Algebra zajímavě

Další vzdělávání pro pracovníky škol v Plzeňském kraji
CZ.1.07/1.3.47/02.0010
Algebra zajímavě
Doc.RNDr. Jaroslav Hora, CSc.
1. 10. 2013
1 Fermatova faktorizační metoda
Cíle:
Seznámit se s Fermatovou metodou pro rozklad složeného přirozeného čísla.
1.1 Fermatova metoda faktorizace složených přirozených čísel
Fermatovou ideou bylo, pokusit se zapsat liché složené číslo N ve tvaru rozdílu čtverců dvou přirozených
2
2
čísel. Podaří -li se to, pak N = x − y = (x − y )(x + y) a nalezli jsme faktory, na něž se rozkládá číslo N.
Příklad: Rozložme číslo 8 051!
Povšimneme -li si, že 8 051 = 8 100 − 49, je řešení snadné a vyžaduje jen znalost vzorce pro rozdíl dvou
2
čtverců:
8
051
=
90
−
72
=
97.83.
Jak
aplikovat
Fermatovu
metodu
v obecném případě, kdy je dáno přirozené číslo N, které se snažíme zapsat ve tvaru
N = x − y , kde x, y jsou přirozená čísla ?
2
2
Zřejmě musí být x větší než Sqrt(N), takže vypočteme m = celá část z Sqrt(N)+ 1, což je nejmenší
2
možná hodnota pro x (až na ten případ, kdy N je druhou mocninou, N = x , kdy je vlastně nalezena
2
2
2
reprezentace N = x − 0 ). Nyní budeme zkoumat, zda číslo z = m − N je čtverec. Pokud ano, nalezli jsme
2
2
rozklad N = x − y a jsme hotovi. Není -li tomu tak, přejděme na další možné x, tj. na hodnotu m + 1, a
2
vypočtěme (m + 1) − N = z + 2 m + 1.
Celý postup je vjhodné zapisovat do tabulky, v níž postupně píšeme m, 2m + 1 a z. Pracujeme až do té
doby, kdy se objeví číslo z, které je druhou mocninou.
Příklad: Rozložme číslo N = 3 503 v součin prvočísel s využitím Fermatovy faktorizační metody.
Řešení: Je Sqrt(N) = 59, 186..., číslo N není druhou mocninou přirozeného čísla. Máme
m = Sqrt(N) + 1 = 60 a číslo z = m2 − N = 97 není čtvercem. Je tedy zapotřebí přejít na číslo
m + 1 a postup opakovat. Výsledky zapisujeme do tabulky. Záhy pochopíme, jak je užitečný sloupec
obsahující čísla 2m + 1 - usnadňuje umocňování. Druhé mocniny se dočkáme až pro hodnotu m = 72, kdy
vyjde
2
2
z = 1681 = 412. Máme pak 3 503 = 72 − 41 = 31 . 113.
1.2 Pollardova rho metoda
Pollardova ρ − metoda
Zapišme nástin algoritmu pro Pollardovu ρ − metodu:
Je dáno přirozené číslo N, které chceme rozložit.
1. Zvolme přirozené číslo x0.
2. Vypočtěme xi+1 ≡ + 1 (mod N), i = 0, 1, ...
3. Pro jistý počet i ∈ N vypočtěme největší společný dělitel D(x2i − x , N).
i
4. Opakujme to do té doby, než D(x2i − xi, N) je netriviálním dělitelem čísla N − úspěch.
Pokud proces běží přes daný časový limit − neúspěch.
Příklad: Rozložme číslo N = 221 pomocí Pollardovy ρ − metody.
Řešení: Volme kupř. x0 = 5 a vypočtěme dalších deset členů posloupnosti {xi}. Máme x1 = 26, x2 = 14, x3
= 197, x4 = 135, x5 = 104, x6 = 209, x7 = 145, x8 = 31, x9 = 78, x10 = 118. Dále
D(x2 − x1, N) = D(14 − 26, 221) = 1,
D(x4 − x2, N) = D(135 − 14, 221) = 1,
D(x6 − x3, N) = D(209 − 197, 221) = 1,
D(x8 − x , N) = D(31 − 135, 221) = 13.
4
Nalezli jsme netriviální dělitel čísla N = 221, je 221 = 13 . 17.
Vidíme, že výpočet vyžaduje jen provádění elementárních početních operací s celými čísly a výpočet
největšího společného dělitele.
2 O šifrách a šifrování
2.1 Historie šifrování
Obecně o šifrách a šifrovacích metodách
Problém, jak zašifrovat zprávu tak, aby jí nepřítel neporozuměl a spojenec ji opět mohl rozšifrovat, je ve
vojenství důležitý odpradávna. Uvádí se, že Gaius Julius Caesar užíval jednoduchou šifru, v níž při
šifrování bylo každé písmeno nahrazeno jiným, nacházejícím se v latinské abecedě „o tři místa dále“, tj. A
→ D, B → E, C → F, ..., Y → B, Z → C. Známý Caesarův výrok „ ALEA IACTA EST “, „kostky jsou
vrženy“, bychom v abecedě o znacích A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z zašifrovali
jako „DOHD LDFXD HVX“. (Původní latinská abeceda měla jen 23 písmen, dnešní znaky J a U
chyběly, znaku I se užívalo pro i i pro j, V pro u i pro v, ale to pro pochopení principu šifrování není
podstatné). Je jasné, jak získanou zprávu dešifrovat. Zároveň je ale zřejmé, že obdobný šifrovací systém
lze snadno prolomit. Výše zmíněné „posunutí o tři písmena“ je opravdu dosti naivní.
Dnešní šifrovací metody budou zajisté muset být podstatně rafinovanější, bude třeba počítat s útoky
vysoce kvalifikovaných specialistů majících k dispozici výpočetní techniku. Přibližme se dnešku i tím, že
přejdeme k anglické abecedě o 26 písmenech doplněním znaku W. Společně s přítelem se dohodneme,
že pro účel předání tajné zprávy o nejvýše n písmenech vygenerujeme náhodnou posloupnost n písmen z
naší
abecedy.
Bude
-li
kupř.
n = 15, vytvoříme třeba kód F K C T Y G M P S B W Z H A Q. Při kódování zprávy „ ALEA IACTA EST “
nyní postupujme následovně. První písmenko naší zprávy je shodou okolností i první v abecedě, první
písmeno tajného kódu, tj. F, je v anglické abecedě šesté. Součet 1 + 6 = 7, proto zašifrovaná zpráva
bude začínat sedmým písmenem abecedy, tedy G. Druhému písmenu zprávy, tedy L, odpovídá 12,
druhému písmenu klíče, tj. K, odpovídá 11, součet činí 23 a tomu odpovídá v anglické abecedě písmeno
W. Dále písmena E, resp. C mají čísla 5, resp. 3, obdržíme tedy součet 8 a tomu odpovídá písmeno H.
Idea šifrování je v tomto případě jasná, jen poznamenejme, že v případě, kdy součet vyjde větší než 26, je
nutné jej o 26 zmenšit. Obdržíme posloupnost „GWHU HHPJT GPT“.
Příjemce, který zná tajný klíč, zprávu „písmeno po písmenu“ dešifruje (namísto sčítání použije ovšem
operaci odčítání). Kupř. tedy prvnímu písmenu zašifrované zprávy, tj. písmenu G, odpovídá číslo 8,
prvnímu písmenu klíče, tj. písmenu F, odpovídá 7 a rozdíl 8 − 7 = 1 bude dešifrován jako písmeno A.
Dokončete sami dešifrování zprávy!
Výhodou popsaného klíče je jeho bezpečnost, pokud se ovšem podaří utajit šifrovací klíč. Je -li ale tento
klíč rozsáhlý, nemusí být utajení snadné. Stane -li se, že zasílaná zpráva obsahuje více písmen než je
dohodnutá délka zprávy n, lze sice kód použít znovu, ale toto opakování již poskytuje doplňkové
informace i nepříteli a uvádí se, že bezpečnost kódu může být ohrožena. Lze tedy říci, že popsaný „tajný
kód na jedno použití“ je bezpečnou, ale poněkud nepohodlnou metodou šifrování.
2.2 Šifra E.A. Poea (povídka Zlatý skarabeus)
Jako kulturně − historickou zajímavost uveďme, že luštění šifer tvoří podstatnou část některých
povídek zakladatelů moderní detektivky. Jde kupř. o příběhy Tančící figurky z knihy Návrat Sherlocka
Holmese či Gloria Scottová z knihy Vzpomínky na Sherlocka Holmese A. C. Doyla. Snad ještě zajímavější
je povídka Zlatý skarabeus „otce moderní detektivky“ Edgara Allana Poea (1809 −1849). Povídka pochází
z roku 1843, v originále se nazývá The Gold−Bug a lze ji v anglickém originále nalézt na webovské adrese
http://www.gothic.net/poe/works/goldbug.txt.
(Pozor je třeba dát na to, že na zmíněné webovské stránce, v překladu [12] a možná i v originále samém
se v zápisu šifry vyskytují dvě chyby. V textu šifry mají být navíc dva středníky (dále doplněno tučně do
prvního řádku šifrovaného textu). Rovněž četnost výskytu jednotlivých znaků je zatížena chybami.
Vzhledem k tomu, že hlavním cílem tohoto článku je zaměřit se na luštění šifer včetně uplatnění jistých
matematických postupů, nejde nám tolik o absolutně přesné citování Poeova původního textu a proto
autor článku provedl shora uvedené opravy v textu šifry samé i v níže uvedeném přehledu četností
výskytu znaků).
Klíčem k nalezení pokladu kapitána pirátů Kidda je rozluštění následující šifry:
53++!305))6*;4826)4+.)4+);806*;48!8`60))85;;]8*;:+*8!83(88)5*!;
46(;88*96*?;8)*+(;485);5*!2:*+(;4956*2(5*-4)8`8*;4069285);)6
!8)4++;1(+9;48081;8:8+1;48!85;4)485!528806*81(+9;48;(88;4(+?3 4;48)4+;161;:188;+?;
2.3 Rozluštění 1
„A vy jste to opravdu rozluštil?“
„Snadno. Rozluštil jsem jiné šifry, desettisíckrát těžší. Okolnosti − a také určitá záliba − probudily ve mně
zájem o takové hádanky. Pochybuji, že lidský důmysl dovede sestavit takovou hádanku, kterou by lidský
důmysl nedovedl zase rozluštit, jestliže na to jde správně. Jakmile jsem jednou určil znaky, které patřily k
sobě a daly se číst, bylo hračkou poznat jejich smysl.“
V daném případě ze souvislostí vysvítá, že šifra kóduje jisté sdělení v anglickém jazyce. Nyní má čtenář
jedinečnou šanci celou šifru rozluštit a nebylo by fair mu tuto šanci brát. Požádejme jej tedy, aby se sám
pokusil o rozluštění. Teprve poté může pokračovat ve čtení dalších odstavců, v nichž je popsáno řešení.
V povídce The Gold-Bug se dále vysvětluje, že je zapotřebí sestavit tabulku s frekven-cemi výskytů
jednotlivých znaků (jak řečeno, ve srovnání s původním textem jsou provedeny opravy) :
„Znaků 8 je 34,
; je 27,
4 je 19,
) je 16,
+ je 15,
* je 14,
5 je 12,
6 je 11,
( je 9,
! je 8,
1 je 7,
0 je 6,
9 a 2 je 5,
: a 3 jsou 4,
? jsou 3,
` jsou 2,
] a - a . je 1.“
2.4 Rozluštění 2
„Dále, v angličtině je nejčastějším písmenem e. Další pořadí je toto: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p
q x z. e má takovou převahu, že se sotva najde věta jakkoliv dlouhá, ve které by toto písmeno
nepřevládalo.“
To přivede hrdinu povídky k předpokladu, že 8 je třeba nahradit písmenem e. (Budeme
-li si chtít luštění šifry v pohodlí zrekapitulovat, můžeme dnes okopírovat zašifrovaný text
z uvedené webovské stránky http://www.gothic.net/poe/works/goldbug.txt, uložit ve Wordu, provést dvě
výše uvedené opravy a pak jednotlivé znaky nahrazovat wordovským povelem Zaměnit z menu Úpravy).
Nahradíme -li tedy 8 písmenkem e, obdržíme
53++!305))6*;4e26)4+.)4+);e06*;4e!e`60))e5;;]e*;:+*e!e3(ee)5*!;
46(;ee*96*?;e)*+(;4e5);5*!2:*+(;4956*2(5*-4)e`e*;40692e5);)6
!e)4++;1(+9;4e0e1;e:e+1;4e!e5;4)4e5!52ee06*e1(+9;4e;(ee;4(+?3 4;4e)4+;161;:1ee;+?;
Využijeme -li toho, že v textu by se mohl opakovat anglický určitý člen the a povšimneme -li si, že se
v původní šifře opravdu vyskytovalo sedm skupin ;48, pak můžeme předpokládat, že středník ; znamená
t, 4 znamená h, 8 (jak jsme již vyzkoušeli) znamená e. Po provedení záměn dostaneme
53++!305))6*the26)h+.)h+)te06*the!e`60))e5tt]e*t+*e!e3(ee)5*!t h6(tee*96*?te)*+(the5)t5*!2:*+(th956*2(5*h)e`e*th0692e5)t)6 !e)h++t1(+9the0e1te:e+1the!e5th)he5!52ee06*e1(+9thet(eeth(+?3
hthe)h+t161t:1eet+?t
2.5 Rozluštění 3
Řešení E. A. Poea pak využívá skupiny znaků téměř na konci šifry, kterou autor tohoto článku
zvýraznil tučně. Nejprve se oddělí poslední th, protože tato písmena zjevně nepatří jedinému slovu.
Máme pak posloupnost thet(ee a po rozdělení na dvě slova the t(ee již vidíme, že druhé slovo je tree
(strom) a že ( bude nutné nahradit písmenkem r:
53++!305))6*the26)h+.)h+)te06*the!e`60))e5tt]e*t:+*e!e3ree)5*!t
h6rtee*96*?te)*+rthe5)t5*!2:*+rth956*2r5*-h)e`e*t h0692e5)t)6
!e)h++t1r+9the0e1te:e+1the!e5th)he5!52ee06*e1r+9 the tree thr+?3h the)h+t161t:1eet+?t
Svou šanci již nepustíme − ve zvýrazněné oblasti šifry jsme doplnili mezery mezi anglickými slovy a
můžeme vyslovit hypotézu, že neznámé slovo v posloupnosti znaků thr+?3 h by mohlo být through, skrz.
Tím máme tři nová písmena, neboť znak + je třeba nahradit o, znak ? písmenkem u a 3 písmenem g. Po
„dosazení“ ve Wordu již máme toto:
5goo!g05))6*the26)ho.)ho)te06*the!e`60))e5tt]e*t:o*e!egree)5*!t
h6rtee*96*ute)*orthe5)t5*!2:*orth956*2r5*-h)e`e*t h0692e5)t)6
!e)hoot1ro9the0e1te:eo1the!e5th)he5!52ee06*e1ro9 the tree through the)hot161t:1eetout
a tučně zvýrazněné slovo bude zřejmě degree (stupeň), čili je třeba všude nahradit ! písmenem d. O čtyři
písmena dále se nachází další podezřelá posloupnost znaků th6rtee*, která představuje anglické slovo
thirteen (třináct). Znaky 6 a * tedy znamenají i a n. Máme teď
5goodg05))inthe2i)ho.)ho)te0inthede`i0))e5tt]ent:onedegree)5nd
thirteen9inute)northe5)t5nd2:north95in2r5n-h)e`ent h0i92e5)t)i
de)hoot1ro9the0e1te:eo1thede5th)he5d52ee0ine1ro9the tree through the)hot1i1t:1eetout
a ze zvýrazněného začátku zprávy usuzujeme, že jde o dvě slova A good (dobrý). Cifru 5 je nutno všude
nahradit písmenem a. Obdržíme
A good g0a))inthe2i)ho.)ho)te0inthede`i0))eatt]ent:one degree) and
thirteen9inute)northea)tand2:north9ain2ran-h)e`ent h0i92ea)t)i
de)hoot1ro9the0e1te:eo1thedeath)heada2ee0ine1ro9the tree through the)hot1i1t:1eetout
a doluštění zprávy již lze přenechat čtenáři.
2.6 Anglický text
Definitivní anglický text po oddělení jednotlivých slov zní:
A good glass in the bishop's hostel in the devil's seat twenty-one degrees and thirteen minutes northeast
and by north main branch seventh limb east side shoot from the left eye of the death's-head a bee-line
from the tree through the shot fifty feet out.
Hrdina povídky si ještě domyslí, že zprávu je třeba rozdělit pomlčkami v určitých místech, kde se pisatel
šifry naopak naivně snažil text zhustit, a dostane výsledný text, který uvádíme v českém překladu:
2.7 Český překlad
Dobré sklo v biskupově hospodě na ďáblově stolici − jednadvacet stupňů a třináct minut −
severoseverovýchodně − hlavní větev sedmá větev východní strana − vystřel z levého oka umrlčí hlavy −
přímo od stromu z místa dopadu na padesát stop.
Tyto informace již postačily hrdinovi příběhu k nalezení stromu a posléze i pokladu piráta Kidda. Jak to
vše proběhlo, se již může čtenář dočíst ve výše zmíněné povídce E. A. Poea.
2.8 Moderní teorie šifrování
Půvabná „pohádka pro dospělé“, avšak ve vojenství šlo zpravidla o mnohem vážnější věci. Do
luštění šifer se leckdy zapojili i významní matematici. Kupř. François Vičte (1540 −1603) rozluštil kód,
užívaný španělskými vojsky ve Francii. Ve druhé světové válce užívali Němci šifrovací stroj nazývaný
ENIGMA. Prolomení tohoto kódu skupinou britských zpravodajců vedenou Alanem Turingem bylo
podstatné pro vítězství Spojenců v severním Atlantiku, kde německé ponorky ohrožovaly konvoje
spojeneckých lodí. V Tichomoří zase rozluštění japonského kódu před bitvou u atolu Midway přineslo
Američanům velkou výhodu, kdy dokázali potopit 4 japonské letadlové lodi a sami ztratili jen jednu.
Admirál Nimitz o tom ve zprávě pro Washington dne 28. června 1942 napsal: „Kdybychom neměli včasné
informace o pohybech Japonců a kdybychom byli zastiženi v situaci, kdy naše letadlové lodi zůstaly
rozptýleny, bitva u Midwaye by skončila jinak“.
Lze říci, že až do začátku sedmdesátých let byla kryptografie záležitostí povýtce vojenskou,
související i se špionáží a diplomatickými službami. O teorii kódů se mnoho nepublikovalo, pokud máme
na mysli obvyklé vědecké časopisy, sborníky konferencí atd. Ovšem civilní obchodní a bankovní sféra
začala stále více využívat bezdrátový přenos dat. Mohlo jít i o citlivá data o společnostech i jednotlivcích.
Nahlédlo se, že by byl velice potřebný jednoduchý kryptografický algoritmus, použitelný pro bezpečný a
rychlý přenos dat v mnoha různých podmínkách. V listopadu 1976 byl v USA formálně přijat jako federální
standard tzv. DES (Digital Encryption Standard). Šlo o šifrovací systém s tajným klíčem. Libovolní dva
uživatelé si musejí tento klíč vyměnit ještě předtím, než si začnou vyměňovat zašifrované zprávy.
Samozřejmě, ideou je, že zašifrovanou zprávu bude velice těžké rozluštit pro každého, kdo klíč nezná.
Vlastník klíče však zprávu rozšifruje snadno.
Někdy však není jednoduché „rozdat“ tajný klíč všem lidem, kteří ho budou využívat.
V roce 1976 navrhli Diffie a Hellman principiálně novou metodu veřejného klíče pro šifrovací
systémy. Problém distribuce klíče se obešel velice elegantně − může jej znát kdokoli. Veřejný klíč je
možné kupř. zveřejnit v novinách. Systém však má i tajný klíč. Jen ten, kdo je zná tento tajný klíč, je
schopen lehce rozšifrovat text, zašifrovaný veřejným klíčem.
Skvělá idea, ale jak ji implementovat? To navrhli brzy poté Rivest, Shamir a Adleman (podle
prvních písmen jejich jmen se hovoří o RSA systému). Jejich metoda je vysoce aktuální i v souvislosti s
problematikou elektronického podpisu, obchodování na Internetu atd. Přitom se opírá o záležitosti ryze
matematické, kupř. rozkládání (faktorizace) přirozených čísel na mocniny prvočísel a jiné elementární
poznatky teorie čísel. Ideu této metody by bylo možné vyložit i středoškolským studentům v
matematickém kroužku.
2.9 RSA šifrovací metoda
RSA šifrovací metoda
Až dosud jsme se setkávali s úlohami, které jsou z výpočetního hlediska „jednoduché“, tj. existují pro
ně efektivní algoritmy. Pro počítač zjevně nebude obtížné vynásobit i veliká celá čísla. Víme rovněž, že
není problém pro danou dvojici přirozených čísel a, b najít jejich největší společný dělitel D(a, b), resp. jej
vyjádřit ve tvaru „lineární kombinace“ D(a, b) = a . u + b . v pro jistá u, v ∈ Z. Zjistili jsme také, že
„strašákem“ není ani hledání nejmenších nezáporných zbytků při dělení „velkých“ mocnin jistým
přirozeným číslem m.
Tušíme, že „neprůstřelnost“ šifrovací metody by se měla opírat o nějaký problém, který je „velice
těžký“, takže ho nepřátelé nestihnou vyřešit v omezeném čase. Řekneme -li, že RSA šifrovací metoda se
opírá o rozklad (faktorizaci) přirozených čísel, může to v první chvíli vyvolat údiv. Vždyť rozkládat
přirozená čísla v součin prvočísel se učí již žáci ZŠ, to nemůže být tak těžké. Vtip je v tom, že k rozkladu
5
dostávají jen malá přirozená čísla: rozložit kupř. 96 = 2 .3 umíme zpaměti. Zcela jinou záležitostí by však
bylo rozkládat na prvočíselné faktory číslo, které má kupř. 96 cifer. I když bylo při hledání faktorizačních
algoritmů dosaženo značného pokroku, stále není k dispozici algoritmus, který by dokázal rozkládat v
součin prvočísel „rychle“, tj. v čase závisejícím polynomiálně na počtu cifer rozkládaného čísla.
2.10 RSA 2
Jak metoda RSA funguje? Nejprve je zapotřebí převést zprávu z běžného jazyka do posloupnosti
čísel, což lze, jak již víme, snadno učinit. Obdržíme jakési číslo x. Nyní je třeba vzít dvě „veliká“ navzájem
různá prvočísla p, q. Jejich součin p.q je pochopitelně rozumné spočítat na počítači. Tento součin nebude
nijak utajován, lze jej kupř. zveřejnit v novinách.
Ten, kdo zná obě prvočísla p a q, může velice snadno spočítat hodnotu Eulerovy funkce PHI(p.q) = (p
−1) (q −1). Nyní zvolí nějaké číslo e nesoudělné s PHI(p.q) , nikoli však e = 1 nebo e = (p −1) (q −1) −1.
Toto číslo (šifrovací exponent) se též zveřejní. Každý, kdo zná čísla p.q a e, může své sdělení zašifrovat
(proto se mluví o metodě veřejného klíče). Provede to tak, že vypočte (ovšemže opět s pomocí počítače)
číslo y, pro něž platí
e
y ≡ x (mod p.q). Autor kódu si musí vypočítat ještě jedno číslo (dekódovací exponent f, „tajný“ klíč).
Nalezne jej jako řešení kongruence e.f ≡ 1 (mod PHI(p.q) ).
2.11 RSA 3
Příklad (o sázce, kterou již nevyhrajeme):
Autoři šifry (R. L. Rivest, A. Shamir, L. M. Adleman) přepsali již v r. 1978 jistou anglickou větu nám již
známým způsobem do posloupnosti cifer (A = 01, B = 02, ..., Z = 26, mezera = 00). Vzniklé číslo x mělo
78 cifer. Poté vzali dvě prvočísla p, q, přičemž jedno mělo 64, druhé 65 cifer a vynásobili je:
p.q = 114381625757888867669325779976146612010218296721242362 562 56184293
57069352457338978305971235639587050589890751475992 90026879543541.
9007
Nyní vypočetli y ≡ x
(mod p.q). Popsali celý postup, zveřejnili y =
968696137546220614771409222543558829057599911245743198746951209308162982251457083569
31476622883989628013391990551829945157815154, e = 9007 i součin p.q. Dokonce ještě navíc
prozradili, že jedno z prvočísel má v dekadickém zápisu 64, druhé 65 míst. Za vyluštění cifry nabídli 100 $
. Profesor Rivest tehdy vyslovil odhad, že k rozluštění zprávy by mělo být zapotřebí 40 kvadriliónů let.
2.12 RSA 4
K prolomení šifry došlo už v roce 1994, kdy Atkins, Graff, Lenstra a Leyland rozložili číslo p.q o 129
cifrách zpět na prvočíselné faktory p, q. Využili nový algoritmus, nazývaný metodou kvadratického síta. I
tak bylo zapotřebí využít spolupráce asi 600 lidí a cca 1600 počítačů, úlohu rozdělit a k propojení „dílčích
řešitelů“ využít síť Internet. Jen příprava této akce zabrala více než 200 dní.
My jsme ovšem ve zcela jiné situaci, neboť čísla p, q známe. Máme -li tedy přístup
k nějakému kvalitnímu programu počítačové algebry, můžeme vypočítat číslo f a dešifrovat zprávu y.
Následující řešení se opírá o možnosti programového prostředku Mathematica.
Nejprve si uložíme prvočísla p, q, která jsou známa díky obrovské práci odvedené
v r. 1994:
p=3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577
q=32769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533.
2.13 RSA 5
e
Dále si uložíme zakódované slovo y, kde y ≡ x (mod p.q), a ovšem i veřejný klíč
e = 9007:
y=9686961375462206147714092225435588290575999112457431987469512093081629822514570835
6931476622883989628013391990551829945157815154
Vypočteme hodnotu Eulerovy funkce w =PHI(p.q) = (p − 1) (q − 1):
w=(p-1)*(q-1)
114381625757888867669235779976146612010218296721242362562561842899447272741619537331
487285753220345512393667541112959643090434432
Najít „tajný klíč“ f tedy vlastně znamená vyřešit kongruenci e.f ≡ 1 (mod w), tj. najít inverzní prvek
vzhledem k operaci násobení v okruhu Z k číslu e.
w
Zadejme proto
PowerMod[e,-1,w]//Timing
{0.Second,
1066986143685780244428687713289201547807099066339378628012
26224496631063125911774470873340168597462306553968544513277109053606095}
Vidíme, že počítač vydá číslo f takřka okamžitě! Označme si získané číslo písmenem f.
Tajný klíč jsme slavně našli a teď již můžeme přistoupit k dešifrování slova y. Hledáme číslo x, které je
f
nejmenším nezáporným zbytkem při dělení mocniny y číslem w. Zadáme proto povel, kterým si nejen
necháme vypočítat číslo x, ale i změřit čas, a dostaneme (čas se ovšem může měnit v závislosti na typu
počítače a jiných okolnostech, ale podstatné je, že nahlédneme, že se znalostí prvočísel p, q je
dešifrování záležitostí krátké chvíle):
x=PowerMod[y,f,p*q]//Timing
{0.27Second,200805001301070903002315180419000118050019172105011309190
800151919090618010705}
Nakonec můžeme snadno provést dekódování do anglické abecedy (i tato činnost by se ovšem dala
naprogramovat). Obdržíme větu The magic words are squeamish ossifrage.
3 O vývoji algebry
3.1 Sylvester
n
n−1
Definice: Nechť f(x) = an x + an−1 x
m
m−1
+ ... + a1 x + a0 a g(x) = bm x + bm−1 x
+ ... + b1 x + b0 jsou dva
polynomy z T[x] , kde T je komutativní těleso. Sylvesterovou maticí polynomů f(x), g(x) nazýváme
čtvercovou matici typu (m + n, m + n), mající v prvních m řádcích koeficienty a , i = n, n −1, ..., 0 polynomu
i
f, vždy však „posunuté o jedno místo vpravo“ a obdobně v dalších n řádcích matice se vyskytují
koeficienty bj, j = m, m − 1, ..., 0. (V „neobsazených místech“ matice se píší nuly).
Definice: Rezultantem res (f(x), g(x)) polynomů f, g se nazývá determinant Sylvesterovy matice.
x
Platí následující
Věta (Sylvesterovo kritérium):
Nechť f(x), g(x) jsou dva polynomy kladných stupňů. Polynomy f(x), g(x)∈T[x] jsou dělitelné
nekonstantním společným dělitelem v T[x] právě tehdy, když res (f(x), g(x)) = 0.
x
Povězme si více o muži, jehož jméno se zatím objevilo jen „mezi řádky“.
James Joseph Sylvester (1814 − 1897)
navštěvoval dvě základní školy v Londýně, jeho středoškolská studia proběhla na Royal Institution v
Liverpoolu a r. 1833 se stal studentem na St. John′s College v Cambridge. Závěrečné zkoušky složil jako
druhý před Georgem Greenem (4.) a Duncanem Gregorym (5.).
Tehdy se ještě vyžadovalo, aby student složil církevní přísahu (v anglikánské církvi) předtím, než byl
graduován. Sylvester byl ale Žid a odmítl přísahat, takže nemohl být graduován. Z tohoto důvodu nebyl
přijatelný ani pro Smithovu cenu ani pro Fellowship.
Z náboženských důvodů pak Sylvesterovi nezbývalo mnoho míst, kde by mohl učit, proto přijal místo
vyučujícího fyziky na University of London (jeho kolegou se stal jeho dřívější učitel Augustus De Morgan).
Ve věku 27 let konečně získal místo profesionálního matematika. Byl pozván do USA na University of
Virginia. Do Charlottesvillu přijel v závěru listopadu 1841 a s entuziasmem se pustil do výuky, která byla
rozsáhlá. První ročník měl studovat aritmetiku a algebru podle Lacroixovy učebnice; druhý ročník pak
pokračoval Legendreovou Geometrií, tj. studenti měli zvládnout trigonometrii a projektivní geometrii a
základy diferenciálního počtu. Poslední ročník měl pokračovat v diferenciálním a integrálním počtu. Navíc
by pokročilí studenti, „kteří to budou považovat za užitečné“, mohli studovat Poissonovu Mechaniku a
Laplaceovu Nebeskou mechaniku. Nabídku University of Virginia tehdy nepředčili nikde v Americe.
Sylvester byl zároveň prvním židovským profesorem v USA. Brzy se o něm kriticky vyjádřil místní časopis,
kterému vadila nejen odlišnost náboženství, ale též (správně) předpokládal, že Sylvester jakožto Angličan
bude pravděpodobně silně proti otrokářství.
Samotný Sylvester byl prudké a vášnivé povahy, byl nejen velice nadaný, ale i egocentrický a hašteřivý.
Brzy došlo k osudné události, kterou ovšem vyvolal jeden z jeho studentů. Ten již na jedné z předchozích
Sylvesterových přednášek četl noviny či jakousi knihu, odpovídal a choval se arogantně. Pak došlo k
incidentu, který je popsán reverendem R. L. Dabneym následovně:
„V Sylvesterově třídě byla dvojice bratrů, hloupých a mimořádně okázalých v chování. Když Sylvester
mladšího z nich upozornil na chyby, učiněné při přednesu, se tomuto individuu zdálo, že je dotčena jeho
čest a čest rodiny, a vyzval prof. Sylvestera, aby se ihned omluvil, jinak že bude tělesně ztrestán.
Sylvester uchopil hůl, kterou nosil, když byl napaden bratry, přičemž mladší byl ozbrojen těžkou holí.
(Sylvesterova zbraň je v anglickém textu popisována jako „sword -cane“, zřejmě tedy šlo o hůl, kterou bylo
v nebezpečí možno použít jako kord). Blízký přítel Dr. Dabneyho byl přítomen momentu střetnutí. Mladší
bratr se postavil před prof. Sylvestera a vyžadoval okamžitou a pokornou omluvu. Téměř ihned se na něj
obořil, srazil mu klobouk, a pak svou těžkou holí zasadil zničující ránu na Sylvesterovu hlavu.
Sylvester vytáhl svou zbraň a zaútočil přímo na agresora, přičemž ho zasáhl právě nad srdcem. Student
se zoufalým zavytím padl do rukou svého bratra a vykřikl: „ Jsem zabit! On mě zabil!“. Sylvester byl puzen
pryč z tohoto místa a aniž čekal na sbalení svých knih, odjel do New Yorku a nastoupil na loď do Anglie.
Zatím byl ke studentovi povolán lékař. Student byl smrtelně bledý, se studeném potu,
v kolapsu, jak se zdálo, umírající, šeptající své poslední modlitby. Lékař mu roztrhl vestu, rozřízl košili a
ihned mu sdělil, že není ani trochu zraněn. Ostrý hrot Sylvesterovy zbraně narazil na žebro a dále
neprorazil.
Když se ujistil, že zranění není o mnoho větší než po bodnutí moskyta, umírající muž vstal, upravil si
košili, zapnul vestu a odkráčel, ačkoliv se ještě stále třásl od nervového šoku.“
Nevíme přesně, kdy se Sylvester dozvěděl, že studentu neublížil. (Zdá se pravděpodobné, že profesoři
University of Virginia se byli schopni rychle sejít, protože žili v pavilónech v areálu univerzity. Snad se
pokoušeli Sylvestera přemluvit, aby neodjížděl. Dnes ale víme, jaké události následovaly (válka Severu
proti Jihu Spojené státy teprve čeká v letech 1860 − 1865, řada střetnutí se odehraje právě ve Virgínii),
zdá se tedy, že „půda byla horká“ již v době Sylvesterova pobytu a ten by dále nebyl bezpečný ani pro něj
osobně, ani pro univerzitu samu).
Celá aféra ovšem ovlivnila Sylvesterovu další kariéru. (Kupř. do Německa dorazila pověst o tom, že
Sylvester zabil studenta). Sylvester tehdy rezignoval přibližně po třech měsících učitelského působení.
Zůstal nějakou dobu bez zaměstnání a posléze se stal aktuárem a sekretářem u Equity and Law
Assurance Company v Londýně. V období 1845 − 1855 se připravoval na kariéru obhájce. Dával sice
hodiny matematiky, ale matematika jako věda by jej asi ztratila. Šťastnou shodou náhod byl v téže době v
Lincoln′s Inn obhájcem a právníkem Arthur Cayley (1821 − 1895). Během společných procházek se
spřátelili, ačkoliv se velice lišili temperamentem, a Sylvester se k matematice vrátil. Byl to právě on, kdo
jako první použil termín „matrix“, matice, a to v r. 1851. Sylvester chápal matici jako „obdélníkové
uspořádání termů“, Cayley pak v r. 1858 publikoval důležitou práci Memoir on the theory of matrices a v ní
již lze nalézt definice základních operací s maticemi. V r. 1851 objevil Sylvester diskriminant kubické
rovnice a byl to on, kdo užil jména „diskriminant“ pro odpovídající výrazy pro kvadratickou rovnici, resp.
pro
rovnice
vyšších
stupňů.
Spolu
s Cayleym také vytvořili teorii algebraických forem.
Sylvester se snažil znovu získat místo profesionálního matematika a nakonec se vskutku stal profesorem
matematiky na Royal Military Academy ve Woolwichi (jeho žádost byla nejprve zamítnuta, ale úspěšnější
uchazeč za několik měsíců zemřel). Sylvester se rovněž stal v pořadí druhým prezidentem Londýnské
matematické společnosti (prvním byl De Morgan).
Jako člen vojenské akademie odešel Sylvester do důchodu v 55 letech. V r. 1870 vydal svou první knihu,
byla to však poezie: The Laws of the Verse, Zákony verše. (Na tuto sbírku byl zřejmě dosti hrdý, protože
se někdy podepisoval J. J. Sylvester, autor Zákonů verše). Po tři roky zanechal matematických výzkumů,
pak však navštívil Čebyšev Londýn a po jeho přednášce se Sylvester k matematice vrátil. A vrátil se i na
univerzitu v USA: r. 1876 se stal profesorem na Johns Hopkins University v Baltimore. V r. 1878 založil
časopis American Journal of Mathematics, který velmi přispěl k rozvoji vědecké práce v matematice v
USA.
Samotný Sylvester napsal stovky článků. Jeho ohnivost a prudkost je patrná i na nich − jsou plné
poznámek pod čarou, dodatků, doplňků, oprav a vylepšení důkazů, takže bylo velmi obtížné takováto díla
tisknout. Sylvester měl ve zvyku přednášet o svých výzkumech a na jeho přednáškách bylo možné
sledovat vznik těchto článků − studenti ale ve své většině preferují přehledné uspořádání látky a chtějí
úspěšně složit zkoušky. Sylvesterovou jedinou matematickou knihou je Treatise on Elliptic Functions
(1876).
Mezitím byl r. 1871 zrušen Universities Test Act, který zamezoval přístupu neanglikánských profesorů na
řadu kateder. Tak se stalo, že po smrti Smithe v r. 1883 byl Sylvester, ačkoli byl již 68 let stár, povolán na
slavnou seveliánskou katedru geometrie v Oxfordu. V r. 1892 pak Oxford jmenoval zastupujícího
profesora a Sylvester, tou dobou již částečně slepý a trpící ztrátou paměti, odešel do Londýna, kde prožil
své poslední roky.
Snad by mohla být zajímavá následující hříčka, kterou Sylvester zaslal do Educational Times: Mám velký
počet známek v hodnotách 5 a 17 pencí. Jaká je největší hodnota, kterou nemohu utvořit kombinací
těchto dvou hodnot? (63 pencí).
3.2 o vývoji algebry
Jeden klasický problém algebry. Vznik „moderní“ algebry.
Takzvaná „klasická“ algebra se všeobecně chápe jako teorie rovnic. Lze ji též zhruba charakterizovat jako
„umění“ řešit numerické problémy pomocí „operací se symboly“. I když počátky „symbolické“ algebry
sahají až k Diofantovi z Alexandrie (cca 250 n. l.), vznikla klasická algebra zásluhou Al-Chvarizmího a
dalších islámských matematiků v letech 800 − 1000 n. l. Tento fakt má pozoruhodné historické souvislosti.
Po r. 622, kdy odešel Mohamed z Mekky do Mediny, kde nalezl podporu, získává rychle stoupence nové
monoteistické náboženství − islám. Vzhledem k tomu, že za přední povinnost muslimů se považuje boj za
víru, nepřekvapí, že v průběhu necelého staletí vybudovali Arabové obrovskou říši, zahrnující jižní
Španělsko (kontakt s evropskou civilizací), severní Afriku, Přední Asii, část Střední Asie a severozápad
Indie (kontakt s indickou kulturou). Důležitou kulturně − historickou roli pak sehráli zejména bagdádští
kalifové. Kupř. Hárún ar-Rašíd (786 − 809) založil velkou knihovnu, kterou nechal doplňovat rukopisy z
celého tehdejšího světa. Jeho zástupce al-Mamún (813 − 833) založil tzv. Dům moudrosti, tj. jakousi
„akademii věd“ a doplnil ji astronomickou observatoří. Matematici, kteří zde pracovali, měli možnost nejen
navázat na dědictví řecké matematiky, ale poznali i matematiku obsazených oblastí (Egypt, Mezopotámie)
a matematiku Indie. Arabští učenci tak sehráli důležitou úlohu, neboť uchovali starší poznatky v době
kulturního úpadku tehdejší Evropy a rozmnožili je. Nejvýznamnějším z těchto matematiků byl Abú
Abdulláh
Muhammad
ibn
Músá
al-Chorezmí al-Mádzúsí (žil zhruba v letech 780 − 850). Pocházel z Chórezmu (město u řeky Amu-Darji).
(Zajímavé také je, že polatinštěním slov al-Chorezmí vzniklo dnešní slovo algoritmus).
Pro evropskou kulturu byl asi nejdůležitější jeho aritmetický traktát, který se pravděpodobně nazýval Kniha
o
sčítání
a
násobení
podle
indického
počtu.
Zachoval
se
jen
v překladech do latiny, ale silně ovlivnil středověké evropské počítání: užívá se devíti indických znaků pro
číslice a kruhu připomínajícího písmeno o pro nulu a je zde podrobně vysvětleno, jak provádět nejen čtyři
základní aritmetické operace, ale i pracovat se zlomky a jak počítat druhou odmocninu.
Pro rozvoj algebry je důležitý al-Chorezmího algebraický traktát Al-kitab al-muchtasar fí hisáb al-džabr
wa-l-muqábala (Krátká kniha o počtu připočítáváním a porovnáváním). Algebraická část traktátu je
věnována řešení lineárních a kvadratických rovnic s celočíselnými koeficienty. Operace „al-džabr“
odstraňuje z rovnice člen se záporným znaménkem tím, že se k oběma stranám rovnice odpovídající člen
připočítá. Ze slov označujících tuto operaci vzniklo dnešní slovo algebra.
Hlavní idea klasické algebry spočívá v tom, že každé slovní tvrzení o číselných veličinách nahradíme
rovnicí obsahující symboly, kterou můžeme podle známých a dokázaných všeobecných pravidel
upravovat tak, že dostáváme posloupnost ekvivalentních (a stále jednodušších) rovnic. Původní rovnici
pokládáme za vyřešenou, jestliže se nám podařilo osamostatnit na jedné straně znaku rovnosti neznámou
veličinu, zatímco na druhé straně je výraz obsahující jen známé veličiny. Cesta k takovémuto pojetí byla
ovšem obtížná (přechod od slovního vyjádření k symbolickému zápisu, chápání čísla 0, pochopení
významu záporných čísel, rozvoj algebraické symboliky).
Klíčově důležitým algebraickým problémem je pochopitelně otázka řešitelnosti algebraických rovnic, tj.
rovnic tvaru
a x +a x
n
n−1
n
n−1
+ ...+ a x + a0 = 0, an ≠ 0.
1
Nejjednodušší případy těchto rovnic − rovnice prvého a druhého stupně − uměli řešit již babylónští
matematici zhruba před 4 000 lety. Samozřejmě, že tehdy neznali dnešní matematickou symboliku, a
proto zapisovali rovnici i proces jejího řešení slovně. Dnes jsou příslušné vzorce známy každému studentu
střední školy.
Povšimněme si, že v obou případech je možné nalézt kořeny ze vzorce, v němž se vyskytují pouze
koeficienty dané rovnice a v němž jsou užity jen základní početní operace (sčítání, odčítání, násobení,
dělení) a též odmocňování; protože se pro odmocninu tradičně užíval pojem radikál, hovoříme o
vyjádření kořenů algebraické rovnice v radikálech.
Teprve po roce 1500 bylo dosaženo rozhodujícího pokroku při řešení kubických rovnic, a to v Itálii. Zdá
se, že první (okolo r. 1515) nalezl metodu řešení kubických rovnic profesor univerzity v Bologni Scipione
del Ferro (1465 − 1526). Nezávisle na něm (okolo r. 1537) objevil metodu řešení kubických rovnic
Niccoló Fontana, řečený Tartaglia (asi 1499 − 1557). Jako první však publikoval vzorec pro řešení
kubické rovnice Gerolamo Cardano (1501 − 1576). Historikové matematiky mají za to, že Cardano znal
výsledky Tartaglii i Scipione del Ferra.
Především bylo již tehdy známo, že v obecné kubické rovnici lze vhodnou substitucí odstranit kvadratický
člen. Postačuje tedy umět vyřešit rovnici
3
x + a x + b = 0.
3
3 + a x + b = 0,
x + a x = b, x3 + b = a x, x3 = a
Italští matematikové však rozlišovali čtyři případy (rovnice x
+ b), a to proto, že jejich postup řešení se opíral o geometrické představy, při nichž bylo potřeba, aby
x
koeficienty a, b byly kladnými čísly.
Jak již víme, označíme -li v (1) x = u + v a položíme -li
3 u v + a = 0, obdržíme pro kořen rovnice (1)
vyjádření x = u+ v, které se nazývá Cardanovým vzorcem, ačkoli Cardano, jak řečeno, byl pouze tím, kdo
jej zveřejnil, nikoli objevil.
V celé problematice řešení kubických rovnic zůstávalo ještě mnoho nejasného. Případ, kdy < 0, (tzv.
casus irreducibilis), který vede k odmocninám ze záporných čísel, vedl postupně ke studiu „odmocnin ze
záporných čísel“, tj. čísel komplexních. Nahlížíme však, že i kořeny kubické rovnice lze vyjádřit pomocí
radikálů.
V Cardanově práci Ars magna již byla obsažena i metoda pro řešení algebraické rovnice čtvrtého stupně.
Příslušný vzorec nalezl Cardanův žák Ludovico Ferrari. Postupně se tedy podařilo dokázat, že kořeny
rovnic prvého, druhého, třetího i čtvrtého stupně lze vypočítat ze vzorců, které tyto kořeny vyjadřují z
koeficientů rovnice pomocí čtyř základních operací a pomocí „vzetí odmocnin“, tzv. radikálů.
V průběhu následujících staletí se matematici snažili nalézt vzorce pro řešení algebraických rovnic
pátého a vyšších stupňů v radikálech.
Mnohé nejasnosti ovšem zůstávaly i u dříve získaných vzorců pro řešení algebraických rovnic nižších
stupňů − kupř. již zmíněný „casus irreducibilis“ kubické rovnice. Nejprve se podařilo dát názorný význam
záporným číslům (užití algebry v analytické geometrii). Zhruba až do r. 1750 však zůstal nejasný význam
imaginárních kořenů. Poté ale nastal výrazný rozvoj klasické algebry (Lagrange, Euler, Gauss). K. F.
Gauss (1777 − 1855) podal několik důkazů tzv. základní věty algebry, podle níž má každý polynom
kladného stupně s komplexními koeficienty v tělese komplexních čísel alespoň jeden kořen. Odtud již
snadno vyplývá známý důsledek, že každý polynom f(x) ∈ C[x] stupně n > 0 má v množině komplexních
čísel C právě n kořenů, počítáno i s násobností.
Stále se ovšem nedařilo splnit nahoře uvedený cíl, totiž nalézt vzorec pro řešení algebraických rovnic
pátého a vyšších stupňů v radikálech, i když bylo jasné, že v určitých zvláštních případech je možné
kořeny v požadovaném tvaru zapsat (např. pro binomické rovnice).
Teprve norský matematik Niels Henrik Abel (1802 − 1829) ukázal, že již u rovnic pátého stupně existují
rovnice neřešitelné v radikálech a stejně je tomu i u rovnic vyšších stupňů. Je tedy marné hledat obecný
vzorec pro řešení těchto rovnic v radikálech. (Kořeny takovýchto rovnic lze ovšem vyčíslit metodami
numerické matematiky s danou přesností).
Bylo ale ještě nutné přesně popsat „podtřídu“ algebraicky řešitelných rovnic, tj. těch rovnic, jejichž všechny
kořeny jsou vyjádřitelné pomocí radikálů. Tento úkol vyřešil francouzský matematik Evariste Galois (1811
− 1832).
Důležitá myšlenka Galoisovy teorie spočívá ve využití tzv. automorfismů těles. Automorfismem tělesa T
rozumíme vzájemně jednoznačné zobrazení σ: T →T takové, že pro všechna x, y ∈ T platí σ(x + y) = σ(x)
+ σ(y), σ(x.y) = σ(x).σ(y). Kupříkladu tedy automorfismem tělesa všech komplexních čísel C je kromě
identického zobrazení též zobrazení ϕ(a + b i) = a − b i. Je dobré si uvědomit, že zobrazení ϕ v tomto
případě „ponechává na místě“ všechny prvky tělesa R, tj. reálná čísla.
Obecně je možné ke každému polynomu f(x) ∈ T[x] nalézt Galoisovu grupu rovnice f(x) = 0, a to
dokonce i bez znalosti kořenů této rovnice. Přitom rovnice f(x) = 0 je řešitelná v radikálech právě tehdy,
když Galoisova grupa příslušné rovnice má jisté vlastnosti (je tzv. řešitelnou grupou). Třída všech
řešitelných grup je dnes dobře popsána.
Problém řešitelnosti algebraických rovnic v radikálech měl velký význam pro rozvoj algebry samé.
Pozornost algebraiků se obrátila od teorie rovnic k nenumerickým problémům. Došlo ke vzniku tzv.
„moderní“ algebry. Ta rozpracovává nejen oblasti, kterých se dotýká Galoisova teorie, ale i mnoho témat
dalších.
Viděli jsme, že Galoisova teorie byla jedním z podnětů k rozvoji moderní algebry. Rychle se rozvíjela
teorie grup (její základy položili Joseph-Louis Lagrange (1736 − 1813) − známá Lagrangeova věta,
Ruffini, Galois, Cauchy). Byla uznána a rozvíjena Galoisova teorie a v závěru 19. století byly získány
klasické výsledky o konečných grupách (Sylowovy věty, Jordan - Hölderova věta). Rozvíjela se teorie
tělesa o pk prvcích provedl E. Galois).
těles (konstrukci konečného
Další podněty k rozvoji moderní algebry přišly z oblasti teorie čísel. Hlubší studium komutativních okruhů
je spojeno se jmény K. F. Gauss či Adrien-Marie Legendre. Studovány byly nejprve okruhy zbytkových
tříd Zn, resp. tzv. celých Gaussových čísel Z[i]. Hlubší studium otázek spojených s dělitelností přivedlo J.
W. R. Dedekinda (1831 − 1916) k tzv. teorii ideálů. Po r. 1850 též zesílilo studium nekomutativních okruhů
(1843 Hamiltonova konstrukce kvaternionů, Cayley, Grassmann); lineárních asociativních algeber
(Frobenius, Cartan, Wedderburn).
V závěru 19. století se silně prosadil axiomatický přístup (1888 G. Peano − axiomatizace aritmetiky, 1898
Hilbert − axiomatizace geometrie). Dospělo se k poznání, že malý počet axiomů může být základem pro
velice obsáhlé teorie (teorie grup, těles, Booleova algebra).
Ve 20. století byly studovány otázky bezespornosti, resp. úplnosti soustav axiomů (Gödel). Posun od
„klasické“ algebry reálných a komplexních čísel k „moderní“ algebře, studující operace na libovolných
množinách, byl registrován matematickou komunitou a projevil se např. tím, že slavná van der
Waerdenova kniha „Moderne Algebra“ se v pozdějších vydáních jmenovala již jen Algebra. Vznikly i nové
vysokoškolské učebnice „nové“ algebry (Mac-Lane, Birkhoff: A Survey of Modern Algebra). Bourbakisté
(cca
1945
−
1955)
se
v mnohasvazkovém díle pokusili vystavět celou matematiku z pojmů množina a funkce. Měli posléze ve
zprostředkované formě i velký vliv na výuku školské matematiky („množinové pojetí“).
Po r. 1960 dochází k nástupu počítačové éry a to má vliv na další rozšíření oblastí, které studuje algebra:
teorie automatů, Turingovy stroje, kombinatorická algebra, nová numerická algebra atd.
Jak již bylo řečeno, ambicí předkládaného textu pochopitelně není výklad Galoisovy teorie. V moderních
programech počítačové algebry jako je Maple či Mathematica však můžeme nalézt některé povely,
které objasní, jak veliké pokroky učinila v posledních letech „komputativní“ algebra: mnohé obtížné
záležitosti, mezi něž patří kupř. výpočet Galoisovy grupy polynomu, jsou algoritmizovány.
3.3 počítačové důkazy
Načrtněme si obecný trojúhelník ABC, ale jeho vrcholy vhodně umístěme do kartézské soustavy
souřadné. Vrchol A umísťeme právě do jejiho počátku O. Vrchol B trojúhelníka nechť leží na ose x.
konečně vrchol C umístěme někam do horní polorovinyvymezené osou x. Jak je běžné, označme délky
stran tohoto trojúhelníka písmeny a, b, c. Při tomto označení má vrchol A souřadnice 0,0, vrchol B
souřadnicec, 0 a vrchol C souřadnice x, y.
2
2
2
2
2
2
zřejmě platí vztahy x + y = b , ( c - x) + y = a a obsah P trojúhelníka ABC je P = 1/2 c y. Pro další
výpočet můžeme využít kupř. program CoCoA, který je volně stažitelný a má elektronický manuál (totéž
platí o programu Singular). Sdělíme programu CoCoA, s jakými proměnnými má počítat, přičemž za
proměnnou pro obsah volíme malé p. Po zapsání ideálu I generovaného našimi relacemi požádáme o
provedení eliminace parametrů x, y.
Use S ::= Q[x,y,a,b,c,p];
I := Ideal(x^2+y^2-b^2,(x-c)^2+y^2-a^2,2p-cy);
Elim(x..y,I);
Ideal(1/2a^4 - a^2b^2 + 1/2b^4 - a^2c^2 - b^2c^2 + 1/2c^4 + 8p^2)
2
4
Nalezený eliminační ideál je generován polynomem, který je velmi zajímavý. Vyjádříme z něj 16 p = - a 2 2
2
b4 - c4 + 2 a2 b2 + 2 a2 c2 + 2 b c a provedeme -li ještě faktorizaci pravé strany, obdržíme 16 p = (a + b +
c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c). Po vydělení šestnácti a odmocnění již vidíme, že při označení s =
1/2(a+b+c)platí vztah
P = Sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)), což je Heronův vzorec.
Získali jsme jeho počítačový důkaz.