KEF/PMN2: domácí cvičení 1 Numerické řešení transcendentních

Komentáře

Transkript

KEF/PMN2: domácí cvičení 1 Numerické řešení transcendentních
KEF/PMN2: domácí cvičení 1
Numerické řešení transcendentních rovnic
15. dubna 2016
1. Radka Dráňová
Kometa Hale-Bopp objevená 23. 7. 1995 prolétla 1. 4. 1197 periheliem ve vzdálenosti 0,914 1 au od Slunce.
Hlavní poloosa její trajektorie měří 187,8 au. V jaké vzdálenosti od Slunce se nacházela v době objevení a
jakou rychlostí se přitom pohybovala? Použijte Keplerovu rovnici pro excentrickou anomálii ψ
√
GM⊙
ψ − ε sin ψ −
t = 0,
a3
kde ε je numerická excentricita trajektorie, G = 6,67·10−11 N·m2 ·kg−2 gravitační konstanta a M⊙ =
1,99·1030 kg hmotnost Slunce
[
]
Pro t = 618 d = 5,34·107 s vychází ψ ≈ 0,259 rad, r = 7,15 au, v = 16 km·s−1
2. Tomáš Fordey
Balón tvaru koule je naplněn teplým vzduchem, teplota okolního vzduchu je t1 a teplota uvnitř balónu je
udržována na hodnotě t2 > t1 . Atmosférický tlak má hodnotu pa a plátno, z něhož je balón vyroben má
plošnou hustotu γ. Jaký musí být nejmenší poloměr balónu r0 , aby unesl zátěž m0 ?
Řešte pro hodnoty t1 = 20 ◦C, t2 = 70 ◦C, pa = 1,00·105 Pa, γ = 0,15 kg·m−2 , m0 = 100 kg, Rm =
8,314 J·mol−1 ·K−1 , Mm (vzduchu) = 0,029 kg·mol−1 .
[r0 = 6,19 m]
3. Jan Jašek
Najděte řešení rovnice
(kl sin φ − kl cos φ + mg sin φ)
√
3 − 2 sin φ − 2 cos φ + kl0 (cos φ − sin φ) = 0
pro hodnoty m = 10 kg, l = 2,00 m, l0 = 0,50 m, k = 75 N·m−1 a g = 9,8 m·s−2 .
[φ = 0,436 85 rad = 25,0°]
4. Jan Roik
Na kotouč R volně otáčivý okolo vodorovné osy O zavěsíme v dolním vodu A závaží o hmotnosti m a v
horním bodu B upevníme lanko, na jehož konci visí nezatížená pružina zanedbatelné hmotnosti a tuhosti
k. Volná konec pružiny C uchopíme a pomalu posuneme dolů do bodu D: CD = s = πR/2. O jaký úhel
φ se kotouč pootočí?
Řešte pro hodnoty R = 0,150 m, m = 1,00 kg, k = 65 N·m−1 a g = 9,8 m·s−2 .
1
[φ1 = 0,829 rad = 47,5°]
5. Anežka Štanclová
Kámen vyletí z praku počáteční rychlostí v0 . Jaký elevační úhel musíme zvolit, abychom zasáhli cíl ve
vodorovné vzdálenosti a a výšce b (měřeno od místa, kde kámen opustí prak)?
Řešte pro hodnoty v0 = 25 m·s−1 , a = 17 m, b = 13 m. Odpor vzduchu zanedbejte, uvažujte hodnotu
g = 9,81 m·s−2 .
[Dvě řešení: a1 = 51,3°, a2 = 76,1°]
6. Zuzana Vanická
Dvě stejné pružiny o tuhosti k, které mají v nezatíženém stavu délku l0 spojíme do série a jejich volné
konce připevníme k bodům A a B, jejichž vzdálenost je 2l > 2l0 . V bodě C, kde jsou pružiny spojeny,
začne působit síla F kolmá k přímce AB (viz obrázek). Do jaké vzdálenosti se bod C vychýlí?
Řešte pro hodnoty l0 = 0,35 m, l = 0,70 m, k = 85 N·m−1 , F = 55 N. Hmotnost pružin zanedbejte.
[x = 0,536 4 m]
7. Viktorie Víchová
Kulička kuželového kyvadla, jehož vlákno má délku l obíhá po kružnici o poloměru r. Vlákno je nahoře
provlečeno malým otvorem, takže jeho délku můžeme zkrátit, aniž bychom přerušovali pohyb kyvadla (viz
obrázek). Jaký bude poloměr r1 trajektorie kuličky, zkrátíme-li délku vlákna na l1 = l/2?
Úlohu řešte pro hodnoty l = 0,800 m, r = 0,250 m. K sestavení rovnice použijte zákon zachování momentu
hybnosti a rozklad/skládání sil působících na kuličku.
2
[r1 = 0,205 0 m]
8. Iveta Vilímová
Planckův zákon záření černého tělesa má pro závislost na úhlové frekvenci záření ω tvar
H(ω) =
Vℏ
π 2 c3
(
exp
ω3
),
ℏω
−1
kT
kde T je termodynamická teplota, V objem, k Boltzmannova konstanta, c rychlost světla a ℏ = h/(2π)
redukovaná Planckova konstanta. Najděte Wienův posunovací zákon pro úhlovou frekvenci ω ∗ , pro kterou
funkce H(ω) nabývá maxima. Extrém hledejte pomocí derivace a příslušnou transcendentní rovnici řešte
pro proměnnou ξ = ℏω/(kt).
[
]
kT
∗
11
ω ≈ 2.821
≈ 3,69·10 T
ℏ
3

Podobné dokumenty

ordinační hodiny lékařů v uničově

ordinační hodiny lékařů v uničově objednaní a akutní stavy mají přednost)

Více

keplerova rovnice

keplerova rovnice i Koperníka. Oba astronomové, Brahe a Kepler, viděli v této otázce řešení problému pohybu planet. Při řešení V první kapitole jsme se seznámili se skutečností, výpočtů vycházel Kepler z Tychonových...

Více

Cvičení ze systému vyšších rostlin (učitelé) 2016

Cvičení ze systému vyšších rostlin (učitelé) 2016 Prezentace je dlouhá max. 10 min (+ 5 min pro diskuzi) a měla by zahrnovat tyto části: a) Charakteristika skupiny (morfologická, případně vnitřní členění, počet druhů) b) Rozšíření skupiny c) Význa...

Více

Téma: Určování polohy planet na nebeské sféře

Téma: Určování polohy planet na nebeské sféře 1. Z ekliptikálních souřadnic získáme přes známe převodní vztahy (geocentrické) rovníkové souřadnice druhého druhu. Rektascenzi posléze přepočítáme na hodinový úhel, (deklinace se nemění), čímž bud...

Více

Stahujte jako obvykle v PDF

Stahujte jako obvykle v PDF Na listopadové večerní obloze zcela absentují planety viditelné pouhým okem, pouze začátkem měsíce ještě můžeme na soumrakové obloze zahlédnout Saturn, ten se však rychle blíží ke Slunci, aby se po...

Více

Domácí úlohy 1 1. Lidské oko je nejcitlivější na zelené světlo o

Domácí úlohy 1 1. Lidské oko je nejcitlivější na zelené světlo o 3a. Pro rovnici záření absolutně černého tělesa vypočítejte limitu při nízkých frekvencích a ukažte, že se shoduje s rovnicí odvozenou v rámci klasické fyziky (Rayleigh-Jeansův zákon pro záření abs...

Více