Vliv vrubu na napjatost

2. Vliv vrubu na napjatost v tělese
-
lomový proces je spojen s lokálním výskytem vysokých koncentrací napětí a
deformace
studium zákonitostí vzniku a šíření trhlin do určité míry vycházelo z poznatků
získaných při napjatosti v okolí vrubů
Vruby (defekty) dělíme:
1) konstrukční – dané tvarovými (geometrickými) změnami těles
2) technologické – heterogenita použitého materiálu, stopy po opracování.
-
v 30. létech minulého století zjistil Neuber, že účinkem vrubů dochází v jejich okolí k
lokální změně silového toku
v okolí vrubu dochází ke vzniku trojosé napjatosti (a to i v případě, že makroskopické
namáhání tělesa je pouze jednoosé) a ke koncentraci napětí
Velikost koncentrace napětí charakterizuje tzv. součinitel koncentrace napětí
(tvarový součinitel) α (Kt) – máme dva typy těchto koeficientů:
1) α ς =
σ max
, kde
σ
σmax… maximální napětí na okraji (v kořeni) vrubu
σ… střední napětí v tělese vztažené k průřezu neoslabeném vrubem („brutto“
průřez)
2) α n =
σ max
, kde
σ nom
σmax… maximální napětí na okraji (v kořeni) vrubu
σnom… nominální napětí, tj. střední napětí v tělese vztažené k „netto“ průřezu,
tj. ke skutečnému průřezu v místě vrubu
Hodnoty obou součinitelů koncentrace napětí se mohou výrazně lišit. Velikost
součinitele napětí ovlivňují tyto faktory:
1) tvar a rozměry vrubu (zejména poloměr zakřivení dna vrubu ρ a hloubka vrubu a)
Obr. 2.1: Vliv rozměrů vrubu na velikost součinitele napětí
ρ
σ
σmax
σnom
a
a
b
2) tvar a rozměry tělesa
3) způsob zatížení.
Vyšetřováním pole napětí v okolí vrubu se zabýval H. Neuber (1938). Definoval tzv.
zákon poklesu plynoucí z podmínky rovnováhy sil
Zákon poklesu
Čím větší je špička napětí σmax na okraji vrubu (kořeni), tím rychleji dochází
k poklesu napětí s rostoucí vzdáleností od vrcholu vrubu, tj. tím menší má tato špička
prostorový rozsah.
Pokles napětí bývá charakterizován bezrozměrným gradientem napětí Cα:
ρ
 dσ 
Cα = −
.
 ⋅
 dx  x =0 σ max
S rostoucím α klesá Cα.
Pro případ symetrického uspořádání tažené stěny platí:

b b
21 + 
σ
 ρ ρ
.
α = max =
σ nom  b 
b b
1 + arctg   +  
 ρ
ρ ρ
Obr. 2.2: K vysvětlení předchozího vzorce
y
σmax
ρ
 dσ 
sklon = 

 dx  x =0
σ
0
x
sklon
V neohraničené stěně, která je ve svislém směru tažena napětím σnom a která je
oslabena centrální eliptickým otvorem je:
σ
a
,
α = max = 1 + 2
σ nom
ρ
z čehož pro kruh (a=ρ=r) plyne α=3.
Jestliže stěnu oslabíme podél svislého okraje několika vruby nad sebou, dojde
k odklonu silového toku (oblast mezi vruby bude odlehčena), a tudíž i ke snížení koncentrace
napětí.
πa
a c
a
γ ∈ 0,1
α=
tgh
=γ
ρ
ρ πa
c
Obr. 2.3: K vysvětlení předchozích vztahů
σnom
y
ρ
b
b
a
x
a
σnom
Všechny úvahy však platí pro mělké vruby se zaobleným vrcholem. Nelze aplikovat
na hluboké vruby s velmi malým poloměrem zakřivení ρ, tedy ani na ostré trhliny.
Omezení závěrů vyplývá z předpokladů:
- základní předpoklad je čistě elastický stav napjatosti, tj. předpoklad, že ani lokální
napětí nepřekročí mez pružnosti daného konstrukčního materiálu
- v případě ostrých vrubů by součinitel koncentrace napětí dle Neubera byl tak vysoký,
že je nereálný
Ostré vruby byly řešeny:
- teorií založenou na vyjádření Airyho funkce napětí pomocí funkce komplexní
proměnné – Muschelišvili, Westergaard (1939), Irwin (1948)
- využitím konformních zobrazení
- od 70. let se tyto úlohy řeší výhradně numerickými prostředky (MKP, metoda
hraničních prvků)
3. Faktor intenzity napětí
Je definován pro tři základní způsoby namáhání, resp. porušení. Výsledné řešení
obecného případu elastické napjatosti v okolí čela trhliny v tělese je dáno superpozicí dílčích
řešení – základní namáhání.
Tyto tři módy (označení I, II, III) se liší orientací vnějšího zatížení působícího na
těleso, vzhledem k rovině lomu a k čelu šířící se trhliny.
Tahový mód I (opening mode, tensile mode)
- charakterizován vnější silou působící kolmo na rovinu lomu
- růst trhliny je řízen tahovou složkou σy.
Obr. 3.1: Tahový mód
Rovinný smykový mód II (sliding mode, edge sliding)
- charakterizován vnějšími silami působícími ve směru šíření trhliny
- růst trhliny je řízen smykovou složkou napětí τyx
Obr. 3.2: Rovinný smykový mód
Antirovinný smykový mód III (tearing mode, out-of-plane, antiplane share)
- je charakterizován orientací vnějších sil ve směru rovnoběžném s čelem trhliny
- růst trhliny je řízen smykovou složkou napětí τyz
Obr. 3.3 Antirovinný smykový mód
-
z hlediska běžné technické praxe je nejdůležitější tahový mód I
KI, KII, KIII jsou faktory intenzity napětí, které použil Westergaard pro popsání pole
napětí v homogenním neohraničeném tělese s ostrou trhlinou
Např.:
Obr. 3.4:
y[v]
[x,y]
r
υ
z[w]
x[u]
2a
σx =
 
3ϑ 
3ϑ  ϑ 
ϑ
ϑ
ϑ

 K I 1 − sin 2 sin 2  cos 2 − K II  2 + cos 2 cos 2  sin 2 
2πr  




1
Obdobně lze vyjádřit pole posunutí.
Např.: W =
2 K III
G
r
ϑ
sin .
2π
2
Faktor intenzity napětí je závislý na okrajových podmínkách a v asymptotické
definici je:
σ y 
 KI 


 
pro ϑ = 0
 K II  = πa τ yx 
K 
τ 
 III 
 yz 
nom
4. Kritéria lineární lomové mechaniky (LLM)
Opírá se o matematický aparát pružného kontinua a hledá kvantitativní parametry,
které jsou rozhodujícími veličinami pro stanovení stability či lability trhliny.
Pro zajištění stability trhliny musí být vypočtená hodnota kvantitativního parametru
X menší než experimentálně zjištěná kritická hodnota XC.
X≤XC – formální vyjádření lomu
Lomová mechanika se v tomto případě nezabývá otázkami mechanismů šíření trhlin,
sleduje pouze reakci systému na účinky vnějšího zatížení (fenomenologická povaha).
4.1 Koncepce faktoru intenzity napětí
Podle K-koncepce se trhlina stane labilní, jakmile jistá funkce K=f(KI, KII, KIII)
nabude své kritické hodnoty KC, která je jako pevnost celistvosti také materiálovou
charakteristikou.
Pro jednoduchost se omezíme na případy, kdy rozhoduje jen jeden typ namáhání.
Při řešení musíme však rozlišit symetrický případ (chyba do 0,5% při libovolném
poměru a/b) od nesymetrického případu (chyba do 0,2% pro poměr a/b≤0,b).
Obr. 4.1: K výkladu
σnom
F
a
a
b
a
2b
F/2
F/2
Přehledný vzorec:
K = σ nom πa ⋅ f (a, b )
Mpa ⋅ m1 / 2
f (a, b ) … součinitel tvaru tělesa s trhlinou
[
]
Kritické namáhání bude tedy:
K
σ C = konst C ,
πa
kde konst. je konstanta úměrnosti závislá na tvaru tělesa.
V čele trhliny se vytváří plastická zóna. Mají-li platit předpoklady lineární LM, musí
být tato zóna malá. Experimentálně bylo prokázáno, že kritická hodnota KC s tloušťkou d
klesá.
Čelo trhliny se nachází ve stavu rovinné deformace (příčné napětí σz u tlusté stěny
snižuje možnost tělesa se plasticky deformovat).
Naopak při površích stěny je stav blízký rovinné napjatosti s větší plastickou zónou.
Případ rovinné deformace je tedy více nebezpečný a proto se kritická hodnota KC určuje za
podmínek rovinné deformace.
Proto technická praxe nazvala tuto hodnotu lomovou houževnatostí materiálu
(fracture toughness).
Závisí na:
a) materiálu tělesa
b) rozměrech tělesa – na kolik je rozhodující RD nebo RN
c) teplotě
d) rychlosti deformace
e) agresivitě prostředí
Lze však tvrdit, že čím je nižší mez kluzu Rp0,2, tím vyšší je jeho lomová
houževnatost.
S klesající teplotou lomová houževnatost (tedy i odolnost vůči křehkému lomu)
klesá.
Se zvětšující se rychlostí zatěžování se zvětšuje i rychlost růstu faktoru intenzity
napětí. Mnohdy se při praktické aplikaci doporučuje připočítat polovinu plastické zóny aef.
Obr. 4.2: K výkladu
rp
plastická zóna
δ
rp/2
a
aef
Vycházíme z předpokladu, že plastická zóna má tvar malého klínu na čele trhliny
s homogenní napjatostí σy=Ry, pak dále platí dle Muschelišviliho pro šířku rozevření
(parametr lomu) δ:
πσ 2 a K I2
=
.
δ=
ER y
ER y
Předpokládá se, že trhlina ztrácí stabilitu, je-li dosaženo kritické hodnoty rozevření
trhliny δC. Z toho plyne lomové kritérium COD (crack opening displacement):
δ ≤ δC .
Pozn.: δC lze v praxi změřit jen obtížně.
PŘÍKLADY:
Příklad č.:1
Vypočtěte složku napětí v kořeni eliptického vrubu dle obrázku, bude-li poměr
a/ρ=10. Dále stanovte teoretické napětí σy v řezu trhlinou ve vzdálenosti a/1000, a/100 od
kořene trhliny. Porovnejte vzájemně koncentraci napětí.
Obr. P.1: K zadání příkladu
y
σy
σnom
ρ
2b
x
2a
Použijeme vzorec pro koncentraci napětí:
α=

σ max
a
a

= 1+ 2
⇒ σ y = σ nom 1 + 2

σ nom
ρ
ρ


(
)
σ y = σ nom 1 + 2 10 = 7,32σ nom
Vyjdeme z přehledného vzorce K = σ nom πa pro neohraničenou stěnu a z asymptotického
vyjádření:
σ y 
σ y 
 KI 
 
 


ϑ=0
2πr τ yx  = πa τ yx 
 K II  = lim
r →0
K 
τ 
τ 
 III 
 yz 
 yz 
Teoretické napětí σy v řezu trhlinou určíme podle vzorce:
σ
πa
KI
= nom
σy =
2πr
2πr
Obr. P.2: Teoretické napětí v řezu trhlinou v bodě [x,y]
y
[x,y]
r
υ
x
trhlina
2a
πa
1) r = a/1000 … σ y = σ nom
= σ nom
1000
= σ nom 22,36
2
a
1000
πa
100
2) r = a/100 … σ y = σ nom
= σ nom
= σ nom 7,07 .
2
a
2π
100
S větší vzdáleností od kořene trhliny napětí klesá.
2π
Příklad č.:2
Těleso vyrobené z austenitické oceli s Rp0,2 =340MPa, KIC =195MPa.m1/2 je zatíženo
tahovým napětím σ =220MPa. Ověřte, zda trhlina délky a =240mm v tomto tělese bude
stabilní. Při výpočtu zanedbejte vliv konečných rozměrů tělesa.
Faktor intenzity napětí – mode I (tah) ⇒KI
K I = σ πa = 220 π ⋅ 0,24 = 191MPa ⋅ m1 / 2 〈 K IC .
Při zanedbání plastické zóny se KI blíží KIC. Provedeme-li korekci délky trhliny na velikost
plastické zóny v rovinném stavu deformace (RD) pomocí:
rp
a ef = a + .
2
1
Dle plastizace v kořeni trhliny: rp =
3π
2




2
 191 

 = 0,24 + 0,017 = 0,257
 340 
= 220 π ⋅ 0,257 = 197,681MPa ⋅ m1 / 2 〉 K IC .
1
aef = 0,24 +
6π
K I kor
 KI

R
 p 0,2
Za daných podmínek nebude trhlina stabilní.