Graph theory

Teorie graf·
Záv¥re£ná maturitní práce
Jan Dittrich
Gymnázium t°. Kpt. Jaro²e 14
Brno 2015
Prohlá²ení
Prohla²uji, ºe jsem svou práci vypracoval samostatn¥ a pouºil jsem pouze podklady (literaturu,
projekty, SW atd.) uvedené v seznamu v práci vloºeném.
Prohla²uji, ºe ti²t¥ná a elektronická verze práce jsou shodné.
Nemám závaºný d·vod proti zp°ístup¬ování této práce v souladu se zákonem £. 121/2000 Sb., o
právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o zm¥n¥ n¥kterých zákon· (autorský
zákon) v platném zn¥ní.
V ...................... dne ......................
podpis: ................................
Pod¥kování
D¥kuji Mgr. Petru Pupíkovi za ob¥tavou pomoc, podn¥tné p°ipomínky a neskonalou trp¥livost, kterou
p°isp¥l ke zdárnému vypracování této práce.
Abstrakt
Tématem této práce je teorie graf·, coº je pom¥rn¥ nové a výrazn¥ se rozvíjející odv¥tví matematiky. Cílem této práce je shrnout základní znalosti ohledn¥ teorie graf· a p°ípadn¥ motivovat £tená°e
k dal²ímu prohloubení znalostí o zmín¥ných problémech.
V první kapitole jsou zmín¥ny a regulérn¥ denovány v²echny nezbytné základy teorie graf·. Dále
jsou v ní také zmín¥ny n¥jaké zajímavé problémy, s nimiº se p°i práci s grafy £asto setkáváme.
Druhá kapitola popisuje barevné grafy a obsahuje d·kaz známého problému £ty° barev za pouºití
p¥ti barev.
Klí£ová slova
graf, isomorsmus, strom, eulerovský tah, barevnost, problém £ty° barev
Abstract
The topic of this paper is graph theory, which is a relatively new and very progressive part of
mathematics. Its aim is to summarize basic knowledge about graphs and possibly to motivate readers
to nd out more about stated problems.
All necessary basics of graph theory are stated and properly dened in the rst chapter. Some
interesting and often encountered graph problems are also mentioned.
The second chapter describes coloured graphs and contains proof of the famous four color theorem
using ve colors.
Key words
graph, isomorphism, tree, eulerian path, chromatic number, four color theorem
Obsah
1 Úvod do teorie graf·
6
1.1
Seznámení s grafem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
D·leºité grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Isomorsmus graf·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Podgrafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5
Souvislost, komponenty a vzdálenost
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6
Stupe¬ vrcholu a skóre grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7
Stromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8
Jednotaºky
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Barevnost graf· a problém £ty° barev
19
2.1
Barevnost grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Barvení map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Problém £ty° barev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Záv¥r
27
4
Úvod
Tato práce se, jak uº z názvu vyplývá, zabývá teorií graf·, tedy pom¥rn¥ mladou oblastí matematiky, která se ov²em na st°edních ²kolách p°íli² podrobn¥ neprobírá.
V první £ásti je budována pot°ebná teorie a zavád¥ny d·leºité pojmy z této oblasti matematiky.
Dále se v ní £tená° seznámí s n¥kolika zajímavými problémy, z nichº mnohé mají vyuºití i v jiných
oblastech lidské £innosti.
Ve druhé £ásti se potom rozebírá problém barevnosti graf·, obarvování graf· a slavný problém £ty°
barev.
Celý text je proloºen mnoºstvím obrázk· týkajících se dané problematiky, které by m¥ly £tená°i
pomoci ud¥lat si o zmi¬ovaných pojmech lep²í p°edstavu.
Jak uº bylo zmín¥no, teorie je budována od základ·, proto £tená° nepot°ebuje v podstat¥ ºádné
znalosti týkající se teorie graf·. Na druhou stranu je ale p°edpokládána alespo¬ základní znalost
st°edo²kolské matematiky, protoºe se v textu ob£as vyskytují pojmy z kombinatoriky nebo nap°íklad
z teorie mnoºin, které v n¥m nejsou denovány ani nijak podrobn¥ vysv¥tlovány.
5
Kapitola 1
Úvod do teorie graf·
V této £ásti práce si vysv¥tlíme, co to vlastn¥ graf je, n¥jaké zajímavé grafy si ukáºeme a také se
podíváme na n¥kolik d·leºitých pojm· v teorii graf·.
1.1 Seznámení s grafem
V mnoha oblastech lidské £innosti je £asto výhodné znázornit ur£ité relace pomocí n¥jakých schémat.
Ty se sestávají z bod·, které mohou a nemusí být spojeny rovnými i k°ivolakými £árami.
P°íkladem t¥chto bod· mohou být nap°íklad m¥sta nebo t°eba lidé na ve£írku, £áry potom budou
znázor¬ovat spojení m¥st silnicemi nebo známosti mezi ú£astníky ve£írku.
P°íklady takovýchto schémat:
Zkusme si nyní tyto intuitivní pojmy korektn¥ zadenovat:
Denice 1.1.1
Grafem G budeme nazývat uspo°ádanou dvojici (V,E), p°i£emº V je (obvykle kone£ná) neprázdná mnoºina a E je systém dvouprvkových podmnoºiny mnoºiny V. Prvky mnoºiny V
budeme nazývat vrcholy a prvky mnoºiny E hrany grafu G.
Poznámka 1.1.1
Místo pojmu
jednoduchý neorientovaný graf.
graf
se n¥kdy pouºívá komplikovan¥j²í termín
oby£ejný
nebo téº
Zatím nám bude sta£it pouºívat první uvedený pojem (graf ); rozdíl
mezi t¥mito termíny bude dále vysv¥tlen v kapitole o orientovaných grafech.
Pokud chceme vyzna£it graf
edge ),
pouºívá se zna£ení
G
G
s mnoºinou vrchol·
= (V,E ).
P°i odkazování se na mnoºinu vrchol· £i hran grafu
V
(z anglického
G
pí²eme
vertex )
V (G ),
resp.
a hran
E
(z anglického
E (G ).
V²echny hrany grafu jsou ohrani£eny dv¥ma body z mnoºiny vrchol·, m·ºeme proto psát, ºe graf je
V
dvojice (V,E ), kde E ⊆
.
2
6
1.2 D·leºité grafy
V této sekci si uvedeme n¥kolik graf·, které jsou d·leºité a £asto je budeme pouºívat:
Denice 1.2.1
Úplný graf je takový graf, kde n ≥ 1. Platí, ºe V =
Úplný graf se zna£í Kn .
{1,2,...,n }
aE=
V
2
.
Obecn¥ se jedná o graf, kde jsou v²echny dvouprvkové podmnoºiny z mnoºiny vrchol· hranou, tedy
jsou v²echny dvojice vrchol· spojeny.
P°íklady úplných graf·:
Vlevo je
K3 ,
vpravo potom
K5 .
Denice 1.2.2
k=
1,...,
Kruºnice je takový graf, pro který platí, ºe V = {1,2,...,n } a E = {{k, k+ 1};
n 1} ∪ {{1,n }}. Zna£í se Cn , kde n ≥ 3 a o takovéto kruºnici potom °íkáme, ºe je délky n.
Zjednodu²en¥ se tedy dá °íci, ºe v kruºnici z kaºdého vrcholu vychází práv¥ dv¥ hrany a do kaºdého
vrcholu se dá dostat z kaºdého jiného. Této vlastnosti se °íká
v textu. N¥kdy se také místo pojmu
kruºnice
pouºívá
cyklus.
souvislost
a budeme si jí zabývat dále
P°íklad kruºnice (C7 ) :
Denice 1.2.3
k=
n.
1,...,n1}.
Cesta se zna£í Pn , kde n ≥ 1. Pro cestu platí, ºe V = {1,2,...,n } a E = {{k, k +1};
Zna£íme ji Pn , kde n ≥ 1 a podobn¥ jako u kruºnice °íkáme, ºe se jedná o cestu délky
Cesta je tedy posloupnost vrchol·, kde práv¥ ze dvou vrchol· vychází jediná hrana, ze zbylých vrchol·
vycházejí hrany dv¥. Pro
n=1
se jedná o jediný vrchol bez hran.
7
P°íklad cesty (P9 ) :
Denice 1.2.4 Pro úplný bipartiální graf platí, ºe V = {u1 , u2 , ..., un } ∪ {v1 , v2 , ..., vn }, kde {u1 , u2 , ..., un }
∩ {v1 , v2 , ..., vn } = ∅. E = {{uk , vl }; k = 1,2,...n, l = 1,2,...m }. Zna£í se Kn,m , kde n, m ≥ 1..
Jedná se tedy o takový graf, který m·ºeme rozd¥lit na dv¥ disjunktní (tedy mající prázdný pr·nik)
mnoºiny
mnoºiny
V1 a V2 tak,
V2 . Úplnost
ºe pro kaºdou hranu z
E (G )
platí, ºe spojuje vrchol z mnoºiny
V1
s vrcholem z
nám potom °íká, ºe graf obsahuje v²echny takové hrany, tedy ºádnou takovou
dal²í hranu jiº nelze p°idat.
P°íklady úplných bipartiálních graf·:
Vlevo je
K1,3 ,
vpravo potom
K3,3 .
1.3 Isomorsmus graf·
Stejn¥ jako spousta jiných v¥cí, se kterými se v ºivot¥ setkáváme (nap°íklad stejné kníºky s r·zným
obalem), mohou i dva stejné grafy vypadat úpln¥ jinak. Dokonce platí, ºe kaºdý graf m·ºeme nakreslit
nespo£etn¥ mnoha zp·soby.
Abychom ov²em dokázali ur£it, kdy se jedná o dva stejné grafy a kdy jde o grafy r·zné, zavádíme
pojem
isomorfní grafy,
o kterých si v této kapitole budeme povídat.
P°estoºe n¥které dvojice graf·
G
a
G0
mají stejný zápis mnoºin vrchol· a hran, neznamená to, ºe
musí vzpadat stejn¥. Jak je vid¥t z následujícího p°íkladu, mohou naopak vypadat výrazn¥ odli²n¥.
Pro oba grafy na obrázku níºe platí, ºe
V
= {1,2,3,4,5} a
p°itom vypadají docela jinak:
8
E
= {{1,4}{1,5}{2,4}{2,5}{3,4}{3,5}},
V tomto p°ípad¥ ale mají vrcholy, a tedy i hrany, stejn¥ ozna£ené. Kdyby je m¥ly ozna£eny r·zn¥,
popsali bychom vztah mezi nimi jako
isomorsmus :
Denice 1.3.1
Grafy G a G' budeme nazývat isomofrní, pokud existuje bijekce φ : V → V' taková,
ºe platí: {a,b } ∈ E ⇔ {φ(a),φ(b) } ∈ E'
Skute£nost, ºe jsou grafy
G
a
G'
isomorfní zna£íme jako
G ∼
= G'
a relace
∼
=
je ekvivalence.
Uve¤me si nyní p°íklad dvou graf·, které jsou navzájem isomorfní a najd¥me odpovídající bijekci:
P°íklad 1.3.1
Najd¥te isomorsmus p°íslu²ející následující dvojici graf·:
e²ení: Oba grafy jsou isomorfní. Isomorsmus je nap°íklad:
• 1 →δ
• 2 →γ
• 3 →α
• 4 →
• 5 →β
9
Po£et neisomorfních graf·
Pom¥rn¥ zajímavým problémem týkajícím se isomorsmu graf· je zjistit, kolik existuje na dané
n-
prvkové mnoºin¥ neisomorfních graf·. Nutno ale podotknout, ºe problém je to sloºitý (známá °e²ení
jsou pouze do
n = 24 a zatím nebyl nalezen ºádný p°esný vztah), takºe zde uvedu jenom jednoduchý
odhad:
Víme, ºe na
n -prvkové
mnoºin¥ existuje práv¥
n
2( 2 )
r·zných graf· (máme
n
2
hran a pro kaºdou
mám¥ dv¥ moºnosti bu¤ je v grafu obsaºena, nebo není).
Pro kaºdý graf
G
na této mnoºin¥ existuje isomorfní graf práv¥ tehdy, kdyº existuje bijekce mezi ním
G'. Musíme tedy zjistit po£et bijekcí, které na dané n -prvkové mnoºin¥
vrchol· se uvaºují i hrany, tedy dostáváme n! bijekcí (protoºe to je po£et
a n¥jakým hledaným grafem
existují. Spole£n¥ s bijekcí
uspo°ádání
n
vrchol·). Celkem tedy máme minimáln¥
n
2( 2 )
n!
neisomorfních graf· na
n
vrcholech.
Tento odhad je ov²em dost hrubý a i p°es znalost mnohem lep²ích odhad· se zatím zdá, ºe pro v¥t²í
po£ty vrchol· nezbývá, neº probrat velkou £ást graf· na t¥chto vrcholech, protoºe pomocí odhad·
by se nedosáhlo dostate£n¥ p°esné hodnoty.
10
1.4 Podgrafy
Uº z názvu
podgraf
cítíme jakousi analogii s pojmem podmnoºina. To je správn¥, protoºe podgraf
skute£n¥ jakousi podmnoºinou grafu je.
ƒasto se jako podgrafy (hlavn¥ u v¥t²ích graf· na více vrcholech) vyskytují n¥které z vý²e uvedených
d·leºitých graf·. Jak uvidíme z dal²ího textu, n¥kdy je to ºádoucí, n¥kdy naopak ne.
Podívejme se nyní tedy na denici podgrafu:
Denice 1.4.1
Graf H nazýváme podgrafem grafu G, platí-li V(H) ⊆ V(G) a E(H) ⊆ E(G).
Dal²ím typem podgrafu je
Denice 1.4.2
E(G) ∩
V (H)
2
.
indukovaný podgraf :
Graf H nazýváme indukovaným podgrafem grafu G, platí-li V(H) ⊆ V(G) a E(H) =
Z denice tedy plyne, ºe indukovaný podgraf
H
vznikne z p·vodního grafu
G
odebráním n¥kterých
vrchol· a zárove¬ v²ech hran, které obsahovaly vymazané vrcholy.
Oproti tomu podgraf
H
vznikne z p·vodního grafu
G
odebráním n¥kterých vrchol·, v²ech hran, které
odebrané vrcholy obsahovaly a vymazáním n¥jakých dal²ích hran, aniº by byly odebrány jejich
vrcholy.
Rozdíl mezi podgrafem a indukovaným podgrafem je na následujícím obrázku:
Vlevo vidíme p·vodní graf, uprost°ed je (tlust¥ vyzna£en) jeho indukovaný podgraf, který vznikl
odebráním £ervených vrchol· a v²ech hran jimi procházejících.
Vpravo je potom podgraf, který vznikl odebráním £ervených vrchol· a v²ech hran jimi procházejících
a navíc odebráním £erven¥ vyzna£ené hrany.
11
1.5 Souvislost, komponenty a vzdálenost
Pokud pro kaºdé dva vrcholy
u
a
v
existuje v grafu
G
cesta z
u
do
v
(to znamená, ºe existuje
posloupnost neopakujících se hran a vrchol·, jejímiº po£áte£ním vrcholem je bod
°íkáme, ºe je graf
souvislý.
u
a koncovým
v ),
G existuje alespo¬ jedna dvojice vrcho·, mezi kterými nevede
G nesouvislý.
V opa£ném p°ípad¥ (tedy kdyº v grafu
cesta) logicky °íkáme, ºe je graf
Zave¤me si nyní na mnoºin¥
do
y.
Tvrzení 1.5.1
Relace
∼
V (G )
relaci
∼
znamenající, ºe
x∼y
práv¥ tehdy kdyº vede cesta z
x
je ekvivalence
D·kaz:
P°edpoklady ekvivalence jsou:
1.
x∼x
2.
x∼y⇒y∼x
3.
x∼y
(reexivita)
a
(symetrie)
y∼z⇒x∼z
(tranzitivita)
První dva body plynou z denice relace
∼
. Zbývá nám tedy dokázat t°etí podmínku:
= v0 , e1 , v1 , ..., ek , vk = y ) je cesta z x
nech´ m je nejvy²²í (maximální) index,
Nech´ (x
Dále
nadenovaná hodnota, protoºe p°inejmen²ím
= v00 , e01 , v10 , ..., e0l , vl0 = z ) je cesta z y do z.
0
pro který platí: vm ∈ {v0 , ..., vk } (toto je korektn¥
první vrchol cesty z y do z, tedy y, je také £lenem
do
posloupnosti (tedy cesty) z x do y ).
0
Ozna£me si vm jako vi . Potom je posloupnost (x
hledanou cestou z x do z.
y
a (y
= v0 , e1 , v1 , ..., ei , vi = vt0 , e0t + 1, vt0 + 1, ..., e0l , vl0 = z )
To, ºe se v této cest¥ vrcholy ani hrany neopakují, plyne z denice
není £lenem cesty z
y
do
z.
Nyní, kdyº jsme si ov¥°ili, ºe relace
p°íslu²né ekvivalenci
∼.
∼
0
vm
,
protoºe ºádný dal²í vrchol uº
je opravdu ekvivalencí, m·ºeme provést rozklad mnoºiny
Jednotlivé t°ídy ozna£me
V1 , V2 , ..., Vk .
V
Potom platí:
V = V1 ∪ V2 ∪ ... ∪ Vk
Je vid¥t, ºe graf
G
je souvislý práv¥ tehdy, kdyº
k=1
(protoºe v²echny jeho vrcholy budou v téºe
t°íd¥ ekvivalence, a tedy mezi nimi bude existovat cesta, coº je denice souvislosti).
T°ídy ekvivalence relace
∼
se nazývají
komponenty
grafu
G.
P°íklady graf· s jednou a více komponentami jsou na obrázku:
12
Graf vlevo je souvislý, zatímco graf vpravo se skládá ze dvou trojúhelníkových komponent, takºe
souvislý není. Kdyby ov²em obsahoval hranu, která je na obrázku ozna£ena £erven¥, stal by se
souvislým, tedy by mezi kaºdými dv¥ma jeho vrcholy existovala cesta.
V rámci jednotlivých komponent grafu nás £asto zajímá jejich vzdálenost. Ke zkoumání tohoto pojmu
si nejprve zavedeme pojem
ohodnocený graf :
Denice 1.5.1
Ohodnocení grafu je zobrazení w : E → Z+
0 , které hranám grafu p°i°adí n¥jaké celé
kladné £íslo nebo nulu.
Hrany grafu se £ast¥ji ohodnocují reálnými £ísly, ale pro nás by to byla zbyte£ná komplikace.
Nyní tedy zkusme tedy zformulovat, co to vlastn¥ vzdálenost v grafu je:
Denice 1.5.2
Vzdálenost vrchol· v a v' v souvislém grafu G je rovna délce (tedy sou£tu hodnot
p°i°azeným jednotlivým hranám) nejkrat²í cesty z v do v' v grafu G. Vzdálenost vrchol· v a v' v grafu
G zna£íme dG (v,v')
Funkci
d G : V × V → R, která kaºdým dv¥ma vrchol·m grafu G p°i°adí n¥jaké nezáporné celé £íslo,
metrika grafu G. Metrika grafu G má následující vlastnosti:
nazýváme
1.
d G (v,v' ) ≥
0;
2.
d G (v,v' )
d G (v',v )
3.
d G (v,v' ) ≤ d G (v,v' )
4.
d G (v,v' ) ∈ Z+
0
5. pokud
=
d G (v,v' )
= 0
⇔v
=
v'
v
a
v' ∈ V
pro kaºdé
+
d G (v',v' )
pro kaºdé
v
a
pro kaºdé
(symetrie)
v, v'
a
v' ∈ V
(trojúhelníková nerovnost)
v' ∈ V
d G (v,v' ) > 1, potom exsituje v', v' 6= v, v' 6= v'
tak, ºe
d G (v,v' ) + d G (v',v' ) = d G (v,v' )
První £ty°i vlastnosti jsou pom¥rn¥ z°ejmé, pátá je potom jakási obrácená trojúhelníková nerovnost.
13
1.6 Stupe¬ vrcholu a skóre grafu
Typickou vlastností kaºdého vrcholu grafu je po£et hran, které z n¥j vycházejí (jak uvidíme tak v
n¥kterých oblastech teorie graf· je to hlavn¥ parita tohoto po£tu).
stupe¬ vrcholu, jímº tedy budeme ozna£ovat po£et hran grafu G
vrcholu v budeme zna£it degG (v ).
Zave¤me si proto pojem
vrchol
v.
Stupe¬
Nyní se podívejme na pojem
skóre
grafu. M¥jme mnoºinu vrchol· grafu
G
G
G
G V
obsahujících
= {v1 , v2 , ..., vn }, kde
nezáleºí na po°adí. Potom posloupnost (deg (v1 ), deg (v2 ), ..., deg (vn )) se nazývá skóre grafu
Tvrzení 1.6.1
Pokud mají dva grafy
stejná
skóre, mohou být isomorfní, naopak mají-li
G.
r·zná
skóre, nemohu být isomorfní.
D·kaz: Na obrázku níºe vidíme dvojici kruºnic C4 , a jednu kruºnici C8 , jejichº skóre je (2,2,2,2,2,2,2,2).
P°esto se ale z°ejm¥ nejedná o dva navzájem isomorfní grafy:
Druhá £ást tvrzení (mají-li grafy r·zná skóre, nemohou být isomorfní) je pom¥rn¥ z°ejmá, proto se
jí nebudeme dále zabývat.
Místo toho si uve¤me jedno d·leºité tvrzení týkající se skóre a jeho d·sledek:
Tvrzení 1.6.2
Pro v²echny grafy
G
= (V,E ) platí, ºe
X
deg
G (v) = 2|E (G)|
v∈V
Poznámka 1.6.1
D·kaz:
Toto tvrzení se £asto nazývá jako
Princip sudosti.
D·kaz tvrzení je pom¥rn¥ intuitivní, protoºe deg (v ) udává po£et hran obsahujících G.
G
Kaºdá hrana ale obsahuje dva vrcholy, takºe pokud se£teme v²echny stupn¥ vrchol·, dostáváme
dvojnásobek po£tu hran.
Tvrzení 1.6.3
Po£et vrchol· lichého stupn¥ je ve v²ech grafech
Poznámka 1.6.2
G
Tato v¥ta se v anglické literatu°e ozna£uje jako
sudé £íslo.
handshaking lemma,
kv·li jejímu
£astému vyuºití p°i úlohách s pot°ásáním si rukou na ve£írcích po£et ú£astník· ve£írku, kte°í si
pot°ásli rukou s lichým po£tem ú£astník· je vºdy sudé £íslo.
Platnost tohoto tvrzení je dosti z°ejmá, tudíº se formálním d·kaz zabývat nebudeme.
14
Dále je dobré si v²imnout, ºe v¥ta platí pouze pro kone£né grafy (i ve£írky), jak plyne z obrázku:
protoºe nap°íklad nekone£ná cesta má pouze jeden vrchol lichého stupn¥ (ten po£áte£ní), jak je vid¥t
na obrázku:
Nekone£ná cesta má pouze jeden vrchol lichého stupn¥ (ten po£áte£ní), zbylé vrcholy jsou potom
stupn¥ sudého (z kaºdého vychází práv¥ dv¥ hrany).
1.7 Stromy
Grafové stromy mohou být ur£itým zp·sobem podobné strom·m reálným, jak m·ºeme vid¥t na
obrázcích:
Stromy se dají charakterizovat mnoha zp·soby, my si zde uvedem¥ nejb¥ºn¥j²í denici a dále n¥kolik
jejich charakteristik:
Denice 1.7.1
Stromem nazýváme souvislý graf, který neobsahuje kruºnici.
Samotná denice nám toho ne°íká mnoho, nap°íklad s pouhou její znalostí nejsme moc dob°e schopni
ur£it, zda je daný graf strom.
Proto si zde uvedeme n¥která tvrzení, která nám umoºní lep²í práci se stromy:
Denice 1.7.2
Vrcholy stupn¥ 1 budeme nazýváme koncové vrcholy
Poznámka 1.7.1
Místo pojmu
koncový vrchol
se £asto pouºívá pojem
list.
Tvrzení 1.7.1
Má-li strom alespo¬ dva vrcholy, obsahuje potom alespo¬ dva koncové vrcholy.
Tvrzení 1.7.2
Máme-li graf
1. Graf
G
2. Graf
Gv
G
s koncovým vrcholem
v,
jsou následující tvrzení ekvivalentní:
je strom.
(tedy graf vzniklý z grafu G odebráním vrcholu
15
v)
je strom.
D·kaz je op¥t velmi jednoduchý, proto jej zde neuvádím.
Tato v¥ta je ale velmi uºite£ná, protoºe nám umoº¬uje strom zjednodu²ovat postupným odebíráním
koncových vrchol·. Jako d·sledek tohoto tvrzení také platí, ºe graf
G
je stromem práv¥ tehdy, kdyº
jej lze odebíráním koncových vrchol· p°evést na jediný vrchol.
Nyní si uvedeme n¥kolik charakteristik strom·:
Tvrzení 1.7.3
1. Graf
G
Máme-li graf
G
= (V,
E)
jsou následující podmínky ekvivalentní:
je strom.
2. Pro kaºdé dva vrcholy
a, b ∈ V existuje
jediná cesta z
a
do
b.
3. Graf
G
je souvislý, vynecháme-li ov²em libovolnou hranu
E,
4. Graf
G
neobsahuje kruºnici, p°idáme-li ov²em libovolnou hranu
vznikne nesouvislý graf.
e∈
V
, vznikne graf kruºnici
2
obsahující.
5. Graf
D·kaz:
G
je souvislý a platí, ºe: |V | = |E | + 1 (tato rovnost se obvykle nazývá
Euler·v vzorec).
Dokazovat budeme pomocí matematické indukce, tedy budeme p°edpokládat, ºe tvrzení
platí pro graf
G'
=
G − v,
p°i£emº
v
je koncový vrchol grafu
G:
Nejprve budeme dokazovat první sm¥r ekvivalence, tedy ºe z bodu 1. plynou body 2., 3., 4., a 5.:
2.: P°idáním koncového vrcholu v
se toto tvrzení nezm¥ní, protoºe tento vrchol má stupe¬ 1 a tedy
nem·ºe vzniknout kruºnice.
3.: P°idáním koncového vrcholu v se toto tvrzení nezm¥ní, protoºe vynechám-li p°idanou hranu, op¥t
získám nesouvislý graf, kde jednou komponentou bude p·vodní strom a druhou p°idaný vrchol.
4.:
Protoºe je
G
je souvislý, existuje mezi kaºdými dv¥ma vrcholy cesta. Pokud mezi nimi není
samotná hrana, p°idáním této hrany získám spolu s jiº ur£it¥ existující cestou kruºnici.
5.: P°idáním koncového vrcholu a hrany se k ob¥ma stranám rovnice p°i£te 1, tudíº její platnost se
nezm¥ní.
Nyní dokaºme druhý sm¥r ekvivalence, tedy ºe z bod· 2., 3., 4., a 5. plyne bod 1.:
2.:
Jiº p°edpokládáme souvislost a graf
G
nem·ºe obsahovat kruºnici, protoºe kruºnice sama toto
G
nem·ºe obsahovat kruºnici, protoºe kruºnice sama toto
tvrzení nespl¬uje.
3.:
Jiº p°edpokládáme souvislost a graf
tvrzení nespl¬uje.
4.: Jsou-li x, y ∈ G vrcholy, pak jsou bu¤ spojeny hranou, nebo graf G + {a, b } obsahuje kruºnici.
Z té potom odebráním této hrany vznikne cesta z
5.: Sou£et stup¬· v²ech vrchol· grafu G
koncový vrchol
jsou
G'
i
G
v
grafu
G. Graf G'
=
a
do
b
je 2|V | 2, a protoºe je graf souvislý, musí existovat n¥jaký
G−v
je op¥t souvislý a spl¬uje |V (G' )| = |E (G' )| + 1, a tedy
stromy.
16
1.8 Jednotaºky
Nakreslit n¥jaký obrazec jedním tahem, tedy bez zvednutí tuºky z papíru je jednou z nejznám¥j²ích
úloh týkajících se graf·.
Pro °e²ení t¥chto problém· se je²t¥ pot°ebujeme seznámit s pojmem
sled :
Denice 1.8.1
Sledem nazýváme posloupnost (v0 , e1 , v1 , ..., ek , vk ), kde v0 je po£áte£ní vrchol a vk
vrchol koncový. Vrcholy i hrany se ve sledu mohou opakovat. Platí-li v0 = vk , nazýváme sled uzav°ený,
v opa£ném p°ípad¥ se jedná o sled otev°ený.
Poznámka 1.8.1
Pokud by se hrany nesm¥ly opakovat, jednalo by se o
tah.
Nyní se tedy m·ºeme pokusit o matematickou formulaci problému:
Problém 1.8.1
Najd¥te uzav°ený sled (v0 , e1 , v1 , ..., em−1 , vm−1 , em , v0 ), v n¥mº se kaºdá hrana vy-
skytuje práv¥ jednou a vrchol alespo¬ jednou.
Takový sled se nazývá
uzav°ený eulerovský tah.
O grafu
G
potom °íkáme, ºe je eulerovský, má-li
alespo¬ jeden uzav°ený eulerovský tah.
Nyní si uvedeme a dokáºeme tvrzení, které nám umoº¬uje poznat, jestli je graf eulerovský, tedy jestli
jde nakreslit jedním uzav°eným tahem:
Tvrzení 1.8.2
Graf
G
nazýváme
eulerovský
práv¥ tehdy kdyº je souvislý a kaºdý vrchol
V (G )
je
sudého stupn¥.
D·kaz: Souvislost grafu je nutnou podmínkou, protoºe jinak by v n¥m nemohl existovat uzav°ený
tah.
To, ºe má mít kaºdý vrchol
V (G )
sudý stupe¬ platí, protoºe kdykoliv tah do vrcholu vstoupí, musí
jej zase opustit. I kdyby tedy do²lo k opakování n¥jakých vrchol·, tah vºdy vstoupí a zase vystoupí,
takºe stup¥¬ tohoto vrcholu bude op¥t sudý.
Vý²e popsané je dob°e vid¥t na následujícím obrázku:
P°edstavme si, ºe vrcholy ozna£ené £erven¥ jsou ve skute£nosti jediný vrchol, kterým tah prochází
víckrát.
Hrany jsou ov²em v²echny r·zné, coº znamená, ºe skóre kaºdého ²edého vrcholu je 2 a skore £erveného vrcholu je 6.
Je tedy vid¥t, ºe je-li dán eulerovský graf, má v²echy stupn¥ sudé a je souvislý.
Nyní dokaºme druhou £ást ekvivalence, tedy ºe je dán souvislý graf
sudého stupn¥:
17
G,
který má v²echny vrcholy
Uvaºme tah
T
= (v0 , e1 , v1 , ..., em , vm ) s maximální moºnou délkou,
P°edpokládejme, ºe
vm 6= v0 .
Potom ale existuje n¥jaká hrana
e
m. Ukaºme nejprve, ºe vm = v0 :
(protoºe je stupe¬
v0
sudý), která
není v tahu obsaºena.
O tuto hranu bychom tedy mohli tah prodlouºit, coº je ale spor, protoºe tah
Proto platí, ºe
T
je nejdel²í moºný.
vm = v0 .
Nyní tedy budeme chtít dokázat, ºe {e1 , e2 , ..., em } =
Ozna£me si jako
G'
= (V'
souvislosti existuje hrana
e
E:
,E' )
graf tahu T. P°edpokládjme, ºe V' 6= V. Potom v grafu
0
0
= {vi , v }, p°i£emº vi ∈ V a v' ∈
/ V 0 . Potom tah:
G
díky jeho
(vi , ei+1 , vi+1 , ..., vm−1 , em , v0 , e1 , v1 , ..., ei , vi , e, v 0 )
je délky
m
+ 1, coº je spor s p°edpokladem, ºe T je nejdel²í moºný tah.
Nyní p°edpokládejme, ºe
V'
=
V
a
E' 6= E.
Uvaºme potom hranu
e ∈ E \ E 0,
kde
e
= {vi , vj }.
Potom tah:
(vi , ei+1 , vi+1 , ..., vm−1 , em , v0 , e1 , v1 , ..., ei , vi , e, vj )
rovn¥º vede ke sporu.
Odtud tedy vidíme, ºe
V'
=
V
a
E'
=
E,
tedy
G'
=
G,
a tedy máme-li souvislý graf, jenº má
v²echny vrcholy sudého stupn¥, opravdu se jedná o eulerovský graf.
18
Kapitola 2
Barevnost graf· a problém £ty° barev
V druhé £ásti práce se seznámíme s barvením graf· a pokusíme se vy°e²it známý problém týkající se
obarvení map
2.1 Barevnost grafu
P°edstavme si, ºe chceme n¥jakým zp·sobem obarvit dané schéma nebo mapu. V takovémto p°ípad¥
není p°íli² ºádoucí, aby byly sousedící £ásti obarveny stejnou barvou, protoºe by potom navozovaly
dojem, ºe se jedná o £ást jednu.
Je vid¥t, ºe bychom se mohli problému obarvení vyhnout tím, ºe bychom (nap°íklad v map¥) kaºdé
území obarvili jinou barvou. Tohle °e²ení ale není práv¥ efektivní a nap°íklad pro ú£ely tisku by
se docela prodraºilo. Navíc £lov¥k dokáºe jednozna£n¥ rozeznat jenom omezený po£et barev, takºe
pokud bychom m¥li mapu s velkým po£tem území, op¥t se dostáváme do problému.
Proto se obecn¥ budeme snaºit, aby na²e obarvení pouºívalo co nejmén¥ barev. Abychom se mohli
dostat k °e²ení problému efektivního obarvování, zadenujme si nejprve, co to vlastn¥ obarvení grafu
a barevnost je:
Denice 2.1.1 Obarvením grafu ozna£ujeme libovolné zobrazení c : V (G) → {1,2,...,k }, pro které
platí, ºe ºádné dva vrcholy, které jsou v grafu G spojeny hranou, nebudou mít stejnou barvu, tedy
c (v1 ) 6= c (v2 ) pro kaºdé {v1 , v2 } ∈ E (G ).
ƒísl·m 1,2,...,k °íkáme barvy. Pod kaºdým takovým £íslem si tedy m·ºeme p°edstavit n¥jakou nám
libou barvu, t°eba modrou, £ervenou, duhovou atp. Kaºdopádn¥ je ale zna£ení £ísly mnohem prakti£t¥j²í, proto se také pouºívá.
Nyní si je²t¥ zadenujme barevnost grafu:
Denice 2.1.2
Barevnost grafu χ(G ) ozna£uje nejmen²í p°irozené £íslo, pro které lze graf
obarvit χ(G ) barvami.
Podívejme se na konkrétní p°íklad:
P°íklad 2.1.1
Ur£ete barevnost následujícího grafu:
19
(G )
e²ení:
Barevnost uvedeného grafu je rovna 3. P°íkladem správného obarvení vyuºívajícího t°ech
barev m·ºe být nap°íklad následující:
Postup je následující:
1. Nejprve libovoln¥ obarvíme vrcholy levého podgrafu
K3
(trojúhelníku)
2. Poté v prost°edním trojúhelníku obarvíme zbývající vrchol poslední nepouºitou barvou
3. V pravém trojúhelníku op¥t pouºijeme v n¥m zatím nepouºitou barvu
V p°íkladu bylo moºno si pov²imnout ur£itých zákonitostí, které pro obarvování platí obecn¥ji. Nyní
si n¥které z nich uvedeme:
Tvrzení 2.1.2
Graf
G
má barevnost 1 práv¥ tehdy, kdyº nemá ºádné hrany.
Toto tvrzení plyne z denice obarvení, protoºe obsahoval-li by graf n¥jakou hranu, spojovala by dva
r·zné vrcholy (smy£ky neuvaºujeme), tedy by uº nutn¥ musely být pouºity alespo¬ 2 barvy.
Kaºdý vrchol ov²em musí mít n¥jakou barvu, jediný graf, který by m¥l barevnost 0, by byl prázdný
graf.
Tvrzení 2.1.3
Graf
G
má vrcholovou barevnost 2 práv¥ tehdy, kdyº neobsahuje ºádnou kruºnici
liché délky jako podgraf
Poznámka 2.1.1
N¥kdy se také pouºívá hranová barevnost, která je denovaná podob¥ jako vrcho-
lová, jenom se barvy místo vrchol·m p°i°azují hranám. My se jí ale zabývat nebudeme.
D·kaz: Pokud bychom vrcholy kruºnice st°ídav¥ obarvovali dv¥ma barvami, zákonit¥ kv·li lichosti
po£tu vrchol· dojdeme ke sporu, viz obrázek:
20
Tvrzení 2.1.4
nastává pro
Ozna£me si jako
G∼
= Kp .
p
po£et vrchol· grafu
G. Potom platí, ºe p ≥ χ(G ), p°i£emº rovnost
Platnost tvrzení je pom¥rn¥ z°ejmá - je vid¥t, ºe úplný graf musí být obarven tolika barvami, kolik má
vrchol· (protoºe je kaºdý vrchol spojen s kaºdým, takºe kdyº si vybereme jeden vrchol a obarvíme
jej, musíme pro kaºdý ostatní vrchol pouºít jinou barvu). Barevnost neúplných graf· je men²í neº
po£et jejich vrchol· protoºe kdyº odebereme z úplného grafu by´ jen jedinou hranu, budou moct
vrcholy, které odebraná hrana spojovala, být obarveny stejnou barvou.
2.2 Barvení map
Uº jsme si uvedli n¥jaké základy ohledn¥ barevnosti graf·. Poj¤me se tedy nyní podívat na barvení
map.
První v¥c, která nás bude zajímat, je problém p°evedení mapy na graf. Nejedná se o nic sloºitého,
p°evád¥ní je totiº docela intuitivní. P°esto existují ur£itá omezení:
1. P°edpokládáme, ºe kaºdý stát (obecn¥ územní celek, mapa m·ºe zobrazovat nap°íklad okresy)
tvo°í souvislou oblast
2. Dva státy povaºujeme za sousední, sdílejí-li spolu n¥jakou £ást hranice (tedy nesta£í, kdyº se
budou dotýkat v jednom bod¥)
První podmínka nám neumoº¬uje pracovat i s n¥kterými reálnými územními celky, nap°íklad nem·ºeme brát v potaz ostrovy a dokonce se nem·ºeme zabývat ani státy jako USA nebo Ruská federace,
protoºe jejich území nejsou souvislá.
Nyní se tedy zkusme podívat na n¥jaké smy²lené území rozd¥lené na n¥kolik oblastí (nap°íklad by
to mohl být stát rozd¥lený na kraje), na kterém si ukáºeme p°evod mapy na graf:
Nejprve si jednotlivá území ozna£íme, nap°íklad velkými tiskacími písmeny:
21
Nyní m·ºeme vytvo°it graf. To ud¥láme tak, ºe kaºdé oblasti p°i°adíme jeden vrchol (pojmenovaný
stejn¥ jako oblast; m·ºeme si jej p°edstavit t°eba jako hlavní m¥sto dané oblasti) a vrcholy, jejichº
oblasti spolu sousedí (tj. sdílejí n¥jaký úsek hranice) spojíme hranou.
Výsledný graf potom vypadá zhruba následovn¥:
Obarvení mapy je potom uº p°evedeno na problém obarvení grafu, který uº umíme °e²it. P°íkladem
obarvení na²eho grafu m·ºe být:
Ve výsledku to tedy odpovídá následujícímu obarvení p·vodní mapy:
22
2.3 Problém £ty° barev
Problém £ty° barev (v angli£tin¥
Four color theorem ) je problém z teorie graf·, týkající se barevnosti.
Jedná se o krásný p°íklad problému s velmi jednoduchým zadáním, jehoº °e²ení navíc bylo p°edpokládáno ²irokou matematickou ve°ejností, p°esto jej nikdo po velmi dlouhou dobu neum¥l dokázat.
A v ur£itém smyslu to nikdo neumí aº dodnes. Nejprve si zde uvedeme stru£nou historii tohoto
problému:
Historie
Problém byl poprvé jmenován v roce 1852 v dopise, který poslal Francis Guthrie svému mlad²ímu
bratrovi. Poda°ilo se mu totiº obarvit mapu anglických hrabství £ty°mi barvami tak, ºe ºádné dv¥
sousední nem¥ly stejnou barvu a zajímalo ho, jestli se to m·ºe povést s kaºdou mapou.
V dopise tedy napsal: Je moºné obarvit libovolnou mapu nakreslenou v rovin¥ pomocí £ty° nebo
mén¥ barev tak, aby ºádné dv¥ sousedící oblasti nebyly obarveny stejnou barvou?
Jeho bratr na otázku nedokázal odpov¥d¥t, ale problém p°edstavil Augustu De Morganovi. Tomu se
odpov¥¤ také nepoda°ila najít, ale dokázal, ºe neexistuje mapa nakreslená v rovin¥, která má p¥t
oblastí, z nichº kaºdé dv¥ spolu sousedí, tudíº tvrzení nelze vyvrátit triviálním protip°íkladem.
Poprvé byl problém ociáln¥ publikován v roce 1878 £asopisem
tical Society
Proceedings of the London Mathema-
jako reakce na dopis, v n¥mº se autor tázal, zda byl jiº problém vy°e²en.
První domn¥lý d·kaz následoval v roce 1879 od Arthura Kempeho. Pozd¥ji se ukázalo, ºe je chybný,
ale obsahoval velmi elegantní my²lenku, která spo£ívala v tom, ºe se budou postupn¥ odstra¬ovat
území, které mají t°i nebo mén¥ soused·, aº se nakonec dojde k map¥ z°ejm¥ obarvitelné £ty°mi
barvami.
V roce 1890 nalezl Percy Heawood v Kempeho d·kazu chybu, ov²em zvládl jej upravit tak, ºe pro 5
barev uº byl správný. Po tomto úsp¥chu následovala pom¥rn¥ dlouhá doba, kdy se dokazování nikam
neposouvalo. Aº v roce 1922 dokázal Philipp Franklin, ºe v²echny mapy s nejvý²e 26 oblastmi je
moºno obarvit £ty°mi barvami.
Jeho d·kaz pouºíval principu takzvaných
odstranitelných kongurací, tedy kongurací (n¥kolik území
uvnit° mapy spole£n¥ s informací, kolik mají soused·), jejíº odstran¥ní na obarvitelnosti £ty°mi
barvami nic nem¥ní. Takovou konguraci odstraníme, mapu obarvíme £ty°mi barvami a poté zp¥tn¥
p°idané konguraci p°i°adíme takovou barvu, jíº nemá ºádný soused. Jak se ukázalo, odstranitelných
kongurací je pom¥rn¥ hodn¥, jedním jejím p°íkladem je uº zmín¥ná oblast s t°emi sousedy.
Po£ty oblastí, pro které obarvení £ty°mi barvami vºdy existuje se postupn¥ zvy²ovaly, ale zásadní
zm¥na nastala aº v 70. letech 20. století. Nová metoda spo£ívala v hledání jakési nevyhnutelné
mnoºiny odstranitelných kongurací. Toto hledání bylo provád¥no po£íta£em a v roce 1976 bylo
dokon£eno, kdyº program Kennetha Appela a Wolfganga Hakena nalezl takovou mnoºinu kongurací,
která byla nevyhnutelná a zárov¥¬ byly v²echny odstranitelné.
Dal²í pokroky potom byly u£in¥ny v po£tu t¥chto odstranitelných kongurací, ov²em zatím nikdo
tento po£et nedokázal sníºit natolik, aby byl výsledek ov¥°itelný £lov¥kem. To je také d·vod, pro£ se
mnoha lidem tento d·kaz nelíbí a cht¥li by najít n¥jaký jiný, formáln¥j²í d·kaz Guthrieho tvrzení.
23
Problém 2.3.1
Platí pro kaºdý rovinný graf
G,
ºe
χ(G ) ≤ 5?
Minimální po£et barev, které obecn¥ p°ipadají v úvahu je 4, coº si m·ºeme ukázat na následujícím
p°íkladu:
V tomto p°ípad¥ sousedí kaºdá oblast s kaºdou, proto musí být kaºdá obarvená jinou barvou. To, ºe
takovéto situace na map¥ opravdu vznikají, m·ºeme vid¥t na p°íkladu Lucemburska:
Jak je vid¥t z historie problému £ty° barev, d·kaz je velmi sloºitý, proto zde dokáºeme pouze slab²í
tvrzení pro p¥t barev.
P°i d·kazu budeme pouºívat jednu grafovou operaci, o které jsme se je²t¥ nezmi¬ovali. Jedná se o
kontrakci hran.
Denice 2.3.1
Pro graf G = (V,E ) a n¥jakou jeho hranu e ozna£uje kontrakce hrany e operaci, p°i
níº slou£íme oba vrcholy hranou e spojené do jednoho a odstraníme p°ípadné násobné hrany. Takto
vzniklý graf zna£íme G.e = (V',E' ), kde e = {a,b } a c 6∈ V zna£í nový vrchol. Platí, ºe:
• V' = (V \ {a,b }) ∪ {c }
• E' = {e ∈ E; e ∩ {a,b } = ∅ ∪
{{c,d };
d ∈ V \ {a,b }, kde {d,a } ∈ E nebo {d,b } ∈ E }
Zdroj mapy: http://www.operationworld.org/les/ow/maps/lgmap/luxe-MMAP-md.png
24
Kontrakce hran se týká je²t¥ jedno tvrzení, jehoº plastnost je pom¥rn¥ patrná, proto zde jeho d·kaz
nebudu uvád¥t. Nejprve si ale °ekn¥me, co je to
rovinný graf :
Denice 2.3.2
Rovinný graf je takový graf, jeº lze zakreslit do roviny aniº by se jeho hrany k°íºily.
Tomuto zakreslení potom °íkáme rovinné zakreslení.
Nyní se tedy dostáváme ke slibovanému tvrzení:
Tvrzení 2.3.2
Je-li
G
rovinný graf, p°i£emº
e ∈ E (G),
platí, ºe i
G.e
je rovinný graf
Nyní se tedy m·ºeme pustit do d·kazu pro p¥t barev:
V d·kazu budeme postupovat indukcí vzhledem k po£tu vrchol· v grafu
G. Pokud bude po£et vrchol·
men²í nebo roven p¥ti, tvrzení z°ejm¥ platí.
G
P°edpokládejme tedy, ºe
je rovinný graf, který má alespo¬ 6 vrchol·, pro n¥º platí, ºe stup¥¬
kaºdého z nich bude v¥t²í nebo roven p¥ti (pokud by byly men²í, dokáºeme obarvení z°ejm¥ najít).
Zvolíme si n¥jaký vrchol
v
tak, ºe deg (v ) = 5. Je-li
v
a tedy v p¥tici soused· vrcholu
vrchol· si ozna£íme jako
a
a
b,
a,b
O
G'
G
rovinný, víme, ºe neobsahuje
zbylé t°i sousedy potom jako
Nyní se podívejme na graf, který z
nahrazením trojice vrchol·
G
a
v
G
c, d
a
vznikne kontrakcí hran {a, v } a {b, v }, tedy graf, který vznikne
jediným novým vrcholem
u.
Tento graf budeme nazývat
G'.
G. Podle
o' ) pomocí p¥ti barev.
víme, ºe je taktéº rovinný (viz Tvrzení 2.3.2.) a navíc má o dva vrcholy mén¥ neº
Nyní si m·ºeme následovn¥ zadenovat obarvení
o
grafu
G:
= :
• o' (x )
pro
x
r·zné od
• o' (u )
pro
x
=
•
jako podgraf,
e.
induk£ního p°edpokladu potom existuje n¥jaké jeho obarvení (ozna£me jej jako
o (x )
K5
existuje n¥jaká dvojice, která není spojena hranou. Tuto dvojici
a
a, b
nebo
x
nebo
=
v
b
zbývající barva z p¥ti, která nebyla pouºita na
a, c, d
ani
e
pro
Situace ilustrují následující dva obrázky, kdy na prvním je situace v
1 aº 5 symbolizují barvy):
25
s
=
v
G', na druhém potom v G
(£ísla
To, ºe je nov¥ získané obarvení
o
správným obarvením grafu
26
G
p¥ti barvami, uº je vid¥t.
Kapitola 3
Záv¥r
Teorie graf· je efektivím nástrojem k °e²ení mnoha problém·. Její pomocí se dá °e²it mnoho
logických problém·.
Mnoho aplikací potom teorie graf· nachází i v jiných v¥dních oborech, nap°íklad v chemii (zobrazování
strukturních vzorc· slou£enin), fyzice (studium tok· v sítích) nebo t°eba energetice (co nejefektivn¥j²í
elektrikace daných oblastí vedením vysokých nap¥tí).
Kapitolou samou pro sebe je potom informatika, jejíº velká £ást je s teorií graf· velmi úzce spojena.
Namátkou lze zmínit nap°íklad známé algoritmy jako Dijkstr·v, Floyd-Warshal·v nebo Jarník·v.
Dále se teorie graf· v informatice vyuºívá nap°íklad ve vyhledávacích systémech nebo t°eba programech pracujících s mapami.
Studium teorie graf· je tedy velmi dobrou investicí z hlediska uplatn¥ní v n¥kterém z vý²e zmín¥ných
obor·. Tato práce ov²em zdaleka nejde dostate£n¥ hluboko, aby k t¥mto ú£el·m mohla sta£it. Jejím
cílem je spí²e poskytnout úvod to teorie graf· a £tená°e seznámit s n¥kterými zajímavými problémy,
jako nap°íklad problém £ty° barev, kterému je v¥nována její druhá £ást.
27
Literatura
[1] MATOU’EK Ji°í, NE’ETIL Jaroslav.
Kapitoly z diskrétní matematiky.
2. vydání, Karolinum,
c 2000 ISBN 80-246-0084-6
2000 [2] HLIN…NÝ Petr.
Teorie graf·.
c 2005 - 2009
Verze 1.10, 2009 [3] STEWART Ian (p°eklad PICK Lubo²).
Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta.
c 2013 ISBN 978-80-7363-292-2 (Doko°án), ISBN 978-80-257-0879-8 (Argo)
Doko°án, Argo, 2013 [4] RYBIƒKA Ji°í.
LATEXpro za£áte£níky.
c 2003 ISBN 80-7302-049-1
3 vydání, Konvoj, 2003 Software
Sazba: LATEX2e
Kompilátor sazby: MiKTeX 2.9
Editor sazby: MiKTeX 2.9
Tvorba obrázk·: GeoGebra 5.0.39.0
28