Keplerova rovnice

Komentáře

Transkript

Keplerova rovnice
Téma: Souvislost eliptického pohybu s kruhovým
pohybem - Keplerova rovnice
Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Polární ohnisková rovnice elipsy umožňuje při znalosti parametru elipsy p, její numerické výstřednosti ε a úhlové odchylky ϕ průvodiče bodu od průvodiče pericentra (tzv.
pravá anomálie bodu) určit okamžitou vzdálenost r bodu od středu centra ve tvaru
r(ϕ) =
p
.
1 + ε cos ϕ
Abychom mohli popsat polohu bodu na nebeské sféře, potřebujeme znát závislost pravé
anomálie ϕ na čase t uplynuvším od okamžiku posledního průchodu bodu pericentrem.
Tato závislost je poměrně komplikovaná a silně závislá na numerické výstřednosti ε
elipsy. Pro její určení je potřeba definovat pojem, který uvádí do souvislosti eliptický
pohyb se speciálně definovaným kruhovým pohybem.
y
a
La
ka
b
Lb
E
kb
r
L
ϕ
F b
a
x
Obrázek 1:
Mějme tedy eliptickou dráhu (obr.1) o poloosách a a b. Zaveďme kartézskou souřadnicovou soustavu (S, x, y) s počátkem ve středu elipsy a s osami splývajícími s osami
elipsy. Zaveďme dále polární souřadnicovou soustavu (F, r, ϕ) podle obrázku. Definujme
kružnici ka se středem S o poloměru a a kružnici kb s týmž středem o poloměru b. K
bodu L=[x, y] = [r, ϕ] na elipse definujme na kružnici ka bod La o stejné x−ové souřadnici jako bod L a na kružnici kb bod Lb o stejné y−ové souřadnici jako bod L (obr.1).
Potom platí tvrzení: Přímka spojující body La a Lb prochází počátkem S.
Ověření: Protože body La a Lb leží na svých kružnicích, jsou jejich souřadnice tvaru
La = [x,
√
q
a2 − x2 ] ; Lb = [ b2 − y 2 , y] .
1
Tvrzení bude dokázáno, ověříme-li, že přímky SLa a SLb svírají s kladně√orientovanou
2
2
osou x stejný úhel, tedy že mají stejnou směrnici. Muselo by tedy platit a x−x =
= √ 2y 2 . Násobíme-li tuto rovnici společným jmenovatelem a umocníme-li ji na druhou,
b −y
dostaneme
(a2 − x2 )(b2 − y 2 ) = x2 y 2 ⇔ b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 .
To je středová kartézská rovnice elipsy. Protože bod L= [x, y] leží na elipse, je tvrzení
ověřeno.
Dokázali jsme tedy, že body La a Lb mají společný průvodič. Jeho odchylka E od kladně
orientované osy x (tedy od průvodiče pericentra) se nazývá excentrická anomálie
bodu. Při pohybu bodu L po elipse (mění se pravá anomálie ϕ) se body La a Lb pohybují
po svých kružnicích (mění se excentrická anomálie E). Odvodíme nyní závislost E(t).
Z obrázku 1 plyne
a cos E − e = r cos ϕ ,
b sin E = r sin ϕ .
(1)
√
(2)
V těchto výrazech je a a b (po řadě) délka hlavní a vedlejší poloosy elipsy a e = a2 − b2
její délková výstřednost. Jsou to konstanty, zatímco veličiny E, r a ϕ jsou časově proměnné. Derivujme rovnice (1) a (2) podle času. Získáme rovnice
dE
dϕ dr
= −r sin ϕ
+
cos ϕ ,
dt
dt
dt
dϕ dr
dE
= r cos ϕ
+
sin ϕ .
b cos E
dt
dt
dt
Násobme rovnici (1) rovnicí (4) a rovnici (2) rovnicí (3). Dostaneme
−a sin E
(3)
(4)
dE
dE
dϕ
dr
− eb cos E
= r2 cos2 ϕ
+ r sin ϕ cos ϕ ,
(5)
dt
dt
dt
dt
dϕ
dr
dE
= −r2 sin2 ϕ
+ r sin ϕ cos ϕ .
(6)
−ab sin2 E
dt
dt
dt
Odečtením rovnice (6) od rovnice (5) s ohledem na základní vlastnost goniometrických
funkcí získáme
ab cos2 E
ab
dE
dE
dϕ
− eb cos E
= r2
,
dt
dt
dt
odkud
dϕ
dE
(1 − ε cos E) = r2
.
(7)
dt
dt
Podle II. Keplerova zákona ovšem r2 dϕ
= 2w (w je plošná rychlost bodu), takže (7) se
dt
přepíše na konečný tvar
ab
2w
dE
=
= konst .
dt
ab
To je diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými pro neznámou
funkci E(t). Protože pro čas t = 0 se bod L nachází v pericentru, kde je zřejmě E = 0,
budeme uvažovat počáteční podmínku E = 0 pro t = 0. Separací proměnných a integrací
mezi počáteční podmínkou a obecnými hodnotami v horní mezi máme
(1 − ε cos E)
2
Z
0
E
(1 − ε cos E)dE =
2w Z t
dt ,
ab 0
odkud
w
· t.
(8)
ab
Podle II. Keplerova zákona je wT = πab, kde T je doba oběhu bodu kolem centra.
w
= 2 Tπ , takže po dosazení do (8) máme
Odtud 2 ab
E − ε sin E = 2
t
.
(9)
T
Při znalosti ε a T je pro libovolný čas t ∈ h0, T ) (9) transcendentní rovnicí pro excentrickou anomálii E. Říkáme jí Keplerova rovnice. Její řešení je možno určit pouze
přibližně, iterační metodou tvaru
E − ε sin E = 2π
t
; i = 1, 2, . . . .
T
Protože E má význam úhlu a probíhá interval h0, 2π), lze za nultou iteraci vzít např.
E0 = π. Další iterace pak určujeme jako
Ei−1 − ε sin Ei = 2π
Ei−1 − 2π Tt
.
(10)
ε
Pokud tento proces konverguje, je lim Ei řešením rovnice (9). Ukazuje se, že pro liboi→∞
volné t ∈ h0, T ) iterační proces konverguje.
Ei = arcsin
Poznámka: Pro ε = 0 (tedy pro pohyb bodu po kružnici) má Keplerova rovnice triviální
· t. Jedná se o rovnoměrný kruhový pohyb úhlovou rychlostí ω = 2π
. Při
tvar E = 2π
T
T
tomto speciálním případě zřejmě pravá a excentrická anomálie jsou trvale totožné. Čím
větší je numerická výstřednost ε elipsy, tím více se graf E(t) odlišuje od přímky popisující
kruhový pohyb. Pro různá ε jsou zmíněné grafy znázorněny na obr.2.
Poznámka: Na rovnici (9) lze rovněž nahlížet jako na grafické určení průsečíku křivek
y = 2π Tt + ε sin E a y = E v souřadnicové soustavě (E, y) při zadaném pevném čase
t ∈ h0, T ) (obr.3). Volíme E0 = π a určíme argument E, pro který 2π Tt + ε sin E = π,
tedy určíme
E0 − 2π Tt
.
E1 = arcsin
ε
Provedli jsme tím první iterační krok procesu (10), jenž jest graficky znázorněn na
obr.3. Podobným způsobem je tam znázorněn ještě druhý iterační krok. Postupnou
změnou času t po kroku ∆t získáme tak bod po bodu závislost E(t) uvedenou na obr.2.
Nyní odvodíme závislost ϕ(E). Z rovnice (1) plyne
a(cos E − ε) = r cos ϕ .
Dosaďme do této rovnice z polární ohniskové rovnice elipsy r =
metr elipsy. Dostaneme
p cos ϕ = a(cos E − ε)(1 + ε cos ϕ) .
Osamostatněním výrazu cos ϕ a rozšířením zlomku výrazem
3
1
a
p
,
1+ε cos ϕ
kde p je para-
dostaneme
Excentricka anomalie na case
7
ε=.1
ε=.2
ε=.5
ε=.9
6
excentricka anomalie E [rad]
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
zlomek doby periody t/T
0.7
0.8
0.9
1
Obrázek 2:
y rad
2π
y=E
t
+ε
T
t
y = 2π T + ε sin E
2π t
T
E1 E2 π = E 0
2π
E rad
Obrázek 3:
cos ϕ =
Podle definice ale je
p
a
cos E − ε
.
− ε(cos E − ε)
p
b2
a2 − e2
= 2 =
= 1 − ε2 .
a
a
a2
Po dosazení do předchozí rovnice vznikne
cos ϕ =
cos E − ε
.
1 − ε cos E
Protože funkce arkuskosínus má funkční hodnoty z intervalu h0, πi, dostáváme odtud
závislost pravé anomálie na excentrické jako
ϕ = arccos
cos E − ε
pro E ∈ h0, πi ,
1 − ε cos E
4
(11)
ϕ = 2π − arccos
cos E − ε
pro E ∈ hπ, 2πi .
1 − ε cos E
(12)
Poznámka: Pro ε = 0 (tedy pro pohyb bodu po kružnici) mají rovnice (11) a (12)
triviální tvar ϕ = E. Jedná se o rovnoměrný kruhový pohyb, kdy pravá a excentrická
anomálie jsou trvale totožné. Čím větší je numerická výstřednost ε elipsy, tím více se
graf ϕ(E) odlišuje od přímky popisující kruhový pohyb. Pro různá ε jsou zmíněné grafy
znázorněny na obr.4.
Prava anomalie na excentricke
ε=.1
ε=.2
ε=.5
ε=.9
6
prava anomalie φ [rad]
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
excentricka anomalie E [rad]
5
6
Obrázek 4:
Spojením závislosti E(t) vzniklé postupným řešením Keplerovy rovnice a závislosti
ϕ(E) vznikne složená závislost ϕ(t), která jest pro různé numerické výstřednosti ε elipsy
znázorněna na obr.5. Odchylka od přímky charakterizující kruhový rovnoměrný pohyb
je pro pevné ε ve všech časech úměrně větší než u obou předchozích závislostí.
Prava anomalie na case
7
ε=.1
ε=.2
ε=.5
ε=.9
6
prava anomalie φ [rad]
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
zlomek doby periody t/T
Obrázek 5:
5
0.7
0.8
0.9
1

Podobné dokumenty

keplerova rovnice

keplerova rovnice [1] ŠVEJDA, Antonín. Kepler a Praha. Praha: Národní technické muzeum, 2004, 78 s. ISBN: 80-7037-130-7 [2] VANÝSEK, Vladimír. Základy astronomie a astrofyziky. 1. vyd. Praha: Academia, 1980, 541 s. ...

Více

Rozbor řešení grantového projektu a celkové shrnutí Mobile robot

Rozbor řešení grantového projektu a celkové shrnutí Mobile robot 2) Ideový návrh podvozku se speciálním zavěšením kol  Byla vypracována idea kolového podvozku, doplněná řiditelným zavěšením kol na poloosách tak,  aby  se  poloosy  mohly  řídit  ve  směru  nahoru...

Více

Historie analytické geometrie

Historie analytické geometrie Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento projekt je spolufinancován...

Více

pdf - Kvaternion - Vysoké učení technické v Brně

pdf - Kvaternion - Vysoké učení technické v Brně a „Úplné Maxwellovy–Lorentzovy rovnice v cgs a SIÿ) prozrazují i jeho původní vědeckou profesi, fyziku. Další dva články tohoto dvojčísla představují v jistém smyslu protipól zmíněných tří příspěvk...

Více

Vzorce a recepty nebeské mechaniky

Vzorce a recepty nebeské mechaniky v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu), u – úhlová rychlost (= dv/dt), e – numerická výstřednost dráhy (excentricita), p – parametr dráhy, G – univerzální gravita...

Více

Kolový nakladač

Kolový nakladač paliva při nedostatečném tlaku motorového oleje, a působí tím jako ochrana při spouštění za studena a jako systém zajišťující předmazání. Vzduchem chlazený mezichladič plnicího vzduchu (ATAAC). Tvo...

Více