PDF - Slovenská štatistická a demografická spoločnosť

Transkript

4/2007
FORUM STATISTICUM
SLOVACUM
I SSN 1336 - 7420
74
9 771336 742001
Slovenská štatistická a demografická
spoločnosť
Miletičova 3, 824 67 Bratislava
www.ssds.sk
Naše najbližšie akcie:
(pozri tiež www.ssds.sk, blok Poriadané akcie)
16. Medzinárodný seminár VÝPOČTOVÁ ŠTATISTIKA,
6. – 7. 12. 2007, Bratislava
Prehliadka prác mladých štatistikov a demografov
6. 12. 2007, Bratislava
SLÁVNOSTNÁ KONFERENCIA 40 ROKOV SŠDS,
27. 3. 2008, Bratislava
KONFERENCIA POHĽADY NA EKONOMIKU SLOVENSKA 2008,
tematické zameranie: Vývoj HDP a vývoj dlhodobej nezamestnanosti
15. 4. 2008, Bratislava, hotel Bôrik
EKOMSTAT 2008, 22. škola štatistiky
Tematické zameranie: Štatistické metódy v praxi
1. – 6. 6. 2008, Trenčianske Teplice
FernStat 2008
V. medzinárodná konferencia aplikovanej štatistiky
(Financie, Ekonomika, Riadenie, Názory)
tematické zameranie: Aplikovaná, demografická, matematická štatistika,
štatistické riadenie kvality.
rok 2008, hotel Lesák, Tajov pri Banskej Bystrici
14. SLOVENSKÁ ŠTATISTICKÁ KONFERENCIA,
tematické zameranie: Regionálna štatistika
rok 2008, Žilinský kraj
12. SLOVENSKÁ DEMOGRAFICKÁ KONFERENCIA,
tematické zameranie: Využitie GIS v demografii
rok 2009, Trenčiansky kraj
ÚVOD
Vážené kolegyne, vážení kolegovia,
štvrté číslo tretieho ročníka vedeckého časopisu, ktorý vydáva Slovenská štatistická
a demografická spoločnosť (SŠDS) je zostavené z príspevkov, ktoré autori pripravili pre
IV. ročník Medzinárodnej konferencie aplikovanej štatistiky FernStat 2007. Táto
konferencia sa uskutočila v dňoch 4. a 5. októbra v hoteli Lesák v Tajove. Tradičné
tematické okruhy konferencie sú: Aplikovaná štatistika, Demografická štatistika,
Matematická štatistika, Štatistické riadenie kvality.
Akciu, z poverenia Výboru SŠDS, zorganizoval Organizačný a programový
výbor: Ing. Vladimír Úradníček, PhD. – predseda, Ing. Mária Kanderová, PhD. tajomník, Doc. Ing. Jozef Chajdiak, CSc., Doc. RNDr. Bohdan Linda, CSc., RNDr. Ján
Luha, CSc., Ing. Rudolf Gavliak.
Pri príprave konferencie významne prispel Štatistický úrad SR. Výbor SŠDS
ďakuje predsedníčke ŠÚ SR PhDr. Ľudmile Benkovičovej, CSc. za aktívnu podporu
pri zabezpečení úspešného priebehu podujatia.
Na príprave a zostavení tohoto čísla participovali: Ing. Vladimír Úradníček,
PhD.,Doc. Ing. Jozef Chajdiak, CSc., RNDr. Ján Luha, CSc., Ing. Mária Kanderová,
PhD., Ing. Rudolf Gavliak.
Recenziu príspevkov zabezpečili: Doc. Ing. Jozef Chajdiak, CSc., Doc. RNDr.
Bohdan Linda, CSc., RNDr. Ján Luha, CSc., Ing. Vladimír Úradníček, PhD., Ing. Mária
Kanderová, PhD.
Výbor SŠDS
FORUM STATISTICUM SLOVACUM
vedecký časopis Slovenskej štatistickej a demografickej spoločnosti
Vydavateľ
spoločnosť
Miletičova 3
824 67 Bratislava 24
Slovenská republika
Redakcia
Miletičova 3
824 67 Bratislava 24
Fax
02/63812565
e-mail
[email protected]
[email protected]
Registráciu vykonalo
Ministerstvo kultúry Slovenskej republiky
Registračné číslo
3416/2005
Tematická skupina
B1
Dátum registrácie
22. 7. 2005
Objednávky
spoločnosť
Miletičova 3, 824 67 Bratislava 24
IČO: 178764
Číslo účtu: 0011469672/0900
ISSN 1336-7420
Redakčná rada
RNDr. Peter Mach – predseda
Doc. Ing. Jozef Chajdiak, CSc. – šéfredaktor
RNDr. Ján Luha, CSc. – tajomník
členovia:
Ing. Mikuláš Cár, CSc.
Ing. Ján Cuper
Ing. Pavel Fľak, DrSc.
Ing. Edita Holičková
Doc. RNDr. Ivan Janiga, CSc.
Ing. Anna Janusová
RNDr. PaedDr. Stanislav Katina, PhD.
Prof. RNDr. Jozef Komorník, DrSc.
RNDr. Samuel Koróny
Doc. Ing. Milan Kovačka, CSc.
Doc. RNDr. Bohdan Linda, CSc.
Prof. RNDr. Jozef Mládek, DrSc.
Doc. RNDr. Oľga Nánásiová, CSc.
Doc. RNDr. Karol Pastor, CSc.
Prof. RNDr. Rastislav Potocký, CSc.
Doc. RNDr. Viliam Páleník, PhD.
Ing. Iveta Stankovičová, PhD.
Doc. RNDr. Beata Stehlíková, CSc.
Prof. RNDr. Michal Tkáč, CSc.
Ing. Vladimír Úradníček, PhD.
Ing. Boris Vaňo
Doc. MUDr Anna Volná, CSc., MBA.
Ing. Mária Vojtková, PhD.
Prof. RNDr. Gejza Wimmer, DrSc.
Mgr. Milan Žirko
Ročník
III.
Číslo
4/2007
Cena výtlačku
500 SKK / 20 EUR
Ročné predplatné 1500 SKK / 60 EUR
OBSAH
Jitka Bartošová: Mzdy v ČR, SR a Rakousku .............................................................................. 2
Zuzana Berčačinová: Hodnotenie ekonomickej efektívnosti v leasingových spoločnostiach
expertným hodnotením .................................................................................................................... 8
Martin Boďa: Miera rizika v kontexte Bazilejskej kapitálovej dohody z roku 1988 .................. 10
Hana Boháčová: Odhad variančních komponent v lineárním regresním modelu neúplného
měření vektorového parametru...................................................................................................... 17
Rastislav Čief: Nové demografické trendy vo svete v roku 2006 podľa štatistík OSN............... 23
Anton Dubčák: Aktuálny stav Informačného systému registra obyvateľov SR ......................... 28
Rudolf Gavliak – Vladimír Úradníček: Vybrané jednofaktorové modely krátkodobej úrokovej
sadzby ............................................................................................................................................ 34
Jozef Chajdiak: Aditívne rozklady pridanej hodnoty ................................................................. 39
Karel Hrach: Vývoj souhrnného ukazatele nezaměstnanosti v Ústeckém a Libereckém kraji .. 41
Ivan Janiga – Ivan Garaj: Štatistický tolerančný interval – nástroj riadenia kvality................. 46
Mária Kanderová: Vplyv determinantov kapitálovej štruktúry na zadlženosť slovenských
podnikov ........................................................................................................................................ 58
Alena Kaščáková – Gabriela Nedelová: Zahraničná migrácia na Slovensku v rokoch
1996 - 2006................................................................................................................................... 64
Samuel Koróny: Dvojkroková zhluková analýza stavebných podnikov ..................................... 68
Pavol Kráľ – Rudolf Gavliak – Vladimír Hiadlovský: Použitie faktorovej analýzy pri predikcii
finančnej situácie podnikov v SR s využitím SPSS ...................................................................... 74
Jana Kubanová – Bohdan Linda: Přesnost odhadu v autoregresních modelech...................... 81
Jana Kubanová – Bohdan Linda – Pavel Semerák: Přesnost odhadu v autoregresních
modelech při použití metody klouzavých bloků ........................................................................... 89
Ján Luha: Dva pohľady na reprezentatívnosť ............................................................................. 94
159
Jiří Neubauer: Analýza civilní a vojenské inflace pomocí kointegrace...................................... 98
Jakub Odehnal – Jaroslav Michálek: Hodnocení míry regulace prostřednictvím statistických
klasifikačních metod ................................................................................................................... 104
Zuzana Poláková: Komparácia krajov slovenskej republiky z hľadiska prirodzeného prírastku
obyvateľstva ................................................................................................................................ 109
Jitka Poměnková – Lenka Němcová: Využití vícerozměrné regresní analýzy při identifikaci
faktorů ovlivňujících klesající porodnost v České republice ...................................................... 116
Rastislav Potocký: Modelovanie nárokov v neživotnom poistení ............................................ 122
Marek Sedlačík: Využití a význam plochy pod ROC křivkou.................................................. 127
Beáta Stehlíková: Zdravie a ekonomický rast .......................................................................... 133
Katarína Šebejová: Porovnanie vybraných metód pre ranking podnikov v odvetví ................ 137
Jana Šimsová: Wavelety a časové řady ..................................................................................... 143
Božena Viktorínová: Prognóza cien jatočných ošípaných spektrálnou analýzou a nákupnej ceny
mlieka nelineárnym regresným modelom .................................................................................. 149
Mária Vojtková: Vplyv úpravy charakteru premenných na metódy viackriteriálneho
hodnotenia ................................................................................................................................... 153
160
Mzdy v ČR, SR a v Rakousku
Jitka Bartošová 1
Abstract: Wage contributes to determination of equilibrium in the internal market, it is a
strong stimulus leading to limitation of unemployment and also it forms one of the basic
conditions of satisfaction of an employed individual. Identification of wage level and
comparison with other countries is therefore in the focus of economists and politicians in all
developed countries. This contribution deals with comparison of wage situations in the Czech
Republic, Slovakia and Austria.
Key words:, Sampling survey, Wage level, Wage variability.
1. Úvod
Mzdou rozumíme odměnu za práci, přeměněnou formu hodnoty pracovní síly
vyjádřenou v penězích. Zaměstnanci se mzda jeví jako cena vykonané práce, z hlediska
produktu je mzda peněžním vyjádřením části výrobních nákladů spojených s vynaložením
lidské práce.
Mzda má několik funkcí. Především má funkci stimulační, neboť ovlivňuje materiální a
duchovní podmínky pracujících. Má ale rovněž funkci sociální, která souvisí s uspokojováním
potřeb pracujících a funkci regulační, která spolupůsobí při utváření rovnováhy na vnitřním
trhu. Znalost úrovně a variability mezd a možnost jejich porovnávání z různých sociálněekonomických a časově-prostorových hledisek přispívá k posouzení životní úrovně
obyvatelstva. Zjišťování úrovně mezd a srovnávání s dalšími státy je proto v popředí zájmů
ekonomů i politiků všech vyspělých zemí. Aktuálním stavem a vývojem mezd v ČR se ve
svých článcích zabývali Např. MAREK, L., VRABEC, M. 2007 (1), (2).
2. Výběrové šetření úrovně mezd v jednotlivých zemích
Česká republika
Úroveň mezd v České republice monitoruje průběžně Český statistický úřad. Úroveň se
zjišťuje na základě průměrných hodinových výdělků, vyplacené mzdy a odpracované doby
jednotlivých zaměstnanců za sledované období.
Šetření provádí v ČR pracoviště státní statistické služby Ministerstva práce a sociálních
věcí. Jeho průběh řídí komise složená ze zástupců Ministerstva práce a sociálních věcí,
Ministerstva financí, Českého statistického úřadu, České národní banky, CERGE-EI, VŠE v
Praze, Českomoravské konfederace odborových svazů, Svazu průmyslu a dopravy ČR.
Zpracovatelem Informačního systému o průměrném výdělku (ISPV), který je zdrojem dat
pro tento příspěvek je Trexima, spol. s.r.o. Zlín (viz ISPV, Informační systém o průměrném
výdělku, Úvod, str. 7). Hrubá měsíční mzda je vypočítávána i z dalších přímo zjišťovaných
mzdových položek a nemzdových plnění. Hrubá mzda je v příručce k ISPV definována jako
součet mzdy za práci, náhrad mzdy a odměn za pracovní pohotovost. Přesný vzorec pro její
výpočet je:
MZDAi + POHOTOVi + NAHRADYi
,
(1)
HMM i =
MES _ PLACi
kde HMMi
je hrubá měsíční mzda i-tého zaměstnance,
MZDAi
je mzda za práci i-tého zaměstnance v kumulaci za sledované období,
1
Jitka Bartošová, Vysoká škola ekonomická Praha, Fakulta managementu
2
POHOTOVi je odměna za pohotovost i-tého zaměstnance v kumulaci za sledované
období,
NAHRADYi jsou náhrady mzdy i-tého zaměstnance v kumulaci za sledované období,
MES_PLACi je počet placených měsíců i-tého zaměstnance.
Roční zjišťování hrubých mezd a odpracované doby v ISPV tvoří základ pro
strukturální šetření výsledků ČSÚ a pro šetření „Structure of Earnings Survey“, prováděné
Eurostatem.
Nejdůležitější kriterium pro šetření výsledků ISPV je, zda šetřený ekonomický subjekt
přísluší k podnikatelské nebo nepodnikatelské sféře. Do podnikatelské sféry ISPV jsou
zahrnuty subjekty odměňující podle zákona č. 1/1992 Sb. o mzdě, odměně za pracovní
pohotovost a o průměrném výdělku. V nepodnikatelské sféře šetření ISPV se nacházejí
ekonomické subjekty odměňující podle zákona č. 143/1992 Sb. o platu a odměně za pracovní
pohotovost v rozpočtových a v některých dalších organizacích a orgánech (viz ISPV,
Informační systém o průměrném výdělku, Úvod, str. 7). Informační systém o nepodnikatelské
sféře pokrývá celý nepodnikatelský sektor a údaje jsou předávány jako plošné šetření, zatímco
šetření v podnikatelské sféře je výběrové.
Vzhledem k tomu, že výsledky z podnikatelského sektoru obecně více vypovídají o
úrovni ekonomiky státu, zaměříme se zde pouze na šetření mezd v podnikatelském sektoru.
Vybraný vzorek podnikatelských subjektů kopíruje strukturu podnikatelské sféry národního
hospodářství ČR. Do analýzy jsou zahrnuty podniky s deseti a více zaměstnanci. Pro
podnikatelské jednotky s 10 až 249 zaměstnanci je šetření výběrové, pro jednotky s 250 a více
zaměstnanci je šetření vyčerpávající. Statistické šetření zahrnuje celkem 3153 ekonomických
subjektů, které dohromady mají asi 1 240 000 zaměstnanců. Z hlediska územního členění
bylo prošetřeno 504 (tj. 15,98%) ekonomických subjektů z hlavního města Prahy, 327 (tj.
10,37%) subjektů ze Středočeského kraje, 194 (tj. 6,15%) z Jihočeského kraje, 138 (tj. 4,38%)
z Plzeňského kraje, 99 (tj. 3,14%) z Karlovarského kraje, 188 (tj. 5,96%) z Ústeckého kraje,
138 (tj. 4,38%) z Libereckého kraje, 168 (tj. 5,33%) z Královéhoradeckého kraje, 148 (tj.
4,69%) z Pardubického kraje, 229 (tj. 7,26%) z kraje Vysočina, 342 (tj. 10,85%) z
Jihomoravského kraje, 180 (tj. 5,71%) z Olomouckého kraje, 189 (tj. 5,99%) ze Zlínského a
309 (tj. 9,8%) z Moravskoslezského kraje.
Výběrovou oporu pro výběr organizací tvořil Registr ekonomických subjektů, který je
detailně popsán na stránkách Českého statistického úřadu. Výběrový soubor byl pořízen
prostřednictvím jednostupňového stratifikovaného výběru, při němž byl základní soubor
rozdělen do oblastí (strat) podle odvětvových skupin, regionů a velikostních skupin. V
jednotlivých oblastech základního souboru byl vybrán předem stanovený podíl ekonomických
subjektů. Subjekty s 1000 a více zaměstnanci byly do šetření zahrnuty všechny, u
ekonomických subjektů s 250 až 999 zaměstnanci se výběrový podíl postupně navyšoval tak,
aby v roce 2007 dosáhl 100%. Menší ekonomické subjekty byly vybírány systematickým
náhodným výběrem bez vracení s nestejnými pravděpodobnostmi. Výběrový soubor je
obměňován metodou rotujícího panelu s periodou rotace 9 let. K úplné obměně tedy dojde za
9 let (viz ISPV-PS, Technický popis šetření, str. 63). Do šetření jsou zahrnuti pouze
zaměstnanci zaměstnaní na plný pracovní úvazek, jejichž pracovní doba je alespoň 30 hodin
týdně.
Informační systém o průměrném výdělku obsahuje hodinové výdělky a tedy i průměrné
měsíční mzdy roztříděné podle
- zaměstnání,
- hlavních tříd KZAM-R (Rozšířená klasifikace zaměstnání),
- kategorizace zaměstnání na manuální / nemanuální,
- tarifních stupňů,
3
-
věkových kategorií,
vzdělání,
pohlaví,
kategorie odvětví OKEČ (Odvětvová klasifikace ekonomických činností),
krajů.
Ve Slovenské republice prováděl Slovenský štatistický úrad v průběhu roku 2006
šetření o struktuře mezd za rok 2005. Navázal tím na obdobná šetření, která probíhala v letech
1996 - 2003. Šetření pro rok 2005 bylo prováděno v rámci projektu PHARE a konzultováno s
experty INSEE Paříž. Šetření metodicky vycházelo z doporučení Statistického úřadu
Evropské unie (Eurostat) a přímo navazovalo na nařízení Rady (ES) č. 530/1999 o
strukturální statistice příjmů a nákladů práce, nařízení Komise (ES) č. 1738/2005, které
obsahuje definici a přenos informací o struktuře příjmů a na nařízení Komise (ES) č. 72/2002,
týkající se hodnocení kvality strukturální statistiky příjmů. Provedené šetření zároveň
respektovalo usnesení vlády SR č. 43 ze dne 14. ledna 1997 k návrhu realizačního projektu
Koncepce ceny práce, vypracovanému Ministerstvem práce, sociálních věcí a rodiny SR.
Hlavními cíli tohoto šetření bylo získání informací o struktuře a diferenciaci mezd osob
podle
- zaměstnání,
- pohlaví,
- věku,
- vzdělání,
- odvětví,
- krajů a dalších klasifikací.
Výsledky zjišťování mají za úkol zabezpečit vnitrostátní potřebu informací za
současného respektování požadavků Eurostatu, jsou tedy uzpůsobeny tak, aby je bylo možné
porovnat s ostatními státy EU. To umožňuje zejména správná definice primárních a
sekundárních proměnných a jednotná klasifikace vysokoškolského vzdělání. Jako novinku
musela SR zahrnout do šetření rovněž podniky s méně než 10 zaměstnanci.
Zdrojem pro výběr organizací, které byly do analýzy zahrnuty, byl Registr organizací a
Registr podniků. Pro vytvoření výběrového souboru byla použita metoda náhodného výběru v
rámci stratifikovaných skupin, respektující odhad počtu neaktivních jednotek.
Vygenerovaný statistický soubor k 1.1.2005 obsahoval 55 917 právnických statistických
jednotek. Výběrový soubor pro rok 2005 zahrnoval 3 037 jednotek ze zjišťování za rok 2004
(1. podsoubor), 520 jednotek vybraných podle stratifikačních kritérií OKEČ (2. podsoubor) a
383 jednotek vybraných vyčerpávajícím způsobem. Pro vytvoření výběrového souboru byla
použita metoda definování výběrového poměru pro každou oblast – POWER METHOD:
CP1h ⋅ CA ⋅ 1 − CAh
,
(2)
CS=
1h CS1 ⋅
∑ CP1h ⋅ CAh ⋅ 1 − CAh
k
kde CS1 h
CP1h
k
CAh
CS1
CP1
je počet organizací ve výběrovém souboru z h-té oblasti,
je počet organizací v opoře výběru h-té oblasti,
je počet oblastí (strat),
je poměr aktivních a neaktivních jednotek v h-té oblasti,
je počet organizací v celém výběrovém souboru,
je celkový počet organizací v opoře výběru.
Sběr údajů zabezpečovala organizace Trexima. Organizace zahrnuté do analýzy
zaměstnávaly celkem 670 305 zaměstnanců, což představuje 32,3 % celkové zaměstnanosti v
4
ekonomice SR. Z hlediska územního členění bylo 21,13 % vzorků z Bratislavského kraje,
12,7 % z Prešovského kraje, 12,5 % ze Žilinského kraje, 12,2 % z Banskobystrického kraje,
11 % z Nitranského kraje, 10,7 % z Trenčínského a Košického kraje a 8,9 % z Trnavského
kraje. Všechny kraje Slovenské republiky mají tedy v analýze přibližně stejné zastoupení.
Rakousko
Z výše uvedeného popisu je vidět, že šetření za ČR a SR jsou si velmi podobná a
zveřejněné výstupy obsahují aktuální informace. Šetření rakouského statistického úřadu
probíhá s poměrně velkým časovým zpožděním. Na internetových stránkách rakouského
statistického úřadu se v současnosti nachází výzva, aby lidé odpovídali na dotazníky týkající
se šetření z roku 2005. Nejčerstvější údaje, které jsou na těchto internetových stránkách k
dispozici, jsou z roku 2003. Také co se týká obsáhlosti, nemohou tyto informace konkurovat
uveřejňovaným údajům z šetření prováděném v ČR nebo SR. Je zde uvedeno pouze několik
málo základních údajů. Přesto se domnívám, že srovnání rakouských údajů s údaji za ČR a
SR bude zajímavé, neboť např. na serveru www.novinky.cz (viz http://www.novinky.cz/
ekonomika/prumerna-mzda-vzrostla-o-1220-korun-20-211-kc_110958_2fuop.html)
je
uveřejněno, že „Rakušané stále mají až čtyřikrát větší mzdu než Češi“.
Podobně jako se v ČR a SR používá klasifikace pracovních činností KZAM, v
Rakousku se používá systém klasifikace ÖNACE. Ze stránek rakouského statistického úřadu
vyplývá, že ÖNACE 2003 je hospodářská statistika v rakouské verzi evropské klasifikace
pracovních činností (NACE, ref. 1.1), která se závazně používá ve všech členských státech
EU od 1.1.2003, dle nařízení č. 29/2002 Evropské komise ze dne 19.12.2001. NACE znamená
Nomenclature générale des activités économiques dans les communautés européennes, což je
doslovně přeloženo Klasifikace hlavních ekonomických aktivit evropského společenství.
ÖNACE 2003 je následná verze ÖNACE 1995, se kterou se v Rakousku s touto
koncepcí začínalo. ÖNACE se označuje jako rozdělení podle odvětví. Obsahuje všechny
pracovní činnosti a má celkem 6 rozdělovacích rovin: oddíly, pododdíly, oddělení, skupiny,
třídy a podtřídy. Oddíly jsou označeny písmeny A - Q, pododdíly písmeny AA - QA, oddělení
jsou označovány čísly 01 - 99, skupin je 224, tříd 514 a podtříd 722. Klasifikační pravidla pro
popis pracovních činností, všeobecná pravidla, speciální pravidla a pravidla pro speciální
obory, jako jsou například velkoobchod, maloobchod, zprostředkovatelské činnosti apod.,
jsou na stránkách rakouského statistického úřadu rozsáhle rozpracovány.
Systém šetření úrovně mezd v Rakousku se podobá šetření v ČR a SR, pouze místo
velmi rozsáhlé Rozšířené klasifikace KZAM-R se používá klasifikace ÖNACE. Zveřejněné
údaje obsahují pouze část této klasifikace, podrobnější informace lze získat z publikace,
kterou je možné si objednat na internetových stánkách Statistik Austria (viz htttp://www.
statistik.at/).
3. Srovnání mzdové situace v ČR, SR a Rakousku
K tomu, abychom mohli porovnat úroveň a variabilitu mezd v různých státech, je
nezbytné použít jednotnou měnovou jednotku. Proto byly hodnoty uvedené v SKK a EURO
přepočítány na hodnoty v Kč. Tento převod byl proveden podle měnového kurzu ČNB ze dne
8.4.2007, dostupného na adrese http://www.cnb.cz/www.cnb.cz/cz/financni_trhy/devizovy_
trh/kurzy_devizoveho_trhu/denni_kurz.jsp (viz Tabulka 1.).
Tabulka 1. Kurzovní přepočet
100 SKK
83,578 Kč
1 EURO
27,905 Kč
5
Tabulka 2. Srovnání úrovně a variability mezd v ČR, SR a Rakousku (AU)
Charakteristika SR
ČR
AU
AU – ČR ČR – SR AU/ ČR ČR/ SR
x (Kč)
15 465 21 815
73 659
51 844
6 350
3,38
1,41
~
(Kč)
x50
12 399 18 140
58 677
40 537
5 741
3,23
1,46
~
x 25 (Kč)
9 054 13 737
35 688
21 951
4 683
2,60
1,52
~
x75 (Kč)
17 180 24 219
87 221
63 002
7 039
3,60
1,41
~
x10 (Kč)
6 934 10 561
18 671
8 110
3 627
1,77
1,52
~
x90 (Kč)
24 690 33 811 130 247
96 436
9 121
3,85
1,37
~
x − x50 (Kč)
3 066
3 675
14 982
11 307
609
4,08
1,20
~
~
x75 − x 25 (Kč)
8 126 10 482
51 533
41 051
2 356
4,92
1,29
~
~
x90 − x10 (Kč)
17 756 23 250 111 576
88 326
5 494
4,80
1,31
x
(%)
~
x50
125
120
126
1,04
0,96
5
-4
~
x75
(%)
~
x 25
190
176
244
1,39
0,93
68
- 13
~
x90
(%)
~
x10
356
320
698
2,18
0,90
377
- 36
~
~
x75 − x 25
(%)
~
x75 + ~
x 25
31
28
42
14
-3
1,52
0,89
Úroveň hrubých mezd v ČR, SR a Rakousku
140000
AU
Hodnota mzdy (Kč)
120000
100000
AU
SR
80000
ČR
60000
AU
40000
20000
0
AU
AU
AU
ČR
SR
x10
ČR
SR
ČR
SR
x25
x50
ČR
SR
x75
ČR
SR
x90
Kvantil
Graf 1. Srovnání úrovně mezd v Čechách na Slovensku a v Rakousku
Výsledky porovnávání mzdové situace v Čechách, na Slovensku a v Rakousku jsou
zachyceny v Tabulce 2. a zobrazeny v Grafu1. Pro charakterizaci úrovně je v tabulce je
uvedena průměrná hrubá měsíční mzda x , prostřední (mediánová) hrubá měsíční mzda ~
x50 ,
6
mzda, která je pro maximální čtvrtinu obyvatelstva (dolní kvartil ~
x 25 ) a pro tři čtvrtiny
obyvatelstva (horní kvartil ~
x75 ), dále pak horní hranici pro 10% jedinců s nejnižší mzdou
~
(první decil x10 ) a dolní hranici pro 10% pracovníků dosahujících nejvyššího ohodnocení
(poslední decil ~
x90 ). K vystižení absolutní variability mezd je zde použito kvartilové rozpětí
~
~
x75 − x 25 . Navíc jsou zkonstruovány další statistiky, které umožňují ukázat, jaký je rozdíl
mezi hrubou mzdou „horních 10%“ a „dolních 10%“ ( ~
x90 − ~
x10 ) a jak se odlišuje průměrná
mzda od mediánové, což souvisí se zešikmením mzdového rozdělení. Relativní variabilita je
~
x75 − ~
x 25
a pro upřesnění představy o relativní variabilitě
vyjádřena kvartilovou odchylkou ~
~
x75 + x 25
~
x
x
x ~
a zešikmení mzdového rozdělení slouží další podílové charakteristiky ( ~ , ~75 a ~90 ).
x10
x50 x 25
4. Závěr
Z výsledků porovnání vyplývá, že úroveň mezd v Čechách a na Slovensku je téměř
stejná, v ČR je nepatrně vyšší (např. průměrná hrubá mzda je v ČR 1,41 mzdy v SR,
mediánová je 1,46 krát vyšší). Srovnání českých a rakouských hrubých mezd.potvrzuje
tvrzení, že v Rakousku jsou mzdy téměř čtyřnásobné (průměrná mzda je vyšší 3,38 krát,
mediánová 3,32 krát a „horních 10%“ má v Rakousku dokonce 3,85 krát více než v Čechách).
Za zmínku stojí rovněž vysoká diferenciace rakouských mezd – rozdíl mezi prvním a
posledním decilem činí přes 100 tisíc Kč. České mzdy naopak vykazují nejnižší relativní
variabilitu vyjádřenou relativní kvartilovou odchylkou (28%); na Slovensku je to 31% a
v Rakousku dokonce 42%.
5. Literatura
MAREK, L., VRABEC, M. 2007 (1). Mzdová rozdělení v ČR dle pohlaví a věku. Brno
08.03.2007 – 09.03.2007. In: FIRMA A KONKURENČNÍ PROSTŘEDÍ 2007. Brno : MSD,
s. 84–90. ISBN 978-80-86633-86-2.
MAREK, L., VRABEC, M. 2007 (2). Vývoj mezd v krajích ČR podle věku a pohlaví. Olomouc
23.05.2007 – 24.05.2007. In: REGIONÁLNÍ DEMOGRAFIE [CD-ROM]. Praha : DemoArt
pro Českou demografickou společnost, s. 197–206. ISBN 80-86746-04-6.
ISPV, Informační systém o průměrném výdělku, Čtvrtletní výběrové statistické zjišťování,
2005, IV. čtvrtletí Podnikatelská sféra.
http://www.novinky.cz/ekonomika/prumerna-mzda-vzrostla-o-1220-korun-20-211-c_110958
_2fuop.html
htttp://www.statistik.at/
http://www.cnb.cz/www.cnb.cz/cz/financni_trhy/devizovy_trh/kurzy_devizoveho_trhu/denni
_kurz.jsp
Adresa autora:
Jitka Bartošová, RNDr., PhD.
Jarošovská 1117/II
377 01 Jindřichův Hradec
[email protected]
7
Hodnotenie ekonomickej efektívnosti v leasingových spoločnostiach
expertným hodnotením
Zuzana Berčačinová 1
Abstract: The paper consists the analysis of economical efficiency of leasing firms.
Keywords: profitability, productivity of labor, rentability, Excel, leasing firms.
K hodnoteniu ekonomickej efektívnosti organizácie, resp. súboru organizácii sa môže použiť
aj expertné hodnotenie. V mojej práci k špecifikácii ekonomickej efektívnosti leasingovej
spoločnosti používame šesť čiastkových ukazovateľov:
- ziskovosť,
- rentabilita vlastného imania,
- produktivita celkového kapitálu,
- finančná produktivita práce,
- podiel pridanej hodnoty na výnosoch,
- úrokové krytie.
Experti na bodovej stupnici od –2 (veľmi zlá hodnota) po +2 (veľmi dobrá hodnota)
ohodnotia dosiahnuté hodnoty príslušných ukazovateľov. Tieto ocenenia sa agregujú buď
priemerom alebo úhrnom do agregovaného ocenenia dosiahnutej ekonomickej efektívnosti
hodnotenej organizácie.
Vo svojej práci pracujem z dvomi súbormi hodnotiteľov:
- sedem členný tím vysokokvalifikovaných expertov,
- a súbor hodnotiteľov pozostávajúcich zo všetkých zamestnancov hodnotenej
organizácie.
K zisteniu hodnotení ukazovateľov jednotlivými expertmi a súborom hodnotiteľov som
použila nasledujúci dotazník:
Hodnotenie ekonomickej efektívnosti leasingovej spoločnosti B.O.F. a
slovenského leasingového trhu v rokoch 2005 a 2006
Hodnotiteľ:.....................................................................
Pohlavie:
1. muž
2. žena
Vek:
1. 20 – 29 rokov
2. 30 – 39 rokov
3. 40 – 49 rokov
4. 50 – viac rokov
Vzdelanie:
1. stredoškolské
2. vysokoškolské I. stupňa
3. vysokoškolské II. stupňa
4. vedecký titul
Odbornosť:
1. ekonomická
1
Ing. Zuzana Berčačinová, Patria, a.s.
8
2. iná
Kompetentnosť hodnotiteľa:
1. žiadna kompetentnosť hodnotiť dané ukazovatele
2. mierna kompetentnosť hodnotiť dané ukazovatele
3. stredná kompetentnosť hodnotiť dané ukazovatele
4. vysoká kompetentnosť hodnotiť dané ukazovatele
Hodnotenie ukazovateľov efektívnosti:
Na hodnotenie daného stavu jednotlivých ukazovateľov použite prosím bodovú stupnicu od –2 (veľmi
zlá hodnota) po +2 (veľmi dobrá hodnota) s krokom po pol bode (-2; -1,5; -1; -0,5; 0; +0,5; +1; +1,5;
+2).
-2
-1
veľmi zlá hodnota
Ukazovateľ
Výpočet ukazovateľa
ziskovosť
100*(zisk/výnosy)
rentabilita
100*(zisk/vlastné
vlastného
imanie)
imania
produktivita
výnosy/celkový kapitál
celkového
kapitálu
finančná
pridaná hodnota/osobné
produktivita
náklady
práce
podiel pridanej
100*(priadaná
hodnoty na
hodnota/výnosy)
výnosoch
(nákladové
úrokové krytie úroky+zisk)/nákladové
úroky
0
Hodnota
ukazovateľa
leazingového
trhu 2005
1
Hodnotenie
2
veľmi dobrá hodnota
Hodnota
ukazovateľa Hodnotenie
BOF 2005
Hodnota
ukazovateľa
BOF 2006
1,84
21,18
18,45
-15,26
13,09
11,37
0,99
0,15
0,13
22,50
4,99
5,27
25,00
62,81
66,45
1,93
2,28
1,86
Hodnotenie
Výsledky hodnotiteľov z dotazníka sú predmetom ďalšieho spracovania a analýzy v mojej
spracovávanej doktorandskej práce.
Literatúra:
Chajdiak, J.: Štatistické úlohy a ich riešenie v Exceli, Bratislava, STATIS, 2005, ISBN: 8085659- 39-5
Chajdiak, J.: Ekonomická analýza stavu a vývoja firmy, Bratislava, STATIS, 2004, ISBN: 8085659-32-8
Berčačinová, Z.: Kvantitatívna analýza ekonomických výsledkov lízingových spoločností. In:
Štatistické metódy vo vedecko-výskumnej práci 2003, Bratislava, SŠDS, 2003, ISBN: 8088946-32-8, s.67-69
Adresa autora:
[email protected]
9
Miera rizika v kontexte Bazilejskej kapitálovej dohody z roku 1988
Martin Boďa 1
Abstract: 1988 Basel Capital Accord represents a considerable milestone in the measuring of
risk for the regulatory purpose. Even though the accord has been subject to evolutionary
changes and its original concept has been surpassed in terms of complexity, at the time the
accord established a comprehensive benchmark measure of credit risk at the international
level. The paper acknowledges its significance and summarizes its flaws.
Key words: Basel Capital Accord, capital requirements, regulatory capital, economic capital,
credit risk, credit transfer risk, risk-weighted assets, Cooke ratio.
1. Úvod
Reguláciou finančnej sféry sa vo verejnom záujme sleduje zachovanie integrity
finančného systému a zabezpečenie jeho dôveryhodnosti cez ochranu investorov pred
nadmernými rizikami (stratami). Jedným z nástrojov, ktorými sú regulované depozitné
finančné inštitúcie (banky) aj nedepozitné finančné inštitúcie (poisťovne, zaisťovne,
správcovské spoločnosti a obchodníci s cennými papiermi), sú pravidlá kapitálovej
primeranosti. Konkrétne formy a rozsah regulácie činnosti finančných inštitúcií sú
v jednotlivých krajinách diferencované, avšak od druhej polovice 80. rokov 20. storočia
dominuje medzi regulátormi snaha o harmonizáciu pravidiel pre činnosť regulovaných
inštitúcií. Nositeľom internacionalizačných tendencií a advokátom myšlienky jednotného
globálneho rámca regulácie je v súčasnosti Bazilejský výbor pre bankový dohľad 2, ktorý
určuje rámec pre činnosť národných regulačných orgánov a presadzuje jednotný globálny
systém stanovovania kapitálových požiadaviek. Prvým hmatateľným výstupom činnosti
výboru boli v roku 1988 minimálne kapitálové požiadavky pre banky, ktoré sa stali známe
ako Bazilejská kapitálová dohoda (alebo Bazilej I). Napriek tomu, že prístup kapitálových
požiadaviek obsiahnutý v bazilejskej dohode je v súčasnosti vnímaný ako rudimentárny a je
prekonaný ďalšími riešeniami bazilejského výboru (Nová Bazilejská kapitálová dohoda /
Bazilej II), predstavuje významný medzník, ktorým sa meranie rizika povýšilo na úroveň
medzinárodnej regulácie a zhmotnilo sa do podoby. V článku je prezentovaná bazilejská
metóda na meranie rizika v kontexte prvej Bazilejskej kapitálovej dohody.
2. Kapitálová primeranosť
Pravidlá kapitálovej primeranosti stanovujú finančným inštitúciám povinnosť
periodicky (denne) vyhodnocovať svoje finančné riziko vo všetkých formách a v tomu
primeranej výške udržiavať vlastné zdroje, ktoré by v prípade realizácie identifikovaného
rizika absorbovali stratu v plnej výške. Výška vlastných zdrojov sa predpisuje
prostredníctvom výšky kapitálových požiadaviek (capital charges / capital requirements).
Cieľom tohto postupu je ochrana klientov finančnej inštitúcie tým, že potenciálny prepad na
Martin Boďa, Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici, Ekonomická fakulta.
Bazilejský výbor pre bankový dohľad (Basel Committee on Banking Supervision, BCBS) bol zriadený koncom roku 1974
(pod záštitou bazilejskej Banky pre medzinárodné platby. Zakladajúcimi štátmi boli krajiny G-10 (tzn. Belgicko, Francúzsko,
Holandsko, Japonsko, Kanada, Nemecko, Spojené štáty americké, Švajčiarsko, Švédsko, Taliansko a Veľká Británia)
a v súčasnosti je tvorený reprezentantmi centrálnych bánk a regulačných orgánov zakladajúcich krajín G-10 a Luxemburska.
Bazilejský výbor presadzuje bezpečnosť a spoľahlivosť globálneho finančného systému a vytvára systém rovnakých pravidiel
pre globálne finančné inštitúcie. Napriek tomu, že jeho poslanie bolo dizajnované na úrovni koordinačného a iniciatívneho
orgánu, v priebehu svojej činnosti sa z neho vyvinul tvorca štandardov pre aspekty bankového dohľadu.
1
2
10
strane aktív exponovaných finančnému riziku má byť primárne krytý vlastnými zdrojmi
(kapitálom) finančnej inštitúcie, a teda jej vlastníkmi.
Ústrednou kategóriou pri stanovovaní kapitálových požiadaviek je pojem kapitálu.
Kapitál sa regulačne nevymedzuje v súlade s účtovným ponímaním ako reziduálna suma
majetku (tzn. časť aktív subjektu nezaťažená jeho záväzkami, resp. čisté aktíva), ale uplatňuje
sa jeho širšie chápanie a okrem vlastných zdrojov sa doňho zahrňujú aj niektoré druhy
záväzkov. Položky kapitálu sa tiež nechápu rovnocenné, ale sú kvalitatívne diferencované
podľa spôsobilosti kryť stratu finančnej inštitúcie. Od účtovnej definície pojmu kapitálu je
možné rozlíšiť odchodné pojmy, ktoré vystupujú v terminológii koncepcie kapitálovej
primeranosti: regulačný (regulatívny) kapitál a ekonomický kapitál.
• Regulačný (regulatívny) kapitál (podľa Svitek, 2006, s. 10) „predstavujú fondy (pasíva
v bilancii finančnej inštitúcie), ktorými prispeli akcionári a špecifickí veritelia“. Položky,
ktoré sa doňho zahŕňajú, majú byť regulačným orgánom definované tak, aby v prípade
straty finančnej inštitúcie neboli ohrozené nároky ostatných veriteľov (klientov finančnej
inštitúcie). Začlenenie, resp. nezačlenenie jednotlivých položiek do regulačného
(regulatívneho) kapitálu môže byť pre regulačný orgán v princípe voliteľné, ale musí byť
pritom rešpektovaná jeho spôsobilosť zachovávať nároky klientov finančnej inštitúcie.
• Ekonomický kapitál zodpovedá takému objemu vlastných zdrojov, ktorý v prípade
realizácie straty dovoľuje finančnej inštitúcii pokračovať kontinuálne v činnosti. Je určený
minimálnou výškou fondov, ktorými musia prispieť akcionári, aby strata z činnosti bola
kapitálom finančnej inštitúcie plne absorbovaná a finančná inštitúcia nebola predlžená (čo
by teoreticky malo znamenať, že existencia finančnej inštitúcie by bola zachovaná).
Žiada sa zdôrazniť, že pokiaľ je regulačný (regulatívny) kapitál vymedzený konkrétnym
taxatívnym výpočtom položiek pasív v bilancii, ekonomický kapitál je abstraktnou kategóriou
(tzn. nie je reprezentovaný konkrétnymi položkami) a je vymedzený iba výškou (objemom).
3. Medzinárodný rámec pre reguláciu finančného rizika - bazilejské kapitálové dohody
Bazilejské kapitálové dohody (Basel Capital Accords) sú uverejňované ako dokument
pod názvom Medzinárodná konvergencia merania kapitálu a kapitálových štandardov
(International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards). Nemajú charakter
medzinárodných multilaterálnych dojednaní, ale sú nadnárodnými iniciatívami bazilejského
výboru a vznikajú ako výsledok stretnutí reprezentantov regulačných orgánov dvanástich
štátov zastúpených vo výbore. Pojem „dohoda“ má symbolizovať kompromisný dohovor na
úrovni výboru, ktorý je syntézou objektívneho úsilia o reguláciu bankového sektora, názorov
odborníkov z praxe a politického vplyvu záujmových skupín. Z formálneho hľadiska
predstavujú štúdie (reports) bazilejského výboru a z vecného hľadiska zavádzajú minimálne
štandardy pre meranie rizika bankového podnikania a uvádzajú odporúčanie pre stanovovanie
kapitálových požiadaviek. I keď pôvodne boli koncipované ako odporúčania pre regulačné
orgány štátov participujúcich v bazilejskom výbore, stupeň ich prepracovanosti a ich
univerzálnosť vplyv na ich akceptáciu prakticky na celom svete. V súčasnosti sú jednotlivé
návody a riešenia prezentované bazilejskými kapitálovými dohodami viac alebo menej
transponované do právneho poriadku vyspelých štátov.
Bazilejský koncept kapitálovej primeranosti bol predstavený v roku 1988 prvou
kapitálovou dohodou a odvtedy prešiel evolučnými zmenami. Stručný prehľad
a harmonogram zmien bazilejského konceptu kapitálovej primeranosť približuje schéma č. 1.
Schéma vývoj bazilejských dohôd zjednodušuje, nakoľko nezobrazuje priebežné aktualizácie
bazilejských dokumentov ani sprievodnú dokumentáciu.
11
1988
BAZILEJSKÁ KAPITÁLOVÁ DOHODA Z ROKU 1988 (BAZILEJ I) *)
1996
DODATOK KU KAPITÁLOVEJ DOHODE O PREVZATÍ TRHOVÝCH RIZÍK **)
implementácia do (konca) roku 1992
implementácia do (konca) roku1997
1999
2001
2003
2004
VÝZVY NA PREDKLADANIE
KOMENTÁROV
K NOVEJ KAPITÁLOVEJ DOHODE
PRVÝ KONZULTAČNÝ BALÍK
DRUHÝ KONZULTAČNÝ BALÍK
TRETÍ KONZULTAČNÝ BALÍK
NOVÁ BAZILEJSKÁ KAPITÁLOVÁ DOHODA (BAZILEJ II) ***)
implementácia od roku 2007
*) Publikované v júli 1998 ako dokument bazilejského výboru International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards.
**) Publikované v januári 1996 ako dokument bazilejského výboru Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks.
***) Publikované v júni 2004 v dokumente International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. A Revised Framework.
Schéma č. 1 Vývoj bazilejských kapitálových dohôd (od roku 1988 po rok 2004)
Zdroj: Vlastné spracovanie.
4. Bazilejská kapitálová dohoda z roku 1988
Bazilejská kapitálová dohoda z roku 1988 (1988 Basel Capital Accord), označovaná tiež
ako Bazilej I (Basel I), bola prijatá na úrovni bazilejského výboru 15. júla 1988. Jej význam sa
odvodzuje od skutočnosti, že predstavuje prvý dokument na medzinárodnej úrovni, ktorý
formuloval požiadavky na kapitál banky. Dohoda uvádzala do praxe bankovej regulácie
mechanizmus pre stanovovanie minimálneho objemu kapitálu, ktorý by komerčným bankám
aktívnym na medzinárodnej úrovni zabezpečil pokrytie finančných rizík. Od dohody sa
očakávala postupná medzinárodná konvergencia (zjednotenie) regulátorských štandardov
kapitálovej primeranosti v krajinách G-10, čo vysvetľuje názov dokumentu International
Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. Cieľom bazilejských štandardov
kapitálovej primeranosti (síce na minimálnej úrovni) bolo vytvorením všeobecných a rovnakých
podmienok pre komerčné banky
posilniť zdravie a stabilitu medzinárodného bankového systému a
odstrániť (konkurenčné) distorzie medzi medzinárodne aktívnymi bankami.
Spomedzi rôznych druhov finančných rizík prvá bazilejská dohoda zohľadňovala iba
úverové riziko (credit risk) a jeho osobitnú formu riziko prenosu rizika zo zahraničia
(country transfer risk). Úverové riziko bolo definované ako riziko platobného zlyhania
protistrany (bez ohľadu na to, či sa týkalo bilančných pohľadávok, alebo sa vzťahovalo
k mimobilančným pozíciám).
Požiadavky na kapitál sa zavádzali prostredníctvom pomeru kapitálu k rizikovo
váženým aktívam (tzv. Cookovho pomeru 3): požadoval sa minimálne taký objem
regulačného kapitálu, ktorý by zodpovedal aspoň 8 % rizikovo vážených aktív. Na plnenie
kapitálovej primeranosti musela byť teda splnená nerovnosť
•
•
regulačný kapitál
≥ 0.08 .
rizikovo vážené aktíva
Týmto pomerom bola zavedená všeobecná a akceptovaná miera solventnosti: i napriek tomu,
že sa vzťahuje iba na úverové riziko.
Označenie Cookov pomer pre ukazovateľ kapitálovej primeranosti sa odvodzuje od predstaviteľa bazilejského výboru
v čase uvedenia Bazilejskej kapitálovej dohody Petra Cooka.
3
12
Regulačný kapitál (eligible capital), stotožňovaný tiež s kapitálovou základňou (capital
base), bol bazilejskou dohodou vymedzený v dvoch úrovniach (tiers):
• Kapitál prvého poradia, resp. jadrový kapitál (tier 1 / core capital) zahŕňal položky
vlastného imania a predstavoval podstatu bankového kapitálu. Do kapitálu prvého poradia
patrili (a) splatené základné imanie (obsahujúce splatené kmeňové akcie a večné
nekumulatívne akcie) a (b) zverejnené fondy vlastného imania (obsahujúce emisné ážio,
rezervné fondy, kapitálové fondy, fondy tvorené zo zisku, výsledok hospodárenia
minulých rokov a bežný výsledok hospodárenia). 4 Do tejto vrstvy kapitálu sa nezahrňujú
fondy z precenenia ani časť základného imania tvorené kumulatívnymi prioritnými
akciami.
• Kapitál druhého poradia, resp. doplnkový kapitál (tier 2 / supplementary capital) zahŕňal
(a) nezverejnené fondy vlastného imania 5, (b) fondy z precenenia majetku na reálnu
hodnotu, (c) rezervy, (d) hybridné kapitálové nástroje 6 a (e) podriadené záväzky. 7
Súbežne boli stanovené kvantitatívne obmedzenia pre zahrnutie oboch úrovní kapitálov
v plnej výške; napríklad suma položiek kapitálu druhého poradia nesmie presahovať sumu
položiek kapitálu prvého poradia. Uplatňovali sa odpočty od kapitálovej základne:
• Kapitál prvej úrovne sa znížil o sumu goodwillu.
• Celkový kapitál bol znížený o podiely na vlastnom imaní nekonsolidovaných dcérskych
bánk a iných dcérskych finančných podnikov (v prípade konsolidovaného subjektu)
a o podiely na vlastnom imaní iných bánk a finančných inštitúcií (v rozsahu stanovenom
národným regulačným orgánom).
Vrstvenie kapitálu v uvedených súvislostiach prehľadne ilustruje schéma č.2.
ZLOŽENIE REGULAČNÉHO KAPITÁLU PODĽA BAZILEJA I
KAPITÁL PRVÉHO PORADIA
ZÁKLADNÝ KAPITÁL
splatené základné imanie
zverejnené fondy vlastného imania
KAPITÁL DRUHÉHO PORADIA
DOPLNKOVÝ KAPITÁL
nezverejnené fondy vlastného imania
fondy z precenenia majetku
rezervy
hybridné kapitálové nástroje
podriadené záväzky
ODPOČTY OD KAPITÁLU
OD ZÁKLADNÉHO KAPITÁLU
– goodwill
OD CELKOVÉHO KAPITÁLU
– podiely na nekonsolidovaných dcérskych bankách a iných dcérskych finančných podnikoch
– podiely na iných bankách a finančných
inštitúciách
Schéma č. 2 Zloženie regulačného kapitálu (kapitálovej bázy) podľa Bazilejskej kapitálovej dohody z roku 1988
Zdroj: Vlastné spracovanie.
4
V prípade konsolidovaných subjektov sa do kapitálu prvého poradia taktiež zahrňujú menšinové podiely na základnom
imaní dcérskych podnikov.
5
Obchodnoprávna úprava povoľuje bankám v niektorých krajinách vytvoriť fond z disponibilného výsledku hospodárenia
a nevykázať ho v oficiálnej (publikovanej) bilancii.
6
Hybridné kapitálové nástroje majú akciovo-dlhový charakter a kombinujú v sebe charakteristiku vlastného imania
a záväzku. Aby boli zahrnuté do kapitálu druhého poradia, mali by spĺňať požiadavky: (1.) Sú nezabezpečené, podriadené
a plne splatené. (2.) Nie sú splatné z iniciatívy držiteľa alebo bez predchádzajúceho súhlasu regulačného orgánu. (3.) Sú
k dispozícii na pokrytie strát bez toho, že by banka musela ukončiť svoju činnosť. (4.) Mal by umožňovať odklad splatnosti
záväzku. Príkladom tejto kategórie sú dlhodobé prioritné akcie v Kanade, prioritné akcie v Spojenom kráľovstve, povinne
konvertibilné dlhopisy v Spojených štátoch amerických.
7
Podriadené záväzky zahŕňajú nezabezpečené podriadené dlhové nástroje s pôvodnou dobou splatnosti aspoň 5 rokov, ako aj
prioritné akcie so stanovenou (konečnou) splatnosťou. (Počas posledných piatich rokov pred splatnosťou sa použije ročný
diskontný faktor 20 % p. a., aby sa v znižujúcej hodnote týchto nástrojov zohľadnil pokles ich spôsobilosti kryť stratu.)
13
Bazilejský výbor odporučil regulačný kapitál pomerovať k rizikovo váženým aktívam,
ktoré boli ohodnotené podľa rizikovosti váhami 0 %, 10 %, 20 %, 50 % alebo 100 %. Váženie
aktív podľa miery ich rizika odôvodnil tým, že oproti jednoduchej sumácii položiek
• poskytuje spoľahlivejšiu základňu pre medzinárodné porovnávanie bankových systémov
s odlišnou štruktúrou,
• dovoľuje zahrnúť do rizikového pomeru i začlenenie mimobilančných položiek a
• neodradzuje banky držať vysokolikvidné aktíva (s ktorými sa spája nízke riziko).
Rizikovo vážené aktíva zohľadňovali i mimobilanciu banky a definovali sa vzťahom
=
rizikovo vážené aktívačtovná
hodnota
aktíva
ú
× riziková váha ,
∑ bilancia
i mimobilancia
kde v prípade bilančnej položky za účtovnú hodnotu sa brala čistá účtovná hodnota aktíva
(teda účtovná hodnota aktíva znížená o sumu vytvorených opravných položiek) a v prípade
mimobilančnej položky sa bral úverový ekvivalent danej položky. Riziková váha vo vzťahu
vyjadrovala príspevok aktíva k riziku. Nižšia riziková váha odrážala nižšiu rizikovosť aktíva
a prakticky to znamenalo, že na účely výpočtu kapitálovej primeranosti do rizikovo váženej
bilančnej sumy vstupovala s nižšou váhou. Rizikovú váhu 0 % mali pridelené položky aktív,
ktoré sú (teoreticky) bezrizikové. Pridelenie váh položkám aktív je priblížené v schéme č. 3.
POLOŽKA
RIZIKOVÁ VÁHA
0%
0 %, 10 %, 20 %
alebo 50 % **)
20 %
50 %
100 %
Poznámky
a odkazy
a) peňažné prostriedky (a v rozsahu stanovenom národným regulačným orgánom aj zlaté ingoty)
b) pohľadávky voči štátu a centrálnej banke denominované a poskytované v národnej mene
c) ostatné pohľadávky voči štátom a centrálnym bankám krajín OECD *)
d) pohľadávky kryté cennými papiermi štátov OECD alebo garantované štátmi OECD
pohľadávky voči tuzemským subjektom verejného sektoru (s výnimkou štátu) a poskytnuté úvery garantované týmito
subjektmi (s výnimkou štátu)
a) pohľadávky voči nadnárodným rozvojovým bankám (IBRD, IADB, AsDB, AfDB, EIB) a pohľadávky garantované týmito
bankami alebo kryté ich cennými papiermi
b) pohľadávky voči bankám v krajinách OECD a poskytnuté úvery garantované týmito bankami
c) pohľadávky voči bankám mimo krajín OECD so zostatkovou dobou splatnosti do jedného roka a poskytnuté úvery so
zostatkovou dobou splatnosti do jedného roku garantované týmito bankami
d) pohľadávky voči cudzozemským subjektom verejného sektoru krajín OECD (s výnimkou štátu) a a poskytnuté úvery
garantované týmito subjektmi (s výnimkou štátu)
e) peňažné prostriedky a ekvivalenty peňažných prostriedkov na ceste
poskytnuté úvery v plnej hodnote zabezpečené hypotékou na tuzemské nehnuteľnosti, v ktorom dlžník býva alebo bude
bývať, alebo na tuzemské nehnuteľnosti, ktoré sú v prenájme
a) pohľadávky voči súkromnému sektoru
b) pohľadávky voči bankám mimo krajín OECD so zostatkovou dobou splatnosťou nad jeden rok
c) pohľadávky voči štátom mimo OECD (ak nie sú denominované a poskytované v národnej mene)
d) pohľadávky voči súkromným spoločnostiam vlastnenými verejným sektorom
e) stavby, zariadenia a iné fixné aktíva
f) nehnuteľnosti a iné investície (okrem nekonsolidovaných podielov na vlastnom imaní iných spoločností)
g) kapitálové nástroje vydávané inými bankami (ak nie sú predmetom odpočtu od kapitálu)
h) všetky ostatné aktíva
*) Za krajiny OECD sa považujú plní členovia OECD alebo krajiny, ktoré majú s Medzinárodným menovým fondom
dojednanú osobitnú úverovú linku a čerpajú z prostriedkov Fund’s General Arrangements to Borrow.
**) Stanovené národným regulačným orgánom.
Schéma č. 3 Rizikové váhy položiek bilancie banky podľa Bazilejskej kapitálovej dohody z roku 1988
Zdroj: Vlastné spracovanie podľa Bazilejskej kapitálovej dohody z roku 1988.
Mimobilančné položky sa v rizikovo vážených aktívach zohľadňovali konverziou na
úverové ekvivalenty. Pre každú mimobilančnú položku bol stanovený konverzný faktor,
ktorým sa reflektovala miera vystavenia položky úverovému riziku. Prenásobením účtovnej
hodnoty každej mimobilančnej položky prideleným konverzným faktorom sa získal úverový
ekvivalent, s ktorým sa ďalej pracovalo ako s bežnou bilančnou položkou (tzn., že mu bola
pridelená riziková váha a bol ňou rizikovo vážený). Prideľovali sa štyri úverové konverzné
faktory 0 %, 20 %, 50 %, 100 %. Nízke (resp. žiadne očakávané) riziko sa vyjadrovalo
konverzným faktorom 0 % a plné riziko bolo zohľadnené konverzným faktorom 100 %. Po
14
získaní úverových ekvivalentov sa podľa charakteru protistrany (resp. podkladového
obchodu) pridelila riziková váha v konzistencii so spôsobom uvedeným v schéme č. 3.
Rizikovými váhami zo schémy č. 3 boli vyjadrené oba typy rizika, ktoré boli
zohľadnené v prvej bazilejskej dohode:
• rizikové váhy boli odstupňované podľa druhu aktíva, čím sa popisovalo úverové riziko
protistrany, a zároveň
• sa pri vyjadrení rizika prenosu zo zahraničia rozlišovali pohľadávky voči subjektom
v krajinách OECD a pohľadávky voči krajinám mimo priestoru OECD.
Bazilejská kapitálová dohoda z roku 1988 postupom času zastarala, boli voči nej
vznesené viaceré výhrady, ktoré v januári 1996 viedli k prijatiu Dodatku ku kapitálovej
dohode o prevzatí trhových rizík. Pred januárom 1996 bol text kapitálovej dohody mierne
pozmenený celkom trikrát: v novembri 1991 (kedy sa upravilo zahrnutie rezerv do
regulačného kapitálu), v júli 1994 (kedy bola zúžená definícia krajín OECD) a v apríli 1995
(kedy sa upravilo zahrnutie niektorých mimobilančných položiek a pohľadávok
zabezpečených cennými papiermi vydanými neštátnymi subjektmi verejného sektora mimo
krajín OECD).
Implementáciou prvej bazilejskej dohody vystúpili do popredia jej nedostatky. Hlavné
výhrady voči prvej kapitálovej dohode možno vymedziť v štyroch okruhoch.
• Trhové riziko nebolo prvou bazilejskou dohodou regulované. Výpočet kapitálových
požiadaviek sa zakladal na účtovnej hodnote a abstrahovalo sa od trhovej hodnoty. Trhová
hodnota aktív finančných inštitúcií nezriedka prevyšovala ich ocenenie v účtovníctve
a kapitálové požiadavky odvodené od účtovného ocenenia podceňovali skutočné riziko,
ktorému boli aktíva vystavené.
• Započítanie nebolo povolené. Riziková expozícia rizika voči konkrétnemu obchodnému
partnerovi je vyjadrená rozdielom medzi pohľadávkami a záväzkami voči nemu. Ak
obchodný partner nesplní voči finančnej inštitúcii svoje záväzky, môže si finančná
inštitúcia uplatniť kompenzáciu vo zodpovedajúcej výške na strane záväzkov. Prvá
bazilejská dohoda nepripúšťala započítanie vzájomných pohľadávok a záväzkov
a skutočné riziko nadhodnocovala. Dôsledkom bolo, že pohľadávky zabezpečené v plnej
výške kolaterálom alebo kvalitnou garanciou vstupovali do procesu výpočtu kapitálových
požiadaviek v plnej výške. Ďalším špecifikom boli swapové transakcie, pri ktorých bola
finančná inštitúcia vystavená riziku nie vo výške dohodnutej nocionálnej hodnoty, ale iba
vo výške čistých úrokových platieb, pričom podľa prvej bazilejskej dohody bola základňa
pre stanovenie kapitálových požiadaviek odvodená od nocionálnej hodnoty swapu.
• Neboli zohľadnené efekty diverzifikácie. Kapitálové požiadavky boli stanovované
jednoduchým súčtom úverových rizík jednotlivých položiek aktív. Neprihliadalo sa na
korelačnú štruktúru jednotlivých pozícií a zanedbával sa pozitívny vplyv diverzifikácie
z odvetvového i regionálneho hľadiska. V skutočnosti tým, že banky poskytovali úvery do
rôznych regiónov a subjektom v rôznych odvetviach, diverzifikovali svoje riziko.
• Rozlíšenie rizikových kategórií nebolo adekvátne. Rizikové váhy nerozlišovali rating
dlžníkov finančných inštitúcií. Rovnaké váhy boli pridelené pohľadávkam voči emitentom
s najvyšším investičným stupňom (AAA / Aaa) aj pohľadávkam voči emitentom so
špekulatívnym stupňom (D).
Stanovovanie kapitálových požiadaviek podľa rámca Bazilejskej kapitálovej dohody
z roku 1988 deformovalo správanie bánk. Banky usmerňovali svoju úverovú činnosť smerom
k väčšiemu riziku, aby dostali svoj ekonomický kapitál na úroveň regulačného kapitálu.
Poskytovali menej kvalitné úvery vo väčšom objeme, čím rástla ich potreba ekonomického
kapitálu (keďže na rastúce riziko na strane aktív muselo byť pokryté zodpovedajúcimi
zdrojmi – ekonomickým kapitálom). Nebolo ich záujmom držať vysoký objem ekonomického
kapitálu, ale iba v takej výške, ktorá by zodpovedala regulačnému kapitálu.
15
Ďalším prejavom bola snaha bánk transformovať poskytnuté úvery v ich bilancii do
obchodovateľných cenných papierov, ktorým bola pridelená nižšia riziková váha. Pretože toto
bolo možné najmä v prípade kvalitných dlžníkov, kvalitné úvery z bilancií bánk vymizli
a boli nahradené obchodovateľnými cennými papiermi. Čo z úverových pohľadávok zostalo
v bilancii bánk, boli menej kvalitné úvery poskytnuté subjektom s nižším ratingom.
5. Záver
Riešenia Bazilejského výboru pre bankový dohľad zohrali v praxi regulačného merania
rizika významnú úlohu. Prvý výstup práce bazilejského výboru v podobe Bazilejskej
kapitálovej dohody z roku 1988 predurčil vývoj v oblasti kapitálovej primeranosti a stanovil
hrubú mieru úverového rizika s aplikáciou pre výpočet kapitálových požiadaviek. Čím boli
vyššie kapitálové požiadavky, ktoré musela finančná inštitúcia v zmysle bazilejskej dohody
z roku 1988 tvoriť, tým bolo vyššie jej úverové riziko. Hoci v súčasnosti je bazilejský koncept
v originálnej podobe z roku 1988 vnímaný ako obsolétny a je prekonaný komplexnejším
prístupom, predstavuje aj dnes tento koncept štandardizovaný prístup k stanovovaniu
kapitálových požiadaviek (a implicitnému meraniu úverového rizika bankového portfólia).
Článok poukázal na obsah bazilejskej dohody z roku 1988 a prezentoval spôsob, akým bolo
ohodnocované úverové riziko v čase efektívneho využívanie dohody v regulátorskej praxi.
Súčasne boli uvedené dôvody, pre ktoré bolo nutné prejsť k ďalšiemu-rozvinutejšiemu
konceptu reprezentovaného úpravami a doplnkami originálnej bazilejskej dohody.
6. Literatúra
BEŇOVÁ, Elena et al. 2005. Financie a mena. Bratislava: Iura Edition 2005. 380 s. ISBN 978-80-8078-142-2.
GALATTI, Reto 2003. Risk Management and Capital Adequacy. New York. McGraw-Hill 2003. 555 s.
ISBN 0-07-140763-4.
HOLTON, Glyn A 2002. History of Value-at-Risk: 1922 – 1998. In: EconWPA / Methods and History of
Economic Thought. 2002, č. 0207001. 27 s.
International convergence of capital measurement and capital standard. Bazilej: Bazilejský výbor pre bankový
dohľad júl 1988. 30 s.
JÍLEK, Josef 2000. Finanční rizika. Praha: Grada Publishing 2000. 635 s. ISBN 80-7169-579-3.
JORION, Philippe 2003. Financial Risk Manager Handbook. Druhé vydanie. New Jersey [USA]: Wiley 2003.
708 s. ISBN 0-471-43003-X.
KAŠPAROVSKÁ, Vlasta et al. 2006. Řízení obchodních bank: vybrané kapitoly. Praha: C. H. Beck 2006. 339 s.
ISBN 80-7179-381-7.
POLOUČEK, Stanislav 2003: Peníze, banky a finanční trhy. Tretie upravené vydanie. Karviná: Slezská
univerzita v Opavě, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné 2003. 244 s. ISBN 80-7248-074-X.
SVITEK, Martin 2006. Kapitálové vybavenie komerčných bánk. Bratislava: Eurounion 2006. 171 s.
ISBN 80-888984-88-2.
Adresa autora
Ing. et Bc. Martin Boďa
Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici
Ekonomická fakulta
Katedra kvantitatívnych metód a informatiky
Tajovského 10
975 90 Banská Bystrica
[email protected]
16
Odhad variančních komponent v lineárním regresním modelu neúplného měření
vektorového parametru
Hana Boháčová 1
Abstract: The article deals with the variance components estimation in linear regression
model with constraints. The maximum likelihood estimators for fixed effects parameters and
variance components are derived and applied in the numerical study of uniformly accelerated
movement.
Key words: Linear regression model with constraints, Variance components, Maximum
likelihood method, Uniformly accelerated movement
1.Úvod
V praxi se často setkáváme se situacemi, kdy je potřeba určit hodnotu veličiny, kterou
není možné přímo měřit, lze ji však dopočítat pomocí jiných veličin, které měřit lze. Pro
ilustraci uveďme například určování zrychlení při rovnoměrně zrychleném přímočarém
pohybu, kdy zrychlení určujeme pomocí naměřených hodnot dráhy a času. Tyto situace
popisuje lineární regresní model neúplného nepřímého (respektive přímého) měření
vektorového parametru (lineární regresní model s podmínkami typu II):
(1)
Y ~ N n ( Xβ1 , Σ θ )
(2)
B1 β1 + B2 β 2 + b = 0
V praxi často k tomuto modelu dospějeme pomocí linearizace původně nelineárního modelu,
viz též dále uvedený numerický příklad. Parametr β1 je nepřímo měřitelný, parametr β 2
určujeme po odhadnutí β1 z podmínky (2). Předpokládáme, že matice X je plné hodnosti ve
sloupcích, matice B1 je typu (q, k1 ) , matice B2 je typu (q, k 2 ) a předpokládáme
r (B1 , B2 ) = q , r (B2 ) = k 2 , k 2 < q < k1 + k 2 .
Předpokládáme model s r variančními komponentami θ1 ,..., θ r , tedy
r
var Y = Σ θ = ∑ θ iVi ,
(3)
i =1
kde V1 ,..., Vr jsou známé symetrické matice, přičemž musí platit, že Σ θ je alespoň pozitivně
semidefinitní. Naším cílem je najít odhady β1 , β 2 ,θ1 ,...,θ r metodou maximální věrohodnosti.
2. Odvození odhadů
′
V modelu (1) bez podmínek jsou věrohodnostní rovnice pro β1 a θ = (θ1 ,..., θ r ) tvaru:
(
)
( X ' Σ θ−1 X ) β1 = X ' Σ θ−1Y
(4)
(5)
tr Σ θ−1Vi = Y ' (M X Σ θ M X ) Vi (M X Σ θ M X ) Y , i = 1,..., r ,
(viz [Rao - Kleffe,1988])
kde M A je matice ortogonální projekce na vektorový prostor kolmý k vektorovému prostoru
generovanému sloupci matice A. Provedeme transformaci modelu s podmínkou (1),(2) na
model bez podmínky (použitá transformace viz. [Kubáček - Kubáčková, 2000]). Najdeme
1
+
+
Hana Boháčová, Fakulta ekonomicko-správní, Univerzita Pardubice
17
matice K 1 typu (k1 , k1 + k 2 − q ) a K 2 typu (k 2 , k1 + k 2 − q ) , pro které platí:
 K1 
 = 0
 K2 
(B1 , B2 )
Vyjádříme-li nyní
(6)
 β1   β1(0 )   K 1 
  =  (0 )  +  γ ,
 β2   β2   K2 
(7)
 β (0 ) 
kde  1(0 )  je libovolný vektor vyhovující podmínce B1 β1(0 ) + B2 β 2(0 ) + b = 0 a γ ∈ R k1 + k 2 − q ,
 β2 
můžeme model (1),(2) převést na model typu (1) bez podmínky:
(8)
Y − Xβ1(0 ) ~ N n ( XK 1γ , Σ θ ) .
Podle (4) a (5) dostaneme věrohodnostní rovnice pro γ a θ . Označme odhady parametrů β1 ,
β a θ z modelu (1),(2) po řadě β̂ˆ , β̂ˆ a θˆ , odhad parametru β z modelu (1) β̂ a odhad
2
1
1
2
parametru γ z modelu (8) γˆ . Pak ze (7) vyplývá:
 βˆ1   β1(0 )   K 1 
 =
 +  γ
 βˆ   β (0 )   K  ˆ
 2  2   2
Po úpravě dostaneme konečné vztahy pro odhady:
−1
−1
βˆ1 = βˆ1 − X ' Σ θ−1 X B1 '[ M B2 B1 X ' Σ θ−1 X B 1 ' M B2 ] + (b + B1 βˆ1 )
βˆ = (B ' B )−1 B ' B βˆ + b
(
)
2
(
(
)(
2
2
2
)
(
1
1
) (
)
)(
1
 Y − Xβ 1(0 ) ' M XK Σ θ M XK V1 M XK Σ θ M XK Y − Xβ 1(0 )
1
1
1
1

θˆ = S (−M1 Σ M )+ 
...
XK1 θ
XK1

+
+
(0 )
(0 )
 Y − Xβ 1 ' M XK1 Σ θ M XK1 Vr M XK1 Σ θ M XK1 Y − Xβ1
Kde A + značí Moore-Penroseovu pseudoinverzi matice A a
+
+
, i, j = 1,..., r.
S (M Σ M )+
= tr Vi M XK1 Σ θ M XK1 V j M XK1 Σ θ M XK1
)(
(
{
XK1 θ
XK1
}
i, j
+
+
) (
[ (
) (
)(
)]
(9)
(10)
)



)
(11)
(12)
(13)
Při výpočtech se postupuje iteračně s vhodně zvolenými počátečními hodnotami.
3. Numerická studie
Zaměřme se nyní na zkoumání situace, kdy nás zajímá čas potřebný ke zrychlení
automobilu z 0 na 100 km/h. Pro zjednodušení předpokládejme, že zrychlení je po celou dobu
rozjezdu konstantní, tedy že se jedná o rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb. Měření
proběhla ve čtyřech bodech rozjezdové dráhy – měřila se jednak vzdálenost místa od startovní
čáry a jednak čas potřebný k projetí dráhy od startu po daný bod. Celý postup byl desetkrát
opakován. Naměřená data jsou v Tabulce 1. Data jsou získána simulací z normálního
rozdělení pro s1 = 30m , s 2 = 60m , s3 = 90m , s 4 = 120m se směrodatnou odchylkou
σ s = 5 ⋅ 10 −4 m a podobně pro časy t1 = 4,16 s , t 2 = 5,89 s , t 3 = 7,21s , t 4 = 8,33s se
směrodatnou odchylkou σ t = 5 ⋅ 10 −2 s .
18
Tabulka 1. Vstupní data – 1. pokus
Vzdálenost od startovní čáry [m]
Měření s1
s2
s4
s3
1
30,0001 60,0010 89,9997 119,9997
2
30,0003 60,0004 89,9999 120,0004
3
30,0000 60,0006 89,9995 120,0007
4
29,9997 60,0004 89,9995 119,9995
5
30,0002 60,0006 90,0005 120,0004
6
30,0000 60,0003 89,9998 119,9995
7
30,0009 60,0003 90,0010 120,0006
8
30,0000 59,9995 90,0005 119,9998
9
30,0000 60,0009 90,0001 120,0005
10
29,9992 60,0002 90,0002 119,9999
Čas [s]
t1
t2
4,15 5,91
4,18 5,87
4,18 5,90
4,18 5,83
4,16 5,93
4,20 5,86
4,15 5,87
4,16 5,87
4,28 5,84
4,27 5,94
t4
8,27
8,33
8,34
8,30
8,30
8,33
8,38
8,32
8,38
8,35
t3
7,14
7,10
7,21
7,16
7,27
7,13
7,14
7,23
7,17
7,15
Cílem je určit odhad zrychlení automobilu při rozjezdu a odhady disperzí měření vzdálenosti
a času. Zrychlení budeme odhadovat na základě vztahu pro výpočet dráhy rovnoměrného
1
zrychleného pohybu s = at 2 , tedy
2
(14)
2 si − at i2 = 0 , i = 1,...,4 .
V regresním modelu tedy v roli přímo měřitelných parametrů β1 vystupují s1 ,..., s 4 a t1 ,...,t 4 ,
parametru β 2 odpovídá a a varianční komponenty jsou disperze při měření vzdálenosti σ s2 a
disperze při měření času σ t2 . Regresní model pak vypadá takto:
 s1 
1
 

 s2 
0
s 
0
 3

 s4 
0
Y =   + ε , var Y = σ s2 
 t1 
0
 t2 
0
 

 t3 
0
t 
0
 4

0

0
0

0
 (15)
0
0

0
1 
 2 s (0 ) − a (0 ) t (0 ) 2 
 − t (0 ) 2 

 2 0 0 0 − 2a (0 )t1(0 )
0
0
0
1
1
 1





 2s 2(0 ) − a (0 )t 2(0 ) 2 
 − t 2(0 ) 2 
0
0
0
− 2a (0 )t 2(0 )

0 2 0 0
=0
δβ1 +  (0 ) 2 δβ 2 +  (0 )
0 0 2 0
(0 ) (0 )
(0 ) (0 ) 2 
0
0
2
0
−
a
t
2
−
−
t
s
a
t
3
3
 3

 3 


(0 ) (0 ) 
0 0 0 2
 2 s (0 ) − a (0 ) t (0 ) 2 
 − t (0 ) 2 
0
0
0
2
−
a
t
4 

4
 4

 4 
(16)
Kde podmínka (16) vznikla linearizací vztahu (14) a horní index (0) značí počáteční hodnoty.
Počáteční hodnoty pro výpočet odhadů byly voleny takto: s1(0 ) = 30m , s 2(0 ) = 60m ,
s3(0 ) = 90m , s 4(0 ) = 120m , a (0 ) = 3,46m ⋅ s −2 (tato hodnota přibližně odpovídá zrychlení z 0 na
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


0
0
0
0


0
0
+ σ t2 

0
0
0
0


0
0
0

0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
100km ⋅ h −1 za 8s , jak udává výrobce automobilu), t1(0 ) = 4,16 s , t 2(0 ) = 5,89 s , t 3(0 ) = 7,21s ,
t 4(0 ) = 8,33s (dopočítáno dle vztahu t i(0 ) =
2 si(0 )
, i = 1,...,4 pro rovnoměrně zrychlený
a (0 )
19
přímočarý pohyb), σ s(0 ) = 2 ⋅ 10 −7 , σ t(0 ) = 2 ⋅ 10 −3 (aritmetický průměr výběrových rozptylů
prvních, resp. druhých čtyř sloupců Tabulky 1.) Výsledné odhady jsou pro jednotlivé
replikace uvedeny v Tabulce 2 a Tabulce 3.
2
2
Tabulka 2. Odhady parametrů β1 a β 2 pro jednotlivé replikace měření – 1. pokus
β̂ˆ
β̂ˆ
1
2
Měření
ŝˆ1
ŝˆ2
ŝˆ3
ŝˆ4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30,0001
30,0003
30,0000
29,9997
30,0001
30,0000
30,0009
30,0000
30,0000
29,9992
60,0010
60,0004
60,0006
60,0004
60,0006
60,0003
60,0003
59,9994
60,0009
60,0002
89,9997
89,9999
89,9994
89,9994
90,0005
89,9998
90,0010
90,0005
90,0001
90,0002
119,9997
120,0004
120,0007
119,9995
120,0004
119,9995
120,0006
119,9998
120,0005
119,9999
tˆ1
4,14
4,14
4,17
4,14
4,17
4,15
4,16
4,16
4,17
4,17
tˆ2
5,86
5,86
5,90
5,86
5,90
5,87
5,88
5,89
5,90
5,90
tˆ3
7,17
7,18
7,22
7,17
7,23
7,18
7,20
7,21
7,23
7,23
tˆ4
8,28
8,29
8,34
8,28
8,35
8,30
8,31
8,33
8,34
8,35
âˆ
3,42
3,426
3,47
3,422
3,475
3,433
3,446
3,458
3,473
3,478
Tabulka 3. Odhady variančních komponent – 1. pokus
Měření σˆ s2
σˆ t2
1
2,26 ⋅ 10 −7
2,81 ⋅ 10 −3
2
7,69 ⋅ 10 −7
3,36 ⋅ 10 −3
3
3,69 ⋅ 10 −8
1,03 ⋅ 10 −4
4
2,75 ⋅ 10 −7
6,98 ⋅ 10 −4
5
2,73 ⋅ 10 −7
1,47 ⋅ 10 −3
6
6,39 ⋅ 10 −7
2,11 ⋅ 10 −3
7
4,28 ⋅ 10 −7
2,69 ⋅ 10 −3
8
5,02 ⋅ 10 −8
2,20 ⋅ 10 −4
9
2,76 ⋅ 10 −6
6,68 ⋅ 10 −3
10
2,07 ⋅ 10 −6
5,50 ⋅ 10 −3
Je patrné, že zatímco odhady parametrů β1 a β 2 jsou poměrně stabilní, odhady variančních
komponent se pro jednotlivé replikace výrazně liší. Protože metoda maximální věrohodnosti
vykazuje asymptoticky dobré vlastnosti, lze očekávat, že při větším počtu měření se budou
výsledky lišit méně (Vlastnosti maximálně věrohodných odhadů při rostoucí dimenzi vektoru
Y viz [Rao - Kleffe, 1988]). V dalším pokusu byl zvýšen počet bodů, v nichž se měřilo, na 12,
v každém bodě byl opět změřen čas potřebný k projetí dráhy od startu po daný bod a
vzdálenost bodu od startovní čáry. Celý postup měření byl pětkrát opakován. Naměřená data
jsou v Tabulce 4. Jsou opět simulovaná z normálního rozdělení, si , i = 1,...,12 se směrodatnou
odchylkou σ s = 5 ⋅ 10 −4 m a t i , i = 1,...,12 se směrodatnou odchylkou σ t = 5 ⋅ 10 −2 s .
20
Tabulka 4. Vstupní data – 2. pokus
Měření 1
2
3
9,9998
9,9994
10,0001
s1
20,0001 20,0009 20,0008
s2
30,0000 29,9999 30,0007
s3
4
10,0006
20,0001
29,9998
5
10,0006
19,9996
30,0004
s4
s5
40,0005
50,0002
40,0001
50,0005
40,0005
50,0000
40,0004
49,9997
39,9998
50,0004
s6
59,9994
60,0006
60,0014
60,0007
59,9997
s7
70,0006
69,9999
69,9998
70,0002
70,0002
s8
80,0006
80,0001
79,9999
80,0005
80,0001
s9
89,9989
90,0005
89,9999
90,0000
89,9999
s10
100,0005 100,0005 100,0003 100,0003 100,0005
s11
s12
t1
t2
t3
109,9996
119,9998
2,39
3,39
4,08
109,9998
119,9989
2,37
3,47
4,11
110,0002
120,0001
2,39
3,34
4,15
109,9992
119,9999
2,31
3,30
4,19
109,9994
120,0006
2,38
3,36
4,18
t4
t5
4,85
5,39
4,87
5,37
4,82
5,36
4,81
5,37
4,78
5,29
t6
5,83
5,86
5,91
5,92
5,99
t7
6,33
6,36
6,35
6,29
6,40
t8
6,83
6,81
6,81
6,76
6,76
t9
7,21
7,21
7,19
7,21
7,13
t10
7,55
7,58
7,54
7,68
7,49
t11
t12
8,03
8,33
8,05
8,38
7,97
8,31
8,05
8,29
8,05
8,38
Použitý regresní model je analogický modelu (15), (16), samozřejmě s odpovídající dimenzí.
Výsledné odhady variančních komponent jsou v Tabulce 5.
Tabulka 5. Odhady variančních komponent – 2. pokus
Měření σˆ s2
σˆ t2
1
2,52 ⋅ 10 −7
1,79 ⋅ 10 −3
2
5,56 ⋅ 10 −7
4,80 ⋅ 10 −4
3
6,83 ⋅ 10 −8
6,31 ⋅ 10 −4
4
1,54 ⋅ 10 −7
1,06 ⋅ 10 −4
5
5,65 ⋅ 10 −7
5,92 ⋅ 10 −4
21
4. Závěr
Přestože i odhady variančních komponent ve 2. pokusu se na první pohled významně liší, při
jejich porovnání s druhými mocninami směrodatných odchylek σ s a σ t , které byly použity
pro simulaci hodnot si a t i , i = 1,...,12 (respektive i = 1,...,4 v prvním pokuse), se zjistilo, že
odhady σˆ s a σˆ t nevybočily z očekávaného intervalu. Přesnost jejich určení charakterizovaná
jejich kovarianční maticí 2 S (−M1 Σ M )+ však v tomto experimentu není příliš vysoká.
XK1 θ
XK1
5. Literatura
KUBÁČEK, L. – KUBÁČKOVÁ, L. 2000 Statistika a metrologie. Olomouc: Univerzita
Palackého v Olomouci – vydavatelství, 2000.
RAO, C.R. – KLEFFE, J. 1988 Estimation of Variance Components and Applications.
Amsterdam – New York – Oxford – Tokyo: North-Holland, 1988.
Adresa autora:
Hana Boháčová, Mgr.
Fakulta ekonomicko-správní
Univerzita Pardubice
Studentská 84
532 10 Pardubice
[email protected]
22
Nové demografické trendy vo svete v roku 2006 podľa štatistík
OSN.
Rastislav Čief
Abstract
We can notice several interesting trends based on the newest World Population Prospects
The 2006 Revision. The significant part of the survey consists of questions which are
related to population ageing and its comparison of progress in developed and developing
countries. All indexes like fertility, median age as well as old age population ratio reflect
worldwide population aging. Following this comparison, developing countries are getting
oncoming to the progress of developed countries at a rapid growth rate (they tail away
approx. 50 years). As there is assumption that oncoming globalization forces this
advancing, we can expect that the middle variant OSN (which was used in all fertility
indexes) will be revised: in developing countries will be lower fertility, higher age median
and higher ratio of post-productive population. Also possible increase in fertility is little
feasible in developed countries. Generally we can expect acceleration of worldwide
population ageing process.
Key words: population, fertility, median age, ageing, projection
Úvod
V najnovšom World Population Prospects The 2006 Revision si možno všimnúť
niekoľko zaujímavých faktov. Zameriava sa na otázky súvisiace s prirodzeným aj
mechanickým pohybom, kde porovnáva vývoj v rozvinutých a v rozvíjajúcich (v
minulosti sa používal termín rozvojových) krajín. Z ukazovateľov som vybral tie ktoré,
sa týkali starnutia obyvateľstva: fertilita, vekový medián a podiel poproduktívneho
obyvateľstva. Zaujímalo ma akým tempom rozvíjajúce sa krajiny napodobňujú trendy
v rozvinutých krajinách.
Nové demografické trendy vo svete v roku 2006 podľa štatistík OSN
V júli 2007 bolo vo svete 6,7 miliardy ľudí čo je o 547 miliónov viac ako v roku 2000.
Prognózy Počtu obyvateľov sveta v roku 2050 počítajú v strednom variante s 9,2
milardami v nízkom s 7,8 miliardami a vo vysokom variante s 10,8 milardami
obyvateľov.
Budúci populační rast je veľmi závislý na budúcej fertilite. V strednom variante fertilita
sveta klesá z 2,55 na 2,02. Ak fertilita zostane skoro nezmenená bude v roku 2050 mať
svetová populácia 10,8 miliardy. Nízky variant počíta zo zrýchľovaním poklesu fertility.
Nízka a znižujúca sa intenzita populačného rastu v rozvinutých krajinách ako celku
spôsobí podľa stredného variantu, že sa populácia 1,2 miliardy v rokoch 2007-2050
nezmení. Naopak populácia 50 najmenej rozvinutých krajín zrastie v rokoch 2007 až
23
2050 dvojnásobne z 0,8 miliardy na 1,7 milardy. Rast zaznamená aj zvyšok rozvojových
krajín aj keď nie taký výrazný z 4,8 milardy v roku 2007 vzrastie na 6,2 milardy v roku
2050.
Klesajúci populačný rast spôsobený poklesom fertility, vedie k starnutiu populácie tak,
že produkuje populáciu, kde podiel ľudí v poproduktívnom veku rastie a klesá podiel
mladých ľudí. V najviac rozvinutých regiónoch 20% populácie je starších ako 60 rokov
ale podľa prognózy v roku 2050 to bude až 33%. V rozvinutých krajinách ako celku
počet ľudí v poproduktívnom veku (nad 60 rokov) už prevýšil počet ľudí
v predproduktívnom veku do 15 rokov a v roku 2050 počet ľudí v poproduktívnom veku
bude dvojnásobný oproti obyvateľstvu v predproduktívnom veku.
Populačné starnutie je menej pokročilé v rozvíjajucich sa krajinách. Napriek tomu
populácia väčšiny z nich vstupuje do obdobia rýchleho populačného starnutia.
V rozvíjajucich sa krajinách je 8% populácie v poproduktívnom veku nad 60 rokov, ale
v roku 2050 to bude až 20%.
Celkove počet ľudí v predproduktívnom veku vzrastie trojnásobne z 673 miliónov v roku
2005 na 2 miliardy v roku 2050. V tomto období podiel vzrastie rozvíjajucich sa krajín
na poproduktívnom obyvateľstve z 64% v roku 2005 na 80% v roku 2050.
Charakteristickou črtou starnutia populácie je, že počet starších osôb rastie rýchlejšie ako
zvažované vekové rozpätie. Takže kým počet osôb nad 60 rokov vzrastie trojnásobne,
počet osôb nad 80 rokov vrastie takmer päťnásobne z 88 miliónov v roku 2005 na 402
milónov v roku 2050. Dnes tvorí podiel rozvíjajucich sa krajín na obyvateľstve nad 80
rokov 50% v roku 2050 to bude 71%.
Hoci u populácií všetkých krajín sa očakáva starnutie, populácie krajín kde je fertilita
stále vysoká zostanú relatívne mladé a rýchlo rastúce. Vysoký populačný rast prevažuje
v najmenej rozvinutých rozvíjajúcich sa krajinách. v rokoch 2005 až 2050 sa populácie
Afganistanu, Burundi, Dem.rep. Kongo, Guinea –Bissau, Nigeru, Východneho Timoru
a Ugandy strojnásobia.
V ostrom protiklade, populácie 46 krajín vrátane Nemecka, Talianska, Japonska, Korei,
väčšiny štátov vzniknutých zo Sovietského Zväzu a niektorých malých ostrovných štátov
budú v roku 2050 menšie oproti roku 2005.
Populačný rast ostáva koncentrovaný do ľudnatých krajín. V období 2005 až 2050
prírastok 8 krajín bude predstavovať polovicu celosvetového rastu ( India, Nigéria,
Pakistan, Dem.rep. Kongo, Etiópia, USA, Bangladéš a Čína.
Vekový medián, je vek, ktorý rozdeľuje populáciu na dve rovnako veľké polovice a je
ukazovateľom starnutia populácie. Vekový medián vo svete vzrastie za obdobie 20052050 z 28 na 38 rokov a v Európe z 39 na 47 rokov.
12. Vekový medián je vyšší v krajinách s nízkou fertilitou počas dlhšieho obdobia.
v roku 2005 malo 13 rozvinutých krajín vyšší vekový medián ako 40 rokov. Prenikanie
populačného starnutia odráža fakt, že 93 krajín bude mať v roku 2050 vekový medián
vyšší ako 40 rokov, pričom 48 z nich sú rozvíjajúce sa krajiny.
Krajiny, kde fertilita zostáva vysoká a a klesá iba mierne bude priebeh starnutia
populácie najpomalší. Do roku 2050, skora každá piata krajina bude mať vekový
medián nižší ako 30 rokov. Najmenej rozvinuté krajiny budú mať najmladšiu populáciu,
z nich 8 bude mať vekový medián nižší ako 24 rokov: Afganistan, Angola, Burundi,
Dem.rep. Kongo, Guinea-Bissau, Libéria, Niger a Uganda.
24
Ako je známe znižovanie fertility je hlavnou príčinou starnutia populácie. Fertilita sveta
je odhadovaná na 2,55 deti na 1 ženu, čo je o polovicu menej oproti obdobiu 1950-55,
keď pripadalo 5 deti na 1 ženu. V strednom variante svetovej fertility je projektovaný
pokles na 2,02. Priemer sveta odráža úplne odlišné trendy. V rozvinutých krajinách,
fertilita je 1,60 a je projektovaná na 1,79 v rokoch 2045-2050. V najmenej rozvíjajúcich
sa krajinách fertilita je 4,63 a predpokladá sa prepad na 2,50 v rokoch 2045-2050.
V ostatných rozvíjajúcich sa krajinách je fertilita už mierne nízka 2,45 a predpokladá sa
pokles na 1,91 v strede storočia.
V rokoch 2005-2010 fertilita ostáva nad 5 v 27 krajinách a týchto 27 krajín tvorí 9%
svetovej populácie. Väčšina krajín s veľmi vysokou fertilitou je chudobná a patrí do
skupiny najmenej rozvijajúcich sa krajín. Naopak fertilitu pod úrovňou reprodukcie
dosiahlo 28 rozvíjajucich sa krajín, ktoré tvoria 25% svetovej populácie. Táto skupina
obsahuje Čínu, ktorej priemerná fertilita v období 2005-2010 sa odhaduje na 1,73.
Fertilita je tiež pod úrovňou reprodukcie v 45 krajinách, ktoré tvoria 19% svetovej
populácie. V 27 z nich vrátane Japonska a väčšiny krajín južnej a východnej Európy je
fertilita pod 1,5. Od obdobia 1990-1995 pokles fertility bol pravidlom u veľkej väčšiny
rozvinutých krajín a viedol k rýchlemu starnutiu populácie.
Tab.č.1.:10 krajín s najvyššou a najnižšou fertilitou v rokoch 1970-75 a 2005-2010
1970-75
2005-2010
poradie
krajina
fertilita poradie
krajina
fertilita
A.najvyššia fertilita
1
Jemen
8,7
1
Niger
7,19
2
Rwanda
8,29
2
Guinea-Bissau
7,07
3
Niger
8,12
3
Afganistan
7,07
4
Keňa
8
4
Burundi
6,8
5
Jorddánsko
7,79
5
Libéria
6,77
6
Burkina Faso
7,75
6
Dem.rep. Kongo
6,7
7
Palestína
7,73
7
Timor východný
6,53
8
Afganistan
7,7
8
Mali
6,52
9
Líbya
7,59
9
Sierra Leone
6,47
10
Mali
7,56
10
Uganda
6,46
B.najnižšia fertilita
1
Fínsko
1,62
1
Macao
0,91
2
Nemecko
1,64
2
Hong Kong
0,97
3
Luxemburgsko
1,72
3
Bielorusko
1,2
4
Švajčiarsko
1,82
4
Kórea
1,21
5
Normanské ostrovy
1,86
5
Ukrajina
1,22
6
Švédsko
1,89
6
Poľsko
1,23
7
Chorvátsko
1,96
7
Bosna a Hercegovina
1,23
8
Dánsko
1,97
8
Česko
1,24
9
Kanada
1,98
9
Slovensko
1,25
10
Lotyšsko
2
10
Singapur
1,26
Zdroj:World Population Prospects The 2006 Revision. United Nations, New York 2007.
25
Tab.č.2.:Dvanásť krajín s najväčšou a najmenšou zmenou fertility v r. 19702010
fertilita
zmena
poradie
krajina
1970-1975 2005-2010 rozdiel v percentách
A.najvyššie zmeny fertility
1
Mongolsko
7,33
1,87
-5,46 74,48840382
2
Korea
4,28
1,21
-3,07 71,72897196
3
Macao
3,2
0,91
-2,29
71,5625
4
Tunisko
6,21
1,93
-4,28 68,92109501
5
Kuvajt
6,9
2,18
-4,72 68,4057971
6
Irán
6,4
2,04
-4,36
68,125
7
Vietnam
6,7
2,14
-4,56 68,05970149
8
Alžírsko
7,38
2,38
-5
67,75067751
9
Bhután
6,67
2,19
-4,48 67,16641679
10
Hong Kong
2,89
0,97
-1,92 66,43598616
11
Mexiko
6,5
2,21
-4,29
66
12
Maroko
6,89
2,38
-4,51 65,45718433
B.najnižšie zmeny fertility
1
Afganistan
7,7
7,07
-0,63 8,181818182
2
Čad
6,6
6,2
-0,4 6,060606061
3
Rovníková Guinea
5,68
5,36
-0,32 5,633802817
4
Švédsko
1,89
1,8
-0,09 4,761904762
5
Luxemburgsko
1,72
1,66
-0,06 3,488372093
6
Libéria
6,9
6,77
-0,13 1,884057971
7
Guinea-Bissau
7,1
7,07
-0,03 0,422535211
8
Sierra Leone
6,5
6,47
-0,03 0,461538462
9
Burundi
6,8
6,8
0
0
10
USA
2,02
2,05
0,03 -1,48514851
11
Dem.rep. Kongo
6,45
6,7
0,25 -3,87596899
12
Timor východný
6,15
6,53
0,38 -6,17886179
Zdroj:World Population Prospects The 2006 Revision. United Nations, New York, 2007.
Záver
Z porovnania vývoja rozvinutých a rozvíjajucich krajín vyplýva, že rozvíjajuce sa
krajiny sa rýchlym tempom začínaju približovať k vývoju v rozvinutých krajinách
(pričom zaostávajú cca 50 rokov). Je však predpoklad, že postupujúca globalizácia
zrýchli toto približovanie a preto je predpoklad, že tento stredný variant OSN, (ktorý
som použil pri všetkých ukazovateľoch) bude revidovaný : v rozvíjajucich sa krajinách
26
bude nižšia fertilita, vyšší vekový medián a vyšší podiel poproduktívneho obyvateľstva.
Podobne aj predpokladané zvýšenie fertility v rozvinutých krajinách je málo
pravdepodobné. Celkovo možno predpokladať zrýchlenie procesu starnutia svetovej
populácie.
Literatúra
World Population Prospects The 2006 Revision. United Nations. New York, 2007.
Adresa autora:
PaedDr.Rastislav Čief
Dobrianského 45
066 01 Humenné
[email protected]
27
Aktuálny stav
Informačného systému registra obyvateľov SR
Anton Dubčák
Abstract: The implementation of e-government in Slovakia necessitates cooperation of core
databases of public administration. The Registry of Citizens is new centralised database with
the content stipulated by law. The projects for on-line connection of decisive entries to this
database are already prepared. However, from legal and technological point of view the data
provision from this registry to other key national registries, public administration bodies,
business organisations and citizens hasn’t been resolved yet. Author describes the Interior
Ministry’s objectives for registry for the forthcoming years.
Key words: registry of citizens, personality protection, data provision
1. Východiská z oblasti informatizácie a legislatívy
Vládna úroveň informatizácie spoločnosti a elektronizácie verejnej správy bola
v nedávnej minulosti riadená viacerými strategickými dokumentami. Všetky vychádzajú
z nevyhnutnosti širokého a integrovaného elektronického využívania kľúčových centrálnych
registrov, ktorými sú Register obyvateľov, Obchodný register, Živnostenský register, Register
územných jednotiek a Kataster nehnuteľností.
Legislatívne je problematika registra obyvateľov pokrytá osobitným zákonom
č.253/1998 Z.z. o hlásení pobytu občanov Slovenskej republiky a registri obyvateľov
Slovenskej republiky (ďalej len zákon o registri obyvateľov) a nadväzujúcimi zákonmi.
Zákon o registri obyvateľov pokrýva solídne oblasť vstupov a oblasť obsahu registra.
Nedostatočne presne je ošetrená oblasť poskytovania údajov z registra tak štátnym orgánom
ako právnickým osobám, fyzickým osobám, subjektom mimo Slovenskú republiku,
v krajinách Európskej únie a mimo ňu. Novelu tohto zákona pripravuje Ministerstvo vnútra
SR na 1.štvrťrok 2008.
2. Súčasný stav informačného systému registra obyvateľov
2.1. Obsah registra
Obsah registra vymedzený zákonom plne vyhovuje požiadavkám verejnej správy po
stránke určenia (výberu) zaznamenávaných položiek. Horšie je to s aktuálnym stavom údaja
zaznamenaného v registri a súladom so skutočnosťou, s právnym stavom vecí. Je to dané
najmä technikou a technológiou súčasného zabezpečenia vstupov – pretrváva stav keď obec
(samospráva) zaznamená novú skutočnosť (len) do svojich evidencií a vykonáva príslušný
správny akt, ale pre záznam do registra je nutné spravidla ručne vypísať príslušný formulár,
28
ten s časovým sklzom (napr. poštou) doručiť na „miestne príslušné“ okresné oddelenie
Policajného zboru, kde ho s ďalším časovým sklzom zaznamenajú do siete prevádzkovanej
(spravovanej) ďalším (iným) útvarom rezortu vnútra a sieťou sú prenesené do centrálneho
výpočtového strediska. Okrem časových sklzov prináša tento proces vyššie možnosti vzniku
chýb a slabší prehľad zodpovednosti za správnosť v registri zaznamenaného údaja. Ďalším
problémom je potom úloha odstrániť chybu – je nutné hľadať a nájsť miesto kde vznikla
a uskutočniť opravu na všetkých následných úložiskách, resp. riešiť následky použitia
chybného údaja niekedy žalovateľné Problém môže odstrániť iba zabezpečenie online
vstupov z rozhodujúcich obcí priamo do centrálneho registra a vypustenie zbytočného
spomaľujúceho medzičlánku, s možnosťou zavedenia chýb, ktorým sú v súčasnosti okresné
riaditeľstvá policajného zboru. Na strane výstupov nemá register legislatívne dostatočne
zabezpečenú špecifikáciu výstupov pre štátne orgány, orgány samosprávy, pre právnické
osoby a fyzické osoby.
Podľa zákona o registri obyvateľov obsahuje register o občanoch s trvalým pobytom na
území Slovenskej republiky tieto skupiny údajov:
osobné údaje, ktorými sú: meno, priezvisko, akademický titul, rodné priezvisko, rodné
číslo, dátum narodenia, miesto narodenia, okres narodenia, štát narodenia, pohlavie, rodinný
stav, národnosť, dátum a miesto úmrtia,
údaj o pobyte, ktorými sú pre trvalý aj prechodný pobyt najmä presná adresa pobytu
a dátumy prihlásenia a skončenia pobytu,
údaje o vzťahoch k blízkym osobám (rodičia, deti),
administratívne údaje (čísla dokladov, rozhodnutia súdov).
2.2. Vstupy do registra
Rozhodujúcimi údajmi po stránke kvalitatívnej (osobné údaje, údaje o pobyte, údaje
o vzťahoch k blízkym osobám, administratívne údaje) aj kvantitatívnej – 42 zo 49 položiek
uvádzaných v zákone sú vstupy z obcí, 5 (fakultatívnych) položiek sú rozhodnutia súdov
zaznamenávané tiež cestou obcí a iba 2 položky sa týkajú osobných dokladov, ktorých
vydávanie majú podľa platných zákonov zabezpečovať Obvodné úrady, ale do registra
vstupuje jedna (číslo pasu) on line z Národného personalizačného centra a druhá (číslo starého
občianskeho preukazu) z okresného riaditeľstva Policajného zboru.
Technologicky je oblasť vstupov napriek zámerom a projektom z predchádzajúcich
období zabezpečená veľmi slabo. Z obcí, ktorých je v súčasnosti 2891 je na centrálny register
obyvateľov pripojených iba 14 mestských častí v Bratislave.
Postupné etapovité online pripájanie obcí implicitne odstráni väčšinu jestvujúcich chýb
v údajovej základni registra a obmedzí ich vznik. V prvej etape boli pripojené mestské časti
v Bratislave (14), v druhej etape boli pripojené krajské mestá a vybrané mestské časti
v Košiciach (10), v tretej etape sa má pripojiť väčšina miest v ktorých sú pôrodnice (62) a vo
štvrtej etape zostávajúce mestá a mestské časti Košíc (96).
29
2.3. Výstupy z registra
Nový informačný systém registra obyvateľov je budovaný ako centrálny register
s priamymi vstupmi z obcí a na strane výstupov ako informačné služby. Centrálny register má
vybudovaný systém používateľských rolí, ktorý umožňuje poskytovať používateľom z rezortu
vnútra rôzne (hierarchicky usporiadané) prístupové práva. Rozšíriť systém aj na používateľov
mimo rezort, resp. pre kľúčové celoštátne registre si vyžiada dobudovanie a modifikáciu
systémových práv a rolí, rozšírenie bezpečnostných a komunikačných systémov, organizačné
a legislatívne opatrenia. V zákone o registri obyvateľov sú výstupy z registra obyvateľov
formulované len všeobecne, sú ponechané na formulovanie osobitných dohôd medzi
ministerstvom vnútra, ústrednými orgánmi štátnej správy, obcami a vybranými právnickými
osobami. Bol uskutočnený prieskum všeobecne záväzných právnych predpisov, ktoré
oprávňujú subjekty na poskytovanie údajov z registra obyvateľov - okrem zákonov
upravujúcich štátne štatistické zisťovania sa v právnom systéme Slovenskej republiky žiadne
iné nevyskytujú. V krajinách Európskej únie s porovnateľným právnym poriadkom aký má
Slovenská republika (napr. Česká republika) sú väčšinou definované konkrétne položky,
termíny, periodicita a zodpovednosť za prevzaté údaje na konkrétny subjekt priamo zákonom.
3. Postavenie informačného systému registra obyvateľov v informačnom systéme
verejnej správy, ako referenčného registra
Referenčnosť registra obyvateľov ako základného registra informačných systémov
verejnej správy, spočinie v tom, že bude dostupný ako služba orgánom a inštitúciám verejnej
správy, občanom a iným oprávneným právnickým osobám.
Platná legislatíva Slovenskej republiky, stav legislatívy aplikovanej vstupom Slovenskej
republiky do Európskej únie, súčasné aj nové požiadavky rezortov, ale aj nárast legislatívne
oprávnených požiadaviek na údaje o obyvateľoch z iných krajín Európskej únie
a nadnárodných európskych inštitútov (Eurostat) vymedzuje register obyvateľov ako
referenčný register, pre ktorý sú vstupmi údaje o obyvateľoch, ktoré títo poskytujú prakticky
výlučne samospráve (obciam) a ktoré samotné resp. ich agregáty sú prístupné s ohľadom na
ochranu osobných údajov prakticky každému.
Riešenie „referenčnosti“ registra na „vládnej úrovni“, rezortom vnútra bola v rokoch
2003-2005 ovplyvňovaná riešením (čiastočným rozpracovaním) týchto úloh (aj
s medzirezortným charakterom) :
Návrh legislatívneho zámeru zákona o základných registroch verejnej správy
Integrácia kľúčových celoštátnych registrov.
Vytvorenie rozhrania kľúčových registrov na externé systémy.
Vytvorenie systému elektronickej výmeny dát medzi registrami
Definovanie štandardov pre informačné systémy verejnej správy.
Elektronizácia úradných výpisov z matriky.
Ústredný portál verejnej správy – vstupný bod
30
4. Cieľový stav registra
Register obyvateľov Slovenskej republiky má byť masívnym, bezpečným a
spoľahlivým zdrojom údajov odrážajúcich aktuálny právny stav spolu s históriou jednotlivých
údajov:
pre ostatné kľúčové celoštátne registre (government to government - G2G)
pre štátne orgány a orgány samosprávy (government to government - G2G)
pre právnické osoby (government to business - G2B)
pre verejnosť (government to citizens - G2C).
Poskytovanie údajov z registra má byť štrukturované, čo do hierarchie prístupov
k údajom aj k technológii ich poskytovania. Pre úroveň kľúčových celoštátnych registrov má
byť zabezpečená aktívna funkcia registra, to znamená, že zmeny údajov v registri obyvateľov
budú v reálnom čase poskytnuté ostatným kľúčovým celoštátnym registrom.
Obsahovo (dátovo) bude komunikácia registra s ostatnými kľúčovými celoštátnymi
registrami aj s externými systémami, či s portálom verejnej správy a s verejnosťou prakticky
jednosmerná. Okrem tzv. „zdrojových agend“ (údaje z obcí) pre register obyvateľov, niet vo
verejnej správe takých informačných systémov, ktoré by mohli oprávnene zapísať alebo
modifikovať údaj v registri obyvateľov. Ostatné kľúčové celoštátne registre budú však zmeny
registra obyvateľov v príslušnom rozsahu vyžadovať a na ich základe meniť svoje údaje.
4.1. Požiadavky na vstupy
Na centrálny register obyvateľov bude nevyhnutné priamo napojiť takmer tisíc
pracovných staníc z obcí, z ohlasovní pobytu a matričných úradov. Každá obec by si mala
môcť vybrať z viacerých spôsobov pripojenia na centrálny register.
Kvantifikácia pripojenia obcí je vecou (najmä ekonomických) úvah a prepočtov
vychádzajúcich najmä z veľkostnej štruktúry obcí na Slovensku. Pripojenie všetkých obcí,
ktoré majú štatút mesta (až na jeden prípad ide o sídla s počtom obyvateľov vyšším než 1500)
pokryje 56 % obyvateľstva. Ak pripojíme všetky obce s počtom obyvateľov vyšším ako 1000,
ktorých je 945, pokryjeme už 86 % obyvateľstva. Toto číslo takmer korešponduje s počtom
matričných obvodov, ktorých je v súčasnosti 974 a pokrývajú celú Slovenskú republiku.
Zvýšiť percento pokrytia iba o ďalších 10 % by si vyžiadalo pripojiť ďalších 775 obcí (s
počtom obyvateľov od 500 do 999). Tieto prepočty vychádzajú zo štatistík počtov obyvateľov
a z počtov rozhodujúcich matričných udalostí, ktoré navzájom vykazujú vysoký stupeň
korelácie.
31
VEREJNOSŤ
PORTÁL VS
ROZHRANIA REGISTROV NA IS
INTEGRÁCIA KĽÚČ. REGISTROV
G2C
G2C
G2B
G2G
VÝSTUPY
KĽÚČOVÉ CELOŠTÁTNE
REGISTRE
Obchodný, Živnostenský,
Ostatných ekonomických subjektov,
Územných jednotiek,
Kataster nehnuteľností
REGISTER
OBYVATEĽOV
VSTUPY
Z obcí:
Matričná agenda:
narodenie, sobáš, úmrtie
matričné udalosti zo zahraničia
Agenda hlásenia pobytu:
prihlásenie k pobytu, odhlásenie
Metadáta:
ulice a čísla stavieb, identifikácia byt. priestorov
Zo súdov (cez obce, ObÚ):
rozvod, spôsobilosť, zákaz pobytu
Z MV SR, z ObÚ
štátne občianstvo
Z Národ. personifikač. centra:
čísla pasov, obč. preukazov
Z Úradu hranič. a cudzin. polície:
údaje o cudzincoch
4.2. Požiadavky na výstupy
V súčasnosti platná legislatíva umožňuje poskytovať údaje z registra štátnym orgánom,
obciam a iným právnickým osobám, ktoré plnia úlohy štátu alebo vykonávajú zdravotné
poistenie a nemocenské poistenie a dôchodkové zabezpečenie, alebo plnia úlohy štátu na
úseku zamestnanosti.
Register obyvateľov nie je a z pochopiteľných dôvodov ani nemá byť voľne prístupným
registrom. Poskytovanie údajov z registra bude riešené rôznymi stupňami prístupových práv
definovaných pre jednotlivé subjekty, alebo pre skupiny subjektov. Základom riešenia
problému výstupov z registra sú odpovede na otázky čo (ktorý údaj, skupina údajov,
agregácia údajov), komu (fyzická osoba, právnická osoba, trieda fyzických či právnických
osôb, úrad štátnej správy, úrad samosprávy a pod.) a kedy poskytnúť. Úlohou registra bude
poskytovať aj ďalšie funkcie, napríklad obsah (časť obsahu) celoštátnych číselníkov. Bude
nutné vybudovať správu metadát a zabezpečiť archiváciu, zálohovanie a využívanie
archivovaných údajov. Čítanie údajov z registra bude umožnené nepretržite v ktoromkoľvek
čase napríklad orgánom polície, bez väčších obmedzení budú poskytované
súdom, prokuratúre a štátnym orgánom, ktoré ich potrebujú pre svoju činnosť zo zákona.
Týka sa to aj obcí, najmä v oblasti matričných agend a v oblasti hlásenia pobytu občanov. Bez
32
relevantných a aktuálnych údajov je výkon týchto agend prakticky nemožný. Register je
a bude dobrým administratívnym zdrojom údajov pre účely demografie a štatistiky.
Súčasne s legislatívou alebo následne po jej prijatí je vhodné určiť a realizovať spôsob
(techniku a technológiu) poskytovania údajov.
Príspevok musí obsahovať zoznam použitej literatúry. Vzor bibliografického odkazu na
knižnú publikáciu, aj článok sú uvedené v tejto šablóne. Na záver prosíme o uvedenie mena
autora a adresy vrátane elektronickej podľa uvedeného vzoru. Prosíme autorov o dodržiavanie
pokynov na úpravu príspevkov. V prípade nedodržania pokynov na úpravu príspevkov si
vydavateľ vyhradzuje právo neuverejniť takýto príspevok.
4.3. Požiadavky na dobudovanie okolia informačného systému registra
Okolie budúceho registra obyvateľov sa bude pre rok 2008 s výhľadom do roku 2010
projekčne a výhľadovo riešiť najmä projektmi pre tieto oblasti :
Integrácia kľúčových celoštátnych registrov
Integrácia obsahu registrov a osobných dokladov
Centrálny register adries
Register obcí a ich častí
Register inštitúcií verejnej správy
Elektronizácia úradných výpisov z matriky
Prepojenie „negrafických“ databáz verejnej správy na geografické informačné systémy
Administratívne zdroje pre Štatistický úrad Slovenskej republiky
Poskytnutie vlastných „svojich“ údajov občanovi (o ňom samom), pre verifikáciu, ako
je napríklad v súčasnosti osvedčenie o rodnom čísle a poskytnutie výpisu celej vety
o občanovi do legislatívy.
5. Literatúra
Aktualizácia koncepcie registra obyvateľov v prostredí e-Government MV SR december 2005.
Národná stratégia trvalo udržateľného rozvoja – schválená uznesením vlády SR č. 978/2001 a Akčný
plán trvalo udržateľného rozvoja v SR na roky 2005-2010 –uznesenie vlády SR č. 574/2005.
Stratégia rozvoja konkurencieschopnosti Slovenska do roku 2010 – uznesenie vlády SR č. 140/2005.
Stratégia konkurencieschopnosti Slovenskej republiky do roku 2010 - Akčné plány – uznesenie vlády
SR č. 557/2005.
Národný strategický referenčný rámec Slovenskej republiky na roky 2007-2013 – uznesenie vlády SR
č. 457/2006.
Adresa autora:
Anton Dubčák Ing.
Holíčska 8
851 05 Bratislava
[email protected]
33
Vybrané jednofaktorové modely krátkodobej úrokovej sadzby
Rudolf Gavliak 1 – Vladimír Úradníček 2
Abstract:
The paper deals with the selected approaches to short-term interest rate (short rate) models.
We focused in the paper to one-factor equilibrium models, where the interest rate process
involves only one source of uncertainty. According to this model all interest rates move the
same direction over short-time interval, but not all move by the same amount. So the short
rate depends on the value of maturity. We simulate the short rate path by the discrete version
of one-factor Cox, Ingersoll and Ross model and by one-factor Hull-White no arbitrage model
and finally compare the results.
Key words: short rate models, one-factor equilibrium models, the CIR model, no-arbitrage
models, Hull and White Model.
1. Úvod
Príspevok sa zaoberá vybranými modelmi krátkodobej úrokovej sadzby (short rate
models), ktoré sú na trhu úrokových sadzieb veľmi populárne. Časová štruktúra úrokových
sadzieb (term structure) charakterizuje priebeh závislosti výnosu default-free cenného
papieru. Medzi tradičné prístupy modelovania časovej štruktúry patria tzv. jednofaktorové
modely – napr. Merton, Vasicek, Dothan, Cox-Ingersoll-Ross (CIR), Ho-Lee, Hull-White,
Black-Karasinsky a viacfaktorové modely – napr. modifikovaný Cox-Ingersoll-Ross,
Longstaff – Schwartz a i. Simuláciu vývoja úrokových sadzieb ilustrujeme v tomto
príspevku pomocou diskrétnej verzie CIR jednofaktorového rovnovážneho modelu a HullWhiteovho jednofaktorového bezarbitrážneho modelu.
2. Teoretické východiská
V prípade úrokových sadzieb môžeme v dlhších časových úsekoch pozorovať tendenciu
návratu k dlhodobým rovnovážnym sadzbám – ide o tzv. reverzné procesy (mean
reverting). V týchto modeloch je spravidla zastúpený parameter pre dlhodobú rovnováhu
a parameter pre rýchlosť približovania úrokových sadzieb k dlhodobej rovnováhe.
Vo všeobecnosti patria uvedené procesy do všeobecnej kategórie Itôovho procesu a teda
obsahujú aj Wienerov proces (bližšie pozri [5]).
Brownov pohyb { X ( t ) , t ≥ 0} je t- parametrický systém náhodných premenných, pričom
i) všetky prírastky X(t + ∆) – X(t) majú normálne rozdelenie so strednou hodnotou µ∆ a
disperziou σ2∆,
ii) pre každé delenie 0 < t1 < t2 < t3 < ... < tn sú prírastky X(t2) – X(t1), X(t3) – X(t2), ....
X(tn) – X(tn-1) nezávislé náhodné premenné s parametrami podľa bodu i),
iii) X(0) = 0 a vzorky ciest X(t) sú spojité v premennej t ≥ 0.
Brownov pohyb s parametrami – strednou hodnotou µ = 0 a disperziou σ2 = 1 nazývame
Wienerov proces.
Z uvedeného všeobecného definovania Brownovho procesu vyplýva, že ak {w ( t ) , t ≥ 0} je
Wienerov proces, tak pre jeho štatistické parametre strednej hodnoty a disperzie platí:
E [ w(t ) ] = 0 a D [ w(t ) ] = t .
1
2
Rudolf Gavliak – Katedra kvantitatívnych metód a informatiky, Ekonomická fakulta, UMB, Banská Bystrica
Vladimír Úradníček – Katedra kvantitatívnych metód a informatiky, EF, UMB, Banská Bystrica
34
Okrem toho sa dá ukázať, že pre distribučnú funkciu rozdelenia pravdepodobnosti
Wienerovho procesu platí:
x
2
1
P( w(t ) < x) = ∫ e −ξ / 2t dξ .
2π t −∞
Na základe definície Wienerovho procesu sú jeho prírastky dw(t) navzájom nekorelované
a pre ich základné charakteristiky platí:
E [ dw(t ) ] = 0 a D [ dw(t ) ] = dt . Prírastky dw môžeme zapísať v tvare:
dw = Z dt ,
kde Z je náhodná premenná s N(0,1)- rozdelením.
Brownov pohyb
{ X ( t ) , t ≥ 0} s parametrami µ
a σ môžeme analyzovať aj z hľadiska jeho
prírastkov dX(t) = X(t + dt) – X(t). Pre ich strednú hodnotu a rozptyl musí podľa i) platiť:
t ) ] σ=
dt σ D [ dw(t ) ] . To znamená, že Brownov pohyb môžeme
E [ dX (t ) ] = µ dt a D [ dX (=
charakterizovať jeho deterministickou a fluktuačnou zložkou a prírastky dX(t) písať v tvare:
dX =
(t ) µ dt + σ dw(t ) ,
kde
{w ( t ) , t ≥ 0}
(1)
je Wienerov proces. Vzťah (1) nazývame stochastická diferenciálna
rovnica.
Ak { X ( t ) , t ≥ 0} je Brownov pohyb s parametrami µ a σ a y0 ∈  , tak systém náhodných
premenných {Y ( t ) , t ≥ 0}
=
Y (t ) y0 e X (t ) , t ≥ 0
nazývame geometrický Brownov pohyb.
Geometrický Brownov pohyb je opäť Markovov proces a na základe znalosti rozdelenia
pravdepodobnosti Wienerovho procesu sa dajú odvodiť jeho základné štatistické parametre
E [Y (t ) ] = y0 e
µt +
σ 2t
, D [Y (t ) ] y02 e 2 µ t +σ t (eσ t − 1) . Bližšie pozri [4].
=
2
2
2
Nami analyzované jednofaktorové modely úrokových sadzieb môžeme formálne zapísať
v tvare:
rt = rt-1 + drt ,
kde
rt je úroková sadzba v čase t;
Jednofaktorové modely
Jednofaktorové modely vychádzajú z predpokladu, že časová štruktúra úrokovej sadzby je
určená len jedným faktorom, ktorým je krátkodobá úroková miera rt, pričom proces rt
krátkodobej úrokovej sadzby sa v rizikovo neutrálnom svete riadi stochastickou
diferenciálnou rovnicou:
μt a σ t sú FtW - adaptované procesy.
V nami analyzovaných modeloch budeme predpokladať, že rt je Markovovský proces
(nezávisí od minulosti, len od súčasného stavu) s deterministickou zložkou (driftom)
μ ( rt ,t ) a volatilitou σ ( rt ,t ) :
35
drt = μ (rt ,t )dt + σ (rt ,t )dW t ,
(2)
kde
μ ( x,t ) a σ ( x,t ) sú deterministické funkcie.
Vzťah (2) môžeme zjednodušene zapísať v tvare:
(3)
drt = m ( r ) dt + s ( r ) dWt ,
ktorý využijeme pri formalizácii používaných modelov.
Potom vývoj úrokovej sadzby rt môžeme modelovať podľa všeobecného vzťahu:
(4)
rt = rt-1 + drt .
Jednofaktorové rovnovážne modely
1. Mertonov model (1973)
m(r) = μrt a s ( r ) σ= ,
(5)
kde µ je stredná hodnota výnosu úrokových sadzieb, σ je smerodajná odchýlka výnosu
úrokových sadzieb. Vychádza z predpokladu, že úroková sadzba sa riadi normálnym
rozdelením, čo vyvoláva problém s možnosťou výskytu záporných hodnôt.
2. Vasickov model (1977)
m(r) = a ( b - rt ) a s ( r ) σ= ,
(6)
ktorý predpokladá, že okamžitá úroková sadzba sleduje Ornstein-Uhlenbeckov proces
s konštantnými koeficientami. Vasickov model tak rešpektuje empiricky zistenú
vlastnosť návratu úrokových sadzieb k dlhodobej rovnováhe – reprezentovanú
parametrom b, pričom parameter a charakterizuje rýchlosť približovania k dlhodobej
rovnováhe. Rovnako ako Mertonov model, aj tento Vasickov model nezabraňuje
možnosti záporných hodnôt úrokovej sadzby. Neskôr skonštruoval Vasicek svoj tzv.
exponenciálny Vasickov model, ktorého základný predpoklad bol, že logaritmus
okamžitej úrokovej sadzby sleduje Ornstein-Uhlenbeckov proces s kladnými
konštantami a a b.
Problém možnosti „vymodelovania“ záporných hodnôt úrokových sadzieb podmienil
vznik Dothanovho modelu.
3. Dothanov model (1978)
= t.
(7)
m(r) = μrt a s ( r ) σr
Dothanov model je podobný štandardnému modelu Brownovho geometrického pohybu.
Ide o lognormálny model pre úrokovú sadzbu, v ktorom úroková sadzba sleduje
Brownov pohyb s konštantným driftom. Výsledkom je lognormálne rozdelenie
budúcich krátkodobých úrokových sadzieb, ktoré je na reálnych dátach často nereálne
(bližšie pozri [5]). Určitou modifikáciou tohto modelu bol neskôr Rendleman –
Bartterov model (1980).
4. Cox-Ingersoll-Rossov model (CIR model) (1985)
(8)
m(r) = a ( b - rt ) a s ( r ) σ= r t .
Tento model sleduje mean-reverting proces s časovo konštantnými koeficientami,
v ktorom okamžitá úroková sadzba nenadobúda záporné hodnoty (bližšie pozri [2]).
36
Jednofaktorové bezarbitrážne modely
Príkladom bezarbitrážnych jednofaktorových modelov sú:
1. Model Ho-Leea (1986)
drt =θ (t )dt + σdW t ,
(9)
kde funkcia
(10)
θ ( t ) = Ft ( 0,t ) + σ 2t
má za úlohu zabezpečiť, aby výsledná krivka budúcich výnosov zodpovedala bežnej
časovej štruktúre úrokových sadzieb bezkupónových dlhopisov, t.j. aby dobre fitovala
počiatočnú časovú štruktúru (bližšie pozri [2]).
2. Model Hull-Whita (HW model) (1990)
drt =θ t ( -)a t ( r) t dt + σ t ( dW
) t.
(11)
Ide o rozšírenie CIR modelu a Vasickovho modelu, pričom závislosť parametrov
modelu od času (treba poznamenať, že nie všetky parametre musia byť nutne od času
závislé) umožní zhodu so súčasnou časovou štruktúrou.
3. Simulácia vývoja úrokových sadzieb pomocou CIR a HW modelu
V nasledujúcej časti uskutočníme simuláciu náhodného vývoja krátkodobej úrokovej
sadzby pomocou dvoch reverzných procesov. Z množiny jednofaktorových rovnovážnych
modelov bol zvolený CIR – model a jednofaktorové bezarbitrážne modely zastupuje model
Hull-Whita.Výsledok simulácie je znázornený na Obrázku 1. Na vygenerovanie náhodných
čísel z N(0,1) rozdelenia sme použili softvérový produkt SPSS. Ďalej sme pri simuláciách
využili MS Excel.
Modely úrokových sadzieb - simulácia
12.00%
10.00%
8.00%
HW
6.00%
CIR
4.00%
2.00%
0.00%
0
10
20
30
40
Obrázok 1 – HW a CIR model simulácie vývoja úrokových sadzieb
37
4. Záver
Z Obrázku 1 vyplýva, že úrokové sadzby sa u oboch použitých modeloch približujú
k dlhodobej rovnováhe vo výške 5 – 6 %.
V súčasnosti sú jednofaktorové modely vystavené relatívne silnej kritike. Vytýka sa im
skutočnosť, že predpoklad perfektnej korelovanosti výnosov dlhopisov s ich maturitami je
vlastnosťou nekonzistentnou s realitou, ako aj fakt, že jednofaktorové modely nedokážu
dokonale postihnúť meniaci sa tvar krivky časovej štruktúry úrokových sadzieb. Napriek
tomu patrí skúmanie jednofaktorových modelov (aj s ohľadom na relatívne jednoduchú
formu) medzi vhodné východiská pre ďalšie skúmanie viacfaktorových modelov časovej
štruktúry, ktoré aj naším ďalším objektom záujmu v blízkej budúcnosti.
5. Literatúra
[1] Brigo, D. – Mercurio, F. 2001. On deterministic-shift extensions of short-rate models.
25 s.
[2] Čintalová, Z. 2007. Spriemerňovanie časových štruktúr výnosových kriviek a ich
kalibrácia. Diplomová práca. Bratislava : FMFI, 2007. 43 s.
[3] Hull, J. 2004. Options, futures et autres actifs dérivés. Paris : Pearson Education
France. 5e édition. 2004. 806 s. ISBN 2-7440-7018-1.
[4] Melicherčík, I. – Olšarová, L. – Úradníček, V. 2005. Kapitoly z finančnej matematiky.
Bratislava : Epos, 2005. 242 s. ISBN 80-8057-651-3.
[5] Zmeškal, Z. a kol. 2004. Finanční modely. Praha : Ekopress, s.r.o., 2004. 236 s.
ISBN 80-86119-87-4.
www.damianobrigo.it/detshiftrep.pdf. [dostupné na internete 03.09.2007],
Príspevok vznikol v rámci riešenia vedeckého projektu č. 1/4634/07 financovaného grantovou
agentúrou VEGA – Variantné metódy predikovania finančného vývoja malých a stredných
podnikov po zavedení spoločnej európskej meny v Slovenskej republike.
Adresa autorov:
Ing. Rudolf Gavliak
Ekonomická fakulta UMB
Tajovského 10
[email protected]
Ing. Vladimír Úradníček, Ph.D.
Ekonomická fakulta UMB
Tajovského 10
[email protected]
38
ADITÍVNE ROZKLADY PRIDANEJ HODNOTY
Jozef Chajdiak
Abstract: The paper consists analyse of the structure of the added value.
Key words: added value, structure, additive decomposition
Pre ukazovatele typu pridanej hodnoty (PH) platí jednoduchý modelový vzťah:
PH = (MAT + ODP + ON + ZISK) – (MAT) = Q – MAT = ODP + ON + ZISK
kde (MAT + ODP + ON + ZISK) je súčat, ktorý charkterizuje celkový objem produkcie Q
a MAT predstavuje objem medzispotreby. Predstavuje jeden z ukazovateľov efektívnosti
charakterizujúci uroveň efektívnosti vo „verejnom záujme“. Môžeme ho vypočítať dvoma
spôsobmi ako je naznačené vo vyššie uvedenom vzťahu. Klasický spsôob výpočtu
predstavuje zníženie objemu ukazovateľa typu celkovej produkcie o medzispotrebu (MAT).
Druhý spôsob výpočtu predstavuje priamy výpočet ukazovateľa typu pridanej hodnoty ako
súčet položiek odpisov (ODP), osobných nákladov (ON) a zisku (ZISK). Ukazovatele typu
pridanej hodnoty predstavujú len vlastný prínos ekonomického procesu za analyzované
obdobie. V ďalšom opíšeme nasledujúce konkrétne ukazovatele typu pridanej hodnoty:
Pridaná hodnota (PH) – predstavuje jeden z ukazovateľov efektívnosti. Môžeme ho
vypočítať dvoma spôsobmi. Prvý predstavuje priame zistenie jeho hodnoty v r.11 1 Výkazu
ziskov a strát, druhý predstavuje jeho klasický výpočet ako súčet obchodnej marže (r.03)
a výroby (r.04) znížený o výrobnú spotrebu (r.08):
r.11 = r.03 + r.04 – r.08
PH = Obchodná marža + Výroba – Výrobná spotreba
Pridaná hodnoty sa tak prakticky počíta len pre hospodársku činnosť v ekonomickom
procese (obchodná marža (r.03) ako rozdiel tržieb za predaný tovar (r.01) a nákladov na
obstaranie predaného tovaru (r.02) predstavuje vlastný prínos obchodného procesu a rozdiel
výroby (r.04) a výrobnej spotreby (r.08) predstavuje vlastný prínos výrobnej činnosti). Priamy
výpočet a tým aj aditívny rozklad pridanej hodnoty môžeme realizovať podľa schémy:
PH =
ODP
+ ON + (OM +
Zvyr)
+ OSTPH
r.11 = (r.18 + r.20) + r.12 + (r.03 + (r.25 – r.03)) + OSTPH
t.j. súčet odpisov (ODP), osobných nákladov (ON), obchodnej marže (OM), výsledku
hospodárenia z bezprostrednej výrobnej činnosti (Zvyr) a reziduálnej položky OSTPH
(OSTPH = PH – ODP – ON – (OM + Zvyr)).
Oficiálny výpočet pridanej hodnoty v r.11 Výkazu ziskov a strát postihuje objem
pridanej hodnoty neúplne. Výsledok hospodárenia pred zdanením je súčasťou pridanej
hodnoty v celej výške, t. j. aj Výsledok hospodárenia z finančnej činnosti (r.45) a aj Výsledok
hospodárenia z mimoriadnej činnosti (r.50 – r.51). Ďalšou nespochybniteľnou časťou pridanej
1
Symbol r.xx znamená riadok xx Výkazu ziskov a strát verzie 2007.
39
hodnoty sú Nákladové úroky (r.38), ktoré predstavujú odmenu za pôsobenie cudzieho kapitálu
v ekonomickom procese. Autor do pridanej hodnoty radí aj položku Dane a poplatky (r.17).
Špecifické miesto v našej ekonomickej teórii a praxi má Daň z pridanej hodnoty
(DPH). Podľa autora je jednoznačne súčasťou hodnoty (vyjadrenej cenou). Pri plátcoch DPH
sa ale účtujú jednotlivé položky v cene bez DPH a DPH sa účtuje na účte 343 zvlášť
(samostatne). Výstupy účtovníctva sú v cenách bez DPH a Výkaz ziskov a strát je takisto
v cenách bez DPH (pri účtovných jednotkách – plátcoch DPH). Pri plátcoch DPH tak
analyzujeme prakticky o pätinu menšie čísla. Saldo DPH (nákladových a výnosových
položiek) je takisto súčasťou pridanej hodnoty.
Pridaná hodnota 1 – predstavuje rozšírenú verziu pridanej hodnoty na celý
ekonomický proces. Počíta sa priamym výpočtom ako súčet:
+ odpisy (r.18 + r.20)
+ osobné náklady (r.12)
+ dane a poplatky (r. 17)
+ nákladové úroky (r.38 podľa verzie 2007 Výkazu ziskov a strát)
+ výsledok hospodárenie z hospodárskej činnosti (r.25 podľa verzie 2007Výkazu
ziskov a strát)
+ výsledok hospodárenie z finančnej činnosti (r.45 podľa verzie 2007 Výkazu
ziskov a strát)
+ výsledok hospodárenie z mimoriadnej činnosti (mimoriadne výnosy r.50 –
mimoriadne náklady r.51 podľa verzie 2007 Výkazu ziskov a strát)
+ saldo dane z pridanej hodnoty (Daňové priznanie Daň z pridanej
hodnoty: daň celkom (r.13) – odpočítanie dane celkom (r.22))
PH1 = ODP + ON + (DaP + NU + Z + ΔDPH)
Verzia Pridaná hodnota 1 meria prínos celkového ekonomického procesu. K výpočtu sú
potrebné údaje za dva rozličné výkazy.
Nie je problém postaviť sa za tribúnu a hlásať potrebu zvyšovať podiel výroby
v odvetviach s vyššou pridanou hodnotou. Zdá sa však, že je problém povedať čo pridaná
hodnota je.
Literatúra:
Chajdiak, J. 2008: Metódy finančno-ekonomických analýz. Bratislava: Statis (v tlači)
Ficzová, I., Sedláček, J., Úradníček, V. 2002: Finančno-ekonomická analýza podniku – časť I.
Banská Bystrica : OZ Financ, 208 s. ISBN 80-968702-1-1
Kanderová, M. Zhodnotenie vplyvu determinantov kapitálovej štruktúry na vzorke podnikov
SR. In: Ekonomie a management. Liberec : Hospodářska fakulta TU, č. 3/2003.
Adresa autora:
Jozef Chajdiak, Doc., Ing., CSc.
Bratislava
[email protected]
40
Vývoj souhrnného ukazatele nezaměstnanosti v Ústeckém a Libereckém kraji
Karel Hrach 1
Abstract: Composite indicators allow generally to express multidimensional problem with
unique value, which is useful either for simple comparing of distinct regions, or for modelling
the time development. This contribution presents an application of the composite indicator to
the unemployment data in the Czech regions Ústecký kraj and Liberecký kraj through the
years 2002-2007.
Key words: Unemployment, composite indicator, cluster analysis, Liberec region, Ústí nad
Labem region.
1. Úvod
Vývoj nezaměstnanosti je problematika komplexní, dlouhodobě sledovaná a
zpracovávaná. Cílem tohoto příspěvku je předvést možnost aplikace metod, umožňujících
snížení dimenze původních dat, a pomocí výsledného jednoduchého ukazatele porovnat
sledované oblasti, tedy okresy sousedních krajů Ústeckého a Libereckého v časovém rozpětí
let 2002-2007. Použitými metodami jsou shluková analýza a výpočet průměrného ukazatele.
Jako vstupní hodnoty jsou použity čtyři proměnné označené zde jako V1 až V4. Jde o
ukazatele vykazované měsíčně (V1, V2), resp. čtvrtletně (V3, V4) Českým statistickým
úřadem, přičemž V4 bylo poprvé uvedeno pro I. čtvrtletí roku 2002. Data jsou proto
zpracována po čtvrtletích, počínaje právě I. čtvrtletím 2002 a konče aktuálně II. čtvrtletím
2007, celkem tedy 22 období.
Graf 1. Vývoj ukazatelů nezaměstnanosti V1-V4 v okresech dvou krajů ČR po čtvrtletích
1
Karel Hrach, Fakulta sociálně ekonomická Univerzity J.E.Purkyně v Ústí nad Labem
41
V1 ...
V2...
V3...
V4...
Jedná se konkrétně o tyto ukazatele:
míra registrované nezaměstnanosti v procentech;
počet uchazečů o zaměstnání připadajících na jedno volné pracovní místo;
podíl uchazečů o zaměstnání s délkou evidence na úřadu práce nad 6 měsíců;
průměrná délka nezaměstnanosti ve dnech.
Vývoj těchto ukazatelů je pro všech 11 okresů obou krajů a pro průměr za celou ČR
znázorněn na grafu 1. Zkratky popisující jednotlivé okresy jsou tyto:
a) pro okresy Ústeckého kraje
LO... Louny
DC... Děčín
MO... Most
CH... Chomutov
TP... Teplice
LT... Litoměřice
UL... Ústí n.L.
b) pro okresy Libereckého kraje
CL... Česká Lípa
LB... Liberec
JN... Jablonec n.N.
SE... Semily
•
•
•
•
Souhrnně lze při pohledu na graf 1 konstatovat následující:
U ukazatelů V1 a V2 dochází dlouhodobě k poklesu jejich hodnoty. (Počet volných
pracovních míst letos v ČR dokonce dosáhl rekordní hodnoty od počátku sledování
nezaměstnanosti, tj. od roku 1991.)
Podíl V3 dlouhodobě evidovaných uchazečů (s délkou evidence nad 6 měsíců) je ve
sledovaných okresech za sledovaná čtvrtletí víceméně stabilní, ovšem s periodickými
výkyvy.
U ukazatele V4 průměrná délka nezaměstnanosti dochází dlouhodobě k nárůstu, a to ve
všech okresech zhruba s lineárním trendem.
Všechny čtyři okresy Libereckého kraje jsou ve všech čtyřech ukazatelích na úrovni
celorepublikového průměru nebo těsně pod ní, zatímco všechny okresy kraje Ústeckého
jsou (až na řídké výjimky) nad celorepublikovým průměrem, leckdy velmi výrazně
(zejména to platí pro okresy Chomutov, Teplice a především Most).
Před aplikací jak metody shlukové analýzy, tak metody výpočtu průměrného ukazatele
byly všechny čtyři proměnné V1 až V4 pro všech 11 okresů v každém čtvrtletí zvlášť
standardizovány odečtením průměru a následně vydělením směrodatnou odchylkou, takto
transformované veličiny byly označeny popořadě S1 až S4. Je evidentní, že pro hodnoty Si
(i=1,...,4) platí: Kladná (záporná) hodnota Si indikuje fakt, že v daném čtvrtletí byla hodnota
Vi u příslušného okresu nadprůměrná (podprůměrná).
2. Aplikace shlukové analýzy
V každém ze 22 sledovaných čtvtletí zvlášť bylo všech 11 okresů tříděno do dvou
shluků, a to na základě proměnných S1-S4. K výpočtům byl použit modul SW STATISTICA.
Všechny čtyři okresy Libereckého kraje tvořily pokaždé společný shluk, přičemž
většinou se k nim připojil ještě okres Litoměřice (stalo se tak celkem 16-krát). Spolu
s Litoměřickem byl pak (to už spíš výjimečně) zařazen do téhož shluku ještě okres Ústí n.L., a
to jednou pouze sám, dvakrát spolu s okresem Louny a jednou spolu s okresy Louny a Děčín.
Okresy Chomutov, Most a Teplice zůstaly pokaždé ve shluku druhém, jinak řečeno, ve
všech použitých ukazatelích nezaměstnanosti byly trvale nepodobné okresům Liberecka.
42
Uvedené výsledky jsou v souladu se stručnou analýzou provedenou již na základě
jednotlivých vstupních ukazatelů V1-V4, konkrétně v tom smyslu, že všechny čtyři okresy
Libereckého kraje jsou si vzájemně velmi podobné a že naopak nejvzdálenější jsou jim právě
okresy Chomutov, Teplice a zejména Most.
3. Aplikace metody výpočtu průměrného ukazatele
Souhrnný ukazatel lze ze vstupních numerických ukazatelů (charakteristik) určit také
jako jejich průměrnou hodnotu. Problém případně velmi různorodých hodnot na vstupu lze
odstranit tak, že průměrovány budou hodnoty standardizované, v našem případě tedy S1-S4.
Průměr bude určován technikou prostého výpočtu, kdy jednotlivé vstupní ukazatele
mají vlastně stejnou váhu:
S p = (S1+S2+S3+S4)/4,
(1)
nebo metodou váženého výpočtu:
S v = w 1 S1+w 2 S2+w 3 S3+w 4 S4,
(2)
přičemž pro váhy w 1 ,...w 4 musí platit:
w 1 + w 2 + w 3 +w 4 = 1.
(3)
Vzorce (1) až (3) lze samozřejmě zobecnit pro jiný počet vstupních ukazatelů, než jsou čtyři.
Poznamenejme též, že vztah (1) je speciálním případem vztahu (2) při volbě rovnoměrných
vah, tj. při volbě w1=...=w4=1/4. V rámci tohoto příspěvku je aplikována volba vah, někdy
nazývaná „váhy určené samotnými daty“ (viz např. Hrach-Mihola 2006). Je tím míněno to, že
nejvyšší váha je přiřazena ukazateli s nejvyšší hodnotou, atd. V případě čtyř ukazatelů byly
zvoleny hodnoty vah
w 1 =5/14, w 2 =4/14, w 3 =3/14 , w 4 =2/14.
(4)
Tabulky 1 a 2 obsahují výsledné hodnoty ukazatele jakožto prostého průměru dle
vztahu (1). Výpočet byl proveden v MS Excelu. Velmi podobných výsledků (zde proto ani
tabulkově, ani graficky neuváděny) bylo dosaženo i podle vzorce (2) s volbou vah (4). Graf 2
znázorňuje vývoj hodnot z tabulek 1 a 2 v čase.
Tabulka 1. Prostý průměrný ukazatel pro jednotlivé okresy za čtvrtletí let 2002-2004
rok
2002
2003
2004
čtvrtletí
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
DC
0,07 0,16 0,02 -0,01 -0,01 0,04 -0,04 -0,02 0,15 0,22 0,26
CH
0,60 0,83 0,90 0,76 0,70 0,81 0,96 0,69 0,96 0,78 0,82
LT
-0,02 -0,10 -0,09 -0,24 -0,20 -0,03 0,01 0,28 -0,44 -0,22 -0,41
LO
0,49 0,64 0,48 0,43 0,48 0,43 0,31 0,11 0,19 0,26 0,32
MO
1,95 1,73 1,68 1,72 1,71 1,80 1,60 1,61 1,91 2,05 2,01
TP
0,79 0,92 1,14 1,25 1,27 1,10 1,13 0,92 1,05 1,00 1,03
UL
0,46 0,35 0,31 0,34 0,36 0,27 0,40 0,29 0,31 0,19 0,17
CL
-1,23 -1,22 -1,20 -1,17 -1,15 -1,17 -1,16 -1,09 -1,08 -1,10 -1,04
JN
-1,16 -1,24 -1,16 -1,07 -1,12 -1,08 -1,07 -1,01 -1,13 -1,15 -1,11
LB
-0,87 -0,94 -0,90 -0,85 -0,91 -0,95 -0,98 -0,78 -0,85 -0,91 -0,88
SE
-1,08 -1,12 -1,17 -1,17 -1,13 -1,21 -1,17 -1,01 -1,08 -1,12 -1,18
43
IV
0,28
0,47
-0,04
0,22
2,10
0,77
0,00
-0,98
-0,95
-0,82
-1,05
Tabulka 2. Prostý průměrný ukazatel pro jednotlivé okresy za čtvrtletí let 2005-2007
rok
2005
2006
2007
čtvrtletí
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III*
DC
0,32 0,45 0,49 0,46 0,46 0,56 0,56 0,40 0,56 0,68
CH
0,59 0,76 0,93 0,69 0,59 0,69 0,59 0,58 0,45 0,33
LT
0,17 -0,31 -0,37 -0,55 -0,27 -0,37 -0,34 -0,38 -0,30 -0,11
LO
0,09 0,40 0,14 0,13 0,23 0,34 0,27 0,21 0,14 0,13
MO
1,88 1,97 2,05 2,19 2,08 1,92 1,99 2,00 2,01 1,81
TP
0,92 1,03 0,89 0,85 0,90 0,90 0,94 1,06 0,91 0,94
UL
-0,09 -0,03 0,06 0,21 0,25 0,30 0,24 0,24 0,38 0,45
CL
-1,01 -1,07 -1,06 -1,03 -1,19 -1,04 -0,94 -0,99 -0,95 -0,96
JN
-0,98 -1,08 -1,10 -1,03 -1,11 -1,30 -1,21 -1,16 -1,16 -1,25
LB
-0,80 -0,93 -0,88 -0,83 -0,90 -0,97 -0,92 -0,84 -0,88 -0,90
SE
0,32 0,45 0,49 0,46 0,46 0,56 0,56 0,40 0,56 0,68
* dosud nezjišťované období
IV*
Na vývoji souhrnného ukazatele vypočítaného jako průměr standardizovaných
charakteristik S1-S4 je především zajímavé to, že různorodé trendy vstupních charakteristik
V1-V4 se vzájemně vyrušily, takže celkově byla v letech 2002-2007 situace
v nezaměstnanosti v jednotlivých okresech víceméně stabilní, viz graf 2. Výraznější výkyvy
se objevily pouze u okresu Litoměřice, způsobeno je to především velkými výkyvy proměnné
V2 u tohoto okresu. Opět se jako trojice okresů s nejhorší situací jeví okresy Chomutov,
Teplice a především pak Most, dosahující v každém ze 22 sledovaných čtvrtletí zhruba
dvojnásobku průměrné hodnoty (kteréžto odpovídá úroveň 0). A opět se naopak jako okresy
s nejlepší situací jeví všechny čtyři okresy Libereckého kraje.
4. Závěr
Výhodou aplikace shlukové analýzy je to, že původně vícerozměrná charakteristika
každé statistické jednotky je redukována na údaj jednorozměrný a snadno interpretovatelný
(příslušnost do jednoho ze shluků). Za nevýhodu však lze označit to, že výsledný údaj má
pouze kategoriální charakter (v našem případě třídění do dvou shluků pouze binární) a je tak
prakticky nemožné vhodně komentovat jeho časový vývoj.
Graf 2. Průměrný ukazatel nezaměstnanosti v okresech dvou krajů ČR (čtvrtletí 1-22)
44
Naopak u průměrných ukazatelů je výhodou možnost srovnání časového vývoje,
nevýhodou je však jejich obtížná, ne-li nemožná interpretace. Řešením je proto, tak jako
v tomto příspěvku, kombinace obou metod – shlukové analýzy pro snazší interpretaci jejích
výsledků a techniky průměrných souhrnných ukazatelů v případě, kdy potřebujeme zachytit
vývoj sledovaného problému v čase.
Poznámka závěrem: Tento příspěvek volně navazuje na problematiku řešenou v rámci
grantu GAČR 402/04/0263 s názvem „Statistické metody a nezaměstnanost“, jehož výsledky
byly popsány zejména v publikacích autorů Hrach a Šimsová 2005-2006, a dále na
problematiku souhrnných indikátorů z publikací Hrach-Mihola 2006 nebo diplomové práce
Matouš 2007.
5. Literatura
HRACH, K. 2005. Statistické metody a data o nezaměstnanosti. Ústí n.L.: Acta Universitatis
Purkynianae, 2005. 42 s. ISBN: 80-7044-754-0.
HRACH, K. 2005. Výsledky aplikace analýzy přežití na reálná data o nezaměstnanosti. In:
Forum statisticum Slovacum, č. 1, 2005, s. 50-55. ISSN 1336-7420.
HRACH, K. 2006. Analýza přežití pro porovnání nezaměstnanosti v rámci Ústeckého kraje. In:
E+M Ekonomie+Management, č. IX/1, 2006, s.6-12. ISSN: 1212-3609.
HRACH, K.- MIHOLA, J. 2006. Metodické přístupy ke konstrukci souhrnných ukazatelů. In:
Statistika, č. 5, 2006, s. 398-418. ISSN: 0322-788x.
MATOUŠ, J. 2007. Souhrnný indikátor struktury nezaměstnanosti v regionu. Ústí n.L.: FSE
UJEP, 2007. 62 s. Diplomová práce.
ŠIMSOVÁ, J. 2005. Časový vývoj nezaměstnanosti v rámci Ústeckého kraje. Ústí n.L.: Acta
Universitatis Purkynianae, 2005. 49 s. ISBN: 80-7044-753-2.
ŠIMSOVÁ, J. 2005. Analýza časových řad míry nezaměstnanosti dvou regionů Ústeckého
kraje. In: Forum statisticum Slovacum, č. 2, 2005, s. 119-124. ISSN 1336-7420.
ŠIMSOVÁ, J. 2006. Analýza časové řady míry nezaměstnanosti v regionu Teplice. In: E+M
Ekonomie+Management, č. IX/1, 2006, s.13-19. ISSN: 1212-3609.
Adresa autora:
Karel Hrach, RNDr., Ph.D.
Moskevská 54
400 96 Ústí nad Labem
[email protected]
45
Štatistický tolerančný interval – nástroj riadenia kvality
Ivan Janiga1, Ivan Garaj2
Abstract: The paper deals with using statistical tolerance intervals in quality control. There
are presented many examples of their utilization.
Key words: statistical tolerance interval, quality control
1. Úvod
Odhady stredných hodnôt a rozptylov základných súborov alebo parametrov
distribučných funkcií nevyčerpávajú všetky odhady, ktoré sú užitočné v praxi. Napríklad pri
hromadnej výrobe je výrobný proces nastavený. Výrobca potrebuje zistiť medze, v ktorých
kolíše nejaký dôležitý znak kvality výrobku. Odhad strednej hodnoty a rozptylu v tomto
prípade nestačí, ale je potrebné poznať medze, ktoré pokryjú podstatnú časť základného
súboru t. j. „skoro celý“ základný súbor.
Iný podobný príklad je situácia, pri ktorej má výrobca dodávať vopred určitý dohodnutý
podiel (napr. 40 %) svojho výrobku na špeciálny účel. Na tento účel je potrebné udržovať
hodnoty znaku kvality na čo najvyššej úrovni. Aby sa výrobca presvedčil, ako môže uspokojiť
budúce nároky, odhadne medze, ktoré takmer isto pokrývajú 40 % najväščích hodnôt
základného súboru. Tak zistí, o aké hodnoty ide, aby vedel, akú kvality môže ponúknuť na
špeciálny účel.
Stanoviť z náhodného výberu medze, ktoré pokryjú vopred danú časť základného
súboru náhodnej premennej, je úloha stanovenia štatistických tolerančných medzí. V tomto
článku predpokladáme normálne rozdelenie znaku kvality.
2. Štatistické tolerančné medze pre normálny základný súbor
Predpokladajme, že náhodná premenná (meraný znak kvality) X má normálne
rozdelenie so strednou hodnotou µ a rozptylom σ 2 , t. j. X ~ N ( µ , σ 2 ) .
2.1 Stredná hodnota µ a rozptyl σ 2 sú známe
Rozdelenie skúmaného znaku kvality je určené jednoznačne, ak stredná hodnota µ
a rozptyl σ 2 základného súboru s normálnym rozdelením sú známe. V tomto prípade sa dajú
so stopercentnou spoľahlivosťou určiť medze, ktoré pokrývajú podiel p hodnôt základného
súboru:
napravo od x L = µ − u p σ (jednostranný interval),
naľavo od xU = µ + u p σ (jednostranný interval),
medzi x L = µ − u (1+ p ) / 2 σ a xU = µ + u (1+ p ) / 2 σ (dvojstranný interval).
kde u p je p- kvantil normovaného normálneho rozdelenia.
46
V praxi sa však častejšie vyskytujú prípady, keď je jeden z parametrov µ a σ 2 neznámy
(obvykle µ ) alebo obidva parametre sú neznáme. Majme hodnoty náhodného výberu
x1 , x 2 ,  , x n z rozdelenia N ( µ , σ 2 ) . Z nich vypočítame hodnoty odhadov
1
x=
n
s2 =
n
∑ xi
─ parametra µ a
i =1
n
∑
1
( xi − x ) 2 ─ parametra σ 2
n − 1 i =1
(1)
Budeme hľadať intervaly, ktoré so spoľahlivosťou 1 − α pokrývajú aspoň podiel p hodnôt
z rozdelenia N ( µ , σ 2 ) .
2.2 Stredná hodnota µ je neznáma a rozptyl σ 2 je známy
Nech parameter µ je neznámy a parameter σ 2 je známy.
Jednostranný štatistický tolerančný interval pre neznáme µ a známe σ 2 má tvar
(− ∞, x − k1σ] alebo [x + k1σ, ∞ )
(2)
pričom pre tolerančný činiteľ platí
k1 (n; p; 1 − α) = u p +
u1−α
(3)
n
kde u p a u1−α sú kvantily rozdelenia N (0, 1) .
Dvojstranný štatistický tolerančný interval pre neznáme µ a známe σ 2 je interval
[x − k 2 σ, x + k 2 σ]
(4)
v ktorom tolerančný činiteľ k 2 (n; p; 1 − α) je riešením rovnice
u
u




Φ k 2 + 1−α / 2  + Φ k 2 − 1−α / 2  = 1 + p
n 
n 


(5)
2.3 Stredná hodnota µ a rozptyl σ 2 sú neznáme
Nech parametre µ a σ 2 sú neznáme.
Jednostranný štatistický tolerančný interval má tvar
(− ∞, x − k 3 σ] alebo [x + k 3 σ, ∞ )
(6)
pričom exaktný vzťah pre tolerančný činiteľ je
k 3 (n; p; 1 − α) =
(
t1−α n − 1,u p n
)
(7)
n
kde v čitateli je 100(1 − α) % kvantil necentrálneho t-rozdelenia so stupňami voľnosti n − 1
s parametrom necentrality u p n .
47
Dvojstranný štatistický tolerančný interval pre jeden súbor meraní má tvar
[x − k 4 σ, x + k 4 σ]
(8)
Treba vypočítať hodnotu neznámeho tolerančného činiteľa k 4 (n; p; 1 − α) tak, aby príslušný
interval s pravdepodobnosťou 1 − α pokryl aspoň podiel p hodnôt z rozdelenia N ( µ , σ 2 ) . Na
výpočet použijeme exaktný vzťah (12).
Dvojstranné tolerančné intervaly pre viac nezávislých súborov meraní
Majme m náhodných premenných X i s normálnym rozdelením, s rôznymi strednými
hodnotami µ i a rovnakým rozptylom σ 2 t. j. Xi ~ N (µi , σ 2 ) , pričom parametre µ i
(i = 1, 2, ..., m) a spoločný rozptyl σ 2 sú neznáme. Nech ( xi1 , xi 2 , , xin ) sú nezávislé merania
veličiny X i (i = 1, 2, ..., m) . Dostaneme tak m súborov, ktoré obsahujú rovnaký počet n
nezávislých meraní. Budeme hľadať intervaly, ktoré so spoľahlivosťou 1 − α ( 0 < α < 1 )
obsahujú aspoň podiel p ( 0 < p < 1 ) hodnôt z rozdelení N (µi , σ 2 ) . V tomto prípade môžeme
vypočítať m dvojstranných tolerančných intervalov.
(xi. − k sP ,
xi. + k sP )
(9)
kde
xi. =
sP2 =
1
n
n
xij
∑
j
=1
je hodnota odhadu parametra µ i ,
m n
1
∑∑ ( xij − xi. ) 2 je združený odhad spoločného rozptylu σ 2 .
m(n − 1) i =1 j =1
(10)
(11)
Rovnako ako v predchádzajúcom prípade potrebujeme vypočítať hodnotu tolerančného
činiteľa k 4 m (n; p; 1 − α) tak, aby príslušný interval s pravdepodobnosťou 1 − α pokryl aspoň
podiel p hodnôt z rozdelenia N (µi , σ 2 ) .
Výpočet dvojstranných tolerančných činiteľov k 4 (n; p; 1 − α) a k 4 m (n; p; 1 − α)
Vo väčšine štatistických tabuliek sú uvedené hodnoty dvostranného tolerančného činiteľa
vypočítané použitím nejakej aproximačnej metódy. Jednotlivé aproximačné metódy mali
menší alebo väčší význam vtedy, keď výpočtová technika bola iba v začiatočnej fáze. Dnes
už tieto aproximácie nevyhovujú. Preto pri revízii medzinárodnej normy ISO 16269-6: 2005
(Statistical interpretation of data. Part 6: Detarmination of statistical tolerance intervals)
o tolerančných intervaloch sa pristúpilo k výpočtu tolerančných činiteľov k = k (n, ν, p,1 − α )
pomocou exakného vzťahu, ktorý odvodili nezávisle viacerí autory [5], [6], [7], [8], [9].
Exaktné vzťahy majú tvar integrálnej rovnice
n
2π
∞
∫ F ( x, k ) e
−
nx 2
2 dx
−1+α = 0
(12)
−∞
kde
48
∞
F ( x, k ) =
∫2
ν
t2
−1 −
e
t
2
ν
dt
ν R ( x) 2 2 Γ  ν 
 
k2
 2
a R (x) je riešenie rovnice Φ ( x + R) − Φ ( x − R) − p = 0 .
Hodnotu tolerančného činiteľa k = k (n, ν, p,1 − α ) pre rôzne n, ν, p, 1 − α dostaneme ako
výsledok riešenia integrálnej rovnice (12). Pri riešení bolo potrebné použiť numerické
metódy.
sa tolerančné činitele
jedného súboru meraní
x1 , x 2 ,  , x n
k 4 = k 4 (n, ν, p,1 − α ) vypočítajú z rovnice (12) tak, že zvolíme ν = n − 1 . Každej hodnote n
teda zodpovedá jediná hodnota ν .
Keď máme viac nezávislých súborov meraní ( xi1 , xi 2 , , xin ) , kde (i = 1, 2, ..., m) ,
V prípade
tolerančné činitele k 4 m = k 4 m (n, ν, p,1 − α ) sa tiež vypočítajú z rovnice (12) tak, že volíme
ν ≠ n −1 . V tomto prípade každej hodnote n zodpovedajú všetky hodnoty ν , ktoré sú rôzne
od n −1 .
3. Štatistické tabuľky tolerančných činiteľov pre normálny základný súbor
Či už je niektorý z parametrov µ a σ 2 známy alebo nie, v literatúre môžeme nájsť
tabuľky tolerančných činiteľov pre najčastejšie používané hodnoty p , 1 − α a rozsahy
výberov n .
Pre kombinácie parametrov µ neznáme, σ 2 známe a µ neznáme, σ 2 neznáme je
vydaná medzinárodná norma ISO 16269-6: 2005 (Statistical interpretation of data. Part 6:
Detarmination of statistical tolerance intervals), kde sú hodnoty k uvedené na 3 desatinné
miesta pre
p = 0,50 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999,
1 − α = 0,5 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999 a
n = 2 (1)20(2)30(5)50(10)100(50)300(100)500. 1000, ∞
V štatistických tabuľkách, ktoré publikoval Odeh [8] sú činitele k vypočítané na 3
desatinné miesta v prípade
dvojstranných štatistických tolerančných medzí pre
p = 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999,
1 − α = 0,5 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995 a
n = 2(1)100(2)180(5)300(10)400(25)650(50)1000; 1500; 2000; 3000; 5000; 10000, ∞,
jednostranných štatistických tolerančných medzí pre
p = 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,999; 0,9999,
1 − α = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,10; 0,25; 0,50; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995 a
n = 2(1)100(2)180(5)300(10)400(25)650(50) 1000; 1500; 2000; 3000; 5000; 10000,
∞.
49
Likeš [23] v štatistických tabuľkách uvádza hodnoty tolerančných činiteľov k na 4
desatinné miesta v prípade
jednostranných štatistických tolerančných medzí, keď µ a σ 2 sú neznáme, pre
p = 0,50 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999,
1 − α = 0,5 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999 a
n = 2 (1)20(2)30(5)50(10)100(50)300.
dvojstranných štatistických tolerančných medzí, keď µ a σ 2 sú neznáme resp. µ je neznáme
a σ 2 známe, pre rovnaké hodnoty p , 1 − α ako pri jednostranných medziach a pre
n = 2 (1)20(2)30(5)50(10)100(50)300(50)500(100)1000.
Garaj a Janiga uvádzajú v publikáciách [10], [11], [12] hodnoty tolerančných činiteľov
k na 4 desatinné miesta iba pre prípad µ a σ 2 sú neznáme.
Pre jednostranné štatistické tolerančné medze [12]
p = 0,525; 0,55(0,05) 0,70; 0,725; 0,75(0,05) 0,90; 0,91(0,01) 0,97; 0,975; 0,98; 0,99;
0,991(0,001) 0,999; 0,9999,
1 − α = 0,001; 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,10; 0,25; 0,50; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99;
0,995; 0,999; 0,9999,
n = 2(1)200(5)300(10) 400(25) 1000; 1500; 2000(1000) 5000; 10000.
V poslednom riadku (∞) sú hodnoty kvantilov u p normovaného normálneho rozdelenia.
Pre dvostranné štatistické tolerančné medze rozdelenia jedného súboru [10]
p = 0,50(0,05) 0,90; 0,91(0,01) 0,99; 0,991(0,001) 0,999, 0,9991(0,0001) 0,9999
1 − α = 0,50; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999,
n = n = 2(1) 200; 220(20) 500; 550(50) 1000; 1500(500) 10000; 20000(10000)
100000.
1+ p
normovaného normálneho
V poslednom riadku (∞) sú hodnoty kvantilov rádu
2
rozdelenia.
Špeciálny prípad tvoria štatistické tolerančné medze rozdelení viacej súborov, ktoré majú
spoločný rozptyl [12]. Tabuľky 1 až 25 z tabuľkovej časti obsahujú hodnoty tolerančných
činiteľov k s presnosťou na štyri desatinné miesta pre všetky kombinácie koeficientov
spoľahlivosti 1 − α = 0,90; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999 s hodnotami p = 0,90; 0,95; 0,99; 0,995;
0,999. V každej z tabuliek 1 až 25 sú hodnoty k vypočítané pre
n = 2(1) 40; 45(5) 100; 200(100) 1000; 5000; 10000, ∞
ν = 1(1) 60(5) 100(100) 1000; 5000; 10000, ∞.
V poslednom riadku ∞)
( boli hodnoty tolerančných činiteľov k vypočítané pre n = 10 6 a
v poslednom stĺpci (∞) pre ν = 10 6.
5 Príklady
Dáta pre príklady 1 až 4
Merali sa zaťaženia bavlnenej priadze pri pretrhnutí. Počet pozorovaní n = 12 , ktorý v týchto
príkladoch uvažujeme, je podstatne nižší než odporúčaný počet podľa normy ISO 2602.
Číselné údaje a výpočty v rôznych príkladoch sa uvádzajú v centinewtonoch. Namerané
hodnoty sú:
50
228,6 232,7 238,8 317,2 315,8 275,1 222,2 236,7 224,7 251,2 210,4 270,7
Tieto merania sa získali z dávky 12 000 cievok, vyrobených počas jednej výrobnej zmeny,
zabalených v 120 škatuliach, v každej z nich bolo 100 cievok. Z dávky sa náhodne vybralo 12
škatúľ a z každej z týchto škatúľ sa náhodne vybrala jedna cievka. Z priadze na týchto
cievkach sa odstrihli skúšobné kusy s dĺžkou 50 cm, pričom boli vo vzdialenosti približne 5 m
od voľného konca. Samotné testy sa vykonali na stredných častiach týchto skúšobných
kúskov. Predchádzajúce informácie oprávňujú k predpokladu, že zaťaženie pri pretrhnutí má
v týchto podmienkach prakticky normálne rozdelenie. W-kritériom [26] bolo potvrdené, že
údaje neodporujú predpokladu o normálnom rozdelení. Z nameraných dát sme získali tieto
výsledky:
x = 3024,1 / 12 = 252,01
n∑ x 2 − (∑ x )
2
s=
n(n − 1)
=
166772,27
= 1263,4263 = 35,545
12 × 11
Príklad 1: Jednostranný štatistický tolerančný interval, známy rozptyl
Predpokladajme, že predchádzajúce merania preukázali, že rozptyl medzi jednotlivými
dávkami od toho istého dodávateľa je konštantný a reprezentuje ho smerodajná odchýlka
σ = 33,150 , pričom stredná hodnota nie je známa. Požaduje sa, aby dolná medza x L bola taká,
že pri úrovni spoľahlivosti 1 − α = 0,95 (95 %) sa dá zaistiť, že najmenej 0,95 (95%) zaťažení
pri roztrhnutí jednotiek z dávky (meraných za rovnakých podmienok) bude nad hodnotou x L .
V norme ISO 16269-6 nájdeme hodnotu príslušného tolerančného činiteľa
k1 (12; 0,95; 0,95) = 2,120
odkiaľ
x L = x − k1 (n; p; 1 − α) × σ = 252,01 − 2,120 × 33,150 = 181,732
Ak by sa požadoval väčší podiel základného súboru (napríklad p = 0,99 ) a (alebo) vyššia
úroveň spoľahlivosti (napríklad 1 − α = 0,99 ), získala by sa nižšia hodnota dolnej medze x L .
Príklad 2: Dvojstranný štatistický tolerančný interval, známy rozptyl
Za tých istých podmienok ako v príklade 1 predpokladajme, že sa požadujú také medze x L a
xU , že pri úrovni spoľahlivosti 1 − α = 0,95 sa dá zaistiť, že aspoň podiel p = 0,90 (90 %)
namáhania pri roztrhnutí padne medzi x L a xU .
k 2 (12; 0,90; 0,95) = 1,889 (v Likeš-Laga je k 2 (12; 0,90; 0,95) = 1,8886 )
odkiaľ
x L = x − k 2 (n; p; 1 − α) × σ = 252,01 − 1,889 × 33,150 = 189,390
xU = x + k 2 (n; p; 1 − α) × σ = 252,01 + 1,889 × 33,150 = 314,630
51
Porovnaním s príkladom 1 by malo byť jasné, že zaistenie toho, aby aspoň 90% základného
súboru ležalo medzi medzami x L a xU , nie je to isté ako zaistenie, že nie viac ako 5% leží za
každou z medzí.
Príklad 3: Jednostranný štatistický tolerančný interval, neznámy rozptyl
Tu sa predpokladá, že smerodajná odchýlka základného súboru nie je známa a treba ju
odhadnúť z výberu. Predpokladajú sa také isté požiadavky ako v príklade so známou
smerodajnou odchýlkou (Príklad 1), teda p = 0,95 a 1 − α = 0,95 .
k 3 (12; 0,95; 0,95) = 2,737 (v Likeš-Laga aj v Garaj-Janiga je k 3 (12; 0,95; 0,95) = 2,7364 )
odkiaľ
x L = x − k 3 (n; p; 1 − α) × s = 252,01 − 2,737 × 35,545 = 154,723
Príklad 4: Dvojstranný štatistický tolerančný interval, neznámy rozptyl
Pri takých istých podmienkach ako v príklade 2 predpokladajme, že treba vypočítať medze
x L a xU tak, aby sa pri úrovni spoľahlivosti 1 − α = 0,95 dalo zaistiť, že v časti dávky, ktorá
sa rovná najmenej p = 0,90 (90 %), bude hodnota zaťaženia pri roztrhnutí medzi x L a xU .
k 4 (12; 0,90; 0,95) = 2,671
(Likeš-Laga: k 4 (12; 0,95; 0,95) = 2,6550 ; Garaj-Janiga: k 4 (12; 0,95; 0,95) = 2,6703 )
odkiaľ
x L = x − k 4 (n; p; 1 − α) × s = 252,01 − 2,671 × 35,545 = 157,069
xU = x + k 4 (n; p; 1 − α) × s = 252,01 + 2,671 × 35,545 = 346,951
Treba si všimnúť, že hodnota x L je menšia a hodnota xU je väčšia ako v príklade 2 (známy
rozptyl), pretože použitie s namiesto σ si vyžaduje väčšiu hodnotu tolerančného činiteľa, aby
sa pripustila dodatočná neistota. Treba platiť určitú daň za to, že nie je známa smerodajná
odchýlka základného súboru σ a rozšírenie štatistického tolerančného intervalu toto berie do
úvahy. Samozrejme, nie je úplne isté, že je správna hodnota σ = 33,150, použitá v príkladoch
1 a 2. Je preto rozumnejšie použiť odhad s spolu s príslušnými hodnotami tolerančných
činiteľov.
Príklad 5. Dvojstranné štatistické tolerančné intervaly, neznámy spoločný rozptyl
Na troch strojoch sa vyrábajú súčiastky rovnakého druhu. Namerané hodnoty meranej
veličiny na 17-tich súčiastkach od každého stroja sú uvedené v nasledovnej tabuľke. Chceme
vypočítať 99 %-ný dvojstranný tolerančný interval pre meranú veličinu na prvom, druhom
a treťom stroji so spoľahlivosťou 1 − α = 0,95 .
W-kritériom [26] bola potvrdená dobrá zhoda s normálnym rozdelením s neznámymi
parametrami µ a σ 2 (pre prvý stroj je P hodnota 0,076, pre druhý 0,870 a pre tretí 0,979).
Bartletovým testom bola zistená homogenita rozptylov ( H 0 : σ 12 = σ 22 = σ 32 nezamietame,
pričom P hodnota je 0,907), preto na odhad spoločného rozptylu môžeme použiť všetkých 52
52
nameraných hodnôt ( s P2 = 2,1498 a s P = 1,4662 ). Stredné hodnoty sú rôzne
( H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 zamietame). Na odhad stredných hodnôt môžeme použiť iba 17 meraní
z produkcie príslušných strojov.
V [11] nájdeme pre n = 17 a ν = 3(17 − 1) = 48 hodnotu k 43 = 3,2077 . Potom 99 %-ný
dvojstranný tolerančný interval so spoľahlivosťou 0,95 je pre
1. stroj:
48,8294 ± 3,2077 ⋅ 2,1498 , t. j. (44,13; 53,53),
2. stroj:
54,0000 ± 3,2077 ⋅ 2,1498 , t. j. (49,30; 58,70),
3. stroj:
59,6706 ± 3,2077 ⋅ 2,1498 , t. j. (54,97; 64,37).
Namerané hodnoty znaku kvality pre tri stroje
i
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1. stroj
2. stroj
3. stroj
50,5
49,9
48,4
46,1
50,1
50,2
49,1
48,1
50,3
46,6
49,2
46,5
48,0
49,1
49,6
49,6
48,8
56,2
57,3
54,5
53,6
51,7
55,5
54,1
53,0
52,1
51,3
54,6
55,1
53,2
53,8
53,9
54,1
54,0
59,0
59,7
58,2
56,7
59,6
60,2
61,5
62,5
61,3
58,5
60,6
61,3
57,7
59,5
59,6
59,5
59,0
17
∑x
830,1000
918,0000
xi .
48,8294
54,0000
59,6706
si2
1,8947
2,3662
2,1885
j =1
ij
1014,4000
Príklad 6 Štatistická prebierka meraním
Pri štatistickej prebierke meraním je obyčajne normou daná dolná tolerančná hranica LSL
(Lower Specification Limit), alebo horná tolerančná hranica USL (Upper Specification
53
Limit). Predpokladáme, že merania kvantitatívneho štatistického znaku kvality ( x1 , x 2 ,  , x n )
sú realizácie normálneho rozdelenia N ( μ, σ 2 ) , kde neznáme parametre μ a σ 2 odhadneme
pomocou vzťahov (1).
V prípade hornej tolerančnej medze USL, dodávku výrobkov prijímame, ak výberovou
kontrolou zistíme, že
x + k s ≤ USL .
V prípade dolnej tolerančnej medze LSL, dodávku výrobkov prijímame, ak výberovou
kontrolou zistíme, že
x − k s ≥ LSL .
V oboch prípadoch je k tabelový jednostranný tolerančný činiteľ. Voľba koeficientu
spoľahlivosti 1 − α závisí od toho, ako je preberací plán výhodný pre výrobcu, ale aj pre
odberateľa.
Odberateľ napríklad zvolí 1 − α = 0,05 a p = 0,90 . Pre n = 10 nájdeme v [12] hodnotu
štatistického tolerančného činiteľa k = 0,7116.
V prípade hornej tolerančnej medze USL dodávku výrobkov
prijímame, ak
x + 0,7116 s ≤ USL
a zamietame, ak
x + 0,7116 s > USL
Ak táto dodávka obsahuje podiel 100 p % = 90 % meraní
pravdepodobnosť, že bude prijatá je 1 − (1 − α ) = 0,95.
V prípade dolnej tolerančnej medze LSL dodávku výrobkov
prijímame, ak
pod
hranicou
USL,
nad
hranicou
LSL,
x − 0,7116 s ≥ LSL
a zamietame, ak
x − 0,7116 s < LSL.
Ak táto dodávka obsahuje podiel 100 p % = 90 %
pravdepodobnosť že bude prijatá je 1 − (1 − α ) = 0,95.
meraní
Príklad 7 (Prebierka dodávky polyesteru 104)
Znak kvality polyesteru 104 je viskozita, meraná v mPa ⋅ s (mili Pascal ּ◌sekunda) pri teplote
25 °C [25]. Požiadavka normy je, aby horná medza viskozity bola USL = 1 000 cP . Polyester
104 sa dodáva konštantným počtom sudov, ktorých obsah predstavuje jednu výrobnú dávku
(operáciu). Výsledky analýz prakticky nie sú zaťažené chybami. Náhodný výber poskytol
n = 10 náhodných meraní:
939 945 947 945 948 941 943 944 946 940
W-kritériom [26] bola potvrdená dobrá zhoda s normálnym rozdelením (P hodnota je 0,7385).
Rovnako ako v príklade 6 zvoľme 1 − α = 0,05 a p = 0,90 .
54
V [12] nájdeme pre n = 10 hodnotu k 3 (10; 0,90; 0,05) = 0,7116. Z nameraných dát
podľa vzťahov (1) vypočítame x = 943,8 a s = 3,0111.
Pretože
x + k s = 943,8 + 0,7116 ⋅ 3,0111 = 945,94 < 1 000
nie je dôvod dodávku polyesteru 104 zamietnuť.
Ak táto dodávka obsahuje podiel 100 p % = 90 % meraní pod hranicou USL = 1 000 cP ,
potom bude prijatá s pravdepodobnosťou 1 − (1 − α) = 1 − 0,05 = 0,95.
Príklad 8 (Jednostranný štatistický tolerančný interval pro polyester 104)
Pre dáta z príkladu 2 treba vypočítať pravostranný tolerančný interval (− ∞, x + k s ) so
spoľahlivosťou 1 − α = 0,90 tak, aby pokryl podiel p = 0,95 hodnôt z rozdelenia N ( μ, σ 2 ) .
V [12] nájdeme pre n = 10 hodnotu k 3 (10; 0,95; 0,90) = 2,5684.
Potom
x + k s = 943,8 + 2,5684 ⋅ 3,0111 = 951,53 ,
t. j. interval
(− ∞, 951,53)
s pravdepodobnosťou 0,90 pokryje aspoň podiel 100 p % = 95 % hodnôt z uvedenej výrobnej
dávky.
Na základe 10 hodnôt z príkladu 2 možno s pravdepodobnosťou 0,90 očakávať, že aspoň
podiel 95 % meraní z dodávky polyesteru 104 bude mať viskozitu menšiu ako
951,53 mPa ⋅ s .
Záver
Ukázali sme si, že štatistické tolerančné intervaly sa dajú použiť v riadení kvality, preto
uvádzame niekoľko významných publikácií publikovaných u nás [27], [28], [29].
Literatúra
[1]
WALD, A., WOLFOWITZ, J. Tolerance Limits for a Normal Distribution, In Annals of
Mathematical Statistics, 1946, vol. 17, p. 208-215.
[2]
OWEN, D.B. Handbook of Statistical Tables. Reading, MA., Addison-Wesley
Publishing Comp., 1962.
[3]
TAGUTI, G. Tables of tolerance coefficients for normal populations. In Reports of
Statistical Application Research, JUSE, 1958, vol. 5, p. 73-118.
[4]
HOWE, W. G. Two-sided tolerance limits for normal populations. In Journal of the
American Statistical Associantion, 1969, vol. 64, p. 610-620.
[5]
JÍLEK, M. Statistické toleranční meze. Praha, SNTL, 1988, 275 s.
55
[6]
EBERHARDT, K.R., MEE, R.W., REEVE, C.P. Computing factors for exact two-sided
tolerance limits for a normal distribution. In Communications in Statistics, 1989, Part B,
vol. 18, p. 397-413.
[7]
FUJINO, T. Exact two-sided tolerance limits for a normal distribution. In Japanese
Journal of Applied Statistics, 1989, vol. 18, p. 29-36.
[8]
ODEH, R.E., OWEN, D.B. Tables for Normal Tolerance Limits, Sampling Plans, and
Screening. New York, Marcel Dekker, 1980. 316 p. ISBN 0-8247-6944-9.
[9]
JANIGA, I., MIKLÓŠ, R. Statistical Tolerance Intervals for a Normal Distribution. In
Measurement Science Review. ISSN 13, 2001, vol. 1, no. 1, p. 29-32.
[10] GARAJ, I., JANIGA I. Dvojstranné tolerančné medze pre neznámu strednú hodnotu
a rozptyl normálneho rozdelenia. Bratislava: Vydavateľstvo STU, 2002. 147 s. ISBN
80-227-1779-7.
[11] GARAJ, I., JANIGA I. Dvojstranné tolerančné medze normálnych rozdelení
s neznámymi strednými hodnotami a s neznámym spoločným rozptylom. Two sided
tolerance limits of normal distributions with uknown means and uknown common
variability. Bratislava,Vydavateľstvo STU, 2004, 218 s. ISBN 80-227-2019-4.
[12] GARAJ, I., JANIGA I. Jednostranné tolerančné medze normálneho rozdelenia
s neznámou strednou hodnotou a rozptylom. Ono sided tolerance limits of normal
distributions
with
uknown
means
and
uknown
common
variability.
Bratislava,Vydavateľstvo STU, 2004, 214 s. ISBN 80-227-2218-9.
[13] JOHNSON, N. L., WELCH, B. L. Applications of the non-central t-distribution. In
Biometrika 1940, Vol. 31, p. 362-389.
[14] HOGBEN, D., PINKHAM, R. S., WILK, B. B. The moments of the non-central tdistributions. In Biometrika 1961, Vol. 48, p. 465-468.
[15] BAGUI, S. C. CRC Handbook of Percentiles of Non-Central t-Distributions. CRC
Press, Boca Raton, Florida, 1993, 400 p. ISBN 0-8493-8669-1.
[16] WOLFRAM, S. The Mathematica Book. 3rd ed. Wolfram Media/Cambridge University
Press, 1996. 1403 p. ISBN 0-521-58889-8.
[17] SAHAI, H., OJEDA, M. M. A comparison of approximations to percentiles of the
noncental t-distribution. In Revista Investigacion Operacional, 2000, Vol. 21, No. 2,
p.121-144.
[18] EEDEN, van C. Some approximations to the percentage points of the non-central
t-distribution. In Revue de l´ Institut International de Statistique 29, 1961, p. 4-31.
[19] WALLIS, W. A. Use of Variables in Acceptance Inspection for Percent Defective.
Selected Techniques of Statistical Analysis (EISENHART, C., HASTAY, M. W.,
WALLIS, W. A. eds.). New York, 1947, McGraw Hill Bokk Company, p. 7-93.
[20] JENNETT, W. T., WELCH, B. L. The control of proportion defective as judged by
a single quality characteristic varying on a continuous scale. In Journal of the Royal
Statistical Society, B 6, 1939, p. 80-88.
[21] CORNISH, E. A., FISHER, R. A. Moments and cumulants in the specification of
distributions. In Revue de l´ Institut International de Statistique, 5, 1937, p. 307-320.
56
[22] AKAHIRA, M. A higher order aproximation to a percentage point of the non-central
t-distribution. In Communications in Statistics, Part B: Simulcition and Computation,
1995, 24(3), p. 595-605.
[23] LIKEŠ, J., LAGA, J. Základní statistické tabulky. Praha, SNTL, 1978, 488 s.
[24] ODEH, R.E., OWEN, D.B. Tables for Normal Tolerance Limits, Sampling Plans, and
Screening. New York, Marcel Dekker, 1980, 316 p. ISBN 0-8247-6944-9.
[25] GARAJ, I. Preberací plán meraním pri daných jednostranných tolerančných medziach.
In Statistika, 10, 1992, s. 431-437.
[26] GARAJ, I. W-kritérium a jeho spracovanie na počítači. In 9. medzinárodný seminár
Výpočtová štatistika. ISBN 80-88946-09-3, SŠDS 2000, s. 30-32.
[27] TEREK, M., HRNČIAROVÁ, Ľ. Štatistické riadenie kvality. Vydavateľstvo IURA
EDITION, 2004, 234 s. ISBN 80-89047-97-1.
[28] TEREK, M., HRNČIAROVÁ, Ľ. Analýza spôsobilosti procesu. Vydavateľstvo
EKONÓM, Ekonomická univerzita v Bratislave, 2001. 205 s. ISBN 80-225-1443-8.
Tento článok vznikol s podporou grantového projektu VEGA
štatistické techniky a rozhodovanie v procese zlepšovania kvality,.
č. 1/1247/04 Progresívne
Doc. RNDr. Ivan Janiga, PhD., Katedra matematiky SjF STU, Nám. slobody 17, 812 31
Bratislava; Katedra aplikovanej matematiky, FPV UCM, Nám. J. Herdu 2, 917 01 Trnava,
e-mail: [email protected]
RNDr. Ivan Garaj, PhD., Ústav informatizácie, automatizácie a matematiky, FCHPT STU,
Radlinského 9, 812 37 Bratislava, tel.: +421-2-59325 297, e-mail: [email protected]
57
Vplyv determinantov kapitálovej štruktúry na zadlženosť slovenských podnikov. 1
Mária Kanderová 2
Abstract: The scope of the following paper is to identify, analyse and to summarise the basic
capital structure determinants influencing the companies indebtness based on actual scientific
theoretical and empirical studies in the conditions of Slovak economy.In the first part various
determinants of capital structure as explained in theory are presented. In the second part we
are testing the influence of these determinants on the debt instrumnets in Slovak corporations.
The study uses technique, which is known as linear structural modeling.
Key words: capital structure, determinant, sort-term debt, long-term debt, latent variables,
proxy variables, linear structural model
1. Úvod
Problematika vplyvu determinantov kapitálovej štruktúry na zadlženie podnikov
predstavuje dlhotrvajúci, neuzatvorený a diskutabilný problém vo finančnej teórii. Empirické
výskumy, ktoré buď dokazujú, alebo vyvracajú jednotlivé teoretické koncepty kapitálovej
štruktúry, boli aplikované predovšetkým na podmienky amerických podnikov, aj keď ich
testovanie sa uskutočnilo aj na skupinách európskych a ázijských podnikov. Cieľom článku je
identifikovať, analyzovať a zhodnotiť základné determinanty
kapitálovej štruktúry
vplývajúce na zadlženosť na základe doterajších vedeckých teoretických a empirických štúdii
v podmienkach slovenskej ekonomiky.
Teoretické a empirické štúdie zaoberajúce sa problematikou finančného rozhodovania
kapitálovej štruktúry predstavujú široké spektrum determinantov vplývajúcich na zadlženie.
Poznanie týchto determinantov, a tým aj nákladov kapitálu, je základným predpokladom
kvalifikovaného finančného rozhodnutia ovplyvňujúceho hodnotu podniku v pozitívnom
smere.
2. Determinanty zadlženia
Na teoretickej a empirickej úrovni boli identifikované desiatky determinantov, ktoré
určujú a poskytujú návod na praktické finančné rozhodovanie, ale otvárajú aj priestor pre
nový výskum. V článku sú prezentované determinanty kapitálovej štruktúry, tak ako sú
vysvetľované v jednotlivých teóriach. Medzi uvedené determinanty patria: podnikateľské
riziko, veľkosť podniku, ziskovosť, štruktúra aktív, nedlhový daňový štít, rastové príležitosti,
jedinečnosť.
Riziko
Pod podnikateľským (hospodárskym, prevádzkovým, operačným) rizikom sa rozumie
neistota a variabilita očakávaných budúcich tokov prevádzkového zisku. Vyplýva
z podnikateľského prostredia podniku a prejavuje sa vo variabilite nákladov, výnosov a zisku.
Vyššie podnikateľské riziko implikuje vyššiu pravdepodobnosť finančných ťažkostí a vyššie
náklady bankrotu. Firmy s vysokým podnikateľským rizikom by mali mať nižšie zadlženie.
1
2
Tento príspevok bol spracovaný v rámci riešenia grantovej úlohy KEGA3/5214/07
Ing. Mária Kanderová, PhD., Ekonomická fakulta, UMB Banská Bystrica
58
Veľkosť podniku
Mnoho autorov tvrdí, že zadlženie môže byť okrem iného ovplyvnené aj veľkosťou
firmy. Zvyčajne sa predpokladá, že väčšie firmy majú tendenciu byť viacej diverzifikované
z čoho vyplýva nižšie nebezpečenstvo bankrotu. Uvedené argumenty vedú k tvrdeniu, že
zadlženie je rastúcou funkciou veľkosti firmy.
Ziskovosť a disponibilný cash flow.
Na základe teoretických a empirických štúdií, nebola dokázaná jednoznačná súvislosť
medzi zadlžením a ziskovosťou. Podľa teórie poradia preferencií firmy, ziskové firmy pasívne
akumulujú zadržaný zisk a stávajú menej zadlženými. Naopak, neziskové firmy akumulujú
dlh, stávajú sa viacej zadlženými. Signalizačná teória chápe zadlženie ako pozitívny signál
k vonkajším investorom. Vysoké zadlženie si môžu dovoliť len vysoko prosperujúce firmy.
Podľa signalizačnej teórie zadlženie je v pozitívnom vzťahu k ziskovosti.
Štruktúra aktív
Veľkosť pôžičky, ktorá môže byť zabezpečená kolaterálom, je funkciou štruktúry
aktív a náklady finančnej tiesne sú podľa všetkého nižšie u zabezpečených pôžičiek.
Neobežné aktíva sú najvýznamnejšou kategóriou, ktorá sa používa ako kolaterál. Dá sa
očakávať, že firmy, ktoré majú aktíva, ktoré môžu byť použité ako kolaterál, budú emitovať
viac dlhu.
Nedlhové daňové štíty
Odpisy (ako odpočítateľná daňová položka ) a investičný daňový úver predstavujú
substitúty daňovej výhody dlhového financovania. Z toho vyplýva, že firmy s vysokým
nedlhovým daňovým štítom v pomere k očakávanému cash flow budú mať nižší podiel dlhu
vo svojej kapitálovej štruktúre.
Rastové príležitosti
Stulz a Jensen poukazujú na to, že dlh znižuje voľný cash flow a tým limituje
množstvo prostriedkov, ktoré sa môžu použiť na projekty s kladnou súčasnou hodnotou.
Tento argument vedie k záveru, že firmy s rastovými príležitosťami by mali mať nižšie
zadlženie. Rastové príležitosti predstavujú kapitálové aktíva, ktoré nemôžu byť použité ako
kolaterál. Z toho dôvodu sa tiež očakáva, že rastové príležitosti budú v negatívnej korelácií so
zadlžením.
Jedinečnosť
Firmám, ktoré sú typické tým, že ich činnosť je zameraná na produkciu jedinečných
výrobkov zodpovedá aj špecifická štruktúra aktív. Špecifickosť aktív neumožňuje, aby boli
použité ako kolaterál pre zabezpečenie dlhu. Tento argument predikuje, že jedinečnosť je
v inverznom vzťahu k zadlženiu.
Odvetvie
Ak uvažujeme o vplyve odvetvia, ktorý bol použitý v empirických štúdiách
o kapitálovej štruktúre, odvetvie sa nepovažuje za determinant, ale za indikátor súčasne pre
niekoľko determinantov. To čo determinuje odvetvovú klasifikáciu nie je klasifikácia
založená na charakteristikách firmy, ale na skutočnosti, že firma operuje na tom istom trhu
tovarov.
Keďže žiadna z týchto premenných sa neukázala ako štatistiky významná takmer vo
všetkých štúdiách, v ďalších analýzach sa nepoužíva.
59
3. Dáta
Do modelu boli zaradené podniky podľa právnej formy podnikania – akciové
spoločnosti. Ďalším faktorom pre zaradenie bol predmet podnikania. Do vzorky boli zaradené
podniky, ktorých hlavným predmetom podnikania je v zmysle platnej Odvetvovej klasifikácie
ekonomických činností priemyselná výroba (kategória D, OKEČ začínajúce dvojčíslom 15 až
37). Väčšina akciových spoločností podniká práve v odvetví priemyselnej výroby a toto
odvetvie je kľúčové pre rozvoj slovenskej ekonomiky.
Údajovú základňu tvorili účtovné závierky firiem za roky 2000-2005. Z týchto firiem
boli vylúčené tie akciové spoločnosti, v ktorých boli k dispozícii údaje za menej ako 4 roky.
Tým sa výber zúžil na 418 firiem.
V modeli boli sledované vyššie uvedené determinanty. V zátvorke je uvedený symbol pre
príslušný determinant odvodený z jeho anglického názvu. Pre determinant veľkosť podniku
boli zvolené dva indikátory: prirodzený logaritmus priemerných celkových tržieb (LnS)
a prirodzený logaritmus priemerných celkových aktív (LnTA). Jedinečnosť podniku bola
charakterizovaná jedným indikátorom- ziskovosťou meranou prevádzkovým ziskom (OI).
Determinant riziko bol zastúpený troma indikátormi: variačný koeficient celkových
tržieb(VKS), podielom priemernej hodnoty neobežných aktív na priemernej hodnote
celkových aktív (FA/TA) a smerodajnou odchýlkou, vypočítanou z podielu priemernej
hodnoty zisku pred zdanením a odpismi na priemernej hodnote celkových aktív (SIGMA).
Štruktúra aktív bola meraná pomocou ukazovateľa podiel priemernej hodnoty nehmotných
aktív na priemernej hodnote celkových aktív (INT/TA) a podielom priemernej hodnoty
hmotných aktív na priemernej hodnote celkových aktív (TNG/TA). Nedlhový daňový štít je
v modeli meraný podielom priemernej výšky odpisov na priemernej hodnote celkových aktív.
Rastové príležitosti sú vyjadrené cez ukazovateľ priemerná percentuálna zmena celkových
aktív (PERCTA) a priemernou hodnotou ročného nárastu zisku pred zdanením a odpismi
(EBIDT). Posledný determinant ziskovosť zastupujú ukazovatele priemerná hodnota
prevádzkového zisku na priemernej hodnote tržieb (OI/S) a ukazovateľom priemerná hodnota
prevádzkového zisku na priemernej hodnote celkových aktív.
Miera zadlženia je v tomto modeli meraná dvoma ukazovateľmi: Účtovná hodnota
krátkodobých záväzkov k účtovnej hodnote vlastného imania (ST/BVE) a účtovná hodnota
dlhodobých záväzkov k účtovnej hodnote vlastného imania (LT/BVE).
Rôzne merné jednotky ukazovateľov sťažujú interpretáciu dosiahnutých výsledkov.
Z tohto dôvodu sú v modeli použité ich štandardizované hodnoty, čím sa odstránil vplyv
merných jednotiek .
V tabuľke 1 sú vyjadrené teoretické hypotézy o determinantoch a ich vzťahu
k zadlženiu. V prvom stĺpci sú zobrazené determinanty zadlženia, v druhom stĺpci ich
indikátory a v poslednom stĺpci očakávaný vplyv determinantov na zadlženie podľa
teoretických hypotéz a dosiahnutých výsledkov empirických štúdií.
Model, ktorý bol v použitý pre meranie vplyvu determinantov na zadlženie pozostáva
z dvoch častí, z meracieho modelu a štrukturálneho modelu. Tieto modely sú odhadované
simultánne.
Merací model umožňuje kvantifikovať nemerateľné premenné – determinanty
(latentné premenné) pomocou merateľných premenných – indikátorov (manifest variable),
v našom prípade cez účtovné dáta.
60
Tabuľka 1. Teoretické hypotézy
Determinant
Indikátory
LnS
Veľkosť
LnTA
Jedinečnost
OI
VKS
Riziko
FA/TA
SIGMA
INT/TA
Štruktúra aktív
NGT/TA
Nedlhový daňový štít
D/TA
PERCTA
EBIDT
OI/S
Ziskovost
OI/TA
Zdroj: vlastné spracovanie
Predpokladaný vzťah k zadlženiu
Pozitívny
Negatívny
Negatívny
Pozitívny
Negatívny
Negatívny
Pozitívny (negatívny)
V štrukturálnom modeli dlhové pomery vypočítané z účtovných dát sú definované
ako funkcie determinantov, ktoré sú definované a kvantifikované v meracom modeli.
Model je odhadovaný pre dve rovnice: účtovná hodnota krátkodobých záväzkov k
účtovnej hodnote vlastného imania (ST/BVE) a účtovná hodnota dohodových záväzkov
k účtovnej hodnote vlastného imania (LT/BVE).
5. Výsledky modelu
Výsledky meracieho modelu potvrdzujú správny výber jednotlivých indikátorov ako
miery príslušných determinantov, o čom svedčia vysoké hodnoty t- štatistiky. Indikátor
precentuálna zmena celkových aktív (%TA) , ktorý meral determinant rastové príležitosti bol
štatisticky nevýznamný.
Výsledkom štrukturálneho modelu sú odhadnuté regresné koeficienty jednotlivých
determinantov, ktoré sú v tabuľke 2. Tieto koeficienty špecifikujú predpokladaný vplyv
determinantov na jednotlivé pomery zadlženia. V modeli nás predovšetkým zaujíma
znamienko príslušného koeficienta a jeho veľkosť vzhľadom k ostatným koeficientom, čo
umožňuje porovnať východiskové teoretické hypotézy s dosiahnutými výsledkami.
Tabuľka 2. Štrukturálny model – odhadnuté regresné koeficienty
ST/BVE
Size
unique
Risk
assets
ndt
Coeficient 0,72
-0,122
-0,312
-0,108
0,25
t-statistic
10,52
-2,74
-4,884
-0,922
3,112
LT/BVE
Size
unique
Coeficient 0,691
-0,134
t-statistic 10,258
-2,932
Zdroj:Vlastné spracovanie
Risk
-0,3626
-4,902
assets
-0,116
-1,493
ndt
0,223
2,846
growth
0,042
0,215
Profitability
0,526
10,12
growth
0,015
0,088
Profitability
0,618
8,236
Znamienko regresného koeficienta pri exogénnej premennej veľkosť (size) je aj pre
krátkodobé zadlženie aj pre dlhodobé zadlženie rovnaké. Kladné znamienko potvrdzuje
hypotézu, že menšie firmy sú zadlžené menej ako väčšie firmy, čo môže byť výsledkom toho,
že malé firmy majú vyššie transakčné náklady spojené s emisiou dlhu ako väčšie firmy.
61
Väčšie podniku majú tendenciu viac diverzifikovať svoju hospodársku činnosť ako menšie
podniky, čím sa v nich znižuje pravdepodobnosť, že sa dostanú do finančných ťažkostí.
Jedinečnosť bola meraná prevádzkovým ziskom. Podľa teórie, jedinečnosť firmy by
mala byť v inverznom vzťahu k zadlženiu. Dosiahnuté výsledky potvrdzujú tento záver,
regresný koeficient má záporné znamienko. V predchádzajúcich empirických štúdiách, na
meranie jedinečnosti boli použité údaje o výdavkoch na vedu a výskum a/alebo náklady na
predaj. Vzhľadom k nedostupnosti údajov o výdavkoch na vedu a výskum a nákladov na
predaj tieto premenné nemohli byť použité na meranie jedinečnosti aj keď sa javia ako
vhodnejšie.
Vplyv rizika na zadlženie sa preukázal ako štatisticky významný. Záporná hodnota
regresného koeficienta implikuje záver, že rizikovejšie firmy, ktoré majú vysokú volatilitu
zisku sú menej zadlžené. Ako už bolo spomenuté, v niektorých empirických štúdiách sa
preukázal negatívny vplyv rizikovosti na zadlženie, v niektorých pozitívny vplyv, čo mohlo
byť spôsobené výberom indikátorov pre tento determinant.
Štruktúra aktív patrí medzi kľúčové determinanty kapitálovej štruktúry s pozitívnym
vplyvom na zadlženie. Záporne znamienko regresného koeficienta však túto hypotézu na
vzorke vybraných slovenských podnikov nepotvrdzuje. Dá sa to zdôvodniť tým, že aj keď
neobežné aktíva slúžia ako kolaterál na zabezpečenie veriteľov proti úverovému riziku,
mnoho položiek neobežných aktív je v prípade potreby veľmi ťažko speňažiť, pretože pre
podnikové aktíva neexistujú efektívne fungujúce sekundárne trhy. Veritelia preto často nie sú
ochotní akceptovať určité aktíva ako kolaterál a kladú omnoho väčší dôraz na likvidné obežné
aktíva podniku.
Kladné znamienko regresného koeficienta pri determinante nedlhový daňový štít sa
nezhoduje s hypotézou, že firmy s vysokým nedlhovým daňovým štítom majú nižší podiel
dlhu vo svojej kapitálovej štruktúre. Výsledok dosiahnutý v tomto modeli môže byť
ovplyvnený tým, že ako indikátory nedlhového daňového štítu nebolo možné použiť
investičný daňový úver a daňový štít z odloženej daňovej povinnosti.
Determinant ziskovosť podľa výsledkov tejto analýzy má na mieru zadlženia pozitívny
efekt – regresný koeficient pri tomto determinante má kladnú hodnotu. Toto tvrdenie nie je
v súlade s teóriou poradia preferencií, podľa ktorej firmy preferujú interné financovanie pred
externým financovaním. Podľa signalizačnej teórie je ziskovosť v pozitívnom vzťahu
k zadlženosti, pretože vysoké zadlženie si môžu dovoliť len vysoko prosperujúce firmy.
Podľa teoretických hypotéz, rastové príležitosti sú v inverznom vzťahu k zadlženiu
firmy. Hodnota regresného koeficienta pri tomto determinante je kladná, ale štatisticky
nevýznamná. Štatistická nevýznamnosť tohto koefcienta implikuje, že determinant rastové
príležitosti málo resp. vôbec neovplyvňuje (v slovenských podnikoch) mieru zadlženosti.
Dosiahnuté výsledky do určitej miery potvrdzujú hypotetické vzťahy medzi
rozhodnutiami o kapitálovej štruktúre a determinantmi, ktoré ju ovplyvňujú resp. ktoré by ju
mali ovplyvňovať (tabuľka 3).
Tabuľka3. Porovnanie hypotetických predpokladov a záverov modelu
Determinant
Teoretický predpoklad
Závery modelu
Veľkosť
Pozitívny
Pozitívny
Jedinečnost
Negatívny
Pozitívny
Riziko
Negatívny
Negatívny
Štruktúra aktív
Pozitívny
Negatívny
nedlhový daňový štít
Negatívny
Pozitívny
Negatívny
Pozitívny
Ziskovost
Pozitívny (negatívny)
Pozitívny
Zdroj: Vlastné spracovanie
62
5. Záver
V podmienkach slovenskej ekonomiky sa nepreukázal zhodný smer pôsobenia
uvažovaných determinantov na zadlženie s teoretickými a empirickými závermi. Tento fakt
je do značnej miery spôsobený podmienkami, v ktorých systém finančného riadenia a
slovenské podniky vôbec pôsobia.
Situácia v získavaní finančných zdrojov v slovenských podnikoch je podstatne
zložitejšia ako vo vyspelom svete. Finančné rozhodovanie v našich podnikoch je ovplyvnené
niekoľkými faktormi. Prvým z nich je, že veľká časť podnikov hospodári so stratou a preto sa
nemôže opierať o kľúčový zdroj financovania – financovanie zo zisku. Druhým faktorom,
stále ešte v rámci interných zdrojov sú podcenené odpisy a to hlavne nízke odpisové sadzby
a dlhá doba odpisovania.
V oblasti externých zdrojov faktorom, ktorý ovplyvňuje finančné rozhodovanie je
problematická dostupnosť bankových úverov, ktoré v našich podmienkach tvoria kľúčový
cudzí externý zdroj financovania. Ďalším faktorom je zle fungujúci kapitálový trh, nedôvera
investorov, ťažká uplatniteľnosť akcií a obligácií. Z toho vyplývajú súčasné problémy
slovenských podnikov s financovaním a s nedostatkom finančných prostriedkov.
6. Literatúra
BREALEY, R.A., MYERS, C.S. 1999. Teórie a praxe firemních financí. Praha : Victoria
Publishing, 1999. ISBN 80-85605-24-4.
DAMODARAN, A. 1997. Corporate Finance. Theory and Practice. New York : John Wiley
and Sons, 1997. ISBN 0-471-07680-5.
MODIGLIANI, F., MILLER, M. 1958. The Cost of Capital, Corporation Finance and
theTheory of Investment. In: American Economic Review, vol. 48, 1958.
MYERS, S.C. 1977. Determinants of Corporate Borrowing. In: Journal of Financial
Economics,vol. 5,1977, s. 147-175.
STULZ, R. 1990. Managerial Discretion and Optimal Financing Policies. In: Journal of
Financial Economics, vol. 26, 1990, s. 3-27.
TITMAN, S., WESSELS, R. 1988. The Determinants of Capital Structure Choice. In: Journal
of Finance, vol. 43, 1988, s. 1-19.
WARNER, J. B. 1977. Bankruptcy Costs; Some Evidence.In: Journal of Finance, vol. 32,
May 1977, s. 337 – 347.
Ing. Mária Kanderová, PhD.
Univerzita Mateja Bela
Fakulta financií
Katedra kvantitatívnych metód
Banská Bystrica
[email protected]
63
Zahraničná migrácia na Slovensku v rokoch 1996 - 2006
Alena Kaščáková, Gabriela Nedelová
Abstract: The level of migration in Slovakia have been changing in the last ten years. The
peper deals with the factors affecting the net migration in Slovakia between 1996
and 2006. The intensive migration between the Czech Republic and Slovakia has
led to constructing migration models and searching for significant factors of
migration.
Key words: migration, net migration, reasons of migration, linear regression
migration factors
model,
1. Úvod
V posledných desaťročiach dochádza k významným zmenám v mobilite obyvateľstva
na celom svete. Súvisí to s globalizáciou, rozvojom dopravných možností, poklesom
vzájomných väzieb medzi občanom a štátom a s prudkým rastom informatizácie. Tým sa
migrácia stáva zložkou pohybu obyvateľstva, ktorý nadobúda stále väčší význam. Zahraničná
migrácia je v súčasnosti prejavom globalizačných procesov, chápaná ako prirodzený proces,
zväčša pozitívny, s ekonomickými, sociálnymi, kultúrnymi, demografickými, politickými
bezpečnostnými, a ďalšími dopadmi.
2. Zahraničná migrácia v SR
V sledovanom období rokov 1996 – 2006 sa zahraničná migrácia vyvíjala v prospech
Slovenska a jej tempo rastu sa postupne zvyšovalo. Do deväťdesiatych rokov bola zahraničná
migrácia pomerne mierna, jej úroveň začala rásť so zapájaním sa Slovenska do geopolitických
štruktúr. Vývoj objemu zahraničného sťahovania v rokoch 1996 -2006 je uvedený
v tabuľke 1.
Tabuľka 1. Vývoj objemu zahraničného sťahovania na Slovensku v rokoch 1996 -2006
(v osobách)
rok
objem
zahraničného
sťahovania
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2699
2875
2798
2690
3085
3034
3723
3797
6046
7149
7324
Zdroj: www.statistics.sk
V závislosti od veľkosti imigrácie a emigrácie sa vyvíjalo aj migračné saldo ako rozdiel
počtu imigrantov a emigrantov (na grafe 1 znázornený plochou medzi hornou a dolnou
krivkou).
64
Graf 1: Veľkosť imigrácie, emigrácie a migračného salda na Slovensku v rokoch 1996 - 2006
Dôvody zahraničnej migrácie sú rôzne. Prevažujú ekonomické dôvody (diferencie
v mzdových úrovniach jednotlivých krajín, teda rozdiely v mzdách medzi Slovenskom
a zahraničím, rozdiely v životnej úrovni, širšia ponuka dostupnej práce, voľný pohyb osôb,
a pod.), ale tiež sociálne dôvody (nasledovanie rodinného príslušníka, štúdium v zahraničí,
sťahovanie sa do krajiny pôvodu) alebo politické (ochrana pred politickým, etnickým,
náboženským a iným prenasledovaním, dočasné útočisko).
Pre modelovanie vývoja veľkosti migračného salda (MS) na Slovensku v rokoch 1996
– 2006 sme vybrali premenné, charakterizujúce vplyv ekonomických činiteľov na Slovensku
a to veľkosť miery nezamestnanosti z výberového zisťovania pracovných síl (MNez), HDP
v stálych cenách roku 1996 (HDPsc) a veľkosť priemernej nominálnej mzdy na prepočítanej
na stále ceny roku 1996 (MZDAsc). Použili sme lineárny regresný model a na výpočet
programový balík SPSS.
Tabuľka 2. Model migračného salda na Slovensku v rokoch 1996 - 2006
MS =
T – value:
F – Value:
R – squared:
2176,51
(0,678)
10,656
0,906
– 184,93 MNez
(0,032)
+ 30,8 HDPsc
(0,013)
-2,231 MZDAsc
(0,098)
Zvláštnu úlohu v prípade migrácie na Slovensku zohráva Česká republika, ktorá bola
dlhé obdobie spolu so Slovenskom súčasťou spoločného štátu. Veľkosť emigrácie aj
imigrácie s touto krajinou má na celkovej migrácii Slovenska najvyššiu váhu. V prípade
emigrácie sú tieto údaje znázornené na grafe 2.
65
Graf 2: Veľkosť emigrácie do ČR v rokoch 1996 - 2006
Vysťahovaní zo Slovenska v rokoch 1996 - 2006
2000
1800
1600
1400
1200
ostatné
krajiny
1000
800
ČR
600
400
200
0
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Pri modelovaní veľkosti emigrácie (Emig) do ČR sme použili rovnaký typ modelu aj
vysvetľujúce premenné. Priemerná nominálna mzda sa ukázala ako štatisticky nevýznamná
premenná, preto sme ju z modelu vylúčili. Pri ponechaní zvyšných dvoch premenných
v modeli sa model ako celok aj jeho parametre sa ukázali ako štatisticky významné.
Tabuľka 3. Model emigrácie do ČR v rokoch 1996 - 2006
Emig =
T – value:
F – Value:
R – squared:
-2474,05
(-10,2)
70,85
0,947
+ 27,612 MNez
(4,68)
+ 3,412 HDPsc
(10,89)
Podobný model sme konštruovali aj pre imigráciu z ČR, ale ani jedna z premenných sa
neukázala ako štatisticky významná.
3. Záver
Z výsledkov, ktoré sme získali modelovaním je možné usúdiť, že na veľkosť
migračného
salda
na
Slovensku
v rokoch
1996
–
2006
vplývali
ukazovatele
makroekonomického vývoja, ktoré na jednej strane pôsobili ako „push“ efekt pre
vysťahovanie do zahraničia a na strane druhej a „pull“ efekt pre imigráciu. Podrobnejší
pohľad na cieľovú krajinu s najväčším migračným tokom – s Českou republikou - dáva
podobné výsledky len v prípade emigrácie zo Slovenska. Úroveň miery nezamestnanosti
66
a objem HDP sa ukazujú ako podstatné faktory ovplyvňujúce až 95 % zmien vo veľkosti
emigrácie zo Slovenska do Českej republiky. V prípade imigrácie sa tieto charakteristiky
ukazujú nevýznamné a pre modelovanie veľkosti imigrácie z Českej republiky na Slovensko
by bolo potrebné skúmať pôsobenie iných ako ekonomických efektov.
4. Literatúra
GAVLIAK, R. – KANDEROVÁ, M. 2004. Využitie stavovej reprezentácie časového radu na
modelovanie devízového kurzu EUR/SKK. In: FORUM METRICUM SLOVACUM. TOM
VIII. Zborník vedeckých príspevkov. Bratislava : SŠDS, 2004, s. 105 – 110. ISBN 80-8894623-9.
Príspevok vznikol v rámci riešenia vedeckého projektu č. 1/4634/07 financovaného
grantovou agentúrou VEGA a projektu č. 3/5214/07 financovaného grantovou agentúrou
KEGA.
Adresa autorov:
Alena Kaščáková, Ing., PhD.
KKMI EF UMB
Tajovského 10
[email protected]
Gabriela Nedelová, RNDr., PhD.
KKMI EF UMB
Tajovského 10
[email protected]
67
Dvojkroková zhluková analýza stavebných podnikov
Samuel Koróny1
Abstract: The paper deals with two-step clustering results of absolute economic production
indicators of Slovak construction joint stock and ltd. companies from the year 2001 (value
added, sum of assets and average number of employees) including graphical presentation in
scatter plots. The cluster method clearly finds out three distinctive clusters.
Keywords: Cluster analysis, Statistical analysis, Construction sector.
1. Úvod
Príspevok uvádza vybrané výsledky aplikovania dvojkrokovej zhlukovej analýzy na
reálne údaje slovenských stavených podnikov. Voľne nadväzuje na predošlé autorove
príspevky v tejto oblasti hlavne tohoročný EKOMSTAT 2007 (Koróny 2007).
2. Dáta
Pre účel zhlukovej analýzy boli vybrané absolútne produkčné ukazovatele - pridaná
hodnota (v mil. Sk), priemerný evidenčný počet zamestnancov vo fyzických osobách
a celkový kapitál (v mil. Sk) anonymných súkromných slovenských stavebných podnikov
právnej formy a. s. a s. r. o. Údaje sú z výkazu ŠÚ SR Prod 3-04 za rok 2001. Zhluková
analýza dát bola urobená v štatistickom systéme SPSS verzia 13.
3. Stručný opis dvojkrokovej zhlukovej analýzy
Dvojkroková zhluková analýza patrí medzi metódy používajúce postupy data minigu.
Používa CF (cluster feature) štatistiku, ktorá je základom algoritmu BIRCH (Balanced
Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies, (viď Zhang 1996). CF štatistika obsahuje
tri údaje: počet objektov, súčet hodnôt príslušnej premennej a súčet hodnôt druhých mocnín
premennej. Metóda BIRCH je použitá aj v prípade dvojkrokovej zhlukovej analýzy, ktorá vie
pracovať so spojitými aj kategorickými premennými (Chiu 2001). Vyžaduje len jeden
výpočtový prechod cez dáta. Má dva stupne: najprv je predbežné zhlukovanie objektov do
mnohých malých predbežných zhlukov, charakterizovaných CF, potom nasleduje štandardné
1
Samuel Koróny, Ústav vedy a výskumu UMB, Banská Bystrica
68
hierarchické spojenie predbežných zhlukov centroidovou metódou do požadovaného počtu
zhlukov. Je možné ňou aj nájsť optimálny počet zhlukov. Je súčasťou systému SPSS od
verzie 11.5. Podrobnejšie je uvedená (vrátane potrebných vzťahov) v už spomenutom
autorovom príspevku (Koróny 2007) a tiež (Hebák 2005).
4. Výsledky aplikovania dvojkrokovej zhlukovej analýzy
Metóda umožňuje spracovať spojité a kategorické premenné spolu, preto sme ako
dáta použili údaje za obidve právne formy stavebných podnikov spolu, a. s. aj s. r. o. Pre
celkový prehľad sú najprv uvedené základné štatistické charakteristiky súboru. Pri spojitých
premenných (počet zamestnancov, celkový kapitál a pridaná hodnota) je to počet pozorovaní,
minimum, maximum, aritmetický priemer a smerodajná odchýlka (tab.1). Tiež je uvedená
frekvenčná tabuľka kategorickej premennej právna forma (tab. 2).
Tab. 1 Opisná štatistika spojitých premenných
Descriptive Statistics
N
ZAM
466
Minimum
5
Maximum
780
Mean
62.97
Std. Deviation
79.649
CK
466
.21
632.79
40.4696
71.50113
PH
466
.30
255.15
18.0475
26.16317
Valid N (listwise)
466
Tab. 2 Frekvenčná tabuľka kategorickej premennej právna forma
FORMA
Valid
Frequency
105
Percent
22.5
Valid Percent
22.5
Cumulative
Percent
22.5
s.r.o.
361
77.5
77.5
100.0
Total
466
100.0
100.0
a.s.
Výstup dvojkrokovej zhlukovej analýzy začína časťou auto-clustering, ktorá obsahuje
hodnoty zvoleného kritéria na automatické nájdenie počtu zhlukov (tab.3). Pri určení počtu
zhlukov sa za optimálny považuje prípad, keď hodnota v pravom stĺpci nadobúda maximum
pri použití informačného kritéria BIC. Kritérium AIC dá rovnaké výsledky, preto ho tu
neuvádzame. Ide o podiel mier vzdialeností po sebe idúcich zhlukových konfigurácií. Pomer
69
vzdialeností pre 3 zhlukov a 2 zhluky je 3,626 a preto hľadaný optimálny počet zhlukov
podľa daného kritéria je 3.
Tab. 3 Štatistiky pre automatické nájdenie počtu zhlukov
Auto-Clustering
Number of Clusters
1
Schwarz's
Bayesian
Criterion (BIC)
BIC
Change(a)
Ratio of BIC
Changes(b)
Ratio of
Distance
Measures(c
)
1507.808
2
662.058
-845.750
1.000
3.825
3
472.709
-189.349
.224
3.626
4
451.637
-21.071
.025
1.053
5
433.772
-17.865
.021
2.427
6
451.703
17.931
-.021
1.043
7
470.658
18.956
-.022
1.087
8
491.536
20.878
-.025
1.652
9
521.150
29.614
-.035
1.245
10
553.404
32.253
-.038
1.006
11
585.719
32.315
-.038
1.606
12
622.071
36.352
-.043
1.021
13
658.561
36.491
-.043
1.007
14
695.099
36.537
-.043
1.024
15
731.790
36.691
-.043
1.226
a The changes are from the previous number of clusters in the table.
b The ratios of changes are relative to the change for the two cluster solution.
c The ratios of distance measures are based on the current number of clusters against the previous number of
clusters.
Vo vstupných údajoch je aj kategorická premenná „právna forma“ a preto je užitočné najprv
zistiť, či a ako je rozdelená. Základný prehľad riešenia je v tabuľke 4. Celý súbor podnikov
právnej formy s. r. o. ostal v jednom zhluku, ale podniky formy a. s. sú rozdelené do dvoch
zhlukov. To je netriviálna informácia.
Tab. 4 Počet objektov v nájdených zlukoch podľa kategorickej premennej právna forma
FORMA
a.s.
Cluster
s.r.o.
1
Frequency
21
Percent
20.0%
2
84
80.0%
0
.0%
3
0
.0%
361
100.0%
105
100.0%
361
100.0%
Combined
Frequency
0
70
Percent
.0%
V tab. 5 sú uvedené základné štatistické charakteristiky premenných podľa nájdených
zhlukov. Ak je súbor dobre rozdelený, tak daná tabuľka by mala stačiť na interpretáciu
zhlukov. V zhluku 3 sú podniky s najmenšími hodnotami ukazovateľov a sú to všetko
podniky právnej formy s. r. o. Zhluk 2 je tvorený podnikmi formy a. s. so stredne veľkými
hodnotami ukazovateľov. Zhluk 1 obsahuje najväčšie podniky právnej formy a. s.
Tab. 5 Základné štatistické charakteristiky spojitých premenných po zhlukoch
Centroids
ZAM
Cluster
CK
PH
1
Mean
320.71
Std. Deviation
207.507
Mean
298.2990
Std. Deviation
151.99229
Mean
102.9864
Std. Deviation
66.28619
2
85.38
56.678
58.1250
41.24432
22.3160
14.57603
3
42.76
25.683
21.3631
24.72520
12.1133
11.43050
Combined
62.97
79.649
40.4696
71.50113
18.0475
26.16317
Pre lepšiu orientáciu systém SPSS ponúka výsledky dvojkrokovej zhlukovej analýzy aj
prostredníctvom grafov. Grafy 1, 2 a 3 ponúkajú jednoznačnú interpretáciu zhlukov na
základe simultánnych konfidenčných intervalov aritmetických priemerov spojitých
premenných: počet zamestnancov, celkový kapitál a pridaná hodnota.
Simultaneous 95% Confidence Intervals for Means
400
ZAM
300
200
100
0
1
2
3
Cluster
Graf 1 Simultánne 95 % konfidenčné intervaly premennej počet zamestnancov
71
400
CK
300
200
100
0
1
2
3
Cluster
Graf 2 Simultánne 95 % konfidenčné intervaly premennej celkový kapitál
150
120
PH
90
60
30
0
1
2
3
Cluster
Graf 2 Simultánne 95 % konfidenčné intervaly premennej pridaná hodnota
5. Interpretácia zhlukov
Na základe tabuliek a grafov je možné interpretovať jednotlivé zhluky:
1. zhluk charakterizujú stavebné podniky právnej formy a. s. s relatívne najväčšími hodnotami
všetkých troch analyzovaných spojitých premenných (pridaná hodnota, celkový kapitál
a počet zamestnancov),
2. zhluk tiež obsahuje stavebné podniky právnej formy a. s., ale s menšími hodnotami vo
všetkých troch spojitých premenných,
3. zhluk obsahuje všetky stavebné podniky právnej formy s. r. o., ktorých sledované
ukazovatele sú relatívne najmenšie.
72
6. Záver
Dvojkroková zhluková analýza poskytuje cenné informácie o štruktúre dát. Bola
testovaná na veľkom množstve simulovaných aj reálnych údajov a dáva vcelku spoľahlivé
výsledky. Okrem toho, že dokáže nájsť optimálny počet zhlukov, je výhodná hlavne pre jej
schopnosť zhlukovania veľkých súborov. Bolo by užitočné ju odskúšať na slovenských
dátach. Podstatné je, aby nájdené zhluky boli jasne interpretovateľné, čo spĺňa náš prípad.
7. Literatúra
SPSS 13.0 USER’S GUIDE. Chicago : SPSS Inc., 2004. ISBN 0-13-185723-1
HEBÁK, P.
A KOL.
2005. Vícerozměrné statistické metody (3). Praha : Informatorium, 2005.
ISBN 80-7333-039-3
KORÓNY, S. 2006. Zhluková analýza produkčných ukazovateľov stavebných podnikov
právnej formy s. r. o. In: Forum Statisticum Slovacum. Roč.2, č.1, 2006, s. 56-60. ISSN 13367420
CHIU, T. ET AL. 2001. A Robust and Scalable Clustering Algorithm for Mixed Type Attributes
in Large Databases Environment. Proceedings of the ACM SIGKDD Conference on
knowledge discovery and data mining, p. 263-268, Montreal
ZHANG, T.
ET AL.
1996. BIRCH: An Efficient Data Clustering Metod for Very Large
Databases. In: Proceedings of the ACM SIGMOD Conference on Management of Data, p.
103-114, Montreal
KORÓNY, S. 2007. Dvojkroková zhluková analýza – automatické zistenie počtu zhlukov. In:
Forum Statisticum Slovacum. Roč.3, č.1, 2007, s. 55-66. ISSN 1336-7420
Adresa autora:
RNDr. Samuel Koróny
Ústav vedy a výskumu UMB
Cesta na amfiteáter 1
Email: [email protected]
73
Použitie faktorovej analýzy pri predikcii finančnej situácie podnikov v SR s využitím
SPSS
Pavol Kráľ 1, Vladimír Hiadlovský 2, Rudolf Gavliak 3
Abstract: The aim of this paper is to discuss substantial problems connected to prediction of
bankruptcy in the case of the Slovak companies. We focus our attention on the application of
factor analysis and discriminant analysis statistical procedures in the classification process.
We are using the SPSS software package to research this issue.
Key words: factor analysis, financial ratios, ex ante financial analysis, financial distress,
discriminant analysis.
1. Úvod
Možnosťami predikovania možných finančných problémov podnikov prostredníctvom
klasických štatistických metód sa prvýkrát seriózne zaoberal vo svojich článkoch
E. I. Altman, pričom svoju pozornosť zameral najmä na klasickú diskriminačnú analýzu.
Hlavným dôvodom bola pomerne malá výpočtová zložitosť, jasne vymedzené predpoklady
tejto metódy a pomerne jednoduchá a jednoznačná interpretácia získaných výsledkov.
Výsledkom jeho vedeckej práce bola veľmi dobre známa tzv. Altmanova rovnica:
Z = 0,012 X 1 + 0,014 X 2 + 0,033 X 3 + 0,006 X 4 + 0,999 X 5
(1)
kde
X 1 je miera pracovného kapitálu (pracovný kapitál/majetok),
X 2 je podiel nevyplateného výsledku hospodárenia na majetku,
X 3 je podiel EBITU na majetku (prevádzková rentabilita majetku),
X 4 je podiel trhovej hodnoty vlastného imania (netto hodnota podniku) k účtovnej hodnote
záväzkov,
X 5 je obrátka majetku (tržby/majetok).
V pôvodnej štúdii z roku 1968 sa E. I. Altmanovi podarilo na základe Z-skóre určeného na
základe rovnice (1) klasifikovať úspešne 94 % krachujúcich podnikov a 97 % nekrachujúcich
amerických výrobných akciových spoločností s ročným predstihom. Za deliacu hranicu bola
vybraná hodnota Z = 2,675. Za zmienku stojí, že pôvodná rovnica bola vypočítaná na základe
výberu 66 spoločností, v ktorých bolo 50 % krachujúcich podnikov a uvažovaných bolo 22
finančných ukazovateľov. Pri pokuse o predikciu na dva roky dopredu bola úspešnosť
predikcie bankrotu stále 72 % až 94 %. Zároveň ukázal, že tento model nie je možné použiť
na predikciu na obdobie dlhšie ako 5 rokov. Okrem týchto modelov E. I. Altman vytvoril
model aj pre nevýrobné podniky. Neskôr v dôsledku ďalšieho vývoja navrhol zmenu deliacej
hodnoty Z-skóre na Z = 1,81.
Pavol Kráľ, Mgr., PhD., Katedra kvantitatívnych metód a informatiky, Ekonomická fakulta UMB v Banskej
Bystrici, Tajovského 10, 975 90, [email protected].
2
Vladimír Hiadlovský, Ing., Katedra ekonomiky a manažmentu podniku, Ekonomická fakulta UMB v Banskej
3
Rudolf Gavliak, Ing., Katedra kvantitatívnych metód a informatiky, Ekonomická fakulta UMB v Banskej
Príspevok bol spracovaný v rámci projektu VEGA 1/4634/07 a fakultných projektov FG 67 a FG 75.
1
74
Je prirodzené, že dobrá schopnosť predikcie bankrotu v krátkodobom horizonte pôvodného
Altmanovho modelu viedla a vedie k snahám vytvoriť analogické modely aj pre podniky
iných ekonomík. Tieto snahy sú často nekritickým preberaním pôvodného Altmanovho
modelu bez hlbšej analýzy osobitných podmienok konkrétnej krajiny. Pričom sa zabúda na
niekoľko veľmi podstatných skutočností. Prvou je fakt, že pôvodný model E. I. Altmana bol
vytvorený iba pre výrobné akciové spoločnosti. Pri tvorbe modelu sa vychádzalo z databázy,
z ktorej boli vyradené extrémy, čo sa týka veľkosti podniku, t.j. príliš malé a príliš veľké
podniky. Pri tvorbe analogického modelu musíme ďalej venovať obzvlášť veľkú pozornosť
príprave vhodnej databázy s dostatočným zastúpením krachujúcich podnikov. Pokiaľ to
okolnosti dovoľujú (dostatočný počet údajov), musíme vyradiť (podľa vzoru pôvodnej
Altmanovej analýzy) príliš malé a príliš veľké podniky, pretože ich vývoj ja atypický
z hľadiska predikcie ich finančnej situácie. V prípade veľmi veľkej spoločnosti je
pravdepodobnosť krachu veľmi nízka, napríklad preto, že jej krach by mal dopad na jej
okolie (zamestnanosť) a preto sú štátne autority naklonené k pomoci takejto spoločnosti (too
big to fall). Vytvoriť vhodnú databázu je preto v prípade slovenských podnikov najťažšie
splniteľná podmienka práve pre nízky počet krachujúcich podnikov, napríklad z dôvodu
súčasnej rastovej fázy slovenskej ekonomiky. V dôsledku tohto a ďalších faktorov obsahuje
databáza zvyčajne výrazne poddimenzovaný počet krachujúcich podnikov. Ďalšou nemenej
dôležitou skutočnosťou je časová obmedzenosť predikčnej schopnosti získanej rovnice. Je
možné predpokladať, že v dynamických podmienkach prebiehajúcej konvergencie slovenskej
ekonomiky bude horizont platnosti získaného klasifikačného modelu kratší ako v prípade
pôvodného Altmanovho modelu. Jednou z možností ako sa vyrovnať s touto skutočnosťou je
neuvažovať krachujúce podniky, ale ich nadmnožinu, podniky neprosperujúce (bližšie pozri
[2]). Medzi neprosperujúce podniky môžu byť zahrnuté napríklad podniky s nesplatenými
záväzkami voči Sociálnej poisťovni a zdravotným poisťovniam. To znamená, že akákoľvek
analógia Altmanovej rovnice musí byť v pravidelných časových intervaloch upravená
vzhľadom na konkrétny vývoj a nemala by sa používať na predikciu na obdobie dlhšie ako
dva roky. Okrem spomínaných skutočností musíme zobrať do úvahy aj špecifiká amerického
trhu v porovnaní s európskym, čo môže viesť k inej diskriminačnej schopnosti finančných
kritérií a teda aj k použitiu iných finančných ukazovateľov vo výslednej rovnici. S tým súvisí
otázka, z akej množiny finančných ukazovateľov máme pri našej analýze vychádzať.
My preferujeme zobrať za základ kompletnú dostupnú databázu finančných ukazovateľov,
v ktorej sa nachádza 40 finančných ukazovateľov. Tento prístup je ale spojený s problémom
možného nesplnenia vstupných predpokladov použitých metód. Okrem toho, že pri malom
počte podnikov v databáze môže dôjsť k porušeniu empirického pravidla o pomere počtu
sledovaných premenných a štatistických jednotiek, oveľa závažnejším problémom sa javí
výskyt multikolinearity medzi sledovanými finančnými ukazovateľmi. Keďže jedným
z našich cieľov je vytvoriť uspokojivo fungujúcu analógiu Altmanovho modelu pre slovenské
podmienky s použitím klasickej diskriminačnej analýzy, musíme problému výskytu
multikolinearity a veľkého počtu vstupných finančných ukazovateľov venovať osobitnú
pozornosť. Za vhodnú možnosť ako sa vysporiadať s uvedenými problémami v rámci použitia
klasických štatistických metód je faktorová analýza. Pomocou nej dosiahneme na jednej
strane výrazné zníženie počtu premenných vstupujúcich do diskriminačnej analýzy a na
druhej strane faktory, ktoré dostaneme z pôvodných premenných sú pri zvolení vhodnej
metódy vzájomne nekorelované, čo eliminuje problém s multikolinearitou. Takto získané
faktory spolu s ukazovateľmi, ktoré sa ukážu byť nevhodné pre faktorovú analýzu použijeme
ako vstup pre klasickú diskriminačnú analýzu a pre logistickú regresiu. Zameriavame sa práve
na tieto klasické štatistické metódy, pretože sú dnes štandardne zabudované v komerčných
štatistických softvéroch (STATISTICA, S-PLUS, SPSS), čo umožňuje pomerne rýchlo
transformovať získané modely na nové podmienky reprezentované aktuálnejšou databázou
75
a podrobiť úspešnosť získaných modelov aj z hľadiska času. Teoretickým východiskám
použitých metód sa v článku nebudeme podrobnejšie venovať. V prípade potreby sa s nimi
môže čitateľ oboznámiť v dostupnej literatúre (napríklad [3,4,6]).
2. Údajová základňa
Východiskovú maticu objektov a ich charakteristík v našom prípade predstavovalo 190
podnikov pôsobiacich v rôznych odvetviach ekonomických činností OKEČ 151 – 365.
Individuálne pomerové ukazovatele za roky 2002-2004 vybraného súboru podnikov poskytla
spoločnosť INFIN, spol. s r.o., Bratislava. Charakteristikami každého analyzovaného podniku
bolo 36 pomerových finančných ukazovateľov. Použité ukazovatele sú uvedené v tabuľke 1.
Tabuľka 1. Použité ukazovatele
BUCZ
CFT
CZA
DOZ
Bankové úvery/Celkové dlhy
Podiel cash flow z tržieb
Celková zadlženosť aktív
Doba obratu zásob
Doba splatnosti krátkodobých pohľadávok z
DSKPzOS
obchodného styku
Doba splatnosti krátkodobých záväzkov z
DSKZzOS
obchodného styku
DSP1
Doba splatnosti pohľadávok
DSZ1
Doba splatnosti záväzkov
DZA
Dlhodobá zadlženosť aktív
EBIT/Celkový kapitál ~ prevádzková
EBITCK
rentabilita majetku
EBITDAT Podiel EBITDA v tržbách
KKZOM
KZMC
LCF
L1
Obežný majetok/Krátkodobé záväzky
Krátkodobé záväzky/Celkový majetok
Likvidita z CF
Likvidita 1. stupňa
L2
FP
RT2
FP1
HROA
HRT
HVBKZ
KCZBCF
Finančná páka
Finančná páka - modifikácia
Hrubá rentabilita aktív
Zisk pred zdanením/tržby ~ hrubá rentabilita
tržieb
Zisk pred zdanením/Krátkodobé záväzky
Cash flow /Cudzie zdroje
KCZOM
L3
OA
Obrat aktív (obrátka majetku)
PNVHvT Podiel novovytvorenej hodnoty v tržbách
PPHvT
Podiel pridanej hodnoty v tržbách
PRT
Prevádzková rentabilita tržieb
ROE
STZ
TZ
Rentabilita vlastného imania
Zisk po zdanení / tržby ~ čistá rentabilita
tržieb
Celkový majetok / Cudzie zdroje
Tokové zadlženie
UK
Úrokové krytie
UZA
VIA
Úverová zadlženosť aktív
Koeficient samofinancovania
Vlastný kapitál / Dlhodobý majetok ~
krytie dlhodobého majetku vlastným
imaním
VIOM
Obežný majetok/Cudzí kapitál
Pre potreby posúdenia schopnosti diskriminácie nami použitých metód sme databázu
objektov rozdelili na dve skupiny analýzou ich vykázaných charakteristík, resp. existencie
záväzkov po lehote splatnosti voči Sociálnej poisťovni a zdravotným poisťovniam. Cieľom
príspevku je posúdenie vhodnosti aplikácie jednotlivých metód z hľadiska matematickoštatistického (splnenie relevantných predpokladov). Databázu podnikov sme rozdelili na dve
skupiny podľa pomerne jednoduchého ekonomického kritéria, na podniky bankrotujúce (so
záporným vlastným imaním, v konkurze, alebo vyrovnaní), resp. podniky so neuhradenými
záväzkami zo sociálneho a zdravotného poistenia a podniky fungujúce (s nezáporným
vlastným imaním, bez záväzkov voči poisťovniam). Na takto vytvorených dvoch skupinách
podnikov sme testovali možnosť aplikácie diskriminačnej analýzy.
76
3. Faktorová analýza
Problémom je veľký počet ukazovateľov (diskriminujúcich faktorov), pričom tento počet sa
pokúsime zredukovať pomocou faktorovej analýzy. Základné predpoklady pre použitie
faktorovej analýzy môžeme veľmi stručne zhrnúť do nasledujúcich bodov:
1. pozitívne semidefinitná korelačná matica,
2. pomer medzi počtom sledovaných podnikov a premenných približne 5:1,
3. korelačná matica sledovaných premenných (finančných ukazovateľov) musí obsahovať
aspoň dva korelačné koeficienty presahujúce hodnotu 0,3,
4. rozsah sledovaného súboru musí byť väčší ako 50.
Rozhodli sme sa pre použitie faktorovej analýzy založenej na metóde hlavných
komponentov a rotáciu faktorov metódou VARIMAX, pretože výsledkom tohto postupu sú
nekorelované faktory. Z faktorovej analýzy sme vyradili premennú KZ_MC, pretože jej
zaradenie do analýzy viedlo ku korelačnej matici, ktorá nebola pozitívne semidefinitná.
Kaiser-Meyer-Olkinova miera adekvátnosti výberu a Bartlettov test sféricity (tabuľka 2)
ukazujú, že môžeme na zostávajúce premenné aplikovať faktorovú analýzu. Na základe miery
adekvátnosti výberu a výšky komunalít sme postupne z faktorovej analýzy vyradili
nasledujúce premenné: bankové úvery na celkových dlhoch (BUCZ), dlhodobá zadlženosť
aktív (DZA), prevádzková rentabilita majetku (EBITCK), hrubá rentabilita aktív (HROA),
PLN1, úrokové krytie (UK), tokové zadlženie (TZ), úverová zadlženosť aktív (UZA), krytie
dlhodobého majetku vlastným imaním (VIOM), krytie krátkodobých záväzkov ziskom pred
zdanením (HVBKZ), obrátka aktív (OA).
Tabuľka 2. KMO a Bartlettov test a
Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.
Bartlett's Test of Sphericity
Approx. Chi-Square
d. f.
Sig.
,783
23709,081
325
,000
a Only cases for which rok = 0 are used in the analysis phase.
Na základe hodnoty eigenvalue a takisto aj na základe posúdenia tvaru sutinového grafu
(screeplot, graf 1) je zrejmé, zostávajúce ukazovatele vytvorili štyri faktory, ktoré vysvetľujú
92,44 % variability pôvodných ukazovateľov vstupujúcich do faktorovej analýzy. Pozri
tabuľku č. 2 graf č.1.
Prvý faktor je tvorený podielom cash flow v tržbách (CFT), dobou splatnosti pohľadávok
z obchodného styku (DSKPzOS), podielom EBITDA v tržbách, (EBITDAT), hrubou
rentabilitou tržieb (HRT), podielom novovytvorenej hodnoty v tržbách (PNVHvT),
prevádzkovou rentabilitou tržieb (PRT) a čistou rentabilitou tržieb (RT2). Tento faktor je
možné vnímať ako rentabilitu, resp. podiel výstupu podniku k tržbám. Nazvime tento faktor
„rentabilitou tržieb“. Druhý faktor je tvorený podielom cash flow na cudzích zdrojoch
(KCZBCF), podielom obežného majetku na cudzom kapitáli (KCZOM), podielom obežného
majetku na krátkodobých záväzkoch (KKZOM) a ukazovateľmi likvidity (LCF, L1, L2, L3).
Ukazovatele zahrnuté do tohto faktora hovoria o krytí krátkodobých záväzkov. Tento faktor
nazveme „likviditou a solventnosťou“. Tretí faktor je tvorený oboma modifikáciami
ukazovateľa finančná páka (FP, FP1) ukazovateľom rentability vlastného imania (ROE)
a podielom základného imania na vlastnom imaní. Ukazovatele zahrnuté do tohto faktora
hovoria súvisia s vlastným imaním. Tento faktor preto nazveme „vlastným financovaním“.
Štvrtý faktor je tvorený celkovou zadlženosťou aktív (CZA) a koeficientom samofinancovania
(VIA). Tieto dva ukazovatele hovoria o štruktúre kapitálu, preto tento faktor nazveme
„kapitálovou štruktúrou“.
77
Tabuľka 3. Faktory vysvetľujúce rozptyl vstupných finančných ukazovateľova
Component
Total
10,007
7,090
3,685
1,404
,690
1
2
3
4
5
Initial Eigenvalues
% of Variance Cumulative %
41,695
41,695
29,544
71,238
15,356
86,594
5,849
92,443
2,875
95,318
Extraction Sums of Squared Loadings
Total
% of Variance
Cumulative %
10,007
41,695
41,695
7,090
29,544
71,238
3,685
15,356
86,594
1,404
5,849
92,443
Extraction Method: Principal Component Analysis.
a Only cases for which Rok = 2002 are used in the analysis phase.
12
10
Eigenvalue
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 20
21
22
23
24
Component Number
Graf 1. Sutinový graf
Získané faktory sme spolu s premennými, ktoré neboli zaradené do faktorovej analýzy
použili ako vstup pre diskriminačnú analýzu pôvodnej databázy podnikov. Pre použitie
diskriminačnej analýzy sme sa rozhodli napriek tomu, že v článku [5] je vhodnosť
diskriminačnej analýzy na predikciu hodnotená ako nepresvedčivá. Domnievame sa, že nás
k tomu oprávňuje kvalitnejšia databáza, ktorá má pomerne vysoké zastúpenie podnikov
obidvoch skupín (prosperujúce a neprosperujúce), čím sme eliminovali problém s
poddimenzovaním množiny podnikov, ktoré sú objektom nášho skúmania. Bez podobného
zásahu použitie diskriminačnej analýzy vedie k nepresvedčivým výsledkom. Podobný
problém by sme museli riešiť aj prípade snahy o použitie logistickej regresie. Aplikovaním
diskriminačnej analýzy dostávame nasledujúcu ukážku schopnosti diskriminovať slovenské
podniky s použitím faktorovej analýzy a diskriminačnej analýzy.
4. Diskriminačná analýza
Pred použitím diskriminačnej analýzy je samozrejme nevyhnutné skontrolovať splnenie
vstupných predpokladov. Vieme, že aby diskriminačná analýza vykazovala uspokojivé
výsledky, napríklad aby odhad, ktorý ňou získame bol konzistentný, musí spĺňať predpoklad
normality jednotlivých premenných a kovariačné matice jednotlivých skupín, do ktorých
diskriminujeme, by sa nemali výrazne odlišovať. Na nie príliš výrazné odchýlky od normality,
najmä, ak majú nesplnenie normality na svedomí outliery (odľahlé hodnoty), býva
diskriminačná analýza ešte dostatočne robustná. Na testovanie normality vstupných
premenných sme použili Shapiro-Willkov a Kolmogorov-Smirnov test normality. Nulovú
78
hypotézu o normalite sledovaných premenných sme zamietli. Najväčšie odchýlky od
normality nájdeme práve pri skonštruovaných faktoroch.
Na základe testu zhody vektorov stredných hodnôt sa ukázalo, že diskriminačnú
schopnosť (zamietli sme nulovú hypotézu o rovnosti priemerov v sledovaných skupinách)
majú najmä premenné EBIT_CK, HROA, TZ, HVB_KZ, OA, FAKTOR 3 a FAKTOR 4.
Keďže nepoznáme apriórne pravdepodobnosti zaradenia podniku do zvolených skupín,
urobili sme diskrimináciu s voľbou pravdepodobností na základe veľkosti skupín. Na základe
Boxovho testu sme zamietli zhodu kovariačných matíc, preto sme použili aj voľbu Separategroups covariance matrix. Schopnosť diskriminácie sme overili na dátach nasledujúceho roku
(2003, 2004). Výstup programu SPSS indikoval silnú koreláciu medzi niektorými dvojicami
sledovaných. Vysoká korelácia medzi premennými môže spôsobiť, že nemôžeme
interpretovať koeficienty diskriminačnej funkcie a diskriminácia môže byť nadhodnotená.
Korelačná matica naynačuje prítomnosť multikolinearity. Nesplnenie podmienky normality
diskriminujúcich premenných a zhody kovariačných matíc môže ďalej spôsobiť, že ako
diskriminujúce premenné vystupujú premenné, ktoré v skutočnosti nemajú diskriminujúcu
schopnosť. Na výpočet sme použili krokovú metódu postupne so nasledujúcimi metódami
dostupnými v SPSS (Wilkovo lambda, Nevysvetlená variabilita, Mahalanobisova vzdialenosť,
najmenšia hodnota F štatistiky). V všetkých prípadoch získame identickú kanonickú
diskriminačnú funkciu, ktorá je štatisticky signifikantná. Okrem hodnota Wilkovho lambda,
0,622 a kanonická korelácia 0,615 naznačujú pomerne uspokojivú kvalitu diskriminačnej
funkcie Dostávame nesledujúcu kanonickú diskriminačnú funkciu spolu s klasifikačnou
tabuľkou uvedenú v tabuľke 4.
Tabuľka 4. Štandardizované koeficienty kanonickej diskriminačnej funkcie
EBIT_CK
,765
TZ
-,475
OA
-,387
Faktorové skóre 4. faktora
,564
Na základe hodnôt centroidov výstupov kanonickej diskriminačnej funkcie pre obe skupiny
podnikov sme určili priemernú hodnotu, ktorá sa dá interpretovať ako hraničná hodnota pre
klasifikáciu. Jednoduchý vážený priemer centroidov je -0,4315, čo znamená že vyššia
hodnota výsledku kanonickej diskriminačnej funkcie znamená zaradenie medzi fungujúce
podniky a nižšia hodnota zaradenie medzi neprosperujúce podniky. V tabuľke 5 sú uvedené
výsledky klasifikácie na vstupných dátach diskriminačnej analýzy (rok 2002) a takisto
posúdená správnosť zaradenia aj pre údaje za ďalšie 2 roky.
Tabuľka 5. Výsledky klasifikácie ab
Predicted Group Membership
0
Cases Selected
Cases Not
Selected
Original
Group
Membership
Count
%
Count
Original
Group
Membership
%
0
1
0
1
0
1
0
1
a 83,8% of selected original grouped cases correctly classified.
b 85,6% of unselected original grouped cases correctly classified.
79
Total
1
35
18
76,1
13,5
73
30
76,8
11
115
23,9
86,5
22
236
23,2
46
133
100,0
100,0
95
266
100,0
11,3
88,7
100,0
Z tabuľky 5 je zrejmé, že schopnosť predikovať týmto spôsobom finančnú nestabilitu
slovenských podnikov je pomerne dobrá, pretože sme schopní dosiahnuť predikčnú kvalitu
približne 88,7 % fungujúcich podnikov a 76,8 % v prípade neprosperujúcich podnikov na
dátach za roky 2003-2004.
Pri aplikácii výsledkov analýzy je však nevyhnutná opatrnosť, keďže neboli splnené vstupné
predpoklady diskriminačnej analýzy a vyskytovala sa multikolinearita medzi premennými.
5. Záver
Ukázalo sa, že z pomerových ukazovateľov finančnej analýzy podniku do konečného
modelu vstupuje prevádzková rentabilita majetku, schopnosť niesť dlh vyjadrená
ukazovateľom tokového zadlženia, obrátka aktív a dôležitým faktorom pri sklone k prosperite
je aj kapitálová štruktúra podniku. Obrátka aktív pôsobí opačným smerom ako sme
predpokladali, čo je možné interpretovať nasledujúcim spôsobom. Kapitálovo intenzívnejšie
spoločnosti, ktoré sú zároveň aj väčšie majú menší sklon stať sa neprosperujúcimi.
6. Literatúra
1. ALTMAN, E. I. 2000. Predicting financial distress of companies: Revisiting the Z-score
and Z Model, working paper, www. stern.nyu.edu.
2. GAVLIAK, R. 2007. Využitie lineárnych pravdepodobnostných modelov pri tvorbe
bonitného modelu v slovenských podmienkach. In: Evropské finanční systémy 2007.
Zborník príspevkov z medzinárodnej vedeckej konferencie. Brno : ESF MU, 2007, s. 69 –
75. ISBN 978-80-210-4319-0.
3. HEBÁK, P. – HUSTOPECKÝ, J. – JAROŠOVÁ, E. – PECÁKOVÁ, I. 2004.
Vícerozměrné statistické metody (1). Praha: INFORMATORIUM, 2004. 239 s. ISBN 807333-025-3.
4. HEBÁK, P. – HUSTOPECKÝ, J. – JAROŠOVÁ, E. – PECÁKOVÁ, I. 2005.
Vícerozměrné statistické metody (3). Praha: INFORMATORIUM, 2005. 255 s. ISBN 807333-039-3.
5. HIADLOVSKÝ, V. – KRÁĽ, P. 2005. Využitie diskriminačnej analýzy na predikovanie
finančnej situácie podnikov v SR. In: Forum Statisticum Slovacum, č. 1, 2005, s. 44-50.
6. MELOUN, M. – MILITKÝ, J. 2002. Kompendium statistického spracování dat. Praha:
ACADEMIA, 2002. 764 s. ISBN 80-200-1008-4.
Adresa autora:
Pavol Kráľ, Rudolf Gavliak
Ekonomická fakulta Univerzity Mateja Bela
Tajovského 10, 975 10 Banská Bystrica
[email protected], [email protected]
Vladimír Hiadlovský
Katedra ekonomiky a manažmentu podniku
Ekonomická fakulta Univerzity Mateja Bela
Tajovského 10, 975 10 Banská Bystrica
[email protected]
80
Přesnost odhadu v autoregresních modelech
Jana Kubanová 1, Bohdan Linda 2
Abstract:
The time series analysis is very common problem of the economical practice. AR(p) models
can be quite suitable tool in certain cases. The goal is to estimate the parameters of these
models. The estimates can be provided by the classical methods of the mathematical statistics,
but one important question emerges, respectively how exact is such estimate. The resampling
methods can offer any solution when the first or second order autoregressive model is applied.
Both of the mentioned methods are based in fitting of the model and subsequently in
simulation of its residuals by the bootstrap process.
Key words: autoregressive models, bootstrap method, parameters estimate
1. Autoregresní model prvního řádu AR(1)
Nechť posloupnost náhodných veličin
{Zt }t =0, ±1, ± 2,...
(1)
tvoří slabě stacionární časovou řadu. Autoregresní model prvního řádu AR(1) předpokládá, že
každá náhodná veličina Z t je lineární kombinací předešlé náhodné veličiny Z t-1 a nezávislého
poruchového členu Ξ t , což můžeme vyjádřit následujícím způsobem:
(2)
Z t = α Z t −1 + Ξ t
kde pro neznámý parametr α platí α ≤ 1 .
O náhodných poruchách (reziduích) Ξ t t = 0, ± 1, ± 2, ... se předpokládá, že představují bílý
šum (white noise), tj. tvoří posloupnost nezávislých náhodných veličin majících stejné
rozdělení pravděpodobnosti s neznámou distribuční funkcí, nulovou střední hodnotou a
směrodatnou odchylkou σ .
Odhad parametru α lze na základě empirických dat získat různými způsoby.
Použijeme-li metodu nejmenších čtverců, můžeme postupovat následujícím způsobem. Nechť
z1, z2 , ..., zn jsou námi napozorovaná data časové řady.
Označíme-li a odhad skutečné hodnoty parametru α , můžeme na základě autoregresního
modelu (2) pro jednotlivé hodnoty zt psát přibližný vztah
(3)
zt = a zt −1 + et
t = 2, 3, ..., n
kde et je odhad hodnoty bílého šumu ξ t
Potom pro reziduální součet čtverců odchylek S (a) dostáváme vztah
n
S (a ) = ∑ ( zt − a zt −1 ) 2
t =2
Hodnotu odhadu α̂ minimalizující tento součet čtverců vypočítáme ze vztahu
n
∑ zt ⋅ zt −1
α̂ = t =n2
∑ ( zt −1 )2
t =2
1
2
Jana Kubanová, Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní
Bohdan Linda, Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní
81
Logicky navazující otázkou, kterou je třeba řešit v souvislosti s odhadem α̂ , je otázka jeho
přesnosti. Přesnost odhadu obvykle hodnotíme jeho biasem a standardní chybou. Vzhledem
k tomu, že neznáme distribuční funkci, je problematické určit tyto hodnoty. K určení přesnosti
lze využít neparametrickou bootstrapovou metodu, neboť tato metoda se zdá být
nejjednodušší, resp. jednodušší nežli analytická metoda založená na složitém matematickém
aparátu. Pro bootstrapové odhady biasu a standardní chyby použijeme bootstrapové
algoritmy, popsané například v Efron(1990).
2. Princip bootstrapových metod.
Základem bootstrapových metod je tvorba tzv. bootstrapových výběrů, které
simulujeme pomocí jednoho náhodného výběru z daného rozdělení. Podle toho, zda známe
resp. neznáme typ distribuční funkce rozlišujeme parametrický a neparametrický bootstrap.
V praxi zpravidla rozložení pravděpodobností neznáme, proto dále postupujeme
neparametrickým bootstrapem.
Předpokládáme, že ( x1 , x2 , ..., xn ) je náhodný výběr z neznámého rozdělení F s parametrem Θ .
Nechť Θˆ = g ( x , x , ..., x ) je odhad tohoto parametru získaný na základě naměřených hodnot.
1
2
n
Označme dále F̂ empirickou distribuční funkci zkonstruovanou z výše uvedeného náhodného
výběru. Náhodný výběr z rozdělení F̂ nazýváme bootstrapový výběr a v literatuře se obvykle
značí ( x1* , x2* , ..., xn* ) . Protože v rozdělení F̂ má každá hodnota xi stejnou pravděpodobnost 1 n
můžeme se na bootstrapový výběr dívat jako na výběr s vracením z náhodného výběru
( x1 , x2 , ..., xn ) . Veličinu Θˆ * = g ( x1* , x2* , ..., xn* ) nazýváme bootstrapovou replikací odhadu Θˆ .
Myšlenka bootstrapových odhadů biasu a standardní chyby odhadu Θˆ spočívá v následující
úvaze. Vygenerujeme mnoho bootstrapových replikací Θˆ * . Bias odhadu Θˆ odhadneme
empirickým biasem
R
(4)
BΘˆ = 1 ∑ Θî* − Θˆ
R i =1
kde R je počet vygenerovaných replikací. Standardní chybu odhadneme empirickou
standardní (směrodatnou) odchylkou
R
2
1 R *
(5)
SE (Θˆ ) =
Θ i − Θ * kde Θ * = 1 ∑ Θî*
∑
R i =1
R − 1 i =1
(
)
V případě, že bychom znali hodnotu parametru α , vypočítali bychom hodnoty reziduí ξ t
použitím vztahu (2) jako rozdíly ξ t = zt − α zt −1
t = 2, 3, ..., n . Ty bychom považovali za
náhodný výběr z rozdělení F. Na jejich základě bychom odhadli empirickou distribuční
funkci bílého šumu F̂ . Parametr α je zpravidla neznámý, ale jeho odhad α̂ lze využít
k výpočtu přibližných hodnot poruch, tj.
(6)
ξˆt = zt − αˆ zt −1
t = 2, 3, ..., n
Hodnoty ξˆ , ξˆ , ..., ξˆ považujeme za náhodný výběr z rozdělení F z něhož pak provádíme
(
)
bootstrapové výběry (ξˆ , ξˆ , ..., ξˆ ). Prvním krokem je určení hodnoty
2
3
n
*
2
*
3
*
n
z1* . Položíme z1* = z 1 ,
počáteční hodnota této časové řady je pevně danou konstantou. Pomocí bootstrapového
výběru rekurzivně vypočítáme bootstrapovou replikaci původní centrované časové řady:
z 2* = α̂ z 1 + ξ2 *
82
z 3* = α̂ z 2* + ξ 3 *
z 4* = α̂ z 3* + ξ 4 *
.......................
*
z n = α̂ z n*−1 + ξ n *
Aplikací metody nejmenších čtverců na bootstrapované hodnoty zt* dostaneme bootstrapové
replikace α̂ * odhadu α̂ z nichž pomocí vztahů (4) a (5) provedeme bootstrapové odhady
biasu a standardní chyby odhadu α̂ .
3. Autoregresní model druhého řádu AR(2)
Autoregresní schéma druhého řádu rozšiřuje závislost až na člen z t-2 . V modelu (2) tak
přibude další člen a změní se na tvar
(7)
Z t = α1 Z t −1 + α 2 Z t − 2 + Ξ t
Označíme-li ve shodě s modelem AR(1) odhady parametrů α1, α 2 po řadě a1, a2 , dostaneme
analogii vztahu (3)
(8)
t = 3, 4, ..., n
zt = a1 zt −1 + a2 z t −2 + ξ t
poslední vztah využijeme k odhadu koeficientů α1, α 2 metodou nejmenších čtverců.
Zavedeme následující označení:
z1 
 z3 
 z2
z 
 z
z2 
3
4



a
⋅ 
a =  1 
z2 =  ⋅
z1 =  ⋅ 
⋅ 
 a2 
 ⋅
 ⋅
⋅
⋅
⋅ 
 


z
z
z
 n
 n −1 n − 2 
α
potom odhadem vektoru α =  1  získaným metodou nejmenších čtverců bude vektor
α 2 
 αˆ 
α̂ =  1  který určíme ze vztahu
 αˆ 2 
α̂ = ( z2′z2) −1 z2′z1
Analogicky k (6) použijeme vektor α̂ k výpočtu přibližných hodnot reziduí
ξˆt = zt − αˆ1 zt −1 − αˆ 2 zt − 2
t = 3, 4, ..., n
z kterých vytváříme bootstrapové výběry. Odhady biasu a standardní chyby provádíme
stejným způsobem jako v modelu AR(1).
(9)
4. Příklady
Popisovaná metoda je demonstrována na následujících příkladech:
První příklad je ryze teoretického charakteru. Vygenerovali jsme časovou řadu tvaru
Z t = −0,8 Z t −1 + Ξ t . Parametr α je tedy předem znám a rovněž známe rozdělení
pravděpodobnosti náhodné veličiny Ξ. Náhodné odchylky byly generovány z N(0,1)
rozdělené pravděpodobnosti. Při řešení reálných úloh zpravidla tyto informace nemáme.
83
I v tomto případě budeme postupovat tak, jako kdyby parametr i rozdělení odchylek byly
neznámé a určíme přesnost jejich odhadu. Odhad parametru α na základě vygenerovaných dat
metodou nejmenších čtverců je -0.846.
Centrované hodnoty
Teoretický model Z t = -0.8 Z t-1 +Ξ
z
30.00
24
20.00
18
10.00
12
0.00
-10.00 0
10
20
30
40
t 50
6
-20.00
0
-27
-30.00
-21
-15
-9
Modus
Průměr
25% Medián
75%
-3
3
9
15
21
27
Graf 1. Teoretický model Z t = −0,8 Z t −1 + Ξ t a histogram centrovaných hodnot
Graf 1 ukazuje centrované hodnoty časové řady (vlevo), histogram v pravé části vypovídá o
téměř symetrickém rozložení těchto hodnot.
Tabulka 1. odhady biasu a standardní chyby při použití metody AR(1)
100
200
300
400
500
600
700
800
R
bias
-8.254 -3.749 -2.227 -1.463 -1.003 -0.696 -0.476 -0.311
St.Error 0.063 0.044 0.036 0.031 0.028 0.026 0.024 0.022
900
-0.183
0.021
1000
-0.080
0.020
100
200
300
400
500
600
700
R
bias1
-5.919 -2.683 -1.589 -1.040 -0.709 -0.489 -0.331
St.Error1 0.482 0.341 0.279 0.241 0.216 0.197 0.182
bias2
1.570 0.699 0.406 0.259 0.170 0.111 0.069
St.Error2 0.456 0.323 0.264 0.228 0.204 0.186 0.173
900
-0.120
0.160
0.011
0.153
1000
-0.047
0.152
-0.009
0.145
800
-0.213
0.171
0.036
0.162
V tabulkách 1 a 2 jsou uvedeny hodnoty biasu a standardní chyby odhadu parametru při 100
až 1000 bootstrapových replikacích při použití metod AR(1) a AR(2). Uvedené hodnoty jsou
průměry při 100 opakování každé replikace. Je zajímavé, že i když výchozí model byl tvaru
AR(1), je hodnota biasu při aplikaci metody AR(2) menší. Na druhé straně ale je hodnota
standardní chyby odhadu menší (v hodnotě řádu) u metody AR(1), což ukazuje na
oprávněnost užití metody. Na základě této hodnoty 0,02 standardní chyby můžeme usuzovat
na přesnost odhadu.
Následující grafy 2 a 3 ukazují vývoj odhadu biasu a standardní chyby při 100 až 1000
bootstrapových replikacích při použití metod AR(1) a AR(2). Všechny křivky naznačují
konvergenci po provedení přibližně 800 bootstrapových replikací. Hodnoty biasu konvergují
k nule, hodnoty standardní chyby k 0,02 u metody AR(1) a k 0,15 u metody AR(2). Počet
nutných replikací býval častou otázkou, řešenou v souvislosti s touto problematikou. K tomu
lze jen dodat, že při současném vývoji počítačové techniky není problémem provést několik
tisíc, resp. desítek či stovek tisíc replikací. První pokusy jsme prováděli s 5000 replikací, ale
tento počet se ukázal jako zbytečný, po 1000 opakováních se již hodnoty přestaly měnit.
84
STANDARD ERROR
BIAS
0.07
0
-1100
200
300
400
500
600
700
800
900
100
0.06
-2
0.05
SE
-3
bias
-4
0.04
-5
0.03
-6
0.02
-7
-8
0.01
-9
100
200
300
400
500
600
700
800
R
1000
900
R
Graf 2. Vývoj odhadu biasu a standardní chyby při 100 až 1000 bootstrapových replikacích
při použití metody AR(1)
B IAS 1
STANDARD ERROR 1
0.6
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
standard error 1
-1 0
bias 1
-2
-3
-4
-5
-6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-7
0
100
200
300
400
R
600
700
800
900
1000
R
B IAS 2
STANDARD ERROR 2
2
0.5
1.5
0.4
standard error 2
bias 2
500
1
0.5
0.3
0.2
0.1
0
0
-0.5
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0
1000
R
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000R
Druhý příklad ukazuje na zpracování reálných dat. Použili jsme čtvrtletní hodnoty reálných
mezd v období od prvního čtvrtletí roku 1998 do prvního čtvrtletí roku 2007. Prvním krokem
analýzy bylo centrování dat, neboť uvedená časová řada, jak je patrné z grafu 4(vlevo),
nesplňuje podmínku stacionarity. Opět byly aplikovány modely AR(1) a AR(2) při stejném
počtu bootstrapových replikací jako u prvního příkladu. Odhad parametru α získaný z hodnot
reziduí časové řady metodou nejmenších čtverců je -0.65482.
Hodnota biasu je nejmenší při použití modelu AR(1), podobně i hodnota standardní chyby.
Lze tedy říci, že použití modelu AR(1) je v tomto případě vhodnější .
100
200
300
400
500
600
700
800
R
bias
-6.063 -2.737 -1.613 -1.048 -0.708 -0.482 -0.319 -0.197
St.Error 0.437 0.310 0.253 0.219 0.196 0.179 0.166 0.155
85
900
-0.103
0.146
1000
-0.027
0.139
Kčs
100
200
300
400
500
600
700
R
bias1
-7.046 -3.191 -1.888 -1.235 -0.840 -0.578 -0.390
St.Error1 0.569 0.404 0.330 0.286 0.255 0.234 0.216
bias2
-1.515 -0.698 -0.422 -0.283 -0.200 -0.145 -0.105
St.Error2 0.507 0.365 0.301 0.263 0.237 0.218 0.203
Kčs
MZDY
900
-0.139
0.191
-0.052
0.182
1000
-0.052
0.181
-0.034
0.173
Mzdy-rezidua
y = -0.0047x - 0.0901
y = 267.87x + 10926
R2 = 0.923
24 000
800
-0.249
0.202
-0.076
0.191
1 500
22 000
1 000
20 000
500
18 000
16 000
0
14 000
-500
1
12 000
3 5 7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
-1 000
10 000
1
3 5
-1 500
7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
t
t
Graf 4 hodnoty časová řady reálných mezd (vlevo) a hodnoty reziduí (vpravo)
STANDARD ERROR
BIAS
0
100
-1
200
300
400
500
600
700
800
900
0.5
0.45
100
0.4
0.35
-2
-4
0.3
0.25
0.2
-5
0.15
0.1
-6
0.05
0
SE
bias
-3
-7
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000R
R
Graf 5 Vývoj odhadu biasu a standardní chyby při 100 až 1000 bootstrapových replikacích
Graf 5 ukazuje na vývoj odhadu biasu a standardní chyby při 100 až 1000 bootstrapových
replikacích při použití metody AR(1), graf 6 znázorňuje stejné charakteristiky při stejném
počtu replikací v případě, kdy byla použita metoda AR(2). Průběh odhadu biasu vykazuje ve
všech případech téměř stejný průběh a konvergenci k nule přibližně po 800 replikacích.
BIAS 1
STANDARD ERRO R 1
R
R
86
10
00
90
0
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
-8
30
0
0
-6
20
0
-4
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
0
10
00
90
0
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
30
0
20
0
standard error 1
bias 1
-2
10
0
0
0
BIAS 2
STANDARD ERRO R 2
R
10
00
90
0
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
-2
30
0
0
-1.5
20
0
-1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
0
standard error 2
90
0
10
00
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
30
0
20
0
0
bias 2
-0.5
10
0
0
R
Graf 6 Vývoj odhadu biasu a standardní chyby při 100 až 1000 bootstrapových replikacích
Podobný závěr lze vyslovit o hodnotách standardní chyby, pouze konvergence není k nule, ale
k hodnotě 0,18 po 1000 replikací u metody AR(1) a k 0,18, resp. 0,17 pro SE1 a SE2 u
metody AR(2).
4. Závěr
Obecně lze říci, že bootstrapové metody nejsou zcela přesné, ale jsou schůdným řešením
v případech, kdy reálná situace vyžaduje použití složitého modelu, neboť matematická
obtížnost modelu nesouvisí s přesností bootstrapové analýzy. Jsou tak kompromisním řešením
v případech, kdy použití exaktních metod je příliš složité, anebo při úrovni současného
poznání nemožné.
5. Literatura:
1. DIGGLE,P.: Time Series, a Biostatistical Introduction. Clarendon Press, Oxford,
1990
2. EFRON,B.: More efficient bootstrap computation. J. Amer. Statist. Assoc. 85, 79-89,
1990
3. EFRON,B., TIBSHIRANY,R.: The bootstrap method for assessing statistical
accuracy. Behaviometrika 17, 1-35, 1985.
4. FERNHOLZ,L.T.:Von Mises Calculus for Statistical Functionals, Lecture Notes in
Statistics, Springer, NewYork 1983
5. KALINA,M.: Elementárne o bootstrape. In.: Sborník konference Prastan 2001,
Kočovce 2001, s.94-95, ISBN 80-88946-13-1
6. KANDEROVÁ, M., ÚRADNÍČEK, V: Štatistika a pravdepodobnosť pre ekonómov,
2. časť. OZ Financ, Banská Bystrica, 2007, ISBN 978-80-969535-1-6
7. LINDA,B.: Resampling Methods Accuracy in Point Estimates. In: Sborník příspěvků
15. škola statistiky EKOMSTAT´2001 – Aplikace štatistických metód v hospodárskej
praxi. Trenčianske Teplice 2001, s.64 – 67, ISBN 80-88946-10-7
8. RAO,R.C.: Lineární metody statistické indukce a jejich aplikace. Academia Praha
1978.
Adresa autorů:
doc. PaedDr.Jana Kubanová,CSc, doc. RNDr.Bohdan Linda,CSc
Studentská 95
53210 Pardubice
87
[email protected] , [email protected]
88
Přesnost odhadu v autoregresních modelech při použití metody klouzavých bloků
Jana Kubanová 1, Bohdan Linda 2, Pavel Semerák 3
Abstract: The method of moving blocks is described in this paper. This method can help to
determine the accuracy of the estimated parameters in time series. The commonly used AR(p)
methods have such disadvantage that they underlie to the selected model. When the selection
of the model is inaccurate, it is possible to reach the misguided or incorrect results.
Key words: moving blocks overlapping and not overlapping, bootstrap method, parameters
estimate
1. Metoda klouzavých bloků a bootstrap
Používáme-li v AR modelech pro odhad koeficientů modelu bootstrap, většina metod
nejdříve „napasuje“ vhodný model na původní data z kterého odhadne rezidua a
resamplinguje tato rezidua viz. např. [6]. Toto se může stát nevýhodou v případě, když model
neodpovídá zkoumané časové řadě. Abychom se vyhnuli možné chybě, která může být
způsobena nesprávnou volbou modelu lze resamplingovat původní data. Avšak
bootstrapováním jednotlivých hodnot se ztrácí závislosti, kterými jsou svázána původní data.
Tento nedostatek lze odstranit tak, že nebudeme bootstrapovat jednotlivá data, ale celé bloky
sousedících původních dat. Tato metoda se nazývá metoda klouzavých bloků. V případě, že
délka bloku h je dostatečně velká, bude vnitřní souvislost časové řady zachována. Tento
požadavek nás nutí vytvářet co nejdelší bloky. Vytvářet příliš dlouhé bloky se ale
nedoporučuje, protože bootstrapové výběry vytvořené z dlouhých bloků se mohou často a
značně lišit od originálního výběru a bootstrapové replikace Θˆ * odhadu Θˆ nemusí být
číselně dobrým odhadem parametru Θ . Bohužel neexistuje jednoznačné pravidlo pro určení
ˆ
délky bloku. Obecně lze říci jenom to, že délka bloku závisí na typu statistiky Θ .
Pro tvorbu blokového resamplingového plánu existuje více způsobů. Uvedeme dva z nich.
První plán pracuje s překrývajícími se bloky. Představuje-li n-tice ( x1 , x 2 , ..., x n ) původní
data a pokud zvolíme délku bloku m = 5, prvním blokem je ( x1, x2 , ..., x5 ) , druhým blokem je
( x2 , x3 , ..., x6 ) , třetím ( x3 , x4 , ..., x7 ) a posledním (x n-4 , x n-3 , x n-2 , x n-1 , x n ). Celá časová řada n
prvků (údajů) je tímto rozdělena na n – m + 1 bloků. Počet vybraných bloků by měl odpovídat
délce původní řasové řady, i když v řadě případů nelze získat zcela stejný počet členů časové
řady. Je-li např. m = 5, pak vybíráme k bloků tak, aby přibližně n ≈ k ⋅ m. Je zcela zákonité, že
první, resp. několik prvních hodnot a podobně poslední hodnoty se objevují v menším počtu
bloků, nežli hodnoty ostatní. Tento nedostatek může být odstraněn tzv. “zabalením”
původních dat do pomyslného kruhu. To znamená, pokud stále uvažujeme příklad, kde m = 5,
že vytvoříme následující bloky: (x n-3 , x n-2 , x n-1 , x n , x 1 ), (x n-2 , x n-1 , x n , x 1 , x 2 ), (x n-1 , x n , x 1 , x 2 ,
x 3 ), (x n , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ). Tento postup nám již zajišťuje, že každá z hodnot v původním
náhodném výběru má stejnou pravděpodobnost být vybrána v některém z náhodných bloků a
tím i v následně vytvořené časové řadě.
Druhý plán pracuje s disjunktními bloky. Uvažujeme opět n -tici ( x1 , x 2 , ..., x n ) původních
dat a volíme délku bloku m. Vytvoříme k disjunktních bloků, uvažujeme, že n ≈ k ⋅ m. Pro
ilustraci problému zvolíme m = 5. Prvním blokem je stejně jako v prvním plánu
1
Jana Kubanová, Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní
Bohdan Linda, Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní
3
Pavel Semerák, Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní
2
89
blok ( x1, x2 , ..., x5 ) , druhým blokem však je ( x6 , x7 , ..., x10 ) , třetím ( x11 , x12 , ..., x15 ) a posledním
(x n-4 , x n-3 , x n-2 , x n-1 , x n ). Při tomto postupu se vybírají jednotlivé bloky, přičemž
pravděpodobnost výběru každého z nich je stejná, a to 1/k. Tyto vybrané bloky se skládají za
sebe a tvoří novou časovou řadu.
Cílem je odhadnout parametry těchto modelů. Odhady lze provést klasickými
metodami matematické statistiky, ale vyvstává otázka, jak je takový odhad přesný. Řešení
nabízejí uvedené resamplingové metody při použití metody klouzavých bloků (disjunktních
nebo překrývajících se).
Z bootstrapových výběrů, získaných některým blokovým resamplingem se získají
metodou nejmenších čtverců bootstrapové replikace α̂ * odhadu α̂ z nichž pomocí vztahů
1 R
Bαˆ = ∑ αˆ i* − αˆ a SE (αˆ ) =
R i =1
1 R *
(α i − α * )2 , kde
∑
R − 1 i =1
α* =
1 R ˆ*
∑α i
R i =1
provedeme bootstrapové odhady biasu a standardní chyby odhadu α̂ . R je počet
vygenerovaných replikací.
2. Praktická demonstrace výsledků metody
a) Teoretický příklad - vygenerovaná časová řada Z t = −0,8 Z t −1 + Ξ t .
Vygenerovali jsme časovou řadu tvaru Z t = −0,8 Z t −1 + Ξ t . Parametr α je předem znám a
známe rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny Ξ. Náhodné odchylky byly generovány
z N(0,1) rozdělení pravděpodobnosti. Postupujeme tak, jako by parametr i rozdělení odchylek
byly neznámé a určíme přesnost jejich odhadu. Odhad parametru α na základě
vygenerovaných dat metodou nejmenších čtverců je -0.846.
Tabulka 1. odhady biasu a standardní chyby při použití metody překrývajících se klouzavých
bloků, m = délka bloku
m
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
R
3 -4.773 -2.020 -1.091 -0.623 -0.342 -0.154 -0.020 0.081 0.159 0.222
bias
St.Error 3 0.436 0.309 0.252 0.218 0.195 0.178 0.165 0.154 0.145 0.138
6 -6,872 -3,051 -1,761 -1,112 -0,722 -0,461 -0,275 -0,135 -0,026 0,061
bias
St.Error 6 0,411 0,291 0,238 0,206 0,185 0,169 0,157 0,147 0,138 0,131
8 -7,223 -3,226 -1,879 -1,202 -0,794 -0,521 -0,326 -0,181 -0,067 0,025
bias
St.Error 8 0,395 0,281 0,228 0,197 0,177 0,162 0,149 0,139 0,131 0,125
Tabulka 2. odhady biasu a standardní chyby při použití metody disjunktních klouzavých
m
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
R
3 -7,823 -3,531 -2,082 -1,353 -0,915 -0,622 -0,413 -0,256 -0,134 -0,036
bias
St.Error 3 0,173 0,123 0,100 0,087 0,078 0,071 0,066 0,061 0,058 0,055
6 -7,834 -3,537 -2,086 -1,357 -0,918 -0,625 -0,416 -0,258 -0,136 -0,038
bias
St.Error 6 0,172 0,122 0,100 0,086 0,077 0,071 0,066 0,061 0,058 0,055
V tabulkách 1 resp. 2 jsou uvedeny hodnoty biasu a standardní chyby odhadu parametru při
100 až 1000 bootstrapových replikacích u metody překrývajících se klouzavých bloků resp.
90
disjunktních klouzavých bloků. Uvedené hodnoty jsou průměry po 100 opakováních
replikačního procesu.
V následujících grafech 1 a 2 je ukázán vývoj hodnot biasu a standardní chyby v závislosti na
počtu replikací při délce bloku m = 3 . Při počtu replikací větším než 1000 již k žádným
významným změnám hodnot biasu a standardní chyby nedocházelo. Při 5000 replikací se bias
a směrodatná chyba usadili na hodnotách 0,26 a 0,15 pro překrývající se klouzavé bloky (viz
Graf 1) a na hodnotách 0 a 0,05 pro disjunktní klouzavé bloky (viz Graf 2).
B IAS
STANDARD ERROR
1
0,5
bias
-1 0
100
200
300
400
500
600
700
800
standard error
0
900 1000
-2
-3
-4
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
0
-6
200
400
600
800
1000
R
R
při použití metody překrývajících se klouzavých bloků, m = 3
Podobný je průběh závislosti i pro další délky bloků, tj. pro m = 6 a m = 8.
B IAS
STANDARD ERROR
0,2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000
standard error
-1 0
-2
bias
-3
-4
-5
-6
-7
0,15
0,1
0,05
0
-8
0
-9
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000
R
R
při použití metody disjunktních klouzavých bloků, m = 3
Podobný je průběh závislosti i pro m = 6.
b) Druhý příklad – časová řada je tvořena čtvrtletními hodnotami reálných mezd v období od
prvního čtvrtletí roku 1998 do prvního čtvrtletí roku 2007. Jelikož tato řada není stacionární,
bylo nejdříve zapotřebí provést transformaci dat, po němž byl na nově vzniklou číselnou řadu
(viz Graf 3. vpravo) aplikován autoregresní model AR(1). Odhad parametru α byl získán
metodou nejmenších čtverců, jeho hodnota činí -0,65482.
91
Podobně jako v předchozím příkladu, tabulky 3 a 4 nám ukazují, jaké jsou hodnoty
bootstrapového odhadu biasu a směrodatné chyby odhadu parametru α při různých metodách
klouzavých bloků a jejich délkách a při různém počtu replikací.
Tabulka 3. odhady biasu a standardní chyby při použití metody překrývajících se klouzavých
m
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
R
3
bias
-4,118 -1,752 -0,954 -0,552 -0,311 -0,149 -0,034 0,052 0,119 0,173
St.Error 3 0,374 0,265 0,216 0,187 0,167 0,153 0,141 0,132 0,125 0,118
6 -5,359 -2,380 -1,374 -0,868 -0,564 -0,360 -0,215 -0,106 -0,021 0,046
bias
St.Error 6 0,253 0,180 0,147 0,127 0,114 0,104 0,096 0,090 0,085 0,081
9 -5,757 -2,581 -1,508 -0,969 -0,645 -0,428 -0,274 -0,157 -0,067 0,005
bias
St.Error 9 0,246 0,174 0,142 0,123 0,110 0,101 0,093 0,087 0,082 0,078
Tabulka 4. odhady biasu a standardní chyby při použití metody disjunktních klouzavých
m
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
R
3
bias
-4,696 -2,045 -1,150 -0,700 -0,429 -0,248 -0,119 -0,022 0,054 0,114
St.Error 3 0,132 0,093 0,076 0,066 0,059 0,054 0,050 0,047 0,044 0,042
6 -6,606 -3,009 -1,794 -1,184 -0,817 -0,572 -0,396 -0,265 -0,162 -0,080
bias
St.Error 6 0,195 0,138 0,113 0,098 0,087 0,080 0,074 0,069 0,065 0,062
BIAS
S TANDARD ERROR
0,5
1
bias
-1 0
200
400
600
800
standard error
0
1000
-2
-3
-4
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
-5
R
200
400
600
800
1000
R
při použití metody překrývajících se klouzavých bloků, m = 3
Podobný je průběh závislosti i pro další délky bloků, tj. pro m = 6 a m = 9.
Stejně jako v předcházejícím příkladu, i grafy 4 a 5 ukazují vývoj odhadu biasu a standardní
chyby při 100 až 1000 replikacích při délce bloku m = 3 . V případě metody překrývajících se
bloků konverguje bias k hodnotě 0,17 a standardní chyba k hodnotě 0,11. U metody
disjunktních bloků vykazují hodnoty biasu konvergenci k hodnotě 0,11 a hodnoty standardní
chyby k číslu 0,04.
Podobný je průběh závislosti i pro m = 6.
92
STANDARD ERRO R
BIAS
1
bias
-1
0
200
400
600
800
standard error
0
1000
-2
-3
-4
-5
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
R
200
400
600
800
1000
R
při použití metody disjunktních klouzavých bloků, m = 3
3. Závěr
Uvedené příklady naznačují, že větší délka bloků jak při disjunktních, tak i překrývajících se
blocích dává menší hodnoty biasu i standardní chyby. To však v žádném případě neznamená,
že menší hodnota je lepší než větší. Aby bylo možno vyvodit obecně platné závěry ohledně
délky bloků, bylo by potřeba provést velké množství experimentů, u kterých bychom předem
znali výsledky. Statistik si dokáže představit obtížnost tohoto úkolu. Pravděpodobně z toho
důvodu ani v literatuře není o této metodě mnoho zmínek.
4. Literatura:
1. DIGGLE,P.: Time Series, a Biostatistical Introduction. Clarendon Press, Oxford,
1990
2. EFRON,B.: More efficient bootstrap computation. J. Amer. Statist. Assoc. 85, 79-89,
1990
3. EFRON,B.,TIBSHIRANY,R.: The bootstrap method for assessing statistical accuracy.
Behaviometrika 17, 1-35, 1985.
4. FERNHOLZ,L.T.:Von Mises Calculus for Statistical Functionals, Lecture Notes in
Statistics, Springer, NewYork 1983
5. KALINA,M.: Elementárne o bootstrape. In.: Sborník konference Prastan 2001,
Kočovce 2001, s.94-95, ISBN 80-88946-13-1
6. KUBANOVÁ,J., LINDA,B.: Přesnost odhadu v autoregresních modelech. Článek
zaslaný na konferenci Fernstat, Tajov 2007
7. LINDA,B.: Resampling Methods Accuracy in Point Estimates. In: Sborník příspěvků
15. škola statistiky EKOMSTAT´2001 – Aplikace štatistických metód v hospodárskej
praxi. Trenčianske Teplice 2001, s.64 – 67, ISBN 80-88946-10-7
8. RAO,R.C.: Lineární metody statistické indukce a jejich aplikace. Academia Praha
1978.
Adresa autorů:
doc. PaedDr.Jana Kubanová,CSc, doc. RNDr.Bohdan Linda,CSc, Mgr.Pavel Semerák
Studentská 95
53210 Pardubice
[email protected] , [email protected] , [email protected]
93
Dva pohľady na reprezentatívnosť
Ján Luha
Abstract
In this article we dealt with question of representativeness one sample and more samples.
1. Úvod
Základné vlastnosti kladené na informácie z empirických výskumov sú objektívnosť,
reliabilita a presnosť, validita a reprezentatívnosť.
Je dôležité, aby bola zabezpečená reprezentatívnosť výberovho súboru, teda zhoda jeho
parametrov s parametrami sledovaného základného súboru (populácie). Princíp
reprezentatívnosti zvykneme parafrázovať výrokom Georga Gallupa: Ak kuchárka dobre
zamieša obsah hrnca, tak jej stačí nabrať a ochutnať iba za lyžicu polievky, aby zistila, ako to
vyzerá s obsahom celého hrnca.
Výberová vzorka je ako tá lyžica polievky, ktorú ochutnáva kuchárka. Obsah hrnca je skúmaný
základný súbor. Pri kvótovom výbere správne stanovenie kvót a ich dodržanie anketármi
predstavuje varechu na dobré premiešanie obsahu hrnca - nášho základného súboru. Pri
náhodnom výbere je tom pomyselnou varechou správne realizovaný mechanizmus náhodnosti.
Po dobrom "zamiešaní" získavame reprezentatívne výsledky.
Obvykle je predmetom záujmu jeden základný súbor a reprezentatívnosť opovedajúceho
výberového súboru je vzťahovaná na tento základný súbor. Vyskutujú sa ale situácie keď
skúmame viac základných súborov a vtedy je potrebné koncept reprezentatívnosti „predĺžiť“
na novú situáciu. I keď je to na prvý pohľad elementárna úloha, ktorá sa vyskytla napríklad pri
zisťovaní spokojnosti poistencov zdravotných poisťovní s liečbou v nemocniciach, môže prísť
ku nepochopeniu, ako napríklad zisťovanie poisťovne Apollo, kde sa hovorí o všeobecne
uznávanej reprezentatívnej vzorke o rozsahu 1000 respondentov a z tohoto počtu odvodzujú
potrebný počet pre zabezpečenie reprezentatívnosť 91 základných súborov jednotlivých
nemocníc.
V príspevku sa venujeme otázkam reprezentatívnosti za jeden základný súbor a za viac
základných súborov.
2. Reprezentatívnosť – jeden základný súbor
Všeobecne definujeme pojem reprezentatívnosti ako zhodu distribučných funkcií (rozdelenia
pravdepodobnosti) skúmaných výberových charateristík s odpovedajúcimi im distribúciami
v záujmovom základnom súbore.
Na ilustráciu uvedieme pojem reprezentatívneho výberu z ESOMAR Marketing Research
Glossary: Representative Sample is a sample that contains units in the same proportion as the
population of interest.
V závislosti od skúmaných znakov (charakteristík) a od spôsobu vytvorenia výberového súboru
možno pojem reprezentatívnosti ďalej bližšie špecifikovať. Viď napr. Luha J. (2006).
2.1 Formalizácia definície reprezentatívnosti
Uvažujme kvalitatívny znak Z s r hodnotami, ktoré okódujeme číslami 1, 2, ..., r.
94
Označme rozdelenie pravdepodobnosti tohoto znaku v skúmanom základnom súbore:
Л= (л1, л2, ..., лr), kde
r
πi =1
∑
i
=1
a rozdelenie pravdepodobnosti daného znaku vo výberovom súbore (empirické relatívne
početnosti a absolútne početnosti):
r
P= (p1, p2, ..., pr), kde
∑ pi =1 a N= (n1, n2, ..., nr), pričom
i =1
r
ni =n.
∑
i
=1
V prípade reprezentatívneho výberu platí hypotéza H0 o zhode uvedených rozdelení
pravdepodobnosti. Hypotézu môžeme formulovať nasledovne:
H0: Rozdelenie N je multinomické M(л,n).
Obvykle stanovíme alternatívnu hypotézu H1: neplatí H0.
Reprezentatívnosť v prípade viac znakov môžeme uvažovať za každý znak zvlášť. Výberový
súbor potom považujeme za reprezentatívny, ak je reprezentatívny za všetky kontrolované
znaky.
2.2 Rozsah výberového súboru
Je rozhodujúcim parametrom pre konštrukciu výberového súboru, nesúvisí priamo
s reprezentatívnosťou, ale je dôležitý najmä z hľadiska reliability.
Teoretickým východiskom pre stanovenie rozsahu výberovej vzorky pri jednoduchom
náhodnom výbere je vzorec:
n=(1,96/d)2p.q
pri úrovni významnosti 5% (za predpokladu npq > 9) a keď uvažujeme znak s odpoveďami
(áno / nie), kde q=1-p a d je predpokladaná presnosť odhadu podielu p výskytu hodnoty áno .
Pre výber bez opakovania zo základného súboru o veľkosti N, je vzorec na výpočet rozsahu
výberu:
n=(1,96/d)2pq (1 - f),
kde f=n/N je výberový pomer.
Na konkretizáciu výpočtov potrebujeme skúmať očakávanú presnosť (reliabilitu) výsledkov
a potom na základe rozboru realizovateľnosti prieskumu zvoliť konkrétnu hodnotu rozsahu
výberov. Pritom však musíme sledovať splnenie podmienky aplikácie uvedeného vzorca
a síce npq > 9.
Pre orientáciu uvádzame tabuľku minimálnych rozsahov vyplývajúcu z uvedeného vzťahu
pre rôzne hodnoty podielu (Poznámka: Pre p a 1-p sú tieto hodnoty zhodné):
p
p
n
0,01 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,30 0,50
0,99 0,98 0,95 0,90 0,85 0,80 0,70 0,50
909 459 189 100
71
56
43
36
Obvykle sa vzorec pre výpočet minimálneho rozsahu výberu zjednodušuje na prípad p=0,5.
Potom dostávame:
n=(0,98/d)2 .
Uvádzame tabuľku minimálnych rozsahov výberu pre vybrané hodnoty požadovanej presnosti
(reliability). Keďže je obvyklé udávať hodnoty reliability v percentách je v tabuľke taktiež
uvedená v percentách:
reliabilita d
rozsah
n
1
9064
2
2401
3
1067
5
384
8
150
95
10
96
11
79
12
67
12,65
60
15
43
3. Reprezentatívnosť – viac základných súborov
Ilustratívny príklad:
Všeobecná zdravotná poisťovňa, a.s. (ďalej VšZP), v spolupáci s ÚVVM (podľa metodiky,
ktorú navrhol autor tejto práce) uskutočnila už dva reprezentatívne prieskumy spokojnosti:
V decembri 2005 a v januári 2006 uskutočnila reprezentatívny prieskum náhodne vybraných
poistencov, ktorí v priebehu 2. až 4. štvrťroka 2005 absolvovali liečbu v niektorej nemocnici
alebo v kúpeľnom zariadení na Slovensku 112 nemocníc a 21 kúpeľov.
Podľa upresnenej smernice realizovala v decembri 2006 a januári 2007 ďalší prieskum
spokojnosti poistencov 100 nemocníc. (viď: http://www.vszp.sk/showdoc.do?docid=231).
Vybraných poistencov oslovila písomne a požiadala ich, aby vyplnili dotazník, ktorý mapoval
úroveň ich spokojnosti s konkrétnym zariadením, kde boli liečení.
Špecifikom prieskumu bol fakt, že každé skúmané zariadenie predstavovalo základný súbor,
takže bolo nutné overovať viac základných súborov a teda aj výberových súborov.
Úlohou je teda garantovať reprezentatívnosť výberových súborov simultánne pre viac
záujmových základných súborov. Ak pracujeme napríklad so 100 základnými súbormi, tak
musíme skúmať aj 100 výberových súborov a tiež reprezentatívnosť každého z nich. Okrem
základných teoretických predpokladov sa stáva viac naliehavý problém nákladov na realizáciu
prieskumu. Významným faktorom, ktorý determinuje náklady na prieskum je rozsah
výberového súboru. Ak by sme napríklad požadovali reliabilitu do +/- 3%, tak podľa prv
uvedenej tabuľky potrebujeme získať reprezentatívny výberový súbor o rozsahu 1067 (ak
neuvažujeme konečnosť základného súboru). Pri praktickej realizácii prieskumu pre viac
základných súboroch berieme do úvahy aj rozsah záujmových základných súborov.
Vyjdime z tabuľky minimálnych rozsahov výberových súborov v závislosti od požadovanej
reliability. Predpokladajme, že (aj vzhľadom na náklady) budeme požadovať minimálnu
reliabilitu 12%. Potom môžeme vypočítať rozsahy výberových súborov pre alternatívu:
n=67 s využím vzorca n=(1,96/d)2pq (1 – n/N) (uvažujeme teda konečnosť základných
súborov). Na ilustráciu uvedieme tabuľku výpočtu rozsahov výberových súborov pre
niekoľko anonymných zariadení. V tabuľke sme označili n0=(1,96/d)2pq) pre p=0,5.
zariadenie
n=n0/(1+n0/N)
porc Rozsah zákl. súboru
n0
n
n_zaokr
1
32 731
67
66,86
67
2
22 957
67
66,81
67
3
22 466
67
66,80
67
4
21 380
67
66,79
67
5
20 984
67
66,79
67
6
19 732
67
66,77
67
7
18 870
67
66,76
67
8
18 485
67
66,76
67
9
10 707
67
66,58
67
10
10 369
67
66,57
67
11
159
67
47,14
60
12
5
5
2,50
5
suma
198 845
742
717,13
735
96
4. Literatúra
1. Elliott, C. and Ellingworth, D. (1997) 'Assessing the Representativeness of the
1992 British Crime Survey: The Impact of Sampling Error and Response Biases'
Sociological Research Online, vol. 2, no. 4,
http://www.socresonline.org.uk/socresonline/2/4/3.html
2. Hastings R.: ESOMAR Marketing Research Glossary.
http://www.esomar.org/web/show/id=45195
3. Chajdiak J.: Štatistika jednoducho. Statis Bratislava 2003.
4. Kanderová, M. – Úradníček, V.: Štatistika a pravdepodobnosť pre ekonómov 1.
časť. OZ Financ, Banská Bystrica 2005.
5. Kanderová, M. – Úradníček, V.: Štatistika a pravdepodobnosť pre ekonómov 2.
časť. OZ Financ, Banská Bystrica 2007.
6. Luha J.: Meranie spoľahlivosti výsledkov výskumu verejnej mienky. Zborník
príspevkov Využitie štatistických metód v sociálno - ekonomickej praxi,
EKOMSTAT´94 29.5.-3.6. 1994 Trenčianske Teplice, SŠDS.
7. Luha J.: Exaktné intervaly spoľahlivosti pre podiely. Slovenská štatistika a
demografia 1/96.
8. Luha J.: Reprezentatívnosť vo výskumoch verejnej mienky. FORUM
STATISTICUM SLOVACUM 2/2005. SŠDS Bratislava 2005.
9. Luha J.: Overovanie reprezentatívnosti výberového súboru. FORUM STATISTICUM
SLOVACUM 5/2006. SŠDS Bratislava 2006.
10. Luha J.: Kvótový výber. FORUM STATISTICUM SLOVACUM 1/2007. SŠDS Bratislava
2007.
11. Mace A. E.: Samle-size determination. Reihold. New York 1964.
12. http://www.apollo.sk/download/indikator_kvality_reprezent_prieskum_2005_apollo.zip.
13. http://www.vszp.sk/showdoc.do?docid=231, Informácia o prieskume spokojnosti
poistencov VšZP za rok 2006
Adresa autora:
RNDr. Ján Luha, CSc.
[email protected]
97
Analýza civilní a vojenské inflace pomocí kointegrace
Jiří Neubauer 1
Abstract: The article is focused on the question of modelling multidimensional nonstationary cointegrated processes. It is a modern method especially used for the description of
economic time series. The multidimensional process is called cointegrated if there exists any
linear combination of its one-dimensional components which is stationary. Cointegration
analysis of civil and military inflation in USA is realized in this article. We will try to answer
the question if it is possible to replace military inflation by civil inflation.
Key words: cointegration, vector autoregressive process, inflation.
1. Úvod
Kointegrace patří mezi moderní metody modelování vícerozměrných nestacionárních
procesů, nachází uplatnění převážně v oblasti makroekonomických časových řad. Podrobný
popis této metody je možné najít například v [Hamilton, 1994], [Johansen, 1995]. Článek je
věnován kointegrační analýze civilní a vojenské inflace v USA.
Uvedeme nyní v krátkosti některé základní definice a nezbytná tvrzení.
Definice 1. Nechť {ε t } je n-rozměrný bílý šum s nulovou střední hodnotou a varianční
maticí Ω . Stochastický proces splňující Yt − EYt = ∑i =1 C i ε t −i se nazývá I(0) proces, jestliže
∞
C = ∑i =0 C i ≠ 0.
∞
Definice 2. O stochastickém procesu {Yt } řekneme, že je integrovaný řádu d a značíme jej
I(d), d = 1,2,..., jestliže ∆d (Yt − EYt ) je I(0) proces.
Definice 3. Vícerozměrný proces {Yt } nazveme n-rozměrným autoregresním procesem
VAR(p), jestliže platí
Yt = Φ1 Yt −1 + Φ 2 Yt − 2 +  + Φ p Yt − p + ΛD t + ε t pro t = 1,2,T ,
(1)
pro dané počáteční hodnoty Y− p +1 , , Y0 , kde ε t je n-rozměrný bílý šum s normálním
rozdělením N (0, Ω) , Φ1 , Φ p jsou matice koeficientů (řádu n), Λ je matice koeficientů
deterministického členu D t , který může obsahovat konstantu, lineární člen, sezónní vlivy a
další regresory, které jsou nestochastické. Matice Λ je typu n × s , matice D t je typu s × 1 .
Autoregresní proces VAR(p) definovaný rovnicí (1) je možné po jednoduchých úpravách
zapsat ve tvaru
p −1
∆Yt = ΠYt −1 + ∑ Γ i ∆Yt −i + ΛD t + ε t pro t = 1,2,T ,
(2)
i =1
kde Π = ∑i =1 Φ i − I , Γ i = −∑ j =i +1 Φ j . Tento tvar vyjádření autoregresního procesu se
p
p
nazývá ECM („error correction model“), používá se pro popis a analýzu kointegrovaných
procesů resp. časových řad.
1
Jiří Neubauer, Katedra ekonometrie, Fakulta ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brně
98
Hlavní myšlenku kointegrace ukážeme na 2 jednorozměrných procesech typu I(1).
Řekneme, že procesy X t a Yt jsou kointegrované, jestliže existuje taková lineární kombinace
aX t + bYt , která je stacionární. Uvedeme nyní obecnou definici kointegrovaného procesu.
Definice 4. Nechť Yt je n-rozměrný integrovaný proces řádu 1. Tento proces nazveme
kointegrovaný s kointegračním vektorem β ( β ∈ R n , β ≠ 0 ), jestliže při vhodné volbě
počátečních hodnot je proces β ′Yt stacionární.
V případě dvourozměrného procesu může existovat pouze jeden kointegrační vektor.
Pokud je n > 2 , mohou existovat dva vektory β1 , β 2 takové, že β1′ Yt i β ′2 Yt jsou stacionární
a přitom jsou β1 , β 2 lineárně nezávislé. Obecně může existovat r < n lineárně nezávislých
kointegračních vektorů. Jejich maximální počet budeme označovat jako řád (hodnost)
kointegrace a vektorový prostor, který tyto vektory generují, jako kointegrační prostor.
2. Maximálně věrohodné odhady kointegračních vektorů
Grangerova věta (viz např. [Johansen, 1995]) udává nutnou a postačující podmínku,
aby autoregresní VAR(p) proces byl I(1) a kointegrovaný. Podle hodnosti matice Π v jeho
ECM reprezentaci se definuje tzv. H (r ) model procesu I(1).
Definice 5. H (r ) model procesu I(1) je definován jako model VAR(p) splňující
Π = αβ ′ ,
kde α a β jsou n × r matice. ECM reprezentace tohoto modelu má tvar
p −1
∆Yt = αβ ′Yt −1 + ∑ Γ i ∆Yt −i + ΛD t + ε t pro t = 1,2,T ,
(3)
i =1
kde α, β, Γ1 , , Γ p −1 Λ, Ω jsou parametry, na které nejsou kladena žádná omezení.
Za předpokladu platnosti hypotézy
H (r ) : Π = αβ ′
získáme maximálně věrohodný odhad parametru β následujícím postupem (viz [Johansen,
1995], [Hamilton, 1994]). Nejprve vyřešíme rovnici 2
−1
| λS11 − S10 S 00
S 01 |= 0
pro vlastní čísla 1 > λ1 >  > λ n a vlastní vektory V = ( v 1 , , v n ) , které jsou normalizovány
vztahem V ′S11 V ′ = I . Kointegrační vztahy odhadneme z
βˆ = ( v , , v ) ,
1
r
maximalizovaná hodnota věrohodnostní funkce je dána vztahem
r
2/T
L−max
=| S 00 | ∏ (1 − λi ) .
(4)
i =1
Test věrohodnostním poměrem („likelihood ratio test“) Q( H (r ) | H (n)) modelu H (r ) v modelu H (n) dvou výrazů (4) pro r a n, tedy
r
Q( H (r ) | H (n))
2
−
T
=
| S 00 | ∏ (1 − λi )
i =1
n
| S 00 | ∏ (1 − λi )
i =1
Po zlogaritmování obdržíme tzv. „TRACE“ statistiku
2
Konstrukce matic
S 00 , , S11 je podrobně popsána v [Johansen, 1995]
99
.
n
∑ ln(1 − λ ) .
− 2 ln Q( H (r ) | H (n)) = −T
i = r +1
i
(5)
Statistika pro testování modelu H (r ) v H (r + 1) (tzv. „MAX“ statistika) je dána vztahem
(6)
− 2 ln Q( H (r ) | H (r + 1)) = −T ln(1 − λ r +1 ) .
Předpokládejme, že hodnost matice Π je rovna r. Asymptotické rozdělení statistik (5) a (6)
závisí na existenci deterministického členu v modelu.
3. Odhad kointegračního vektoru lineární regresí
Jiná metoda odhadu kointegračního vektoru je založena na lineární regresi. Definujme
regresní model
(7)
Y1t = a + γ 2Y2t +  + γ nYnt + U t ,
kde a je konstanta, Yt = (Y1t , Y2t , , Ynt )′ a U t jsou rezidua. Hlavní myšlenka testování
kointegrace pomocí lineární regrese vychází z tvrzení, že pokud existuje nějaký kointegrační
vektor v procesu Yt , potom rezidua U t jsou stacionární. V případě, že rezidua stacionární
nejsou, hovoříme o tzv. zdánlivé („spurious“) regresi. K testování stacionarity reziduí
můžeme použít testy jednotkových kořenů, které jsou např. popsány v [Hamilton, 1994].
Asymptotické rozdělení těchto statistik však není stejné jako v jednorozměrném případě,
kritické hodnoty daných testů je možno případně najít v [Hamilton, 1994]. V krátkosti
ukážeme konstrukci jednoho ze základních typů testů.
Nechť Û t jsou odhadnutá rezidua v regresním modelu (7). Z regresního modelu
Uˆ = ρUˆ + E pro t = 2,3,T
dostáváme odhad parametru ρ
t −1
t
t
T
ρˆ =
∑Uˆ
t =2
T
Uˆ t
t −1
∑Uˆ
t =2
.
2
t −1
Nechť s je odhad rozptylu Et , potom
2
T
s2 =
∑ (Uˆ
t
t =2
− ρÛˆ t −1 ) 2
T −2
a standardní chyba odhadu parametru ρ je
σˆ ρˆ =
s2
.
T
∑Uˆ
t =2
2
t −1
Odhady autokovariancí reziduí získáme ze vztahu
T
cˆ j =
∑ Eˆ Eˆ
t = j+2
t
t− j
pro j = 0,1,2,T - 2,
T −1
q
kde Eˆ t = Uˆ t − ρÛˆ t −1 a nechť λ̂ = cˆ0 + 2∑ [1 − j /( q + 1)]cˆ j , kde q je počet autokovariancí.
j =1
Phillipsova Z Pρ má tvar (viz [Hamilton, 1994])
100
Z Pρ = (T − 1)( ρˆ − 1) − (1 / 2) ⋅ {(T − 1) 2 σˆ ρ2ˆ / s 2 } ⋅ {λˆ2 − cˆ0 },
Phillipsova Z Pt statistika je dána vztahem
Z Pt = (cˆ0 / λˆ2 )1 / 2 ⋅ t − (1 / 2) ⋅ {(T − 1) 2 σˆ ρ2ˆ / s 2 } ⋅ {λˆ2 − cˆ0 } / λˆ,
kde t je obvyklý t-test pro testování hypotézy H 0 : ρ = 1
ρˆ − 1
t=
.
σˆ ρ̂
4. Kointegrační analýza civilní a vojenské inflace
V této části příspěvku se budeme zabývat kointegrační analýzou dvourozměrné časové
časové řady, jejíž komponenty jsou civilní a vojenská inflace v USA (viz. obrázek 1). Data
byla získána z US DoD inflation Yearbook. První časová řada je inflace v obranných výdajích
(DoD inflace), druhou řadu tvoří civilní inflace odvozená od CPI. Nejprve se pokusíme se
zjistit, zda je daná dvourozměrná řada kointegrovaná, a poté zkusíme odpovědět na otázku,
jestli je možné nahradit inflaci v obranných výdajích inflací civilní.
CPI inflace (plna cara), vojenska inflace (carkovane)
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
rok
Obrázek 1. Civilní a vojenská inflace v USA
Při kointegrační analýze použijeme metody stručně popsané v předchozích odstavcích.
Označme Y1t  DoD inflace, Y2t  CPI inflace, Yt = (Y1t , Y2t )′ . Tuto dvourozměrnou časovou
řadu můžeme popsat jako VAR(2) proces bez konstanty a lineárního členu. K testu
autokorelace reziduí byl použit portmanteau test (hodnota testového kriteria je 29,59, kritická
hodnota 31,41). Výsledky kointegrační analýzy pomocí maximální věrohodnosti jsou shrnuty
v tabulce 1.
Tabulka 1. Testy kointegrace – TRACE a MAX statistika ( α = 0,05 )
r vlastní hodnota λ TRACE statistika krit. hodnota MAX statistika krit. hodnota
0
0,277
15,24
12,21
14,28
11,14
1
0,022
0,97
4,14
0,97
4,14
Na základě daných hodnot můžeme najít jeden kointegrační vektor βˆ = (−0,743;0,821)′ .
Regresní model pro danou časovou řadu může být zapsán ve tvaru
Y1t = a + γ 2Y2t + U t .
101
Dostáváme odhady parametrů aˆ = 1,026 ( σˆ aˆ = 0,010 ) a γ 2 = 0,863 ( σˆ γˆ = 0,004 ), můžeme
psát
Y1t = 1,026 + 0,863Y2t + U t .
Linearni regresni model civilni a vojenske inflace
18
16
14
Vojenska inflace
12
10
8
6
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
Civilni inflace
10
12
14
Obrázek 2. Lineární regresní model civilní a vojenské inflace v USA
V tabulce 2 jsou shrnuty výsledky testů kointegrace založené na lineární regresi jedné
komponenty časové rady na druhou. Rezidua v dané regresi je možné považovat za
stacionární (obě hodnoty testových statistik jsou menší než odpovídající kritické hodnoty pro
hladinu významnosti α = 0,05 ). Dané časové řady civilní a vojenské inflace jsou
kointegrované.
Tabulka 2. Testy kointegrace – Phillipsova Z Pρ a Z Pt statistika ( α = 0,05 )
test
testová statistika krit. hodhota
-60,65
-20,50
Phillipsova Z Pρ statistika
-4,82
Phillipsova Z Pt statistika
-3,37
Nyní se pokusíme odpovědět na otázku, zda je možné nahradit vojenskou inflaci
inflací civilní. Lineární regresní model je zobrazen na obrázku 2. Pokud by tomu tak bylo, pak
bychom měli dostat regresní model
Y1t = Y2t + U t .
Budeme tedy testovat hypotézy, že a = 0 a γ 2 = 1 . Výsledky individuálních t-testů jsou
uvedeny v tabulce 3. Na hladině významnosti 0,05 můžeme zamítnout nulovost koeficientu a
(není jej možné vynechat), na dané hladině významnosti však není možné zamítnout
hypotézu, že koeficient γ 2 je roven 1.
Tabulka 3. Individuální t-test
test
H o : a = 0 → H1 : a ≠ 0
H o : γ 2 = 0 → H1 : γ 2 ≠ 0
testová statistika p-hodnota
2,602
0,013
-1,773
0,083
102
Provedeme nyní test složené hypotézy a = 0 a zároveň γ 2 = 1 pomocí obecné lineární
hypotézy (viz [Hebák, 2005])
Rb = r,
kde R je známá matice J × p , r je známý vektor J × 1 a b je vektor p × 1 regresních
parametrů v regresním modelu
Y = Xb + ε.
Testová statistika
(r − Rb)′H −1 (r − Rb) / J
,
(Y − Xb)′(Y − Xb) /( n − p )
kde X je n × p matice regresorů, H = R ( X′X) −1 R ′ , má za platnosti hypotézy H 0 : Rb = r
Fisherovo F rozdělení s J a n − p stupni volnosti. V našem případě je
F=
a
0
1 0
, b =  , r =  .
R = 
1
0 1
γ 2 
Tabulka 4. Test složené hypotézy
test
testová statistika p-hodnota
2,602
0,037
H o : Rb = r → H 1 : Rb ≠ r,
Na hladině významnosti 0,05 je tedy možné zamítnout tvrzení, že a = 0 a zároveň γ 2 = 1 ,
což znamená, že existuje statistiky významný rozdíl mezi civilní a vojenskou inflací.
5. Závěr
Pomocí několika testů bylo ověřeno, že časové řady civilní a vojenské inflace jsou
kointegrované. Dále bylo ukázáno, že existuje statisticky významný rozdíl mezi těmito dvěma
časovými řadami, není tedy vhodné popisovat inflaci v obranných výdajích pomocí inflace
v civilním sektoru (v našem případě odvozené od CPI).
6. Literatura
HAMILTON, J., D. 1994. Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1994,
ISBN 0-691-04289-6.
HEBÁK, P.- HUSTOPECKÝ- J. MALÁ, I. 2005. Vícerozměrné statistické metody. Praha:
Informatorium, 2005, ISBN 80-7333036-9.
JOHANSEN, S. 1995. Likelihood-based Inference in Cointegrated Vector Auto-regressive
Models. Oxford: Oxford University Press, 1995, ISBN 0-19-877450-7.
Adresa autora:
Jiří Neubauer
Katedra ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brně
Kounicova 65
612 00 Brno
Česká republika
[email protected]
103
Hodnocení míry regulace prostřednictvím statistických klasifikačních metod
Jakub Odehnal 1, Jaroslav Michálek 2
Abstract: This contribution is focused on application of multivariate statistical classification
analysis to assessment of regulation burden of selected countries in European Union.
Indicators were created from the research of Fraser Institute. They are: Size of Government,
Legal System and Property Rights, Sound Money, Freedom to Trade Internationally,
Regulation.
Key words: Cluster Analysis, classification trees, Factor analysis, economic freedom.
1. Úvod
Příspěvek vychází z [2] avšak odlišně představuje použití různorodých statistických
klasifikačních metod k hodnocení regulačního zatížení zemí Evropské unie. Míra regulačního
zatížení, tedy míra státních zásahů do ekonomiky vybraných zemích je hodnocena
prostřednictvím indexu ekonomické svobody publikovaném kanadským institutem Fraser.
Stát prostřednictvím hospodářské politiky a jejich nástrojů výrazným způsobem ovlivňuje
podnikatelské prostředí v jednotlivých členských zemích Evropské unie. Kvantifikace míry
státních zásahů tak umožňuje porovnat jednotlivé země dle regulačního zatížení a vytvořit tak
závěry o vztahu mezi ekonomickou svobodou, regulací a ekonomickou výkonností
sledovaných zemí.
2. Charakteristika datového souboru
Konstrukce indexu ekonomické svobody se skládá ze 17 dílčích ukazatelů, které jsou
postupně agregovány na výsledných 5 regulačních charakteristik. Hodnoty jednotlivých
regulačních charakteristik mohou nabývat hodnot z intervalu (0-10), přičemž vyšší hodnota
znamená také vyšší úroveň ekonomické svobody. Souhrnný index je pak konstruován jako
průměr ze sledovaných hodnot.
Tabulka 1. Přehled regulačních charakteristik
Regulační charakteristika
Velikost vlády
Právní řád a ochrana soukromého vlastnictví
Přístup ke zdravým penězům
Svoboda směny s cizinci
Regulace na dílčích trzích
Vybrané dílčí ukazatele
výdaje na spotřebu vlády (v % z celkové spotřeby)
transfery (v % HDP)
dotace (v % HDP)
nezávislost a nestrannost
ochrana duševního vlastnictví
vojenské zásahy do právního řádu
integrita právního systému
průměrný roční růst peněžní zásoby
variabilita inflace
současná míra inflace
daně z mezinárodního obchodu
regulační překážky obchodu
skutečná velikost obchodu proti očekávané
omezení mezinárodního kapitálového trhu
regulace úvěrového trhu
regulace trhu práce
regulace podnikání
1
Ing. Jakub Odehnal, Ekonomicko správní fakulta, Masarykova univerzita, Brno e-mail: [email protected]
Doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc., Faculty of Mechanical Engineering, Brno UT e-mail: [email protected]
Příspěvek vznikl za podpory MSM0021622418.
2
104
3. Klasifikace zemí EU založená na podobnosti regulačních charakteristik
Shluková analýza jako reprezentant vícerozměrných statistických metod umožňuje
informace obsažené v datech roztřídit do několika stejnorodých shluků. Aplikací vhodných
algoritmů můžeme odhalit strukturu datového souboru a jednotlivé objekty klasifikovat.
Uvažujme tedy 5 proměnných (5 ukazatelů regulačních charakteristik) a 27 objektů
odpovídajících zemím Evropské unie. Z vytvořeného stromového diagramu je dobře patrná
klasifikace zemí EU na dvě charakteristické skupiny (hladina spojení 5.0).
Úplné spojení
Euklid. vzdálenosti
6
5
4
3
2
0
Aust
Net
Finla
L
De
Bel
Swe
Fran
Ge
Irelan
Un
Cypr
Por
Malta
Esto
Gree
Pola
Italy
Latvia
C
Lith
Slo
Hu
Slo
Spain
Bul
Ro
Vzdálen. spojení
1
Obr. 1. Výsledný dendrogram vytvořený shlukovou analýzou
První skupina obsahuje 11 tradičních zemí Evropské unie (Velká Británie, Irsko,
Německo, Francie, Švédsko, Belgie, Dánsko, Lucembursko, Holandsko, Finsko a Rakousko).
Druhá skupina obsahuje 16 zbývajících zemí Evropské unie (Rumunsko, Bulharsko,
Slovinsko, Španělsko, Maďarsko, Slovensko, Česká republika, Litva, Lotyšsko, Itálie, Polsko,
Řecko, Estonsko, Portugalsko, Malta a Kypr). Při snížení shlukovací hladiny na úroveň 4.0
můžeme pozorovat vytvoření podrobnější klasifikace. Postupně tak dostáváme 3 skupiny zemí
(obr. 1). První skupina obsahuje 3 státy (Rumunsko, Bulharsko, Slovinsko) druhá 13 států
(Španělsko - Kypr), třetí 11 států (Velká Británie - Rakousko). Rozdílnost mezi vytvořenými
skupinami států je dobře patrná z grafu č. 1 srovnávajícím průměrné hodnoty sledovaných
charakteristik v jednotlivých shlucích. Dominantní postavení 3. skupiny zemí u většiny
charakteristik potvrzuje nižší míru státních zásahů do národních ekonomik u tradičních států
Evropské unie, doprovázených novými členskými státy Estonskem a Maďarskem, které
svými započatými reformními kroky výrazně zvyšují podnikatelskou atraktivitu svých
regionů.
1 Size of Government
10,0
5,0
2 Legal System &
Property Rights
5 Regulation
0,0
4 Freedom to Trade
Internationally
3 Sound Money
Maďarsko
Estonsko
průměr 3. skupiny
Obr. 2. Průměrné hodnoty reg. charakteristik
105
Obr. 3. Srovnání vybraných zemí EU
4. Hodnocení ekonomické svobody pomocí klasifikačních stromů
Dílčí výsledky klasifikace zemí pomocí shlukové analýzy budou následně použity ke
klasifikaci pomocí regresních stromů. Z výsledků klasifikačního stromu je dobře patrná
klasifikace 27 objektů do 3 tříd. Členské státy Evropské unie s hodnotami regulační
charakteristiky právní řád a ochrana soukromého vlastnictví vyššími než hodnota 7,573003
klasifikujeme pomocí metody CART (Gini measure) do první samostatné skupiny (shluk 3).
Zbývajících 11 členských států je klasifikováno prostřednictvím charakteristiky přístup ke
zdravým penězům na základě štěpícího pravidla porovnávající hodnotu ukazatele s hodnotou
8,723635. Státy s vyšší hodnotou této charakteristiky řadí do druhé skupiny (shluk 2) a
zbývající 3 země odpovídající nižší hodnotě této charakteristiky přiřazuje do třetí klasifikační
skupiny (shluk 1). Výsledná klasifikace tak odpovídá původnímu hodnocení států provedené
shlukovou analýzou.
Tree 1 graph for kod
Num. of non-terminal nodes: 2, Num. of terminal nodes: 3
1
2
3
ID=1
N=27
2
právní řád
<= 7,573003
> 7,573003
N=16
ID=2
ID=3
2
N=11
1
přístup k penězům
<= 8,723635
ID=4
> 8,723635
N=3
ID=5
3
N=13
2
Obr. 4. Klasifikační strom
Zajímavé je zjištění, že k samotné klasifikaci byly použity pouze 2 regulační
charakteristiky (Právní řád a ochrana soukromého vlastnictví, Přístup ke zdravým penězům).
Významnost jednotlivých charakteristik je znázorněna na obr. 3.
Importance plot
Dependent variable: kod
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Importance
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
vlada
právní řád
přístup k penězům
svoboda směny
regulace
Graf 1. Významnost regulačních charakteristik
106
5. Hodnocení ekonomické svobody redukcí dílčích regulačních charakteristik
Pro srovnání klasifikace zemí EU prezentované v bodech 3 a 4 tohoto příspěvku
použijeme faktorovou analýzu k zjištění vzájemných vztahů mezi všemi dílčími proměnnými
a objekty (státy EU). Výsledkem faktorové analýzy (metoda hlavních komponent, faktor
zátěže quartimax) je redukce počtu proměnných na 5 faktorů charakterizujících ekonomickou
svobodu zemí EU. První faktor charakterizuje právní a obchodní prostředí sledovaných zemí,
druhý faktor můžeme nazvat faktorem peněžním a cenovým, třetí faktorem zahraničního
obchodu, čtvrtý faktorem trhu práce a pátý faktorem nabídky peněz. Pro sledované země
Evropské unie bylo dále spočítáno faktorové skóre, dle kterého byly státy prostřednictvím
shlukové analýzy dodatečně klasifikovány.
Úplné spojení
Euklid. vzdálenosti
6
5
4
3
2
0
Austria
German
France
Portugal
Ireland
Estonia
Latvia
Spain
Luxe
Obr. 5. Výsledný dendrogram (proměnné – fakrotové skóre)
Neth
U
Slova
Hungary
Czec
Belgium
Italy
Poland
Lithuani
Denmar
Finland
Sweden
Bulgaria
Slovenia
Greece
Cyprus
Romania
Malta
Vzdálen. spojení
1
Pozorováním stromového diagramu můžeme nalézt společné prvky původní
klasifikace s klasifikací založenou na analýze všech proměnných s jejich postupnou redukcí
faktorovou analýzou. Zcela samostatné postavení Rumunska potvrzuje výrazné odlišnosti
v hodnocených faktorech ve srovnání s ostatními členskými státy Evropské unie. Nejnižší
hodnoty sledovaných proměnných tak tento nový členský stát řadí mezi státy s nejnižší
ekonomickou svobodou a tedy s vysokou mírou státních zásahů do ekonomiky země.
Obdobné hodnocení je patrné i v případě Slovinska a Bulharska, jejichž těsná vazba je ze
stromového diagramu též dobře patrná. Největší rozdíly mezi těmito státy Evropské unie a
ostatními, zejména tradičními státy Evropské unie, můžeme pozorovat v případě regulační
charakteristiky právního řádu a ochrany soukromého vlastnictví a charakteristiky regulace na
dílčích trzích, přičemž kvalitní zákony, fungující trh práce společně s regulací úvěrového trhu
jako součástí sledovaných charakteristik, tvoří nedílnou součást kvalitního podnikatelského
prostředí, které vede ke zvýšení konkurenceschopnosti hodnocených zemí na evropském trhu.
107
6. Závěr
Úloha státu a vlád v ekonomice významným způsobem ovlivňuje ekonomickou
vyspělost zemí Evropské unie. Index ekonomické svobody publikovaný kanadskou institucí
Fraser umožňuje sledovat roli státní regulace jakožto nástroje hospodářské politiky
v národním hospodářství země a posuzovat tak vztah mezi její ekonomickou silou a mírou
ekonomické svobody. Liberální ideologie přílišné zásahy vlády do národních ekonomik
odmítají a regulaci jako vládní nástroj omezují v obecné míře jen na malý soubor činností a
potřeb. Naproti tomu intervencionistická politika jako protiklad politiky liberální zásahy vlády
do národní ekonomiky hojně podporuje a využívá. Rozdíl mezi jednotlivými typy
hospodářských politik a využívaných nástrojů tedy pramení jak z obecného postoje
jednotlivých vlád k angažovanosti států do národních ekonomik, tak i z obecných cílů
hospodářské politiky. Kvantifikované vyjádření míry regulace, ekonomické svobody tak
umožňuje klasifikovat a hodnotit země Evropské unie podle sledovaných proměnných a
charakteristik. Rozdílné mnohorozměrné statistické metody ke klasifikaci zemí použité
potvrzují rozdílnost mezi novými členskými státy a tradičními zeměmi Evropské unie
hospodářsky vyspělejšími, s kvalitním podnikatelským prostředím, vedoucím k přílivu
investic a k hospodářskému růstu. Tyto tradiční země jsou následovány především
Estonskem, které jako současný leader bývalých socialistických zemí odpovídá úrovní
ekonomické svobody nejsvobodnějším zemím Evropské unie i světa.
7. Literatura
[1] Lukasová, A., Šarmanová, J.Metody shlukové analýzy. Vyd. 1. Praha: SNTL, 1985. 210 s.
[2] Gwartney, James, and Robert Lawson, with William Easterly. 2006. The Economic
Freedom of the World: Annual Report 2006. Vancouver: The Fraser Institute.
[3] Kadeřábková, Anna. Základy makroekonomické analýzy: růst, konkurenceschopnost,
rovnováha. Praha: Linde, 2003. 175 s. ISBN 808613136.
[4] Johnson R.A., Wichern D.W.: Applied Multivariate Statistical Analysis. 3rd edition.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1992.
[5] http://www.freetheworld.com/download.html#efw
Adresy autorů
Ing. Jakub Odehnal
Katedra aplikované matematiky a informatiky
Ekonomicko správní fakulta Masarykovy univerzity
Lipová 41a, 600 00 Brno
[email protected]
Doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.
Ústav matematiky
Fakulta strojního inženýrství
Vysoké učení technické v Brně
Technická 2896/2, 616 69 Brno
[email protected]
108
KOMPARÁCIA KRAJOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Z HĽADISKA
PRIRODZENÉHO PRÍRASTKU OBYVATEĽSTVA
Poláková Zuzana
Abstract: In that paper, we will analyse and compare of the population change in the districts
of the Slovak Republic. Population change includes natural increase or decrease
of population. Results is pointing out the differencies between indicators of natality and
indicators of mortality in districts. Districts of Slovakia consist of eight areas, concrete
district of Bratislava, district of Trnava, district of trencin,district of Nitra, districtof Zilina,
district of Banska Bystrica, district of Kosice and district of Presov.
Key words: population, natality, mortality, natural increase, natural decrease, crude rate of
natural increase
1. Úvod
Prirodzený pohyb obyvateľstva je charakteristický reprodukciou obyvateľstva, t.j.
vzťahom medzi natalitou a mortalitou. Demografická reprodukcia preto predstavuje
prirodzenú obnovu obyvateľstva. Berie do úvahy len proces rodenia a vymierania. Neberie do
úvahy migračné zmeny dané prisťahovaním a vysťahovaním. Prirodzený pohyb obyvateľstva
využíva pojmy prirodzený prírastok a prirodzený úbytok obyvateľstva. Prirodzený prírastok
poukazuje na stav, kedy natalita je väčšia ako mortalita obyvateľstva. Prirodzený úbytok
znamená obrátený vzťah.
Materiál a metodika
Východiskovými ukazovateľmi sú:
- absolútny počet živonarodených
- absolútny počet zomretých
Rozdiel medzi nimi vyjadruje bilanciu prirodzeného pohybu obyvateľstva, t.j. prirodzenej
reprodukcie, označovaný ako:
saldo prirodzenej menlivosti: K = N – M
(1)
109
kde
N – počet živonarodených v danom roku
M – počet zomretých v danom roku
K – saldo prirodzenej menlivosti
Celkový prírastok, resp. úbytok zohľadňuje aj migráciu. Jej relatívny ukazovateľ je:
hrubá miera migrácie:
mhm = M / P
(2)
kde
mhm – hrubá miera migrácie
M – počet migrantov
P – stredný stav obyvateľstva
Pre porovnanie štatistickej preukaznosti rozdielov hrubej miery migrácie vo VÚC bol použitý
Mann-Whitneyov test. Test bol zvolený na základe malého rozsahu výberovej vzorky.
Hodnoty sú usporiadané podľa veľkosti, sú im priradené poradové čísla, pričom poradové
čísla hodnôt prvého výberu sú
Rx1, Rx2, ..., Rxm
a poradové čísla hodnôt druhého výberu sú
Ry1, Ry2, ..., Ryn.
Pre test použijeme testovacie kritérium T definované nasledovne:
T = min(Tx, Ty),
kde
Tx = Rx1 + Rx2 + ... + Rxm
(3)
Ty = Ry1 + Ry2 + ... + Ryn.
(4)
Ak hodnota testovacieho kritéria T je menšia ako kritická hodnota Tα, ktorú vyhľadáme podľa
zvolenej hladiny významnosti a podľa rozsahu oboch výberov m a n, zamietneme nulovú
hypotézu na hladine významnosti α.
110
2. Výsledky a diskusia
V analýze boli porovnávané všetky vyššie územné celky (VÚC) Slovenskej republiky:
Bratislavský (BA), Trnavský (TT), Trenčiansky (TN), Nitriansky (NR), Žilinský (ZA),
Banskobystrický (BB), Prešovský (PO) a Košický (KE).
V tabuľke 1, 2 sú prezentované počty narodených a zomretých vo VÚC v rokoch 2001 až
2005. Vo všetkých VÚC za sledované obdobie dochádza k nárastu počtu narodených, čo je po
období, ktoré sa nieslo v dimenziách poklesu pôrodnosti priaznivý vývoj, ale naproti tomu sa
zvyšuje aj úmrtnosť, čo negatívne ovplyvňuje ukazovateľ hrubej miery prirodzeného
prírastku.
Tabuľka 1 Vývoj narodených vo VÚC v rokoch 2001 až 2005
narodení
Bratislava
Trnava
Trenčín
Nitra
Žilina
Banská Bystrica
Prešov
Košice
2001
3139
1037
903
1443
1407
866
1815
3547
2002
3201
1017
934
1362
1415
829
1789
3674
2003
3454
1041
914
1371
1417
844
1803
3857
2004
3672
1151
1000
1454
1460
897
1914
3924
2005
4012
1169
1035
1451
1493
930
1926
3852
Tabuľka 2 Vývoj zomretých vo VÚC v rokoch 2001 až 2005
zomretí
Bratislava
Trnava
Trenčín
Nitra
Žilina
Banská Bystrica
Prešov
Košice
2001
3863
1180
1024
1530
1444
973
1325
2972
2002
3856
1169
1096
1555
1371
1014
1320
3032
2003
3964
1247
1062
1518
1431
978
1358
3002
2004
3974
1255
1081
1518
1448
981
1293
3024
2005
4116
1188
1124
1595
1482
1091
1314
3098
Z údajov v tabuľke 3 a z grafu 1 vývoja hrubej miery prirodzeného prírastku je vidieť,
že počas sledovaných rokov má tento ukazovateľ rôzny priebeh. O prírastku môžeme hovoriť
len v Prešovskom VÚC, kde v prvých troch sledovaných rokoch tiež dochádza k poklesu, ale
následne v roku 2004 k výraznému nárastu hrubej miery prirodzeného prírastku. V Košickom
VÚC možno pozorovať stály nárast, až v roku 2005 mierny pokles tohto ukazovateľa. Okrem
spomínaných ešte v Žilinskom VÚC sa vyskytujú kladné hodnoty (ide o prírastok), ale nie
počas celého sledovaného obdobia. Najskôr dochádza k nárastu, v roku 2003 k výraznému
poklesu a následne v ďalšom roku k výraznému nárastu, v poslednom roku k nepatrnému
111
poklesu. V ostatných VÚC sú hodnoty záporné, čo svedčí o úbytku obyvateľstva. Hrubá
miera prirodzeného prírastku má ale vo všetkých týchto VÚC priaznivý vývoj v roku 2005
oproti roku 2001, len Nitriansky a Banskobystrický VÚC vykazuje opak.
Tabuľka 3 Vývoj hrubej miery prirodzeného prírastku vo VÚC v rokoch 2001 až 2005
2001
Bratislava
-0,34
Trnava
-1,13
Trenčín
-1,07
Nitra
-0,53
Žilina
-0,24
Banská Bystrica
-0,96
Prešov
2,98
Košice
0,33
Zdroj: www.statistics.sk, vlastné prepočty
2002
-0,31
-1,20
-1,44
-1,18
0,28
-1,66
2,85
0,37
2003
-0,24
-1,62
-1,31
-0,90
-0,09
-1,21
2,71
0,49
2004
-0,14
-0,82
-0,72
-0,39
0,08
-0,76
3,78
0,52
2005
-0,05
-0,15
-0,79
-0,88
0,07
-1,45
3,72
0,44
Vývoj prirodzeného prírastku (úbytku) vo VÚC Slovenskej republiky
Vývoj hrubej m iery prirodzeného
v rokoch 2001prírastku
až 2005 vo VÚC Slovenskej
republiky v rokoch 2001 až 2005
2005
2005
rok
2004
rok
2003
2003
2002
2001
2001
-1,70
-1,20
-0,70
-0,20
0,30
-1,70 -1,20 -0,70 -0,20
0,80
1,30
1,80
0,30
0,80 1,30 1,80
hrubá miera prirodzeného prírastku
2,30
2,80
3,30
3,80
2,30
2,80
3,30
3,80
hrubá miera prirodzeného prírastku
BA
TT
TN
NR
ZA
BB
PO
KE
Graf 1. Vývoj hrubej miery prirodzeného prírastku vo VÚC SR v rokoch 2001 až 2005
Zdroj: vlastné výpočty
Testovali sme významnosť rozdielov ukazovateľa hrubá miera prirodzeného prírastku
medzi VÚC Slovenskej republiky neparametrickým Mann Whitneyovým testom. Kritická
hodnota pre Wilcoxonov (Mann – Whitneyov) test pre hladinu významnosti α = 0,05 je 17 pri
rozsahoch výberov m = 5 a n = 5, kritická hodnota pre hladinu významnosti α = 0,01 je 15.
Z výsledkov analýz vyplýva nasledovné.
V Bratislavskom VÚC v porovnaní s Trnavským a Žilinským VÚC nie sú preukazné
rozdiely v hrubej miere prirodzeného prírastku (tabuľka 4, graf 2), v porovnaní s ostatnými sú
vysoko preukazné rozdiely.
112
Bratislavský VÚC
(nepreukazné rozdiely)
Trnavský VÚC
0
0,35
-0,2
0,15
-0,25
2001
2002
2003
2004
2005
-0,4
-0,05
2001
2002
2003
2004
2005
-0,45
-0,6
-0,8
-0,65
-1
-0,85
-1,2
-1,05
-1,4
-1,25
-1,45
-1,6
-1,65
-1,8
BA
TT
ZA
TT
BA
TN
NR
BB
Graf 2 . Bratislavský VÚC (nepreukazné rozdiely) Graf 3. Trnavský VÚC (nepreukazné rozdiely)
Hrubá miera prirodzeného prírastku v Trnavskom VÚC a ostatných porovnávaných
vykazuje preukazné (Žilinský VÚC), resp. vysoko preukazné rozdiely (Prešovský a Košický
VÚC). Nepreukazné rozdiely sú v porovnaní s Trenčianskym, Bratislavským, Nitrianskym
a Banskobystrickým VÚC (graf 3).
Ďalej bol porovnávaný Trenčiansky VÚC so všetkými ostatnými a výsledky sú
nasledovné: nepreukazné rozdiely sú v porovnaní s Nitrianskym a Banskobystrickým VÚC
(graf 4). S ostatnými sú vysoko preukazné rozdiely.
Trenčiansky VÚC
Nitriansky VÚC
0
0
2001
2002
2003
2004
2005
-0,5
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
-2
-2
TN
NR
2001
2002
NR
BB
Graf 4. Trenčiansky VÚC (nepreukazné rozdiely)
2003
TT
2005
2004
TN
BB
Graf 5.Nitriansky VÚC(nepreukazné rozdiely)
Nitriansky VÚC v porovnaní s ostatnými vykazuje vysoko preukazné rozdiely so
všetkými okrem Trnavského, Trenčianskeho a Banskobystrického VÚC (graf 5).
Žilinský VÚC vykazuje nepreukazné rozdiely v hrubej miere prirodzeného prírastku
s Bratislavským, preukazné rozdiely s Trnavským a vysoko preukazné rozdiely so všetkými
ostatnými VÚC. Banskobystrický VÚC vykazuje nepreukazné rozdiely s Trnavským,
113
Trenčianskym a Nitrianskym VÚC, s ostatnými sú vysoko preukazné rozdiely. Prešovský
a Košický VÚC v porovnaní so všetkými vykazujú vysoko preukazné rozdiely. Len v týchto
dvoch regiónoch na rozdiel od ostatných prevláda počet narodených nad počtom zomretých,
čo má za následok kladné hodnoty prirodzeného prírastku, t.j. pozitívny vývoj.
Tabuľka 4 Výsledky Mann - Whitneyho testu
BA
BA
TT
TN
NR
ZA
BB
PO
KE
x
++
++
++
++
++
TT
x
+
++
++
TN
++
x
++
++
++
NR
++
x
ZA
+
++
++
++
++
++
x
++
++
++
BB
++
++
x
++
++
PO
++
++
++
++
++
++
x
KE
++
++
++
++
++
++
++
++
x
3. Záver
Pre demografický vývoj je v poslednom období charakteristické znižovanie
prirodzeného prírastku obyvateľstva. Z analýzy VÚC vyplýva, že najviac podobné pri
porovnaní hrubej miery prirodzeného prírastku sú Bratislavský, Trnavský, Nitriansky,
Žilinský, Trenčiansky, Banskobystrický VÚC (úbytok). Medzi týmito sú nepatrné rozdiely pri
porovnaní tohto demografického ukazovateľa. Veľkú podobnosť evidujeme aj v Prešovskom
a Košickom VÚC a to z hľadiska stúpajúceho počtu narodených a klesajúceho počtu
zomretých v sledovaných rokoch, t.j. kladných hodnôt prirodzeného prírastku obyvateľstva.
V tejto súvislosti by bolo zaujímavé venovať pozornosť analýze pôrodnosti a úmrtnosti podľa
etnických skupín, nakoľko vo východoslovenskom regióne je vyššia koncentrácia rómskeho
obyvateľstva a ono, ako je všeobecne známe vykazuje vyššie počty narodených.
Sledovanie prirodzeného prírastku je dôležité z hľadiska nadväznosti (okrem iného) na
zdroj pracovnej sily. Dôležitú úlohu zohráva aj migrácia. Vnútorná migrácia je spôsobená
rozmiestňovaním ekonomických aktivít v regiónoch, príchodom zahraničných investorov.
Vplyv zahraničnej migrácie je najmarkantnejší v hlavnom meste. Vstupom Slovenska do EÚ
sa zvýšil migračný prírastok SR.
Vývoj pracovnej sily na Slovensku nasvedčuje tomu, že starnutím populácie sa zvyšuje
ekonomické zaťaženie obyvateľstva, t. zn., na ekonomicky aktívne obyvateľstvo bude
pripadať stále viac ekonomicky neaktívnych osôb. Tieto skutočnosti treba mať na zreteli pri
zmenách v systémoch sociálneho poistenia, pri realizácii populačnej a migračnej politiky.
114
4. Literatúra
CHAJDIAK, J. 2005. Zoskupenie krajov SR podľa miery negatívnych demografických javov.
In: 10. slovenská demografická konferencia Naša demografia, súčasnosť a perspektívy,
Smolenice 2005, http://www.infostat.sk/vdc/pdf/zbornik.pdf.
CHOVANCOVÁ,
J.
1998.
Živorodenosť
obyvateľstva
Slovenska.
Priestorová
diferencovanosť na úrovni krajov, okresov a obcí. ACTA Universitatis Prešoviensis Folia
Geographica 2. Prešov, 1998.
MLÁDEK, J. 2000. Aktuálne smery výskumu v demografii. Geografický časopis 52-1. 41-50,
2000.
STEHLÍKOVÁ, B. 2005. Poznámky ku kojeneckej úmrtnosti. In: 10. slovenská demografická
konferencia
Naša
demografia,
súčasnosť
a perspektívy,
Smolenice
2005,
http://www.infostat.sk/vdc/pdf/zbornik.pdf.
SEGER,J., HINDLS, R.1995. Statistické metody v tržním hospodářství. Praha 1, 1995, ISBN
80-7187-058-7.
http://www.infostat.sk/vdc/pdf/doc/mladek.pdf
Adresa autora:
Zuzana Poláková, Ing., PhD.
Katedra štatistiky a operačného výskumu, FEM SPU
Tr. A. Hlinku 2
949 76 Nitra
[email protected]
115
Využití vícerozměrné regresní analýzy při identifikaci faktorů ovlivňujících klesající
porodnost v České republice
Jitka Poměnková 1, Lenka Němcová 2
Abstract: The aim of this paper is identification of the factors influencing trend of the
natality in the Czech Republic between years 1991 – 2005. In the first step, with respect to
this aim, correlation analysis for evaluation of dependency between demographical,
economical factors and natality trend is used. In next, statistically significant factors are
selected and used for multiple regression model design.
Key words: natality, correlation analysis, multiple regression analysis.
1. Úvod
Česká republika, stejně jako ostatní vyspělé země, řeší v současné době problém
klesající porodnosti, která zapříčiňuje demografické stárnutí populace, kolaps důchodových
systémů a řadu dalších problémů. Je obtížné jednoznačně určit faktory ovlivňující porodnost,
vytvořit opatření, která by tyto vlivy usměrňovala (s cílem zvýšení porodnosti) a nelze také
nikdy s jistotou předvídat reakce na tato opatření. Řešení klesající porodnosti je problémem
velmi složitým a jeho analýza vyžaduje propojení několika vědních oborů.
Cílem předkládaného příspěvku je identifikace faktorů ovlivňujících vývoj klesající
porodnosti v České republice. Za tímto účelem je nejprve využita korelační analýza ke
zkoumání vlivu jednotlivých demografických a ekonomických veličin na vývoj porodnosti a
následně stanovení statisticky významných nezávislých proměnných pro regresní model
definující vývoj porodnosti. Poté je provedena formulace a odhad vícerozměrného regresního
modelu popisujícího závislost porodnosti na vybraných faktorech. Vzhledem k rozsáhlosti
problému a omezené dostupnosti potřebných dat, kdy není možné obsáhnout celou
problematiku, je práce zaměřena pouze na vybrané otázky s problémem související.
2. Metodika
Pro stanovení vhodných proměnných a následnou formulaci vícerozměrného
regresního modelu je nejprve využita korelační analýza, konkrétně výběrový korelační
koeficient, který poukazuje na přímou nebo nepřímou závislost porodnosti na zvoleném
faktoru. Výběrový korelační koeficient byl rovněž testován na statistickou významnost
(Anděl; 1978).
Pro formulaci vícerozměrné závislosti porodnosti na zvolených faktorech bylo využito
vícenásobného lineárního regresního modelu (Hušek, 1995) vyjádřeného maticovým zápisem
(1)
y = Xβ + ε ,
y = (y1, ..., yn) náhodný vektor pozorování závislé proměnné,
X = ({xij})
matice pozorování nezávisle proměnných typu (n, k+1); n < k,
{xij}
hodnota j-tého pozorování vysvětlující proměnné x; i = 1, ..., n,
j = 1, ..., k,
β = (β0, ..., βk)T vektor neznámých parametrů,
RNDr. Jitka Poměnková, Ph.D, Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova zemědělská a lesnická
univerzita v Brně, Zemědělská l, 613 00 Brno, Česká republika, email: [email protected]
2
Ing. Lenka Němcová, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, Zemědělská l, 613 00 Brno, Česká
republika, [email protected]
1
116
ε = (ε1, ..., εn)T
vektor náhodných veličin.
Pro odhad parametrů β = (β0, ..., βk)T je využito metody nejmenších čtverců. Za
předpokladu, že chybový člen je normálně rozložen budeme testovat statistickou průkaznost
odhadnutých parametrů oboustranným t-testem s následující formulací nulové hypotézy
H0: βj = 0, neprůkaznost,  t < t1-α/2(n-p),
H1: βj ≠ 0, průkaznost,  t ≥ t1-α/2(n-p),
kde testová statistika má tvar
t=
bj
RSS
, SE (b j ) =
h j +1, j +1 ,
SE (b j )
n− p
(2)
bj, j = 1,..., k je odhad parametru βj, SE(bj) je odhadnutá standardní chyba vypočtená, RSS je
reziduální součet čtverců, p je počet regresních parametrů, hj+1,j+1 je j+ 1-vý diagonální prvek
matice H = (X’X)-1 (Hušek; 1995). Pokud je výsledkem testu závěr, že hypotézu H0
nezamítáme, lze usuzovat, že proměnná daného parametru může být nadbytečnou a zvolený
regresní model lze o tuto proměnnou redukovat. Je však potřeba přihlížet i k dalším testů.
Nulovou hypotézu pro oboustranný test celkové vhodnosti modelu, F-test, lze
formulovat následovně
H0: β1 = β2=…= βk= 0, neprůkaznost, F < Fc,
H1: alespoň jeden regresní parametr βj není roven nule, průkaznost, F ≥ Fc,
kde testová statistika má tvar
n
(est ( yi ) − y) / ( p − 1)
ESS / ( p − 1) ∑
i
F=
=
n
TSS / (n − p )
( yi − y) / (n − p )
∑
i
2
=1
(3)
2
=1
kritická tabelovaná hodnota Fc = F1-α (p – 1, n – p) je dána Fischer-Snedecorovým rozložením
(Hill., Griffiths, Judge; 2001).
3. Empirická analýza
Pro analýzu byly použity údaje Českého statistického úřadu (www.czso.cz). Všechny
údaje se týkají pouze České republiky, a to včetně hodnot získaných před rokem 1993, které
byly Českým statistickým úřadem přepočteny. Jsou to meziroční indexy reálné mzdy, vývoj
půjček domácností v ČR v období 1993 - 2005. Index spotřebitelských cen (1989 = 100), míra
registrované nezaměstnanosti v % a sociální příjmy v období 1989 – 2005, hrubá míra
sňatečnosti a hrubá míra rozvodovosti v období 1991 – 2005.
V analýze závislostí jsou použity jak absolutní hodnoty, tak indexy. Důvodem zařazení
indexů je snaha zajistit co nejvyšší vypovídací schopnost modelu a současná nedostupnost
potřebných ekonomických ukazatelů v absolutním vyjádření. Periodicita sledování u
proměnných vstupujících do korelační a regresní analýzy je 1 rok.
Vyjdeme-li z demografické teorie (Kalibová; 2003, Roubíček; 1997), pak základním
dělením v rámci porodnosti je dělení na živě a mrtvě narozené. Živě narození jsou dále děleni
podle rodinného stavu matky v době porodu. Z důvodu zaměření na problém klesající
porodnosti bude analyzována pouze klesající složka celkové porodnosti, kterou je porodnost
v manželství. Z demografických ukazatelů je vybrán jako určovatel úrovně porodnosti vývoj
sňatečnosti a rozvodovosti, a to hodnoty od roku 1991, kdy se změny politického,
ekonomického a sociálního systému po roce 1989 začaly významným způsobem promítat
také do obousměrné vazby práce a rodiny. Jako další možný určovatel byla vybrána
117
registrovaná míra nezaměstnanosti, index spotřebitelských cen, vývoj půjček domácností,
meziroční index reálné mzdy a sociální příjmy domácností. Tyto veličiny ovlivňují finanční
situaci a životní úroveň rodin, proto lze předpokládat, že budou mít na porodnost v manželství
určitý vliv.
S využitím korelační analýzy byly vypočteny hodnoty příslušných korelačních
koeficientů pro posouzení závislosti mezi mírou porodnosti v manželství a vybraných
faktorech. Korelace jsou uvažovány v čase t,..., t – 4. Nejvyšších hodnot korelačních
koeficientů bylo přitom dosaženo při zpoždění řádu t – 1 (viz. Tabulka 1.).
Tabulka 1. Závislost míry porodnosti v manželství na vybraných faktorech
Koef. korelace
Faktor
Faktor
(p-hodnota)
Hrubá míra sňatečnosti
0,962 (0,0000) Vývoje půjček dom.
Hrubá míra rozvodovosti
- 0,200 (0,4745) Index reálné mzdy
Míra nezaměstnanosti
- 0,762 (0,0010) Sociální příjmy dom.
Indexu spotřebitelských cen - 0,937 (0,0000)
Koef. korelace
(p-hodnota)
- 0,465 (0,1276)
0,250 (0,4340)
- 0,825 (0,0010)
Pozn. p-hodnota < α indikuje statisticky významnou korelaci na (1-α)% hladině významnosti.
Z provedené korelační analýzy vyplývá, že závislost sňatečnosti a porodnosti
v manželství je významná při zpoždění časové řady hrubé míry sňatečnosti o jeden rok
(r = 0,93). Naopak korelace mezi hrubou mírou rozvodovosti a porodností v manželství je
velmi slabá a nelze ji považovat za významnou.
V případě korelace mezi porodností v manželství a mírou registrované nezaměstnanosti
(r = – 0,7621) zpožděné o jeden rok hodnota značí silnou nepřímou lineární závislost, kdy při
zvyšující se nezaměstnanosti míra porodnosti v manželství klesá. Pokud provedeme analýzu
odděleně pro muže a ženy, vyjde silná nepřímá závislost u obou pohlaví. U žen bychom tento
jev mohli vysvětlit skutečností, že při rostoucí míře nezaměstnanosti je pro ženu, má-li
dobrou práci, odchod na mateřskou dovolenou větším rizikem. Také matce s malými dětmi se
bude práce hledat tím hůře, čím bude nezaměstnanost vyšší. Rovněž u mužů lze negativní
korelaci interpretovat tak, že pokud muž nebude mít jistou práci, nebo ji nebude mít vůbec,
nebude schopný financovat potřeby rodiny s dětmi a pár zřejmě založení rodiny odloží na
příznivější období.
Z hodnoty korelace míry porodnosti v manželství a indexu spotřebitelských cen
zpožděné o jeden rok (r = – 0,9375), lze usuzovat, že vzrůstající inflace zvyšuje nejistotu
očekávání ekonomických subjektů. Tím dochází k růstu rizika a vyšší rizikovosti úvěrů.
Následné vyšší úrokové sazby mohou vést k odkladu založení rodiny, a tedy k poklesu
porodnosti v manželství.
V případě závislosti vývoje půjček domácností a míry porodnosti v manželství
(r = – 0,4651) vyplývá negativní vliv rostoucí zadluženost rodin na vývoj porodnosti
v manželství. Růstu reálné mzdy může mít na růst porodnosti v manželství kladný, ale velmi
slabý vliv (r = 0,3970).
U závislosti porodnosti v manželství a příjmů domácností byl vypočten vyšší koeficient
korelace u časové řady sociálních příjmů zpožděné o jeden rok (r = - 0,8251). Na základě
tohoto výsledku by při zvyšujících se sociálních příjmech rodin porodnost v manželství
klesala. Důvodem takové situace může být fakt, že čím vyšší má rodina sociální příjmy, tím
nižší je její ekonomická soběstačnost. Výše sociálních dávek by potom mohla ovlivňovat
hlavně porody vyšších pořadí.
Na základě předešlé korelační analýzy byly zvoleny ukazatele, které by mohly mít na
vývoj porodnosti v manželství významný vliv, a to sňatečnost, rozvodovost, nezaměstnanost a
118
index spotřebitelských cen. K výběru významných proměnných byla použita zpětná kroková
metoda. Označme est ( y) odhad hrubé míry porodnosti. Výsledný model má tvar
est ( yt ) = 8,38748
n = 15
+ 0,562357S t-
+ 0,235327N t-1
- 0,0165972SC t-1
(0,077609)
3,03221
R2 adj = 0,966879
(0,003914)
-4,23998
1
(0,201411)
2,79208
F = 137,23
d = 1,69356
kde St-1 je hrubá míra sňatečnosti zpožděná o jeden rok, Nt-1 je míra registrované
nezaměstnanosti zpožděná o jeden rok a SCt-1 index spotřebitelských cen (životních nákladů)
se zpožděním jeden rok.
Nalezený regresní model popisuje porodnost v závislosti na sňatečnosti,
nezaměstnanosti a indexu spotřebitelských cen, přičemž hodnoty těchto ukazatelů jsou
zpožděny o jeden rok. Vhodnost zvoleného zpoždění vychází z úvahy, že faktory, které
ovlivňují rozhodnutí založit rodinu, mají vliv minimálně devět měsíců před samotným
porodem. Správnost této úvahy byla potvrzena výsledky korelační analýzy, kde se na základě
vypočtených korelačních koeficientů ukázala závislost mezi porodností a zvolenými ukazateli
zpožděnými o jeden rok nejvýznamnější. Výsledky F-testu a t-testů potvrzují významnost
jednotlivých regresních koeficientů i modelu jako celku. Dle hodnoty d = 1,69356 (DurbinWatson test) lze rezidua považovat za nekorelovaná. Tento fakt je patrný i z grafu reziduí
(Graf 1).
0,6
Reziduum
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
20
05
20
04
20
03
20
02
20
01
20
00
19
99
19
98
19
97
19
96
19
95
19
94
19
93
19
92
19
91
-0,6
Rok
Graf 1. Vývoj reziduí regresního modelu pro popis vývoje porodnosti v manželství.
Z odhadnutého modelu lze usuzovat, že zvyšující se sňatečnost ovlivňuje růst
porodnosti v manželství, a tedy i růst celkové porodnosti, a to pozitivně. Opatření podporující
sňatečnost byla ke zvýšení porodnosti využita již v minulosti, například ve formě
novomanželských půjček nebo zvýhodněného bydlení pro novomanžele. Zvyšování
spotřebitelských cen má na porodnost v manželství negativní vliv. Tento vliv byl také
potvrzen již v minulosti, a to v roce 1979, kdy byly na několikanásobek zvýšeny ceny
dětského a kojeneckého odívání, což se přesně za devět měsíců projevilo v náhlém úbytku
narozených.
Nečekaný výsledek se objevil u vlivu nezaměstnanosti na porodnost v manželství. Na
základě korelační analýzy bylo předpokládáno záporné znaménko, zatímco v odhadnutém
modelu má koeficient nezaměstnanosti znaménko kladné. Tento nesoulad se může objevit
v případě, že v korelační analýze byla identifikována zdánlivá závislost a teprve ve vztahu
s ostatními proměnnými je identifikována závislost skutečná. Za předpokladu současného
119
vlivu sňatečnosti a indexu spotřebitelských cen ovlivňuje rostoucí nezaměstnanost porodnost
pozitivně. Tento vliv by mohl být vysvětlen situací mladých žen v plodném věku, které se
rozhodnou pro mateřství v případě, že jsou déle nezaměstnané, nemohou najít práci a se
zvyšující se nezaměstnaností jejich šance na trhu práce klesá. Pro potvrzení této úvahy by
byla vhodná další analýza ve smyslu existence zdánlivé závislosti, která však z důvodu
malého rozsahu souboru dat není možná. Při odebrání proměnné zůstává model jako celek
významný, stejně jako koeficienty zbylých nezávislých proměnných.
Z provedených analýz a vlivu jednotlivých faktorů na porodnost v manželství je
zřetelný nesporný kladný vliv sňatečnosti. Její podpora v rámci propopulační politiky ale byla
použita v minulosti a měla pouze krátkodobý účinek. Podpora samotné sňatečnosti nemusí
vést ke zvýšení porodnosti a pokud ano, tak na úkor jejího snížení v dalších letech. Pozitivní
vliv by mohla mít podpora, jejíž získání by bylo podmíněno současně sňatkem a mateřstvím.
Nešlo by o dlouhodobý vliv na vývoj porodnosti, ale spíše na změnu poměru dětí narozených
v manželství a mimo manželství, čímž by byl kladen důraz na upřednostňování modelu
tradiční rodiny.
Jako významné ekonomické faktory byly určeny: index spotřebitelských cen, vývoj
reálných mezd, půjčky domácností a sociální příjmy domácností. Vliv těchto faktorů souvisí
se snahou zajistit rodinu finančně. Pokud se potenciální rodiče obávají, že by v budoucnu
vzhledem k zvyšujícím se spotřebitelským cenám, nízkým mzdám a nedostupnosti půjček
neměli dostatek finančních prostředků k zajištění potřeb svých dětí, rodinu nezaloží, nebo se
rozhodnou mít pouze jedno dítě. Na základě těchto úvah lze považovat za hlavní příčinu nízké
porodnosti, která se týká ekonomické oblasti, neuspokojivou finanční situaci rodin, strach
z neschopnosti zajistit rodinu a ze snížení životní úrovně. Vliv má zřejmě také situace na trhu
práce, kde jsou ženy stále diskriminovány, což vede k odkládání rodičovství a snižování počtu
dětí. Jednoznačný vliv nezaměstnanosti na porodnost se nepodařilo v rámci analýzy závislostí
potvrdit. Ke zjištění vlivné proměnné týkající se oblasti zaměstnanosti a pracovního prostředí
by bylo třeba provést podrobný rozbor situace na trhu práce, zahrnující zjištění struktury
nezaměstnanosti z hlediska věku a pohlaví, důvody nezaměstnanosti, situaci žen v plodném
věku a matek na trhu práce atd.
4. Záver
Cílem předkládaného příspěvku byla identifikaci faktorů ovlivňujících vývoj klesající
porodnosti v České v období 1991 - 2005.
V rámci statistické analýzy byla provedena korelační analýza pro porodnost
v manželství a pro vybrané demografické a ekonomické proměnné. Z demografických
ukazatelů byla vypočtena vysoká pozitivní korelace porodnosti v manželství s mírou
sňatečnosti a nepříliš významná korelace s mírou rozvodovosti. Z ekonomických ukazatelů se
zdá být v souvislosti s porodností v manželství významný vývoj úrovně životních nákladů,
resp. spotřebitelských cen. Určitý vliv mohou mít také půjčky domácností, meziroční index
reálné mzdy a sociální příjmy domácností.
V rámci vícenásobné regresní analýzy byl odhadnut regresní model popisující vývoj
porodnosti v manželství v závislosti na míře sňatečnosti, nezaměstnanosti a na indexu
spotřebitelských cen. Model byl shledán statisticky vysoce průkazným. Na základě výsledků
analýzy závislosti byla zvolena za nejdůležitější faktor, mající negativní vliv na vývoj
porodnosti, obava ze snížení životního standardu rodiny a z neschopnosti zajistit děti,
plynoucí z neuspokojivé finanční situace rodin.
Nedostatkem empirické analýzy je malý počet pozorování. Z důvodu nedostupnost
potřebných dat v odpovídající formě je brán v úvahu pouze omezený počet proměnných.
120
Autorky abstrahují od dalších faktorů ovlivňující porodnost, jako jsou změny v hodnotových
orientacích, rozmach emancipace a podobně.
5. Literatura
ANDĚL, J. Matematická statistika. Praha: SNTL/ALFA, 1978. 346 s.
HILL, C. R., GRIFFITHS, W. E., JUDGE, G.G. Undergraduate econometrics. 2. vyd. New
York: John Wiley & Sons, 2001, 402 s. ISBN 0-471-33184-8.
HUŠEK, R. Základy ekonometrické analýzy I.: Modely a metody. 1. vyd. Praha: VŠE, 1995.
225 s. ISBN 80-7079-102-0.
KALIBOVÁ, K. Úvod do demografie. 2. vyd. Praha: Karolinum, 2003. 52 s. Učební texty
Univerzity Karlovy v Praze. ISBN 80-246-0222-9.
ROUBÍČEK, V. Úvod do demografie. 1. vyd. Praha: CODEX Bohemia, 1997. 348 s. ISBN
80-85963-43-4.
Adresa autora:
RNDr. Jitka Poměnková, Ph.D.,
Zemědělská l, 613 00 Brno,
Česká republika
[email protected]
Lenka Němcová, Ing
Zemědělská l, 613 00 Brno,
Česká republika
[email protected]
121
Modelovanie nárokov v neživotnom poistení
Rastislav Potocký, UK Bratislava
Abstract:The total claim amount of a homogeneous portfolio in non-life insurance is usualy
modelled by the Cramér-Lundberg model.The solution of the problem that an insurance
company will not be able to meet its liabilities is well-known when individual claims are not
too large ( the so-called case of small claims). However the classical approach cannot be used
for extremal events which occur now more frequently than before.The paper deals with the
so-called large claims where different methods are needed in order to obtain an acceptable
solution.
Key words: The total claim amount process,the risk process, the Cramér-Lundberg condition,
heavy-tailed distributions, subexponential distributions.
.
1.Úvod
Predpokladáme, že v nejakom homogénnom portfóliu veľkosti nárokov Xk sú
nezávislé rovnako rozdelené náhodné premenné so spoločnou distribučnou funkciou
F takou,že F ( x ) <1 pre vsetky x a Pr (Xk >0 ) =1pre všetky k.Naviac požadujeme, aby
stredná hodnota bola konečná. Nároky sa vyskytujú v náhodných časoch Tn a ich počet
v intervale<0, t> je N (t ) = sup { n ≥ 1 ; Tn ≤ t }.Časy medzi jednotlivými nárokmi sú
nezávislé, exponenciálne rozdelené s konečnou strednou hodnotou 1/λ a veľkosti nárokov na
nich nezávisia.Tento klasický model sa nazýva Cramérov-Lundbergov model.
Proces celkových nárokov pre Cramérov-Lundbergov model je
N (t )
S (t ) = ∑ X i ,ak N (t ) >0,inak S (t ) = 0
(1)
i =1
Proces rizika prislúchajúci k procesu celkových nárokov je
U (t ) = u + c.t − S (t ), t ≥ 0
(2)
u je začiatočný kapitál poisťovne a c >0 je poistná sadzba (za časovú jednotku).
Ak stredná hodnota nárokov je µ, platí
EU (t ) = u + c.t − µ EN (t )
(3)
Za predpokladu, že časy medzi jednotlivými nárokmi majú exponenciálne rozdelenie, N (t ) je
homogénny Poissonov proces s intenzitou λ a platí
EU (t ) = u + c.t − λµt
122
(4)
Odtiaľ
EU (t ) / t → c − λ.µ
(5)
Ak má byť poisťovňa solventná, je potrebné, aby c − λ.µ >0.Veličina ρ = c / λ.µ − 1 >0
je bezpečnostná prirážka. Poistné v časovom intervale <0,t> je (1+ ρ ) λ.µ .t .(tzv.rizikové
poistné). Predpoklad o exponenciálnom rozdelení časov medzi jednotlivými nárokmi sa
niekedy vypúšťa.V takom prípade ide o obnovací model.
Ak pre nejaké t nastane U (t ) <0, hovoríme o zruinovaní poisťovne. Pravdepodobnosť
zruinovania v konečnom čase T označíme Ψ (u, T ) , pravdepodobnosť zruinovania
v nekonečnom čase Ψ (u ) , čo je funkcia začiatočného kapitálu u. Pre dané u a T sa poistná
sadzba volí tak, aby Ψ (u, T ) bola malá hodnota a Ψ (u ) <1 pre všetky u≥0. Klasický výsledok
je známy ako
Cramérova-Lundbergova veta. Nech v Cramérovom-Lundbergovom modeli platí, že ρ > 0
a nech existuje také ν>0, že
∞
−
ν .x
∫ e F (x )dx = c/λ.
(6)
0
Potom platí:
Ψ (u ) ≤
a) ∀u ≥ 0 je
∞
e-νu
(7)
−
ν .x
∫ xe F (x )dx <∞,
b) ak
0
lim eνu Ψ (u ) =G<∞
tak
(8)
u →∞
G=( ν/ρµ
kde
∞
∫
−
xeν . x F ( x )dx ) –1
(9)
0
c)ak nároky majú exponenciálne rozdelenie so strednou hodnotou µ,tak
Ψ (u ) = 1/ (1+ρ) exp ( -ρu/ µ( 1+ρ)).
−
(10)
Platí F (x )= 1- F( x), tzv.rozdelenie chvosta náhodnej premennej s distribučnou funkciou F.
Z vety plynie známy fakt, že pri nulovej bezpečnostnej prirážke je zruinovanie isté.
Ako vidieť, kľúčová je existencia konštanty ν, ktorá sa nazýva Lundbergov exponent
uvažovaného procesu rizika U(t). Podmienka (6) sa nazýva podmienka malých nárokov.
Podmienku spĺňajú exponenciálne rozdelenie, gama rozdelenie,Weibulovo rozdelenie, ak jeho
exponenciálny parameter je väčší ako 1 a useknuté normálne rozdelenie. (Pre exponenciálne
−
rozdelenie je F ( x ) = e
−α . x
−
,α> 0, pre Weibullovo F ( x ) = e − β . x ,β> 0,τ≥1)
123
τ
2. Rozdelenia veľkých nárokov
Väčšina rozdelení v neživotnom poistení však podmienku nespĺňa. Inými slovami,
neexistuje také ν>0, pre ktoré platí vzťah (6). To viedlo k definícii rozdelení s ťažkými
chvostami.
∞
Trieda rozdelení s ťažkými chvostami Κ=( F; ∫ eν . x dF ( x ) =∞ pre všetky ν>0)
0
−
−
Trieda rozdelení s dlhými chvostami L= ( F; lim F (x − y ) / F (x ) = 1 pre všetky y>0 )
x →∞
Trieda subexponenciálnych rozdelení S= (F; lim Pr( S n > x )/ Pr( max X k >x )=1 ∀ n≥2 )
x →∞
1≤ k ≤ n
−
−
Trieda regulárne sa meniacich rozdelení R=( F; lim F (t.x ) / F (x ) = t −α ∀ t>0 a nejaké
x →∞
α>0 )
−
−
Trieda rozdelení s dominantne sa meniacimi chvostami D = ( F ; lim sup F (c.x ) / F ( x ) < ∞
x →∞
∀0<c <1)
n
kde S n = ∑ X i .
i =1
Platí R⊂S⊂L⊂K a samozrejme R ⊂ D.Tiež S je pravá podmnožina L,ale L∩ D⊂S.
Najdôležitejšia je trieda subexponenciálnych rozdelení S.Dá sa ukázať, že
−
F (x ) / e − r . x → ∞ ∀r > 0, čo znamená, že chvosty týchto rozdelení konvergujú k 0 pomalšie
ako chvost exponenciálneho rozdelenia. Na druhej strane rozdelenia, ktorých chvosty
konvergujú rýchlejšie ako exponenciálne rozdelenie, do S nepatria. Rozdelenia triedy K sa
nazývajú rozdeleniami veľkých nárokov.
Do triedy R patria mocninné rozdelenia, napr.Paretovo, ďalej Burrovo rozdelenie,
loggama
a
useknuté
α-stabilné
rozdelenia
(
Pre
Paretovo
rozdelenie
α
−
 k 
τ
F (x ) = 
 ,α>1,k>0, pre Burrovo rozdelenie podobne, len miesto x je x , τ>0).
k + x
−
Weibulovo rozdelenie s chvostovou distribučnou funkciou F ( x ) = e − c. x , 0<τ<1 patrí do
S,ale nie do R, podobne lognormálne rozdelenie.
Pre rozdelenia s regulárne sa meniacimi chvostami možno ukázať, že
pravdepodobnosť zruinovania v nekonečnom čase v Cramérovom –Lundbergovom modeli je
∞ −
Ψ (u ) ~ 1 / ρµ ∫ F ( y )dy
pre u → ∞
τ
(11)
u
Toto tvrdenie možno zovšeobecniť na subexponenciálne rozdelenia , ktoré majú
konečnú strednú hodnotu. Presne povedané (11) platí pre rozdelenia s konečnou strednou
hodnotou µ také, že rozdelenie integrovaného chvosta
FI (x ) =
1
x −
µ ∫0
F ( y )dy, x ≥ 0
124
(12)
patrí do S. V tomto prípade možno (11) prepísať do tvaru
−
Ψ (u ) ~ ρ −1 F I (u )
pre u → ∞
(13)
Túto podmienku okrem rozdelení s regulárne sa meniacimi chvostami spl´ňajú aj
lognormálne rozdelenie,Weibulovo a Benktanderove rozdelenia prvého a druhého typu.
Podmienka je nevyhnutná. Poznamenajme, že F nemusí byť z S, aby F I ∈S. Pre rozdelenia
spomenuté v tomto príspevku však platí oboje. Pretože podmienka sa ťažko overuje, v praxi
sa využíva tvrdenie, že ak rozdelenie s konečnou strednou hodnotou patrí do D, tak FI ∈S.
Podmienka F∈D sa overuje ľahšie.Všimnime si, že požiadavka konečnej strednej hodnoty
diskvalifikuje Paretovo rozdelenie s parametrom α, 0<α≤1.
Z praktického hľadiska treba poznamenať, že kým výsledok v časti b) CramérovejLundbergovej vety predstavuje veľmi dobrý odhad Ψ (u ) už pre stredne veľké u, (13) má skôr
teoretický význam. Lepší odhad možno dostať len v prípade, že F spĺňa aj nejakú inú
požiadavku okrem F I ∈S.
Tvrdenie (11) možno zovšeobecniť na prípad , že proces počtu nárokov je
všeobecnejší ako v Cramérovom-Lundbergovom modeli. Ako uvádzajú viacerí autori,
najrealistickejším procesom v poisťovníctve okrem homogénneho Poissonovho procesu je
negatívny binomický proces.
−
Ak F ∈ R s exponentom α+1,tak (11) možno použiť na odhad pravdepodobnosti
zruinovania v konečnom čase T. Platí
Ψ (u , T )
→ 1 − (1 + (1 − ρ )T ) −α pre u → ∞ .
Ψ (u )
(14)
3. Klasický model rizika s konštantnou úrokovou sadzbou
Nech v Cramérovom-Lundbergovom modeli sa fondy poisťovne zhodnocujú
s konštantnou intenzitou úrokovania r>0. Potom pre zodpovedajúci proces rizika
(resp.rizikovú rezervu ) U r (t ) platí
t
t
U r (t ) = ue + c ∫ e dy − ∫ e r (t − y ) dS ( y )
rt
ry
0
(15)
0
Nech Ψr (u ) znamená pravdepodobnosť zruinovania v nekonečnom čase pre tento proces.
Potom platí
−
−
Veta (Asmussen).Ak FI ∈ S a lim sup FI (v.x ) / F I ( x ) <1, ∀v>1,
x →∞
∞ −
tak
Ψr (u ) ~ λ / r ∫ F ( y ) / ydy
pre u → ∞
(16)
u
V závere sa zmienime o rýchlosti konvergencie pravdepodobností zruinovania. Platí
a)v prípade,že FI ∈ D,tak
−
Ψ (u ) / F I (u )ρ −1 -1 =O (u-1 )
čo je pomalá konvergencia.
b) ak zavedieme podtriedu subexponenciálnych rozdelení
125
(17)
−
−
A = ( F; FI ∈ S a lim sup FI (v.x ) / F I ( x ) <1 ,∀v>1 )
x →∞
tak
∞ −
Γ(u ) = Ψr (u ) /( λ / r ∫ F ( y ) / ydy ) -1 = O(u-1 )
(18)
u
pre FI ∈ A ∩D. Dá sa ukázať, že A ∩D zahŕňa regulárne sa meniace rozdelenia. Ak chceme
dostať presnejšie tvrdenie, treba jednotlivé rozdelenia analyzovať osobitne.
Osobitným problémom je odhad parametrov rozdelení s ťažkými chvostami. Pretože
sa tu stretávame s odľahlými pozorovaniami, klasické metódy niekedy zlyhajú. Nádejnejšie sa
javí použitie robustných metód, napr.odhadov založených na Johnsonovom skóre.
4. Záver.
Diskutovaný problém je len špeciálnym prípadom , s ktorým sa stretávajú poisťovne.
Všeobecnejšie úlohy sa týkajú rozdelenia chvostov celkových nárokov, kde opäť hrajú
dôležitú úlohu subexponenciálne rozdelenia.
Článok vznikol s podporou ASO projektu č.SK-0607-BA-018.
5. Literatúra.
1.ASMUSSEN,S.1998.Subexponential asymptotes for stochastic processes:extremal
behavior,stationary distributionand first passage probabilities.In:Ann.Appl.Probab., č.8,1998.
2.EMBRECHTS,P.-KLUPPELBERG,C.- MIKOSH,T.1997.Modelling extremal events for
insurance and finance.Springer-Verlag,Berlin,2003,ISBN 3-540-60931-8.
3.EMBRECHTS,P.-VERAVERBEKE,N.1982. Estimates for the probability of ruin with
special emphasis on the probability of large claims.In:Insurance,Math.Econom.,č.1,1982.
4.KONSTANTINIDES,D.G.-TANG,Q.H.-TSITSIASHVILI,G.SH.2004.Two-sided bounds
for ruin probability under constant interest force.In: Journal of Mathematical
Sciences,vol.123,č.1,2004.
5.MIKOSH,T.-NAGAEV,A.2001.Rates in approximation to ruin probabilities for heavytailed distributions.In:Extremes,4,č.1,2001.
Adresa autora:
Rastislav Potocký
Mlynská dolina
842 18 Bratislava
[email protected]
126
Využití a význam plochy pod ROC křivkou
Marek Sedlačík
Abstract: Receiver operating characteristic (ROC) analysis is an important tool for
describing the performance of a diagnostic test used to discriminate between two populations.
There are several approaches how to estimate it (see Hsieh, Turnbull, 1996). In the
contribution the attention is concentrated on using the area under the ROC curve (AUC) as a
quality metric. These methods were programmed in the computing software MATLAB and
the procedures are applied to the real data processing.
Key words: sensitivity and the specificity of the test, ROC curve, area under the ROC curve
1. Úvod
V tomto příspěvku je zaměřena pozornost na ROC křivky (Receiver Operator Characteristic
Curve), různé techniky jejich odhadu a především na odhad plochy pod ROC křivkou. Jedná
se o tzv. AUC (Area under Curve) charakteristiku, která má široké využití v oblasti
klasifikace. Uvedené metody odhadu ROC křivky i odhadu AUC charakteristiky budou
srovnány na simulovaných datech. Veškeré výpočty a grafické výstupy byly implementovány
v prostředí MATLAB 7.0.
2. ROC a ODC křivka
Uvažujme diagnostický test, jehož cílem je na základě měření na spojité škále zařadit objekt
do jedné ze dvou disjunktních skupin. Například do skupiny D1 nebo do skupiny D2 .
Předpokládáme, že měřené testové skóre je ve skupině D1 náhodná veličina X, která má
rozdělení pravděpodobností dané distribuční funkcí F (a hustotou f). Ve skupině D2 je
měřené testové skóre náhodná veličina Y s rozdělením pravděpodobností o distribuční funkci
G (a hustotě g). Předpokládáme, že obě náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé.
Obrázek 1: Klasifikace objektů do dvou skupin pomocí testového kritéria s mezní hodnotou c,
které má rozdělení pravděpodobností s hustotou f ve třídě D1 a s hustotou g ve třídě D2 .
______________________________
1
Marek Sedlačík, Fakulta ekonomiky a managementu, Univerzita obrany, Brno
127
ROC křivku, která popisuje kvalitu testového kritéria, zavádíme analyticky vztahem
ROC (t ) = 1 − G ( F −1 (1 − t )) pro t ∈ (0,1) , pokud uvedená inverzní funkce F −1 (t ) existuje.
Ekvivalentně může být ROC křivka vyjádřena parametricky pomocí senzitivity a specificity
testového kritéria jako množina bodů o souřadnicích [1 − SP(c ), SE (c )] . Diagnostický test,
který má dobrou rozlišovací schopnost mezi oběma populacemi, je charakteristický tím, že
jeho ROC křivka zpočátku rapidně roste a potom je téměř konstantní. Naopak u
diagnostického testu s malou rozlišovací schopností se jeho ROC křivka přibližuje diagonále.
Obě tyto situace jsou dobře patrné z obrázku 2. Podrobněji např. v [7].
Obrázek 2: ROC křivky s odpovídajícími hustotami f a g pro dvě rozdílné diagnostické
situace.
3. Odhad ROC křivky
Nechť X 1 ,  , X m je náhodný výběr z rozdělení o distribuční funkci F. Označme Fm (x)
výběrovou distribuční funkci příslušnou náhodnému výběru X 1 ,  , X m . Podobně pro
náhodný výběr Y1 , , Yn z rozdělení o distribuční funkci G označíme příslušnou výběrovou
distribuční funkci Gn (x) . Když v definičním vzorci ROC křivky nahradíme distribuční
funkce F a G příslušnými výběrovými protějšky Fm (x) a Gn (x) a místo inverzní funkce
použijeme kvantilovou funkci, dostaneme empirický odhad ROC křivky (ozn. SampleROC) .
(
)
ROC (t ) = 1 − Gn Fm−1 (1 − t ) , 0 < t < 1 ,
(1)
Jiné populární spojité odhady vychází z předpokladu, že obě náhodné veličiny X i Y mají
normální rozdělení. Mluvíme potom o tzv. binormálním modelu. Patří sem mimo jiné:
a) GLS (generalized least squares method) odhad – využívá iterativní váženou metodu
nejmenších čtverců,
b) AGLS (adaptive generalized least squares method) odhad – jedná se o modifikaci
předchozí metody, kdy se ve výpočtu zohlední rychlost růstu ROC křivky,
c) Kolmogorov (EBBUCE - Estimate Based on the Best Unbiased Cdf Estimate) odhad –
obdobně jako v (1) použijeme místo F a G jejich odhad založený na nejlepším
nestranném odhadu distribuční funkce (viz [6]).
Podrobnosti o binormálním modelu a uvedených odhadech lze najít např. v [4].
128
4. Odhad plochy pod ROC křivkou
Plocha pod ROC křivkou (AUC) se velmi často používá jako měřítko kvality klasifikace pro
daný diagnostický test. Základní vlastností této charakteristiky je, že plocha pod ROC křivkou
je rovna pravděpodobnosti P( X < Y ) , tj.
∫ ROC (t )dt = P( X < Y ) .
1
0
(2)
Lze ukázat (viz např. 4), že pro plochu pod výběrovou ROC křivkou platí:
1
∫ F G (t )dt = mn ∑ χ [
1
0
m
−1
n
1≤i ≤ m
1≤ j ≤ n
X i <Y j
]=
1
U = Wm , n ,
mn
(3)
kde U je Wilcoxonova statistika a Wm ,n známá Mann-Whitneyova statistika. Navíc platí
(viz 3), že Wm ,n je silně konzistentním odhadem pravděpodobnosti P( X < Y ) . Statistiku Wm ,n
lze tedy použít k odhadu plochy pod ROC křivkou. Pro výpočet AUC charakteristiky
spojitých odhadů ROC křivky použijeme numerickou integraci.
5. Simulační studie
Abychom vyšetřili vlastnosti uvedených odhadů ROC křivky a především jim příslušných
AUC charakteristik, byly provedeny následující experimenty na simulovaných datech.
Předpokládejme dva charakterově odlišné binormální modely N (0,1) , N (2,1) a N (0,1) ,
N (0.5,1) . Nejprve jsou pro m = n = 30 na obrázku 3 zakresleny odhady ROC křivky spočtené
užitím metody GLS, metody AGLS, pomocí kolmogorovského odhadu (označeno Kolmogor
ROC), pomocí výběrových distribučních funkcí (označeno Sample ROC) a také odhadovaná
ROC křivka (označeno RealROC). Hodnota skutečné AUC charakteristiky (tj. plocha pod
RealROC) je pro první model rovna RealAUC=0.9213, pro druhý model RealAUC=0.6382.
Obrázek 3: Odhadnuté ROC křivky pro binormální modely N(0, 1), N(2, 1), m = n = 30
(vlevo) a N(0, 1), N(0.5, 1), m = n = 30 (vpravo). Hodnoty AUC charakteristiky pro RealROC
jsou 0.9213 (vlevo) a 0.6382 (vpravo).
Pro tytéž binormální modely bylo dále simuluváno 100 náhodných výběrů, pro které byl
spočten odhad ROC křivek, rsp. jim příslušných AUC charakteristik. Z nich byl následně
129
určen výběrový průměr a směrodatná odchylka. Výsledky pro m = n = 15, 30, 60, 100, 500 a
1000 udává tabulka 1 a 2.
Tabulka 1: Výběrový průměr a směrodatná odchylka AUC charakteristik pro binormální
model N(0, 1), N(2, 1) s rozsahy výběrů m, n. Výpočet byl proveden na základě sta simulací.
RealAUC=0.9213
m=n
15
30
60
100
500
1000
SampleAUC
0.9228
(0.0461)
0.9212
(0.0332)
0.9211
(0.0248)
0.9189
(0.0201)
0.9220
(0.0086)
0.9221
(0.0055)
GLSAUC
0.8936
(0.0442)
0.9249
(0.0372)
0.9204
(0.0275)
0.9191
(0.0218)
0.9223
(0.0089)
0.9220
(0.0058)
AGLSAUC
0.9033
(0.0337)
0.9210
(0.0302)
0.9225
(0.0220)
0.9263
(0.0164)
0.9220
(0.0105)
0.9215
(0.0063)
KolmAUC
0.9125
(0.0423)
0.9212
(0.0329)
0.9217
(0.0246)
0.9194
(0.0196)
0.9220
(0.0085)
0.9221
(0.0053)
Tabulka 2: Výběrový průměr a směrodatná odchylka AUC charakteristik pro binormální
model N(0, 1), N(0.5, 1) s rozsahy výběrů m, n. Výpočet byl proveden na základě sta simulací.
m=n
15
30
60
100
500
1000
SampleAUC
0.6484
(0.1031)
0.6292
(0.0717)
0.6388
(0.0592)
0.6404
(0.0403)
0.6367
(0.0154)
0.6390
(0.0131)
RealAUC=0.6382
GLSAUC
AGLSAUC
0.6184
0.6448
(0.1416)
(0.1080)
0.6007
0.64201
(0.0974)
(0.0757)
0.6215
0.64678
(0.0660)
(0.0653)
0.6297
0.6399
(0.0511)
(0.0426)
0.6325
0.6392
(0.0174)
(0.0150)
0.6380
0.6396
(0.0149)
(0.0128)
KolmAUC
0.6472
(0.1014)
0.6300
(0.0720)
0.6388
(0.0589)
0.6404
(0.0400)
0.6369
(0.0154)
0.6390
(0.0129)
Z výsledků plyne, že použité odhady ROC křivky poskytují srovnatelné výsledky při odhadu
AUC charakteristiky. Obecně lze říci, že AGLS a Kolmogorov (viz 6) odhad je kvalitnější,
neboť GLS odhad vykazuje vetší numerickou nestabilitu a SampleROC je hendikepován svou
nespojitostí.
Dále ověříme vlastnosti Mann-Whitney statistiky jako odhadu plochy pod ROC křivkou (viz
(3)). Pro srovnání použijeme dva odlišné binormální modely:
A.)
N(1,1), N(1.5,1) s RealAUC=0.6382 a
B.)
N(1,1), N(4,1) s RealAUC=0.9831.
130
Odpovídající (odhadované) ROC křivky jsou znázorněny na následujícím obrázku.
Obrázek 4: ROC křiky příslušné binormálním modelům N(1, 1) and N(1.5, 1) (ROC_A) a N(1,
1) and N(4, 1) (ROC_B).
Nyní provedeme pro zmíněné binormální modely opět 100 simulací náhodných výběrů, ze
kterých spočteme výběrový průměr a směrodatnou odchylku Mann-Whitney statistiky Wm ,n a
Wilcoxonovi statistiky U. Výsledky pro m = n = 5, 10, 50, 100, 500 a 1000 udává tabulka 3.
Tabulka 3: Výběrový průměr a směrodatná odchylka Mann-Whitney statistiky Wm ,n a
Wilcoxonovi statistiky U pro binormální model N(0, 1), N(1.5, 1) a N(0, 1), N(4,1) Výpočet
byl proveden na základě sta simulací s rozsahy výběrů m, n.
m=n
5
10
50
100
500
1000
N(1,1) a N(1.5,1)
RealAUC=0.6382
U
Wm,n
16.63
0.6652
(4.3754)
(0.1750)
62.9
0.629
(10.927)
(0.1093)
1591.1
0.63644
(135.89)
(0.0543)
6400.7
0.64007
(358.34)
(0.0358)
1.5984.105
0.63935
(4279.2)
(0.0171)
6.3739.105
0.63739
(12808)
(0.0128)
N(1,1) a N(4,1)
RealAUC=0.9831
U
Wm,n
24.61
0.9844
(0.7771)
(0.0311)
97.88
0.9788
(2.7128)
(0.0271)
2457.46
0.9830
(23.3349)
(0.0093)
9839.71
0.9840
(72.4070)
(0.0072)
245696.53
0.9828
(826.8737)
(0.0033)
983285.75
0.9833
(2273.7449)
(0.0023)
Vzhledem k uvedeným výsledkům je vhodné plochu pod ROC křivkou odhadovat pomocí
Mann-Whytneyovy statistiky jen pro rozsáhlejší datové soubory. Navíc je třeba zohlednit také
skutečnost, že konvergence Wm,n k RealAUC je mnohem rychlejší pro model s větší hodnotou
RealAUC.
131
6. Literatura
1. DORFMAN, D. D., ALF, E. 1969. Maximum likelihood estimation for parameters of
signal. Math.~Psychol. N. 6, s. 487-496.
2. GREEN, D., SWETS, J. 1966. Signal detection theory and psychophysics. New York:
John Wiley and Sons.
3. HANLEY, J., A., MCNEIL B., J. 1982. The meaning and of the area under a receiver
operating characteristic (ROC) curve. Radiology. N. 143, s. 29–36.
4. HSIEH, F., TURNBULL, B. W. 1996. Nonparametric and Semiparametric Estimation of
the Receiver Operating Characteristic Curve. The Annals of Statistics. vol. 24, no. 1, s.
25-40.
5. METZ, C., E. 1978. Basic Principles of ROC Analysis, In Seminars in Nuclear Medicine.
vol. 8, no. 4.
6. MICHÁLEK, J., SEDLAČÍK, M., DOUDOVÁ, L. 2005. A Comparison of Two
Parametric ROC Curves Estimators in Binormal Model, 23 rd International Conference
Mathematical Methods in Economics 2005, Hradec Králové, Czech Republic.
7. SEDLAČÍK, M., MICHÁLEK, J. 2004. ROC křivky a jejich využití při konstrukci
klasifikačních a regresních stromů. In Zborník referátov, XVI. letná škola biometriky.
Pribylina (Slovakia). ISBN 801-89162-06-1.
Adresa autora:
Mgr. Marek Sedlačík, Ph.D.
Katedra ekonometrie, UO
Kounicova 65, Brno
E-mail: [email protected]
Telefon: +420 973 443 591
132
Zdravie a ekonomický rast
Health and Economic Growth
Beáta Stehlíková 1
Abstract: Life expectancy, or the adult survival rate, in a country is a broad measure of
population health. The aim of paper is to construct common model between GDP and life
expectancy for world countries and European union countries.
Key words: life expectancy, GDP, European union
1. Úvod
Zdravotná starostlivosť v primeranej kvalite má významný vplyv na zdravotný stav
populácie. Údaje z rozvojových krajín dokazujú, že pri výdavkoch nižších ako 60 dolárov na
osobu za rok nie je zabezpečená adekvátna zdravotnícka starostlivosť. Existujú však aj opačné
limity: zvyšovaním výdavkov na zdravotníctvo nad 1000-1500 dolárov na osobu za rok sa
nádej na zdravý život už ďalej nezvyšuje, uvádza sa v Národnej správe o ľudskom rozvoji SR
2001-2002. Nádej na dlhší život v primeranom zdraví je vyššia v krajinách, ktoré investujú do
zdravotníctva vyššie sumy. Efektívnosť zdravotníckeho systému, teda pomer medzi
investovanými zdrojmi a kvalitou služieb, je však dôležitou i keď ťažko merateľnou
podmienkou, uvádza sa ďalej. Zdravie je výsledkom vplyvu mnohých faktorov, z ktorých
niektoré majú univerzálny vplyv, napríklad zdravotná starostlivosť. Iné faktory pôsobia pri
rovnakej intenzite odlišne, napríklad životné prostredie. Existujú faktory, ktoré vo sa
akceptujú ako faktory s pozitívnym vplyvom, iné naopak s negatívnym vplyvom na
zdravotný stav. Ich váha, t.j. dôležitosť však nie je v kombinácii s inými faktormi
jednoznačná, ide o interakciu komplexu vplyvov. Separátne hodnotenie determinantov
zdravia a hľadanie jednoduchých vzťahov je dosť problematické.
Prezident Harvardskej univerzity Lawrence Summers a ekonóm Svetovej banky Lant
Pritchett tvrdia, že vďaka ekonomickému rastu sú ľudia zdravší, lebo žijú v prijateľnejších
podmienkach, majú prístup ku kvalitnej zdravotnej starostlivosti, najkvalitnejším liekom. Ešte
významnejší je vplyv kvalitnej vody a výživy, bezpečnejších pracovných podmienok a
lepšieho bývania. David E. Bloom a David Canning tiež z Harvardskej univerzity tvrdia
opak. Podľa nich zdravšie obyvateľstvo znamená výkonnejšiu ekonomiku, uvádzajú
Hospodárske noviny (2007). Zdraví pracovníci sú produktívnejší ako ich kolegovia s horším
zdravotným stavom. Z tohto dôvodu investície do zdravotníctva stimulujú ekonomický rast.
2. Materiál a metódy
Zdravie je jeden z kľúčových atribútov udržateľného rozvoja spoločnosti. Zdravotný
stav obyvateľstva krajiny je výsledkom zložitého spolupôsobenia genetického vybavenia,
výživy a životného štýlu, životného prostredia, ekonomickej situácie ako aj kvality
zdravotníckych služieb. Zdravá populácia vytvára dobré predpoklady pre priaznivú situáciu
na trhu práce. Zdravie a dlhý život meraný očakávanou dĺžkou života pri narodení patrí
medzi tri dimenzie kvantifikujúce ľudský rozvoj pomocou indexu ľudského rozvoja.
Základným a všeobecne akceptovaným ukazovateľom úrovne životných podmienok
obyvateľstva a úmrtnostných pomerov je očakávaná dĺžka života. Podľa Agendy 21 ide o
sociálny ukazovateľ udržateľného rozvoja a vyjadruje priemernú predpokladanú dĺžku života
1
Beáta Stehlíková, Katedra štatistiky a operačného výskumu, FEM SPU v Nitre
133
novorodenca, danú súčasnými vekovo špecifickými rizikami úmrtnosti. Očakávaná dĺžka
života pri narodení je teda ukazovateľ, ktorý súvisí s úmrtnostnými pomermi a
sprostredkovane aj so zdravotnými podmienkami. Očakávaná dĺžka života je tiež najčastejšie
slúžiacim demografickým ukazovateľom pre porovnávanie úrovne zdravotného stavu. Vo
svete sú vyššie životné štandardy a lepšia výživa spolu s dostupnou, Vyšší standardy života a
výživy spolu s dostupnou, stále sa zlepšujúcou lekárskou starostlivosťou hlavnými hnacími
silami zvyšovania očakávanej dĺžky života pri narodení. Rozdiely medzi krajinami sú hlavne
v zdravotnej starostlivosti a v predchádzaní smrteľným chorobám.
Meranie výkonnosti ekonomiky má pre hospodársku politiku veľký význam. Základnými
veličinami používanými na meranie a vyjadrovanie výkonnosti ekonomiky sú hrubý domáci
produkt a hrubý národný produkt. V príspevku sa výkonnosť ekonomiky budeme merať
pomocou HDP. Hrubý domáci produkt (HDP) v trhových cenách predstavuje konečný
výsledok činnosti rezidentských jednotiek vyprodukovaný rezidentskými jednotkami
na určitom ekonomickom území a za určité obdobie. Parita kúpnej sily je konverzný
koeficient, ktorý prepočítava ekonomické ukazovatele, vyjadrené v nominálnych národných
menách, na spoločnú umelo vytvorenú menu s názvom štandard kúpnej sily (PKS), ktorá
vyrovnáva rozdiely v kúpnej sile rôznych národných mien. HDP krajín vyjadrený v PKS
pomocou PPP ako konverzných koeficientov tak vyjadruje čisté objemové porovnanie.
Údaje za rok 2005 sú čerpané z databázy Medzinárodného menového fondu.
3. Výsledky a diskusia
Závislosť očakávanej dĺžky života ODZ od logaritmu HDP na obyvateľa v parite
kúpnej sily 167 štátov sveta možno vyjadriť pomocou vzťahu
ODZ = -7,807115 + 8,469561 log (HDP)
(4,710820) (0,536522)
(1)
Model ako celok je vhodný. Hodnota testovacej štatistiky F je 249,1997 a príslušná P
hodnota je menšia ako 0,0000001. P hodnota absolútneho člena je 0,0994 a P hodnota
regresného koeficienta je menšia ako 0,00001. Koeficient determinácie je 60,1641 percent,
upravený je 59,9227 percent. Hodnota Akaikeho kritéria je 6,966307. Whiteov test
heteroskedasticity nezamieta neexistenciu heteroskedasticity (P = 0,189350).
Obrázok 1. Závislosť očakávanej dĺžky života ODZ od logaritmu HDP na obyvateľa v parite
kúpnej sily a príslušné rezíduá pre 167 štátov sveta
134
Závislosť očakávanej dĺžky života ODZ od logaritmu HDP na obyvateľa v parite kúpnej
sily 25 štátov Európskej únie možno vyjadriť pomocou vzťahu
ODZ = 26,83302 + 4,981931 log (HDP)
(10,73763) (1,062147)
(2)
hodnota je 0,000101. Koeficient determinácie je 48,8891 percent, upravený je 46,6669
percent. Hodnota Akaikeho kritéria je 4,361986. Whiteov test heteroskedasticity však
zamieta neexistenciu heteroskedasticity (P = 0,003060). Upravená štandardná chyba
odhadovaných koeficientov je
ODZ = 26,83302 + 4,981931 log (HDP)
(15,65216) (1,554331)
(3)
Obrázok 2. Závislosť očakávanej dĺžky života ODZ od logaritmu HDP na obyvateľa v parite
kúpnej sily a príslušné rezíduá pre 25 štátov Európskej únie
Obrázok 3. Normalita rezíduí modelu pre 25 štátov Európskej únie
Je zaujímavé overiť, či sa oba vytvorené regresné modely štatisticky preukazne líšia.
Zavedením umelej premennej KOD nadobúdajúcej hodnotu 1 pre štáty Európskej únie a
hodnotu 0 inak, dostávame model
ODZ = -9,669088 + 8,698640 log (HDP) + 34,12734 KOD – 3,485026 KOD log (HDP) (4)
(5,436087) (0,638315)
(33,71883)
(3,375932)
135
hodnota je menšia ako 0,0000001. Koeficient determinácie je 60,4483 percent, upravený je
59,7204 percent. Hodnota Akaikeho kritéria je 6,983100. P hodnoty pre jednotlivé regresné
koeficienty sú 0,0772; 0,0000; 0,3130 a 0,3035. Whiteov test heteroskedasticity nezamieta
neexistenciu heteroskedasticity (P = 0,2889440). Waldov test nulovú hypotézu pre testovanie
nulovosti regresného koeficienta pri premennej KOD a súčasne pri premennej KOD log
(HDP) nezamieta (P = 0,5580). Posledný výsledok znamená, že sa modely štatisticky
preukazne nelíšia.
4. Diskusia
Získané výsledky znamenajú, že modely popisujúce vzťah medzi očakávanou dĺžkou
života v celosvetvom merítku a na území 25 štátov Európskej únie sa štatisticky preukazne
nelíšia. Bolo síce povedané, že separátne hodnotenie determinantov zdravia a hľadanie
jednoduchých vzťahov je problematické, ukazuje sa však, že hrubý domáci produkt v parite
kúpnej sily zohráva signifikantnú úlohu pri determinácii zdravia kvantifikovanej očakávanou
dĺžkou života.
5. Literatúra
SOJKOVÁ, Z. – STEHLÍKOVÁ, B. 2005. Socio-ekonomická komparácia krajín EÚ. Nitra
: Slovenská poľnohospodárska univerzita, 2005. 67 s. ISBN 80-8069-520-2
BARRO, R. J. 1997. Determinants of Economic Growth: A Cross-county Empirical Study.
Cambridge : MIT Press, 1997.
Koľko peňazí je vlastne v zdravotníctve? Dostupné na www. hn.hnonline.sk (23.8.2007)
Adresa autora:
Beáta Stehlíková, doc. RNDr. CSc.
Katedra štatistiky a operačného výskumu, FEM SPU v Nitre
Tr. A. Hlinku 2
949 76 Nitra
[email protected]
136
Porovnanie vybraných metód pre ranking podnikov v odvetví
Katarína Šebejová, Trend Holding
Abstract: Often, there is no the ranking of the companies as a usual part of sector analyses in
Slovakia. Why? There are enough techniques based on multi criteria, but not enough
software. Some people are still afraid of Excel special functions. Now we are able to use the
RSW, new method in the Slovakia, but not in the Germany. The very special outline of this
method is to factor the time in construction of ratios. Some improvement of ratios is
necessary, because of different statements structure. The first bigger application of this
method is on the companies of construction sector
Key words: Sector analyses, macro & micro level, methods based on multi criteria,
benchmark, scoring, RSW
1. Úvod
V odvetvových analýzach, ktoré sú dnes dostupné v SR ako komerčné produkty sa
podnikové dáta často prezentujú vo forme poradia podnikov podľa jedného, či viacerých
kritérií. Neporovnávajú sa s odvetvových benchmarkom a nie sú ani spracované do rankingu
podľa globálneho ukazovateľa. Toto možno považovať za je jeden z najvážnejších
nedostatkov v obsahu odvetvových analýz. Škála metód je široká a neustále sa zdokonaľuje.
Dôvod však môže byť v malom rozšírení analytických aplikácií, ktoré eliminujú ručné
výpočty a ručný design výstupu. Tento nedostatok síce odstránili tabuľkové procesory,
využitie ich funkcií kladie však vyššie nároky na používateľa.. Rôzne sú informačné zdroje, a
tým aj štruktúra údajov z nich získavaných, čo komplikuje ich spracovanie do rebríčkov.
2. Viackriteriálne hodnotenie a odvetvový scoring
Pod scoringom sa skrýva kvantitatívne hodnotenie subjektu na báze viacerých kritérií.
Výsledkom je rebríček podľa sumárneho ukazovateľa. Výstupom je jedna známka, ktorá
podľa poradia (rankingu) označuje bonitu hodnoteného subjektu z pohľadu hodnotiaceho
mechanizmu 1. Základom scoringového modelu je spravidla viackriteriálne hodnotenie,
v ktorom môžu byť aplikované rôzne metódy a modely. Výber ukazovateľov a stanovenie váh
rieši buď analytik, alebo expert, prípadne tvorca modelu, či metódy. Scoring je v porovnaní
s ratingom jednoduchší, priezračný a časovo nenáročný spôsob zisťovania bonity klienta.
Hlavná váha hodnotenia však spravidla spočíva na minulých výsledkoch. Dáta za viacero
podnikov sa spracovávajú automatizovane, je potrebné urobiť ich fyzickú i logickú kontrolu.
Metódy pre viackriteriálne hodnotenie podnikov patria medzi tzv. vyššie metódy finančnej
analýzy. Spravidla sú zapracované v osobitných softwarových produktoch, ale dnes stačí
zdatnému analytikovi na ich aplikáciu aj MS Excel. Snahou autorky vždy bolo verifikovať ich
na reálnych údajoch konkrétnych firiem. Predmetom záujmu bolo zväčša stavebníctvo,
a spoločnosti, ktoré v ňom pôsobia.
2.1 Metódy multikriteriálneho hodnotenia a program ESO
Cieľom metód multikriteriálneho hodnotenia je transformácia a syntetizácia hodnôt
rôznych ukazovateľov do jedného, integrálneho, ktorý komplexne vyjadruje úroveň
1
Vinš, P. - Liška, V. : Rating. C.H. Beck,. Praha 2005, s. 64.
137
jednotlivých podnikov v súbore. Patrí sem metóda jednoduchého poradia, bodovacia metóda,
metóda normovanej premennej, metóda vzdialenosti od fiktívneho bodu (objektu) a metóda
klasifikačna. V zostavovaní podnikových rankingov majú zatiaľ najširšie využitie. Existuje
viacero publikácií, ktoré podávajú podrobný metodologický základ a postup pre aplikáciu
metód 2. Na ich aplikáciu možno dnes už použiť štandardný tabuľkový procesor. Medzi
staršie softwarové aplikácie, v ktorých ich tiež bolo možné využiť patril program ESO 3
(Ekonomický Software). Vznikol na Vysokej škole ekonomickej v Prahe na báze
databázového procesora MS Access, ale dnes sa už nerozvíja. Analytik si pre hodnotenie
môže zvoliť vlastnú sústavu maximálne desiatich ukazovateľov a priradiť im váhy podľa
významnosti pre cieľa rankingu. Vyhodnotenie prebieha podľa všetkých metód naraz.
Výsledná známka je súčtom poradia za každú metódu. Najlepší podnik ju má najnižšiu (bol na
špici rebríčka podľa každej z metód).
Pri vytváraní sústavy ukazovateľov treba zohľadniť vzájomnú závislosť medzi nimi.
Testuje sa pomocou Spearmanovho koeficientu 4. Aj jednotlivé metódy medzipodnikového
porovnávania navzájom korelujú a poskytujú podobné výsledky. Najvyššia závislosť je medzi
metódou vzdialenosti od fiktívneho objektu a metódou normovanej premennej., najmenšia
medzi klasifikačnou a bodovacou metódou. Tu sa prejavuje skutočnosť, že bodovacia metóda
je najjednoduchšia. Celkový výsledok je vysoko závislý od ostatných. Najviac ho odzrkadľuje
metóda normovanej premennej, najmenej metóda bodovacia.
Tabuľka 1: Spearmanov koeficient korelácia pre jednotlivé metódy
Metóda
Bodovacia Normovanej Vzdialenosť Klasifikačná Celkové
jednoduché metóda
premennej od fiktívneho
metóda
poradie
ho poradia
objektu
0,8017
0,7721
0,6609
0,6123
0,8522
Metóda jednoduchého poradia
0,8017
0,7680
0,6380
0,5601
0,8344
Bodovacia
0,7721
0,7680
0,9090
0,8802
0,9704
Normovanej premennej
0,6609
0,6380
0,9090
0,8893
0,9152
Vzdialenosť od fiktívneho
objektu
0,6123
0,5601
0,8802
0,8893
0,8748
Klasifikačná
0,8522
0,8344
0,9704
0,9152
0,8748
Celkové poradie
2.2 Metóda RSW
Metódu RSW vyvinul Reinhart Schmidt. Za akronymom sú tri nemecké slová. Rendita
(R) = návratnosť, rentabilita; Sicherheit (S) = istota, stabilita; Wachstum (R) = rast. Jej
aplikácia na hodnotenie 304 akciových spoločností bola po prvý raz zverejnená v roku 1987,
medzi tým sa rozšírila na všetky kótované nemecké akciové spoločnosti 5. Vybrané
ukazovatele ako celok vyjadrujú kvalitu podniku z pohľadu investora. Sleduje sa
fundamentálny6 výkon na základe účtovných výkazov. Primárnym cieľom je návratnosť,
zachovaná do budúcnosti, zohľadnený je budúci potenciál úspešnosti. Ukazovatele berú do
úvahy čas. Rentability postihujú obdobie troch rokov, sú vážené, najaktuálnejší rok má
najvyššiu váhu. Ukazovatele rastu vyjadrujú priemerný ročný prírastok bilančnej sumy
i obratu, nie iba medziročné zmeny. Všetky sa transformujú do jednej hodnoty, tzv.
2
3
4
5
6
Viď. Zalai, K. a kol.. Finančno-ekonomická analýza podniku. Sprint vfra, Bratislava 2000, s. 262-278.
Srpová, J.: Habilitační práce - Vybrané metody ekonomického hodnocení podniku a jejich softwarová podpora při výuce. Vysoká škola
ekonomická, Praha 1999, s. 68.
Klenovics, G.: Využitie aplikačného programu ESO vo finančnej analýze podniku. Diplomová práca na EU, Bratislava 2000, s. 74.
Podľa Baetge, J.: Bilanzanalyse. IDW-Verlag GMBH, Düsseldorf 1998, s. 550-559.
Tu v zmysle základný, t.j. výkon, ktorý je podstatou existencie podniku.
138
Fundamentálneho score. Od roku 1994 sa meria výkon podnikov na burze a premieta sa do
tzv. Burzového score. Obe score vchádzajú do Celkového score, to je tzv. kvázi-objektívne.
Tabuľka 2: Metóda RSW – ukazovatele a ich váhy
Oblasť
Značka
R1
R2
Rentabilita
Ukazovateľ
Rentabilita vlastného
kapitálu
Cash flow
z obratu
(odvetvovo diferencovaný)
S1
Miera samofinancovania
S2
Miera
likvidity
Stabilita
W1
Rast
W2
Miera
rastu bilančnej sumy
Miera rastu
obratu
Odvetvie
Všetky odvetvia
Váha
0,4444
Priemysel / Obchod / Doprava
Verejná správa a samospráva
Obchodné banky
Hypotekárne banky
Úrazové a havarijné poisťovne
Životné poisťovne
Banky / Poisťovne
Obchodné banky
Hypotekárne banky
Úrazové a havarijné poisťovne
Životné poisťovne
Všetky odvetvia
0,2222
0,1111
0,0556
0,1111
0,0556
Banky / Poisťovne
S ú č e t v á h 1,0000
Pri výpočte fundamentálneho score sa hodnoty každého ukazovateľa štandardizujú, aby
ich bolo možné spočítať, aj keď sú inak vyjadrené, vážia sa váhami a až potom sumarizujú.
Štandardizácia prebieha metódou normovanej premennej, za všetky ukazovatele požadujeme
rast. Fundamentálne score kvantifikuje odchýlku konkrétneho podniku od priemeru za
skupinu podnikov. Ak je pozitívne, je nadpriemerný, negatívne naopak poukazuje na jeho
podpriemernosť. Čím vyššia je hodnota score, tým lepšie je na tom podnik a má lepšie
poradie. Celkovú pozíciu podniku vyjadruje scoringová známka od A do E. Tá sa pridelí
podnikom, zoradeným podľa Celkového score v závislosti od rozpätia, daného autormi.
Tabuľka 3: Metóda RSW – rozpätie pre scoringové známky
Scoringová známka
A
B
C
D
E
Priradené podniky
Najlepší do 5 percent
Najlepší od 5 do 25 percent
Najhorších 5 percent
Aplikácia metódy v slovenských podmienkach vyžaduje modifikácie, hlavne kvôli
štruktúre účtovných výkazov. Ukazovateľ cash flow je súčet zisku a odpisov, nie finančný tok
z výkazu s identickým názvom. V čitateli miery likvidity nie sú zahrnuté likvidné cenné
papiere, ale len likvidné prostriedky7. Celkové score sa rovná Fundamentálnemu score,
pretože iba minimum podnikov má kótované cenné papiere na burze.
7
Šebejová, K.: Aktuálne otázky odvetvovej analýzy na príklade odvetvia stavebníctva. Doktorandská dizertačná práca na EU, Bratislava
2007
139
140
Tabuľka 4: Metóda RSW – prvá odvetvová aplikácia - stavebníctvo, údaje z účtovných
výkazov za rok 2005, porovnanie s poradím podľa celkových tržieb v rebričku Trend TOP
RSW
score
Známka
Názov spoločnosti
1,31424
A
IN VEST, s.r.o., Šaľa
0,74631
A
Tavros a.s.
0,71578
A
PRIEMSTAV STAVEBNÁ, a.s.
0,69886
A
MALSTAV INVEST, spol. s r.o.
0,63161
B
ADOZ, s.r.o.
0,60798
B
Insituform – Hulín Rohrsanierungstechniken, s.r.o., Hlohovec
0,54520
B
Hornex, a.s., Bratislava
0,50909
B
STAS-stavby a sanácie, s.r.o., Trnava
0,47305
B
Trnavská stavebná spoločnosť, a.s., Trnava
0,46338
B
STAVECO - stavebná, a.s., Galanta
0,45916
B
Steel-Mont, a.s., Holíč
0,32078
B
STAVOÚNIA,a.s.
0,30720
B
IMOS-ASEK, s.r.o., Hamuliakovo
0,30245
B
Remeslo stav, s.r.o., Žiar nad Hronom
0,28637
B
Skanska BS, a.s., Prievidza
0,27132
B
Arprog, a.s., Poprad
0,26954
B
Metrostav SK, a.s., Bratislava
C
ViOn, a.s., Zlaté Moravce
0,24659
0,20895
C
COMERON SPS, spol. s r.o.
0,19389
C
Cesty Nitra, a.s., Nitra
0,16502
C
Combin Banská Štiavnica, s.r.o., Banská Štiavnica
0,16226
C
Považská stavebná, a.s.,Považská Bystrica
0,14272
C
Lesostav Nitra, a.s.
0,13519
C
Unistav, s.r.o., Prešov
0,12739
C
Prefa Sučany, a.s., Sučany
0,10752
C
Skanska Technológie, a.s.,Košice
0,09570
C
S.O.F. HERCEG, spol. s r.o.
0,09176
C
Doprastav, a.s., Bratislava
0,09076
C
Scorp, s.r.o., Michalovce
0,08238
C
Termostav – Mráz, s.r.o., Košice
0,07011
C
Slovpanel a.s.
0,06468
C
Mijas, s.r.o., Banská Bystrica
0,06409
C
Inžinierske stavby, a.s., Košice
C
Reding, a.s., Bratislava
0,05708
0,04835
C
Chemkostav HSV, a.s., Humenné
0,03335
C
Elza – Elektromontážny závod Bratislava, s.r.o.,
0,02887
C
Váhostav – SK, a.s., Žilina
0,02092
C
Bala, a.s., Holice
-0,01680
C
Chladiace veže Bohunice, s.r.o., Jaslovské Bohunice
-0,02058
C
Vod-Eko, a.s., Trenčín
-0,02223
C
KLIMATECH, s.r.o., Piešťany
-0,03198
C
SVIP, s.r.o., Košice
-0,04259
C
PUR - STAV KB, s.r.o.
-0,06153
C
Širila, a.s., Spišská Nová Ves
-0,10898
C
Skelet Bratislava, a.s., Bratislava
-0,11289
C
Elektrovod Holding, a.s., Bratislava
-0,11545
C
Akord, a.s., Námestovo
-0,11690
C
ZIPP Bratislava, s.r.o., Bratislava
-0,14056
C
REKORD, spol. s r.o.
-0,14398
C
ŠTROB - SLOVAKIA s.r.o.
D
Bardejovské pozemné stavby, a.s.
-0,18791
141
Poradie Trend
13.
n
n
n
n
n
14.
55.
22.
53.
18.
n
32.
44.
6.
35.
12.
23.
n
8.
n
45.
n
51.
26.
25.
n
1.
46.
33.
n
49.
2.
15.
50.
43.
4.
39.
47.
27.
58.
57.
n
41.
38.
n
n
3.
n
n
n
Počet
podnikov
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Tabuľka 5: Metóda RSW – aplikácia v stavebníctve, pokračovanie tabuľky 4
RSW
score
Známka
Názov spoločnosti
-0,19280
D
PSG-Slovakia, a.s., Žilina
-0,19687
D
Pozemné stavby Púchov, s.r.o.
-0,20585
D
Hronstav 01, s.r.o., Brezno
-0,20631
D
Pienstav, a.s., Stará Ľubovňa
-0,21890
D
Sibamac, a.s., Bratislava
-0,24441
D
PSJ Hydrotranzit, a.s., Bratislava
-0,26889
D
Ekostav, a.s., Michalovce
-0,27481
D
Stavoindustria Lipt. Mikuláš, a.s.
-0,28559
D
FINAL spol. s r.o.
-0,28604
D
Invest In, a.s., Šaľa
-0,40239
D
BCI, a.s., Žilina
-0,41678
D
REKOSTA Piešťany, s.r.o.
E
Stamart Martin, s.r.o., Martin
-0,47351
-0,47661
E
TELEMONT Slovensko a.s.
-1,41213
E
KRUSTAV, spol. s r. o.
-4,47563
E
Stavbár a.s.
Poradie Trend
n
54.
n
37.
11.
28.
n
30.
n
n
36.
n
19.
n
n
n
Počet
podnikov
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
2.3 Index celkovej výkonnosti a systém Revalex
Index celkovej výkonnosti (ICV) je skonštruovaný na báze jednoduchých metód
stanovenia hodnoty variantov, ktoré vychádzajú z viackriteriálnej funkcie úžitku. Ako
predikčný model sa uplatnil v systéme REVALEX, ktorý slúžil na hodnotenie výkonnosti
podniku. Svojím charakterom patril medzi expertné systémy. Analytik si mohol skonštruovať
aj vlastný index viackriteriálneho výberového hodnotenia z 24 ponúkaných ukazovateľov, ale
nemohol meniť ich váhy. Dnes sa REVALEX už nerozvíja, výpočet ICV umožní aj MS Excel.
Pri určení ICV sa integruje stránka vecná, t.j. výber ukazovateľov, ktoré vypovedajú o
finančno-ekonomickej situácii podniku a metodická. Tá spočíva v určená významu
ukazovateľa a čiastkového ohodnotenia. Váhy jednotlivých skupín ukazovateľov, váhy
ukazovateľov v rámci skupiny i výsledné váhy boli v systéme REVALEX stanovené expertne
pridaním bodov z bodovej stupnice od 1 do 9. Jeden bod zodpovedá nepatrnému významu,
deväť je pre rozhodujúci význam. Výsledná váha je súčinom normovanej váhy príslušného
ukazovateľa v rámci skupiny a normovanej váhy skupiny. Normovaná váha skupiny
ukazovateľov je daná podielom nenormovanej váhy (prisúdenej expertmi) na súčte váh.
Tabuľka 6: Skupiny ukazovateľov, nenormované a normované váhy
I
II
III
IV
V
VI
VIII
X
Skupina ukazovateľov
Štruktúra pasív
Krytie stálych aktív
Štruktúra aktív
Likvidita
Ukazovatele obratu
Rentabilita kapitálu
Rentabilita tržieb a podiel Cash flow na tržbách
Produktivita
Spolu
142
Bodové ohodnotenie
7
3
4
6
5
8
8
5
48
Normovaná váha
0,15
0,06
0,08
0,12
0,10
0,17
0,17
0,15
1
Na určenie čiastkového ohodnotenia podniku z hľadiska každého ukazovateľa sa v
programe REVALEX využívala metóda lineárnych čiastkových funkcií úžitku. V nej sa
hodnoty jednotlivých kritérií, kvalitatívnych ukazovateľov, transformovali na ich čiastkové
ohodnotenie, vyjadrené bezrozmerným číslom. Transformačná funkcia bola definovaná
pomocou štyroch bodov so súradnicami: X1=(x1,y1), X2=(x2,y2), X3=(x3,y3), X4=(x4,y4).
Index celkovej výkonnosti podniku je váženým súčtom čiastkových ohodnotení 8 podniku,
čím je vyšší, tým je finančno-ekonomická situácia podniku lepšia a jej výkonnosť vyššia.
ICV = Σ v i . h i
(1)
i =1
3. Záver
Tabuľka 7: Porovnanie parametrov za vybrané metódy
Parameter
Cieľ hodnotenia
Sústava ukazovateľov
Metódy MKH
Voliteľný podľa
potreby
Voliteľná podľa cieľa
ČAS
Váhy
Nezohľadňuje
Váhy stanoví analytik
Aplikačné prostredie
Náročnosť na zdroje údajov
Program ESO
Stredná, podľa cieľa
Metóda RSW
Rast, hodnota pre
investora
Pevná, málo
ukazovateľov
Zohľadňuje
Diferencovanéh váhy
podľa sektorov
stanovil autor metódy
MS Excel
Nízka
Index CV
Výkonnosť
podniku
Pevná, veľký počet
ukazovateľov
Nezohľadňuje
Váhy
stanovili
experti
Program Revalex
Vysoká
Metóda RSW jediná berie do úvahy čas pri konštrukcii ukazovateľov, čo vyplýva aj
z jej cieľa. Ukazovatele aj ich váhy sú vopred stanovené, analytik ich nemôže zmeniť. Všetky
metódy by mohli nájsť v blízkom období opäť širšie využitie, nakoľko pre ich aplikáciu sa
dajú pripraviť postupy v Exceli. Ranking je zaujímavou súčasťou odvetvovej analýzy.
Scoringové hodnotenie podniku sa odvíja od cieľa, ktorý reprezentuje vybraná skupina
ukazovateľov. Scoringova známka platí iba do najbližších zmien, ktoré vo firme nastanú..
4. Literatúra
Baetge, J.: Bilanzanalyse. IDW-Verlag GMB, Düsseldorf 1998.
Fotr, J. - Dědina, J.: Manažérske rozhodování. Ekopress, Praha 1997, s. 133.
Kislingerová, E - Hnilica,J.: Finanční analýza krok za krokem. C. H. Beck, Praha 2005.
Srpová, J.: Vybrané metody ekonomického hodnocení podniku a jejich softwarová podpora
při výuce. Habilitační práce na VŠE, Praha 1999.
Šebejová, K.: Aktuálne otázky odvetvovej analýzy na príklade odvetvia stavebníctva.
Doktorandská dizertačná práca na EU, Bratislava 2007
Zalai, K. a kol.: Finančno–ekonomická analýza podniku, Sprint vfra, Bratislava 2000.
Vinš, P. - Liška, V. : Rating. C.H. Beck,. Praha 2005
Adresa autora:
Katarína Šebejová, Ing.
Záborského 18
831 03 Bratislava
[email protected], [email protected]
8
Fotr, J. - Dědina, J.: Manažérske rozhodování. Ekopress, Praha 1997, s. 133.
143
Wavelety a časové řady
Jana Šimsová1
Abstract: Attention in this paper will be focused on the using of wavelets in time series. First
the wavelet analysis is briefly introduced. Then we concentrate on smoothing of time series
with using wavelets. Finally we introduce wavelet scalogram and its application in searching
of cycles in time series.
Key words: Wavelet analysis, Fourier analysis, time series, periodogram, scalograms,
threshold.
1. Úvod
Na počátku osmdesátých let byla zformulována teorie waveletů, ale některé úvahy
související s touto teorií se objevovaly již od počátku 20. století. Podstatou této teorie je
reprezentace funkcí pomocí bázových funkcí, které jsou lokalizovány jak v čase, tak ve
frekvenci. V devadesátých letech minulého století pak tato teorie zaznamenala bouřlivý
rozvoj a je široce aplikována v mnoha oblastech matematiky, fyziky a technických věd
(zpracování signálů a obrazu, komprese dat, geofyzika, seismika, atd.), ale také statistiky.
Mateřský wavelet je funkce, pomocí níž se vytvářejí funkce dyadickými zjemněními a
posunutími. Takto vytvořené funkce tvoří bázi prostoru L2 ( R) a mohou být tedy použity
k reprezentaci libovolné funkce z tohoto prostoru. V praxi se často používají ortogonální
wavelety s kompaktním nosičem. V úvodu článku v krátkosti nastíníme základní myšlenku
waveletové analýzy a porovnáme ji s Fourierovou analýzou. Pak se soustředíme na použití
waveletů při zpracování časových řad.
2. Waveletová analýza
Teorie waveletů je matematicky poměrně složitá teorie, proto zde pouze nastíníme
základní vlastnosti waveletů. Předem dodejme, že budeme pracovat s funkcemi, které jsou
integrovatelné s kvadrátem, tedy jsou z prostoru L2 ( R) . Vyjdeme od funkce označované
většinou φ(x), která má název škálová funkce. Pro tuto funkci platí
který má název dilatační rovnice
∫ ϕ (x )dx = 1 a také vztah,
R
ϕ (x ) = 2 ∑ hk ϕ (2 x − k ).
(1)
k∈Z
Koeficienty hk se nazývají škálové koeficienty. Pokud má škálová funkce konečný nosič,
škálových koeficientů je konečně mnoho nenulových. Funkce zvaná (mateřský) wavelet ψ(x),
pro který ∫ ψ ( x )dx = 0 , je definována vztahem
R
ψ (x ) = 2 ∑ g k ϕ (2 x − k ),
(2)
k∈Z
kde koeficienty gk se nazývají waveletové koeficienty a platí pro ně vztah g k = (− 1) h1− k .
k
Příklad waveletu je uveden na grafu č.1.
1
Jana Šimsová, Katedra matematiky a statistiky, FSE UJEP Ústí nad Labem
143
Graf 1. Wavelet-mexický klobouk
Z mateřského waveletu a škálové funkce lze vytvořit funkce následujícím způsobem
j
ϕ j ,k (x ) = 2 2 ϕ (2 j x − k ), j , k ∈ Z
j
2
ψ j ,k (x ) = 2 ψ (2 j x − k ), j , k ∈ Z .
(3)
(4)
Protože {ψ j ,k ( x )}j ,k∈Z tvoří bázi prostoru L2 (R ) , můžeme libovolnou funkci f(x) z tohoto
prostoru zapsat ve tvaru
{
f ( x ) = ∑∑ d j ,kψ j ,k ( x) .
}
Navíc systém ϕ j0 k ( x),ψ j ,k ( x )
psát jako
(5)
j∈Z k∈Z
j ≥ j0 j , k∈Z
je také bází prostoru L2 (R ) a tedy funkci f(x) můžeme
f ( x ) = ∑ c j0 ,k ϕ j0 ,k ( x) + ∑∑ d j ,kψ j ,k ( x) ,
k∈Z
(6)
j ≥ j0 k∈Z
kde
c j0 ,k = ∫ f ( x)ϕ j0 ,k ( x)dx ,
(7)
d j ,k = ∫ f ( x)ψ j ,k ( x)dx .
(8)
R
a
R
Další důležitá vlastnost waveletů jsou nulové momenty
∫
R
x pψ ( x )dx = 0 , kde 0 ≤ p < N .
Waveletů bylo zkonstruováno již mnoho. K nejznámějším patří wavelety zkonstruované I.
Daubeschies, které mají řadu užitečných vlastností. Například jsou ortogonální, mají konečný
nosič, jistý stupeň hladkosti a určitý počet nulových momentů. Příkladem nejjednoduššího
a nejstaršího waveletu je Haarův vavelet (1910) daný předpisem
0≤ x< 1 ,
2
1 ≤ x < 1,
2
jinde.
1,

ψ (x) = − 1,
0,

144
(9)
Pro škálové a waveletové koeficienty Haarova waveletu platí
g 0 = − g1 = 1
h0 = h1 = 1
2
a
2.
Pokud máme data X = ( X 0 , X 1 ,...... X T −1 ) , kde T = 2 J , J > 0, J ∈ Z , pocházející
například z nějakého stochastického procesu, diskrétní waveletová transformace X je
definována vztahem
T −1
d j ,k = ∑ X tψ j ,k (t ) ,
(10)
t =0
j = 0,1,..., J − 1, k = 0,1,...,2 j − 1 . V maticovém tvaru můžeme psát d = MX nebo
X = M −1d . Pokud pracujeme s ortogonálními wavelety, platí M T = M −1 . Koeficienty d j ,k
Pro
mohou být spočteny pomocí Malatova algoritmu, který využívá vztahů mezi koeficienty c j ,k
a d j ,k z (7) a (8) na sousedních úrovních. Platí totiž
c j −1,k = ∑ h l − 2 k c j ,l
(11)
d j −1,k = ∑ g l − 2 k c j ,l
(12)
l
l
Pro Haarův wavelet odtud platí
d j ,k
2 j ( k +1)
 2 ( k + 12 )


 .
X
X
=2
−
∑
t
t
 t =∑

j
t =2 j ( k + 1 )
2 
 k2
−
j
2
j
(13)
3. Vyhlazování časové řady
Pokud chceme z časové řady odstranit náhodnou složku (vyloučit z ní šum), která je
většinou zachycena vysokofrekvenčními složkami časové řady ( obecně signálu), provedeme
tzv. prahování. Neboli upravíme koeficienty d j ,k . Uveďme některé techniky
1) Tvrdé prahování- všechny koeficienty d j ,k , které jsou v absolutní hodnotě menší než
jistá předem zvolená prahová hodnota , položíme rovny nule a ostatní necháme beze
změny.
2) Měkké prahování- všechny koeficienty d j ,k (v absolutní hodnotě) se sníží o předem
zvolenou prahovou hodnotu λ . Pak v případě, že d j ,k − λ je záporné, položí se dˆ j ,k
rovny nule, v opačném případě se položí dˆ j ,k = d j ,k − λ .
3) Kvantilové prahování- vynuluje se p% nejmenších koeficientů d j ,k a ostatní zůstanou
beze změny.
Optimální volba univerzální prahové hodnoty byla navržena ve tvaru λ = 2 ln T , kde T je
počet pozorování .
Chceme-li tedy časovou řadu zbavit náhodné složky, nejprve vypočteme koeficienty
d j ,k z maticové rovnice d = MX . Následně provedeme prahování a nakonec s novýni
koeficienty dˆ znovu složíme časovou řadu pomocí X = M −1d .
j ,k
145
2. Periodogram a škálogram
Připomeňme, že diskrétní Fourierova transformace diskrétního stacionárního procesu
{X t , t ∈ Z } je dána vztahem
d (ω ) = d
j
kde ω j = 2πj
j
=
T −1
1
∑X e
2πT
t =0
− iω j t
t
,
T 
j = 0,1,...,   ,
2
(14)
2
jsou Fourierovy frekvence. Periodogram je potom definován jako I j = d j .
T
Waveletový periodogram je definován pomocí koeficientů d j ,k předpisem
(15)
I j ,k = (d j ,k ) .
Tady je dobré připomenout, že každý waveletový periodogram je závislý na zvoleném
waveletu. Periodogram, který vyjadřuje „energii“ procesu pro každé j, k , není konzistentní.
Škálogram pro škálu j nese informaci o „energii“ na každé škále
2
S ( j) =
2 ( T − j ) −1
∑I
k =0
j ,k
j = 0,1,..., T − 1 .
(16)
Nyní uvedeme, jak lze využít škálogramu k identifikaci cyklu v časové řadě. Uvažujme
nejprve ideální příklad. Mějme časovou řadu s 2 8 daty xt . Z diskrétní waveletové
transfomace této časové řady dostáváme vektor d = (c00 , d 00 , d10 , d11 , d 20 ,..., d 7 , 27 −1 ) .
Škálogram této časové řady nechť je zobrazen na grafu číslo 2. Na škálogramu jsou zřetelné
dva vrcholy. Jeden ve vyšších hodnotách waveletové úrovně j , který indikuje cyklus s vyšší
frekvencí v časové řadě a druhý vrchol škálogramu je v nižších hodnotách waveletové úrovně
j , který indikuje cyklus s nižší frekvencí v časové řadě. Jestliže se ve škálogramu objeví dva
a více vrcholů, můžeme waveletovou dekompozici také rozdělit na dvě dekompozice. A to
tak, že jedna se bude nulovat na úrovních okolo prvního vrcholu a druhá bude mít nulové
hodnoty na úrovních druhého vrcholu škálogramu.
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
Graf 2. Škálogram
146
6
7
8
V našem případě tedy položíme
d j , k
d (j1,k) = 
0
j = 0,1,...,4
.
j = 5,...7
(17)
0
d (j 2,k) = 
d j , k
j = 0,1,...,4
.
j = 5,...7
(18)
(19)
c (j1,k) = c00, a
c (j2,k) = 0
Pomocí těchto koeficientů a inverzní waveletové transformace můžeme získat dvě časové
řady y = M −1 d (1) a z = M −1 d ( 2 ) z nichž první zachycuje cyklus původní časové řady
v nižších frekvencích a druhá cyklus ve vyšších frekvencích.
Uveďme teď ale reálnější případ, totiž případ, kdy mezi dvěma vrcholy škálogramu je jistá
úroveň, jak je ukázáno například na grafu číslo 3. Nyní nastává problém, jak oddělit
koeficienty diskrétní waveletové transformace v úrovních mezi dvěma vrcholy. Uveďme zde
dvě metody tohoto rozdělení, jak je navrhli ARINO,M.A,MORETTIN,P.A. , VIDAKOVIC,B.
První metoda je aditivní vzhledem k energii a druhá vzhledem ke koeficientům d j ,k .
Označme nejprve a = d
d 2j +1, 2 k + d 2j +1, 2 k +1
. V první metodě, která zachovává
2
energii, rozštěpíme koeficienty dané waveletové úrovně j následovně
2
j −1,
d (j1,k) =
[] a b=
k
2
a
d j ,k
a+b
d (j 2,k) =
a
( ) ( )
b
d j ,k .
a+b
(20)
Lze se jednoduše přesvědčit, že (d j ,k ) = d (j1,k) + d (j 2,k) , ale d j ,k ≠ d (j1,k) + d (j 2,k) .
Ve druhé metodě je rozdělení koeficientů definováno následovně
a
b
d (j1,k) =
d j ,k a
d (j 2,k) =
d j ,k .
a+b
a+b
2
2
2
500
400
300
200
100
0
0
2
4
6
Graf 3. Škálogram
147
8
(21)
( ) + (d ) ,
Nyní platí, že (d j ,k ) ≠ d (j1,k)
2
2
( 2) 2
j ,k
ale d j ,k = d (j1,k) + d (j 2,k) . Jestliže hodnota E ( j ) pro
příslušnou úroveň j je poměrně velká vzhledem k vrcholům škálogramu, autoři navrhují užít
druhou metodu. V opačném případě první metodu. V případě naznačeném na grafu číslo 3
bychom tedy koeficienty páté waveletové úrovně rozdělili podle první metody.
3. Závěr
Wavelety se užívají v dalších oblastech statistiky, než je zde naznačeno (neparametrická
regrese, předpovídání v časových řadách, atd.). Waveletové metody rozšiřují skupinu běžných
metod pro vyšetřování časových řad. Pro práci s wavelety z softwarových balíků zmiňme
Wavelet tool box pro MATLAB a S+Wavelets-přídavný modul do S-PLUS.
4. Literatura
ARINO,M.A,-MORETTIN,P.A.-VIDAKOVIC,B. 2004.Wavelet Scalograms and their applications
in economic time series. Brazilian Journal of Probability and Statistics, Vol. 18, 37-51.
ABRAMOVICH,F,-BAILEY,T.C.-SAPATINAS,T. 2000. In The Statistician, Vol. 49, Part1, p.1-29.
ANTONIADIS,A., 1997. Wavelets in Statistics: A Review. Preprint
CHUI,CH., 1992. An Introduction to Wavelets, Academic Press, ISBN 0-12-174584-8.
DAUBECHIES,I., 1992. Ten Lectures on Wavelets. SIAM. Philadelphia, ISBN 0-89871-274-2.
MORETTIN, P.A. 1997. Wavelets in statistics. Resenhas,vol. 3, p.211-272
MORETTIN, P.A.-CAINN,CH. 1998. A Wavelet Analysis for Time Series. In Journal of
Nonparametric Statistics, Vol. 10, 1-46.
MORETTIN, P.A. 1996. From Fourier to Wavelet Analysis of Time Series. Proceedings in
Computational Statistics (A.Prat, editor), Physica-Verlag, 111-122.
VESELÝ, V. 1995. In sborník z celostátního semináře ANALÝZA DAT 95/II
Adresa autora:
RNDr.Jana Šimsová,Ph.D.
Moskevská 54
400 96 Ústí nad Labem
[email protected]
148
Prognóza cien jatočných ošípaných spektrálnou analýzou a nákupnej ceny mlieka
nelineárnym regresným modelom
Božena Viktorínová 1
Abstract: The article focuses on the prognosis of prices of pig flesh for the period from
January to November 2007 with the application of spectral analysis method and with the
prognosis of buying prices of milk for the year 2007. In the first case we have used the
monthly data and in the second case we have used the annual data. The prognosis of prices on
the one year we have to make with the application of nonlinear regression.
Key words: Time series, prognosis, spectral analysis, prices, nonlinear regression.
1. Úvod
Pri riešení úlohy sme vychádzali z mesačných časových radov cien jatočných ošípaných
v Sk/kg za SR uvedených v Tab.1. K dispozícii sme mali údaje od apríla 1997 do decembra
2006 , spolu 117 údajov . Dostatočný počet údajov nám umožnil aplikovať na mesačnú
prognózu týchto cien spektrálnu analýzu.
Pri nákupnej cene mlieka v Sk/kg za SR sme vychádzali z ročných údajov cien a to od
r.1995 do r.2006 vrátane, ktoré sú uvedené v Tab.2. K dispozícii sme mali časový rad
dvanástich údajov a preto sme na prognózu nemohli použiť spektrálnu analýzu a teda
prognózu ceny sme vypočítali pomocou modelu viacnásobnej nelineárnej regresie s umelými
premennými.
2.Postup pri riešení danej problematiky
Vychádzali sme z nasledujúcich údajov dvoch časových radov:
Tabuľka 1. Ceny za jatočné ošípané v Sk/kg bez DPH, za SR
mesiac
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
1.
-
52,87
48,69
52,06
57,11
60,79
46,99
44,04
55,08
53,71
2.
-
52,49
50,10
51,26
56,99
59,99
46,16
42,03
51,96
50,50
3.
-
51,79
48,22
49,85
56,46
57,14
42,00
41,88
52,27
49,09
4.
47,53
50,23
49,91
49,20
58,00
55,99
43,26
43,78
49,76
48,74
5.
47,27
49,84
48,48
48,72
57,14
52,59
42,32
44,10
48,73
47,96
6.
46,00
49,91
50,43
49,16
58,66
50,63
47,48
49,94
53,29
51,87
7.
49,12
52,41
49,25
50,77
61,62
53,24
44,88
59,29
56,05
55,14
8.
52,56
52,81
52,25
53,15
63,99
61,39
57,15
55,33
55,44
57,60
9.
51,97
53,57
54,36
55,88
66,94
65,79
59,61
58,57
56,58
59,66
10.
53,54
55,14
54,78
57,90
67,83
63,83
55,38
60,39
55,52
56,51
11.
54,61
55,04
54,93
57,55
66,14
56,79
47,68
55,01
54,29
50,50
12.
54,91
55,07
54,45
57,76
62,53
47,62
47,44
53,64
54,71
48,98
Zdroj :PPA - ATIS
1
Božena Viktorínová, Ekonomická univerzita, FHI
149
Tabuľka 2. Nákupné ceny mlieka v Sk/kg v SR bez DPH
Rok
1995 1996
Nákupná
6,79
6,86
cena
mlieka
Zdroj: ML (MP SR) 6-12
1997
7,52
1998
8,02
1999
7,94
2000
8,62
2001
9,07
2002
9,27
2003
8,96
2004
9,17
2005
9,48
2006
9,31
V prípade prognózy cien jatočných ošípaných na január až november 2007 náš časový rad y t
pre t = 1,2,....T nebol stacionárny v strednej hodnote a museli sme ho nahradiť časovým
radom jeho prvých diferencií dy t , takže predikované hodnoty diferencovaného časového radu
boli počítané podľa vzťahu :
(1)
dy t HAT = a1 * cos(α 1 * t ) + b1 * sin (α 1 * t )
kde α i sú frekvencie z intervalu od 0 po π .
U nás
(2)
dy t HAT = −1,63813 * cos(0,54165 * t ) + 1,72980 * sin (0,54165 * t )
Keďže predikované hodnoty časového radu y t HAT boli aj centrované, museli sme ich
odcentrovať:
(3)
y t HAT = y t HAT + (t − T ) * PRIEM
kde PRIEM je priemerná hodnota zadaného časového radu.
U nás
y t HAT = y t HAT + (t − 117 ) * 0,0125000
(4)
Potom rekurentný vzťah pre výpočet predikovaných hodnôt pôvodného časového radu je:
(5)
y t HAT = y t −1 HAT + dy t HAT + PRIEM
U nás
(6)
y t HAT = y t −1 HAT + dy t HAT + 0,0125000
kde t = 119, 120, ...129. Vypočítané predikované hodnoty spolu s vypočítanými
predikovanými hodnotami diferencovaného časového radu uvádzame v nasledujúcej tabuľke:
Tabuľka 3. Prognóza cien jat. ošípaných v Sk/kg bez DPH za SR
yt
y t HAT = prognóza
Obs.
dy t HAT
118
0,76099
48,98
49,7535
119
1,81595
.
51,5819 jan.2007
120
2,35103
.
53,9455
121
2,21305
.
56,1710
122
1,44150
.
57,6250
123
0,25727
.
57,8948
124
-1,00061
.
56,9067
125
-1,97203
.
54,9471
126
-2,37889
.
52,5808
127
-2,10471
.
50,4886
128
-1,22797
.
49,2731
129
0,00031
.
49,2859 november
V štvrtom stĺpci od druhého riadku Tab.3, teda od januára 2007 do novembra 2007 je uvedená
prognóza cien jatočných ošípaných.
Zhodu empirických (prerušovaná čiara) a teoretických (plná čiara) hodnôt časového radu
spolu s prognózou môžeme sledovať na Obr.1.:
150
C
70
60
50
40
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
t
Obr.1 Grafické porovnanie teoretických a empirických cien jatočných ošípaných spolu
s prognózou
Pri výpočte prognózy nákupnej ceny mlieka sme vychádzali z Tab.2 a použili sme
nelineárnu regresiu s umelými premennými, teda vychádzali sme z rovnice:
(7)
y t = 6,43582 + 0,41208.t − 0,00106.t 3 − 0,40212.S 2 − 0,22569.S 3 − 0,33261.S 5
(0,0001) (0,0001) ( 0,0005)
( 0,0040)
( 0,0437)
( 0,0129)
Model vyšiel na hladine α = 0,05 významný ( F = 0,0001 ) a testy koeficientov sú uvedené
v okrúhlych zátvorkách pod rovnicou (7) a sú významné.
Predpovedaná nákupná cena mlieka v SR na rok 2007 je 9,4669 Sk/kg.
Zhodu empirických (plná čiara) a teoretických (prerušovaná čiara) hodnôt časového radu
spolu s prognózou možno sledovať na Obr.2:
CENA
10
9
8
7
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
T
151
12
13
Obr.2 Grafické porovnanie teoretických a empirických nákupných cien mlieka v Sk/kg v SR
3. Záver
Článok vznikol na základe potrieb praxe a problematika bola riešená v rámci grantovej
úlohy VEGA 1/ 2631/ 05. Aj keď sa modely ukázali byť vhodné na prognózovanie našich
cien, nemusí to znamenať, že veľké náhodné výkyvy tieto prognózy neovplyvnia.
4. Literatúra
CIPRA,T.1986. Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, Praha, SNTL, 1986
CHAJDIAK,J.–MEDVEĎOVÁ,E.1995. Prognózovanie časových radov, Bratislava, STATIS,
1995
CHAJDIAK,J.–RUBLÍKOVÁ,E.–GUDÁBA,Štatistické metódy v praxi ,Bratislava, STATIS,
1994
Adresa autora:
Mgr. Božena Viktorínová, CSc.
Ekonomická univerzita, FHI, Dolnozemská 1, 852 35 Bratislava
[email protected]
152
Vplyv úpravy charakteru premenných na metódy viackriteriálneho hodnotenia
Mária Vojtková
Abstract: This article deals with the partial problem of multivariate methods of evalution.
Applied on real-life data we ilustrate the differences between the two ways of determination
of data characters. The data are concentrated on structural indicators of Lisbon strategy.
Key words: methods of evalution, differences between two ways of determination the
methods, structural indicators of Lisbon strategy
1. Úvod
Usporiadanie objektov súboru podľa rôznych ukazovateľov je často riešenou úlohou. Najmä
pri väčšom počte objektov je usporiadanie pomerne prácna, a tým aj zdĺhavá záležitosť, samo
osebe je v princípe veľmi jednoduché. Často však chceme usporiadať súbor podľa vlastnosti,
ktorá sa nedá vyjadriť jednou premennou (ukazovateľom). Príkladom takýchto vlastností sú
veľkosť, efektívnosť atď. Takéto vlastnosti sú viackriteriálne, pričom každé kritérium
vyjadruje iný ukazovateľ.
2. Podstata metód viackriteriálneho hodnotenia
Spoločným základom všetkých metód viackriteriálneho hodnotenia je východisková matica
objektov (štatistických jednotiek) a ich charakteristík (ukazovateľov, premenných,
štatistických znakov). Samotné hodnotenie zahŕňa nasledujúcu postupnosť krokov:
1. Výber objektov zaradených do analyzovaného súboru pri dodržaní podmienok
porovnateľnosti.
2. Výber vlastností (ukazovateľov) charakterizujúcich objekt.
3. Voľba váh ukazovateľov, ktoré vyjadrujú dôležitosť toho-ktorého
ukazovateľa. Ide o subjektívny proces, ktorý má svoj metodologický aparát.
4. Určenie charakteru všetkých ukazovateľov:
 ak je žiadúce, aby ukazovateľ rástol, bude typu +1,
 ak je žiadúce, aby ukazovateľ klesal, bude typu –1.
5. Voľba metódy viackriteriálneho hodnotenia.
Na
rozhodnutí samotného analytika zostáva, ktorú z metód viackriteriálneho
hodnotenia použije. Medzi najčastejšie používané kvantitatívne metódy patrí: metóda súčtu
poradí, bodovacia metóda, metóda normovanej premennej a metóda vzdialenosti od
fiktívneho objektu. V procese analýzy je vhodné využiť kombináciu niekoľkých metód so
záverečným porovnaním ich výsledkov.
Cieľom všetkých metód viackriteriálneho hodnotenia je transformácia a syntetizácia hodnôt
rôznych ukazovateľov do jedného – integrálneho ukazovateľa (výslednej charakteristiky)
vyjadrujúceho komplexne úroveň jednotlivých objektov v skúmanom súbore. Metódy sa líšia
jednak v čiastkových hodnoteniach (podľa jednotlivých ukazovateľov), jednak spôsobom
zhrnutia – agregácie týchto čiastkových hodnotení do hodnotenia celkového.
V tomto príspevku sa chceme zamerať na 4. krok, ktorý musíme uskutočniť pri hodnotení
objektov. Na prvý pohľad ide o zdanlivo jednoduchú záležitosť avšak aj tu sa môžeme
stretnúť s rôznymi postupmi. Určenie charakteru všetkých ukazovateľov a následne ich
úprava sa môže uskutočniť dvomi spôsobmi:
A) Prepočítame ukazovatele na rovnaký smer vývoja a určíme ich poradia, bodové
hodnotenie alebo normované tvary.
B) Zvlášť určíme poradia, bodové hodnotenie alebo vypočítame normované tvary pre
ukazovatele, ktoré minimalizujeme a zvlášť pre ukazovatele, ktoré maximalizujeme.
Nakoniec súbory s oboma typmi ukazovateľov spojíme.
153
3. Usporiadania krajín Európskej únie dvomi spôsobmi úpravy charakteru
ukazovateľov
Aplikáciu oboch spôsobov určenia charakteru premenných si ukážeme na praktickom
príklade. Predmetom hodnotenia bude 12 neskôr pristupených krajín Európskej únie
(dôvodom výberu práve týchto krajín je prítomnosť Slovenska) charakterizovaných
vybranými štruktúrnymi ukazovateľmi Lisabonskej stratégie za rok 2003 (tabuľka 1). Pre
zjednodušenie využijeme iba niekoľko navzájom nezávislých ukazovateľov:
1.
2.
3.
4.
HDP na obyvateľa v parite kúpnej sily (HDP_obyv)– Hodnoty hrubého domáceho
produktu sú v parite kúpnej sily na obyvateľa. Dáta sú poskytnuté členskými štátmi
podľa normy ESA 95 (ročné dáta, národné účty a hlavné agregáty). Časový rad je
vykazovaný od roku 1995, pre niektoré krajiny od roku 1991.
Dosiahnutý (stredoškolský) stupeň vzdelanosti mladých ľudí vo veku 20-24 rokov
(Stup_vzdel) – Osoby vo veku 20 až 24 rokov ktoré dosiahli stredoškolské vzdelanie
ako percento populácie v rovnakej vekovej skupine. Časový rad je publikovaný od roku
1992 pre členské krajiny, a od 1995 postupne aj pre krajiny pristupujúce.
Miera risku chudoby (Risk_chudoby) – Percento obyvateľstva s disponibilným
príjmom pod prahom chudoby, ktorý je stanovený ako 60% priemerného disponibilného
prímu po sociálnych transferoch. Tento podiel je počítaný pred sociálnymi transfermi
(príjem aj s dôchodkami ale bez iných sociálnych transferov) a so sociálnymi transfermi
(celkový príjem).
Dlhodobá miera nezamestnanosti (Dlhodob_nezam) – Podiel dlhodobo
nezamestnaných (12 mesiacov a viac) na ekonomicky aktívnom obyvateľstve –
harmonizované s národnými mesačnými odhadmi nezamestnanosti.
Tabuľka 1
Krajina EU
SLOVINSKO
CESKA REP.
MADARSKO
CYPRUS
LITVA
LOTYSSKO
ESTONSKO
MALTA
POLSKO
SLOVENSKO
Vybrané štruktúrne ukazovatele Lisabonskej stratégie za rok 2003
HDP_obyv
Stup_vzdel
Risk_chudoby
Dlhodob_nezam
71
67
56
76
39
42
43
68
42
47
91
92
85
82
74
82
81
43
89
94
11
8
10
16
16
17
18
15
15
21
3
4
2
1
4
6
5
4
11
11
Prvé dva ukazovatele môžeme z hľadiska ich charakteru považovať za maximalizujúce
a posledné dva za minimalizujúce. Pri úprave charakteru budeme teda postupovať dvomi
spôsobmi:
A. ukazovatele, ktoré sú minimalizujúce prenásobíme číslom -1 a potom s nimi
pracujeme rovnako ako s maximalizujúcimi,
B. zvlášt hodnotíme maximalizujúce ukazovatele a zvlášť minimalizujúce.
Pre jednotlivé ukazovatele budeme uvažovať s jednotkovými váhami.
Aplikácia najjednoduchšej metódy súčtu poradí priniesla zhodné výsledky pri oboch
spôsoboch prepočtu charakteru ukazovateľov. Krajina s najvyššou hodnotou integrálneho
154
ukazovateľa je vo výslednom poradí na prvom mieste, atď. V našom prípade najvyššiu
hodnotu integrálneho ukazovateľa dosahuje Slovinsko (tabuľka 2), ktoré v troch štruktúrnych
ukazovateľoch dosahuje ôsme poradie a pri HDP deviate poradie. Na poslednom mieste
z hodnotiacich krajín sa umiestnilo Lotyšsko a Estónsko i keď ich poradia za jednotlivé
ukazovatele nie sú najnižšie. Slovensko vzhľadom k tomu, že dosahuje najvyššie poradie
ukazovateľa dosiahnutý stupeň vzdelanosti je celkovo hodnotené ako siedme. Výhodou tejto
metódy súčtu poradí je jej jednoduchosť a aplikovateľnosť nielen na kvantitatívne, ale aj
kvalitatívne charakteristiky. V prípade kvantitatívnych ukazovateľov dochádza k čiastočnej
strate informácií. Poradie objektov (krajín) totižto nevystihuje, o koľko je jeden objekt lepší
ako druhý. Rovnaké poradie možno získať pri rôzne veľkých kvantitatívnych rozdieloch
v ukazovateľoch.
Tabuľka 2
Krajina EU
SLOVINSKO
CESKA REP.
MADARSKO
CYPRUS
MALTA
POLSKO
SLOVENSKO
LITVA
ESTONSKO
LOTYSSKO
Usporiadanie krajín EU pomocou metódy súčtu poradí pri oboch
spôsoboch určenia charakteru premenných
HDP_obyv
9,00
7,00
6,00
10,00
8,00
2,50
5,00
1,00
4,00
2,50
Poradia ukazovateľov
Stup_vzdel
Risk_chudoby
8,00
8,00
9,00
10,00
6,00
9,00
4,50
4,50
1,00
6,50
7,00
6,50
10,00
1,00
2,00
4,50
3,00
2,00
4,50
3,00
Dlhodob_nezam
8,00
6,00
9,00
10,00
6,00
1,50
1,50
6,00
4,00
3,00
Integrálny
ukazovateľ
8,250
8,000
7,500
7,250
5,375
4,375
4,375
3,375
3,250
3,250
Pri aplikácii bodovacej metódy spôsob prepočtu charakteru ukazovateľov ovplyvní aj
samotný výsledok. Pri prenásobení minimalizujúcich ukazovateľov číslom -1 a následne ich
bodovým hodnotením, tak ako pri maximalizujúcich ukazovateľov dochádza k nadhodnoteniu
väčšiny ukazovateľov. Zhodný počet bodov pri oboch spôsoboch transformácie, dosahuje iba
ukazovateľ, pri ktorom je nameraná najnižšia hodnota (pri minimalizujúcich ukazovateľoch).
Tabuľka 3
Krajina EU
SLOVENSKO
POLSKO
LOTYSSKO
ESTONSKO
LITVA
MALTA
CESKA REP.
SLOVINSKO
MADARSKO
CYPRUS
Usporiadanie krajín EU pomocou bodovacej metódy pri určení charakteru
premenných A. spôsobom
HDP_obyv
100,00
88,16
93,42
73,68
89,47
55,26
61,84
56,58
55,26
51,32
Bodové tvary ukazovateľov
Stup_vzdel
Risk_chudoby
87,23
97,87
96,81
90,43
45,74
94,68
100,00
86,17
87,23
78,72
262,50
187,50
212,50
225,00
200,00
187,50
100,00
137,50
125,00
200,00
155
Dlhodob_nezam
1100
1100
600
500
400
400
400
300
200
100
Integrálny
ukazovateľ
381,09
359,36
238,75
216,94
182,51
180,68
171,51
156,93
122,28
121,81
Za vhodnejší a správny spôsob v prípade aplikácie bodovej metódy možno jednoznačne
považovať spôsob B (tabuľka 4), pri ktorom zvlášť bodujeme maximalizujúce a zvlášť
minimalizujúce ukazovatele. Najlepšie bodové hodnoty štruktúrnych ukazovateľov dosahuje
Cyprus, Česká republika, Slovinsko a najhoršie Litva.
Tabuľka 4
Krajina EU
CYPRUS
CESKA REP.
SLOVINSKO
MADARSKO
MALTA
POLSKO
SLOVENSKO
ESTONSKO
LOTYSSKO
LITVA
Usporiadanie krajín EU pomocou bodovacej metódy pri určení
charakteru premenných B. spôsobom
HDP_obyv
100,00
88,16
93,42
73,68
89,47
55,26
61,84
56,58
55,26
51,32
Bodové tvary ukazovateľov
Stup_vzdel
Risk_chudoby
87,23
97,87
96,81
90,43
45,74
94,68
100,00
86,17
87,23
78,72
50,00
100,00
72,73
80,00
53,33
53,33
38,10
44,44
47,06
50,00
Dlhodob_nezam
100,00
25,00
33,33
50,00
25,00
9,09
9,09
20,00
16,67
25,00
Integrálny
ukazovateľ
84,31
77,76
74,07
73,53
53,39
53,09
52,26
51,80
51,56
51,26
Najvyšší priemerný počet bodov teda dosahuje krajina, ktorá je podľa všetkých ukazovateľov
najlepšia. Bodovacia metóda v porovnaní s metódou váženého súčtu poradí umožňuje krajiny
hodnotiť „citlivejšie“ vzhľadom k tomu, že počty pridelených bodov (oproti poradiu)
vyjadrujú kvantitatívne rozdiely objektov v rámci jednotlivých ukazovateľov. Ak sa napríklad
zameriame na krajinu na prvom mieste, ktorou je Cyprus, môžeme skonštatovať, že dosahuje
maximálne hodnoty pri dvoch ukazovateľoch avšak ukazovateľ miera risku chudoby dosahuje
iba 50 bodov a dosiahnutý stupeň vzdelanosti 87,23 bodov. Pri hodnotení tejto krajiny
pomocou metódy súčtu poradí možno vidieť, že takisto pri dvoch ukazovateľoch dosahuje
desiate (najvyššie) poradie, avšak zvyšné dva ukazovatele dosahujú iba stredné poradie
a z toho dôvodu je Cyprus pri tejto metóde až na štvrtom mieste. Slovensko rovnako ako pri
metóde súčtu poradí dosahuje siedme miesto.
Spôsob prepočtu ukazovateľov neovplyvní výsledok ani pri metóde normovanej premennej.
Stanovené poradie krajín podľa veľkosti priemernej hodnoty normovaných veličín
interpretujeme podľa veľkosti integrálneho ukazovateľa (čím vyššia hodnota, tým lepšie
poradie). Pri aplikácii tejto metódy sa na prvom mieste umiestnila Česká republika, druhé je
Slovinsko a tretie Maďarsko (tabuľka 5). Na poslednom mieste sa nachádza Slovensko, ktoré
pri predchádzajúcich dvoch metódach bolo hodnotené priaznivejšie. Je to následkom toho, že
metóda normovanej premennej prihliada k relatívnej variabilite jednotlivých ukazovateľov,
zatiaľ čo bodovacia metóda uvažuje variabilitu len absolútne. Výsledky tejto metódy sú menej
citlivé na extrémne hodnoty ukazovateľov v súbore. Aby krajina dosiahla dobré umiestnenie,
musí mať dobré výsledky vo všetkých skúmaných ukazovateľoch, nestačí dosiahnuť
vynikajúci výsledok len v jednom, či malom počte ukazovateľov.
156
Tabuľka 5
Krajina EU
CESKA REP.
SLOVINSKO
MADARSKO
CYPRUS
MALTA
LITVA
ESTONSKO
LOTYSSKO
POLSKO
SLOVENSKO
Usporiadanie krajín EU pomocou metódy normovanej premennej pri
oboch spôsoboch určenia charakteru premenných
HDP_obyv
0,838458
1,120293
0,063413
1,472586
0,908917
-1,134384
-0,852550
-0,923008
-0,923008
-0,570715
Normované tvary ukazovateľov
Stup_vzdel
Risk_chudoby
0,724308
0,656616
0,250462
0,047385
-2,592616
-0,494154
-0,020308
0,047385
0,521231
0,859693
1,698154
0,937786
1,191242
-0,329493
-0,076037
-0,329493
-0,836404
-0,582948
-0,076037
-1,596771
Dlhodob_nezam
0,322200
0,615110
0,908020
1,200929
0,322200
0,322200
0,029291
-0,263619
-1,728166
-1,728166
Integrálny
ukazovateľ
0,895780
0,832451
0,603284
0,597852
-0,359384
-0,408958
-0,419993
-0,430548
-0,551495
-0,758990
Podobne spôsob prepočtu ukazovateľov nemá vplyv na výsledok ani pri metóde vzdialenosti
od fiktívneho objektu. Poradie krajín stanovíme na základe veľkosti integrálneho
ukazovateľa (najlepšia je krajina s najmenšou vzdialenosťou od fiktívneho objektu). V našom
prípade sa opäť na prvom mieste nachádza Slovinsko, na druhom Česká republika a na treťom
Maďarsko(tabuľka 6). Na poslednom mieste je Slovensko. Najnižšia dosiahnuteľná hodnota
integrálneho ukazovateľa je rovná nule, a to pre krajinu, ktorá by vo všetkých ukazovateľoch
dosahovala najlepšie hodnoty, tzn. z jej hodnôt ukazovateľov bol vymodelovaný fiktívny
objekt. Metóda vzdialenosti od fiktívneho objektu sa líši od predošlých metód tým, že pracuje
so štvorcami odchýlok. Na jednej strane z toho vyplýva jej výhoda v tom, že výsledky
hodnotenia nadobúdajú vždy nezáporné hodnoty. Na druhej strane táto skutočnosť spôsobuje
väčšiu citlivosť metódy na zmeny hodnôt ukazovateľov.
Tabuľka 6
Krajina EU
SLOVINSKO
CESKA REP.
MADARSKO
CYPRUS
LITVA
LOTYSSKO
ESTONSKO
MALTA
POLSKO
SLOVENSKO
Usporiadanie krajín EU pomocou metódy vzdialenosti od fiktívneho
objektu pri oboch spôsoboch určenia charakteru premenných
HDP_obyv
1,120293
0,838458
0,063413
1,472586
-1,134384
-0,923008
-0,852550
0,908917
-0,923008
-0,570715
Normované tvary ukazovateľov
Stup_vzdel
Risk_chudoby
0,656616
0,724308
0,250462
0,047385
-0,494154
0,047385
-0,020308
-2,592616
0,521231
0,859693
-0,93779
-1,69815
-1,19124
0,32949
0,32949
0,58295
0,83640
0,07604
0,07604
1,59677
Dlhodob_nezam
-0,61511
-0,32220
-0,90802
-1,20093
-0,32220
0,26362
-0,02929
-0,32220
1,72817
1,72817
Integrálny
ukazovateľ
0,260611
0,273017
0,410768
0,546077
0,918991
0,926925
0,934658
1,004865
1,048236
1,214784
4. Záver
Na praktickom príklade sme sa snažili vysvetliť vplyv určenia charakteru a následne spôsob
úpravy premenných, ako jedného z krokov metód viackriteriálneho hodnotenia, na výsledky
157
hodnotenia. Zistili sme, že spôsob úpravy premenných pred transformáciou má vplyv iba na
výsledky bodovacej metódy, zatiaľ čo výsledky ostatných metód nie sú ovplyvnené použitým
spôsobom úpravy. Je zrejmé, že spôsob úpravy premenných je iba jednou z otázok, ktorú
treba pri hodnotení akýchkoľvek objektov brať do úvahy.
Aplikáciou rôzných metód hodnotenia získame rôzne výsledky a záleží od skúsenosti
samotného analytika, ktoré z nich bude považovať za najvhodnejšie.
5.
Literatúra
[1] FICZOVÁ, I. – SEDLÁČEK, J. – ÚRADNÍČEK, V.: Finančná analýza podniku I.
Banská Bystrica: RCPF, 2000.
[2] CHAJDIAK, J.: Ekonomická analýza stavu a vývoja firmy. Bratislava: Statis, 2004.
[3] KHATTREE, R. – NAIK, N. D.: Multivariate Data Reduction and Discrimination with
SAS® Software. First edition, Cary, NC: SAS Institute Inc., 2000.
[4] PAŽITNÁ, M. – LABUDOVÁ, V.: Metódy štatistického porovnávania. Kapitola 8, s.
148-173. Bratislava: ES EU, 2007.
[5] ZALAI, K. a kol.: Finančno-ekonomická analýza podniku. Bratislava: Sprint, 1998.
Kontakt:
Ing. Mária Vojtková, PhD.
Katedra štatistiky, FHI, EU Bratislava
E-mail: [email protected]
__________________
Príspevok bol spracovaný v rámci riešenia grantovej úlohy VEGA 1/2631/05 „Analýza
možností aplikácie viacrozmerných štatistických metód na skúmanie ekonomických
výsledkov na príklade priemyslu SR prípadne iných oblastí ekonomiky“.
158

PDF - Slovenská štatistická a demografická spoločnosť

Transkript

Podobné dokumenty

XX. KONGRES ODS

č. 1/2015

PROSTORY FUNKCÍ A ŘEŠITELNOST ZÁKLADNÍCH TYPŮ

Zobrazit

forum statisticum slovacum - Slovenská štatistická a demografická

Souhrnná teritoriální informace Rakousko

číslo 1, 2014

Premium monoblok - navratilaudio.cz

Premium integr - navratilaudio.cz

Ceník v

Info k přechodnému období - Rakousko

Untitled

Manuál A1000 verze. 08/2010