Mechanika II - výukový manuál

Transkript

Projekt OP VK
CZ.1.07/1.1.07/11.0112
Podpora odborného vzdělávání na středních školách MSK
Střední škola průmyslová
a umělecká, Opava,
příspěvková organizace
Praskova 8/399
746 01, Opava
www.sspu-opava.cz
tel.: 553 621 580
e-mail: [email protected]
www.spravnysmer.cz
Mechanika II
Výukový manuál
Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis
„Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky“
Praskova 8, 746 01 Opava, tel.: 553 621 580, fax: 553 622 604
e-mail: [email protected], www.sspu–opava.cz
Opava 2009
Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková
organizace
Tato práce slouží pro výuku předmětu Mechaniky II na Střední škole průmyslové
a umělecké, Opava, příspěvkové organizaci.
Opava 2009
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.2
3.3
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.5
3.6
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.6.1
4.6.2
4.7
5
5.1
5.2
5.2.1
5.3
5.4
5.4.1
5.5
5.5.1
Obsah
Úvod ............................................................................................................................ 5
Plán učiva .................................................................................................................... 5
Pomůcky ...................................................................................................................... 5
Poznámky .................................................................................................................... 6
Opakování prvního ročníku ......................................................................................... 6
Skládání sil – graficky a početně ................................................................................. 6
Rozložení síly do dvou kolmých směrů ...................................................................... 6
Podmínky rovnováhy................................................................................................... 7
Řešení reakcí nosníků na dvou podporách .................................................................. 7
Smykové tření .............................................................................................................. 7
Těžiště.......................................................................................................................... 8
Diagram tahové zkoušky ............................................................................................. 8
Dovolené napětí a bezpečnost ..................................................................................... 9
Tah, tlak ....................................................................................................................... 9
Smyk .......................................................................................................................... 10
Příklady...................................................................................................................... 10
Kvadratické momenty průřezových ploch ................................................................. 16
Momenty.................................................................................................................... 17
Statický moment síly ................................................................................................. 17
Statický moment plochy ............................................................................................ 17
Kvadratický moment plochy ..................................................................................... 17
Steinerova věta .......................................................................................................... 19
Kvadratické momenty geometrických ploch ............................................................. 19
Kvadratické momenty složených ploch ..................................................................... 21
Poloměr kvadratického momentu (kvadratický poloměr) ......................................... 23
Obdélník .................................................................................................................... 23
Kruh ........................................................................................................................... 23
Poloměr kvadratického momentu ix k mimotěžišťové ose ........................................ 23
Průřezové moduly v ohybu a krutu ........................................................................... 24
Průřezový modul v ohybu ......................................................................................... 25
Krut ............................................................................................................................ 27
Základní rovnice pro krut .......................................................................................... 28
Pevnostní podmínka pro krut..................................................................................... 28
Hookeův zákon pro smyk .......................................................................................... 28
Deformační podmínka pro krut: ................................................................................ 29
Závislost krouticího momentu MK na výkonu P ....................................................... 30
Kroucené pružiny ...................................................................................................... 30
Torzní tyč:.................................................................................................................. 30
Šroubová válcová pružina ......................................................................................... 31
Krut nekruhových průřezů ......................................................................................... 33
Ohyb .......................................................................................................................... 36
Pevnostní podmínka pro ohyb ................................................................................... 36
Uložení nosníků ......................................................................................................... 37
Způsoby uložení: ....................................................................................................... 37
Vnitřní síly a momenty .............................................................................................. 39
Průběh posouvajících sil a ohybových momentů ...................................................... 41
Vetknutý nosník ......................................................................................................... 41
Určování posouvajících sil a ohybových momentů ................................................... 42
Analytická metoda: .................................................................................................... 42
5.5.2
5.6
5.7
5.8
5.9
5.9.1
5.9.2
5.10
5.10.1
5.10.2
5.10.3
5.10.4
5.11
5.12
5.13
5.13.1
6
6.1
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
6.3.5
6.4
7
7.1
7.2
7.3
7.4
8
8.1
8.2
8.3
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.4
9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Metoda superpozice: .................................................................................................. 43
Schwedlerova věta ..................................................................................................... 47
Nosníky se spojitým zatížením .................................................................................. 49
Nosník na dvou podporách ........................................................................................ 50
Nosníky stálé pevnosti ............................................................................................... 55
Vetknutý nosník ......................................................................................................... 55
Nosník na dvou podporách ........................................................................................ 58
Deformace v ohybu ................................................................................................... 59
Poloměr křivosti ρ ..................................................................................................... 59
Úhel natočení α .......................................................................................................... 59
Průhyb y ..................................................................................................................... 60
Metoda superpozice ................................................................................................... 64
Deformační podmínka pro ohyb ................................................................................ 67
Staticky neurčité nosníky .......................................................................................... 68
Ohýbané pružiny ....................................................................................................... 69
Výpočet listových pružin: .......................................................................................... 71
Složená namáhání ...................................................................................................... 73
Kombinace normálných napětí .................................................................................. 73
Šikmý ohyb: ............................................................................................................... 73
Tah nebo tlak + ohyb ................................................................................................. 75
Excentrický tah (tlak): ............................................................................................... 76
Kombinace normálných sil a tečných napětí ............................................................. 78
Teorie pevnosti .......................................................................................................... 78
Teorie maximálních normálných napětí σMax ............................................................ 78
Teorie maximálních poměrných deformací eMax ...................................................... 78
Teorie maximálních smykových napětí tMax ............................................................ 78
Teorie energetická – podle celkové měrné deformační energie ................................ 79
Teorie energetická – podle měrné deformační energie pro změnu tvaru .................. 79
Redukovaný moment ................................................................................................. 80
Vzpěr ......................................................................................................................... 86
Výpočet podle Eulera (pružný vzpěr)........................................................................ 88
Výpočet podle Tetmajera (nepružný vzpěr) .............................................................. 90
Součinitel vzpěrnosti ................................................................................................. 91
Shrnutí vzpěru: .......................................................................................................... 91
Cyklické namáhání – únava ....................................................................................... 94
Wöhlerova křivka (studium praskání kolejnic) ......................................................... 95
Smithův diagram ....................................................................................................... 96
Tvarová pevnost ........................................................................................................ 97
Vliv tvaru součásti: .................................................................................................... 97
Vliv velikosti: ............................................................................................................ 98
Vliv povrchu součásti: ............................................................................................... 99
Výpočet hřídele na únavu .......................................................................................... 99
Kinematika............................................................................................................... 101
Přímočaré pohyby .................................................................................................... 102
Přímočarý rovnoměrný pohyb – příklady................................................................ 104
Rovnoměrně zrychlený a zpožděný přímočarý pohyb ............................................ 106
Volný pád ................................................................................................................ 108
Svislý vrh ................................................................................................................. 108
Křivočaré pohyby .................................................................................................... 111
9.6.1
9.6.2
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.15.1
9.15.2
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
Obecný rovnoměrný křivočarý pohyb ..................................................................... 111
Rovnoměrný pohyb bodu po kružnici ..................................................................... 111
Rovnoměrný rotační pohyb těles kolem stálé osy ................................................... 113
Rovnoměrně zrychlený rotační pohyb ..................................................................... 114
Skládání pohybů ...................................................................................................... 116
Pohyb ve dvou rovnoběžných přímkách ................................................................. 117
Pohyb v různoběžných přímkách ............................................................................ 117
Vodorovný vrh......................................................................................................... 120
Šikmý vrh ................................................................................................................ 120
Svislý vrh ................................................................................................................. 122
Rozkládání pohybů .................................................................................................. 123
Valení válce po rovině ............................................................................................. 123
Oba dílčí pohyby otáčivé ......................................................................................... 125
Unášivý pohyb rotační, relativní posuvný ............................................................... 125
Harmonický pohyb .................................................................................................. 126
Rotační pohyb .......................................................................................................... 127
Kinematika soustavy těles ....................................................................................... 129
Stupně volnosti: ....................................................................................................... 129
Převody .................................................................................................................... 132
Řemenový nebo řetězový převod ............................................................................ 132
Převody ozubenými koly ......................................................................................... 132
Složený řemenový převod ....................................................................................... 133
Složený převod ozubenými koly ............................................................................. 134
1 Úvod
1.1 Plán učiva
1.
Úvod.
2.
Opakování látky z 1. ročníku.
3.
Kvadratické momenty a průřezové moduly.
4.
Krut.
5.
Ohyb.
6.
Složené namáhání.
7.
Stabilita – vzpěr.
8.
Cyklické namáhání – únava.
9.
Kinematika.
10.
Na konci roku před uzavřením známek kontrola všech sešitů, sešity musí být
v absolutním pořádku, se všemi nakreslenými obrázky, se vším dopsaným učivem, s okraji
tuší.
11.
Opakování učiva.
1.2 Pomůcky
1.
Kniha MECHANIKA Pružnost a pevnost pro SPŠ strojnické, L. Mrňák,
A. Drdla, SNTL.
2.
Kniha MECHANIKA II Kinematika pro SPŠ strojnické, M. Julina, J. Kovář,
V. Venclík, SNTL.
3.
Kniha MECHANIKA Sbírka úloh, I. Turek, O. Skala, J Haluška, SNTL.
4.
Kniha Strojnické tabulky, Jan Leinveber a Pavel Vávra, ALBRA.
5.
Čtverečkovaný sešit A4 tlustý, okraje tuší 3 cm od vnější strany.
6.
Pero a pentelka 0,5 mm.
7.
Guma na gumování.
8.
Trojúhelníkové pravítko.
9.
Kalkulačka.
5/135
1.3 Poznámky
Modul pružnosti
V tahu
Ve smyku
Ocel
E = 2,1 · 105 MPa
G = 8 · 104 MPa
Litina
E = 1,2 · 105 MPa
G = 4 · 104 MPa
2 Opakování prvního ročníku
2.1 Skládání sil – graficky a početně
2.2 Rozložení síly do dvou kolmých směrů
Fx = F ⋅ cos α
Fy = F ⋅ sin α
F = Fx2 + Fy2
6/135
2.3 Podmínky rovnováhy
n
n
∑ Fi = 0
∑M
i =1
=0
i
i =1
2.4 Řešení reakcí nosníků na dvou podporách
Fx = F ⋅ cos α
Fy = F ⋅ sin α
n
n
∑ Fx = 0 ;
∑F
i =1
i =1
n
n
y
∑M A = 0;
∑M
i =1
i =1
=0
B
=0
FRAx = Fx
FRBy =
Fy ⋅ a
a+b
;
FRAy =
Fy ⋅ b
a+b
2.5 Smykové tření
Ft = Fn ⋅ f
Fn = m ⋅ g
(Poznámka: platí v případě vodorovné podložky)
f – součinitel smykového tření, ocel/ocel – 0,15 ÷ 0,20;
fo – součinitel smykového tření v klidu;
f – součinitel smykového tření v pohybu;
g = 9,81 m·s–2
7/135
2.6 Těžiště
2.7 Diagram tahové zkoušky
ε e – pružná, elastická deformace;
ε p – plastická deformace;
U, σU – mez úměrnosti;
E, σE – mez pružnosti, elastičnosti;
K, σK, Re – mez kluzu, vzniká již trvalá deformace, dá se přesně zjistit u houževnatých
materiálů, je výchozí hodnotou pro výpočty;
P, σP, Rm – mez pevnosti, materiál praská, je důležitá u křehkých materiálů;
C – dochází k přetržení zkušební tyčinky.
σt =
F
S
Hookeův zákon:
σ = ε ⋅E
ε – poměrné prodloužení, deformace ε =
∆l
;
lo
E – modul pružnosti v tahu.
Obdobně platí pro smyk (strojnické tabulky str. 35):
τS = γ ⋅G
γ – zkos
G – modul pružnosti ve smyku.
Mez kluzu ve smyku τ KS = 0,6 ⋅ Re
Pro ocel i litinu platí: σ pt = σ pd (pevnost v tahu se rovná pevnosti v tlaku).
8/135
2.8 Dovolené napětí a bezpečnost
Počítáme: σ, bezpečnost, rozměr, sílu.
Dovolené napětí v tahu: σ Dovt =
Re
(mez kluzu / bezpečnosti).
k
Rm a Re najdeme ve strojnických tabulkách str. 232 ÷ 238
Re = 0,6 · Rm ( σ K = 0,6 ⋅ σ P )
pDov = (0,7 ÷ 0,9) σDovt
2.9 Tah, tlak
Tah počítáme v nejužším průřezu:
σt =
F
≤ σ Dovt
S
Měrný tlak počítáme na průmět plochy kolmý k působící síle:
p=
F
≤ p Dov
S
pDov = (0,7 ÷ 0,9) σDovt
S=
π ⋅ D2
4
S=
π ⋅ (D 2 − d 2 )
4
9/135
2.10 Smyk
F
≤ τ DovS
S
τS =
τPS = 0,6 · σPt
τKS = 0,6 · τPS = 0,6 . (0,6 · σPt) = 0,36 · σPt
τ DovS =
τ KS
k
2.11 Příklady
Př.: Jak velkou svislou silou musíme působit v místě A, aby se soustava
nepohybovala. Jaká bude reakce v bodě B? F1 = 500 N, F2 = 1000 N.
n
∑M
B
=0
i =1
– F1 · 300 + F2 · 200 – FA · 400 = 0 → FA = 125 N
n
∑F
y
=0
i =1
F1 – FRB + F2 – FA= 0 → FRB = 1375 N
10/135
Př.: Určete reakce nosníku.
F1 = F2 = 500 N
n
∑M
A
=0
i =1
F1 · 200 – FRB . 400 + F2 · 500 = 0
FRB =
500 ⋅ 200 + 500 ⋅ 500
= 875 N
400
n
∑F
y
=0
i =1
FRA = F1 – FRB + F2
FRA = 500 – 875 + 500 = 125 N
Př.: Jaké je napětí v jednotlivých prutech konzoly? Pruty mají průměr d = 10 mm?
500
→ α = 26,5°
1000
F
tgα =
→
F1
F
1000
F1 =
=
= 2000 N
tgα tg 26,5
tgα =
sin α =
1000
1000
1000
→ F2 =
=
= 2236 N
F2
sin α sin 26,5
σ1 =
F1
4 F1
=
= 25,46 MPa
S π ⋅d2
σ2 =
F2
4 F2
=
= 28,5MPa
S π ⋅d2
11/135
Př.: Jakým momentem MA musíme působit, aby byla soustava v rovnováze?
F1 = F2 = 100 N
n
∑F
i
= 0 → FRA = F1 + F2 = 200 N
i =1
n
∑M
i
= 0 → F1 ⋅ 200 + F2 ⋅ 400 - M A = 0 → M A = 100 ⋅ 200 + 100 ⋅ 400 =
i =1
= 60000 N = 60 Nm = 60 ⋅103 Nmm
Př.: Určete těžiště obrazce, rozměry jsou dány v mm.
Určíme T1 a T2:
Vypočteme plochy S1 a S2:
S1 = 80 · 60 = 4800 mm2
S2 = 40 · 40 = 1600 mm2
12/135
Souřadnice těžiště:
x1 = 30 mm, y1 = 40 mm, x2 = 80 mm, y2 = 20 mm
Výpočet výslednice:
S = S1 + S2 = 6400 mm2
F je přímo úměrná ploše, zavedeme:
F = 6400 N
F1 = 4800 N
F2 = 1600 N
F · xT = F1 · x1 + F2 · x2 → xT =
4800 ⋅ 30 + 1600 ⋅ 80
= 42,5mm
6400
F · yT = F1 · y1 + F2 · y2 → yT =
4800 ⋅ 40 + 1600 ⋅ 20
= 35mm
6400
Př.: Určete těžiště obrazce, rozměry jsou dány v mm:
S1 = 60 · 30 = 1800 mm2→ F1 = 1800 N
S2 =
π ⋅d2
4
=
π ⋅ 20 2
4
= 314 mm2→ F2 = 314 N
x1 = 30 mm, x2 = 15 mm
F = F1 – F2 = 1480 N
F · xT = F1 · x1 – F2 · x2 → xT =
1800 ⋅ 30 − 314 ⋅15
= 33,2mm
1486
Těžiště leží na ose souměrnosti → yT = 0 (bod 0 zvolen na ose).
13/135
Př.: Jakou silou F musíme tlačit bednu o hmotnosti 100 kg, aby se začala pohybovat?
Součinitel smykového tření f = 0,2.
F = FT = FN · f = m · g · f = 100 · 9,81 ·0,2 = 196,2 N
Př.: Který jeřábník zvolil z pevnostního hlediska vhodnější délku řetězu? Situaci
prověřte graficky.
První varianta je dle grafického rozkladu výhodnější.
Př.: Jakou silou tlačí levá spodní tyč na bočnici a na dno palety. Tíha jedné roury je
2000 N, průměr roury je 500 mm.
14/135
Rovnostranný trojúhelník → 60° → α = 30°
G
G
1000
cos 30 = 2 → F1 =
=
= 1154,7 N
F1
2 ⋅ cos 30 cos 30
Síla působící na dno pod levou tyčí:
FDNA = F2 + G = 1000 + 2000 = 3000N
Síla působící na bočnici:
sin 30 =
F3
→ F3 = F1 ⋅ sin 30 = 1154.7 ⋅ sin 30 = 577,35 N
F1
Př.: Jaká velká síla je potřebná k vystřižení pětikoruny z plechu. τPS = 250 MPa.
Průměr d = 23 mm, t = 2 mm.
F
≥ τ PS → F ≥ τ PS ⋅ S =
S
= τ PS ⋅ π ⋅ d ⋅ t =
τS =
= 250 ⋅ π ⋅ 23 ⋅ 2 = 36128 N =
= 36,128 kN = 3,6 t
Př.: Táhlo s otvory je namáháno na tah silou F = 33 kN. Materiál táhla 11 523 má
Re = 335 MPa. Určete tloušťku táhla při bezpečnosti k mezi kluzu k = 1,5.
σ Dovt =
σt =
Re 335
=
= 223,3MPa
k
1,5
F
F
33000
≤ σ Dovt → S =
=
= 147,78mm 2
S
σ Dovt 223,3
S = (40 – 10) · t → t =
S
147,78
=
= 4,9 mm
30
30
15/135
Př.: Osazený konec tyče je namáhán silou 10 kN, vypočtěte napětí v patřičných
místech. D = 70 mm, d = 50 mm, t = 30 mm.
F
F
10000 ⋅ 4
=
=
= 5,1MPa
2
S π ⋅d
π ⋅ 50 2
4
σt =
F
F
10000
=
=
= 2,12 MPa
S π ⋅ d ⋅ t π ⋅ 50 ⋅ 30
τS =
p=
F
F
10000 ⋅ 4
=
=
= 5,3MPa
2
2
S π ⋅ ( D − d ) π ⋅ (70 2 − 50 2 )
4
Př.: Jakou velkou silou je třeba táhnout ocelovou tyč, aby se prodloužila o 1mm? Tyč
má průměr 10 mm a délku 1 m (Hookeův zákon).
ε=
∆l
1
=
= 0,001
l0 1000
σ t = ε ⋅ E = 0,001 ⋅ 2,1 ⋅10 5 = 210 MPa
π ⋅d2
π ⋅ 102
F
→ F = σt ⋅ S = σt ⋅
= 210 ⋅
=
4
4
S
= 16,5kN
σt =
3 Kvadratické momenty průřezových ploch
Při namáhání v tahu, tlaku a smyku jsme poznali, že charakteristickými veličinami, na
kterých závisela únosnost součásti a její deformace, byly velikost síly a plocha průřezu.
Nezáleželo na poloze a tvaru. Jinak tomu bude u krutu a ohybu.
Například pravítko na ležato a na stojato.
U ohybu i dalších namáhání tedy únosnost a deformace závisí nejen na síle a průřezu,
ale i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové osy.
Charakteristickou veličinou tedy není průřez, ale kvadratický moment průřezu.
16/135
3.1 Momenty
3.1.1 Statický moment síly
M = F ⋅ a [N ⋅ m]
3.1.2 Statický moment plochy
[ ]
M S = S ⋅ x m3
3.1.3 Kvadratický moment plochy
3.1.3.1 Osový:
[ ]
∆J y = ∆S ⋅ x 2 m 4
n
J = ∑ (∆S i ⋅ xi ) = ∑ ∆J i [m 4 ]
2
i =1
n
n
i =1
i =1
J x = ∑ ∆J xi = ∑ (∆S i ⋅ y i )
n
2
!!! S ⋅ yT ≠ ∑ ∆S i ⋅ yTi !!!
2
2
i =1
Kvadratický osový moment plošky ∆S vzhledem k nějaké ose x se rovná součinu
obsahu této plošky a čtverce vzdálenosti těžiště y2 této plošky od osy x.
17/135
Kvadratický osový moment celé plochy S složené z plošek ∆S se rovná součtu dílčích
kvadratických momentů ∆J všech plošek ∆S.
Pozor! Na rozdíl od lineárního momentu, kde jsme mohli součet dílčích momentů
nahradit výslednou plochou násobenou vzdáleností těžiště, u kvadratického momentu by jsme
dostali jiný výsledek!
3.1.3.2 Polární
(
)
∆J p = ∆S ⋅ r 2 = ∆S ⋅ x 2 + y 2 = ∆S x2 + ∆S y2 = ∆J y + ∆J x
odtud pak:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
J p = ∑ ∆J pi = ∑ ∆J xi + ∑ ∆J y i = J x + J y
Kvadratický polární moment plošky ∆S vzhledem k libovolnému bodu (pólu) se rovná
součinu obsahu této plošky a čtverce vzdálenosti této plošky od pólu (r2).
Polární moment celé plochy S se rovná součtu dílčích polárních momentů ∆J p .
Polární moment ∆J p plochy S se rovná součtu osových kvadratických momentů téže
plochy S ke dvěma osám, které jsou kolmé a procházejí pólem.
18/135
3.1.4 Steinerova věta
Udává vztah mezi osovými momenty ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna
prochází těžištěm.
Jx = JxT + S · a2
[mm4]
Kvadratický moment k mimotěžišťové ose x se rovná kvadratickému momentu
k těžišťové ose xT rovnoběžnému s osou x, zvětšenému o součin S · a2, kde S je obsah plochy
a a je vzdálenost os.
Důsledek: K těžišťové ose je kvadratický moment minimální.
3.2 Kvadratické momenty geometrických ploch
Kvadratické momenty geometrických ploch
Kvadratický
Velikost průřezu
moment průřezu
k ose těžiště
Obdélník
S = b·h
J xT
b ⋅ h3
=
12
Polární moment
průřezu
–
Čtverec
S = a2
J xT =
19/135
a4
12
–
Trojúhelník
S=
b⋅h
2
S xT =
b ⋅ h3
36
J xT =
π ⋅d4
64
–
Kruh
S=
π ⋅d2
4
Jp =
π ⋅d4
32
Mezikruží
π (D 2 − d 2 )
S=
4
J xT =
π (D 4 − d 4 )
64
π (D 4 − d 4 )
Jp =
32
B ⋅ H 3 − b ⋅ h3
12
–
π ⋅ a3 ⋅ b
64
–
Dutý obdélník
S = B⋅H −b÷h
J xT =
Elipsa
S =
π
· a ⋅b
4
20/135
J xT =
3.3 Kvadratické momenty složených ploch
Kvadratické momenty mohu sčítat a odčítat pouze, působí–li ke stejné ose. Obvykle
počítáme kvadratický moment k těžišťové ose celého průřezu.
Např.: Mezikruží.
πD 4 πd 4
π
=
⋅ (D 4 - d 4 )
64
64
64
πD 4 πd 4
π
=
=
⋅ (D 4 - d 4 )
32
32
32
Jx =
JP
Př.: Určete kvadratický moment k ose x.
2
bh 3
h
J x = J xT + S ⋅ a =
+ bh   =
12
2
bh 3
bh 3
bh 3 + 3bh 3
4bh 3
bh 3
=
+
=
=
=
12
4
12
12
3
2
Př.: Určete kvadratický moment k ose x.
J x = J x1 - J x 2
3
bh
50 · 1003
J xT 1 = 1 1 =
= 4166666 ,7 mm 4
12
12
J x 1 = J x T 1 + S1 ⋅ a12 = 4166666 ,7 + 100 · 50 · 50 2 =
= 16666666 ,7mm 4
3
J xT 2 =
b2 h2
40 · 80 3
=
= 1706666 ,7 mm 4
12
12
J x 2 = J x T 2 + S 2 ⋅ a22 = 1706666,7 + 40 · 80 · 40 2 =
= 6826666 ,7mm 4
J x = J x1 - J x 2 = 16666666 ,7 - 6826666 ,7 =
= 9840000mm 4
21/135
Př.: Určete kvadratický moment k ose x. Jde o dva profily U 100 ČSN 42 5570,
Strojnické tabulky str. 295.
Z tabulek určíme:
J x U = 206cm 4
S u = 1350mm 2
J x = 2 ⋅ (J x U + SU ⋅ aU2 ) =
= 2 · ( 2 060 000 + 1350 · 50 2 ) = 10 870 000mm 4
Př.: Určete kvadratický moment k ose x. Jde o dva profily L50x50x6 ČSN 42 5541,
Strojnické tabulky str. 289, 290 + profil 10 × 100.
Z tabulek určíme:
J x T 1 = 12 ,88cm 4
S1 = 5,69cm 2
e = y = 1,44cm
J x1 = J x T 1 + S1 ⋅ a12 = J x T 1 + S1 ⋅ y 2 =
12 ,88 + 5,69 ⋅ 1,44 2 = 24 ,68 cm 4
2
J x2
bh 3
1 · 103
h
= J xT 2 + S2 ⋅ a =
+ bh  =
+ 1 · 10 · 5 2 = 333,33cm 4
12
12
2
2
2
J x 3 = J x1
J x = J x1 + J x 2 + J x 3 = 24,68 + 333,33 + 24,68 = 382,69cm 4
22/135
3.4 Poloměr kvadratického momentu (kvadratický poloměr)
Protože neplatí vztah Jx = S · yT2, nahrazujeme jej pro nutné případy vztahem:
Jx = S · ix2
n
J x = ∑ ∆S · yT = S · ix2 ≠ S · yT2
2
i =1
ix2 – poloměr kvadratického momentu, kvadratický
poloměr
J x ≠ S · yT2
3.4.1 Obdélník
1 3
bh
Jx
= 12
S
bh
ix =
h
12
ix =
3.4.2 Kruh
ix =
ix =
π ⋅d4 4
Jx
d2
=
⋅
=
S
64 πd 2
16
d
4
3.4.3 Poloměr kvadratického momentu ix k mimotěžišťové ose
ix =
Jx
=
S
J xT + S ⋅ a 2
S
23/135
3.5 Průřezové moduly v ohybu a krutu
Pevnostní podmínky:
σ t,d =
F
≤ σ Dovt , d
S
F
≤ p Dov
S
F
τs =
≤ τ DovS
S
M
σ o = o ≤ σ DovO
Wo
p=
τk =
Mk
≤ τ DovK
Wk
Průřezový modul WO, WK nám reprezentuje v pevnostní podmínce pro krut a ohyb
rozměry součástí, stejně jako plocha průřezu reprezentuje rozměry součástí v tahu nebo
smyku.
Průřezový modul v krutu
WK =
Jp
e
Jp – polární moment průřezu k neutrální ose.
Jx – kvadratický moment průřezu k neutrální ose.
e – vzdálenost krajního vlákna od neutrální osy.
WK – modul průřezu v krutu.
Neutrální osa je osa, ve které nepůsobí žádné napětí. U kružnice je to uprostřed.
πd 4
Jp
πd 3
32
WK =
=
=
d
e
16
2
WK =
π⋅d3
16
[mm3]
π
(D 4 − d 4 )
π (D 4 − d 4 )
32
W =
=
=
·
→ tedy WKcelk ≠ WK 1 − WK 2
D
e
16
D
K
2
Jp
Průřezové moduly nelze nikdy sčítat ani odečítat!
Poznámka: obvykle u krutu neuvažujeme jiné průřezy.
24/135
Př.:
π ⋅ d 3 π ⋅ 103
WK =
=
= 196 mm3
16
16
3.6 Průřezový modul v ohybu
σo =
M0
W0 min
W01 =
Jx
e1
W02 =
Jx
e2
Jx – kvadratický moment k neutrální ose.
Neutrální osa je osa, kde není žádné napětí, při ohybu prochází těžištěm průřezu.
e1, e2 – vzdálenost krajních vláken průřezu.
Wo1, Wo2 – moduly průřezu v ohybu, do pevnostní rovnice uvažuji s minimálním
modulem.
Postup výpočtu modulu průřezu v ohybu:
1.
Určím těžiště průřezu a tím i neutrální osu.
2.
Vypočtu kvadratický moment průřezu Jx s ohledem k těžištní ose.
3.
Vypočtu moduly průřezu W01 =
Jx
J
a W02 = x
e1
e2
U průřezů symetrických podle osy platí e1 = e2 → W01 = W 02
W0 celk ≠ W0
+ W0
části1
části 2
J x celk = J x části1 + J x části 2 (ke stejné ose)
25/135
Strojnické tabulky, str. 39 ÷ 41
Průřezové moduly v ohybu základních geometrických obrazců
K ose x
Obdélník
W0 x =
1 2
bh
6
K ose y
1
W0 y = b 2 h
6
Čtverec
W0 x =
1 3
a
6
W0 y =
1 3
a
6
W0 y =
πd 3
32
Kruh
W0 x =
πd 3
32
Mezikruží
W0 x =
π
32
 D4 − d 4 

· 
 D 
26/135
W0 y =
π
32
 D4 − d 4 

· 
 D 
4 Krut
Je namáhání kroutícím momentem, který působí v rovině ⊥ na podélnou osu součásti.
Deformace
λ r ⋅ϕ r
=
=
λ' ρ ⋅ϕ ρ
Pro malé úhly platí: γ ⋅ l = ϕ ⋅ r → γ =
r ⋅ϕ
l
γ – zkos.
ϑ – [théta] zkrut (úhel zkroucení hřídele jednotkové délky).
ϕ – úhel zkroucení.
Rovinné řezy zůstávají rovinné, pouze se proti sobě natočí. Při natočení se řezy po
sobě snaží posouvat, tedy vzniká tečné napětí → τ K .
Je zřejmé, že deformace λ uvnitř tyče je menší než deformace po obvodě tyče.
Protože platí Hookeův zákon, je deformace přímo úměrná napětí, tedy i napětí roste přímo
úměrně se vzdáleností od neutrální osy. Tedy při krutu je napětí rozloženo rovnoměrně a má
maximální hodnotu na povrchu průřezu.
27/135
4.1 Základní rovnice pro krut
τ K max =
MK
WK
kde WK =
Jp
r
pro kruh: WKo =
π ⋅d3
16
4.2 Pevnostní podmínka pro krut
τK =
MK
≤ τ KDov
WK
Ocel
τ DovK = 0 ,63 ⋅ σ Dovt
Litina
τ DovK = σ Dovt
WK – modul průřezu v krutu.
Výhodnější jsou duté hřídele, kde při stejné hmotnosti přenesou podstatně větší MK
(materiál u neutrální osy není využitý).
4.3 Hookeův zákon pro smyk
τ max = γ ⋅ G
G – modul pružnosti ve smyku.
Ocel
G = 8 · 104 MPa.
Litina
G = 4 · 104 MPa.
γ – zkos,
τ max =
γ=
r ⋅ϕ
l
WK =
JP
r
MK ⋅r
r ⋅ϕ
M ⋅ r ⋅l M K ⋅l
= γ ⋅G =
⋅G → ϕ = K
=
Jp
l
J p ⋅ r ⋅G J p ⋅G
Úhel kroucení:
ϕ=
MK ⋅l
[rad]
J p ⋅G
⋅
180
[°]
π
ϑ – [théta] zkrut (měrný úhel zkroucení) = úhel zkroucení tyče délky 1m.
ϑ=
ϕ
l
=
MK
[rad]
G · Jp
⋅
180
[°]
π
28/135
4.4 Deformační podmínka pro krut:
U dlouhých tenkých hřídelů máme obvykle požadavek i na dostatečnou tuhost hřídele.
Poddajný hřídel, který se hodně deformuje, může způsobit torzní kmity (pružina), které
způsobují nežádoucí vibrace stroje. Proto v těchto případech kontrolujeme hřídel
i z deformační podmínky.
Úhel zkroucení:
ϕ° =
180 M K · l
°
·
≤ ϕ Dov
π
G · Jp
Zkrut
ϑ° =
180
MK
°
·
≤ ϑDov
π
G · Jp
Př.: Vypočítejte napětí v krutu
τK a úhel zkroucení pro tyče průměru 25 mm a délky
1 m, MK = 50 N.m, G = 8 . 104 MPa.
π ⋅ d 3 π ⋅ 253
=
= 3068mm 3
16
16
50000
M
τK = K =
= 16,28MPa
3068
WK
WK =
π ⋅d4
π ⋅ 254
= 38350mm 4
32
32
50000 · 1000 · 180
M · l 180
ϕ= K ·
=
= 0 ,93°
G · Jp
π
8 · 10 4 · 38300 · π
JP =
=
π (D 4 − d 4 )
( pro trubku by platily vzorce : WK =
·
,
16
D
π (D 4 − d 4 )
Jp =
)
32
Př.: Určete výsledný úhel zkroucení φ.
)
)
)
)
ϕ celk = ϕ1 + ϕ 2 + ϕ3 =
J P1 =
J P2 =
J P3 =
π ⋅ d1 4
32
π ⋅ d24
32
π ⋅ d34
29/135
32
=…
=…
=…
 l
l
l 
· 1 + 2 + 3 
G  J p1 J p 2 J p 3 
MK
4.5 Závislost krouticího momentu MK na výkonu P
Obvykle u hřídele známe přenášený výkon P a jeho otáčky n:
Výkon:
P=
A F·s
=
= F · v = F · r · ω = MK · ω
t
t
odtud: M K =
P
ω
Úhlová rychlost: ω = 2 ⋅ π ⋅ n
Tedy při stejném výkonu čím větší máme otáčky, tím menší je kroutící moment.
P1 = P2 = P
n1 > n2
MK1 < MK2
d1 < d2
4.6 Kroucené pružiny
4.6.1 Torzní tyč:
Je to pružina ve tvaru přímé tyče, používá se u automobilů (odpružení). Torzní
pružina má mnohem lepší využití materiálu, než pružina ohýbaná. Využívají se tedy
hlavně tam, kde záleží na lehkosti konstrukce.
30/135
τK =
Pevnostní rovnice:
Deformační podmínka:
)
ϕ=
MK MK
=
≤ τ DovK
πd 3
WK
16
M K· l )
π ⋅d4
≤ ϕmax , (J p =
)
G · Jp
32
Obvykle víme M K , ϕ max , materiál a musíme vypočítat průměr d, délku l.
4.6.2 Šroubová válcová pružina
Tato pružina se používá nejčastěji, může být tažná (má oka) a tlačná (rovné zakončení
závitů). Je vinuta z drátu.
d – normalizovaný průměr drátu pružiny.
R – poloměr vinutí pružiny R = (3 ÷ 5) · d
Pevnostní rovnice:
τK =
M K Fmax· R
16 ⋅ M k
=
≤ τ DovK → d = 3
3
πd
WK
π ⋅τ DovK
16
y – stlačení pružiny [mm].
n – počet činných závitů.
A – deformační práce.
)
ϕ – natočení drátu
pružiny.
A=
)
ϕ=
1
1
)
F · y = M K· ϕ
2
2
MK · l
≤ ϕ max
G · Jp
31/135
MK = F · R
J po =
πd 4
32
l = 2⋅π · R ⋅n
2
1
1 M K · l 1 F 2 R 2l
= ·
→
F·y =
·
2
2 G · Jp 2 G · Jp
y=F
R2 ⋅ l
2 ⋅ π ⋅ R ⋅ n · R 2 · 32
64 · R 3 ⋅ n
=F·
=
F
·
=→
G · Jp
G · π ⋅d4
G · d4
ymax· d 4 · G
n=
64 ⋅ Fmax R 3
y=F·
64 · R 3 ⋅ n
1
= F · → F = y⋅k
4
G·d
y
Tuhost pružiny k:
k=
G · d4
64 · R 3 ⋅ n
Výpočet volné délky tlačné pružiny l o :
Při maximálním provozním stlačení pružiny y max má být mezi závity ještě minimální
vůle v min = 0,5 mm. Závity tedy nesmí dosednout na sebe.
Celkový počet závitů:
nC = n + nZ
nC – celkový počet závitů
n – počet činných závitů
nZ – počet závěrných závitů (nZ = 1,5 ÷ 3)
l0 = nC · d + (nC – 1) · vmin + ymax
32/135
Př.: Navrhněte tlačnou pružinu pro: Fmax = 200 N, R = 15 mm, maximální provozní
zatížení pružiny ymax = 20 mm . Materiál je patentovaný ocelový drát τ DovK = 400 MPa,
G = 0,8 · 105 MPa.
průměr drátu: τ K =
d =3
MK
F ·R
= max 3 ≤ τ DovK →
π ⋅d
WK
16
16 · Fmax· R 3 16 · 200 · 15
=
= 3,36 mm
π · τ DovK
π · 400
Podle normy volím drát průměru 3,55 mm (staré ST str. 611, nové ST str. 617).
Počet činných závitů:
ymax· d 4 · G 20 · 3,554 · 0 ,8 · 105
n=
=
= 5,88 závitů
64 ⋅ Fmax· R 3
64 · 200 · 153
nz = 2
nc = 8 závitů
4.7 Krut nekruhových průřezů
Nekruhové průřezy se při kroucení bortí, proto se jejich použití vyhýbáme. Pro
průřezy přibližně kruhové (šestihran, hřídel s perem, drážkovaný hřídel) počítáme přibližně
s průměrem vepsané kružnice. U obecných průřezů (čtverec, obdélník) lze najít příslušné
vzorečky v literatuře a jsou pouze přibližné.
Př.: Zjistěte úhel zkroucení f a zkrut u [théta] tyče v obloukové míře a ve stupních,
jestliže délka tyče je L = 1 m, průměr d = 16 mm a modul pružnosti ve smyku je
G = 0 ,8 · 105 MPa, a = 200 mm, F = 1000 N .
33/135
M K = F · a = 1000 · 0 ,2 = 200 Nm = 200 · 103 Nmm
200 · 103 · 103
= 0 ,3886 rad
4
5 π · 16
0 ,8 · 10 ·
32
180 ) 180
·ϕ =
· 0 ,3886 = 22 ,26° = 22°15´
ϕ° =
π
π
) ϕ) 0 ,3886
rad
= 0 ,3886
ϑ= =
l
1
m
ϕ ° 22°15´
ϑ° =
=
= 22°15´ na metr délky
l
1
)
ϕ=
M K· l
=
G · Jp
Př.: Vyvrtávajícím strojem je obráběn válec dvěmi noži dle obrázku. Řezná síla
F = 10 4 N působí kolmo na poloměr R = 200 mm. Vypočtěte ∅ vřetena, které otáčí
vyvrtávacím nožem, a to tak, aby celkový úhel zkroucení na délce l = 1,2 m nepřekročil
hodnotu Dov = 0,5°, je–li G = 0,77 · 10 5 MPa. Určete zkrut u.
)
ϕ=
M K· l
G · Jp
ϕ° =
Jp =
MK = 2 · F · R = 2 · 104 · 200 = 4 · 106 Nmm
ϕ° =
180
·
π
d≥4
180 · M K · l · 32
180 · 4 · 106 ·1200 ·32
=4
= 92 ,36 mm
π · G · π · 0 ,5
π 2· 0 ,77 · 105 · 0 ,5
ϑ° =
ϕ°
l
=
M K· l
≤ 0 ,5°
πd 4
G·
32
0,5°
= 0,42° na metr délky
1,2
34/135
180 M K · l
·
≤ 0,5°
π
G · Jp
π ⋅d4
32
Př.: Porovnejte úsporu materiálu u plného a dutého hřídele stejné délky, přenášejícího
stejný krouticí moment při stejném dovoleném napětí. Dané hodnoty:
M K = 5 · 106 Nmm,
poměr α = d/D = 0,7; τ DovK = 60 MPa .
a) Plný hřídel:
τ max =
MK
≤ τ DovK
WK
WK =
MK
5 · 106
=
= 8,33 · 10 4 mm3
τ DovK
60
WK =
16 ⋅ WK
16 · 8,33 · 10 4
πd 3
→d =3
=3
= 75 mm
16
π
π
b) Dutý hřídel:
WK =
D=3
4
π  D 4 − d 4  π  D 4 − (α ⋅ D )  π D 4
π
=
 =
· 
· 
·
1−α 4 =
· D3 1 − α 4

16  D  16 
D
16
D
16

(
)
(
)
16 ⋅ WK
16 · 8,33 · 10 4
3
=
=& 82 mm
π ⋅ 1−α 4
π · 1 − 0 ,7 4
(
)
(
)
d = D · α = 82 · 0,7 = 57,4 mm
Poměr hmotností obou hřídelů se při stejné délce a materiálu rovná poměru průřezů.
m1 = V1· ρ = S1· l · ρ
m 2 = V2· ρ = S 2· l · ρ
πd 2 π · 75 2
=
= 4420 mm 2
4
4
π
π
S 2 = D 2 − d 2 = ⋅ 82 2 1 − 0 ,7 2 = 2693 mm 2
4
4
S1 =
(
)
(
)
m2 S 2 ⋅ l· ρ S 2 2673
=
=
=
= 0 ,61
m1 S1·l ⋅ ρ S1 4420
100 – 61 % = 39 %
→ dutý hřídel stejných parametrů má o 39 % menší hmotnost.
35/135
5 Ohyb
Ohyb vzniká u součástí zatěžovaných ohybovým momentem, tj. momentem působícím
v rovině osy součásti.
U ohýbaných součásti je napětí rozloženo po průřezu nerovnoměrně. Největší tahové
napětí je na vnější straně ohybu (krajní vlákno 1) a největší tlakové napětí na vnitřní straně
ohybu (krajní vlákno 2). Mezi krajními vlákny je místo, kde je nulové napětí. Tomuto místu
pak říkáme neutrální osa. Neutrální osa je průsečnice neutrální vrstvy s rovinou řezu
součásti.
Neutrální osa prochází těžištěm průřezu a je v ní nulové ohybové napětí (od
ohybového momentu).
5.1 Pevnostní podmínka pro ohyb
Podmínka rovnováhy momentů:
M O = M OV
M O – ohybový moment;
M OV – moment vnitřních sil.
36/135
n
n
n
M O = M OV = ∑ ∆Fi · yi = ∑ σ t·∆S i ·yi = ∑
i =1
=
σ O2
e2
σ O1
· Jx =
=
WO1
n
∑ ∆S
i =1
i =1
σ 01
e1
· yi ⋅ ∆yi ⋅ yi =
σ 01
e1
n
·
∑ ∆S
i =1
2
i
· yi =
σ O1
e1
· Jx =
σ 02
WO 2
2
i
· yi = J x
i =1
Jx
= WOx
e1
σ O max =
MO
≤ σ DovO
WO max
σ DovO = σ Dovt
Wo – průřezový modul, WO =
π ⋅d3
32
, WO =
b ⋅ h2
6
Pozn.: U litiny se někdy počítá napětí v obou krajních vláken, tedy tahové i tlakové
napětí, protože litina má mez kluzu v tahu asi trojnásobnou meze kluzu v tlaku
σDovt = 3 · σDovD
5.2 Uložení nosníků
5.2.1 Způsoby uložení:
Volná podpora (posuvná):
Umožňuje natáčení a vodorovný posun, přenáší svislé síly.
Pevná podpora (kloub):
37/135
Umožňuje pouze natáčení. Přenáší obecné šikmé síly, které se rozkládají do směrů x, y
↔ , b , R Ax , R Ay
Vetknutí:
Neumožňuje žádný pohyb. Přenáší šikmé síly a moment (po rozložení FRAx , FRAy ).
Vazební síly jsou reakční síly působící v místě uchycení ohýbaných součástí
(nosníků). U vetknutí vzniká navíc i vazební moment. Použití podpor nebo vetknutí závisí na
konstrukčním uspořádání nosníků.
38/135
5.3 Vnitřní síly a momenty
Vnější síly: zatížení + reakce v uložení.
Vnitřní síly: jsou uvnitř v materiálu (metoda uvolňování).
1. Normálná síla FN :
Normálná síla je síla působící v rovině řezu, která udržuje v rovnováze síly působící
ve směru osy nosníku. Normálná síla v určitém místě nosníku je součet všech normálných
vnějších sil po jedné straně nosníku.
39/135
2. Posouvající síly FT :
Posouvající síla působí v místě řezu ve směru kolmém na osu nosníku a snaží se tedy
posunout obě části řezu proti sobě. Kladná je ta posouvající síla, která se snaží posunout levou
část nahoru proti pravé části. Posouvající síla v určitém místě nosníku je součet všech
příčných vnějších sil po jedné straně nosníku.
3. Ohybový moment:
Ohybový moment působí v místě řezu a je kolmý na osu nosníku. Ohybový moment
v určitém místě nosníku je součet všech ohybových momentů po jedné straně řezu. Je to
vnitřní moment, který je v rovnováze s vnějšími momenty.
40/135
M0A = F · x
M 0B = F · l
MOA = MOB – FRB (l – x) = F · l – FRB · l + F · x = F · x
5.4 Průběh posouvajících sil a ohybových momentů
5.4.1 Vetknutý nosník
41/135
Rovnováha sil:
FRA = F
Rovnováha momentů k B:
M0X = F · x
5.5 Určování posouvajících sil a ohybových momentů
5.5.1 Analytická metoda:
a) Posouvající síla v libovolném průřezu se rovná algebraickému součtu všech
vnějších příčných sil působících po jedné straně nosníku od místa řezu.
b) Ohybový moment v libovolném průřezu nosníku se rovná algebraickému součtu
momentů všech vnějších sil působících po jedné straně nosníku od místa řezu.
Př.: Určete průběhy posouvajících sil a ohybových momentů analytickou metodou.
42/135
F1 = 2F2
n
∑F
1
=0
i =1
FRA + F2 − F1 = 0 → FRA = F1 − F2 = 2 F2 − F2 = F2
FRA =
F1
2
M 01 = F1· l
M 02 = F2·
l
2
M o max = M O1 − M O 2
5.5.2 Metoda superpozice:
Používá se u nosníku zatíženého větším počtem sil. Analyticky určíme momentové
plochy od každé síly zvlášť. Výsledná momentová plocha vznikne složením dílčích ploch
(ohybové momenty od jednotlivých sil se ve stejném místě sčítají).
43/135
Př.:
reakce:
 n

 ∑ M iA = 0 
 i =1

– F · a + FRB (a + b) = 0
FRB =
F·a
a+b
FRA =
F·b
a+b
M 0 X = FRB· x
pro x = b
M OX = M OB = M OMax = FRB· b = FRA· a
44/135
Př.:
45/135
F1 = − F2 →
1
FRA = F1
3
1
FRB = F1
3
Řešení od síly F1:
n
∑M
i
=0
i =1
FRA =
2
F1
3
FRB =
1
F1
3
Moment od síly F1 v místě síly F1
M o1,1 = FRA·
1
2
1
2
l = F1· l = F1· l
3
3
3
9
´
M o 2,1 = FRB·
1
1
1
1
l = F1· l = F1· l
3
3
3
9
Řešení od síly F2:
n
∑M
i
=0
i =1
FRA =
1
F2
3
FRB =
2
F2
3
M o1, 2 = FRA·
1
1
l = F2· l
3
9
M o 2, 2 = FRB·
1
2
l = F2· l
3
9
´
Superpozice
´
M o max (1) = M o1,1 − M o1, 2 =
´
2
1
2
1
1
F1· l − F2· l = F1· l − F1· l =
F1· l
9
9
9
9
9
M o max (2 ) = M o 2, 2 − M o 2,1 =
1
F1· l
9
46/135
5.6 Schwedlerova věta
Udává vztah mezi plochou posouvajících sil a ohybovým momentem: Moment
v libovolném místě nosníku se rovná obsahu plochy posouvajících sil po jedné straně
nosníku od uvažovaného místa.
Z toho plyne Schwedlerova věta:
MOMax je v místě, kde posouvající síla mění své znaménko, nebo tam, kde je
rovna 0.
Pokud nosník nemá spojité zatížení, je MOMax vždy pod nějakou vnější silou (včetně
reakcí).
Než kreslení průběhů momentových ploch a provádění superpozice, bývá rychlejší
vypočítat MO pod všemi silami.
47/135
Př.: F1 = 28 kN, F2 = 40 kN , l1 = 2,3 m, l2 = 3 m, l3 = 2 ,7 m, x = 3,6 m .
Určete MoMax a MoX
FRA =
F1· (l2 + l3 ) + F2· l3 28 · 5,7 + 40 · 2 ,7
=
= 33,45 kN
l1 + l2 + l3
8
FRB =
F1· l1 + F2· (l1 + l2 ) 28 · 2 ,3 + 40 · 5,3
=
= 34 ,55 kN
l1 + l2 + l3
8
M oMax = FRB· l3 = 34550 · 2 ,7 = 93285 Nm
M ox = M oMax − (F2 − FRB ) ⋅ (l1 + l2 − x ) = 93285 − (40000 − 34550 ) · (5,3 − 3,6 ) = 84020 Nm
nebo
M ox = FRA· l1 + (FRA − l1 ) ⋅ ( x − l1 ) = 33450 · 2 ,3 + (33450 − 28000) · (3,6 − 2,3) = 84020 Nm
nebo
M ox = FRA· x − F1 · ( x − l1 ) = 33450 · 3,6 − 28000 · (3,6 − 2,3) = 84020 Nm
48/135
5.7 Nosníky se spojitým zatížením
Zatížení nosníku je určeno buď celkovou velikostí zatížení, kterou značíme Q nebo
měrným zatížením q vztaženým na jednotku délky.
q=
Q N 
l  m 
Celou tíhu můžu nahradit myšlenou výslednicí v těžišti.
n
∑F
iy
=0
i =1
FA − Q = 0 → FA = Q
n
∑M
i
=0
i =1
MA −Q ·
l
l
=0→MA =Q ·
2
2
V místě x:
FTx = Q1 = q · x →
přímka
M ox = Q1·
x
x
x2
=q·x· =q·
→
2
2
2
parabola
M oMax = Q·
49/135
l
l
l2
=q·l· =q·
2
2
2
5.8 Nosník na dvou podporách
FRA = FRB =
Q q·l
=
2
2
Q1 = q · x
FTx = FRB − Q1 =
q·l
−q·x
2
Kontrola:
pro x =
M ox
l
→ FTx = 0
2
x q·l
x q · l · x q · x2
= FRB· x − Q1 · =
· x−q · x · =
−
→ parabola
2
2
2
2
2
pro x =
l
2
M o max =
q · l2 q · l2 q · l2 Q · l
−
=
=
4
8
8
8
50/135
Př.:
F · a = F A· b
FA =
F·a
b
FB · b = F · (a + b )
FB =
F · (a + b )
b
M OMax = F · a = FA· b
Př.:
51/135
n
∑M
iA
=0
i =1
Q·
b
− FB · b + F · (a + b ) = 0
2
F · (a + b ) + Q ·
FB =
b
2
b
n
∑M
iB
=0
i =1
F A· b − Q ·
Q·
FA =
b
+F·a=0
2
b
− F ⋅a
2
b
M 0 X = FA· x − q · x ·
x
2
Qx = q · x
M 0 X = FA· x − Qx ·
x
2
M 0B = F · a
Výpočet souřadnice x:
1.
Součet sil po jedné straně nosníku:
FA − Q x = 0
FA − q · x = 0
x=
FA
q
2.
tgα =
FA FB − F
=
x
b−x
52/135
FA· (b − x ) = (FB − F ) · x
FA· b − FA· x = FB · x − F · x
FA· b = FB · x − F · x + FA· x
FA· b = x · (FB − F + FA )
x=
FA· b
F·b F
= A = A
FB − F + FA
Q
q
n
∑F
i
=0
i =1
FA – Q + FB – F = 0
Př.:
Q=q·b
n
∑M
iB
=0
i =1
b

FA· (a + b + c ) − Q ·  c +  = 0
2

53/135
b

Q · c + 
2

FA =
(a + b + c )
n
∑F
i
=0
i =1
FB = Q − FA
n
∑M
iX
=0
i =1
M 0 x = FA ( x + a ) − Qx·
FA − Qx = 0 → x =
x
x
= FA· ( x + a ) − q · x ·
2
2
FA
q
M 0 x = FA· ( x + a ) − q · x ·
 FA
 FA 2
x
FA
FA

(
)
= FA· x + a − q ·
·
= FA·  + a  −
2
q
2⋅q
 q
 2⋅q
Př.: Vpočtěte rozměry b a h dle obrázku. b : h = 2 : 1, → b/h = 2/1→ b = 2 · h
σO =
WO ≥
MO
≤ σ DovO
WO
MO
σ DovO
1
F ⋅l
b ⋅ h2 ≥
6
σ DovO
1
F ⋅l
2 ⋅ h3 ≥
6
σ DovO
h≥3
3⋅ F ⋅l
σ DovO
54/135
5.9 Nosníky stálé pevnosti
Tyto nosníky mají proměnný průřez v závislosti na ohybovém momentu. Průřez je
takový, aby napětí bylo ve všech bodech přibližně konstantní.
5.9.1 Vetknutý nosník
5.9.1.1 Konstantní šířka
σO =
M0
= konst.
W0
σ 0x =
M 0x
M 0 max
= σ 0 Max =
= konst.
W0 x
W0 max
pak:
W0 x
M 0x
=
W0 max
M 0 max
1
2
· b · hx
F·x
6
=
→ hx = hmax·
1
2
F
·
l
· b · hmax
6
x
l
55/135
5.9.1.2 Konstantní tloušťka
W0 x
M 0x
=
W0 max
M 0 max
1
· bx · h 2
F·x
x
6
=
→ bx = bmax·
1
l
· bmax · h 2 F · l
6
56/135
Teoretický tvar nosníku nepoužíváme proto, že je výrobně nákladný a v místě
osamělých sil nemůžeme zanedbat smyk. Proto se na volném konci používá výška profilu
h Min =
h Max
2
Úspora materiálu je u teoretického nosníku asi 33
%, u praktického asi 25 %.
Použití: ušetřím materiál (např. konzoly).
57/135
5.9.2 Nosník na dvou podporách
Řešíme jako dva vetknuté nosníky, zatížené reakcemi.
Teoretický tvar celého nosníku je daný spojením teoretického tvaru obou vetknutých
nosníků.
Praktický tvar musí ležet vždy vně teoretického tvaru, aby napětí bylo vždy menší
než σMax
U nosníků s kruhovým průřezem – hřídelů, se obvykle používá praktický tvar nosníku
jako odstupňovaný.
58/135
5.10 Deformace v ohybu
Po deformaci bude neutrální osa nosníku zakřivená, říkáme jí pak průhybová čára
(ohybová čára). K zakřivení dochází vlivem ohybového momentu.
Deformační veličiny:
ρ – poloměr křivosti;
α – úhel natočení;
y – průhyb.
5.10.1
Poloměr křivosti ρ
ρ Min =
Jx ⋅Ε
M 0 Max
Jx – kvadratický moment;
E – modul pružnosti v tahu.
5.10.2
Úhel natočení α
α=
SM
Ε ⋅ Jx
S M − plocha momentového obrazce.
59/135
5.10.3
Průhyb y
y=
MS
Ε ⋅ Jx
M S − je statický moment plochy momentového obrazce k místu síly.
M S = S M ⋅ xT
y=
MS
S ⋅x
= M T
Ε ⋅ Jx
Ε ⋅ Jx
Př.:
M oMax = F ⋅ l
Plocha momentového obrazce:
SM =
M oMax ⋅ l
F ⋅l2
=
2
2
60/135
Statický moment:
M S = S M ⋅ xT =
ρ min =
α max
F ⋅l2 2
F ⋅l3
⋅ l=
2
3
3
Jx ⋅Ε Jx ⋅Ε
=
M 0 max
F ⋅l
SM
F ⋅l2
=
=
Ε⋅ Jx 2⋅Ε⋅ Jx
ymax =
MS
F ⋅ l3
=
Ε ⋅ Jx 3⋅Ε ⋅ Jx
Př.:
M 0 max =
Q ⋅l q ⋅l
q ⋅ l2
=
⋅l =
2
2
2
Plocha momentového obrazce:
SM =
1
Q ⋅l2 q ⋅l2
q ⋅l3
M oMax ⋅ l =
=
⋅l =
3
6
6
6
61/135
Statický moment:
M S = S M ⋅ xT =
Q ⋅ l2 3
Q ⋅ l3 q ⋅ l4
⋅ l=
=
6 4
8
8
ρ min =
Jx ⋅ E 2 ⋅ E ⋅ Jx 2 ⋅ E ⋅ Jx
=
=
M 0 Max
Q ⋅l
q ⋅ l2
α max =
SM
Q ⋅l2
q ⋅ l3
=
=
Ε ⋅ Jx 6⋅ Ε ⋅ Jx 6 ⋅Ε ⋅ Jx
ymax =
MS
Q ⋅ l3
q ⋅ l4
=
=
Ε ⋅ Jx 8 ⋅ Ε ⋅ Jx 8 ⋅ Ε ⋅ Jx
Př.: Nosník na dvou podporách.
62/135
FA = FB =
M 0 Max =
SM =
F
2
F l F ⋅l
⋅ =
2 2
4
1 F ⋅l l F ⋅l2
⋅
⋅ =
2 4 2
16
2 l F ⋅ l3
M S = SM ⋅ ⋅ =
3 2
48
ρ min =
Jx ⋅Ε 4⋅Ε⋅ Jx
=
M 0 max
F ⋅l
α max =
SM
F ⋅ l2
=
E ⋅ J x 16 ⋅ Ε ⋅ J x
ymax =
MS
F ⋅ l3
=
E ⋅ J x 48 ⋅ Ε ⋅ J x
Př.:
yMax = yOd spojitého zatížení – yOd reakce
Při výpočtu průhybu nosníku
obvykle vzorce neodvozujeme, ale
najdeme je v tabulkách. Pokud je
nosník zatížen více silami nebo
spojitým zatížením, používáme
metodu superpozice.
63/135
5.10.4
Metoda superpozice
Vypočteme průhyby (úhel natočení) nosníku v požadovaném místě samostatně od
jednotlivých zatížení (sil, spojitého zatížení). Výsledný průhyb (natočení) v daném místě pak
dostaneme sečtením, případně odečtením průhybů (natočení) od jednotlivých sil. Kladný
průhyb je směrem dolů.
Průhyb v místě 1 pomocí superpozice:
y1 = y11 − y12
Průhyb v místě 2 pomocí superpozice:
y 2 = y 21 − y 22
64/135
Příklady na použití vzorců ze strojnických tabulek str. 44:
Př.: Máme určit α max , ymax
F ⋅ l2
od F2 : α B =
2 ⋅ Ε ⋅ Jx
yB =
F ⋅ l3
3⋅ Ε ⋅ Jx
od F1 : α B =
F ⋅ l2
8⋅ Ε ⋅ Jx
yB =
5 ⋅ F ⋅ l3
48 ⋅ Ε ⋅ J x
α max
F ⋅ l2
F ⋅ l2
=
+
2 ⋅ Ε ⋅ Jx 8⋅ Ε ⋅ Jx
y max =
F ⋅l3
5⋅ F ⋅l3
+
3 ⋅ Ε ⋅ J x 48 ⋅ Ε ⋅ J x
65/135
Př.:
n
∑M
iA
=0
i =1
MoMax = FRB · b = FRA · a
l = a+b
M 0 max =
F ⋅ a ⋅b
a+b
αA =
F ⋅l2
6⋅Ε⋅ J
 b
b3 

⋅ 
−
3 
 a + b (a + b ) 
αB =
F ⋅l2
6⋅Ε⋅ J
 2 ⋅ b b3 3 ⋅ b 2 
⋅ 
+ 3 − 2 
l
l 
 l
ymax =
yC =
Ve strojnických tabulkách str. 45 je v tomto vzorci chyba!!!
F ⋅ a 2 ⋅ b2
3⋅ Ε ⋅ Jx ⋅l
F ⋅a⋅c
⋅ b ⋅ (b + 2 ⋅ a ) − c 2
6⋅Ε⋅ Jx ⋅l
[
]
Př.: Vypočtěte max. průhyb, maximální úhel natočení a maximální ohybové napětí σO
tyče ∅30 mm, l = 1000 mm, ρ = 7850 kg/m3, Ε = 2,1 ⋅ 10 5 MPa .
66/135
Q = G = m⋅ g =V ⋅ρ ⋅ g =
q=
π ⋅d 2
4
⋅l ⋅ ρ ⋅ g =
π ⋅ 0,032
4
⋅1 ⋅ 7850 ⋅ 9,81 = 54,4 N
Q 54,4
N
N
=
= 54,4 = 0,0544
l
1
m
mm
M 0 max
q ⋅ l 2 54,4 ⋅ 12
=
=
= 6,8 Nm = 6804 Nmm
8
8
σ 0 Max =
M oMax M oMax 32 ⋅ 6,804
=
=
= 77005,5 Pa = 0,077 MPa
π ⋅ d 3 π ⋅ 0,033
W0
32
strojnické tabulky str. 45
y max =
5⋅ Q ⋅l3
5 ⋅ 64 ⋅ Q ⋅ l 3
5 ⋅ 64 ⋅ 54,4 ⋅ 1000 3
=
=
= 0,08 mm
384 ⋅ Ε ⋅ J x 384 ⋅ Ε ⋅ π ⋅ d 4 384 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ π ⋅ 30 4
strojnické tabulky str. 45
α=
Q ⋅l2
64 ⋅ Q ⋅ l 2
64 ⋅ 54,4 ⋅1000 2
360 o
=
=
=
0
,
00027
rad
=
0
,
00027
⋅
= 0°0'56"
24 ⋅ Ε ⋅ J x 24 ⋅ Ε ⋅ π ⋅ d 4 24 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅ π ⋅ 30 4
2 ⋅π
5.11 Deformační podmínka pro ohyb
U některých nosníků, např. delších hřídelů, počítáme kromě pevnostní podmínky
σ0 =
M0
≤ σ DovO také s podmínkou deformační. Tato podmínka nám udává maximální
W0
přípustnou deformaci nosníku. Používá se tam, kde např. nechceme, aby se ozubené kolo
vlivem průhybu vysunulo ze záběru nebo aby se hřídel v ložiscích příliš natočila.
67/135
α max ≤ α Dov
ymax ≤ yDov
5.12 Staticky neurčité nosníky
Jsou to nosníky, kde máme takové podpory, že reakce už nejsme schopni vypočítat
z podmínek rovnováhy. Máme 3 podmínky rovnováhy:
n
∑F
ix
= 0 − vypočteme Fn, ale obvykle nás nezajímá;
i =1
n
∑F
iy
= 0 − vypočteme 2 reakce;
∑M
= 0 − vypočteme 2 reakce.
i =1
n
i
i =1
Statisticky neurčité nosníky jsou:
Nosníky na více než dvou podporách
Nosníky vetknuté + podpora
Nosníky vetknuté na obou stranách
Ke zjištění reakčních sil a momentů musíme u staticky neurčitých nosníků připojit
ke statickým podmínkám i podmínky deformační.
Př.: Máme 3 neznámé reakce
Statické podmínky rovnováhy sil:
2 rovnice pro 3 neznámé → nelze řešit.
68/135
n
∑F
i
=0
i =1
n
∑M
i
=0
i =1
a. yB = 0 a yC = 0
b. natočení části 1 v místě B = natočení části 2 v místě B.
Teď už máme 3 rovnice pro 3 neznámé, tedy můžu řešit.
Př.: Neznám FA , FB , M A , M B
n
∑F
i
=0
i =1
n
∑M
i
=0
i =1
αA = 0
αB = 0
5.13 Ohýbané pružiny
Jde především o listové pružiny.
Je to nosník stejné pevnosti trojúhelníkového tvaru s konstantní výškou vytvořený
z poskládaných pásů obdélníkového průřezu – tzv. pružnic.
69/135
Pružnice jako by rozřežeme a naskládáme na sebe.
U svazku pružnic platí: y =
F ⋅l3
2⋅Ε⋅ Jx
Kvadratický moment pro n pružnic: J x =
n ⋅ b ⋅ h3
;
12
70/135
n – počet listů, počet pružnic.
Používáme pojem 1/4 eliptické pero (od slova elipsa, pero – pružina).
Prakticky používaný tvar pružnic – 1/2 eliptické pero (nosník na dvou podporách)
Používají se tam, kde je třeba zachytit rázy tím, že pohybovou energii přeměníme
v deformační práci pružiny. Deformační práce je největší u nosníků stálé pevnosti a navíc
dochází k úspoře materiálu (až o 50%). Průhyb nosníku stálé pevnosti konstantní tloušťky je
1,5 x větší než u nosníku s konstantním průřezem, tedy i práce je větší.
Svazky pružnic, tzv. listové pružiny, se používají na podvozcích aut nebo železničních
vagónů. Obvykle jsou v nezatíženém stavu vytvarovány do elipsy a zatížením se narovnávají.
5.13.1
Výpočet listových pružin:
Počet listů pružiny:
σ DovO = 400 ÷ 600 MPa u kalených a 300 ÷ 600 MPa u nekalených materiálů.
σ0 =
M 0 Max
≤ σ DovO
W0
71/135
W0 =
1
6 ⋅ M 0 Max
6⋅ F ⋅l
⋅ b ⋅ h2 ⋅ n → n =
=
2
6
b ⋅ h ⋅ σ DovO b ⋅ h 2 ⋅ σ DovO
Pro malé výchylky:
ρ 2 = ( ρ − y )2 + l 2
ρ 2 = ρ 2 − 2 ρy + y 2 + l 2
72/135
y2 zanedbáváme.
y=
l2
2ρ
Pro jeden list pružiny platí:
J x 2 ⋅ b ⋅ h3 b ⋅ h 2
WO =
=
=
e
12 ⋅ h
6
b ⋅ h2 h
J X = WO ⋅ e =
⋅
6 2
ρ=
Ε ⋅ W0 ⋅
Ε ⋅ Jx
=
M 0 max
M 0 max
h
h
Ε⋅
2 =
2 = konst. → průhybová čára je kružnice.
σ0
M 0 max
l
l ⋅σ 0
W0
l 2 ⋅ M 0 max
F ⋅l3
y=
=
=
=
=
h
2ρ 2 ⋅ Ε ⋅ h
2⋅Ε⋅ Jx
2⋅Ε⋅ Jx
2⋅Ε⋅
2
2
2
2
l2 ⋅
Pozn. vetknutý nosník s konstantním průřezem měl: y =
F ⋅l3
3⋅ Ε ⋅ J x
6 Složená namáhání
Ke složenému (kombinovanému) namáhání dochází tehdy, vyskytnou–li se současně
alespoň dva druhy namáhání (napětí). Kombinovaná namáhání mohou být normálná, tečná
nebo normálná i tečná současně.
6.1 Kombinace normálných napětí
6.1.1 Šikmý ohyb:
Šikmý ohyb nastává, když zatížení neleží v rovině souměrnosti nosníku, ale leží stále
v rovině kolmé na osu nosníku.
73/135
Fx = F ⋅ cos α
Fz = F ⋅ sin α
Postup řešení: sílu rozložíme do hlavních os průřezu
(Fx ,
Fz ) a vypočítáme dvě
hodnoty napětí (ve směru x a z):
σx =
σZ =
M Ox Fx ⋅ l Fx ⋅ l Fx ⋅ l
=
=
=
JZ
WOZ WOZ
h ⋅ b2
x
6
M Z FZ ⋅ l FZ ⋅ l FZ ⋅ l
=
=
= 2
JX
WOX WOX
h ⋅b
z
6
Protože se jedná o normálná napětí, která působí stejným směrem, tj. ve směru
podélné osy součásti, můžu je sečíst a výsledek porovnat s dovoleným napětím.
74/135
σ max = σ x + σ z ≤ σ DovO
6.1.2 Tah nebo tlak + ohyb
Fy = F ⋅ sin α − tah
Fz = F ⋅ cos α − ohyb
σy =
σZ =
Fy
S
Fz ⋅ l Fz ⋅ l
=
b ⋅ h2
w0 y
6
σ max = σ y + σ z ≤ σ Dov
Sílu opět rozložíme na složku Fy , která namáhá nosník tahem, a sílu Fz , která
namáhá nosník ohybem.
Tyto síly vyvolají normálná napětí stejného směru, tedy je můžeme sečíst a výsledek
porovnat s dovoleným napětím.
75/135
6.1.3 Excentrický tah (tlak):
Je to opět namáhání tahem (tlakem) + ohybem.
M0 = F ⋅a
σt =
F
S
σ0 =
F ⋅a
W0
WO =
b ⋅ h2
6
σ max = σ t + σ 0 ≤ σ Dov
(σ min
= σt −σ0 )
76/135
Př.: Tah + ohyb. Určete bezpečnost k mezi pevnosti. σ Pt = Rm = 350 MPa ,
F = 5000 N
Fx = F ⋅ sin α = 5000 ⋅ sin 45° = 3535,5 N
Fy = F ⋅ cos α = 5000 ⋅ cos 45° = 3535,5 N
Fx M O Fx Fy ⋅ l Fx Fy ⋅ l 3535,5 3535,5 ⋅ 1 ⋅ 6
+
=
+
= 2+
=
+
=
1 3
S W0
S
W0
a
0,13
0,13
a
6
= 21566550 Pa = 21,6 MPa
σ max = σ x + σ y = σ t + σ 0 =
k=
σ Pt
350
=
= 16
σ Max 21,6
k Re =
Re
σ Max
=
0,6 ⋅ 350
= 9,6
21,6
Př.: Šikmý ohyb
Fx = F ⋅ sin α = 5000 ⋅ sin 45° = 3535,5 N
Fy = F ⋅ cos α = 5000 ⋅ cos 45° = 3535,5 N
σx =
σy =
M Ox Fx ⋅ l 6 ⋅ Fx ⋅ l 6 ⋅ 3535,5 ⋅ 0,1
=
= 2
=
= 1060650000 Pa
W0 x
W0 x
b ⋅h
0,02 ⋅ 0,012
M Oy
W0 y
=
Fy ⋅ l
W0 y
=
6 ⋅ Fy ⋅ l
b⋅h
2
=
6 ⋅ 3535,5 ⋅ 0,1
= 530325000 Pa
0,01 ⋅ 0,02 2
σ max = σ t + σ 0 = 1060650000 + 530325000 = 1590975000 Pa = 1591MPa
77/135
6.2 Kombinace normálných sil a tečných napětí
6.3 Teorie pevnosti
Normálná a smyková napětí (σ a τ), která vznikají při složeném namáhání, nelze
algebraicky ani vektorově sčítat. Jejich účinek lze nahradit (redukovat) jediným, tzv.
redukovaným napětím σ red . Tím se převede složené namáhání na jednoduché „tahové“
napětí σ Re d , které pak lze porovnat s mezí kluzu Re v tahu nebo dovoleným napětím
v tahu σ Dovt .
Redukované napětí lze počítat podle 5–ti různých teorií pevnosti:
6.3.1 Teorie maximálních normálných napětí σMax
Tato teorie předpokládá, že k porušení součásti dojde tehdy, když maximální normálné
napětí dosáhne hodnoty, při které nastane porušení u prostého tahu.
Nevýhoda: tato teorie zanedbává ostatní normálná i smyková napětí.
Dá se použít u křehkých materiálů (litiny).
σ red = σ max
6.3.2 Teorie maximálních poměrných deformací eMax
Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde při dosažení maximální poměrné
deformace, která je rovna deformaci při prostém tahu.
Nevýhoda: nebere v úvahu deformace a zkosy v ostatních směrech.
Dá se použít u křehkých materiálů (litina).
6.3.3 Teorie maximálních smykových napětí tMax
Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde, dosáhne–li maximální tečné napětí
velikosti, při níž se materiál poruší při prostém tahu.
σ red = σ 2 + 4τ 2
Tato teorie je použitelná pro houževnaté materiály, dává však poněkud větší rozměry
součástí. Používá se v USA.
78/135
6.3.4 Teorie energetická – podle celkové měrné deformační energie
Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde tehdy, dosáhne–li celková měrná
deformační energie hodnoty stejné, jako u prostého tahu. Tato teorie se nepoužívá.
1
1
WC = ε 1σ 1 + ε 2σ 2
2
2
Deformační energie: na změnu tvaru součásti (smykové napětí)
na změnu objemu součásti (normálné napětí), (ocel je stlačená µ = 0,3 )
Pokusy bylo zjištěno, že např. všestranný tlak nemá vliv na pevnost součásti, tedy
energie na změnu objemu součásti nemá vliv na pevnost součásti.
6.3.5 Teorie energetická – podle měrné deformační energie pro změnu
tvaru
Tato teorie se označuje HMH podle svých objevitelů Hubera, Mieseho, Henckyho.
Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde tehdy, když měrná deformační energie pro
změnu tvaru dosáhne hodnoty jako u prostého tahu.
σ Re d = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ σ Dovt
Protože tvar součásti mohou změnit jen smyková napětí, říká se této teorii také
energetická teorie smykového napětí.
Tato teorie nejlépe vyhovuje výsledkům zkoušek u houževnatých materiálů a je také
předepsána pro výpočty normou ČSN.
U ohybu a krutu hřídelů se někdy v teorii HMH používá tzv. Bachův opravný
součinitel, který bere do úvahy rozdílný způsob zatížení hřídelů v ohybu a krutu (např.
střídavý ohyb a míjivý krut).
σ Re d = σ 2 + 3 ⋅ (α B ⋅τ )2 ≤ σ Dovt
αB – Bachův opravný součinitel
Pro stejné způsoby zatížení je α B = 1 , jinak se vypočte z poměru dovoleného napění
v ohybu a krutu.
αB =
σ Dov
1,73 ⋅τ Dov
79/135
6.4 Redukovaný moment
Často počítaný případ ohybu a krutu hřídelů se také řeší přes tzv. redukovaný
moment. V tomto vzorci je vlastně kroutící moment dle 5–té teorie pevnosti převeden na
moment ohybový a další výpočet probíhá, jako by byla hřídel namáhána pouze ohybem.
σ Re d = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ σ Dovt
σ0 =
M0
W0
τK =
MK MK
=
WK 2W0
WK =
W0 =
π ⋅d3
16
π ⋅d3
32
M O Re d
=
W0
2
2
M0
M
+ 3⋅ 2 K 2
2
W0
2 W0
3
2
2
M O Re d = M 0 + M K
4
2
M O Re d = M 0 + 0,75M K
σ Re d =
2
M O Re d
32 ⋅ M O Re d
≤ σ Dov → d = 3
W0
π ⋅ σ Dov
S použitím Bachova opravného součinitele:
2
2
M O Re d = M 0 + 0,75 ⋅ (α B ⋅ M K )
Př.: Provrďte výpočet ∅ hřídele namáhaného krutem M K = 300 Nm a ohybem silami
F1 = 2 kN , F2 = 3 kN , které působí ve dvou ⊥ rovinách, σ DovO = 200 MPa
80/135
F1 působí v ose x
F2 působí v ose y
Reakce od F1 :
FRAx = F1 ⋅
400
400
= 2000 ⋅
= 1600 N
500
500
FRBx = F1 ⋅
100
100
= 2000 ⋅
= 400 N
500
500
Reakce od F2 :
FRAy = F2 ⋅
100
100
= 3000 ⋅
= 600 N
500
500
FRBy = F2 ⋅
400
400
= 3000 ⋅
= 2400 N
500
500
Pro výpočet ložisek:
Výsledná síla v ložisku
2
2
FRA = FRAx + FRAy = 1600 2 + 600 2 = 1709 N
2
2
FRB = FRBx + FRBy = 400 2 + 2400 2 = 2433 N
Ohybové momenty v místech 1, 2
od F1 :
M 01x = FRAx ⋅ 100 = 1600 ⋅ 100 = 160000 Nmm = 160 Nm
M 02 x = FRbx ⋅ 100 = 400 ⋅ 100 = 40000 Nmm = 40 Nm
od F2 :
81/135
M 01 y = FRAy ⋅ 100 = 600 ⋅ 100 = 60000 Nmm = 60 Nm
M 02 y = FRBy ⋅100 = 2400 ⋅100 = 240000 Nmm = 240 Nm
Výsledné ohybové momenty:
2
2
2
2
M 01 = M 01x + M 01 y = 1602 + 602 = 171 Nm
M 02 = M 0 2 x + M 0 2 y = 40 2 + 240 2 = 243 Nm
M 01 < M 02 → počítáme místo 2
Redukovaný moment:
M O Re d = M 02 + 0,75M K2 = 2432 + 0,75 ⋅ 300 2 =& 356 Nm
σ0 =
W0 =
σ0 =
d =3
M O Re d
≤σ DovO
W0
π ⋅d3
32
M O Re d
≤σ DovO
π ⋅d3
32
32 ⋅ M O Re d 3 32 ⋅ 356000
=
= 26,3 mm
π ⋅ σ DovO
π ⋅ 200
82/135
Př.: Určete napětí v jednotlivých bodech:
l = 2 m, F = 2,5 kN , b = 10 mm, h = 20 mm,α = 30°
Fx = F ⋅ sin α = 2500 ⋅ sin 30° = 1250 N
Fy = F ⋅ cos α = 2500 ⋅ cos 30° = 2165 N
σx =
σy =
M Ox Fx ⋅ l Fx ⋅ l ⋅ 6 1250 ⋅ 2000 ⋅ 6
=
=
=
= 7500 MPa
WOx W0 x
h ⋅ b2
20 ⋅10 2
M Oy
WOy
=
Fy ⋅ l
W0 y
=
Fy ⋅ l ⋅ 6
b⋅h
2
=
2165 ⋅ 2000 ⋅ 6
= 6495MPa
10 ⋅ 20 2
σ 1 = σ Maxd = −σ x − σ y = −7500 − 6495 = −13995MPa
σ 2 = σ x − σ y = 7500 − 6495 = 1005MPa
σ 3 = σ Maxt = σ x + σ y = 7500 + 6495 = 13995MPa
σ 4 = σ y − σ x = 6495 − 7500 = −1005MPa
83/135
Př.: Vypočítejte maximální napětí v háku. F = 4 kN = 4000 N .
σC = σO + σt
M O = F ⋅ 40 = 4000 ⋅ 40 = 160000 Nmm
W0 =
π ⋅d3
32
=
π ⋅ 203
32
= 785 mm3
σ0 =
M 0 160000
=
= 204 MPa
W0
785
σt =
F 4000 ⋅ 4
=
= 13 MPa
S
π ⋅ 20 2
σ celk = σ 0 + σ t = 204 + 13 = 217 MPa
84/135
Př.: Zjistěte největší napětí v tyči zatížené v ose silou F = 10 kN , a = 100 mm .
σt =
2 F 2 ⋅10000
F
F
=
= 2 =
= 2 MPa
S aa a
100 2
2
M0 = F ⋅
a 10000 ⋅ 100
=
= 250000 Nmm
4
4
a2
3
3
2 2 = a = 100 = 41667 mm3
6
24
24
a⋅
W0 =
σ0 =
M 0 250000
=
= 6 MPa
W0
41667
σ max = σ 0 + σ t = 6 + 2 = 8 MPa
Př.: Zjistěte, jaké napětí je ve spojovacím článku řetězu.
a = 60 mm, d = 50 mm, F = 25 kN
σt =
F
F ⋅ 4 25000 ⋅ 4
=
=
= 13 MPa
S π ⋅ D2
π ⋅ 502
D

M 0 = F ⋅  a +  = 25000 ⋅ (60 + 25) = 2125000 Nmm
2

W0 =
σ0 =
π ⋅ D3
32
=
π ⋅ 503
32
= 12272 mm3
M 0 2125000
=
= 173 MPa )
W0
12272
σ max = σ 0 + σ t = 173 + 13 = 186 MPa
85/135
7 Vzpěr
Stlačuje–li se přímý prut, na jednom konci upnutý, silou F, vzniká v něm za
předpokladu, že prut zůstane přímý, tlakové napětí σ d =
F
, kde S je průřez prutu. U prutů,
S
kde je délka několikrát větší než rozměry průřezů, nastává takzvané zatížení vzpěrem. Síla F
vždy nepůsobí přesně v ose prutu, ani rozložení napětí po průřezu není pro různé vady
materiálu přesně stejné. Síla tedy působí vždy v nějaké výstřednosti (excentricitě) od osy
prutu. Prut je tedy kromě tlaku zatížený také ohybem.
M0 = F ⋅e
Pokud je síla F relativně malá, prut se poněkud vychýlí
do strany a je stále v rovnováze. Pokud je síla F velká, prut se
do strany vychýlí více, tím se zvětší rameno síly e a tedy
i ohybový moment. Prut pak bude více namáhaný a opět se
více vychýlí, opět se zvýší ohybový moment, prut se zase
vychýlí a tak dále, až se prut zbortí nebo zlomí. Tomuto
způsobu porušení součásti říkáme vzpěrová pevnost neboli
vzpěr. Existuje nějaká mezní nejmenší síla F, při které právě
dojde ke zborcení (vybočení) prutu. Této síle říkáme kritická
síla a značíme ji FKR .
Kritická síla závisí pouze na rozměrech a materiálu prutu, nezávisí na zatěžující síle!
Při vzpěru se jedná o porušení stability prutu, v soustavě nastane nerovnováha a prut
se zbortí nebo praskne.
Pro výpočet kritické síly tlačného prutu slouží tzv. Eulerův vzorec:
FKR =
π 2 ⋅ Ε ⋅ J min
l02
J min − kvadratický moment průřezu k té ose, kde je minimální.
Pro obdélník platí: J min =
b ⋅ h3
12
l0 − redukovaná délka, tj. délka prutu přepočítaná podle způsobu uložení prutu.
Určení redukované délky – tzv. příklady vzpěru:
86/135
Dovolená tlaková síla pak musí být s nějakou bezpečností menší než síla kritická.
Pevnostní podmínka pro pružný vzpěr:
F≤
FKR π 2 ⋅ Ε ⋅ J min
=
k
k ⋅ l02
k – bezpečnost ke kritické síle (2 ÷ 20, někdy dle ČSN).
Kritické napětí – je to tlakové napětí, které odpovídá kritické síle.
σ KR =
=
S
S ⋅ l02
S – plocha průřezu prutu.
Dříve byl už zaveden tzv. poloměr kvadratického momentu „i“
i 2 ⋅ S = J min
i=
J min
S
pro kruh platí: i =
d
4
pak po dosazení:
σ KR =
π 2 ⋅ Ε ⋅ i2
l02
Zavádíme tzv. štíhlostní poměr λ (štíhlost), který udává, jak moc je prut štíhlý, a tedy
náchylný ke vzpěrovému namáhání.
87/135
λ=
l0
i
Pak:
σ KR
π 2 ⋅Ε
=
λ2
Eulerův vzorec je odvozený z Hookeova zákona (σ = ε ⋅ Ε ) pro pružné chování
materiálu, který platí až do meze úměrnosti. Proto, aby Eulerův vzorec platil, musí být:
σ u ≥ σ KR
σu ≥
π 2 ⋅Ε
= σ KR
λ2
λ≥
π 2 ⋅Ε
=λ
σu
m
Eulerův vzorec platí tedy jen tehdy, když λ ≥ λ m .
λ
m
je tzv. mezní štíhlost a je to materiálová konstanta.
Uhlíková ocel
Legovaná ocel
Šedá litina
Pružinová ocel
Dřevo
λ m = 100
λm = 85
λm = 80
λm = 60
λm = 100
7.1 Výpočet podle Eulera (pružný vzpěr)
Postup výpočtu (strojnické tabulky str. 36, 37):
a. Z pevnostní podmínky pro vzpěr vypočteme podle zadání průřez nebo bezpečnost ke
kritické síle:
F≤
=
k
k ⋅ l02
odtud např.
J min
F ⋅ k ⋅ l02
≥ 2
→ vypočteme průřez
π ⋅Ε
b. Vypočteme kvadratický poloměr:
i=
J min
S
88/135
c. Vypočteme štíhlostní poměr:
λ=
l0
i
d. Porovnáne vypočtené λ s λm :
pokud platí:
λ ≥ λ m , je výpočet v pořádku
λ < λ m , jsme mimo rozsah platnosti Eulerovy rovnice a musíme počítat podle
Tetmajera (tzv. nepružný vzpěr).
Př.:
l = 2 m , F = 10 kN , trubka D = 40 mm , d = 34 mm , λ m = 100 , Ε = 2,1 ⋅105 MPa ,
FKR = ? , λ = ? , k=?
Druhý případ vzpěru – l0 = l
(
FKR
k=
)
π ⋅ (D 4 − d 4 ) π ⋅ 0,044 − 0,0344
=
= 0,00000006 m 4 = 60066 mm4
64
64
π 2 ⋅ E ⋅ J min π 2 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅106 ⋅ 60,066 ⋅10−9
=
=
= 31123 N
l02
22
J min =
FKR 31123
=
= 3,11
F
10000
(
)
π ⋅ (D 2 − d 2 ) π ⋅ 0,04 2 − 0,0342
S=
=
= 348,7 ⋅10 − 6 m2
4
4
i=
λ=
J min
60,066 ⋅ 10−9
=
= 0,013 m
S
348,7 ⋅ 10− 6
l0
2
=
= 152,385[−]
i 0,013
λ > λ m → výpočet je v pořádku.
89/135
Př.: d = 20 mm , l = 1200 mm , ocel, FKR = ? , λ = ? , ST str. 36.
Kvadratický moment:
J min =
S=
π ⋅d4
=
64
π ⋅d2
4
=
π ⋅ 0,024
64
π ⋅ 0,022
4
= 7,854 ⋅ 10−9 m 4 = 7854mm 4
= 0,000314m 2 = 314 mm2
l 0 = 2l = 2400mm
FKR =
i=
λ=
π 2 ⋅ E ⋅ J min
l02
=
π 2 ⋅ 2,1⋅105 ⋅106 ⋅ 7 ⋅10−9
2,4 2
= 2826 N
J min
7 ⋅ 10 −9
=
= 0,005 m
S
314 ⋅ 10− 6
l0
2,4
=
= 480 [–]
i 0,005
λ>λ
m
→ výpočet je v pořádku.
7.2 Výpočet podle Tetmajera (nepružný vzpěr)
Tetmajer nahradil chování materiálu při vzpěru nad mezí úměrnosti přímkou.
σ KR = a − b ⋅ λ
σ KR − kritické napětí, tj. fiktivní tlakové napětí při zhrocení prutu;
a, b – experimentálně zjištěné konstanty, závislé na druhu materiálu (v tabulkách).
Pevnostní podmínka vzpěru podle Tetmajera:
F≤
FKR σ KR ⋅ S
=
k
k
Postup výpočtu:
a. Navrhneme průřez nebo vypočteme bezpečnost podle Eulera (vypočteme FKR , i, λ )
i=
J min
l
F
, λ = 0 , FKR =
, F ≤ KR
2
S
i
l0
k
b. Pokud je λ < λ
je λ ≥ λ
m
m
, Eulerův výpočet neplatí a počítáme podle Tetmajera (pokud
, pak je výpočet dle Eulera).
c. Vypočítáme kritické napětí dle Tetmajera σ KR = a − b ⋅ λ
90/135
d. Zkontrolujeme, zda–li je splněna pevnostní podmínka dle Tetmajera, případně
vypočteme bezpečnost. F ≤
σ KR ⋅ S
k
7.3 Součinitel vzpěrnosti
Některé součásti (mosty, jeřáby, sloupy) se dle ČSN počítají pomocí tzv. součinitele
vzpěrnosti c. Podstata řešení je v tom, že se prut počítá jakoby na tlak, zatěžující síla je ale
zvětšena vynásobením součinitelem vzpěrnosti c.
σd =
F ⋅c
≤ σ Dovd
S
Součinitel vzpěrnosti závisí na druhu materiálu (ocel, …) a na štíhlosti λ (čím je λ
větší, tím je c větší) a najdeme ho v tabulkách, kde je zahrnut jak pružný, tak i nepružný
vzpěr.
7.4 Shrnutí vzpěru:
Rozhodující pro výpočet vzpěru je štíhlost prutu λ
a. Pokud je λ malé (λ < 20 ÷ 30) – počítáme pouze na tlak, na vzpěr ne.
b. λ ≥ λ
m
– počítáme podle Ruleta.
c. λ < λ
m
a není moc malé – výpočet dle Tetmajera.
d. Výpočty v bodech b) a c) lze nahradit výpočtem podle součinitele vzpěrnosti c.
Př.: Druhý případ vzpěru, l = 1050 mm , F = 12 ⋅ 10 4 N , k = 10 , ocel 11 500,
Ε = 2,1 ⋅ 10 5 MPa , λ m = 100 , a = 335 MPa , b = 0,62 MPa , l0 = l, d = ?, σ KR = a − b ⋅ λ
F=
FKR
→ FKR = F ⋅ k = 12 ⋅10 4 ⋅10 = 12 ⋅105 N
k
FKR =
J min =
S=
l02
π ⋅d4
64
π ⋅d2
4
=
→ J min =
→d =4
π ⋅ 0,062
4
FKR ⋅ l02
12 ⋅105 ⋅1,052
=
= 0,000000638 m 4 = 638323 mm 4
2
5
6 2
π ⋅ Ε 2,1 ⋅10 ⋅10 π
64 ⋅ J min
π
=4
64 ⋅ 0,000000638
π
= 0,06m = 60 mm
= 0,0028 m 2 = 2832 mm 2
Poloměr kvadratického momentu: i =
J min
=
S
91/135
0,000000638
= 0,015 m
0,0028
λ=
l0
1,05
=
= 69,5
i 0,015
λ < λ m → výpočet podle Tetamajera
σ KR = a − b ⋅ λ = 335 − 0,62 ⋅ 69,5 = 292MPa
FKR = σ KR ⋅ S = 292 ⋅106 ⋅ 0,0028 = 817600 N
k=
FKR 817600
=
= 6,8 < 10 → nevyhovuje
F
12 ⋅10 4
Navrhneme nový průřez: Např.:
σ KR
i=
λ=
k ⋅F k ⋅F ⋅4
F ⋅4⋅k
12 ⋅ 104 ⋅ 4 ⋅10
=
=
→d =
=
= 72mm
π ⋅d2
π ⋅ σ KR
π ⋅ 292
S
π ⋅d4
J Min
4
d2 d
=
⋅
=
=
S
64 π ⋅ d 2
16 4
i=
d 72
=
= 18mm
4 4
l0 1050
=
= 58,3
i
18
σ KR = a − b ⋅ λ = 335 − 0,62 ⋅ 58,3 = 297 MPa
FKR = σ KR ⋅ S = 297 ⋅
k=
π ⋅ 722
4
= 1209237 N
FKR 1209237
=
= 10,07 → vyhovuje
F
12 ⋅ 10 4
Př.: Vzpěr svařovaného drátu průměru 3,15 mm, l = 1 m , FKR = ? , λ = ?
J=
S=
i=
π ⋅d4
64
π ⋅d2
4
=
π ⋅ 3,154
64
= 4,8 mm 4
= 7,8mm 2
J
4,8
=
= 0,79
S
7,8
a) Jedná se o první případ vzpěru l0 = 2 ⋅ l
FKR =
λ=
π 2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ 4,8
(2 ⋅ 1000)2
2000
= 2532
0,79
λ>λ
m
→ Vyhovuje
92/135
= 2,5 N
b) Jedná se o čtvrtý případ vzpěru l0 =
FKR =
λ=
l
2
π 2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ 4,8
500 2
= 39,8 N
500
= 633
0,79
λ>λ
m
→ Vyhovuje
Př.: Určete FKR a λ tyče délky 2 m na obou stranách vetknuté. Jedná se o průřez
I 80 ČSN 42 5550.
Ze strojnických tabulek str. 293
určíme pro tyč průřezu I 80 ČSN 42 5550,
materiál 11 373, Jx = 778000 mm4,
Jy = JMin = 62900 mm4, S = 758 mm2.
l0 =
l
2
FKR =
=
l02
=
π 2 ⋅ 2,1⋅105 ⋅ 62900
i=
1000 2
= 130368 N
J min
=
S
=
62900
= 9,12mm
758
λ=
l0 1000
=
=
i
9,12
= 109,6 → Výpočet vyhovuje
93/135
8 Cyklické namáhání – únava
Strojnické tabulky str. 54.
Cyklické namáhání je takové namáhání, které periodicky kolísá mezi minimem
a maximem, v závislosti na čase.
Druhy zatěžovacích cyklů:
a) Střídavý cyklus σ m = 0
σ h − horní napětí
b) Střídavý nesouměrný
σ n − dolní napětí
c), d) Míjivý σ m = σ a
σ m − střední napětí σ m =
e), f) Pulzující (tepavý)
σ a − amplituda napětí σ a =
σh + σn
2
σh − σn
2
Při opakovaném (cyklickém) zatížení může dojít k tzv. únavovým lomům součásti
i při napětí menším, než mez kluzu materiálu. O únavě materiálu hovoříme tehdy, když počet
zatěžujících cyklů dosáhne tisíce, miliónu a více. U takto zatížených součástí se může objevit
trhlinka, která se dále zvětšuje a šíří až dojde k lomu součásti. Takovému lomu říkáme
únavový lom a je charakteristický tím, že mu nepředchází téměř žádná plastická deformace.
94/135
Trhlinky vznikají v místech koncentrace napětí, tedy v místech vrubů, zápichů nebo v místech
povrchových vad materiálu (vměstky). Únava materiálu je nejvíce propracována u ohýbaných
a kroucených hřídelů.
8.1 Wöhlerova křivka (studium praskání kolejnic)
Kniha str. 330.
Wöhlerova křivka ukazuje závislost mezi amplitudou napětí u střídavého cyklu
zatížení a životností vzorku. Udává počet cyklů, který zkušební vzorek při daném zatížení
vydrží. Vzorek je kruhová leštěná tyč malého průměru. Zkouší se obvykle střídavý ohyb.
Mez únavy σ 0C = největší napětí, které vzorek vydrží neomezený počet cyklů ( 5 ⋅ 10 7
cyklů). Je určena pro střídavý cyklus a leštěnou tyč bez vrubů. Pro ocel platí:
Střídavý ohyb:
σ 0C = 0,43 ⋅ Rm
Střídavý krut:
τ KC = 0,25 ⋅ Rm
95/135
8.2 Smithův diagram
Tento diagram udává závislost meze únavy na druhu zatěžovacích cyklů.
Každý cyklus je v tomto diagramu znázorněn úsečkou. Když je tato úsečka uvnitř
diagramu, jsme pod mezí únavy σC a tedy součást má neomezenou životnost.
Takto
sestrojený
Smithův
diagram
by
vyžadoval velké množství zkoušek, proto se používá
nahrazení křivek přímkami. Diagram se navíc omezuje
mezí kluzu Re, protože nechceme opakované trvalé
deformace.
ϕ závisí na materiálu, obvykle ϕ = 45°
96/135
8.3 Tvarová pevnost
U strojních součástí jsou velmi časté změny průřezu, drážky, zápichy a podobně,
kterým říkáme vruby. Napětí pak v průřezu není rozloženo rovnoměrně, na vrubech vzniká
napěťová špička. Tomuto jevu říkáme koncentrace napětí. Čím je např. zápich ostřejší, tím je
koncentrace napětí větší.
Koncentrace napětí má rozhodující vliv na únavovou pevnost. Mez únavy tyče
s vrubem může být třeba jen 20 % meze únavy hladké tyče. Mez únavy je pokusně zjišťována
pro hladkou leštěnou tyč bez vrubů. Na mez únavy skutečné součásti má vliv:
a. Tvar součásti.
b. Velikost součásti.
c. Stav povrchu součásti.
8.3.1 Vliv tvaru součásti:
Používáme tzv. vrubový součinitel β, který udává, kolikrát je skutečná napěťová
špička větší než rovnoměrně rozložené průměrné napětí.
β=
σ skut .
σ jmenovité
σ skut . – skutečná napěťová špička.
σ jmenovité – průměrné napětí.
Vrubový součinitel β se určuje poměrně obtížně pomocí únavových zkoušek tyčí
s vrubem.
97/135
Proto častěji používáme tzv. tvarový součinitel α, který udává kolikrát je teoreticky
vypočítaná nebo staticky experimentálně zjištěná napěťová špička větší, než průměrné napětí.
α=
σ teor
σ jmenovité
Tvarový součinitel α je vždy větší než vrubový součinitel β, protože napěťové špičky
se vždy v praxi poněkud rozloží a budou menší.
Vrubový součinitel se vypočte:
β = 1 + (α − 1) ⋅η
obvykle: β = 2 ÷ 3
η – [éta] součinitel citlivosti materiálu na vruby (čím kvalitnější ocel, tím je citlivější).
Vrubový součinitel β se obvykle hledá
v diagramech, které byly pro různé
vruby zjištěny experimentálně, např.
pro osazený hřídel. Jsou v tabulkách,
např. strojnické tabulky str. 52.
8.3.2 Vliv velikosti:
Čím větší součást, tím má více
vnitřních vad materiálu, tím je tedy
náchylnější k únavovým lomům.
Např. strojnické tabulky str. 53.
εm < 1
98/135
8.3.3 Vliv povrchu součásti:
Wöhlerova křivka byla zjištěna pro
leštěný povrch vzorku. Čím větší drsnost
povrchu, tím je více povrchových vrubů, tím je
tedy součást náchylnější k únavovým lomům.
Skutečnou mez únavy pro danou
součást pak vypočteme:
σ Cskut =
σc ⋅ ε m ⋅ ε p
β
σ c − mez únavy (z Wöhlerovy křivky).
ε m − součinitel velikosti < 1
εP < 1
ε p − součinitel povrchu < 1
Kniha str. 345, strojnické tabulky str. 53.
β − součinitel vrubu > 1
Podmínka neomezené životnosti: σ ≤ σ Cskut
Tato podmínka platí pro střídavý cyklus. Pro jiný cyklus musíme nakreslit Smithův
diagram pro hodnotu σ Cskut .
8.4 Výpočet hřídele na únavu
Nejčastěji se na únavu počítají hřídele, které jsou zatíženy ohybem a krutem. Na
únavu počítáme součásti vždy v místě vrubu (osazení, drážky pro pero, zápichy …)
a. Vypočteme nebo najdeme v tabulkách skutečnou mez únavy v ohybu σ 0C a krutu τ KC
σ 0C = 0,43 ⋅ Rm
τ KC = 0,25 ⋅ Rm
b. Najdeme místa s vruby a vypočítáme tam momenty M K a M 0 , z nich vypočteme
napětí σ 0 a τ K
c. Pro každý vrub určím z diagramů součinitel vrubový β , vlivu povrchu ε p a vlivu
velikosti ε m pro ohyb i pro krut zvlášť
d. Vypočteme skutečné meze únavy v ohybu a krutu
σ 0Cskut =
σ 0c ⋅ ε m ⋅ ε p
βO
99/135
τ KCskut =
σ Kc ⋅ ε m ⋅ ε p
βK
e. Vypočteme tzv. dynamické bezpečnosti
k dσ =
σ 0Cskut
σ0
k dτ =
τ KCskut
τK
f. Vypočteme výslednou dynamickou bezpečnost
1
1
1
=
+ 2
2
2
kd
kdσ
kdτ
kd =
kdσ ⋅ kdτ
kd2σ + kd2τ
kd min = 1,5 ÷ 2
Př.: Vypočtěte skutečnou mez únavy v ohybu a krutu osazeného hřídele jemně
soustruženého, použijte horní hranice rozsahů. Materiál: ocel 12 060.
Ze strojnických tabulek str. 52
a str. 54
Rm = 600 ÷ 850 MPa (850)
σ 0C = 215 ÷ 295 MPa (295)
τ KC = 150 ÷ 210 MPa (210)
R
= 0,1 →
d
vrubový součinitel βO = 1,7 ; β K = 1,2
součinitel velikosti ε m O = 0,83 ; ε m K = 0,75
součinitel stavu povrchu ε p = 0,8
Pak skutečná mez únavy:
σ 0Cskut =
τ Kcskut =
σ 0c ⋅ ε m ⋅ ε p
β0
=
295 ⋅ 0,83 ⋅ 0,8
= 115 MPa
1,7
τ Kc ⋅ ε m ⋅ ε p 210 ⋅ 0,75 ⋅ 0,8
=
= 105 MPa
βK
1,2
100/135
9 Kinematika
Kinematika je věda o pohybu těles. Určuje průběh pohybu (dráhu, rychlost, zrychlení)
v prostoru a čase.
Základní veličiny kinematiky:
dráha – s [m];
rychlost – v [m/s];
zrychlení – a [m/s2];
čas – t [s].
Rychlost je dráha ujetá za jednotku času:
v=
∆s  m 
∆t  s 
Zrychlení je změna rychlosti za jednotku času. Vzniká, i když se mění směr rychlosti:
a=
∆v  m 
∆t  s 2 
Podle tvaru dráhy dělíme pohyby na přímočaré a křivočaré.
101/135
9.1 Přímočaré pohyby
Jsou to pohyby konané po přímce. Pro znázorňování těchto pohybů často používáme
diagramy v–t nebo s–t, případně a–t.
v–t diagramy: plocha pod křivkou je dráha.
Rovnoměrný pohyb.
Obecný pohyb.
s = v ⋅t
s
v=
t
a=0
Pohyb rovnoměrně zrychlený.
Počáteční rychlost v0 = 0
Počáteční rychlost v0 ≠ 0
1
v ⋅t
2
2s
v=
t
a≠0
v0 + v
t
2
a≠0
2s
v=
− v0
t
s=
s=
102/135
Pohyb rovnoměrně zpožděný.
Konečná rychlost v = 0
Konečná rychlost v ≠ 0
v0 + v
⋅t
2
a≠0
1
s = v0 ⋅ t
2
a≠0
2⋅s
v0 =
t
s=
2⋅s
− v0
t
s–t diagram: používá se pro grafické řešení úloh typu kde a kdy se potkají dvě auta. Těchto
diagramů se využívá na železnici.
v=
a–t diagram: plocha pod křivkou je rychlost.
v=a.t
103/135
9.2 Přímočarý rovnoměrný pohyb – příklady
s = v ⋅t
a=0
Př.: Za jak dlouho ujede auto dráhu 33km, jede–li rychlostí 70 km h .
t=
s 33
=
= 0,47 h = 0,47 ⋅ 60 min = 28 min
v 70
Př.: Z míst A, B, vzdálených od sebe 20 km, jedou proti sobě 2 auta. Auto 1 rychlostí
40 km h , auto 2 rychlostí 100 km h . Kdy a kde se potkají?
t1 = t 2
s 2 = s − s1
t1 =
s1
v1
t2 =
s 2 s − s1
=
v2
v2
s1 s − s1
=
v1
v2
s1
s s1
=
−
v1 v 2 v 2
s1 s1
s
+
=
v1 v 2 v 2
v +v  s
s1 ⋅  2 1  =
 v1 ⋅ v2  v2
s1 =
s
1
⋅
v2 v2 + v1
v1 ⋅ v2
104/135
s1 =
20
1
⋅
= 5,71km
+ 40
100
100
40 ⋅100
s 2 = s − s1 = 20 − 5,71 = 14,29km
t=
s1 s2 14,29
= =
= 0,14h =& 9 min
v1 v2
100
Př.: Místo A je vzdáleno 100 km od místa B. Auto 1 jede rychlostí 50 km h , auto 2
100 km h . Auto 1 vyjede z místa A v t01 = 8.00 hod. V kolik hodin t02 musí vyjet auto 2, mají–
li dojet do místa B současně?
t1 =
s 100
=
= 2h
v1 50
t2 =
s 100
=
= 1h
v2 100
t02 = t01 + (t1 − t2 ) = 8 + (2 − 1) = 9h
Př.: Dvě města jsou od sebe vzdálena 200 km. Z města A vyjel v 10.00 hod. osobní
vlak rychlostí 50 km h . Z města B vyjel v 10.30 hod. rychlík rychlostí 80 km h . Za kolik
hodin od vyjetí osobního vlaku se oba vlaky potkají a v jaké vzdálenosti od A.
s = s1 + s2 = v1 ⋅ t + v2 ⋅ (t − 0,5) = v1 ⋅ t + v2 ⋅ t − 0,5 ⋅ v2
s = t ⋅ (v1 + v2 ) − 0,5 ⋅ v2
t=
s + 0,5 ⋅ v2 200 + 0,5 ⋅ 80
=
= 1,85h = 1h 51'
v1 + v2
50 + 80
s1 = v1 ⋅ t = 50 ⋅ 1,85 = 92,3 km od A
105/135
9.3 Rovnoměrně zrychlený a zpožděný přímočarý pohyb
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb.
S nulovou počáteční rychlostí.
a = konst.
v = a ⋅t
1
1
s = v ⋅ t = a ⋅ t2
2
2
S nenulovou počáteční rychlostí.
v = v0 + a ⋅ t
v − v0
t
a=
s=
v0 + v
⋅t
2
s = v0 ⋅ t +
1
(v − v0 ) ⋅ t
2
Rovnoměrně zpožděný přímočarý pohyb.
Na nulovou rychlost.
a = konst.
1
s = v0 ⋅ t
2
v0 = a ⋅ t
1
a ⋅ t2
2
s=
Na nenulovou rychlost.
s=
v0 + v
⋅t
2
v = v0 − a ⋅ t
a=
a=
106/135
v
t
v0 − v
t
Př.: U auta se uvádí, že na rychlost 100 km h se rozjede za 8 s. Jakou dráhu ujede
a jaké je zrychlení?
v = 100 km h = 100000 m h =
100000
m min
60
100000
m s = 27,8 m s
60 ⋅ 60
1
1
s = v ⋅ t = ⋅ 27,8 ⋅ 8 = 111,1m
2
2
=
a=
∆v 27,8
m
=
= 3,475 2
∆t
8
s
Př.: Auto jede rychlostí v0 = 54 km/hod. Během 15 s. zvýší tuto rychlost na v = 90
km/hod. Jakou dráhu při tom ujede a jaké bylo jeho zrychlení, v0 = 15 m/s, v = 25 m/s.
s=
a=
v0 + v
15 + 25
t=
⋅ 15 = 300m
2
2
∆v v − v0 25 - 15
m
=
=
= 0,67 2
∆t
∆t
15
s
Př.: Auto mělo ve dvou místech vzdálených 100 m rychlost v1 = 45 km h
a v2 = 65 km h . Za jakou dobu ujelo tuto vzdálenost?
v1 = 12,5 m s
v2 = 18,1m s
s=
v1 + v2
2s
2 ⋅ 100
t →t =
=
= 6,5s
2
v1 + v2 12,5 + 18,1
107/135
9.4 Volný pád
Je to rovnoměrně zrychlený pohyb, kde zrychlení má hodnotu g = 9,81 m s 2 – tzv.
tíhové zrychlení.
Hloubka pádu:
s=h=
1
v ⋅t
2
a=g=
v
→ v = g ⋅t
t
h=
1
g ⋅ t2
2
9.5 Svislý vrh
Je to rovnoměrně zpomalený (zpožděný) pohyb, kde zpomalení má hodnotu g.
Výška vrhu:
s=h=
1
v0 ⋅ t
2
a=g=
v0
v
→t = 0
t
g
h=
1
⋅ v0 ⋅ t
2
h=
1 v0
⋅
2 g
2
Př.: Do propasti hluboké 138 m padá kámen. Za jak dlouho dopadne a jakou rychlostí
dopadne na dno propasti?
h=
1
g ⋅t2 ⇒ t =
2
2h
=
g
2 ⋅138
= 5,3 s
9,81
v = g ⋅ t = 9,81 ⋅ 5,3 = 52 m s
108/135
Př.: Z letadla vyskočí parašutista, který po dobu 20 s padá volným pádem. Pak ve
výšce 400 m nad zemí otevře padák. Jak vysoko bylo letadlo?
svp =
1
1
g ⋅ t 2 = ⋅ 9,81 ⋅ 202 = 1962m
2
2
h = svp + 400 = 1962 + 400 = 2362m
Př.: Předjíždění vozidel: Na jaké dráze a za jak dlouho dojde k předjetí? Na předjetí a
zařazení potřebuje auto 50 m.
s = v⋅t
t=
s
v
v1 =
80000
= 22,2 m s
3600
v2 =
90000
= 25 m s
3600
nákladní auto
dráha s
osobní auto
s + 60 (60 m = 25 m + 25 m + 10 m)
čas stejný
t
109/135
t=
s s + 60
=
v1
v2
s
s 60
=
+
v1 v 2 v 2
s
s 60
−
=
v1 v 2 v 2
 1 1  60
s ⋅  −  =
 v1 v 2  v 2
s=
t=
60
1
60
1
⋅
=
⋅
= 475,7 m
v2 1 − 1 25 1 − 1
v1 v2
22,2 25
(také je možno: s =
60 ⋅ v1
)
v2 − v1
s 475,7
=
= 21,4 s
v1
22,2
také je možno: t =
s2 s + 60m
=
v2
v2
Př.: Protiletadlovým dělem byl vystřelen svisle vzhůru náboj rychlostí 800 m s . Jak
dlouho bude střela stoupat a do jaké výšky se dostane?
h=
1
v0 ⋅ t
2
g=
v0
v
→t = 0
t
g
h=
1 v0
1 800 2
⋅
= ⋅
=& 32620m
2 g
2 9,81
t=
v0 800
=
= 81,5s
g 9,81
2
110/135
Př.: Do jaké výšky vyletí tenisový míček, který byl odpálen 1 m od země rychlostí
15 m s ?
1
1 v 2 1 152
v0 ⋅ t = ⋅ 0 = ⋅
= 11,5m
2
2 g 2 9,81
Let:
hletu =
Celková:
hcelková = h0 + hletu = 1 + 11,5 = 12,5m
9.6 Křivočaré pohyby
9.6.1 Obecný rovnoměrný křivočarý pohyb
Dráha má tvar obecné křivky.Velikost
rychlosti je konstantní.
v=
s
= konst.
t
Směr rychlosti má směr tečny k dráze
pohybu.
V diagramech tento pohyb znázorňujeme stejně jako rovnoměrný přímočarý pohyb,
protože diagramy nezobrazují tvar dráhy.
V praxi pohyb auta, vlaku …
9.6.2 Rovnoměrný pohyb bodu po kružnici
Dráha bodu je kružnice, směr rychlosti je vždy tečný k dráze, rychlost je vždy
konstantní.
Pohyb probíhá po obvodu kružnice, proto se rychlost nazývá obvodová.
111/135
Za jednu otáčku vykoná bod dráhu:
s1 = π ⋅ D
za n otáček
s =π ⋅D⋅n
v=
s
π ⋅D⋅n
=π ⋅D⋅n
– za 1 sekundu v =
t
1
v = π ⋅ D ⋅ n , D [m] , n  1  , n − otáčky za sekundu
 s 
Př.: Automobil má kola průměru 620 mm. Jak rychle se kola otáčejí při rychlosti
automobilu 75 km h ?
75 km h = 20,8 m s
n=
v
20,8
ot
=
= 10,7
π ⋅ D π ⋅ 0,62
s
Př.: Vozidlo se pohybuje rovnoměrně zrychleně a = 1,5 m s 2 . Po ujetí dráhy 60 m
byla jeho rychlost 15 m s . Jaká byla počáteční rychlost?
a=
∆v v − v0
=
∆t
t
s=
1
(v0 + v ) ⋅ t → t = 2s
2
v + v0
a=
(v − v0 ) ⋅ (v + v0 ) = v 2 − v02
2s
2s
→ v 2 − v02 = 2as
v02 = v 2 − 2as
v0 = v 2 − 2as = 152 − 2 ⋅1,5 ⋅ 60 = 6,7 m s
Př.: Parní turbína koná 60 otáček za sekundu. Vnější průměr lopatek je 960 mm. Jaká
je obvodová rychlost na výstupu z turbíny?
v = π ⋅ D ⋅ n = π ⋅ 0,96 ⋅ 60 = 181 m s
112/135
9.7 Rovnoměrný rotační pohyb těles kolem stálé osy
Každý bod tělesa se pohybuje po soustředné kružnici, koná tedy rovnoměrný pohyb
bodu po kružnici.
s =π ⋅D
Dráhy, obvodové rychlosti jsou přímo úměrné vzdálenosti bodu od osy rotace
s1 : s 2 : s 3 = v1 : v 2 : v3 = R1 : R2 : R3
Zavádí se pojem úhlová rychlost ω , která je stejná pro všechny body tělesa. Je to
vlastně pootočení tělesa za jednotku času.
)
ω=
ϕ  rad 
t  s 
)
s = R ⋅ϕ
)
s R ⋅ϕ
v= =
= R ⋅ω
t
t
v = R ⋅ω
ω=
v π ⋅ D ⋅ n π ⋅ 2R ⋅ n
=
=
= 2 ⋅π ⋅ n
R
R
R
113/135
ω = 2 ⋅π ⋅ n
1 
n − otáčky  
s
Př.: Setrvačník průměru 300 mm má 100
ot
. Jaká je jeho obvodová a úhlová
s
rychlost?
v = π ⋅ D ⋅ n = π ⋅ 0,3 ⋅ 100 = 94,2 m s
ω = 2 ⋅ π ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅100 = 628 rad s
Př.: Z místa A do místa B, vzdálených od sebe s = 20 km, vyjel v 9:00 hod. cyklista
rychlostí v1 = 20 km h = 0,33 km/min. V 9:20 hod. vyjel z místa B motocyklista rychlostí
v2 = 54 km h = 0,9 km/min. Kdy se setkají a v jaké vzdálenosti od místa A?
s = s1 + s 2
s1 = v1 ⋅ t
s 2 = v 2 ⋅ (t − 20´)
s = v1 ⋅ t + v2 ⋅ (t − 20) = v1 ⋅ t + v2 ⋅ t − 20 ⋅ v2 = t ⋅ (v1 + v2 ) − 20 ⋅ v2
t=
s + 20 ⋅ v 2 20 + 20 ⋅ 0,9
=
=& 31 min
v1 + v 2
0,33 + 0,9
s1 = v1 ⋅ t = 0,33 ⋅ 31 = 10,23km
s2 = s – s1
9.8 Rovnoměrně zrychlený rotační pohyb
V závislosti na čase dochází k přírůstku rychlosti. Tento přírůstek způsobuje zrychlení,
které má směr rychlosti, tedy tečny ke dráze (kružnici). Říkáme mu tečné zrychlení.
114/135
at =
∆v
= konst
∆t
Tečné zrychlení tedy odpovídá změně
velikosti obvodové rychlosti.
v = R ⋅ω
Mění–li se obvodová rychlost jednoho
bodu, musí se měnit i jeho úhlová rychlost. Pak
platí:
at =
∆v R ⋅ ∆ω
m
=
= R ⋅ε  2 
∆t
∆t
s 
 rad 
ε − úhlové zrychlení  2 
 s 
ε=
∆ω ω − ω0
=
∆t
t
Dráha (úhlová)
)
ϕ=
ω0 + ω
2
ω = ω0 + ε ⋅ t
⋅t
Protože se u rotačního pohybu mění i směr rychlosti, existuje i normálové, neboli
dostředivé zrychlení an
an =
v2 R2 ⋅ω 2
=
= R ⋅ω 2
R
R
m
 s 2 
an = R ⋅ ω 2
pro R = ∞ je an = 0 (přímka)
Zrychlení skládáme vektorově jako síly.
Výsledné zrychlení:
a = at2 + an2
Dostředivé zrychlení odpovídá změně směru
rychlosti, tečné změně velikosti rychlosti.
115/135
Př.: Setrvačník o průměru 3 m se roztáčí rovnoměrně zrychleně tak, že za 10 s vzroste
obvodová rychlost z 10 m s na 27 m s . Vypočtěte úhlovou rychlost a všechna zrychlení.
v=R·ω→
ω0 =
v0 10
=
= 6,6 rad s
R 1,5
ω=
v 27
=
= 18 rad s
R 1,5
ε=
∆ω
∆t
ε=
ω − ω0
t
=
18 − 6,6
= 1,14 rad s 2
10
at = R ⋅ ε = 1,5 ⋅1,14 = 1,71 m s 2
v 2 27 2
an =
=
= 486 m s 2
R 1,5
a = at2 + a n2 = 486 m s 2
9.9 Skládání pohybů
V praxi se často setkáváme s případy, kdy těleso nebo bod koná dva i více pohybů.
Výsledný pohyb je pak pohyb složený. Např. pohyb loďky napříč řekou, pohyb břemene
mostového jeřábu (pohyb mostu ↔ , kočky, háku b )
116/135
Pro rozlišení jednotlivých pohybů zavádíme pojmy:
Pohyb absolutní: je to pohyb, který se jeví
pozorovateli z nehybného místa na zemi.
Pohyb relativní: pohyb, který se jeví pozorovateli
z místa, které se taky pohybuje.
9.10 Pohyb ve dvou rovnoběžných přímkách
Rychlosti a dráhy sčítáme nebo odečítáme.
Absolutní dráha vozíku 1 za čas t
sa1 = va1 ⋅ t
Relativní dráha vozíku 2 za čas t
sr 2 = vr 2 ⋅ t
Absolutní dráha vozíku 2 za čas t
sa 2 = sa1 + sr 2 = (va1 + vr2) . t
Absolutní rychlost vozíku 2
va 2 = va1 + vr 2
Př.: Míjejí se dva vlaky
v1 = 50 km h absolutní
v2 = 80 km h absolutní
Relativní rychlost vr = va1 + va 2 = 50 + 80 = 130 km h
9.11 Pohyb v různoběžných přímkách
Dráhy a rychlosti skládáme vektorově jako síly, buď graficky nebo početně
(Pythagorova, Cosinova věta).
117/135
Např.: převozník přes řeku:
Rychlosti svírají pravý úhel.
Rychlosti svírají obecný úhel.
Pythagorova věta:
2
v = v a 2 = v a1 + v r 2
tgα =
s =
Cosinova věta:
2
2
v a1 s a1
=
vr 2 s r 2
sa
2
+ sr
2
v = v a + v r − 2v a ⋅ v r ⋅ cos β
Sinova věta:
sin α : sin β = v a : v
2
Př.: Řeka je široká 200 m a loď pluje kolmo ke směru proudu rychlostí
vr = 18km / hod . = 5 m s . Rychlost proudu řeky je va = 1 m s . Určete výslednou dráhu
a výslednou rychlost lodi a dobu plavby.
Doba plavby lodi bez vlivu proudu (relativní):
v=
s
s
200
→ tr = r =
= 40 s
t
vr
5
Absolutní dráha proudu řeky za tuto dobu:
sa = va ⋅ t = 1 ⋅ 40 = 40m
Výsledná dráha lodi:
2
2
s = sa + sr = 40 2 + 200 2 =& 204m
Výsledná rychlost:
2
2
v = va + vr = 12 + 52 = 5,1 m s
Čas plavby lodi:
t=
s 204
=
= 40 s
v 5,1
118/135
Odchylka výsledné dráhy:
tgα =
40
sa
=
= 0,2 → α = 11°20′
sr 200
Př.: To samé jen od příčného směru je odklon φ = 30° , vr = 5 m s , va = 1 m s , šířka
toku st = 200m .
cos 30° =
st
200
st
→ sr =
=
= 231m
sr
cos 30° cos 30°
s
s
231
v= →t = r =
= 46,2 s
t
vr
5
s a = v a ⋅ t = 1 ⋅ 46,2 = 46,2m
2
2
2
2
s = sa + sr − 2 sa ⋅ sr ⋅ cos β = 46,22 + 2312 − 2 ⋅ 46,5 ⋅ 231 ⋅ cos 120° =& 257,2m
v = va + vr − 2va ⋅ vr ⋅ cos β = 12 + 52 − 2 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ cos 120° = 5,56 m s
Odchylka výsledné dráhy:
Sinova věta:
sin α / sin β = sa / s
sa
s
=
sin α sin β
s
46,2
sin α = a ⋅ sin β =
⋅ sin 120° = 0,156 → α = 8,95°
s
257,2
Od příčného směru bude odkloněna o: 30° + 8,95° = 39°
119/135
9.12 Vodorovný vrh
Vodorovný vrh se skládá ze dvou pohybů, které jsou vzájemně kolmé.
a. Přímočarý rovnoměrný vodorovný pohyb se stálou rychlostí v0 (rovnoměrný pohyb).
b. Volný pád ve svislém směru se stálým tíhovým zrychlením g (rovnoměrně zrychlený
pohyb).
Dráha: s x = v0 ⋅ t p − dostřel;
h = sy =
a=
1
g ⋅ t 2p − hloubka pádu;
2
v
→ v = a ⋅t = g ⋅t
t
tP – čas dopadu.
Výsledná
dráha
má
tvar
paraboly.
Ve
skutečnosti se vlivem odporu prostředí trochu
liší.
Rychlost:
2
v = v02 + v'2 = v02 + (g ⋅ t )
Př.: Dělo ve výšce 200 m nad hladinou moře vystřelí vodorovně střelu rychlostí
1000 m s . V jaké vzdálenosti dopadne střela na hladinu moře?
h=
1
2⋅h
2 ⋅ 200
g ⋅t2 → t =
=
= 6,39 s
2
g
9,81
Dostřel s x = v0 ⋅ t = 1000 ⋅ 6,39 = 6390 m
9.13 Šikmý vrh
Skládá se zase z přímočarého rovnoměrného pohybu, odkloněného od vodorovné
roviny o úhel α , a volného pádu. Řešíme jej pomocí nezávislých pohybů, to znamená
nejdříve proběhne jeden, až skončí, tak druhý. Výsledný pohyb vznikne jejich vektorovým
sečtením. Dráha pohybu má tvar paraboly.
120/135
s = v0 ⋅ t p − přímočarý rovnoměrný pohyb;
s x = v0 ⋅ t p ⋅ cos α
sy =
1
g ⋅ t 2p − volný pád.
2
Z trojúhelníku musí platit:
s y = s ⋅ sin α = v 0 ⋅ t p ⋅ sin α
Potom:
sy = sy
1
g ⋅ t 2p = v0 ⋅ t p ⋅ sin α
2
čas pádu: t p =
2 ⋅ v0 ⋅ sin α
g
v x = v0 ⋅ cos α
v y = v0 ⋅ sin α − g ⋅ t p
v = v x2 + v 2y
4sin72α44
8 v2
2v0 ⋅ sin α
v02 64
s x = v0 ⋅ t p ⋅ cos α = v0 ⋅
⋅ cos α = ⋅ 2 sin α ⋅ cos α = 0 ⋅ sin 2α
g
g
g
121/135
sin 90° = 1 → max. dostřel bude při úhlu 45°.
Př.: Střela opustila hlaveň rychlostí 1200 m s při elevačním úhlu 45°. Jaký je dostřel
zanedbáme–li odpor vzduchu?
sx =
v 02
1200 2
⋅ sin 2α =
⋅ sin 90 0 = 146789m = 147km
g
9,81
9.14 Svislý vrh
Pohyb vzhůru je přímočarý rovnoměrně zpožděný a pohyb dolů přímočarý
rovnoměrně zrychlený.
Dráhy:
Pohyb vzhůru:
s1 = v0 ⋅ t
Dolů:
s2 =
1
g ⋅ t2
2
výsledná dráha v libovolném čase:
h = s1 − s2 = v0 ⋅ t −
1
g ⋅t2
2
Při zpětném dopadu na zem je h = 0, tedy:
0 = v0 ⋅ t d −
v0 ⋅ td =
td =
1
g ⋅ t d2
2
1
g ⋅ td2
2
2 ⋅ v0
g
122/135
Doba výstupu je poloviční:
tv =
v0
v
→g= 0
g
t
h = v0 ⋅ tv −
1
1v
1
1
g ⋅ t 2 v = v0 ⋅ tv − 0 ⋅ t 2 v = v0 ⋅ tv − v0 ⋅ tv = v0 ⋅ t v
2
2 tv
2
2
Max. výška:
hmax =
1
1
v2
v0 ⋅ tv = g ⋅ tv2 = 0
2
2
2g
Výsledná rychlost:
v = v0 + (− g ⋅ t ) = v0 − g ⋅ t
Př.: Střela vystřelená svisle vzhůru dopadla na zem za 120 s. Jak vysoko vystoupila
a jaká byla počáteční rychlost?
td = 120 s , tv = 60 s
hmax =
1
1
g ⋅ t v2 = ⋅ 9,81 ⋅ 60 2 = 17658m
2
2
v0 = t v ⋅ g = 60 ⋅ 9,81 = 589 m s
9.15 Rozkládání pohybů
Často bývá potřeba výsledný pohyb rozložit do dvou složek. Je to opačný postup ke
skládání pohybů.
9.15.1
Valení válce po rovině
Pohyb rozdělíme na unášivý a relativní pohyb:
a. Unášivý pohyb: těleso se pohybuje jako celek vůči pevnému okolí.
b. Relativní pohyb: pohyb tělesa vůči pohyblivému dobu.
123/135
V případě valení je unášivý pohyb posuvný pohyb rychlostí vu a relativní pohyb je
otáčivý pohyb kole středu S, který se pohybuje.
Rychlosti v jednotlivých bodech:
A:
v = vu2 + vr2
B:
v = vu + vr
C:
Kolo nesmí proklouznout, tedy musí být
vu = vr
v=0
124/135
9.15.2
Oba dílčí pohyby otáčivé
V praxi u konstrukce ozubení: epicykloida, hypocykloida:
9.16 Unášivý pohyb rotační, relativní posuvný
Je to poměrně častý případ u mechanismů, kdy se těleso (objímka) posouvá
rovnoměrně po průvodiči rychlostí vr = konst. a ještě se s průvodičem rovnoměrně otáčí
( ωu = konst. ).
vu = R ⋅ ω u
Výsledná rychlost se pak rovná vektorovému součtu relativní rychlosti vr a unášivé
rychlosti vu . Unášivá rychlost je funkcí poloměru a tedy se neustále mění. Pak tedy i výsledná
rychlost neustále mění svůj směr a velikost. Tedy musí existovat nějaké zrychlení. Toto
zrychlení nazýváme Coriolisovo zrychlení a působí vždy kolmo na směr relativní rychlosti.
125/135
ac = 2vr ⋅ ωu
ac je ⊥ na vr a má směr ωu
Toto zrychlení způsobuje tzv. Coriolisova síla, která má vliv např. na odchylku střely
dalekonosných děl, chod odstředivých čerpadel apod.
9.17 Harmonický pohyb
O harmonickém pohybu hovoříme tehdy, jedná–li se o opakovaný vratný pohyb
(kmitový pohyb). V praxi se s harmonickými pohyby setkáváme často např. u chvění
a vibrací, u pohybu klikového mechanismu apod. Harmonický pohyb koná také např. závaží
zavěšené na pružině, kmitající kolem rovnoběžné polohy.
126/135
Teoreticky se závaží pohybuje po sinusovce, v praxi je pohyb závaží tlumený vlivem
tlumení pružiny a odporu vzduchu.
9.18 Rotační pohyb
Při sledování pohybu bodu rotujícího po kružnici o poloměru R stálou úhlovou
rychlostí ω dostaneme jednoduchý harmonický pohyb.
127/135
Dráha bodu A ve vodorovném směru:
s x = r ⋅ sin ϕ
Obvodová rychlost:
v = r ⋅ω
Složka této rychlosti ve vodorovném směru:
vx = v ⋅ cos ϕ = r ⋅ ω ⋅ cos ϕ
Pohyb je rovnoměrný, tedy at = 0
Bude pouze normálné (dostředivé) zrychlení:
an = r ⋅ ω 2
Pak jeho složku promítneme do vodorovného směru:
a x = r ⋅ ω 2 ⋅ sin ϕ
( an ⋅ sin ϕ )
Dosadíme–li do vzorců za pootočení:
)
ϕ = ω ⋅t
Pak rovnice dostanou tvar:
s x = r ⋅ sin ω ⋅ t
vx = r ⋅ ω ⋅ cos ω ⋅ t
a x = − r ⋅ ω 2 ⋅ sin ω ⋅ t
128/135
Průběh dráhy a zrychlení je dán
sinusovkou, průběh rychlosti cosinusovkou.
Z obrázku je zřejmé: v místě, kde je max.
rychlost je nulové zrychlení a naopak, tam
kde je nulová rychlost, je max. zrychlení.
Max. rychlost dostaneme pro ϕ = 0
a 180° (cos 0 = 1), tedy pro body 1 a 3,
vmax = r ⋅ ω
Max.
ϕ = 90° a 270°,
zrychlení
tedy
dostaneme
pro
body
pro
2,
4,
amax = −r ⋅ ω 2
V praxi často kmitavé pohyby např.
chvění a vibrace nahrazujeme jedním nebo
několika
pohyby
harmonickými
podle
sinusovky.
9.19 Kinematika soustavy těles
Soustavou těles rozumíme alespoň 3 tělesa (včetně zákl. rámu), která jsou spolu
pohyblivě spojena.
Mechanismus je soustava těles s jednoznačným pohybem všech svých členů.
Funkce mechanismu:
a. Převod jednoho pohybu v druhý: posuv v posuv, posuv v rotaci,
rotaci v rotaci,
šroubový pohyb v rotaci apod.
b. Dosažení předepsané dráhy pohybujícího se bodu popř. předepsaného pohybu tělesa.
9.20 Stupně volnosti:
Těleso má tolik stupňů volnosti, kolik je třeba souřadnic k popsání jeho polohy.
Stupně volnosti se tělesu odebírají pomocí vazeb.
Volné těleso v rovině
3 st. volnosti, posuv x,y, rotace ϕ z (kolem osy z)
Volné těleso v prostoru
6 x, y, z, ϕ x , ϕ y , ϕ z
Volný bod v rovině
2 x, y
129/135
Volný bod na přímce
1 x
Volný bod v prostoru
3 x, y, z
Všechna mechanická zařízení, která omezují těleso v pohybu nazýváme vazbou.
V rovině:
Rotační vazba (otáčivý pohyb)
Odebírá x, y, má ϕ z
Posuvná vazba odebírá y, ϕ z , má x
Válivá vazba umožňuje otáčení kolem
okamžitého středu otáčení. Odvaluje se, nesmýká,
tedy odebírá x, y, má ϕ z
130/135
Obecná vazba: Tělesa se otáčí a smýkají po sobě – odebírá y, má x, ϕ z
Počet stupňů rovinných mechanismů:
i = 3 ⋅ n − 2 ⋅ (r + p + v ) − o
i – počet stupňů volnosti;
n – počet pohyblivých členů mechanismu (bez rámu);
r – počet rotačních vazeb;
p – počet posuvných vazeb;
v – počet válivých vazeb;
o – počet obecných vazeb;
0° volnosti: není to mechanismus, nemůže se pohybovat;
1° volnosti: pohyb celého mechanismu je dán jedním pohybem jednoho členu;
2° volnosti: pohyb celého mechanismu je dán dvěmi pohyby jednoho a více členů.
Př.: 3 členy
i = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (2 + 1) = 0
Je pevný!
Př.: 4 členy
i = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ (3 + 1 + 0 ) − 0 = 1
Má 1° volnosti.
131/135
9.21 Převody
Převod je mechanismus, který převádí jeden pohyb na jiný nebo na stejný typ pohybu,
ale např. jinou rychlost. Obvykle pod pojmem převod rozumíme mechanismus, který převádí
otáčivý pohyb z jedné hřídele na druhý.
Kontaktní
Třecí převod
Opásané (s vloženým členem)
Řemeny
Kontaktní
Ozubená kola
Opásané (s vloženým členem)
Řetězový převod
Se silovým stykem
Převody
S tvarovým stykem
9.22 Řemenový nebo řetězový převod
v = v1 = v2 = konst. (řetěz,
řemen se neprotahuje ani
netrhá);
v1 = π ⋅ D1 ⋅ n1 = v2 = π ⋅ D2 ⋅ n2
Převodový poměr:
i=
n1 D2
=
n2 D1
i& < 1 převod do rychla;
i > 1 převod do pomala.
9.23 Převody ozubenými koly
D1 = z1 ⋅ m
D2 = z2 ⋅ m
v = π ⋅ D1 ⋅ n1 = π ⋅ D2 ⋅ n2
i=
132/135
n1 D2 z2
=
=
n2 D1 z1
9.24 Složený řemenový převod
Celkový převod se rovná součinu jednotlivých převodů:
i12 =
n1 D2
=
n2 D1
i34 =
n3 D4
=
n4 D3
i14 = i12 ⋅ i34 =
n1 ⋅ n3 D2 ⋅ D4
=
n2 ⋅ n4 D1 ⋅ D3
n3 = n2
i14 =
n1 D2 ⋅ D4
=
n4 D1 ⋅ D3
133/135
9.25 Složený převod ozubenými koly
i14 = i12 ⋅ i34 =
n1 z2 ⋅ z4
=
n4 z1 ⋅ z3
Vložené kolo:
i13 = i12 ⋅ i23 =
i13 =
134/135
z3
z1
z 2 ⋅ z3 z3
=
z1 ⋅ z2 z1
Převodový poměr mezi
kolem 1 a 3 se vložením
kola 2 nezmění, změní se
jen směr otáčení kola 2
a vzdálenost os hřídelů.
i13 =
z3
z1
Seznam použité literatury:
L. Mrňák, A. Drdla, MECHANIKA – Pružnost a pevnost pro střední průmyslové
školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
M. Julina, J. Kovář, V. Venclík, MECHANIKA II – Kinematika pro střední
průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
I. Turek, O. Skala, J Haluška, MECHANIKA – Sbírka úloh, Praha: SNTL, 1982.
J. Leinveber, P. Vávra, Strojnické tabulky, Praha: ALBRA, 2008, ISBN 978-80-7361051-7
135/135

Mechanika II - výukový manuál

Transkript

Podobné dokumenty

Tikal, Adamik: Simulace destrukce pneumatik

Mechanika

Stáhnout PDF - Krkonose.eu

Pravidla pro praktické zkoušky z odborných předmětů profilové části

mm/ISO - MITCalc

18 MB - Transformační technologie

Zastávka Malé Hoštice 30 Malé Hoštice, rest. 30