Hydraulická vodivost

Pedologie
Přednáška 8
Proudění vody v půdě,
hydraulická vodivost
proudění vody v nasyceném
prostředí, Darcyho zákon,
nasycená hydraulická vodivost,
proudění v nenasyceném
prostředí, proudění v kapiláře,
funkce hydraulické vodivosti
Nasycené proudění
Henry Darcy (1856) řešil problém filtrace vody pro
fontány v Dijonu.
Mnoha experimenty zjistil, že průtok vody válcem
naplněným pískem je:
• přímo úměrný rozdílu hydrostatických tlaků
na počátku a konci válce
• nepřímo úměrný délce válce
• přímo úměrný ploše průřezu válce
• závislý na koeficientu lišícím se pro různé
materiály
Darcy, H., 1856. Les Fountaines de la Ville de Dijon
Henry Darcy
Darcyho zákon
h1
Κ S Α∆Η
Q=
L
Hi = hi+zi
H1
z1
L
h2
H2
z2
srovnávací rovina
Q = průtok vody za jednotkový čas [L3.T-1]
A = průtočný průřez [L2]
Ks = nasycená hydraulická vodivost [L.T-1]
H = H1 – H2 (rozdíl hydraulických výšek) [L]
L= délka vzorku [L]
platí v plně
nasyceném
prostředí,
například pod pod
HPV
pro:
kde:
q ... objemový tok [L.T-1]
Q ... průtok vody [L3.T-1]
A ... plocha průtočného průřezu [L2]
Q
q=
A
Darcyho zákon přejde do
podoby:
∆H
q = Ks
L
zobecnění Darcyho zákona:
q = Ks
dH
dl
Pro 1D vertikální proudění
dH
q = −K s
= −K S ∇H
dl
poznámka: záporné
znaménko proto že
grad H směřuje proti
směru proudění
poznámka: záporné
znaménko proto že
grad H směřuje proti
směru proudění
Koeficient nasycené vodivosti Ks
(EN: saturated hydraulic conductivity)
Nazýván také (nesprávně) filtrační koeficient, Darcyho koeficient nebo
propustnost
Nejčastěji používané jednotky Ks jsou (m.s-1), (cm.d-1), (cm.s-1)
Ks je charakteristikou vztahu půda-voda. Pouze vlastnosti půdy
charakterizuje:
Propustnost k
(EN: permeability)
K s µ K sυ
k=
=
ρg
g
[L ]
2
kde ν je kinematická viskozita
[L .T ]
2
−1
K (m.s-1)
K (cm.s-1)
k (cm2)
Koeficient nasycené vodivosti Ks a
propustnosti pro různé materiály
Zdroj: Císlerová a Vogel, 1998
Příklad 1 :
Vertikálně orientovaný válec půdy: q=?
+z
konst. hladina
b=
1) Definujeme referenční úroveň a
souřadný systém
VODA
2
2) Definujeme body 1 a 2 se známými
hydraulickými výškami
10cm
PŮDA
H2
L=
Ks=100cm/d
3) Určíme ∆H a vypočteme q pomocí
Darcyho zákona
H 2 − H1
q = − K s ∇H = − K s
=
z 2 − z1
100cm
= z2
= −100
1
volný výtok
q
H=0
= H1 = z1
110 − 0
= −110 cm.d −1
100 − 0
Příklad 2
Horizontálně orientovaný válec půdy: q = ?
1) Definujeme referenční úroveň a souřadný systém, (x zleva
doprava)
2) Definujeme body 1 (vtok) a 2 (výtok). Pak x1 = 0 a h1 = 10 cm,
x2=100cm, h2 = 0, z1 = z2 = 0, L = x2 - x1 = 100 cm
3) Hydraulické výšky H1 = h1 + z1 = 10 cm, H2 = h2 + z2 = 0 cm
5) Darcyho zákon
q = −K s
(H − H1 ) = −100 (0 − 10) = 10 cm.d −1
∆H
= −K s 2
L
L
100
+x
Příklad 3 :
Vertikálně orientovaný válec půdy: grad H = ?, q=?
konst. hladina
b=0 cm
2
PŮDA
2) q pomocí Darcyho zákona
Ks=100c
m/d
H2
1
volný výtok
q
H=0=
= H1 = z1
z2 – z1
=
100 - 0
VODA
L=
100 cm
= z2
H2 - H1
1) grad H =
100 - 0
= 1,0
q = - Ks grad H = - Ks.1,0 = - Ks=
= -100 cm.d-1
grad H = 1 se nazývá jednotkový
gradient potenciálu
Hydraulická vodivost je rovna
objemovému toku
při jednotkovém gradientu potenciálu
Principy měření Ks
1) Měření Ks s konstantním spádem
konst. hladina
b
Měření na vzorku půdy
VODA
PŮDA
L
Ks= ?
A
H1 = 0 + 0 (spodní okraj)
H2 = b + L (horní okraj)
∆H = (b+L) - 0
pak:
qL
qL
Ks = −
=−
∆H
(b + L )
V praxi se měří Q, resp. V/t, pak:
volný výtok Q
q
VL
VL
Ks =
=
At∆H At (b + L )
Experiment s konstantním spádem
konstantní
hladina
měření Q
porézní destičky
b
vzorek
přítok
přepad
L
Zvláštní úsilí vyžaduje dokonalé nasycení vzorku.
Pokud nasycení není dokonalé neměří se Ks.
Obr. : http://www.utdallas.edu/~brikowi/Teaching/Geohydrology/LectureNotes/Darcy_Law/Permeameters.html
Experiment s konstantním spádem
Jednoduchý set-up sestavený z „tempských cel“ (EN: Tempe Cell)
instalovaný přímo v terénu (povodí Uhlířská)
2) Měření Ks s proměnným spádem (EN: falling-head
permeameter)
Pokles hladiny
b(t)
b0
VODA b1
PŮDA
L
Ks= ?
Měření na vzorku půdy v laboratoři
Hladina na počátku v úrovni b0
H1 = 0, H2(t) = L+b(t), ∆H(t) = [b(t) + L] - 0
(
db
b + L)
= −K s
q=
dt
L
upravíme na:
db
Ks
=−
dt
b+L
L
Integrace levé strany
b1
volný výtok
q
db
b1 + L
b1
∫b b + L = ln(b + L ) b0 = ln b0 + L
0
R. pokračování
integrace pravé strany
t1
t1
K
K
Kt
− ∫ s dt = − s ∫ dt = − s 1
L
L 0
L
0
Ks
db
=−
dt
b+L
L
po dosazení:
ln
Kt
b1 + L
=− s1
b0 + L
L
L b0 + L
K s = ln
t1 b1 + L
db
Pro různou plochu
vzorku a byrety vzorec
přechází na tvar:
b0
b1
kde:
t1@. je doba poklesu
hladiny vody v byretě
Ab @ průřez byrety
A ... průřez vzorku
Q
Porézní
destičky
Ab L b0 + L
Ks =
ln
A t1 b1 + L
d
vzorek
L
Zdroj: http://www.utdallas.edu/~brikowi/Teaching/Geohydrology/LectureNotes/Darcy_Law/Permeameters.html
Pokles hladiny
Experiment s proměnným spádem
Příklad 3 :
Výpočet průběhu tlakové výšky h(z)=?
2
b
Ks je konstantní, h(z) = ?
VODA
h2 = b, z2=L
PŮDA
z
h
h2 − h1
b
h=
z= z
L
L
h1 = 0, z1 = 0
0
q
q1z
∆H
b+L
h+ z
q = −Ks
= −Ks
= −Ks
L
L
z
L
1
Darcyho zákon:
q12
h
V homogenním sloupci
nasycené půdy je průběh
tlakové výšky h lineární
Nasycené 1D proudění ve
vícervstvém prostředí
b
VODA
L1
Ks
L2
Ks
1
2
Darcyho zákon je formálně shodný s Ohmovým
zákonem.
Nasycené 1D proudění zvrstveným prostředím je
analogické elektrickému obvodu s resistory v
sérii.
Analogií získáme vztah pro efektivní koeficient
nasycené hydraulické vodivosti celého sloupce
půdy Kseff .
N
LN-1
Ks N-1
LN
Ks N
K seff =
∑L
j
j =1
Lj
∑ j =1 K
sj
N
..... proudění ve vícervstvém prostředí
Pro výpočet průtoku pak můžeme použít Kseff
b
VODA
L1
Ks
L2
Ks
b
VODA
1
2
Kseff
L
LN-1
Ks N-1
LN
Ks N
q
q
pokud bychom
měřili Ks na
zvrstveném
vzorku
výsledkem
měření bude Kseff
Nehomogenita a anizotropie Ks
Nehomogenita: odlišné Ks pro různá místa oblasti
Anizotropie: odlišné Ks v různých směrech
Tenzor nasycené hydraulické vodivosti
3D
K sxx

KKs = K syx

K
 szx
K sxy
K syy
K szy
K sxz 

K syz 

K szz 
2D
K sxx
KKs = 
K syx
K sxy 

K syy 
Měření Ks v terénu – infiltrační experimenty
Průtok vody přes topografický povrch do půdy nazýváme
infiltrace a rychlost tohoto průtoku je rychlost infiltrace q.
Celkové množství zasáklé vody nazýváme kumulativní
infiltrace I [L] - jako celková srážka nebo výpar v délkové
míře, často v cm.
Infiltrace může být stacionární a nestacionární tzn. infiltrační
rychlost není (nebo je proměnlivá v čase)
Měření Ks v terénu – Infiltrační pokus – 1D
výtopová infiltrace
Výtopová infiltrace:
dvouválcová metoda;
•
•
•
•
•
•
•
dva soustředné válce
povrch půdy uvnitř
menšího válce opatříme
hrotem
v čase t = 0 nalijeme do
válce vodu tak, že hrot
zatopíme
Po vynoření hrotu se
přidává známé množství
vody
měří se čas vynoření hrotu
postup se opakuje
ze záznamu časových
intervalů, známých dávek a
známé plochy válce se
počítá kumulativní infiltrace
a rychlost infiltrace v čase
Měření Ks v terénu – Infiltrační pokus – 1D
výtopová infiltrace
45
1.80E-4
Kumulativní infiltrace
35
1.50E-4
Infiltrační rychlost
30
25
20
15
1.20E-4
I = ∫ q (t )dt
t
dI
q=
dt
0
9.00E-5
6.00E-5
10
3.00E-5
lim q (t ) = K s
5
0
0:00:00
0.00E+0
0:30:00
1:00:00
1:30:00
2:00:00
infiltrační rychlost [m/s]
kumulativnivní množství [l]
40
Hydraulická vodivost nenasyceného pórovitého
prostředí
• θ se může měnit v čase a prostoru
• existuje vztah θ(h) tj. retenční čára
• hydraulická vodivost závisí na θ
resp. na h pro h < 0
• závislost K(θ), resp. K(h)
se nazývá funkce hydraulické
vodivosti
Zdroj: E. Sulzman
Darcy-Buckinghamův zákon
Edgar Buckingham (1907)
q = −K(θ )∇H
kde:
q je objemový tok
H je hydraulický
výška
Zdroj: Kutílek et al. 1994
Kapilární modely
Teorie kapilárních modelů (Childs and Collis-George, 1950)
Založena na retenční čáře půdy
Předpokládá, že vztah nasycení-kapilární tlak může být odvozen se
statistickým rozdělením velikosti pórů s použitím Laplaceovy rovnice
pro kapilární tlak na zakřiveném fázovém rozhraní. Výsledkem jsou
vztahy pro snadnou předpověď funkce hydraulické vodivosti.
Předpověď funkce hydraulické vodivosti
K (θ ) = K r (θ )K s
kde Ks je nasycená hydraulická vodivost
získaná měřením
opakování .... retenční křivka a statistické
rozdělení velikosti pórů
Statistické rozdělení
velikosti pórů
distribuční funkce
F(r):
r
F (r ) = ∫ f (r ) dr
0
f(r)
F(r)
kde f (r) frekvenční funkce relativního zastoupení plochy pórů
různých poloměrů
Platí:
F ( r ) = S (r )
r
kde r je poloměr pórů (póry s poloměry < r zaplněné vodou)
1
Složením S(r) a h(r) - retenční křivka:
F(r)
r
S = S (r ) 

 S = S ( hc )
hc = hc ( r ) 
Hydraulická vodivost jedné kapiláry
Kapilára
Obecný tvar Poiseuillova
zákona pro průměrnou
rychlost proudění v kapiláře:
r
ρg 2 dH
u=
r
8µ
dl
u
l
Výraz lze přepsat s hydraulickou vodivostí jedné kapiláry K1
u = − K1 (r )
dH
ρg 2
, K1 (r ) =
r , K1 (r ) = C2 r 2
dl
8µ
Hydraulická vodivost svazku kapilár
Střední rychlost ve svazku kapilár je integrací
mikroskopických rychlostí přes plochu
průřezu zaplněnou vodou
v ( Aw ) =
1
Aw
∫ u dA
Aw
kde Aw je plocha průřezu svazku kapilár
naplněného vodou
Určení hydraulické vodivosti svazku kapilár
předpoklady: - existuje vztah mezi Aw a r
dA
dr
- a tedy vztah
= f (r )
AW
F (rW )
Pak střední rychlost ve svazku kapilár < rw je:
r
1 W
v(rW ) =
u (r ) f (r )dr
∫
F (rW ) 0
Hydraulická vodivost svazku kapilár
Po dosazení Poiseuillova zákona získáme
objemový tok q (q = θv, F = S = θ/θS ):
rW

 dH
2
q (rW ) = −θ S C2 ∫ r f (r )dr 

 dl
0


Nebo jako závislost na tlakových výškách s
použitím Laplaceovy rovnice:
kde:
 2 θ 1  dH
q (θ ) = − C1 C2 ∫ 2 

h  dl
0

2σ cos ϕ C1
hc =
=
ρgr
r
θ... objemová vlhkost
hc...tlaková výška
C1, C2 .... konstanty
Laplaceova rovnice
Hydraulická vodivost nenasyceného prostředí
dH
pro jednotkový gradient potenciálu
= 1 , získáme vztah pro
dl
hydraulickou vodivost
θ
1
K (θ ) = C C2 ∫ 2 dθ
h
0
2
1
relativní hydraulická vodivost Kr
θ
dθ
∫0 h 2
K (θ )
K r (θ ) =
= θS
K (θS )
dθ
∫h
0
2
Konstanty C12 a C2 se zkrátí
kde:
K (θ S ) = K S je nasycená
hydraulická
vodivost
Zavádějí (θ/θs)b ..... vliv relativní tortuozity
θ
θ
=
K r ( ) 
 θs
Mualem (1976):
θ



2
dθ
∫ h2
0
θ
dθ
∫ h2
0
s
 θ dθ 


1/ 2 ∫
 θ  h 
K r (θ) =    θ0

s
θ
θ
 s  d 
∫

0 h 
h < Hb
h ≥ Hb
Po dosazení vztahů pro
retenční čáru, a po integraci
získáme...........................
2
1


 1 + (− αh )n
θ e (h ) = 

1

(
)
m
h<0
h≥0
van Genuchten
Burdin (1953):
 H b λ


 h 
θ e (h ) =  
 1

Brooks a Corey
Nevíce používané modely předpovědi Kr
...... vztahy pro předpověď funkce hydraulické
vodivosti z retenční čáry
z Brookse a Coreyho
Kr (θe ) = θeb+aλ
 Hb 
 
 h 
a+b / λ
h < Hb
K r (h) =
1
kde parametry a a b jsou pro kapilární model
θ − θr
θe =
θs − θr
Efektivní vlhkost
h ≥ Hb
Burdina a=2 a b=3
Mualema a=2 a b=2.5
...... vztahy pro předpověď funkce hydraulické
vodivosti z retenční čáry
z van Genuchtenova
vztahu
1
m m 2
e
K r (θe ) = θ [ 1 − ( 1 − θ ) ]
0.5
e
θ − θr
θe =
θs − θ r
{1− (− αh) [1+ (− αh) ] }
2
n −m
mn
[1+ (− αh) ]
n m/2
K r (h) =
1
Mualemův model
h<0
h≥0
Retenční čára a funkce hydraulické vodivosti
některých půdních druhů a různé modely
předpovědi Kr
funkce hydraulické vodivosti
retenční čára
písek
hlinitopísčitá půda
jílovitohlinitá půda
jílovitohlinitá půda
4
3
3
BC
BCM
2
log hc
2
log hc
4
1
1
0
0
VG
-1
-1
-2
0.00
-2
0.00
0.10
0.20
0.30
θ (-)
0.40
0.50
VGM
0.20
0.40
0.60
Kr (-)
0.80
1.00
Typické čáry nenasycené hydraulické vodivosti
pro různé materiály
Měření funkce nenasycené hydraulické
vodivosti v terénu
podtlakovým
diskovým
infiltrometrem
v terénu – měření rychlosti
ustálené infiltrace v
závislosti na nastaveném
podtlaku v disku
Pod diskem
předpokládáme jednotkový
gradient potenciálu
Měření funkce nenasycené hydraulické
vodivosti – podtlakový infiltrometr
Jury a Horton 2004
Měření K(h) v terénu – příklad výsledků série
infiltrací v jedné lokalitě
- jílovitohlinitá půda
1.00E-03
soil surface
35 cm below surface
60 cm below surface
K(h) [m/s]
1.00E-04
1.00E-05
1.00E-06
1.00E-07
0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10
-0.12
-0.14
soil-water suction at the tension disc [m]
-0.16
-0.18
-0.20
Literatura
Kutílek, M., Kuráž, V., Císlerová, M. Hydropedologie, skriptum ČVUT 1994
Císlerová, M. Inženýrská hydropedologie, skriptum ČVUT 2001
Císlerová M., Vogel T. Transportní procesy, skriptum ČVUT
Jury, W.A. and R. Horton, Soil Physics. Sixth Edition, 2004.
M. E Sumner, Handbook of Soil Science 1998
http://edis.ifas.ufl.edu/AE266
Tyto online přednášky vznikly v autorském kolektivu
Michal Sněhota a Martin Šanda
Proudění jednou kapilárou
Rozdíl hydraulických
tlakových výšek
∆H = H2 – H1
kapilára
proudové vlákno
na poloměru R
r
Q
síla způsobená ∆H =
= síla třecích sil vody
na poloměru R
R
H1
Q
ν
H2
L
Bodová rychlost na
poloměru R je:
ρw g∆H 2
(
u (R ) =
r − R2 )
4Lµ
Objemový průtok vody kapilárou
Poiseuilleův zákon – laminární
proudění (průtok kapilárou)
Q=-
ρwgπ r4∆H
8µL
µ ..... dynamická
viskozita (Pa.s-1)