docČíslo 1/2014 - téma: Matematika
download 
Stížnost Transkript
Číslo 1/2014 - téma: Matematika
II. ročník 1/2014 Milí čtenáři, je tady druhé FORTe! Tentokrát je jeho tématem matematika. Tedy předmět, který ve školách nepatří k nejoblíbenějším. Ale snad vám články, které v něm najdete, pomohou pochopit, že matematika je určitým způsobem součástí téměř všech vědních oborů a patří neoddělitelně k běžnému životu každého z nás. Jak jsme upozorňovali již v minulém čísle, matematika (jak se někteří vědci domnívají) není věda, která by zkoumala něco konkrétního, hmatatelného, jako jiné přírodovědné obory. Je to spíše metoda, způsob, jak pracovat s věcmi kolem nás a lépe je pochopit. A tak se při čtení dozvíte třeba o tom, že vám matematika může pomoci při studiu cizích jazyků, že je součástí náboženství i víry, že se její postupy uplatňují v geografii, balistice, ale i hudbě a výtvarném umění. Čeká na vás také spousta matematických kvízů, hádanek a dalších zajímavostí. Takže pěkné počtení! Váš časopis FORTe Matematika učí myslet a rozhodovat ....................................................3 Zajímavosti z matematiky ............................6 Pevnostní stavitelství ................................8 Pythagoras .....................................................10 Pomóóóóc! Chemické výpočty ...................11 Geoinformatika ...........................................12 Marihuana! Droga, nebo lék? ..................14 Matematické kvízy .......................................15 Víte, co je balistika? ......................................16 Vyčistěte si mince Coca-Colou .....................18 Kolik rozměrů má moje architektura ..................................20 Husí krky ........................................................22 Dokonalé vejce ..............................................23 Komiks: Einstein ..........................................24 Logické úlohy ................................................26 Souvisí matematika s vírou v jednoho Boha? ..............................30 Statistika se týká i jazyka ............................32 Kaleidoskop ................................................34 Umělec, nebo matematik? ..........................36 Co nevíte o matematicích ...........................39 Kvíz ..................................................................40 Přestože děti nemají obvykle ve škole matematiku příliš rády, málokdo pochybuje o tom, že je potřebná. Bez matematiky by nefungovalo skoro nic. A právě o potřebě učit se matematice a o tom, pro co všechno je důležitá, jsme mluvili s profesorem Vilémem Novákem a profesorkou Irinou Perfiljevovou z Centra excelence IT4Innovations, Ústavu pro výzkum a aplikace fuzzy modelování při Ostravské univerzitě. Mohl byste vysvětlit, co je fuzzy modelování, fuzzy logika a fuzzy množiny, tedy hlavní oblasti vašeho vědeckého zájmu? V. N.: Studenti znají z matemtiky pojem množina. Taková hrubá představa je, že jde o soubor prvků, ke kterým existuje určitá vlastnost. S její pomocí můžeme jednoznačně rozhodnout, zda daný prvek do té množiny patří, nebo ne. Například žáci ve třídě tvoří množinu. Společnou vlastností je, že patří do stejné třídy. To je poměrně jednoduchá a jasná situace. Ty se ale v běžném životě vyskytují spíš výjimečně. Stačí se zamyslet nad tím, co znamená třeba mladý člověk. Člověk, který má 20 let, je určitě mladý. Který má 30 let, je asi mladý, ale už o tom nejsme stoprocentně přesvědčeni. Který má 40 let, ještě možná trochu mladý je, ale už to není ono, spíš jde o střední věk. Člověk, který má 50 let, tam už bychom neřekli, že je mladý. A tak dále. Vlastnost být mladý není jednoznačná. On totiž požadavek na absolutní přesnost je nepřirozený a většinou násilný a vede k řadě problémů. A právě to je motivace pro fuzzy množiny. S tímto matematickým pojmem přišel poprvé v roce 1965 americký profesor Lotfi Zadeh. Jeho myšlenka byla prostá: jestliže nejsme schopni jednoznačně rozhodnout, zavedeme nějakou funkci, která bude přiřazovat čísla mezi nulou a jedničkou. Nula bude znamenat určitě ne, jednička určitě ano, ale mezi tím jsou další stupně. Na příkladu se stářím by to bylo takto: člověk, který má 20 let, bude mít stupeň příslušnosti do fuzzy množiny mladých lidí jedna, člověk, který má 21 let, taky jedna, pak už to bude klesat. Třicetiletý bude mít třeba 0,5, čtyřicetiletý 0,1 a padesátiletý 0. Děti většinou matematika nebaví, musejí se učit poučky a současně u toho přemýšlet. Většinou si myslí, že matematiku nikdy k ničemu potřebovat nebudou. K čemu tedy matematika vlastně je? V. N.: K orientaci v běžném životě. Protože člověk, který matematikou neprošel, tak pokud není přirozený talent, není schopen pořádně 3 rozlišovat mezi důležitým a nedůležitým. Nejde o to naučit se počítání podle nějakých vzorečků (i když i to bývá třeba v geometrii důležité, abych si uměl spočítat objem domu, až ho budu stavět), ale je užitečné tím projít. Oblíbenost a neoblíbenost – tam bohužel hodně záleží na učiteli. Když má učitel předmět rád a umí ho se zaujetím vysvětlit, nakonec se ukáže, že matematika není zas tak složitá. Má ale jednu nepříjemnou vlastnost, vyžaduje hodně práce. Já si myslím, že neoblíbenost matematiky souvisí spíše s leností. I. P.: Matematika je schopnost abstrahovat věci, vidět souvislosti v tom, co na první pohled žádnou souvislost nemá. Porovnávat věci a nacházet, co je spojuje a co rozděluje. Právě tohle pomáhá v běžném životě. Matematika se navíc používá ve všech vědních disciplínách, v chemii, fyzice, dokonce v hudbě... V. N.: Ano, přesně tak. Dokonce je psychologicky prokázáno, že hudební a matematické nadání spolu souvisí. O matematikovi Karlu Friedrichu Gaussovi se vypráví, že si ve škole u příkladu sčítání čísel od jedničky do stovky všiml, že 100+1=101, 99+2=101..., že tedy stačí vynásobit 101 padesáti a výsledek je na světě. V. N.: Ano, tato historka se traduje a myslím, že je pravdivá. Je to tedy příklad toho, jak se dá matematika udělat zábavnou? V. N.: Samozřejmě. Musí se ukazovat, že to opravdu souvisí se skutečným životem. To se nejlépe ukazuje na geometrii, která je patrně prazákladem matematiky. Intenzivně se rozvíjela ve starém Řecku i dávno před ním. Lidi si potřebovali změřit pozemek, potřebovali odhadnout, jak dlouho jim bude trvat, než ho přeorají. A v tu chvíli už jsou v oblasti matematiky. A trošku zvídavý duch začne přicházet na další a další problémy a rozvoj matematiky je zahájen. Matematika je vlastně jazyk, který popisuje svět kolem nás. Vůbec v ní nejde o čísla, ale o vlastnosti a vztahy. I. P.: Každá matematická teorie vyžaduje model. Jde o abstraktní výtvor, ale aby bylo prokázáno, že nevisí ve vzduchu, musí být něco, co stojí na zemi, a to je právě ten model, který může být tvořen jakýmikoli reálnými objekty včetně čísel. 4 Coby vysokoškolští pedagogové se setkáváte s absolventy gymnázií. Když se díváte na jejich znalosti, zdá se vám, že jsou dobře připraveni, že ve školách je matematiky dost? V. N.: Je to horší a horší. I. P.: Kdysi se učilo tak, že žák by měl pochopit podstatu věci, dnes se učí tak, že žák vezme to, co leží na povrchu, a do hloubky už nejde. To škodí v první řadě matematice, protože tam jde o objekty a jejich vztahy. Studenti často berou matematiku jako soubor nějakých úloh se známou odpovědí. Nevidí souvislosti, nevidí, že jde o formulaci problému a cestu k hledání řešení. Myslíte, že za zhoršující se úroveň může i fakt, že nebyla povinná maturita z matematiky? A měla by být? V. N.: O tom vůbec není pochyb. Už jenom proto, že matematika učí myslet. I. P.: Matematika učí rozhodovat, čili něco, co člověk potkává v běžném životě denně. Rozhodování není možné bez nadhledu, bez pochopení alternativ, důsledků. A to je matematický základ. nevyžaduje znalosti z matematiky, je zaměřena na jiné cíle, tak matematika padá do nejslabších pozic. Ovšem rozvoj je spirálový a určitě přijde okamžik, kdy níž už padnout nepůjde. Tím vznikne stav, který nebude řešitelný jinak, než že se vrátíme ke studiu matematiky. Podobně tomu bylo v Rusku na počátku 20. století, šlo o takzvaný zlatý věk matematiky. Společnost striktně vyžadovala znalosti z numerické matematiky. Tehdy nastal v tomto oboru obrovský pokrok. Pak zájem společnosti upadl a úroveň klesla. V. N.: Společnost nemůže pořád jenom plodit herce nebo sportovce. Začíná se chválabohu mluvit o tom, že chybějí lidi v technických oborech, inženýři, technici. Tam všude to bez matematiky nejde. Takže si myslím, že se společnost zase obrátí k oborům, které nás živí, a ne jenom baví. Důležité je také společenské povědomí o matematice, určitá prestiž. Mně vždycky strašně vadí, když se v televizi herci baví a přijde řeč na matematiku. Herec říká: Já jsem matematice nikdy nerozuměl. A všichni se strašně smějí, místo aby se styděli. Rozhovor připravila (jej) Vy pocházíte z Ruska. Setkáváte se s ruskými studenty a existuje i v Rusku tendence snižování úrovně? I. P.: Setkávám se často se studenty z Ruska a vidím, že tendence je všude stejná. Ale já mám optimistický pohled. Pokud společnost 5 Skládání Rubikovy kostky Rubikovu kostku zná snad každý. Vymyslel ji maďarský architekt a sochař Ernö Rubik (*1944) v roce 1974 a o rok později si ji nechal patentovat. Roku 1977 ji uvedl v Maďarsku do prodeje a během pěti let se jich tam prodalo 10 milionů, což je větší počet, než kolik žije v Maďarsku lidí. Celosvětově se odhadem prodalo více než 100 milionů kostek. Zajímavé je, že existuje 43 252 003 274 489 856 000 konfigurací kostiček Rubikovy kostky a že z libovolného poskládání lze té jediné hledané konfigurace, kdy každá ze šesti stěn je složená z kostiček o stejné barvě, dosáhnout maximálně 22 otočeními. Platnost tohoto tvrzení dokázal v roce 2008 Tomas Rokicki. O dva roky později pak badatelé za pomoci počítače zjistili, že ji lze složit dokonce nejvýše 20 tahy. Kolika tahy to zvládáte vy? Hádanka o provazu kolem zeměkoule Představte si fotbalový míč, kolem kterého pevně po jeho obvodu omotáte provaz. O kolik by musel být delší tento provaz, kdyby byl ve všech bodech jeden metr nad povrchem míče? Jak by podobná úloha vypadala pro Zemi? Provaz obepnutý kolem rovníku zeměkoule by byl přibližně 40 000 kilometrů dlouhý. O kolik delší by byl teď provaz, aby byl ve všech bodech jeden metr nad rovníkem? Věřte nebo ne, ale odpověď na obě otázky je stejná – přibližně o 6,24 metru. Ať vezmete fotbalový míč, Zemi nebo jakoukoli jinou kouli různého poloměru, rozdíl v délce provazu bude vždy 2π × 1 metr. Zrní na šachovnici Podle legendy si indický velkovezír Sissa ben Dahir za to, že vynalezl šachy, jako odměnu od krále Šahrama přál pšenici. Řekl: „Veličenstvo, byl bych spokojen, kdybyste mě obdaroval jedním zrnem pšenice na prvním políčku šachovnice, dvěma zrny na druhém políčku, čtyřmi zrny na třetím, osmi na čtvrtém a tak dále na všech 64 políčkách.“ Král se velmi podivoval a smál se, že chce Sissa za tak excelentní hru tak málo. To ovšem ještě nevěděl a nespočítal si, že vynálezcovo přání nebylo vůbec skromné. Jestliže sečteme všechna zrna 1 + 2 + 4 + 8 + …, zjistíme, že král by musel dát neuvěřitelných 18 446 744 073 709 551 615 zrn. 6 Magické čtverce Magický čtverec je v podstatě čtvercová tabulka o rozměrech n×n vyplněná přirozenými čísly různých hodnot. „Magičnost“ spočívá v tom, že součet čísel v každém řádku, sloupci a dvou úhlopříčkách je magická konstanta, čili stejné číslo. Jestliže magický čtverec obsahuje čísla od 1 do n2, nazývá se normální magický čtverec a konstanta se rovná n(n2 + 1)/2. Ukázku normálního magického čtverce 3×3 (též třetího řádu) naleznete na obrázku. Určíte správně jeho magickou konstantu? Zná cikáda prvočísla? Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým. Podle této definice tedy 1 není prvočíslo, ale prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Cikáda je nadčeleď hmyzu a jedinci rodu Magicicada, který žije na východě Severní Ameriky, mají z hlediska matematiky zajímavou vlastnost. Larvy cikád tráví většinu života pod zemí, kde se živí šťávami z kořenů rostlin. Pak se vylíhnou, vyletí ze země, spáří se a krátce nato uhynou. Co je na tom zajímavé? Udivující je, že doba, po které se cikády vylíhnou, aby se rozmnožily, je obvykle 13 a 17 let, tedy prvočíselné počty let. Vědci se domnívají, že důvod takového chování je prostý – přežití druhu. V takto synchronizovaném období, kdy vyletí miliony cikád, nemají predátoři, ptáci a další hmyzožravci, šanci je všechny vyhubit a cikády přežijí pro další generace. Mnoho dalších zajímavostí najdete také na tomto odkazu: http://www.dokoran.cz/index.php?p=book.php&id=655. Jiří Hátle 7 Postupné zavádění palných zbraní do výzbroje armád sahá v Evropě do počátku 14. století. O padesát let později vznikají dělostřelecké zbraně, mnohdy značných rozměrů, které se využívaly jen na obléhání opevněných míst. Po asi stoletém vývoji dosáhlo dělostřelectvo tak vysoké technické úrovně a účinnosti, že dosavadní středověká opevnění měst, hradů, tvrzí a dalších míst postupně ztrácela schopnost odolávat jejich palbě. Přispělo k tomu i zavedení plných železných dělových koulí. Díky nim se mohla snížit hmotnost děl, která se tak dala lépe přepravovat. Pod nadvládou dělostřelectva se bortily dosavadní cihlové nebo kamenné hradby zesilované věžemi a baštami. Nákladné zesilování zdí opevnění nebylo účinné. Proto se nejprve v Itálii rozhodli k opevňování využít zemních valů s dobrou odolností proti dělostřelbě. A skrývalo se za nimi také pevnostní dělostřelectvo. To ještě chránila krycí palba děl do příkopů z válcových rondelů umístěných před hradbami a valy. Podle toho dostaly v poslední třetině 15. století tyto stavby název rondelový opevňovací systém. Jeho nedostatky vyvážil později nový bastionový systém opevňování, který nahradil kulatý rondel pětiúhelníkovým bastionem. Zakladateli tohoto systému byli italští vojenští stavitelé a inženýři v čele s Michelem Sanmichelim, který jej poprvé použil v roce 1527. 8 Z Itálie do celé Evropy Teoretické zásady bastionového systému opevňování byly shrnuty pod název staroitalská inženýrská škola. Vyznačovala se značnou jednoduchostí a přinesla pouze omezené vylepšení rondelového systému. Pro výpočty úhlů výhodných pro obranu byla důležitá matematika a hlavně geometrie. Ve druhé polovině 16. století se italští pevnostní stavitelé a teoretici zabývali vylepšením dosavadních pevností pomocí nových předsunutých prvků. Tak vznikla samostatná trojúhelníková pevnůstka zvaná ravelin. S dalšími změnami, jako větší hloubka bastionu nebo rohová hradba, přišla novoitalská inženýrská škola. Koncem 16. století se rozvoj bastionového opevňování dostal i do jiných evropských států, protože jejich panovníci často využívali služeb italských pevnostních stavitelů a inženýrů. Tak se obě italské inženýrské školy a jejich systém bastionového opevňování rozšířily po celé Evropě. Postupně vznikaly nové inženýrské školy, například staroholandská, která využívala k opevnění terénní podmínky s malou nadmořskou výškou a vodní příkopy a inundace (zátopové území kolem vodního toku), nebo staroněmecká, jejíž představitel Daniel Speckle vypracoval alternativní klešťový systém pevností ve tvaru hvězdice. Olomoucká pevnost odolala Snad nejvíce ovlivnila bastionový opevňovací systém francouzská inženýrská škola. V jejím čele stál pevnostní teoretik a stavitel pevností Sebastien le Preste markýz Vauban, maršál, který ve službách francouzského krále Ludvíka IV. strávil celých 57 let. Stal se nejznámějším představitelem stavitelů, obránců i dobyvatelů pevností. Jeho teoretické zásady byly využity i při stavbě olomoucké bastionové pevnosti, která probíhala v letech 1745–1757. Už o rok později mohla tato stavba potvrdit maršálovy stavitelské teorie. Úspěšně totiž odolala dvouměsíčnímu obléhání armádou pruského krále Friedricha II. Bastion č. 24 a dva půlbastiony č. 23 a 25 v olomoucké Korunní pevnůstce jsou dokladem vynikajícího umění rakouských vojenských inženýrů v čele s projektantem pevnosti baronem Bechade de Rochepine, který byl pověřen také vlastní stavbou pevnosti. Absolventi rakouské inženýrské školy ve Vídni pomáhali bránit rakouskou monarchii po několik století hlavně proti turecké expanzi. Ján Kadlec foto: archiv autora 9 p V mládí navštívil Egypt a Babylonii, kde se seznámil s východními náboženstvími. p Kolem roku 530 př. n. l. se usadil v Krotonu v Kalábrii. Zde založil významnou filozofickou školu, kde byl učitelem, později přesídlil do Metapontu, kde žil až do smrti. p Nic z jeho díla se nezachovalo, jeho žáci a následovníci však jeho myšlenky předali v četných legendách a výkladech. Aristoteles mu připisoval velké zásluhy o řeckou matematiku a astronomii. p Pythagorejská škola významně ovlivnila platonismus a novoplatonismus. p Připisuje se mu zavedení pojmu filozofie, objevení iracionálních čísel a tzv. pythagorejské ladění, které vzniká postupným dělením struny hudebního nástroje. p Nalezl důkazy pro tzv. Pythagorovu větu, ačkoli její princip znali už staří Egypťané a Babyloňané. Díky němu se dnes už v základní škole děti učí, že součet čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku se rovná čtverci nad jeho přeponou, tedy a2 + b2 = c2. p Po Pythagorovi je také nazvána matematická soutěž pro žáky 6. a 7. tříd základní školy a prvních dvou ročníků osmiletých gymnázií – jmenuje se Pythagoriáda. (jej) 10 Matematika hraje důležitou roli i v chemii. Chemické výpočty bohužel nepatří mezi oblíbenou partii učiva chemie. Osvojení a pochopení chemických počtů je však velmi užitečné pro různé praktické každodenní činnosti – především pro přípravu roztoků chemických látek, se kterými se běžně v domácnosti setkáváme. Roztoky v domácnosti Některé roztoky si v domácnosti připravujeme takzvaně od oka, například když si mícháme vodu se sirupem. Každý má rád různě koncentrovaný roztok ovocné šťávy. Správný poměr ředění vodou je nutné dodržovat u čisticích a dezinfekčních prostředků (tyto činnosti však musíme ponechat dospělým osobám), které používáme v domácnosti při úklidu. Peru, pereš, pereme Co kdybychom chtěli udělat radost mamince a vyprat špinavé prádlo? Po přečtení etikety pracího prostředku zjistíme, že to může být docela věda. Většina lidí nedodržuje při míchání správný poměr pracího prostředku a vody, čímž dochází i k vyššímu zatěžování odpadních vod přebytkem pracího prostředku. Etiketa pracího prostředku Na etiketě pracího prostředku se vždy dočteme, kolik gramů popřípadě mililitrů pracího prostředku máme do pračky přidat v závislosti na počtu kilogramů špinavého prádla. Rovněž záleží na špinavosti prádla a především na tvrdosti vody v domácnosti. V našem případě budeme prát ručně, proto musíme na etiketě vyhledat údaj o správném ředění pro ruční praní. Příklad Na etiketě nejmenovaného pracího prostředku výrobci uvádějí, že do 5 litrů vody máme přidat 40 ml pracího prostředku. Kolikaprocentní roztok si tedy připravíme? Složení roztoku nejprve vyjádříme tzv. objemovým zlomkem: kde Va je objem látky a (v našem případě pracího prostředku) a Vs je objem celého roztoku (tedy vody a tekutého pracího prostředku). Va …………… 40 ml = 0,04 l (je třeba vyjádřit obě veličiny ve stejných jednotkách) Vs …………… 5 l + 0,04 l = 5,04 l Dosadíme do vzorce: Procentové složení roztoku získáme, když hodnotu objemového zlomku vynásobíme číslem 100. Výsledný roztok je tedy 0,8%. Nutné je však zdůraznit, že se jedná o procenta objemová (existují i hmotnostní procenta). Jana Prášilová 11 Mapy a navigace se neobejdou bez čísel V druhé polovině minulého století se díky rychlému rozvoji počítačů dostaly i geovědy a obory jim blízké (geografie, geologie, krajinná ekologie a jiné) do tohoto virtuálního prostředí. Díky spojení geovědních disciplín s digitálními technologiemi vznikl poměrně mladý obor, který se nazývá geoinformatika (někdy také geomatika a v zahraničí souhrnně geographical information science). Existuje mnoho definic geoinformatiky. Velmi zjednodušeně můžeme říct, že jde o zeměpis v počítači. Geografické informační systémy (GIS) dnes běžně využívají pro analýzy geografických údajů matematické úlohy a metody. Specialisté GIS dnes nepotřebují znát všechny matematické rovnice a vztahy do detailu, nicméně je důležité rozumět jejich funkci, významu a použití. Ke zcela nejzákladnějším a nejběžnějším účelům v rámci GIS analýz je použita algebra (v GIS coby mapová algebra) a teorie množin. Velice významným prvkem v rámci GIS je práce s topologií, jež vznikla při zkoumání problémů v geometrii. Široké uplatnění nachází aplikace matematiky při řešení úloh se souřadnicovými systémy (transformace, projekce, apod.), ale také v dnešní moderní navigaci pomocí GPS. Problém sedmi mostů v Kaliningradu v Rusku (tehdy pruský Königsberg) je údajně první topologickou úlohou, která byla vůbec kdy řešena. Za (ne) vyřešením tohoto úkolu stál švýcarský matematik a fyzik Leonard Euler (je po něm pojmenováno Eulerovo číslo). Město tehdy leželo na dvou ostrovech, které spojovalo sedm mostů. Matematická hádanka zněla, jak lze přejít všechny mosty a přitom na každý vejít pouze jednou. Je to obdobné zadání jako nakreslit domeček jedním tahem, takzvaným eulerovským tahem. No a jak to dopadlo? Nijak. Úloha nemá řešení, což Euler dokázal pomocí teorie grafů, jež je dnes základem mnoha analýz v geoinformatice, například pro nalezení nejrychlejší či nejkratší silniční trasy z místa A do místa B. www.wikipedia.org Dnes je běžné, že se na výlet nechodí pouze s klasickou mapou, ale také s mapou v telefonu, v navigaci a podobně. Tyto digitální mapy mají oproti klasickým tu výhodu, že lze snadno zjistit polohu, kde se výletník aktuálně nachází. A jak taková GPS pracuje? Pokud vše zjednodušíme, tak zhruba 20 tisíc kilometrů nad námi se pohybuje několik desítek GPS družic a dalších systémů. Každá družice vysílá signál, který GPS přijímači (například telefonu nebo navigaci) říká: Já jsem družice X, má pozice je Y a tuto informaci jsem poslala v čase Z. Aby to měl přijímač jednodušší, dostává i informace o poloze ostatních satelitů. Pokud takto stále komunikuje s alespoň třemi družicemi, pak lze na základě sférické geometrie (obr. 4) zjistit polohu na Zemi ve dvou souřadnicích. Pokud komunikuje se čtyřmi satelity, dozvíme se i nadmořskou výšku. A samozřejmě čím více satelitů chytíme, tím přesněji se můžeme dozvědět, kde a jak vysoko se nacházíme. www.kowoma.de 12 Nejjednodušším příkladem využití teorie množin v prostředí GIS jsou takzvané překryvné operace, jako jsou Erase, Intersect, Union a další. Ty odpovídají postupně operacím rozdílu, průniku a sjednocení dvou množin. Množiny lze použít také při GIS operacích, například při přípravě dat do dalších analýz, při výběrech vrstev, spojování vrstev, při modelování a dalších. Představte si, že jste na výletě a před sebou držíte mapu. Každého asi napadne, že v takové turistické mapě nemůže být každý kámen, strom nebo třeba drobná zatáčka. Jak to, že se ale neztratíme? A jak je vlastně možné, že lze převést třírozměrnou realitu na placatý papír? Za to vděčíme matematickým principům, které umožňují vhodné zjednodušení toho, co vidíme, a převedení na plochu papíru. První skupina matematických procesů umožní přiblížit skutečný tvar zemského povrchu nějakému jednoduše popsatelnému (nebo klidně složitému) geometrickému tvaru a pak pomocí matematických vzorců překreslit tvář krajiny do mapy (podívejte se na obrázek). Kdyby v mapě mělo být úplně vše, pak by tam bylo tolik informací, že by se v ní nikdo nevyznal, proto je potřeba obsah mapy (louky, stromy, zatáčky na cestě…) zjednodušit neboli generalizovat. www.progonos.com Pokud by jste se chtěli dozvědět, jak používat mapy a GPS nejen na výletech, ale i pro zábavu, nebo si zasoutěžit, podívejte se na stránky soutěžě Geokačer (http://www.budgeo.cz/geokacer). Lukáš Marek a Vít Pászto 13 Pod chemickým názvem Tetrahydrocannabinol (delta-9-tetrahydrocannabinol), který většina lidí nezná, si jen málokdo představí všem dobře známou a velmi diskutovanou drogu marihuanu. Uvedeme-li ale zkratku THC, už všichni vědí, o co se jedná. THC je psychotropní látka, která se nachází především v květenství konopí setého. V čisté podobě tvoří THC průhledné krystalky, které se velmi špatně rozpouštějí ve vodě, ale velmi dobře v organických rozpouštědlech a především v tucích. Syntetické THC se označuje jako Marinol nebo Dronabilon. Má sedativní a tlumící účinky, způsobuje halucinace a otupuje většinu smyslů člověka. THC je hlavní účinná látka marihuany. Marihuana je droga, která se získává ze sušených květenství samičích rostlin konopí a je známá pod různými názvy: tráva, ganja, hulení, skéro a jiné. Její nelegální distribuce je u nás trestná. Ale není to tak jednoznačné, marihuana není jen škodlivá. Marihuana umí i léčit. Dne 1. dubna 2013 v České republice vstoupila v platnost novela zákona, která umožňuje použití marihuany pro léčebné účely, je možné pořídit ji na elektronický lékařský předpis. Marihuana se používá především na tlumení bolestí při onkologických onemocněních, v terminálním stádiu AIDS, při lupénce či roztroušené skleróze. Uvažuje se i o léčebném použití při těžkých depresích. „Domácí“ pěstování marihuany zákon i nadále trestá. Ani nemocní lidé nemohou požádat o licenci na pěstování vlastního léčebného konopí. Ale v některých státech je použití konopí zcela legalizováno. Myslíte si, že je to správné? Lucie Kujanová a Jana Pučová Více se dozvíte zde: http://cs.wikipedia.org/wiki/Marihuana http://cs.wikipedia.org/wiki/Konop%C3%AD_set%C3%A9 http://zivotni-energie.cz/marihuana-thc-popis-teto-drogy.html http://www.legalizace.cz/2013/04/legalizace-marihuany-nebo-jeji-komercializace/#more-9357 14 TYČINKOVÉ HLAVOLAMY Na obrázku vidíte plovoucí rybu. Přemístěte tři zápalky tak, aby ryba plavala na druhou stranu. Na obrázku je kráva, která má hlavu, tělo, dvě uši, ocas a čtyři nohy. Přemístěte dvě zápalky tak, aby se kráva dívala na druhou stranu. GEOMETRICKÉ HLAVOLAMY Do políček vepište čísla 1 až 8 tak, aby se políčka, ve kterých jsou po sobě jdoucí čísla, nedotýkala ani hranami ani rohy. Rozdělte útvar na 4 stejné části: Správné odpovědi naleznete na straně 29. 15 Jedním z vědních oborů, který se zabývá praktickým využitím matematiky, je balistika. Je to věda, jež se věnuje pohybu a účinku střely. Balistika, těsně spojená s válčením, je známá již od antiky. Řecký filozof Aristoteles, který žil v letech 384–322 př. n. l., se zabýval rozdílem mezi letem vystřelených těles a jejich pádem. Vědci ve službách panovníků a vojevůdců se vždy pokoušeli zlepšit dostřel a přesnost praku a dalších katapultovacích válečných strojů. Slavná éra balistiky začala se vznikem prvních děl. Dělostřelci se tehdy snažili vypočítat dostřel děl. To, že problematika padajícího tělesa a tělesa letícího po vystřelení z děla, jsou související jevy, objevil poprvé profesor Buridan ze Sorbonny. V roce 1537 profesor matematiky Niccolo Fontana vydal dílo Nová věda, v němž definoval vztah mezi doletem a záměrným úhlem. Poprvé tak matematicky vyjádřil 16 zamíření střelné zbraně a zopakoval Archimédovu myšlenku, že největší dostřel má dělo, které svírá s vodorovnou rovinou úhel 45 stupňů. Balistika zajímala také Galilea Galileiho, který objasnil, že vystřelená tělesa se pohybují po parabolické křivce, a Torricelliho, který vydal první úplnou studii o parabolických drahách letu. V roce 1644 fyzik Marsen pojmenoval tento obor ballistica. Uměním vrhání bomb se zabývali i další matematici. Ještě v roce 1943 balistika popohnala vývoj techniky, když si vynutila zkonstruování prvního počítače pro sestavení tabulek střelby pro americké námořnictvo. Zavedení raket ve vojenství po roce 1945 již odsunulo výzkumy v oboru dělostřelectva na druhou kolej. Balistika palných zbraní je nauka o zákonitostech pohybu střel. Zabývá se jevy probíhajícími při výstřelu, studuje let střely ve vzduchu, přesnost zásahu a účinek střely v cíli. K tomu využívá poznatků matematiky, fyzikální chemie, mechaniky, aerodynamiky, termodynamiky, hydrodynamiky a dalších technických věd. Balistika se dělí na vnitřní, přechodovou, vnější a koncovou. Vnitřní balistika se zabývá jevy, které se odehrávají uvnitř zbraně předtím, než střela opustí ústí hlavně. Přechodová balistika řeší okamžik, když střela opustí ústí hlavně a na střelu ještě působí plyny vycházející z hlavně ven. Vnější balistika sleduje chování střely poté, co opustí hlaveň a přestanou na ni působit plyny vycházející z hlavně, až po okamžik, kdy dopadne na cíl. A konečně koncová balistika řeší dobu mezi dopadem střely a okamžikem, kdy se přestane pohybovat. Koncová balistika se uplatňuje především při lovu zvěře nebo při práci policejních nebo vojenských ostřelovačů. Ján Kadlec 17 Matematika se ti určitě hodí každý den, když jdeš něco nakoupit. To se vyplatí umět dobře počítat! A co takhle vyzkoušet špinavé mince vyčistit obyčejnou Coca-Colou? Pusť se s námi do pokusu! Co potřebuješ? Sklenici, špinavou minci (doporučujeme desetikorunu nebo dvacetikorunu), plechovku Coca-Coly (Pepsi Coly), starý kartáček na zuby, hadřík. Postupuj takto: 1. Naplň sklenici do třetiny Coca-Colou. 2. Vhoď do sklenice špinavou minci tak, aby byla celá ponořená. 3. Za den minci vytáhni a očisti ji kartáčkem namáčeným v Cole. Lépe se ti bude čistit její horní strana, která nebyla položená na dně sklenice. 4. Na závěr minci omyj vodou a pořádně ji osuš hadříkem. Jak vypadá? 5. Vylij ze sklenice zbytek Coly a sklenici také vypláchni vodou. 6. Celý pokus opakuj – jen polož minci do Coly tak, aby ležela nahoru opačnou stranou než minule. 7. Za den můžeš minci znova vytáhnout, vyčistit a pochlubit se svým úspěchem! Co se děje? Cola obsahuje kyseliny (kyselinu uhličitou a fosforečnou), které minci vyčistí. Porovnání špinavé a vyčištěné mince 18 Tipy & triky • Neprováděj pokus déle než dva dny, některé mince Cola časem poškodí. • Používej měkký kartáček, ať minci nepoškrábeš a neznehodnotíš. • Můžeš zkusit vyměňovat Colu a čistit minci častěji – třeba jednou za půl dne. • Celý pokus můžeš zdokumentovat fotografiemi. Vyfotografuj minci před pokusem a po každém čištění. Nejlépe je fotografovat ji za stejných podmínek – ve stejnou denní dobu a na stejném místě za stejného světla. Tak nejvíce vynikne, jak jsi byl při pokusu úspěšný! Pokud se ti snímky podaří, pošli nám je na adresu [email protected] (do předmětu uveď „Forte – mince“) – nejhezčí fotografie budou zveřejněny na portále www.webchemie.cz! Víš, že? 10 Kč: mince je z plátované oceli a je galvanicky pokovená mědí. V průměru má 24,5 mm a její síla je 2,55 mm. Hmotnost mince je 7,62 g a hrana mince je vroubkovaná. 20 Kč: mince je z ocelového jádra, které je po obou stranách potažené plátkem mosazi obsahující 750 dílů mědi a 250 dílů zinku. Plátky mosazi i hrana dvacetikoruny jsou navíc galvanicky pokovené velmi tenkou vrstvou mosazi složenou ze 720 dílů mědi a 280 dílů zinku. 50 Kč: mince je vyrobena z oceli. Ve středu je plátovaná slitinou mědi a zinku, na mezikruží je plátovaná a galvanicky pokovená mědí. V průměru má 27,5 mm a její síla je 2,55 mm. Hmotnost mince je 9,7 g a hrana mince je hladká. Veronika Švandová a Lucie Kujanová foto: autorky Použité zdroje: 1. Fascinující pokusy pro každý den. 1. vyd. Překlad Ivana Rybecká. Ilustrace Glen Singleton. Čestlice: Rebo, 2011, [202] s. Poznáváme s knihou REBO. ISBN 978-802-5505-076. 2. http://www.csiro.au/helix/sciencemail/activities/cleaningwithcola.html 3. http://wiki.answers.com/Q/What_makes_Coca-Cola_clean_a_coin 19 Roli matematiky v architektuře si uvědomovali obyvatelé naší planety jistě velmi záhy poté, co vyšli z jeskyní a vybudovali pro své rodiny a kmeny první obydlí a první svatyni na volném prostranství – kruhový či oválný dům a kruhový rituální prostor (cca 8000 let př. n. l.). Kruh je zdánlivě jednoduchý obrazec, na všechny strany a kolem dokola symetrický. Důležitější je ale jeho velikost vztažená k člověku. Je rozdíl, zda kruh rodinný čítá čtyři hlavy nebo hlav 25. Velikost obydlí se měnila – zvětšovala a zmenšovala v závislosti na počtu členů v rodině, rodin ve kmeni, kmenů na území..., domy se vzájemně propojovaly nebo oddělovaly, vyčnívaly nebo byly ukryté pod navršenými pahorky. Kdy lidstvo přišlo na vztah architektury a geometrie a kruh opustilo? Možná když objevilo díky Euklidovi bod, přímku a čáru, z nichž se pak následně vyvinuly čtverec, obdélník, trojúhelník a další hranaté tvary. Dokonalý Parthenon Starověcí Egypťané a Indové ve své architektuře vytvořili principy plánování, jejichž měřítko a proporce vycházely z vesmírných zákonitostí. Součástí architektonické matematiky se stala astronomie a astrologie, estetika a rytmus. Starověcí Řekové ovládli natolik bravurně optiku a deskriptivní geometrii, že na nejvýznamnější stavbě své doby – Parthenonu na Akropoli v Athénách – dokázali potlačit optické perspektivní zkreslení. Udělali to tak dokonale, že dnes, kdy je Parthenon znovu budován z trosek, mají naše počítače problém trosky roztřídit a poskládat jednotlivé kousky k sobě. Hledání dokonalé proporce, dokonalého rytmu, estetického vjemu a dokonalého měřítka vedlo až k objevení poměru Zlatého řezu u Parthenonu. Parthenon tak byl příkladem pro řadu architektů starověkého Říma, renesance, baroka, empíru a klasicismu. Veledůležitým kritériem estetiky a harmonie architektury se stalo měřítko a poměr stran ve stavbách. Objevily se různé tvary půdorysů. Půdorys ve tvaru elipsy, znovu objeveného kruhu, rovnoramenného trojúhelníku, čtverce, pětiúhelníku, šestiúhelníku, pěti, šesti a osmicípé hvězdy. Výška objektů se odvozovala z půdorysných rozměrů, architektura se konečně stala 3D – třídimenzionální. První norma na světě Za vlády Caesara a Antonia na scénu přichází outsider mezi architekty své doby – geniálně praktický Marcus Vitruvius Pollio. Jedinou jeho známou 20 stavbou je nedochovaná bazilika ve Fanum Fortunae, dnešním Fanu u Ancony, která zmizela tak dokonale, že o jejím umístění se dnes pouze dohadujeme. Když táhl válkami s Caesarem, vynalézal bojové stroje. Po propuštění z armády se stal architektem a inženýrem městského vodovodu v Římě a zavedl první známou normu na světě – normu na velikost vodovodních trub. Jakmile dosáhl od císaře Augusta nároku na penzi, napsal první známou učebnici architektury a příbuzných oborů – Deset knih o architektuře. Vitruvius ukázal vztah mezi proporcemi staveb a největším uměleckým dílem světa – lidským tělem – na proporcích takzvaného vitruviánského člověka. Toho naskicoval podle dochovaného Vitruviova popisu Leonardo da Vinci. Čtvrtý a pátý rozměr Po znovuobjevení Vitruviových Deseti knih o architektuře se stává v období renesance matematika prakticky ve všech svých podobách včetně kabaly nedílnou součástí architektury. Renesanční umělci a architekti, stejně jako umělci a architekti baroka, si uvědomili další, čtvrtý rozměr architektury: čas. Tedy trvanlivost kamenných staveb v čase. Zatímco prostý dřevěný venkovský dům podlehl snadno zubu dřevokaza (čas zuby nemá) nebo ohni, kamenná a cihelná stavba přetrvala století. Od tohoto poznání v architektuře 4D byl už jen krůček k rozměru pátému – mystice a šifrám se vzkazy pro budoucí generace. Důležitá znovuobjevená teorie, že celý vesmír podléhá zákonům matematiky, vedlo v architektonickém kódování k využití symboliky a řeči čísel. Tím se mezi součásti matematiky využívané v architektuře vkrádá po kabale, astrologii a astronomii také numerologie. Mistry renesanční architektury a umění v 5D byli Leonardo da Vinci a Michelangelo Buonarroti. Období vlády Medicejů v Itálii vedlo ke vzniku tajných společenství, šifrování a mystifikaci, což přímo nahrávalo rozvoji umění 5D architektury. Tento fenomén má i svůj matematický název – posvátná geometrie. A bylo světlo... Baroko se svými geniálními italskými architekty vneslo do architektury symboliku čísel upravenou pro jakoukoliv objednávku. Řeč čísel posvátné geometrie se projevovala v celém systému konstrukčních a architektonických prvků a detailů, přičemž nejoblíbenější byla čísla lichá – 1, 3, 5, 7, 9. Na našem území působil český architekt italského původu Jan Blažej Santini-Aichel, který symboliku čísel posvátné geometrie vloženou do architektury zvládl mistrně. Už v gotice hrálo u sakrálních staveb na západní polokouli nezastupitelnou roli světlo vpuštěné cíleně do interiéru. Součástí prací Santiniho ve stylu gotického baroka tedy bylo světlo jako další rozměr nezpochybnitelně zastoupeno. Světlo přináší do architektury šestý rozměr v plném slova smyslu – tedy nejen okny a škvírami, sofistikovanými otvory a využitím znalostí astronomie a postavení Slunce při východu – tedy viditelně. Světlo hraje od počátku věků nezastupitelnou a úplně neviditelnou roli nosiče informací. V naší době také mimo jiné v optických kabelech. Největší je Pražský hrad Kudy se přikradl do architektury sedmý rozměr? Dostáváme se k němu a tím k architektuře 7D zapojením symslů. Veskrze materialistické číslo osmička nás přivádí k osmému rozměru architektury – soutěživosti. Postavit největší, nejvyšší, nejrozlehlejší, nejkrásnější, nejstarší či nejdelší stavbu světa se stalo otázkou prestiže. Sotva byla v roce 2010 otevřena 818 metrů vysoká nejvyšší budova světa Burdž Dubaj, buduje se o deset metrů vyšší čínská Sky City. Na světě stojí jedna budova vyšší než 800 metrů, jedna budova vyšší než 600 metrů – stavějí se další tři. Vysílačů vyšších než 600 metrů je pět, ropná plošina vyšší než 600 metrů je jedna. Dvě budovy jsou vyšší než 500 metrů, staví se dalších šest. Budov vyšších než 400 metrů je v současnosti třináct, před 11. zářím 2001 jich bylo patnáct... Staví se dalších třináct. A víte, který hrad je se svou rozlohou 70 000 m2 zapsán v Guinessově knize rekordů na prvním místě jako největší hradní komplex světa? Je to Pražský hrad! Největší současnou stavbou světa je čínské obchodní centrum New Century Global Center ve městě Čcheng-tu s plochou 1,7 milionu metrů čtverečních. Je dvacetkrát větší než budova opery v Sydney, čtyřikrát než Vatikán a třikrát než Pentagon. Půdorys stavby má délku 500, šířku 400 metrů a zvlněná střecha dosahuje výšky 100 metrů. Vracíme se ke kruhu Mám ráda devátý rozměr architektury. Devítka je v řeči čísel symbolem zrození a pralátky, v níž se vracejí zpět všechny tvary věcí a světů. V architektuře 9D se můžeme vrátit na začátek – ke kruhu. Symbolem objetí je kruh. Symbolem kruhu je prsten. Jedno švédské přísloví říká, že láska je jako prsten – nemá konce. Nechť měřítkem vašich obydlí je možnost pojmout co nejširší milující kruh rodiny, co největší okruh přátel. Vraťme se zpátky na počátek, vraťme se do lidských kruhů. Taťána Tzoumasová 21 Netradiční hudební nástroj Zvuk vzniká kmitáním materiálu. Je-li kmitání nepravidelné, tedy v nepravidelné frekvenci, slyšíme hluk. Ten se sice můžete pokusit svým hlasem napodobit, nemůžete jej však zazpívat v určité výšce. Jestliže je však frekvence kmitání pravidelná, hovoříme o tónu a ten již v určité výšce zazpívat dokážete. Výška tónu je dána frekvencí – počtem kmitů za sekundu, v soustavě SI je jednotkou frekvence hertz (Hz). Čím vyšší je počet kmitů, tím vyšší tón zaznívá a naopak. Pro hudebníky je snad nejdůležitější frekvence 440 Hz, které odpovídá tón a1 neboli komorní a. Podle něj si hudebníci ladí své nástroje, aby mohli hrát spolu a posluchačům to „nervalo“ uši. Každý tón, snad vyjma elektronicky generovaných čistých tónů, však v sobě obsahuje i další frekvence tvořené násobky frekvence základní (1:2:3:4:5…). Znamená to, že současně se základním tónem zaznívají i další tóny v po sobě jdoucích intervalech oktáva – kvinta – kvarta – velká tercie, malá tercie… až po zcela nepatrné a neidentifikovatelné mikrointervaly. Tyto tóny, říká se jim alikvotní tóny, většinou neuslyšíte jako samostatné, podstatně však ovlivňují barvu tónu – vlastnost, díky níž od sebe dokážeme rozeznat zvuky různých hudebních nástrojů, ale i hlasy různých lidí. Snad nejzřetelněji můžete alikvotní tóny zaslechnout ve zvuku zvonů. U většiny dechových hudebních nástrojů se využívá řady alikvotních tónů pro hru ve vyšších polohách. K jejich vytváření dochází prostřednictvím tzv. přefukování základního tónu. Sami si to můžete vyzkoušet, vyrobíte-li si netradiční hudební nástroj nazvaný též poněkud neobvykle – husí krk. K jeho výrobě použijete ohebné plastové trubice – materiál dobře známý zejména elektrikářům, kteří do nich vkládají dráty elektrických rozvodů, aby je poté mohli ukrýt do zdi pod omítkou. Tyto husí krky bez jakkoliv náročné úpravy dokážete rozeznít. A jak! Nářadí: nůžky Materiál: ohebné plastové trubice – tzv. husí krky s vnějším průměrem 20 či 25 mm, délka 50 až 120 cm. Pracovní postup: Nic víc, nežli správně naměřit, nůžkami ustřihnout a zarovnat okraje trubic, vás nečeká. Chcete-li však mít trubice dobře naladěny, pak měřte přesněji. Pro trubice o vnějším průměru 25 mm se osvědčily následující míry: c1 – 114 cm, d1 – 102 cm, e1 – 90 cm, f1 – 84,5 cm, fis1 – 80 cm, g1 – 75,5 cm, a1 – 67 cm, b1 – 64 cm, h1 – 60 cm, c2 – 56,5 cm. Zcela přesného „naladění“ však vzhledem k pružnosti materiálu zřejmě nikdy nedosáhnete. Způsob hry: Jeden konec trubice uchopte pevně v dlani a krouživými pohyby paže nástroj roztočte. Ústí trubice musí zůstat volné, aby vzduch mohl trubicí volně proudit. Na rychlosti rotace záleží to, jaký tón se vám podaří vyloudit. Vždy to však bude jeden z řady alikvotních tónů. Při delším hraní se dostaví únava materiálu a malý kousek trubice vám zůstane utržen v dlani. Nevyhazujte jej, i ten můžete využít k výrobě dalšího hudebního nástroje jménem kazoo. Ale to až jindy. Varianta: Husí krky můžete rozeznít i vlastním dechem, když jeden konec trubice přiložíte k ústům a skrze trubici vdechujete nebo naopak vydechujete. Jaromír Synek foto: Gabriela Coufalová 22 Polské slepice snášejí dokonalá vejce! Polští vědci vyvinuli zázračné vejce. Co takové vejce dokáže? Věřte nebo ne, ale vyrábějí se z něj léčebné přípravky na těžko léčitelné nemoci. Více se dočtete na www.webchemie.cz/dokonalevejce.html. Česká slepice snáší obyčejná vejce, která jsou nezbytnou surovinou pro výrobu pečiva i různých dalších pokrmů. Ale co dokáže slepice z Polska? Umí zázraky? Na jedné polské univerzitě upravili slepicím jídelníček a naučili je tak snášet „zázračná vejce“, která mají využití v medicínských oborech. Vědci z Vratislavské univerzity chovají slepice, které snášejí vejce bohatá na bio-aktivní látky, omega-3 mastné kyseliny, fosfolipidy, imunoglobuliny, organické sloučeniny železa a selenu, cystein, lysozym, vitamíny a další prospěšné látky. Vědecká práce se zaměřuje především na výrobu nové generace vaječných surovin určených pro využití v biomedicínském výzkumu, v prevenci a léčbě civilizačních chorob. Zaměřují se především na enzymatické a chemické vlastnosti vajec. Z takto obohacených vajec se vyrábějí léčebné preparáty, které se používají například na léčbu vysokého tlaku, sklerózy, demence, nervového systému, závažných srdečních a mozkových onemocnění (například Alzheimerovy choroby). Dále se používají při onemocněních oběhové soustavy (arterioskleróza) nebo osteoporóze. Z vajec se také vyrábějí doplňky stravy bohaté na fosfolipidy, bílkoviny a peptidy. Všechny preparáty ve velké míře působí proti vzniku civilizačních chorob. Další část polského projektu se zabývá využitím při výrobě léčiv proti rakovině, paradentóze, kožních nemocí či použitím v kosmetice. Po testování na univerzitě nyní začala výroba prvních preparátů na speciálních linkách technologického parku ve Vratislavi. Dočkáme se tedy i my jednou zázračných vajec? Lucie Kujanová a Jana Pučová Literatura: http://www.novinky.cz/veda-skoly/299976-vedci-zdokonalili-slepici-vejce.html http://www.ovocura.up.wroc.pl/ 23 Na začátku 20. století, v roce 1905, žil Albert Einstein ve švýcarském Bernu a pracoval tam na patentovém úřadě. Jako patentový úředník každý den rozhodoval o tom, který vynález si zaslouží udělení patentu, a který ne. Každý den chodil do práce kolem vlakového nádraží. Pozoroval přijíždějící a odjíždějící vlaky a přemýšlel nad nedávným objevem, že rychlost světla ve vakuu je konstantní a nepřekonatelná, že je to absolutní veličina. Napadlo ho, že kdyby hodil balónek z jedoucího vlaku ve směru jízdy, jeho rychlost by se sčítala s rychlostí vlaku. Kdyby ho hodil proti směru jízdy, odečítala by se. Ovšem kdyby podobně zasvítil baterkou, rychlost světla bude pořád stejná, tedy ten, kdo stojí před vlakem, i ten, kdo stojí za vlakem, ji uvidí ve stejném momentě. To ovšem znamená, že je-li rychlost vzdálenost překonaná za určitý čas, tedy konstantní, musí být čas i vzdálenost veličiny relativní, a zároveň na sebe vázané – právě onou rychlostí světla. Podobně jako hmotnost a energie: e = energie, m = hmota. A speciální teorie relativity byla na světě: e = mc2! 24 Od té doby přemýšlel Albert Einstein o dalších důsledcích své teorie. Když jednou v roce 1907 seděl ve své patentové kanceláři, zavřel oči a možná si zase představil vlak. Když nedrncají pražce a venku je tma, vlastně nevíme, jestli stojíme, nebo jedeme. A napadlo ho: co když se vlak rozjíždí nebo zrychluje? A co když brzdí nebo zastavuje? Je to podobné, jako při jízdě výtahem: když se rozjíždíme dolů, jsme lehčí, když nahoru, připadáme si těžší. Einstein si uvědomil, že zemská přitažlivost a jakékoli zrychlení na nás působí stejně. Ještě převratnější myšlenka Einsteina napadla v roce 1912, kdy už působil jako profesor Německé univerzity v Praze. Představil si kolotoč. Jeden člověk sedí úplně na kraji, druhý blízko středu. Na oba působí odstředivá síla: na kraji větší, blízko středu menší. Podle speciální teorie relativity plyne čas člověka pohybujícího se větší rychlostí, tedy toho, který sedí na kraji kolotoče, pomaleji. A proto je čas relativní také vzhledem ke gravitaci. Einstein z toho vyvodil, že čas a prostor jsou zakřivené. V roce 1919 výprava britského astronoma Arthura Eddingtona při pozorování zatmění slunce změřila, že světelné paprsky hvězd blízkých slunečnímu kotouči se ohýbají přesně podle Einsteinových výpočtů. Londýnské Times napsaly: Nová teorie vesmíru. Newtonovy myšlenky svrženy. 25 MYSLÍM, TEDY JSEM… MATEMATIK Nabízíme vám úlohy, které lze řadit do oblasti matematiky. Nicméně k jejich řešení není zapotřebí hlubších matematických znalostí a vědomostí, postačí zdravý úsudek a logické myšlení. Jedním z úkolů matematiky je rozvíjet logické uvažování a myšlení. K popularizaci matematiky a dosažení výše uvedeného cíle mohou pomoci přitažlivé logické úlohy a zajímavé problémy ze života. 1. úloha: V hotelu 5. úloha: Smažené řízky Do hotelu přišli tři lordi. V recepci si řekli za jeden pokoj 10 liber, které každý z lordů zaplatil. Dohromady tedy 30 liber. Když měl poslíček odnést pánům zavazadla, přispěchal ředitel hotelu, že měli hosté zaplatit jen 25 liber. Dal tedy poslíčkovi pět liber, ať je lordům vrátí. Poslíček nevěděl, jak rozdělit pět liber mezi tři osoby, tak dal každému po libře a dvě si nechal. Každý lord tedy zaplatil 9 liber (deset původně, jednu dostal zpět). 3x9=27. Dvě libry si nechal poslíček. 27+2=29. Kam zmizela jedna libra? Jeden řízek se smaží deset minut – pět minut z každé strany. Na pánev se vejdou dva řízky vedle sebe. Za jak dlouho nejrychleji osmažíte na jedné pánvi tři řízky? 2. úloha: Autonehoda V autě jede otec a syn (pokrevní). A jak to tak na silnicích chodí, najednou dojde ke strašné nehodě. Oba jsou vážně zraněni a sanitky je odvezou do dvou různých nemocnic. Syn je na operačním sále, přijde k němu chirurg a řekne: „Nemůžu ho operovat, je to můj (pokrevní) syn!“ Jak je to možné? 3. úloha: Rukavice V šuplíku je 32 červených rukavic a 32 modrých rukavic. Levá a pravá rukavice jsou k nerozeznání. Taháte potmě rukavice z šuplíku. Kolik jich musíte vyndat, abyste měli jistotu, že máte pár stejné barvy? 4. úloha: Prsten Máte devět prstenů, z nichž jeden je falešný. Nelze ho poznat pohledem, ale je trochu lehčí než prsteny pravé. K dispozici máte rovnoramenné váhy. Dokážete na dvě vážení najít falešný prsten? 26 6. úloha: Žárovky Stojíte u tří vypínačů. Víte, že patří ke třem žárovkám, které jsou v místnosti, kam vede dlouhá a klikatá chodba. To znamená, že ze svého místa vůbec nemůžete vidět, zda některá svítí nebo ne. Všechny tři vypínače jsou nyní v poloze vypnuto. S vypínači můžete manipulovat, jak chcete, pak jednou projít chodbou a podívat se do místnosti. Tam musíte říci, který vypínač je od které žárovky. Jak na to? 7. úloha: Kanibalové a misionáři Řeka. Na jednom břehu jsou tři misionáři, tři kanibalové a lodička, do které se vejdou maximálně dvě osoby. Jak se všichni přepraví na druhou stranu tak, aby nikdy na žádném břehu nebyla přesila kanibalů nad misionáři? 8. úloha: Požár v domě V hořícím domě je skupina přátel. Chce se dostat za každou cenu ven, neboť dům za 12 minut spadne. Musí proběhnout chodbou, která je celá v plamenech. Pokud chce někdo projít, musí mít hasicí přístroj a plameny alespoň trochu krotit. Problém je, že přátelé mají jen jeden. Chodbou mohou jít zároveň maximálně dva lidé. Pak se někdo musí vrátit s přístrojem a mohou jít další dva. Mezi přáteli je jeden hasič, který se 10. úloha: Dort v plamenech pohybuje běžně, a tak dokáže chodbou proběhnout během minuty. Jeho nejlepší kamarád, také docela borec, proběhne za minuty dvě. Pak je tam ještě jeden starší pán, kterému to trvá čtyři minuty, a opilec, který se bude chodbou motat pět minut. Pokud jde dvojice, pohybuje se rychlostí pomalejšího. Jak budou postupovat, aby se dostali ven do 12 minut, než dům spadne? Máte dva džbány, pětilitrový a třílitrový, a neomezený zdroj vody. Dokážete odměřit čtyři litry? 9. úloha: Ze soudní síně 12. úloha: Vajíčka Jste obžalováni u soudu a šance na dobrý konec jsou velmi malé. Soudce je férový chlap, takže vám nabídne následující řešení případu: „Můžete říci jednu oznamovací větu na svou obranu. Pokud nám zalžete, tak vás oběsíme. Pokud řeknete pravdu, tak vás zastřelíme.“ Co řeknete? Jedno vajíčko se uvaří za pět minut. Za jak dlouho se uvaří tři vajíčka? Dokážete rozkrojit dort třemi rovnými řezy na osm částí? 11. úloha: Džbán 13. úloha: Čtverec Dokážete rozdělit čtverec na 13 úplně shodných dílů? 14. úloha: Devět teček Dokážete tečky spojit čtyřmi rovnými čarami tak, abyste nezvedli tužku z papíru? 15. úloha: Ovce na pastvě Když přivážeme ovci k jednomu kolíku provazem, vyžere z trávy kruh. Pokud protáhneme kroužkem u krku provaz, jehož konce přivážeme ke dvěma kolíkům, vyžere elipsu. Budeme-li chtít ovál, napneme provaz mezi dva kolíky, na něj navlečeme kroužek, a na ten přivážeme provaz, na jehož druhém konci je ovce. Jak přivázat ovci, aby nám vyžrala v trávě čtverec? Máte provazy, kroužky a jednu ovci. 27 1. Lordi zaplatili 27 liber, ale měli platit jen 25 liber. Rozdíl, tedy dvě libry, si nechal poslíček. 2. Chirurgem je žena, tedy matka zraněného syna. 3. Musíte vyndat tři rukavice. Potom aspoň dvě rukavice mají stejnou barvu. 4. Vezmeme tři a tři prsteny, které dáme na váhu. Teď mohou nastat dvě situace: a) váhy jsou v rovnováze, tudíž falešný prsten je v poslední trojici, která je stranou, b) jedna trojice prstenů je výše (je lehčí), takže mezi nimi bude falešný prsten. Hledáme dál. Z té trojice prstenů, ve které hledáme falešný, vybereme dva, které zvážíme. Obdobně jako při prvním vážení uvažujeme: I) váhy jsou v rovnováze, tudíž falešný prsten je ten, který je stranou, II) ten prsten, který je lehčí, je onen hledaný falešný. 5. Nejrychleji usmažíte tři řízky za 15 minut. Po pěti minutách jeden řízek sundáte a druhý otočíte, přidáte třetí řízek. Po deseti minutách je jeden hotový a dva je třeba usmažit ještě z druhé strany. 6. Zapneme první vypínač a chvíli počkáme. Po chvíli vypneme první vypínač a zapneme druhý. Dojdeme do místnosti, kde je následující situace: jedna žárovka svítí – druhý vypínač, dvě žárovky nesvítí, ale jedna z nich je horká, jak chvíli svítila – první vypínač. Zbývající žárovka je od třetího vypínače. 28 7. Kanibal a misionář tam (nebo dva kanibalové). Misionář (kanibal) zpět. Dva kanibalové tam. Jeden zpět. Dva misionáři tam. Misionář a kanibal zpět. Dva misionáři tam. Na druhém břehu jsou nyní tři misionáři a kanibal. Ten postupně odveze své dva kamarády. 8. Hasič a borec ven – 2 min. Hasič zpět – 1 min. Opilec a důchodce ven – 5 min. Borec zpět – 2 min. Hasič a borec ven – 2 min. Dva nejlepší kamarádi vybíhají ze dveří a dům za nimi padá… 9. „Je jisté, že mě oběsíte.“ Pokud soudce rozhodne, že jste měl pravdu, měl by vás zastřelit. Ale to byste pravdu neměl. A naopak. Pokud rozhodne, že jste lhal, pak by vás měl oběsit, ale pak jste mluvil pravdu. 10. Dort rozříznete dvěma příčnými řezy na čtvrtiny, následně ho třetím řezem rozkrojíte podélně na požadovaných osm dílů. 11. a) Naplníme pětilitrový džbán a odlijeme z něho tři litry vody do třílitrového. Třílitrový džbán vylijeme a přelijeme do něj zbývající dva litry vody z velkého džbánu. Naplníme opět pětilitrový džbán a odlijeme z něho do třílitrového džbánu, ve kterém již dva litry vody máme, jeden litr vody. Tak nám zbudou v pětilitrovém džbánu čtyři litry vody. b) Naplníme třílitrový džbán a přelijeme ho do pětilitrového. Znovu naplníme třílitrový džbán a dolijeme z něj pětilitrový džbán. Protože v něm už tři litry vody byly, tak nám v třílitro- vém zbude jeden litr vody. Vylijeme pětilitrový, nalijeme do něj odměřený litr a přidáme další tři litry vody, čímž máme v pětilitrovém džbánu čtyři litry vody. 12. Tři vajíčka se uvaří také za pět minut. 13. Čtverec rozřežeme na 13 stejných úzkých proužků – shodných obdélníků. 14. Odpověď naleznete v pravém sloupci 15. Napneme mezi rohy čtverce dva provazy. Na ně navlečeme kroužky, mezi kroužky další provaz. Kroužek, který má ovce na krku, je navlečen na tento provaz. Jiří Hátle Obdobných a dalších úloh, které lze použít k motivaci, aktivizaci nebo rozvoji logického myšlení a uvažovaní žáků v hodinách matematiky, existují spousty, ať už v tištěných publikacích či na internetu. Některé najdete zde: http://hadanky.chytrak.cz/ http://hlavolamy.stylove.com/ Odpovědi na otázky z matematických kvízů: 29 Možná, že u některých z vás tato otázka vzbudí zájem. Jde o dvě domény, které lidstvo rozvíjí. Pokusím se ukázat, že jsou si podobné a mají k sobě blízko. Jejich propojení může zastávat věřící v jednoho Boha, čili teista (žid, křesťan, muslim). Z počátků vývoje lidstva víme, že poté, co si člověk začal uvědomovat sám sebe, pustil se nejen do počítání, ale v úžasu i strachu nad složitostí světa začal vytvářet i náboženství (například klást na hroby květiny). Abstraktní práce s čísly vedla k matematice a předvědecké či spontánní náboženství vedlo k víře v jednoho Boha. Příroda a Bible Připomeňme si několik základních definic: Matematika je věda s čísly, víra je krok tam, kde ještě není vidět (Boha), a náboženství je jednotný systém víry a úkonů vztahujících se k posvátnu (k Bohu). Věřícímu jde o vztah k Bohu, který ho nekonečně (matematický výraz) přesahuje a nad kterou si už nedovede nic dalšího představit. Původ vesmíru si proto odvozuje od tohoto Základu Bytí, od Boha, který je ve vesmíru Kreativitou. Pokud Bůh tvoří z lásky, pak nám svou existenci musí nějak projevit. To jsem symbolicky vyjádřil na obrázku dvěma knihami Božího zjevení, které lidstvo obdrželo, zkoumá a rozvíjí. Název Bůh (Alfa) vyjadřuje jeho aktivitu od velkého třesku. Proto o něm hovořím jako o Tvořiteli univerza, a ne o Stvořiteli, jak to přežívá v tradičním křesťanství. Bůh je stále tvořící a v neustálém kontaktu s vesmírem. Evolučnímu procesu a člověku v něm dává ale svobodu. Jednou knihou Zjevení je PŘÍRODA, kterou člověk od pradávna zkoumá. Dnes to jsou například přírodovědci. Ať v Boha věří nebo ne, všichni se stejně podílejí na práci s hmotou. Třeba v odkrývání zákonů přírody. Dá se říci, že vědci zkoumají a zjišťují, jak to „dělá“ Bůh. Druhou knihou Zjevení je BIBLE. Židé i křesťané věří, že v tomto posvátném Písmu Bůh o sobě podává lidstvu informaci. Dlouho se věřilo, že Bůh texty diktoval, takříkajíc z úst do ucha. Současný věřící už ví, že se jednalo o neverbální sebesdělování či sebe- 30 komunikaci Boha. Spisovatelé knih Starého zákona nebo čtyři evangelisté v Novém zákoně zažili zkušenost jeho přítomnosti a vztahu, čili lásky. Každý potom tuto zkušenost vyjadřoval ve slovech a literárních formách (i s chybami). Proto je dnes Bible (Písmo svaté) studována pomocí mnoha vědeckých disciplín, z nichž mnohé používají matematiku. Dialog mezi vědou a náboženstvím Připomeňme, že matematika není přírodní věda. Na prvním obrázku bychom si ji mohli představit jako třetí doménu, neviditelný oblak prostupující oběma Božími knihami, přírodou i Písmem. Vždyť to je matematika, která je příčinou vývoje a výzkumu v přírodních vědách a technologiích, a její výsledky už mají vliv i na náboženství. Jeden příklad ukazuje druhý obrázek. Naše viditelné univerzum se skládá jen ze čtyř procent hmoty. Další dvě neviditelné složky jsou temná hmota (23 procent) a temná energie (73 procent), o kterých zatím nevíme téměř nic. Jiným příkladem je výpočet galaxií. Na každého z nás jich připadá víc než dvanáct. Nenapadne vás hned, jak je to s existencí jiných inteligencí v našem univerzu? Z toho je zřejmé, že náboženství se musí těmito novými poznatky věd zabývat a zapracovávat je do svých teologií (teologie je nauka o Bohu). Proto se už několik desetiletí vede dialog mezi vědou a náboženstvím. Každý rok se dokonce uděluje v sídle OSN v New Yorku Templetonova cena (analogie Nobelovy ceny) za přínos v těchto dvou doménách. Za rok 2006 ji obdržel matematik a fyzik z cambridgeské univerzity John D. Barrow. Ještě se pokusím ukázat několik analogií mezi matematikou a vírou v Boha: 1. Matematika je nepředmětná, na rozdíl od předmětné knihy přírody. Teista také ví, že Bůh není předmět. i s čísly. To je až šestkrát déle, než byla násilně přerušena jeho veřejná činnost, trvající nejvýše tři roky. Navíc se ví, že v městečku Ciporim nedaleko Nazaretu, kde Ježíšova rodina bydlela, existovala židovská akademie. Je pravděpodobné, že do ní docházel i mladý tesař Ježíš. ECHAT MI JODEA Čtení můžete zakončit poslechem hebrejské písně plné čísel vyjadřujících biblické i obecně známé věci. Najdete ji na tomto odkazu: http://www.chabad.org/ multimedia/media_cdo/aid/255529/jewish/Echad-MiYodea.htm Píseň se skládá z třinácti veršů. Ke každému je přiřazen jeden význam z židovského náboženství, a nejen 2. Z matematiky víme, že například bod, přímka, číslo reálně neexistují. Jsou to jen abstrakce. Matematika proto není empirická věda. Podobně Boha nelze empiricky zkoumat. Proto si myslím, že Bůh se nedokazuje, v Boha se věří. 3. Matematický výraz nekonečno, tato rozumově neuchopitelná veličina, je také atributem připisovaným Bohu. Křesťan ji vyjadřuje ve vyznání víry slovy „věřím v Boha všemohoucího“. 4. Matematika je nadčasová. Podobně věříme o Bohu, že existuje mimo čas a prostor, že je transcendentní bytostí. 5. Podle matematika a filozofa Kurta Gödela (nar. v Brně, 1906) i matematika předpokládá akt víry. Víra se také předpokládá u člověka, který má vztah k Bohu. Ježíš, Mistr a Pán, ale i tesař a geometr Ježíš Nazaretský vystoupil veřejně se svým učením až ve třiceti letech. O jeho dospělém životě do jeho veřejného působení máme v evangeliích jen dvě věty – od Marka: „Není to ten tesař?“, a od Matouše: „Není to tesařův syn?“. Tato informace by mohla být radostnou pro všechny čtenáře, bez rozdílu náboženství. Ježíš totiž pracoval možná až šestnáct let s hmotou – jako tesař s dřevem, a tudíž z něho. Píseň se zpívá v Izraeli o židovských Velikonocích (pesach) po slavnostní večeři zvané seder. Na otázku Echat, mi jodea, Jeden, kdo to ví?, se odpovídá: Já vím, kdo je jeden, jeden je náš Bůh (elohejnu), na nebi i na zemi (še bašamájim ubaárec). Jeden – kdo to ví? Dvě, kdo to ví? Tři, kdo to ví... A odpovědi jsou zde: 1 je náš Bůh na nebi a na zemi. 2 jsou Mojžíšovy desky (s desaterem). 3 jsou naši (pra)otcové (Abraham, Izák a Jakub). 4 jsou naše (pra)matky (Sára, Rebeka, Ráchel a Lea) 5 je knih Tóry (prvních pět knih bible, zvaných Mojžíšovy). 6 je částí mišny (ústní tradice výkladu Tóry). 7 je dnů stvoření až po sobotu – šabat, šábes (židovství dalo lidstvu jeden volný den v týdnu - sobotu). 8 dní se počítá do obřízky – brit mila (v křesťanství je touto analogií svátost křtu). 9 je měsíců do narození. 10 je přikázání (desatero). 11 je hvězd v Josefově snu. 12 je izraelských kmenů. 13 je atributů Boha. František Mikeš 31 Ve známé písničce z pohádky Princové jsou na draka se zpívá, že „statistika nuda je, má však cenné údaje“. Někoho statistika, jedna z odnoží matematiky, může opravdu nudit, ale „cenné údaje“ může poskytnout určitě všem. Vlastně i člověku, který se učí nějaký cizí jazyk. Každý z nás si totiž v takové situaci položí otázku, kolik slov by mu mělo stačit k běžnému dorozumění. Protože je to otázka hodně důležitá a také stará, existuje na ni celkem přesná odpověď. Z výzkumů různých evropských jazyků vyplývá, že k běžnému dorozumění bychom měli znát přibližně 850 slov – mělo by to být asi 600 podstatných jmen, 150 jmen přídavných, 100 sloves a k tomu ještě nějaké drobné, totiž předložky, spojky a částice. Abychom se tímto pravidlem mohli řídit, je samozřejmě třeba vědět, která slova do oněch 850 patří – která jsou nejužitečnější. Platí většinou to, že nejužitečnější jsou jednoduše slova nejfrekventovanější. Na to myslí hlavně autoři učebnic, kteří často musejí prostudovat takzvaný frekvenční slovník daného jazyka a odtud získat potřebné údaje. Většina evropských jazyků už svůj frekvenční slovník má. Cenné údaje o našem mateřském jazyce přináší především Frekvenční slovník češtiny z roku 2004. Mluvit jako dítě Osm set padesát slov sice stačí k dorozumění, ale není to rozhodně nijak mnoho. Toto množství přibližně odpovídá slovní zásobě tříletého dítěte. Pokud bychom se chtěli vyjadřovat jako dítě čtyřleté, museli bychom se naučit už asi 1650 slov. A k tomu, abychom se ve znalosti slovní zásoby cizího jazyka vyrovnali domorodému studentu střední školy, bychom museli znát více než deset tisíc slov. Tím se dostáváme k otázce, kolik slov by bylo třeba se naučit, abychom znali slovní zásobu konkrétního jazyka dokonale. Tady se už přesná odpověď hledá těžko, například přesný počet slov v češtině neznáme a ani nemůžeme znát. Jednak se slovní zásoba neustále vyvíjí, některá slova zastarávají, jiná se nově objevují, jednak takovému počítání stojí v cestě několik nejasností a otázek: předně zda do takového výčtu řadit odborné termíny nebo slova z běžné neoficiální mluvy a z různých nářečí. Nikdo například nemůže pochybovat o tom, že v češtině existuje složený 32 chemický termín kyselina 5-aminosalicylová (ale málokdo ví, co to vlastně je) nebo takové slangové slovo jako šmirgl (brusný papír). Dále je někdy složité rozhodnout, které slovo existuje reálně a které pouze hypoteticky – moje děti třeba běžně používaly slova strašidelna, které označuje místnost, zpravidla potemnělou, ve které se (údajně) vyskytují strašidla. Podstatné jméno strašidelna je jistě vytvořeno v souladu s pravidly tvoření slov – máme slova jíst, jídlo, jídelna nebo prát, prádlo, prádelna a podle toho strašit, strašidlo, strašidelna. Ale existuje to slovo, nebo ne? Teď vážně – kolik? Když vyloučíme speciální vědeckou nebo jinou terminologii a když nebudeme brát v potaz ani výrazy typu strašidelna, můžeme počet slov v české slovní zásobě odhadnout na 250 tisíc. Právě tolik hesel obsahuje doposud nejrozsáhlejší český slovník – devítisvazkový Příruční slovník jazyka českého, který byl dokončen před více než padesáti lety. Naproti tomu Slovník spisovné češtiny pro školu a veřejnost, který se dnes nejčastěji používá, je ve srovnání s Příručním slovníkem asi pětinový. K běžnému dorozumění těch 50 tisíc slov bohatě stačí. Průměrný Čech totiž aktivně v řeči i v psaných textech používá asi jen pět až deset tisíc slov – to je takzvaná průměrná aktivní slovní zásoba. Vedle toho má však každý z nás ještě slovní zásobu pasivní – to jsou ta slova, kterým rozumíme, ale která sami aktivně nepoužíváme. Když se aktivní i pasivní slovní zásoba průměrného člověka sečte, dělá to dohromady asi 80 tisíc slov. Každý z nás tedy aktivně i pasivně ovládá množinu slov, jejíž objem je o trochu větší než Slovník spisovné češtiny. A to málo rozhodně není, vezmeme-li v úvahu, jak je ten slovník tlustý a že na jeho jedné jediné stránce najdeme i tak speciální výrazy jako slevenka (poukázka na získání slevy), slín (jílovitá usazená hornina užívaná ve stavebnictví) anebo dokonce slipr, což je nízká domácí obuv bez šněrování nebo zapínání. Slova ale nejsou všechno Jenže když se chce někdo naučit třeba anglicky, německy nebo česky opravdu dobře, musí znát nejen několik tisíc slov, ale také to, jak slova spojovat do vět. A k tomu musí znát gramatiku, která se „počítá“ dost špatně. Zvlášť když je tak složitá jako ta naše, česká. Vezmeme-li například v úvahu, že podstatná jména se v češtině skloňují v sedmi pádech a ve dvou číslech a že nadto máme u podstatných jmen celkem čtrnáct skloňovacích vzorů, zjistíme, že by česká podstatná jména měla mít celkem 196 různých tvarů. Ve skutečnosti se ale v těchto 196 různých kombinacích pádu, čísla a vzoru kombinuje jen asi 24 různých koncovek, z nichž většina má několik různých významů. Zapamatovat si, kam která patří, je pro cizince opravdu velký úkol – větší, než se nám Čechům může zdát. Ondřej Bláha 33 Už 50 let napočítalo lidstvo od prvního letu ženy do vesmíru. Ruská kosmonautka Valentina Těreškovová vzlétla do kosmu na Vostoku 6 dne 16. června 1963. Výběr, přípravu a let první kosmonautky světa provázela řada problémů a emocí. Muži zodpovědní za sovětský kosmický program dávali velmi hlasitě najevo svůj nesouhlas s tím, že by se do křesla v kosmické lodi měla posadit žena-kosmonautka. Další žena, Světlana Savická, vzlétla ke hvězdám až za dlouhých 19 roků po Těreškovové. A první Američanka se do vesmíru podívala téměř na den přesně 20 let po Těreškovové. Byla jí Sally Rideová na palubě amerického raketoplánu Challenger dne 18. června 1983. Do dnešních dnů se do vesmíru podívalo celkem 531 lidí z 36 států celého světa. Žen mezi nimi bylo ale pouhých 57. Ve východní Asii za posledních 130 let dramaticky přibylo tajfunů a hurikánů. Přišli na to vědci, kteří prozkoumali více než 30 tisíc letokruhů i klimatické údaje a našli tak vztah mezi výskytem tajfunů a růstem dřevin. Podle nich tajfuny od roku 1770 nabírají na síle. Výsledky bádání zveřejnili v časopise Global Change Biology. Podklady pro svůj vý- zkum získali badatelé v jižní části Korejského poloostrova, lze je ale podle nich vztáhnout na celou východní Asii, pro kterou klimatické modely předpovídají nárůst intenzity tropických cyklónů. Pokud se předpoklady potvrdí, mohou nastat změny v krajině. S dopady pak budou muset počítat hustě obydlené oblasti jako Korea, Japonsko, Tchajwan nebo Čína. Mezi Top 10 nových druhů 2013 se dostaly dva druhy mikroskopických vláknitých hub, které objevil mezinárodní tým vědců ve francouzské jeskyni Lascaux. Jeho členkou byla i česká vědkyně Alena Nováková z Ústavu půdní biologie Biologického centra Akademie věd ČR. Spolu s kolegy popsala nové mikroorganismy Ochroconis lascauxensis a Ochroconis anomala, které našli na pravěkých malbách v jeskyni. Seznam deseti nejvýznamnějších nově popsaných druhů uveřejňuje každoročně Mezinárodní institut pro výzkum druhů. Letos odborná komise vybírala mezi více než 18 tisíci druhy rostlin a živočichů z celého světa. 34 Čeští astronomové jako jediní spočítali dráhu malé planetky, která letos v únoru spadla nad Uralem. Pracovníci Astronomického ústavu Akademie věd ČR v Ondřejově využili sedmi videozáznamů pádu dostupných na internetu. Podle jejich výpočtů byla pozorovaná dráha v atmosféře dlouhá 254 kilometrů. Těleso bylo poprvé zachyceno na záznamech ve výšce necelých 92 km nad zemí, kdy už se jeho povrch zahřál natolik, že se silně odpařoval. Těleso se pohybovalo rychlostí 17,5 km za sekundu po dráze skloněné 17 stupňů k zemskému povrchu a jeho jas se neustále zvyšoval. O 11 sekund později, kdy těleso dosáhlo výšky 32 kilometrů nad zemí, začal jeho mohutný rozpad na menší části. Toto drobení přežilo jedno velké těleso, několik středně velkých a tisíce drobných úlomků. Hmotnost největšího tělesa vědci odhadli na 200 až 500 kilogramů, což odpovídá velikosti kolem půl metru. Skončilo na dně jezera Čebarkul. (srd) 35 Asi málokoho by napadlo, že matematika má blízko také k umění. Často se obě oblasti – matematika se svou přesností a jednoznačnými výsledky a svobodná umělecká tvorba – považují za protikladné. Pravda je ale úplně jiná! Umělci pro svou práci vždy s neobyčejnou vynalézavostí využívali veškeré dostupné možnosti, včetně poznatků matematiky, vědeckých objevů a technických vynálezů. V dobách, kdy si umění kladlo za cíl napodobovat přírodu a věrně zobrazovat skutečnost, usnadňovali si umělci tento úkol pomocí různých měřicích přístrojů a optických zařízení. Dobře doložené příklady lze dohledat už v 15. a 16. století. Na rytinách slavného umělce Albrechta Dürera můžeme nahlédnout pod pokličku takového způsobu kreslení. Vypadá to, že kreslení hlavy nebo figury podle modelu se podobá spíše přesnému vědeckému měření či rýsování. Malíř si pomáhá „kreslicím strojem“, díky kterému má během kresby stále pevné stanoviště. Zkrátka: během práce se nemůže pohnout, protože je jeho obličej uchycen v takzvaném okuláru (je to ta věc, která umělci zakrývá jedno oko a drží jeho bradu). Na skleněnou desku se pak přenášejí obrysy modelu. Podobnou pomůcku, tentokrát založenou na čtvercové síti, používá kreslíř zachycující ležící ženu. Tak nevím, „provozují“ tito muži umění, nebo spíš geometrii? Posvátná čísla Matematické principy, geometrie i aritmetika se využívaly nejen v tvůrčích postupech umělců, ale i v umění samotném. V mnoha uměleckých dílech se pracuje se symbolikou čísel nebo jsou celá utvářena podle složitých geometrických plánů. Tak například číslo tři je v umění zvlášť oblíbené. Je to prvočíslo, a snad proto se stalo symbolem trojjedinosti, slučujícím v sobě počátek, střed i konec. Možná víš, že křesťanský Bůh je trojjediný (Otec, Syn a Duch svatý), takže jde o číslo přímo posvátné. Svatá trojice ale není jediný námět v umění, který pracuje s trojkou. K tomuto číslu se váže také představa cyklu zrození, zralosti a stáří. A odpovídá mu trojúhelník stojící na základně, podobně jako jsou rozestavěny postavy na obraze Madony, dítěte a svaté Anny, který si zde můžeš prohlédnout. 36 Masaccio, Madona a dítě se svatou Annou, 1424 (postavy jsou umístěny do trojúhelníkové kompozice, využit je i zlatý řez, okolo něhož jsou umístěny tváře Panny Marie a Ježíška spolu s žehnající rukou svaté Anny). Takový námět se někdy označuje jako svatá Anna samotřetí. Zase číslo, že? Zvláštní staré slovo samotřetí říká, že daná žena vychovala dceru, která se rovněž stala maminkou. Takže svatá Anna je – jak už ses jistě dovtípil – babičkou malého Ježíška. Obraz tak skutečně – kromě náboženského obsahu – ztvárňuje koloběh života: narození, mateřství i vyzrálost stáří. Počítámli správně, na obraze je celkem osm postav – a osmička zase symbolizuje dovršení a spojení s věčností. Křesťané věří, že cestu do věčnosti nám „zařídil“ svým životem a smrtí právě Ježíš, takže ani osmička na tomto obraze není náhodou. Nakonec se zdá, že porozumět umění bez matematiky ani není možné... A to zatím nebyla řeč o perspektivě! Jak možná víš, jde o optický jev, který může za to, že rovnoběžky v krajině – třeba koleje – vypadají, jako by se sbíhaly. Nebo že vzdálené věci vypadají menší než ty blízké. „Vynález“ perspektivního zobrazování se považuje za snad nejdůležitější výsledek spolupráce mezi matematikou a uměním. Teprve díky perspektivě, která se jinak užívá v deskriptivní geometrii a mnoha dalších oborech, si mohli umělci podmanit přírodu a vytvářet skutečně dokonalou iluzi prostoru. Zkrátka 3D... Leonardo da Vinci, Klanění tří králů, studie perspektivy, okolo 1481. Víš, co je zlatý řez? Bez matematiky nelze uvažovat ani o kráse. Během historie se spojovala právě s dokonalostí matematického řádu. Tento řád se hledal v přírodě a umělci usilovali o jeho zkoumání a přenesení do malířství, sochařství a architektury. Abstraktní přirozená čísla a jejich poměry proto nacházíme nejen v přírodě, ale stejnou měrou i v umění. Třeba ve známých dílech Leonarda da Vinciho. Ve slavné Poslední večeři, kterou si můžeš prohlédnout na obrázku, najdeš kromě perspektivního zobrazení a využití trojúhelníkové kompozice i nejdokonalejší ze všech poměrů, takzvaný zlatý řez, ideální proporci mezi různými délkami. Jde o poměr o hodnotě přibližně 1,618, který lze matematicky zapsat takto: Asi nás už nepřekvapí, že Leonardo považoval malířství za vědu. Ostatně sám byl nejenom geniálním umělcem, ale také vědcem a vynálezcem. Vytvoření uměleckého díla bylo mnohdy skutečně především geometrickým problémem, a proto bylo nezbytné, aby malíř – kromě jiného – studoval pečlivě i geometrii. Dokazuje to i mistrova studie, kterou se pečlivě připravoval na malbu zmíněného nástěnného obrazu Poslední večeře. Nevypadá jako kresba umělce, že? Připomíná spíš domácí úkol do geometrie... Leonardo da Vinci, Studie k Poslední večeři, 1494–5. 37 Leonardo da Vinci, Poslední večeře, 1498, využití zlatého řezu, perspektivního zobrazení i geometrie (nahoře). Leonardo da Vinci, Studie centrálního kostela, okolo 1488 (vpravo). Bez matematiky je nemyslitelná i architektura. Nestály by podivuhodné katedrály, paláce nebo důmyslné průmyslové stavby. Přestože se během 20. století umělecká pravidla velmi rozvolnila, umělci matematiku neopouštějí. Rozhodně ji nevnímají jako nudný předmět ve škole! Tuší totiž, že může být prostředkem k uchopení tajemství přírody. Toto tajemství se umělci i matematici pokoušejí polapit právě tak, že skutečnost čtou jako číselnou či geometrickou strukturu. Protože tajemná čísla a geometrické tvary jsou všude okolo, stačí jen otevřít oči... Petra Šobáňová foto: archiv autorky 38 Geniální dítě Proč zemřela první matematička? Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) byl významný a slavný německý matematik a fyzik. O jeho genialitě se vypráví několik historek. V jedné z nich se říká, že jako malý školák dostal od učitele úkol sečíst všechna čísla od 1 do 100, aby se na nějakou dobu „zabavil“. Jaké však bylo učitelovo překvapení, když se malý Gauss během chviličky přihlásil a řekl správný výsledek. Gauss totiž objevil vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. Nejdříve si napsal pod sebe řadu čísel 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 a potom řadu opačnou 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1. Všiml si, že sčítáním čísel nad sebou 1 + 100, 2 + 99… dostává stále součet 101. Těchto součtů je 100, ale protože sčítal dvě řady čísel od 1 do 100, obdržel dvojnásobek hledaného výsledku. Proto stačí vzít jen polovinu, tedy 50×101=5050. Hypatia z Alexandrie (asi 370–415) byla filozofka a první historicky známá matematička, o které máme doložené informace z jejího života a díla. První žena v historii matematiky žila a působila v egyptské Alexandrii na sklonku starověké epochy Řecka a Říma. Byla významnou novoplatónskou filozofkou a matematičkou, učenou a krásnou ženou, která se věnovala vědě a prý se kvůli tomu ani nevdala. Měla kolem sebe kruh učenců a žáků. Byla velmi uznávaná a respektovaná, měla významné postavení, což bylo v té době neobvyklé a mimořádné. Možná i právě proto, navíc v době nástupu a rozmachu křesťanství, byla tato pohanská učenkyně davem fanatických křesťanů unesena a brutálně zavražděna. Jiří Hátle Největší matematik neexistoval? Slavný francouzský matematik Nicolas Bourbaki byl významným vědcem a inovátorem 20. století, neboť se velmi zasadil o nový přístup v matematice. Celou matematiku se snažil vybudovat na teorii množin, čímž ji postavil na pevných základech. Během let 1935 až 1983 sepsal a publikoval devět knih, v každé se věnuje významné oblasti matematiky, např. teorii množin, algebře, funkcím, integrování atd. Budete ale překvapeni: žádný Nicolas Bourbaki nikdy nežil! Bourbaki totiž nebyla osoba, nýbrž tajný spolek francouzských matematiků, který vznikl v roce 1935. Členové se společně snažili přistupovat ke všem oblastem matematiky novým způsobem a své výsledky publikovali v souborných dílech pod pseudonymem Nicolas Bourbaki. 39 Jak se nazývá algebra, která se používá v geoinformatice? a) geografická algebra b) mapová algebra c) informatická algebra Který vědec zavedl takzvané pythagorejské ladění v hudbě? a) Johan Sebastian Bach b) Pythagoras ze Samu c) Wolfgang Amadeus Mozart Kolik slov potřebujeme k základnímu jednoduchému dorozumění v cizím jazyce? a) 850 b) 10 tisíc c) 250 tisíc Na čem záleží množství pracího prášku, které použijeme k vyprání určité dávky špinavého prádla? a) na množství prášku, které ještě máme k dispozici b) na ničem, můžeme dát, kolik chceme c) na tvrdosti vody Jaké povolání měl Ježíš, než se stal hlasatelem křesťanské víry? a) kameník b) hrobník c) tesař Co je THC? a) tetrahydrocannabinol, psychotropní látka, která se nalézá v květenství konopí setého b) je to jiný název pro tuberkulózu c) zkratka pro technicko-hospodářské cechy Co je zlatý řez? a) cokoli rozřezaného zlatým nožem b) zlato rozřezané na kousky c) matematický poměr, hojně využívaný ve výtvarném umění Z jakých kovů je vyrobena česká padesátikorunová mince? a) z různě obarveného železa b) z mědi a zlata c) z oceli a slitiny mědi a zinku Jak se jmenovala první žena na světě, která vzlétla do vesmíru? a) Valentina Těreškovová b) Nastasja Kinská c) Julia Robertsová Kdo je autorem matematického pojmu „fuzzy“ množiny? a) Lotfi Zadeh b) Ludvík Zadek c) Leonardo da Vinci Slovo závěrem Na další číslo časopisu FORTe se už můžete začít těšit: vyjde totiž v polovině dubna a tentokrát z něj budou zářit samé hvězdy! Jak ty na obloze nebo mezi umělci, tak hvězdy z říše rostlin a živočichů. Budete-li mít nějaký nápad související s jakoukoli hvězdou, třeba i s tou, kterou se učíte v tělesné výchově, neváhejte a napište nám na adresu [email protected]. Budeme rádi, když se na tvorbě FORTe budete také podílet! Pěkné čtení vám přeje redakce Redakce: Zita Chalupová (jej), Martina Šaradínová (srd), Martina Vysloužilová (vys). Ilustrace: Ondřej Plachký, Jakub Plachký, Helena Fadrná. Fotografie: Robert Mročka. Sazba a grafické zpracování: Jakub Plachký. Náklad: 3000 ks. Kontakt: [email protected], www.popup. upol.cz. Vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci 2014. Časopis FORTe vzniká díky podpoře projektu Univerzita Palackého – centrum vědy pro všechny CZ.1.01/2.3.00/35.0011. 40 Vydejte se poznávat vesmír Kosmos je vše, co je, co kdy bylo a vše, co kdy bude. Velikost a stáří kosmu je mimo jakékoliv lidské chápání. Věřím, že naše budoucnost silně závisí na tom, jak dobře porozumíme kosmu, ve kterém se vznášíme jako smítko prachu na ranním nebi. – Carl Sagan WATCH & KNOW Prostřednictvím obsahově a vizuálně podmanivých dokumentů poodhalí Mezinárodní festival populárněvědeckých filmů AFO 2014 vznik vesmíru a teorii multiversa. Přiblíží hvězdy, jež nám daly život i naši planetu, která je břehem kosmického oceánu. Kosmos znamenal v původním řeckém významu „šperk” nebo „ozdobu”. Odkazoval ke kráse vesmíru a jeho rozsáhlosti, nad níž od pradávna žasneme. Festival AFO se proto zaměří také na estetický rozměr tématu a propojení vědy s uměním, které je kosmologii a astronomii tak blízké. Svojí uměleckou tvorbu tak bude prezentovat například umělkyně tematizující kosmos Daniela DePaulis nebo úspěšné české uskupení UTesla, z jehož dílny vzešla hra Questionaut a jedinečná fůze hudby, tance a vědy – projekt Nanopolis. Ideje, které před 35 lety představil Carl Sagan ve své legendární sérii Kosmos, doplní bohatý doprovodný program, jenž ve spolupráci s AFO zajistí přední české popularizační instituce v čele s Hvězdárnou a planetáriem Brno. Návštěvníci se naučí fotit nebeské objekty, budou moci cestovat vesmírem v mobilním planetáriu nebo pozorovat s odborníky hvězdy, Slunce a Měsíc. Festivalu AFO se letos zúčastní například světoznámý fyzik a popularizátor Lawrence M. Krauss, Pamela Gay, syn Carla Sagana Dorion, přední čeští fyzikové Jiří Chýla a Petr Kulhánek a mnoho dalších odborníků a popularizátorů z Česka i zahraničí. AFO.CZ 49. MEZINÁRODNÍ FESTIVAL POPULÁRNĚ-VĚDECKÝCH FILMŮ Credit & Copyright: Fred Vanderhaven VIDĚT & VĚDĚT 49TH INTERNATIONAL FESTIVAL OF SCIENCE DOCUMENTARY FILMS ACADEMIA FILM OLOMOUC 15. – 20. 4. 2014
Podobné dokumenty
KNOW ti lu s / KNOW ti lu s
záležitostí malé skupiny expertů, kteří činí rozhodnutí a těch, jichž se
to týká, se na nic neptají, což podle něj není jen vina politiků, ale
také staré tradice onoho „objektivního“ vědění odtržen...
Valderon 5 (velikost PDF souboru 2,8 MB)
Pro mě je to jednak samota, boj s vlastními hlasy, boj sám se sebou. Což asi zažívá
každý z nás. Zajímavé jsou v tomhle směru reakce diváků. Víc na to chodí holky
nebo ženy. Nějak si v tom každá na...
1 - walk77
Po únoru 1948 byl nastolen nový kurz ve vyzbrojování československé armády. Šlo zejména o unifikaci výzbroje se Sovětskou
armádou a tím i o změnu celé zbrojní koncepce naší armády. Československá ar...
PDF (PC, iPad) - E-knihy.knihovna.cz
by se na něm měly odehrávat všechny fáze hodiny, řešit výukové cíle atp. Ve skutečnosti by ale tablet měl představovat spíše vhodný doplněk tam, kde se jeví jeho
použití jako efektivní a smysluplné...
Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683 MATEMATIK, FILOZOF
počtáři (praktikové) spolehlivě aritmetické výpočty včetně počítání s iracionálními čísly
Informace o vyšetřeních
Antistreptolysin O destruuje membrány buněk, a tím je usmrcuje; má kardiotoxické vlastnosti; protilátky, které se proti
němu hojně tvoří (ASLO) jsou důležitým diagnostickým markerem
Tzv. sterilní n...
