magnetické pole

IF
Elektřina a magnetismus
Magnetické pole
3.2.1
Vzájemné silové působení proudovodičů, Ampèrův zákon
Mějme dva rovnoběžné velmi dlouhé vodiče, jimiž tečou proudy (nekonečné, rovnoběžné
proudovodiče), jež označíme po řadě I a I1. Experimentálně bylo zjištěno, že tečou-li proudy
stejným směrem, vodiče se přitahují, v opačném případě se odpuzují. Proudovodič protékaný
proudem I kolem sebe vytváří pole silově působící na jiné rovnoběžné proudovodiče (vzájemně
kolmé vodiče na sebe silou nepůsobí!!!). Toto pole působí rovnoměrně po celé délce proudovodiče,
velikost působící síly je přímo úměrná délce vyšetřovaného úseku a hustotě siločar v místě,
kde se proudovodič nachází. Hustota siločar se podél proudovodiče nemění, ve směru
kolmém roste plocha pláště válce obepínajícího proudovodič se vzdáleností 2πr-krát, velikost
síly tedy 2πr-krát klesá. Na úsek proudovodiče délky l protékaného proudem I1 působí síla
µ 2I
I
F = µ0
I1l = 0
I1l ,
2π r
4π r
kde konstantu úměrnosti µ0 = 4 π⋅10-7 H⋅m-1 nazýváme permeabilita vakua. Na základě
tohoto vztahu je definována jednotka proudu ampér:
Jeden ampér je proud, který při stálém průtoku dvěma rovnoběžnými přímými velmi dlouhými
vodiči zanedbatelného kruhového průřezu umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti 1m od sebe
vyvolá mezi vodiči sílu o velikosti 2 ⋅ 10–7 N na 1 m délky vodiče.
3.2.2
Vektor magnetické indukce, Biot-Savartův-Laplaceův zákon
Vložíme-li do blízkosti proudovodiče střelku kompasu (nebo jiný magnetický dipól) působí
na ni síla,JG která ji stáčí kolmo k radiálnímu směru. Toto působení nazveme magnetická
indukce B , pro jeho znázornění používáme magnetické indukční čáry. Na rozdíl od siločar
elektrostatického pole jsou to orientované uzavřené křivky, které se nikde neprotínají. V případě permanentních
magnetů sice vedou od severu k jihu, ale pak se uzavírají buď uvnitř tělesa magnetu nebo v nekonečnu.
Magnetická indukce (jednotka tesla T) je vektor, jehož směr je kolmý na rovinu tvořenou
proudovodičem a polohovým vektorem bodu, v němž indukci počítáme, a velikost je rovna
velikosti síly působící na jednotku délky vodiče protékaného jednotkovým proudem, tj.
F
B = . Po dosazení do Ampèrova zákona dostaneme vztah pro výpočet magnetické indukce
I1l
ve vzdálenosti r od nekonečně dlouhého přímého proudovodiče
µI
B= 0
2π r
Při zkoumání magnetického pole se nemůžeme omezit jen na nekonečné přímé proudovodiče.
Obecný vodič si představíme jako soustavu nekonečně mnoha elementárních proudovodičů
G
(velmi krátkých lineárních elementů vodiče protékaných proudem I), které označíme Idl ,
G
čímž vyjádříme i jejich směr. Každý elementární proudovodič vytváří vlastní příspěvek dB
k celkovému magnetickému poli. Velikost dílčího příspěvku magnetické indukce je úměrná
hustotě siločar v uvažovaném místě, hledáme-li hodnotu magnetické indukce vyvolané
bodovým proudem ve vzdálenosti r, musíme si uvědomit, že plocha, která ho obepíná, je
plášť koule, který se vzdáleností 4πr2-krát roste, velikost magnetické indukce 4πr2-krát klesá.
Aby byl splněn požadavek, že směr dílčího příspěvku magnetické indukce je kolmý na rovinu
G
G
tvořenou proudovodičem Idl a polohovým vektorem uvažovaného bodu r , musí být směr
magnetické indukce dán vektorovým součinem těchto dvou vektorů. Nahradíme-li polohový
G G 0 ⎛ G rG ⎞
G
vektor jednotkovým vektorem ve stejném směru, můžeme psát dB⎮⎮ Idl × r = ⎜ Idl × ⎟ .
r⎠
⎝
(
)
Elektřina a magnetismus
IF
Magnetické pole
Spojením těchto dvou předpokladů a doplněním konstanty úměrnosti získáváme vztah pro
magnetickou indukci vytvářenou elementárním
G Gproudovodičem ve vakuu
G
µ0 I G G
Idl
r
dB = µ0
dl × r
×
=
4π r 2 r 4π r 3
Protože proudovodič je součtem (integrálem) všech elementárních proudovodičů, je výsledná
G
magnetická indukce vektorovým integrálem všech dílčích dB
G
µI G G
B = v∫ 0 3 dl × r ,
4π r
což je známý Biot-Savartův-Laplaceův zákon pro výpočet magnetické indukce ve vakuu.
Křivkový integrál značí, že integrujeme přes celý uvažovaný proudovodič. Využití zákona
ukážeme na odvození magnetické indukce některých speciálních proudovodičů.
3.2.3
Magnetická indukce na ose kruhové smyčky
Mějme nekonečně tenký kruhový vodič se středem S a poloměrem R, kterým teče proud I,
tzv. kruhový závit. Budeme vyšetřovat magnetické pole na ose závitu. Je zřejmé, že pro
všechny body na ose závitu jsou všechny proudové elementy smyčky vždy kolmé k jejich
polohovým vektorům, což umožňuje zaměnit vektorový součin prostým algebraickým
µI
µ Idl
součinem, takže platí dB = 0 3 dl ⋅ r = 0 2 , kde r je vzdálenost bodu na ose od příslušných
4π r
4π r
proudových elementů. Dle Pythagorovy věty můžeme snadno vyjádřit r 2 = R 2 + x 2 .
G
Ke každému elementárnímu proudovodiči Idl můžeme na smyčce nalézt středově symetrický
G
elementární proudovodič Idl ′ , který je s ním rovnoběžný, ale opačně orientovaný. Sečteme-li
elementární magnetické indukce od těchto dvou proudovodičů v bodu na ose ležícím ve
vzdálenosti x od středu závitu, kolmé složky se odečtou (jsou opačně orientované) rovnoběžné
složky se sečtou (viz obrázek). Pro rovnoběžnou složku vektoru platí
R
dB⎮⎮ = dB ⋅ sin α = dB ⋅ . Integrací Biot-Savartova zákona po celé délce smyčky tedy
r
získáváme výsledný vektor magnetické indukce rovnoběžný s osou závitu, který bude roven
součtu všech rovnoběžných složek vektorů dB
µ IRdl µ IR
µ IR
µ0 IR 2
B = v∫ dB⎮⎮ = v∫ 0 3 = 0 3 v∫ dl = 0 3 2π R =
3
4π r
4π r
4π r
2 ( R2 + x2 ) 2
Orientaci vektoru zjistíme dle pravidla pravé ruky: Uchopíme-li vodič tak, aby prsty
ukazovaly směr proudu, ukazuje palec směr vektoru magnetické indukce. Ve středu závitu se
výraz pro magnetickou indukci zjednoduší na známý vztah
µI
B= 0
2R
3.2.4
Magnetická indukce na ose solenoidu
Mějme nekonečně mnoho tenkých kruhových závitů navinutých těsně vedle sebe, tzv.
solenoid. Solenoidem protéká proud I, poloměr každého závitu je R, délka solenoidu je l,
počet závitů je N. Budeme vyšetřovat magnetické pole na ose solenoidu v krajním bodě. Jako
elementární magnetickou indukci dB označíme příspěvek od závitů nacházejících se na
elementárním úseku dx délky solenoidu, který je tak malý, aby body všech závitů, které se
Elektřina a magnetismus
IF
Magnetické pole
N
v něm nacházejí (celkem
dx závitů), měly stejnou vzdálenost r od vyšetřovaného bodu.
l
µ NIR 2 dx
Využijeme-li poznatky získané v předchozí kapitole, můžeme psát dB = 0
.
2lr 3
Výslednou magnetickou indukci získáme integrací přes celou délku solenoidu, tj.
µ0 NI αl
µ NI
− Rdα
=
( − sin α ) dα = 0 cos α l
∫
∫
∫
3
3
3
2lr
2l 0 r
2l π R
2l π
2l
0
sin 2 α
2
2
3
sin α
Při výpočtu integrálu jsme použili polární souřadnice, tj. substituci
1 ⎞
⎛
R = r sin α x = r cos α dx = R ⎜ − 2 ⎟ dα
⎝ sin α ⎠
a počátek souřadné soustavy umístili do krajního bodu na ose solenoidu. Původní integrace po
π
R
úsečce z bodu 0 do x se tím převede na integrál v mezích od
do α l = arctan , v případě
2
l
nekonečně dlouhého solenoidu do α l = 0 .
Uvedený postup lze zobecnit na kterýkoli bod na ose solenoidu, do zkoumaného bodu vždy
umístíme počátek soustavy souřadné a podle polohy bodu vzhledem ke kraji solenoidu
odpovídajícím způsobem změníme meze integrace. Pro body uvnitř solenoidu dostatečně
vzdálené od kraje a za předpokladu, že poloměr solenoidu je mnohem menší než jeho délka
provádíme integraci v mezích od π do 0, výsledný integrál má pak známou hodnotu
µ IN
B = 0 = µ0 In
l
kde písmenem n označujeme počet závitů na jednotku délky solenoidu, tzv. hustotu závitů.
l
dB = ∫
3.2.5
µ0 NIR 2 dx
=
µ0 NIR 2 l dx
=
µ0 NIR 2 α
l
Intenzita magnetického pole, indukční čáry, indukční tok
G
Ve všech rovnicích pro výpočet magnetické indukce vystupuje konstanta µ0. Vydělením B
touto konstantou získáme další veličinu charakterizující magnetické pole. Analogicky s pojmy
zavedenými u elektrostatického pole ji nazýváme intenzita magnetického pole. Je to vektor
ve vakuu stejného směru jako magnetická indukce, jeho velikost je nezávislá na vlastnostech
prostředí, jeho jednotka je A·m-1. Vztahy odvozené pro magnetickou indukci budou mít pro
intenzitu magnetického pole následující tvar:
I
Intenzita mg. pole nekonečně dlouhého přímého proudovodiče
H=
2π r
I
intenzita magnetického pole ve středu kruhového závitu o poloměru R H =
2R
H = In
intenzita magnetického pole uvnitř solenoidu
Podobně jako u elektrického pole zavádíme i u magnetického pole pojem indukční čáry. Jsou
G
to orientované čáry, jejichž tečny v libovolném bodě mají směr vektoru B a jejichž hustota je
G
úměrná velikosti B . Pomocí magnetických indukčních čar definujeme magnetický indukční
tok jako skalární veličinu (s jednotkou weber, zn. Wb), jejíž velikost je úměrná celkovému
počtu indukčních čar, které uvažovanou plochou procházejí
G G
Φ = ∫ B ⋅ dS
S