = I0 3 e i=6 ;
a tedy
p
Imax = 3 I0 :
Vektorovy diagram skladan techto proudu je na obr. (5.19).
Podobne bychom ukazali, ze pri usporadan do hvezdy
(obr. 5.20) bude vysledny proud ctvrtym (nulovym) vodi
p cem
roven nule. Pro napet tentokrat plat vztah Umax = 3 U0,
takze pri efektivn hodnote napet mezi dvema vrcholy 380 V
dostavame mezi kterymkoli vrcholem a "nulakem" 22O V.
3. Maxwellovy rovnice elektromag-
218