Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w

Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa
w Nowym S¡czu
Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka
w ksztaªceniu powszechnym
Tom 3
Pod redakcj¡
Adama Pªockiego
Nowy S¡cz 2013
Komitet Redakcyjny
doc. dr Marek Reichel przewodnicz¡cy;
prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr¡czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki;
dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.;
dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.;
mgr Agata Witrylak-Leszy«ska
Redaktor Naczelny
doc. dr Marek Reichel
Sekretarz Redakcji
dr Tamara Bolanowska-Bobrek
Redaktor wydania
prof. zw. dr hab. Adam Pªocki
Skªad komputerowy (LATEX)
dr Marcin Mazur
Recenzenci
prof. RNDr. Ji°i Cihla°, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn¥ Usti nad Labem);
doc. RNDr. Roman Fri£, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok);
RNDr. Alena Kopa£ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec);
prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«);
prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków);
doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec);
dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski);
prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho£eská univerzita ƒeské Bud¥jovice);
dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków)
Wydano za zgod¡ JM Rektora PWSZ w Nowym S¡czu
prof. dra hab. in». Zbigniewa ‘lipka
Autorzy ponosz¡ odpowiedzialno±¢ za poprawno±¢ j¦zykow¡ tekstu
c
Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu
Nowy S¡cz 2013
ISBN 978-83-63196-46-2
Adres Redakcji
33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1
tel. 18 443 45 45, e-mail:
[email protected]
Wydawca
Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S¡czu
33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1
tel. 18 443 45 45, e-mail:
[email protected]
Druk
EXPOL P. Rybi«ski, J. D¡bek Spóªka Jawna
87-800 Wªocªawek, ul. Brzeska 4
tel. 54 232 37 23, 232 48 73, e-mail:
[email protected]
Spis tre±ci
Wst¦p
Kv¥toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle
Albrechta Dürera
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek, Vyuºití algebraic-
5
7
kých hyperstruktur p°i ur£ování d¥di£nosti krevních skupin
31
Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej
41
Ivana Macha£íková, Josef Molnár, ’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
71
Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie
93
Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja
Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja war-
105
sztatów
131
Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej
145
Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným
námetom
Jana P°íhonská, Metody teorie graf· p°i °e²ení problém· s bludi-
155
²ti
167
Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii £as
177
Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom
umení
Radka ’t¥pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk·
z genetiky a stochastiky na základní ²kole
Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz¡t-
187
203
ku XX wieku
209
Rastislav Telgársky, Mathematics without innity
223
Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd¨ºnikov
253
Vladimír Van¥k, Matematika a po£así
261
Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um¥ní inspirace elementární matematiky
273
Dzi¦kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost¦pnienie
nam materiaªów ikonogracznych zwi¡zanych z krakowskimi szopkami.
Cz¦±¢ z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.
Wst¦p
Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s¡ obawy matematyków przed wulgaryzacj¡ matematyki, ilekro¢ prezentuje si¦ j¡ w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne.
Tymczasem
j¦zyk matematyki, jej poj¦cia i twierdzenia wykorzystuje si¦ w innych
przedmiotach nauczania (idea wspóªrz¦dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto
matematyka rozwijaªa si¦ i nadal rozwija tak»e dzi¦ki temu, »e jej poj¦cia i jej metody s¡ narz¦dziami opisu realnych obiektów i towarzysz¡cych
im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu
stosowania matematyki), a przede wszystkim narz¦dziami rozwi¡zywania pozamatematycznych problemów.
Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S¡czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci¡ mi¦dzynarodow¡ konferencj¦
Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra¡, w której znalazªy si¦ wybrane
wyst¡pienia na tej konferencji.
W dydaktyce matematyki wyró»nia si¦ zasad¦ integracji zewn¦trznej, w której chodzi o ekspansj¦ matematycznych poj¦¢ i twierdze« na inne przedmioty
nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki.
O integracji zewn¦trznej mo»na mówi¢, gdy tworzymy matematyczny model
procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si¦
na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest
genotyp potomka).
Cz¦±ci¡ wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany
miast, ogrody, czy place) s¡ takie matematyczne obiekty, jak wielok¡ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce
s¡ liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si¦ geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w
wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz¡t, skorupy
±limaków, proporcje czªowieka).
Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si¦ w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr¦»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst¦puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni
i gaª¦zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie
tych spiral pojawiaj¡ si¦ izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii
mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.
Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej,
pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si¦ w malarstwie,
rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj¦ciu
symetrii nadaje si¦ dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi¢
w muzyce. W stochastyce pojawiaj¡ si¦ osobliwe wnioskowania przez symetri¦
(i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako
szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa« jedno±ci przyrody.
Matematyka pojawia si¦ w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj¡c do aktywno±ci
matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach
i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn¡cych z ludowych haftów (Bobowa na S¡decczy¹nie, Koniaków na ‘l¡sku Cieszy«skim), czy
wycinanek (Kurpie, Šowicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si¦
poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si¦ o± symetrii
lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu.
W monograi pojawiª si¦ postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª¡cza¢ do powszechnego ksztaªcenia
matematycznego, ucz¡c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla
tradycji naszych maªych ojczyzn, w których »yjemy). S¡ to wi¦c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki.
W monograi zebrano prace komentuj¡ce matematyk¦ w przyrodzie i sztuce
oraz prace dotycz¡ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk¦ i sztuk¦. W tym
sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel
matematyki). Zebrane w niej prace mog¡ (i maj¡) u±wiadomi¢ nauczycielowi,
a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc¡,
»e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy
tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu
matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk¦.
Prezentowane w tej monograi prace maj¡ charakter interdyscyplinarny
i potwierdzaj¡ tez¦ Hugona Steinhausa, »e matematyka peªni rol¦ po±rednika
mi¦dzy materi¡ a duchem.
Adam Pªocki
Nowy S¡cz, w grudniu 2013 r.
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S¡cz 2013
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
1
Ivana Macha£íková , Josef Molnár
2
Gymnázium Zlín Lesní £tvr´
Lesní £tvr´ 1364
761 37, Zlín, ƒeská republika
e-mail: [email protected]
2
Katedra algebry a geometrie
P°írodov¥decká fakulta
Univerzita Palackého v Olomouci
17. listopadu 12
771 46, Olomouc, ƒeská republika
e-mail: [email protected]
1
Abstract
The article deals with the denition of the concept of Helix and the occurrence
of helixes in architecture, biology and chemistry.
Abstrakt
ƒlánek se zabývá denicí pojmu Helix a výskyt ²roubovic v architektu°e, biologie a chemie.
1.
’roubovice jako trajektorie bodu
V kurikulárních materiálech matematiky základních a st°edních ²kol se
obvykle pojem ²roubovice neobjevuje. Nalezneme ale tuto k°ivku v r·zných aplikacích v p°írod¥ a um¥ní? D°íve neº odpovíme na tuto otázku,
uvedeme si n¥kolik d·leºitých pojm·.
’roubový pohyb vzniká sloºením rovnom¥rného otá£ivého pohybu kolem pevné p°ímky o (osy ²roubového pohybu ) a rovnom¥rného posuvného
pohybu v jejím sm¥ru.
72
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
’roubovice je trajektorie bodu p°i ²roubovém pohybu. Je to k°ivka,
kterou opí²e bod p°i rovnom¥rném pohybu po kruºnici k a sou£asném
rovnom¥rném posuvu kruºnice k ve sm¥ru osy ²roubového pohybu, která
prochází st°edem kruºnice k kolmo k rovin¥ této kruºnice k .
Obr. 1
Osa ²roubového pohybu se nazývá osa ²roubovice.
Obr. 2
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
73
Pozn. 1: ’roubovice leºí na válcové plo²e. Za speciální p°ípady ²roubovice lze povaºovat p°ímku o, pop°ípad¥ téº kruºnici k .
Obr. 3
Pozn. 2: P°ímka, kruºnice a ²roubovice jsou jediné tzv. po sob¥ posunovatelné k°ivky. V praxi se s tímto jevem m·ºeme setkat nap°íklad
p°i zasouvání p°ímého me£e nebo kruhové ²avle do p°ímé £i kruhové
pochvy. Dv¥ po sob¥ posunutelné ²roubovice nenalezneme v podobné
situaci, nýbrº v mírumilovném ²roubu a matici.
Obr. 4
74
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
Závit ²roubovice je stopou bodu ²roubovice p°i oto£ení o plný úhel.
Velikost odpovídajícího posunutí se nazývá vý²ka závitu.
Obr. 5
’roubovice je jednozna£n¥ ur£ena polom¥rem kruºnice k , vý²kou závitu v a to£ivostí (obr. 1). Na obr. 2a) je ²roubovice pravoto£ivá, na
obr. 2b) levoto£ivá.
Obr. 6
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
2.
75
’roubovice v £innosti £lov¥ka a v p°irod¥
Te£ny ²roubovice svírají s její osou konstantní úhel, tj. ²roubovice je
k°ivka konstantního spádu.
Obr. 7
Pr·m¥tem ²roubovice do roviny m·ºe být nap°. kruºnice, sinusoida,
cykloida (prodlouºená, prostá £i zkrácená), spirála, p°ípadn¥ jiná k°ivka,
viz obr. 3 a 4.
Obr. 8
76
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
’roubovice jsou sou£ástí architektury a stavitelství (viz obr. 5, 6, 7),
fauny (obr. 8) a ory (obr. 9), techniky (obr. 10) i nap°. drhání (macramé, obr. 11). Výskytem ²roubovice v chemických slou£eninách se budeme podrobn¥ji zabývat v následující kapitole.
Obr. 9
3.
’roubovice v chemii
V molekulách bílkovin se vyskytují ur£ité pravideln¥ uspo°ádané úseky
(tzv. sekundární struktura bílkovin ). Pravidelné sekundární struktury lze
popsat jako ²roubovice (helixy), li²ící se pr·m¥rem závitu, jeho stoupáním a smyslem otá£ení (mohou být pravo- nebo levoto£ivé). Z daných geometrických parametr· peptidové vazby a aminokyselinových
zbytk· m·ºeme vytvo°it jen omezený po£et ²roubovicových konformací.
V²em sterickým i energetickým poºadavk·m nejlépe vyhovuje tzv.
α-²roubovice (α-helix ). Jeden její závit je tvo°en 3,6 aminokyselinovými
zbytky. V²echny skupiny CO a NH peptidových vazeb jsou v této ²roubovici orientovány zhruba rovnob¥ºn¥ s její dlouhou osou a kaºdá skupina
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
77
NH je vázána vodíkovou vazbou ke skupin¥ CO o t°i zbytky vzdálen¥j²í
(obr. 12).
Obr. 10
Sloºení bílkovin s p°evahou aminokyselin s malým nebo ºádným postranním °et¥zcem umoº¬ují vznik ²roubovice, jejíº skupiny NH a CO
jsou orientovány kolmo na její osu. Polypeptidový °et¥zec uspo°ádaný
do takové ²roubovice je v ní dále formován v druhou superponovanou
²roubovici s podstatn¥ vy²²ím stoupáním závitu (superhelix). T°i polypeptidové °et¥zce tak vytvá°ejí jediný velmi kompaktní vláknitý útvar.
Tato struktura je typická pro nejroz²í°en¥j²í ºivo£i²nou bílkovinu kolagen. Základní strukturní jednotkou kolagen· je tropokolagen, který se
skládá ze t°í vláken, z nichº kaºdé obsahuje asi 1 000 aminokyselinových
zbytk· . Tropokolagen je trojvláknový pravoto£ivý helikální prut asi 300
nm dlouhý o pr·m¥ru 1,5 nm (obr. 13). Kaºdý ze t°í °et¥zc· tvo°í levoto£ivá ²roubovice s NH a CO skupinami sm¥rovanými zhruba kolmo
na její osu. Kaºdé ze t°í vláken tropokolagenového superhelixu vytvá°í
78
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
vodíkové vazby mezi NH skupinami zbytk· glycinu a skupinami CO v
jiném vláknu.
Obr. 11
Dal²ím p°íkladem ²roubovice v chemii je prostorové uspo°ádání DNA
(sekundární struktura DNA). V roce 1953 vytvo°ili J. Watson a F. Crick
dnes obecn¥ p°ijímaný model molekuly DNA. Skládá se ze dvou °et¥zc·
svinutých do pravoto£ivých ²roubovic kolem pomyslné spole£né osy za
vzniku dvoj²roubovice (dihelixu, obr. 14). et¥zce v ní mají opa£ný sm¥r
(polaritu) a dopl¬kovou (komplementární) strukturu. Oba °et¥zce jsou
p°i tom uspo°ádány tak, ºe jejich páte°e, sestávající z pentosových kruh·
a fosfátových zbytk·, jsou vn¥ a báze mí°í dovnit° dihelixu, jejich roviny
jsou navzájem rovnob¥ºné a kolmé na osu dvoj²roubovice. Mezi dvojicemi komplementárních bází se p°i tom vytvá°ejí vodíkové vazby.
Molekula DNA m·ºe existovat ve více formách (obr. 15):
• B-DNA (popsaná Watsonem a Crickem) pravoto£ivá, na jeden
závit p°ipadá 10 nukleotidových zbytk·,
• A-DNA pravoto£ivá, na jeden závit p°ipadá 11 nukleotidových
zbytk·, dihelix má jiný pr·m¥r, páry bází jsou posunuty od osy
dihelixu a jsou k ní jinak naklon¥ny,
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
79
• Z-DNA levoto£ivá helikální forma s 12 nukleotidovými zbytky
p°ipadajícími na jeden závit, páte° °et¥zce má nepravideln¥j²í
tvar neº u forem A a B.
Obr. 12.
α-helix
Se ²roubovicí se setkáváme i u sekundární struktury polysacharid·
(obr. 16). ’roubovice (helix) je obvykle levoto£ivá, na její stabilizaci
se podílejí vodíkové vazby, hydrofobní interakce i interakce s okolními
látkami. S touto konformací se setkáváme u amylosy a n¥kterých polysacharid· pojivových tkání. Po£et glukosových jednotek na jeden závit
m·ºe být 6 aº 8.
Obr. 13.
Tropokolagen
80
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
Jiný p°íklad ²roubovice v chemii (p°ípadn¥ krystalograi) je ²roubová
osa jako prvek prostorové symetrie (obr. 17, 18, 19, 20, 21). Operace
prostorové symetrie charakterizují soum¥rnost struktury krystalu.
Obr. 14.
Model DNA
Nejprve uvádíme n¥kolik základních pojm· z krystalograe.
Krystal je homogenní anizotropní diskontinuum (denice mineralogická).
A-DNA (pravoto£ivá), B-DNA (pravoto£ivá),
Z-DNA (levoto£ivá)
Obr.
15.
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
81
Krystal je hmotný systém, ve kterém kaºdému m°íºovému bodu náleºí
stejná a stejn¥ orientovaná báze (denice krystalogracká). Tyto denice
platí pro klasické krystaly, neplatí pro tzv. kvazikrystaly (nap°. tekuté
krystaly). Kaºdý krystal musí mít pravidelnou vnit°ní strukturu.
Obr. 16.
Amylosa
M°íº (m°íºka) je mnoºina bod· mající stejné okolí. Kaºdou m°íº charakterizují m°íºkové parametry: délky jednotlivých úse£ek a , b , c , úhly
α, β , γ . M°íº je na rozdíl od struktury ktivní.
Obr. 17.
’roubová osa 31
82
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
Struktura je m°íºka spolu s hmotnou bází, skládá se z £ástic (atom·,
iont·).
Obr. 18.
’roubová osa 32
Bu¬ka je elementární rovnob¥ºnost¥n s vrcholy v uzlech m°íºe. Je základní stavební jednotkou kaºdé m°íºe.
Obr. 19.
’roubová osa 41
Zásady výb¥ru základní bu¬ky:
• základní bu¬ka musí mít stejnou soum¥rnost jako celá struktura,
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
83
• po£et stejných hran a úhl· mezi hranami musí být maximální,
• po£et pravých úhl· musí být maximální,
• objem základní bu¬ky musí být minimální.
Obr. 20.
’roubová osa 42
Základní bu¬ky m·ºeme rozd¥lit podle toho, kolik uzl· p°ipadá na
jejich objem:
• P (R) - primitivní (prostá),
• A, B, C - jednodu²e (bazáln¥) centrovaná,
• F - plo²n¥ centrovaná,
• I - prostorov¥ centrovaná.
Obr. 21.
’roubová osa 43
84
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
Primitivní bu¬ka obsahuje uzly pouze ve svých osmi vrcholech na
objem primitivní bu¬ky p°ipadá jeden uzel. T¥lesn¥ (prostorov¥) centrovaná bu¬ka obsahuje krom¥ osmi uzl· ve vrcholech je²t¥ jeden uzel
v pr·se£íku t¥lesových úhlop°í£ek na objem t¥lesn¥ centrované bu¬ky
p°ipadají dva uzly. Bo£n¥ (bazáln¥) centrovaná bu¬ka je krom¥ osmi uzl·
ve vrcholech tvo°ena dal²í dvojicí uzl·, které leºí ve st°edu dvou protilehlých st¥n na objem bazáln¥ centrované bu¬ky p°ipadají op¥t dva
uzly. Plo²n¥ centrovaná bu¬ka je tvo°ena osmi uzly ve vrcholech a ²esti
uzly ve st°edech v²ech ²esti st¥n na objem plo²n¥ centrované bu¬ky
p°ipadají £ty°i uzly.
Existuje 14 typ· strukturních m°íºek, jimº odpovídá 14 základních
bun¥k, které ozna£ujeme jako Bravaisovy bu¬ky (obr. 22).
Bravaisovy bu¬ky (1 - trojklonná, 2 - jednoklonná,
3 - koso£tvere£ná, 4 - klencová, 5 - ²estere£ná, 6 - £tvere£ná,
7 - krychlová soustava)
Obr. 22.
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
85
Operace symetrie je taková transformace útvaru, aby nový stav (obraz)
byl nerozli²itelný od p·vodního (vzoru).
Prvek symetrie je geometrický prvek (bod, p°ímka, rovina), v·£i n¥muº provádíme p°íslu²nou operaci symetrie. Prvek symetrie je invariantní vzhledem k této operaci symetrie.
Mnoºina v²ech operací symetrie dané molekuly spolu s operací skládání tvo°í grupu. Tuto grupu nazýváme grupa symetrie. Pokud provádíme operace symetrie s izolovanou molekulou, vºdy z·stává n¥jaký bod
beze zm¥ny (nepohyblivý), operace symetrie dané molekuly tvo°í bodovou grupu symetrie. U bodové grupy symetrie z·stává alespo¬ jeden bod
nezm¥n¥n, neuvaºuje se translace. Je vhodná pro popis geometrických
t¥les, molekul.
Prostorová grupa symetrie neponechává ºádný bod v identické poloze,
uvaºuje se translace (posunutí). Je vhodná k popisu krystalových struktur.
operace
prvek
identita
(ponechání
beze zm¥ny)
inverze
identita
rotace o
zrcadlení
(reexe)
rotace +
zrcadlení
rotace +
inverze
360◦
n
symbol
symbol
(Schoenies) (Hermann-Maugin)
E
1
st°ed symetrie
i
1
n -£etná
rota£ní osa
rovina symetrie
rota£n¥reexní osa
rota£n¥inverzní
osa
Cn
n
σ
m
Sn
ñ
Cni
n
Tab. 1.
P°ehled operací a prvk· bodové symetrie
86
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
Prostorová symetrie obsahuje navíc translaci, takºe máme dva dal²í
prvky symetrie, a to ²roubovou osu a skluznou rovinu.
’roubové osy symetrie jsou sloºené prvky symetrie. P°íslu²né operace
symetrie se skládají z:
◦
rotace o úhel α = 360
,
n
translace podél denovaného vektoru ve sm¥ru této osy.
Osa musí být rovnob¥ºná s libovolnou m°íºkovou translací struktury.
Sm¥r rotace ²roubové osy je velmi d·leºitý, vychází se z pravoto£ivého
systému os, takºe pravoto£ivá ²roubová osa ve sm¥ru z má transla£ní
vektor ve stejném sm¥ru vzh·ru (tj. ve sm¥ru palce pravé ruky, kdy
prsty nazna£ují rota£ní pohyb od osy x k y ).
operace
prvek
symbol
rotace + translace
²roubová osa
nk
zrcadlení + translace skluzná rovina a, b, c, n, d
Tab. 2.
Operace a prvky prostorové symetrie
◦
Máme-li n-£etnou rota£ní osu symetrie, pak n oto£ení o úhel α = 360
n
doprovázených n translacemi τ podél ²roubové osy musí vést k transla£nímu pohybu výchozího objektu (atom, molekula) o celo£íselný násobek
(m) m°íºové translace t:
nτ = mt nebo τ =
m
t, kde m, n jsou celá £ísla.
n
Obecn¥ lze vyjád°it symbol ²roubové osy jako nm .
Transla£ní sloºky ²roubových os symetrie závisí na £etnosti osy a mohou nabývat jen ur£itých hodnot (hodnota v závorce ozna£uje transla£ní
sloºku).
P°ehled ²roubových os (obr. 23):
•
•
•
•
dvoj£etná osa 20 , 21 ( 21 ), 22 ,
troj£etná osa 30 , 31 ( 13 ), 32 ( 23 ), 33 ,
£ty°£etná osa 40 , 41 ( 14 ), 42 ( 42 ), 43 ( 34 ), 44 ,
²esti£etná osa 60 , 61 ( 61 ), 62 ( 26 ), 63 ( 63 ), 64 ( 46 ), 65 ( 65 ), 66 .
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
87
Dolní index zna£í hodnotu m z vý²e uvedeného vztahu. Je-li m = 0,
jde o £istou rotaci, v p°ípad¥, ºe je m = n, jde o £istou translaci.
Obr. 23.
’roubové osy
Skluzné roviny symetrie (roviny posunutého zrcadlení) jsou prvky symetrie, kdy p°íslu²nými operacemi je zrcadlení kombinované s translací
podél roviny zrcadlení. Podle sm¥ru a velikosti translace rozli²ujeme
skluzné roviny osní, diagonální a diamantové. Osní skluzné roviny (zna£íme a, b, c podle os) zrcadlení je provázeno posunutím o 12 a (p°íp.
1
b, 21 c). Úhlop°í£né skluzné roviny (zna£ení n ) zrcadlení je provázeno
2
posunutím o polovinu st¥nové úhlop°í£ky plo²n¥ centrované bu¬ky, tedy
o a+2 b (p°íp. b+2 c , a+2 c ). Diamantové skluzné roviny (zna£ení d) zrcadlení
88
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
je provázeno posunutím o £tvrtinu st¥nové úhlop°í£ky plo²n¥ centrované
c ).
bu¬ky, tedy o a ±4 b (p°íp. b ±4 c , a ±
4
Obr. 24.
Krystalogracké soustavy tvary krystal·
Operace bodové symetrie a jejich moºné kombinace tvo°í celkem 32
bodových grup. Bodovými grupami lze charakterizovat symetrii vn¥j²ího
tvaru krystalu existuje 32 krystalograckých odd¥lení, která se rozd¥lují do sedmi krystalograckých soustav (obr. 24).
Obr. 25.
Struktura krystalu uorit CaF2
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
89
V roce 1890 E. S. Fedorov odvodil v²echny moºné kombinace prvk·
symetrie v prostoru. E. S. Fedorov, A. Schoenies, W. Barlow dokázali, ºe prostorových grup symetrie je 230. Jedná se o kombinaci v²ech
moºných transformací krystalové struktury, takºe prostorová grupa charakterizuje soum¥rnost struktury krystalu (obr. 25 a 26). Celkový po£et
prostorových grup zahrnuje v²echny kombinace transla£ních i beztransla£ních operací symetrie, které jsou p°ípustné ve 14 Bravaisových bu¬kách. Existuje tedy 230 moºností, jak se m·ºe libovolný motiv opakovat
v prostoru.
Obr. 26.
4.
Struktura krystalu k°emen SiO2
Obecná ²roubovice
’roubovice leºí na rota£ní válcové plo²e, tedy vzdálenost vytvá°ejícího bodu ²roubovice od osy p°íslu²ného rota£ního pohybu je konstantní. O obecné ²roubovici mluvíme v p°ípad¥, ºe se vzdálenost tvo-
90
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
°ícího bodu od osy p°íslu²ného rota£ního pohybu m·ºe spojit¥ m¥nit,
typickým p°íkladem je obecná ²roubovice leºící na rota£ní kuºelové plo²e
(viz obr. 27). Zajímavá ukázka obecné ²roubovice je na obrázku 28.
Obr. 27
5.
Záv¥r
Ukázali jsme si jen malý zlomek situací, kde se m·ºeme se ²roubovicí
setkat. Ale i to dle na²eho názoru sta£í k tomu, aby se o ²roubovicích
’roubovice v p°írod¥ a um¥ní
91
a jejich uºití dov¥d¥li ºáci (zejména technických) st°edních ²kol, by´ jen
ve volitelné £i nepovinné matematice nebo v deskriptivní geometrii.
Obr. 28
Reference
[1] B°ezina F. a kol., Stereochemie a n¥které fyzikáln¥ chemické metody studia
anorganických látek. Vydavatelství UP, Olomouc 1994.
[2] Graf U., Kabaret matematiky. Orbis, Praha 1943.
92
Ivana Macha£íková, Josef Molnár
[3] Macha£íková I., Molnár J., Grupy symetrie molekul. In: Matematyka w
przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztalceniu powszechnym. Wydawnictwo PWSZ, Nowy Scz 2012, s. 37-48, ISBN 978-8363196-30-1.
[4] Urban A., Deskriptivní geometrie II. SNTL, Praha 1967.
[5] Vodráºka Z., Biochemie 1. Academia, Praha 1992, ISBN 80-200-0439-4.
[6] Vodráºka Z., Biochemie 2. Academia, Praha 1992, ISBN 80-200-0441-6.
[7] Zimák J., Mineralogie a petrograe. Vydavatelství UP, Olomouc 1993.
[8] http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid_es-002_v1/hesla/
bilko-viny_-_periodicke_motivy.html
[9] http://kolagen.annapikura.com/
[10] http://www.e-chembook.eu/cz/biochemie/nukleove-kyseliny
[11] http://www.didier-pol.net/2amidon.htm
[12] http://cheminfo.chemi.muni.cz/ianua/olga/olga.pdf
[13] http://mineralogie.sci.muni.cz/kap_1_3_symetrie/kap_1_3_
symet-rie.htm
[14] http://www.xray.cz/kryst/str05a.htm
[15] http://web.natur.cuni.cz/ugmnz/mineral/tvary.html
[16] http://www.chemi.muni.cz/~lobl/Projekt/Projekt.html
Zpracováno v rámci °e²ení projektu CZ 1.07/1.1.0/26.0047 "Matematika pro v²echny".