Elementární teorie rázu

Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Elementárnı́ teorie rázu hmotných těles
Při vzájemném rázu dvou těles nebo při náhlém omezenı́ pohybového stavu tělesa (např. při
náhlém zpevněnı́ jednoho jeho bodu) působı́ velké rázové sı́ly v mı́stě dotyku. Výpočet časového
průběhu těchto sil je velice složitý problém, jehož řešenı́ by vyžadovalo přihlı́žet i k deformačnı́m
zákonům. Proto v našich úvahách dále předpokládejme:
• jen lokálnı́ deformace těles v blı́zkém okolı́ rázového (dotykového) bodu,
• velice krátkou dobu trvánı́ rázu (řádově 10−4 ÷ 10−6 s), tj. rázové sı́ly působı́ krátkodobě a
vyvolajı́ pouze skokovou změnu rychlostı́ obou interagujı́cı́ch těles bez změny jejich polohy
v průběhu rázu,
• vzhledem k velkým rázovým silám, které jsou řádově většı́ než např. vlastnı́ tı́hy obou
těles, lze účinek vnějšı́ch akčnı́ch sil působı́cı́ch na tělesa v průběhu rázu zanedbat.
Za těchto předpokladů umožňuje elementárnı́ teorie rázu určit pohybový stav, tj. rychlosti
těles v okamžiku těsně po rázu na základě znalosti rychlostı́ těles v okamžiku těsně před rázem
a dále celkový impuls rázové sı́ly. Tato teorie však neumožňuje stanovit velikosti deformacı́
interagujı́cı́ch těles a časový průběh rázových sil během rázu těchto těles. Elementárnı́ teorie
rázu se s výhodou použı́vá v technické praxi proto, že popis pohybového stavu těles po rázu je
podle této teorie pro praktické použitı́ dostatečně přesný.
Centrický ráz hmotných těles
Předpokládáme, že se tělesa při vzájemném rázu dotýkajı́ a vzniklé vektory rázových sil ležı́
na tzv. rázové normále ke styčné ploše. Centrický ráz těles nastává tehdy, ležı́-li středy
hmotnostı́ obou těchto těles na této normále.
Šikmý centrický ráz posouvajı́cı́ch se hmotných těles (hmotných bodů)
Uvažujme dvě dokonale hladká tělesa (vliv smykového třenı́ zde zanedbáváme) o hmotnostech
m1 a m2 , která se v okamžiku těsně před rázem posouvajı́ rychlostmi v1 a v2 svých středů
hmotnostı́ S1 a S2 , obr. 1. O šikmém centrickém rázu hovořı́me tehdy, když středy hmotnostı́
S1 a S2 obou interagujı́cı́ch těles ležı́ na společné rázové normále n, ale vektory rychlostı́ v1 a
v2 majı́ obecně libovolný směr, obr. 1.
Obr. 1
1
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Časový průběh rázu si rozdělı́me do dvou
fázı́. Prvnı́ fáze rázu, tzv. fáze komprese začı́ná
okamžikem (t = 0), kdy se obě tělesa dotknou. Pomalejšı́ těleso bránı́ rychlejšı́mu tělesu v pohybu, v dotykové ploše vznikajı́ rázové sı́ly, které obě tělesa
lokálně deformujı́. Na konci této fáze, tj. v okamžiku
t = t1 , jsou deformace obou těles maximálnı́ a
normálové složky rychlostı́ obou těles jsou stejné,
tedy v1n = v2n ≡ u, viz obr. 1 a obr. 2. Druhá fáze
rázu, tzv. fáze restituce začı́ná v okamžiku t = t1 ,
kdy po vyrovnánı́ normálových složek rychlostı́ obou
těles působı́ obě tělesa na sebe silami, které jsou vyvolány snahou těchto těles zaujmout svůj původnı́
Obr. 2
tvar. O pohybu těles po rázu rozhoduje právě tato
fáze rázu. Konec rázu tedy nastává v okamžiku t = t2 ,
kdy dojde k úplnému odlehčenı́ obou těles. Rychlosti obou těles v okamžiku těsně po rázu
označı́me jako c1 a c2 , viz obr. 1.
Během
1. fáze rázu (fáze komprese) je předaný impuls rázové sı́ly mezi oběma tělesy
R t1
I1 = 0 N dt, obr. 2. Impuls rázové sı́ly předaný mezi oběma tělesy během fáze restituce
Rt
I2 = t12 N dt vyjádřı́me podle Newtona vztahem
I2 = εI1 .
(1)
Vztahem (1) je zaveden rázový součinitel (součinitel restituce) ε = II21 jako poměr impulsů
rázové sı́ly předaných ve fázi restituce a komprese mezi oběma tělesy. Rázový součinitel závisı́
nejen na materiálu těles, ale podstatně i na tvaru těles a na relativnı́ rychlosti těles těsně před
rázem. Jednoduchým experimentem popsaným v přı́kladu 1 lze stanovit pro zkušebnı́ kuličku
při rychlostech v1 = 2 ÷ 3 m/s hodnoty rázového součinitele pro následujı́cı́ materiály: dřevo
(ε =
˙ 0, 5), ocel (ε =
˙ 0, 8), slonovina (ε =
˙ 0, 89).
Newton promı́tá energetické ztráty spojené s trvalým přetvořenı́m tělesa během rázu do
hybnosti. Kdyby šlo o vzájemný ráz dokonale pružných těles, během něhož nedocházı́ ke
ztrátám energie, potom změny hybnosti ve fázi komprese a ve fázi restituce by si byly rovny.
U skutečných těles (hmotných bodů) bude změna hybnosti ve fázi restituce vždy menšı́ než ve
fázi komprese. Toto snı́ženı́ vyjadřuje Newton rázovým součinitelem ε.
Na každé uvolněné těleso aplikujeme v obou fázı́ch rázu větu o změně hybnosti :
Zt1
1
komprese:
n : m1 un − m1 v1n = −
N dt
=⇒
m1 (un − v1n ) ≡ −I1 ,
(2)
0
Zt1
2
komprese:
n : m2 un − m2 v2n =
N dt
=⇒
m2 (un − v2n ) ≡ I1 ,
(3)
0
Zt2
1
restituce:
n : m1 c1 − m1 un = −
N dt
t1
2
=⇒
m1 (c1n − un ) ≡ −εI1 ,
(4)
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Zt2
2
restituce:
n : m2 c2 − m2 un =
N dt
m2 (c2n − un ) ≡ εI1 .
=⇒
(5)
t1
Zákon o změně hybnosti v tečném směru:
1
t : m1 c1t − m1 v1t = 0,
2
t : m2 c2t − m2 v2t = 0,
nebot’ v tečném směru nepůsobı́ na uvolněná tělesa žádné sı́ly, ani třecı́. Pak můžeme psát
m1 (c1t − v1t ) = 0
m2 (c2t − v2t ) = 0
=⇒ c1t = v1t ,
=⇒ c2t = v2t .
(6)
Tečné složky rychlostı́ se během šikmého centrického rázu neměnı́.
Součtem rovnic (2) a (3) dostaneme vztah pro rychlost v okamžiku maximálnı́ deformace
(m1 + m2 )un = m1 v1n + m2 v2n
=⇒
un =
m1 v1n + m2 v2n
m1 + m2
(7)
Rychlosti obou interagujı́cı́ch těles po rázu lze odvodit následovně
−ε · (2) + (4) :
−ε · (3) + (5) :
−εm1 (un − v1n ) = εI1n
m1 (c1n − un ) = −εI1n
−εm2 (un − v2n ) = −εI1n
m2 (c2n − un ) = εI1n
(8) − (9) :
−
m1 (1 + ε)un = −
m1 εv1n
= (1 + ε)un − εv1n
(8)
−
m2 (1 + ε)un = −
m2 εv2n
= (1 + ε)un − εv2n
(9)
c1n − c2n
v1n − v2n
(10)
=⇒
m1 c1n
=⇒
m2 c2n
c1n − c2n = −εv1n + εv2n
c1n
c2n
=⇒
ε=−
Součinitel restituce ε je záporně vzatý poměr složek relativnı́ch rychlostı́ do směru rázové
normály po rázu a před rázem. Tato vlastnost umožňuje experimentálně stanovit ε, viz přı́klad 1.
Ráz těles je provázen změnou kinetické energie. Část kinetické energie se změnı́ na trvalou
deformaci, tj. dojde ke ztrátě Ek :
1
1
2
2
2
2
∆Ek = Ekz − Ekk = (m1 v1n
+
m
m
1 v1t ) + (m2 v2n + 2 v2t )−
2 2
1
1
(6)
2
2
2
2
− (m1 c1n + m
m
1 c1t ) + (m2 c2n + 2 c2t ) =⇒
2
2
+ aplikacı́ (8) a (9) včetně (7) =⇒ ∆Ek =
1 m1 m2
(1 − ε2 )(v1n − v2n )2
2 m1 + m2
(11)
Ráz dokonale pružný (ε = 1): vztahy (6) a (7) jsou v platnosti, nedocházı́ ke ztrátě
energie (∆Ek = 0)
c1n = 2un − v1n
(12)
c2n = 2un − v2n
3
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Ráz dokonale plastický (ε = 0): obě tělesa se budou po rázu společně pohybovat
c1n = c2n = un =
m1 v1n + m2 v2n
m1 + m2
– ztracená energie:
∆Ek =
1 m1 m2
(v1n − v2n )2
2 m1 + m2
(13)
Přı́mý centrický ráz
Rychlosti středů hmotnostı́ těles ležı́ na společné nositelce s rázovou silou N (na normále n), tj.
v1t = v2t = 0 =⇒ v1n ≡ v1 , v2n ≡ v2 , c1n ≡ c1 , c2n ≡ c2 . Vztahy (7) – (13) zůstávajı́ v platnosti
při použitı́ označenı́ rychlostı́ bez indexu n.
Přı́klad 1:
Experimentálnı́ stanovenı́ rázového součinitele ε
Zkušebnı́ kulička byla puštěna z výšky h0 na vodorovnou podlahu a odskočila do výšky h. Určete součinitel ε.
Dáno:
h0 , h
Řešenı́: Jedná se o přı́mý centrický ráz. Podlaha má vůči kuličce velkou hmotnost, tj. m2 m1
=⇒ m2 → ∞. Podlaha má nulovou rychlost (v2 = 0).
Ze vztahu (7)
=⇒
ze vztahu (8)
=⇒
m1 v1
m1 v1
u=
;
u = lim
= 0,
m2 →∞
m1 + m2
m1 + m2
c1 c1 = −εv1
=⇒ ε = c2 = 0
v1
Možno užı́t vztahu (10) a definice rázového součinitele:
ε=−
c1 − c2
c1
=−
v1 − v2
v1
Dopadová rychlost z věty o změně Ek , tj. Ek2 − Ek1 = W :
1
m1 v12 − 0 =
2
Zh0
m1 g dy1
=⇒
0
p
v1 = 2gh0
4
1
m1 v 2 = m1 gh0
2 1 Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Rychlost po rázu:
1
0 − m1 c21 = −
2
Zh
m1 g dy2
1
m1 c21 = m1 gh
2
=⇒
0
p
c1 = 2gh
Tedy:
ε=
q
2gh
2gh0
=⇒
ε=
q
h
,
h0
h i h0 si odměřı́me.
Přı́klad 2: Dvě koule o hmotnostech m1 a m2 se pohybujı́ proti sobě stejnou rychlostı́ v. Určete
2
poměr hmotnostı́ m
tak, aby při zadaném součiniteli restituce ε zůstala koule o hmotnosti m2
m1
po rázu v klidu.
Dáno:
v, ε, c2 = 0
Řešenı́: Jde o přı́pad přı́mého centrálnı́ho rázu dvou těles.
• Rychlosti před rázem (t = 0): v1 ≡ v, v2 ≡ −v
• Rychlost v okamžiku maximálnı́ deformace (t = t1 ): u
• Rychlosti po rázu (t = t2 ): −c1 , c2 = 0 (podle zadánı́)
Pro fázi komprese platı́:
Zt1
m1 u − m1 v = −I1 ≡ −
N dt
(i)
0
m2 u + m2 v = I1
(i) + (ii) :
(ii)
(m1 + m2 )u − (m1 − m2 )v = 0 =⇒ u =
m1 − m2
v
m1 + m2
(iii)
Pro fázi restituce platı́:
0 − m2 u = I2 ≡ εI1
=⇒ u(1 + ε) = −εv
(iii)
=⇒
−m2 u = εm2 (u + v)
−
m2 (1 + ε)u = ε m2 v
=⇒
(1 + ε)
v (m1 − m2 ) = −ε
v (m1 + m2 )
2
m1 − m2 + εm1 − ε m2 = −εm1 − εm
m1 (1 + 2ε) = m2
m2
= (1 + 2ε)
m1
Přı́klad 3: Dvě koule o hmotnostech m1 a m2 se pohybujı́ proti sobě rychlostmi v1 a v2 .
Určete poměr těchto rychlostı́ tak, aby při zadaném součiniteli restituce ε zůstala po rázu koule
o hmotnosti m1 v klidu.
5
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
Dáno:
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
m1 , m2 , ε, c1 = 0
Řešenı́: Jde o přı́pad přı́mého centrálnı́ho rázu dvou těles.
• Rychlosti před rázem (t = 0): v1 , −v2
• Rychlost v okamžiku maximálnı́ deformace (t = t1 ): u
• Rychlosti po rázu (t = t2 ): c1 = 0, c2 (podle zadánı́)
Využijeme odvozených vztahů:
u=
m1 v1 + m2 v2
,
m1 + m2
Pro náš přı́pad: u =
c1 = (1 + ε)u − εv1 ,
c2 = (1 + ε)u − εv2
m1 v1 − m2 v2
m1 + m2
c1 ≡ 0 = (1 + ε)u − εv1 =⇒
(1 + ε)(m1 v1 − m2 v2 ) = εv1 (m1 + m2 )
(1 + ε)v1 m1 − (1 + ε)m2 v2 = εv1 (m1 + m2 )
v1 m1 + εv
εv
1 m1 − εv1 m2 = (1 + ε)m2 v2
1 m1 − v1 (m1 − εm2 ) = (1 + ε)m2 v2
v1
(1 + ε)m2
=
v2
m1 − εm2
Přı́klad 4: Kulička (považována za hmotný bod) o hmotnosti m narazı́ na podlahu pod úhlem
dopadu α, měřeným od rázové normály, rychlostı́ v. Určete rychlost odrazu c kuličky a úhel
odrazu β, je-li součinitel restituce ε. Úlohu řešte
a) pro přı́pad bez třenı́,
b) pro přı́pad se třenı́m. Koeficient smykového třenı́ je f .
Dáno:
m, α, v, ε, f
Řešenı́:
a) přı́pad bez třenı́ f = 0:
Zanedbáme třenı́ a tı́hu kuličky, nebot’ rázová
sı́la je značná. Jedná se o šikmý centrický ráz.
Do směru rázové tečny nepůsobı́ žádná sı́la
(rázová sı́la působı́ ve směru rázové normály n):
mct − mvt = 0
(složka hybnosti se do směru t zachovává)
=⇒
ct ≡ vt ⇒ c sin β = v sin α
6
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Protože podlaha je těleso o nekonečné hmotnosti a trvale v klidu, pro rychlost v okamžiku
2 v2n
maximálnı́ deformace un = m1 vm1n1 +m
platı́:
+m2
mvn
≡0
un = lim
m2 →∞
m + m2
Pro rychlost po rázu platı́: c1n = (1 + ε)un − εv1n
=⇒
cn = −εvn
(záporné znaménko značı́ pouze změnu smyslu normálové složky rychlostı́).
Pro absolutnı́ hodnoty pak platı́: cn = εvn
=⇒
c cos β = εv cos α
v sin α
1
ct
=⇒
tg β = ε tg α
Potom tg β = cn ≡ εv cos α
Protože součinitel restituce ε nabývá pro reálná tělesa hodnot ε ∈ (0; 1) bude tg β > tg α =⇒
β > α (nebot’ funkce tangens je rostoucı́), tj. úhel odrazu je většı́ než úhel dopadu.
– u těles dokonale pružných (ε = 1): β = α,
– u těles dokonale plastických (ε = 0): tg β → ∞ =⇒ β → π2 (v tomto přı́padě by se těleso
neodrazilo,
by se po podlaze)
q ale pohybovalo
p
p
=⇒
c = v sin2 α + ε2 cos2 α
c = c2t + c2n ≡ v 2 sin2 α + ε2 v 2 cos2 α
To je rychlost odrazu kuličky.
b) přı́pad se třenı́m f 6= 0: (neuvažujeme opět tı́hu)
Zákon o změně hybnosti rozepišme do rázové tečny a normály:
Z
t : mct − mvt = − f N dt ≡ −f In
Z
n : mcn + mvn = N dt ≡ In
t = −f
n − f
n
−
mv
mc
mv
ct − vt = −f cn − f vn
mvn
≡0
=⇒
cn = −εvn
un = lim
m2 →∞
m + m2
=⇒
t
mc
(iv)
(záporné znaménko značı́ pouze změnu smyslu normálové složky) =⇒ pro absolutnı́ hodnoty
potom platı́: cn = εvn . Dosazenı́m do (iv) máme:
ct = vt − f εvn − f vn ≡ vt − f (1 + ε)vn
Tedy: ct = v sin α−f (1 + ε)v cos α,
1
ct
≡ tg α − f 1 +
=⇒
tg β =
cn
ε
cn = εv cos α
1
. . . takto je určen úhel odrazu β
ε
Ve speciálnı́m přı́padě pro ráz dokonale pružný (ε = 1):
tg β = tg α − 2f
=⇒
tg β < tg α
tj. úhel odrazu je menšı́ než úhelp
dopadu v přı́padě pro ε = 1.
Pro rychlost odrazu c platı́: c = c2t + c2n
7
=⇒
β < α,
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Přı́klad 5: Dvě kuličky o stejné hmotnosti m visı́ v dotyku na svislých závěsech délky l. Kuličku
1 vychýlı́me o úhel β a pustı́me z klidu. Dojde k rázu s koeficientem restituce ε a druhá kulička
vykývne o úhel γ. Určete ho.
Dáno:
l, β, ε
Řešenı́: Jedná se o přı́mý centrálnı́ ráz dvou těles.
• Rychlosti kuliček před rázem (t = 0):
v1 =?
– z věty o změně kinetické energie Ek :
1
1 2
mv − 0 =
2 1
Zβ
mgl sin ϕdϕ
0
iβ
1 2
mv = − mgl cos ϕ = −
mgl(cos
β − 1)
2 1 p
0
v1 = 2gl(1 − cos β)
h
=⇒
2
v2 = 0
• Rychlost v okamžiku maximálnı́ deformace (t = t1 ):
u=
mv1
m+m
=
• Rychlosti kuliček po rázu (t = t2 ):
1
c1 nás netrápı́
2
c2 = (1 + ε)u − εv2 ≡
1+ε
v1
2
=⇒
c2 =
8
1+ε
2
p
2gl(1 − cos β)
v1
2
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Z věty o změně kinetické energie Ek :
1
0 − mc22 =
2
Zγ
h
iγ
(−mgl sin ϕ)dϕ = mgl cos ϕ ≡ mgl(cos γ − 1)
0
0
1 2
=
mgl(1
− cos γ)
=⇒
c22 = 2gl(1 − cos γ)
mc
2 2
2
1+ε
2gl(1 − cos β) = 2gl(1 − cosγ)
=⇒
2
2
1+ε
=⇒
cos γ = 1 −
(1 − cos β)
2
Rovinný ráz těles
V bodě A docházı́ k náhlému zpevněnı́ =⇒ je to speciálnı́
přı́pad, který je možno klasifikovat jako plastický ráz bez
prokluzu.
Přı́klad: rychlá změna obecného rovinného pohybu
tělesa rychlostmi vS a ω na rotačnı́ pohyb rychlostı́ Ω kolem
osy oA procházejı́cı́ bodem A
Řešı́me pomocı́ zákona o změně momentu hybnosti
k bodu A (k ose oA )
Z
L2 − L1 = M dt =⇒ L2 − L1 = 0,
.
t
kde L2 = IA Ω je moment hybnosti tělesa po rázu a L1 = mvS p + IS ω je moment hybnosti tělesa
před rázem. Dosazenı́m za L1 a L2 dostáváme vztah pro úhlovou rychlost při rotačnı́m pohybu
tělesa po rázu
IS ω + mvS p
IA Ω = mvS p + IS ω =⇒
Ω=
(14)
IA
Přı́klad 6: Homogennı́ válec o hmotnosti m a poloměru r se valı́ po vodorovné podlaze.
Vypočtěte rychlost c středu válce po nárazu na překážku a zkontrolujte, zda nedojde k prokluzu. Předpoklá-dejte plastický ráz. Dále vyšetřete, jakou rychlostı́ v1 se bude válec pohybovat
po překonánı́ překážky, jestliže před nárazem měl válec rychlost v. Součinitel smykového třenı́
je f .
Dáno:
m = 4 kg, r = 0, 2 m, v = 2 m/s, β = 60◦ , f = 0, 2
Řešenı́: Jedná se o přı́pad rovinného rázu tělesa. Válec se valı́ (koná obecný rovinný pohyb) a
v okamžiku nárazu docházı́ v bodě A k náhlému zpevněnı́ a pohyb se měnı́ na rotačnı́ s úhlovou
rychlostı́ Ω kolem osy oA procházejı́cı́ bodem A, tj. jedná se plastický ráz bez prokluzu.
9
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
.
.
Podle věty o změně momentu hybnosti k ose oA :
Z
IA Ω
− (mvr cos β + IS ω) = MA dt ≡ 0,
|{z}
|
{z
}
moment hybnosti
tělesa po rázu
moment hybnosti
tělesa před rázem1
(nauvažujeme tı́hu válce)
(t)
kde IS = 21 mr2 , IA = IS + mr2 = 23 mr2
1
v
IA Ω = mvr cos β + mr2 ,
2
r
platı́ podmı́nka valenı́ před rázem v = rω:
3 2
mr Ω = mrv
2
1
+ cos β
2
=⇒
Ω=
v(1 + 2 cos β)
3r
. . . úhlová rychlost válce po rázu
c = v3 (1 + 2 cos β)=1,
˙ 33 m/s
It
Aby nenastal prokluz válce po narážce, musı́ platit: It ≤ f In =⇒ f ≥
In
Z věty o změně hybnosti:
Rychlost středu válce po nárazu: c = rΩ
=⇒
t : mc − mvt = It (∗)
n : 0 + mvn = In
=⇒
In = mv sin β
v
v 2
+ v cos β − v cos β = m (1 − cos β) ≡ It
(∗) =⇒
m
3 3
3
f≥
1 − cos β
3 sin β
. . . podmı́nka toho, aby nenastal prokluz =⇒
f = 0, 2 ≥ 0, 192
Je tedy zřejmé, že k prokluzu válce po narážce nemůže dojı́t.
1
Moment hybnosti tělesa konajı́cı́ho obecný rovinný pohyb je při základnı́m rozkladu ve středu hmostnosti
S (středisku) definován jako LA = rS × mvS + LS , kde LS je moment hybnosti relativnı́ho pohybu válce vůči
středu hmostnosti S.
10
Podklady k 11. přednášce z předmětu KME/MECH2
doc. Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Rychlost středu válce v1 po překonánı́ překážky určı́me z věty o změně kinetické energie:
1
1
IA ω12 − IA Ω2 = −mg (r − r cos β)
|
{z
}
2
2
o tuto vzdálenost se zvedne středisko S válce,
tedy působiště tı́hové sı́ly
1
IA ω12 − Ω2 = −mgr(1 − cos β)
2
1 3
r2 ω12 − Ω2 = −
g r(1
· m
m
− cos β)
2 2
4g
ω12 − Ω2 = − (1 − cos β)
3r
2
v
(1 + 2 cos β)2 4g
ω12 =
− (1 − cos β)
9r2
3r
r
v 2 (1 + 2 cos β)2 4g
ω1 =
− (1 − cos β) =3,
˙ 427 s−1
9r2
3r
Rychlost v1 je potom dána vztahem: v1 = rω1 =0,
˙ 685 m/s
11