Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů

Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci
Katedra optiky
Počítačové simulace vybraných
fyzikálních jevů
Bakalářská práce
Karel Lemr
Olomouc
duben 2006
Prohlašuji, že jsem tuto práci zpracoval samostatně a pouze s použitím uvedené literatury.
Děkuji prof. RNDr. Jiřímu Bajerovi, CSc. za cenné rady a konzultace.
Obsah
1 Úvod
1
2 Počítačová simulace difrakčních obrazců
2.1 Teoretický základ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Algoritmické řešení apletu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Významné proměnné použité v algoritmu . . . . . . .
2.2.2 Základní algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Optimalizovaný algoritmus . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Vykreslení difrakčního obrazce . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Porovnání časové náročnosti představených algoritmů
2.3 Návod k použití apletu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
. 2
. 4
. 4
. 5
. 6
. 10
. 11
. 11
3 Počítačová simulace šíření světelného paprsku
15
3.1 Teoretický základ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Algoritmické řešení apletu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Návod k použití apletu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Počítačová simulace Lissajousových
4.1 Teoretický základ . . . . . . . . . .
4.2 Algoritmické řešení apletu . . . . .
4.3 Návod k použití apletu . . . . . . .
5 Závěr
křivek
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
1
11. června 2006
Úvod
V mnoha přírodních vědách se objevují problémy, které je z různých důvodů vhodné řešit pomocí
simulace. Tyto důvody mohou být časové, ekonomické, ale také například bezpečnostní. V minulosti
proto vznikaly důmyslné přístroje, které by k řešení alespoň z části napomohly. S příchodem moderní
výpočetní techniky se vědcům otevřely nové možnosti, jak řešit celou řadu problémů za pomoci počítačových simulací. Simulace je nejen mocným nástrojem pro ověření platnosti teoreticky odvozených
vztahů, ale je také vynikající pomůckou při výuce. Znázornění daného fyzikálního jevu prostřednictvím
simulace usnadňuje jeho pochopení a osvojení si pravidel, kterými se řídí.
Zmíněné důvody mne motivovaly k tomu, abych svou pozornost věnoval právě počítačové simulaci.
Jako student fyziky jsem si položil za cíl vytvořit počítačové programy simulující vybrané fyzikální
jevy.
Před zahájením práce jsem se musel rozhodnout, který programovací jazyk bude nejvhodnější. Po
pečlivé úvaze jsem nakonec vybral jazyk Java vyvíjený firmou Sun Microsystems (viz obrázek 1). Mezi
Obrázek 1: Logo programovacího jazyka Java
jeho hlavní přednosti patří nezávislost na platformě (operačním systému), kterou uživatel na svém počítači provozuje. Další významnou předností tohoto programovacího jazyka je dostupnost vývojových
nástrojů zdarma přímo na webových stránkách výrobce (http://java.sun.com). Třetí poměrně zásadní
předností Javy je integrovatelnost aplikací přímo do WWW stránek formou tzv. Java apletů. Uživatel není nucen program stahovat ani instalovat, ale stačí, když pomocí webového prohlížeče navštíví
stránku obsahující program. Formu Java apletů vložených do WWW stránek jsem zvolil pro všechny
své simulační programy předkládané v této práci.
Každé simulaci je věnována samostatná kapitola členěná na tři sekce. V první sekci, nazvané teoretický základ, nastíním fyzikální pozadí studovaného jevu a uvedu matematický aparát nezbytný
k sestavení vhodného počítačového algoritmu. Druhá sekce se věnuje popisu samotného algoritmu a seznamuje čtenáře s jeho chodem. Ve třetí sekci popisuji návod k použití apletu, abych uživateli představil
danou simulaci a způsoby jejího ovládání.
Jako náměty pro počítačové simulace slouží tři fyzikální jevy. V první části této práce se budu
věnovat simulaci difrakce světla, ve druhé části se zaměřím na simulaci chodu světelných paprsků a
ve třetí části představím simulaci Lissajousových křivek. Kromě textu, který právě čtete, tvoří mou
práci i přiložený disk CD, na kterém naleznete nejen aplety samotné, ale také kompletní zdrojové kódy,
které mohou sloužit k hlubšímu prostudování použitých algoritmů. Obsah CD je také k dispozici na
webových stránkách http://optics.upol.cz/lemr/java/.
1
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
2
2.1
11. června 2006
Počítačová simulace difrakčních obrazců
Teoretický základ
Narazí-li vlna při svém šíření na překážku, začne se ohýbat i do míst geometrického stínu. Popisovanému
jevu říkáme difrakce a je jedním z typických projevů vlnění. Experimenty ukazují, že difrakci je možné
pozorovat i u světla. Tento fakt podporuje chápání světla jako elektromagnetického vlnění [1].
Studiem difrakce se zabýval italský fyzik Francesco Maria Grimaldi (2. 4. 1618 – 28. 12. 1663).
Ve své knize, publikované v roce 1665 (tedy dva roky po autorově smrti), popisuje difrakci světla na
úzké štěrbině. Nezávisle na Grimaldiho objevech vydal roku 1690 dánský fyzik Christian Huygens
(14. 4. 1629 – 8. 6. 1695) práci zabývající se šířením světla a nesoucí název Traité de la lumière. Huygens
v ní ukázal, že v každém okamžiku lze body, do kterých čelo vlny dospěje, považovat za elementární
zdroje vlnění. Výsledný tvar vlnoplochy v následujícím okamžiku je poté určen superpozicí kulových
vlnoploch od těchto elementárních zdrojů. Touto metodou dokázal Huygens vysvětlit například odraz světla nebo lom světla. Roku 1818 se Augustinu Jeanu Fresnelovi (10. 5. 1788 – 14. 7. 1827)
podařilo s využitím Huygensova principu a interference popsat také difrakční jevy. Proto se v této
souvislosti v literatuře často hovoří o Huygens-Fresnelově principu. Přesnou matematickou podobu dal
tomuto principu Gustav Robert Kirchhoff (12. 3. 1824 – 17. 10. 1887). Odvodil integrální vztah
"
!
#
2πis
2πis
1 {
∂
e λ
e λ ∂U
U (P ) =
U
−
dS
(1)
4π
∂n
s
s ∂n
S
známý dnes jako Kirchhoffův integrál, ve kterém ukázal, že komplexní amplitudu vlny U (P ) v libovolně zvoleném bodě P je možné získat ze znalosti rozložení komplexní amplitudy a její derivace na
uzavřené ploše obklopující tento bod. Ve vztahu (1) označuje λ vlnovou délku záření a s vzdálenost
bodu P od elementu dS na ploše S (viz obrázek 1). Pomocí tohoto vztahu lze přímo počítat difrakci
monochromatických vln. V případě, kdy studujeme vlnění polychromatické, je nejprve třeba rozložit
vlnu do spektra a poté řešit difrakci pro každou složku spektra zvlášť. V dalších úvahách se ovšem
omezíme pouze na monochromatické záření.
~n
dS
s
P
S
Obrázek 1: Pomocí Kirchhoffova integrálu je možné určit komplexní amplitudu vlny v bodě P ze
znalosti rozložení komplexní amplitudy a její derivace na ploše, která bod P uzavírá.
Ukazuje se, že přesné analytické provedení Kirchhoffova integrálu je možné pouze v několika vybraných případech. Jedním z mála takovýchto případů je difrakce světla na hraně elektricky dokonale
vodivé poloroviny. Řešení tohoto problému představil roku 1896 německý fyzik Arnold Sommerfeld (5. 12. 1868 – 26. 4. 1951). Ve většině difrakčních úloh je však nutné využívat různých aproximací
[2, 3, 4, 5, 6].
Často používanou aproximaci navrhl další německý fyzik Joseph Fraunhofer (6. 3. 1787 – 7. 6. 1826).
Předpokládejme (viz obrázek 2) zdroj monochromatického záření Z, aperturu A a stínítko S. Na
apertuře zavedeme souřadné osy ξ a η, na stínítku pak osy x a y. Pro Fraunhoferovu aproximaci je
2
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
charakteristické pokládat zdroj i stínítko do vzdáleností mnohonásobně převyšujících příčné rozměry
apertury (teoreticky do nekonečna). Vlny dopadající ze zdroje na aperturu i vlny, které z apertury
dopadnou na stínítko, lze při této představě považovat za vlny rovinné [2, 3, 6, 7, 8].
η
y
x
ξ
s
r
Z
A
S
Obrázek 2: Schéma realizace Fraunhoferovy difrakce.
Dalším důležitým krokem je popis apertury. Zde zavádíme obecně komplexní funkci f (ξ, η). Naše
úvahy však omezíme pouze na apertury tvořené průsvitnými otvory v neprůsvitném materiálu. Neuvažujeme apertury modulující fázi vlny. Funkce f (ξ, η) tak nabude tvaru
1 v místech otvorů,
f (ξ, η) =
(2)
0 jinde.
Nyní již můžeme formulovat vztah pro Fraunhoferovu difrakci definující komplexní amplitudu
U (x, y) v libovolném bodě stínítka
{
2πi
U (x, y) = U0
f (ξ, η)e λr (xξ+yη) dξdη.
(3)
A
Integraci provádíme přes celou aperturu a U0 označuje konstantu spojenou s vlastnostmi zdroje. Po
zavedení substituce
x
y
νx =
a νy =
(4)
λr
λr
lze na Fraunhoferovu difrakci nahlížet jako na dvourozměrnou integrální Fourierovu transformaci funkce
f (ξ, η). Tento přístup nám umožní využít při výpočtu difrakce známých matematických vztahů pro
Fourierovu transformaci [2, 7, 9].
Je-li matematický popis funkce f (ξ, η) příliš komplikovaný, nahrazujeme analytický výpočet integrálu numerickými metodami. Proto přejdeme od integrální podoby Fourierovy transformace k podobě
diskrétní. Komplexní amplitudu U (νx , νy ) pak lze určit následujícím vztahem
U (νx , νy ) = U0
N
−1 N
−1
X
X
0
f (ξ, η)e2πi(νx ξ+νy η)/N ,
(5)
ξ=0 η=0
kde jsme aperturu rozložili v každé ose na N intervalů, přes které sčítáme. Pro účely řešení difrakce
za použití výpočetní techniky bude nezbytné také podobným způsobem rozdělit i stínítko na konečný
počet bodů, které bude charakterizovat dvojice indexů νx a νy nabývajících hodnot 0, 1, 2, . . . , N 0 − 1.
Simulace popisovaná v této práci pracuje s hodnotami N = 50 a N 0 = 200. Programovací jazyk Java
není schopen pracovat s komplexními čísly, proto je nutné rozdělit výpočet komplexní amplitudy na
reálnou a imaginární složku. S využitím Eulerových vztahů dostaneme
<[U (νx , νy )] = U1
N
−1 N
−1
X
X
f (ξ, η) cos 2π(νx ξ + νy η)/N 0
ξ=0 η=0
3
(6)
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
pro reálnou část komplexní amplitudy a
=[U (νx , νy )] = U2
N
−1 N
−1
X
X
f (ξ, η) sin 2π(νx ξ + νy η)/N 0
(7)
ξ=0 η=0
pro imaginární část komplexní amplitudy. Vztahy (6) a (7) jsou platné pouze za předpokladu, že funkce
f (ξ, η) je reálnou funkcí. Jak již bylo zmíněno, omezujeme se pouze na situace, kdy lze funkci f (ξ, η)
vyjádřit vztahem (2). Tím je platnost vzorců (6) a (7) zaručena [10].
Pozorovanou veličinou na stínítku nebude komplexní amplituda, ale intenzita světla I(νx , νy ). Tu
ze znalosti komplexní amplitudy dopočítáme pomocí vztahu
I(νx , νy ) = |U (νx , νy )|2 = <[U (νx , νy )]2 + =[U (νx , νy )]2 .
2.2
2.2.1
(8)
Algoritmické řešení apletu
Významné proměnné použité v algoritmu
Než začneme vlastním rozborem výpočetních algoritmů, věnujme pozornost několika významným proměnným, které jsou v programu použity. Zásadní roli hraje proměnná s názvem velikostBodu, která
určuje vlastnosti stínítka. Jak již bylo zmíněno v teoretické části, stínítko je pro účely počítačové simulace rozděleno na množinu diskrétních bodů. Pro každý bod je výpočet intenzity prováděn samostatně.
Minimální velikost jednoho bodu je 1×1 px a oblast stínítka určená pro vykreslení difrakčního obrazce
má rozměry 200×200 px. Odtud vidíme, že simulace může obsahovat až 40 000 nezávislých bodů. Výpočet intenzity je pro takto vysoký počet prvků časově náročný. Pro zrychlení výpočtu je možné zvětšit
velikost zobrazovaných bodů na celistvý násobek rozměru pixelu. K tomu je právě využita proměnná
velikostBodu, neboť určuje výšku a šířku jednoho bodu v pixelech1 . Je zřejmé, že s rostoucí hodnotou velikostBodu bude klesat počet bodů na stínítku a tím i časová náročnost výpočtu difrakčního
obrazce. S tím ovšem souvisí snížení celkového rozlišení. Proměnná velikostBodu určuje poměr mezi
časovou náročností a kvalitou zobrazení. Uživatel má možnost volit hodnotu této proměnné tak, aby
mohl dosáhnout požadovaného poměru.
Další velmi důležitou proměnnou pro celý algoritmus je pole typu boolean s názvem pruchod[][].
Toto dvourozměrné pole může v každé své složce nabývat hodnot true nebo false a slouží k popisu apertury. Hodnoty true odpovídají otevřeným otvorům a hodnoty false otvorům uzavřeným.
Pole pruchod[][] je programátorským vyjádřením funkce f (ξ, η) ve smyslu její definice (2). Hodnoty
true pole pruchod[][] odpovídají hodnotám 1 funkce f (ξ, η). Podobně hodnoty false odpovídají
hodnotám 0.
Trojice dvourozměrných polí typu double s názvy re_amplituda[][], im_amplituda[][] a
intenzita[][] určují postupně reálnou složku amplitudy, imaginární složku amplitudy a intenzitu
jednotlivých bodů stínítka. V průběhu výpočtu jsou hodnoty těchto proměnných spočteny pro každý
jednotlivý bod. Dále je do výpočtů zavedena proměnná s názvem intenzita_prum (typu double),
pomocí které je určena průměrná intenzita na stínítku. Tato informace je dále využita ke škálování
intenzity tak, aby bylo dosaženo obrazu s co možná nejoptimálnějším jasem.
Uživatel má k dispozici volbu vlnové délky použitého záření. Ještě před výpočtem difrakčního
obrazce je této vlnové délce třeba přiřadit barvu v systému RGB2 . Tento výpočet barvy z vlnové délky
zajišťuje jednoduchý algoritmus využívající tabulku barev a vlnových délek [11]. Tabulka obsahuje
vlnové délky pouze několika vybraných barev a převodní algoritmus je třeba považovat pouze za
orientační. Informace o barvě jsou pro další použití uloženy v poli typu integer nesoucím název
RGB[].
1
Celkový počet pixelů v jednom bodu je tedy velikostBodu2 .
Programovací jazyk Java popisuje barvy prostřednictvím systému RGB, kdy každé barvě vyhradí jeden byte informace. Celkový počet různých barev je 16 777 216.
2
4
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
2.2.2
11. června 2006
Základní algoritmus
Program předkládaný v této práci má implementovány dva algoritmy pro výpočet difrakčních obrazců,
mezi kterými si může uživatel vybrat. První algoritmus (zdrojový kód 1) vychází přímo ze vztahů (6),
(7) a (8). Provádí neoptimalizovanou diskrétní Fourierovu transformaci (zkráceně DFT).
Zdrojový kód 1: Základní algoritmus
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
( i n t x = 0; x < 200; x = x +
{
f o r ( i n t y = 0; y < 200; y = y +
{
re_amplituda [ x ][ y ] = 0;
im_amplituda [ x ][ y ] = 0;
f o r ( i n t j = 0; j < 50;
{
f o r ( i n t k = 0; k < 50;
{
for
velikostBodu )
velikostBodu )
j ++)
k ++)
11
if
12
13
14
15
( pruchod [ j ][ k ] == t r u e ) {
re_amplituda [ x ][ y ] = re_amplituda [ x ][ y ] + Math
. cos (2* Math . PI *(( x -100) * j + ( y -100) * k ) / z
/200*555/ lambda ) ;
im_amplituda [ x ][ y ] = im_amplituda [ x ][ y ] + Math
. sin (2* Math . PI *(( x -100) * j + ( y -100) * k ) / z
/200*555/ lambda ) ;
}
}
}
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
intenzita [ x ][ y ] = ( Math . pow ( re_amplituda [ x ][ y ] ,2) + Math . pow (
im_amplituda [ x ][ y ] ,2) ) /256;
intenzita_prum = intenzita_prum + intenzita [ x ][ y ];
i f ( x == y ) {
g . setColor ( Color . black ) ;
g . fillRect (275 ,75 ,325 ,125) ;
g . setColor ( Color . white ) ;
g . drawString ( String . valueOf ( Math . round (( d o u b l e ) x /2) ) + "
% " ,295 ,95) ;
}
27
28
29
}
}
První dva cykly (řádek 1 a 3) zajistí, aby algoritmus prošel všechny body na stínítku. Těmito
dvěma cykly nás provádí indexy x a y, které odpovídají proměnným x a y znázorněným na obrázku 2.
Všimněme si, že použité indexy x a y probíhají od nuly do 199 po skocích o velikosti velikostBodu.
To je v souladu s výše zmíněnou funkcí proměnné velikostBodu. Skutečně vidíme, jak s její rostoucí
hodnotou klesá počet proběhnutí obou cyklů a tím i časová náročnost výpočtu.
Pro fixní hodnoty indexů x a y, které určují konkrétní bod na stínítku, je nyní třeba spočítat
příspěvky komplexních amplitud od všech otvorů apertury. K tomu slouží další dva cykly (řádky 7 a
9), ve kterých sčítáme přes indexy j resp. k odpovídající proměnným ξ resp. η z obrázku 2. V cyklech
je nejprve podmínkou na řádku 12 ověřeno, zda je otvor na pozici (j, k) otevřen. Pokud tomu tak je,
5
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
přičte se k reálné i imaginární části komplexní amplitudy příspěvek od tohoto otvoru (řádky 13 a 14).
Při přičtení se algoritmus opírá o vztahy (6) a (7), ve kterých je ovšem nutné provést několik úprav.
Teoretické vztahy předpokládají, že optická osa prochází počátky souřadných systémů na apertuře i na
stínítku. V programovacím jazyce Java však počátky indexování dvourozměrných polí neleží v jejich
středu, ale v jejich levém horním rohu. S přihlédnutím k rozměrům stínítka 200×200 px a apertury
50×50 px zavedeme následující korekce
x
y
j
k
−→
−→
−→
−→
x − 100,
y − 100,
j − 25,
k − 25.
(9)
Využijeme-li vztahu (5), můžeme s proměnnými použitými v programu psát
U (x, y) = U0
49 X
49
X
f (j, k)e2πi(x−100)(j−25)/200 e2πi(y−100)(k−25)/200
(10)
j=0 k=0
a odtud
U (x, y) = e
−πi(x+y−200)/4
U0
49 X
49
X
f (j, k)e2πi(x−100)j/200 e2πi(y−100)k/200 .
(11)
j=0 k=0
První člen na pravé straně ve vztahu (11) byl vytknut před znaménka sumy, protože nezávisí ani na j
ani na k. Představuje pouze fázový posun závislý na poloze bodu (x, y). Je zřejmé, že se při výpočtu
intenzity neuplatní a je tedy možné jej při konstrukci algoritmu vypustit.
Dále si všimněme, že se v argumentech funkcí Math.cos a Math.sin na řádcích 13 a 14 vyskytuje
ve jmenovateli proměnná z. Ta zajišťuje funkci lupy, kterou si může uživatel zvětšit prostřední část
difrakčního obrazce. Její matematický význam lze chápat jako škálování souřadných os x a y. S rostoucí
hodnotou z se bude zvětšovat měřítko na těchto osách. Výsledkem bude zvětšený výřez obrazu poblíž
optické osy.
V souladu s teorií se na řádcích 13 a 14 v argumentech funkcí Math.cos a Math.sin objevuje
ve jmenovateli hodnota vlnové délky lambda. Navíc je zde ovšem korekční člen v čitateli s hodnotou
555. Ten zajišťuje pro rozměry použité v programu přijatelné škálování vlnové délky. Vidíme, že pro
vlnovou délku 555 nm (lambda = 555) nedojde k žádné změně difrakčního obrazce. Pro větší vlnové
délky bude difrakční obrazec více roztáhlý a pro menší vlnové délky bude roztáhlý méně. Tento efekt
je v souladu s experimentálně pozorovanou skutečností.
Po ukončení cyklů započatých na řádcích 7 a 9 je z reálné a komplexní složky amplitudy podle
vztahu (8) vypočtena celková intenzita světla. Následně je tato intenzita přičtena k proměnné
intenzita_prum za účelem výpočtu průměrné intenzity. Na řádcích 21 – 26 je zařazen krátký kód
sloužící k zobrazení aktuálního průběhu výpočtu. Stav probíhajícího výpočtu se uživateli znázorňuje
jako hodnota v procentech.
2.2.3
Optimalizovaný algoritmus
Druhý algoritmus (zdrojový kód 2), se kterým program pracuje, se inspiruje výhodami tzv. rychlé
Fourierovy transformace (FFT) [12, 13, 14]. Algoritmus se však musí vypořádat nejen s dvourozměnou
transformací, ale také se škálováním, neboť stínítko a apertura nemají stejné rozměry a není možné využít běžných algoritmů pro rychlou Fourierovu transformaci 1:1. Ukažme si nyní, jak lze optimalizovat
výpočet difrakce zadané vztahem (11). Zavedeme-li proměnnou M = 25, můžeme psát
U (x, y) = e
πi(x+y−8M )/4
U0
2M
−1 2M
−1
X
X
f (j, k)e2πi(x−4M )j/8M e2πi(y−4M )k/8M ,
j=0 k=0
6
(12)
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
tedy
U (x, y) ∝
2M
−1 2M
−1
X
X
f (j, k)e2πi(x−4M )j/8M e2πi(y−4M )k/8M .
(13)
j=0 k=0
Po roznásobení závorek v argumentech exponenciálních funkcí a využití identity
eπiα ≡ (−1)α ,
pro ∀α ∈ Z
(14)
lze vztah (13) zapsat jako
U (x, y) ∝
2M
−1
X
k πiyk/4M
(−1) e
k=0
2M
−1
X
(−1)j f (j, k)eπixj/4M .
(15)
j=0
Sumy v předchozím vztahu lze rozdělit na sumy sčítající pouze přes sudé a pouze přes liché hodnoty
indexů j a k. Touto úpravou obdržíme vyjádření U (x, y)





M
M
−1
M
−1
−1
−1

M
X
X
X

X

πix(2j+1)/4M 
πiy(2k+1)/4M 
πixj/2M
πiyk/2M
−
f
(2j
+
1,
k)e
−
e
f
(2j,
k)e
U (x, y) ∝ 
e
.




  j=0
 k=0

j
=0
k
=0
{z
} |
{z
}
|
{z
} |
{z
}
|
G1
G2
F1
F2
(16)
Po roznásobení závorek můžeme psát3
F1 ~ G 1 =
PM −1 PM −1
πi(xj+yk)/2M
j=0
k=0 f (2j, 2k)e
F1 ~ G2 = eπiy/4M
PM −1 PM −1
πi(xj+yk)/2M
j=0
k=0 f (2j, 2k + 1)e
eπix/4M
PM −1 PM −1
πi(xj+yk)/2M
j=0
k=0 f (2j + 1, 2k)e
(17)
F2 ~ G 1 =
F2 ~ G2 = eπi(x+y)/4M
PM −1 PM −1
πi(xj+yk)/2M .
j=0
k=0 f (2j + 1, 2k + 1)e
S využitím vztahu (16) a rovnic (17), je možné vyjádřit komplexní amplitudu na stínítku následujícím
způsobem
U (x, y) ∝ F1 ~ G1 − F1 ~ G2 − F2 ~ G1 + F2 ~ G2
U (x + 4M, y) ∝ F1 ~ G1 − F1 ~ G2 + F2 ~ G1 − F2 ~ G2
(18)
U (x, y + 4M ) ∝ F1 ~ G1 + F1 ~ G2 − F2 ~ G1 − F2 ~ G2
U (x + 4M, y + 4M ) ∝ F1 ~ G1 + F1 ~ G2 + F2 ~ G1 + F2 ~ G2 .
Díky tomuto vyjádření můžeme snížit počet cyklů, kterými probíhají indexy x a y z 200 na 100 a
počet cyklů proměnných j a k z 50 na 25. Tato úprava představuje významné urychlení výpočtů. Její
algoritmická implementace je uvedena ve zdrojovém kódu 2.
Zdrojový kód 2: Optimalizovaný algoritmus
1
for
2
3
( i n t x = 0; x < 100; x = x + velikostBodu )
{
Symbol ~ v následujících vztazích neoznačuje klasický součin, ale součin ve smyslu pravých stran výrazů.
7
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
for
( i n t y = 0; y
{
F1G1re =
F1G1im =
F2G1re =
F2G1im =
F1G2re =
F1G2im =
F2G2re =
F2G2im =
for ( int
14
15
16
17
18
19
20
for
11. června 2006
< 100; y = y + velikostBodu )
0;
0;
0;
0;
0;
0;
0;
0;
k = 0; k < 25; k ++)
{
( i n t j = 0; j < 25; j ++)
{
i f ( pruchod [2* j ][2* k ] || pruchod [2* j +1][2* k ] || pruchod
[2* j ][2* k +1] || pruchod [2* j +1][2* k +1]) {
FxGxre = Math . cos ( Math . PI *( j * x + k * y ) /50) ;
FxGxim = Math . sin ( Math . PI *( j * x + k * y ) /50) ;
}
21
22
if
( pruchod [2* j ][2* k ] == t r u e ) {
F1G1re = F1G1re + FxGxre ;
F1G1im = F1G1im + FxGxim ;
}
if
( pruchod [2* j ][2* k +1] == t r u e ) {
F1G2re = F1G2re - FxGxre ;
F1G2im = F1G2im - FxGxim ;
}
if
( pruchod [2* j +1][2* k ] == t r u e ) {
F2G1re = F2G1re - FxGxre ;
F2G1im = F2G1im - FxGxim ;
}
if
( pruchod [2* j +1][2* k +1] == t r u e ) {
F2G2re = F2G2re + FxGxre ;
F2G2im = F2G2im + FxGxim ;
}
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
}
}
44
45
46
F1G2reB = F1G2re * Math . cos ( Math . PI * y /100) - F1G2im * Math . sin (
Math . PI * y /100) ;
F1G2imB = F1G2re * Math . sin ( Math . PI * y /100) + F1G2im * Math . cos (
Math . PI * y /100) ;
47
48
F2G1reB = F2G1re * Math . cos ( Math . PI * x /100) - F2G1im * Math . sin (
Math . PI * x /100) ;
8
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
49
11. června 2006
F2G1imB = F2G1re * Math . sin ( Math . PI * x /100) + F2G1im * Math . cos (
Math . PI * x /100) ;
50
51
52
F2G2reB = F2G2re * Math . cos ( Math . PI *( x + y ) /100) - F2G2im * Math . sin
( Math . PI *( x + y ) /100) ;
F2G2imB = F2G2re * Math . sin ( Math . PI *( x + y ) /100) + F2G2im * Math . cos
( Math . PI *( x + y ) /100) ;
53
54
55
re_amplituda [ x ][ y ] = F1G1re + F1G2reB + F2G1reB + F2G2reB ;
im_amplituda [ x ][ y ] = F1G1im + F1G2imB + F2G1imB + F2G2imB ;
56
57
58
re_amplituda [ x +100][ y ] = F1G1re + F1G2reB - F2G1reB - F2G2reB ;
im_amplituda [ x +100][ y ] = F1G1im + F1G2imB - F2G1imB - F2G2imB ;
59
60
61
re_amplituda [ x ][ y +100] = F1G1re - F1G2reB + F2G1reB - F2G2reB ;
im_amplituda [ x ][ y +100] = F1G1im - F1G2imB + F2G1imB - F2G2imB ;
62
63
64
re_amplituda [ x +100][ y +100] = F1G1re - F1G2reB - F2G1reB +
F2G2reB ;
im_amplituda [ x +100][ y +100] = F1G1im - F1G2imB - F2G1imB +
F2G2imB ;
65
66
67
68
69
intenzita [ x ][ y ] = ( Math . pow ( re_amplituda [ x ][ y ] ,2) + Math . pow (
im_amplituda [ x ][ y ] ,2) ) /256;
intenzita [ x +100][ y ] = ( Math . pow ( re_amplituda [ x +100][ y ] ,2) +
Math . pow ( im_amplituda [ x +100][ y ] ,2) ) /256;
intenzita [ x ][ y +100] = ( Math . pow ( re_amplituda [ x ][ y +100] ,2) +
Math . pow ( im_amplituda [ x ][ y +100] ,2) ) /256;
intenzita [ x +100][ y +100] = ( Math . pow ( re_amplituda [ x +100][ y
+100] ,2) + Math . pow ( im_amplituda [ x +100][ y +100] ,2) ) /256;
70
71
72
73
74
75
76
77
78
intenzita_prum = intenzita_prum + intenzita [ x ][ y ] + intenzita [
x +100][ y ] + intenzita [ x ][ y +100] + intenzita [ x +100][ y +100];
i f ( x == y )
{
g . setColor ( Color . black ) ;
g . fillRect (275 ,75 ,325 ,125) ;
g . setColor ( Color . white ) ;
g . drawString ( String . valueOf ( x ) + " % " ,295 ,95) ;
}
79
80
81
}
}
Na řádcích 1 a 3 se objevují cykly, které zajistí, že hodnoty proměnných x a y proběhnou od 0 do 99.
Pro každou dvojici hodnot x a y je v souladu se vztahem (17) proveden výpočet F1G1, F1G2, F2G1 a
F2G2, což je zajištěno cykly na řádcích 13 a 15, ve kterých běží indexy j a k od hodnoty 0 do hodnoty
24. Všimněme si, že až na rozdílné indexy ve funkci f (j, k) je obsah sum ve vztazích (17) totožný. Vždy
se totiž objevuje stejný fázový člen eπi(xj+yk)/2M . Z tohoto důvodu je výhodné nejprve podmínkou na
řádku 17 ověřit, zda bude v daném proběhnutí cyklů potřeba fázový člen počítat a pokud ano, je na
řádcích 18 a 19 vypočtena jeho reálná resp. imaginární složka a hodnoty jsou uloženy do proměnných
9
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
FxGxre resp. FxGxim. Na řádcích 22 – 40 vidíme, jak je fázový člen přičten k proměnným F1G1, F1G2,
F2G1 nebo F2G2, jsou-li otevřeny na apertuře otvory o příslušných souřadnicích.
Cykly na řádcích 13 a 15 představují pouze sumy ze vztahů (17). Vidíme, že je však ještě třeba
započítat korekční fázi, která se v těchto vztazích vyskytuje před znamením sumy. Násobení korekční
fází v algoritmu zajišťují řádky 45 – 52, kde je třeba provést násobení komplexního čísla komplexním
číslem podle předpisu
ω1 = (a1 + ib1 ) ∈ C, ω2 = (a2 + ib2 ) ∈ C =⇒ ω1 ω2 = (a1 a2 − b1 b1 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ).
(19)
Následně jsou na řádcích 54 – 64 vypočteny reálné a imaginární složky amplitud podle vztahů (18).
Z těchto amplitud poté na řádcích 66 – 69 algoritmus vypočte intenzity bodů stínítka. Řádek 71 slouží
k výpočtu průměrné intenzity užité dále při škálování. Na řádcích 72 – 78 je programován krátký kód,
který zajišťuje zobrazení stavu výpočtu podobně, jak je tomu v případě základního algoritmu.
Optimalizovaný algoritmus představuje sice významné urychlení výpočtů, ale přináší s sebou i
některá omezení. Klíčová pro odvození algoritmu je periodicita funkce eiφ . Pokud bychom umožnili
uživateli měnit vlnovou délku, která se v případě základního algoritmu objevuje právě v exponenciální
funkci, zavedli bychom do našich výpočtů neodstranitelnou aperiodicitu, při které celé výše zmíněné
odvození optimalizace selže. Stejné problémy se ztrátou výhodné periodicity by se objevily v případě,
kdy by uživatel mohl do výpočtu zasáhnout prostřednictvím lupy tak, jak má tuto možnost v základním
algoritmu. Tato omezení jsou důvodem, proč má uživatel k dispozici volbu mezi prvním a druhým
algoritmem. Nemá-li zvláštní požadavky na lupu nebo na vlnovou délku, může využít rychlejšího
optimalizovaného algoritmu. V případě tohoto algoritmu je vynechání úvah o vlnové délce znázorněno
použitím bílé barvy při vykreslení difrakčního obrazce. Studium závislosti difrakce na vlnové délce a
použití lupy je k dispozici u pomalejšího základního algoritmu.
2.2.4
Vykreslení difrakčního obrazce
Po vypočtení intenzit ve všech bodech může začít vykreslení difrakčního obrazce (zdrojový kód 3).
Zdrojový kód 3: Vykreslení difrakčního obrazce
1
2
( i n t x = 0; x < 200; x = x + velikostBodu ) {
f o r ( i n t y = 0; y < 200; y = y + velikostBodu ) {
for
3
4
5
6
7
intenzitaBodu = intenzita [ x ][ y ]/ intenzita_prum * zdroj /2;
i f ( intenzitaBodu > 1) { intenzitaBodu = 1;}
g . setColor ( n e w Color (( i n t ) Math . round ( intenzitaBodu * RGB [0]) ,(
i n t ) Math . round ( intenzitaBodu * RGB [1]) ,( i n t ) Math . round (
intenzitaBodu * RGB [2]) ) ) ;
g . fillRect ( x +201 , y , velikostBodu , velikostBodu ) ;
8
9
10
}
}
Vykreslení je již nezávislé na volbě použitého algoritmu a je zajištěno cykly na řádcích 1 a 2, které
proběhnou díky indexům x a y celé stínítko. Na řádku 4 je nejprve pro každý bod přeškálována
hodnota intenzity pomocí hodnoty průměrné intenzity intenzita_prum a pomocí proměnné zdroj,
jejíž hodnotu nastavuje přímo uživatel a která slouží k drobným korekcím jasu. Po tomto výpočtu
je na řádku 6 provedeno nastavení barvy, která bude použita. Barvu ovlivňuje hodnota intenzity i
hodnota pole RGB[] určená vlnovou délkou. V případě, kdy uživatel vybral výpočet prostřednictvím
optimalizovaného algoritmu, je barva nastavena na RGB[i] = 255, pro i = 0, 1, 2. Posledním krokem je
vykreslení plošky na stínítku funkcí fill.Rect() na řádku 7.
10
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
2.2.5
11. června 2006
Porovnání časové náročnosti představených algoritmů
Nyní uzavřeme část věnovanou algoritmickému řešení apletu porovnáním časové náročnosti výpočtů
pomocí základního a optimalizovaného algoritmu. Za tímto účelem byl proveden počítačový experiment, při kterém byl z otvorů na apertuře sestaven čtverec o straně délky n (viz obrázek 3). Pro různé
n
n
Apertura A
Obrázek 3: Schéma apertury pro účely měření rychlosti algoritmů.
hodnoty n byly měřeny časy potřebné k výpočtu pomocí základního algoritmu (tz ) a pomocí optimalizovaného algoritmu (to ) při maximálním rozlišení stínítka. Naměřené hodnoty jsou sestaveny v tabulce
1. V této tabulce je také vypočítán koeficient zrychlení výpočtu k definovaný předpisem
k=
n
tz [ms]
to [ms]
k
1
1 488
524
2,84
5
2 469
649
3,80
10
5 838
827
7,06
15
11 483
1 236
9,29
20
19 373
1 637
11,83
tz
.
to
25
29 639
2 344
12,64
(20)
30
42 497
2 933
14,49
35
56 924
3 969
14,34
40
74 106
4 760
15,57
45
94 186
6 142
15,33
50
115 329
7 136
16,16
Tabulka 1: Časy potřebné k výpočtu n2 prvků s využitím obou algoritmů.
Průběh závislosti tz (n) a to (n) je znázorněn na obrázku 4. Naměřené hodnoty je třeba chápat
pouze jako orientační, protože měření probíhalo na osobním počítači4 za běžného chodu, kdy je kromě
apletu spuštěno mnoho různých procesů běžících na pozadí. Tyto procesy mohly zkreslit výsledek, avšak
z obrázku 4 je jasně patrný trend, kdy s rostoucím počtem prvků n dosahuje optimalizovaný algoritmus
přibližně 16× kratšího výpočetního času. To je možné vysvětlit tím, že v případě optimalizovaného
algoritmu je potřeba, aby každý ze čtyř použitých indexů (x, y, j, k) proběhl v porovnání se základním
algoritmem pouze polovinu hodnot. Tím, že se jedná o vnořené cykly, obdržíme pro koeficient urychlení
k hodnotu přibližně 24 = 16.
Zdrojový kód tohoto simulačního programu obsahuje necelých 850 řádků.
2.3
Návod k použití apletu
Uživatelské rozhraní simulačního apletu je znázorněno na obrázku 5. Okno lze rozdělit na části A, B a
C. V části A se nachází plocha, do níž uživatel myší zakresluje otvory v apertuře. Plocha je rozdělena
na 50×50 otvorů a každý otvor může být buď otevřený, nebo uzavřený. Program znázorňuje otevřené
otvory bílou barvou a otvory uzavřené barvou černou. Otevření otvoru provede uživatel umístěním
4
Parametry použitého počítače: procesor AMD Thunderbird 1GHz, operační systém Linux Mandriva 2006, úroveň
běhu 5, verze Javy 1.5.0 06.
11
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
12
11
to
10
tz
9
t × 104 [ms]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
n
30
40
50
Obrázek 4: Závislost časů tz a to na hodnotě n.
myši nad příslušný bod apertury a stisknutím levého tlačítka. Obdobně lze stisknutím pravého tlačítka
otvor uzavřít. Podrží-li uživatel levé tlačítko myši stisknuté, jsou otevřeny všechny otvory přes které
myší přejede. Stejným způsobem lze při podržení pravého tlačítka otvory uzavírat.
Část B poskytuje uživateli ovládací prvky, kterými lze nastavovat parametry simulace. K dispozici
je zde „Lupaÿ, která slouží k detailnějšímu pohledu na prostřední část difrakčního obrazce. Lupa nabízí
prostřednictvím posuvníku 4 různé úrovně zvětšení: 1×, 2×, 3× a 4×.
Další ovládací prvek označený jako „Vlnová délkaÿ nastavuje použitou vlnovou délku. Posuvníkem
si uživatel volí hodnoty v rozsahu 390–760 nm. Ovládací prvek umožňuje sledovat, jak se bude měnit
nejen barva světla, ale především difrakční obrazec v závislosti na použité vlnové délce. Aktuálně
nastavená vlnová délka se zobrazuje pod difrakčním obrazcem. Po spuštění apletu je jako výchozí
nastavena hodnota 555 nm.
Posuvník označený „Intenzita zdrojeÿ jemně dolaďuje
√ jas difrakčního obrazce. Měřítko je logaritmické a jeden skok představuje násobení hodnotou 3 10. Program automaticky počítá vhodnou
hodnotu jasu a tu ztotožní s prostřední polohou posuvníku. Uživatel získává možnost jemně zvýšit i
snížit jas podle aktuálních podmínek a potřeb (např. nastavení monitoru).
Další v pořadí následuje posuvník „Rozlišeníÿ, kterým si uživatel volí rozlišení difrakčního obrazce.
Levá krajní pozice posuvníku odpovídá nejnižšímu rozlišení a pravá krajní pozice odpovídá rozlišení
nejvyššímu. Přitom čím vyšší je rozlišení, tím delší dobu trvá difrakční obrazec vykreslit. Výchozí
nastavení rozlišení po startu programu je druhé nejvyšší.
V literatuře je často sledována difrakce na několika typických otvorech. Jedná se například o difrakci
na kruhovém otvoru nebo na otvoru obdélníkového tvaru. Aby měl uživatel možnost rychle simulovat
tyto typické případy, je v programu sada významných otvorů předem připravena. K výběru z této sady
slouží výběrový seznam nazvaný „Štěrbinaÿ. Nabídka otvorů obsahuje obdélníkový otvor, kruhový
otvor, dva obdélníkové otvory, dva kruhové otvory a otvor tvaru kružnice. Dále je k dispozici série
bodových otvorů pro studium interference v provedení postupně 2, 3, 5, 7, 11 a 13 bodů rozmístěných
po obvodu kružnice a následují ještě otvory tvaru hvězdice, obdélníku v rámu a rámečku.
Další volba s názvem „Algoritmusÿ umožňuje vybrat mezi dvěma algoritmy implementovanými
v apletu – základní a optimalizovaný. Základní algoritmus je pomalejším algoritmem, ale umožňuje
12
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
Obrázek 5: Vzhled apletu pro simulaci difrakčních jevů
měnit vlnovou délku a použít lupu. Oproti tomu optimalizovaný algoritmus je, co se výpočtu týče,
rychlejší, ale volba vlnové délky a lupy není při výběru tohoto algoritmu dostupná.
V části B jsou ještě dvě tlačítka. První s nápisem „Vyčisti všeÿ zavře všechny otevřené otvory na
apertuře a druhé s nápisem „Překresliÿ generuje difrakční obrazec na základě navolených parametrů.
Poslední část C představuje stínítko, kde může uživatel difrakční obrazec pozorovat. Během výpočtu
se na stínítku zobrazuje stav v procentech a po dokončení se zde vykreslí difrakční obrazec. Závěrem si
představíme na obrázku 6 několik ukázek difrakčních obrazců, které je možné pomocí předkládaného
apletu vytvořit. Simulací získané obrazce se dobře shodují s experimentálními daty [15, 16].
a)
b)
c)
d)
Obrázek 6: Ukázky několika difrakčních obrazců vytvořených prezentovaným apletem: a) difrakce na
kruhovém otvoru, b) difrakce na obdélníkovém otvoru, c) Youngův pokus - interference dvou bodových
zdrojů, d) interference 11 bodových zdrojů rozložených po obvodu kružnice.
13
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
Použitá literatura
[1] Diffraction: http://fr.wikipedia.org/wiki/Diffraction
[2] BORN, M.; WOLF, E.: Principles of Optics 6th edition, Pergamen Press, Oxford 1980, p. 370–386.
[3] Théorie de la diffraction: http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie de la diffraction
[4] Huygens Principle: http://www.mathpages.com/home/kmath242/kmath242.htm
[5] A brief history of Optics: http://members.aol.com/WSRNet/D1/hist.htm
[6] Encyklopedie Coto.je: http://www.cotoje.cz
[7] SALEH, B. E. A.; TEICH, M. C.: Fundamentals of photonics, A Wiley-Interscience publication
John Wiley sons Inc., NewYork 1991, p. 127–130.
[8] HENRY, M.: Optique ondulatoire, Serveur Techniques de l’ingénieur, Dossier A 191, p. 10–15
http://www.techniques-ingenieur.fr/dossier/optique ondulatoire interferences diffraction polarisation/A191
[9] Fraunhofer Diffraction and 2D Fourier Transform:
http://oldsite.vislab.usyd.edu.au/CP3/Four6/node1.html
[10] WEISSTEIN, E. W.: Discrete Fourier Transform, From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/DiscreteFourierTransform.html
[11] TVERSKOJ, P. N.: Optické, elektrické a akustické jevy v atmosféře., Naše vojsko, Praha 1955 in
http://www.pef.zcu.cz/pef/kof/cz/st/dp/hosnedl/html/Slunecni.htm
[12] COOLEY, J. W.; TUKEY, J. W.; An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier
Series, Math. Comp. 19 (1965), p. 297–301
[13] WEISSTEIN, E. W.: Fast Fourier Transform, From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/FastFourierTransform.html
[14] MARSHALL, D.: The Fast Fourier Transform Algorithm
http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL COPIES/MARSHALL/node20.html
[15] LIPSON, S. G.; LIPSON H.; TANNHAUSER D. S.: Optical Physics 3rd edition, Cambridge Univ.
Press, Cambridge 1995, p. 185, 186
[16] TOMASINO, A. et al.: Physique Term. S, Nathan, Paříž 1995, p. 300–304
14
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
3
3.1
11. června 2006
Počítačová simulace šíření světelného paprsku
Teoretický základ
V předchozí části jsme viděli, jak prostřednictvím difrakce demonstrujeme vlnovou povahu světla. Často
je možné zanedbat vlnový charakter světla a omezit se na jednodušší představu světelného paprsku.
V této souvislosti hovoříme o geometrické optice, kdy předpokládáme, že energie přenášená světlem
se šíří po přesně definovaných drahách. Experimenty ukazují, že tvar těchto paprsků bude záviset na
vlastnostech prostředí, kterým se světlo šíří. Veličina spojená s vlastnostmi prostředí ovlivňující šíření
světla se nazývá index lomu a definuje se pomocí vztahu
n=
c
,
v
(1)
ve kterém v označuje fázovou rychlost šíření světla v daném místě prostředí a c rychlost šíření světla
ve vakuu [1, 2, 3, 4].
V homogenním prostředí (n = konst) se světlo šíří po přímce. Při odrazu světla na odrazné ploše
(viz obrázek 1a) platí zákon odrazu ve tvaru
α1 = α10 ,
(2)
kde α1 označuje úhel dopadu a α10 úhel odrazu. V případě, kdy světlo dopadne na rozhraní dvou
prostředí s hodnotami indexů lomu n1 v prvním prostředí a n2 ve druhém prostředí, bude pro úhel
dopadu α1 a úhel lomu α2 (viz obrázek 1b) platit Snellův zákon
n1 sin α1 = n2 sin α2
(3)
pojmenovaný podle holandského fyzika Willebrorda van Roijen Snella (1580 nebo 1591 – 30. 10. 1626).
V případě, kdy dochází k šíření světla z prostředí s vyšším indexem lomu do prostředí s nižším indexem
A
B
A
A
B
α1
n1
n2
α1′
α1
α1′
α1
α2
a) Odraz paprsku
B
n1
n2
b) Lom paprsku
c) Úplný odraz
Obrázek 1: Ilustrace k zákonům odrazu a lomu
lomu, tedy n1 > n2 , může dojít pro určitou hodnotu úhlu dopadu k lomu paprsku rovnoběžně s rovinou
rozhraní. Úhlu dopadu, při kterém k takto popsané situaci dojde, říkáme mezný úhel αm a ze Snellova
zákona pro něj platí podmínka
n2
sin αm =
.
(4)
n1
Pro úhly dopadu větší než je mezný úhel (α1 > αm ), již nebude docházet k lomu světla do druhého
prostředí, ale paprsek se odrazí zpět do prvního prostředí (viz obrázek 1c). Říkáme, že došlo k úplnému odrazu. Jak bude dále ukázáno, simulační program testuje při svém běhu na každém rozhraní,
zda dochází k lomu, nebo k úplnému odrazu. Odraz světla i lom světla mají jednu důležitou společnou
vlastnost. Jak již mezi svými axiomy postuluje Isaac Newton (4. 1. 1643 – 31. 3. 1727), rovina dopadajícího paprsku je totožná s rovinou paprsku odraženého i lomeného. Při hlubším studiu problému
lomu se ukazuje, že kromě lomeného paprsku lze také pozorovat paprsek odražený, jehož směr se řídí
15
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
zákonem odrazu. Energie, kterou odražený paprsek přenáší, je však za běžných okolností mnohonásobně menší než energie přenášená lomeným paprskem. Z tohoto důvodu simulační aplet zanedbává
odraz v případě, kdy dochází k lomu a nevykresluje odražený paprsek [1, 2, 3, 4, 5].
Simulace si klade za cíl znázornit chod paprsku světla v libovolném uzavřeném mnohoúhelníku.
Mnohoúhelník, který si uživatel zvolí, definuje hranici mezi vnějším a vnitřním prostředím. Každé toto
prostředí může být charakterizováno jiným indexem lomu. Paprsek je vyslán ze zdroje, jehož polohu
i směr může uživatel během simulace upravovat. Paprsek se bude šířit přímočaře, dokud nenarazí na
rozhraní mezi vnitřním a vnějším prostředím.
V reálném materiálu může navíc docházet k disperzi, tedy k rozkladu bílého světla na spektrální
složky. Simulace dává možnost studovat disperzi ve vnitřním prostředí. Uživatel si volí ze tří režimů:
vypnutá disperze, reálná disperze a zvýrazněná disperze. V případě, kdy je disperze vypnuta, bude
program vykreslovat pouze jeden paprsek bílé barvy, který se bude řídit uživatelem zadaným indexem
lomu vnitřního prostředí. Je-li nastaven režim reálné disperze, provede se vykreslení tří paprsků (červený, zelený a modrý). Červený paprsek bude pracovat s hodnotou indexu lomu, kterou pro vnitřní
prostředí zadá uživatel. Pro zelený paprsek je použita hodnota o 0,01 vyšší. Pro trasování modrého
paprsku je použita hodnota indexu lomu o 0,02 vyšší, než je hodnota nastavená uživatelem. V režimu
zvýrazněné disperze je situace obdobná, ale rozdíly mezi použitými indexu lomu jsou 0,05 [2].
3.2
Algoritmické řešení apletu
Jádrem celé simulace je cyklus představený ve zdrojovém kódu 4. Tento cyklus, začínající řádkem 1,
provádí vykreslení paprsku tak, jak by se skutečně světlo šířilo. Cyklus běží neustále dokola a v každém svém opakování provede znázornění chodu paprsku mezi dvěma rozhraními vnějšího a vnitřního
prostředí. Ukončen je v případě, když už v cestě paprsku neleží žádné další rozhraní, na které by mohl
dopadnout, nebo v případě, že je již provedeno 100 běhů cyklu. Toto opatření chrání uživatele před
případnou nekonečnou smyčkou.
Zdrojový kód 4: Cyklus zajišťující znázornění chodu paprsku
1
while
( cyklus < 100 && (( kresli_zdroj == f a l s e && kresli_rotace ==
) || rezimCHB . getState () == t r u e ) )
{
cyklus ++;
i f (! najdi_rozhrani () ) b r e a k ; / / s p u s t í h l e d á n í r o z h r a n í , n e n a j d e
false
2
3
4
- li
žádné ,
ukončí
běh
cyklu
5
6
g . setColor ( barva_cary ) ;
7
8
if
9
if
( velky_cyklus == 1 && nedisperzni_cyklus [1] >= cyklus ) { g .
setColor ( Color . cyan ) ;}
( velky_cyklus == 1 && nedisperzni_cyklus [0] >= cyklus ) { g .
setColor ( Color . white ) ;}
10
11
g . drawLine ( paprX , paprY , prusX , prusY ) ; / /
paprsku
s
nalezeným
průsečíkem
s
spojí
aktualní
pozici
rozhraním
12
13
snell () ; / /
provede
14
if
spustí
funkci ,
výpočet
která
směrnice
souladu
po
se
Snellovým
střetu
s
g . setColor ( Color . red ) ;
16
zákonem
rozhraním
( nedisperzni_lom == t r u e && velky_cyklus > 1) {
n edi sp er zn i_ cy kl us [3 - velky_cyklus ]++;}
15
16
v
paprsku
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
g . fillRect ( paprX -4 , paprY -4 , 8 , 8) ; / /
}
17
18
znázorní
bod
dopadu
Při každém svém běhu volá nejprve cyklus pomocnou funkci boolean najdi_rozhrani(). Tato
funkce určí, na které rozhraní mezi vnějším a vnitřním prostředím paprsek dopadne. Zároveň určí bod
dopadu paprsku na toto rozhraní. Při tomto vyhledávání prochází funkce boolean najdi_rozhrani()
všechna rozhraní, hledá průsečík rozhraní a paprsku a poté vybere to s nejbližším průsečíkem. V
případě, kdy je rozhraní nalezeno, vrátí funkce hodnotu true a cyklus běží dál. V opačném případě je
vrácena hodnota false a cyklus je příkazem na řádku 4 ukončen.
Řádky 6–9 zajišťují správný výběr barvy, kterou bude paprsek znázorněn. V případě vypnuté
disperze je použita bílá barva. V případě reálné nebo zvýrazněné disperze se postupně provede vykreslení paprsků červenou, zelenou a modrou barvou. Může se ovšem stát, že dojde k úplnému odrazu, kdy
se disperze neprojeví. V takovém případě je i nadále použita bílá barva. Další možnou situací je lom
červené barvy a úplný odraz zelené a modré. Paprsek odpovídající zelené a modré barvě dohromady
je vykreslován azurovou barvou.
Po volbě barvy je znázorněn příkazem na řádku 11 chod paprsku mezi předchozí polohou a bodem
na vybraném rozhraní, do kterého dopadne. Dále je nezbytné určit chování paprsku na tomto rozhraní.
Výpočet nového směru šíření paprsku zajišťuje pomocná funkce snell() volaná na řádku 13. Zmíněná
funkce vyhodnotí, zda dojde k lomu, nebo k úplnému odrazu a podle Snellova zákona (případně podle
zákona odrazu) určí novou směrnici paprsku.
Poslední činností, kterou cyklus provádí, je znázornění bodu dopadu. Na řádku 16 je nastavena
červená barva a na řádku 17 je vykreslen červený čtvereček odpovídající bodu, ve kterém paprsek
dopadl na rozhraní.
Zdrojový kód tohoto simulačního programu obsahuje přibližně 750 řádků.
3.3
Návod k použití apletu
Vzhled apletu je představen na obrázku 2. V horní části je vykreslována samotná simulace a v dolní
části je připravena sada ovládacích prvků, kterými uživatel nastavuje parametry prováděné simulace.
První řádek ovládacích prvků obsahuje textová políčka pro zadání indexu lomu vnějšího a vnitřního
Obrázek 2: Vzhled apletu pro simulaci šíření paprsku optickým prostředím
17
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
prostředí. Index lomu může nabývat hodnoty minimálně 1 a desetinná místa jsou oddělena tečkou.
a)
b)
c)
d)
Obrázek 3: Ukázky několika simulací chodu paprsku: a) rozklad světla na hranolu, b) trasování paprsku
pentagonálním odražečem, c) ukázka funkce koutového odražeče, d) trasování paprsku tvarem obrácené
„Uÿ.
Na druhém řádku v ovládacích prvcích nastavuje uživatel polohu a směr svícení zdroje. Zdroj
paprsku je pevně vázán na levý okraj apletu. Uživatel však může volit jeho vertikální polohu pomocí
položky „Výška zdrojeÿ. Směr, kterým bude paprsek ze zdroje vycházet, nastavuje uživatel další volbou
„Sklon zdrojeÿ. Údaj je ve stupních. Hodnota 0◦ odpovídá paprsku vyslanému horizontálně a hodnota
90◦ paprsku vyslanému ze zdroje vertikálně směrem dolů.
Kromě ovládacích prvků z druhého řádku lze k nastavení zdroje použít i myš. Zdroj je v apletu
znázorněn jako zelené kolečko. Jeho tažením pomocí myši může uživatel měnit polohu zdroje. Sklon
zdroje je znázorněn polohou zeleného čtverečku. Pomocí myši může uživatel čtverečkem hýbat a měnit
tak sklon zdroje.
Na třetím řádku ovládacích prvků je prováděno nastavení tvaru mnohoúhelníku, kterým bude
paprsek trasován. Položka „Tvarÿ obsahuje nabídku z několika často studovaných mnohoúhelníků.
Jsou to hranol, optické vlákno (zjednodušeno jako podlouhlý obdélník), koutový odražeč, čtverec,
šestiúhelník a dvanáctiúhelník. Tvar optické vlákno lze také použít jako planparalelní destičku. Chce-li
uživatel studovat jiný mnohoúhelník, vybere volbu „uživatelskéÿ. Poté do textového políčka označeného
jako „Uživatelské rozhraníÿ zapíše souřadnice vrcholů jím požadovaného mnohoúhelníku. Syntaxe pro
tento zápis je následující: každý vrchol má x-ovou a y-ovou souřadnici. Počátkem souřadnic je levý
horní roh apletu. X-ová souřadnice roste směrem doprava a y-ová směrem dolů. Mezi x-ovou a y-ovou
souřadnici vloží uživatel dvojtečku. Jednotlivé vrcholy pak odděluje uživatel středníkem a středník je
také třeba zapsat nakonec za souřadnice posledního vrcholu. Na ukázku uveďme, jak může uživatel
vytvořit například rovnoběžník: 100:100;400:100;350:200;50:200;.
Poslední řádek ovládacích prvků obsahuje volbu „Úroveň disperzeÿ, kde si uživatel volí ze tří
18
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
možností: bez disperze, reálná disperze a zvýrazněná disperze. Význam jednotlivých voleb je popsán
v teoretické části. Další volbou je zaškrtávací políčko „Režim kresleníÿ. Je-li vybráno, bude aplet
provádět vykreslení paprsku současně i během změny polohy a sklonu zdroje myší. Protože může
někdy být takovéto vykreslování v reálném čase náročné na výpočetní výkon, je uživateli umožněno
jej vypnout a vykreslení poté proběhne, až uživatel dokončí nastavení zdroje myší (pustí tlačítko).
Poslední položkou je tlačítko „Překresliÿ provádějící překreslení cesty paprsku, je-li na něj kliknuto
myší.
Na závěr představme několik ukázek trasování paprsku tak, jak je simulační aplet znázorňuje (viz
obrázek 3).
Použitá literatura
[1] BORN, M.; WOLF, E.: Principles of Optics 6th edition, Pergamen Press, Oxford 1980, p. 109–132.
[2] SALEH, B. E. A.; TEICH, M. C.: Fundamentals of Photonics, A Wiley-Interscience publication
John Wiley sons Inc., NewYork 1991, p. 1–12.
[3] GOODMAN, D. S.: Geometrical Optics (in Handbook of Optics 2nd edition), McGraw-Hill Professional, New York 1994, p. 7–29.
[4] Encyklopedie Coto.je: http://www.cotoje.cz
[5] NEWTON, I.: Opticks: or, a Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours of
Light. . ., Sam Smith and Benj. Waleord, Londýn 1704, p. 4, 13, 53.
19
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
4
11. června 2006
Počítačová simulace Lissajousových křivek
4.1
Teoretický základ
Uvažujme bod, který současně vykonává harmonické kmity ve dvou na sebe kolmých směrech. Zajímavé
bude studovat jeho trajektorii za předpokladu, že frekvence těchto kolmých kmitů jsou obecně různé a
je mezi nimi libovolný fázový posun. Tímto problémem se v průběhu 19. století zabývali zejména dva
vědci. Prvním z nich byl již v roce 1815 Nathaniel Bowditch (26. 3. 1773 – 16. 3. 1838). Americký
matematik a fyzik, známý též jako autor námořních map, byl první, kdo úlohu řešil. Využíval při tom
speciální kyvadlo tvaru Y5 schopné zaznamenávat trajektorii kmitajícího bodu. Na podobném principu
pracující přístroje, tzv. harmonografy, se v průběhu 19. století hojně využívaly při fyzikálních experimentech, ale také jako zdroje esteticky zajímavých obrazců. Jejich vývojem a výrobou se komerčně
zabývalo i několik firem. Harmonografy využívaly k zápisu křivek nejen různých psacích potřeb, ale
také například jemný písek, který se v průběhu experimentu odsypával z kyvadla na podložku. Tato
metoda umožňovala z tloušťky pískové stopy odhadnout navíc i rychlost pohybu.
Nezávisle na Bowditchovi se studiem dvou kolmých harmonických kmitů zabýval francouzský fyzik
Jules-Antoinne Lissajous (4. 3. 1822 – 24. 6. 1880). Ten svou práci publikoval sice až v roce 1857,
ale jeho hlavním přínosem bylo využití světla při zobrazení složených kmitů. Experiment, při němž
nechal svazek světla postupně odrazit na dvou zrcadlech a posléze dorazit na stínítko, lze považovat
za první realizaci osciloskopu. Pokud byla zrcadla připevněna ke dvěma ladičkám, mohl být touto
technikou studován i zvuk. Veřejnost měla možnost Lissajousovy experimenty zhlédnout roku 1867,
kdy je představil na Světové výstavě v Paříži [1, 2, 3, 4].
V následující části se zaměříme na analytické vyjádření složených kmitů. Ztotožníme-li kmity v jednom směru se směrem osy x a kmity ve druhém směru se směrem osy y, lze polohu kmitajícího bodu
zapsat pomocí rovnic
x = A1 sin(ω1 t + φ1 )
(1)
y = A2 sin(ω2 t + φ2 ).
(2)
V předchozích vztazích označujeme písmenem A1 amplitudu kmitů ve směru osy x a A2 amplitudu
kmitů ve směru osy y. Dále ω1 označuje úhlovou frekvenci kmitů v ose x a ω2 úhlovou frekvenci
pro kmity v ose y. Protože mohou být kmity obecně posunuty o libovolnou fázi, je také nutné ji do
úvah zahrnout. Pro kmity v ose x je počáteční fáze označena φ1 a pro kmity v ose y φ2 . Proměnná t
v rovnicích označuje čas [2, 5].
Z matematického pohledu lze na rovnice (1) a (2) nahlížet jako na parametrické vyjádření trajektorie
kmitajícího bodu, kde parametrem je čas. Speciální třídu křivek budou tvořit takové křivky, kdy platí,
že
ω1
∈ Q,
(3)
ω2
tedy poměr frekvencí obou kolmých kmitů je racionální číslo. V tomto případě bude trajektorií bodu
uzavřená křivka, kterou nazveme Lissajousovou křivkou6 . Příklady několika vybraných Lissajousových
křivek jsou na obrázku 1. Trajektorie bodu, vytvářející Lissajousovu křivku, se uzavře po uplynutí
periody složených kmitů. Ta se rovná nejmenšímu společnému násobku period obou skládajících se
kmitů. Je vhodné zdůraznit, že tvar Lissajousovy křivky závisí pouze na vzájemném poměru frekvencí
skládajících se kmitů. Dodejme, že v případě, kdy nebude splněna podmínka (3), projde postupně
kmitající bod všemi body ležícími v obdélníku h−A1 ; A1 i × h−A2 ; A2 i [2].
Zajímavou praktickou aplikací Lissajousových křivek je zpětné odečtení poměru frekvencí generujících kmitů. Jak je znázorněno na obrázku 2, Lissajousovu křivku protneme vertikální přímkou p
5
Toto kyvadlo bývá v literatuře zmiňováno jako Blackburnovo kyvadlo. Prvním doloženým konstruktérem takovýchto
kyvadel byl však James Dean.
6
Některé zdroje hovoří vzhledem k Bowditchovu prvenství o tzv. Bowditchových křivkách [6]
20
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
Obrázek 1: Příklady Lissajousových křivek pro poměry frekvencí ω1 : ω2 a) 2:1 b) 3:2 c) 5:3. Tyto
příklady byly pořízeny simulačním apletem prezentovaným v této práci.
(kolmou na osu x) a horizontální přímkou q (kolmou na osu y). Přímky volíme tak, aby počet jejich
průsečíků s Lissajousovou křivkou byl maximální. Ukazuje se, že poměr počtu průsečíků Lissajousovy
křivky s přímkou p a q je roven poměru mezi frekvencemi ω1 : ω2 .
Obrázek 2: Grafické znázornění odečtu poměru frekvencí z Lissajousovy křivky.
Uvedené metody lze využít pro určení neznámé frekvence kmitů. Stačí neznámé kmity složit kolmo
s kmity o známé frekvenci a výše zmíněná metoda nám umožní určit hledanou frekvenci [2].
Lissajousovy křivky mají v dnešní době široké spektrum uplatnění. Bylo například ukázáno, jak
lze pomocí Lissajousových křivek zpřesnit stanovení koncentrace kyslíku v krvi [7]. Praktické aplikace
Lissajousových křivek jsou hlavní motivací k jejich studiu a k simulaci například prostřednictvím Java
apletů.
Lissajousovy křivky lze zobecnit i na trojrozměrný případ. Této problematice jsou například věnována sdělení [8, 9].
4.2
Algoritmické řešení apletu
Programovací jazyk Java není schopen algebraických úprav a řešení rovnic. Grafická primitiva7 tohoto
jazyka zahrnují pouze základní geometrické útvary. Simulaci trajektorie je třeba provést vykreslováním
bod po bodu, jako bychom skutečně sledovali kmitající těleso. Při vykreslování je použito následujícího
cyklu, který při každém proběhnutí vykreslí jeden bod křivky.
Zdrojový kód 5: Algoritmus pro vykreslení Lissajousových křivek
1
2
while
( t < stop_t +1) {
pomer = ( d o u b l e ) t / stop_t ;
7
Grafickými primitivy se rozumí soubor implementovaných grafických prvků, které je možné příslušnými příkazy
vykreslovat [10].
21
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
X = ( i n t ) Math . round ( meritko *100* ampX * Math . sin (( pomer * Math . PI
*2) * freqX + fazerad ) +120) - posunX ;
Y = ( i n t ) Math . round ( meritko *100* ampY * Math . sin (( pomer * Math . PI
*2) * freqY ) *( -1) +120) - posunY ;
3
4
5
i f ( X <= 240 && Y <= 240) { g . drawRect (X , Y , 1 , 1) ;}
t ++;
}
6
7
8
Proměnná t označující čas postupně mění své hodnoty v intervalu od nuly až do maximální hodnoty stop_t, kterou uživatel může měnit ovládacím prvkem označeným jako „Citlivostÿ. Při takto
realizované technice vykreslovaní křivek platí, že čím více bodů je na vykreslení použito, tím větší
přesnosti lze dosáhnout. Proto je také volba, určující kolikrát cyklus proběhne a tedy kolik bodů se
vykreslí, označena jako „Citlivostÿ.
Při každém opakování cyklu je vypočtena hodnota nové proměnné pomer, která je definována jako
podíl t a stop_t, a následně je také hodnota t zvětšena o jedničku (t++). Dále je třeba podle vztahů
(1) a (2) spočítat souřadnice X, Y kmitajícího bodu. Tyto souřadnice jsou v Javě vyjádřeny pomocí
proměnných celočíselného typu (integer), avšak výsledkem operace sinus, kterou v Javě zajišťuje
funkce Math.sin, je číslo reálné (typ double). Je tedy nezbytné výsledek funkce sinus zaokrouhlit
a přetypovat jej tak na celočíselnou hodnotu. Při tomto kroku dochází nevyhnutelně ke zkreslení
výpočtu, protože ztrácíme veškerou přesnost obsaženou v desetinných místech. V obou osách se může
aplet při zaokrouhlování dopustit maximální chyby 0,5 px. Prostor pro vykreslení křivky má rozměry
200×200 px. Z celkového rozsahu os tak může být zaokrouhlením způsobena chyba maximálně 0,25 %.
Ukazuje se, že tuto nepřesnost lze zanedbat.
Po provedení výpočtu souřadnice je programem testována poloha bodu, který má být vykreslen.
Cílem je ověřit, zda bod leží v oblasti apletu určené pro kreslení křivky a ne jinde (třeba v oblasti
ovládacích prvků). Splňuje-li bod tuto podmínku, je vykreslen jako malý čtvereček o rozměrech 1×1 px.
K tomu je využita funkce drawRect.
Abychom se ujistili, že naprogramovaný cyklus skutečně projde celou časovou periodu složeného
kmitu, je v argumentu funkce sinus použit součin uživatelem zvolené frekvence, proměnné pomer a
konstanty 2π. Je-li přitom uživateli umožněno za frekvenci volit minimálně hodnotu jedna, máme
jistotu, že cyklus skutečně alespoň jedenkrát celou periodu projde. To, že nemá uživatel možnost volit
frekvence nižší než jedna, nikterak nesnižuje obecnost simulace, protože, jak bylo zmíněno v teoretickém
rozboru, výsledný tvar Lissajousovy křivky záleží pouze na vzájemném poměru frekvencí skládajících
se kmitů. Jako příklad uveďme, že volbu frekvencí 1 a 1/3 lze úspěšně nahradit volbou frekvencí 3 a
1, aniž by došlo ke změně tvaru Lissajousovy křivky.
Ostatní proměnné, které se ve výše uvedeném zdrojovém kódu vyskytují, představují různé matematické korekce související pouze s obrazovým výstupem. Uživatel bývá zvyklý na počátek souřadného systému uprostřed zobrazovací plochy a na osu y, jejíž hodnoty rostou směrem nahoru. Vzhledem
k tomu, že v Javě je počátek souřadného systému umístěn do levého horního rohu a osa y roste směrem
dolů, je vhodné tento rozdíl korigovat pro zvýšení uživatelova pohodlí.
Celý zdrojový kód tohoto apletu zahrnuje téměř 300 řádků. Na většině z nich je programováno
a spravováno uživatelské rozhraní, které s apletem umožní snadno pracovat. Aplet využívá obvyklé
ovládací prvky, jako jsou textová políčka a posuvníky.
4.3
Návod k použití apletu
Vzhled apletu je znázorněn na obrázku 3. Ovládání je zcela intuitivní. Uživatel má k dispozici sadu
interaktivních prvků (textová pole a posuvníky), pomocí kterých může nastavit parametry simulace.
Každý parametr simulace lze zadat z klávesnice prostřednictvím textového políčka nebo jej lze
nastavit myší prostřednictvím příslušného posuvníku. Základními parametry simulace jsou amplitudy
22
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
Obrázek 3: Vzhled apletu pro simulaci Lissajousových křivek
kmitů v osách x a y. Amplitudy nastavuje uživatel prvními dvěma posuvníky nebo textovými poli a
mohou nabývat hodnot od 1 do 10. Zde má také uživatel možnost ověřit, že výsledný tvar Lissajousovy
křivky nezávisí na jednotlivých hodnotách amplitud, ale až na jejich poměru.
Další dvojice ovládacích prvků určuje frekvence kmitů v osách x a y. Uživatel má možnost volit
frekvence v rozsahu 1 až 20. Tyto volby umožní, mimo jiné, pozorovat, že pro tvar Lissajousovy křivky
je rozhodující pouze poměr mezi těmito frekvencemi.
Následující prvek je označený jako „Fázový posunÿ a dovoluje uživateli přidat do kmitů v ose x
libovolný fázový posun v rozsahu -90◦ až +90◦ . Tak může uživatel simulovat závislost tvaru křivky na
fázovém posunu.
Poslední prvek prvního sloupce ovládá již zmíněnou citlivost, a to tak, že udává počet bodů, pomocí
kterých bude křivka vykreslena. Zde však znamená více bodů také delší výpočetní čas.
Druhý sloupec obsahuje volby, které nesouvisejí přímo s tvarem Lissajousovy křivky, ale s jejím
vykreslením na monitoru. První položka, nazvaná „Lupaÿ, umožňuje zvětšovat nebo zmenšovat velikost
Lissajousova obrazce. Posuvník, kterým se lupa nastavuje, využívá logaritmické měřítko.
Další dvě volby („Posun Xÿ a „Posun Yÿ) slouží k posunutí uživatelova zorného pole horizontálním
a vertikálním směrem.
23
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
11. června 2006
Použitá literatura
[1] MAOR, E.: Trigonometric Delights, Princeton University Press, Princeton 1998, p. 145-149
[2] BAJER, J.: Mechanika 3, VUP, Olomouc 2006 (v tisku), p. 256-262.
[3] http://www.mathcurve.com/courbes2d/lissajous/lissajous.shtml
[4] WHITAKER, R. J.: Harmonographs. I. Pendulum design. Am. J. Phys. 69 (2001), p. 162-173.
[5] GOLDSTEIN, H. et al.: Classical Mechanics (3rd edition). Addison Wesley, San Francisco 2002,
p. 437-440.
[6] http://poncelet.math.nthu.edu.tw/chuan/zoo/toc.html
[7] ADDISON, P. S. and WATSON, J. N.: A novel time-frequency-based 3D Lissajous figure method
and its application to the determination of oxygen saturation from the photoplethysmogram.
Meas. Sci. Technol. 15 (2004), p. 15-18.
[8] BOGLE, M. G. V.; HEARST, J. E.; JONES, V. F. R. and STOILOV, L.: Lissajous knots. Journal
of Knot Theory and Its Ramifications 3(2) (1994), p. 121-140.
[9] http://www.mathcurve.com/courbes3d/lissajous3d/lissajous3d.shtml
[10] HEROUT, P.: JAVA - grafické uživatelské prostředí a čeština, Kopp, České Budějovice 2001.
24
Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů
5
11. června 2006
Závěr
V této práci jsem představil tři simulační aplety, které jsem vytvořil. Při jejich tvorbě se ukázalo,
že vždy existuje prostor pro rozšíření stávajících simulací o další zajímavé možnosti. Také se ovšem
ukázalo, že vývoj simulačních programů je časově poměrně náročný a to zejména ve fázi finálního
„laděníÿ programů. Při programování se projevily některé přednosti (snadná obsluha uživatelských
akcí), ale také nevýhody (absence předdefinovaných objektů jako jsou např. vektory) programovacího
jazyka Java. Věřím ovšem že přednosti převažovaly.
Do budoucna se programování apletů plánuji věnovat alespoň okrajově. Již nyní (duben 2006) je
ve fázi vývoje další aplet, který studuje statickou rovnováhu uživatelem postaveného bloku cihel.
25