ML odhad zpozden´ı dálkomerného signálu

ML odhad zpožděnı́ dálkoměrného
signálu
–
verze: 20090902
1 Popis úlohy
ML (Maximum Likelihood) odhad = nejvěrohodnějšı́ odhad
značenı́: vektor parametrů: P, vektor měřenı́: X (předpokládáme dimenzi N ), vektor
odhadu parametrů: P̂
k odhadu potřebuji znát hustotu pravděpodobnosti vektoru měřených hodnot X podmı́něnou znalostı́ hledaných parametrů P: pX (x|P) resp. Pr(X = x|P)
ML odhad je dán výrazem:
P̂M L = arg max pX (x|P̌)
(1)
P̌
P̂M L = arg max Pr(X = x|P̌)
P̌
věrohodnostnı́ funkce Λ(P): až na (pro odhad) nevýznamné konstanty je rovna podmı́něné hustotě pravděpodobnosti pX (x|P), ML odhad se pak hledá jako maximum věrohodnostnı́ funkce
P̂M L = arg max Λ(P̌)
P̌
2 Odhad zpožděnı́ dálkoměrného signálu v šumu
2.1 Model signálu
Předpokládáme měřený (zpracovávaný) signál ve tvaru
x(t) = Ac(t − τ ) + n(t),
kde c(t − τ ) je dálkoměrný (pseudonáhodný) signál s neznámým zpožděnı́m τ , A je
nenáhodná konstanta a n(t) je aditivnı́ šum.
Dálkoměrný signál c(t) je deterministický signál, jehož autokorelačnı́ funkce se blı́žı́ autokorelačnı́ funkci bı́lého šumu – v hodnotě τ = 0 nabývá autokorelačnı́ funkce výrazného
1
Rc(t) (t′ )
Rc[k] [k ′ ]
−Tc
0
Tc
2Tc
−1 0 1 2
Nc Tc
t′
Nc
k′
Obr. 1: Autokorelačnı́ funkce Rc(t) (t0 ) dálkoměrného (pseudonáhodného) signálu c(t),
jejı́ vztah k autokorelačnı́ funkci Rc[k] [k 0 ] odpovı́dajı́c pseudonáhodné posloupnosti
c[k]
maxima. Protože je c(t) signál periodický, je periodická i jeho autokorelačnı́ funkce, viz
obr. 1.
Dálkoměrný signál c(t) je odvozen z odpovı́dajı́cı́ pseudonáhodné posloupnosti c[k]. Jednotlivé hodnoty této posloupnosti – čipy – nabývajı́ hodnoty z množiny {−1, 1}. Mezi
c(t) a c[k] platı́ vztah
∞
X
c(t) =
c[k] h(t − kTc ),
k=−∞
kde Tc je doba trvánı́ čipu a h(t) je obdélnı́kový modulačnı́ impulz s dobou trvánı́ Tc .
Posloupnost c[k] je periodická, jejı́ periodu označı́me Nc . Potom je perioda signálu c(t)
rovna hodnotě Nc Tc .
Autokorelačnı́ funkce Rc (t0 ) = Av{c(t)c(t+t0 )} dálkoměrného signálu c(t) a autokorelačnı́
funkce Rc [k 0 ] = Av{s[k]s[k + k 0 ]} pseudonáhodné posloupnosti c[k] je znázorněna na
obr. 1.
O aditivnı́m šumu n(t) budeme předpokládat, že je pásmově omezený bı́lý gaussovský
šum na intervalu |ω| < 2πB, kde B = fsa /2. Na tomto intervalu necht’ má šum spektrálnı́
výkonovou hustotu s hodnotou N0 /2, tedy
(
N0
pro ω ∈ (−2πB, 2πB),
Cn(t) (ω) = 2
0
jinde.
2
2.2 Odvozenı́ věrohodnostnı́ funkce
Nejprve úlohu převedeme do diskrétnı́ho času. Měřený signál x(t) vzorkujeme se vzorkovacı́m kmitočtem fsa = 1/Tsa , zı́skáme x[k] = x(kTsa ). Hledaný parametr τ v diskrétnı́m
čase označı́me jako m, jeho vztah k τ je m = round(τ /Tsa ).
Zı́skáváme model měřeného signálu v diskrétnı́m čase
.
x[k] = Ac[k − m] + n[k] = Ac(kTsa − mTsa ) + n(kTsa ) = x(kTsa ).
Vektor měřenı́ X je reprezentován vzorky měřeného signálu x, tedy X = (x[kp ], x[kp +
1], . . . , x[kp + N − 1]). Parametr, který je předmětem odhadu, je skalár P (ne vektor
.
P jako v obecném přı́padě v kap. 1), tedy P = τ = mTsa . Odhad parametru potom
.
označı́me jako P̂ = τ̂ = m̂Tsa .
Zabývejme se dále odvozenı́m podmı́něné hustoty pravděpodobnosti pX (x|m), který potřebujeme pro ML odhad dle (1). Dı́ky volbě B = fsa /2 jsou vzorky šumu n[k] nekorelované, autokorelačnı́ funkce takového šumu má tvar Rn[k] [k 0 ] = fsa N20 δ[k 0 ] a rozptyl
vzorků šumu je var{n[k]} = Rn[k] [0] = fsa N20 . Protože (dle předpokladu) má n[k] normálnı́ (Gaussovo) rozdělenı́ s nulovou střednı́ hodnotou, bude pro hustotu pravděpodobnosti jednoho vzorku x[k] platit
1
1
2
px[k] (x[k]|m) = √
exp −
(x[k] − Ac[k − m]) .
(2)
fsa N0
πfsa N0
Dı́ky nezávislosti n[k] budou statisticky nezávislé i vzorky signálu x[k]. Sdružená hustota
pravděpodobnosti vektoru X je pak dána součinem jednotlivých hustot (2), tedy
kp +N −1
pX (x|m) =
Y
px[k] (x[k]|m) =
k=kp

=
1
(πfsa N0 )
N
2
1
exp −
fsa N0
kp +N −1
X

(x[k] − Ac[k − m])2  . (3)
k=kp
Pro ML odhad zpožděnı́ m̂ pak platı́
m̂M L = arg max pX (x|m̌).
m̌
(4)
Hustota pravděpodobnosti (3) je pro odhad dle (4) zbytečně moc složitá. Výraz hustoty
(3) dále zjednodušı́me, jednotlivé úpravy provádı́me tak, aby neměly vliv na hledánı́
N
arg max{.} daného výrazu. Nejprve odstranı́me nevýznamnou konstantu 1/(πfsa N0 ) 2 .
Dále, vzhledem k monotónnosti exponenciály lze exp(.) rovněž odstranit a to i včetně
3
konstanty fsa1N0 . Dı́ky znaménku − uvnitř exp(.) přecházı́me z arg max{.} na arg min{.}.
ML odhad lze pak přepsat na tvar
kp +N −1
m̂M L = arg min
m̌
X
(x[k] − Ac[k − m̌])2 .
(5)
k=kp
Tvar ML odhadu (5) představuje celkem logický závěr: hledáme takový parametr m̌,
který minimalizuje chybovou energii mezi přijatým signálem x[k] a modelem užitečné
části signálu Ac[k − m̌].
Výraz lze ale ještě dále upravit
(x[k] − Ac[k − m̌])2 = x2 [k] + A2 c2 [k − m̌] −2Ax[k]c[k − m̌].
| {z }
(6)
1
Protože na parametru m̌ závisı́ jen poslednı́ člen, lze odhad přepsat na následujı́cı́ tvar
(znaménko − před poslednı́m členem změnı́ opět arg min na arg max)
kp +N −1
m̂M L = arg max
m̌
X
x[k]c[k − m̌] = arg max Rx,c [−m̌] arg max Λ(m̌),
m̌
k=kp
m̌
tj. hledáme takový argument m̌, při kterém vzájemná korelačnı́ funkce signálů x[k] a c[k]
nabývá svého maxima.
4