Hypertextová podpora výuky v oblasti automatického řízení

Transkript

Vysoká škola báňská
Technická univerzita Ostrava
Fakulta strojní
Hypertextová podpora výuky
v oblasti automatického řízení
Vedoucí bakalářské práce: Ing. Renata Wagnerová Ph.D.
Diplomant: Lukáš Hédl
Ostrava: 2003
ANOTACE BAKALÁŘSKÉ PRÁCE
HÉDL, L. Hypertextová podpora výuky v oblasti automatického řízení, Ostrava: katedra
ATŘ – 352 VŠB-TU, 2003, 70 s. bakalářská práce, vedoucí Wagnerová, R.
Bakalářská práce se zabývá tvorbou elektronické příručky pro podporu výuky v oblasti
automatického řízení. Tato příručka obsahuje vybrané typové příklady z oblasti
automatického řízení řešené pomocí programového systému MATLAB.
Příručka obsahuje tři hlavní části. V první části je stručně popsán programový systém
Matlab a jeho toolboxy. Další dvě části obsahují řešené příklady z oblasti analýzy a
syntézy regulačních obvodů.
Příručka je zpracována jako HTML dokument a bude dostupná na internetu pro potřeby
studentů.
ANNOTATION OF BACHELOR THESIS
HÉDL, L. The hypertext teaching support in the area of automatic control, Ostrava:
Department of Control System and Instrumentation, Technical University of Ostrava,
2003, 70 p. Bachelor thesis, head: Wagnerova, R.
The bachelor thesis is concerning with a creation of electronic manual for the teaching
support in the field of automatic control. This manual contains selected model examples
from the field of automatic control which are solved by the system MATLAB.
The manual is divided into three parts. In the first part the programme system
MATLAB and his toolboxes are described. Other two parts contain solved examples from
the area of analysis and synthesis of the control circuits.
The manual is processed as a HTML document and it will be accessible for the use of
students on the internet.
Obsah
1
Obsah
Seznam použitých symbolů................................................................................................. 2
1
Úvod .............................................................................................................................. 4
2
Popis systému Matlab a jeho toolboxů ...................................................................... 5
2.1
Matlab.................................................................................................................... 5
2.2
Simulink ................................................................................................................ 6
2.3
Control System Toolbox........................................................................................ 7
2.4
System Identification Toolbox .............................................................................. 7
2.5
Optimization Toolbox ........................................................................................... 7
2.6
Signal Processing Toolbox .................................................................................... 8
3
Analýza systémů .......................................................................................................... 9
3.1
Zadání matematického modelu systému................................................................ 9
3.1.1
Diferenciální rovnice..................................................................................... 9
3.1.2
Přenos systému ............................................................................................ 18
3.1.3
Zadání přenosu systému pomocí pólů a nul ................................................ 20
3.1.4
Zadání stavového popisu ............................................................................. 22
3.1.5
Převody mezi jednotlivými způsoby popisu systému.................................... 24
3.2
Propojení systémů ............................................................................................... 28
3.2.1
Paralelní zapojení ....................................................................................... 28
3.2.2
Sériové zapojení........................................................................................... 29
3.2.3
Zpětnovazební zapojení ............................................................................... 29
3.3
Vykreslení základních charakteristik systému .................................................... 31
3.3.1
Přechodová charakteristika......................................................................... 31
3.3.2
Impulsní charakteristika .............................................................................. 34
3.3.3
Kmitočtové charakteristiky .......................................................................... 36
3.4
Stabilita systému.................................................................................................. 39
3.4.1
Stabilní systém ............................................................................................. 40
3.4.2
Systém na mezi stability............................................................................... 43
3.4.3
Nestabilní systém ......................................................................................... 46
4
Syntéza regulačních obvodů ..................................................................................... 49
4.1
Návrh regulátoru metodou Ziegler – Nichols...................................................... 49
4.2
Návrh regulátoru metodou požadovaného modelu.............................................. 52
4.3
Metody výpočtu koeficientů diskrétních regulátorů............................................ 58
5
Závěr ........................................................................................................................... 63
6
Literatura ................................................................................................................... 64
Seznam použitých symbolů
A
stavová matice systému typu (n,n)
A(ω)
modul, amplituda kmitočtového přenosu
Ao
amplituda otevřeného regulačního obvodu
ai
koeficient mnohočlenu ve jmenovateli přenosu, koeficient levé
strany lineární diferenciální rovnice
b
bj
stavová matice řízení typu (n,1)
koeficient mnohočlenu v čitateli přenosu, koeficient pravé strany
lineární diferenciální rovnice
ci
koeficienty homogenní diferenciální rovnice
c
E
výstupní matice systému typu (n,1)
f0
frekvence [s-1]
g
impulsní funkce
G(jω)
kmitočtový přenos
G(s)
obrazový přenos (L – přenos)
G(z)
obrazový přenos diskrétního systému (Z – přenos)
Go
přenos otevřeného regulačního obvodu
GMČ
přenos měřicího členu
GP
přenos, přes který působí na regulační obvod poruchová veličina
GR
přenos regulátoru
GS
přenos regulované soustavy
Gv
přenos poruchy
Gve
odchylkový přenos poruchy
Gw
přenos řízení
Gwe
odchylkový přenos řízení
h
přechodová funkce
Im{G(jω)}
imaginární část kmitočtového přenosu
j = −1
obraz regulační odchylky
imaginární jednotka
k1
koeficient přenosu
L
operátor přímé Laplaceovy transformace
L(ω)
logaritmická amplituda kmitočtového přenosu [dB]
-1
L
operátor zpětné Laplaceovy transformace
m
stupeň mnohočlenu v čitateli kmitočtového přenosu
n
stupeň mnohočlenu ve jmenovateli přenosu
No
charakteristický mnohočlen otevřeného regulačního obvodu
2
P(ω)
reálná část kmitočtového přenosu
Q(ω)
imaginární část kmitočtového přenosu
Re{G(jω)}
reálná část kmitočtového přenosu
s
komplexní proměnná Laplaceovy transformace
t
spojitý čas [s]
T, Ts
vzorkovací perioda
Td
dopravní zpoždění u spojitých systémů (členů)
TD
derivační časová konstanta
TI
integrační časová konstanta
U
obraz vstupní veličiny, obraz řídicí (akční) veličiny
u
vstupní veličina, řídicí (akční) veličina
V
obraz poruchové veličiny
v
poruchová veličina
W
obraz žádané veličiny
w
žádaná veličina, nezávisle proměnná u bilineární transformace
x
Y
vektor stavových veličin (stav) dimenze n
y
regulovaná (výstupní) veličina
z
nezávisle proměnná Z transformace
obraz regulované (výstupní) veličiny
Z
-1
operátor přímé transformace Z
Z
operátor zpětné transformace Z
ω
reálný úhlový kmitočet [s-1]
ξ
koeficient poměrného tlumení
δ
Diracův jednotkový impuls
η
Heavisideův jednotkový skok
ϕ(ω)
fáze kmitočtového přenosu [rad]
3
Úvod
4
1 Úvod
V dnešní době existuje množství programů usnadňujících matematické výpočty
z oblasti automatického řízení. Patří mezi ně i programový systém Matlab. Právě tento
systém je jedním z programových produktů využívaných na katedře ATŘ. Síťová verze
tohoto programu je dostupná studentům na školních počítačových učebnách. Proto vznikla
potřeba elektronické příručky, která by studenty seznámila s možnostmi tohoto systému.
Cílem této bakalářské práce je zpracování elektronické příručky pro podporu výuky
automatického řízení. Tato příručka obsahuje řešení typových příkladů z oblasti
automatizace pomocí programového prostředí Matlab.
Příručka je rozdělena na tři hlavní části. První kapitola obsahuje seznámení
s programem Matlab a jeho toolboxy Simulink, Control System, System Identification,
Signal Processing a Optimization, také popisuje možnosti jejich využití. Druhá kapitola je
zaměřena na oblast analýzy systémů, možnosti zadávání matematických modelů a převodů
mezi nimi, vykreslení základních charakteristik systémů a kontrolu stability. Třetí část
obsahuje příklady z oblasti syntézy regulačních obvodů jsou tu uvedeny postupy pro návrh
spojitých a diskrétních regulátorů v prostředí Matlab.
Elektronická podoba příručky je vytvořena jako HTML dokument a je umístěna na
internetových stránkách katedry ATŘ spolu s ostatními již vytvořenými učebnicemi.
Popis systému Matlab a jeho toolboxů
5
2 Popis systému Matlab a jeho toolboxů
2.1 Matlab
Matlab je interaktivní systém pro vědecké a technické výpočty založený na maticovém
kalkulu. Umožňuje řešit velkou oblast numerických problémů, aniž byste museli
programovat vlastní program. Název Matlab vznikl zkrácením z MATrix LABoratory.
Původně Matlab vznikl jako interaktivní nadstavba pro usnadnění práce s knihovnami
LINPACK a EISPACK pro práci s maticemi. Základním typem byly matice, které na rozdíl
od většiny jiných systémů a jazyků nevyžadovaly nastavování dimenzí.
Současný Matlab je mnohem více než jen nadstavbou maticové knihovny.Systém
obsahuje vlastní interpretr jazyku Matlab, ve kterém lze připravit jak dávkové soubory,
tak definovat i nové funkce. Tyto funkce mohou být interpretovány buď přímo z textové
podoby souborů nazývaných m-file nebo z předzpracované podoby p-file. Systém dále
umožňuje přidávat moduly (soubory mex-file) zkompilované do strojového kódu
procesoru. Jazykem zdrojových souborů může být jazyk C, C++, Fortran nebo po použití
mcc (Matlab to C Compiler) i funkce uložená v m-file.
V prostředích, kde je možný grafický výstup, je k dispozici velmi silná podpora pro
tvorbu uživatelského prostředí a vizualizaci dat. Základní funkce umožňují vizualizaci 2D
a 3D dat v grafech s množstvím volitelných parametrů, které lze po doplnění legendou
a popisy os snadno vytisknout.
Systém umožňuje i tvorbu vlastních dialogů a oken s kombinacemi grafů, tlačítek, listů
a dalších objektů, kterým mohou být přiřazeny volané funkce v m-file. Dobře je
obslouženo i polohovací zařízení - myš.
Pro tvorbu samostatně spustitelných aplikací je k dispozici Matlab library.
Asi nejdůležitější částí instalace Matlab jsou ''knihovny'' funkcí (ve skutečnosti
adresáře s m a mex soubory), které jsou nazývány toolboxy. Toolboxy obsahují vždy
uceleným způsobem včetně dokumentace a příkladů zpracovaný určitý obor numerické
matematiky, analytické matematiky, statistiky, systémového přístupu k regulacím a další
obory, ve kterých nachází Matlab uplatnění.
Po výčtu základních vlastností systému Matlab je lépe možné si představit uplatnění
systému v typických oblastech pro jeho použití tak, jak je udává návod k systému Matlab:
• Matematické výpočty
• Vývoj algoritmů
• Modelování a simulace
• Analýza dat a vizualizace
• Vědecká a inženýrská grafika
• Vývoj aplikací včetně uživatelského interface
6
2.2 Simulink
Simulink postupně přerostl z knihovny funkcí určené k simulaci jednoduchých
lineárních spojitých a diskrétních systémů v samostatný subsystém s dokonalým
uživatelským rozhraním. Základem toolboxu Simulink jsou bloky, které reprezentují
elementární dynamické systémy. Propojením signálových vstupů a výstupů těchto bloků
vznikají modely složitějších systémů. Libovolnou skupinu bloků lze uzavřít do subsystému
a určit externí vstupy a výstupy této skupiny. Dále lze pracovat s takovouto skupinou jako
se základním blokem. Je-li potřeba zastínit proměnné parametry bloků uvnitř skupiny, lze
uzavřenou skupinu zamaskovat a doplnit informacemi, které vytvoří při modifikaci
parametrů bloku dotazový dialog a postarají se o přepočítání a přenesení zadaných
parametrů dovnitř do zamaskované skupiny. Pro zamaskovanou skupinu lze také vytvořit
grafickou reprezentaci skupiny, která se může být i závislá na nastavených parametrech.
K výpočtům parametrů lze užít všech forem výrazů a volání funkcí, které Matlab
umožňuje.
Interaktivní způsob tvorby a simulace modelů se spouští z příkazové řádky systému
Matlab příkazem simulink. Po spuštění je vytvořeno okno pro tvorbu nového modelu
a okno obsahující základní nabídku otvírání knihoven zdrojů signálů, základních spojitých,
diskrétních a nelineárních bloků a bloků pro zobrazování a ukládání signálů. Pod touto
interaktivní obálkou se skrývá systém velmi podobný grafickému subsystému s obdobnými
funkcemi simget a simset. Další vrstva funkcí umožňuje již komfortnější neinteraktivní
tvorbu modelů systémů. Pro obvyklého uživatele však není nutné o implementaci
a programování modelů přemýšlet.
Základní a již dále nedělitelné jsou pouze bloky obsahující takzvané s-funkce. Jedná se
o zabudované funkce, mex-soubory a nebo o obvyklé interpretované funkce uložené
v m-souborech. Tyto funkce mají předepsané parametry a chování pro různé druhy volání.
Pro spojité systémy v jednoduchosti informují o okamžitých hodnotách derivací a výstupů
bloku pro diskrétní bloky o příštích hodnotách výstupů při zadaných vstupních hodnotách.
Jednoduché nelineární bloky lze také vytvářet vložením libovolného přípustného výrazu
v jazyku Matlab do k tomu určeného bloku.
Simulink je schopen simulovat smíšené systémy obsahující spojité části, diskrétní části
i s různými periodami vzorkování a s posunutými okamžiky vzorkování. Je schopen
simulovat i nelineární bloky a aproximovat chování systémů obsahujících algebraické
smyčky, na které ovšem před simulací upozorňuje.
Dynamické vlastnosti lineárních částí lze popisovat komplexními přenosy, maticemi
systémů nebo přímo použít bloky reprezentující přímo sčítání, integraci, diferenci,
násobení konstantou a další elementární operace. V knihovně nelineárních bloků jsou
předdefinovány paměťové bloky, přepínače, releové charakteristiky, násobení a dělení
signálů, zdroje hodinových impulsů a mnoho dalších.
Většinu systémů, které mohou být řešeny v diskrétním čase (lze je diskretizovat) je
možno přes RTW (Real Time Workshop) převést přímo do zdrojového kódu v jazyku C,
který lze po doplnění zdrojovými texty pro uživatelem definované s-funkce přímo
kompilovat do strojových jazyků počítačů určených k řízení. Pak vytvoření i složitého
regulačního systému může vypadat tak, že návrhář sestaví model navrhovaného regulátoru
z předdefinovaných bloků Simulink a po stisknutí jediného tlačítka (je-li již správně
zvolena konfigurace) dojde ke kompletnímu překladu a přenosu výsledného kódu do řídící
jednotky.
7
2.3 Control System Toolbox
Control System Toolbox je aplikační knihovna, která rozšiřuje systém Matlab
o nástroje pro řídicí techniku a teorii systémů. Funkce z oblasti analýzy a návrhu řídicích
systémů využívají jak klasické přechodové charakteristiky, tak i popisy systémů
ve stavovém prostoru.
Novinkou je zavedení lineárních časově invariantních objektů (LTI), což jsou struktury
popisující jednorozměrové i mnoharozměrové lineární systémy. Do LTI lze kromě popisu
struktury systému uložit i mnoho dalších vlastností, jako je vzorkovací frekvence, dopravní
zpoždění, pojmenování vstupních a výstupních signálů a další uživatelská data. Tyto
informace lze samozřejmě editovat a ukládat v kterémkoli časovém okamžiku a tak
přehledně dokumentovat jednotlivé stavy systému během experimentu.
Operace s LTI jsou podobné maticovým operacím (sčítání, násobení, …). LTI
umožňuje uživateli pracovat s přenosy systémů, se stavovým prostorem i s popisy pomocí
pólů a nul systému. Vestavěný grafický LTI Viewer poskytuje nástroje na analýzu odezvy
systému, jako jsou přechodová charakteristika, kmitočtové charakteristiky v
logaritmických souřadnicích i komplexní rovině, zobrazení pólů a nul a další. Pouhým
klepnutím na tlačítko myši je možno přecházet z časové do kmitočtové oblasti, volit
množinu pozorovaných vstupů a výstupů, pozorovat pouze podstatné části charakteristik
pomocí funkce "zoom" a podobně.
2.4 System Identification Toolbox
System Identification Toolbox je určen pro vytváření matematických modelů systémů
z naměřených dat. Poskytuje nástroje pro vytvoření matematických modelů dynamických
systémů založené na sledování vstupních a výstupních dat.
Pro práci využívá grafické uživatelské rozhraní, které usnadňuje práci při organizaci
dat a modelů.
Nástroje pro identifikaci poskytované v tomto toolboxu jsou určené pro užití v oblasti
od návrhu regulátoru a zpracování signálu až k časové a vibrační analýze.
2.5 Optimization Toolbox
Optimization toolbox je určen pro minimalizaci a maximalizaci funkcí. Obsahuje
funkce určené pro minimalizaci (nebo maximalizaci) obecných nelineárních funkcí. Také
obsahuje funkce pro nelineární vyrovnání řešení a funkce pro řešení problému nejmenších
čtverců.
8
2.6 Signal Processing Toolbox
Tento nástroj je určen ke zpracování signálů. Podporuje široké pole operací ke
zpracování signálů od generování časových průběhů signálu po návrh filtrů a jejich
implementaci, parametrické modelování a spektrální analýzu. Toolbox nabízí dvě
kategorie nástrojů:
•
Funkce pro zpracování signálů
•
Grafické, interaktivní nástroje
Funkce pro zpracování signálů jsou volány přímo z příkazové řádky v prostředí Matlab.
Tyto funkce jsou většinou naprogramovány jako m-file a po zkopírování a přejmenování je
možné je modifikovat.
Grafické uživatelské rozhraní (GUI) nabízí prostředí pro návrh filtrů, analýzu signálů
a jejich implementaci, nástroje pro prohlížení průběhu signálů a jejich editaci. Grafické
prostředí umožňuje prácí s myší a grafickou editaci signálů, signály je možné přehrát na
zvukovém zařízení počítače, a mnoho dalších.
Analýza systémů
9
3 Analýza systémů
3.1 Zadání matematického modelu systému
Dynamické vlastnosti systému lze popsat různými způsoby, které lze v podstatě
rozdělit do dvou skupin a to na vnitřní a vnější popis systému.
Vnější popis systému je vyjádření dynamických vlastností systému závislostí mezi jeho
vstupem a výstupem. Při vnějším popisu systému považujeme systém za černou skříňku se
vstupem a výstupem.
Vnějších popisů lineárního systému je několik. Všechny systém jednoznačně
charakterizují a povětšině lze z jednoho druhu popisu odvodit další.
Pod pojmem popis lineárního regulačního systému si nejčastěji představíme popis
řízeného systému (regulované soustavy). Tomu napovídá i používané označení u(t) pro
vstupní veličinu a y(t) pro výstupní veličinu. Ale můžeme tím myslet i popis prvků
systému. Rovněž tak můžeme stejným způsobem popisovat i řidicí systém, kde je opačné
značení vstupní a výstupní veličiny.
Vnější popis lineárního spojitého systému s jednou vstupní a jednou výstupní veličinou
může být:
• diferenciální rovnice
• přenos a poloha pólů a nul přenosu systému
• přechodová funkce
• impulsní funkce
• kmitočtový přenos
Jediným vnitřním popisem systému je jeho popis ve stavovém prostoru tzv. stavový
popis. Vnitřní popis systému je vyjádření dynamických vlastností systému závislostí mezi
jeho vstupem, stavem a výstupem.
Vnitřní popis systému je popis jeho stavově přechodné struktury Je nejdokonalejším
popisem systému. Vyjadřujeme jej pomocí stavových rovnic. [Švarc, I. 1992]
3.1.1 Diferenciální rovnice
Popis systému v časové oblasti.
Lineární spojitý systém S s jednou vstupní a jednou výstupní veličinou podle obr. 3.1
má obecnou závislost mezi vstupem a výstupem popsán rovnicí ve tvaru
d n y(t)
d n−1y(t)
dy(t)
d mu(t)
d m−1u(t)
du(t)
an
+ an−1 n−1 + ...+ a1
+ a0 y(t) = bm m + bm−1 m−1 + ...+ b1
+ b0u(t), (3.1)
n
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Kde jsou:
ai, bi - koeficienty levé a pravé strany diferenciální rovnice,
u(t) - vstupní veličina,
y(t) - výstupní veličina.
Analýza systémů
10
u(t)
y(t)
S
obr. 3.1 Blokové schéma systému
Diferenciální rovnici systému získáme obvykle tak, že uvedeme fyzikální vztahy
systému a eliminujeme všechny proměnné mimo vstupní a výstupní veličinu. Např.
v mechanických systémech obvykle vystačíme s dynamickou rovnováhou sil [Švarc, I.
1992].
Matlab umožňuje diferenciální rovnice řešit numericky. Pro zadání diferenciální
rovnice do programu Matlab máme dvě možnosti. Rovnici můžeme zadat pomocí toolboxu
Simulink, kde sestavíme její blokové schéma. Druhou možností je naprogramovat
si pomocí m-file editoru vlastní funkci, do které zadáme parametry rovnice.
Příklady:
Příklad 1. – Nádrž s volným odtokem kapaliny
Provedeme analytickou identifikaci nádrže s volným odtokem kapaliny obr. 3.2
za předpokladu, že h(t) je výška hladiny [m], P je obsah příčného průřezu hladiny [m2], A
je obsah příčného průřezu odtoku [m2], q1 je objemový přítok [m3s-1], q2 je objemový
odtok [m3s-1] a ϕ rychlostní součinitel.
Pro q2 platí:
q 2 = Aϕ 2 gh(t )
(3.2)
Máme zadány následující hodnoty:
P = 2 m2
q1 = 0,1 m3s-1
A = 0,1 m2
ϕ = 0,9
h(0) = 0,1 m
q1(t)
P
h(t)
q2(t)
obr. 3.2 Nádrž s volným odtokem
Pro elementární přírůstek objemu kapaliny v nádrži Pdh(t) za elementární časový
přírůstek dt platí rovnice
Pdh(t) = q1(t)dt – q2(t)dt,
Resp. Po uvažování vztahu (3.2)
Pdh(t) = q1(t)dt - Aϕ 2 gh(t ) .
Analýza systémů
11
Po úpravě dostaneme nelineární nehomogenní diferenciální rovnici 1. řádu
Ph′(t ) = q1 (t ) − Aϕ 2 gh(t )
⇒
[
] P1
h′(t ) = q1 (t ) − Aϕ 2 gh(t ) ⋅
(3.3)
a) Řešení pomocí toolboxu Simulink
Na obr. 3.3 je vidět blokové schéma diferenciální rovnice vytvořené v toolboxu
Simulink, při sestavení blokového schéma vycházíme z rovnice (3.3).
obr. 3.3 Řešení diferenciální rovnice nádrže v programu Simulink
Popis jednotlivých bloků a jejich nastavení:
Step – skoková změna pro nás představuje přítok nádrže q1. Zde nastavíme tyto parametry:
Step time – zde uvádíme v jakém čase od začátku simulace dojde k zapnutí skokové
změny čas uvádíme v sekundách. Hodnotu nastavíme na nulu.
Initial value – počáteční hodnota. Hodnotu nastavíme na nulu.
Final value – výsledná hodnota skoku kterou nastavíme na hodnotu 0,1.
Gain – zesílení tento blok vynásobí vstupní signál požadovanou hodnotou. V tomto řešení
je zesílení použito dvakrát:
Gain – Zde je zadána hodnota 1 / P ve tvaru 1 / 2.
Gain2 – V tomto zesílení je zadán vztah Aϕ 2 g ve tvaru 0.1*0.9*sqrt(2*9.81).
Integrátor – Integrační člen v tomto členu zadáváme počáteční podmínku 0,1.
Math Function – tento blok umožňuje provedené několika matematických funkci. Pro nás
je důležitá funkce odmocnina – sqrt.
Scope – nástroj na zobrazení výsledného signálu v závislosti na čase. Graf otevřeme
poklepáním na tento blok.
b) Řešení pomocí m-file
Zadání funkce:
function hp = difrov (t, h)
% deklarace funkce a načtení hodnot: t-doba simulace, h-počáteční
podmínka
q1 = 0.1; %zadání konstant
A = 0.1; %zadání konstant
fi = 0.9; %zadání konstant
g = 9.81; %zadání konstant
hp = (q1 - A*fi*sqrt(2*g*h))/2; %zadání diferencialní rovnice
Analýza systémů
12
Název uloženého souboru se musí shodovat s názvem funkce. V tomto případě se
soubor bude jmenovat difrov.m. Při volbě názvu funkce nesmíme zapomenout, že naše
funkce nesmí mít stejný název jako vestavěné funkce programu Matlab.
Abychom mohli vytvořenou funkci v podobě m-file v spustit musíme v programu
nastavit cestu do adresáře kde je náš soubor uložen. Matlab standardně nabízí složku
MATLABR11\work. Nastavení cesty ke složce můžeme změnit pomocí nástroje Path
Browser (File -SetPath…), pomocí tohoto nástroje také můžeme cestu k našemu adresáři
uložit pro příští spuštění.
Výpočet:
[t,y]=ode45('difrov', [0:0.1:30], 0.1); %volaní funkce difrov a
výpočet
Funkce ode45 je numerická funkce řešení diferenciálních rovnic. Parametry [t, y] určují
jména proměnných kde bude uložen výsledek. Parametr 'difrov' volá naši vytvořenou
funkci. Hodnoty [0:0.1:30] určují krok a dobu řešení. Poslední uvedená hodnota 0,1 je
počáteční podmínka y0.
vykreslení:
plot (t, y); %vykreslení grafu
grid; %zapnutí zobrazení mřížky
title ('Výška hladiny v nádrži'); %titulek grafu
xlabel ('doba simulace'); %popis osy x
ylabel ('výška hladiny'); %popis osy y
Výsledek:
obr. 3.4 Vykreslení přechodové charakteristiky modelu nádrže
Analýza systémů
13
Příklad 2. – RC člen
Provedeme analytickou identifikaci elektrického obvodu se dvěma prvky
kondenzátorem C a odporem R a vstupním napětím u1. Zapojení obvodu je patrné z obr.
3.5.
Máme zadány hodnoty:
R = 10 kΩ
C = 10 µF
u1 = 220V
R
U1
C
U2
obr. 3.5 Zapojení RC členu
Při řešení elektrických obvodů vycházíme z Ohmova zákona a Kirchhoffových zákonů.
Pro úbytek napětí na odporu R platí vztah
u (t ) = Ri (t ) ⇒ U ( s ) = RI ( s ) ,
(3.4)
pro úbytek napětí na kondenzátoru C platí:
t
u (t ) =
1
i (τ )dτ
C ∫0
⇒ U ( s) =
1
I (s) .
Cs
Poměr výstupního napětí na vstupním je možné popsat vztahem
U 2 (s)
Z 2 (s)
=
,
U 1 ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s )
(3.5)
(3.6)
kde Z1(s) představuje příčnou větev obvodu (kondenzátor C) a Z2(s) horní větev obvodu
(odpor R).
Dosazením vztahů (3.4) a (3.5) do rovnice (3.6) získáme
1
1
I ( s)
U 2 (s)
1
Cs
=
= Cs =
.
RCs + 1 RCs + 1
1 
U1 ( s) 
R +
 I (s)
Cs
Cs 

Výsledkem je rovnice vyjadřující závislost výstupního napětí u2 na vstupním napětí u1
ve tvaru
U 2 (s )
1
=
,
U1 (s ) RCs + 1
tuto rovnici upravíme na následující tvar
RCsU 2 ( s ) + U 2 ( s ) = U 1 ( s ) .
Analýza systémů
14
Pomocí zpětné Laplaceovy transformace rovnici převedeme z oblasti komplexní
proměnné s do časové oblasti a vyjádříme nejvyšší derivaci:
RCu& 2 (t ) + u 2 (t ) = u1 (t )
u& (t ) = [u1 (t ) − u 2 (t )]
1
RC
(3.7)
Simulink při sestavení blokového schéma vycházíme z rovnice (3.7).
obr. 3.6 Řešení diferenciální rovnice RC členu v programu Simulink
Step – zde nastavíme vstupní napětí u1: Step time = 0, Final value = 220,
Gain – do zesílení nastavíme hodnotu 1/RC,
Integrátor – Integrační člen v tomto členu zadáváme počáteční podmínku 0,
Scope – nástroj na zobrazení výsledného signálu v závislosti na čase. Graf otevřeme
poklepáním na tento blok.
Zadání funkce:
function u2 = difrov2 (t, u) % deklarace funkce a na čtení hodnot: tdoba simulace, u-počáteční podmínka u2
u1=220; %zadání konstant
R=10000; %zadání konstant
C=0.01; %zadání konstant
RC=R*C; %zadání konstant
u2= (u1 - u)/RC; %diferencialní rovnice
Výpočet:
[t,u]=ode45('difrov2', [0:0.1:800], [0]); % volání funkce difrov2
Funkce ode45 je numerická funkce řešení diferenciálních rovnic. Parametry [t, u] určují
jména proměnných kde bude uložen výsledek. Parametr 'difrov2' volá naši vytvořenou
funkci. Hodnoty [0:0.1:800] určují krok a dobu řešení. Poslední uvedená hodnota 0 je
počáteční podmínka.
Vykreslení:
plot (t, u); %vykreslení grafu
grid; %zobrazení mřížky
title ('průběh napětí u2'); %titulek grafu
ylabel ('napětí') % popis osy y
Analýza systémů
15
Výsledek:
obr. 3.7 Vykreslení přechodové charakteristiky modelu RC členu
Příklad 3. – Hmota na pružině a tlumiči
Provedeme analytickou identifikaci systému s hmotou na pružině a tlumiči (obr. 3.8) za
předpokladu, že k – tuhost pružiny [kg.s-2], b – odpor tlumiče [kg.s-1], m – hmotnost [kg] a
F – působící vstupní síla [N]. Sledované výstupní veličiny jsou y′(t) – průběh rychlosti
hmoty [m.s-1] a y(t) – průběh výchylky polohy hmoty [m].
Máme zadány hodnoty:
F = 50N
m = 2kg
k = 5kg.s-2
b = 0,5kg.s-1
y0 = 5m
y’0 = 0m.s-1
k
b
f(t)
m
y(t), y’(t)
obr. 3.8 Hmota na pružině a tlumiči
Analýza systémů
16
Při řešení vycházíme z pohybové rovnice
m
ma = ∑ Fi ,
i =1
pro náš příklad má pohybová rovnice následující tvar
my′′(t ) = F (t ) − Fk (t ) − Fb (t ) ⋅
(3.8)
Jednotlivé síly spočítáme podle následujících vztahů
Fk = ky ; Fb = ky ′ .
Po dosazení do rovnice (3.8) získáme diferenciální rovnici druhého řádu
my ′′(t ) = f (t ) − ky (t ) − by ′(t ) ,
po úpravě získáme tvar
y ′′(t ) = [ f (t ) − ky (t ) − by ′(t )]⋅
1
⋅
m
(3.9)
Simulink při sestavení blokového schéma vycházíme z rovnice (3.9).
obr. 3.9 Řešení diferenciální rovnice hmoty na pružině a tlumiči v programu Simulink
Step – zde natavíme vstupní sílu F: Step time = 0, Final value = 50.
Gain – hodnoty jednotlivých zesílení jsou patrné z obr. 3.9.
Integrátor – Integrátor nastavíme na hodnotu 0, Integrátor1 na hodnotu 5
Protože numericky je možné řešit pouze diferenciální rovnice prvního řádu, musíme
nejdříve výchozí diferenciální rovnici druhého řádu (3.9) převést na soustavu
diferenciálních rovnic prvního řádu.
Nejdříve zavedeme substituci
y1 = y; y2 = y’,
Analýza systémů
17
po zavedení substituce získáme soustavu dvou diferenciálních rovnic prvního řádu
y1′ = y 2
y ′2 = [ f (t ) − ky1 − by 2 ] ⋅
1
m
(3.10)
Ze soustavy rovnic (3.10) získáme vektorový popis
y´ = f - K . y
 0  0
y´ =  f (t )  −  k
 m   m
− 1  y 
b ⋅ 1
y
m   2 
(3.11)
Zadání funkce:
function yp = difrov1 (t, y) % deklarace funkce a na čtení hodnot: tdoba simulace, y-počáteční podmínky
f = [0;25]; % zadání konstant - Vektoru f
k = [0 -1;2.5 0.25]; %zadání konstant - Vektoru K (hodnoty k, b)
yp = f-k*y; %zadání diferenciální rovnice podle vztahu
Při zadávání konstant a diferenciální rovnice vycházíme ze vztahu (3.11) proto f a
k zadáváme jako matice. Výsledná hodnota bude také matice yp, kde první sloupec bude
obsahovat hodnoty y (průběh výchylky hmoty) a druhý sloupec hodnoty y’ (průběh
rychlosti hmoty).
Název uloženého souboru se musí shodovat s názvem funkce. V tomto případě se
soubor bude jmenovat difrov1.m.
Výpočet
[t,yp]=ode45('difrov1', [0:0.1:50], [5;0]);
Funkce ode45 je numerická funkce řešení diferenciálních rovnic. Parametry [t, yp]
určují jména proměnných, kde bude uložen výsledek. V proměnné yp bude uložen jako
matice. Parametr 'difrov1' volá naši vytvořenou funkci. Hodnoty [0:0.1:30] určují krok a
dobu řešení. Poslední hodnota [5;0] je matice počátečních podmínek.
Vykreslení:
plot (t, yp) %vykresleni grafu
grid; %zobrazeni mřížky
title ('průběh výchylky a rychlosti hmoty'); %titulek grafu
ylabel ('výchylka, rychlost'); %popis osy y
Analýza systémů
18
Výsledek:
y
y´
obr. 3.10 Vykreslení přechodové charakteristiky modelu hmoty na pružině a tlumiči
3.1.2 Přenos systému
Popis systému v oblasti komplexní proměnné s.
Přenos systému definujeme jako poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny
k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách. Značíme ho
symbolem G(s) a za předpokladu, že L{u(t)}=U(s) a L{y(t)}=Y(s) můžeme jeho definici
psát ve tvaru
G (s) =
L{u(t)} Y(s)
=
.
L{y(t)} U(s)
(3.12)
Máme-li systém, popsaný diferenciální rovnicí (3.1), provedeme transformaci této
rovnice za použití věty o linearitě a věty o obrazu n-té derivace v Laplaceově transformaci.
Jestliže podle definice přenosu položíme všechny počáteční podmínky rovny nule,
dostaneme po vytknutí na levé i pravé straně vztah
(a n s n + ... + a1s + a0 )Y ( s ) = (b m s m + ... + b1s + b0 )U ( s )
odtud podle definice (3.12) vyplyne vzorec pro výpočet přenosu z koeficientů známé
diferenciální rovnice
G (s) =
Y(s) b m s m + ... + b1s + b0
=
.
U(s) a n s n + ... + a1s + a0
(3.13)
Tento vzorec má oproti definici v čitateli polynom, vytvořený ze vstupní strany
diferenciální rovnice a ve jmenovateli polynom z výstupní strany diferenciální rovnice.
[Švarc, I. 1992]
Systém Matlab nám diky toolboxu Control System poskytuje několik možností zadání
přenosu.
Analýza systémů
19
Příklady:
Zadání spojitého přenosu za pomocí funkce tf - create a transfer function model
Základní syntaxe příkazu:
SYS = TF(NUM,DEN) – spojitý systém zadáváme čitatele a jmenovatele
sys = tf(NUM, DEN,'OutputDelay',Td) – pokud potřebujeme zadat dopravní
zpoždění přidáme parametr OutputDelay a hodnotu zpoždění Td.
s = TF('s') – vytvoření komplexní proměnné s
Máme systém zadaný přenosem:
G (s) =
1,2 s + 0,5
7,1s + 2 s 2 + 1,5s + 0,1
3
Pro zadání přenosu použijeme příkaz:
sys = tf([1.2 0.5], [7.1 2 1.5 0.1])
Do proměnné sys se uložil přenos v tomto tvaru:
Transfer function:
1.2 s + 0.5
----------------------------7.1 s^3 + 2 s^2 + 1.5 s + 0.1
Při zadávání přenosu můžeme nejdřív zadat do vlastních proměnných koeficienty
čitatele a jmenovatele a teprve potom pomocí těchto proměnných zadat přenos:
cit = [1.2 0.5];
jmen = [7.1 2 1.5 0.1];
sys = tf(cit, jmen)
Transfer function:
1.2 s + 0.5
----------------------------7.1 s^3 + 2 s^2 + 1.5 s + 0.1
Přenos můžeme zadat také tak, že si nejdříve vytvoříme komplexní proměnnou s:
s = tf('s')
Přenos pak zadáme následujícím způsobem:
sys=(1.2*s+0.5)/(7.1*s^3+2*s^2+1.5*s+0.1)
Transfer function:
1.2 s + 0.5
----------------------------7.1 s^3 + 2 s^2 + 1.5 s + 0.1
Zadání diskrétního přenosu za pomocí funkce tf
Zadání diskrétního systému je obdobné jako u systému spojitého. Navíc zde zadáváme
vzorkovací periodu Ts (častěji bývá vzorkovací perioda označována T v matlabu je však
uvedeno značení Ts).
Základní syntaxe příkazu:
SYS = TF(NUM,DEN,Ts)
– diskrétní systém, zadáváme čitatele jmenovatele a
vzorkovací periodu
z = TF('z',Ts) – vytvoření diskrétní proměnné z
Analýza systémů
20
G( z) =
1,2 z + 0,5
7,1z + 2 z 2 + 1,5 z + 0,1
3
sys = tf([1.2 0.5], [7.1 2 1.5 0.1], 0.1)
Do proměnné sys se uložil přenos v tomto tvaru:
Transfer function:
1.2 z + 0.5
----------------------------7.1 z^3 + 2 z^2 + 1.5 z + 0.1
Sampling time: 0.1
Zadání přenosu v programu Simulink
Funkce tf je v programu Simulink zprostředkována pomocí bloků Transfer Fnc pro
spojité systémy a Disckrete Transfer Fnc pro diskrétní systémy viz. obr. 3.11.
obr. 3.11 Bloky tf programu Simulink
Na obrázku obr. 3.12 je příklad zapojení bloku Transfer Fnc pro vykreslení přechodové
charakteristiky spojitého systému.
obr. 3.12 Blokové schéma pro vykresleni přechodové charakteristiky pomocí bloku Transfer Fnc
3.1.3 Zadání přenosu systému pomocí pólů a nul
Je-li přenos systému vyjádřen tvarem
G (s) =
bm ( s + n1 ) ... ( s + nm )
,
an ( s + p1 ) ... ( s + pn )
(3.14)
což je rozklad čitatele i jmenovatele na kořenové činitele, vidíme z něj rozložení pólů
a nul. Toto rozložení zcela charakterizuje dynamické vlastnosti systému. Nuly a póly
mohou být reálné, komplexní nebo i ryze imaginární. Pokud jsou komplexní a ryze
imaginární, musí být vždy po dvou komplexně sdružené. V komplexní rovině označujeme
nuly kroužkem a póly křížkem.
Čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodový děj více tlumen a tím kratší.
Jsou-li póly komplexní znamená to, že přechodový děj bude mít kmitavou složku. Jsou-li
nuly blíže imaginární osy než póly, bude převládat derivační složka. Póly v pravé polovině
znamenají vždy nestabilní pochod. Póly v počátku vyjadřují integrační charakter, nuly
v počátku pak zase derivační charakter. [Švarc, I. 1992]
Analýza systémů
21
Příklady:
Zadání spojitého přenosu za pomocí funkce zpk - create zero-pole-gain model.
SYS = ZPK(Z,P,K) – spojitý systém, zadáváme nuly,
s = ZPK('s') – vytvoření Laplaceovy proměnné s
póly a zesílení
G (s) =
3s 2 ( s + 2)
s 2 ( s + 5)( s + 6)( s + 2)
sys=zpk([0 0 -2],[0 0 -5 -6 -2],3)
Zero/pole/gain:
3 s^2 (s+2)
--------------------s^2 (s+5) (s+6) (s+2)
Při zadávání přenosu pomocí nul, pólů a zesílení můžeme nejdřív zadat do vlastních
proměnných hodnoty nul, pólů a zesílení pomocí těrcho proměnných potom zadáme
přenos:
z=[0 0 -3];
p=[0 0 -5 -6 -2];
k = 3;
sys=zpk(z,p,k)
Zero/pole/gain:
3 s^2 (s+3)
--------------------s^2 (s+5) (s+6) (s+2)
Přenos můžeme zadat také tak, že si nejdříve vytvoříme Laplaceovu proměnnou s:
s = zpk('s')
Zero/pole/gain:
s
Přenos pak zadáme následujícím způsobem:
H = (3*s^2*(s+3))/(s^2*(s+5)*(s+6)*(s+2))
Zero/pole/gain:
3 s^2 (s+3)
--------------------s^2 (s+5) (s+6) (s+2)
Zadání diskrétního přenosu za pomocí funkce zpk - create zero-pole-gain model.
SYS = ZPK(Z,P,K,Ts)
– diskrétní systém, zadáváme nuly, póly, zesílení
a vzorkovací periodu
z = ZPK('z',Ts) – vytvoření diskrétní Laplaceovy proměnné z
G( z) =
3 z 2 ( z + 2)
z 2 ( z + 5)( z + 6)( z + 2)
sys=zpk([0 0 -2],[0 0 -5 -6 -2],3,0.1)
Analýza systémů
22
Výsledkem je přenos ve tvaru:
Zero/pole/gain:
3 z^2 (z+2)
--------------------z^2 (z+5) (z+6) (z+2)
Sampling time: 0.1
Zadání přenosu pomocí funkce zpk v programu Simulink
Funkce zpk je v programu Simulink zprostředkována pomocí bloků Zero-Pole pro spojité
systémy a Diskrete Zero-Pole pro systémy diskrétní viz. obr. 3.13.
obr. 3.13 Bloky Zero-Pole programu Simulink
Na obrázku obr. 3.14 je příklad zapojení bloku Zero-Pole pro vykreslení přechodové
obr. 3.14 Blokové schéma zapojení bloku Zero-Pole pro vykreslení přechodové charakteristiky
3.1.4 Zadání stavového popisu
Stavový popis spojitého systému je plně určen čtveřicí matic A,B,C,D. V běžných
případech je matice D=0. Pro zápis stavového popisu používáme soustavu rovnice ve tvaru
(3.15). Matice A je matice systému, matice B je matice buzení, C je matice výstupu a D
matice převodu.
dx
= Ax + Bu
dt
y = Cx + Du .
x& =
(3.15)
Příklady:
Zadání stavového popisu pro spojitý systém za pomocí funkce ss - Create statespace model.
SYS = SS(A,B,C,D) -
zadání spojitého systému pomocí matic A,B,C,D
Máme systém zadaný následující soustavou rovnic:
x&1 (t ) = −2 x1 (t ) − x2 (t ) + u (t )
x& 2 (t ) = x1 (t )
y (t ) = x1 (t ) + 2 x2 (t )
Analýza systémů
23
Nejdříve do proměnných A,B,C,D Zadáme hodnoty jednotlivých matic:
A= [-2, -1; 1, 0];
B = [1; 0];
C = [1, 2];
D = [0];
Nakonec pomocí těchto matic zadáme systém:
SYS = SS (A, B, C, D)
a =
x1
x2
x1
-2
1
x1
x2
u1
1
0
y1
x1
1
x2
-1
0
b =
c =
x2
2
d =
u1
y1
0
Continuous-time model.
Zadání stavového popisu pro diskrétní systém za pomocí funkce ss - Create statespace model.
SYS = SS(A,B,C,D,Ts) -
zadání diskrétního systému pomocí matic A,B,C,D a
vzorkovací periody Ts.
Máme systém zadaný následující soustavou rovnic:
x&1 (k + 1) = −2 x1 (k ) − x2 (k ) + u (k )
x& 2 (k + 1) = x1 (k )
y (k ) = x1 (k ) + 2 x2 (k )
Nejdříve do proměnných A,B,C,D Zadáme hodnoty jednotlivých matic:
A= [-2, -1; 1, 0];
B = [1; 0];
C = [1, 2];
D = [0];
Analýza systémů
24
Nakonec pomocí těchto matic a hodnoty Ts zadáme systém:
SYS = SS (A, B, C, D, 0.1)
a =
x1
x2
x1
-2
1
x1
x2
u1
1
0
y1
x1
1
x2
-1
0
b =
c =
x2
2
d =
u1
y1
0
Sampling time: 0.1
Discrete-time model.
Zadání stavového popisu systému v programu Simulink
Funkce ss je v programu Simulink zprostředkována pomocí bloků State-Space a Discrete
State-Space viz.obr. 3.15.
obr. 3.15 Bloky State-Space programu Simulink
Na obrázku obr. 3.16 je příklad zapojení bloku State-Space pro vykreslení přechodové
obr. 3.16 Blokové schéma zapojení bloku State-Space pro vykreslení přechodové charakteristiky
3.1.5 Převody mezi jednotlivými způsoby popisu systému
Máme-li již zadaný popis systému pomocí jednoho z výše uvedených způsobu (tf, zpk,
ss), a potřebujeme-li jej vyjádřit i v jiném tvaru, můžeme využít funkcí programu Matlab,
které tento převod umožňují. Dále můžeme převádět spojité systémy na diskrétní a naopak.
Diskrétní systémy pak můžeme převádět na systémy s jinou vzorkovací periodou.
Převod mezi stavovým popisem a přenosem zadaným pomocí funkce tf
Nejdříve zadáme stavový popis který budeme chtít převést na přenos:
A=[-1 -3 -2;1 0 0;0 1 0]; B=[1; 0; 0]; C=[0 4 7]; D=0;
SSsys = ss(A,B,C,D)
Jednou z možností jak stavový popis převést je použití funkce ss2tf. Pokud použijeme
tuto funkci musíme nejdřív znát všechny matice stavového popisu. Pro jejich získání
můžeme použít příkaz ssdata:
[A,B,C,D]=ssdata(SSsys)
Analýza systémů
25
V dalším kroku pak použijeme příkaz ss2tf pro získání čitatele a jmenovatele přenosu
[NUM, DEN] = ss2tf (A, B, C, D)
posledním krokem je zadání přenosu pomocí funkce tf
TFsys=tf(NUM, DEN)
Transfer function:
4 s + 7
------------------s^3 + s^2 + 3 s + 2
Druhou možností je převést stavoví popis na přenos přímo pomocí funkce tf:
TFsys = tf(SSsys)
Převod mezi přenosem zadaným pomocí funkce tf a stavovým popisem
Začneme zadáním přenosu systému:
TFsys = tf([2 5], [7 2 5 1])
Při převodu pomocí funkce tf2ss je postup následující:
Pomocí funkce tfdata si vyjádříme čitatele a jmenovatele přenosu (parametr v ukládá
hodnoty jako vektory)
[NUM, DEN]=tfdata(TFsys, 'v')
pak pomocí funkce tf2ss získáme matice stavového popisu A, B, C, D
[A,B,C,D] = tf2ss (NUM,DEN)
nakonec zadáme stavový popis pomocí příkazu ss:
SSsys=ss(A,B,C,D)
Druhou možností je převod přímo pomocí funkce ss:
SSsys = ss(TFsys)
a =
x1
x2
x3
x1
-0.28571
1
0
x1
x2
x3
u1
1
0
0
y1
x1
0
x2
-0.71429
0
1
x3
-0.14286
0
0
x2
0.28571
x3
0.71429
b =
c =
d =
y1
Continuous-time model.
u1
0
Převod mezi stavovým popisem a přenosem zadaným pomocí funkce zpk
Postup je obdobný jako v předcházejících případech:
Zadání stavového popisu
A=[-1 -3 -2;1 0 0;0 1 0]; B=[1; 0; 0]; C=[0 4 7]; D=0;
SSsys = ss(A,B,C,D)
Analýza systémů
26
Převod pomocí funkce ss2zp. V druhém kroku se do proměnných Z,P,K ukládají
hodnoty nul, pólů a zesílení.
[A,B,C,D]=ssdata(SSsys)
[Z,P,K] = ss2zp (A, B, C, D)
ZPKsys=zpk(Z,P,K)
Převod pomocí funkce zpk
ZPKsys1 = zpk(SSsys)
Převod mezi přenosem zadaným pomocí funkce zpk a stavovým popisem
Zadání přenosu pomocí funkce zpk
ZPKsys = zpk([0 0 -2],[0 0 -5 -6 -2],3)
Převod pomocí funkce zp2ss
[Z,P,K]=zpkdata(ZPKsys,'v')
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)
SSsys=ss(A,B,C,D)
Převod pomocí funkce ss
SSsys1 = ss(ZPKsys)
Převod mezi přenosem zadaným pomocí funkce tf a přenosem z funkce zpk
Zadání přenosu pomocí funkce tf
TFsys = tf([2 5], [7 2 5 1])
Převod pomocí funkce tf2zp
[NUM, DEN]=tfdata(TFsys,'v')
[Z,P,K]=tf2zp(NUM, DEN)
ZPKsys=zpk(Z,P,K)
Převod pomocí funkce zpk
ZPKsys1 = zpk(TFsys)
Převod mezi přenosem zadaným pomocí funkce zpk a přenosem z funkce tf
Zadání přenosu pomocí funkce zpk
ZPKsys=zpk([0 0 -2],[0 0 -5 -6 -2],3)
Převod pomocí funkce zp2tf
[Z,P,K]=zpkdata(ZPKsys,'v')
[NUM, DEN]=zp2tf(Z,P,K)
TFsys=tf(NUM, DEN)
Převod pomocí funkce tf
TFsys1 = tf(ZPKsys)
Převod spojitého systému na diskrétní
Pro převod spojitého systému na diskrétní je určena funkce c2d.
Příkaz zadáváme ve tvaru
SYSD = c2d(SYSC,Ts),
kde SYSD je výsledný diskrétní přenos, SYSC je zdrojový přenos, Ts vzorkovací frekvence.
Analýza systémů
27
Příklad:
Převod spojitého systému na diskrétní
Máme spojitý systém zadaný přenosem ve tvaru:
G (s) =
2s + 5
.
7 s + 2 s 2 + 5s + 1
3
Pro zadání přenosu použijeme funkci tf:
sysC = tf([2 5], [7 2 5 1])
Transfer function:
2 s + 5
----------------------7 s^3 + 2 s^2 + 5 s + 1
Převod na diskrétní tvar provedeme pomocí příkazu c2d se zadanou vzorkovací
periodou 0,5:
sysD = c2d(sysC,0.5)
Transfer function:
0.0478 z^2 + 0.05293 z - 0.01876
---------------------------------z^3 - 2.695 z^2 + 2.578 z - 0.8669
Sampling time: 0.5
Porovnání přechodové charakteristiky původního spojitého systému a získaného
diskrétního systému (obr. 3.1) můžeme vykreslit pomocí příkazu step:
step(sysC, sysD)
Step Response
From: U(1)
6
5
To: Y(1)
Amplitude
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
Time (sec.)
obr. 3.17 Porovnání přechodové charakteristiky spojitého a diskrétního přenosu
Převod diskrétního systému na spojitý
Pro převod diskrétního systému na spojitý je určena funkce d2c.
SYSC = d2c(SYSD),7
kde SYSC je výsledný diskrétní přenos a SYSD je zdrojový přenos.
Analýza systémů
28
Změna vzorkovací frekvence u diskrétního systému
Pro změnu vzorkovací frekvence u diskrétních systémů je určen příkaz d2d.
SYS = d2d(SYS, Ts),
kde SYS je upravovaný systém a Ts je nová vzorkovací frekvence.
3.2 Propojení systémů
Složitější systémy není možné jednoduše zadat jedním přenosem či stavovým
modelem. U složitějších úloh je třeba propojit několik systémů dohromady. Program
Matlab nabízí několik možností jak jednotlivé systémy vzájemně spojit.
3.2.1 Paralelní zapojení
Pro paralelní zapojení (obr. 3.19) jednotlivých systémů slouží v programu Matlab
funkce parallel. U jednorozměrných modelů je možné místo funkce parallel použít součet.
Paralelní zapojení dvou jednorozměrných systémů SYS1 a SYS2 provedeme pomocí
příkazů:
SYS = PARALLEL(SYS1,SYS2),
nebo
SYS = SYS2 + SYS1
výsledný systém se uloží do proměnné SYS.
SYS 1
u
+
y
SYS 2
+
obr. 3.18 Paralelní zapojení jednorozměrných systémů
Matlab pomocí nadstavby Control System umožňuje definovat a propojovat
mnohorozměrné systémy. Příklad takového paralelního zapojení je vidět na obr. 3.19.
v1
z1
SYS 1
y1
u1
+
u
y
u2
+
y2
v2
SYS 2
z2
obr. 3.19 Paralelní zapojení mnohorozměrných systémů
Analýza systémů
29
3.2.2 Sériové zapojení
Pro sérové zapojení (obr. 3.20) jednotlivých systémů slouží v programu Matlab funkce
series. U jednorozměrných modelů je možné místo funkce series použít násobení.
Sériové zapojení dvou jednorozměrných systémů SYS1 a SYS2 provedeme pomocí
příkazů:
SYS = SERIES(SYS1,SYS2),
nebo
SYS = SYS2 * SYS1
výsledný systém se uloží do proměnné SYS.
u
SYS 1
SYS 2
y
obr. 3.20 Sériové zapojení jednorozměrných systémů
mnohorozměrné systémy. Příklad takového sériového zapojení je vidět na obr. 3.21.
v2
y1 u2 SYS 2
y
u
SYS 1
z1
obr. 3.21 Sériové zapojení mnohorozměrných systémů
3.2.3 Zpětnovazební zapojení
Pro zpětnovazební zapojení jednotlivých systémů slouží v programu Matlab funkce
feedback. Na rozdíl od paralelního a sériového zapojení se nedá nahradit matematickým
operátorem.
Můžeme použít dva základní typy zpětnovazebního zapojení. Zapojení se zápornou
vazbou (obr. 3.22) a zapojení s kladnou vazbou (obr. 3.23).
Zpětnovazební zapojení se zápornou vazbou pro jeden systém SYS1 (obr. 3.22)
deklarujeme následujícím příkazem:
SYS = FEEDBACK(SYS1,1,-1).
Parametr –1 není třeba zadávat. Záporná vazba je nejpoužívanější, a proto je tato
hodnota nastavena automaticky jako výchozí, aniž bychom ji zadali.
+
y
u
SYS 1
y
_
obr. 3.22 Zpětnovazební zapojení systému se zápornou vazbou
Analýza systémů
30
Zapojení s kladnou zpětnou vazbou pro jeden systém SYS1 (obr. 3.23) deklarujeme
následujícím příkazem:
SYS = FEEDBACK(SYS1,1,+1)
u
+
SYS 1
+
y
y
obr. 3.23 Zpětnovazební zapojení systému s kladnou vazbou
Zpětnovazební zapojení se zápornou vazbou pro jeden systém SYS1 umístěný ve zpětné
vazbě (obr. 3.24) deklarujeme tímto příkazem:
SYS = FEEDBACK(1,SYS1)
u
+
y
y
_
SYS 1
obr. 3.24 Zpětnovazební zapojení se systémem ve zpětné vazbě
Zpětnovazební zapojení se zápornou vazbou pro dva systémy SYS1 a SYS2 z nich jeden
je umístěn ve zpětné vazbě (obr. 3.25) deklarujeme následujícím příkazem:
SYS = FEEDBACK(SYS1,SYS2)
u
+
SYS 1
y
_
SYS 2
obr. 3.25 Zpětnovazební zapojení jednorozměrných systémů
mnohorozměrné systémy. Příklad takového zpětnovazebního zapojení je vidět na obr. 3.26.
v
z
SYS 1
+
y
u
y
_
SYS 2
obr. 3.26 Zpětnovazební zapojení mnohorozměrného systému
Analýza systémů
31
3.3 Vykreslení základních charakteristik systému
V následující kapitole budou popsány možnosti vykreslení základních charakteristik
systému:
•
Přechodové charakteristiky
•
Impulsní charakteristiky
•
Kmitočtové charakteristiky
3.3.1 Přechodová charakteristika
Přechodová charakteristika je odezva systému na jednotkový Heavisideův skok na
vstupu. Je to tedy časový průběh výstupní veličiny systému a značí se h(t). Jednotkový
skok je funkce, která do času t=0 má nulovou hodnotu a v čase t=0 skočí její hodnota na
jednotku, kterou pak stále udržuje. [Švarc, I. 1992]
V programu Matlab můžeme přechodovou charakteristiku vykreslit příkazem step,
nebo pomocí příkazu ltiview s parametrem step. Tyto příkazy zadáváme v následujících
tvarech:
step(SYS)
ltiview(‘step’,SYS)
Příklady:
Proporcionální systém
Provedeme porovnání přechodových charakteristik u tří proporcionálních systémů,
které máme zadány přenosy:
1. proporcionální člen bez setrvačnosti (ideální)
Gp( s ) = 0,9
2. proporcionální člen se setrvačností 1. řádu
Gp1 ( s ) =
1
3s + 1
3. proporcionální člen se setrvačností 2. řádu
Gp2 ( s ) =
5s + 1
7 s + 3s + 5
2
Pro zadání všech tří přenosů použijme příkaz tf :
p = tf(0.9, 1)
p1 = tf([1], [3 1])
p2 = tf([5 1], [7 3 5])
Přechodové charakteristiky vykreslíme pomocí příkazu step.
step(p, p1, p2)
Pomocí příkazů title, xlabel a ylabel můžeme do grafu zadat titulek a popis osy x a y.
title('Prechodova charakteristika')
ylabel('h(t)')
xlabel('cas[s]')
Analýza systémů
32
Výsledný graf je na obr. 3.27, popisky jednotlivých charakteristik byly přidány
dodatečně pomocí příkazů z panelu nástrojů dialogového okna grafu. Pomocí dalších
nabídek tohoto dialogového okna je možné měnit i některé další zobrazené informace např.
zobrazení mřížky, popisky os a titulku, barvy vykreslených grafů a další.
Prechodova charakteristika
From: U(1)
1.2
1
Gp(s)
0.8
h(t)
To: Y(1)
Gp1(s)
0.6
Gp2(s)
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10
15
20
25
30
cas[s]
obr. 3.27 Vykreslení přechodových charakteristik proporcionálních systémů
Pro vykreslení přechodových charakteristik pomocí programu Simulink budeme
potřebovat bloky Transfer Fnc pro každý přenos, generátor vstupního signálu Step, pro
spojení výsledných dat blok Mux a pro zobrazení dat blok Scope. Do bloků Transfer Fnc
zadáme hodnoty jednotlivých přenosů a bloky propojíme podle schématu na obr. 3.28.
obr. 3.28 Blokově schéma programu Simulink - vykresleni h(t) pro proporcionální člen
Integrační systém
Provedeme porovnání přechodových charakteristik u tří integračních systémů,
jež máme zadány přenosy:
1. Integrační člen bez setrvačnosti (ideální): Gi ( s ) =
2. Integrační člen se setrvačností 1. řádu: Gi1 ( s ) =
1
s
1
s (s + 1)
3. Integrační člen 2. řádu se setrvačností 1.řádu: Gi2 ( s ) =
1
s (s + 1)
2
Přenosy zadáme pomocí příkazu tf:
i = tf([1],[1 0]); i1 = tf([1], [1 1 0]); i2 = tf([1], [1 1 0 0])
Analýza systémů
33
Pro vykreslení charakteristik použijeme příkaz step:
step(i, i1, i2)
Výsledný graf ke kterému byly přidány popisky os a titulek je na obr. 3.29.
From: U(1)
14
12
To: Y(1)
h(t)
10
8
Gi2(s)
6
Gi(s)
4
Gi1(s)
2
0
0
1
2
3
4
5
cas[s]
obr. 3.29 Vykreslení přechodových charakteristik integračních systémů
Pro vykreslení přechodových charakteristik pomocí programu Simulink budeme
potřebovat bloky Transfer Fnc, Step, Mux a Scope. Bloky propojíme podle schématu na
obr. 3.30.
obr. 3.30 Blokově schéma programu Simulink - vykresleni h(t) pro integrační člen
Derivační systém
Podobně jako v předchozích případech porovnáme charakteristiky tří systémů tentokrát
derivačních, které jsou zadány přenosy:
1. Derivační člen 1. řádu se setrvačností 1. řádu: Gd ( s ) =
3s
6s + 5
2. Derivační člen 1.řádu se setrvačností 2.řádu: Gd1 ( s ) =
3s
6 s + 3s + 1
3. Derivační člen se setrvačností 2. řádu: Gd 2 ( s ) =
2
3s + 1s
6 s + 3s 2 + 5s + 1
3
Stejně jako v předchozích případech použijeme pro zadání přenosu příkaz tf:
d=tf([3 0],[6 3]); d1=tf([3 0],[6 3 1]);d2=tf([3 1 0],[6 3 5 1])
a pro vykreslení grafů příkaz step:
step(d, d1, d2)
Výsledný graf je na obr. 3.31.
Analýza systémů
34
From: U(1)
0.7
0.6
Gd1(s)
0.5
Gd2(s)
0.4
Gd(s)
h(t)
To: Y(1)
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
cas[s]
obr. 3.31 Vykreslení přechodových charakteristik derivačních systémů
V programu Simulink provedeme zadání podle schématu na obr. 3.32.
obr. 3.32 Blokové schéma programu Simulink - vykresleni h(t) pro deriva ční člen
3.3.2 Impulsní charakteristika
Impulsní charakteristika g(t) je odezva systému na Diracův impuls na vstupu. Diracův
nebo též jednotkový impuls se nedá fyzikálně realizovat. Při jeho realizaci se udává,
že musí mít co největší amplitudu a nejkratší dobu trvání. Matematicky dosahuje Diracův
impuls nenulové hodnoty pouze v čase t=0. [Švarc, I. 1992]
V programu Matlab můžeme impulsní charakteristiku zobrazit pomocí příkazu impulse,
nebo pomocí příkazu ltiview s parametrem impulse. Vykreslení provedeme pomocí
příkazů:
impulse(SYS)
ltiview(‘impulse’,SYS)
Příklady:
Podobně jako při vykreslení přechodové charakteristiky porovnáme charakteristiky tří
proporcionálních systémů. Použijeme stejné přenosy, které zadáme pomocí funkce tf:
Gp( s ) = 0,9 ; Gp1 ( s ) =
1
5s + 1
; Gp2 ( s ) = 2
,
3s + 1
7 s + 3s + 5
Analýza systémů
35
pro jejich zadání použijeme opět funkci tf:
p = tf(0.9, 1); p1 = tf([1], [3 1]); p2 = tf([5 1], [7 3 5])
Vykreslení pak provedeme pomocí příkazu impulse:
impulse(p,p1,p2)
Výsledek podobě v grafu je na obr. 3.33.
Impulsni charakteristika
From: U(1)
1
0.8
0.6
g(t)
To: Y(1)
Gp2(s)
0.4
Gp1(s)
0.2
0
Gp(s)
-0.2
-0.4
0
5
10
15
20
25
30
cas[s]
obr. 3.33 Impulsní charakteristiky proporcionálních systémů
Porovnání zadaných přenosů:
Gi( s ) =
1
1
1
; Gi2 ( s ) = 2
; Gi1 ( s ) =
s
s (s + 1)
s (s + 1)
i = tf([1],[1 0]); i1 = tf([1], [1 1 0]); i2 = tf([1], [1 1 0 0])
Vykreslení pak provedeme pomocí příkazu impulse:
impulse(i,i1,i2)
Výsledek podobě v grafu je na obr. 3.34.
From: U(1)
4.5
4
3.5
To: Y(1)
g(t)
3
2.5
2
Gi2(s)
Gi(s)
1.5
1
0.5
Gi1(s)
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
cas[s]
obr. 3.34 Impulsní charakteristiky integračních systémů
Analýza systémů
36
Derivační systém
Gd ( s ) =
3s
3s
3s + 1s
; Gd1 ( s ) = 2
; Gd 2 ( s ) = 3
6s + 5
6 s + 3s + 1
6 s + 3s 2 + 5s + 1
d=tf([3 0],[6 3]); d1=tf([3 0],[6 3 1]);d2=tf([3 1 0],[6 3 5 1])
Grafy vykreslíme funkcí impulse:
impulse(d, d1,d2)
From: U(1)
0.5
0.4
0.3
Gd1(s)
Gd2(s)
g(t)
To: Y(1)
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
Gd(s)
-0.4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
cas[s]
obr. 3.35 Impulsní charakteristiky derivačních systémů
3.3.3 Kmitočtové charakteristiky
Kmitočtový přenos je poměr výstupních a vstupních harmonických kmitů systému.
G ( jω ) =
Y ( jω )
U ( jω )
Základním vstupním signálem, kterého používáme při kmitočtovém vyšetřování
vlastností lineárních systémů je sinusový průběh. Vzhledem k lineárnosti uvažovaného
systému je výstupní signál také sinusový a mění se jen jeho amplitudová fáze. Je-li vstupní
signál
u = u0 sin ωt
je výstupní signál
y = y0 sin(ωt + ϕ ) ,
kde u0, y0 jsou amplitudy vstupního a výstupního signálu, ω úhlová frekvence a ϕ fázové
posunutí výstupního signálu vůči vstupnímu.
Analýza systémů
37
Kmitočtová charakteristika
Kmitočtová charakteristika (obr. 3.36) je grafické znázornění G(jω) v komplexní
(Gausově) rovině, přičemž proměnným parametrem je úhlová frekvence ω, kterou měním
od ω=0 do ω=∞. Při sestrojování kmitočtové charakteristiky si kmitočtový přenos G(jω)
upravíme na složkový tvar komplexního čísla
G ( jω ) = Re(ω ) + j Im(ω ) ,
kde vhodným hodnotám ω počítáme reálnou a
které zakreslujeme do komplexní roviny. [Švarc, I. 1992]
imaginární
složku
přenosu,
Re
ω=∞
ω=0
Im
obr. 3.36 Kmitočtová charakteristika v komplexní rovině
Pro vykreslení kmitočtové charakteristiky v programu Matlab můžeme použit příkaz
nyquist, nebo příkaz ltiview s parametrem nyquist.
nyquist(SYS)
ltiview(‘nyquist’,SYS)
Logaritmické kmitočtové charakteristiky
Kmitočtovou charakteristiku také někdy nazýváme amplitudo-fázovou charakteristikou
v komplexní rovině. Teoreticky i prakticky se dá rozdělit na dvě charakteristiky –
amplitudovou a fázovou. Pro větší přehlednost tuto dvojici charakteristiky vykreslujeme
v logaritmických souřadnicích (obr. 3.38).
U obou charakteristik vynášíme hodnotu ω na vodorovnou osu v logaritmickém
měřítku jako logω. Tím dosáhneme velké rozmezí změn frekvence.
Na svislou osu amplitudové logaritmické charakteristiky vynášíme absolutní hodnotu
kmitočtového přenosu, ale v jednotkách decibel. Decibel je v tomto případě definován jako
dvacetinásobek dekadického logaritmu.
A(ω ) = 20 log G ( jω )
Hodnoty A[dB] vynášíme již v lineárním měřítku. Fázi vynášíme na svislou osu opět
v lineárním měřítku. [Švarc, I. 1992]
Pro vykreslení logaritmické kmitočtové charakteristiky v programu Matlab můžeme
použit příkaz bode, nebo příkaz ltiview s parametrem bode:
bode(SYS)
ltiview(‘bode’,SYS)
Analýza systémů
38
Příklady:
Opět použijeme přenosy z předchozích kapitol, které zadáme pomocí funkce tf:
Gp( s ) = 0,9 ; Gp1 ( s ) =
1
5s + 1
; Gp2 ( s ) = 2
3s + 1
7 s + 3s + 5
p = tf(0.9, 1); p1 = tf([1], [3 1]); p2 = tf([5 1], [7 3 5])
Vykreslení kmitočtové charaktericky (obr. 3.37) pak provedeme pomocí příkazu
nyquist:
nyquist(p, p1, p2)
Logaritmicko kmitočtovou charakteristiku (obr. 3.38) vykreslíme pomocí funkce bode:
bode(p,p1,p2)
Kmitoctova charakteristika
From: U(1)
1.5
1
Im
To: Y(1)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Re
obr. 3.37 Kmitočtová charakteristika proporcionálních systémů
Logaritmicko kmitoctova charakteristika
10
0
Faze (stupne); A (dB)
-10
-20
-30
50
0
-50
-100
10-2
10-1
100
101
Frekvence (rad/sec)
obr. 3.38 Logaritmická kmitočtová charakteristika proporcionálních systémů
Analýza systémů
39
Gi( s ) =
1
1
1
; Gi1 ( s ) =
; Gi2 ( s ) = 2
s
s (s + 1)
s (s + 1)
i = tf([1],[1 0]); i1 = tf([1], [1 1 0]); i2 = tf([1], [1 1 0 0])
Vykreslení kmitočtové charaktericky pak provedeme pomocí příkazu nyquist:
nyquist(i, i1, i2)
Logaritmickou kmitočtové charakteristiku vykreslíme pomocí funkce bode:
bode(i, i1, i2)
Derivační systém
Pro porovnání máme opět zadány následující systémy:
Gd ( s ) =
3s
3s
3s + 1s
; Gd1 ( s ) = 2
; Gd 2 ( s ) = 3
6s + 5
6 s + 3s + 1
6 s + 3s 2 + 5s + 1
d=tf([3 0],[6 3]); d1=tf([3 0],[6 3 1]);d2=tf([3 1 0],[6 3 5 1])
Vykreslení kmitočtové charaktericky pak provedeme pomocí příkazu nyquist:
nyquist(i, i1, i2)
Logaritmicko kmitočtovou charakteristiku vykreslíme pomocí funkce bode:
bode(i, i1, i2)
3.4 Stabilita systému
Stabilita je vlastnost systému. Je jedním ze základních požadavků, které klademe na
regulační obvod.
Regulační obvod je stabilní, jestliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného
stavu a odstranění podnětu, který tuto odchylku způsobil, se regulační obvod během času
vrátí do původního rovnovážného stavu. Jinak řečeno je stabilita vlastnost regulačního
obvodu vrátit se do rovnovážného stavu, jestliže skončí působení vzruchu, který ho
z rovnovážného stavu vyvedl. [Švarc, I. 1992]
Podle stability rozlišujeme tři typy systémů: stabilní, na mezi stability a nestabilní.
Nutná a postačující podmínka stability pro spojité systémy: regulační obvod je stabilní,
leží-li všechny kořey charakteristického polynomu v záporné polovině komplexní roviny
(obr. 3.39).
Im
0
Re
obr. 3.39 Oblast stabilních kořenů pro spojité systémy
Analýza systémů
40
Nutná a postačující podmínka stability pro diskrétní systémy: systém je stabilní právě
tehdy, když jsou kořeny charakteristického mnohočlenu v absolutní hodnotě menší než
jedna (obr. 3.40).
1
Im
Re
0
-1
1
-1
obr. 3.40 Oblast stabilních kořenů pro diskrétní systémy
Pro určení stability v programovém prostředí Matlab můžeme užít příkaz roots, pomocí
něhož určíme hodnotu kořenů charakteristického polynomu. Na základě nutné a postačující
podmínky stability, pak můžeme určit, zda jde o stabilní systém či nikoliv. Pomocí této
podmínky určím pouze, zda je systém stabilní, pokud však není, nelze určit zda se jedná
o systém na mezi stability nebo o systém nestabilní.
Pro spojité systémy je další možností Nyquistovo kriterium stability. Jedná se
o kmitočtové kriterium, které rozhoduje o stabilitě regulačního obvodu na základě průběhu
kmitočtové charakteristiky otevřené smyčky obvodu.
Podle Nyquistova kriteria musí pro stabilní obvod platit:
1.
2.
3.
Im{Go( jω )} = 0 ⇒ ω krit
Re{Go(ω krit )} < −1
ϕ (ω krit ) = −π ⇒ ω krit
A(ω krit ) < 1
ϕ (ω krit ) = −π ⇒ ω krit
L(ω krit ) < 0
3.4.1 Stabilní systém
Máme regulovanou soustavu zadanou přenosem GS(s), regulátor je typu PI zadaný
přenosem GR(s) v obvodu je zapojen měřící člen s přenosem Gmč(s). Regulační obvod je
zapojen podle obr. 3.41.
G R ( s) =
1
5
1
; GS (s) =
; Gmč ( s ) =
5s
s +1
2s + 1
+
-
GR(s)
GS(s)
Gmč(s)
obr. 3.41 Zapojení regulačního obvodu
Analýza systémů
41
Ověření pomocí v programem Matlab
Nejdříve pomočí funkce tf zadáme jednotlivé přenosy:
R = tf([1],[5 0]);
S = tf([5],[1 1]);
mc =tf([1],[2 1]);
Jednotlivé přenosy propojíme podle zadání a získáme přenos regulačního obvodu.
RS = series(R,S);
sys = feedback (RS,mc)
Určení stability pomocí kořenů charakteristického polynomu
Nejdříve určíme stabilitu pomocí nutné a postačující podmínky stability, tedy pomocí
kořenů charakteristického polynomu.
Pomocí příkazu tfdata určíme hodnotu charakteristického polynomu, která se nám
načte do proměnné jmen.
[cit,jmen]=tfdata(sys,'v');
Kořeny polynomu pak zjistíme pomocí příkazu roots:
r = roots (jmen)
r =
-1.3982
-0.0509 + 0.5958i
-0.0509 - 0.5958i
Z výsledku vidíme, že se jedná o stabilní systém, neboť všechny reálné složky kořenů
mají zápornou hodnotu:
Určení stability pomocí Nyquistova kriteria
Pro určení stability podle Nyquistova kriteria stability si nejdříve vypočítáme přenos
otevřeného obvodu:
Go=series(RS,mc)
Pomocí příkazu ltiview vykreslíme amplitudo fázovou kmitočtovou charakteristiku.
ltiview('nyquist',Go)
Na výsledném grafu (obr. 3.42) vidíme že se jedná o stabilní systém neboť kmitočtová
charakteristika protíná reálnou osu až za hodnotou –1.
Analýza systémů
42
Nyquist Diagrams
From: U(1)
10
To: Y(1)
Imaginary Axis
5
0
-5
-10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
obr. 3.42 Kmitočtová charakteristika stabilního systému
Stabilitu můžeme určit i z logaritmické kmitočtové charakteristiky vykreslené pomocí
příkazu ltiview:
ltiview('bode',Go)
Na výsledném grafu (obr. 3.43) je vidět, že hodnota zesílení pro ϕ=180° je menší než 0,
jedná se tedy o stabilní systém.
Bode Diagrams
50
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-50
-100
0
-100
-200
-300
10-2
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
obr. 3.43 Logaritmická kmitočtová charakteristika stabilního systému
Ověření v programu Simulink
Pro ověření stability v programu Simulink použijme bloky Step, Transfer Fnc, Sum a
Scope zapojené podle schéma na obr. 3.44.
Analýza systémů
43
obr. 3.44 Zapojení bloků v programu Simulink
Výsledkem je přechodová charakteristika, na níž je vidět, jak se systém po určité době
ustálí. Jedná se tedy o stabilní systém.
2.5
2
h(t)
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
cas[s]
80
100
120
obr. 3.45 Přechodová charakteristika stabilního systému
3.4.2 Systém na mezi stability
Pro určení stability v tomto příkladu použijeme stejné zadání jako v předchozím
případě pouze změníme hodnotu regulátoru na TI = 10/3.
G R ( s) =
1
5
1
; GS (s) =
; Gmč ( s ) =
10
s +1
2s + 1
s
3
Nejdříve zadáme přenos regulačního obvodu:
%nastaveni regulatoru
TI = 10/3;
R = tf([1],[TI 0]);
%zadání soustavy a mc
S = tf([5],[1 1]);
mc =tf([1],[2 1]);
%propojeni
RS = series(R,S);
sys = feedback (RS,mc)
Analýza systémů
44
Použijeme stejný postup jako v předchozím příkladu:
r1 = roots (jmen)
r1 =
-1.5000
0.0000 + 0.7071i
0.0000 - 0.7071i
Z výsledku vidíme, že se jedná o nestabilní systém neboť pouze jeden kořen splňuje
podmínku stability.
Nejdříve si určíme přenos otevřené smyčky Go(s):
Go=series(RS,mc);
Pomocí následujícího příkazu nejdříve vykreslíme kmitočtovou charakteristiku:
Z kmitočtové charakteristiky (obr. 3.46) vidíme, že se jedná o systém na mezi stability
neboť charakteristika protíná reálnou osu v bodě –1.
Nyquist Diagrams
From: U(1)
3
1
To: Y(1)
Imaginary Axis
2
0
-1
-2
-3
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
obr. 3.46 Kmitočtová charakteristika systému na mezi stability
Stabilitu lze určit i z logaritmické kmitočtové charakteristiky:
ltiview('bode',Go)
Z výsledného grafu na obr. 3.47 vidíme, že jde o systém na mezi stability, neboť
zesílení pro ϕ=180° je rovno nule.
Analýza systémů
45
Bode Diagrams
From: U(1)
50
-50
-100
0
To: Y(1)
0
-100
-180
-200
-300
10-2
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
obr. 3.47 Logaritmická kmitočtová charakteristika systému na mezi stability
Zapojení bloků je stejné jako v předchozím příkladě pouze se změní hodnota parametrů
regulátoru.
Na obr. 3.49 je vidět výsledná přechodová charakteristika systému na mezi stability,
který kmitá s konstantní amplitudou.
Analýza systémů
46
3
2.5
2
h(t)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
cas[s]
60
70
80
90
100
obr. 3.49 Přechodová charakteristika systému na mezi stability
3.4.3 Nestabilní systém
Opět použijeme podobné zadání jako v předchozích případech. Změníme však hodnotu
parametrů regulátoru na TI=2.
G R ( s) =
1
5
1
; GS (s) =
; Gmč ( s ) =
2s
s +1
2s + 1
Nejdříve zadáme přenos jednotlivých prvků regulačního obvodu a propojíme je:
TI = 2
R = tf([1],[TI 0])
S = tf([5],[1 1]);
mc =tf([1],[2 1]);
RS = series(R,S); %propojení regulátoru a soustavy
sys = feedback (RS,mc) %zapojení zpětné vazby a měřícího členu
Analýza systémů
47
Použijeme stejný postup jako v předchozích příkladech:
r1 = roots (jmen)
r1 =
-1.6545
0.0772 + 0.8658i
0.0772 - 0.8658i
Z výsledku vidíme, že se jedná o nestabilní systém neboť dva kořeny mají reálné
složky v kladné části komplexní roviny.
Nejdříve si určíme přenos otevřené smyčky Go(s):
Go=series(RS,mc);
Pomocí následujícího příkazu nejdříve vykreslíme kmitočtovou charakteristiku:
Z výsledné kmitočtové charakteristiky (obr. 3.50) vidíme, že se jedná o nestabilní
systém, protože charakteristika protíná reálnou osu před bodem –1.
Nyquist Diagrams
From: U(1)
8
6
2
To: Y(1)
Imaginary Axis
4
0
-2
-4
-6
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
obr. 3.50 Kmitočtová charakteristika nestabilního systému
Pokud budeme stabilitu určovat z logaritmické kmitočtové charakteristiky použijeme
příkaz:
ltiview('bode',Go)
Analýza systémů
48
Na výsledném grafu (obr. 3.47) vidíme, že jde o systém nestabilní, neboť logaritmická
amplituda pro ϕ=180° je větší než nula.
Bode Diagrams
From: U(1)
50
-50
-100
0
To: Y(1)
0
-100
180°
-200
-300
10-2
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
obr. 3.51 Logaritmická kmitočtová charakteristika nestabilního systému
Zapojení bloků na obr. 3.52 je stejné jako v předchozích příkladech pouze se změní
hodnota parametrů regulátoru.
Na výsledné přechodové charakteristice (obr. 3.53) je dobře vidět, že se jedná o
nestabilní systém, který se v čase neustálí, ale právě naopak se zvyšuje amplituda kmitů.
80
60
40
20
h(t)
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
5
10
15
20
25
cas[s]
30
35
40
45
50
obr. 3.53 Přechodová charakteristika nestabilního systému
Syntéza regulačních obvodů
49
4 Syntéza regulačních obvodů
4.1 Návrh regulátoru metodou Ziegler – Nichols
Jde o metodu založenou na analytickém nebo experimentálním určování kritického
zesílení. Po zjištění kritického zesílení provedeme výpočet koeficientů spojitého
i diskrétního regulátoru na základě tabulky 3.1.
Metodu můžeme přímo v programu Matlab kombinovat s graficko-analytickým
postupem, při kterém zjistíme nejdříve kritickou frekvenci a kritické zesílení na základě
příkazů bode (logaritmická kmitočtová charakteristika) a margin (kritická hodnota zesílení
a kritická hodnota frekvence), a potom z těchto hodnot určím koeficienty regulátoru podle
tabulky 3.1 [Dušek F. 2000].
tab. 4.1 Nastavení koeficientů metodou Zieglera - Nicholse
Typ regulátoru
Proporcionální
složka kp
Integrační
složka TI
Derivační
složka TD
P
0,50 kkrit
-
-
PI
0,45 kkrit
0,85 Tkrit
-
PD
0,40 kkrit
-
0,50 Tkrit
PID
0,60 kkrit
0,50 Tkrit
0,12 Tkrit
Kkrit – kritické zesílení; Tkrit – kritická perioda (Tkrit=2*π/ωkrit)
Příklad:
Vypočítejte koeficienty spojitého PID regulátoru pro soustavu zadanou přenosem:
Gs( s ) =
9
s ( s + 6 s + 9)
2
Řešení:
Nejdříve zadáme přenos systému:
sys=tf(9,[1 6 9 0])
Transfer function:
9
----------------s^3 + 6 s^2 + 9 s
Pomocí příkazu margin určíme hodnoty kritického zesílení a kritické frekvence.
[Kr,Fk,wk,wf]=margin(sys)
Získali jsme
Kr =
6
Fk =
56.0798
wk =
3
wf =
0.9149
následující hodnoty:
% kritická hodnota zesílení
% kritická fáze
% kritické frekvence pro kritické zesílení
% kritické frekvence pro kritickou fázi
50
Tyto hodnoty můžeme zobrazit i graficky pomocí příkazu:
margin(sys)
Bode Diagrams
Gm=15.563 dB (at 3 rad/sec), Pm=56.08 deg. (at 0.91491 rad/sec)
50
0
-50
-100
-150
-50
-100
-150
-200
-250
-300
10 -2
10 -1
100
101
10 2
Frequency (rad/sec)
obr. 4.1 Logaritmická kmitočtová charakteristika soustavy s vyznačením kritických hodnot
V dalším kroku vypočítáme kritickou periodu Tk.
Tk=2*pi/wk
Nyní již známe obě potřebné hodnoty (kritické zesílení a perioda) pro výpočet
parametrů regulátoru:
K=0.6*Kr
% vypocet zesileni PID regulatoru
Ti=0.5*Tk % vypocet integracni casove konstanty
Td=0.12*Tk % vypocet derivacni casove konstanty
Z vypočítaných hodnot k, TI, TD sestavíme přenos regulátoru:
reg = tf([K*Ti*Td K*Ti K],[Ti 0]) % prenos PID regulatoru
Transfer function:
0.9475 s^2 + 3.77 s + 3.6
------------------------1.047 s
Posledním krokem je propojení soustavy a regulátoru do uzavřeného regulačního
obvodu k tomu můžeme použít příkaz feedback pro zpětnovazební propojení.
Go=sys*reg
%prenos otevreneho regulacniho obvodu
Gro=feedback(Go,1) %prenos uzavreneho regulacniho obvodu
Transfer function:
8.527 s^2 + 33.93 s + 32.4
-------------------------------------------------1.047 s^4 + 6.283 s^3 + 17.95 s^2 + 33.93 s + 32.4
Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu je na obr. 4.2.
51
Step Response
From: U(1)
1.8
1.6
1.4
To: Y(1)
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1.5
3
4.5
6
7.5
9
Time (sec.)
obr. 4.2 Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu
52
4.2 Návrh regulátoru metodou požadovaného modelu
Metoda umožňuje snadné a rychlé seřízení standardních typů číslicových
a analogových regulátorů pro základní druhy regulovaných soustav s dopravním
zpožděním. Typ regulátoru jde doporučen z hlediska vlastností regulované soustavy a
požadavků na nulovou trvalou regulační odchylku způsobenou skokovou změnou žádané
hodnoty.
Předpokládá se použití standardních
s odpovídajícími L- a Z- přenosy.
analogových
číslicových
a
regulátorů
Aby bylo možné metodu požadovaného modelu použít, musí být přenos regulované
soustavy GS(s) v jednom ze základních tvarů uvedených v tab. 4.2. Pro některé přenosy
které neodpovídají základním tvarům je možné určit přenos náhradní viz [Vítečková 1998].
tab. 4.2 Nastavení koeficientů regulátoru metodou inverzní dynamiky
Regulátor
Regulovaná soustava
kp*
Typ
Td=0
Td>0
P
2
k1 (2Tw + T )
a
k1
k1
e −Td s
(T1 s +1)
PI
2TI
k1 (2Tw + T )
aTI
k1
k1
e −Td s
s (T1 s + 1)
PD
2
k1 (2Tw + T )
a
k1
PID
2TI
k1 (2Tw + T )
k1
e −Td s
T s + 2ξ 0T0 s + 1
PID
0 < ξ0 ≤ 1
2TI
k1 (2Tw + T )
k1 −Td s
e
s
k1
e −Td s
(T1s + 1)(T2 s + 1)
*
*
T1 ≥ T2
2 2
0
*
TI*
TD*
-
-
*
T1 −
T
2
T1 −
-
aTI
k1
*
aTI
k1
*
T
2
T1 + T2 − T
T1T2
T
−
T1 + T2 4
2ξ 0T0T2 − T
T0 T
−
2ξ 0 4
tab. 4.3 Závislost koeficientů přeregulování κ a parametrů α, β
κ
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,025
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
α
1,282 0,948 0,884 0,832 0,763 0,697 0,669 0,640 0,618 0,599 0,577
β
2,718 1,994 1,720 1,561 1,437 1,337 1,248 1,172 1,104 1,045 0,992
53
Postup při výpočtu je velmi jednoduchý. Vybere se požadovaná hodnota přeregulování
κ, podle tab. 4.3 se určí koeficienty α, β a z nich se určí hodnota koeficientu a:
a=
1
,
αT + β Td
kde T je vzorkovací perioda a Td je dopravní zpoždění.
Pokud známe hodnotu koeficientu a můžeme pomocí tab. 4.2 dopočítat hodnoty
jednotlivých koeficientů regulátoru.
Výpočet koeficientů spojitého regulátoru:
Metodou požadovaného modelu navrhněte pro soustavu vhodný spojitý regulátor tak,
aby hodnota relativního překmitu dosáhla maximálně 5%. Soustava je dána přenosem:
GS ( s ) =
1
⋅ e −14, 4
(80s + 1)(40 s + 1)
V tab. 4.2 najdeme jaký typ regulátoru musíme použít a rovnice pro výpočet jeho
koeficientů.
Pomocí tab. 4.3 určíme hodnotu koeficientu β pro daný překmit (hodnotu α pro spojitý
regulátor nebudeme potřebovat).
β = 1,944
Při řešení v programu matlab začneme tím, že zadáme parametry soustavy a pomocí
nich zadáme přenos soustavy Gs.
k1=1
%zesílení
T1=80
%koeficient T1
T2=40
%koeficient T2
Td=14.4 %dopravní zpoždění
Gs=tf(k1,[T1*T2 T1+T2 1],'InputDelay',Td) %zadání p řenosu soustavy
Transfer function:
1
exp(-14*s) * -------------------3200 s^2 + 120 s + 1
Dále si vypočítáme pomocnou proměnou a.
b=1.944
A=1/(b*Td)
A =
0.0357
Nyní už známe všechny hodnoty pro výpočet jednotlivých parametrů regulátoru podle
rovnic z tab. 4.2.
I=T1+T2
I =
120
D=(T1*T2)/(T1+T2)
D =
26.6667
P=(A*I)/k1
P =
4.2867
54
Pomocí vypočítaných parametrů zadáme přenos regulátoru:
Gr=tf([P*I*D P*I P],[I 0])
Transfer function:
1.372e004 s^2 + 514.4 s + 4.287
------------------------------120 s
Teď již zbývá jen propojit regulátor a soustavu. Jelikož však máme přenos soustavy
zadán ve tvaru s dopravním zpožděním budeme jej nejdříve muset aproximovat na tvar bez
dopravního zpoždění. K tomu nám souží příkaz pade.
Gs1=pade(Gs,3)
Transfer function:
-s^3 + 0.8333 s^2 - 0.2894 s + 0.04019
-------------------------------------------------------------3200 s^5 + 2787 s^4 + 1027 s^3 + 164.2 s^2 + 5.112 s + 0.04019
Pro porovnání si vykreslíme přechodové charakteristiky původního i aproximovaného
přenosu soustavy:
step(Gs,Gs1)
Step Response
From: U(1)
1.2
1
To: Y(1)
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Time (sec.)
obr. 4.3 Porovnání přechodových charakteristik soustavy před a po aproximaci
Teď již můžeme regulátor i soustavu propojit do uzavřeného regulovaného obvodu
a vykreslit jeho přechodovou charakteristiku (obr. 4.4).
Go=Gs1*Gr
Gro=feedback(Go,1)
55
Step Response
From: U(1)
1.2
1
To: Y(1)
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Time (sec.)
obr. 4.4 Přechodová charakteristika regulované soustavy
Výpočet koeficientů diskrétního regulátoru:
Metodou požadovaného modelu navrhněte pro soustavu vhodný diskrétní regulátor tak,
aby hodnota překmitu dosáhla maximálně 5% a vzorkovací perioda T = 5. Soustava je
dána stejně jako u výpočtu spojitého regulátoru přenosem:
GS ( s ) =
1
⋅ e −14, 4
(80s + 1)(40 s + 1)
V tab. 4.2 najdeme jaký typ regulátoru musíme použít a rovnice pro výpočet jeho
koeficientů v tomto případě půjde o PID regulátor.
Při zadání diskrétní formy PID regulátoru si musíme uvědomit, že se zadává
v odlišném tvaru než spojitý regulátor:

T z −1
T
z
.
G R ( z ) = k p ⋅ 1 + ⋅
+ D⋅
z 
 TI z − 1 T
Pomocí tab. 4.3 určíme hodnotu koeficientů α a β pro daný překmit.
α = 0,984; β = 1,944
Při řešení v programu Matlab budeme postupovat stejně jako při výpočtu spojitého
regulátoru začneme tím, že zadáme parametry soustavy a pomocí nich zadáme přenos
soustavy GS.
k1=1
T1=80
T2=40
Td=14.4
T=5
%zesílení
%koeficient T1
%koeficient T2
%dopravní zpoždění
Gs=tf(k1,[T1*T2 T1+T2 1],'InputDelay',Td) %zadání p řenosu soustavy
Transfer function:
1
exp(-14*s) * -------------------3200 s^2 + 120 s + 1
56
Dále zadáme koeficienty α a β a vypočítáme pomocnou proměnou a.
a=0.984 %koeficient alfa
a =
0.9840
b=1.944 %koeficient beta
b =
1.9440
A=1/(b*Td) %promena a
A =
0.0357
Nyní už známe všechny hodnoty pro výpočet jednotlivých parametrů regulátoru podle
rovnic z tab. 4.2.
» TI=T1+T2-T
TI =
115
» TD=(T1*T2)/(T1+T2)-(T/4)
TD =
25.4167
» kp=(A*TI)/k1
kp =
3.4940
Pomocí vypočítaných parametrů zadáme přenos regulátoru tak, že nejdříve zadáme
přenosy jednotlivých složek a ty spolu sečteme.
>> I=(T/TI)*tf([-1 0],[-1 1], T)
Transfer function:
0.04348 z
--------z - 1
Sampling time: 5
>> D=(TD/T)*tf([-1 1],[-1 0], T)
Transfer function:
5.083 z - 5.083
--------------z
Sampling time: 5
>> Gr=kp*(1+I+D)
Transfer function:
21.41 z^2 - 39.02 z + 17.76
--------------------------z^2 - z
Sampling time: 5
Jelikož máme přenos soustavy zadán ve tvaru s dopravním zpožděním a pro další práci
budeme potřebovat přenos bez dopravního zpoždění je třeba jej aproximovat. K tomu nám
souží příkaz pade.
» Gs1=pade(Gs,3)
Transfer function:
-s^3 + 0.8333 s^2 - 0.2894 s + 0.04019
-------------------------------------------------------------3200 s^5 + 2787 s^4 + 1027 s^3 + 164.2 s^2 + 5.112 s + 0.04019
57
Teď již zbývá jen propojit regulátor a soustavu. Předtím však ještě musíme spojitý
přenos soustavy převést na diskrétní tvar s odpovídající vzorkovací periodou. Pro převod
použijeme příkaz c2d.
» Gsd=c2d(Gs1,T)
Transfer function:
0.0001612 z^4 - 0.0005604 z^3 + 0.0007305 z^2 + 0.00425 z + 0.0004643
--------------------------------------------------------------------z^5 - 2.214 z^4 + 1.659 z^3 - 0.552 z^2 + 0.1245 z - 0.01285
Sampling time: 5
Step Response
From: U(1)
1.2
1
To: Y(1)
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Time (sec.)
obr. 4.5 Porovnání přechodové charakteristiky soustavy v diskrétním a spojitém tvaru
Teď již můžeme regulátor i soustavu propojit do uzavřeného regulovaného obvodu a
vykreslit jeho přechodovou charakteristiku (obr. 4.6).
Go=Gsd*Gr
Gro=feedback(Go,1)
step(Gro)
Step Response
From: U(1)
1.2
1
To: Y(1)
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Time (sec.)
obr. 4.6 Přechodová charakteristika regulačního obvodu
450
58
4.3 Metody výpočtu koeficientů diskrétních regulátorů
Mezi metody přímého výpočtu diskrétních regulátorů patří:
o metody výpočtu koeficientů diskrétních regulátorů na základě kvadratických kritérií
(diskrétní formy PID, a všeobecné diskrétní regulátory)
o metody ukončení regulačního pochodu za konečný počet kroků – deadbeat (DB–
regulátory)
o metody založené na algebraické polynomiální teorii – moderní formy výpočtu
koeficientů všeobecných diskrétních regulátorů na základě řešení diofantických
rovnic.
Metody určení koeficientů diskrétního regulátoru vycházející z diskrétní přenosové
funkce umožňují dosáhnout lepší kvalitu řízení než metody určení koeficientů regulátoru
přepočtem ze spojité na diskrétní formu.
Na rozdíl od diskrétních forem spojitých regulátorů může mít všeobecný diskrétní
regulátor úplně rozdílnou strukturu už také vzhledem k tomu, že polynomy Q(z) a P(z) jsou
vyššího řádu než 3. Přenosová funkce všeobecného diskrétního regulátoru v z-oblasti je ve
tvaru:
q 0 + q1 z −1 + q 2 z −2 + ... + q n z − n
Q( z ) U ( z )
=
=
GR ( z) =
.
−1
− 21
−n
P( z ) E ( z )
p 0 + p1 z + p 2 z + ... + p n z
(4.1)
Z diskrétní přenosové funkce regulátoru (4.1) vyplývá, že řídící zásah pro všeobecný
diskrétní regulátor (pokud p0=1) má tvar
u (k ) = − p1u (k − 1) − p 2 u (k − 2) − ... − p m u (k − m) + q 0 e(k ) + q1e(k − 1) + ... + q n e(k − n) .
Syntézou diskrétního regulátoru určíme neznámé koeficienty
[q0, q1,…, qn; p1, p2,…,pm]. [Kozák, Š. 1999]
Metody ukončení regulačního pochodu za konečný počet kroků
Nejběžnějším a kvalitativně novým prvkem v diskrétní teorii automatického řízení je
požadavek na ukončení regulačního pochodu za konečný počet kroků: tento způsob řešení
se v literatuře označuje jako řízení za konečný počet koků (deadbeat control) a nebo jako
konečné časově-optimální řízení a diskrétní přenos uzavřeného regulačního obvodu je
racionální lomená funkce.
Současné prakticky využívané algoritmy diskrétního řízení používají pro výpočet
akčního zásahu ukončení regulačního pochodu klasický přístup, ale také novější přístup
založený na tzv. algebraické teorii řízení vzhledem na její větší perspektivy a mohutný
numerický aparát řešení tzv. diofantických rovnic, který se při řešení využívá. [Kozák, Š.
1999]
Návrh deadbeat regulátoru v prostředí Matlab
Metoda vychází z přenosové funkce řízeného procesu která se získá ze spojitého popisu
podle vztahu:
GS ( z ) =
z − 1  −1  G ( s ) 
Z L 

z
  s 
59
(přepočet s tvarovacím členem nultého řádu)
V programu Matlab to realizujeme příkazem C2D(num, den, Tv,’metoda přepočtu’).
Pokud metodu přepočtu neuvádíme, automaticky je nastavena metoda ZOH tvarovací člen
nultého řádu. Přenosová funkce řízeného procesu je potom ve tvaru:
b1 z −1 + ... + bM z − M
B( z )
=
−1
−M
A( z )
1 + a1 z + ... + a M z
G p ( z) =
Pro deadbeat regulátor je přenosová funkce uzavřeného obvodu ve tvaru
GY / W ( z ) = p1 z −1 + p 2 z −2 + ... + p M z − M = P( z )
q1=a1q0
p1=b1q0
q2=a2q0
p2=b2q0
…………………………
qM=aMq0
protože
∑p
i
=1
∑b q
i
0
= 1 odtud
pM=bMq0
q 0 = 1 / ∑ bi = 1 /(b1 +b 2 +... + bM ) = u (0)
Charakteristická rovnice diskrétního uzavřeného obvodu je:
1 + G p ( z )⋅G R ( z ) =≡= z M
má tedy M pólů v počátku z-roviny, regulovaná veličina za M kroků (M je řád soustavy)
dosáhne žádanou hodnotu.
Pokud proces řízení obsahuje dopravní zpoždění, potom jsou koeficienty DB regulátoru
určeny:
q1=a1q0
p1=b1q0
q2=a2q0
p2=b2q0
……………………………
qM=aMq0
pM=bMq0
qM+1=aM+1q0
p1+d=b1+dq0=b1q0
qM+d=aM+dq0=0
pM+d=bM+dq0=bMq0
kde bi jsou koeficienty čitatele pro i=1,2,…,M+d. Protože proces obsahuje dopravní
zpoždění počet koeficientů je M+d. Prvních d koeficientů bi bude nulových a od i=1+d
jsou koeficienty nenulové. Z nulové hodnoty koeficientů čitatele diskrétního procesu je
zřejmé, že nulové budou také koeficienty jmenovatele regulátoru procesu pi, pro i=1,2,…,d
a hodnoty koeficientů polynomu jmenovatele A od I=M+1 až po i=M+d.
Tedy koeficienty:
b1 = b2 = ... = 0 aM +1 = aM + 2 = ... = a M + d = 0
b1+ d = b1
b2+ d = b2
... bM + d =b M
Struktura DB regulátoru představuje speciální typ diskrétního regulátoru ve tvaru:
GR ( z ) =
q + q z −1 + q2 z −2 + ... + qn z − n U ( z )
Q( z )
= 0 1 −1
=
1 − P( z ) 1 − p1 z − p2 z −2 − ... − qn z − n
E ( z)
60
Výstupní regulovaná veličina dosáhne žádanou hodnotu referenční proměnné w(k) za
M+d kroků (kde d je dopravní zpoždění, které se z spojitého dopravního zpoždění určí
vztahem d=D/T a T je perioda vzorkování) tj.
y (k ) = w(k ) = 1
u (k ) = u ( M )
pro k ≥ M + d
pro k ≥ M
(ustálená hodnota postoupnosti řídícího zásahu)
Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu je:
GY / W ( z ) = p1 z −1 + p2 z −2 + ... + p d + M z − ( d + M ) = P( z )
( p1 = ... = pd = 0)
Příklad:
Úkolem je určit koeficienty DB regulátoru přímo v programu Matlab na základě
jednoduchých příkazů, zadaný regulovaný proces je spojitý a je popsaný přenosovou
funkcí ve tvaru:
GS (s) =
B(s)
2s + 1
=
e −4 s
A( s ) (10 s + 1)(7 s + 1)(3s + 1)
Řešení:
Prvním krok je zadání spojitého přenosu procesu a jeho přepočet do Z-oblasti
» cit=tf([2 1], 1)
Transfer function:
2 s + 1
» men1=tf(1,[10 1])
Transfer function:
1
-------10 s + 1
» men2=tf(1,[7 1])
Transfer function:
1
------7 s + 1
» men3=tf(1,[3 1])
Transfer function:
1
------3 s + 1
» Gpd=cit*men1*men2*men3
Transfer function:
2 s + 1
---------------------------210 s^3 + 121 s^2 + 20 s + 1
61
Gpz=C2D(Gpd,4)
Transfer function:
0.06525 z^2 + 0.04793 z - 0.007505
-----------------------------------z^3 - 1.499 z^2 + 0.7041 z - 0.09978
Sampling time: 4
Protože proces obsahuje dopravní zpoždění D=4 a perioda vzorkování T=4 v z-oblasti
bude dopravní zpoždění d = D/T = 4/4 = 1, teda celá přenosová funkce procesu bude
násobená z-1 čím se posunou koeficienty čitatele o 1 řád. Ve výpočtech pro koeficienty
regulátoru budou proto nulové koeficienty p(i) a to o tolik jaká je hodnota d. Pro náš případ
d = 1, tedy bude nulový první koeficient tj. p = (1 )= 0, ostatní koeficienty budou počítané
z posunutých hodnot polynomu B.
G pzd
0.06525 z 2 + 0.04793z − 0.007505 −1
=
z
z 3 − 1.499 z 2 + 0.09978
Výběr čitatele a jmenovatele z přenosu regulovaného procesu
» [Bz, Az]=tfdata(Gpz,'v') %vyber citatele a jmenovatele
Bz =
0
0.0653
0.0479
-0.0075
1.0000
-1.4986
0.7041
-0.0998
Az =
Upozornění: Matlab indexuje první prvek v matice a nebo ve vektoru od jedné tj. Bz(1)
a nezná Bz(0).
Koeficienty čitatele regulátoru
q0=1/sum(Bz)
q0 =
9.4628
Koeficienty jmenovatele regulátoru
p1=0
p1 =
0
q1=Az(2)*q0
q1 =
p2=Bz(2)*q0
p2 =
-14.1813
0.6175
q2=Az(3)*q0
q2 =
p3=Bz(3)*q0
p3 =
6.6627
0.4536
q3=Az(4)*q0
q3 =
-0.9442
p4=Bz(4)*q0
p4 =
-0.0710
62
Zadání polynomů regulátoru:
Q=[q0, q1, q2, q3]
Q =
9.4628 -14.1813
6.6627
-0.9442
P=[p1, p2, p3, p4]
P =
0
0.6175
0.4536
-0.0710
Před zadáním přenosu regulátoru můžme provést kontrolu správnosti výpočtů:
sum(P) % Kontrola spravnosti vypoctu
ans =
1
sum(Q) % Kontrola ustaleneho stavu
ans =
1.0000
Přenos DB regulátoru bude mít následující tvar:
GR ( z) =
Q( z )
9.4628 − 14.1813 z −1 + 6.6442 z −2 − 0.9442 z −3
=
1 − P( z )
1 − 0.6175 z − 2 − 0.4536 z −3 + 0.070 z − 4
Závěr
63
5 Závěr
Cílem mojí práce bylo zpracování elektronické příručky pro podporu výuky
automatického řízení. Tato příručka obsahuje řešení typových příkladů z oblasti
automatizace pomocí programového prostředí Matlab.
V první části jsem popsal program Matlab a jeho toolboxy Simulink, Control System,
System Identification, Signal Processing a Optimization. Dále jsem zjistil možnosti jejich
využití při řešení úkolů z oblasti automatického řízení. Při své další práci jsem pak
využíval hlavně základní funkce programu Matlab, toolbox Control System a Simulink.
Druhá kapitola je zaměřena na oblast analýzy systémů. Zde jsem vybral příklady na
zadávání matematických popisů a systému a převody mezi nimi, dále pak příklady na
výpočet přechodových, impulsních a kmitočtových charakteristik a příklady na kontrolu
stability systému. Pro vybrané příklady jsem vypracoval řešení za použití programu
Matlab. U většiny příkladů je uvedena řešení jak pro spojité tak pro diskrétní systémy.
V třetí kapitole zaměřené na oblast syntézy jsou uvedeny postupy pro návrh spojitých a
diskrétních regulátorů v prostředí Matlab. Pro výpočet spojitých regulátorů jsem vybral
příklady řešené metodou Ziglera-Nicholse a metodou požadovaného modelu. Pro diskrétní
regulátory uvádím dva postupy řešení. První popsaný způsob výpočtu diskrétního
regulátoru využívá metodu požadovaného modelu pro návrh diskrétní formy PID regulátoru. Druhý postup využívá metodu ukončení regulačního pochodu za konečný počet
kroků tzv. Deadbeat regulátor.
Posledním úkolem bylo vytvoření elektronické příručky v hypertextové podobě, která
bude přístupná na Internetu a měla by sloužit studentům.
Jsem přesvědčen, že v této práci jsou splněny splnil všechny body zadání bakalářské
práce. Vytvořená elektronická příručka je zcela funkční a může plnit svoji funkci
doplňkového studijního materiálu.
Literatura
64
6 Literatura
DUŠEK F. 2000 Matlab a Simulink úvod do používání, Univerzita Pardubice, Bratislava,
2000, ISBN 80-7194-273-1.
FARANA, R. AJ, 1996. Programová podpora simulace dynamických systémů. Sbírka
řešených příkladů. 1 vyd. Ostrava: KAKI 1996, 114 s. ISBN 80-02-01129-5.
KOZÁK, Š. 1999. Matlab – Simulink II. 1.vydání, STU Bratislava, 1999. 141 s.
ISBN 80-227-1235-3
KUPCZAK, M. 2002. Programová podpora analýzy regulačních obvodů pomocí programu
MATLAB. Ostrava: katedra ATŘ-352 VŠB-TU Ostrava, 2002. 71 s. Diplomová práce,
vedoucí: Vítečková, M.
MIZERA, R. 2002. Programová podpora syntézy regulačních obvodů pomocí programu
MATLAB-Simulink. Ostrava: katedra ATŘ-352 VŠB-TU Ostrava, 2002. 59 s. Diplomová
práce, vedoucí: Vítečková, M.
MODRLAK, O. VOLEJNÍK, O. Stručný manuál Matlabu pro předměty teorie řízení. [online].
Dostupné na URL: <http://www.fm.vslib.cz/~krt/krt_cz/vyuka/text/matlab/index.htm>
(14.4.2003)
NOSKIEVIČ, P. 1999. Modelování a identifikace systémů. Ostrava: Montanex 1999. 276 s.
SIGMON, K. 1992. MATLAB Primer. University of Florida, 1992. on line na URL:
<http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~beda/matlab/primercz/matlab-primer.html> (14.4.2003)
SLOVÁK, T. 2002. Využití simulačního programu SIPRO pro identifikaci a prezentaci
výsledků v prostředí Internetu. Ostrava: katedra ATŘ-352 VŠB-TUO, 2002. 96 s.
Bakalářská práce, vedoucí: Wagnerová, R.
SMUTNÝ, L. Interní předpisy pro vypracování informační stránky diplomové/bakalářské
práce. Ostrava : VŠB-TU Ostrava, 2001 [cit. 2001-01-22]. Dostupný z www na URL:
<http://www.352.vsb.cz/dp/Pokyny/Pokyny.pdf>
ŠVARC, I. 1992. Teorie automatického řízení I. Brno: FS VUT, 1992. 210 s.
ŠVARC, I. 1993. Teorie automatického řízení II. Brno: FS VUT, 1992. 231 s.
THE MATHWORKS, INC. 1996. Control System Toolbox User’s Guide. Second printing
for MATLAB 5.
THE MATHWORKS, INC. 1996. Optimization Toolbox User’s Guide. Second printing
for MATLAB 5.
THE MATHWORKS, INC. 1996. Signal Processing Toolbox User’s Guide. First printing for
MATLAB 5.
THE MATHWORKS, INC.2001. Systém Identification Toolbox User’s Guide. Fifth printing.
THE MATHWORKS, INC.1999. Using Simulink. Revised for Simulink 3 (Relase 11).
VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky 1. vyd. Ostrava : VŠB-TU
Ostrava, 1998. 56 s. ISBN 80-7078-628-0
WAGNEROVÁ, R. – MINÁŘ, M. AJ. 2000. Syntéza regulačních obvodů. Ostrava: VŠBTUO, KATŘ, 2000. Dostupné na URL:
<http://www.352.vsb.cz/uc_texty/Synteza/index.htm> (14.4.2003)
WAGNEROVÁ, R. – MINÁR, K. AJ. 2000. Prezentační a výukový modul pro oblast analýzy
regulačních obvodů v prostředí INTRANETU. Ostrava: VŠB-TUO, KATŘ, 2000.dostupné
na URL: <http://www.fs.vsb.cz/books/Analyza/index.html> (14.4.2003)

Hypertextová podpora výuky v oblasti automatického řízení

Transkript

Podobné dokumenty

Simulace systemu

Uživatelský manuál česky

Základní pravidla MATLABu

Příklady

ř ř System interconnections (systémové vzájemné propojení)..

URL

Anglicko-český / česko-anglický slovník matematické terminologie

Vybrané metody seřizování regulátorů

Fourier tsfce

Název učebního textu

AEk 2. ročník ZS 2016/17

AMTL - Dvojité kyvadlo (úkol c. 4)