Kinematická geometrie - Matematika a Deskriptivní geometrie

Kinematická geometrie - Matematika a Deskriptivní geometrie

Gymnázium Christiana Dopplera
Kinematická geometrie
Autor: Vojtěch Šimeček
Třída: 4.C
Školní rok: 2011/2012
Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů
Ročníkovou práci jsem zhotovil samostatně, pouze s pomocí zdrojů dále
uvedených.
1
Obsah
Úvod…………………………………………………………………………………….………..……….3
Definice a věty důležité pro kinematickou geometrii…………………………………………..4
1. základní věta kinematiky………………………………………………………….……..4
2. základní věta kinematiky…………………………………………………………………5
Cyklický pohyb………………………………………………………………….............................6
Cykloida …………………………………………………………………………………………6
Epicykloida …………………………………………………………………………………..…7
Hypocykloida…………………………………………………………………………………...9
Evolventa……………………………………………………………………….……….……..11
Kinematika v prostoru..……………………………………………………………………..…..….12
Šroubovice……………………………………………………………………………..…..….12
Závěr…………………………………………………………………………………………………….13
Zdroje…..……………………………………………………………………………………………….14
2
Úvod
Práce se bude zabývat převážně rovinnými útvary získanými pohybem.
Cykloidy mají mnoho využití, také proto jsem se rozhodl zabývat se tímto tématem.
3
Definice a věty důležité pro kinematickou geometrii
1) Neproměnná rovinná soustava je rovinné pole, které je jako neproměnný celek
podrobeno pohybu.
Rovinné pole značí souhrn všech bodů v rovině, a jelikož můžeme každý rovinný
útvar definovat jako množinu bodů v rovině, můžeme pod pojem rovinné pole zahrnout
všechny útvary dané roviny, proto ještě upřesním, co je to neproměnný celek.
Na obrázku vidíme dvě různé polohy pohybujícího se rovinného pole π 1 a π2.
Bodům A1, B1, C1, … první polohy pole π jsou přiřazeny body A2, B2, C2, … druhé
polohy π2 pole π. Aby bylo pole
π při pohybu neproměnné, musí
se
vzdálenost jakýkoliv dvou
bodů v π1 rovnat vzdálenosti
bodů v π2 odpovídajících (čili
|A1B1|=|A2B2|
atd.).
Z toho
vyplývá, že dva odpovídající si
trojúhelníky A1B1C1 a A2B2C2
ve dvou
polohách
π1
a
π2
neproměnné rovinné soustavy π
mají stejnou orientaci (orientace
je v obrázku vyznačena šipkou)
2) V kinematické geometrii se zabýváme křivkami, které při pohybu tvoří body
neproměnné rovinné soustavy π. Body nemusí opisovat křivku – při rotaci je střed
rotace neměnný a tak opisuje bod. Při translaci bod opisuje přímku.
Křivka, kterou při pohybu neproměnné rovinné soustavy opíše libovolný její
bod, se nazývá trajektorie pohybu.
1. základní věta kinematiky v rovině
Jsou-li dvě různé polohy π1 a π2 neproměnné rovinné soustavy π, pak existuje
rotace nebo translace, která přemisťuje π1 v π2.
Důkaz: Předpokládejme, že π1 a π2 jsou dvě různé polohy neproměnné rovinné
soustavy π. π1 a π2 nemohou mít společné dva body, protože pak by byly totožné.
Vezměme si body A1, A2 a B1, B2. Pokud B1
A1 = A2, nebo A1
A2
4
B2 , pak mhou nastat dva případy: buď
Pro A1
A2: existují osy úseček A1A2 a B1B2 a ty mohou být a) různoběžné, b)
rovnoběžné nebo c) totožné. Pro a) se osy protínají v bodě S, kde trojúhelníky SA1B1
a SA2B2 jsou shodné a mají stejnou orientaci. Z toho plyne, že existuje otáčení, které
přemístí úsečku A1B1 v úsečku A2B2 (otáčí se o úhel A1SA2 a střed otáčení je v S). Pro
případ b) platí, že A1B1 || A2B2 a existuje rovnoběžník A1B1B2A2. Existuje tedy
translace, která přemístí úsečku A1B1 v úsečku A2B2 (posouvá se o orientovanou
úsečku A1A2). Může se také stát, že přímky A1B1 a A2B2 jsou totožné a žádný
rovnoběžník netvoří, ale i tehdy tato translace existuje. A nakonec pro případ c)
existuje buď rotace o 180° (pro případ, že A1B2 = A2B1) nebo translace ve směru
kolmém na obě úsečky a tyto čtyři body tvoří obdélník.
Z této věty vychází:
Jsou-li π1 a π2 dvě polohy neproměnné rovinné soustavy π, pak poloha π 2 je
jednoznačně určena, známe-li polohu dvou jejích různých bodů A2, B2 odpovídajících
bodům A1, B1 soustavy π1.
Jsou-li π1 a π2 dvě polohy neproměnné rovinné soustavy π, pak osy úseček A1A2,
B1B2, C1C2, … procházejí pevným bodem S (může být nevlastní).
Pohyb neproměnné soustavy π je určen, známe-li trajektorie τA a τB dvou bodů
A, B nenulové úsečky AB. – Jednoduché zdůvodnění: z trajektorií se můžeme dozvědět
polohy bodů A a B v každém čase, a dle výše popsané věty je každá poloha
jednoznačně určena.
V každém okamžiku pohybu procházejí normály k trajektoriím pevným bodem
(může být nevlastní). Tento pevný bod se nazývá okamžitý střed otáčení.
2. základní věta kinematiky v rovině:
Každý pohyb neproměnné rovinné soustavy (kromě rotace a translace) lze
převést na valení hybné polodie h po pevné polodii p.
Pevnou polodii p tvoří všechny okamžité středy otáčení neproměnné rovinné
soustavy π.
Hybnou polodii h tvoří všechny body neproměnné rovinné soustavy π, které se
při jejím pohybu stanou okamžitým středem otáčení.
5
Cyklický pohyb
Pohyb při kterém jsou poloidy buď kružnicí nebo přímkou (dvě přímky nelze) se
nazývá cyklický pohyb. Trajektorie bodů neproměnné rovinné soustavy se při
cyklickém pohybu nazývají cyklické křivky.
Cykloida
Cykloida je cyklická křivka, která je trajektorií bodu pevně spojeného s kružnicí,
valící se po přímce.
Prostá cykloida
Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice
po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.
Prostou cykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi
Zkrácená cykloida, prodloužená cykloida.
Pokud bod pevně spojený s valící se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho
vzdálenost od středu kružnice (o poloměru a) je d, pak pro d < a získáme cykloidu
zkrácenou a pro d > a cykloidu prodlouženou.
Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru
6
Zkrácená cykloida
Prodloužená cykloida
Tečna k cykloidě je konstruována tak, že v bodě cykloidy (A) vedeme kolmici k úsečce
SA, kde S je okamžitý střed otáčení (bod, kde se polodie dotýkají)
Epicykloida
Epicykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se
valí svou vnější stranou po vnější straně nehybné kružnice.
7
Prostá epicykloida
Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice
kolem kružnice opisuje tento bod
prostou
(obecnou,
obyčejnou)
epicykloidu.
Parametrickou
rovnici
prosté
epicykloidy lze zapsat jako
kde a je poloměr pevné kružnice, b
je poloměr hybné kružnice a t je
úhel odvalení
Pro charakter epicykloidy je důležitý poměr a/b:
Je-li a/b=m celé číslo, pak je epicykloida uzavřená křivka s m větvemi, které
vzniknou při jednom oběhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li a/b racionální číslo p/q, pak je epicykloida uzavřená křivka s p větvemi,
které vzniknou při q obězích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li a/b iracionální číslo, pak je epicykloida neuzavřená křivka s nekonečně
mnoha větvemi.
Zkrácená, prodloužená
epicykloida
Trajektorie bodů pevně spjatých
k valené kružnici se také liší
v závislosti na vzdálenosti od
středu kružnice. Pokud je bod
uvnitř kružnice, jedná se o
zkrácenou epicykloidu (na
obrázku modře); pokud je vně
kružnice, jedná se o
8
prodlouženou epicykloidu (na obrázku červeně).
Parametrické vyjádření zkrácené i prodloužené epicykloidy:
Kde d je vzdálenost pozorovaného bodu od středu kružnice
Speciální případy prostých epicykloid
Kardioida vznikne, když a=b, neboli když hybná a pevná
kružnice mají stejný poloměr. Také se jí říká srdcovka.
Parametrické rovnice kardioidy:
]
Nefroida se nazývá prostá epicykloida o dvou větvích, platí zde a = 2b
Hypocykloida
Hypocykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří trajektorie bodu pevně spojeného s
kružnicí, která se valí svou vnější stranou po vnitřní straně nehybné kružnice.
Prostá hypocykloida
Pokud bod spjatý s kružnicí leží na
obvodu, valením získáme prostou
hypocykloidu.
Takto je zadána parametricky:
Pro číslo a/b platí stejná pravidla jako u
epicykloid.
9
Zkrácená, prodloužená hypocykloida
Leží-li bod tvořící křivku jinde, než na
obvodu kružnice, změní to tvar křivky.
Pokud leží uvnitř kružnice, opisuje
zkrácenou hypocykloidu (na obrázku
modře), pokud leží vně kružnice, pak
opisuje prodlouženou hypocykloidu (na
obrázku červeně).
Zkrácenou i prodlouženou hypocykloidu
vyjadřují parametrické rovnice:
Speciální případy
Asteroida – prostá hypocykloida, pro kterou platí a = 4b
Úsečka a elipsa - je možné, aby hypocykloida přešla v kmitavý pohyb na úsečce.
Stane se tak, když a = 2b a hypocykloida je prostá. Zkrácená nebo prodloužená
hypocykloida s a = 2b vede k elipse. Využívá se k parametrickému určení elipsy.
y
10
Evolventa
Evolventu získáme valením
hybné přímky h po pevné
kružnici p
Sledováním bodu ležícího na
přímce h získáme prostou
evolventu. Trajektorie bodu
v polorovině určené přímkou
h a v níž leží střed otáčení,
nazveme
evolventou
Pokud
prodlouženou
(trajektorie
sledujeme
D).
bod
z druhé poloroviny, získáme
zkrácenou
evolventu
(trajektorie
A).
Zde
si
můžete
všimnout
podobnosti
s epicykloidami, představte si přímku jako kružnici s nekonečným poloměrem.
Trajektorie procházející středem kružnice p je Archimédova spirála.
Parametrické rovnice evolventy jsou:
Kde v je vzdálenost tvořícího bodu od středu kružnice p
11
Kinematika v prostoru
Šroubovice
Kinematická geometrie může využít i třetí rozměr. Uvedu jako příklad šroubový pohyb.
Tento pohyb tvoří těleso zvané šroubovice.
Parametricky je určen:
Kde r značí poloměr půdorysu, v značí výškový rozdíl mezi body nad sebou a pořadí
funkcí sinus a cosinus pravotočivost nebo levotočivost. Na obrázku i v parametrických
rovnicích je pravotočivá šroubovice.
12
Závěr
Tato práce mi celkem dobře nastínila jednu velmi zajímavou oblast geometrie.
Doufám, že kdokoli neznalý mou práci přečte, bude obeznámen s tímto učivem tak,
jako jsem se s kinematikou seznámil já.
13
Zdroje
http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/download/527/1490/fi
le/kinematika.pdf
URBAN, Alois. Deskriptivní geometrie II. Bratislava. Nakladatelství technické
literatury, 1967, 268s.
http://cs.wikipedia.org/wiki/Kinematika
14