PIKOMAT MFF UK

PIKOMAT MFF UK
Milé řešitelky, milí řešitelé,
dostává se k vám leták s výsledky a vzorovými řešeními druhé série. Termín
odeslání následující, třetí, série (jejíž zadání bylo k dispozici již v minulém letáku) je 4. ledna 2016, naše soutěž se proto pomalu blíží ke své polovině. Jsme
rádi, že váš zájem o Pikomat neopadá, naopak, snad vás baví stále více. Získané
body vás posouvají nejen vzhůru výsledkovou listinou, ale také blíž k odměně
ve formě pozvání na soustředění, které je určeno nejlepším řešitelům ve všech
ročnících. Toto soustředění se bude konat 16.–22. dubna. Druhou významnou
akcí v příštím roce je tábor, který se uskuteční 23. července – 6. srpna. Ten již
není limitován bodovým ziskem, a je proto otevřen všem zájemcům o zábavně
strávenou část prázdnin.
Návratky
A nyní zpět do přítomnosti – v minulém úvodníku jsme vás upozorňovali na
nutnost zkontrolovat si v Tepu své nastavení pro zasílání informací a opravených
řešení. V případě, že jste tak neučinili, nemáme přehled o vašich preferencích,
a proto vám nadále nebudou přicházet letáky se zadáním úloh. Jakmile návratky
v Tepu vyplníte, zasílání materiálů (dle nastavení) bude obnoveno.
Nahrávání úloh
Také bychom vás chtěli požádat, abyste důsledně kontrolovali správnost nahrání
úloh do Tepu. V mnoha případech nám chodí úlohy nahrány dohromady jako
jeden soubor, případně jsou příklady nahrány pod špatným číslem. To velmi
komplikuje a zdržuje opravování. Jsme nuceni proto brát taková řešení jako neplatná. Dbejte tedy, prosím, na správné zařazení úlohy.
Závěrem vám přejeme příjemné a klidné Vánoce a úspěšný vstup do nového
roku.
Vaši organizátoři
pikomat.mff.cuni.cz
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 4. série
Zadání úloh 4. série 31. ročníku
Termín odeslání: 8. února 2016
Erik obíhal úřady příliš dlouho. Setmělo se a kráčel matně osvětlenou ulicí. Díky
tomu celému cirkusu se cítil, jako by měl místo mozku tuhou vatu. Už ani nepřemýšlel nad záhadou a jednoduše doufal, že se vyřeší sama. Těšil se domů, kde
na něj jistě čeká žena s teplou polévkou.
V kapse nahmatal korálkový náhrdelník, jenž koupil ráno cestou do práce.
Unaveně se pousmál. Jak šel, narazil na rozkopanou ulici. Pobíhal tam nějaký
mladík se zvláštním zařízením v ruce.
Úloha č. 1: V ulici dlouhé 100 stop položili dělníci do země 27 stejných kabelů.
Zapomněli si je ale označit, a tak teď nevědí, které konce patří k sobě. Nejmladší
z nich dostal za úkol to pomocí zkoušečky a propojovacích svorek zjistit. Na jedné
straně může pospojovat různé kabely do skupin, potom přejít na druhou stranu
a tam zkoušečkou zjistit, které konce kabelů jsou vodivě spojené. Jakou nejmenší
vzdálenost mladík ujde, než zjistí a označí, který konec patří ke kterému, a jak to
udělá?
Ulicí nešlo projít, Erik ji musel obejít. Zabočil tedy do neosvětlené vedlejší
uličky a doufal, že nezabloudí. Nestihl udělat ani dvacet kroků, když ho cosi udeřilo do hlavy. Zajiskřilo se mu před očima a sesunul se k zemi. Leže na chladivé
dlažbě viděl vedle sebe dvě postavy. Neviděl jim ale do obličejů. Postavy si povídaly:
„Praštils ho pořádně, je mimo?“ ptal se jeden.
„Jasně, ten se jen tak neprobere,“ chlubil se druhý.
„Tak ho vemem k šéfovi.“
Hrubé ruce Erika zvedly a táhly na konec ulice, kde na ně čekala černá drožka.
Přehodili jej přes dvě sedačky a sedli si proti němu. Detektiv se snažil nehýbat,
aby nezjistili, že vůbec není v bezvědomí.
V kapse se usilovně snažil nahmatat zařízení, které používali policisté k signalizaci, že jsou v nebezpečí. Byla to malá dřevěná kulička, která po stisknutí vyslala signál. Ten signál dovedli zachytit jiní strážníci a mohli pak přijít pomoci na
místo, odkud signál přicházel. Zařízení však vyslalo signál jenom jednou, tím pádem v pohybující se drožce nemělo příliš uplatnění. Naštěstí dostal Erik nápad.
Když viděl, že ho chlapi nehlídají, zmáčkl dřevěnou kuličku a roztrhnul náhrdelník, jenž měl pro svou ženu. Upustil jeden korálek pod sedadlo na zem. Jeho
Strana 2
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 8. února 2016
únosci si toho naneštěstí všimli a poručili kočímu, aby jezdil s drožkou dokola.
Úloha č. 2: Drožka jezdila po kruhu o poloměru 18 stop. Erik každou sekundu
upustil korálek. Čtvrtý korálek byl vzdálen od prvního 1 stopu (měřeno po oblouku kruhu), a když ho Erik upustil, drožka do té doby obkroužila jeden celý kruh
a zmíněnou část. Jak dlouho musela drožka jezdit, aby na kruhu nebyl žádný úsek
dlouhý jednu stopu bez korálku?
Když mu došly korálky, jeden z únosců se na něj zlověstně usmál.
„Tak ty sis myslel, že nás převezeš?“
Erik polknul naprázdno. Viděl, že nemá smysl dál předstírat bezvědomí a sedl
si. „Kam mě to vezete?“ zeptal se.
„Vždyť uvidíš,“ řekl ten proti němu a zachechtal se jako hyena.
„Anebo ani ne,“ dodal ten druhý a natáhl mu na hlavu černý pytel.
Dena zatím čekala, až se Peter vrátí. Bylo to už dlouho, co ho poslala, aby ze
skladu získal tepelné štíty. Pochybovala, že by na ně měl postačující povolení.
Když ale viděla, s jakou jistotou vyrazil, uvěřila, že se bez štítů nevrátí. Během
čekání už stihla přečíst vše, co chtěla, a tak se znuděně procházela po chodbě.
Narazila na nový vynález, který tady posledně nestál. Vypadal jako velká krabice,
ze které si studenti mohli koupit koblihy. Teď byl ale asi porouchaný, protože se
před ním skupinka mladíků o něčem vášnivě dohadovala.
Úloha č. 3: Studenti přišli společně k automatu a zaplatili. Prvnímu z automatu
vypadla jen jedna kobliha, druhému vypadly dvě, třetímu tři, a tak dále. První
studenti byli trochu smutní, že se jim dostalo jen po jedné či dvou koblihách, a tak
se s ostatními dohodli, že když všichni platili stejně, tak si úlovek taky rozdělí
rovnoměrně. Po přerozdělení zůstalo každému studentovi 5 koblih. Kolik tam bylo
studentů?
Jak je Dena pozorovala, překvapilo ji poklepání na rameno. Když se otočila,
uviděla Petera s divokým úsměvem a krabicí v ruce.
„Tak, našel jsem je,“ prohlásil.
„Tak našel…“ nevěřícně se na něj zadívala. „Ale co, hlavně, že jsou tady,“ prohodila, když krabici převzala. „Ještě ale potřebujeme ten zdroj. Neuměl bys sehnat
i ten?“
Peter zakroutil hlavou: „To by mě už doopravdy vyhodili.“
„No co,“ napadlo ji, „můžu to zkusit i s obyčejnou svíčkou.“
Poděkovala Peterovi, posbírala si věci a vyrazila domů. Měla ale neodbytný pocit, že na něco zapomněla. Řekla si však, že to zřejmě nebylo nic důležitého. Když
přišla domů, sebrala ze všudypřítomného nepořádku potřebné nářadí a pustila
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 3
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 4. série
se do práce. Jako zdroj si vybrala tu hezkou svíčku, kterou dostala jako dárek od
mámy.
Úloha č. 4: Svíčka je desetistěn. Horní a dolní podstavu tvoří dva rovnoběžné
čtverce. Jsou vzájemně otočené o 45 ° a jejich středy leží nad sebou. Zbylé stěny
tvoří rovnostranné trojúhelníky spojující vždy stranu jednoho čtverce a nejbližší
vrchol druhého. Určete objem svíčky, má-li všechny hrany o délce a.
Viděla, že všechno funguje tak, jak má. Zasnila se a vymýšlela, co všechno
by takhle mohla zkonstruovat. Často měla problém, že její zdroj energie nebyl
dost silný, a proto se musela uchýlit k úsporným opatřením. Neměla totiž dost
peněz na to, aby si koupila takové štíty, jaké by chtěla. I hermetické svíčky si
musela vytvářet sama. Ty, které si mohla dovolit, měly příliš malou koncentraci
flogistonu.
Úloha č. 5: Obyčejná svíčka, kterou si může Dena koupit v obchodě, obsahuje 21 %
flogistonu. Má 25 gramů a stojí 16 pencí. Dena potřebuje svíčky s obsahem flogistonu 81 %. Vyrábí je komplikovaným procesem z obyčejných svíček ve vlastnoručně
vyrobeném vaporizéru vosku beze ztráty flogistonu. Kolik stojí kvalitnější svíčky
s 81 % flogistonu a s hmotností 50 g, když se Deně tento postup vyplatí?
S tímto novým rozestavěním štítů by ovšem mohla výrazně ušetřit a kupovat
si lepší zdroje. Tak by byla schopna vytvořit to, o čem už dlouho snila: přístroj na
překlad jazyků. Měla všechno do detailů promyšlené. Věděla přesně, kde spoutat
jaké excitace a které „runy“ použít. Dokonce měla vybranou i barvu. Zatímco
létala hlavou v oblacích, venku se setmělo. Zvedla se, že si uvaří čaj, když se
najednou ozval hlasitý zvuk z dřevěné kuličky, která ležela vedle stolu. „Erik!“
vykřikla.
Detektiv zaregistroval, že drožka zastavila. Podle toho, jak dlouho cesta trvala, usoudil, že jsou daleko za městem. Chtěl si stoupnout, ale hrubé ruce ho
přitlačily na sedadlo. S pytlem na hlavě neviděl ani na špičku nosu. Dobře ovšem
slyšel, jak se únosci s kočím hádají. Požadovali po něm, aby pokračoval v cestě.
On to odmítal a odvolával se na milník, u něhož stáli. Tvrdil, že musí počkat
u milníku, na kterém je speciální číslo.
Úloha č. 6: Kočí říkal, že to číslo má lichý ciferný součet a je dělitelné 101. Jaké je
nejmenší takové číslo?
Chlapi se nějak nemohli shodnout, jestli jsou u správného milníku. Když jeden z nich nahlas přečetl číslo, Erik s potěšením zjistil, že jsou na špatném místě.
Strana 4
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 8. února 2016
Doufal, že tam zůstanou stát dost dlouho na to, aby ho kolegové dokázali vypátrat. Věděl zároveň, že tato naděje je mizivá. Chlapi se mezitím přestali dohadovat.
Rozhodli se, že pro jistotu půjdou dál pěšky. Erik netušil proč, ale nestěžoval si.
Doufal, že se mu naskytne příležitost k útěku.
Vytáhli ho ze dveří a hodili na zem. Cítil, jak jeho tělo protestuje proti tomu,
aby si stoupnul. Postavili ho na nohy a úderem mezi lopatky mu naznačili, ať
kráčí. Opravdu se snažil, aby klopýtnul na každém kameni a aby strčil do každého, kdo byl náhodou poblíž. Netrvalo to dlouho a procházeli přes nějaké pole.
Když mu přikázali, aby překročil nízký plůtek, úmyslně se do něj zachytil a natáhl
se – jak široký, tak dlouhý – na jednoho z únosců. Ten hrubě zaklel a strhnul mu
z hlavy pytel. Erik se konečně mohl rozhlédnout, po jakém poli to zrovna jdou.
Úloha č. 7: Pole bylo ohrazené dřevěným plotem, který držely železné sloupky.
Vzdálenosti mezi sloupky byly stejné. Byl tam takový počet sloupků, že by ohradily
jedno velké čtvercové pole, nebo dvě menší sousedící čtvercová pole (plot je ohraničuje společně, na jejich hranici není), nebo tři stejná, opět sousedící čtvercová
pole. Kolik sloupků tam nejméně mohlo být?
Erik neváhal a vzal nohy na ramena. Slyšel, jak za ním utíkají, ale po chvíli jim
přesto utekl. Byl šťasten, že je nenapadlo svázat mu ruce. Když se zastavil v lesíku, z kapsy vyndal svoji signalizační kuličku a začal s ní třepat ostošest. Tak se
nabíjela na další signál. Schoval se do křoví a opět stisknul kuličku, která vyslala
svůj neslyšitelný signál. V té vzdálenosti od města potrvá dlouho, než mu přijde
někdo na pomoc, tudíž usoudil, že udělá lépe, když zůstane v úkrytu. Jak čekal,
zaslechl únosce, kteří se jej marně snažili najít. Běhali kolem a hledali ho, ale
v noci v lese to byl téměř nadlidský úkol. Už si myslel, že vyvázne bez úhony,
když mu někdo najednou poklepal na rameno. Polekaně se otočil a spatřil před
sebou mladého gentlemana v kabátě a klobouku, jak mu podává ruku. „Dobrý
večer, pane Coltaine. Očekával jsem, že přijdete,“ řekl Erik s rozzářeným úsměvem.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 5
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Vzorová řešení a komentáře
k 2. sérii úloh
Úloha č. 1
Dena přístroje rozmístila do vrcholů takového pravoúhlého trojúhelníku, ve kterém délky těžnic na odvěsny byly 3 a 5 palců. Sestrojte uvedený trojúhelník.
Řešení: Tuto úlohu jde řešit více způsoby, já ve své konstrukci použiji podobnost trojúhelníků BCD a BC′ S (obr. 1).
C
C0
D
S0
T
S
B
A
Obr. 1
Základní vlastnosti, které při řešení této úlohy použiji jsou: těžnice v trojúhelníku je úsečka spojující vrchol s bodem umístěným ve středu protější strany,
těžnice se protínají v bodě T vzdáleném dvě třetiny délky těžnice od příslušného
vrcholu trojúhelníka, Thaletovu kružnici, podobné trojúhelníky – pokud jeden
z nich má jednu stranu s poloviční délkou v porovnání s původním podobným
trojúhelníkem, poté už mají všechny strany poloviční délku oproti původnímu
trojúhelníku. Tyto znalosti společně s konstrukční metodou trisekce úsečky použiji na konstrukci bodu C′ , pomocí kterého snadno zkonstruuji zbytek trojúhelníka – vím totiž, že bod C′ je střed strany BC. Bod C′ leží na Thaletově kružnici
nad odvěsnou BS a od bodu T je vzdálen 31 |AC′ |.
Zápis konstrukce by zjednodušeně vypadal takto:
1. BD; |BD| = 3 palce,
2. bod S; S je středem BD,
Strana 6
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
3. bod T ; T leží na BD a |DT | = 1 palec,
4. bod S′ ; S′ je střed SB,
5. kružnice k1 ; střed k1 je S′ a poloměr k1 je 0,75 palce (dá se odměřit, protože
to není iracionální číslo),
6. kružnice k2 ; střed k2 je T a poloměr k2 je 53 palce (zde se použije trisekce
úsečky, neboť jde o iracionální číslo),
7. bod C′ ; C′ je průsečík kružnic k1 a k2 ,
8. bod C; C leží na polopřímce BC′ , |BC| = 2|BC′ |,
9. bod A; A leží na polopřímce CD, |CA| = 2|CD|,
10. trojúhelník ABC.
Komentář: Úloha byla celkem jednoduchá. Vyskytly se však dva problémy s pochopením úlohy, za které jsem strhával v jednom případě jeden bod a v druhém hned pět bodů. Úloha zněla: „Sestrojte uvedený trojúhelník.“ To znamená,
že úloha je konstrukční. Konstrukční úlohy jsou – již od dob starých Řeků výhradně – úlohy konstruovatelné za pomoci pravítka a kružítka a tedy se v nich
nesmí ani nic odměřovat ani počítat. (Odměří se hodnoty ze zadání a pak už se
používá jen kružítko a pravítko.) Problém s menší bodovou ztrátou je trisekce
úsečky. Toto byla ztráta bodu za pokus obejít celkem složitou konstrukci odměřováním, což není akceptovatelné. Druhým problémem byly obecně pokusy
o početní řešení úlohy. Takové řešení je sice možné, v konstrukčních úlohách
však nepřípustné, z čehož plyne pro dotyčné absolutní ztráta, respektive bod za
konstruktivní snahu. Nejčastěji jsem tedy dával 1 a 4 body, ale našla se i výborná
řešení.
Úloha č. 2
Dena nevěděla, co značky znamenají. Jeden zápis pochopila jako číslo 22015 ·31000 .
Jaké jsou poslední dvě cifry uvedeného čísla?
Řešení: Poslední dvě cifry součinu jsou dané posledními dvěma ciframi součinitelů. Nejprve si zjistím, jak se opakují poslední dvě cifry mocnin dvou: 2, 4,
8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04, 08, 16,
32. Poslední dvojčíslí se opakuje po dvaceti mocninách. Od 2015 odečtu 1 a poté
vydělím počtem opakujících se čísel (kromě první dvojky, ta se neopakuje). Zbytek po dělení mi určí poslední dvě cifry: 2015 − 1 = 2014, 2014
20 = 100, zb. 14 –
hledané dvojčíslí je tedy 68.
Stejně to budeme opakovat i u trojky: 3, 9, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41,
23, 69, 07, 27, 63, 89, 67, 01, 03, 09, 27, 81, 43 – poslední dvojčíslí se opakuje po
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 7
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
dvaceti mocninách. Tedy 1000
20 = 50, zb. 0, takže hledané dvojčíslí je 01. Vynásobením 68 a 1 dostaneme poslední dvojčíslí násobku: 68 · 01 = 68. Hledané číslo
končí na 68.
Komentář: Přišla spousta pěkných řešení, která se více či méně podobala vzorovému. V dalších se případ rozložil na části, kde v jedné se zjišťovalo opakování
číslic na místě desítek a v další na místě jednotek. Tohle řešení bylo taky zajímavé, zvídaví řešitelé si ho můžou sami vyzkoušet.
Přišla ale i spousta řešení, kde se zadání zadalo do kalkulačky. Příklad je úmyslně vymyšlen tak, aby potřeboval přemýšlení, a ne jen otrocké mačkání do kalkulačky. Tato řešení mě mrzela, neviděla jsem tam žádnou velkou snahu a hodnotila jsem je nulou.
Ostatní řešení s viditelnou snahou jsem hodnotila podle správnosti a úplnosti.
Úloha č. 3
Dena může jít na stanici pěšky rychlostí 5 mil za hodinu, anebo poslat s pomocí
konstruktu zprávu, aby jí poslali drožku. Když pošle zprávu, musí jít pomaleji,
aby ji pak konstrukt našel, a proto bude její rychlost 4 míle za hodinu. Než zpráva
dorazí na stanici, uběhne půl hodina (nezáleží na tom, jak daleko ta stanice je).
Hned poté pošlou pro Denu drožku, která pojede rychlostí 12,5 míle za hodinu.
Jak daleko musí být stanice, aby se Deně vyplatilo poslat zprávu?
Řešení: Vzorové řešení podle Kristýny Kratochvílové:
Ze zadání můžeme sestrojit rovnici t1 = t2 s neznámou s, tedy vzdáleností
stanice. Nyní si určíme, co dosadíme za t1 a t2 . Pokud půjde Dena pěšky, čas
t1 , za který se dostane na stanici, se bude rovnat vs , kde s je vzdálenost stanice
a v je Denina rychlost, tedy 5 mil za hodinu. Pokud by si ale poslala pro drožku,
nejprve by půl hodiny šla, a tedy ušla 2 míle (v = 4 míle za hodinu). Poté musí
ujít ještě vzdálenost s1 za čas t rychlostí v1 = 4 míle za hodinu. Drožka ujede
za čas t dráhu s2 rychlostí v2 = 12,5 mil za hodinu. Zapíšeme to rovnicí:
s1 + s2 = s − 2,
v1 t + v 2 t = s − 2,
16,5t = s − 2,
s−2
t=
.
16,5
Drožka pojede stejnou vzdálenost stejnou rychlostí zase zpět, takže jí to bude
trvat stejně dlouho. Celkový čas t2 cesty, pošle-li Dena pro drožku, bude:
Strana 8
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
t2 = 0,5 +
2(s − 2)
.
16,5
Nyní už můžeme dosadit do první rovnice:
2(s − 2)
s
= 0, 5 +
,
5
16,5
s
8,25 + 2s − 4
=
,
5
16,5
16,5s = 41,25 + 10s − 20,
.
s = 3,27.
Pokud bude stanice vzdálená alespoň 3,27 mil, vyjde Deně nastejno cesta pěšky
i drožkou. Při každé větší vzdálenosti už se jí to vyplatí.
Komentář: Většina z vás měla správně hlavní myšlenku příkladu, ale ne všichni
jste ji dotáhli do konce. Někteří jste si neuvědomili, že nejlepším způsobem, jak
úlohu řešit, bylo sestavit si rovnici t1 = t2 . Nejčastější chybou při sestavování
rovnice pak bylo, že jste porovnávali dráhy, nikoli časy (s1 = s2 ). Řada z vás si
pak při dalším postupu neuvědomila, že pokud chce jet Dena drožkou, jde půl
hodiny pěšky, než dorazí konstrukt na stanici, a pak v chůzi pokračuje do chvíle,
než se setká s drožkou.
Plný počet bodů jsem udělovala těm řešitelům, kteří došli správným postupem ke správnému výsledku, tři body jsem dávala za správné řešení se špatným postupem. Velkou pochvalu získává František Záhorec, který úlohu vyřešil
správně dokonce dvakrát – našel dva způsoby, jak se na úlohu lze dívat.
Úloha č. 4
Nad 5 mil širokým kanálem je most, po němž jede vlak rychlostí 100 mil za hodinu.
Ve vzdálenosti 0,1 míle od mostu pluje po kanálu kolmo k mostu loď rychlostí 10
mil za hodinu. Vlak projede po mostě přesně ve chvíli, kdy bude loď pod ním. Mohla
by tato situace nastat, i pokud by loď plula pod jiným úhlem? (Předpokládejte, že
vlak i loď mají velikost bodu.)
Řešení: Úkolem je zjistit, jestli existuje nějaký další bod B na mostě, do kterého loď přímou cestou dorazí právě ve chvíli, kdy tam bude vlak. Načrtneme
si obrázek (obr. 2), jak by taková situace vypadala, a z něj odvodíme, co by pro
tento bod muselo platit. Bod, kde začíná loď, označíme L; bod, kde začíná vlak
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 9
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
B
A
10x
V
α x
L
Obr. 2
označíme V a původní bod setkání (když loď pluje kolmo) bude bod A. Tím
dalším bodem setkání bude bod B. Úhel ALB označím α.
Víme, že každý takový bod musí být desetkrát dál od vlaku než od lodi (protože vlak je desetkrát rychlejší), tedy |BV| = 10|BL|. Dále víme, že |AV| = 10|AL|,
tedy:
|BV| − |AV| = 10|BL| − 10|AL|,
|AB| = 10|BL| − 10|AL|,
10|AL| + |AB|
.
|BL| =
10
Použijeme Pythagorovu větu pro trojúhelník ALB k získání vzdálenosti AB:
|BL|2 = |AB|2 + |AL|2 .
Dosadíme za |BL|:
( 10|AL| + |AB| )2
10
Vzdálenost AL je
1
10
= |AB|2 + |AL|2 .
míle, tak ji dosadíme do rovnice:
( 1 + |AB| )2
10
= |AB|2 +
( 1 )2
.
10
Máme kvadratickou rovnici, kterou musíme vyřešit:
(1 + |AB|)2
1
= |AB|2 +
,
100
100
1 + 2|AB| + |AB|2 = 100|AB|2 + 1,
99|AB|2 − 2|AB| = 0,
|AB| · (99|AB| − 2) = 0.
Odtud jsou již vidět řešení rovnice, jedno řešení je |AB| = 0 (pokud loď pluje
2
. Takže takový bod na mostě, kdy vlak ujede 10krát
kolmo) a druhé |AB| = 99
větší dráhu než loď, je ještě jeden.
Strana 10
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Zkušenější řešitelé si mohou pomocí funkce tangens přesně spočítat, pod jakým úhlem musí loď plout:
tan α =
|AB|
=
|AL|
2
99
1
10
=
20
.
99
Pomocí funkce arkus tangens si můžeme spočítat, že je to přibližně 11 °.
Komentář: Spousta z vás bohužel špatně pochopila zadání, a tím pádem jste
odeslali řešení jiné úlohy. Nejčastější chybou v řešení úlohy bylo, že jste posouvali
loď nebo vlak, takže vám přestala platit podmínka ze zadání. Takovým řešením
jsem bohužel nemohl dát žádné body. Řada z vás ale úlohu pochopila a odeslala
i správné řešení; takovým řešitelům jsem s radostí dal plný počet bodů.
Úloha č. 5
Tabulka čokolády má tvar čtverce 10 × 10. Dva policisté se střídají v tazích. V jednom tahu hráč určí čtvereček a ulomí všechny čtverečky napravo a dolů od něj.
Prohrává ten, kdo odebere poslední čtvereček. Má některý z hráčů výherní strategii? Jakou? (Výherní strategie je postup hráče, který mu vždy zajistí výhru.)
Řešení: Kdybychom chtěli hru vyhrát, museli bychom najít takové tahy, které
jsou neovlivnitelné tahy našeho protihráče, který se pochopitelně bude snažit
nám vítězství překazit. Otázkou je, jestli takové tahy, které mi zajistí výhru, v této
hře existují.
Výherní strategii v této hře má hráč, který hru začíná (hráč 1). Postup, který
ho dovede vždy k vítězství, je takovýto: vybere čtvereček B2. Když odebereme
všechny čtverečky napravo a dolů od vybraného, odebereme celou vyšrafovanou
část obrázku 3. Tím nám z čokolády zbude jen 19 políček uspořádaných do tvaru
písmene L.
Hráč 2 je teď na tahu. Jedinné políčko, které si nebude chtít vybrat, je políčko
A1. Kdyby si totiž vybral políčko A1, odebral by všechny zbývající čtverečky čokolády (tedy i ten poslední) a hru by tak prohrál. Vybere si proto nějaké políčko
z A2–A10, nebo B1–J1, například A5.
Hráč 1 si vybere políčko symetricky umístěné podle diagonály čokolády, tedy
políčko E1. Proč si vybere zrovna tohle políčko? Aby si hráč 1 zajistil výhru, potřebuje časem přimět hráče 2, aby si vybral políčko A1. To je ale prohrávající
políčko, a tak se mu bude hráč 2 snažit vyhnout. Poslední tři tahy hry určitě
budou A2–B1–A1, nebo symetricky B1–A2–A1 (rozmyslete si, že to tak opravdu
musí být). Protože chce hráč 1 vyhrát, musí přimět hráče 2, aby si zvolil políčko
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 11
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Obr. 3
A2 (nebo B1). Tohle políčko si ale zase hráč 2 zvolí jen tehdy, když nebude mít
jinou možnost, protože si dovede spočítat, že ho tah dovede k prohře. A právě
k tomuto kroku přiměje hráč 1 hráče 2 tím, že bude udržovat stejný počet čtverečků v řádku i ve sloupci. Když bude kopírovat jeho volbu čtverečku v řádku
(ve sloupci) na svou volbu čtverečku ve sloupci (v řádku), odebere se v každém
kole hry x čtverečků v řádku a x čtverečků ve sloupci. Tímto postupem se časem
dostane hra do fáze, kdy hráč 2 odebere jeden ze čtverečků A2 nebo B1, hráč 1
odebere symetricky čtvereček B1 nebo A2 a hráč 2 odebere poslední čtvereček
A1, čímž prohraje.
Komentář: Úloha nebyla nejšťastnější, mnoho z vás nepochopilo správně zadání, resp. interpretovali si zadání tak, že hra byla primitivní a šla vyhrát jedním
tahem. Tohle by vám mělo přijít podezřelé, že bychom vám dali řešit úlohu, jejíž
řešení je tak primitivní. Kdyby se to někdy opakovalo, nebojte se nám napsat mail
a zeptat se, jestli to opravdu je myšleno tak, jak to chápete. Rádi vám odpovíme
a ujasníme zadání, je to lepší, než když vyřešíte úlohu špatně kvůli nepochopení
zadání.
Úloha č. 6
Před hlavní budovou bylo malé náměstíčko vydlážděné ve tvaru mřížky 20 × 20.
Student, jenž šel na první přednášku, musel projít po té mřížce tak, že začal v pravém dolním rohu a musel se dostat do levého horního. Mohl se při tom pohybovat
jenom doleva nebo nahoru a směl dělat kroky o délce 2 nebo 3 dlaždice. Na zaStrana 12
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
čátku si mohl zvolit jednu z těchto délek kroku, ale pak už je vždy musel střídat.
Kolika způsoby se dalo tímto způsobem projít náměstím?
Řešení: Nejjistější způsob, jak spočítat počet cest je, vytvořit si tabulku daných
rozměrů a psát si na každé políčko, kolika způsoby se na něho mohl student dostat. Tedy na první políčko jedna (jedním způsobem) a na každé další součet políček, odkud se tam dalo přijít. Přitom vyplňujeme jen políčka, u kterých máme
vyplněná všechna předchozí (abychom je nemuseli přepisovat).
Výpis si můžeme zjednodušit, pokud spočítáme jen cesty začínající krokem
o délce dva, protože cesty, začínající krokem o délce tři jsou symetricky stejné,
jen vedou od konce k začátku, a je jich tedy stejně, jako cest začínající krokem
o délce dva.
Celá tabulka se nám sem bohužel nevejde, takže na obrázku 4 uvidíte jen
její začátek a zbytek si musíte dovyplnit sami. V posledním políčku bude 5 348
a celkově je cest 10 696.
4
3
1
6
4
1
7
1
1 6
5
2
1
2
2
2
1
1 4
3
1
1
2
1
10 9 8
7
1
6 5
1
4 3
2
1 1
1
Obr. 4
Komentář: Velká část řešitelů nepočítala pohyby studenta po mřížce, ale po
dlaždicích, čímž se o jedna zmenšily oba rozměry tabulky. Vzniklá úloha se řeší
podobně, jen je nutné začít krokem o délce tři a výsledek (2 352) se nenásobí
dvěma.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 13
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Úloha č. 7
Na fontáně byla plastika loga univerzity. Bylo složené ze dvou krychlí. Jedna z nich
měla v sobě takový otvor, že skrz něj bylo možno prostrčit druhou krychli. Mohly
být obě krychle stejně velké?
Řešení: Než se pustíme do řešení, dovolte malé historické okénko. Problém
nastíněný v sedmé úloze je velmi podobný problému kostky Ruprechta Falckého.
Ruprecht nepochyboval o tom, že do jedné kostky lze udělat otvor tak, aby jím
šlo provléct druhou stejně velikou kostku. Zajímalo ho dokonce, o kolik může být
provlékaná kostka větší. O století později holandský učenec Pieter Nieuwland
ukázal, že strana provlékané krychle může být delší až o 6%. Pokud vám jméno
Ruprechta Falckého přijde povědomé, není to náhoda. Jeho otec, Fridrich Falcký,
byl na krátkou dobu českým králem a určitě jste o něm slyšeli v dějepisu. Když už
jsem prozradil řešení, pojďme si ho také ukázat. Zde si dovolím vypůjčit postup
Kristýny Kratochvílové, kterému nelze nic vytknout.
Je zřejmé, že první krychle (ta s otvorem) bude natočena tak, aby obsah toho,
co vidím, byl co největší. To nastane, když krychli natočíme některým vrcholem
(např. F) k sobě tak, že nám protější vrcholy (tedy např. FD) splynou v jeden
(obr. 5).
H
G
E
F
D
C
A
B
Obr. 5
Uvidíme šestiúhelník ABCGHE, kde úhlopříčky BG, GE a EB budou v nezměněné velikosti, protože leží v rovině kolmé na směr pohledu. Tyto úhlopříčky mají
Strana 14
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
stejnou velikost a budou tedy tvořit
√ rovnostranný trojúhelník. Velikost úhlopříček, je-li hrana krychle a, bude a 2. Původně rovnoběžné hrany se zobrazí opět
jako rovnoběžky, takže obraz krychle můžeme dokončit a vyjde nám pravidelný
šestiúhelník (obr. 6).
H
O
x
E
G
r
F
A
C
B
Obr. 6
Nyní chceme zjistit, jestli se do tohoto šestiúhelníku vejde čtverec, který uvidíme, podíváme-li se na krychli ve směru kolmém na jednu z jejích stěn. Pokud ano, můžeme do jedné krychle vyříznout otvor, kterým projde druhá stejně
velká krychle. Spočtěme poloměr r kružnice vepsané šestiúhelníku, tedy nejkratší vzdálenost od středu F šestiúhelníku k jeho straně. Nejprve potřebujeme
spočítat délku strany šestiúhelníku, kterou si označíme neznámou x. Víme, že
úhlopříčka EG půlí vzdálenost HF, která je rovněž x. Tam, kde ji přepůlí, bude
pravý úhel, takže můžeme použít Pythagorovu větu:
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 15
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
x2 =
x2 =
3 2
x =
4
x2 =
x=
( x )2
+
( √2 )2
a ,
2
2
x2 2 2
+ a ,
4
4
2 2
a ,
4
2 2
a ,
3
√
6
a.
3
Poloměr r potom můžeme dopočítat z pravoúhlého trojúhelníku OFH:
r2 = x2 −
( x )2
2
,
3 2
x ,
4√
√ √
3
3
6
x=
·
a,
r=
2
3
√2
2
r=
a.
2
r2 =
√
√Průměr vepsané kružnice bude dvojnásobný, tedy a 2. Čtverec o úhlopříčce
a 2 se tedy do šestiúhelníku vejde, jak už je naznačeno na obrázku. Proto mohou být krychle stejně velké. Za PIKOMAT připojíme ještě 3D model takové vykrojené krychle (obr. 7).
Komentář: Ač sedmá úloha nepatřila mezi ty jednoduché, přece se s ní spousta
z vás vypořádala úspěšně. Jako správná řešení jsem uznával ta, kde jste krom tvrzení, že otvor v krychli být může, také dokázali, že na něj „bude místo“. Zvlášť mě
potěšila řešení, ve kterých jste dokázali svá tvrzení podpořit výpočty. Dále smekám před těmi, co si situaci dokázali zkonstruovat z papíru nebo špejlí a poslali
nám se svým zdůvodněním i fotky.
Hodně z přišlých řešení bohužel skončilo jen u tvrzení, že úloha (ne)lze vyřešit. To mě dost mrzí, protože u otázky ano/ne je klíčový PRÁVĚ postup a bez něj
nemůžu rozdávat žádné body. Proto jsem dával po bodu i těm, co sice došli ke
špatné odpovědi, ale alespoň nějakým způsobem svůj názor odůvodnili.
Strana 16
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Obr. 7
Úlohy druhé série opravovali a komentáře sepsali: 1. Vít Kalisz, 2. Helena
Pučelíková-Molíková, 3. Barbora Šmídová, 4. Václav Steinhauser, 5. Tereza Ptáčková, 6. František Steinhauser, 7. Jiří Erhart.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 17
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Výsledková listina Pikomatu MFF UK
po 2. sérii
Celkově
1.–3.
7.–8.
V roč.
1.
1.
1.
2.
2.
2.
3.–4.
9.–11.
3.–4.
12.–15.
5.
5.
6.–8.
16.–21.
3.–4.
4.–6.
6.–7.
9.–10.
22.–23.
8.–9.
24.–26.
10.
11.–12.
27.
28.
29.–30.
5.
13.
6.
14.
11.–12.
31.–36.
15.–18.
37.–38.
Strana 18
7.
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Michal Beránek
7. ZSON
Robert Gemrot
8. GHAV
Eliška Vítková
9. GCDP
Kryštof Pravda
7. GMSP
Petr Khartskhaev
8. PORG
Michal Krtouš
9. GUST
Jakub Janků
9. GMLE
Jan Kaifer
9. GCBR
Richard Randák
8. GCKV
Adéla Karolína Žáčková 8. GCDP
Matěj Hasala
9. ZSBU
Václav Janáček
8. GKJB
František Záhorec
9. GRNL
Martin Schmied
9. GJIH
Vít Šimeček
9. CSLH
Tomáš Flídr
7. GKRO
Klára Hubínková
7. GMNP
Ludmila Hana Houfková8. GMHS
Lubor Čech
8. GMIK
Kristýna Kratochvílová 9. GBNE
Jakub Ucháč
9. ZSVV
Jakub Kislinger
8. GJVK
Vladimír Chudý
8. ZSRD
Lenka Švecová
8. GJIH
Samuel Soukup
9. AGKP
Matěj Krátký
9. PORG
David Hájek
7. ZSJW
Filip Wagner
9. GTIS
Jan Kotrlík
7. GMNP
Martin Hubata
9. GMNP
Anna Krůtová
8. GKJB
Klára Pernicová
8. GZAS
Jan Nekarda
9. GUHV
Veronika Vařáková
9. GJSK
Marek Černoch
9. GFPA
Matěj Mrázek
9. GBUD
Hana Bečvářová
7. GMNP
1
4
5
5
4
5
4
3
1
4
5
4
1
1
4
4
4
4
5
4
1
4
5
1
1
4
5
1
1
4
5
5
4
2
4
4
1
4
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
3
5
5
5
5
4
3
5
4
3
5
5
3
2
5
5
4
3
5
5
3
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
2
2
5
5
5
4
5
5
5
5
0
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
2
5
5
0
5
1
0
5
1
0
1
0
5
1
0
1
1
0
5
5
5
5
5
4
5
5
5
2
5
0
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
0
5
1
5
5
-
6
5
4
5
3
5
5
5
3
5
5
5
5
4
5
3
4
5
2
3
5
2
3
2
2
3
1
-
7
5
5
4
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
2
3
1
5
3
5
1
5
5
5
3
5
4
4
1
3
4
3
5
3
4
5
P
-
σ
Σ
30
30
30
29
29
29
28
30
29
27
27
26
26
26
27
25
27
25
25
25
25
24
25
22
22
23
23
23
19
20
18
18
18
18
23
21
17
60
60
60
59
59
59
58
58
57
57
57
56
56
56
56
55
55
55
55
55
55
54
54
52
52
52
51
50
49
49
48
48
48
48
48
48
47
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
37.–38.
39.–41.
V roč.
13.
14.
19.–20.
42.–44.
15.–16.
45.–46.
47.
48.–55.
21.
8.
22.
23.
9.–12.
17.–18.
24.–25.
56.–59.
13.–14.
60.–62.
19.
26.
15.–16.
63.–68.
27.
17.
20.–21.
28.–30.
69.
70.–73.
18.
19.–20.
31.–32.
74.–78.
22.–23.
33.–35.
79.–85.
1.
21.–22.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Lukáš Frk
Erik Sedlak
Filip Novotný
Ondřej Med
Magdaléna Mišinová
Jakub Farbula
Václav Pavlíček
Stanislav Kurhan
Soňa Curylová
Lucie Míšková
Markéta A. Doležalová
Martin Fried
Šimon Smola
Vladimír Vávra
Dominik Švarc
Vojtěch Bořík
Petr Stádník
Jan Kačenka
Karolína Veltrubská
Dominik Zeman
Julie Rubášová
Lada Švecová
Robin Palán
Filip Vopálenský
Ondřej Měšťan
Daniel Locker
Adam Šlegl
Kryštof Havlík
Barbora Pavlíková
Viktor Materna
Tadeáš Tomiška
Šimon Glück
Martin Mlejnecký
Tomáš Fink
Tomáš Salavec
Kateřina Jelínková
Klaudie Němečková
Petra Klusáková
Matěj Pečený
Anna Musilová
Jitka Knížková
Michaela Štouralová
Vojtěch Vařecha
Radomír Mielec
Roč. a škola
8. GNAP
8. GASK
9. GJIH
9. GJIH
8. GJKP
8. GASK
9. ZSZD
7. GKLA
9. GFPA
9. OPEN
7. BGUK
7. GJGJ
7. GMNP
7. ZSJE
8. GJBS
8. CGMN
9. GOHR
9. OPEN
7. GMNP
7. GMNP
8. BGBN
9. ZSKZ
7. GJGJ
7. MLGP
9. GUST
7. GFMP
8. MLGP
8. GFXS
9. GJVJ
9. GKJB
9. ZSRD
7. GPIS
7. GSPI
7. GMNP
9. GBIB
9. ZSNM
8. GJHP
8. ZSBT
9. ZSJJ
9. PORG
9. ZSDS
6. GSOV
7. GTIS
7. GVOL
1
2
1
0
1
5
3
1
4
2
4
2
1
0
4
1
4
4
4
0
4
1
1
4
0
0
1
1
1
2
4
1
1
4
2
-
2
5
5
5
4
5
4
5
5
4
5
1
5
4
5
5
5
2
4
3
0
5
5
5
1
5
0
5
5
5
0
0
3
4
4
4
5
4
5
5
3
5
3
5
5
5
2
2
2
5
3
3
3
3
5
5
2
2
5
5
4
5
3
3
1
3
1
5
3
2
2
3
2
5
3
3
3
5
5
4
1
5
1
4
3
5
3
1
0
0
0
0
1
0
4
5
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
5
-
5
1
0
0
0
3
5
0
5
3
1
1
5
0
0
0
3
0
1
0
1
5
5
0
-
6
4
4
5
3
2
1
5
1
2
2
3
5
2
2
2
5
2
2
2
1
1
1
5
-
7
5
1
1
1
4
1
5
3
1
1
5
3
2
5
5
5
5
3
5
1
5
1
5
5
3
1
2
1
4
2
3
2
1
1
1
-
P
1
-
σ
Σ
18
21
16
16
18
20
15
18
17
15
14
18
13
15
16
17
22
18
17
12
12
15
13
16
11
9
13
10
12
11
11
10
9
12
13
7
11
6
9
14
7
5
9
10
47
46
46
46
45
45
45
44
44
43
42
42
42
42
42
42
42
42
41
41
41
41
40
40
40
39
39
39
39
39
39
38
37
37
37
37
36
36
36
36
36
35
35
35
Strana 19
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Celkově
79.–85.
V roč.
24.–27.
86.–93.
2.
23.–24.
28.–30.
36.–37.
94.–99.
25.–27.
31.
38.–39.
100.–103. 28.
32.
40.–41.
104.–108. 29.
33.–35.
42.
109.–123. 30.
36.–44.
43.–47.
124.–133. 31.–35.
Strana 20
Jméno a příjmení
Emma Barnoky
Tomáš Čurda
Martina Ferugová
Jan Heřta
Jan Sobota
Veronika Machačná
Kryštof Veverka
Kateřina Matulová
Dominik Belza
Mikuláš Brož
Hana Pelikánová
Pavel Mazáč
Adam Fürstenzeller
Martin Fof
Petr Hladík
Jakub Melichar
Ondřej Brož
Adam Vavrečka
Václav Rous
Jan Knápek
Martina Malá
Šimon Pechoč
Vojtěch Novák
Vojtěch Březina
Šárka Rafflová
Magdalena Folková
Nikol Krejčí
Kateřina Dostalová
Štěpán Tichý
Tetyana Zaichenko
Anastasiya Zaichenko
Vojtěch Bičák
Václav Trpišovský
František Hovorka
Ngoc Hung Hoang
Petr Kocour
Veronika Krčmáriková
Nora Prokešová
Lukáš Brázdil
Jonáš Havelka
Martina Petrůjová
Jindřich Dítě
Jan Čížek
Jan Brambůrek
Roč. a škola
8. ZSKU
8. GCDP
8. GBOS
8. GSOV
6. AGKP
7. ZSMZ
7. JGNA
8. BGBN
8. GBIB
8. GNSP
9. GJER
9. ZSVY
7. GJGJ
7. MGOP
7. ZSTB
8. GRIC
9. GCDP
9. GPBZ
7. GMNP
8. GZAB
9. GMOK
9. ZSDA
7. ZSKA
8. GPDC
8. GOMS
8. GLIP
9. PORG
7. ZSCY
8. GCHB
8. GJHP
8. GJHP
8. GUST
8. OPEN
8. GBIB
8. GUNL
8. GDOB
8. GMAS
9. GCKV
9. GVMS
9. GJIR
9. ZSBB
9. ZSZO
7. ZSMH
7. ARCP
1
3
1
2
0
2
1
1
1
0
4
2
0
1
0
4
4
-
2
3
2
1
3
0
5
0
0
4
5
2
3
2
0
3
1
3
4
5
1
2
3
-
3
2
2
3
4
3
2
3
3
5
2
5
1
3
5
3
3
2
1
3
3
2
-
4
0
0
5
0
0
0
0
5
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
5
0
1
5
1
0
5
1
0
0
5
5
0
1
1
5
5
1
0
6
2
2
2
2
1
3
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
0
3
4
2
1
2
0
2
1
3
1
2
1
1
1
3
1
1
P
1
1
1
-
σ
Σ
11
7
8
10
9
6
6
5
6
14
6
8
6
4
13
4
6
3
12
7
6
2
6
5
4
8
5
10
0
0
0
11
10
7
0
0
7
0
9
0
5
0
3
3
35
35
35
35
34
34
34
34
34
34
34
34
33
33
33
33
33
33
32
32
32
32
31
31
31
31
31
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
29
29
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
124.–133. 31.–35.
45.
48.–51.
134.–141. 3.
36.
46.–50.
52.
142.–149. 51.–52.
53.–58.
150.–159. 37.–40.
53.–54.
59.–62.
160.–169. 4.–5.
41.–43.
55.
63.–66.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Matouš Křížek
Denisa Hanušková
Markéta Hanušková
Ladislav Hrbáček
Ondřej Macháč
Josef Polášek
Martina Novotná
Alena Osvaldová
Martina Lauerová
Lucie Brabencová
Jaroslav Bělák
Jan Heřmánek
Amálie Dostalíková
David Bajer
Dominik Farhan
Oliver Kukolík
Marco Souza de Joode
Matěj Machart
Anna Prokošová
Petra Plachá
Petra Hrubá
Denisa Nováková
Andrea Jáklová
Jiří Novotný
Jan Cogan
Adam Holda
Markéta Svobodová
David Plevka
Šárka Štěpánková
Vojtěch V. Škrlant
Hana Kubová
Tereza Žmolová
Tereza Klabenešová
Eva Jurčeková
Karolína Korbelová
Vojtěch Sýs
Klára Polišenská
Isabela Andreevská
Jana Soldánová
Natálie Sedláková
Jana Morávková
Alice Janáčková
Thao Tranová
František Bůžek
Roč. a škola
7. MGPP
7. GVMS
7. GVMS
8. GMBP
9. ZSMN
9. GJSP
9. GMHS
9. GJSB
6. GNAP
7. GMNP
8. ZSVK
8. GKKO
8. GJSK
8. SLGO
8. GMNP
9. GAHS
8. GNSP
8. GOMS
9. GJNP
9. GMNP
9. GSOV
9. GSOV
9. ZSTS
9. ZSPA
7. GSPD
7. GJAR
7. GOBT
7. GKKO
8. GJRC
8. ZSME
9. ZSSH
9. GJHP
9. GCHO
9. ZSSV
6. AGKP
6. AGKP
7. AGKP
7. GINT
7. GBNP
8. ZSPR
9. GZAB
9. GCHO
9. GJSB
9. ZSVL
1
0
0
1
2
0
1
0
1
0
-
2
0
5
3
1
0
0
0
0
-
3
5
1
5
1
2
2
2
2
2
2
2
-
4
0
0
0
0
5
0
0
0
-
5
0
0
0
5
0
0
1
-
6
2
2
1
2
2
-
7
0
3
3
0
2
3
1
3
1
3
1
1
4
1
-
P σ
4 3
- 3
- 3
- 2
- 0
- 0
- 5
- 0
- 4
- 10
- 6
- 7
- 0
- 0
- 0
- 3
- 0
- 7
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 5
- 0
- 0
- 0
- 0
- 8
- 0
- 5
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 6
- 0
- 0
- 0
- 0
- 4
- 0
- 0
Σ
29
29
29
29
29
29
29
29
28
28
28
28
28
28
28
28
27
27
27
27
27
27
27
27
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
Strana 21
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Celkově
V roč.
170.–175. 6.
44.
56.–57.
67.–68.
176.–180. 7.
45.
58.–59.
69.
181.–187. 46.
60.–62.
70.–72.
188.–190. 8.
47.
63.
191.–197. 9.
48.–50.
64.–65.
73.
198.–199. 51.
74.
200.–203. 10.
66.
75.–76.
204.–207. 1.
52.
67.
77.
208.–212. 53.
78.–81.
213.–220. 11.–12.
Strana 22
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Adam Ucháč
6. ZSSJ
Martin Kolovratník
7. ZSPS
Kamil Kohl
8. ZSNB
Tomáš A. Kovanda
8. AGKP
Anna Švarcová
9. ZSHP
Petr Menšík
9. ZSKE
Bára Lorencová
6. GBNP
Martina Seidlová
7. GSCT
Klára Zemanová
8. PORG
Kateřina Honigerová 8. GLNS
Mária Elena Bodnárová 9. ELBA
Martin Černý
7. ZSNL
Tereza Polová
8. GDOB
Josef Bálek
8. ZSHT
Filip Holoubek
8. GTMN
Laura Říhová
9. OPEN
Martina Nová
9. GSOV
Daniela Hilscherová
9. ZSNB
Ondřej Nováček
6. GJVK
Vítek Slanina
7. GCHB
Martin Andres
8. MLGP
Adam Mára
6. ZSJS
Marie Vondrášková
7. JSSV
Jitka Waldhauserová
7. ZSTJ
Tereza Hanáčková
7. ZSZS
Vojtěch Štrejbar
8. ZSTJ
Dávid Erdödy
8. GASK
Kateřina Novotná
9. GNKP
Radim Křenek
7. ZSVS
Jindřich Hátle
9. ZSAM
Kamila Bejšovcová
6. AGKP
Jiří Zinecker
8. GHAV
Suren Škardová
9. OPEN
Jan Vondra
9. GTNV
Antonín Šámal
5. ZSDC
Pavel Otta
7. GNAP
Daniel Štípek
8. ZSTN
Marek Vincíbr
9. GCKV
Antonie Erika Grant
7. AGKP
Samuel Miček
9. GPUC
Jakub Heidrich
9. GDAR
Daniela Kořánová
9. GJGJ
Vilém Raška
9. ZSSI
Štěpánka Mrázková
6. AGKP
1
5
0
1
3
0
0
0
4
0
-
2
4
0
0
5
5
0
0
2
-
3
5
5
0
1
1
-
4
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
-
5
0
2
0
0
0
0
2
0
5
-
6
2
2
0
1
2
1
-
7
2
0
3
0
0
0
3
0
3
1
1
1
0
-
P σ
- 9
- 0
- 2
- 0
- 2
- 0
- 0
3 8
- 23
- 0
- 1
- 0
- 0
- 3
- 3
- 0
- 0
- 0
- 0
- 4
- 3
- 0
- 0
- 0
- 0
- 1
- 6
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 7
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Σ
24
24
24
24
24
24
23
23
23
23
23
22
22
22
22
22
22
22
21
21
21
20
20
20
20
20
20
20
19
19
18
18
18
18
17
17
17
17
16
16
16
16
16
15
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
213.–220. 11.–12.
54.
68.–72.
221.–223. 55.–56.
73.
224.–227. 13.
74.–76.
228.–230. 77.–78.
82.
231.–237. 57.–59.
79.–81.
83.
238.–239. 60.
82.
240.–245. 14.
61.–63.
83.–84.
246.
84.
247.–249. 2.
15.
64.
250.–257. 16.–18.
65.–67.
85.
85.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Vojtěch Železný
Anežka Zadražilová
Martin Pacák
Eliška Steierová
Thach Thao Hoang
Gabriela Marxová
Aleš Horák
Jan Bartoš
Nela Vítová
Markéta Ševčíková
Anička Dau
Dana Dvořáčková
Jakub Charvot
Vladimír Vursta
Matěj Frantík
Tomáš Pavelčík
Martin Hyna
Karel Prinz
Ondřej Loukotka
Petra Kubešová
Marek Čermák
Daniel Rozehnal
Anna Blažková
Veronika Krátká
Barbora Picková
Ondřej Hejna
Roman Varfalamiliev
Ema Kolářová
Lucie Pytlounová
Pavla Molíková
Emma Pěchoučková
Vojtech Gaďurek
Michal Vondrák
Trung Pham Xuan
Sára Karolína Hrůzová
Daniel Zelenka
Anna Korandová
Marie Kukačková
Martin Malík
Hana Švecová
Edita G. Vymazalová
Martin Šimša
Jan Antonín Musil
Julie Přerovská
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P σ
6. ZSKT
- - - 1 5 - - - 6
7. ZSCH
- - - - - - - - 0
8. ZSCD
- - - - - - - - 0
8. GVOD
- - 1 - 0 - 1 - 2
8. GCHB
- - - - - - - - 0
8. GDAR
- - - - - - - - 0
8. ZSVO
- - - - - - - - 0
7. GCKV
- - - - - - - - 0
7. ZSPN
- - - - - - - - 0
8. ZSMO
- - - - - - - - 0
6. ZSKT
- - - - - - - - 0
8. ZSBO
0 - - - - - 1 - 1
8. GMKA
- 2 5 0 - - 5 - 12
8. FZSD
- - - 0 - - 1 - 1
8. BGCB
- - - - - - - - 0
8. GJAK
- - - - - - - - 0
9. GTVL
- - - 0 - 1 - - 1
7. GJSK
- - - - - - - - 0
7. GKKO
- - - - - - - - 0
7. ZSNC
- - - - - - - - 0
8. ZSNH
- - - - - - - - 0
8. GJWP
- - - - - - - - 0
8. GDAR
- - - - - - - - 0
9. GBOS
- - - - - - - - 0
7. GSOV
- - - - - - - - 0
8. ZSVH
- - - - - - - - 0
6.
- - - - - - - - 0
7. AGKP
- - - - - - 3 - 3
7. ZSCD
- - - - 0 2 - - 2
7. ZSTG
- - - - - - - - 0
8. AGKP
- - - - - - - - 0
8. PORG
- 2 2 0 4 - - - 8
9. GPDC
- - - - - 2 - - 2
5. GCHB
- - - - - - - - 0
6. GCHB
- - - - - - - - 0
7. GLIP
- - - - - - - - 0
6. GSOV
- - - - - - - - 0
6. GSOV
- - - - - - - - 0
6. GSOV
- - - - - - - - 0
7. AGKP
- - - - - - - - 0
7. AGKP
- - - - - - 2 1 1
7. GOPA
- - - - - - - - 0
8. PORG
- 5 - - - - - - 5
9. GNVP
- - - - - - - - 0
Σ
15
15
15
15
15
15
15
14
14
14
12
12
12
12
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
9
9
8
8
8
8
8
8
7
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
Strana 23
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Celkově
V roč.
258.–260. 19.
86.–87.
Jméno a příjmení
Filip Adam Chyška
Tomáš Foral
Josef Sezemský
261.–263. 20.–21. Jan Kotschy
Kateřina Vrtišková
88.
Jan Zindr
264.
86.
Jan Macek
265.–267. 22.
Petr Podskalský
89.–90. Tereza M. Freibergová
Vojtěch Kantor
268.–385. 23.–45. David Kocian
Vít Jevčák
Alena Kročková
Ondřej Večeřa
Vojta Polonyi
Jan Vladimír Podlipný
Shamima Fernando
Michal Smetana
Jindřich Zelenka
Vojtěch Vincíbr
Michal Janík
Jiří Kruchina
Petr Drobílek
Kateřina Šebestová
Vlaďka Raclavská
Adam Kosik
Kateřina Štruplová
Luboš Petráň
Jiří Schmidtmayer
Adéla Studničková
Jakub Rumian
Romana Vlčková
Jan Kosik
68.–102. Lucie Černá
Marie Křesťanová
Anežka Štrbová
Zuzana Kučková
Tadeáš Jakeš
Matěj Podaný
Andrea Pospíšilová
Dorota Cabálková
Lada Vestfálová
Ondřej Chwiedziuk
Jan Petránský
Strana 24
Roč. a škola
6. AGKP
8. ZSBL
8. ZSFA
6. GMAL
6. AGKP
8. ZSPO
9. ZSTC
6. GSOV
8. GCHB
8. GCHB
6. ZSDH
6. ZSEB
6. GPBZ
6. ZSDO
6. ZSKT
6. ZSFK
6. ZSJP
6. GJRC
6. GSOK
6. GCKV
6. GJKP
6. GCSP
6. ZSPC
6. GJVK
6. SLGO
6. ZSTO
6. ZSKU
6. ZSBZ
6. ZSPH
6. ZSJN
6. ZSHE
6. ZSZS
6. ZSPL
7. ZSSR
7. ZSPR
7. ZAGJ
7. ZSHL
7. ZSDR
7. ZSPN
7. GSTR
7. GCDP
7. GJER
7. GFXS
7. GNSP
1
0
4
0
-
2
2
0
-
3
3
1
1
0
-
4
0
0
0
-
5
0
0
-
6
1
0
0
-
7
0
0
1
-
P
-
σ
0
4
4
0
0
0
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
4
4
4
3
3
3
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
Jméno a příjmení
268.–385. 68.–102. David Arutyunyan
David Horak
Anna Ruszová
Martina Daňková
Alžběta Kafková
Jakub Rýc
Tom Kavena
Lenka Tomanová
Adéla Kolomazníková
Adam Hrbáč
Adam Auzký
Jan Šuráň
Lucie Hromková
Markéta Doubravová
Hana Houzarová
Šárka Eichlerová
Tereza Vlasáková
Lucie Hrdová
Michaela Kutá
Jakub Mikeš
Lukáš Davídek
Linda Nykendajová
Magdalena Rybová
Monika Pongrácová
91.–125. Jana Pokorná
Radka Chytrová
Tereza Zbejvalová
Anna Grebíková
Anastasia Sergunina
Petr Šťovíček
Martin Vacek
Milan Dobrovolný
Petra Pazourkova
Věra Pokorná
Tereza Strakošová
Adéla Pokorná
Eliška Maloušková
Bohdan Semiginovsky
Daniel Novotný
Filip Erben
Ondřej Čech
Tuan Le Manh
Jakub Roubiček
Michaela Pejšová
pikomat.mff.cuni.cz
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
7. GJHP
- - - - - - - 7. GMSP
- - - - - - - 7. GRIC
- - - - - - - 7. KSGB
- - - - - - - 7. GCSL
- - - - - - - 7. GRIC
- - - - - - - 7. GKKO
- - - - - - - 7. GSOV
- - - - - - - 7. ZSHO
- - - - - - - 7. GMLE
- - - - - - - 7. AGKP
- - - - - - - 7. GSPI
- - - - - - - 7. ZSDU
- - - - - - - 7. GBIB
- - - - - - - 7. ZSMS
- - - - - - - 7. GCBR
- - - - - - - 7. ZSZC
- - - - - - - 7. ZSKL
- - - - - - - 7. ZSFC
- - - - - - - 7. ZSPT
- - - - - - - 7. ZSFL
- - - - - - - 7. ZSAS
- - - - - - - 7. ZSVV
- - - - - - - 7. ZSLN
- - - - - - - 8. ZSDE
- - - - - - - 8. ZSJH
- - - - - - - 8. ZSDI
- - - - - - - 8. GCSP
- - - - - - - 8. GVOP
- - - - - - - 8. GCKV
- - - - - - - 8. GZAS
- - - - - - - 8. GVMS
- - - - - - - 8. GZSP
- - - - - - - 8. DGSE
- - - - - - - 8. GMAS
- - - - - - - 8. GRIC
- - - - - - - 8. GVMS
- - - - - - - 8. GKKO
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 8. BGCB
- - - - - - - 8. GCEL
- - - - - - - 8. GOST
- - - - - - - 8. ZSDE
- - - - - - - 8. GSOB
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Strana 25
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
Celkově
V roč.
Jméno a příjmení
268.–385. 91.–125. Viktorie Hanušová
Klára Týfová
Michaela Mrázová
Petr Čerych
Stanislav Svoboda
Zdeněk Ďulák
Růžena Bártová
Andrea Nedělníková
Petr Kopřiva
Marek Šilar
jan Ďureje
Adéla Jelínková
Jindřiška Tomšovicová
Jiří Kolář
Ondřej Husák
87.–111. Josef Losos
Oliver Moravec
Veronika Malcová
Alena Šanovcová
Adéla Vodičková
Matouš Cimala
Darina Lisichkina
Marie Rozmušová
Natálie K. Koscelanská
Josef Pernica
Jana Vozárová
Mirka Katuščáková
Marie Raušová
Patrik Kecera
Pavel Vyskočil
Valentýna Pavlasová
Jana Říhová
Eliška Hujerová
Michaela Dopitová
Jan Licek
Vojtěch Pšenák
Stanislav Kvirenc
Anežka Novotná
Lucienne Plešnerová
Adéla Zábojníková
Strana 26
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
8. GOPA
- - - - - - - 8. GCDP
- - - - - - - 8. ZSRL
- - - - - - - 8. ZSSO
- - - - - - - 8. ZSSN
- - - - - - - 8. ZSVK
- - - - - - - 8. ZSAL
0 - - - - - - 8. ZSUS
- - - - - - - 8. FZSP
- - - - - - - 8. ZJJO
- - - - - - - 8. ZSVD
- - - - - - - 8. ZSLV
- - - - - - - 8. ZSVI
- - - - - - - 8. ZSTY
- - - - - - - 8. ZSSY
- - - - - - - 9. ZABC
- - - - - - - 9. GJIH
- - - - - - - 9. OPEN
- - - - - - - 9. JGNA
- - - - - - - 9. GUHV
- - - - - - - 9. GJAK
- - - - - - - 9. OPEN
- - - - - - - 9. GSOK
- - - - - - - 9. GEKP
- - - - - - - 9. MGOV
- - - - - - - 9. GPUC
- - - - - - - 9. GZSM
- - - - - - - 9. GJIR
- - - - - - - 9. OSTS
- - - - - - - 9. GRJS
- - - - - - - 9. ZSZL
- - - - - - - 9. GCAK
- - - - - - - 9. GDAR
- - - - - - - 9. RGPO
- - - - - - - 9. GJRC
- - - - - - - 9. GMNP
- - - - - - - 9. GDOB
- - - - - - - 9. ZSJL
- - - - - - - 9. ZSKK
- - - - - - - 9. ZSBJ
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8