docParadoxy geometrické pravdepodobnosti
download 
Stížnost Transkript
Paradoxy geometrické pravdepodobnosti
Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Ondřej Grunt Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Úvod Cı́le práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačnı́ho softwaru. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Osnova 1 Bertrandův problém 2 Invariance 3 Programová simulace 4 Reálný pokus Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Osnova 1 Bertrandův problém 2 Invariance 3 Programová simulace 4 Reálný pokus Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Osnova 1 Bertrandův problém 2 Invariance 3 Programová simulace 4 Reálný pokus Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Osnova 1 Bertrandův problém 2 Invariance 3 Programová simulace 4 Reálný pokus Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Bertrandův problém V rovině je zadán kruh o poloměru R > 0. Zvolme náhodně“ ” přı́mku tak, aby protı́nala zadaný kruh. Jaká je pravděpodobnost, že vzniklá tětiva má délku většı́ než je délka strany rovnostranného trojúhelnı́ka vepsaného přı́slušné hraničnı́ kružnici. R Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Bertrandův problém Protože můžeme mnoha způsoby definovat stejně možné“ ” šance umı́stěnı́ tětivy, můžeme dojı́t k různým výsledkům.Nı́že popı́šeme tři intuitivně věrohodná“ řešenı́ problému. ” Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Řešenı́ A PA = 1 2 R R 2 dτ > d − R2 −R Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Řešenı́ B PB = 1 3 α P0 P Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Řešenı́ C PC = 1 4 Sτ Ondřej Grunt R Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Pro diskusi řešenı́ problému jsme užili následujı́cı́ tři principy: Invariance vůči rotaci. Invariance vůči změně měřı́tka. Invariance vůči posunutı́. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Pro diskusi řešenı́ problému jsme užili následujı́cı́ tři principy: Invariance vůči rotaci. Invariance vůči změně měřı́tka. Invariance vůči posunutı́. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Pro diskusi řešenı́ problému jsme užili následujı́cı́ tři principy: Invariance vůči rotaci. Invariance vůči změně měřı́tka. Invariance vůči posunutı́. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Pro diskusi řešenı́ problému jsme užili následujı́cı́ tři principy: Invariance vůči rotaci. Invariance vůči změně měřı́tka. Invariance vůči posunutı́. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance X R ϕ γ Y Obrázek: Znázorněnı́ invariance vůči rotaci. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Invariance vůči rotaci Představme si dva pozorovatele sledujı́cı́ problém. Ačkoliv jej oba vidı́ pod jiným úhlem, problém se jim bude jevit stejný. Všechna navrhovaná řešenı́ jsou slučitelná s rotačnı́ invariancı́. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance r ϕ aR R Obrázek: Znázorněnı́ invariance vůči změně měřı́tka. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Invariance vůči změně měřı́tka Mějme dva pozorovatele s různou velikostı́ očnı́ bulvy. Problémy spojené s velikostı́ kruhů se jim budou zdát totožné. Tato invariance vede v důsledku k vyloučenı́ řešenı́ B. q−2 f (r ) = qr2πR q , 0 < q < ∞ Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance S C C0 Γ P 0 Γ P0 r ϕ r 0 ϕ0 Obrázek: Znázorněnı́ invariance vůči posunutı́. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Invariance Invariance vůči posunutı́ Problémy spojené s oběma od sebe posunutými kruhy se budou dvěma od sebe málo vzdáleným pozorovatelům zdát totožné. Tato invariance vede v důsledku k vyloučenı́ řešenı́ C. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Programová simulace tetivy.jar čtyři možnosti volby sı́tě bodů : Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Programová simulace tetivy.jar čtyři možnosti volby sı́tě bodů : Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Programová simulace tetivy.jar čtyři možnosti volby sı́tě bodů : Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Programová simulace tetivy.jar čtyři možnosti volby sı́tě bodů : Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Programová simulace tetivy.jar čtyři možnosti volby sı́tě bodů : Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Programová simulace tetivy.jar čtyři možnosti volby sı́tě bodů : Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Čtvercová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se ze všech bodů Kruhová sı́t’ sestávajı́cı́ se z krajnı́ch bodů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Ukázka algoritmu v přı́padě čtvercové sı́tě Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Ukázka algoritmu v přı́padě čtvercové sı́tě B A Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Ukázka algoritmu v přı́padě čtvercové sı́tě B D A C Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Ukázka algoritmu v přı́padě kruhové sı́tě Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Ukázka algoritmu v přı́padě kruhové sı́tě B A Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Ukázka algoritmu v přı́padě kruhové sı́tě B D A C Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Screenshot programu Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Screenshot programu Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Screenshot programu Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Screenshot programu Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Screenshot programu Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Reálný pokus Experiment č.1 špejlı́ vrženo 300-krát. 34 z 66 změřených tětiv bylo delšı́ch než strana vepsaného rovnostranného trojúhelnı́ka. P1 = 0, 515. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Reálný pokus Experiment č.2 špejlı́ vrženo 400-krát. 24 z 52 změřených tětiv bylo delšı́ch než strana vepsaného rovnostranného trojúhelnı́ka. P2 = 0, 462. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Reálný pokus - souřadnice středů tětiv Obrázek: Výsledky pokusů Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Reálný pokus - test χ2 test dobré shody i interval R ni 1 (0; 0, 3i 19 2 (0, 3; 0, 5i 5 3 (0, 5; 0, 7i 10 4 (0, 7; 0, 9i 11 5 (0, 9; 1i 7 Ondřej Grunt n · π0,i 15, 6 10, 4 10, 4 10, 4 5, 2 ni n · π0,i 17 19, 8 17 13, 2 9 13, 2 15 13, 2 8 6, 6 Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Literatura Jaynes, E. T., The Well-Posed Problem“, Foundations of Physics 3, 1973. ” Grinstead, Snell, Introduction to Probability, AMS Bookstore, 1997. Bertrand, J., Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1989. Gnedenko, B. V., The Theory of Probability, Chelsea Publ. Co., New York, 1962. Poincaré, H., Calcul des probabilitiés, Paris, 1912. Uspensky, J. V., Introduction to Mathematical Probability, 1937. Northrup, E. P., Riddles in mathematics, McGraw-Hill, 1944. Kendall and Moran, Geometrical Probability, Hafner Publ. Co., New York, 1963. Weaver, W., Lady Luck: the Theory of Probability, Doubleday-Anchor, Garden City, New York, 1963. Mosteller, F., Fifty Challenging Problems in Probability, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1965. von Mises, R., in Mathematical Theory of Probability and Statistics, H. Geiringer ed., Academic Press, New York, 1964 Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Prostor pro dotazy. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Bertrandův problém Invariance Programová simulace Reálný pokus Děkuji Vám za pozornost. Ondřej Grunt Paradoxy geometrické pravděpodobnosti
Podobné dokumenty
F1 - Natura
Sjednocená teorie elektromagnetické a slabé jaderné interakce se nazývá kvantová elektrodynamika QED. Jejı́mi autory jsou Richard P. Feynman, Julian Schwinger a Sin-Itiro
Tomanaga, kteřı́ v...
Jsou dány funkce f(x) a g(x). a. Pomocı vzorce pro soucet
Jsou dány funkce f (x) a g(x).
a. Pomocı́ vzorce pro součet geometrické řady určete prvnı́ 3 nenulové členy rozvoje funkce
f (x) do Taylorovy řady se středem v bodě x0 = 0. Určete interv...
osobnosti regionu - Krnovská synagoga
Syn Dr. Huga Adlera, v letech 1946 – 1949 student krnovského gymnázia. Základní školu
navštěvoval v Československu a Norsku, střední školu postupně ve Švédsku, Československu
(vyloučen z krnovského...
otevřít panel školy
Bydleli jsme na patře. Dva pokoje vedly do ulice a další
pokoj a kuchyň do zadního dvora. WC bylo myslím
přístavbou z 19. století a chodilo se na něj přes kuchyni.
Koupelnu jsme zřídili až ve 30. l...
základy teorie pravděpodobnoti
správného pochopení probírané látky jsou jednotlivá témata doplněna
řešením typových příkladů. Doporučujeme čtenáři, aby se nad každým
příkladem důkladně zamyslel. Pochopení principů řešení je toti...
• obsahujı́ dvojnou vazbu – atom uhlı́ku v hybridnı́m stavu sp2 – jednotlivé vazby směřujı́ do vrcholu
rovnostranného trojúhelnı́ku – ležı́ v jedné rovině, čvrtý orbital pz je kolmý na r...
