grafové pojetí problémů - Pedagogická fakulta TU

Transkript

Induktívne a deduktívne prístupy v matematike,
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
GRAFOVÉ POJETÍ PROBLÉMŮ
JANA PŘÍHONSKÁ
KMD, Pedagogická fakulta, technická univrzita v Liberci,
Hálkova 6, 461 17 Liberec, Česká republika
e-mail: [email protected]
Abstract: PŘÍHONSKÁ, J.: Graph approach to the problems. Induktívne a deduktívne prístupy
v matematike, 2005, pp. 213 – 222.
There are presented some problems, which help to the pupils to perceive graph like set of point and
edges in this article. Attention is sight on point graph. It is shown how it is possible to introduce graph’s
theory in adequate shape into subject matter of primary school and subsequently secondary school and how
to use some of her methods and substance through solving problems.
Key Words: point graph, problem solving, set of generated problems
Úvod
Začněme zmíněním pojmu problém a jeho řešením v didaktice matematiky. Problémy měly již od
nejstarších dob ve školské matematice důležité postavení. Setkáváme se s jeho různými formulacemi např.
ve formě rekreačních úloh, resp. jistých hádanek.
Řešení problémů ve škole nebyla v minulosti věnována taková pozornost, jak bychom si představovali,
přestože důvodů pro jejich vkládání do školské matematiky najdeme celou řadu. Řada problémů užívá
speciální metody řešení, které mají velmi dlouhou historii. Řada z nich se může stát východiskem tvorby
nových problémů.
Prostřednictvím problému je možno motivovat žáky k jejich zaměření určitým směrem; problém
pomáhá motivovat konkrétní téma. Zadáváním problémů rozvíjíme schopnost žáků problémy řešit. A právě
rozvinutí dovednosti řešit problémy považují někteří didaktici za jeden z nejdůležitějších cílů výuky
školské matematiky.
Problematika řešení problémů je v didaktické (domácí i zahraniční) literatuře zpracována z různých
hledisek. Pozornost je věnována charakteristice problémů, problémové situaci a vlastnímu řešení problémů.
Cílem tohoto článku není podat přehled o této problematice a proto odkazuji čtenáře na pracovní materiál
doktorandského semináře „Výzkum v didaktice matematiky - vývoj a perspektivy“ autorek Stehlíková, N. Čmejrková, K. - Příhonská, J.), kde v části 3: Problem solving in the didactics of mathematics kde
nalezneme zpracovanou rešerši na toto téma. [4]
Řešení problému souvisí s rozdělením celého řešitelského procesu do jednotlivých etap řešení.
Jednotliví autoři, kteří se problematice řešení problému věnují, vycházejí z rozdělení G. Polyii. Toto
rozdělení obsahuje základní etapy procesu řešení:
•
porozumění problému -náčrt obrázku, užití vhodných poznámek, určení odlišných podmínek;
•
sestavení plánu - nalezení vztahů mezi danými údaji a neznámými, užití známých metod a
výsledků, řešení podobných problémů před vlastním řešením zadaného problému;
213
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
•
provedení plánu - vyřešení problému;
•
pohled zpět - ověření nalezeného řešení; ověření, zda reálné výsledky odpovídají reálné situaci.
Problémy mohou mít stejnou strukturu, ale vyvolávají rozdílnou myšlenkovou reprezentaci. Pokud mají
dva problémy stejnou strukturu (nazýváme je izomorfními problémy), je možná transformace každé situace
a řešitelské metody jedné problémové situace v korespondující druhou problémovou situaci.
Ve zmíněné rešerši [4] se věnujeme i psychologické otázce řešení problému, s níž souvisí rozdělení
žáků na dva základní typy:
•
Vizuální typ -
•
Auditivní typ - je založen na interaktivním procesu, na rozložení problému v řadu
jednodušších problémů; řešitel si uvědomuje údaje postupně, gradovaně.
je založen na analogii, reorganizaci problému, nalezení singularit; řešitel
vnímá všechny údaje, než začne řešit.
A právě zde můžeme navázat s naší problematikou. Jestli-že vizuální typ žáka potřebuje nalézt jistou
analogii v řešení problémů, můžeme mu ji nabídnout prostřednictvím využívání nových, dosud
nepoznaných metod řešení. Tyto metody však může sám vhodnou volbou řešených problémů objevit a dále
rozvíjet. Ale i u auditivního typu žáka se graf jeví jako významný prostředek při řešení problémů. Nehledě
na to, že nám jde především o vlastní konstrukci poznatků, na jejímž závěru se objevuje nové pojetí grafu
jako množiny bodů a hran.
I. Teorie grafů
Psychologové a fyziologové uvádějí, že většina informací (~ 80%) je vnímána zrakem. Proto je nasnadě
věnovat prezentaci informací náležitou pozornost. Soustředíme se na využití grafů.
S pojmem graf se v matematice i v každodenním životě setkáváme poměrně často v různých
významech. Asi nejběžněji je toto označení spojeno s funkční závislostí, např. jedná-li se o spotřebu
elektrické energie v závislosti na časovém období či vzdálenost ujetou v závislosti na čase, nebo ve
středoškolské matematice máme na mysli grafy různých funkcí (grafem kvadratické funkce je parabola
apod.). Jiný význam je spojen se statistickým zpracováním souborů, kdy využíváme různé druhy diagramů
(sloupcový, spojnicový, kruhový).
V souvislosti s naším výzkumem ovšem pracujeme s jistými útvary, které je možno dobře znázornit
v rovině nebo prostoru pomocí obrázku. Rozumíme jimi schémata sestávající hlavně ze dvou částí:
• (konečné) množiny bodů
• spojnic mezi některými dvojicemi bodů.
Jak dále uvidíme, vyskytují se v různých matematických úvahách, kdy dovolují přehledně znázornit
zdánlivě velice obtížnou a těžce řešitelnou úlohu. Např. body mohou reprezentovat účastníky nějakého
večírku a spojnice ty dvojice účastníků, kteří se navzájem znají. Nebo body mohou odpovídat křižovatkám
ve městě a spojnice ulicím mezi nimi. Matematickou abstrakcí podobných schémat je pojem graf. Je to
jeden ze základních pojmů diskrétní matematiky, jak uvidíme dále z následujícího textu.
V následující části vymezíme základní pojem z teorie grafů – graf. V našem pojetí budeme pracovat
s množinou bodů, které nazýváme uzly (resp. vrcholy) grafu – označíme tuto množinu U, a množinou
všech dvouprvkových podmnožin množiny U, které nazýváme hrany (resp. větve); označíme tuto množinu
H (označíme-li tuto hranu jako xy, kde x a y jsou koncové uzly hrany, čteme někdy jako x spojuje y).
214
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Za zvláštní druh hrany považujeme smyčku, která spojuje uzel sám se sebou (počátek a konec hrany je ve
stejném uzlu).
Definice:
Graf G je uspořádaná dvojice (U,H), kde U je nějaká neprázdná množina a H je množina
dvoubodových podmnožin množiny H . Prvky množiny U nazýváme uzly grafu G a prvky
množiny H hrany grafu G .
V našem případě budeme uvažovat grafy s konečnou množinou uzlů. Chceme-li vyznačit, že graf G
má množinu uzlů U a množinu hran H , píšeme G(U,H) . Chceme-li odkázat na množinu uzlů nějakého
známého grafu G , označíme ji U(G) , podobně množinu hran grafu G značíme H(G) .
Užitečné je také označení
U 
 
2
 
že graf je dvojice (U, H), kde H ⊆
pro množinu všech dvouprvkových podmnožin U. Můžeme také říci,
U 
 .
2
 
Grafy znázorňujeme kreslením do roviny. Uzlům grafu přiřazujeme body roviny (vyznačené zpravidla
„puntíky“) a hrany se vyjadřují spojením příslušných dvojic bodů rovnými, případně zakřivenými čarami,
zvanými oblouky.
Může se vyskytnout i případ, kdy jsou dvojice uzlů spojeny více hranami. Potom se jedná o multigraf
(viz Obr. 1-1).
Obr. 1-1 Multigraf
Pokud hranám přiřadíme určitý směr (orientaci), hovoříme o orientovaných grafech. V příslušném grafu
vyznačíme směr šipkou. V ostatních případech se jedná o grafy neorientované.
Bližší vymezení je možné nalézt v různé literatuře, zabývající se teorií grafů. Nebudeme dále
definovat ani žádné další pojmy či algoritmy, které je možné využít při řešení problémů. To proto,
protože nám jde o možnost zavedení grafů do školské matematiky a využití grafů při řešení problémů již
na prvním stupni základní školy.
V našem experimentu jsme nejprve žáky seznámili s používanými pojmy a ukázali, jak je možné
s grafy pracovat. Nový jazyk matematiky tak budujeme analytickým způsobem. Žákům přímo ukazujeme
způsob, jak modelovat konkrétní reálnou situaci pomocí grafu (přiřazujeme přímo uzly a hrany objektům) a
dále očekáváme využití tohoto způsobu při řešení následujících úloh. Přitom jsme využili různých typů
bludišť, která se jeví jako velice vhodná pro prvotní seznámení žáků s pojmem graf, [1], [2], [3]. I v
dalším textu využíváme tento analytický způsob. Zmíněné problematice je věnována diplomová práce [5].
V uvedené diplomové práci studentka zpracovala velice vhodně část, týkající se právě teorie grafů. Zavedla
215
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
žákům 3. ročníku základní školy základní pojmy a následně řešila úlohy, kde zmíněných metod využívala.
Zaměřila se právě na různé typy bludišť. Za velice důležité je nutno považovat ono izomorfní přiřazení,
kdy uzlům grafu odpovídají příslušné reálné či matematické objekty a podobně hrany grafu (resp. větve)
představují např. silnice.
Zavedení základních pojmů z teorie grafů by se v nejlepším případě mělo objevit až v závěru
vyřešených úloh. Tento přístup k výuce nazýváme konstruktivistickým. Schéma konstruktivistické výuky
by mohlo být následující:
1.
2.
3.
4.
5.
Předložení několika úloh typu bludiště.
Předložení několika grafů a s tím souvisejících problémů.
Předložení skupiny úloh – bludiště – a druhé skupiny úloh – grafy.
Žáci mají sami najít společné prvky mezi oběma skupinami úloh.
Zadání bludiště – žáci k tomuto bludišti tvoří graf.
Zadání grafu – žáci k tomuto grafu tvoří příslušné bludiště.
II. experimentální část
V této části jsou předloženy ukázky některých žákovských řešení, v nichž shledáváme využívání
různých grafových prostředků. Ukázky zahrnují první a druhý stupeň základní školy.
V diplomové práci [5] se studentka zabývala problematikou využití grafů při řešení problémů na
prvním stupni základní školy. Experiment byl uskutečněn ve třetím ročníku základní školy. Začneme
ukázkami žákovských řešení z této diplomové práce. Je naprosto zřejmé, jak žáci grafy využívali.
Zdůrazněme, že experiment byl veden analytickým způsobem, a využita byla různá bludiště.
Text:
Hloupý Honza leží na peci a chrápe, až
se celá chalupa otřásá. Právě přichází
královský posel a přináší zprávu, že
princeznu unesl drak do své sluje a
chystá si jí k obědu. Honza rychle
vyskočí, ale máma ho zamkla v chalupě.
Použijte klíče dvou barev.
Jaké má možnosti?
Poznámka:
Žáci se předem naučili, jak s podobnými
bludišti pracovat, resp. jak je možno procházet bludištěm a dodržovat pravidla procházení.
216
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Hledání izomorfismů mezi dvěma korespondujícími úlohami je zřejmé z následuících ukázek. Ono
izomorfní přiřazení si žáci uvědomují na základě zavedení uzlů a hran v příslušném grafu.
Text:
Nakonec se z chalupy dostane.
Jde a jde, až se dostane n
rozcestí. Usedne do trávy a náhle
se zjeví shrbený vousatý děda.
Honza mu dá buchtu a stařeček
mu ukáže správnou cestu.
Text:
Honza dojde úzkou skalní soutěskou do
obrovských podzemních síní, do domova
permoníků, kteří zde vybrušují drahé kameny.
Musí získat největší drahokam,který se skrývá
uvnitř jejich říše. V každé síni změní barvu
chodby.
Využití metody číslování při řešení problémů je
zřejmé z následující ukázky.
Text:
V zeleném lese roste rozložitý
dub. Na něm má své sídlo
noční hejkal. Dlouhé vlasy,
vodové oči a svraštělá tvář.
Vysoko v koruně stromu má
sedmimílové boty, v nichž
vychází na obchůzku. Kolika
cestami může projít les?
V další části ilustrujeme
využití grafů u žáků druhého stupně základní školy. Tato část se již netýká zmíněné diplomové práce.
217
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Následující ukázka představuje využití grafu ve formě stromu řešení. Úloha byla zadána na druhém stupni
základní školy.
Text :
Zápas skočil výsledkem
5:3.
Kolik
různých
průběhů mohl mít?
Jiný způsob řešení téže
úlohy vidíme na
následujícím obrázku. Zde žák využívá jednak tabulkové schéma a jednak metodu číslování.
III. Soubor problémů
V této části uvedeme jen dva z mnoha typů úloh, které je možno využít v rámci zavádění teorie
grafů do výuky. Další náměty lze nalézt v [3].
Velice známé jsou různé úlohy o přelévání. Mají dlouhou historii a jejich řešení nebývá obtížné.
Většinou žák/řešitel postupuje metodou pokusu a omylu. Metody z teorie grafů vnášejí do řešení určitý řád.
Dávají možnost odpovědět pro dané zadání na otázky typu:

Existuje vůbec řešení?
Jak nejrychleji je možné dosáhnout daného výsledku?
K jakým výsledkům úlohy je možné dospět?
ZÁKLADNÍ PROBLÉM
Máme tři nádoby: 9litrovou, 6litrovou a 2litrovou. Největší z nich je plná, další dvě prázdné. Na
žádné nádobě není stupnice, která by označovala množství tekutiny v nádobě. Bezpečně určit je možné
pouze množství, které se rovná plné nádobě. Postupným přeléváním máme získat pět litrů v libovolné
Řešení:
nádobě a po dvou litrech ve zbývajících dvou nádobách.
218
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Při řešení úlohy budeme definovat jednotlivé situace, které mohou při přelévání nastat, tj. stavy, které
přiřadíme k uzlům grafu. Hrany jsou pak jednotlivé tahy (přelití), které vedou od jednoho stavu ke
druhému. Užijeme orientované hrany – předpokládáme, že jednotlivé akty přelévání jsou nevratné, tj.
nedají se provést opačně. Vzhledem k tomu, že na nádobách nejsou stupnice k odměření tekutiny, mohou
jednotlivá přelití skončit pouze ze dvou možných situací:

Nádoba, do níž naléváme, se zcela zaplní bez ohledu na to, zda se nádoba, z níž vyléváme, zcela
vyprázdní

Nádoba, z níž vyléváme se zcela vyprázdní bez ohledu na to, zda se nádoba, do níž naléváme,
zcela zaplní
Můžeme tedy zapsat možné stavy získané přeléváním:
900 (tj. 9 litrů v první nádobě, obě další prázdné - výchozí stav), 360, 342, 540, 522, 252, 261, 432, 450,
612, 630, 801, 810, 720, 162, 702.
Na následujícím grafu (viz Obr. III-1) jsou všechny vyhovující kombinace zakresleny, šipky
(orientované hrany) spojují stavy, které se dají docílit jedním přelitím. Někdy to jde v obou směrech, někdy
ne.
Existují dvě řešení:
Tři přelití : 900 → 702 → 720 → 522
Čtyři přelití: 900 → 360 → 342 → 540 → 522
Následující schéma (Obr. III-2) nám naznačuje různé
možnosti, jak ze základního problému vytvořit další
problémy. Měníme vstupní podmínky i požadavky
na cílový stav. Metoda řešení se však odvíjí od
základního problému. Tímto způsobem je možno
vytvořit celý hrozen problémů ve smyslu, v jakém
ho používá prof. Kopka.
Obr. III-1
219

Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005

Ubrání nádoby
Volná nádoba
k dispozici

Přidání menší
nádoby
Přidání větší
nádoby
Přidání nádoby
stejného
objemu
Změna počtu nádob

Neomezený
Povoleno
maximum
čerpání
Povolen
počet
čerpání

Zdroj vody

Neomezený
objem vylité
tekutiny
Povolen
počet vylití
Změna objemu
nádob

Počáteční stav

ZADÁNÍ
Výlevka
k dispozici
Jedna nádoba
naplněna
Dvě nádoby
naplněny
Dáno
množství,
možnost
naplnění
libovolných
nádob

Nádoby
stejného
objemu
Dvě nádoby
stejného
objemu, třetí
různého
Výměna
Počet přelití

Neurčen
Určen
maximálním
počtem
Určen
minimálním
počtem
CÍLOVÝ STAV

Odměřit dané množství tekutiny
Rozdělit dané množství tekutiny
do určených nádob
Rozlít do všech nádob
stejné množství tekutiny
Obr. III-2 Schéma vytváření hroznu problémů
220
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Další ukázka se týká problému s překládáním sirek. Při řešení toho problému lze s výhodou využít
logického stromu řešení.
ZÁKLADNÍ PROBLÉM
Vedle sebe je položeno 8 zápalek I I I I I I I I . Zápalky máme postupně přemísťovat a pokládat je
křížem přes sebe tak, abychom získali stav X X X X. Přitom je nutno dodržovat následující pravidla:
1. Vezměte libovolnou samostatně ležící zápalku, přeneste ji přes dvě sousední zápalky vlevo
nebo vpravo a položte křížem přes třetí zápalku.
2. Dvojice křížem přes sebe položených zápalek se při překládání počítá za dvě zápalky.
3. Jednou vytvořené dvojice nelze již rozebírat.
Řešení:
Užitím grafu na Obr. III-3 ilustrujeme možné stavy, které lze získat při dodržení pravidel překládání
docílit. Ilustrujeme pouze situace, které nejsou symetrické, protože jinak by bylo zobrazení mnohem
rozsáhlejší. Z grafu vyčteme všechna řešení.
Obr. III-3
Při použití schematického zápisu pomocí jednotek a dvojek (jednotka = jedna zápalka, dvojka = dvě
zápalky) je možno řešení zapsat následovně (Obr. III-4)
121111
11111111
1111121
22121
2222
121121
12122
Obr. III-4
221
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
PROBLÉM 2
Při nezměněných pravidlech překládání zvětšíme počet zápalek na 10. Je řešení snazší než
v předcházejícím případě?
Poznámka:
Uvažte, zda by nebylo možné najít postup, který by úlohu se sudým počtem zápalek dokázal převést na
úlohu s menším počtem zápalek, a zjednodušit tak řešení.
Řešení:
Jestliže je řešitelný předchozí problém, je řešitelný i tento. Přeložením sedmé zápalky přes dvě zápalky
vpravo a položením křížem přes poslední desátou, bude následné řešení shodné s předcházejícím popisem.
Ve schematickém zápisu pomocí jednotek a dvojek by ve všech případech byla napravo ještě jedna dvojka
a celkovou sekvenci by ještě předcházela řada desíti jedniček. Tím je také zodpovězena otázka redukce
úloh s větším sudým počtem zápalek.
Závěr
Je zřejmé, že teorie grafů má ve školské matematice své uplatnění. Není sice součástí učebních osnov,
ale její metody lze s výhodou využívat. Je nepochybné, že se zejména v matematických soutěžích setkávají
žáci s mnoha úlohami, řešitelnými pomocí grafů v tom pojetí, jak je uvedeno v příspěvku. Proto si zaslouží,
aby jí bylo v budoucnu věnováno stále více pozornosti. Z ukázek žákovských řešení je celkem jasné, že
daný problém se do grafu promítá dvěma různými způsoby:
1.
užitím algebraického jazyka
- jedná se v podstatě o tabulkový zápis řešení;
2.
užitím grafového jazyka
- graf zde vystupuje ve dvou odlišných funkcích:
a)
jako prostředek jisté evidence řešení, například ve formě stromu řešení
b)
jako prostředek vizualizace dané problematiky - žák řeší úlohu přímo v prostředí grafu.
Ne všichni žáci však grafu využívají. Setkáváme se velmi často se systematickým vypisováním všech
řešení, tabulkovým zápisem či jinou formou zápisu řešení. Učitel nemůže jednoznačně předpokládat, že
graf otevře žákům bránu pro jeho soustavné využívání, přesto stojí za zvážení, jak tuto možnost žákům
nabídnout.
Literatura
[1] PŘÍHONSKÁ, J.: Teorie grafů v učivu základní školy. In: Sborník Mez. Věd. Konf. Matematika v
príprave učiteľov 1. st. ZŠ, UMB, Banská Bystrica 2001, s. 40-46.
[2] PŘÍHONSKÁ, J.: Řešitelské strategie s využitím teorie grafů. In: Sborník příspěvků Mezin. Věd. Konf.
“Matematika v přípravě učitelů primární školy”. Univerzita Palackého v Olomouci, 2002, s. 149–153.
[3] PŘÍHONSKÁ, J.: Graf jako nástroj porozumění matematickým myšlenkám (didaktická analýza).
Disertační práce, PedF UK Praha, 2004.
[4] PŘÍHONSKÁ, J.: Problem solving in the didactic of mathematics (část 3). In: Stehlíková, N. –
Čmejrková, K. – Příhonská, J.: Výzkum v didaktice matematiky – vývoj a perspektivy [Pracovní
materiál doktorandského semináře KMDM] Preprint KMDM PedF UK, Praha 2001.
[5] VOŇAVKOVÁ, J.: Bludiště a jejich uplatněnív matematice. Diplomová práce FP TUL, 2001.
222