č. 1 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

č. 1 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec
CZ.1.07/1.5.00/34.0766
Klíčová aktivita: IV/2
Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S2.01
Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka
Název výukového materiálu: Kružnice
Autor: Petr Pokovba
Škola: Gymnázium Vítězslava Nováka Jindřichův Hradec
Obor vzdělávání: Gymnázium (všeobecné)
Ročník: 2.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Vzdělávací obor: Matematika
Tématická oblast: Matematika - V.-VIII. ročník osmiletého a 1.-4. ročník čtyřletého gymnázia
Datum vytvoření: 3.9.2012
Anotace: Pracovní list obsahuje základní informace o kružnici. Nejprve její rolí v kultuře
a přírodním prostředí. V matematické části nejpoužívanější terminologií a větou o středových a obvodových
úhlech. List představuje grafickou podporu při výuce tohoto tématu.
Kružnice – jeden z nejzákladnějších geometrických útvarů, který na
světlo světa přivádí zcela určitě nejslavnější a také i trochu tajemnou
konstantu, číslo π . Ale ještě než začneme s matematikou, podívejme se
na roli kružnice a kruhu v přírodě a kultuře.
? existují v přírodě/kosmu objekty mající tento tvar ?
Lidé si vždy byli vědomi elegantní symetrie, která je kružnici vlastní –
žádný jiný útvar není tak všudypřítomný napříč kulturami a časem.
Pravděpodobně jde o symbol, který je společný téměř všem civilizacím
v historii.
Často mívá mystické významy – reprezentuje věčnost, nekonečnost
(nemá začátek ani konec), někdy plodnost, je symbolem Slunce jako
zdroje života. Čínský jüan doslovně znamená kulatý, ale také celistvý,
dokonalý a v tomto významu byl kruh použit také při závěrečném
ceremoniálu olympijských her v Pekingu v roce 2008.
Známý symbol Jin-Jang pomocí kruhů symbolizuje,
jak opačné síly doplňují jedna druhou.
Stonehenge má kruhovou
architekturu.
-1-
V buddhismu představuje kruh
nekonečný cyklus převtělování.
Tibetské svaté symboly, mandaly, jsou
také kruhové. V sanskrtu mandala
znamená kružnici a střed.
A tak bychom mohli pokračovat dále.
Vlastně by bylo velmi těžké najít
jakoukoli kulturu v libovolném čase historie, která nepoužívá nebo
nepoužívala kruh jako svou významnou kulturní ikonu.
Matematika kružnice
Pokuste se definovat tyto 3 pojmy:
kružnice
poloměr
průměr
kružnice
poloměr – r (radius)
průměr – d (diametr)
-2-
Pokus
1. Na volný list papíru narýsujte kružnici o poloměru 5 cm a vystřihněte ji.
2. Navrhněte způsob, jak zjistit, kolikrát se průměr vejde na obvod
kružnice a určete přibližnou hodnotu.
Pro všechny kružnice platí:
délka kružnice (obvod) má vždy stejný poměr
k jejímu průměru
neboli:
o=
d
Tento poměr je sám o sobě zvláštním, neboť jej vyjadřuje číslo, které
se často nečekaně objevuje ve všech dalších oblastech matematiky a svoji
roli hraje například při zabezpečování bankovních operací.
V roce 1761 J. Lambert dokázal, že jde o iracionální číslo a tedy číslo,
které nejde vyjádřit žádným zlomkem a jeho desetinný rozvoj se nikdy
neopakuje. V současnosti je známé na cca 1 trilion číslic.
π =3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944
3282306647
8521105559
3786783165
0249141273
7892590360
5759591953
1885752724
6395224737
7669405132
1468440901
2129021960
2978049951
3344685035
7669147303
1857780532
1065485863
2599413891
5923078164
0938446095
6446229489
2712019091
7245870066
0113305305
0921861173
8912279381
1907021798
0005681271
2249534301
8640344181
0597317328
2619311881
5982534904
1712268066
2788659361
2497217752
0628620899
5058223172
5493038196
4564856692
0631558817
4882046652
8193261179
8301194912
6094370277
4526356082
4654958537
5981362977
1609631859
7101000313
2875546873
1300192787
5338182796
8347913151
8628034825
5359408128
4428810975
3460348610
4881520920
1384146951
3105118548
9833673362
0539217176
7785771342
1050792279
4771309960
5024459455
7838752886
1159562863
6611195909
8230301952
5574857242
tedy o = π ⋅ d neboli o = 2π ⋅ r
-3-
3421170679
4811174502
6659334461
4543266482
9628292540
9415116094
0744623799
4406566430
2931767523
7577896091
6892589235
5187072113
3469083026
5875332083
8823537875
2164201989
0353018529
4541506959
8214808651
8410270193
2847564823
1339360726
9171536436
3305727036
6274956735
8602139494
8467481846
7363717872
4201995611
4999999837
4252230825
8142061717
9375195778
3809525720
6899577362
...
Intuitivní představy, které o geometrických objektech máme,
vedou často k nepřesným závěrům. Ověřte svůj odhad na
následujícím příkladě:
Předpokládejte, že kolem rovníku natáhnete provaz tak, aby Zemi přesně
obepínal. Pak se ovšem rozhodnete, že chudák Země je takhle
sešněrovaná až příliš a pokusíte se jí trochu odlehčit tím, že k celkové
délce provazu přidáte 2 metry délky. Otázka je následující:
Jak daleko se v tomto případě dostane provaz od povrchu planety nebo
jinak řečeno, o jakou délku to v pase povolí?
Odpověď bude možná překvapující. Pomocí vzorce pro obvod se pokuste ji
zdůvodnit.
Úhly v kružnici
jak je měříme?
středový úhel:
vrcholový úhel:
Startrek teorém
Narýsujte tři dvojice středových a vrcholových úhlů
a pomocí jejich změření vyslovte hypotézu týkající se jejich
velikostí.
Vaše tvrzení se pokuste dokázat.
Úkoly a cvičení
1. Vyhledejte slavnou Thaletovu větu a popište souvislost s právě
dokázaným tvrzením.
2. Je dán oblouk. Lze najít střed takové kružnice, jejíž je daný oblouk
částí?
3. Existuje racionální důvod, proč mají kryty větracích šachet,
kanalizace apod. obvykle kruhový tvar?
-4-
Literatura a zdroje obrázků
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Yin-Yang symbol [online]. 2005 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yin_yang.svg?uselang=cs
Lucas de Heere, First realistic Painting of Stonehenge [online]. 2008 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod
licencí Creative Commons:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stonehenge_Lucas_de_Heere.jpg?uselang=cs
Paintings of Buddha meditating [online]. 2008 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative Commons:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Buddha_meditating.jpg?uselang=cs
www.buddhismus.at, Buddhist Mandala. [online]. [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí Creative
Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandala_gross.jpg
Jesperhansen1972, Star Trek Emblem, crew insignia [online]. 2009 [cit. 2012-09-03]. Dostupný pod licencí
Creative Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Emblem.svg?uselang=cs
Kružnice na straně 4 byla vytvořena v programu Cabri Geometrie.
Prohlašuji, že při tvorbě výukového materiálu jsem respektoval(a) všeobecně užívané právní a morální zvyklosti, autorská a jiná práva třetích
osob, zejména práva duševního vlastnictví (např. práva k obchodní firmě, autorská práva k software, k filmovým, hudebním a fotografickým
dílům nebo práva k ochranným známkám) dle zákona 121/2000 Sb. (Autorský zákon). Nesu veškerou právní odpovědnost za obsah a původ
svého díla.
Prohlašuji dále, že výše uvedený materiál jsem ověřil(a) ve výuce a provedl(a) o tom zápis do třídní knihy. Dávám souhlas, aby mé dílo bylo
dáno k dispozici veřejnosti k účelům volného užití (§ 30 odst. 1 zákona 121/2000 Sb.), tj. že k uvedeným účelům může být kýmkoliv
zveřejňováno, používáno, upravováno a uchováváno.
-5-