Číslicová technika

íslicová technika
Radek Ma ík
Ma ík Radek
1
íselné soustavy
a
aritmetické operace
Ma ík Radek
2
P evody mezi soustavami (z 10)
Výsledek dostaneme vy íslením z-adického ísla
ve tvaru ady.
(101,11)2 = 1.22 + 0.21 + 1.20 + 1.2-1 + 1.2-2 = (5,75)10
(276,4)8 = 2.82 + 7.81 + 6.80 + 4.8-1 = (190,5)10
(8E2,A)16 = 8.162 + 14.161 + 2.160 + 10.16-1 =
= (2274,625)10
Ma ík Radek
3
P evody mezi soustavami (10 2)
íslo p ed desetinnou árkou d líme dv ma a
zapisujeme zprava doleva zbytky p i d lení:
(364)10 = (101101100)2
182
91
45
22
11
5
2
1
Ma ík Radek
4
P evody mezi soustavami (10 2)
íslo za des. árkou násobíme dv ma a zapisujeme
zleva doprava p enosy p ed des. árkou:
(0,364)10 = (0,01011101…)2 = (0,36328125)10
728
1,456
912
1,824
1,648
1,296
592
1,184
Ma ík Radek
5
P evody mezi soustavami (8
2)
íslo ve dvojkové soustav rozd líme od desetinné
árky do t í lenných skupin:
(11101100,11001)2 = (11 101 100 , 110 01)2 =
= (354,62)8
Každou cifru v oktalové soustav zapíšeme jako
trojciferné dvojkové íslo:
(27,31)8 = (10 111,011 001)2
Jedna íslice soustavy o základu z = 2n odpovídá
n íslicím binární soustavy
Ma ík Radek
6
P evody mezi soustavami (16
2)
íslo ve dvojkové soustav rozd líme od desetinné
árky do ty lenných skupin:
(101101100,101101)2 = (1 0110 1100 , 1011 01)2
= (16C,B4)16
Každou cifru v hexadecimální soustav zapíšeme jako
ty ciferné dvojkové íslo:
(E7,1A)16 = (1110 0111,0001 101)2
Ma ík Radek
7
Logické funkce - sou in
S2
S1
0 = open
1 = closed
0 = open
1 = closed
L
0 = off
1 = on
S1
0
0
1
1
S2
0
1
0
1
L
0
0
0
1
(b) pravdivostní
tabulka
(a) Obvod
Dva spína e v sérii
Ma ík Radek
8
Logické funkce - sou et
S1
S2
L
S1
0
0
1
1
S2
0
1
0
1
L
0
1
1
1
(b) Pravdivostní
tabulka
(a) Obvod
Dva paralelní spína e
Ma ík Radek
9
Úplný soubor logických funkcí
sou in + negace
negovaný sou in
sou et + negace
...
Ma ík Radek
10
Schematické zna ky podle SN
Ma ík Radek
11
Nonekvivalence
A
B
=1
Y
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
1
0
0
1
Ekvivalence
A
B
=1
Y
Ma ík Radek
12
a,b
00
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Všechny funkce dvou prom nných
01
10
11
0
0
0
f=0
nulová funkce
0
0
1
f = ab log. sou in
0
1
0
f = ab´
0
1
1
f=a
identita a
1
0
0
f =a´b
1
0
1
f=b
identita b
1
1
0
f = a´b+ab´ nonekvivalence
1
1
1
f = a+b log. sou et
0
0
0
f = a´b´
0
0
1
f = ab+a´b´ ekvivalence
0
1
0
f = b´ negace b
0
1
1
f = a+b´
1
0
0
f = a´ negace a
1
0
1
f = a´+b
1
1
0
f = a´+b´
13
1
1
1Ma ík Radekf = 1
Ma ík Radek
14
Booleova algebra
ZákonyBooleovy algebry
Vyjád ení logických funkcí
pravdivostní tabulka
logický výraz
mapa
Ma ík Radek
15
Základní zákony Booleovy algebry
(8 axiom )
1. komutativita:
a + b = b + a,
a.b = b.a
2. asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c,
3. distributivita: a + (b.c) = (a + b).(a + c),
4. neutralita 0 a 1:
a + 0 = a,
5. vlastnosti komplementu: a a 1
a 0 0,
6. agresivita 0 a 1 :
7. idempotence
a a a,
a a b a,
8. absorbce
Ma ík Radek
a.(b.c) = (a.b).c
a.(b + c) = (a.b) + (a.c)
a.1 = a
aa
a 1
a a
a a
0
1
a
b
a
16
Odvozené zákony
a a,
dvojí negace
a a b ab
absorbce negace a a b a b ,
a b a b,
ab a b
de Morgan
ab a c bc ab a c , a b a c b c
consensus
Ma ík Radek
a b a c
17
P íklad aplikace zákon Booleovy algebry
Nalezn te MNDF funkce f zadanou Booleovým výrazem:
f = a d + b c d + a b (c +d) + b c d
Distributivní zákon:
f = a d + b c d + a b c +a b d + b c d
zákon absorbce negace:
{ a d + a b d = d( a + b) }
f = ad+ bcd+a bc+ bd+ b c d
Absorbce negace:
{ b d + b c d = b (d + c) }
f = ad+ bcd+a bc+ bd+ b c
Absorbce negace:
{ a b c + b c = b( c + a) }
f = ad+a b + bcd+ b d+ b c
Absorbce:
f = ad+a b + b d+ b c
consensus:
f = ad + a b
+ b c
Ma ík Radek
a to je MNDF
18
Zákon negace
zobecn ný zákon negace (logické funkce) :
F (a , b , ... , z , 0 , 1 , , ) F( a , b , ... , z , 1 , 0 , , )
Vyjád ení logické funkce
slovní popis
algebraický výraz
tabulka
mapa
jednotková krychle
Ma ík Radek
19
Algebraický (Booleový) výraz
p edstavuje funkci nad B. Jednu funkci lze popsat více
výrazy. Používá se standartní (kanonický) tvar. Tento tvar
se též n kdy nazývá normální formou.
term - výraz tvo ený pouze prom nnými v p ímém a
negovaném tvaru a operací logického sou tu nebo sou inu
P-term (sou inový term) - term s operací sou inu
S-term (sou tový term) - operace sou tu
minterm - P-term obsahující všechny nezávislé prom nné
maxterm - S-term obsahující všechny nezávislé prom nné
vstupní písmeno - kombinace hodnot vst. prom nných
Ma ík Radek
20
Každou log. funkci je možno vyjád it pomocí sou tu
minterm nebo sou inu maxterm
Každý minterm (resp. maxterm) nabývá hodnoty log1
(resp. log0) práv pro jedno vstupní písmeno dané log.
funkce
Stavový index - desítkový zápis kombinace hodnot
nezávisle prom nných
Úplná normální disjunktní forma (UNDF) log. výraz
tvo ený sou tem všech minterm
Úplná normální konjunktivní forma (UNKF) - log. výraz
tvo ený sou inem všech maxterm .
Ma ík Radek
21
Pravdivostní tabulka se všemi mintermy a maxtermy
UNDF: f (c , b , a ) c ba
UNKF: f (c , b , a ) c b
Seznam stavových index
f (c , b , a )
c b a cb a cb a
a c b a c b a c b a
(zkrácený tabulkový tvar):
(1, 2, 4, 6)
(0, 3, 5, 7)
Ma ík Radek
22
UNDF obsahuje tolik minterm , kolik je po et vstupních
písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce
hodnoty 1
UNKF obsahuje tolik maxterm , kolik je po et vstupních
písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce
hodnoty 0
Vytvo ení UNDF z UNKF - roznásobením
UNKF z UNDF
ur íme dopln k množiny minterm s hodnotou 1
pro p íslušná vstupní písmena ur íme maxtermy
UNKF je sou in t chto maxterm
Ma ík Radek
23
Algebraické výrazy nabývají ady forem, které nejsou
ist disjunktivní nebo konjunktivní. Nazýváme je
smíšené formy.
Disjunktivní nebo konjunktivní formou m žeme popsat
všechny výrazy - používá se pro minimalizaci
Tyto formy lze snadno transformovat do Shefferovy
algebry (samé NANDy) nebo Pierceovy algebry (samé
NORy)
Ma ík Radek
24
Vénovy diagramy
A
ab´c´
ab´c
C
a´b´c
abc
a´bc
a´b´c´
abc´
a´bc´
B
Mapa je Vén v diagram, kde jednotlivé oblasti mají tvar obdélník
Ma ík Radek
25
Mapy
Svobodova
Ma ík Radek
26
Tabulka Grayova kódu
Ma ík Radek
27
Ma ík Radek
28
Rozší ení Svobodovy a Karnaughovy mapy
Ma ík Radek
29