MATEMATICK A ANAL YZA III

 ANALYZA
MATEMATICKA
III
PROSTORY
METRICKE
1
1.1 Uvod
Motivace Mame neprazdnou mnozinu P , mezi jejmiz objekty chceme
merit vzdalenost
DEFINICE
Necht' plat
1.
Necht' P je neprazdna mnozina, a : P P ! [0; 1)
8x; y 2 P : (x; y) = 0 , x = y
2.
symetrie
3.
trojuhelnkova nerovnost
8x; y 2 P : (x; y) = (y; x)
8x; y; z 2 P : (x; y) x; z) + (z; y)
Potom nazyvame metrika na P a dvojici (P; ) nazyvame metricky prostor.
prklady
1.
P
2.
= <; = eukl: := jy xj
podprostor se zdedenou metrikou
P
3.
<; = eukl:
P
(a)
P
= <n
= <n ; = eukl: : (x; y) =
Axiomy 1. i 2. jsou splneny, ale 3.?
Chceme dokazat :
8x; y; z 2 P :
v
u n
uX
t
j =1
(xj yj )2 1
v
u n
uX
t
j =1
v
u n
uX
t
n=j
(yj xj )2
(xj zj )2 +
v
u n
uX
t
j =1
(zj yj )2
Oznacme aj = xj zj a bj = zj yj
v
u n
uX
t
v
u n
v
u n
uX
uX
(aj + bj )2 t a2j + t b2j
j =1
j =1
j =1
v
u n
uX
t
j =1
(aj + bj )2 =
v
u
n
Cauchy u
uX 2
t
aj
(b)
j =1
v
u n
uX
t
a2
j =1
j
v
u n
uX
t
b2
j =1
= <n ; NY (x; y) :=
j
n
X
j =1
=
n
X
aj bj +
j =1
v
u n
uX
t
a2
j =1
j
+
b2j
v
u n
uX
t
b2
n
X
j =1
jxj yj j
Maximova metrika
MAX (x; y) =
(d)
j =1
j +2
Newyorkska metrika
P
(c)
+2
v
u n
uX
t
a2
max fjxj yj jg
j 2f1;2;:::;ng
pampeliskova aka ruska metrika
y
P AMP (x; y) = 0 (x; a) + (a; y) xx =
=
6
y
eukl
eukl
4.
P
(a)
= C [a; b] = ff def: a spoj: na [a; b]g
Integraln metrika
INT (f; g) :=
(b)
Z b
a
jf (x) g(x)j dx
supremova metrika
SUP (f; g) :=
sup jf (x) g(x)j
x2[a;b]
:::INT (f; g) (b a)SUP (f; g):::
5.
Diskretn metrika
P
= cokoliv; DISKR (x; y) = 01 xx =6= yy
2
j =1
j
Necht' (P; ) je metricky prostor, x 2 P , r > 0.
se stredem x a polomerem r nazveme mnozinu B (x; r) :=
fy 2 P; x; y < rg
Obdobne denujeme uzavrenou kouli B (x; r) := fy 2 P ; (x; y) rg
denice
Otevrenou koul
DEFINICE Otevrena mnozina
Necht' (P; ) je metricky prostor a G P
R ekneme, ze G je otevrena v P , jestlize
8x 2 G 9r > 0 : B (x; r) G
R ekneme, ze F P je uzavrena v P , jestlize P nF je otevrena v P
Pozor V prostoru ([0; 1) ; jx yj) je mnozina [0; 1) zaroven otevrena i uzavrena
V bode 0 existuje kruznice!!! - koule nemuze presahnout prostor
Poznamka
D
ukaz
Zvolme
Otevrena koule je otevrena mnozina bez ohledu na prostor
Musme dokazat, ze
8y 2 B (x; r) 9r1 > 0 : B (y; r1 ) B (x; r2 )
r1 := r (x; y)
Necht' z 2 B (y; r1 )
Chceme dokazat z 2 B (x; r)
Vme, ze (y; z) < r1
Tedy
(x; z ) (x; y) + (y; z ) < (x; y) + r1 = r
Obdobne
Uzavrena koule je uzavrena mnozina.
TA 1 vlastnosti otevrenych mnozin
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor
Pak plat
1. ;, P jsou otevrene v P
2. konecny prunik otevrenych mnozin je otevrena mnozina, tj.
G1 ; G2 ; :::; Gn ot: v P
)
n
\
i=1
Gi je ot v P
3. libovolne sjednocen otevrenych mnozin je otevrena mnozina
[
fG g2A ot: v A ) G je ot: v P
2 A
3
QED
D
ukaz
1. ; je otevrena mnozina - zjevne a trivialn
P je otevrena - 8x 8r je B (x; r) P
2. Necht'
x2
n
\
i=1
Gi ) x 2 Gi 8i 2 1; 2; :::; n ) 8i 9ri : B (x; ri ) Gi
Denuji r := mini2f1;2;:::;ng ri > 0, pak
B (x; r) 3.
x2
[
2 A
n
\
i=1
Gi
G ) 90 x 2 G0 ) 9r : B (x; r) G0 [
2 A
G
QED
Prklad
Nekonecny prunik otevrenych mnozin nemus byt otevrena mnozina
1
\
1
1
G = f0g
;
(<; jx yj) G
n
n n
To nen otevrena mnozina
n=1
n
TA 2 Vlastnosti uzavrenych mnozin
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor. Pak plat
1. ;; P jsou uzavrene
2. Libovolny prunik uzavrenych mnozin je uzavrena mnozina
fF g2A uz: )
\
2A
F uz:
3. Konecne sjednocen uzavrenych mnozin je uzavrena mnozina
F1 ; F2 ; :::; Fn uz: )
4
n
[
i=1
Fi uz:
D
ukaz
1. P = P ; ) P
2.
je uzavrena, ; = P P ) ; je uzavrena
P
3.
\
2 A
F De Morgan
=
Tedy doplnek je otevrena mnozina
P
[
2 A
n
n
[
De Morgan \
i=1
=
Tedy doplnek je opet otevrena mnozina
i=1
(P F )
(P F )
QED
prklad V diskretn metrice je kazda mnozina otevrena a tm padem je
kazda mnozina i uzavrena
Uzaverem mnoziny A v metrickem prostoru (P; ) nazyvame mnozinu
\
A := fF; F uzav: A F P g
Vnitrkem A v (P; ) nazyvame mnozinu
[
Int A := fG A; G ot: v P g
denice
Poznamky
A je nejmens uzavrena mnozina v P
obsahujc A
Int A je nejvets otevrena mnozina v P obsazena v A
prklady
(P; ) = (<; jx yj); A = [0; 1)
A = [0; 1] Int A = (0; 1)
Q = < Int Q = ;
denice
Vzdalenost x 2 P od A P
(x; A) := inf f(x; y)g
y 2A
5
TA 3 Vlastnosti uzaveru
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor.
1.
Pak plat
; = ;; P = P
2.
AB)AB
3.
A=A
4.
A[B =A[B
5. !!!
A = fx 2 P; (x; A) = 0g
D
ukaz
1. trivialn a jednoduche
2. Necht' F B , F je uzavrena
F
B)F A)
\
F B
F
\
F A
F
3. A je uzavrena a A A ) A = A
4. ""
A A; B B ) A [ B A + B
A + B je konecne sjednocen, tedy je podle vety 2 uzavrene
A [ B je pr
unik uzavrenych nadmozin, proto A [ B A [ B ""
Tedy
5. Oznacme
2: A A [ B
AA[B )
2: B A [ B
B A[B )
A[B A[B
B = fx 2 P; (x; A) = 0g
Chceme : A = B , stac dkoazat
6
B je uzavrena
BA
zrejme B A
B uzavrena
z 2 P B ! (z; A) > 0 ) 9r0 : (z; A) = r0 > 0
Potom B (z; r20 ) P B , nebot' pro zvolene a 2 A a y 2 B (z; r20 )
(y; a) (z; a) (z; y) > r0
r0
2 ) B (z; 2 P B
B A Pro spor predpokladejme, ze neplat
Potom 9y1 2 B A a 9r1 > 0 tak, ze
B (y1 ; r1 ) P A ) y1 ; A > r1 > 0
To je ovsem spor, jelikoz predpokladame, ze (y1 ; A) = 0; y1 2 P
r0
QED
1.2 Konvergence v metrickych prostorech
denice Necht' (P; ) je metricky prostor, necht' fxn g1
n=1 je posloupnost
prvku v P . R ekneme, ze fxn g konverguje k y 2 P , neboli fxn g ma limitu y,
jestlize
lim (xn ; y) = 0
n!1
Znacme
lim x = y (v P )
n!1 n
nebo
xn ! y
prklady
1. V (P; ) = (<; jx yj) je konvergence totozna s konvergenc posloupnosti
realnych csel
2. V prostoru C [a; b] se supremovou metrikou je konvergence ekvivalentn se
stejnomernou konvergenc posloupnosti funkc na [a; b]
7
TA 4 Vlastnosti konvergence v metrickem prostoru
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor. Pak plat
1. Jestlize 9n0 8n > n0 : xn = y, pak limb!1 xn = y
2. Limita je urcena jednoznacne
xn ! y1 &xn ! y2 ) y1 = y2
3. Necht' fxnk g je vybrana posloupnost z fxn g a necht' xn ! y, potom
xnk ! y
4. Necht' F P je uzavrena, necht' fxn g F a necht' xk ! y 2 P , potom
y2F
D
ukaz
1.
(xn ; y) = 0 8n n0 ) nlim
!1 xn ; y = 0 ) xn ! y
2.
(y1 ; y2 ) (y1 ; xn ) + (xn ; y2 ) ) (y1 ; y2 ) = 0 ) y1 = y2
| {z } | {z }
0
0
3. (xnk ; y) je vybrana z (xn ; y) atd.
4.
(y; F ) = inf f(y; x)g (y; xn ) ! 0 ) (y; F ) = 0
x2F
Dle vety 3 y 2 F . F je uzavrena) F = F , a tedy y 2 F
TA 5
VE
Mnozina F
Charakterizace uzavrenych mnozin
je uzavrena , xn 2 F &xn ! y ) y 2 F
Bez d
ukazu
denice
veta plyne z predchozch ver
p-metrikou rozumme
p :=
v
u k
uX
p
t
i=1
poznamky
jxi yi jp
Konvergence v Newyorkske, euklidovke a maximove metrice splyva
Konvergence v <n je konvergence po slozkach
8
denice R ekneme, ze mnozina K je v metrickem prostoru (P; ) je kompaktn, jestlize z kazde posloupnosti xn K lze vybrat fxnk g takovou, ze je
konvergentn v P a jej limita je prvkem K
prklad
paktn
Jednotkova koule v C [0; 1] se supremovou metrikou nen komfn = f
(fn ; fm ) 21 , jestlize n 6= m
2n x 2 [0; 2 n ]
1 x 2 [2 n ; 1]
Z takove posloupnosti je nemozne vybrat konvergentn posloupnost. Kdyby
fnk ! h, kap (fnk ; h) ! 0
1 (f ; f ) (f ; h) + (f ; h) ! 0
nk nj
nk
nj
2
SPOR
TA 6 Vlastnosti kompaktnch mnozin
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor a K P je kompaktn mnozina.
1. K je uzavrena
Potom plat
2. K je omezena
3. F K ) F je kompaktn
D
ukaz
1. Necht' fxn g K , xn ! x 2 P , chceme dokazat, ze x 2 K
Vybereme posloupnost fxnk g ! y, pak (limita vybrane posloupnosti)
y=x
y 2 K (kompaktnost), tedy x 2 K , a tedy K je uzavrena
2. Pro spor predpokladejme, ze K nen omezena.
Zvolme x0 2 P , Pak
8n 2 N 9xn 2 K : xn 2= B (x0 ; n)
Z kompaktnosti vme, ze 9xnk vybrana akonvergentn posloupnost xnk !
y; y 2 K
Potom
n < (xn ; x0 ) (xn ; y) + (y; x0 ) < (y; x0 ) + "
A tohle ma platit 8n - SPOR
3. Necht' fxn g F . Pak samozrejme take fxn g K
K je kompaktn ) 9xnk ! y
y 2 K , F je uzavrena, tedy y 2 F , tedy F je kompaktn
QED
9
Charakterizace kompaktnch podmnozin v <n
V prostoru (<n ; eukl ) je mnozina K kompaktn , K je omezena a kompaktn
TA 7
VE
Bez d
ukazu
1.3 Spojita zobrazen mezi metrickymi prostory
denice Necht' f je zobrazen mezi (P; ) a (Q; ), necht' M D(f ) P
a necht' x0 2 M
R ekneme, ze f je spojita v x0 vzhledem k mnozine M , jestlize
8" > 0 9 > 0 : x 2 B (x0 ; ) \ M ) f (x) 2 B (f (x0 ); ")
f
denice Ve stejne situaci je
spojita na M vzhledem k M , f je spojita 8x 2 M vzhledem k M
prklad P
= [a; b], f spojita na P vzhledem k P
spojitost na P znamena, ze f je spojita ve vsech bodech P . U krajnch bod
u je
d
ulezite, ze se nebere cela koule, nybrz jen jej pr
unik s P
V tomto konkretnm prpade je to totez, jako rct, ze f je spojita ve vsech
vnitrnch bodech intervalu oboustranne a v krajch jednostranne
prklad P
= (0; 1) [ (1; 2)
f (x) =
0 x 2 (0; 1)
1 x 2 (1; 2)
Tato funkce je spojita na P vzhledem k P
prklad
Dirichletova funkce
f (x) =
0 x 2= Q
1 x2Q
... je spojita na Q vzhledem k Q ... je nespojita na Q vzhledem k =Re
denice
R ekneme, ze x0 je isolovany bod prave tehdy, kdyz
9B (x0 ; ) : B (x0 ; ) \ M = fx0 g
Necht' x0 nen isolovany bod mnoziny M , potom
lim f (x) = A , 8" > 09 > 0 : x 2 (B (x0 ; ) \ M fx0 g) ) f (x) 2 B (A; ")
x!x0
Denice
10
TA 8
VE
Necht'
Charakterizace spojitosti zobrazen mezi metrickymi prostory
BU NO necht'
f
: (P:) ! (Q; )
D(f ) = P f (P ) = Q
Potom jsou nasledujc 3 vyroky ekvivalentn
1. f je spojita na P vzhledem k P
2. f 1 (G) je otevrena mnozina pro kazdou otevrenouG Q
3. f 1 (F ) je uzavrena mnozina pro kazdou uzavrenouG Q
D
ukaz
2. ) 3.
Vezmeme uzavrenou F Q
Podvejme se na P f 1 (F )
P f 1 (F ) = f 1 (Q F )
Q F je otevrena, proto dle predpokladu f 1 (Q F ) je otevrena,
tedy P f 1 (F ) je otevrena, a tedy f 1 (F ) je uzavrena
3. ) 2. totez
1. ) 2.
Mejme G Q otevrenou mnozinu. Je f 1 (G) otevrena?
Vezmeme bod x0 2 f 1 (G). Chceme, aby 9B (x0 ; ) f 1 (G), pak je
f 1 (G) otevrena.
Vme, ze f je spojita v x0 (predpoklad), dale predpokladame, ze G je
otevrena
f (x0 ) 2 G ) 9B (f (x0 ; ") G
K tomuto " > 0 najdu > 0 tak, ze
f (B (x0 ; ) B (f (x0 ); ") G
Proto B (x0 ; ) f 1 (G)
2. ) 1.
Vme, ze f 1 (G) je otevrena pro vsechny G otevrene a chceme spojitost
Necht' x0 2 P je libovolny bod
Mejme kulicku B (f (x0 ); ") (ta je jiste otevrena v Q) pro libovolne " > 0
) f 1 (B (f (x0 ; ")) je otevrena v P
To jeste nemus byt kulicka, ale urcite x0 2 f 1 (B (f (x0 ); ")), tedy
9B (x0 ; ) f 1 (B (f (x0 ); "))
f (B (x0 ; )) B (f (x0 ); ")
QED
11
prklad f
TA 9
VE
Necht'
spojita, A := fx; f (x) = 0g = f 1 (0) ) A je uzavrena
Heineho veta pro spojitost
f
: (P; ) ! (Q; )
Necht' M D(f ) P
Potom pro x0 2 M je ekvivalentn
f je spojita v x0 vzhledem k M
xn !
x0 ; xn 2 M
=)
f (xn ) !
f (x0 )
D
ukaz
Vme, ze
8" > 0 9 : x 2 B (x0 ; ) \ M ) f (x) 2 B (f (x0 ); ") (spojitost)
)
Dale vme, ze xn ! x0 , xn 2 M
xn ! x0 , tedy k danemu najdu n0 , aby xn 2 B (x0 ; ) \ M 8n n0
xn ! x0 a f je spojita, tedy
f (xn ) 2 B (fx0 ;" )
Pro spor predpokladejme
9" > 0 8 > 0 : x 2 B (x0 ; )&f (x) 2= B (f (x0 ); ")
Pokud toto plat pro kazde , potom plat i pro = n1 , tedy
8n 9n > n : x 2 B (x ; 1 ) \ M &f (x ) 2= B (f (x ); ")
0
0
(
0 n
n
n
Takto vytvorena posloupnost xn ! x0 a f (xn ) nekonverguje k f (x0 ), ale podle
n
2. konverguje
SPOR
QED
12
TA 10
VE
Necht'
Heineho veta pro limitu
Necht'
f
: (P; ) ! (Q; )
M
D(f ) P
Necht' x0 2 M nen isolovany bod M
Potom jsou nasledujc tvrzen ekvivalentn
lim f (x) = A x 2 M
x!x0
xn !
x0
xn 2 M
xn 6= x0
=) f (xn ) ! A
Bez d
ukazu
TA 11 Spojity obraz kompaktu
VE
Necht' (P; ) a (Q; ) jsou dva metricke prostory.
Necht' K je kompakt K P a necht' f : K ! Q
vzhledem ke K .
Potom f (K ) je kompakt v prostiru Q.
je zobrazen spojite na K
D
ukaz Necht' ff (xn )g je libovolna posloupnost v f (K )
Potom fxn g je posloupnost v K , K je kompaktn, tedy 9 podposloupnost fxnk g
takova, ze
lim x = x 2 K
k!1 nk
Podle Heineho vety :
lim f (xnk ) = f (x ) 2 f (K )
k!1
Tedy : z f (xn ) jsme vybrali podposloupnost ff (xnk )g, ktera konverguje v f (K )
) f (K ) je kompaktn
QED
TA 12 Extremy spojite funkce na kompaktu
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor, necht' K P je kompakt a necht' f : K ! <
je spojite vzhledem ke K .
Potom f nabyva na K sveho minima i maxima
13
D
ukaz Dle predchoz vety je f (K ) kompakt v < ) f (K ) je uzavrena a
omezena v <.
Zvolme
s := inf f (K )
Tedy 9 posloupnost fyn g f (K ) takova, ze yn ! s
f (K ) je uzavrena ) s 2 f (K ) ) 9x : f (x) = s, a tedy f nabyva minima v x.
QED
TA 13 Omezenost spojite funkce na kompaktu
VE
Necht' (P; ) je metricky prostor, necht' f je spojite zobrazen na K
ledem ke K , kde K 2 P je kompaktn.
Necht' f : P ! <
Potom f (K ) je omezena
D
ukaz
je prmym dusledkem vety 11.
poznamka
2
P vzh-
lze dokazat i obecnejs tvrzen.
FUNKCE V
ICE PROMENN
YCH
2.1 Limita a spojitost
Limita funkce vce promennych je specicky prpad limity v metrickem prostoru
f : (M; eukl: ) ! (<; eukl: )
limita v <n
lim
[x1 ;:::;xn ]![x1 ;:::;xn ]
f (x1 ; :::; xn ) = A
,
8" > 0 9 > 0 : eukl: ([x1 ; :::; xn ]; [x1 ; :::; xn ]) < ) jf (x1 ; :::; xn ) Aj < "
Plat
veta o aritmetice limit (dusledek Heineho)
veta o dvou policajtech (na tu pozor, ta se hod)
veta o limite (a spojitosti) slozene funkce
14
prklady
1. projekce (jsou spojite)
1 [x; y] ! x 2 [x; y] ! y
s uspechem lze spojitosti projekc vyuzt pri vysetrovan spojitosti slozitejsch
funkc
p
2. f (x; y) = x2 + y2 je spojita na <2
1. krok : projekce jsou spojite
[x; y] ! x
g spoj:[x; y] ! y
2. krok x; y ! x2 + y2 ... spoj.
3. krok p spoj. na [0; 1)
3. f (x; y) = x22x+2yy2
def. obor <2 f[0; 0]g, na denicnm oboru je spojita
? [x;ylim
f (x; y)?9?
]![0;0]
Nejprve je treba najt kandidata na limitu. To se dela tak, ze si zvolme
prmku a pokusme se k danemu bodu dostat po prmce.
y = 0:
lim f (x; y) = xlim
!0 0 = 0
[x;0]![0;0]
x = 0:
lim f (x; y) = ylim
!0 0 = 0
[0;y]![0;0]
y = kx; k 2 <:
2x2 kx = 2k lim x3 = 2k lim = 0
lim
2
x!0 x + (kx)2
x!0 x2 (1 + k 2 )
1 + k 2 x! 0
Nasm kandidatem se tedy stala 0
2x2 y
= jxj 2xy jxj ! 0
0
x2 + y 2
x2 + y 2 j2xyj x2 + y2
) [x;ylim
0
]![0;0]
f 0 ) lim 0
Tedy podle dvou policajtu je limita 0
15
2.2 Parcialn derivace a totaln diferencial
Motivacn ulohy
1. Na hromadu psku je neustale prisypavan psek. Hromada ma tvar kuzele.
1
Vyska h narusta rychlost dh
dt = 3cms
dr
Polomer podstavy r narusta rychlost dt = 2cms 1
Jakou rychlost roste objem hromady dVdt ?
2. Turistka stoj na svahu hory u potoka a studuje mapu.
Na mape je zaznamenana nadmorska vyska h v kilometrech.
20
h(x; y) =
3 + x2 + 2y2
Turistka ma tu opovazlivost stat v bode [3; 2].
Kterym smerem z bodu [3; 2] tece potok?
Urcete rovnici krivky, po ktere tece potok
Kterym smerem (v jakem uhlu smerem k potoku) je stoupan 15?
Nacrtnete mapu s vrstevnicemi a potokem.
3. Objem valce V = r2 h.
Vyska valce je namerena s presnost na 0,005cm a polomer podstavy s
presnost na 0,01cm, urcete s jakou maximaln chybou je urcen objem.
Necht' f : <n ! <, necht' x 2 D(f ) a ma souradnice [x1 ; x2 ; :::; xn ].
Potom i-tou parcialn derivac funkce f v bode x rozumme
@f
f (x1 ; x2 ; :::; xi 1 ; xi + t; xi+1 ; :::; xn ) f (x1 ; x2 ; :::; xn )
(x) = tlim
!0
@xi
t
pokud tato limita existuje
DEFINICE
poznamka
pracujeme pouze s vlastnmi limitami.
Necht' f : <n ! <, x 2 D(f ) a necht' v<n .
Derivac funkce f v bode x ve smeru v rozumme vyraz
f (x + tv) f (x)
Dv f (x) := tlim
!0
t
pokud tato limita existuje.
denice
poznamky
1.
2.
@f
@xi
= De f (x)
i
Dv f (x) = Dv f (x)
16
D
ukaz
f (x + tv) f (x)
t
f (x + tv) f (x)
= tlim
!0
t
t ! 0 ) t ! 0 )= Dv f (x)
Dv f (x) = lim
r!
3.
Du+v f
=
6= Du f + Dv f
4. Existence vsech parcialnch derivac neimplikuje existenci derivac ve vsech
smerech
5. Existence derivac ve vsech smerech neimplikuje spojitost.
Z toho je jasne videt, ze pro opravdu ukrutnou matematiku potrebujeme neco
daleko drsnejsho
Necht' f : <n ! <, a 2 <n
Jestlize existuje linearn zobrazen L : <n ! <, ktere splnuje
lim f (a + h) khfk(a) L(h) = 0
khk!0
pak toto zobrazen nazyvame totalnm diferencialem funkce f v bode a.
Znacme Df (a).
Jeho hodnotu v bode h 2 <n znacme Df (a)(h).
DEFINICE
o tvaru totalnho diferencialu
Necht' funkce f ma v bode a 2 <n totaln diferencial.
Potom
1. f ma v bode a derivace ve vsech smerech a Dv f (a) = Df (a)(v)
2.
TA 1
VE
8h 2 <n Df (a)(h) =
3. f je v a spojita.
17
n
X
@f
(a) hi
i=1 @xi
D
ukaz
1. Zvolme t 2 < a oznacme h = tv v 6= 0, potom dle denic
f (a + tv) f (a) L(tv)
0 = tlim
=
!0
tkvk
f (a + tv) f (a) L(tv)
1
=
= kvk tlim
!0
t
t
f (a + tv) f (a)
= kv1 k tlim
L
(
v
)
=
!0
t
= kv1 k (|Dv f (a) {zDf (a)(v))}
=0
odsud' jasne plyne dokazovana rovnost.
2. L je linearn )=A1 h1 + ::: + An hn
@f
(a) = De f (a) =1: Df (a)(ei ) = Ai
@xi
i
3.
0
1
B
B f (a + h) f (a) L(h)
|{z}
khk + L| {z
(h})
lim
B
k
hk
khk!0 @
|
{z
}
=0 by definition
konstanta
C
C
C
A
=0
lin: zobr:
QED
DEFINICE
Necht' f : <n ! < ma v bode a 2 <n vlastn parcialn derivace
@f
(a) j = 1; 2; :::; n
@xj
Potom vektor
rf (a) :=
nazyvame gradientem f v a
poznamka
pak
@f
@f
; :::;
(a)
@x1
@xj
VE TA 1 cast 2. rka, ze ma-li f v bode a totaln diferencial,
Df (a)(h) = rf (a) h
mn se tm standartn skalarn soucin
18
poznamka geometricka interpretace gradientu
Necht' f : <n ! < ma v a 2 <n totaln diferencial, pak 8v 2 <n je Dv f (a) =
rf (a)v.
Podle prvn casti VE TY 1
Df (a) v = krf (a)k kvk cos kde je uhel, ktery svra Df (a) a v
Specialne, pro kvk = 1,
Dv f (a) = krf (a)k cos Z toho dale plyne
1.
Dv f (a) 2 [ kDf (a)k; kDf (a)k]
2. nejvetsi rust f nastava ve smeru rovnobeznem s gradientem. Norma gradientu udava mru rustu f ve smeru nejvetsho rustu.
prklad Turistka stoji v bode [3; 2] v krajine, jejiz relief je urcen funkci h,
pricemz my mame zjistit, jakym smerem tece potok, ve kterem si jiste velmi
puvabna turistka smac nohy.
20
h(x; y) :=
3 + x2 + 2y2
Spoctem rf (3; 2)
40x
@h(x; y)
(
x; y) =
2
@x
(3 + x + 2y2 )2
@h(x; y)
80x
(
x; y) =
2
@y
(3 + x + 2y2 )2
rh(x; y) = (3 + x2 40
+ 2y2 )2 (x; 2y)
rh(3; 2) = 101 (3; 4)
p
potok tece dolu, tedy smerem (3; 4) a to rychlost 101 32 + 42 = 12
R ekneme, ze lepa turistka chce stoupat pod uhlem 12
Potom tedy nezbyva nez hledat smer v takovy, aby
Dv h(3; 2) = tan
12
to je takovy kde derivace smeru se rovna tan 12
= rh(3; 2) v = krf (3; 2)k cos = 12 cos )= arccos 2 tan 12 , je uhel, ktery svra zvoleny smer s opacnym ku smeru
toku potoka.
prklad
19
geometricka interpretace gradientu c.2 - tecna rovina
na okol bodu [a; b] 2 <2 . V bode P 2 <2 ; P = [a; b; f (a; b)]
chceme tecnou rovinu
tecna rovina protne rovinu x = a v prmce, jejz smernice je @f
@y (a; b), takze jej
smerovy vektor je rovnobezny s vektorem
poznamka
f (x; y) - hladka
T1 := (0; 1;
@f
(a; b))
@x
T2 := (1; 0;
@f
(a; b))
@y
analogicky pro rovinu y = b
Normalovym vektorem tecne roviny je vektor zskany jako vektorovy soucin
n = T1 T2 =
@f
@f
(
a; b); (a; b);
@x
y
1
Tedy obecna rovnice tecne roviny je (nebot' rovina prochaz bodem P)
@f
(a; b) (x a) + @f
(a; b)(y b)
@x
@y
neboli
av
<n
analogicky
z = f (a; b)
(z f (a; b)) = 0
rf (a; b) ([x; y] [a; b])
poznamka geometricka interpretace r c. 3
Gradient udava smer normaloveho vektoru ke grafu funkce f
TA 2 aritmetika diferencialu
VE
Necht' 9Df (a); Dg(a); 2 <, potom 9D(f +g)(a); D(f )(a); D(fg)(a)aD( fg )(a) (g(a) 6=
0) a navc
D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a)
D(f )(a) = Df (a)
D(fg)(a) = g(a)Df (a) + f (a)Dg(a)
D(
f
)(a) = g(a)Df (ag)2 (af) (a)Dg(a)
g
20
Bez d
ukazu
TA 3 diferencial slozeneho zobrazen
VE
Necht' a 2 <s ; b 2 <n
Necht' f : <n ! < a gj : <s ! <; j = 1; :::; n
Denujem H : <s ! < predpisem
H (x) := f (g1 (x); g2 (x); :::; gn (x)) x 2 <s
Necht' gj (a) = bj a necht' existuj Dg(a) a Df (b)
Potom
3
2
n
s X
X
4
@gj 5
@f
(b) @x
(a) hi
DH (a)(h) =
@y
i
i=1 j =1 j
specialne i 2 f1; 2; :::; sg
n
X
@H
@f
@gj
(
a) =
(b) @x
(a)
@xi
@y
i
j =1 j
Nastin d
ukazu pro s = 1; n = 2
Mapa : vyska : f(x, y)
Pohybujeme se po krivce x = u(t), y = vt t 2 < (cas).
Nase vyska vcase t je dana h(t) = f (u(t); v(t)), mra stoupan v case je dana
h0 (t)
h(t + s) h(t)
h0 (t) = lim
= lim f (u(t + s); v(t + s)) f (u(t); v(t)) =
s!0
s!0
s
s
Pozor, je to na dluh, ale tato limita i obe limity, na ktere se to rozdel exituj,
takze to jde.
= lim f (u(t + s); v(t + s)) f (u(t); v(t + s)) +lim f (u(t); v(t + s)) f (u(t); v(t)) =
s !0
s !0
s
veta o derivovan slozene funkce.
s
= @f
(u(t); v(t)):u0 (t) + @f
(u(t); v(t)) v0 (t)
@x
@y
postacujc podmnka existence totalnho diferencialu
Jestlie jsou vsechny parcialn derivace @x@fj funkce f spojite v bode a, potom f
ma v tomto bode i totaln diferencial
TA 4
VE
21
D
ukaz
Necht'
(h) := f (a + h) f (a)
n
X
@f
(a) hi
i=1 @xi
chceme, aby k(hhk) ! 0 pro khk ! 0
P
f (a + h) f (a) = nj=1 [f (a1 + h1 ; a2 + h2 ; :::; aj + hj ; aj +1 ; :::; an )
f (a1 + h1 ; :::; aj 1 + hj 1 ; aj ; aj +1 ; :::; an )] =
n
Lagrange X
@f i
( ) hi
i=1 @xi
kde i 2 [ai ; ai + hi ] (To byl Lagrange na f (:::; t; :::))
=
n
X
@f
@f i
(
)
(a) hi
@xi
i=1 @xi
) j(h)j krf () rf (a)k khk
) (h) =
kde = [1 ; :::; n ]
) jk(hhk)j krf () rf (a)k ! 0
protoze parcialn derivace jsou dle predpokladu spojite
QED
TA 5 o stredn hodnote
VE
Necht' a; b 2 <n , f : <n ! <. Necht' f ma spojite parcialn derivace v kazdem
bode usecky ab. Pak 9 2 (0; 1) tak, ze
f (b) f (a) = rf (a + (b a)) (b a) =
n
X
@f
(a + (b a))(bi ai )
@x
1 i
D
ukaz Denujeme F (t) := f (a + t(b a))
2 C 1 (0; 1), F (0) = f (a); F (1) = f (b), F je spojita na [0; 1]
Lagrange
) 9 2 (0; 1) : F (1) F (0) = F 0 ()(1 0) = F 0 ()
ale
n
X
@f
d
F 0 ( ) chain
=
(
a + t(b a)) (ai + t(bi ai )) =
@x
dt
F
=
Tedy
i=1
n
X
i
@f
(a + t(b a)) (b a) t 2 (0; 1)
@x
i=1 i
F 0 ( ) =
n
X
@f
(a + (b a)) (bi ai )
@x
i=1 i
22
QED
2.3 Parcialn derivace a diferencialy vyssch rad
u
DEFINICE Necht' f ma na otevrene mnozine G <n parcialn derivace
1.radu @x@fi , a 2 G.
Pak denujeme partialn derivaci 2. radu v bode a jako
@2f
@f
(a) := @x@ @x
@xi @xj
j
i
(a)
a analogicky pro parcialn derivace vyssch radu.
prklad
f (x; y) = xy x; y > 0
@f
@x
= yxy 1 @f
= xy log x
@y
@2f
= y(y 1)xy 2
@2x
@2f
= xy (log x)2
@2y
@2f @
(yxy 1 ) = xy 1 + yxy 1 log x
@x@y @y
@2f @ y 1
(x log x) = xy 1 + yxy 1 log x
@x@y @y
Jaktoze jsou smsene derivace stejne???
o zamennosti smsenych derivac
Necht' existuje @x@i2@xf j (a) a k tomu je jeste v bode a spojita.
Pak existuje take @x@j2@xf i (a) a obe smsene derivace se navzajem rovnaj.
TA 6
VE
Bez d
ukazu
poznamka
Analogicke tvrzen plat i pro derivace vyssch radu
denice Necht' G <n je otevrena. Pak znacme
C (G) = ff : G ! <; f je spojita na Gg
C 1 (G) = ff : G ! <; f ma na G spojite parcialn derivace prvnho radug
analogickyT1C k G
C 1 (G)= k=1 C k (G)
23
R ekneme, ze f ma v a 2 <n druhy diferencial, jestlize vsechny
parcialn derivace maj v a totaln diferencial.
Druhy diferencial D2 f (a) je bilinearn zobrazen
D2 f (a) : <n <n ! <
dane predpisem
DEFINICE
D2 f (a)(h; k) =
@2f
(a) hi kj
i=1 j =1 @xi @xj
n X
n
X
o tvaru druheho diferencialu
Druhy diferencial je reprezentovan matic
TA 7
VE
0
B
@
@2f
@xi @xj
1n;n
C
A
i=1;j =1
Bez d
ukazu
TA 8
VE
postacujc podmnka pro existenci 2. diferencialu
f
2 C 2 (G); a 2 G ) 9D2 f (a)
Bez d
ukazu
2.4 Veta o implicitn funkci
TA 9 o implicitn funkci
VE
Necht' G <n+1 je otevrena mnozina
F : G ! <; x 2 <n ; y 2 <; [x; y] 2 G
Necht' plat
F 2 C 1 (G)
F ([x; y]) = 0
@f
@y ([x; y ]) 6= 0
Potom existuj okol U 2 <n bodu x a V 2 < bodu y takove, ze pro kazde x 2 U
existuje prave jedno y 2 V s vlastnost F(x, y)=0 a pseme-li y = '(x), potom
' 2 C 1 (U ) a plat
@F
@'
@xj (x; '(x)))
(x; y) = @F (x; '(x))
@xi
@y
24
D
ukaz
|
alespon naznakem
1. existence implicitn funkce
2. spojitost implicitn funkce
3. diferencovatelnost a vzorec pro derivace
1. BU NO necht' @F
@y (x; y ) > 0
1
F 2 C ) derivace je spojita, tzn.
91 ; 1 > 0 @F
(x; y) > 0 8x 2 B (x; 1 ); 8y 2 B (y; 1 )
@y
Budeme studovat G(t) = F (x; t) t 2 [y 1 ; y + 1 ],
G je funkce jedne promenne
@F
(x; y) > 0 ) G0 (t) > 0
@y
G je tedy na [y 1 ; y + 1 ] ostre rostouc )
G(y 1 ) < 0 F (x; y 1 ) < 0
G(y + 1 ) > 0 F (x; y + 1 ) > 0
1
F 2 C ) F je spojita
) 9 2 (0; 1 ) : F (x; y 1 ) < 0 < F (x; y + 1 ) 8x 2 B (x; )
Pro kazde pevne x 2 B (x; ) je F (x; t) rostouc a spojita funkce jedne
promenne t 2 [y 1 ; y + 1 ]
) dle Dabouxovy vlastnosti a ostre monotonie 9!y tak, ze F (x; y) = 0
Oznacme '(x) := y, tm je dokazana existence implicitn funkce.
2. spojitost '
Z jiz dokazaneho plyne
8" > 0 9 : '(B (x; )) B (y; ") = B ('(x); ")
) ' je spojita v x, analogicky v kazdem boe x 2 B (x; )
3. diferencovatelnost
Vme, ze F 2 C 1 ) ma totaln diferencial v [x; '(x)], a tedy 8"9khk dost
male
n
X
@F
j F| (x + h;{z'(x + h))} F| (x;{z'(x))}
(x; '(x))hi @F
(x; '(x))('(x+h) '(x))j
@x
@y
0
j =1
0
j
<
" khk + "('(x + h) '(x))
Znate to, odhady, delen a vyjde to...
25
QED
prklad
M
:= f[x; y]<2 ; (x2 + y2 )2 2(x2 y2 ) = 0g
p
Dokazte, ze na okol bodup [ 23 ; 12 ] lze M popsat jako graf jakesi funkce '(x) a
spoctete jej derivaci '0 ( 23 )
resen
F (x; y) := (x2 + y2 )2
2(x2 y2 )
plat
F 2 C1 ) F 2 C1
p
F ( 23 ; 12 ) = 0
@F (
@y
p3 1 ?
2 ; 2 ) 6= 0
@F
(x; y) = 2(x2 + y2 ) 2y + 4y
@y
p
@F 3 1
( ; ) = 4 6= 0
@y 2 2
Tedy podle vety o implicitn funkci se chova M lokalne jako graf funkce ',
pricemz
p
p
@F ( 3 ; 1 )
3
@x p2 2
'0 ( ) = @F
3 1
2
@y ( 2 ; 2 )
tedy
@F
(x; y) = 2(x2 + y2 ) 2x
@x
p
@F 3 1
( ; )=0
@x 2 2
'0 (
p
3
2 )=0
TA 10 o implicitnch funkcch
VE
G <m+n otevrena, Fj : G ! < j = 1; :::; m
x 2 <n , y 2 <m , [x; y] 2 G
Necht'
Fj 2 C 2 (G), j = 1; :::; m
Fj (x; y) = 0, j = 1; :::; m
26
4x
determinant matice
@ (F1 ;:::;Fm )
@ (y1 ;:::;ym )
(x; y) 6= 0
Pak 9U okol x a 9V okol y: 8x 2 U 9!y 2 V : Fj (x; y) = 0 8j a pseme-li
yj = 'j (x), pak 'j 2 C 1 a plat
@'i
@xj
=
@ (F1 ;:::;FM )
@ (y1 ;:::;yj 1 ;xi ;yj+1 ;:::;ym )
@ (F1 ;:::;Fm )
@ (y1 ;:::;ym )
2.5 Extremy funkc vce promennych
DEFINICE Necht' G <n
F : G ! <, M D(F ), a 2 G \ M
R ekneme, ze a je bodem minima funkce F vzhledem k M , jestlize
F (a) F (x) 8x 2 M
a je bodem lokalnho minima F vzhledem k M , jestlize
9r > 0 8x 2 M \ B (a; r) : F (x) F (a)
Analogicky denujeme body maxima, lokalnho maxima a ostrost extremu
denice
jestlize
R ekneme, ze bod a je stacionarnm bodem funkce F : G ! <,
@F
8j 2 f1; :::; ng : @x
(a) = 0
j
TA 11 nutna podmnka existence extrem
VE
u
G <n otevrena, f : G<, a 2 G
Ma-li f v bode a lokaln extrem a existuj-li vsechny parcialn derivace f v tomto
bode, potom a je stacionarnm bodem f
Bez d
ukazu
TA 12 Lagrangeova veta o vazanych extremech
VE
Necht' G <r je otevrena, f; g1 ; :::; gs 2 C 1 (G); s < r, potom denujeme
M = fx 2 <; g1 (x) = g2 (x) = ::: = gs (x) = 0g
Je-li a 2 G bodem lokalnho extremu vzhledem k M a plat-li, ze vektory
rg1 (a); :::; rgs (a) jsou linearne nezavisle, pak existuj 1 ; :::; s 2 < (tzv. Lagrangeovy multiplikatory ) tak, ze
Df (a) + 1 Gg1 (a) + ::: + s Dgs (a) = 0
27
nulove zobrazen
tedy 8j = 1; :::; r je
@g
@g
@f
(
a) + 1 1 (a) + ::: + s s (a) = 0
@xj
@xj
@xj
D
ukaz
exkurze do linearn algebry :
Jestlize A je ctvercova matice radu n, y 2 <n & det A 6= 0, potom Ax = y ma
jen jedno resen.
V nasem prpade rg1 (a); :::; rgs (a) jsou linearne nezavisle vektory v <r , ale je
jich jen s < r
0
..
..
.. 1
.
.
. C
B
B rg1 (a) rg2 (a) : : : rgs (a) C
@
..
..
.. A
.
.
.
Mezi promennymi x1 ; :::; xr se najde alespon s takovych, vuci kterym je deters)
minant j @(g@1(;:::;g
x:::) ja nenulovy
BU NO necht' jsou to promenne x1 ; :::; xs , tedy
@ (g1 ; g2 ; :::; gs ) @ (x ; x ; :::; x ) (a) 6= 0
1 2
s
V OIF
) x1 ; :::; xs lze na nejakem okol bodu a = [a1 ; :::; ar ] jako hladkou implicitn
funkci promennych xs+1 ; :::; xr
tzn.
9V <s 9U <r s [a1 ; :::; as ] 2 V [as+1 ; :::; ar ] 2 U
8[xs+1 ; :::; xr ] 2 U 9![x1 ; :::; xs ] 2 V : gk (x1 ; :::; xs ; xs+1 ; :::; xr ) = 0
Muzeme oznacit xj := '(xs+1 ; :::; xr ) 8j 2 f1; :::; sg
Denujeme funkci
F (xs+1 ; :::; xr ) := f ('1 (xs+1 ; :::; xr ); '2 (xs+1 ; :::; xr ); :::; 's (xs+1 ; :::; xr ); xs+1 ; :::; xr )
Necht' a je vazany extrem f , potom oznacme := [as+1 ; :::; ar ] 2 <r s , podle
VOIF je volnym extremem F . potom mus byt stacionarn bod. V)11 0 =
@F
@xm (a) 8m = s + 1; :::; r
Dle retzkoveho pravidla
s
X
(1) 0 = @F (a) = @f (a) @'(j ) () + f (a)
@xm
Dale vme, ze
j =1
@xj
@xm
xm
gk ('1 (xs+1 ; :::; xr ); :::; 's (xs+1 ; :::; xr ); xs+1 ; :::; xr ) 0
28
na okol a, potom take jej derivace jsou nulove
(2) 0 =
s
X
@gk
@'j
(a) @x
(a) + @x@gk(a)
@x
m
m
j =1 j
Vme, ze
8m = s + 1; :::; r 8k = 1; :::; s
(g1 ; :::; gs ) 6= 0
(x1 ; :::; xs ) a
@
@
Tedy soustava rovnic
@g1 + : : : @gs (a)
+ 1 @x
s @x1
1
B
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
@
.
.
.
. .
.
@f (a) + @g1 + : : : @gs (a)
1 @xs
s @xs
@xs
ma prave jedno resen (1 ; :::; s ) 2 <s (lin. algebra)
My ovsem potrebujeme 8m = |1; {z
:::; s}; |s + 1{z; :::; r}
0 @f
@x1 (a)
M ame
1
C
A
=0
Nemame
Rovnivi (2) vynasobme k a posctame pres k a obdrzme
(3) 0 =
s
X
k=1
0
s X
@g
@
k k
@'
(
a) j ()
@xj
@xm
j =1
1
@gk A
+ k @x
(a)
m
Dosadme (3) do (1) a chvli se kochame, jakou krasu jsme to upatlali
@F
0 = @x
() =
m
s
X
@'j
@f
(a) @x
()
=
@x
j
m
j =1
=
"
s X
s
X
@f
@g
@'
+ @x
(a)+
k k (a) j ()
@x
@x
m
j
m
j =1 k=1
#
s
X
@'j
@f
@g
(
)
(
a) + k k (a)
@xj
j =1 @xm
k=1 @xj
s
X
|
{z
@f
= @x
+
m
!
s
X
k=1
0
k
}
@gk
(a) = 0
@xm
a to jsme chteli dokazat u!!!
@f
+ @x
(a) +
m
s
X
k=1
k
+
s
X
k=1
k
@g
(a) =
@xa
@gk
(a) =
@xm
8m = s + 1; :::; r
QED
29
Bilinearn forma B : <n <n ! < je
pozitivne defnitn, jestlize
9 > 0 : B (h; h) khk2
negativne denitn, jestlize
9 > 0 : B (h; h) khk2
indenitn, jestlize
9h1 ; h2 : B (h1 ; h1 ) > 0&B (h2 ; h2 ) < 0
TA 13 Postacujc podmnka pro extrem
VE
Necht' G <n je otevrena mnozina, a 2 G, f : G ! <, f 2 C 2 (G) a Df (a) = 0
Potom
1. jestlize je D2 f (a) pozitivne denitn, pak f ma v bode a lokaln minimum
2. jestlize je D2 f (a) negativne denitn, pak f ma v bode a lokaln maximum
3. jestlize je D2 f (a) indenitn, pak f nema v bode a extrem.
denice
Naznak d
ukazu
2
1. D f (a) je pozitivne denitn ) 9okol, na kterem je druhy diferencial take
pozitivne denitn (to nebudem dokazovat)
) D2 f (x)(h; h; ) khk2 8x 2 okol a
Podle vety o stredn hodnote 8x 2 okol a 9 2 (0; 1) tak, ze
1
f (x) f (a) Df (a)(x a) = D2 f (a + (x a))(x a; x a)
|
{z
} |2
{z
}
=0; a stac:
2.
3.
kx ak2
1
f (x) = f (a) + D2 f (a + (x a))(x a; x a) > f (a)
2
a to znamena, ze a je lokaln minimum.
totez pro f
D2 f (a) je indenitn ) 9h1 ; h2 tak, ze
D2 f (a)(h1 ; h1 ) > 0 & D2 f (a)(h2 ; h2 ) < 0
Denujeme g1 (t) := f (a + th1 ) a g2 (t) := f (a + th2 )
g10 (t) = Df (a + th1 )(h1 ) = 0g1 "(t) = D2 f (a + th1 )(h1 ; h1 ) > 0
g1 ma v 0 lokaln minimum
obdobne g2 ma v 0 lokaln maximum.
Potom f nemuze mt v a extrem
30
QED
PROSTORY II
METRICKE
3
e prostory
3.1 Upln
denice Necht' (P; ) je metricky prostor a necht' fxn g P je posloupnost.
R ekneme, ze posloupnost fxn g je cauchyovska, jestlize splnuje tzv. BolzanoCauchyho podmnku
8" > 0 9n0 2 N m; n n0 : (xn ; xm ) < "
Metricky prostor (P; ) se nazyva uplny, jestlize kazda cauchyovska posloupnost fxn g P je konvergentn, 9 limn!1 xn = x; x 2 P
DEFINICE
prklady
(<; eukl: ) je uplny
([0; 1); eukl: , ((0; 1); eukl: ) nejsou uplne
([0; 1]; eukl: ) je uplny (dokazeme)
<n je uplny vzhledem k metrikam 1 ; 2 ; :::; 1 , nebot' v kazde z techto
metrik je konvergence po slozkach (lze pouzt prvn prklad)
diskretn prostor je vzdy uplny
prostor [0; 1] je
{ uplny vzhledem k supremove metrice
eukl: (f; g) = sup jf (x) g(x)j
x2[0;1]
{
ale nen uplny vzhledem k integraln metrice
1
Z
int (f; g) =
0
jf (x) g(x)j dx
(Q; eukl: ) nen uplny
fxn g :=
n 1
Q
1+
n
lim x
n!1 n
= e 2= Q
o vztahu kompaktnosti a uplnosti
Kazdy kompaktn metricky prostor je uplny
TA 1
VE
31
D
ukaz Necht' (P; ) je kompaktn a necht' posloupnost fxn g je cauchyovska v P .
P je kompaktn 9fxnk g; xnk ! x 2 P
Necht' " > 0
Potom
; x) < "
9n0 8nk n0 ; n n0 : | (xnk ;{zxn ) < "} & | (xnk{z
}
Cauchy
xnk !x
(x ; x) (x ; x ) + (x ; x) < " + " = 2"
=)
n
n nk
nk
) xn ! x ) P je uplny
QED
Prostor (<2 ; eukl: ) je uplny, ale napr. ((0; 1) ; eukl: ) uplny nen.
Naproti tomu ([0; 1] ; eukl: ) uplny je. Kdy je tedy podprostor uplny?
prklad
TA 2 o vztahu uplnosti a uzavrenosti
VE
Necht' (P; ) je uplny metricky prostor a necht' ; =6 M
Potom (M; ) je uplny , M je uzavrena v P
P.
D
ukaz
)
Necht' xn M a xn ! x 2 P , xn je cauchyovska v M , tedy mus byt cauchyovska i v P
M je uplny ) xn ! y 2 M , ale limita je jednoznacna ) x = y, coz znamena,
ze M je uzavrena
(
Necht' xn je cauchyovska v M ) xn cauchyovska v P .
Vme, ze P je uplny ) xn ! x 2 P M)uz: x 2 M , tedy xn ! x 2 M , coz je
shodou okolnost denice uplnosti
QED
3.2 Banachova veta o kontrakci
DEFINICE Necht' (P; ) je metricky prostor a necht' T : (P; ) ! (P; ).
R ekneme, ze T je kontrakce na P , jestlize plat
9 2 [0; 1) 8x; y 2 P : (T (x); T (y)) (x; y)
R ekneme, ze T je neexpanzivn, jestlize
8x; y 2 P; x 6= y : (T (x); T (y)) < (x; y)
32
poznamka T
likace neplat
denice
kontrakce ) T je neexpanzivn, ale POZOR, opacna imp-
R ekneme, ze bod x0 je pevnym bodem zobrazen f , jestlize
f (x0 ) = x0
TA 3 Banachova veta o pevnem bodu kontrakce
VE
Necht' (P; ) je uplny metricky prostor a T je kontrakce na P , potom T
P prave jeden pevny bod.
poznamka
D
ukaz
predpisem
ma v
Neexpanzivnost nestac
Zvolme x1 libovolne a denujeme posloupnost fxn g nasledujcm
xn+1 := T (xn ); n 2 N
Tvrdme, ze fxn g je cauchyovska
(x2 ; x3 ) = (T (x1 ); T (x2 )) (x1 ; x2 )
(x3 ; x4 ) = (T (x2 ); T (x3 )) (x2 ; x3 ) 2 (x1 ; x2 )
..
.
(xn ; xn+1 ) n 1 (x1 ; x2 )
Necht' m; n n0 , BU NO necht' m < n, potom
(xm ; xn )
=
=
=
(xm ; xm+1 ) + (xm+1 ; xm+2 ) + + (xn 1 ; xn )
m 1 + m + m+1 + + n 1 (x1 ; x2 )
n0 1 + P
(x1 ; x2 )
j
(x1 ; x2 ) 1
j =n0 1 (x1 ;x2 ) n0 1
1 (x1 ; x2 ) n0 1
| {z }
1
| {z } n0 !1
! 0
konst:
Tedy 8" > 0 lze zvolit n0 tak, aby m; n : (xm ; xn ) < ", to znamena, ze fxn g je
cauchyovska v P . P je dle predpokladu uplny, proto xn ! x0 2 P .
Dale tvrdm : T (x0 ) = x0
Vyjdeme z toho, ze
xn+1 ! x0 a xn+1 = T (xn )
Pak :
(T (xn ; T (x0 ))) (xn ; x0 ) ! 0 ) T (xn ) ! T (x0 )
33
Odtud :
xn+1 ! x0
to jsou dve stejne posloupnosti
T (xn ) ! T (x0 ) x0 = T (x0 )
Dale tvrdme, ze x0 je urcena jednoznacne
Necht' tedy 9x; y 2 P; T (x) = x; T (y) = y
Pak
(x; y) = (T (x); T (y)) (x; y)
2 [0; 1) ) (x; y) = 0 ) x = y
QED
poznamka V aplikacch casto nevme, zda T je kontrakce, ale vme, ze
9n 2 N tak, ze T n je kontrakce, kde T n = T| T {z
T ::: T}
n
TA 4 o pevnem bode "mocniny" kontrakce
VE
Necht' (P; ) je uplny metricky prostor a necht' 9n 2 N
Potom T ma prave jeden pevny bod v P
tak, ze T n je kontrakce.
D
ukaz Dle vety 3 9!x0 : T n (x0 ) = x0
Studujme T (x0 )
T n (T (x0 )) = T n+1 (x0 ) = T (T n (x0 )) = T (x0 )
) tedy take T (x0 ) je pevnym bodem zobrazen T n , ale ten je urcen jednoznacne,
takze T (x0 ) = x0 , tedy x0 je pevnym bodem T .
Jednoznacnost dokazeme indukc
Necht' x je pevny bod T ) x je pevny bod T 2 , nebot'
T 2 (x) = T (T (x)) = T (x) = x
indukce
) x je pevny bod T j 8j spec. pro j = n.
Vme, ze T n ma jen jeden pevny bod
QED
poznamka Neexpanzivn zobrazen nemus mt na uplnem prostoru pevny
bod, ale plat nasledujc tvrzen.
TA 5 o pevnem bodu neexpanzivnho zobrazen
VE
Necht' (P; ) je kompaktn metricky prostor a T : P ! P
Pak T ma prave jeden pevny bod v P .
34
je neexpanzivn.
D
ukaz P je kompaktn metricky prostor
(T (x); T (y)) < (x; y), x 6= y
TRIK :
Denujeme funkci f (x) := (x; T (x)), f : (P; ) ! <
Tvrdm, ze f je spojita
Tedy chci dokazat :
jf (x) f (y)j k (x; y)
f (x) f (y) = (x; T (x)) (y; T (y))
|
(x; T (x)) (x; y) + (y; T (y)) + (T (y); T (x))
) (x; T (x)) (y; T (y)) (x; y) + (T (x); T (y)) < 2 (x; y)
ze symetrie
j (x; T (x)) (y; T (y))j < 2 (x; y)
Tedy f je skutecne spojita, navc P je kompakt, f na nem proto nabyva minima
v nejakem x0 2 P
Tvrdm f (x0 ) = 0
Pro spor necht' f (x0 ) 6= 0, potom f (x0 ) > 0 a plat :
f (T (x0 )) = T (x0 ); T 2 (x0 )) < (x0 ; T (x0 ))) = f (x0 )
spor s denic minima
) f (x0 ) = 0
) (x0 ; T (x0 ))) = 0 ) x0 = T (x0 ) pevny bod
|
Jednoznacnost :
Necht' x = T (x), y = T (y) a x 6= y, potom
(x; y) = (T (x); T (y)) < (x; y)
spor
x je urceno jednoznacne
4
QED
DIFERENCIALN
OBYCEJN
E
I ROVNICE
4.1 Zakladn pojmy a vety
DEFINICE R ekneme, ze predpis y0 = f (x; y) je obycejna diferencialn rovnice
1. radu (rozredena, jestlize
f : ! <; <2 ;
kde x je nezavisla promenna, x 2 I , I < je otevreny interval, y je zavisla
y = y(x) - v diferencialn rovnici hledame neznamou funkci.
35
zkratka
ODR = obycejna diferencialn rovnice
sen ODR y 0 = f (x; y ) nazveme dvojici (y; I ), kde I je otevreny
DEFINICE Re
interval a y je funkce je denovana alespon na I a splnuje
y 2 C1
y0 (x) = f (x; y(x)) 8x 2 I
Necht' (y; I ) je resenm ODR y0 = f (x; y). Dvojici (y; J ) nazveme
rozsrenm resen (y; I ), jestlize I J a y = y na I
denice
denice
prklad
Maximalnm resenm nazyvame resen, ktere jiz nelze dale rozsirovat
Najdete maximaln resen
y0 = x2 ey
resen
y(x) =
log c
x3
3
p je resenm pro x 2 1; 3 3c , kde c 2 < a vsechna tato resen jsou maximaln
ZKOUSKA
1 x2 = x2 e log(c x33 ) = x2 ey(x)
y0 (x) =
Jak na to ale prijt
c
x3
3
poznamka Z uvedeneho prkladu vyplyva, ze resen ODR tvor jednoparametricky system zavisly na konstante c 2 <. Tento system nazyvame obecne
resen ODR (yc ; Ic ).
Partikularnm resenm nazyvame jedno z obecnych resen, ktere splnuje predem
zadanoou podmnku - obvykle y(x0 ) = y0 , x0 ; y0 2 <
TA 1 o souvislosti resen ODR a resen integraln rovnice
VE
Necht' I < je otevreny interval, f je spojita, y 2 C (I ). Pak y je na I resenm
ODR y0 = f (x; y), splnujc podmnku y(x0 ) = y0 prave tehdy, kdyz
y(x) = y0 +
Z x
x0
f (t; y(t)) dt 8x 2 I
36
D
ukaz
meze)
(plyne ihned z vety o derivaci Riemannova integralu podle horn
)
yR je resenm ) y 2 C 1 (I ) ) y0 2 C (I ) ) y0 2 R[x0 ; x] ) y(x) y0 =
x
x0 f (t; y (t)) dt
(
y je spojita )
Z x
d
0
y (x) =
y + f (t; y(t)) dt = 0 + f (x; y(x))
dx 0 x0
Navc zrejme y(x0 ) = y0 +
R x0
x0
f (t; y(t)) dt = y0
QED
TA 2 o navazovan (lepen) resen ODR
VE
Necht' f je spojita na <2 , necht' je dana ODR y0 = f (x; y)
Necht' yl je resenm na intervalu (x0 ; x0 ) > 0
Necht' yr je resenm na intervalu (x0 ; x0 + )
Necht'
Potom funkce
lim yl (x) = x!lim
y (x) = A 2 <
x0 + r
x!x0
8
<
yl (x) x 2 (x0 ; x0 )
A
x = x0
:
yr (x) x 2 (x0 ; x0 + )
je resenm na intervalu (x0 ; x0 + )
y(x) :=
D
ukaz y je zrejme resenm na (x0 ; x0 ) i na (x0 ; x0 + )
v bode x0 ???
Musme dokazat : 9y0 (x0 ), a ze y0 je v x0 spojita (nebot' chceme, aby y 2
C 1 (x0 ; x0 + ))
Vme : yl a yr jsou v x0 spojite jednostranne, tedy podle vety o limite derivac
(yl )0 (x0 ) = x!lim
y0 (x) = x!lim
f (x; yl (x)) spojitost
= f (x0 ; A)
x0 l
x0
obdobne
(yr )0+ = x!xlim
!x0 + f (x; yr (x)) = f (x0 ; A)
Tedy (yl )0 (x0 ) = (yr )0+ (x0 ) ) y0 (x0 ) existuje a y0 (x0 ) = f (x0 ; A)
) y 2 C 1 (x0 ; x0 + ) a res rovnici na (x0 ; x0 + )
37
QED
Peanova veta
Necht' <2 , je otevrena
Necht' [x0 ; y0 ] 2 Necht' f : ! < je spojita.
Potom existuje interval I := (x0 ; x0 + ) a funkce y denovana alespon na
I takova, ze
y 2 C 1 (I )
y0 (x) = f (x; y(x)) 8x 2 I
y(x0 ) = y0
TA 3
VE
Bez d
ukazu
R ekneme, ze funkce f : I ! < je lokalne lipschitzovska, jestlize
8U I omezena 9K 8x; y 2 U : jf (x) f (y)j K jx yj
denice
prklady
f (x) = jxj je lipschitzovska, ale nema derivaci
f (x) = x 32 je spojita, ale nen lipschitzovska
poznamka f ma omezenou derivaci) f je litschitzovska) f je spojita,
ale ani jednu z implikac nelze obratit
Picardova
Necht' 2 < a je otevrena
Necht' [x0 ; y0 ] 2 Dale necht' f : ! < je spojita a lokalne lipschitzovska vzhledem k y, tj.
8U omezena 9K 8(x; y1 ); (x; y2 ) 2 U : jf (x; y1 ) f (x; y2 )j K jy1 y2 j
Potom 9I := (x ; x + ) a funkce denovana alespon na I tak, ze plat:
y 2 C 1 (I )
y0 (x) = f (x; y(x)) 8x 2 I
y(x0 ) = y0
A navc toto resen je na I jednoznacne (tzn. kazda dve resen ODR prochazejc
bodem [x0 ; y0 ] na I splyvaj)
TA 4
VE
38
vety 1 je y resen ODR y0 = f (x; y(x)) , y(x) = y0 +
D
ukaz Podle
f
(
x0 t; y (t)) dt
Rx
R
Denujeme operator T : y ! (T y)(x) := y0 + xx0 f (t; y(t)) dt na metrickem
prostoru (P; ), kde
P := fy 2 C ([x0 ; x0 + ]) ; y(x0 ) = y0 g
(y; z ) := sup jy(x) z (x)j
jx x0 j
Potom (P; ) je uzavreny podprostor prostoru (C ([x0 ; x0 + ]) ; )
Protoze (C; ) je uplny a a P C uzavreny, je take (P; ) uplny (viz veta 2 z
kapitoly Metricke prostory II)
|
Chceme dokazat : T : (P; ) ! (P; ) je pro dostatecne male kontrakce
| Necht' g; h 2 P , pak
(T g; T h) def:= P
def: T
=
sup
jx x0 j
lin: int:
=
y0
+
Z x
sup
x0
sup jT g(x) T h(x)j =
jx x0 j
(t; g(t)) dt y0
Z x
jx x0 j x0
sup
Z x
jx x0 j x0
Z x
x0
f (t; h(t))
dt
=
dt
(f (t; g(t)) f (t; h(t)))
jf (t; g(t)) f (t; h(t))j dt
Z x !
dt
sup
sup jf (t; g(t)) f (t; h(t))j
jx x0 j t2[x0 ;x]
x0
sup jf (t; g(t)) f (t; h(t))j
t2[x0 ;x0 +]
lipsch:
K sup
t2[x0 ;x0 +]
jg(t) h(t)j K (g; h)
Stac zvolit < K1 , pak T je kontrakce na (P; ) a ta ma dle Banachovy vety
prave jeden pevny bod, tj. 9!y : T y = y, tedy prave jedno resen ODR.
4.2 Systemy linearnch ODR a systemy vyssho radu
znacen y0 ; y00 ; y000 ; y(4) ; :::; yk - derivace k: radu
DEFINICE
rovnici
Necht' I <, a1 ; a2 ; a3 ; :::; an 1 ; b, potom linearn ODR nazyvame
y(n) + an 1 y(n 1) + ::: + a1 y0 + a0 y = b x 2 I
je-li b 0, pak rovnici nazveme homogenn
39
poznamka Picardova veta plat i pro rovnice vyssho radu. Dale linearn
funkce ma omezenou derivaci a tedy je lipschitzovska ) jsou-li koecientn
funkce a0 ; a1 ; :::; an 1 ; b spojite na I , potom 8x0 2 I a (y0 ; y1 ; :::; yn 1 ) 2 <n existuje resen lokalne jednoznacne takove, ze y(x0 ) = y0 ; y0 (x0 ) = y1 ; :::; y(n 1) (x0 ) =
yn 1 - plyne z vety 4, varianty pro vyss rady
DEFINICE System linearnch ODR 1.radu
y10 = a1;1 y1 + a1;2 y2 + y20 = a2;1 y1 + a2;2 y2 + ..
.
+ a1;n yn + b1
+ a2;n yn + b2
yn0
= an;1 y1 + an;2 y2 + + an;n yn + bn
Maticovy zapis y0 = Ay + b, kde
y; b : I ! <n (vektorove funkce na I )
A : I ! <n2 (maticova funkce na I )
yi ; bi ; ai;j : I ! < (spojite funkce na I )
poznamka
rovnic 1. radu
Denujeme
R esen jedne rovnice radu n lze prevest na resen systemu n
y(n) + an 1 y(n 1) + ::: + a1 y0 + a0 y = b
y(x0 ) = y0 ; y0 (x0 ) = y1 ; :::; y(n 1) (x0 ) = yn 1
u1 = y; u2 = y0 ; :::; un = y(n 1)
pak rovnice pejde v system
u01 = u2
u02 = u3
..
.
u0n 1 = un
u0n = b
an 1 un
a1 u2
a0 u1
poznamka Ne kazdy syste m n linearnch ODR lze prevest na jednu rovnici
radu n ("podmnka resitelnosti")
pr.:
y0 = y
z0 = y
40
denice Normou kkX na vektorovem prostoru X nazveme zobrazen kkX :
X ! [0; 1) splnujc
kxkX 0; kxkX = 0 , x = 0
kxkX = jjkxkX 8skalar kx + ykX kxkX + kykX
poznamka Je-li na vektorovem prostoru X dana norma, je (x; y) := kx
ykX metrikou na X
denice
jeme
Necht' A : I ! <n2 je maticova funkce, ai;j 2 C (I ). Pak denukAk := i;jmax
sup jai;j (x)j
21;:::;n
x2I
o globaln existenci a jednoznacnosti resen systemu linearnch ODR
1. radu
Necht' I <,
Necht' ai;j ; bi : I ! < spojite 8i; j 2n f1; 2; :::; ng,
Necht' x0 2 I , y0 2 <n a A = (ai;j )i;j=1 .
Potom existuje prave jedno resen rovnice
y0 (x) = (Ay)(x) + b(x); x 2 I
splnujc podmnky
y(x0 ) = y0
denovane na celem I .
TA 5
VE
D
ukaz alespon naznak
Chceme dokazat : 9!resen y soustavy y0 = Ay + b s podmnkami y(x0 ) = y0
Polozme zobrazen
(T y) (x) := y0 +
Z x
x0
[A(t)y(t) + b(t)] dt x 2 I
Chceme dokazat, ze 9j 2 N takove, ze T j je kontrakce na intervalu [; ] I ,
; libovolne
Tedy T j bude kontrakce na (P; ), kde P = C ([; ]) a = supx2[;] jf (x) g(x)j
Pak P je uplny, tedy T na nem ma prave jeden pevny bod
Z lokaln jednoznacnosti vyplyne ihned jednoznacnost globaln
|
Zbyva dokazat, ze T j je kontrakce
jT y(x) T z(x)j =
Z x
A
x0
41
(t) [y(t) z(t)]
dt
Z x
kAkC (I;<n2 ) (y; z) x0
dt
= kAk (y; z) jx x0 j
Podobne pro T 2
2
T y
(x) T 2 z(x) kAk2 (y; z)
2
= kAk2 (y; z) jx 2x0 j
A dale pro obecne j
j
T y
Z x
x0
jx x0 j
j
j
(x) T j z(x) kAk jj! j (y; z)
j
j
Stac tedy zvolit j tak, aby := kAk jj! j < 1
Potom
(T j y; T j z ) sup T j y(x) T j z (x) (y; z )
tedy T j je kontrakce na P
x
QED
TA 6 o tvaru resen linearnho systemu ODR 1.radu
VE
Necht' I <, necht' A = (ai;j )ni;j=1 , ai;j : I ! < spojite
necht' b = (bi )ni=1 , bi : I ! < spojita Denujeme H := KerL, kde Ly := y0 Ay
Dale denujeme M := fy 2 C 1 (I; <n ); Ly = bg
Potom
1. H je vektorovy prostor dimenze n
2. 9y0 2 C 1 (I; <n ) : M = y0 + H
D
ukaz
1. Linearita H je zrejma
Denujeme zobrazen T : H ! <n
g 2 H T : g ! g(x0 )
T je zrejme linearn. Podle vety 5 existuje prave jedno resen homogenn
soustavy y0 = Ay prochazejc bodem [x0 ; g(x0 )] 2 <n+1
) T je proste jednoznacnost a na existence
) T je isomorsmus ) dim H = n
42
2. Podle vety 5 9y0 2 C 1 (I; <n ) : Ly0 = b
Necht' h 2 H . Pak
L(y0 + h) linearita
= Ly0 + Lh = b + 0 = b
Tedy 8h 2 H y0 + h 2 M ) y0 + H M .
Obracene:
Necht' y1 2 M . Hledam h : y1 = y0 + h
Zvolme h := y1 y0 , musme dokazat, ze h 2 H
L(h) = L(y1 y0 ) = Ly1 Ly0 = b b = 0
) h 2 H ) M y0 + H
QED
DEFINICE Libovolnou bazi fy1 ; y2 ; :::; yn g prostoru resen homogenn soustavy Ly = 0 nazveme fundamentalnm systemem resen homogenn rovnice
y0 = Ay, dale jiz jen FSR .
poznamka Podle vety 5 pro y0 = Ay vzdy existuje FSR (tedy, pokud jsou
slozky A spojite na I )
poznamka Jednotliva resen z FSR jsou vektory v <n , lze je poskladat do
tzv. Fundamentaln matice
Necht' ff 1 ; f 2 ; :::; f n g jsou vektorove funkce na I , f j : I ! <n .
Pak Wronskianem soustavy ff 1 ; :::; f n g v bode x 2 I denujeme
1
0 1
f1 (x) f1n (x)
.. . . . .. C
W(f 1 ;:::;f n ) (x) = det B
@
.
. A
n
1
fn (x) fn (x)
denice
poznamka Zrejme plat:
ff 1 ; :::; f n g je linearne zavisly v C 1 (I; <n ) ) W (x) 0 na I .
Nicmene obracene to neplat
TA 7 o Wronskianu a linearn zavislosti resen y0 = Ay
VE
Necht' I <, necht' A = (ai;j )ni;j=1 , ai;j : I ! < spojite
necht' ff 1 ; :::; f n g jsou na I resen systemu y0 = Ay
1. Necht' 9x0 2 I tak, ze w(f 1 ;:::;f n ) (x0 ) = 0, pak jiz nutne W 0 na I a
ff 1 ; f 2 ; :::; f n g jsou linearne zavisle v C 1 (I; <n )
2. Necht' 9x0 2 I tak, ze W(f 1 ;:::;f n ) 6= 0. Pak W 6= 0 nikde na I a
ff 1 ; :::; f n g jsou linearne nezavisle.
43
D
ukaz 1. a 2. tvrd totez, stac dokazat 1.
Necht' W (x0 ) = 0
) 9c1 ; :::; cn 2 <
n
X
i=1
jci j =6 0 &
n
X
i=1
ci f i (x0 ) = 0
funkce P ci f i je resenm soustavy y0 = Ay (f i jsou resen a toto je jejich linearn
kombinace)
Podle vety 5 bodem [x0 ; 0] prochaz jen jedno resen y0 = Ay a to je nulove,
tedy P ci f i 0 na I ) ff 1 ; :::; f n g jsou linearne zavisle na C (I; <N )
QED
TA 8 variace konstant pro system y0 = Ay + b
VE
Necht' I <, necht' A = (ai;j )ni;j=1 , ai;j : I ! < spojite
necht' b = (bi )ni=1 , bi : I ! < spojita necht' fy(1) ; :::; y(n) g je fundamentaln
system resen soustavy homogenn soustavy y0 = Ay
Potom existuj funkce c1 ; :::; cn 2 C 1 (I; <n ) tak, ze funkce funkce y:
y(x) :=
n
X
i=1
ci (x)y(i) (x) y 2 C 1 (I; <n )
je resenm nehomogenn soustavy y0 = Ay + b
D
ukaz
Aby
y=
n
X
i=1
ci (x)y(i) (x)
bylo resenm y0 = Ay + b, mus platit
y0 =
n
X
i=1
=
c0i (x)y(i) (x) +
n
X
i=1
n
X
i=1
ci (x)y(0 i) (x) =
ci (x)A(x)y(i) (x) + b(x)
My ale vme, ze y(i) jsou resenmi homogenn rovnice y0 = Ay, tedy y(0i) = Ay(i) ,
a tedy
n
n
X
X
ci (x)yi0 (x) = ci (x)A(x)y(i) (x)
i=1
Takze stac vzt ci tak, aby
n
X
i=1
i=1
c0i (x)y(i) (x) = b(x)
44
()
Pro kazde pevne x je () soustava algebraicky linearnch rovnic s matic, jejz
determinant W (x) je nenulovy v kazdem bode.
Tetdy existuje prave jedna n tice c1 (x); :::; cn (x), ktera splnuje ()
|
Protoze Y = y(1) ; y(2) ; :::y(n) , mame c0 = Y 1 b
Tedy
Z x
c(x) = C + Y 1 (t)b(t) dt
x0
c : I ! <n , C 2 <n konstantn vektor (integrace probha po slozkach)
|
obecne resen systemu y 0 = Ay + b
y(x) = Y (x) C +
Z x
x0
Y 1 (t)b(t) dt
a partikularn resen splnujc y(x0 ) = y0 2 <n
y(x) = Y (x) Y 1 (x0 ) y0 +
Z x
x0
Y 1 (t)b(t) dt
QED
4.3 Systemy linearnch ODR s konstantnmi koecienty
y(n) +
nX1
j =0
aj y(j ) = b na I
(1)
linearn ODR n-teho radu
y0 = Ay + b na I
(2)
system n linearnch rovnic
resen je dvoukrokove
1. FSR homogenn ulohy y0 = Ay
2. y0 jedno partikularn resen nehomogenn soustavy (variace konstant, metoda
neurcitych koecient
u)
3. y0 + [F S X ] mnozina resen
Nadale
A je cselna matice, koecienty ai;j jsou konstantn
R esme homogenn ulohy
y(n) +
nX1
i=0
aj y(j ) = 0 aj 2 <
(3)
y0 = Ay A = (ai;j )ni;j =0 ai;j 2 <
45
poznamka
y = ex ; 2 <; pak y0 = ex
denice
Polynom
P () := n +
nX1
j =0
aj j ; aj 2 <; 2 C
nazveme charakteristickym polynomem (3)
pozorovan z poznamky plyne, ze je-li korenem charakteristickeho polynomu P , potom je ex resenm rovnice (3)
TA 9 o FSR lin. ODR n-teho radu
VE
Necht' P () je charakteristicky polynom (3)
Necht' 1 ; 2 ; :::; k jsou vzajemne ruzne koreny P
A necht' s1 ; s2 ; :::; sn jsou po rade jejich nasobnosti
Potom
x
e 1 ; xe1 x ; x2 e1 x ; :::; xs
1 e1 x ; e2 x ; :::; ek x ; :::; xsk 1 ek x je FSR rovnice (3)
D
ukaz
vsechny uvedene funkce res (3)
jejich pocet je n
linearn nezavislost plyne z Wronskianu (nenuloveho) treba pro x = 0
QED
Tento FSR je obecne komplexn, realny FSR dostaneme pomoc vzorcu
eix + e ix
2 = cos x
eix e ix
2i = sin x
) xj e(+i)x nahradme dvojic xj ex cos x; xj ex sin x
poznamka
46
nadale budem resit system rovnic (4)
0
y0 = Ay y = B
@
Hledame resen ve tvaru
0
y = ex q; q = B
@
Pak
Tedy
y1
..
.
yn
q1
..
.
qn
1
C
A
1
C
A
2 Cn
y0 = ex q = Ay = Aex q
ex Aq = ex q
C ili je vlastn cslo matice A a q odpovdajc vlastn vektor
o FSR systemu ODR 1.radu v prpade, kdy existuje baze slozena
z vlastnch vektoru
Jestlize A je podobna diagonaln matici, pak existuje n vlastnch lineaene nezavislych
vektoru q(1) ; :::; q(n) odpovdajc vlastnm cslum 1 , ..., n (obecne ne ruznych)
Potom soubor
TA 10
VE
tvor FSR systemu (4)
e1 x q(i) ; :::; en x q(n)
Bez d
ukazu
Obecne jsou j a q(j) komplexn. Realny FSR opet zskame
nahrazenm dvojice komplexne sdruzenych funkc f; f dvojic Re f; Im f
poznamka
Posloupnost vektoru v1 ; :::; vk spnujcch
(A I )v1 = 0
(A I )v2 = v1
..
.
(A I )vk = vk 1
nazveme retezcem pridruzenych vektoru odpovdajcch vlastnmu cslu delky
denice
k
47
poznamky
v1 ; :::; vk retezec ) v1 ; :::; vk
LN
v1 je vlastn, dals vektory v retezci nejsou
Kazde Jordanove bunce velikosti k odpovda jeden retezec delky k
veta z algebry: pro kazde vlastn cslo nasobnosti k existuje prave jeden
index j tak, ze
Ker(A I ) 6= Ker (A I )2 6= ::: 6= Ker (A I )j = ::: = Ker (A I )k
o FSR systemu lin. ODR 1.radu v prpade, ze neexistuje baze z
vlastnch vektoru
Necht' je vlastn cslo matice A a necht' v1 ; :::; vn je retezec odpovdajcch
pridruzenych vektoru
Potom
TA 11
VE
ex v1 ; ex
k 1
x x2 1
x
1
2
2
3
x
1
k
1
k
xv + v ; e
2 v + xv + v ; :::; e (k 1)! v + ::: + xv + v
jsou vzajemne nezavisla resen systemu (4)
5
V
cerozm
ern
y (Riemann
uv) integr
al
denice Intervalem
valu
v <n nazyvame kartezsky soucin n uzavrenych inter-
I := [a1 ; b1 ] [a2 ; b2 ] ::: [an ; bn ]
1 < aj < bj < 1
j , pak system D
Je-li Dj delen intervalu [aj ; bj ] Dj = fIji gsi=1
sj
i
i
i
1
2
n
vsech intervalu fI1 I2 ::: In gi;j=1 nazyvame delenm intervalu I a pseme
D = D1 D2 ::: Dn
denice
denice Objemem (n-rozmernou mrou ) intervalu I
m(I ) := (b1 a1 ) (b2 a2 ) ::: (bn
rozumme cslo
an )
DEFINICE Necht' I <n je interval
Necht' f : I ! < a je omezena
Potom denujeme pro kazde delen D intervalu I doln a horn soucet predpisem
X
s(D; f ) :=
inf f (x) m(Ij )
x2Ij
Ij 2D
S (D; f ) :=
X
sup f (x) m(Ij )
Ij 2D x2Ij
48
Dolnm
csla
a hornm Riemannovym integralem funkce f pres interval I nazyvame
Z
I
Z
R
I
R
f (x) dx := sup(s(f; D))
D
f (x) dx := inf (S (f; D))
D
Jestlize I = I , pak rkame, ze f je riemannovsky integrovatelna na I a
spolecnou hodnotu nazyvame Riemannovym integralem pres I .
TA 1 Fubiniova veta
VE
Necht' I = [a1 ; b1 ] ::: [an ; bn ]
Necht' f : I ! < f 2 C (I )
Potom
Z
I
f (x) dx =
Z b1
Z b2
a1
a2
:::
Z bn
an
!
!
!
f (x1 ; :::; xn ) dxn ::: dx2 dx1
bez d
ukazu
Je-li <n oblast, jejz hranice @ , kde @ :=
n
\< je konecne sjednocen grafu spojitych funkc denovanych na podmnozinach
poznamka (zobecnen)
euklidovskych prostoru dimenze nizs nez n, pak lze f dodenovat nulou na
doplnku do nejake ho intervalu, a Fubiniova veta pak plat nadale i pro
rozsrenou f
DEFINICE Necht' <n je otevrena a f
fj : ! <
Necht' f 2 C 1 (
), potom denuji matici
: ! <n , tedy f = (f1 ; f2 ; :::; fn )
@fi n
(a)
@xj i;j =1
Tuto matici nazveme Jacobiho matic f na a jej determinant Jf (y) nazveme
Jacobianem f v bode a
denice Zobrazen se nazyva regularn, jestlize
f 2 C 1 (
)
G := f (
) je otevrena
Jf (a) 6= 0 8a 2 49
o substituci
Necht' 2 <n je otevrena
Necht' f : ! G 2 <n je regularn zobrazen
Necht' f je proste a na G
Potom pro spojitou funkci g : G ! < plat
TA 2
VE
Z
G
g(x) dx =
Z
g 1 (G)=
50
g (f (y)) jJf (y)j dy