(PDF 1,62 MB). - DEBRUJÁŘI - Asociace malých debrujárů České

Obsah
Úvod .......................................................................................................... 2
1) Domečkologie ....................................................................................... 3
2) Möbiova páska ...................................................................................... 4
3) Hra v šachy ........................................................................................... 5
4) Mince a jejich překládání ...................................................................... 6
5) Množení makovic.................................................................................. 7
6) Hra Patnáct ............................................................................................ 8
7) Náušnice a boty ..................................................................................... 9
8) Park a jeho studna ............................................................................... 10
9) Pastorek ............................................................................................... 11
10) Tah .................................................................................................... 12
11) Topinková hra ................................................................................... 13
12) Tvorba čtverce .................................................................................. 14
13) Dva hlavolamy s mincemi ................................................................ 15
14) Sedm případů žluté krychle .............................................................. 16
15) Konstruktérská úloha ........................................................................ 17
16) Krok do prostoru ............................................................................... 18
17) Mince a zápalky kolem ní ................................................................. 19
18) Od čtverců k rámu ............................................................................. 20
19) Poskakující kolečka .......................................................................... 21
20) Průzkum láhve .................................................................................. 22
21) Zápalky do tvaru šipky ..................................................................... 23
22) Hledá se střed kružnice ..................................................................... 24
23) Zrod hvězdy z osmiúhelníku ............................................................. 25
24) Krájení dortu ..................................................................................... 26
25) Divná špejle ...................................................................................... 27
26) Řazení karet ...................................................................................... 28
27) Kvíz – matematika ............................................................................ 29
28) Řešení kvízu – matematika ............................................................... 37
29) Papírový hlavolam ............................................................................ 37
30) Úlohy – věda a debrujáři 2014 .......................................................... 38
31) Eratosthenovo síto ............................................................................. 43
32) Ludolfovo číslo ................................................................................. 44
33) Jednokopový NIM ............................................................................ 46
34) Faktoriál ............................................................................................ 48
35) Exponenciální funkce........................................................................ 49
36) Den bez čísel a den s čísly ................................................................ 50
Místo závěru ............................................................................................ 53
Literatura ................................................................................................. 56
Úvod
Jsem debrujár a jsem rád, protože v debrujárech je to dobré. Každý týden se naučíme aspoň
tři pokusy a dva hlavolamy. Připravujeme se na debrujárské soutěže, hrajeme si s vědou.
V květnu jsme byli v Brně na Rafanovi (ekologická soutěž Radost–fantazie–nápady) a tam
předváděli pokusy jiným dětem. Na Bambiriádě v Brně jsme měli svůj stánek a na něm
hračkárnu, hernu, bublinoškolu, optické hlavolamy, stavby a další zajímavosti.
Náš stánek byl plný obdivovatelů. No paráda.
David Peter a Martin Balvín
Při čtení této reportáže mi chodí mráz po těle. Napsal ji Martin, který již není mezi námi.
Zemřel příliš mladý. A právě Martinovi bychom udělali velkou radost. Tobě Martine,
věnujeme tuto malou sbírku… Malí debrujáři jsou dobří a mají fantazii. Malí debrujáři se
snaží všechno pochopit, a snaží se vysvětlit jevy, které sledují, po svém. Když pochopí, jak
a proč věci fungují, tak jim to v očích zajiskří. Malí debrujáři dělají nám dospělákům velkou
radost. Velice potřebujeme, abychom viděli někoho se radovat. Proto i my dospěláci
debrujaříme a zůstáváme dlouho dětsky hraví. A myslím si, že všichni vědci byli nejdříve
malými debrujáry. (Ale asi o tom nevěděli.)
Libor
KMD (klub malých debrujárů) FreeDeK byl založen v říjnu roku 1995. Byl jedním z prvních
klubů na území Moravskoslezského kraje. Debrujáři z Frýdku-Místku zvítězili ve finále
republikové soutěže "Stroj času" v Bučovicích 97, ve finále republikové soutěže "Mea Terra"
v Litomyšli 98, byli třetí na "Hydru" v Táboře 99. Předváděli pokusy na "Vánocích
debrujárů" v Praze, na akci "Hrad patří dětem", na soutěži "Nevyhazuj, z toho by mohlo
být", v portugalské Coimbře, v mexické Pueble, v televizním pořadu v Žirafa, na soutěži
RAFAN, Bambiriádě v Brně, v Ostravě, ve Frýdku-Místku, v Bruselu, v Paříži, v Moskvě,
v Londýně, v Římě, v Pise, v Miláně, v chilském Santiagu, tureckém Istanbulu, pražském
Vědohraní, francouzském Reunionu, emirátském Abu Dhabi atd. Debrujáři jsou uznávanou
organizací v Moravskoslezsku. Práci debrujárů oceňují děti a rodiče v celém našem kraji.
Jednoduše řečeno, debrujáři Moravskoslezského regionu jsou lidé, kteří svou práci dělají
dobře. V současné době umíme pro děti vytvořit dobré podmínky pro to, aby nejen udělaly
první krůčky do světa vědy, ale aby vědu dělaly. Malé debrujáry najdete mezi dětmi
mateřských škol, základních a středních škol.
Kdo je debrujár ?
Asociace malých debrujárů České republiky vznikla na základě zkušeností z Kanady a přes
Francii se dostala až k nám, kde působí od 22. 9. 1992. Debrujár je slovo francouzského
původu, vzniklo ze slov DÉBROUILLARD–šikovný, obratný a SE DÉBROUILLER–
objevovat, pomoci si v těžkostech, umět si poradit. Jsou to chlapci a děvčata a jejich starší
kamarádi, sourozenci, rodiče, učitelé, kteří mají zájem o vědu, techniku, kteří stále něco
vymýšlejí, objevují a experimentují. Debrujáři se seznamují se zajímavými pokusy, které si
mohou sami vyzkoušet, a přitom k tomu nepotřebují žádné drahé přístroje.
2
1) Domečkologie
Čas potřebný na činnost: 20 minut
Domečkologie je „věda“, která se
zabývá kreslením domečků jedním
tahem. Otcem domečkologie je
švýcarský matematik Leonhard Euler (je považován za nejlepšího
matematika a fyzika18. století)
Potřebné pomůcky: tužka a papír
Návod na realizaci: Pokuste se nakreslit jedním tahem následující
verze domečků. Musíte dodržet pravidlo, že nesmíte tužku z papíru
zvednout, a také nesmíte vést tah tužkou po jedné hraně dvakrát.
Jelikož jde o „vědu“ zkoumání domečků, zkuste rozšířit předešlé
domečky na řadové, patrové a panelové. Pokuste se je nakreslit
minimálním počtem tahů.
Umíte nakreslit domečky uzavřeným tahem (skončíte tam, kde jste
začali)?
3
Řešení:
2) Möbiova páska
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Möbiova páska je jedním z objektů topologie, kterou založil matematik
August Möbius.
Potřebné pomůcky: papír, nůžky, pastelky, lepidlo
Návod na realizaci: Vystřihněte asi 30 cm dlouhý proužek, široký
alespoň 4 cm. Chytněte každý konec proužku do jedné ruky. Jeden
konec otočte o 180° a spojte je lepidlem.
Vysvětlení: Pokud budete přejíždět prstem
po straně pásky, zjistíte, že má jen jednu
stranu. Dá se to ověřit také tak, že na
začátku, než spojíte oba konce papíru,
vybarvíte každou stranu obdélníkového
proužku papíru jinou barvou. U Möbiovy
pásky se vám to nepodaří. Rub a líc zde
neexistuje.
4
3) Hra v šachy
Čas potřebný na činnost: 30 minut
Byl jednou jeden indický král, který slíbil
jednomu svému poddanému vše, co si bude
přát. Učinil tak po záchraně dcery, kterou poddaný dovedl domů. Král
s královnou hráli na trůně šachy, když se náhle poddaný před nimi
objevil. „Drahé veličenstvo, přišel jsem si pro svou odměnu.“ „Co si
přeješ vážený zachránce mé dcery?“, řekl král. „Přál bych si, abych za
první pole šachovnice dostal zrno rýže.“ „Pouze rýži?“ podivil se král.
„Ano, za druhé pole šachovnice 2 zrna, za třetí 4 zrna, za čtvrté 8, za
páté 16, za šesté 32...“ „Dobrá, dostaneš dvojnásobek zrn, než bylo na
poli předcházejícím. Za všech 64 polí šachovnice.“ řekl král. Pomyslel
si, že i tulák by toho požadoval více. „Nechť dvorní matematikové
spočítají, kolik zrn rýže máme dát našemu zachránci!“ rozkřičel král po
celém panství.
Potřebné pomůcky: šachovnice, rýžová zrna, kalkulačka.
Návod na realizaci: Na první pole položte jedno zrno, na druhé 2 zrna,
na třetí 4 zrna, pokaždé dvojnásobek počtu na předchozím poli atd.
Vysvětlení: Po několika dnech přišel nejlepší dvorní matematik
s výsledkem, jehož počet zrn by obnášel přeměnit všechna království
na rýžová pole, vypustit všechny oceány, moře a rozpustit ledovce, aby
bylo možné na každém místě vytvořit pole.
„Jedná se o 18 446 744 073 709 551 615 zrn rýže!“ „Jak jste přišel na
takové číslo?“ podivil se král. „Výpočet tkví ve vynásobení 64 dvojek,
které jsme rozdělili na 6 skupin po 10 dvojkách a jednu skupinu
4 dvojek. Je jisté, že součin 10 dvojek je roven 1024, součin 4 dvojek
je roven 16. Následně jsme dostali součin 1024 · 1024 · 1024 · 1024 ·
1024 · 1024 · 16. Vynásobením 1024 · 1024 jsme obdrželi číslo
1 048 576. Zbylo spočítat 1 048 576 ∙ 1 048 576 ∙ 1 048 576 ∙ 16
a odečíst jedničku.“
5
4) Mince a jejich překládání
Čas potřebný na činnost: 30 minut
Připravte si mince 20 Kč, 10 Kč, 5 Kč, 2 Kč,
1 Kč, které uspořádáte na talíř chronologicky od mince s největší
hodnotou do mince s nejmenší hodnotou. Vedle talíře postavíte ještě další
dva talíře. Úkolem je přenést mince z původního talíře, kde jsou mince
umístěné na třetí talíř tak, aby na třetím talíři byly mince uspořádány ve
stejném pořadí. Pravidlem je, že můžete překládat vždy jednu minci
a nepokládat minci s větší hodnotou na menší. Lze použít druhý talíř, ale
obě pravidla jsou na něm stejná. Jaký je nejmenší počet přenosů mincí
z prvního (počátečního) talíře na třetí (koncový)?
Potřebné pomůcky: 3 talíře, dvacetikoruna, desetikoruna, pětikoruna,
dvoukoruna, koruna
Návod na realizaci: Pokud máte pouze dvě mince, 20 Kč a 10 Kč, pak
desetikorunu přesuňte na prostřední talíř, dvacetikorunu na třetí talíř
a z prostředního talíře přesunete desetikorunu na dvacetikorunu na
posledním talíři. Celkem jste provedli tři tahy. Pokud přidáte 5 Kč na
první talíř k 10 Kč a 20 Kč minci, pak počítáme opět tahy, kolika lze
přenést tuto hromádku mincí na třetí talíř. Nejdříve přesunete dvě menší
mince na prostřední talíř, což provedete třemi tahy. Pak položíte
dvacetikorunu na třetí talíř, což je jeden tah a poté přeložíte obě mince
z prostředního talíře na dvacetikorunu třemi tahy. Tedy celkem máte
3 + 1 + 3 = 7 tahů. Po přidání 2 Kč přenesete 3 menší mince na
prostřední talíř pomocí 7 tahů, pak dvacetikorunu položíte na třetí talíř,
což je jeden tah, a poté přenesete mince z prostředního talíře pomocí
7 tahů na třetí talíř. Celkem 15 tahů. A co při všech pěti mincích?
Vysvětlení: Při pěti mincích provedete celkem 15+1+15=31 tahů.
Výpočet lze zjednodušit. Pokud si povšimnete, tak počet jednotlivých
tahů jsou vlastně násobky dvou odečtené o jednotku. Po rozepsání
3=2·2−1
7=2·2·2−1
15 = 2 · 2 · 2 · 2 − 1
31 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 − 1
6
5) Množení makovic
Čas potřebný na činnost: 30 minut
Zralá makovice obsahuje spoustu
drobných zrníček. Z každého zrníčka
může po zasetí vyrůst celá rostlina.
Pokud zasejeme všechna zrníčka
makovice, kolik vyroste rostlin? Vyroste jich tolik, kolik je zrníček
v makovici. Kolik zrnek má makovice?
Předpokládejme, že v prvním roce na poli vyroste 3000 makovic, kde
každá obsahuje 3000 zrnek. Pokud zasejeme všechna zrnka ze všech
3000 makovic, jaké množství zrnek zasejeme? Pokud budeme mít
v druhém roce 9 000 000 rostlin, kde každá obsahuje 3000 zrnek, kolik
zrnek budou mít makovice celkem? Jestliže všechna tato zrnka
zasejeme, kolik rostlin budeme mít ve třetím roce? Od kterého roku
bude rostlinám na naší Zemi těsno?
Potřebné pomůcky: makovice, kalkulačka
Návod na realizaci: Spočítejte, kolik zrnek má makovice.
Vysvětlení: Jestli jste napočítali okolo 3000 zrnek, tak jste počítali
správně. Tolik rostlin by vyrostlo, kdybychom všechna zrnka zaseli.
Takové množství by stačilo pokrýt celé makové pole. Jestliže zasejeme
každé zrnko z 3000 makovic, kde každá makovice má 3000 zrnek, pak
zasejeme celkem 3000 x 3000, tj. 9 000 000 zrnek. Jestliže všechna
tato zrnka zasejeme a po čase z nich vyrostou makovice o 3000
zrnkách, budeme mít celkem 9 000 000 · 3000, tj. 27 000 000 000
zasetých zrnek. Poté 27 000 000 000 · 3000, tj. 81 000 000 000 000
máků. V pátém roce 81 000 000 000 000 x 3000 =
243 000 000 000 000 000 je na Zemi rostlinám těsno, neboť všechny
pevniny na povrchu měří dohromady 135 000 000 000 000 m2.
Na čtverečním metru se vyskytuje 2000 makových rostlin. Pokud by se
všechna zrníčka ujala, pokryla by celý povrch Země již za 5 let.
7
6) Hra Patnáct
Čas potřebný na činnost: 10 minut – 100 let
Určitě jste se setkali se čtvercovou krabičkou, ve které jsou kostičky
očíslované od 1 do 15, kde jedna kostička chybí do plného počtu
v krabičce. Prázdné políčko slouží k přemisťování kostiček. Úkolem je
posunout kostičky z počátečního, libovolného pořadí tak, aby na konci
opět tvořila řadu čísel od 1 do 15. Tato hra vznikla v Americe roku 1880.
Potřebné pomůcky: hra Patnáct nebo 15 kostiček očíslovaných od 1 do
15 a mřížka
Návod na realizaci: Seřaďte kostičky do libovolného pořadí. Pokuste se
přemisťovat kostičky tak, abyste je měli seřazené od 1 do 15, jako je
uvedeno na obrázku.
Vysvětlení: Počáteční postavení kostiček můžete vybírat
z 15! = 1307674368000 možností. Jsou však možnosti, u kterých se
k požadovanému pořadí nikdy nedoberete. Jaké je matematické tvrzení
pro počáteční stav této hry?
„Hra je řešitelná právě tehdy, když je počátečním postavení počet
předcházených čísel sudý.“
Co si pod počtem přecházených čísel představit?
Uvažujme následující uspořádání kostiček.
Kostičky 1, 2, 3, 4 a 5 jsou v pořádku. Kostička
7 předchází kostičku 6, neboť má vyšší hodnotu.
15 předchází 10, 12, 14, 11 a 13, 12 předchází
11, 14 předchází 11 a 13. Celkem máme počet
předcházených čísel 9, což je liché číslo.
S takovýmto postavením bychom nikdy nenašli řešení.
8
7) Náušnice a boty
Čas potřebný na činnost: 30 minut
V jednom šuplíku je uloženo 10 párů
červených a 10 párů modrých
náušnic. V jiném šuplíku je uloženo
10 párů hnědých a 10 párů černých
bot. Kolik náušnic a bot stačí vytáhnout z každého šuplíku, aby
se z nich dal vybrat jeden pár náušnic a jeden pár bot stejné barvy?
Potřebné pomůcky: tužka, pastelky, papír, nůžky.
Návod na realizaci: Nakreslete 10 párů červených a 10 párů modrých
náušnic. Poté nakreslete 10 párů hnědých a 10 párů černých bot (levou
botu označte písmenem L a pravou botu písmenem P). Obrázky
nastříhejte tak, že na každém obrázku je právě jedna náušnice nebo
bota. Dále si nakreslete dva šuplíky, kde do jednoho poskládáte
náušnice a do druhého boty. A můžete náušnice a boty z šuplíků
vytahovat.
Vysvětlení: Stačí vybrat ze šuplíku tři náušnice, protože dvě budou
jistě stejné barvy. U bot je situace složitější, neboť rozlišujeme nejen
mezi barvou, ale také mezi botou pro levou a pravou nohu. Stačí vybrat
21 bot. Kdybychom vybrali méně, například 20 bot, pak by se mohlo
stát, že všech 20 bude na stejnou nohu.
9
8) Park a jeho studna
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Uvažujte park, který je vymezen 20 zápalkami do tvaru čtverce
a uprostřed něj je studna tvořena 4 zápalkami rovněž ve tvaru čtverce.
Potřebné pomůcky: zápalky
a) Vzniklý obrazec rozdělte 18 zápalkami na 6 shodných dílů.
b) Vzniklý obrazec rozdělte 20 zápalkami na 8 shodných dílů.
Řešení:
10
9) Pastorek
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Malé ozubené kolo s 8 zuby zabírá
spolu s velkým kolem s 24 zuby.
Malé kolo při otáčení navíc obíhá
kolem velkého kola. Kolikrát se
otočí malé kolo při oběhu kolem
velkého kola?
Potřebné pomůcky: list papíru, dvě
stejné mince
Návod na realizaci: Položte si obě mince na list papíru. Jednu minci
přidržte a druhou se pokuste odvalovat kolem obvodu první mince.
Vysvětlení: Zjistíte, že pokud objedete přidrženou minci dokola, otočí
se druhá dvakrát kolem své osy. Pokud se vrátíte zpět k ozubeným
kolům, pak zjistíte, že se malé kolo otočí čtyřikrát kolem své osy.
11
10) Tah
Čas potřebný na činnost: 10 minut
Uvažujte 5 bodů v rovině. Nalezněte řešení, jak lze jedním tahem,
tj. pěti úsečkami, spojit všechny body?
Potřebné pomůcky: papír, pastelky
Návod na realizaci: Nakreslete na papír 5 bodů (puntíků). Pokuste se
všechny body spojit jedním tahem. Že těch tahů může být víc?
Ano, není obtížné najít alespoň dvě řešení.
Poté se pokuste spojit 9 bodů čtyřmi úsečkami jedním tahem. Je možné
vést více úseček jedním bodem vícekrát.
Vysvětlení:
12
11) Topinková hra
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Uvažujte, že stojíte v kuchyni
a chcete si opéct topinku.
Vytáhnete pánev, zapnete sporák
a přidáte olej na pánev. Nyní
chcete osmahnout 3 topinky, jenže
na pánev se vejdou jenom 2.
Jak topinky opečete, aby celková
doba přípravy byla minimální?
Potřebné pomůcky: 3 topinky,
pánev, olej, plynový hořák, nebo
tužku a papír
Návod na realizaci: Pokuste se přijít na co nejkratší přípravu topinek
za předpokladu, že každá strana topinky se opéká 2 minuty.
Vysvětlení: Tři topinky se dají upéct nejdříve za 6 minut. Na pánev se
dá 1. a 2. topinka. Po dvou minutách opékání se první topinka otočí,
druhou dáte z pánve ven a přidáte do pánve třetí. Po dalších dvou
minutách máme opečeny další strany. Vyndáte ven první topinku
a zbylé dvě otočíte na neopečenou stranu.
13
12) Tvorba čtverce
Čas potřebný na činnost: 30 minut
Nakreslete následující obrázek (kříž z pěti stejných čtverců).
Potřebné pomůcky: nůžky, papír,
tužka, pravítko
Tento kříž rozdělte na 4 díly tak, aby se z nich dal sestavit čtverec.
Řešení:
14
13) Dva hlavolamy s mincemi
Čas potřebný na činnost: 10 minut
Potřebné pomůcky: mince
Návod na realizaci:
1) Postavte 12 mincí do tvaru čtverce tak,
aby každá strana čtverce měla 4 mince.
Takto položené mince se snažte
následně přemístit do tvaru čtverce, aby
každá jeho strana měla mincí 5.
2) Postavte 12 mincí do čtverce, který má 3 řady mincí postavených
vodorovně a 3 řady svisle. Podmínkou je, že v každé z těchto řad
musí ležet 4 kameny.
Řešení:
15
14) Sedm případů žluté krychle
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Potřebné pomůcky: papír, pravítko, tužka, žlutá pastelka (fix)
Návod na realizaci: Vyrobte nebo nakreslete krychli, jejíž vnější stěny
budou mít žlutou barvu. Nyní si představte, že její hrana má délku
30 cm. Otázky jsou následující.
1) Jestliže z této krychle chcete obdržet krychličky o délce 10 cm,
kolik řezů musíte krychlí provést?
2) Kolik krychliček tímto způsobem dostanete?
3) Kolik krychliček bude mít všechny stěny žluté barvy?
4) Kolik krychliček bude mít tři stěny žluté barvy?
5) Kolik krychliček bude mít dvě stěny žluté barvy?
6) Kolik krychliček bude mít jednu stěnu žluté barvy?
7) Kolik krychliček nebude mít ani jednu stěnu žluté barvy?
Řešení:
1) 6
2) 27
3) žádná
4) 8, což odpovídá 8 vrcholům krychle
5) 12, což odpovídá 12 hranám krychle
6) 6, což odpovídá 6 stěnám krychle
7) 1
16
15) Konstruktérská úloha
Čas potřebný na činnost: 20 minut
Potřebné pomůcky: papír, nůžky, lepidlo
Vystřihněte 3 proužky, které slepíte do řetízku. Jeden příklad řetízku je
uveden na obrázku. Úkolem je přestřihnout řetízek tak, aby se rozpadl
na tři části. Je samozřejmé, že u řetízku uvedeného na obrázku byste
museli každý článek rozstřihnout zvlášť.
Návod na realizaci: Sestrojte řetízek do tvaru, po jehož přestřihnutí se
celý rozpadne. Lze přestřihnout pouze jeden proužek, nikoli více
najednou.
Řešení:
17
16) Krok do prostoru
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Potřebné pomůcky: zápalky,
plastelína
Návod na realizaci:
Jestliže spojíte plastelínou všechny
konce tří zápalek, vznikne vám rovnostranný trojúhelník.
Nyní spojte 9 zápalek stejným způsobem tak, abyste sestrojili
7 rovnostranných trojúhelníků.
Řešení: Celkem sestrojíte 2 jehlany, které mají jednu společnou
podstavu.
18
17) Mince a zápalky kolem ní
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Potřebné pomůcky: zápalky, mince
Rozložte zápalky, jako je uvedeno
na obrázku. Dvanáct zápalek směřuje
hlavičkou směrem ven od mince, třináctá
zápalka hlavičkou směrem k minci. Úkolem
je odstranit všechny zápalky kromě třinácté,
která je položena hlavičkou k minci. Odstranit
takovým způsobem, že nejdříve odstraníte
jednu zápalku a pak ve směru hodinových
ručiček odstraníte každou třináctou.
Je však otázkou, kterou zápalkou začít?
Návod na realizaci: Umístěte zápalky a minci do požadované polohy.
Začněte počítat od zápalky s hlavičkou obrácenou k minci. Obcházejte
kruh se zápalkami v požadovaném směru a každou třináctou zápalku
odstraňte. Pokud dojde i na odstranění zápalky s hlavičkou u mince,
odstraňte ji také. Proces provádějte tak dlouho, dokud vám zbude jedna
zápalka.
Vysvětlení: Poslední zbylá zápalka vám udává, od které zápalky máte
začít počítat.
19
18) Od čtverců k rámu
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Potřebné pomůcky: pravítko, tužka,
papír, nůžky
Návod na realizaci: Nakreslete, jak je
uvedeno na obrázku, 3 shodné čtverce s libovolnou délkou strany.
Úkolem je rozstřihnout tento obraz na dva díly tak, abyste z obou dílů
mohli složit čtvercový rám. Uvnitř rámu se musí nacházet prázdný
čtverec a musí být shodný s původními čtverci.
Řešení: Obrazec rozstřihnete podle čáry vedenou přes body A, B, C,
D, E. Body B, C, D tvoří středy čtverců. Tuto vystřiženou část přiložíte
ke zbylé části tak, jak je vyobrazeno na obrázku.
20
19) Poskakující kolečka
Čas potřebný na činnost:
20 minut
Potřebné pomůcky: tužku,
papír, pravítko, kružítko,
nůžky
Připravte si hrací desku
o sedmi polích (viz obrázek).
Vystřihněte
3 bílá kolečka a umístěte na
pole 1, 2, 3 a tři černá kolečka
položte na pole 5, 6, 7. Pole
číslo 4 je prázdné. Úkolem je
přemístit bílá kolečka na
místa černých koleček za využití prázdného pole tak, že kolečka je
možno posunout na vedlejší volné pole, nebo je možno přeskočit
sousední kolečko. Není dovoleno vést kolečko směrem dozadu, pouze
ve směru koleček opačné barvy. Tedy například bílá kolečka se
nemohou pohybovat směrem k poli číslo 1, analogicky černá kolečka
se nemohou pohybovat k poli číslo 7.
Řešení:
Postup provedený patnácti tahy.
Jestliže tah černého kolečka označíme písmenem A a bílého písmenem
B, tak výsledek můžeme zapsat ve tvaru ABBAAABBBAAABBA.
21
20) Průzkum láhve
Čas potřebný na činnost: 20 minut
Asi jste si všimli rozmanitých tvarů různých lahví, jejich zaoblení
i tvaru dna. Dna mohou být čtvercová, kruhová, obdélníková, či těmto
tvarům podobná. Jak určit její objem jen pomocí pravítka?
Potřebné pomůcky: láhev s plochým dnem ve
tvaru obdélníku, čtverce nebo kruhu, voda,
pravítko, tužka, papír
Návod na realizaci: Nalejte vodu do láhve
a změřte, v jaké výšce 𝑣1 se hladina nachází.
Nechte prostor v láhvi, ať láhev není plná vody.
Označte 𝑆 náš obsah dna láhve. Objem vody je
𝑆 ∙ 𝑣1 . Poté obraťte láhev dnem směrem vzhůru a změřte novou výšku
hladiny 𝑣2 ode dna. Nyní je objem tekutiny roven 𝑆 ∙ 𝑣2 . Zbylou část
láhve předtím zaplňovala voda o objemu 𝑆 ∙ 𝑣1 .
Řešení: Odtud máme, že objem
celé láhve je
𝑆 ∙ 𝑣1 + 𝑆 ∙ 𝑣2 = 𝑆 ∙ (𝑣1 + 𝑣2 ).
22
21) Zápalky do tvaru šipky
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Potřebné pomůcky: zápalky
Návod na realizaci: Sestavte 16 zápalek do
tvaru, který je uveden na obrázku. Proveďte následující úkoly.
1) Vytvořte 8 stejných trojúhelníků přemístěním 8 zápalek.
2) Vytvořte 5 stejných čtyřúhelníků přemístěním 7 zápalek.
Řešení:
23
22) Hledá se střed kružnice
Čas potřebný na činnost: 15 minut
Najděte střed narýsované kružnice. Jak ho
naleznete, máte-li k dispozici pouze
trojúhelníkové pravítko
bez měřítka a tužku?
Potřebné pomůcky: hrnek (cokoli, podle
čeho se dá obkreslit kružnice), tužka,
trojúhelníkové pravítko bez měřítka, papír
Návod na realizaci: Rýsovací trojúhelník
přiložte pravým úhlem k bodu C
(viz obrázek) a body, které vznikají
protnutím jeho odvěsen a kružnice, označte
D, E. Jestliže vede úsečku těmito body, pak
jste našli průměr kružnice. Postup proveďte
ještě jednou a zjistíte, že další úsečka protne střed kružnice.
Řešení:
24
23) Zrod hvězdy z osmiúhelníku
Čas potřebný na činnost: 20 minut
Potřebné pomůcky: papír, pravítko,
tužka
Návod na realizaci: Narýsujte
osmiúhelník a obstřihněte jej. Poté
v něm narýsujte menší osmiúhelník
a ten vystřihněte (viz obrázek).
Vzniklý obrazec se pokuste nastříhat
tak, abyste obdrželi osmicípou hvězda
s osmiúhelníkovým otvorem uvnitř.
Řešení:
25
24) Krájení dortu
Čas potřebný na činnost: 10 minut
Představte si, že jste obdrželi dort, jako
je na obrázku. Rozdělte dort třemi
přímými řezy na sedm dílů tak, aby
na každém dílu byla jedna růžička.
Potřebné pomůcky: tužka
Řešení:
26
25) Divná špejle
Čas potřebný na činnost: 10 minut
Potřebné pomůcky: špejle, pravítko
Návod na realizaci: Špejli zkraťte tak, aby
byla dlouhá 5 cm. Jakým způsobem složíte
z 14 takových špejlí metr?
Řešení:
27
26) Řazení karet
Čas potřebný na činnost: 30 minut
Potřebné pomůcky: nůžky,
papír, tužka, pravítko
Návod na realizaci:
Vystřihněte z papíru karty
o velikosti 4x6 cm
a označte čísly od 1 do 10
a složte je na sebe.
První kartu položte na stůl,
druhou zatrčte pod první, třetí dejte na stůl, čtvrtou pod třetí. Postup
opakujte, až vám dojdou karty. Vidíte, že karty nejsou seřazené.
Pokuste se proto určit počáteční pořadí karet, abyste je měli seřazeny
podle čísel popsaným postupem.
Řešení: Původní hromada karet bude v pořadí 1, 6, 2, 10, 3, 7, 4, 9, 5, 8.
28
27) Kvíz - matematika
1) Sumerové začali poprvé používat znaky k počítání zapisovaných do
jakých destiček?
a) ocelových
b) měděných
c) hliněných
d) železných
2) Kdy se poprvé v Egyptě objevily hieroglyfické číslice?
a) 9000 př. n. l.
b) 6000 př. n. l.
c) 3000 př. n. l.
d) rok 0
3) Kdy se v údolí Indu v jižní Indii začala poprvé používat desítková
soustava pro určení míry a váhy?
a) 2800 př. n. l.
b) 6500 př. n. l.
c) 10200 př. n. l.
d) 15100 př. n. l.
4) Kdy Egypťané začali používat pythagorejský trojúhelník tvořený
z provazu k určení pravého úhlu?
a) 1700 n. l.
b) 2700 př. n. l.
c) 6700 př. n. l.
d) 9700 př. n. l.
5) Ve kterém roce byl vytvořen abakus? Abakus je počítadlo, které se
objevilo ve starověku, a usnadňovalo některé výpočty. Dnes má podobu
rámečku s kuličkami umístěnými na tyčkách.
a) 10500 př. n. l.
b) 5500 př. n. l.
c) 2500 př. n. l.
d) 2500 n. l.
6) Kdo objevil Pythagorovu větu, která se vyskytla poprvé v roce
2000 př. n. l.?
a) Aristoteles
b) Pythagoras
c) Hérodotos
d) Klaudios Ptolemaios
7) Rhindův (také Londýnský) papyrus pojmenovaný podle skotského
egyptologa, byl objeven v roce 1858 v Luxoru a obsahuje 87
matematických úloh. V kterém roce byl sepsán?
a)1650 n. l.
b) rok 0
c) 1650 př. n. l.
d) 10650 př. n. l.
29
8) V roce 1300 př. n. l. se objevila na Berlínském papyru v Egyptě první
kvadratická rovnice. Jaký tvar má kvadratická rovnice?
a) 𝑏 − 𝑐 = 0
b) 2𝑥 + 4𝑦 = 0
c) (𝑎 − 𝑏)(5 − 2) = 0
d) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
9) Kdy se ve starověkém Egyptě začaly poprvé používat zlomky?
a) 10000 př. n. l.
b) 5000 př. n. l.
c) 1000 př. n. l.
d) 2000 n. l.
10) Kdy byla v Indii přijata nula za číslo? Do té doby byla považována
za nebezpečnou myšlenku.
a) 876 př. n. l.
b) 3000 př. n. l.
c) 6000 př. n. l.
d) 11000 př. n. l.
11) V roce 450 př. n. l. se objevil ve starých Aténách zlatý řez. Co zlatý
řez znamená?
a) řez do zlatého šperku
b) čokoládový řez na zlatém podnose
c) poměr s přibližnou hodnotou 1,618 (považuje se v architektuře
a umění za ideální)
d) řeznický zlatý nůž
12) Platon a Theaiteto v roce 360 př. n. l. dokázali, že existuje pět
platonských těles neboli pravidelných mnohostěnů. Co mezi pravidelné
mnohostěny nepatří?
a) čtyřstěn
b) osmistěn
c) koule
d) dvacetistěn
13) V roce 260 př. n. l. byl objeven magický čtverec. Je to tabulka s n
řádky a n sloupci, kde součet čísel na řádcích je stejný jako součet čísel
ve sloupcích. Urči, který z následujících čtverců je magický.
a)
b)
c)
d)
1 1
1 3
0 5
1 4
0 2
3 1
0 5
3 5
30
14) Archimedes se v roce 230 př. n. l. snažil co nejpřesněji určit
Ludolfovo číslo 𝜋 metodou vytváření mnohoúhelníků uvnitř kruhu.
Co Ludolfovo číslo v geometrii znamená?
a) velikost úhlopříčky ve čtverci
b) obsah podstavce válce
c) délku hrany mnohostěnu
d) poměr délky kružnice k jejímu
průměru
15) V roce 180 př. n. l. začali Řekové matematici používat šedesátkový
systém k rozdělení kruhu na 360°. Jaký je součet vnitřních úhlů
v trojúhelníku?
a) 180°
b) 160°
c) 120°
d) 100°
16) Hipparchos ze Samu položil v roce 140 př. n. l. základy
trigonometrie. Čím se trigonometrie zabývá?
a) oborem přirozených a celých čísel
b) výrokovou logikou
c) úlohami o trojúhelnících
d) je to oblast medicíny
17) V roce 50 př. n. l. se poprvé objevila čísla brahmí (viz obrázek).
Jaký součet znaků dává číslo 10?
a)
c)
a
a
b)
d)
a
a
18) Z roku 100 n. l. pochází zmínka o imaginárních číslech, kterých si
všiml Hérón Alexandrijský u odmocniny ze záporného čísla. Ve které
rovnici s neznámou 𝑥 se vyskytne záporné číslo pod odmocninou?
a) 5 − 𝑥 = 0
b) 5 − 𝑥 2 = 0
c) −5 − 𝑥 2 = 0
d) 𝑥 − 5 = 0
31
19) Po roce 1202 byla uvedena Fibonacciho posloupnost čísel 0, 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, … Který matematik původem z Itálie ji popsal?
a) Polo
b) Pavarotti
c) Belluci
d) Fibonacci
20) Filippo Brunelleschi objevil pravidla pro používání perspektivy
v umění. Co perspektiva znamená?
a) Je to optický jev, kdy vzdálenější předměty se nám jeví jako menší,
než objekty, které jsou blíže.
b) Je to fyzikální jev, kdy dochází k tání.
c) Je biologický jev, kdy dochází k růstu.
d) Je chemický jev, kdy dochází k elektrolýze.
21) V roce 1581 byly díky studiu loutnových strun objeveny nelineární
rovnice. Která z následujících rovnic je nelineární?
a) 2𝑥 − 3 = 0
b) 5 − 2𝑥 = 0
c) 3𝑥 − cos(𝑥) − 3 = 0 d) 5𝑥 − 3 − 2𝑥 = 0
22) V roce 1583 se neznámý muž díval na kývající se lampu v katedrále
v Pise a ihned popsal vztah délky a pohybu kyvadla. Kdo byl tímto
mužem?
a) Galileo Galilei
b) Albert Einstein
c) Jan Hus
d) Giordano Bruno
23) V roce 1609 astronomové, jako byl Johannes Kepler, zjistili, že se
planety nepohybují po kružnicích, nýbrž po elipsách. Která
z následujících křivek je elipsa?
a)
b)
c)
d)
24) V roce 1622 bylo vynalezeno logaritmické pravítko. K čemu se
používá?
a) Je to pomůcka k měření úhlů.
b) Je to pomůcka k určení stupně zemětřesení na Richterově stupnici.
c) Je to pomůcka pro násobení a dělení čísel.
d) Je to pomůcka pro určení teploty.
32
25) V roce 1637 se poprvé objevila kartézská soustava souřadnic. Kdo ji
vytvořil?
a) René Descartes
b) Maria Curie Sklodowska
c) John Napier
d) Ibn Síná
26) Po kterém matematikovi byl pojmenován Pascalův trojúhelník
z roku 1653?
a) Gabriel Pascal
b) Blaise Pascal
c) Jean-Claude Pascal
d) Christine Pascal
27) Co nepatří mezi druhy matematických důkazů, které se používají
k ověření pravdivosti tvrzení?
a) přímý důkaz
b) důkaz sporem
c) důkaz nesmyslem
d) důkaz indukcí
28) Eulerovo číslo 𝑒 = 2,71828 18284 … je
a) proměnná
b) neznámá
c) konstanta
d) rovnice
29) V roce 1748 řešil Leonhard Euler úlohu sedmi mostů města
Královce. Kde se město Královec (dnešní Kaliningrad) nachází?
a) v Rusku
b) v Polsku
c) v Německu
d) v USA
30) Která z následujících rovnic je Eulerova?
a) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
b) 𝑎 − 𝑖 = 2
𝑖𝜋
c) 𝑒 + 1 = 0
d) 𝑥 2 = 0
31) Čím se zabýval Thomas Bayes?
a) pravděpodobností
b) vzdáleností Země od Slunce
c) stavbou DNA
d) pěstování kaktusů
32) Kdo používal matematiku ke korigování nejistoty lidské chyby?
a) matematik John Nash b) astronom Nevil Maskelyne
c) chemik Arthur Aikin d) biolog Ivan Petrovič Pavlov
33
33) V roce 1798 Thomas Malthus dokázal, že populace roste
geometrickou řadou, zatímco zásobování potravinami aritmetickou řadou
a tvrdil, že přirozeným a nevyhnutelným následkem je
a) přebytek potravin
b) hlad
c) zvýšení intenzity
d) zastavení rotace země
slunečního záření
34) Jaký vědec v roce 1799 dokázal základní větu algebry, která tvrdí,
že každá polynomická rovnice má řešení?
a) Carl Friedrich Gauss b) Thomas Bayes
c) Nevil Maskelyne
d) Joseph Fourier
35) Jaký matematik francouzského původu převedl v roce 1822 zvukové
a světelné vlny na vlny sinusové?
a) Stefan Banach
b) Joseph Fourier
c) Paul Bernays
d) Felix Hausdorff
36) První mechanický počítač navrhl v roce 1823
a) Steve Jobs
b) Bill Gates
c) Charles Babbage
d) Antonín Svoboda
37) Kdo definoval v roce 1835 průměrného člověka, neboli zavedl
Queteletův index QI, dnes známý jako BMI?
a) Adolphe Sax
b) Adolphe Quetelet
c) Adolphe Adam
d) Adolphe-Basile Routhier
38) Který matematik popsal rozdělení pravděpodobnost výskytu málo
pravděpodobných jevů (též Poissonovo rozdělení) v roce 1837?
a) Eukleidés
b) Leonhard Euler
c) Pierre de Fermat
d) Siméon Denis Poisson
39) Riemannovu hypotézu formulovanou v roce 1859 Bernhardem
Riemannem pomocí funkce zeta, která by měla ukázat vzor pro rozložení
prvočísel,
a) dokázal Riemann
b) dokázal Maxwell
c) dokázal Boltzano
d) zatím nikdo nedokázal
34
40) Co popisuje rozdělení rychlostí molekul v plynu v klidovém stavu?
a) Minwellovo-Boltzmannovo rozdělení
b) Supwellovo-Boltzmannovo rozdělení
c) Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení
d) Infwellovo-Boltzmannovo rozdělení
41) V roce 1872 definoval Richard Dedekind iracionální čísla, která
nelze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Které z následujících čísel
je iracionální?
33
a) 7
b) 41,3 + 44
c) 𝜋
d) 4212100
42) V roce 1888 Giuseppe Peano objevil několik zákonů, které se týkaly
přirozených čísel. Který mezi ně nepatří?
a) Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
b) Každé přirozené číslo lze dělit nulou.
c) Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je
jeho následovníkem.
d) Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
43) Jak se nazývá oblast matematiky, která definuje vlastnosti útvarů,
které se transformací nemění?
a) hydrologie
b) patologie
c) topologie
d) stomatologie
44) Jaký tvar má proslulá Einsteinova rovnice z roku 1905, která
vyjadřuje vztah hmotnosti a energie?
a) 𝐹 = 𝑚𝑎
b) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
1
c) 𝐸𝑘 = 2 𝑚𝑣 2
d) 𝐸 = 𝑚𝑐 2
45) Jak se nazývá řetězec, který popisuje náhodný proces popisující
závislost na stavu současném, bez ohledu na stavu předchozím?
a) Honzův
b) Frantův
c) Markovův
d) Pavlův
35
46) Kvantová mechanika využívá matematiku k popisu
a) biologické evoluce
b) fyzikálních zákonů subatomického světa
c) tržní ekonomiky
d) řízení automobilu
47) V roce 1936 navrhl vědec XY teoretický model počítače. Tento stroj
byl po něm pojmenován jako
a) Turingův stroj
b) Mandelbrotův stroj
c) Watsonův stroj
d) Hawkingův stroj
48) V roce 1936 založil John Charles nadaci pro udělování cen za
matematiku. Jedná se o nejprestižnější matematické ocenění, které se
uděluje jednou za 4 roky matematikům pod 40 let. Jak se ocenění
nazývá?
a) Abelova cena
b) Keithova cena
c) Fieldsova medaile
d) Weinerova cena
49) V roce 1944 vznikla disciplína aplikované matematiky s názvem
teorie her. Čím se teorie her zabývá?
a) rozložením kapalin v tělesech
b) hospodářskou soutěží, strategií a zvolením optimálního rozhodnutí
c) určováním vzdáleností mezi planetami a galaxiemi
d) k určení doby, kdy vznikl vesmír
50) Číslo zapsané ve dvojkové soustavě se nazývá
a) unární
b) binární
c) ternární
d) decimální
51) Roku 1961 byl Edward Lorenz průkopníkem teorie chaosu. V této
teorii se zkoumají nepředvídatelné jevy. Který z následujících jevů je
předvídatelný?
a) tektonika zemských desek
b) chování burzy a ekonomiky
c) padající hrníček k zemi
d) vývoj populace
52) V teorii katastrof se používá matematika k objasnění toho, že malá
změna počátečních podmínek může mít časem velké následky. Jak se
tento jev nazývá?
a) Motýlí efekt
b) Mravenčí efekt
c) Efekt brouka
d) Psí efekt
36
53) V roce 1972 definoval Benoit Mandelbrot množinu – geometrický
objekt.
a) aktuál
b) fraktál
c) manuál
d) biduál
28) Řešení kvízu – matematika
1) C 2) C 3) A 4) B 5) C 6) B 7) C 8) D 9) C 10) A 11) C 12) C 13) C 14)
D 15) A 16) C 17) D 18) C 19) D 20) A 21) C 22) A 23) A 24) C 25) A
26) B 27) C 28) C 29) A 30) C 31) A 32) B 33) B 34) A 35) B 36) C 37)
B 38) D 39) D 40) C 41) C 42) B 43) C 44) D 45) C 46) B 47) A 48) C
49) B 50) B 51) C 52) A 53) B
29) Papírový hlavolam
37
30) Úlohy – věda a debrujáři 2014
Věda a malí debrujáři.
Celý svět je vybudován z týchž atomů, i hvězdy jsou z téhož materiálu
jako my. Ať budete zkoumat cokoliv, budete-li se dívat dostatečně
pečlivě, pak uvidíte před sebou celý vesmír.
A1 úloha
Hořící svíčka. Zapalte svíčku a sledujte její plamen a hoření.
Zaznamenejte všechna svá pozorování. Při pozorování můžete používat
jakékoli pomůcky. Výsledky vašeho pozorování využijete na finálovém
setkání. Teplota většiny plamene svíčky je:
a) 50 °C
b) 100 °C
c) 200 °C
d) 1000 °C
A2 úloha
Vysvětlete, proč horkovzdušný balón létá. Své závěry ověřte pokusem.
Za počátek balónového létání se považuje 5. červen 1783, kdy se
z Annonay vznesl první horkovzdušný balon bratří Montgolfierů
s „pasažéry“ na palubě. Jejich návratem se prokázalo, že v atmosféře
nejsou jedovaté plyny a otevřeli tím létání i pro lidské posádky.
Těmi pasažéry byli:
a) opice, papoušek, osel b) ovce, kachna a kohout
c) pes, husa, králík
d) tři kočky
A3 úloha
Moravskoslezský kraj sousedí se dvěma státy, které to jsou?
a) Slovensko b) Německo
c) Rakousko
d) Polsko
A4 úloha
Před domem seděli dva běloši. Jeden velký a jeden malý. Malý je synem
velkého, ale velký přitom není otcem malého. Kdo to tedy je?
38
B1 úloha
Vypařování vody. Postavte nádobu (hrnec) s vodou tak, aby ji zahříval
zespodu plamen nebo elektrická plotýnka. Sledujte vodu až do doby varu.
Buďte při pozorování opatrní. Zaznamenejte všechna svá pozorování.
Pozorujte vypařování vody.
Voda se vypařuje:
a) jen při teplotě 100°C b) při jakékoliv teplotě
B2 úloha
Jistá princezna si ze svých nápadníků chtěla vybrat chytrého ženicha.
Prohlásila proto, že ten, kdo určí, v které ze tří skříněk je její prsten, jí ho
smí navléknout na prst a stát se jejím mužem. Prsten skutečně uložila do
jedné ze skříněk a opatřila všechny tři skříňky nápisy a čísly. Pomůckou
pro nápadníka k nalezení prstenu mělo být to, že jen jeden z nápisů je
pravdivý. Dokázali byste si na místě princeznina nápadníka poradit?
Skříňka 1. Prsten je v této skříňce.
Skříňka 2. Prsten není v této skříňce.
Skříňka 3. Prsten není v první skříňce.
a) prsten je v první skříňce
b) prsten je v druhé skříňce
c) prsten je ve třetí skříňce
B3 úloha
Ve zcela unikátním Technickém muzeu je zachycena stopadesátiletá
historie automobilky Tatra od doby, kdy byl roku 1897 vyroben první
automobil v Rakousko-Uhersku, nazvaný Präsident. Toto muzeum je
ve městě:
a) Frýdek-Místek b) Kopřivnice
c) Opava
d) Třinec
B4 úloha
Do nádoby s vodou přidejte pár kapek oleje. Olej zůstane na hladině,
protože jeho hustota je:
a) větší než vody b) stejná jako vody c) menší než vody
Najděte způsob, jak docílit toho, aby se olej ve tvaru koule v nádobě
naplněné kapalinou vznášel.
39
C1 úloha
Zjistěte, která stavba je ve vašem městě, vaší vesnici nejvyšší. Navrhněte
postup, jak zjistit kolik měří. Za jak dlouho dopadne volně upuštěná cihla
z výšky 490,5 metrů na zem?
a) 1 s
b) 10 s
c) 31 s
d) 100 s
C2 úloha
Neznámá osobnost se po maturitě rozhodla pro studium matematiky
a astronomie na vídeňské univerzitě. Již během praxe ve vídeňské
hvězdárně na sebe výrazně upozornila a ve svých 23 letech začala
pracovat ve švýcarské Ženevě. Následně přijala místo ředitele námořní
observatoře v chorvatské Pule, kde získala podmínky k uskutečňování
svých prvních objevů.
Na počátku 80. let se zúčastnila francouzské expedice na atol Karolina
v Tichém oceánu, kde pozorovala zatmění Slunce a vyvrátila existenci
tehdy předpokládaných planet mezi Merkurem a Sluncem. Přestože měla
po svém návratu spoustu pracovních nabídek, rozhodla se opět pro Vídeň
se zcela novou observatoří a velice dobrým badatelským zázemím.
Objevila 121 planetek a kometu 1879V, přičemž nezapomněla na své
rodné město a jednu planetku pojmenovala Opava. Sestrojila chronodeik,
přístroj k určování času, a byla průkopníkem v používání časových
pásem. Usilovala také o trvalé zavedení letního času, během 1. světové
války byl totiž tento časový posun zaveden pouze dočasně. Dodnes
astronomové pracují s Hvězdným lexikonem a Katalogem
zpracovávajícím 1 238 hvězd. Neznámou osobností je:
a) Karel Engliš
b) Johann Palisa
c) Petr Bezruč
d) Vladislav Vančura
C3 úloha
Nejvyšším vrcholem Moravskoslezských Beskyd je Lysá hora, která měří
1323 metrů. Na vrcholu je meteorologická stanice a telekomunikační věž.
Podle pověstí měl na jedné z uvedených hor od pradávna sídlo slovanský
bůh Radegast – Bůh slunce, války a vítězství. Jde o horu, která se
jmenuje:
a) Smrk
b) Radhošť
c) Lysá hora d) Prašivá
40
C4 úloha
Pokud smícháte 20 ml lihu a 40 ml vody, pak dostanete:
a) méně než 60 ml směsi
b) 60 ml směsi
c) více než 60 ml směsi
D1 úloha
Liborův diář. Debrujár Libor dostal dárek - diář na rok 2009. V roce
2009 ho nepoužil, a tak vypadá a je jako nový. Proto ho opět může použít
v roce 2015. V kterém dalším roce po roce 2015 bude moci opět použít
stejný diář?
a) 2016
b) 2019
c) 2022
d) 2026
D2 úloha
Krok za krokem. Změřte svoji průměrnou rychlost během dne. Popište
způsob, kterým jste průměrnou rychlost zjistili. Určete počet kroků, které
ušel za den. Tomáš za hodinu ušel 7200 kroků. Průměrná délka jednoho
kroku je 60 cm. Průměrná rychlost Tomáše je:
𝑘𝑚
𝑘𝑚
𝑘𝑚
𝑘𝑚
a) 12,00
b) 4,32
c) 1,20
d) 0,80
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
D3 úloha
Neznámá osobnost se narodila 6. května 1856 v Příboře. Když dosáhla
věku tří let, přestěhovala se její rodina z existenčních důvodů do Vídně,
kde absolvovala jako premiant gymnázium a následně lékařskou fakultu
vídeňské univerzity. Při léčbě pacientů, u nichž neznámá osobnost
neznala příčinu jejich neuróz, využívala často metody hypnotické
sugesce. Její teorie osobnosti je dodnes uplatňována v psychologické
praxi a aktuální jsou i její poznatky v oblasti vlivu dětských zážitků
na chování v dospělosti. Nesporné jsou i její závěry vlivu nevědomí na
chování jedince a důležitost výkladu snů a volných asociací pro léčbu
pacientů.
Neznámou osobností je:
a) Johann Palisa
c) Johan Gregor Mendel
b) Sigmund Freud
d) František Palacký
41
D4 úloha
Ostrava, šedé město? Dávno už ne! Bývalé významné doly a hutě jsou
dnes využívány jako turistické atraktivity. Dnes se ostravský region
právem pyšní řadou jedinečných technických památek. Dokumentují
minulost města a tradici těžby černého uhlí. Díky své výjimečnosti jsou
tyto památky světově unikátní. V Ostravě můžete navštívit:
a) ZOO
b) Největší hornické muzeum v ČR na vrchu Landek
c) těžební věž dolu Jindřich
d) Industriální areál Vítkovic
Byli jste už v Ostravě? Co se Vám v Ostravě líbí?
42
31) Eratosthenovo síto
Prvočíslo a složené číslo
Teorie:
Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě
dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým.
Číslo 1 není prvočíslo.
Složené číslo je přirozené číslo, které má alespoň 3 různé dělitele.
Složené číslo má kromě jedné a sebe sama ještě dalšího dělitele.
Úkol:
1) Určete první složené číslo.
2) Existuje sudé prvočíslo?
3) Určete prvočísla mezi čísly od 1 do 100.
4) Co je Eratosthenovo síto?
5) Určete pomocí Erathostenova síta prvočísla od 1 do 500.
6) Jaký je význam prvočísel?
7) Najděte největší prvočíslo nebo vzorec pro určení prvočísla. Co je
Mersennovo prvočíslo?
Řešení:
1) Nejmenším složeným číslem je číslo čtyři.
2) Dvojka je jediné sudé prvočíslo, všechna ostatní sudá čísla jsou
dělitelná dvěma.
3) Jsou to čísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
4) Eratosthenovo síto je jednoduchý postup pro nalezení všech prvočísel
menších než zadaná horní mez. Je pojmenován po řeckém matematikovi
Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech 276 - 194 př. n. l.
43
5) Na počátku řada obsahuje všechna čísla v daném rozsahu (2, 3, 4, …,
500). Poté se opakovaně první číslo z řady vyjme, toto číslo je
prvočíslem; z řady se pak odstraní všechny násobky tohoto čísla (nejdříve
2 a pak všechny násobky 2). Pak označíme 3 jako prvočíslo a ze seznamu
vyškrtneme všechny jeho násobky. Pak označíme 5 jako prvočíslo a ze
seznamu vyškrtneme všechny jeho násobky. Pak označíme 7 jako
prvočíslo a ze seznamu vyškrtneme všechny jeho násobky. Tak se
pokračuje do doby, než je ze seznamu odstraněno poslední číslo. Mezi
čísly od 1 do 500 jsou prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193,
197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271,
277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359,
367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443,
449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499.
6) Prvočísla se využívají v kryptografii (šifrování).
7) K určení největšího známého prvočísla využijte informace z internetu
nebo publikací. Zatím neexistuje důkaz, který by potvrdil, že existuje
nekonečně mnoho prvočíselných dvojic, ale předpokládá se, že tomu tak
je. Mersennovo prvočíslo je prvočíslo, které je o jedna menší než nějaká
celočíselná mocnina dvojky.
32) Ludolfovo číslo
Teorie:
Ludolfovo číslo nese jméno po německém matematikovi
Ludolphovi van Ceulenovi, který se narodil v Hildesheimu v Německu.
Před katolickým útlakem emigroval do Nizozemska. Usadil se ve městě
Delft (leží mezi Haagem a Rotterdamem) a vyučoval šermu
a matematice. V roce 1594 si otevřel šermířskou školu v Leidenu. V roce
1600 byl jmenován prvním
44
profesorem matematiky na Leidenské univerzitě. V roce 1610 v Leidenu
zemřel. Po jeho smrti bylo „Ludolfovo číslo“,
3,14159265358979323846264338327950288…,
vytesáno na jeho náhrobní kámen v Leidenu. Náhrobní kámen se později
ztratil, ale v roce 2000 byl obnoven. Ludolfovo číslo 𝜋 je iracionální číslo
(nejde vyjádřit zlomkem 𝑥/𝑦, kde 𝑥 a 𝑦 jsou celá čísla). Nelze jej
vyjádřit konečným způsobem v desítkové soustavě, a to ani pomocí
periody. Ludolfovo číslo π vyjadřuje poměr mezi délkou kružnice 𝑜
a jejím průměrem 𝑑, tj. 𝜋 = 𝑜/𝑑 .
Poměr 𝑜/𝑑 je konstantní, nezávisí na obvodu kružnice. Pokud má
například kružnice dvakrát větší průměr než druhá, má také dvakrát větší
obvod.
Úkol 1:
Naučte se Ludolfovo číslo na co největší počet
desetinných míst a zorganizujte soutěž
ve znalosti Ludolfova čísla.
Řešení: Naučit se Ludolfovo číslo na dvanáct
desetinných míst není vůbec těžké.
Stačí se naučit básničku:
Lín a kapr u hráze prohlídli si rybáře, udici měl novou, jikrnáči
neuplavou.
A pak jen počítat písmena… Lín (3) a (1) kapr (4) u (1) hráze (5)
prohlédli (9) si (2) rybáře (6), udici (5) měl (3) novou (5), jikrnáči (8)
neuplavou (9).
Úkol 2:
Jaké je použití Ludolfova čísla v matematice a fyzice?
45
Řešení:
Ludolfovo číslo 𝜋 se objevuje v rovnicích pro výpočet obsahů a objemů
pro mnoho geometrických útvarů, jejichž tvary jsou založené na
kružnicích, například elipsy, koule, válce, kuželu, anuloidu ad. Ludolfovo
číslo se používá u goniometrických funkcí, u komplexních čísel,
v pravděpodobnosti a statistice. V soustavě SI je respektována
tzv. racionalizace, koeficienty obsahující π se vyskytují pouze v těch
vztazích, kde jsou geometricky a fyzikálně oprávněné – například ve
vzorci pro Coulombovu sílu.
33) Jednokopový NIM
Teorie: Hra je určena pro dva hráče. Pravidla hry jsou jednoduchá, pro
děti pochopitelná. Stačí ukázat rozehrávku, u které položíme na stůl
17 zápalek. Na začátku stanovíme největší počet zápalek (v naší
ukázkové hře 3), které mohou hráči v jednom tahu se stolu odebírat. Hráč
1 odebere jednu, dvě nebo tři zápalky. Pokračuje hráč 2, který může
odebrat jednu, dvě nebo tři zápalky. Hráči se v odebírání zápalek střídají
do té doby, až na někoho z hráčů zůstane při odebírání poslední zápalka.
Hra 1:
Na začátku je na stole 17 zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat 1,
2 nebo 3 zápalky. Vyhrává hráč, který vezme poslední zápalku.
Hra 2:
Na začátku je na stole 17 zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat 1,
2 nebo 3 zápalky. Prohrává hráč, který vezme poslední zápalku.
Hra 3:
Na začátku je na stole n zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat
𝑟 zápalek, kde 𝑟 ∈ {1,2,3 … , 𝑚}. Hráč, který vezme poslední zápalku,
vyhrává.
46
Hra 4:
Na začátku je na stole n zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat
𝑟 zápalek, kde 𝑟 ∈ {1,2,3 … , 𝑚}. Hráč, který vezme poslední zápalku,
prohrává.
Pomůcky: zápalky
Úkol 1: Najdi vítěznou strategii hry 1
Vítězná strategie hry 1:
Vítězné pozice jsou ve tvaru 4𝑘, kde 𝑘 ∈ N. Začínající hráč vyhrává
odebráním jedné zápalky. V dalších tazích bude doplňovat tahy soupeře
do součtu 4.
Úkol 2: Najdi vítěznou strategii hry 2
Vítězná strategie hry 2:
Vítězné pozice jsou ve tvaru 4𝑘 + 1, kde 𝑘 = 0,1,2,3 … Začínající hráč
nemůže vyhrát, jestliže druhý hráč bude doplňovat jeho tahy do součtu 4.
Úkol 3: Najdi vítěznou strategii hry 3
Vítězná strategie hry 3:
Vítězné pozice jsou ve tvaru 𝑘 ∙ (𝑚 + 1), kde 𝑘 = 1,2,3 … Hráč, který
vezme poslední zápalku, vyhrává.
Úkol 4: Najdi vítěznou strategii hry 4
Vítězná strategie hry 4:
Vítězné pozice jsou ve tvaru 𝑘 ∙ (𝑚 + 1) + 1, kde 𝑘 = 0,1,2,3 … Hráč,
který vezme poslední zápalku, prohrává.
47
34) Faktoriál
Teorie:
Faktoriál čísla 𝑛 (značíme 𝑛!) je číslo, rovné součinu všech
kladných celých čísel menších nebo rovných 𝑛, pokud je 𝑛 kladné. Je-li
𝑛 = 0, pak 0! = 1. Značení 𝑛! - čteme „n faktoriál“. Toto značení zavedl
Christian Kramp v roce 1808. Faktoriály se používají v kombinatorice.
Příklad: 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Úkol 1:
Vypočítejte 25!
Řešení úkolu 1:
25! = 15 511 210 043 330 985 984 000 000
Úkol 2:
Byl jednou jeden federální stát. V tom státě byly dvě země. V každé zemi
byly tři kraje. V každém kraji byly tři okresy. V každém okresu byla čtyři
města. V každém městě bylo pět panelových domů. V každém
panelovém domě bylo šest bytů. V každém bytě bylo sedm pokojů.
V každém pokoji bylo osm skříní. V každé skříni bylo devět krabic.
V každé krabici bylo deset korun. Kolik korun bylo v celém federálním
státě?
Řešení úkolu 2: 10! = 3 628 800
Úkol 3:
Vypočítejte 8‼
Řešení: Dvojitý faktoriál: 8‼ = 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 = 384
48
35) Exponenciální funkce
Teorie:
Exponenciální funkce je funkce dána
předpisem 𝑦 = 𝑎 𝑥 , kde 𝑎 > 0, 𝑥 ∈ R,
𝑎 ≠ 1. V bodě 𝑥 = 0 je hodnota funkce
𝑦 = 𝑎 𝑥 pro každé 𝑎 > 0 rovna 1.
Úkol 1:
Vezměte pořádné noviny a postupně je
skládejte na poloviny. Kolikrát se Vám
podařilo noviny přeložit?
Pomůcky: pořádné noviny
Řešení 1:
Asi se Vám to podaří tak sedmkrát maximálně až osmkrát, záleží na
tloušťce papíru, který použijete. Samozřejmě ale platí, že čím větší
a tenčí papír je, tím víc přeložení snese.
Úkol 2:
Vezměte pořádné noviny a postupně je skládejte na poloviny. Vytvořte
tabulku, do které budete zaznamenávat počet přeložení a počet vrstev
papíru po přeložení.
Pomůcky: pořádné noviny, tabulka k zaznamenání experimentu
Řešení 2:
Při každém přeložení vzroste tloušťka vrstvy na dvojnásobek, při druhém
přeložení budou vrstvy čtyři, při třetím přeložení bude vrstev osm, při
čtvrtém přeložení bude vrstev šestnáct, atd. Můžeme rozšířit
49
o teoretickou úlohu - jak velká by byla tloušťka papíru, kdyby se nám
podařilo papír přeložit padesátkrát. Jde o exponenciální funkci 𝑦 = 2𝑥 .
Úkol 3:
Jakou hmotnost má list papíru do kopírky (80 g/m2)
Pomůcky: papír do kopírky (80 g/m2)
Řešení 3:
Formát papíru A je obdélník, který má strany 𝑎, 𝑏 v takovém poměru,
aby po přeložení jeho delší strany na polovinu jsme dostali obdélník
s polovičním obsahem podobný původnímu. Tedy 𝑎: 𝑏 = 𝑏: 𝑎/2.
Úpravou získáme 𝑎 = √2 ∙ 𝑏. Největší obdélník formátu A0 má obsah
1 m2, formát A1 má poloviční obsah, tedy 0,5 m2. Formát A2 má
poloviční obsah, tedy 1/4 m2 = 0,25 m2. Formát A3 má poloviční obsah,
tedy 1/8 m2 = 0,125 m2. Dalším dělením dospějeme k tomu, že formát
A4 má obsah 1/16 m2. Papír používaný do kopírky má plošnou hmotnost
(tzv. gramáž) 80 g/m2. Papír formátu A4 má hmotnost právě
80 g /16 = 5 g.
36) Den bez čísel a den s čísly
Teorie:
Číslo je abstraktní pojem, který se užívá pro vyjádření množství
nebo pořadí. Používáme desítkovou poziční číselnou soustavu. Čísla
zapisujeme pomocí arabských číslic a pomocných znaků, zejména
desetinné čárky a znamének plus a mínus. V informatice se užívají i jiné
poziční soustavy, například dvojková nebo šestnáctková soustava. Číslice
používáme k zapisování čísel.
50
Úkol 1:
Den bez čísel – zkuste to.
Zorganizujte ve své třídě, na své škole Den bez čísel. Zkuste jeden den
nepoužívat čísla. Noste hodinky bez číselného ciferníku, nepoužívejte
mobilní čísla, nikoho ten den nevytáčejte, jezděte autem bez značky,
používejte jen zpátečku, nepoužívejte čísla v běžném hovoru, zkuste
vydržet co nejdéle bez čísla, nic neplaťte, nepoužívejte pin atd. Pěkný
den bez čísel …
Úkol 2:
Napište úvahu na téma: „Dá se žít bez čísel?“
Denisa: Dá se žít bez čísel?
Někdy se mohou lidé ptát: „Dá se žít bez čísel?". Pro ty, kteří
nesnáší nebo nemají
v lásce matematiku, by to byla krásná představa. Ale čísla se neobjevují
jen v matematice. Objevují se všude kolem nás. Dokonce i tam, kde by to
nikdo nečekal.
Příkladem by mohla být i obyčejná koupelna. Když vejde člověk do
koupelny, může vidět například deset hřebenů, tři zubní kartáčky, pět
poliček, jedno zrcadlo a další. Všechno vyjadřuje určitý počet, a to je
jedna z vlastností čísla.
Nedokážu si moc představit svět bez čísel. Například stavba domu
nebo jiné stavby bez čísel by vedla k pádu, rozpadu nebo k příšernému
vzhledu stavby. Mostní konstrukce by se bez čísel nedala postavit nebo
by se zřítila. Vždyť už staří Májové, Sumerové nebo Egypťané znali
čísla. Egypťané ve své době dokázali postavit pyramidy. Bez čísel by to
nešlo; nevěděli by kolik kamení je třeba, jak velké a jaký tvar kameny
musí mít, jak velká pyramida bude a jaký bude mít výsledný tvar.
Zkrátka, pyramida bez čísel by nebyla pyramidou.
Čísla používáme i v čase. Jak jinak by se dal přesně vyjádřit čas. S časem
souvisí i vesmír. Bez čísel bychom nemohli říci, že jedno oběhnutí Země
kolem Slunce trvá 365 a čtvrt dne. Jak jinak než čísly se dá vyjádřit
přesné datum nebo přesný letopočet? Jak jinak než čísly se dá vymezit
období?
V dnešní době se čísla asi nejvíce používají v ekonomice. Hlavním
se zřejmě stává počítání financí. Bez čísel by to ani nešlo. Bez čísel se
51
nedá vyjádřit, co má jakou cenu. I
v minulosti, když se prováděl výměnný obchod, tak se počítalo
s hodnotou objektu. Bylo by trochu podivné, kdyby si lidé vyměnili
zdatného koně za malý pytlík písku. Vlastně se to i mohlo ve skutečnosti
stát, ale určitě si byli vědomi, co má jakou cenu.
Čísla se opravdu objevují všude. Čísly se dá vyjádřit prostor,
rozloha, rychlost, množství a dalších matematických, fyzikálních i
obyčejných věcí. Například v obchodech, a nejen v nich, mají kódy,
stavy zápasů různých sportů, stavebnictví nebo také v kulinářství;
ve všem se dá najít číslo. Dokonce i tenhle text má určitý počet písmen,
slov, vět nebo i odstavců. Bez čísel se spočítat, ani vyjádřit nedají.
A odpověď na otázku, zda se dá bez čísel žít? NEDÁ :-)
52
Místo závěru
Motivace v matematice
Chci, aby studenti měli matematiku rádi a byli v matematice
úspěšní. Jak toho dosáhnout? Těžká otázka. Mám jasnou představu, kam
by to studenti, kteří mají rozum, měli se svými znalostmi v matematice
dotáhnout. A předložené aktivity by měly být pro studenty motivační
a pomoci jim najít cestu, která není královská. Myšlenky a činnosti, které
předkládám, mohou být klíčem k dosažení cíle.
Úkol: Pokud splní MATE, pak do předem připravené tabulky
zaznamenáme splnění.
MATE Mrštnosti
Vytvoř ze sbírek, učebnic, knih o matematice překážku vysokou 1 metr
a tu přeskoč s bankovkou nebo mincí, na níž je vyobrazen známý
matematik.
MATE Síly
Přečti knihy o matematice těžší než 10 N.
MATE Odvahy
Pozoruj po setmění noční oblohu do hodiny duchů.
MATE Plavce
Získej v průběhu matematických chvil alespoň jednu nedostatečnou
a dokaž učiteli matematiky, že v něčem teda plavat umíš, a zapomeň
v tom plavat.
MATE Květin
Přines panu učiteli květinu a matematický fór.
MATE Hladu
Vydrž bez počítání a řešení úloh víkend. Takto strávený víkend ti musí
písemně potvrdit jiná osoba starší než osmnáct let.
53
MATE Osamělosti
Sám celý den řeš matematické problémy.
MATE Záchrany
Podej návrh vynálezu, který může zachránit lidský život.
MATE Míření
Zamiř do správných míst, nejlépe do koutu s lampou a s knihou nebo
do sítě internetu, najdi paradox nebo nějaké zajímavé číslo.
MATE Dobrých činů
Alespoň jednou nabídni pomoc svému učiteli matematiky a přitom nic
neznič ani nepoškoď.
MATE Mlčení
Alespoň jednu vyučovací hodinu matematiky vydrž mlčet (plnění předem
oznam učiteli).
MATE Zručnosti
Vyrob nějakou pomůcku, hru, která umožní lépe pochopit probírané
učivo a která ostatní obohatí.
MATE Ušlechtilosti
Mluv slušně, a to nejen o matematice. Nebuď hrubý, nečestný, neubližuj
silnějšímu v matematice.
MATE Hmatu
Poznej po hmatu se zavázanýma očima busty matematiků na škole.
MATE Paměti
Znej alespoň kopu pro tebe užitečných matematických vzorců.
MATE Žízně.
Žízni po korespondenčních seminářích, matematické olympiádě,
klokanovi a řeš a řeš.
54
MATE Hvězd
Znej ve dne v noci jména alespoň deseti matematiků, kteří se v Čechách
narodili, v Čechách pobývali nebo i žijí.
MATE Ohně
Rozdělej oheň lupou, ledem nebo jinak. Zapaluj kolem sebe ostatní pro
matematiku.
MATE Času
Připrav si pětiminutový výstup a v jeho průběhu zaujmi ostatní.
MATE Barev
Namaluj portrét matematika libovolnou technikou.
MATE Slepoty
Se zavázanýma očima recituj cizí nebo vlastní báseň s matematickou
tématikou.
MATE Hbitosti
Úspěšně vyřeš rychle a správně matematický kviz, který ti předloží
učitel.
MATE Akta M
Znej důležitá data zemské astronautiky, připravuj se na setkání s UFO.
MATE Věrnosti
Zúčastni se přírodovědné výpravy delší než dva dny.
MATE Osobnosti
Vytvoř miniknihovnu jmen matematiků a jejich objevů.
MATE Krále
Zvítěz v matematické soutěži nadtřídního charakteru. Obdržíš titul Zh.
(Zlatá hlava).
MATE MMM
Vyber si libovolný matematický jev, vytvoř o něm prezentaci na webu.
55
MATE Reprezentace
Vystup na veřejnosti, v domově dětí, v domově důchodců, konferenci
nebo kdekoliv jinde a svým vystoupením, zaměřeným na matematický
problém, informuj přítomné.
Dlouhá cesta.
Jeden vůl se rozhodl obejít Česko. Žene se průměrnou rychlostí 12 km/h.
Jak dlouho mu bude trvat cesta?
Řešení: Celková délka hranic ČR činí 2289,7 km. Česko-německá
hranice 810 km, česko-polská hranice 761,8 km česko-slovenská hranice
251,8 km, česko-rakouská hranice 466,1 km. Vůl obejde hranici za dobu
t ≐ 190,81 h.
Literatura
 Perelman, J. I.: Zajímavá matematika: matematické povídky a
hlavolamy. Nakladatelství Československého svazu mládeže Praha,
1961.
 Vejmola, S.: Konec záhady hlavolamů. Státní pedagogické
nakladatelství Praha, 1989.
 Korděmskij, B. A.: Matematické prostocviky. Nakladatelství ČSM
Praha, 1966.
 Opava, Z.: Matematika kolem nás. Nakladatelství Albatros Praha,
1989.
 Beatty, R., Bow. J., Green, D., Jackson, T., Goldsmith, M.,
Sneddon, R., Wattová, S.: Matematika: 100 objevů, které změnily
historii. Slovart Praha, 2013. ISBN 978-80-7391-770-8
Autoři:
Mgr. Lucie Schaynová
Mgr. Libor Lepík
Ilustrovala:
Denisa Kožušníková
56