Varovny vystrel

KMA/MM
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE
Matematický model chování kulky při
varovném výstřelu do vzduchu
Jméno: Tomáš Vomáčka
Studijní číslo: A06057
Datum odevzdání: 29. 1. 2007
e-mail: [email protected]
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
1. Úvod
Varovný výstřel představuje prostředek, využívaný zejména armádami a policií většiny, nebo
všech zemí světa, jímž si ozbrojená osoba snaží vynutit pozornost druhých, nebo je přimět
k vykonání (popř. naopak nevykonání) nějaké akce. Jako takový je varovný výstřel používán
minimálně již od 18. století, kdy představoval výzvu jedné lodě ke druhé, aby se tato
identifikovala vyvěšením vlajek.
O tom, že se jedná o prostředek široce uznávaný a schvalovaný svědčí mj. i §50
zákona č. 333/1991 Sb., o Federálním policejním sboru a Sboru hradní policie:
§ 50
Použití varovného výstřelu do vzduchu
Varovný výstřel do vzduchu je policista oprávněn použít jen v případech, ve kterých je
oprávněn použít zbraně.
Situace, ve kterých je policista oprávněn použít zbraň zpracovává §51 téhož zákona, nicméně
pro podstatu řešeného problému nehraje daná situace velkou roli.
Představme si nyní situaci, ve které policista použije z libovolného legálního důvodu
zbraň a vystřelí varovný výstřel do vzduchu. Může dojít ke zranění civilní osoby, jiného
policisty, nebo k poškození majetku padající kulkou? Analogickou situaci může představovat
vypjatá situace v oblasti válečného konfliktu – armáda může použít varovné výstřely do
vzduchu např. k rozehnání davu demonstrantů apod. Vzhledem k tomu, že jak policista, tak i
voják v této situaci očekávají potenciální nutnost použití zbraně ke zneškodnění protivníka,
nelze očekávat, že budou mít nabito nesmrtícími projektily. Po varovném výstřelu do vzduchu
se tedy v oblasti ocitnou kulky, o kterých nikdo neví kam a kdy dopadnou a zda mohou
někoho zranit či zabít.
Otázka, kterou si klademe za úkol vyřešit tedy zní – je varovný výstřel do vzduchu pro
své účely bezpečnou metodou? Odpověď na tuto otázku lze najít pomocí metod externí
balistiky.
Externí (vnější) balistika
Věda zkoumající dráhy střel ve vzduchu a děje, které mohou ovlivnit jejich pohyb.
2. Reálná situace
Poté, co střela opustí ústí hlavně pohybuje se po dráze, jejíž trajektorie je označována jako
balistická křivka. Na pohyb střely vzduchem přitom působí řada jevů, z nichž některé budou
v rámci aproximace zanedbány. Na tomto místě je také třeba zmínit, že veškerý další text se
bude zabývat pouze takovými typy střeliva, které se při opuštění hlavně dále nedělí na menší
části (tzn. náboji používanými ve zbraních s hlavní opatřenou vývrtem a nikoliv náboji pro
brokovnice).
Vzhledem k tomu, že moderní střelné zbraně používají ke stabilizaci kulky její roztočení
podle podélné osy pomocí vývrtu hlavně, je pohyb kulky vzduchem poměrně složitý. Kulka
se tedy vykonává pohyb nejen po své trajektorii, ale i poměrně složitý pohyb kolem svého
těžiště. Tento pohyb lze rozdělit na několik složek (viz obr. 1):
1) rotační pohyb střely kolem její podélné osy – tento pohyb je způsoben tím, že je
vnitřní strana hlavně opatřena vývrtem, jehož jediným účelem je střelu takto roztočit.
1
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
Rotace kolem podélné osy dodává střele stabilitu – střela se pak chová jako setrvačník
a při působení cizí síly se nevychyluje ve směru této síly, ale kolmo na něj.
2) podélná osa střely opisuje kuželovou plochu, jejíž osa leží ve směru posuvného
pohybu střely (tzv. precese). Precesi způsobuje fakt popsaný v odstavci výše –
vzhledem k tomu, že se střela vychyluje kolmo ke směru působící síly, opisuje její
podélná osa právě kuželovou plochu.
3) kmitání střely kolem neustále se měnící příčné osy (tzv. nutace)
4) otočný pohyb kolem horizontální příčné osy
Obr. 1: Pohyb kulky po opuštění hlavně (obr. přejat z [1])
Kromě těchto vlivů působí na střelu i další (především atmosférické) vlivy. Dráha
střely se proto bude například lišit podle nadmořské výšky, ve které je střela vypuštěna, podle
aktuálního počasí (srážky s kapkami deště mohou ovlivnit dráhu střely poměrně výrazně),
nebo podle velikosti a směru případného větru. Dále samozřejmě na střelu působí síly
související s tím, že se střelec nachází na povrchu Země – gravitace a Coriolisova síla.
Na chování kulky bude mít pravděpodobně vliv také fakt, že se kulka nemusí po
dosažení vrcholu své trajektorie dále pohybovat stejně jako doposud – tedy špičkou napřed.
Kulka se může během pádu např. obrátit dnem napřed – tato poloha je v případě kulky stejně
stabilní jako poloha špičkou napřed, což dokazuje fakt, že se kulka při zásahu překážky do
této polohy obrátí. Tento jev má potom samozřejmě vliv na aerodynamické vlastnosti kulky.
3. Výpočet dráhy střely
Pro výpočet dráhy střely je vhodné považovat pohybující se střelu za hmotný bod, pohybující
se ve vertikální rovině. Potom je pohyb střely definován působením dvou sil – tíhové síly
(působící svisle dolů) a síly vyvolané odporem prostředí (působící vždy proti směru letu
střely) – viz obr. 2.
Pohyb střely potom můžeme vyjádřit rovnicí (viz obr. 2):
F
a = v = w − G
(3.1)
m
2
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
kde síla Fw reprezentuje odpor vzduchu (viz kap. 3.1), m vyjadřuje hmotnost kulky
G = [ 0, g ] představuje vektor tíhového zrychlení.
Obr. 2: Rozložení sil působících na pohybující se střelu (přejato z [1])
3.1 Odpor vzduchu působící na letící kulku
3.1.1 Normální atmosféry
Pro účely balistických výpočtů se definují tzv. normální atmosféry (standardní atmosféry) –
jedná se o aproximace atmosférických podmínek s pevně stanoveným průběhem tlaku a
teploty. Nejpoužívanější normální atmosféru definovala mezinárodní organizace civilního
letectví (International Civil Aviation Organisation – ICAO). Tato normální atmosféra je tedy
označována jako atmosféra ICAO. Více o normálních atmosférách a agentuře ICAO lze najít
v literatuře – [2], [3]. Atmosféra ICAO předpokládá, že pokles teploty atmosféry závisí
lineárně na vzdálenosti od povrchu Země. Vycházíme-li tedy z předpokladu, že pokles teploty
je lineární, lze spočítat atmosférický tlak v dané výšce s použitím následujícího vzorce:
−
g
⎛ T + γ ⋅ y ⎞ R⋅γ
(3.2)
p ( y ) = p y = p0 ⋅ ⎜ 0
⎟
⎝ T0
⎠
Získaný tlak lze potom použít pro výpočet hustoty vzduchu:
p
ρ=
(3.3)
R ⋅T
p0 představuje atmosférický tlak ve vztažné výšce, T0 teplotu ve vztažné výšce v Kelvinech, T
teplotu v Kelvinech ve výšce, ve které chceme vypočítat hustotu vzduchu, γ teplotní gradient
(tj. koeficient definující lineární závislost poklesu teploty v závislosti na svislé vzdálenosti od
vztažné výšky), g je tíhové zrychlení a R označuje specifickou plynovou konstantu (závislou
na chemickém složení plynu).
Veličina Hodnota dle atmosféry ICAO
p0
1013,25 mb
T0
288,15 K
-6,5·10-3 K·m-1
γ
287,05 J·kg-1·m-3
R
y0
0 m n. m.
Tab. 1: Velikosti veličin používaných atmosférou ICAO
3
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
3.1.2 Odpor vzduchu
Abychom mohli stanovit dráhu střely, je potřeba vědět, jakou silou na ni během letu působí
okolní prostředí. V principu lze tuto sílu vypočítat jako součin tlaku působícího na střelu a
vztažné plochy odpovídající této střele. Jako vztažnou plochu používáme pro účely
balistických výpočtů obvykle příčný průřez střely. Odpor dynamického tlaku potom
vypočítáme ze vzorce:
1
Fs = ρ ⋅ v 2 ⋅ A
(3.4)
2
kde ρ označuje hustotu vzduchu, v rychlost střely a A vztažnou plochu střely. Skutečný odpor
střely potom vyjádříme z poměru mezi odporem dynamického tlaku a skutečným odporem
střely:
F
cw = s
(3.5)
Fw
cw vyjadřuje součinitel odporu vzduchu. Z uvedených vzorců tedy získáme vztah pro výpočet
skutečného odporu střely:
1
Fw = cw ⋅ Fs = cw ⋅ ρ ⋅ v 2 ⋅ A
(3.6)
2
Rozložení působení tlaku, stejně jako plocha, na níž tlak působí, závisejí do značné míry na
tvaru střely a rychlosti obtékání. Tyto závislosti se promítají i do hodnoty součinitele odporu
vzduchu, který je tak funkcí tvaru střely a Machova čísla střely (Machovo číslo vyjadřuje
poměr mezi rychlostí střely a rychlostí zvuku) – pro různé tvary střely bude mít tedy funkce
cw = cw (vMach ) různé průběhy – viz obr. 3.
Obr. 3: Závislost cw na Machově čísle střely pro různé typy střel
4
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
3.1.3 Rychlost zvuku
Při výpočtech drah střel, které se po celou dobu svého letu pohybují v relativně konstantní
vzdálenosti od zemského povrchu (tzv. střely s plochou dráhou letu) lze rychlost zvuku za
účelem výpočtu Machova čísla střely považovat za konstantní. Avšak v případě varovného
výstřelu do vzduchu - tedy v případě, kdy kulka během svého letu překoná dosti značné
převýšení, je potřeba určit závislost rychlosti zvuku ve vzduchu na nadmořské výšce.
Rychlost zvuku závisí na médiu, ve kterém se zvuk šíří (je známým faktem, že zvuk se
šíří rychleji např. v oceli nebo ve vodě, než ve vzduchu), ale také na vlastnostech tohoto
média (zejména potom na jeho teplotě). Jediné médium, kterým má smysl se v našem zabývat
je tedy vzduch. Vzhledem k tomu, že atmosféra ICAO považuje vzduch za ideální plyn,
můžeme prohlásit, že jediným faktorem, který významnou měrou ovlivní rychlost zvuku ve
vzduchu je jeho teplota. Vliv vlhkosti vzduchu na rychlost šíření zvuku můžeme prohlásit za
zanedbatelnou a vzhledem k tomu, že vzduch považujeme za ideální plyn, se vliv hustoty
vzduchu a atmosférického tlaku na rychlost zvuku vzájemně vyruší – viz [4].
Díky použitým aproximacím můžeme tedy stanovit vzorec pro výpočet rychlosti
vzduchu v závislosti na teplotě vzduchu (viz [4]):
c = 331,5 + ( 0, 6 ⋅ ϑ ) m ⋅ s −1
(3.7)
kde ϑ je teplota vzduchu ve °C.
3.3 Pohybové rovnice pro výpočet dráhy střely
Po dosazení vztahu pro výpočet skutečného odporu střely (3.6) do rovnic (3.1) získáme
následující systém diferenciálních rovnic:
dv
d 2r
1
ax = x = 2x = −
cw ⋅ ρ ⋅ vx2 ⋅ A
dt
dt
2m
(3.8)
dv y d 2 ry
1
2
= 2 =−
ay =
cw ⋅ ρ ⋅ v y ⋅ A − g
dt
dt
2m
kde vx , v y jsou jednotlivé složky rychlosti v = ⎡⎣vx , v y ⎤⎦ , A vztažná plocha kulky (rovná jejímu
příčnému průřezu), ρ = ρ ( y ) je hustota vzduchu závislá na nadmořské výšce a
cw = cw ( v , y ) je součinitel odporu vzduchu v závislosti na rychlosti pohybu kulky a výšce,
v níž se kulka nachází.
Při výpočtech plochých drah střel lze získané vztahy dále zjednodušovat (obzvláště
potom v případě, kdy se střela pohybuje na natolik krátké vzdálenosti, že nedochází
k významnému poklesu její rychlosti), ale v případě střelby téměř kolmo vzhůru již další
úpravy provést nelze.
4. Výsledky experimentálních výpočtů
Se získaným matematickým modelem jsem provedl experimenty pro tři nejobvyklejší situace
– modelovou situaci jsem zvolil tak, že střelec vypustí střelu z hlavně pod úhlem 0,48π,
přičemž ústí hlavně se nachází 2m nad úrovní terénu (která je v tomto případě shodná s úrovní
hladiny moře). Tab. 2 potom ukazuje hodnoty dosazené do matematického modelu a získané
výsledky. Zobrazené výsledky byly získány implementací navrženého matematického modelu
v systému Matlab 7.
5
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
Označení střeliva
Typ zbraně
Hmotnost
Úsťová
kulky
rychlost kulky
(g)
(m·s-1)
9mm Luger
pistole Glock 17
7,45
359,66
7.62x39mm
puška AK-47
7,97
716,28
5.56x45mm
puška M16
5,18
930
Tab. 2: Porovnání úsťové a dopadové rychlosti různých typů kulek
Dopadová
rychlost
(m·s-1)
353,13
680,32
900,35
Dopadová
vzdálenost
(m)
410
880
1200
9mm Luger
Tento typ střeliva, známý též pod označením 9mm Para, nebo
9x19mm, je používán mj. ve zbraních typu Glock17, které využívá
Policie ČR. Více podrobností o tomto typu střeliva lze nalézt
v literatuře – např. [5]. Obr. 4a ukazuje průběh dráhy vystřelené kulky.
vˆ
353,13
= 0,9818
Poměr dopadové a úsťové rychlosti střeliva: 0 =
v0 359, 66
7.62x39mm
Střelivo, známé také pod označením .30 Short Russian, 7.62x54R,
nebo 7.62 mm ComBloc je používané zejména v zemích bývalé
Varšavské smlouvy (tedy i v Armádě ČR). Jedná se o střelivo
využívané v útočných puškách typu AK-47 (Kalašnikov) a zbraních
na ní založených. Obr. 4b ukazuje průběh dráhy vystřelené kulky
tohoto typu. Další informace o střelivu poskytuje literatura – např. [6].
vˆ
680,32
Poměr dopadové a úsťové rychlosti střeliva: 0 =
= 0,9491
v0 716, 28
5.56x45mm NATO
Tento typ munice, odvozený (ne zcela zaměnitelný) z munice typu .223 Remington
představuje standardní střelivo užívané jednotkami NATO. Střelivo je tedy využíváno
např. americkými jednotkami v Iráku jako munice např. karabin typu M16 (potažmo
zbraní z ní odvozených). Další informace o tomto střelivu lze nalézt v literatuře – [7].
Na obr. 4c je znázorněn průběh dráhy vystřelené kulky tohoto typu.
vˆ 900,35
Poměr dopadové a úsťové rychlosti střeliva: 0 =
= 0,9681
v0
930
6
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
Obr. 4: Zobrazení trajektorií vystřelených kulek jednotlivých typů
7
Tomáš Vomáčka – Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu
5. Závěr:
Za použití odvozeného matematického modelu a uvedených vstupních hodnot jsem došel
k závěru, že varovný výstřel představuje potenciální riziko. I při relativně vysokém úhlu,
který při výstřelu svírá hlaveň zbraně se zemským povrchem, dochází k dopadu kulky velice
daleko od místa výstřelu. Rychlost, kterou kulka dopadá na zem se navíc příliš neliší od
rychlosti, se kterou opustila hlaveň zbraně při výstřelu.
Model se samozřejmě dopouští určitých zanedbání a nepřesností – zejména co se týče
atmosférických podmínek a vlivu počasí, nicméně ukazuje, že varovný výstřel, jakožto
nesmrtící donucovací prostředek někdy může totálně selhat a mít poměrně katastrofální, ne-li
přímo fatální, následky pro nezúčastněného člověka, který se nachází ve vzdálenosti řádově
kilometrů od místa výstřelu, nebo způsobit škody na majetku.
Bohužel výpočtem získané výsledky lze jen těžko verifikovat, jelikož se mi nepodařilo
dohledat zmínku o tom, že by se touto problematikou někdo zabýval na úrovni experimentu.
Navíc lze odhadnout, že samotné provedení takového experimentu by bylo poměrně náročné,
protože sledovat jednu kulku, která se od místa výstřelu může vzdálit na stovky metrů (v
případě ideálních povětrnostních podmínek) by s největší pravděpodobností šlo i s moderní
technikou jen velice obtížně.
Použitá literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
KNEUBUEHL, B. P., 2004. Balistika. Praha: nakladatelství NAŠE VOJSKO.
Standard conditions for temperature and pressure[online]. Wikipedia, the free
encyclopedia. K dispozici na adrese:
http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_conditions_for_temperature_and_pressure
ICAO – International Civil Aviation Organisation[online]. K dispozici na adrese:
http://www.icao.int/
Speed of Sound[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na adrese:
http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_sound
9mm Luger Parabellum[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na
adrese: http://en.wikipedia.org/wiki/9_mm_Luger_Parabellum
7.62x39[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na adrese:
http://en.wikipedia.org/wiki/7.62x39
8