Přednáška 11

5EN306
Aplikované kvantitativní metody I
Přednáška 9
Zuzana Dlouhá
Předmět a struktura kurzu
1. Úvod: struktura empirických výzkumů
2. Tvorba ekonomických modelů: teorie
3. Data: zdroje a typy dat, význam popisných charakteristik
4. Vicenásobná regrese v ekonomické analýze
5. Vicenásobná regrese: DUMMY proměnné a jejich interakce
6. Difference in differences estimator
7. First Differencing a Fixed Effects
8. Instrumentální proměnné, Panelová data
9. Testy robustnosti
10. Úvod do časových řad (zbyde-li čas)
•
témata se prolínají
2
Panelová data (First differencing, Fixed Effects,…)
•
•
•
minule: instrumentální proměnné
identifikační strategie = způsob, jakým výzkumník využívá
napozorovaná data (tedy data negenerována náhodně) k přiblížení se
k reálnému (přirozenému) experimentu
pozorovaná korelace X a Y nemusí nutně znamenat existenci kauzality
z důvodu možné existence nepozorovaných faktorů
Panelová data
• data, u kterých opakovaně pozorujeme charakteristiky statistických
jednotek:
– roční míra nezaměstnanosti každého státu za několik let
– čtvrtletní prodeje každé z poboček Tesca za několik čtvrtletí
– mzda jedince v několika zaměstnáních
• podstata – měříme stále stejnou statistickou jednotku (na rozdíl od
„pooled cross-section data“ – náhodný výběr)
• definice vyrovnaného a nevyrovnaného panelu (balanced /
unbalanced)
• krátký vs. dlouhý panel (práce s krátkými panely je podobnější práci s
průřezovými údaji, práce s dlouhými panely práci s časovými řadami)
• Wooldridge – kap. 13 a 14
3
Unobserved heterogeneity (unobserved effect)
•
•
•
•
•
•
•
•
forma omitted variable bias
problém k řešení: statistické jednotky i (jedinci, domácnosti, firmy,
státy,…) se od sebe můžou lišit o specifické charakteristiky, které jsou
v čase neměnné (nebo téměř neměnné):
– demografické
– geografické atd.
to má vliv na měřenou (závislou) veličinu
úrovňová konstanta pro každou ze statistických jednotek
unobserved effect model nebo fixed effect model (v čase neměnné)
příklad
– crime rate (různé způsoby reportování zločinů v různých státech
USA, lokace)
– mzda vs. vzdělání (různá barva pleti, genetická zátěž, sociální
zázemí apod.)
neměřitelné vlivy (neměřitelný vliv je náhodná složka) tak dělíme na
– v čase neměnné – fixed effects
– v čase proměnlivé – náhodná složka uit
jak bychom to řešili (odhad modelu)?
– přidat regresory?
– binární proměnné?
4
Vymezení problému
•
•
panelová data (datová kostka)
základní model:
yit     t   xit  wit
– je zde problematizován heterogenitou jednotek:
yit     t   xit  ai  uit
– kde wit = ai + uit,
ai = fixní, nepozorovaný efekt (nemění se v čase, ale je jiný
pro každou pozorovanou jednotku) – také
nepozorovaná či individuální heterogenita
uit = idiosynkratická chyba
•
•
•
•
•
ai ovlivňuje Y a může být korelována i s X!
ai jsou konstantní v čase, neměřitelné
i když uit a xit jsou nekorelované, problém, pokud ai a xit korelované, tj.
platí, že E(aixit) ≠ 0
omitted variable bias = heterogeneity bias
pozn.: trend může být definován formou dummies
5
First differencing (první diference)
•
•
•
princip: diference sousedních časových period
ztrácíme jedno období pro každou jednotku (n)
nejjednodušší - pro dvě časové periody
yi  0   0 d 2t  1 xit  ai  uit
Period 2: yi 2  (  0   0 )  1 xi 2  ai  ui 2
Period 1: yi1   0  1 xi1  ai  ui1
First-differencing:
yi 2  yi1   0  1 ( xi 2  xi1 )  ui 2  ui1

•
yi 2   0  1 xi 2  ui 2
fixní efekty jsou odstraněny (stále ale mohou být v čase proměnné
faktory, které v modelu nemáme)
6
First differencing (první diference)
Předpoklady
• Δui není skorelované s Δxi (platí, pokud je uit nekorelovaná s xit v
každém t)
• nenastáva podstatná heterogenita proměnlivá v čase
• homoskedasticita Δui
• pro více časových period neautokorelace Δuit
• Δxi musí mít nějakou variabilitu přes i (problém, pokud x se v čase
nemění nebo se mění o stejnou hodnotu – neodseparujeme od ai) –
příklad?
Nedostatky
• redukce variability x (ztrácíme informaci)
– někdy se dá do určité míry obejít velkým počtem pozorování)
– někdy se používají diference přes delší časové periody
– hodně nízká variabilita (vysoké standardní chyby)
• některé charakteristiky se v čase vůbec nemění, či o konstantu – nelze
je použít (nelze je odseparovat od ai)
• ztráta n pozorování
• stále tu mohou být faktory v čase proměnné
7
First differencing (první diference)
Více časových period
• nezbavíme se faktoru času
• musíme řešit autokorelaci Δuit pro t = 2, 3, …
– pokud je uit neautokorelovaná, pak Δuit autokorelovaná je:
– sousední pozorování náhodné složky ve FD
uit – uit-1 a uit+1 – uit
•
•
pokud uit ~ AR(1) → pak Δuit autokorelované
pokud uit ~ RW → pak Δuit nekorelované
8
First differencing – příklad 1 – mzda
•
•
•
příklad s více nezávislými proměnnými
závislá proměnná:
yit = logaritmus mzdy pracovníka i v čase t
nezávislé proměnné:
xit1 = lokální míra nezaměstnanosti pracovníka i v čase t
xit2 = počet měsíců zkušeností pracovníka i v čase t
xi3 = počet let vzdělání pracovníka i (v čase neměnná!!!)
ai = talent pracovníka i (neměřitelná a zároveň v čase
neměnná)
Δyi2 = δ0 + β1Δxi21 + β2Δxi22 + Δui2
• xi3 – počet let vzdělání + ai – talent pracovníka jsme metodou FD
odstranili!!!
• Δxi22 bude rovna 12 pro skoro všechny pracovníky (méně než 12 pro
nezaměstnané) → nízká variabilita → nepřesně odhadnut koeficient β2
→ vysoké standardní chyby
• významný heterogeneity bias!!!
9
First differencing – příklad 2 – kriminalita
•
•
•
•
míra kriminality: období 1982 a 1987
46 měst USA
míra nezaměstnanosti (v %) a míra kriminality (počet zločinů na 1000
obyvatel)
hledám negativní vztah a významnost!!!
•
rok 1987
po FD
Interpretace
• 15,4 = nárůst kriminality o 15,40 na 1000 obyvatel
• mezi obdobími 1982 až 1987 bez změny nezaměstnanosti
• 2,22 = vzroste-li nezaměstnanost o 1 %, vzroste počet zločinů o 2,22
na 1000 obyvatel
10
First differencing – příklad 3 – školení
Účastníci školení
• měřím kauzální efekt účastníků školení
• nezávislé proměnné – účast na školení, individuální charakteristiky,…
• závislá proměnná – mzdy, produktivita práce,…
• t = 2 … období po absolvování školení
yit     d 2t   progit  ai  uit , t  1, 2
•
•
•
first differencing model:
yi    progi  ui
model OLS:
  ytreat  ycontrol
náhodná složka vit = ai + uit kontroluje v čase neměnné charakteristiky
firem:
• účastník školení: progit = 1
• nezúčastnil se školení: progit = 0
11
Fixed effects model
•
•
•
přístup č. 2 k dohadu panelových dat
Jak odseparovat fixní efekty ai + neztratit pozorování?
uvažujme model:
– zprůměrujme rovnici v čase pro každé i:
kde např.:
•
odečtu obě rovnice od sebe
•
•
•
•
tímto jsme odstranili fixní efekty ai
poslední rovnice je tzv. „time-demeaned“
odhadneme „pooled“ data OLS metodou
tento estimátor se nazývá within-estimátor, protože využívá rozptyl v
čase v rámci (within) průřezových jednotek
pokud bychom odhadli model přímo z průměrů (neodečetli bychom
rovnice mezi sebou) metodou OLS, jednalo by se o betweenestimátor – není nestranný
•
12
Fixed effects model
Předpoklady
• opět striktní exogenita xit
• homoskedasticita uit
• neautokorelace uit (musíme řešit i pro 2 periody)
Nedostatky
• ztratíme proměnné konstantní v čase (wage = f(sex, race,…)
• proměnné konstantní v čase můžeme použít v interakcích
(educ*časová dummy)
• proměnné měnící se o konstantu – neodlišíme od trendu
• jestli do modelu dáme všechny časové dummies, nemůžeme
odhadnout efekt proměnných, jejichž změna v čase je konstantní
(např. počet let zkušeností)
• počet stupňů volnosti je N*T-N-k (tato úprava je nutná, protože navíc
odhadujeme N*průměry)
13
Fixed effects model
Předpoklady
• opět striktní exogenita xit
• homoskedasticita uit
• neautokorelace uit (musíme řešit i pro 2 periody)
Nedostatky
• ztratíme proměnné konstantní v čase (wage = f(sex, race,…))
• proměnné konstantní v čase můžeme použít v interakcích
(educ*časová dummy)
• proměnné měnící se o konstantu – neodlišíme od trendu
• jestli do modelu dáme všechny časové dummies, nemůžeme
odhadnout efekt proměnných, jejichž změna v čase je konstantní
(např. počet let zkušeností)
• počet stupňů volnosti je N*T-N-k (tato úprava je nutná, protože navíc
odhadujeme N*průměry)
Pozitiva
• neztrácíme pozorování
• po FE odhadu můžeme fixní efekty odhadnout:
14
Fixed effects model nebo First difference?
•
když T = 2, FE a FD jsou identické
•
když T > 2, FE je vydatnější než FD, pokud jsou splněny předpoklady
KLRM
•
pokud náhodná složka uit neautokorelovaná, pak lepší FE
•
pokud náhodná složka uit generována RW, pak lepší FD
•
obecně se spíše používají FE, ale je vhodné aplikovat obojí a
porovnávají se výsledky
•
pokud dlouhé časové řady (T velké) a problém s nestacionaritou (hrozí
zdánlivá regrese), pak může být FD lepší variantou (speciálně máme-li
málo jednotek)
•
také závisí, zda nás zajímají odhady ai
15
Fixed Effects – příklad – Cornwell, Trumbull (1994)
•
•
•
•
•
Cornwell, Ch., Trumbull, W. N.: Estimating the Economic Model of
Crime with Panel Data; The Review of Economics and Statistics, Vol.
76, No. 2 (May, 1994), pp. 360-366
k dispozici na stránkách: https://webhosting.vse.cz/figlova/5en306/
cíl: zpřesnit odhady elasticit nabídky zločinů (elasticita – proto použili
log-log model):
‒ Pa – pravděpodobnost zadržení
‒ Pc – pravděpodobnost odsouzení
‒ Pp – pravděpodobnost uvěznění
‒ S – závažnost trestu
logicky odhady elasticit by měli být záporné (zvyšují očekávané
náklady nebo-li znižují očekávaný užitek)
dosavadní výzkum:
‒ Ehrlich (1973) -0,52 Pp; -0,59 S;
‒ Carr-Hill &Stern (1973) -0,59 Pp; -0,17 S
16
Fixed Effects – příklad – Cornwell, Trumbull (1994)
• založeno na maximalizaci očekávaného užitku
• rozhodnutí – porovnání výnosů a nákladů
max
•
•
•
•
•
Yi = zisk ze zločinu (monetární ekvivalent)
E(ui) = očekávaný užitek jedince
Fi = monetární ekvivalent trestu v případě dopadení, předpoklad Yi < Fi
pi = pravděpodobnost potrestání
ui = užitková funkce
17
Fixed Effects – příklad – Cornwell, Trumbull (1994)
Data:
• panelová data
• agregátní za jednotlivé kraje Severní Karolína, N = 90; T = 7
Zdroje:
• FBI's Uniform Crime Reports
• věznice
• probation files of the North Carolina Department of Correction
Motivace:
• města mohou mít specifické kulturní a jiná charakteristiky
Zdroje endogeneity:
• unobserved heterogeneity
• simultaneita
Strategie:
• kontrola fixních efektů jednotlivých oblastí – mnoho důvodů k obavám o
odlišnostech
18
Fixed Effects – příklad – Cornwell, Trumbull (1994)
Model
ALL
BETWEEN (průměry)
Fixed effects model
Rit – podíl zločinů zaznamenaných FBI na populaci
Xit – návratnost z legálních aktivit (mzda, věk, rasa,…)
Pit – pravděpodobnosti (zadržení, odsouzení,…)
αi – fixní efekty (můžou být skorelovány s Xit a Pit)
εi – náhodná složka
Between (průměry) – použít v případě, když Xit a Pit jsou neskorelovány s
nepozorovanou heterogenitou (unobserved heterogeneity)
19
Cornwell, Trumbull – odhad Between model
20
Cornwell, Trumbull – odhad Fixed Effects model
F-test:
fixní efekty
jsou
významné
21
Dummy variable regresssion
• další způsob odhadu fixních efektů
• dummy proměnná pro každé pozorování (každou statistickou jednotku)
• máme N+k parametrů
• oproti FE máme hodně odhadovaných parametrů
• relativně vysoký koeficient determinace
22
Random Effects Model
• předpoklad: ai a X nejsou korelovány: cov(ai, xitj) = 0
• za tohoto předpokladu je náhodná chyba ai + uit nekorelovaná s
vysvětlujícími proměnnými, ale je sériově korelovaná pro pozorování
pocházející z jednoho i:
yit     xit  vit , t  1, 2,..., T
vit  ai  uit
• vysvětlující proměnné jsou exogenní, takže „pooled“ OLS estimátor je
konzistentní
• v tomto případě musíme upravit standardní chyby, protože chyby pro
dané i jsou korelovány v čase (clusterované standardní chyby)
• OLS není kvůli sériové korelaci vydatný
• následujícím způsobem můžeme transformovat model, aby splňoval GM předpoklady:
yit   yi   (1   )   ( xit   xi )  ...  (vit   vi ), t  1, 2,..., T
• parametr λ neznáme, ale můžeme ho odhadnout – RE estimátor
23
Random Effects Model
• pokud je náhodný efekt relativně nevýznamný vzhledem k
idiosynkratické chybě, dá RE estimátor výsledek blízký pooled OLS
estimátoru ( λ → 0)
• pokud je náhodný efekt relativně významný vzhledem k idiosynkratické
chybě, dá RE estimátor výsledek blízký FE estimátoru (λ → 1)
• RE estimátor funguje i pro časově invariantní proměnné
• v ekonomii jsou nepozorované individuální efekty málokdy
nekorelované s vysvětlujícími proměnnými, což svědčí ve prospěch FE
estimátoru
• možno otestovat, jestli máme použít spíše FE nebo RE (Hausmanův
test v Gretlu)
24
Cornwell, Trumbull – odhad Random Effects model
25
Cornwell, Trumbull – odhad Random Effects model
Breusch-Pagan LM test:
• zamítam hypotézu o tom, že efekty nejsou náhodné (tj. efekty jsou
náhodné
Hausman test:
• existuje systematický rozdíl mezi FE a RE odhadem
• RE odhady – nekonzistentní, FE odhady – konzistentní (volím)
26
Random Effects Model
Výhody:
• můžeme do modelu vložit proměnné, které se v čase nemění
• neztrácíme stupně volnosti
Nevýhody:
• přísný a silný předpoklad exogenity ai
• v případě, že ai jsou korelovány s některými vysvětlujícími proměnnými
musíme použít FD anebo FEM
27
Shrnutí předpokladů pro FE estimátor
• máme náhodný výběr z průřezových jednotek
• všechny vysvětlující proměnné se aspoň pro některá i mění v čase a
neexistuje perfektní lineární kombinace mezi vysvětlujícími
proměnnými
• regresory jsou striktně exogenní podmíněně na fixním efektu
• rozptyl idiosynkratických chyb podmíněně na všech regresorech je
konstantní
• neexistuje autokorelace mezi idiosynkratickými chybami
• idiosynkratické chyby mají normální rozdělení podmíněně na všech
regresorech
28
Shrnutí předpokladů pro RE estimátor
• máme náhodný výběr z průřezových jednotek
• neexistuje perfektní lineární kombinace mezi vysvětlujícími
proměnnými
• regresory jsou striktně exogenní
• v tom je obsaženo, že E(ai|Xi) = const
• Rozptyl chyb podmíněně na všech regresorech je konstantní
• v tom je obsaženo, že Var(ai|Xi) = const
• neexistuje autokorelace mezi chybami
• chyby mají normální rozdělení podmíněně na všech regresorech
29