2. Logická výstavba matematiky (axiomy, definice, věty, důkazy

2. Logická výstavba matematiky (axiomy, definice, věty, důkazy

2. Logická výstavba matematiky (axiomy, definice, věty, důkazy) (PM_23-38)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Axiomy a postuláty – požadavky na axiomatický systém (bezespornost, úplnost, nezávislost). Příklad
axiomatického systému v matematice – Eukleidův axiomatický systém (5 postulátů, 9 axiomů - Lávička
– str. 11-15). Základní (primitivní) pojmy. Definice a věta (teorém, lemma).
Druhy matematických vět – individuální matematické věty (jednoduché výroky, implikace,
ekvivalence) + věty ve tvaru kvantifikovaného výroku (obecná věta a její spec. případy implikace a
ekvivalence, existenční věta, věta o jednoznačné existenci) – uveď příklady.
Věty ve tvaru implikace - předpoklad a tvrzení věty (postačující podmínka, nutná podmínka, nutná a
postačující podmínka), obměna věty, obrácená věta.
Důkazy matematických vět ve tvaru obecného výroku
o Typy důkazů vět ve tvaru jednoduchého výroku (přímý a sporem)
o Typy důkazů vět ve tvaru implikace, resp. ekvivalence (přímý, sporem, nepřímý, důkaz
ekvivalence)
Důkaz matematickou indukcí
Existenční důkazy (konstrukční důkaz, ryze existenční důkaz přímý a sporem)
Důkazy jednoznačné existence (existence a unicity) (2 kroky – důkaz existenční věty + důkaz unicity)
Důkazy individuálních vět (substitucí z obecné věty či samostatný důkaz, obvykle sporem)
Důkazy a vyvracení hypotéz (hypotéza obecná, existenční, individuální). Důkaz hypotézy, vyvrácení
hypotézy.
2.1. Dokažte větu: Každý pravoúhelník (obdélník, popř. čtverec) má shodné úhlopříčky.
2.2. Dokažte větu: ∀n ∈ ` : n je sudé ⇒ n 2 je sudé . Použijte přímý důkaz.
2.3. Formulujte větu obrácenou k větě z příkladu 2.1. a dokažte ji sporem.
2.4. Dokažte větu: ∀n ∈ ` : n je sudé ⇔ n 2 je sudé
2.5. Dokažte větu: ∀n ∈ ` : 5 / n ⇒ 30 / n3 − n
2.6. Dokažte větu: Pro každé tři přímky v rovině ρ platí: (a & c ∧ b & c) ⇒ a & b . Zvolte důkaz sporem.
S jakým axiomem eukleidovské geometrie se dostanete do sporu?
1
2.7. Dokažte matematickou indukcí větu: ∀n ∈ ` :1 + 2 + 3 + " + n = n(n + 1)
2
2.8. Dokažte matematickou indukcí větu: ∀n ∈ ` :1 + 3 + 5 + " + (2n − 1) = n 2
2.9. Dokažte matematickou indukcí větu: ∀n ∈ ` : 4 / 5n − 1
2.10. Chovatel holubů má 8 holubníků a 12 holubů. Dokažte, že v aspoň jednom holubníku jsou
aspoň dva holubi. Důkaz proveďte přímo pomocí Dirichletova přihrádkového principu i sporem.
2.11. Dokažte větu: Trojúhelník, který má délky stran 3, 4, 5 (délkových jednotek) je pravoúhlý.
2.12. Dokažte větu: Reálné číslo 2 je iracionální.
2.13. Dokažte větu: Reálné číslo 3 je iracionální.
2.14. Dokažte platnost existenční hypotézy: Existuje nekonečně mnoho prvočísel.
2.15. Dokažte Euklidovu větu o odvěsně.
2.16. Dokažte Pythagorovu větu.
Literatura: Kromě Poláka viz odkazy na MAFYNETU