Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení, ….)
Lomené výrazy jsou výrazy ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli je proměnná, například:
3
;
x
y
;
2
2x − y + 5
x+ 1
;
x− 2
a 2 − ab + b 2
;
a+ b
−
1
;
3r + 1
9 s 2 (1 − s )
12 s( s − 1)
Počítání s lomenými výrazy má podobné vlastnosti jako počítání se zlomky. Proto si tuto souvislost
budeme u jednotlivých operací připomínat .
Určování podmínek, pro něž má lomený výraz smysl
Zlomky
Lomené výrazy
Zlomek má smysl, když jeho jmenovatel
je různý od nuly. ( Nulou nelze dělit !)
Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty
proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli
různý od nuly. (Nulou nelze dělit ! )
Například :
Určete, pro které hodnoty proměnných má lomený výraz smysl .
4− x
2x + 3
výraz má smysl, je-li výraz 2x + 3 ≠ 0
1
y − x2
výraz má smysl, je-li výraz y2 – x2 ≠ 0
2
2x ≠ - 3
3
x≠2
(y+x).(y–x)≠0
(y+x)≠0 a (y–x)≠0
x≠-y a
x≠y
1− y2
1+ y2
výraz má smysl, je-li výraz 1 + y2 ≠ 0
tento výraz bude vždy kladný, protože druhá mocnina každého
čísla je číslo kladné . Proto výraz má smysl pro všechna y .
Pro stručné vyjadřování je výraz různý od nuly nebo nenulový výraz ten, z kterého jsou vyloučeny
hodnoty proměnných, po jejichž dosazení je číselná hodnota výrazu rovna nule.
Například výraz
7 – x je nenulový pro x ≠ 7 , výraz 5y2 pro y ≠ 0 atd.
Krácení a rozšiřování lomených výrazů
Zlomky
Lomený výraz
Zlomek se nezmění, když se jeho čitatel
i jmenovatel vynásobí nebo vydělí stejným
nenulovým číslem :
a a:c
=
b b:c
a a.c
=
; b ≠ 0, c ≠ 0
b b.c
Lomený výraz se nezmění, když se jeho
čitatel i jmenovatel vynásobí nebo vydělí
stejným nenulovým výrazem :
A A.C
=
; B ≠ 0, C ≠ 0
B B.C
A A:C
=
B B:C
Krácení lomených výrazů představuje zjednodušení ( úpravu ) těchto výrazů, aniž by se změnila
hodnota lomeného výrazu. Jedná se o dělení výrazu v čitateli i ve jmenovateli nejvhodnějším
společným dělitelem .
Jednočleny v lomených výrazech můžeme krátit přímo , protože představují vlastně násobení.
Například : ►
8x 3
4x 2
společným dělitelem je 4x2 protože
8x 3
2.4.x 2+ 1 2.4.x 2 .x
=
= 2x
=
4x 2
4x 2
4x 2
pro x ≠ 0
8x 3
8.2 3 8.8 64
pro
x
=
2
je
=
=
= 4
4x 2
4.2 2 4.4 16
po úpravě na 2x je, pro x = 2 , hodnota rovna 2.2 = 4
Hodnota výrazu
►
72 x 2 y 4 z 3
,x≠0,y≠0,z≠0
84 x 3 y 4 z
72 x 2 y 4 z 3
12.6.x 2 . y 4 .z.z 2
6.z 2
=
=
= > společný dělitel je výraz 12.x2.y4.z
84 x 3 y 4 z
12.7.x 2 .x. y 4 .z
7.x
72 x 2 y 4 z 3 72
= 0,857142
Hodnota výrazu pro x ,y , z = 1 před úpravou
=
84 x 3 y 4 z 84
po úpravě
6.z 2
= 0,857142
7.x
Je – li v čitateli i ve jmenovateli více členů ve tvaru sčítání nebo odčítání, nelze provádět krácení !!!
Čitatele , popřípadě i jmenovatele nutno rozložit na součin buď vytýkáním, pomocí vzorců, atd. a
potom teprve krátit .
Například :
18a − 30
, a≠0;a≠
12a 2 − 20a
6.( 3a − 5)
3.2.( 3a − 5)
18a − 30
=
=
=
2
4a.( 3a − 5) 2.2a.( 3a − 5)
12a − 20a
Zjednodušte výraz
5
potom platí
3
3
společný dělitel je výraz 2.( 3a – 5 )
2a
Například :
3 x 2 − 3 xy
Zjednodušte výraz
, x ≠ y , x ≠ - y potom platí
x2 − y2
3 x.( x − y )
3x
3 x 2 − 3 xy
=
=
( x + y ).( x − y ) x + y
x2 − y2
Příklad :
společný dělitel je výraz (x – y)
Upravte rozdělením na součet dvou zlomků s možností krácení :
a + 2x
14a + 1
12b − 3
x2 − y
a)
b)
c)
d)
a+ x
7
6
x
2
2
35 + x
2a − b
x
u −1
e)
f)
g)
h)
2
5
a− b
u
x +1
Řešení:
a)
a + 2x
a+ x+ x a+ x
x
x
=
+
= 1+
=
a+ x
a+ x
a+ x a+ x
a+ x
b)
x2 − y
x2 y
y
=
− = x−
x
x x
x
c)
14a + 1 14a 1
1
+ = 2a +
=
7
7
7
7
d)
12b − 3 12b 3
1
− = 2b −
=
6
6
6
2
e)
35 + x
35 x
x
+ = 7+
=
5
5 5
5
f)
0

2
x2
x
+
1
−
1 x2 + 1
1
1
=
2
= 2
− 2
= 1− 2
2
x +1
x +1
x +1 x +1
x +1
g)
u2 − 1 u2 1
1
=
− = u−
u
u u
u
h)
2a − b
a+ a− b
a
a− b
a
=
+
=
+1
=
a− b
a− b
a− b a− b a− b
Rozšiřování lomených výrazů je násobení čitatele i jmenovatele nenulovým výrazem .
Příklad :
Rozšiřte dané lomené výrazy tak, aby měly stejné jmenovatele :
y
y
3x 1
2
x
;
;
;
a)
b)
c)
2
y − 1 y− 1
2 y xy
x + 1 1− x
Řešení :
a)
3x
rozšíříme x
2y
;
1
rozšíříme 2
xy
1.2
2
=
xy.2 2 xy
3 x.x 3 x 2
=
2 y.x 2 xy
2
x
rozšíříme výrazem 1 – x ;
rozšíříme výrazem x + 1
x+ 1
1− x
b)
2.(1 − x )
2 − 2x
=
( x + 1).(1 − x ) ( x + 1)(1 − x )
x.( x + 1)
x2 + x
=
(1 − x ).( x + 1) ( x + 1)(1 − x )
c) Protože y2 – 1 = ( y + 1 ).( y – 1 ) , stačí rozšířit pouze výraz
y
, a to
y− 1
dvojčlenem ( y + 1 )
y.( y + 1)
y2 + y
=
( y − 1).( y + 1) ( y + 1)( y − 1)
y
y
=
2
y − 1 ( y + 1)( y − 1)
Sčítání a odčítání lomených výrazů
Zlomky
Lomené výrazy
Zlomky s různými jmenovateli sečteme
(odečteme) tak, že je převedeme na
společného jmenovatele :
a c a.d c.b ad + bc
+ =
+
=
b d b.d d .b
bd
a c a.d c.b ad − bc
− =
−
=
b d b.d d .b
bd
b≠0 ; c≠0
Příklady :
Vypočtěte :
5
2
−
a)
a a+ 1
3 r− 3
+
d)
2
4r
Řešení :
Lomené výrazy s různými jmenovateli
sečteme (odečteme) tak, že je převedeme
na společného jmenovatele :
A C A.D C.B AD + BC
+
=
+
=
B D B.D D.B
BD
A C A.D C.B AD − BC
−
=
−
=
B D B.D D.B
BD
B≠0 ; C≠0
5
2
− 2
a a + a
x+ 1
x− 1
+
e)
2
2x + 4
4− x
b)
5
2
−
a)
=
a a+ 1
c)
3
y
+
y− 7 7− y
5.( a + 1) − 2a 5a + 5 − 2a 3a + 5
=
= 2
( a+
)
(
)
a
.
1
a
.
a
+
1
a + a

pro a ≠ 0; a ≠ − 1
společ . jmenovatel
5
2
5.( a + 1) − 2 5a + 5 − 2 5a + 3
−
=
=
= 2
5
2
− 2
b)
= a a.( a + 1)
( a+
)
(
)
a
.
1
a
.
a
+
1
a + a

a a + a
společ . jmenovatel
pro
a ≠ 0; a ≠ − 1
c)
d)
e)
3
y
3
y
−
=
+
= y− 7 y− 7
y− 7 7− y
3− y
y− 7

platí pro y ≠ 7
společ . jmenovatel
3 r − 3 3.2r + ( r − 3) 6r + r − 3 7 r − 3
+
=
=
=
2
4r
4r
4r
4r
platí pro r ≠ 0
x+ 1
x− 1
( x + 1).2 + ( x − 1).( 2 − x ) =
x+ 1
x− 1
+
=
+
=
2
2.( 2 + x ).( 2 − x )
2 x + 4 ( 2 + x ).( 2 − x ) 2.( x + 2 )
4− x
2
2
2x + 2 + 2x − x − 2 + x
5x − x
=
=
platí pro x ≠ ± 2
2( 2 + x )( 2 − x )
2. 4 − x 2
(
)
Při sčítání a odčítání lomených výrazů se uplatňuje společný násobek jmenovatelů jako při
sčítání číselných zlomků. U výrazů je zvlášť důležité, aby to byl vhodný společný násobek,
jinak snadno úlohu zkomplikujeme . Jednotlivé činitele násobku získáme rozkladem výrazů.
Například :
Určete vhodný společný násobek výrazů : a) A = 3a – 6 , B = 5a – 10
b) A = u2 – v2 , B = u2 + 2uv + v2
c) A = 2x2 – 6x + 4 , B = 12x2 – 12
Řešení :
a) A = 3a – 6 = 3.( a – 2 )
B = 5a – 10 = 5.( a – 2 )
n ( A , B ) = 3.5.( a – 2 )
b) A = u2 – v2 = ( u + v ) . ( u – v )
B = u2 + 2uv + v2 = ( u + v ) 2
n (A, B ) =( u + v)2 . ( u – v)
0




2
32 + 2 ) =
c) A = 2x – 6x + 4 = 2.( x – 3x + 2 ) = 2( x – 3x + 3
−
22 22
2
2

3
3 1
3 1
 1 

= 2  x −  −    = 2 x − +  x − −  =
2
2 2
2 2
 2  

 
= 2 ( x – 1 ). ( x – 2 )
2
2
2
B = 12x2 – 12 = 12. ( x2 – 1 ) = 12. ( x + 1) . ( x – 1 ) =
= 22 . 3 . ( x + 1 ) . ( x – 1 )
n ( A , B ) = 22 . 3 . ( x + 1 ) . ( x – 1 ) . ( x – 2 )
Příklad :
Určete vhodný společný násobek výrazů :
A = x2y – xy2 = xy . ( x – y )
B = x2 – y2 = ( x + y ) . ( x – y )
n ( A , B ) = xy.(x + y).(x – y)
x2y – xy2
; x2 – y2
Násobení a dělení lomených výrazů
Zlomky
Lomené výrazy
Zlomky násobíme tak, že násobíme čitatele
čitatelem a jmenovatele jmenovatelem :
a c ac
. =
, b≠0 , d≠0
b d bd
Lomené výrazy násobíme tak, že násobíme
čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem :
A C AC
. =
, B≠0 , D≠0
B D BD
Zlomky dělíme tak, že násobíme zlomkem
převráceným :
Lomené výrazy dělíme tak, že násobíme
výrazem převráceným :
a c a d
: = .
b d b c
A C A D
: = .
B D B C
, b≠0 ,c≠0 ,d≠0
, B ≠ 0 ,C ≠ 0 , D ≠ 0
Lomené výrazy před násobením nejprve krátíme, pokud je to možné . Krátit můžeme kteréhokoli
čitatele proti kterémukoli jmenovateli . Při dělení výrazů provádíme krácení až po převodu na
násobení. Proto se výrazy v čitatelích a ve jmenovatelích před krácením rozkládají .
Při násobení lomeného výrazu mnohočlenem ( nelomeným výrazem ) postupujeme tak, že tímto
mnohočlenem násobíme pouze čitatele lomeného výrazu.
Příklady :
►
►
►
4u 2u
4u.2u
8u 2
.
=
=
( u + v ).v uv + v 2
u+ v v
pro
u≠ −v , v≠ 0
a− 4
a− 4 5
a− 4 1
a− 4
.5 =
. =
. =
10
10 1
2 1
2
10a 2 b 2
10a 2 b 2 .( 5 x + 5 y )
10a 2 b 2 .5( x + y )
. ( 5x + 5y ) =
=
=
x+ y
x+ y
x+ y
10a 2 b 2 .5
=
= 50a 2 b 2
1
a− 3
a− 3
a.( a − 3)
a 2 − 3a
=
a
.
=
=
3b
3b
9b 2
3b
►
3ab .
pro b ≠ 0
►
3.5a.a 4.b.b
5a b
5ab
15a 2 9a 15a 2 4b 2
.
. =
=
=
: 2 =
.
2.4.b 3.3.a
2 3
6
8b 4b
8b 9a
►
x 2 + x x + 1 x.( x + 1) xy
x x
x2
.
:
=
= . =
2y
x+ 1
2y
xy
2 1
2
►
 4ab 2
 6b 3  4ab 2 6bc  a 3 c 3 4.6.a.b 3 a 3 c 3 4.a.a 3 .c 3

 . 3 =
.6bc  : 3 3 = 
.
. 3 =
= 4a 4 c 3
1  6b
1
1
6b
 c
 a c
 c
►

a2  
a  b 2 − a 2 b − a ( b + a ).( b − a ) b
b+ a
 1 − 2  :  1 −  =
:
=
.
=
2
2
b
b
b− a
b
b  
b
b

Složené lomené výrazy
Složeným zlomkem rozumíme zlomek, jehož čitatel nebo jmenovatel je zlomek; složený zlomek
je jiný zápis podílu dvou zlomků :
a
b =
c
d
Složený zlomek :
A
B =
C
D
Složený lomený výraz :
Ze zlomkových čar, které jsou v zápisu složeného zlomku nebo složeného lomeného výrazu, vyjadřuje
hlavní zlomková čára , který z výrazů je čitatel a který jmenovatel. Hlavní zlomková čára se píše delší
než ostatní zlomkové čáry a vždy ve stejné úrovni jako znaménko rovnosti.
Jak složený lomený výraz zjednodušíme ?
a) Provedeme dělení naznačené hlavní zlomkovou čarou :
A
B = A : C = A . D = AD
C
B D B C
BC
D
b) Součin vnějších členů lomíme součinem vnitřních členů :
A
B = A.D
C
B.C
D
Příklady :
Zjednodušte složené výrazy :
9a
9a.4b 2 3.4b 12b
5b
a)
=
;
=
=
2
3a
5.a
5a
5b.3a 2
4b 2
b)
5a
2b
3c
5a
5a.1
5a
=
= 2b =
3c
2b.3c 6bc
1
c)
5a
2b
3c
5a
5a.3c
15ac
1
=
=
=
2b
2b.1
2b
3c
d)
1+ x
y
2
x −1
y2
=
(1 + x ) . y 2
(
)
y. x − 1
2
=
a≠0 , b≠0
;
b≠0 , c≠0
;
b≠0 , c≠0
(1 + x ) . y 2 =
y.( x + 1).( x − 1)
y
x− 1
;
x ≠ ±1 , y ≠ 0
x 2 − 9 ( x + 3).( x − 3)
( x + 3).( x − 3).1 = x − 3
x =
x
=
=
x+ 3
x+ 3
x.( x + 3)
x
1
x
≠
−
3
pro x ≠ 0 ,
e)
9
x−
x
x+ 3
f)
1
−
a
1
−
a2
b− a
2
2
ab
a.b = ( b − a ).( ab ) = ( b − a ).( ab )
=
= 2
2
2
2
ab.( b + a ).( b − a ) b + a
b − a
ab. b − a
a 2 .b 2
1
b
1
b2
(
)
pro a ≠ 0 , b ≠ 0 , a ≠ ± b
Příklady k procvičení .
►
( s − t ) :  1 −
►
( x + y ) 2 .( x − y )
2
2
s
1
 =
t
x − y
[ − st ] , s ≠ 0, t ≠ 0, s ≠ t
[ x + y]
=
,x≠±y
►
2
3  x
=
 + 1 . 2
 x  x −9
 x 
 x − 3  , x ≠ 0 , x ≠ ± 3
►
1  9x 2 − 1

=
 3+  :
x
x2

1
 x 
 3x − 1 , x ≠ 0, x ≠ ± 3
►
1− x  1

 1+
: =
x  x

►
 p2q− 3 s−1 
.

2
( pq ) 3 
 r
[1] , x≠0

: 
 
r

s
2



−1
=
[p
−1
q−6s−3
]
; p, q, r, s ≠ 0