BA03 Deskriptivní geometrie - Jan Josef Šafařík

Transkript

BA03
Deskriptivní geometrie
Mgr. Jan Šafařík
přednášková skupina P-B1VS2
učebna Z240
letní semestr 2013-2014
Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie
Deskriptivní geometrie BA03
Kontakt:
Ústav matematiky a deskriptivní geometrie
Žižkova 17, 662 37 Brno
místnost Z221
telefon:
541147606
e-mail:
[email protected]
www: http://vyuka.safarikovi.org/
konzultační hodiny: čtvrtek, 10:00 – 11:00
V případě potřeby je možné domluvit konzultaci i mimo stanovený čas po individualní domluvě.
2
Základní literatura:

Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně:
Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení
technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební
VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
3
Základní literatura:





Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová,
Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební
fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009.
http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana,
Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník
Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně,
2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně:
Vyrovnávací kurz deskriptivní geometrie BA91 , Fakulta stavební VUT v Brně,
2007. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část A, Akademické
nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005.
Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část B, Akademické
nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005.
4
Doporučená literatura:









Stránky Deskriptivní geometrie pro 1. ročník kombinovaného studia
FAST, http://math.fce.vutbr.cz/ks_dg.php.
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie I. Kuželosečky, Fakulta stavební VUT, Brno 1988.
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie II. - Promítací
metody, Fakulta stavební VUT, Brno 1989.
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy
stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.
Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar,
Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová,
Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT
Brno, 2001-2003.
Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie I, SNTL/SVTL, Praha 1966.
Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.
Vala, Josef: Deskriptivní geometrie I, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
5
Cíl předmětu:
Zvládnout konstrukci kuželoseček na základě ohniskových
vlastností. Pochopit principy perspektivní kolineace a
perspektivní afinity a umět je použít při řešení příkladů. Pochopit
a zvládnout základy promítání: Mongeova, kolmé axonometrie a
lineární perspektivy. Rozvinout prostorovou představivost a
zvládnout prostorové řešení jednoduchých úloh. Umět zobrazit
jednoduchá geometrická tělesa a plochy v jednotlivých
projekcích, jejich řezy. V lineární perspektivě zvládnout
zobrazení stavebního objektu. Seznámit se se stručným
výběrem poznatků z teorie křivek a ploch, umět konstrukci
šroubovice ze zadaných prvků a konstrukci pravoúhlé uzavřené
přímkové šroubové plochy. Seznámit se se stručným výběrem z
teorie zborcených ploch, umět konstrukci hyperbolického
paraboloidu a konoidů ze zadaných prvků.
http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03
6
Harmonogram předmětu:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip promítání
středového a rovnoběžného. Perspektivní kolineace, perspektivní
afinita.
Systém základních úloh, užití na příkladech. Mongeovo promítání.
Základní pojmy. Základní úlohy.
Mongeovo promítání. Základní úlohy. Průmět kružnice. Zavedení
třetí průmětny.
Mongeovo promítání. Zobrazení tělesa. Řezy těles, příklady.
Kolmá axonometrie. Základní pojmy. Konstrukce v souřadnicových
rovinách, kružnice v souř. rovině. Úlohy polohy.
Kolmá axonometrie. Zobrazení tělesa. Řez tělesa s podstavou v
půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Zářezová metoda. Šikmé
promítání na nárysnu (konstrukce v půdorysně, těleso s podstavou
v půdorysně)
7
Harmonogram předmětu:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Úvod do středového promítání. Lineární perspektiva. Promítací
aparát. Průsečná metoda.
Lineární perspektiva. Vynášení výšek. Metoda sklopeného
půdorysu. Délky úseček v základní rovině. Metody volné
perspektivy.
Lineární perspektiva. Další metody konstrukcí perspektivy (metoda
dvou úběžníků, měřících bodů, hloubkových přímek). Kružnice v
základní a svislé rovině. Gratikoláž.
Prostorová křivka. Šroubovice (zadání: (o, A, v/vo, točivost), (o,t);
oskulační rovina v bodě šroubovice). Úvod do teorie ploch.
Přímý šroubový konoid. Zborcené plochy. Zborcené plochy druhého
stupně. Zborcený hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
Zborcené plochy vyššího stupně. Kruhový a parabolický konoid,
Marseillský a Montpellierský oblouk.
rezerva
8
Harmonogram cvičení:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Ohniskové vlastnosti kuželoseček.
Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. Křivka afinní ke kružnici. Konstukce
sdružených průměrů.
Konstrukce elipsy založené na afinitě, Rytzova konstrukce, proužková konstrukce.
Mongeova projekce. Základní konstrukce.
Mongeova projekce. Základní úlohy. Rozbor jednoduchých konstruktivních úloh. Užití
třetí průmětny.
Mongeova projekce. Zobrazení tělesa. Řezy těles.
1. kontrolní práce. Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách.
Zobrazení tělesa.
Kolmá axonometrie. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem.
Šikmé promítání. Konstrukce v půdorysně (kružnice).
Lineární perspektiva
Lineární perspektiva.
Lineární perspektiva.
2. kntrolní práce. Šroubovice. Šroubový konoid v kolmé axonometrii
Hyperbolický paraboloid. Kruhový konoid.
Rezerva. Zápočty.
9
Požadavky k zápočtu





dvě zápočtové písemky – úspěšnost alespoň 30% ze součtu
obou písemek
1. zápočtová písemka – 6. týden semestru
2. zápočtová písemka – 11. týden semestru
2 rysy – jednotné zadání pro všechny studijní skupiny, zadání
budou upřesněna během semestru, rýsujte tužkou, na
kladívkový papír, popis šablonkou
účast na cvičeních je povinná, tolerují se maximálně dvě
omluvené neúčasti (viz studijní řád)
kontrola sešitu, vypracované typové příklady ze cvičení
domácí úlohy – řeší vyučující individuálně
10
Okruhy k písemné zkoušce

Budou upřesněny během semestru na stránkách
http://vyuka.safarikovi.org/
11
Geometrie a stavitelství
Konstrukce
Návrh
geometrie
Prostředí
Stavba
Technologie
provádění
Materiál
Ekonomika
Náklady
12
Geometrie v návrhu
Transformace
operace s objekty
Tvary
Zobrazení objektu
Skicování
Promítací metody
Počítačové zobrazování
Tělesa
Křivky
Plochy
Dimenze
Proporce
13
Přehled ploch stavební
praxe
Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe
Hyperbolický paraboloid
Graham McCourt Architects, 1983,
sportovní aréna,
Calgary, Alberta, Canada
15
Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972,
Olympijský stadión, Mnichov, Německo
16
F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie
17
Kulová plocha
K zastřešení užito
trojúhelníkových úsečí
kulových ploch o shodném
poloměru R=74.0m
arch. Jørn Utzon, 1973,
Opera v Sydney,
Nový Jižní Wales , Austrálie
18
Jednodílný hyperboloid
arch. Oscar Niemeyer, 1970,
Cathedral of Brasília
(Catedral Metropolitana Nossa
Senhora Aparecida)
19
The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.
20
Chladící věže jaderných elektráren
21
Rotační paraboloid
Ještěd,
arch.
Karel
Hubáček,
1963 -2001-2004,
1966
arch.
Norman
Foster
a Ken
Shuttleworth,
30 St Mary Axe, Londýn, velká Británie
22

Rotační plocha


Ještěd, arch. Karel Hubáček, 1963 - 1966
Nejedná se o jednodílný rotační
hyperboloid
Hyperbola rotuje kolem asymptoty
Zbytek plochy rotací spline funkcí
23
Šroubová plocha
Šroubování krychle o ¼ závitu;
po stranách otevřené pravoúhlé
přímkové šroubové plochy
(svidřík)
arch. Santiago Calatrava, 2001-2005,
Turning Torso
24
Šroubová plocha
arch. Santiago Calatrava,
2007-2011, Fordham Spire
25
Šroubová plocha
Fordham Spire
- návrh
26
Přímý šroubový konoid
Lednice - Minaret
Schodová plocha
27
Plocha Štramberské trůby
28
Plocha šikmého průchodu
Vyšehradský tunel
29
Přímý parabolický konoid
30
„Corne de Vache“
Most Legií, Praha
plocha kravského rohu
31
32
Jak zvládnout deskriptivu?
Tajemství úspěchu není dělat
jen to, co se nám líbí, ale najít
zalíbení v tom, co děláme.
T. A. Edison
33
Kdo nerozumí jednomu pohledu,
nepochopí ani dlouhé vysvětlováni.
arabské přísloví
34
Přednáška č.1
Rozšířený euklidovský prostor.
Dělící poměr.
Princip středového a rovnoběžného promítání.
Perspektivní kolineace, perspektivní afinita.
Jan Šafařík: První přednáška
Rozšířený euklidovský prostor





každá vlastní přímka má jeden nevlastní bod (je incidentní s jedním
nevlastním bodem),
nevlastní bod je určen směrem přímky, která je s tímto bodem incidentní,
všechny vzájemně rovnoběžné přímky se protínají v jediném nevlastním bodě,
každá vlastní rovina má jednu nevlastní přímku (je incidentní s nevlastní
přímkou),
všechny vzájemně rovnoběžné roviny se protínají v jediné nevlastní přímce.
36
Dělící poměr
Zvolme na dané přímce p dva různé vlastní body A, B a kladný směr. Pak poloha
libovolného dalšího bodu C je určena poměrem délek orientovaných úseček
| AC | : | BC | = λ. Tento poměr nazýváme dělící poměr bodu C vzhledem k
základním bodům A, B, značíme (ABC).
(ABC) > 1
0 < (ABC) < 1
(ABC) < 0
(ABC) = 0
bod
bod
bod
bod
C
C
C
C
leží vně úsečky AB, tak aby |AC|>|BC|
leží vně úsečky AB, tak aby |AC| < |BC|
leží uvnitř úsečky AB
splývá s bodem A
Hodnota dělícího poměru nezávisí na volbě orientace přímky.
Dvojpoměrem čtyř bodů A, B, C, D (v tomto pořadí) na orientované
přímce nazýváme poměr (ABC) : (ABD), t.j. podíl dělících poměrů bodů C a D
vzhledem k základním bodům A, B; značíme (ABCD).
37
Princip středového
a rovnoběžného promítání
Definice:
1. Zobrazení, ve kterém obrazem bodu A v prostoru různého od bodu S je průsečík
A´ přímky AS s rovinou ρ, se nazývá promítání. Bod S se nazývá střed
promítání, rovina ρ průmětna, přímka AS promítací přímka (promítací
paprsek), bod A´ průmět bodu A, rovina procházející středem promítání
promítací rovina.
2. Je-li střed S promítání vlastní bod, nazýváme promítání středové (centrální),
je-li střed S promítání nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné
(paralelní).





S ...
s ...
A´ ...
ρ ...
AA´ ...
střed promítání
směr promítání
průmět bodu
průmětna
promítací paprsek
38
Vlastnosti promítání





Průmětem bodu, různého od středu
promítání, je bod.
Průmětem přímky, která neprochází
středem promítání, je přímka.
Průmětem promítací přímky je bod,
tj. její průsečík s průmětnou.
Průmětem roviny, která neprochází
středem promítání, je průmětna.
Průmětem promítací roviny je
přímka.

Invariantem středového promítání
je dvojpoměr čtyř bodů na přímce.
Důsledek:

a) průmětem rovnoběžných přímek
nejsou rovnoběžky,
b) průmět nevlastního bodu může
být bod vlastní i nevlastní.
Invariantem rovnoběžného
promítání je dělící poměr tří bodů
na přímce.
Důsledek:
a) průmětem rovnoběžných přímek
Věta:
Incidence prvků se promítáním zachovává.
Poznámka:
Metrické vlastnosti, tj. délky a úhly se obecně
promítáním nezachovají.
jsou rovnoběžky,
b) průmět středu úsečky je střed
průmětu úsečky,
c) průmět vlastního bodu je bod
vlastní.
d) průmět nevlastního bodu je bod
nevlastní.
39
Zobrazovací metody
Rovnoběžná promítání



Kótované promítaní
Mongeovo promítání
Axonometrické promítání
- pravoúhlé (ortogonální)
- kosoúhlé (klinogonální)
Středová promítání




Obecné středové promítání
Lineární perspektiva
Stereoskopické promítání
(anaglyfy)
Reliéf
40
Perspektivní kolineace
Je dána trojboká jehlanová plocha s
vrcholem S a dvě různoběžné roviny ρ
a ρ'. Rovina ρ protíná jehlanovou
plochu v trojúhelníku ABC a rovina ρ'
protíná jehlanovou plochu v
trojúhelníku A'B'C'. Pokud Δ ABC
promítneme z bodu S do roviny ρ',
získáme Δ A'B'C'. Máme zobrazení
bodů a přímek roviny ρ do bodů a
přímek roviny ρ', ve kterém platí
stejně jako v afinitě, že odpovídající si
přímky se protínají na průsečnici rovin
ρ a ρ'.
41
Definice:
Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a vlastní bod S neležící v žádné z
daných rovin. Středovým promítáním ze středu S se body a přímky roviny ρ zobrazí
do bodů a přímek roviny ρ '. Toto zobrazení se nazývá perspektivní kolineace (dále
jen kolineace) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa
kolineace, bod S se nazývá střed kolineace.
Kolineace je jednoznačně určena středem S a rovinami ρ a ρ '.
Základní vlastnosti kolineace:
1. Bodu (přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (jediná přímka) druhé roviny.
Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A' na přímce a' v rovině ρ ',
přičemž a' je obrazem přímky a (incidence se zachovává).
2. Dvojice kolineárně sdružených bodů leží na přímkách procházejících středem
kolineace (tyto přímky nazýváme paprsky kolineace).
3. Kolineárně sdružené přímky se protínají na ose kolineace. Osa kolineace je
množina samodružných bodů.
42
Označení:
A  A ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '.
A  A ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou kolineárně sdružené body.
p  p ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou kolineárně sdružené přímky.
Úběžník přímky
Úběžnice roviny
- obraz nevlastního bodu, je to vlastní bod
- obraz nevlastní přímky roviny, je to množina úběžníků všech
přímek roviny
Orientovaná vzdálenost středu kolineace od úběžnice jedné roviny je rovna
orientované vzdálenosti úběžnice druhé roviny od osy kolineace.
43
Promítneme-li z nějakého bodu O, který neleží v žádné z rovin ρ a ρ ', kolineaci
mezi rovinami ρ a ρ ' do libovolné roviny  (O  ), získáme zobrazení nazývané
perspektivní kolineace v rovině, dále jen kolineace.
44
Poznámka:
Kolineaci budete využívat při sestrojování rovinných řezů jehlanů a kuželů. Mezi
podstavou a řezem je kolineární vztah, osou kolineace je průsečnice roviny
podstavy a roviny řezu, středem kolineace je vrchol tělesa.
Postup při sestrojení řezu jehlanu
nebo kužele je následující:
1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík
libovolné površky (nebo osy tělesa) s
rovinou řezu
2. Využitím vlastností kolineace určíme
čáru řezu jako křivku kolineární ke křivce
podstavy (osa kolineace: průsečnice
roviny podstavy a roviny řezu, pár
odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu
a bod podstavy na téže povrchové
přímce)
45
Perspektivní afinita
Je dána trojboká hranolová plocha, jejíž
hrany a, b, c jsou rovnoběžné s daným
směrem s. Dále jsou dány roviny ρ a ρ',
které se protínají v přímce o. Rovina ρ
protíná hranolovou plochu v Δ ABC, rovina
ρ' protíná hranolovou plochu v Δ A'B'C' ,
a (A, A' ) || b (B, B' ) || c (C, C' ) || s.
α (a,b) je rovina stěny hranolové plochy. V
této rovině leží jak přímka AB = ρ  α,
tak přímka A'B' = ρ'  α. Průsečík přímek
AB a A'B' (na obrázku označen I ) musí
ležet na průsečnici o rovin ρ a ρ', protože
je to společný bod tří rovin ρ, ρ', α.
Můžeme také říci, že Δ A'B'C' vznikl
promítnutím Δ ABC směrem s do roviny ρ'.
46
Definice:
Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a směr promítání s, který není
rovnoběžný s žádnou z daných rovin. Rovnoběžným promítáním ve směru s
se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Získáme tak
geometrické zobrazení v prostoru nazývané perspektivní afinita (dále jen
afinita) mezi rovinami ρ a ρ '.
Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa afinity, směr s nazýváme směr afinity.
Označení:
A  A ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '.
A  A ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou afinně sdružené body.
p  p ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou afinně sdružené přímky.
Afinita je dána:
1. osou o a párem odpovídajících si bodů A, A '; směr afinity je pak určen
přímkou AA ';
2. osou o, směrem s a párem odpovídajících si přímek p, p ' protínajících se na
ose afinity;
3. třemi páry afinně sdružených bodů, kde AA ' || BB ' || CC '.
47
Základní vlastnosti afinity:
1. Bodu (resp. přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (resp. jediná přímka)
druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A ' ležící na
přímce a ' v rovině ρ ' , přičemž a' je obrazem a. (zkráceně: incidence se zachovává)
2: Dvojice afinně sdružených bodů leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity
(tyto přímky budeme nazývat paprsky afinity).
3. Afinně sdružené přímky se protínají na ose afinity. Osa afinity je množina
samodružných bodů.
Další důležité vlastnosti:
4. Nevlastní přímce jedné roviny odpovídá nevlastní přímka druhé roviny.
5. Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek.
6. Průsečíku M různoběžných přímek p, q odpovídá průsečík M ' odpovídajících
přímek p ', q '.
7. Afinita zachovává (jako každé rovnoběžné promítání) dělící poměr i dvojpoměr.
8. Středu S úsečky AB odpovídá střed S ' úsečky A 'B ' (důsledek vlastnosti 7).
48
Promítneme-li afinitu o směru s mezi rovinami ρ a ρ ' libovolným směrem s*
různým od s (s* není rovnoběžný s ρ ani s ρ ') do libovolné roviny  (která není
rovnoběžná se směrem s*), získáme geometrické zobrazení nazývané
perspektivní afinita v rovině (dále jen afinita).
49
Poznámka:
Afinitu budete využívat při sestrojování rovinných řezů hranolů a válců. Mezi podstavou a
řezem je afinní vztah, osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr afinity je
směr povrchových přímek tělesa (všechny povrchové přímky hranolu, resp. válce jsou
rovnoběžné).
Postup při sestrojení řezu hranolu
nebo válce je následující:
1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík
libovolné površky (případně boční hrany
hranolu) nebo osy tělesa s rovinou řezu.
2. Využitím vlastností afinity určíme čáru
řezu jako křivku afinní ke křivce podstavy
(osa afinity: průsečnice roviny podstavy a
roviny řezu, pár odpovídajících si bodů:
nalezený bod řezu a bod podstavy na
téže povrchové přímce).
50
viz cvičení
Sdružené průměry elipsy
Průměrem elipsy (kružnice) se nazývá tětiva procházející jejím středem. Dva
průměry elipsy (kružnice) se nazývají sdružené, jestliže tečny v koncových bodech
jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem a naopak.
Sdruženými průměry kružnice rozumíme každou dvojici na sebe kolmých průměrů.
Osy elipsy jsou jediná navzájem kolmá dvojice sdružených průměrů.
51
viz cvičení
Rytzova konstrukce








Sestrojíme přímku p, která
prochází středem S a je kolmá
k některému průměru.
Na přímce p určíme bod L’, pro
který platí |S’L’|=|SL|.
Sestrojíme přímku q(L’,M).
Sestrojíme střed O úsečky L’M.
Sestrojíme kružnici k, která má
střed v bodě O a prochází
bodem S.
Určíme průsečíky I, II kružnice
k s přímkou q.
Hlavní osa elipsy je přímka
o1(S,I), vedlejší osa elipsy je
přímka o2(S,II) – hlavní osa leží
v menším úhlu, který svírají
sdružené průměry.
Délka hlavní poloosy – |MI|;
délka vedlejší poloosy – |MII|.
52
viz cvičení
Proužková konstrukce elipsy

rozdílová

součtová
53
viz cvičení
Afinní obraz kružnice
Příklad: D: AF (SS’, o), k(S,r)
S: k’
54
viz cvičení
Afinní obraz kružnice
Příklad: D: AF (SS ’, o), k(S,r)
S: k ’,
konstrukce na přímé získání
os elipsy.
55
Konec
Děkuji za pozornost

BA03 Deskriptivní geometrie - Jan Josef Šafařík

Transkript

Podobné dokumenty

Historický vývoj deskriptivní geometrie a historie deskriptivní

deskriptivní geometrie - Jan Josef Šafařík

„S GYMNÁZIEM NA CESTÁCH“

PJ Šafařík a hlaholice