opravování páté a šesté série úloh se velmi
Transkript
opravování páté a šesté série úloh se velmi
opravování páté a šesté série úloh se velmi protáhlo, za což se vám moc omlouváme. Nyní tak konečně dostáváte do rukou výsledky 20. ročníku Pikomatu MFF UK. Loňské vítězství obhájila studentka Gymnázia ve Frenštátě pod Radhoštěm Hana Bílková z Mniší u Kopřivnice, která v celé soutěži neztratila jediný bod. Získala tedy plný počet 180 bodů. Jen o bod méně dostala Karolína Rezková. S větším odstupem následují na dalších místech Petr Motloch, Lucie Mohelníková, společně Jan Bílek a Josef Tkadlec, Miroslav Olšák a další. Nejlepším řešitelem z devátého ročníku je Hana Bílková, z osmého Jan Bílek, v sedmém je to Zdislava Šrůtková, nejlepším řešitelem z šestého ročníku je Dominik Steinhauser a z pátého Jan Doubrava. Všem vítězům i vítězkám moc gratulujeme. Pochvalu a veliké uznání si samozřejmě zaslouží i ti, kteří v průběhu celého roku posílali správná řešení a dostali více než polovinu z celkového počtu bodů, tedy alespoň 91; ti od nás obdrží diplom. Několik nejlepších řešitelů dostane zajímavé ceny. Těm, kteří už se Pikomatu nemůžou tento rok účastnit, bychom chtěli doporučit některý z korespondenčních seminářů pro střední školy, které pořádá Matematicko-fyzikální fakulta. Můžete si vybrat matematický nebo fyzikální seminář nebo také seminář z programování. Více se o korespondenčních seminářích dozvíte na internetové stránce http://www.mff.cuni.cz/verejnost/ks/. Ostatním zasíláme zadání dalšího ročníku Pikomatu MFF UK. Doufáme, že nám nadále zachováte svou přízeň a opět se zapojíte do soutěže. Termín odeslání 1. série 21. ročníku je již 17. října. Všichni organizátoři i opravovatelé vám přejí mnoho úspěchů v novém školním roce a slibují, že se budou snažit, aby prodlevy mezi odesláním řešení a jejich opravením nebyly tak dlouhé: Jan Blažek, Lenka Blažková, Viktor Bobro, Lenka Burešová, Eva Černohorská, Kateřina Dobiášová, Jan Foniok, Ondřej Honzl, Jan Konopásek, Václava Kopecká, Jan Křivonožka, Zbyněk Pawlas, Karel Pazourek, Petr Škovroň. !" A v té tmě všechno skončilo. Naděje na ovládnutí světa i Jasův život. Žluté srdce Velké Č. zůstalo ve Velké Č. Výprava třinácti kočovníků skončila smrtí 10 z nich. Přežil jen Lutze a dvě ženy. Z koní se vrátili jen tři. Mongolský sen se rozplynul a snad jen náš vládce Kublaj nezanevřel na svůj sen a začal s přípravami nové výpravy. Jak to ale bylo nakonec? Poté, co Jasovo tělo dopadlo do bláta a to se za ním zavřelo, vřava neskončila. Vigi, Cen a Otah se vrhli zachránit, co se ještě dalo. Lutze s koňmi se rozhodl bránit vojákům v cestě, a tak vést stádo přímo na ně. Vojáků bylo ale přes 40 a pálili na ně jeden šíp za druhým. Jejich rychlopalné kuše (Chu ko nu) posílali koně rychle k zemi. Na půl cesty k vojákům zásah dostal i Vigi a sklouzl ze sedla svého koně. Cen a Otah zpanikařili, ale stádo je nepustilo ze sevření. Stádo, čítající nyní již jen 10 kusů, dorazilo až k vojákům a Cen s Otahem rychle čtyři z nich poslali k zemi, koně vojáků se splašili a mnozí popadali ze sedel. Další salvou mělo padnout již vše. „Na nic jsme nečekali a proběhli mezi vojáky. Otahovi ještě prostřelila jedna šipka nohu, ale vojákům bez koní jsme ujeli a ti, co se ještě drželi v sedlech, měli za úkol postarat se o Žluté srdce,ÿ vyprávěl Lutze a pokračoval: „unikli jsme, nešlo jim o naše životy, jen o Žluté srdce. Dostat se přes Velkou Zeď už bylo proti tomu hračkou. V přestrojení s několika lany jsme zeď v noci přelezli a vrátili se konečně DOMŮ. Zde naše jména sice zhanobili, ale sousedé pochopili, že to nebylo naší změkčilostí.ÿ Já, Fen, pouze dopisuji příběh několika velkých mužů, kteří v historii nic neznamenali. Mnohým hrdinům se podobné cti nedostane, přestože by si to zasloužili. Neboť často prokáží více odvahy a oddanosti než hrdinové, o kterých si svět vypráví. Tak příběh ukončuje Fen, ten jež nikdy neznamenal nic, hrdiny příběhu poznal jen a po smrti dát jim chtěl víc. Úloha č. 1 #$%&'()*+',-./%0 Spojnice středů stran trojúhelníku se nazývá střední příčka. Označme původní trojúhelník ABC. Dále označme P , Q po řadě středy stran AC, BC. Trojúhelníky ABC a P QC jsou podobné podle věty sus, neboť mají totožný vnitřní úhel u vrcholu C, |P C| = |AC| : 2 a |QC| = |BC| : 2. Koeficient podobnosti je 21 . Střední příčka má tedy poloviční délku než příslušná strana trojúhelníku. To znamená, že každý nově vzniklý trojúhelník má strany polovičních délek, než měl trojúhelník, ze kterého vznikl. Proto má i poloviční obvod. Obvod prvního trojúhelníku je 2 + 3 + 3 = 8 palců. Tudíž druhý trojúhelník má obvod 4 palce, třetí 2 palce, čtvrtý 1 palec a pátý 0,5 palce. Komentář: Téměř všechna došlá řešení byla správná. Někteří z vás si neuvědomili, že nemusejí převádět rozměry z palců na centimetry; lepší je počítat rovnou v původních jednotkách. Objevila se i řešení spočívající v sestrojení pěti trojúhelníků a následného změření. Všechna byla ale zatížena velkými chybami vyplývajícími z nepřesného rýsování a měření; hodnocena byla nejvýše třemi body. Úloha č. 2 Jednou z možností, jak doplnit magický čtverec, bylo vypsat si všechny trojice různých čísel, jejichž součin je 216 (takových trojic je 15). Uvědomíme si, kolikrát se čísla na různých pozicích ve čtverci násobí (v rohu třikrát, uprostřed čtverce čtyřikrát a ve středech stran dvakrát), a z toho budeme vycházet. Protože každé číslo bude násobeno alespoň dvakrát, tak vyškrtáme ty trojice, které obsahují číslo, které již v jiné trojici není. Jde o trojice obsahující 24, 54, 72 a 108. Dále si vypíšeme, kolikrát se které číslo vyskytuje ve všech zbylých trojicích. Zkontrolujeme, jestli v každé trojici je nejvýše jedno číslo s počtem výskytů dva. Nevyhovující trojici (1, 8, 27) vyřadíme. A ještě jednou zkontrolujeme to samé ovšem s tím, že nám jedna trojice vypadla. Takto vyřadíme další dvě trojice a zbude nám jich osm. Tedy přesně tolik, kolik potřebujeme. Zjistíme, které číslo se vyskytuje čtyřikrát (je to šestka) a to bude uprostřed magického čtverce. Potom již jednoduše doplníme trojice do magického čtverce a otočíme ho tak, aby na prvním řádku byl součet co největší. Výsledek vidíte na obrázku. 2 2 36 3 9 6 4 12 1 18 Komentář: Většina z vás měla řešení správně. Našli se tací, co skládali čtverec z desetinných čísel. Protože v zadání nebylo přímo napsáno, že čísla mají být přirozená, tak jsem tato řešení také uznávala. Pro příště si však pamatujte, že magický čtverec je plný přirozených čísel. Jinak by existovala spousta řešení. Úloha č. 3 Začneme tím, že zjistíme, kolik je různých možností, jak se stráže mohou během jednoho cyklu vystřídat bez ohledu na to, zda střídají či nestřídají někdy dva dny po sobě. Zjišťujeme tedy, kolik je různých čtveřic dní ze sedmidenních cyklů. Pro ty, kteří ¡ ¢vědí,7!co je to kombinační číslo, je lehké nahlédnout, že počet takových čtveřic je 74 = 3!·4! . Pro ty ostatní to odvodím. Přestavme si, že z číslic 1 až 7 sestavujeme všechna různá čtyřciferná čísla tak, aby každá číslice byla v jednom čísle použita nejvýše jednou. Počet takových čtyřciferných čísel je 7 · 6 · 5 · 4, protože na místo tisíců máme na výběr sedm možností, pro každou z nich máme na místo stovek šest možností (už nemůžeme použít číslici, která je na místě tisíců) atd. To se také dá zapsat jako 7!/3! (pro ty, kdo nevědí, co ten vykřičník znamená – říká se mu faktoriál a znamená toto: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1). Pokud vybíráme čtveřici dní v cyklu, kdy se stráže budou střídat, úloha je podobná. Označíme si dny v cyklu 1 až 7 a také vybíráme různé čtveřice čísel, pouze tentokrát nám nezáleží na pořadí. Pro každou čtveřici čísel existuje x různých pořadí (je zjevné, že nezáleží na tom, o jaké číslice jde, počet různých pořadí bude vždy stejný). Kdybychom tedy vzali počet různých čtveřic dní, kdy se stráže mohou střídat (p) a vynásobili to počtem různých pořadí pro každou z těchto možností (x), dostali bychom již známý výsledek 7 · 6 · 5 · 4. Když to zapíšeme jako rovnici dostaneme: 7! , 3! 7! p= . 3! · x p·x= Stačí nám tedy najít x neboli počet různých pořadí čtyř různých číslic. Není nic jednoduššího – na první místo v pořadí máme čtyři možnosti, kterou číslici vybrat, pro každou z těchto možností nám na druhé místo zbyly 3 možnosti atd. Tedy x = 4·3·2·1. Hledaný počet různých čtveřic dní, kdy se stráže mohou střídat je tedy: p= 7! = 35. 3! · 4! 3 Mimochodem, tímto jsme obecně něco, čemu se, jak jsem již dříve zmínil, říká ¡ ¢ odvodili n! a určuje počet různých k-tic z n prvků. kombinační číslo, zapisuje se nk = k!·(n−k)! Nyní nám zbývá vyloučit případy, kdy se ani jednou za cyklus stráže nevystřídají dva dny po sobě. Je snadné nahlédnout, že taková možnost je jen jedna totiž, že se stráže střídají první, třetí, pátý a sedmý den. Proto počet různých cyklů střídání tak, aby se 7! stráže aspoň jednou za týden vystřídaly dva dny po sobě, je roven: c = 3!·4! − 1 = 34. Úloha č. 4 Jak většina z vás pochopila, měl se narýsovat trojúhelník (označme ho ABC) vepsaný do kružnice o poloměru 5 palců (označme ji k), který splňuje další podmínky: dvě z jeho stran mají být stejně dlouhé, to se zdálo celkem jasné. Problém nastal při interpretaci věty „Navíc když se spojí střed jedné z těchto čar a protější roh trojúhelníku, tak tahle čára s tou, se kterou má společný ten střed, jsou jako tady ten roh.ÿ To, že říká, že jedna těžnice je kolmá na odpovídající stranu, bylo jasné. Někteří z vás ale dál pochopili, že trojúhelník musí mít jeden vnitřní úhel pravý, neboť kde by se vzal onen jiný pravý roh, dostali tak rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník; jiní zase pochopili větu tak, že těžnice na jednu ze dvou stejně dlouhých stran je na tuto stranu kolmá, což splňuje pouze rovnostranný trojúhelník. Někteří se něčím takovým vůbec nezabývali: narýsovali libovolný rovnoramenný trojúhelník vepsaný do kružnice. Konstrukci trojúhelníku v prvních dvou případech jste většinou dělali přes konstrukci čtverce nebo šestiúhelníku vepsaných do kružnice, ze kterých se pak vyberou vhodné vrcholy. V úplném řešení pak nesměla chybět úvaha, jak jste na váš trojúhelník přišli, rozbor úlohy, zápis konstrukce a narýsování. Zápis konstrukce mohl kupříkladu vypadat takto: 1. k; k(S; 5 p) 2. šestiúhelník AA0 BB 0 CC 0 vepsaný do kružnice k (tento bod jste mohli dále rozepsat) 3. trojúhelník ABC C0 C k A B0 S B A0 4 Komentář: Pokud jste uvedli jakýkoliv logický postup, patřičně popsaný, dával jsem 5 bodů. Body jsem strhával především za chybějící postup (v této úloze bylo možných několik přístupů, tak z čeho mám poznat, jak jste úlohu řešili?) nebo chybějící narýsování, případně 1 bod za několik menších chyb jako je nepopsaný obrázek, chybějící zápis konstrukce a podobně. Úloha č. 5 Předem nutno říci, že úloha byla jednoduchá a podle toho vypadala i řešení. Víme, že obě stáda (moje i Cenovo) měla dohromady 51 koní. Mezi řečí mezi našimi stády proběhly 2 a pak ještě 2·2 koně (od Cena ke mně). A jako poslední informaci jsme dostali, že na konci hovoru jsem já měl stádo dvakrát větší než Cen. Zapsáno matematicky (i když v této úloze to nebylo ani třeba): a + b = 51, kde a je velikost Cenova stáda na začátku hovoru a b je velikost mého stáda na začátku hovoru. Od Cena ke mně přeběhlo 2 + 2 · 2 = 6 koní. Po hovoru mám já b + 6 koní, zatímco Cen a − 6. Platí tedy: 2 · (a − 6) = b + 6. Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, ze kterých jednoduchou úpravou dostaneme a = 23 a b = 28. Odpověď tedy zní: před začátkem hovoru měl Cen před sebou stádo 23 koní a já stádo 28 koní. Úloha č. 6 Protože jsou čísla značek celá kladná a dělitelná sedmi, označíme je 7a < 7b < 7c < 7d. Ze zadaní vytvoříme následující rovnice: (7d + 7c) − (7a + 7b) = 7d, (7d + 7a) − (7b + + 7c) = 7. První rovnici upravíme na tvar c = a + b a dosadíme do druhé. Po úpravě dostaneme vyjádření čísla d = 1 + 2b. Teď je nutné se ptát, jestli c < d, zda tedy a + b < 1 + 2b, ale to pro a < b platí. Máme vyjádřená čísla c a d v závislosti jen na číslech a a b. A nyní uvažme omezení 7d < 100, to je totéž jako 7(1 + 2b) < 100, po úpravě obdržíme b < 7 a protože a < b a počítáme jen s přirozenými čísly, tak 1 < b < 7. Tím lze snadno rozebrat všechny možnosti. Pro b = 2 musí být a = 1. Z odvozených vztahů je c = 3 a d = 5, po vynásobení dostáváme čtveřici (7,14,21,35). Je-li b = 3 máme již dvě možnosti pro číslo a, které je buď a = 1, nebo a = 2, čímž získáme čtveřice (7,21,28,49) a (14,21,35,49). Pro b = n dostaneme takto n − 1 možností. Tážeme-li se na počet možností pro b od dvou do šesti, dostaneme celkem 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 čtveřic čísel, která jsou menší než 100. V druhé části úlohy si povšimneme vztahu, že počet možností je součet po sobě jdoucích čísel od jedné do k (tzv. trojúhelníkové číslo), pro který je známý vzoreček k(k+1) . Omezující podmínka je 7d < 500, 7(1 + 2b) < 500, 2 odtud získáme 1 < b < 36 (tj. k = 34). Počet různých čtveřic čísel, která jsou všechna menší než 500 a splňují podmínky zadání, je 34(34+1) = 595. A úloha je vypočtena. 2 Komentář: V žádném případě netvrdím, že vzorové řešení je jediné možné, objevila se spousta různých správných metod řešení. Pár řešitelů se domnívalo, že čtveřice musí 5 být po sobě jdoucí násobky sedmičky, nebo že čísla nejsou různá, nebo že mohou být i nulová. Proto upozorňuji opět na důležitost řádného čtení zadání. Za první část úlohy jsem uděloval tři a za druhou dva body. Úloha č. 7 Z Pythagorovy věty zjistíme, že pravoúhlý √ rovnoramenný trojúhelník s odvěsnami o délce 2 palce má výšku na přeponu délky 2 palce. Výška na odvěsnu je pochopitelně √ dlouhá 2 palce (splývá s odvěsnou). Možné kosočtverce tedy mohou mít výšku 2 palce nebo 2 palce. Nejprve uvažujme situaci, kdy kosočtverce jsou čtverce o straně 2 palce. Můžeme složit dva zrcadlově symetrické pětiúhelníky, jak je naznačeno na obrázku 1. obr. 1 √ Další možné obrazce získáme, použijeme-li čtverce o straně 2 palce. Na obr. 2 jsou nakresleny 3 takové pětiúhelníky. Další dvě symetrická řešení již nejsou uvedena. obr. 2 Nyní budeme k trojúhelníku přikládat kosočtverce s vnitřním úhlem 45 ◦ a výškou 2 palce. V takovém případě má strana kosočtverce stejnou velikost jako přepona trojúhelníku. Až na symetrii máme další 3 způsoby (obr. 3). Ještě více možností √ dostaneme u kosočtverce s úhlem 45 ◦ a výškou 2 palce (strana kosočtverce je pak stejná jako odvěsna trojúhelníku). Na obrázku 4 je znázorněno 5 různých vytvořených obrazců. obr. 3 6 obr. 4 ◦ √ Dokonce je možné složit pětiúhelník z kosočtverců s vnitřním úhlem 30 a výškou 2 palce (obr. 5). V tomto případě je strana kosočtverce stejně dlouhá jako přepona trojúhelníku. Na závěr uveďme ještě jednu kombinaci, u které nejsou kosočtverce shodné. Jeden √ z kosočtverců je čtverec o straně 2 palce a druhý má vnitřní úhel 45 ◦ a výšku 2 palce (obr. 6). obr. 5 obr. 6 Pokud budeme počítat i zrcadlově symetrická řešení, tak jsme celkem našli 26 různých pětiúhelníků. Komentář: Někteří z vás vytvořili lichoběžník a nazvali ho pětiúhelníkem. Přesto jsem se v mnohém takovém případě překonala a udělila nějaké body. Pokud jste našli málo řešení, ale bylo mezi nimi aspoň jedno nekonvexní, též jsem přidala bod. Vzorové řešení je inspirováno řešením Karolíny Rezkové. #1.23&'20.+0)45-%-60*)+"789:,-./%0;< Úlohy páté série opravovali a komentáře sepsali: 1. Jan Foniok, 2. Kateřina Dobiášová, 3. Jan Konopásek, 4. Karel Pazourek, 5. Jan Blažek, 6. Ondřej Honzl, 7. Lenka Blažková. Celkově 1. 2. 3.–4. 5. 6.–7. V roč. 1. 2. 1. 3. 4. 5.–6. 8.–10. 2.–3. Jméno a příjmení Hana Bílková Karolína Rezková Martina Vaváčková Miroslav Klimoš Petr Motloch Lucie Mohelníková Josef Tkadlec Jan Bílek Roč. a škola 9. GFPR 9. GVOP 8. GPCT 9. GLAN 9. GPBM 9. GEOP 9. GJKP 8. GVPP 7 1 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 0 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 5 5 5 5 5 5 5 5 7 5 5 5 4 4 5 3 - 30 30 30 30 29 30 30 30 150 149 147 147 145 143 143 142 Celkově 8.–10. 11.–12. 13. 14.–16. 17. 18. 19.–20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.–29. 30. 31.–32. 33. 34. 35. 36.–37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.–44. 45. 46.–48. 49. 50.–51. 52. 53. 54. 55.–56. V roč. 2.–3. 7. 4. 8. 9. 5.–6. 10. 7. 11. 1. 12. 2. 13. 14. 15. 3. 16. 4.–5. 17. 8. 1. 6. 9. 10. 7. 8. 11. 9. 18. 19. 12. 20. 10. 21. 11. 2. 12. 13. 13. 14. 14. 22. 23. 24. 3. 25. Jméno a příjmení Miroslav Olšák Helena Pučelíková Lada Peksová Jakub Töpfer Hana Šormová Jakub Klemsa František Steinhauser Mirka Dřínková Jan Laksar Pavel Veselý Jan Veselý Petr Hons Zdislava Šrůtková Blanka Némethová Ondřej Heneberk Lukáš Cimpl Alena Bušáková Jan David Jiří Biolek Roberto Nájares Susan Müllerová Marek Strečko Dominik Steinhauser Václav Fiala Jaroslav Mandík Michal Kozel Zbyněk Šanda Hana Mlnaříková Kristina Chrastilová Edita Pelcová Jan Vaňhara Jan Lochman Kateřina Rulfová Monika Gattnarová Petr Tampír Petr Kaděra Petr Pecha Vladimír Biolek Jonáš Erlebach Karel Kovářík Lenka Havelková František Růžička Veronika Paštyková Martin Šubr Pavla Zárubová Karolína Kripnerová Eliška Jurková Eva Erlebachová Roč. a škola 8. OGBP 9. GMIL 8. GCDP 9. GJKP 9. GKJB 8. GJVK 8. ZSTR 9. GJKP 8. ZHOL 9. ZDST 7. ZDST 9. GVOZ 7. GPEL 9. GMKR 9. GBNH 9. GFPR 7. GTRU 9. GVOZ 7. ZEKF 7. GNKP 9. GVOZ 8. ZWZH 6. ZSTR 7. GPEL 8. GJVK 8. ZHBJ 7. ZAKL 7. GRPR 8. CGKV 7. ZKVM 9. GLJH 9. GNOB 8. GHPP 9. GEBH 7. GPEL 9. GPBM 7. ZVKL 6. ZEKF 7. GSGJ 8. GJVK 7. GTRU 7. GNJH 8. ZZKH 9. GNOB 9. ZPMM 9. AGKP 6. GFPR 9. GSGJ 8 1 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 4 5 3 4 5 5 5 4 5 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 2 5 5 1 5 5 - 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5 3 3 5 3 5 3 4 5 3 5 5 5 5 2 3 2 5 5 2 5 5 3 5 5 5 5 3 5 3 3 4 5 5 3 5 1 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 5 4 5 5 5 2 5 3 5 5 5 5 5 5 4 4 5 4 5 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 0 6 5 4 5 5 5 5 3 4 5 5 5 3 5 3 2 1 2 4 5 4 5 5 1 5 5 3 4 0 4 3 2 5 1 1 4 1 2 0 1 7 4 2 3 4 4 4 4 3 1 4 3 4 3 1 2 2 4 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 ;< 29 29 30 29 30 30 29 29 28 28 28 29 26 30 26 22 25 20 29 30 21 30 20 28 15 30 30 25 20 29 23 24 24 27 16 30 18 19 21 18 16 22 23 20 0 25 20 13 142 142 139 139 137 135 135 135 134 132 129 129 128 127 126 124 123 119 118 118 118 116 115 115 113 112 110 108 108 107 103 102 101 100 98 98 97 96 96 96 95 94 94 90 89 88 87 87 Celkově 57. 58.–61. V roč. Jméno a příjmení 15. Jakub Chmelík 16.–17. Marcel Ramdan Vít Škoda 15.–16. Andrea Jelínková Veronika Pazderová 62. 17. Lucie Sezemská 63. 4. Alžběta Štěpánková 64.–65. 18. Tomáš Střeleček 26. Vojtěch Kaluža 66. 19. Lukáš Tomaszek 67. 27. Karel Slapnička 68. 20. Barbora Svobodová 69. 21. Antonín Štěpán 70. 18. Eva Matějová 71. 22. Lucie Slavníková 72. 19. Jan Adamus 73.–74. 20. Jan Holý 23. Filip Braun 75.–76. 28.–29. Michael Hájek Šárka Křížková 77. 30. Jaroslava Salášková 78. 5. Miroslava Ptáčková 79.–80. 1. Pavel Vampola 21. Jan Cielecký 81. 1. Jan Doubrava 82. 24. Anna Lorencová 83. 25. Filip Edelman 84.–85. 26.–27. Jaroslav Seifert Stanislaw Terziev 86. 6. Jiří Šmíd 87.–88. 22. Kristýna Pustková 31. Karel Pajskr 89.–91. 2. Erik Hošman 7. Marie Čiháková 32. Katarína Baxová 92.–93. 8. František Wolf 28. Lucie Šlemrová 94.–96. 23. Barbara Bártková 29. Martin Králík 33. Lenka Švidrnochová 97.–99. 24. Veronika Šimíková 30. Dominik Andreska 34. Karel Lockenbauer 100. 31. Miroslav Kubík 101. 9. Václav Kaděra 102. 25. Martin Židek 103.–105. 10. Kristýna Ulrychová 26. Helena Dobešová Roč. a škola 7. GNKP 7. AGKP 7. GPEL 8. GJVK 8. GHPP 8. AGKP 6. ZMFM 8. GBNH 9. GPBM 8. ZPMH 9. ZKKR 8. ZCVP 8. ZKVM 7. ZMFM 8. GHPP 7. ZMFM 7. ZZEJ 8. GNKP 9. PGLB 9. GBNH 9. GLPP 6. GOVK ?. ? 7. ZMFM 5. ZVDB 8. GJVK 8. ZCRO 8. ZZBR 8. GNKP 6. ZMFM 7. ZMFM 9. GJKP ?. ? 6. GOAS 9. ZDHT 6. GPOD 8. GHPP 7. ZMFM 8. LSGL 9. GEOP 7. ZMFM 8. AGKP 9. ZHBJ 8. ZKVM 6. ZMFM 7. ZOTO 6. GNKP 7. GVMN 9 1 3 4 5 5 5 4 4 5 4 5 5 2 5 3 3 2 4 2 1 3 5 3 5 2 3 - 2 1 5 5 5 1 1 1 1 1 5 5 5 1 - 3 1 2 5 0 5 0 0 3 3 5 5 - 4 3 5 1 4 5 5 4 3 5 3 1 2 - 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 1 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 - 6 1 2 1 1 1 5 1 1 2 2 1 1 - 7 3 1 1 2 3 - ;< 14 24 18 0 15 20 0 0 0 9 0 8 15 14 15 10 6 0 0 0 16 12 19 0 5 0 13 9 0 0 5 0 12 11 0 14 22 9 0 0 16 12 5 0 0 0 14 0 86 85 85 85 85 78 77 76 76 75 74 73 71 70 69 68 65 65 63 63 62 60 55 55 54 53 51 50 50 49 48 48 47 47 47 45 45 44 44 44 41 41 41 40 39 38 35 35 Celkově V roč. Jméno a příjmení 103.–105. 32. Kristýna Drápalová 106.–107. 27.–28. Denisa Lipinová Kristýna Vávrová 108. 33. Štěpánka Burešová 109.–110. 34.–35. Lukáš Herma Petr Ullmann 111. 36. Dominika Žáková 112.–113. 11. Stanislav Veverka 29. Kristýna Pavlásková 114. 37. Evženie Belyaeva 115. 12. Barbora Fidlerová 116.–117. 13. Jiří Wolf 30. Jakub Kolčář 118.–122. 31. Aneta Mrkvičková 38.–41. Kateřina Burešová Veronika Černínová Miroslav Machálek Barbora Náhlíková 123.–124. 42. Eliška Holubová 35. Jakub Šafránek 125. 36. Radim Štěpaník 126.–129. 14. Zuzana Červenková 32.–33. Petr Horina Veronika Šilhavá 43. Aleš Mikšík 130.–134. 3. Jiří Hájek 44.–46. David Hanousek Jiří Stuchlík Kateřina Švarcová 37. Martin Blatský 135.–140. 4. Jakub Prokop 15.–16. Petra Neužilová Petra Štefanová 34. Patrik Růžek 47. Monika Traubová 38. Zuzana Šmilauerová 141.–143. 35.–37. Jakub Prášil Klára Tomková Tomáš Valíček 144.–149. 5. Eva Kajumová 17.–18. Miroslav Navrátil Tomáš Ondruf 38.–39. Lada Jokešová Ondřej Pavelka 39. Eva Vondrášková 150. 6. Jan Zelda 151.–154. 40. Tereza Gabajová 48.–49. Alice Navrátilová Roč. a škola 8. AGKP 7. ZMFM 7. ZMFM 8. GHPP 8. GNKP 8. GJVK 8. AGKP 6. GOKH 7. ZMFM 8. ZCVP 6. GNKP 6. ZOTO 7. ZMFM 7. ZMFM 8. GHPP 8. ZOTO 8. LSGL 8. LSGL 8. AGKP 9. ZDST 9. ZDST 6. GNKP 7. ZMFM 7. AGKP 8. ZKUO ?. ? 8. ZZBR 8. ZKVM 8. GJVK 9. ZDST ?. 6. GOAS 6. GNKP 7. ZMFM 8. ZCVP 9. AGKP 7. ZMFM 7. ZMFM 7. ZPOD ?. ? 6. GEOP 6. ZOTO 7. ZMFM 7. ZMFM 9. ZDST ?. ? 7. ZDST 8. ZKVM 10 1 5 4 5 5 4 2 5 4 4 4 - 2 1 5 - 3 0 5 3 - 4 4 1 4 1 3 - 5 3 5 2 5 5 5 5 0 5 5 0 4 6 1 5 1 0 1 7 3 1 - ;< 13 9 0 0 0 0 2 0 1 28 0 0 10 0 0 11 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 4 0 0 10 13 0 0 0 0 0 5 35 34 34 32 31 31 30 29 29 28 27 26 26 25 25 25 25 25 24 24 23 21 21 21 21 20 20 20 20 20 19 19 19 19 19 19 18 18 18 17 17 17 17 17 17 16 15 15 Celkově V roč. 151.–154. 48.–49. 40. 155.–160. 41.–42. 50. 41.–43. 161.–169. 19.–20. 43.–46. 44.–46. 170.–173. 21. 47. 51. 47. 174.–177. 48. 52.–54. 178.–185. 22. 49.–53. 48.–49. 186.–189. 23. 54. 55. 50. 190.–197. 24. 55. 56.–59. 51.–52. 198.–203. 56.–57. 60. Jméno a příjmení Pavel Suchánek Petr Dongres Tomáš Pecold Tomáš Trávníček Lucie Šimková Radana Havrdová Filip Koubek Jiří Zárevúcký Eva Horecká Petra Pavlovcová Lucie Martinková Barbora Peterová Matouš Turek Simona Volníková Marek Holub Lucie Chybová Jan Mareš Štěpán Jílka Natálie Koloničná Pavla Housková Hana Slivoňová Markéta Foltýnová Petr Pelc Martina Štincíková Vlastimil Vávra Oldřich Kodym Jiří Jílek Jakub Prokop Jan Šmolík Vojtěch Štajger Václav Vild Michaela Fišerová Ondřej Potužník Lucie Kupsová Lucia Pacherová Otto Čada Patrik Zacharda Veronika Šiková Tereza Cachová Tereza Blažková Petr Hofman Tomáš Hoření Zdislava Paďourová Kateřina Brožáková Adéla Lávičková Jan Kavalír Pavel Novák Ondřej Hýbl Roč. a škola 8. GFZB 9. ZCRO 7. ZMFM 7. ZMFM 8. ZWZH 9. ZDST 9. ZDST 9. ZPIM 6. ZMFM 6. ZSCL 7. ZPIM 7. ZMFM 7. ZMFM 7. ZMFM 9. ZDST 9. GPMB 9. ZDST 6. GEOP 7. ZPIM 8. GJPM 9. ZDST 7. ZMFM 8. ZCRO 8. ZCRO 8. LSGL 6. GEOP 7. ZCRO 7. ZMFM 7. ZCRO 7. ZMFM 7. ZCRO 9. ZDST 9. ZDST 6. ZMFM 7. ZCRO 8. ZDST 9. ZDST 6. GOAS 7. AGKP 8. ZCRO 8. ZCRO 8. ZHBJ 8. LSGL 9. ZDST 9. ZDST 7. ZCRO 7. ZMFM 8. LSGL 11 1 3 4 - 2 - 3 - 4 - 5 1 5 - 6 - 7 - ;< 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 15 15 14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 Celkově V roč. Jméno a příjmení 198.–203. 53.–55. Vojtěch Gráf Karel Hanisch Blanka Kůtová 204.–208. 25.–26. Jiří Novák Petra Švagrová 58.–59. Vítězslav Kavka Jan Zich 61. Jan Červinka 209.–218. 27.–29. Karolína Krajdlová Žofie Nedbalová Daniela Šeflová 60.–61. Jakub Jirásek Johana Vraštilová 62.–63. Jan Kalát Jakub Kalista 56.–58. Filip Machus Pavel Rejžek Zuzana Vlčková 219.–224. 30. Veronika Karásková 62. Barbora Mrázová 64.–66. Jan Hobl Jana Svěchotová Petra Vanduchová 59. Edita Cestrová 225. 63. Kateřina Mužíková 226.–229. 31.–32. Renáta Koutenská Olga Matějková 67.–68. Radek Herold Marek Vild 230.–231. 33.–34. Bára Pospíšilová Alena Ševčíková 232.–241. 2. Eliška Konopková 35.–37. Petra Beránková Markéta Vondráková Jan Votýpka 69.–70. Kateřina Macháčková Jáchym Šenkyřík 60.–63. Michaela Hňoupková Kateřina Holubová Petra Lincová Lucka Vokounová Roč. a škola 9. GFPR 9. ZDST 9. ZDBR 6. ZMFM 6. GOAS 7. ZMFM 7. ZCRO 8. ZZBR 6. GEOP 6. AGKP 6. ZCRO 7. ZCRO 7. ZCRO 8. LSGL 8. ZCRO 9. ZDST 9. ZDST 9. GFPR 6. ZMFM 7. ZKNS 8. ZCRO 8. ZCRO 8. ZKVM 9. ZCRO 7. ZKNS 6. ZSCL 6. ZCRO 8. ZCRO 8. ZCRO 6. GNKP 6. ZCRO 5. ZSCL 6. ZSCL 6. ZKVM 6. ZCRO 8. LSGL 8. ZCVP 9. ZSCL 9. ZSCL 9. ZSCL 9. ZSCL 12 1 - 2 - 3 - 4 - 5 1 3 - 6 1 - 7 - ;< 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Úloha č. 1 #$%&'()*+'=-./%0 Úloha není nikterak těžká. Nejlépe je řešit ji tabulkou. Psát si postupně, jak v průběhu týdne ubývá ječná či pšeničná mouka, a dávat pozor, zda náhodou nevaří Lutze nebo Cen. Následující tabulka je postačující řešení (čísla jsou zaokrouhlena na 2 desetinná místa). den ječná pšeničná spotřeba 1. 40 25 6,75 2. 33,25 25 6,75 3. 26,5 25 6,5 4. 20 25 6 5. 20 19 5,9 6. 14,1 19 5,41 7. 14,1 13,59 5,61 8. 8,49 13,59 5,10 9. 8,49 8,49 4,85 10. 3,64 8,49 4,36 11. 3,64 4,13 4,36 12. 3,64 0 – 13. 0 0 – Poměrně záludné je ovšem vytváření závěru. Pokud budeme uvažovat, že třináctý den už opravdu nebude z čeho vařit, tak je odpověď 10. den, ale dle zadání již nemůžeme postupovat den jedenáctý a to znamená, že bychom byli na cestě 7. den. Komentář: Většina došlých řešení byla správně, nebo obsahovala jen nepatrné numerické chyby. Jen několik řešitelů špatně četlo zadání a odečítala desetinu druhé mouky, zatímco v zadání bylo jasně psáno, že každý den používáme jen jeden druh mouky. Pokud jste měli tabulku správně a rozumný závěr, udělil jsem pět bodů. Úloha č. 2 Nechci opakovat své spoluopravovatele, ale ani moje úloha nebyla těžká. Šlo pouze o to, mít dobrý nápad. Víme, že já řeknu Vigimu vždy zbytky po dělení prvočísly, které v rozkladu nemám. Nápadem tedy bylo, využít této vlastnosti a nechat si ode mě říci jaké, že si to číslo myslím. Toho bylo možné využít, tak že by Vigi tipnul prvočíslo větší než je 30 000 (horní hranice hádaného čísla), například 30 011. Já už bych mu pak musel říci zbytek po dělení tímto číslem a jestliže je mé číslo menší než 30 000 a větší než 2 000, pak tento zbytek je roven číslu, které si myslím, a Vigi ho na druhý pokus uhádne. Variantou téhož byla hra, kdy by Vigi tipoval číslo mezi 2 000 a 30 000, zde ale můžeme využít toho, že myšlené číslo je větší než 2 000, a tipnout prvočíslo, které bude větší než 28 000 (například 29 989). Zbytek, který pak Vigimu řeknu bude buď menší než 2 000 (v našem případě než 11), pak k němu přičtu prvočíslo, které jsem tipoval (29 989), a takto uhádnu myšlené číslo, anebo je větší než 2 000, a pak je situace stejná jako v předchozí hře. Komentář: Všem řešitelům: jestliže budete hledat pro nějaké řešení velké prvočíslo, zkuste použít nějaké tabulky anebo počítač. Pokud vím, zatím neznáme jiný způsob, jak ověřit zda je číslo prvočíslem, než ověřit, že nelze vydělit všemi prvočísly menšími než odmocnina ověřovaného čísla. Úloha č. 3 Nejprve si řekněme, co budeme považovat za cestu a co za způsob dostání se k paláci. Cesta se nekříží sama se sebou, ale může se křížit i s libovolnými ostatními cestami (i několikrát). Za způsob dostání se k paláci budeme počítat takový, že neprojdeme dvakrát žádný úsek nějaké cesty, ale víckrát můžeme projít stejnou křižovatkou. Tak 13 teď, když už víme, co za úlohu řešíme, tak stojíme před dalším problémem, že cest je lichý počet (21) a způsobů sudý počet (144). Existuje například způsob, jak překřížit tři cesty, které se dají projít 18 způsoby (obr. 1). (Zkus si to.) Dále si stačí uvědomit, že pokud se kříží dvě cesty, tak po projití křižovatky máme dvakrát více způsobů. Tedy na obrázku 2 jsou čtyři možnosti projití, na obr. 3 je 16 možností, na obr. 4 je 64 možností, jak projít. Teď už jenom křižovatky správně zkombinujeme: použijeme tři z obr. 1, ostatní po jedné a doplníme to šesti cestami, které se křížit nebudou. Tak například mohla vypadat zahrada jako na obrázku 5. obr. 1 obr. 2 obr. 3 obr. 4 obr. 5 Komentář: Úloha šla pochopit více způsoby, a tak když jste mi přesně napsali, jakou úlohu řešíte, a vyřešili jste ji správně, dostali jste 5 bodů. Pokud jste řešili úlohu pouze s 20 cestami nebo více než 144 způsoby, tak jsem vám řešení neuznala a dostali jste 1 bod. Úloha č. 4 Předpokládejme, že všechny schody jsou stejné. Bez ohledu na to, jaký úhel svírá 14 stěna, do které byly schody vytesány, se zemí, platí toto: je-li schodů 256 a mají-li . 70 = vystoupat do výšky 70 m, pak výška jednoho schodu musí být rovna v = 256 . = 0,273 m = 27,3 cm. Pojem „délka schodištěÿ může mít více významů. Většinou jste pod ním chápali buď součet délek vodorovných ploch schodů, nebo součet délek přepon schodů. V prvním případě se délka jednoho schodu spočítá obdobně jako jeho výška: d1 = 500 . = 1,963 m (délka schodiště je 500 metrů). = 256 Ve druhém případě použijeme Pythagorovu větu. Platí: p = √ . 1 · 5002 − 702 = 1,934 m (viz obrázek). = 256 p 500 , 256 d2 = p p2 − v 2 = v d2 Komentář: Pokud jste si ujasnili, co rozumíte délkou schodiště, byla úloha poměrně jednoduchá. Někteří z vás si všimli, že celé schodiště nemůže mít tvar trojúhelníku. K jeho zadání totiž stačí právě tři údaje, zatímco zadání úlohy obsahovalo čtyři. 70 500 110◦ a V trojúhelníku platí, že naproti nejmenšímu úhlu je nejkratší strana. Je-li tedy přepona dlouhá 500m, musí být strana a kratší než 500 m, ale podle Pythagorovy věty je jistě delší než 70 m. Zároveň je naproti nejmenšímu úhlu (20 ◦ ), což je spor. Schodiště tedy nemohlo vést přímo. Právě za tento omyl jsem strhávala 1 až 2 body. Úloha č. 5 Chceme zjistit, jaký objem má útvar složený ze tří částečně se přesahujících jehlanů. Útvar si rozdělíme na jednodušší části: spodní jehlan bez špičky, prostřední jehlan bez špičky a horní jehlan. O špičce spodního jehlanu víme, že její výška je třetinou výšky celého jehlanu. Z podobnosti vhodných trojúhelníků můžeme zjistit, že i délka hrany podstavy špičky je třetinou délky hrany celého jehlanu. Dohromady dostáváme, že objem špičky je 1 1 · 31 · 31 = 27 objemu celého jehlanu, a zbylá část (jejíž objem se snažíme počítat) 3 tvoří zbylých 26/27. Stejně tak to platí pro prostřední jehlan. 15 Objem jehlanu vypočítáme jako součin plochy podstavy a výšky dělený třemi. Podstava je rovnostranný trojúhelník (protože jehlan je pravidelný trojboký) vepsaný do kružnice o známém poloměru r. Pomocí Pythagorovy věty snadno spo√ čítáme délku jeho strany a = 3r. Protože v rovnostranném trojúhelníku je těžnice totožná s výškou, a dále úsek těžnice od vrcholu k těžišti je přesně poloměr kružnice opsané, dostáváme, √ že výška podstavy je vp = 3r/2. Celkově obsah podstavy je√S = avp /2√= 3 3r2 /4. Objem spodního jehlanu (včetně špičky) tedy je V∆ = 3 3r2 v/12 = 3r2 v/4. Protože prostřední jehlan je o třetinu menší než spodní, dostaneme jeho rozměry tak, že všechny rozměry spodního jehlanu vynásobíme 2/3. Objem tedy získáme vy8 . Stejně tak z prostředního jehlanu po vynásobení 8/27 násobením 23 · 32 · 32 = 27 získáme objem horního jehlanu. Objem spodního jehlanu beze špičky je tedy 26 ·V∆ , objem prostředního beze špičky 27 8 8 26 8 · 27 ·V∆ a objem celého horního jehlanu je 27 · 27 ·V∆ . Celkový objem zkoumaného je 27 útvaru je tedy 26 26 8 8 8 + · + · 27 27 27 27 27 974 · V∆ , 729 √ po nahrazení V∆ hodnotou ze třetího odstavce pak V = 487 3r2 v/1458, po dosazení 3 číselných hodnot ze zadání zhruba 6,248 m . V = ³ ´ · V∆ = Komentář: Úloha byla sice dosti pracná, ale bylo celkem jasné, jak si s ní poradit. Tomu odpovídala i došlá řešení – až na drobné numerické chyby a nepřehledné popisy se žádný problém ve větší míře nevyskytl. Úloha č. 6 Chceme-li maximalizovat počet odpočívadel, musíme minimalizovat počet schodů mezi nimi. Označme sn počet možností, jak rozložit n schodů na součet, kde se objevují jako sčítanci pouze čísla 1, 2 a 3. Potom pro n > 3 platí: sn = sn−1 +sn−2 +sn−3 , neboť mohu chodit právě o jeden, dva, nebo o tři schody. Dále platí: s1 = 1, to vlastně říká, že jeden schod mohu vyjít jedním způsoben, s2 = 2 – dva schody mohu vyjít po jednom schodu či po dvou, tedy dvěma způsoby. A nakonec tři schody mohu zdolat takto: (1 + 1 + 1; 1 + 2; 2 + 1; 3), a proto s3 = 4. Výše uvedeným rekurentním vzorcem zjistíme, že s4 = 4 + 2 + 1 = 7, s5 = 7 + 4 + 2 = 13, s6 = 13 + 7 + 4 = 24 a s7 = 24 + 13 + 7 = 44. Nejnižší n, pro které je n · sn větší než 256, je 7 (7 · 44 = 308). Úseky mezi odpočívadly jsou stejně dlouhé, musí tedy počet schodů mezi odpočívadly dělit celkový počet schodů. Nejbližší vyšší dělitel čísla 256 je osmička. Úseky mezi odpočívadly jsou dlouhé osm schodů a samotných odpočívadel je 31. Na závěr ještě rozeberu možnost, kterou autor neměl při zadávání příkladu na mysli, nicméně i tak si bylo možno zadání vyložit. Pokud mezi zemí a prvním odpočívadlem a také mezi posledním odpočívadlem a vrcholem může být libovolný počet schodů, potom je n = 7 a odpočívadel je 37 s poznámkou, že na první a poslední úsek schodů zbývá rozdělit 4 schody. Komentář: Vzorové řešení je velmi elegantní, toto řešení poslali Mirek Klimoš a Miroslav Olšák. Pěti body jsem hodnotil i pokud jste rozebírali součty pro jednotlivé dělitele čísla 256, což poslala většina ostatních. 16 Úloha č. 7 Zadání úlohy se dalo pochopit dvěma způsoby. První možnost předpokládala, že se šíp do prsou zabodne kolmo. Pak bylo nutné spočítat, jak velká část zůstane mimo tělo a jak dlouhý stín bude vrhat. Situace je nakreslená na levém obrázku, kde bod O je oko, bod L jsou letky šípu a H je místo, kam pse šíp zabodl. √ Pak podle Pythagorovy věty platí: |LH| = |OL|2 − |OH|2 = 252 − 132 = √ . = 456 = 21,35 p. Délku stínu vypočteme pomocí podobnosti trojúhelníků. Protože s 35 předmět vysoký 2,5 m má stín dlouhý 35 m, platí vztah √456 , kde s je délka = 2,5 √ 35· 456 . stínu šípu. Máme s = 2,5 = 298,96 palců. Výsledek je v palcích, neboť poměr podobnosti je stejný jak v palcích tak v metrech. V tomto případě tedy stín bude dlouhý asi 299 palců. L L 25 30 O 13 25 v H H 13 O a P Druhý způsob pochopení úlohy spočíval v tom, že se šíp nezabodne do těla, že zůstane jen „přilepenÿ. Tato varianta byla zamýšlena jako skutečné zadání úlohy a také je těžší než předchozí případ. Nyní jde o to, spočítat jednu z výšek trojúhelníku o stranách 13, 25, 30. Situace je načrtnuta na pravém obrázku. Označme |LP | = v, |P O| = a. Pak podle Pythagorovy věty pro trojúhelníky LP H a LP O platí v 2 = 302 − (13 + a)2 a v 2 = 252 − a2 . Porovnáním pravých stran máme 252 − a2 = 302 − (13 + a)2 , 252 − a2 = 302 − 132 − 26a − a2 , 26a = 302 − 132 − 252 , 53 . 106 = = 4,08. a= 26 13 q ¡ 53 ¢2 . √ 252 − 13 Z první rovnice vypočteme v: v = 252 − a2 = = 24,67 p. Podobně jako v první části vypočteme délku stínu s, který vrhá předmět vysoký v palců, je 17 . to s = 35v = 345,31 palců. Ale musíme si uvědomit, že toto je délka stínu předmětu, 2,5 který je kolmý k zemi. V zadání úlohy je řečeno, že šíp směřuje na východ a slunce svítí ze západu. L Z V v H 13 O a P s Podle obrázku je tedy délka stínu šípu rovna součtu délek s + |HP | = s + 13 + a, po dosazení je to asi 362,39 palců. #1.23&'20.+0)45-%-60*)+"789:=-./%0;< Komentář: Pokud jste úlohu pochopili jedním z uvedených způsobů, dávala jsem za správné řešení plný počet bodů. Vyskytli se i řešitelé, kteří spočítali pouze délku stínu šípu, který byl kolmý k zemi, ale nezabodl se. Tato řešení jsem ohodnotila jedním bodem. Úlohy šesté série opravovali a komentáře sepsali: 1. a 6. Ondřej Honzl, 2. Jan Blažek, 3. Eva Černohorská, 4. a 7. Lenka Burešová, 5. Petr Škovroň. Celkově 1. 2. 3. 4. 5.–6. 10.–11. V roč. 1. 2. 3. 4. 1. 5. 2. 3. 6. 7.–8. 12. 13. 14. 4. 5. 6. 7. 8.–9. Jméno a příjmení Hana Bílková Karolína Rezková Petr Motloch Lucie Mohelníková Jan Bílek Josef Tkadlec Miroslav Olšák Martina Vaváčková Jakub Töpfer Miroslav Klimoš Hana Šormová Jakub Klemsa František Steinhauser Lada Peksová Roč. a škola 9. GFPR 9. GVOP 9. GPBM 9. GEOP 8. GVPP 9. GJKP 8. OGBP 8. GPCT 9. GJKP 9. GLAN 9. GKJB 8. GJVK 8. ZSTR 8. GCDP 18 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 5 5 5 4 5 5 5 3 2 3 5 3 5 5 1 5 5 3 3 1 5 5 5 1 1 4 5 5 5 5 5 5 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 4 5 5 4 5 5 3 2 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 7 4 5 5 5 4 4 4 4 5 5 1 5 0 30 30 29 30 28 27 27 21 29 20 30 27 26 20 180 179 174 173 170 170 169 168 168 167 167 162 161 159 Celkově 15. 16.–17. 18. 19. 20. 21.–22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.–30. 31.–32. 33.–34. 35. 36.–37. 38.–39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.–47. 48. 49. 50. 51. 52. 53.–54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.–62. V roč. 7. 1. 9. 10. 2. 3. 4. 11. 8. 9. 1. 10. 12. 13. 5. 14. 6. 15. 16.–17. Jméno a příjmení Jan Laksar Zdislava Šrůtková Lukáš Cimpl Ondřej Heneberk Roberto Nájares Jiří Biolek Alena Bušáková Helena Pučelíková Michal Kozel Jaroslav Mandík Dominik Steinhauser Marek Strečko Mirka Dřínková Pavel Veselý Hana Mlnaříková Jan David Jan Veselý Petr Hons Petr Kaděra Blanka Némethová 2. Vladimír Biolek 7. Petr Tampír 11. Karel Kovářík 8. Zbyněk Šanda 18. Susan Müllerová 12. Veronika Paštyková 9. Václav Fiala 10. František Růžička 19. Monika Gattnarová 11. Petr Pecha 12. Jonáš Erlebach 13.–14. Kristina Chrastilová Kateřina Rulfová 13. Edita Pelcová 20. Jan Vaňhara 21. Jan Lochman 14. Marcel Ramdan 22. Eva Erlebachová 15. Vít Škoda 15. Lukáš Tomaszek 16. Lenka Havelková 23. Karolína Kripnerová 24. Martin Šubr 25. Pavla Zárubová 3. Eliška Jurková 17. Jakub Chmelík 16.–17. Andrea Jelínková Veronika Pazderová Roč. a škola 8. ZHOL 7. GPEL 9. GFPR 9. GBNH 7. GNKP 7. ZEKF 7. GTRU 9. GMIL 8. ZHBJ 8. GJVK 6. ZSTR 8. ZWZH 9. GJKP 9. ZDST 7. GRPR 9. GVOZ 7. ZDST 9. GVOZ 9. GPBM 9. GMKR 6. ZEKF 7. GPEL 8. GJVK 7. ZAKL 9. GVOZ 8. ZZKH 7. GPEL 7. GNJH 9. GEBH 7. ZVKL 7. GSGJ 8. CGKV 8. GHPP 7. ZKVM 9. GLJH 9. GNOB 7. AGKP 9. GSGJ 7. GPEL 8. ZPMH 7. GTRU 9. AGKP 9. GNOB 9. ZPMM 6. GFPR 7. GNKP 8. GJVK 8. GHPP 19 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 - 2 2 4 5 4 5 5 3 3 4 4 5 1 1 1 2 - 3 3 1 3 3 5 3 5 1 1 4 1 5 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 4 1 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 2 5 5 - 5 4 3 5 3 5 3 5 3 4 4 2 1 5 4 5 2 5 3 2 4 2 5 - 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 2 5 5 5 5 5 5 5 0 0 5 - 7 5 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 4 5 5 5 1 1 5 1 4 5 2 0 1 1 5 - ;< 24 26 30 27 30 28 19 0 28 26 23 20 0 0 23 12 0 0 29 0 28 24 26 8 0 22 0 20 12 14 14 0 7 0 2 0 15 12 13 23 0 5 0 0 0 0 0 0 158 154 154 153 148 146 142 142 140 139 138 136 135 132 131 131 129 129 127 127 124 122 122 118 118 116 115 114 112 111 110 108 108 107 105 102 100 99 98 98 95 93 90 89 87 86 85 85 Celkově 63.–64. 65.–66. 67.–68. 69. 70. 71. 72. 73. 74.–75. 76. 77.–78. 79. 80. 81.–83. V roč. 18. 26. 4. 18. 19. 27. 20. 28. 21. 19. 20. 5. 22. 23. 29.–30. 84. 85. 86.–87. 1. 24. 1. 21. 31. 22. 25. 26.–27. 88.–89. 28.–29. 90. 91.–92. 6. 23. 32. 93.–95. 2. 7. 33. 96. 8. 97.–98. 30. 34. 99.–100. 24. 31. 101. 32. 102. 9. 103. 25. 104.–106. 10. 26. 33. 107.–108. 27.–28. 109. 34. 110.–112. 35.–37. Jméno a příjmení Lucie Sezemská Jaroslava Salášková Alžběta Štěpánková Jan Adamus Tomáš Střeleček Vojtěch Kaluža Antonín Štěpán Karel Slapnička Barbora Svobodová Jan Holý Eva Matějová Miroslava Ptáčková Lucie Slavníková Filip Braun Michael Hájek Šárka Křížková Jan Doubrava Lucie Šlemrová Pavel Vampola Jan Cielecký Karel Lockenbauer Barbara Bártková Anna Lorencová Evženie Belyaeva Filip Edelman Jaroslav Seifert Stanislaw Terziev Jiří Šmíd Kristýna Pustková Karel Pajskr Erik Hošman Marie Čiháková Katarína Baxová František Wolf Martin Králík Lenka Švidrnochová Veronika Šimíková Dominik Andreska Miroslav Kubík Václav Kaděra Martin Židek Kristýna Ulrychová Helena Dobešová Kristýna Drápalová Denisa Lipinová Kristýna Vávrová Štěpánka Burešová Kateřina Burešová Roč. a škola 8. AGKP 9. GLPP 6. ZMFM 7. ZMFM 8. GBNH 9. GPBM 8. ZKVM 9. ZKKR 8. ZCVP 7. ZZEJ 7. ZMFM 6. GOVK 8. GHPP 8. GNKP 9. PGLB 9. GBNH 5. ZVDB 8. GHPP ?. ? 7. ZMFM 9. ZHBJ 7. ZMFM 8. GJVK 8. ZCVP 8. ZCRO 8. ZZBR 8. GNKP 6. ZMFM 7. ZMFM 9. GJKP ?. ? 6. GOAS 9. ZDHT 6. GPOD 8. LSGL 9. GEOP 7. ZMFM 8. AGKP 8. ZKVM 6. ZMFM 7. ZOTO 6. GNKP 7. GVMN 8. AGKP 7. ZMFM 7. ZMFM 8. GHPP 8. GHPP 20 1 4 5 4 5 5 4 5 5 5 5 5 2 1 5 - 3 1 1 3 1 4 3 4 4 4 - 5 2 2 4 - 6 5 0 5 - 7 1 0 0 5 5 5 - ;< 0 16 0 9 0 0 4 0 0 6 0 9 0 0 0 0 4 11 0 0 14 10 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 78 78 77 77 76 76 75 74 73 71 70 69 69 65 63 63 58 56 55 55 55 54 53 51 51 50 50 49 48 48 47 47 47 45 44 44 41 41 40 39 38 35 35 35 34 34 32 31 Celkově V roč. Jméno a příjmení 110.–112. 35.–37. Lukáš Herma Petr Ullmann 113. 38. Dominika Žáková 114.–115. 11. Stanislav Veverka 29. Kristýna Pavlásková 116. 12. Barbora Fidlerová 117.–118. 13. Jiří Wolf 30. Jakub Kolčář 119.–122. 31. Aneta Mrkvičková 39.–41. Veronika Černínová Miroslav Machálek Barbora Náhlíková 123.–124. 42. Eliška Holubová 35. Jakub Šafránek 125. 36. Radim Štěpaník 126.–129. 14. Zuzana Červenková 32.–33. Petr Horina Veronika Šilhavá 43. Aleš Mikšík 130.–134. 3. Jiří Hájek 44.–46. David Hanousek Jiří Stuchlík Kateřina Švarcová 37. Martin Blatský 135.–140. 4. Jakub Prokop 15.–16. Petra Neužilová Petra Štefanová 34. Patrik Růžek 47. Monika Traubová 38. Zuzana Šmilauerová 141.–143. 35.–37. Jakub Prášil Klára Tomková Tomáš Valíček 144.–149. 5. Eva Kajumová 17.–18. Miroslav Navrátil Tomáš Ondruf 38.–39. Lada Jokešová Ondřej Pavelka 39. Eva Vondrášková 150. 6. Jan Zelda 151.–154. 40. Tereza Gabajová 48.–49. Alice Navrátilová Pavel Suchánek 40. Petr Dongres 155.–160. 41.–42. Tomáš Pecold Tomáš Trávníček 50. Lucie Šimková 41.–43. Radana Havrdová Roč. a škola 8. GNKP 8. GJVK 8. AGKP 6. GOKH 7. ZMFM 6. GNKP 6. ZOTO 7. ZMFM 7. ZMFM 8. ZOTO 8. LSGL 8. LSGL 8. AGKP 9. ZDST 9. ZDST 6. GNKP 7. ZMFM 7. AGKP 8. ZKUO ?. ? 8. ZZBR 8. ZKVM 8. GJVK 9. ZDST ?. 6. GOAS 6. GNKP 7. ZMFM 8. ZCVP 9. AGKP 7. ZMFM 7. ZMFM 7. ZPOD ?. ? 6. GEOP 6. ZOTO 7. ZMFM 7. ZMFM 9. ZDST ?. ? 7. ZDST 8. ZKVM 8. GFZB 9. ZCRO 7. ZMFM 7. ZMFM 8. ZWZH 9. ZDST 21 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - ;< 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 31 30 29 29 27 26 26 25 25 25 25 24 24 23 21 21 21 21 20 20 20 20 20 19 19 19 19 19 19 18 18 18 17 17 17 17 17 17 16 15 15 15 15 14 14 14 14 Celkově V roč. Jméno a příjmení 155.–160. 41.–43. Filip Koubek Jiří Zárevúcký 161.–169. 19.–20. Eva Horecká Petra Pavlovcová 43.–46. Lucie Martinková Barbora Peterová Matouš Turek Simona Volníková 44.–46. Marek Holub Lucie Chybová Jan Mareš 170.–173. 21. Štěpán Jílka 47. Natálie Koloničná 51. Pavla Housková 47. Hana Slivoňová 174.–177. 48. Markéta Foltýnová 52.–54. Petr Pelc Martina Štincíková Vlastimil Vávra 178.–185. 22. Oldřich Kodym 49.–53. Jiří Jílek Jakub Prokop Jan Šmolík Vojtěch Štajger Václav Vild 48.–49. Michaela Fišerová Ondřej Potužník 186.–189. 23. Lucie Kupsová 54. Lucia Pacherová 55. Otto Čada 50. Patrik Zacharda 190.–197. 24. Veronika Šiková 55. Tereza Cachová 56.–59. Tereza Blažková Petr Hofman Tomáš Hoření Zdislava Paďourová 51.–52. Kateřina Brožáková Adéla Lávičková 198.–203. 56.–57. Jan Kavalír Pavel Novák 60. Ondřej Hýbl 53.–55. Vojtěch Gráf Karel Hanisch Blanka Kůtová 204.–208. 25.–26. Jiří Novák Petra Švagrová 58.–59. Vítězslav Kavka Roč. a škola 9. ZDST 9. ZPIM 6. ZMFM 6. ZSCL 7. ZPIM 7. ZMFM 7. ZMFM 7. ZMFM 9. ZDST 9. GPMB 9. ZDST 6. GEOP 7. ZPIM 8. GJPM 9. ZDST 7. ZMFM 8. ZCRO 8. ZCRO 8. LSGL 6. GEOP 7. ZCRO 7. ZMFM 7. ZCRO 7. ZMFM 7. ZCRO 9. ZDST 9. ZDST 6. ZMFM 7. ZCRO 8. ZDST 9. ZDST 6. GOAS 7. AGKP 8. ZCRO 8. ZCRO 8. ZHBJ 8. LSGL 9. ZDST 9. ZDST 7. ZCRO 7. ZMFM 8. LSGL 9. GFPR 9. ZDST 9. ZDBR 6. ZMFM 6. GOAS 7. ZMFM 22 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - ;< 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 Celkově V roč. 204.–208. 58.–59. 61. 209.–218. 27.–29. 60.–61. 62.–63. 56.–58. 219.–224. 30. 62. 64.–66. 59. 225. 63. 226.–229. 31.–32. 67.–68. 230.–231. 33.–34. 232.–241. 2. 35.–37. 69.–70. 60.–63. Jméno a příjmení Jan Zich Jan Červinka Karolína Krajdlová Žofie Nedbalová Daniela Šeflová Jakub Jirásek Johana Vraštilová Jan Kalát Jakub Kalista Filip Machus Pavel Rejžek Zuzana Vlčková Veronika Karásková Barbora Mrázová Jan Hobl Jana Svěchotová Petra Vanduchová Edita Cestrová Kateřina Mužíková Renáta Koutenská Olga Matějková Radek Herold Marek Vild Bára Pospíšilová Alena Ševčíková Eliška Konopková Petra Beránková Markéta Vondráková Jan Votýpka Kateřina Macháčková Jáchym Šenkyřík Michaela Hňoupková Kateřina Holubová Petra Lincová Lucka Vokounová Roč. a škola 7. ZCRO 8. ZZBR 6. GEOP 6. AGKP 6. ZCRO 7. ZCRO 7. ZCRO 8. LSGL 8. ZCRO 9. ZDST 9. ZDST 9. GFPR 6. ZMFM 7. ZKNS 8. ZCRO 8. ZCRO 8. ZKVM 9. ZCRO 7. ZKNS 6. ZSCL 6. ZCRO 8. ZCRO 8. ZCRO 6. GNKP 6. ZCRO 5. ZSCL 6. ZSCL 6. ZKVM 6. ZCRO 8. LSGL 8. ZCVP 9. ZSCL 9. ZSCL 9. ZSCL 9. ZSCL 23 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - ;< 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 #>.&+20&> ; ?$)*(2 První sloupec ve výsledkové listině udává celkové pořadí řešitele ve 20. ročníku Pikomatu MFF UK, druhý sloupec pak pořadí redukované na řešitele v příslušném ročníku školní docházky (což umožňuje lépe porovnávat stejně staré řešitele mezi sebou). Školy jsou uvedeny kódy. Sloupce označené číslicemi 1 až 7 udávají počet bodů získaný za jednotlivé úlohy, ve sloupci označeném je pak celkový počet bodů, které řešitel za celý rok získal. GRPR Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm GSGJ Gymnázium a sportovní gymnázium Jilemnice GTRU Gymnázium Trutnov GVMN Gymnázium V. Makovského Nové Město na Moravě GVOP Gymnázium Voděradská Praha 10 GVOZ Gymnázium Volgogradská Ostrava-Zábřeh GVPP Gymnázium Na Vítězné pláni Praha 4 LSGL Letohradské soukromé gymnázium Letohrad OGBP Osmileté gymnázium Buďánka Praha 5-Smíchov ZAKL 1. ZŠ Kladno ZCRO ZŠ Čechova Rokycany ZCVP ZŠ Červený vrch Praha 6 ZDBR ZŠ Dolní Břežany ZDST ZŠ Dukelská Strakonice ZEKF 5. ZŠ El. Krásnohorská Frýdek-Místek ZHBJ 1. ZŠ Husovo nám. Benátky n. J. ZKKR ZŠ Komenského Kralupy n. V. ZKNS ZŠ J. A. Komenského Nové Strašecí ZKUO ZŠ Komenského Ústí nad Orlicí ZKVM ZŠ Valašské Meziříčí ZMFM 1. ZŠ Petra Bezruče Frýdek-Místek ZOTO ZŠ Otická Opava ZPIM 6. ZŠ Pionýrů Frýdek-Místek ZPMH ZŠ 1. máje Havířov ZPOD ZŠ Podivín ZSCL ZaMŠ Skalice u České Lípy ZVKL ZŠ Valašské Klobouky ZVDB ZŠ Vedlejší Brno ZWZH ZŠ Zlaté Hory ZZBR ZŠ Zbraslavice ZZEJ 4. ZŠ Železnická Jičín AGKP Arcibiskupské gymnázium Praha 2 CGKV První české gymnázium Karlovy Vary GBNH Gymnázium Boženy Němcové Hradec Králové GCDP Gymnázium Christiana Dopplera Praha 5-Smíchov GEBH Gymnázium dr. Edvarda Beneše Hlučín GFPR Gymnázium Frenštát pod Radhoštěm GFZB Gymnázium Fr. Živného Bohumín GEOP Gymnázium Čs. exilu Ostrava-Poruba GHPP Gymnázium Chodovická Praha 9-Horní Počernice GJKP Gymnázium Jana Keplera Praha 6 GJPM Gymnázium J. Palacha Mělník GJVK Gymnázium J. Vrchlického Klatovy GKJB Gymnázium kpt. Jaroše Brno GLAN Gymnázium Lanškroun GLJH Gymnázium Ladislava Jaroše Holešov GLPP Gymnázium L. Pika Plzeň GMIL Gymnázium Milevsko GMKR Gymnázium Moravský Krumlov GNJH Gymnázium Vítězslava Nováka Jindřichův Hradec GNKP Gymnázium Nad Kavalírkou Praha 5-Košíře GOAS GOA Sedlčany GOKH Gymnázium Jiřího Ortena Kutná Hora GPCT Gymnázium Pierra de Coubertina Tábor GPEL Gymnázium Pelhřimov GPBM Gymnázium Petra Bezruče Frýdek-Místek GPMB Gymnázium J. Pekaře Mladá Boleslav 24