X - Jarda Peregrin

FILOSOFIE LOGIKY
*** ROZŠÍŘENÝ SYLABUS PŘEDNÁŠKY ***
* verze 13.12. 2005 *
Učebnice více či méně věnované filosofii logiky:
Haack, S. (1978): Philosophy of Logics, Cambridge University Press, Cambridge.
Jacquette, D., ed. (2001): Philosophy of Logic: An Anthology, Blackwell, Oxford.
Quine, W.V.O. (1986): Philosophy of Logic, Harvard University Press, Cambridge (Mass.).
Read, S. (1995): Thinking about Logic (An Introduction to the Philosophy of Logic), Oxford
University Press, New York.
1
PŘEDMĚT A METODY LOGIKY
Co a k čemu je logika?
historicky: má co dělat především se zkoumáním správnosti argumentací a důkazů ⇒ tedy se
zkoumáním, kdy pravdivost nějakých výroků zaručuje pravdivost jiných výroků ⇒ tedy se
zkoumáním vyplývání
vyplývání : vztah mezi (smysluplnými) větami
Kdy je věta smysluplná? Když má význam; či vyjadřuje myšlenku ⇒ vyplývání se jeví jako
vztah mezi propozicemi [propozice = význam věty] nebo myšlenkami, jenom
zprostředkovávaným větami
(P) psychologistické koncepce logiky
logika = nauka o tom, jak se dostáváme od jedné pravdivé myšlenky k jiné (či jak bychom to
měli v ideálním případě činit)
Hilbert: "zaprotokolování pravidel, podle kterých skutečně postupuje naše myšlení"
(L) platonistické koncepce logiky
logika = nauka o vztazích mezi propozicemi přebývajícími v nějakém 'platónském nebi'
Tichý: "studium logických objektů (individuí, pravdivostních hodnot, možných světů, propozic, tříd,
vlastností, vztahů a podobně) a způsobů, jak mohou být takové objekty konstruovány z jiných
takových objektů."
(I) inferencialistické koncepce logiky
logika = nauka o pravidlech (zejména inferenčních), kterými se řídí užívání nejobecnějších,
'argumentativních' slov našeho jazyka
Lorenzen: "operace, které jsou namísto s čísly prováděny s myšlenkami, konkrétněji vzato s
jazykovými výroky."
Příklad: konjunkce
(P): myšlenka C je konjunkcí myšlenek A a B, jestliže v případě, že 'souhlasně myslíme' A a
B, 'souhlasně myslíme' (či nejsme schopni 'souhlasně nemyslet'? či máme 'souhlasně
myslet'?) i C
(L): propozice C je konjunkcí propozic A a B, je-li C v určitém fixním vztahu k A a B (např.
je pravdivá právě v těch možných světech, ve kterých jsou pravdivé A i B)
(I): výrok C je konjunkcí výroků A a B, je-li podle pravidel příslušného jazyka správné tvrdit
C právě tehdy, když je správné tvrdit A i B
⇒ čím je dána sémantika "∧”?
(P): ?
(L): vyjadřuje nějakou funkci (např. funkci z {0,1} do {0,1} 'převracející' hodnotu, či průnik
dvojic množin možných světů)
(I): pravidly inference: A, B |– A∧B; A∧B |– A; A∧B |– B
2
Co je to formální logika?
namísto vyplývání přímo v přirozeném jazyce jsou studovány jeho idealizované modely
('logické počty')
Frege, Russell, ... : reglementace přirozeného jazyka do podoby přesně vymezeného systému
Boole, Hilbert, Gödel, ...: studium takto reglementovaného systému jakožto čistě
matematické struktury
je třeba rozlišovat: (1) studium log. počtu jako matematické struktury (= matematická logika)
[díváme se na logický počet] × (2) studium přirozeného jazyka a faktické argumentace
prostřednictvím studia log. počtu [díváme se skrze logický počet]
z hlediska (1) nás zajímají vlastnosti log. počtu jako takového; ty jsou důsledkem způsobu,
jak jsme tento počet definovali, to jest jsou to vlastnosti 'matematické'
z hlediska (2) nás naproti tomu zajímá způsob, jakým se log. počet vztahuje k tomu, co má
zachycovat; např. do jaké míry můžeme jeho konstituenty a konstrukce ztotožňovat s
konstituentami a konstrukcemi přiroz. jazyka
Příklad: tzv. paradoxy implikace:
B |– (A→B) [V Česku se vaří pivo |– Je-li v Číně sucho, vaří se v Česku pivo]
¬A |– (A→B) [Česko není u moře |– Je-li Česko u moře, pak je jeho hlavním městem Praha]
(1): tyto výroky jsou v rámci systému klasické logiky prostě platné – v důsledku toho, jak
jsme definovali operátor →
(2): operátor → klasické logiky zřejmě není příliš adekvátní jako zachycení
přirozenějazykového jestliže ... pak
(to má jisté dobré důvody, musíme si toho však
být vědomi)
vznik formální logiky souvisí s obecným trendem k matematizaci : na zkoumaném předmětu
(v našem případě faktickém jazyce a faktických argumentačních pravidlech) se izoluje a
matematicky zachytí nějaká relevantní struktura a ta se potom zkoumá prostředky
matematiky
pro logiku je ale specifické to, že matematický model má i 'zpětnou vazbu' – konstituce
logického kalkulu může zpětně ovlivnit užívání jazyka, jehož reglementací vznikl
Existuje jedna, či více logik?
existuje něco, co dělá jazyk jazykem a argumentaci a argumentací : to je předmětem logiky a
proto v logice neexistuje bezbřehý relativismus
avšak: (formální) logika idealizuje a standardizuje (vede ostré hranice tam, kde v přirozeném
jazyce žádné nejsou, domýšlí a extrapoluje, či někdy dokonce vylepšuje) ⇒ prostor pro různé
druhy variant a alternativ:
(1) analýza může jít do různé hloubky: můžeme se například zastavit na úrovni, kdy se na
některé výroky díváme jako na primitiva (⇒ výrokové počty), nebo můžeme jít hlouběji a
3
analyzovat každý výrok na nějaké složky, na přísudek a podmět, či přísudek a nějaký větší
počet jmenných doplnění (⇒ predikátové počty)
(2) alternativy i na téže úrovni abstrakce: například můžeme předpokládat, že všechno, čím se
budeme ochotni zabývat jako výrokem, musí být pravdivé či nepravdivé (což je konstitutivní
předpoklad klasické, dvouhodnotové logiky), nebo můžeme připustit, že existují i výroky,
které nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé (pak máme logiku parciální či vícehodnotovou).
'klasická' vs. 'neklasické' logiky: 'klasická' logika (klasický výrokový počet a klasický
predikátový počet 1. řádu) není historicky žádným 'přirozeným druhem', jako taková se
konstituovala se vlastně až v druhé čtvrtině dvacátého století; má však specifické 'příjemné'
vlastnosti
'matematická' vs. 'filosofická' logika: nejméně dva smysly
(1) matematická se zabývá matematickými aspekty, filosofická nematematickými
(2) matematická se zabývá klasickou logikou, filosofická vším ostatním
Speciální literatura
Peregrin, J. (1994): Logika a logiky, Academia, Praha.
Hacking, I. (1979): 'What is logic?', Journal of Philosophy 76, 285-319.
Lorenzen, P. (1978): 'Regeln vernünftigen Argumentierens', Theorie der technischen und der
politischen Vernunft. Reclam, Stuttgart; český překlad 'Pravidla rozumné argumentace',
Miscellanes Logica III, Karolinum, Praha, 2002.
A. C. Varzi, ed. (1999): The Nature of Logic (European Review of Philosophy, vol. 4), CSLI, Stanford.
4
ZÁKLADNÍ LOGICKÉ POJMY
Vyplývání
výrok B vyplývá z výroků A1,...,An (budeme zapisovat A1,...,An |= B), jestliže je pravdivý,
kdykoli jsou pravdivé A1,...,An
⇒ vyplývání ≈ 'zachovávání pravdivosti'
Jak interpretovat ono "kdykoli" v této definici?
(1) ≈ "za jakýchkoli okolností" – netriviální pouze pro empirické výroky
Výrok Bimbo je zvíře vyplývá z výroku Bimbo je slon, protože to druhé nemůže za žádných
okolností nastat bez toho, aby nastalo to první.
(2a) ≈ "i po nahrazení některých částí výroku jinými výrazy"
Výrok Bimbo je zvíře vyplývá z výroku Bimbo je slon, protože výroková forma zvíře(X)
nemůže být pro žádné jméno individua X pravdivá, aniž by byla pro toto jméno pravdivá i
forma slon(X).
Bimbo je slon |= Bimbo je zvíře
↓
X je slon |= X je zvíře
[X := Peregrin]
[X := Tyrl]
[X := Garfield]
Peregrin je slon |= Peregrin je zvíře
Garfield je slon |= Garfield je zvíře
Tyrl je slon |= Tyrl je zvíře
...
('Okolnostmi' je dána extenze jména, to jest individuum, které dané jméno pojmenovává.
Záměnu jména za jiné s jinou extenzí tedy můžeme vidět jako simulování změn okolností:
nahradíme-li jméno Bimbo jménem Peregrin, simulujeme tím (kontrafaktuální) situaci, kdy
se jménem Bimbo honosí právě to indidivuum, které má momentálne jméno Peregrin.)
(2b) ≈ "i po reinterpretaci některých částí výroku"
Nahradíme-li podmět věty Bimbo je slon jménem Peregrin, dosáhneme tím toho, že tento
podmět bude označovat Peregrina. Stejného efektu bychom zřejmě dosáhli i tím, kdybychom
přímo reinterpretovali slovo Bimbo tak, že bychom z něj udělali jméno Peregrina, nebo tak,
že bychom jméno Peregrina udělali z parametru X příslušné výrokové formy, tj. slon(X).
Peregrin → b
X
Tyrl
→×
Garfield → Ø
...
⇒
X
b
×
Ø
...
5
Navíc v tom druhém případě (kdy není přiřazování individuí parametrům zprostředkováváno
parametry) můžeme zohlednit i taková individua, která nemají (v jazyce, se kterým
pracujeme) jména
(2), narozdíl od (1) funguje i funguje i pro matematický diskurz
Výrok může z jiného vyplývat jedině díky tomu, co tyto výroky znamenají, a potažmo díky
tomu, co znamenají slova, ze kterých se skládají. Zpravidla to však je jenom díky významům
některých ze slov, které se v nich vyskytují.
výrok B logicky vyplývá z výroků A1,...,An jestliže z A1,...,An vyplývá v důsledku pouze
významů logických konstant
Tarski: výrok B logicky vyplývá z výroků A1,...,An jestliže je každý model [= interpretace
jejich extralogických konstant, která je činí pravdivými] výroků A1,...,An i modelem výroku B.
problémy s hranicemi:
kdy jde již o vyplývání, a kde jenom o empiricky podmíněnou závislost?
(vyplývá např. Výrok Bimbo má plíce z výroku Bimbo je slon?)
kdy jde o logické vyplývání, tj. co to jsou logické konstanty?
(mají například anglické členy (the a a) povahu logických konstant?)
Speciální literatura:
Tarski, A. (1936): 'Über den Begriff der logischen Folgerung', Actes du Congrés
International de Philosophique Scientifique 7, 1-11; český překlad 'O pojmu logického
vyplývání' v Teorie modelů a modelování, Svoboda, Praha, 1967.
Etchemendy, J. (1990): The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press, Cambridge (Mass.).
Gomez-Torrente, M. (2002): 'The Problem of Logical Constants', Bulletin of Symbolic Logic
8.
6
Analytická a logická pravdivost
Kant: výrok je analyticky pravdivý, je-li význam jeho přísudku obsažen ve významu jeho
podmětu (není použitelné na výroky s jinou než subjekt-predikátovou strukturou)
zobecněné, moderní pojetí: výrok je analyticky pravdivý, je-li pravdivý pouze v důsledku
významu slov, z nichž se skládá
kontingentní, empirická, syntetická (v důsledku významu a stavu světa)
pravdivost
nutná, analytická (v důsledku pouze významu)
Neexistuje ještě další možnost (nutná pravda, která není pouze důsledkem významů – viz
např. Kantovy syntetické pravdy a priori)? Ve filosofii logiky a filosofii jazyka XX. století
převládá záporná odpověď.
logická (v důsledku významu pouze logických konstant)
analytická pravdivost
...
pravda
Hlavní město Česka je Praha
analytická pravda
Hlavní město Česka je město
logická pravda
Je-li hlavní město Česka Praha,
je hlavní město Česka Praha
problémy s hranicemi:
hranice mezi pravdou a analytickou pravdou? – Quine:
zatímo u formálního jazyka je věta analyticky pravdivá prostě tehdy, když je její
pravdivost důsledkem definice (sémantiky) tohoto jazyka, sémantika přirozeného jazyka z
podstatné části není nijak explicitně definována – takže jak rozhodnout například o tom,
zda je výrok Sloni mají plíce analyticky, nebo jen kontingentně pravdivý?
hranice mezi analytickou pravdou logickou pravdou (logické konstanty?)
souvislost mezi analytickou pravdou a vyplýváním
A je analyticky pravdivý, když právě vyplývá z prázdné množiny
A je logicky pravdivý, když právě logicky vyplývá z prázdné množiny
7
Za předpokladu, že jazyk, o kterém hovořím, má materiální implikaci, →:
implikace ' pravda
A implikuje B právě tehdy, když je výrok A→B pravdivý
vyplývání ' analytická pravda
B vyplývá z A, A |= B, právě tehdy, když je výrok A→B je analyticky pravdivý
logické vyplývání ' logická pravda
B logicky vyplývá z A právě tehdy, když je A→B je logicky pravdivý
Speciální literatura:
Co je to analytický výrok?, OIKOYMENH, Praha, 1995.
Coffa, A. (1991): The Semantic Tradition from Kant to Carnap, Cambridge University Press, Cambridge.
Quine, W.V.: Pursuit of Truth (revised edition), Harvard University Press, Cambridge
(Mass.), 1992; český překlad Hledání pravdy, Herrmann a synové, Praha, 1994.
Sher, G. (1991): The Bounds of Logic, MIT Press, Cambridge (Mass.).
8
Interpretace
Zkoumáme-li logickou pravdu nebo logické vyplývání, zajímají nás ty případy pravdy či
vyplývání, ve kterých nezáleží na významech extralogických výrazů (samozřejmě ani na
empirickém světě). Tyto výrazy tedy můžeme nahradit 'bezobsažnými' symboly – parametry.
Namísto jazyka pak zkoumáme pouze jazykovou formu a výsledky našeho zkoumání platí pro
každý jazyk této formy. Např.
slon(a) |= zvíře(a)
P(a)∧ Q(b) |= P(a)
|= P(a)→ P(a)
Jde-li nám o konkrétní instanci logické pravdy či vyplývání, nahradíme parametry
konkrétními výrazy, například parametr a jménem Bimbo, parametr b jméněm Peregrin,
parametr P predikátem slon a parametr Q predikátem pes:
slon(Bimbo) |= zvíře(Bimbo)
slon(Bimbo)∧pes(Tyrl) |= slon(Bimbo)
|= slon(Bimbo)→ slon(Bimbo)
Můžeme také parametry přímo propojit s příslušnými denotáty, např. parametr a s individuem
Bimbem, parametr b s individuem Peregrinem, parametr P s množinou všech slonů a
parametr Q s množinou všech psů:
Interpretace je přiřazení denotátů parametrům
Ale někdy také: nahrazení paramterů konkrétními výrazy
Ale někdy také: přiřazení konkrétních výrazů konkrétním výrazům (a tím redefinování či
explikování jejich významů) - např.: interpretace aritmetiky v teorii množin (explikujeme
významy číslovek, tj. čísla, jako významy určitých množinových výrazů, tj. určité
množiny)
nutno rozlišovat:
1. interpretace ve smyslu objevení významů, které mají výrazy nějakého přirozeného jazyka
(nebo i jazyka formálního s již definovanou sémantikou)
× interpretace ve smyslu stipulativního přiřazení významů výrazům formálního jazyka, které
dosud žádné významy neměly.
["neinterpretovaný jazyk": 'jazyk', jehož výrazy nemají významy × jazyk, významy jehož
výrazů existují, ale nejsou známy]
2. přímé přiřazení významů (či nějakých objektů, kterými významy explikujeme) výrazům
(př.: "symbolu P přiřazuji takovou a takovou podmnožinu daného uvierza")
× přiřazení zprostředkované nějakým již interpretovaným jazykem (př. "symbol P budu brát
za reglementaci českého slova 'pes' (a tím mu přiřazuji ten význam, který toto slovo v
češtině má)")
3. jednoznačné přiřazení významu konstantě
× třída přípustných přiřazení významů paramterů
9
4. přiřazení formálních objektů (prvků stipulativně vymezeného univerza, množin ...)
× přiřazení neformálních významů výrazů přiřozeného jazyka
Speciální literatura:
Stekeler-Weithofer, P. (1986): Grundprobleme der Logik, de Gruyter, Berlin, Kapitola 9.
Peregrin, J. (2004): ' Pojem interpretace v logice ', M. Zouhar (ed.): Používanie, interpretácia
a význam jazykových výrazov, VEDA, Bratislava, 2004, 9-19
10
Odvoditelnost a dokazatelnost
intuitivně: je-li něco dokazatelné, pak je to pravdivé (př.: Fermátova věta)
'relativní' pojem dokazatelnosti (odvoditelnosti): dokazatelnost z dané množiny axiomů (př.:
axiom výběru)
axiomatická metoda (Eukleidés; Frege, Peano, Hilbert, ...):
stanovíme nějaké základní výroky (axiomy) a nějaká pravidla získávání výroků z výroků
(odvozovací pravidla) a prohlásíme za teorém každý výrok, který je pomocí odvozovacích
pravidel odvoditelný z axiomů (tj. který je dokazatelný)
výroky
teorémy
axiomy
odvozovací
pravidla
Příklad: aritmetika (PA)
axiomy:
x1 = x2 ↔ x1 ′ = x2 ′
0 ≠ x′
x+0=x
x1 + x2′ = (x1 + x2)′
x×0=0
x1 × x2′ = (x1 × x2) + x1
P(0) → (∀x(P(x) → P(x′)) → ∀xP(x))
odvozovací pravidla:
jestliže V1 a V1→V2, pak V2
jestliže V, pak ∀xV
B je odvoditelný z A1,...,An (v rámci daného axiomatického systému), A1,...,An |– B, jestliže
existuje posloupnost výroků která má za poslední prvek B a pro každý její člen platí, že to je
buďto jeden z A1,...,An, nebo je to axiom, nebo je výsledkem aplikace odvozovacího pravidla
na nějaké výroky, které jsou v posloupnosti před ním. B je dokazatelný (v rámci daného
axiomatického systému), |– B, jestliže je odvoditelný z prázdné množiny
myšlenka: dokazatelnost jakožto věrná teoretická rekonstrukce (analytické) pravdivosti –
nastavíme-li správně axiomy a odvozovací pravidla, mělo by platit:
A1,...,An |= B právě když A1,...,An |– B
(tj. B vyplývá z A1,..., An právě když je z nich odvoditelný);
a tedy speciálně
|= B právě když |– B (B je analyticky pravdivý právě když je dokazatelný)
11
přesně vymezený formální jazyk
s ostře vymezenou relací odvoditelnosti
|--
|=
reglementace
nepřesně ohraničený přirozený
s neostrou relací vyplývání
Hilbert: dáme dohromady axiomatické systémy tak, že všechny pravdivé výroky matematiky
budou dokazatelné; a dokazatelnost by přitom měla být zvládnutelná metodami elementární
aritmetiky (očíslujeme-li všechny výroky, pak by to, zda posloupnost čísel tvoří očíslování
důkazu výroku s daným číslem, případně i to, zda je dané číslo číslem dokazatelného výroku,
mělo být spočítatelné metodami elementární aritmetiky) ⇒ těmito metodami by měla být
zjistitelná pravdivost jakéhokoli matematického (případně i jiného neempirického) výroku ⇒
redukce veškeré matematiky na aritmetiku ('V je pravdivý právě tehdy, když je dokazatelný,
což je spočitatelné metodami elementární aritmetiky') ⇒ ????
Gödel: s rekonstrukcí pravdivosti jakožto dokazatelnosti je fatální problém
V PA existuje výrok G tak, že platí: |– G ↔ ¬Dk(⎡G⎤); a současně |– Dk(⎡G⎤) ⇔ |– G. Tudíž
|– G ⇔ |– Dk(⎡G⎤) ⇔ |– ¬G; a tedy ani |– G, ani |– ¬G. Avšak G 'říká' sám o sobě, že je
dokazatelný, a tudíž je pravdivý – existuje tedy pravdivý nedokazatelný výrok.
[Nedokázali jsme ovšem právě G?? – viz dále kapitola o paradoxech]
Tarski: nezávisle na tom je jiný problém s tím, aby A1,...,An |= B právě když A1,...,An |– B
výrok všechna přirozená čísla mají vlastnost V vyplývá z {n má vlastnost V}n=1,...,∞, ale
nemůže z nich být z nich dokazatelný (námitka: pokud by mělo jít o logické vyplývání, pak,
jak se zdá, chybí premisa, že 1,..., ∞ jsou všechna čísla; a pokud ne, pak to není protipříklad
proti tomu, že pomocí odvozování dokážeme zachytit logické vyplývání)
⇒ musíme se zabývat bezprostřednějším teoretickým rekonstruováním pojmu pravdivosti než
jako dokazatelnosti [viz kapitola o pravdivosti]
Tarski vlastně říká, že zatímco odvozováná je kompaktní, vyplývání nikoli
kompaktnost: vztah R mezi množinami výroků a výroky je kompaktní, jestliže pro
nekonečnou množinu X platí X R V právě tehdy, když X′ R V pro nějakou konečnou
podmnožinu X′ množiny X
kompaktnost odvozování: říci, že výrok V je odvoditelný z nekonečné množiny výroků X
dává zřejmě smysl jedině tehdy, když je odvoditelný z nějaké její konečné podmnožiny
kompaktnost vyplývání: výrok V vyplývá z nekonečné množiny výroků X právě tehdy, když
je odvoditelný z nějaké její konečné podmnožiny? – Tarski nabízí (diskutabilní) protipříklad
je dokazatelnost syntaktický pojem?
1. dokazatelnost1 = odvoditelnost z nějakých axiomů podle nějakého souboru pravidel
12
2. dokazatelnost2 = odvoditelnost z pravdivých axiomů podle souboru pravidel
zachovávajících pravdivost
dokazatelnost1 je jednoznačně syntaktický pojem; nás ale zajímá hlavně dokazatelnost2
rozlišovat: syntax v úzkém slova smyslu (definující pojem dobře utvořeného výrazu)
× syntax v širším slova smyslu, zahrnujícím dokazování
dichotomie syntaktický/sémantický z hlediska formální logiky nestačí – je tu něco jako
'syntaktické indikátory sémantických vlastností'
korektnost a úplnost:
kalkul je korektní, jestliže A1,...,An |– B jen pro takové A1,...,An, B, pro které A1,...,An |= B
kalkul je úplný, jestliže A1,...,An |– B pro všechny A1,...,An, B takové, že A1,...,An |= B
! rozlišovat: korektnost a úplnost odvoditelnosti vzhledem k vyplývání, jak je vtěleno v
přirozeném jazyce (|=P) × korektnost a úplnost odvoditelnosti vzhledem k vyplývání
definovaném v rámci formální sémantiky (|=F)
přesně vymezený formální jazyk
s ostře vymezenou relací odvoditelnosti
|-|=P
|=F
reglementace
formální sémantika pro tento jazyk
nepřesně ohraničený přirozený
s neostrou relací vyplýván
|=P je věcí vztahu přiměřenosti formálního kalkulu ke svému ne-formálnímu předobrazu, tedy
k tomu, čeho reglementací vznikl - nemůže být nikdy předmětem formálního důkazu
|=F je naproti tomu věcí vztahu mezi dvěma formálními systémy (axiomatiku a sémantikou) můžeme ji formálně prokazovat
Speciální literatura:
Corcoran, J. (1972): Conceptual Structure of Classical Logic, Philosophy and
Phenomenological Research 33, 25-47.
Tarski, A. (1936): 'Über den Begriff der logischen Folgerung', Actes du Congrés
International de Philosophique Scientifique 7, 1-11; český překlad 'O pojmu logického
vyplývání' v Teorie modelů a modelování, Svoboda, Praha, 1967.
Tarski, A. (1965): Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences,
Oxford University Press, Oxford; český překlad Úvod do logiky, Academia, Praha, 1969 –
kapitola VI.
13
Nagel, E. & J.R. Newman (1958): Gödel's proof, New York University Press, New York;
český překlad Gödelův důkaz, Vutium, Brno, 2003.
14
Pravdivost
Frege: pojem pravdy je obecným předmětem logiky ve stejném smyslu, v jakém je pojem
dobra předmětem etiky a pojem krásy estetiky
Intuitivní pojem pravdivosti
Aristotelés: "pravda je říkat, o tom, co je, že to je"
⇒ výrok (myšlenka) je pravdivý, mají-li se věci tak, jak říká, že se mají ⇒ výrok (myšlenka)
je pravdivý, je-li to, co říká, faktem ⇒ výrok (myšlenka) je pravdivý, existuje-li jemu
odpovídající fakt
⇒ korespondenční teorie pravdivosti: pravdivost je korespondence (odpovídání si) s faktem
problémy s korespondenční teorií:
1. odkud kam sahá fakt? je fakt, že Praha je na východ od Plzně, tímtéž faktem, jako fakt, že
Plzeň je na západ od Prahy? ⇒ lze pojem faktu vůbec vymezit bez pomoci pojmu pravdivé
věty (a je lze tedy korespondenční teorii formulovat nekruhovým způsobem)? nejsou fakty
jenom "větotvaré kousky skutečnosti"?
[technický argument proti vymezitelnosti faktů, tzv. prak (Frege, Gödel, ...), probereme
později]
2. zdá se, že svá přesvědčení nemůžeme porovnávat se světem, ale zase jenom se svými
přesvědčeními; a podobně v teorii nemůžeme mít nikdy fakt sám, vždy jenom nějaké jeho
vyjádření ⇒ v rámci teorie nemůžeme nikdy porovnávat výrok s faktem, ale vždy jenom
výrok s nějakým vyjádřením faktu, tj. zpravidla opět s jiným výrokem
alternativní teorie? (viz dále)
Tarského výsledky
Tarski: jaké principy vymezují pojem pravdivosti, a jaké axiomy by tedy mohly tvořit
formální teorii pravdivosti (analogické třeba teorii množin)?
Pro každý výrok V platí, že dosadíme-li v následujícím schématu (tzv. T-schéma) namísto tří
teček jeho jméno, a namísto tří čárek tento výrok sám, dostaneme pravdivé tvrzení:
Výrok ⋅⋅⋅ je pravdivý, jestliže –Pravdivé jsou tedy tvrzení (tzv. T-věty):
(1) Výrok 'Sníh je bílý' je pravdivý právě tehdy, když sníh je bílý
(2) Výrok 'Sníh není bílý' je pravdivý právě tehdy, když sníh není bílý
(3) Výrok 'Sníh je bílý a sníh není bílý' je pravdivý právě tehdy,
15
když sníh je bílý a sníh není bílý
(4) Výrok 'Něco je bílé' je pravdivý právě tehdy, když něco je bílé
atd.
rozlišovat: objektový jazyk, pro který formulujeme teorii pravdivosti
× metajazyk, ve kterém tuto teorii formulujeme!
uvedeme-li objektový jazyk do tvaru jazyka logiky 1. řádu
(1*) Výrok 'Bílý(Sníh)' je pravdivý právě tehdy, když sníh je bílý
(2*) Výrok '¬Bílý(Sníh)' je pravdivý právě tehdy, když sníh není bílý
(3*) Výrok 'Bílý(Sníh) ∧ ¬Bílý(Sníh)' je pravdivý právě tehdy,
když sníh je bílý a sníh není bílý
*
(4 ) Výrok '∃x Bílý(x) ' je pravdivý právě tehdy, když něco je bílé
atd.
uvedeme-li do takového tvaru i metajazyk:
(1**) Pr(⎡Bílý(Sníh)⎤) ↔ Bílý(Sníh)
(2**) Pr(⎡¬Bílý(Sníh)⎤) ↔ ¬Bílý(Sníh)
(3**) Pr(⎡Bílý(Sníh) ∧ ¬Bílý(Sníh)⎤) ↔ (Bílý(Sníh) ∧ ¬Bílý(Sníh))
(4**) Pr(⎡∃x Bílý(x)⎤) ↔ ∃x Bílý(x)
atd.
žádné jiné axiomy nejsou na obzoru
⇒ pojem pravdy pro daný jazyk je vymezen nekonečnem T-vět pro všechny výroky tohoto
jazyka
⇒ konečné zachycení?
(2**) vyplývá z (1**) plus následujícího principu (kde Neg(V) je jménem negace výroku V)
∀V (Pr(Neg(V)) ↔ ¬Pr(V))
(tento princip zjevně vyjadřuje to, co obvykle zachycujeme pravdivostní tabulkou pro
negaci).
Analogicky (3**) vyplývá z (1**) plus (2**) plus následujícího principu (kde Con(V1,V2) je
jménem konjunkce výroků V1 a V2):
∀V1 ∀V2 (Pr(Con(V1,V2)) ↔ Pr(V1) ∧ Pr(V2))
⇒ pomocí několika zřejmých principů tohoto typu můžeme převést všechny T-věty pro
'logicky komplexní' věty na T-věty pro jejich jednoduché části
kdybychom se zbavili i T-vět pro kvantifikované výroky, zbyly by nám jen T-věty pro
16
atomické výroky, kterých bychom mohli mít konečný počet (funktorů se můžeme zbavit
jinak)
⇒ jak převést T-věty pro kvantifikované výroky na T-věty pro jejich části? Problém:
kvantifikovaný výrok obecně nemá za součást výrok, ale (otevřenou) formuli
Tarski: udělejme namísto teorie pravdivosti teorii splňování, vztahu mezi individui a
formulemi (intuitivně: Boromir a Faramir splňují formuli 'x a y jsou bratři'); budeme-li mít
tuto teorii, teorii pravdivosti z ní snadno dostaneme (výrok, tj. uzavřená formule, je pravdivý
právě tehdy, když je splňován vším)
(4**) vyplývá z
∃i Spl(i,⎡Bílý(x)⎤)
(existuje individuum, které splňuje formuli 'Bílý(x)')
plus následujícího principu
∀F ∀i Spl(i,⎡∃i F(x)⎤) ↔ ∃j Spl(j,⎡F(x)⎤)
('∃x F[x]' je splňován individuem i, jestliže existuje individuum splňující 'F[x]' )
Korektněji se ovšem splňování musí definovat jako vztah mezi přiřazeními objektů
proměnným (nebo nekonečnými posloupnostmi objektů) a formulemi.
⇒ jako 'vedlejší produkt' teorie pravdivosti dostáváme teorii modelů
v logicky netriviálním jazyce je existuje vždy možnost vytvořit 'lhářovský výrok' [viz dále
kapitola o paradoxech]: V* ↔ ¬Pr(⎡V*⎤)
⇒ ale T-věta pro V* říká, že V* ↔ Pr(⎡V*⎤), tedy Pr(⎡V*⎤) ↔ ¬Pr(⎡V*⎤), a to je spor
⇒ logicky netriviální jazyk nemůže obsahovat svůj vlastní predikát pravdivosti
⇒ hierarchie metajazyků
Relevance Tarského výsledků pro explikaci pojmu pravdivosti
je T-schéma pro přirozený skutečně obecně platné? – výhrady:
1. věty bez pravdivostních hodnot (Dummett): nemá-li V žádnou pravdivostní hodnotu, pak
má levá strana příslušné T-věty hodnotu nepravda, zatímco pravá nemá žádnou
2. věty s indexickými prvky (Davidson): Obsahuje-li V indexické výrazy, jako jsou já, tady,
teď ap., nemá pravdivostní hodnotu on sám, ale až jeho výskyt v konkrétním kontextu – nelze
tedy tvrdit Výrok 'já mám hlad' je pravdivý právě tehdy, když já mám hlad.
3. věty s any (Hintikka): Výrok 'Karla může porazit kdokoli' je podle Hintikky pravdivý
právě tehdy, může-li Karla porazit každý, zatímco jemu příslušná T-věta konstatuje, že je
pravdivý, může-li Karla porazit někdo (někteří čtenáři Hintikkovi intuice ovšem nesdílejí)
co přesně znamená 'právě tehdy, když' v T-větách? stejnost pravdivostních hodnot, nebo
stejnost pravdivostních podmínek?
17
Tarski sám svou teorii prohlašuje za korespondenční – převádí totiž pojem pravdivosti na
pojem splňování, to jest na jistý vztah mezi jazykem a mimojazykovými entitami. (Někteří
autoři, například Hartry Field,navrhují doplnit jeho teorii nějakým kauzálním výkladem
vztahu mezi jazykem a světem a dostat tak fyzikalistickou teorii pravdivosti.)
Jinou interpretací je, že Tarski svým odhalením toho, že jediným místem podstatného
výskytu predikátu pravdivosti jsou T-věty, odhalil, že tento predikát je vlastně zbytný (tzv.
redundanční teorie pravdivosti, která ovšem existovala již před Tarskim): tvrzení Výrok V je
pravdivý můžeme vždycky nahradit samotným výrokem V. (Zřejmou námitkou je, že predikát
pravdivosti se vyskytuje i v takových kontextech jako Vše, co napsal Aristotelés, je pravda,
kde se ho takto snadno zbavit nelze.)
Alternativní teorie pravdivosti:
koherenční teorie (Bradley, ...)
pravdivost = 'koherence' s ostatními výroky dané teorie či daného souboru přesvědčení
(nemůžeme-li v teorii nikdy porovnávat výrok (či přesvědčení) s faktem, ale vždy jenom
výrok s jiným výrokem (či přesvědčením), zdá se být koherence jediným dostupným
kritériem – co to však 'koherence' je?)
pragmatistické teorie (James, Rorty, ...)
pravdivost = nějaká forma užitečnosti či vhodnosti
(můžeme mít spousty 'koherentních' teorií, ale jenom některé z nich se ukazují jako užitečné
při našem obcováním se světem)
pravdivost jako opodstatnitelnost či dokazatelnost (Dummett)
výrok je pravdivý, je-li možné jej opodstatnit či dokázat
[souvisí s intuicionistickou logikou – viz dále kapitola o 'neklasických' logikách]
deflační či minimalistické teorie (Horwich)
navazují na redundanční teorie pravdy
predikát 'pravdivý' je pouze gramatickou záležitostí a nevyjadřuje žádný netriviální pojem
(tvrdit, že V je pravda, není ničím jiným, než tvrdit V – vypořádává se i s případy jako Vše, co
napsal Aristoteles, je pravda)
pravdivost jako neexplikovatelný, primitivní pojem (Davidson)
nemůžeme chtít explikovat všechny své pojmy, a pojem pravdivosti je dobrým kandidátem na
to, aby zůstal jako primitivní
18
Jedno z možných schémat post-tarskiovských přístupů k pojmu pravdy
Charakterizují T-věty pojem pravdy?
ANO
s výhradmi
Charakterizují ho vyčerpávajícím způsobem?
Co je k nim potřeba dodat?
ano; nic
ano; konečné zachycení
(axiomatizaci)
deflacionismus
(Paul Horwich)
Alfred Tarski1
korespondence
opodstatnitelnost
Alfred Tarski2,
Hartry Field,
Donald Davidson1
Michael Dummett,
konstruktivisté
Dummett, Hintikka, Davidson, ...
víceméně; charakterizaci dalších
významů slova 'pravda'
ne
Co to tedy pravda je?
Richard Rorty1
koherence
???
druh užitečnosti
Richard Rorty2
a jiní pragmatisté
něco neexplikovatelného
(ale podstatného)
Donald Davidson2
Speciální literatura:
Kirkham, R. L. (1992): Theories of Truth, MIT Press, Cambridge (Mass.).
Kolář, P. (2002): Pravda a fakt, Filosofia, Praha.
Peregrin, J., ed. (1999): Truth and its Nature (if any), Kluwer, Dordrecht; zejména 'Introduction'.
Tarski, A. (1944): 'The Semantic Conception of Truth', Philosophy and Phenomenological
Research 4, 341-375.
19
LOGICKÉ SYSTÉMY
'Klasická' logika = výrokový + predikátový počet 1. řádu
'klasický' výrokový počet
syntax:
slovník: – extralogické konstanty: atomické výroky
- logické konstanty: operátory ¬, ∧,∨, →
syntaktická pravidla:
- atomické výroky jsou výroky
- jsou-li A a B výroky, jsou ¬A, A∧B, A∨B a A→B výroky
axiomatika
axiomy:
(1) A→(B→A)
(2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(3) (A∧B)→A
(4) (A∧B)→B
(5) A→(B→(A∧B))
(6) A→(A∨B)
(7) B→(A∨B)
(8) (A→C)→((B→C)→((A∨B)→C))
(9) (A→B)→((A→¬B)→¬A))
(10) ¬¬A→A
odvozovací pravidlo:
(mp) A, A→B / B
sémantika
Interpretace = funkce přiřazující každému A výroku pravdivostní hodnotu ║A║ tak, že
║¬A║ = P právě tehdy, když ║A║ = N
║A∧B║ = P právě tehdy, když ║A║ = P a ║B║ = P
║A∨B║ = P právě tehdy, když ║A║ = P nebo ║B║ = P
║A→B║ = P právě tehdy, když ║A║ = N nebo ║B║ = P
charakteristické vlastnosti
sémantika a axiomatika jsou dvě stránky téže mince:
- každý teorém je tautologií (korektnost)
- každá tautologie je teorémem (úplnost)
- cokoli je odvoditelné, vyplývá (silná korektnost)
- cokoli vyplývá, je odvoditelné (silná úplnost)
⇒ vlastně by nám stačilo mít buď jenom axiomatiku, nebo jenom sémantiku
20
věta o dedukci: každé odvození a každé vyplývání je možné vyjádřit ve tvaru (analytické)
implikace:
- A1, ..., An |– A právě tehdy, když |– (A1→(...(An→A)...))
- A1, ..., An |= A právě tehdy, když |= (A1→(...(An→A)...))
rozhodnutelnost: pro daný výrok jsme schopni efektivně rozhodnout, zda je
teorémem/tautologií
kompaktnost: je-li výrok odvoditelný (vyplývá) z množiny výroků, pak je odvoditelný
(vyplývá) z nějaké konečné podmnožiny této množiny
některé alternativy:
intuicionistická logika
motivace: konstruktivismus v matematice
vznikne nahrazením axiomu (10) slabším axiomem A→(¬A→B))
neplatí v ní: A∨¬A, (¬B→¬A)→(A→B), (A→B)→((¬A→B)→B), ...
nemá sémantiku s konečným počtem hodnot
vícehodnotové logiky
motivace: ne každý výrok přece musí mít ('standardní') pravdivostní hodnotu (viz vágní
výroky, výroky o budoucnosti ...)
výrok může být nejenom pravdivý a nepravdivý, ale může nemít žádnou pravdivostní
hodnotu, nebo může nabývat nějakých hodnot mezi pravdivostí a nepravdivostí
Bočvar, Kleene, Łukasiewicz: různé trojhodnotové logiky (hodnoty pravda, nepravda a ani
pravda, ani nepravda)
fuzzy logika: nekonečný počet 'přechodových' hodnot mezi pravdou a nepravdou
parakonzistentní logiky
připouštějí, kromě výroků, které nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé, i výroky, které jsou
současně pravdivé i nepravdivé (v podstatě čtyřhodnotová logika)
neplatí v nich A→(¬A→B)), tj. ze sporu není odvoditelné cokoli ('globální spor' je oddělen od
'lokálního sporu')
sémantiku lze založit na dvojici trojhodnotových ohodnoceních
relevanční logiky
snaha o nahrazení klasické (‚materiální') implikace nějakou lepší
nutnou podmínkou pro A→B je, aby spolu A a B 'souvisely'
sémantika je problematická
rozšíření
přidání nových operátorů – modální logiky
21
nutnost: □; možnost: ◊
různé systémy: S1-S5 (C.I. Lewis), K, B, T, ...
axiomatika S5 – navíc: □A→A; ◊A→□◊A; □(A→B)→(□A→□B); ◊A↔¬□¬A; A / □A
sémantika (Kripke): množina možných světů + relace 'dosažitelnosti' mezi nimi; výrokům jsou
přiřazeny možné světy; výrok je v daném světě nutně pravdivý právě tehdy, když je
pravdivý v každém světě, který je z něj dosažitelný
(varianty možnosvětové sémantiky existují i pro intuicionistickou a relevanční logiky)
A
A
A
□A
22
'klasický' predikátový počet
syntax:
slovník: – (individuové) proměnné
- extralogické konstanty: (individuové) konstanty; funktory; predikáty
- logické konstanty: operátory ¬, ∧,∨, →; kvantifikátory ∀, ∃; binární predikát =
syntaktická pravidla:
- každá proměnná a každá konstanta je term
- je-li f n-ární funktor a t1,..., tn termy, je f(t1,..., tn) term
- je-li p n-ární predikát a t1,..., tn termy, je p(t1,..., tn) výrok
- jsou-li A a B výroky, jsou ¬A, A∧B, A∨B a A→B výroky
- je-li A výrok a x proměnná, jsou ∀xA a ∃xA výroky
axiomatika
navíc axiomy
(11) ∀xA→A
(12) ∀x(A→B)→(A→∀xB), kde x není volná v A
navíc odvozovací pravidlo
(gen) A / ∀xA
sémantika
Interpretace v množině U = funkce přiřazující prvek U každé konstantě, n-ární funkci na U
každému n-árnímu funktoru a n-ární relaci nad U každému n-árnímu predikátu. Valuace v U
= funkce přiřazující prvek U každé proměnné.
denotáty termů:
║t║I,V = I(t), je-li t konstanta
║t║I,V = V(t), je-li t proměnná
║f(t1,...,tn)║I,V
= I(f)(║t1║I,V,...,║tn║I,V)
splňování formulí
I,V |= P(T1,..., Tn) p.t., k. <║T1║I,V,...,║Tn║I,V >∈I(P)
I,V |= (T1=T2) p.t., k. ║T1║I,V =║T2║I,V
I,V |= ¬A p.t., k. I,V |≠ A
I,V |= A∧B p.t., k. I,V |= A a I,V |= B
I,V |= A∨B p.t., k. I,V |= A nebo I,V |= B
I,V |= A→B p.t., k. I,V |≠ A nebo I,V |= B
I,V |= ∀xA p.t., k. I,V′ |= A pro každou valuaci V′,
která se od V liší jenom tím, jakou hodnotu přiřazuje x
I,V |= ∃xA p.t., k. I,V′ |= A pro nějakou valuaci V′,
která se od V liší jenom tím, jakou hodnotu přiřazuje x
charakteristické vlastnosti
korektní a úplný (silně pro jednu verzi definice vyplývání)
věta o dedukci neplatí obecně, pro uzavřené formule platí
nerozhodnutelný
kompaktní
23
některá další rozšíření
intenzionální (modální predikátová) logika
motivace: adekvátní explikace sémantiky přirozeného jazyka (Montague, Tichý)
problém vztahu mezi univerzem individuí a množinou možných světů: existuje jedno
společné univerzum, nebo má každý svět své?
∀x□F ↔ □∀xF ?
přidání nových kvantifikátorů
'existuje nekonečně mnoho', 'většina' – nejsou v klasické logice definovatelné
přidání predikátových proměnných a predikátů vyšších řádů – logiky vyšších řádů
motivace: větší 'vyjadřovací schopnost' (viz např. ∀xy ((x=y) ↔∀p (p(x) ↔ p(y))));
adekvátnější základ pro matematiku (na rozdíl od standardní logiky můžeme definovat
aritmetiku kategoriálně)
je však neúplný – to jest nelze jej axiomatizovat
⇒ λ-kalkul
přidání nových logických konstant zcela nových kategorií
např. výrazy tvořící z predikátů termy:
Russell: ιxF[x] – 'to jediné x, které je F'
Hilbert: εxF[x] – 'nějaké x, které je F'
aktuální trendy
dynamické logiky a logiky založené na teorii her
Speciální literatura
Materna, P. a J. Štěpán (2000): Filosofická logika: nová cesta?, Nakladatelství Olomouc, Olomouc.
Mleziva, M. (1970): Neklasické logiky, Svoboda, Praha.
Peregrin, J. (2004): Logika a logiky, Academia, Praha.
Peregrin, J.: 'Pozoruhodné logické systémy I-IV', ORGANON F 8, No. 1-4, 2000, 90-96, 210-217, 342-348,
460-466.
Priest, G. (2001): An Introduction to Non-Classical Logics, Cambridge University Press,
Cambridge.
24
PARADOXY
Paradox lháře a jeho varianty
Epimenides: všichni Kréťané jsou lháři
Russell: {x | x∉x}
Grelling: je predikát 'heterologický' heterologický?
Berry: nejmenší číslo nedefinovatelné konečným počtem slov
atd.
Sebevyvracející výrok: V ↔ ¬V
Lhářovský výrok (LV): "říká" sám o sobě, že je nepravdivý
V ↔ ¬Pr(⎡V⎤) (kde Pr je takový, že V ↔ Pr(⎡V⎤) pro každý V)
⇒ ¬Pr(⎡V⎤) ↔ V ↔ Pr(⎡V⎤), a Pr(⎡V⎤) je tedy sebevyvracející
ke konstituci LV potřebujeme tři ingredience:
1. negaci
2. predikát pravdivosti
3. 'schopnost' výroku odkázat k sobě sama
⇒ nechceme-li lhářovský výrok, musíme do jazyka alespoň jednu z těchto ingrediencí
nevpustit. Zřejmým kandidátem se zdá být 3 - jenomže, jak se překvapivě ukazuje, u
složitějších jazyků to prostě nejde (Gödel; viz níže). Protož kandidátem není 1 (jazyk nez
negace by nebyl hodný toho jména), zbývá 2. (Tarski; viz kapitola o pravdivosti).
Sebevylučující predikát (SP): P(p) ↔¬ p(p) pro každý predikát p
⇒ P(P) ↔ ¬P(P), a P(P) je tedy sebevyvracející
SP je přímo zkonstruovatelný, můžeme-li aplikovat predikát sám na sebe a máme-li
(mechanismus ekvivalentní) lambda-abstrakci: λp.¬p(p)
máme-li jména predikátů, nepotřebujeme aplikaci na sebe sama: P(⎡p⎤) ↔ ¬ p(⎡p⎤)
predikáty lze nahradit formulemi a predikaci substitucí: V(⎡V⎤/x) ↔ ¬V(⎡V⎤/x)
Gödel:
1. V jazyce aritmetiky (a potažmo v každém jazyce, do kterého je tento jazyk přeložitelný),
můžeme jednoznačně očíslovat formule, tj. přiřadit formulím číslovky (tzv. gödelizace);
číslovku přiřazenou formuli F budeme značit ⎡F ⎤ . ⎡F ⎤ lze považovat za 'jméno' formule F a
aritmetické formule lze nahlížet jako pojednávající o formulích (skrze jejich čísla).
2. V aritmetice je definovatelná funkce, která každému výroku přiřazuje výrok který "říká": V
platí sám o sobě
pro každý V: Diag(⎡V⎤) = ⎡V(⎡V⎤/x)⎤
3. Pro každou vlastnost L vyjádřitelnou v aritmetice existuje výrok VL, tzv. pevný bod
vlastnosti L tak, že ⎡V⎤ má vlastnost L právě tehdy, když V. V tedy "říká": Mám vlastnost L.
25
Vlastnost považujeme za vyjádřitelnou v aritmetice právě tehdy, když existuje formule s jedinou
volnou proměnnou, která je splňována právě těmi prvky univerza, které tuto vlastnost mají. Říkáme-li
formuli s jedinou volnou proměnnou (pro jednoduchost předpokládáme, že to je x) kvazipredikát, pak
pro každý kvazipredikát P existuje výrok VP takový, že P[⎡VP⎤/x] ↔ V. Pomocí Diag lze
VP zkonstuovat následujícím způsobem
VP* ≡Def P[Diag(x)/x]
VP ≡Def VP* [⎡VP *⎤/x]
Pak totiž zřejmě
VP ↔ P[Diag(x)/x][⎡VP⎤/x] ↔ P[Diag(⎡VP⎤)/x] ↔ P[⎡VP* [⎡VP *⎤/x]⎤ /x] ↔ P[⎡VP⎤ /x]
4. V aritmetice je vyjádřitelná vlastnost být dokazatelný tudíž i být nedokazatelný, a tudíž
existuje její pevný bod, to jest výrok, který o sobě "říká", že není dokazatelný. Tento výrok
tedy nemůže být dokazatelný (protože pak by musel být pravdivý a musela by tedy být
pravda, že není dokazatelný - spor); a dokazatelná nemůže být ani jeho negace (protože pak
by musela být pravdivá tato negace, tudíž výrok sám by musel být nepravdivý, a tudíž by
musel být dokazatelný, a tedy pravdivý, a tudíž by musela být jeho negace nepravdivá - spor).
(Všimněme si, že tato úvaha předpokládá konzistenci aritmetiky!)
Nechť je Dk ten kvazipredikát, který vyjadřuje vlastnost být dokazatelný, to jest nechť pro každý V
platí:
|– Dk(⎡V⎤) právě tehdy, když |– V.
Pak máme pevný bod V¬Dk kvazipredikátu ¬Dk tj. platí
V¬Dk ↔ ¬Dk[⎡V¬Dk ⎤/x],
Takže
|– V¬Dk právě tehdy, když |– ¬Dk[⎡V¬Dk ⎤/x];
avšak na druhé straně
|– V¬Dk právě tehdy, když |– Dk[⎡V¬Dk ⎤/x] (z definice Dk).
To znamená, že
|– ¬Dk[⎡V¬Dk ⎤/x] právě tehdy, když |– Dk[⎡V¬Dk ⎤/x];
a tudíž, pod hrozbou sporu, ani |– ¬Dk[⎡V¬Dk⎤/x], ani |– Dk[⎡V¬Dk ⎤/x].
Pro srovnání předpokládejme, že by byla v aritmetice vyjádřitelná vlastnost být pravdivý: pak
by byla vyjádřitelná i vlastnost nebýt pravdivý, a existoval by výrok, který by sám o sobě
"říkal", že je nepravdivý - takže by to byl zřejmě LV.
V¬Pr ↔ ¬Pr[⎡V¬Pr ⎤/x]
[Nemohli bychom se z paradoxu lháře "vyvléct" způsobem analogickým tomu, jakým jsme se ze sporu
"vyvlékli" výše v případě dokazatelnosti - to jest prohlásit, že V¬Pr není ani pravdivý ani nepravdivý?
To nejde v rámci klasické logiky, kde musí mít každý výrok pravdivostní hodnotu; a jestliže výroky
bez pravdivostních hodnot připustíme, nebude sice nutně sebevyvracející ten výrok, který o sobě
"říká" já jsem nepravdivý (= mám pravdivostní hodnotu NEPRAVDA), ale určitě výrok, který o sobě
"říká" já nejsem pravdivý (= nemám pravdivostní hodnotu PRAVDA)]
26
Diagonální argumenty
Můžeme do čtvercové tabulky přidat sloupec, který tam ještě není? ⇒ Jistě. Jednou z metod
je zkonstruovat ho tak, aby se jeho hodnota v j-tém řádku lišila od hodnoty j-tého sloupce ⇒
antidiagonála tabulky (dává smysl i pro nekonečné tabulky.)
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
Diagonální argument: ke každé (i nekonečné) čtvercové tabulce vytvořit antidiagonálu
Matematičtější vyjádření:
F ... s definičním oborem D a oborem hodnot R
R má alespoň dva prvky
existuje vzájemně jednoznačné přiřazení prvků množiny D prvkům množiny F
⇒ existuje fce s definičním oborem D a oborem hodnot R, která nepatří do množiny F
[Takovou funkcí je např. každá funkce f taková, že f(i(f)) ≠ f(i(f)) (neboli f(x) ≠ (i-1(x))(x)) pro
všechny f∈F (kde i je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků D prvkům F)]
Aplikace diagonálního argumentu
1. Posloupností přirozených čísel je více než přirozených čísel.
1
2
3
.
:
1
1
2
3
.
:
2
1
1
1
.
:
3
2
37
12
.
:
...
...
...
...
antidiagonála = posloupnost přirozených čísel, která v tabulce není ⇒ taková tabulka nemůže
nikdy obsahovat všechny posloupnosti přirozených čísel ⇒ posloupností přirozených čísel
musí být více než sloupců této tabulky, tj. než přirozených čísel ⇒ posloupností přirozených
čísel je nespočetno [⇒ reálných čísel je nespočetno]
2. Podmnožin každé množiny je více než jejích prvků.
prvky M: x1,x2,x3, ...
podmnožiny M: p1,p2,p3, ...
do políčka i, j napíšeme 1 nebo 0, podle toho, zda je xi prvekm pj:
27
p1
0
1
1
.
:
x1
x2
x3
.
:
p2
1
1
1
.
:
p3
1
0
0
.
:
...
...
...
...
Kdyby byla tato tabulka čtvercová, to jest kdyby bylo prvků M stejně jako podmnožin M,
dokázali bychom zkonstruovat antidiagonálu, která by vymezovala podmnožinu M, která v
tabulce není ⇒ spor.
⇒ ke každé množině nějaké mohutnosti existuje množina s větší mohutností
3. Paradoxy.
v1, v2, v3, ... vlastnosti (např.: v1 je červenost, v2 je dlouhonohost atd.)
do políčka i, j píšeme 1 nebo 0 podle toho, zda má vi vlastnost vj:
v1
0
0
1
.
:
v1
v2
v3
.
:
v2
0
0
1
.
:
v3
1
0
0
.
:
...
...
...
...
antidiagonální sloupec: vlastnost nemít sama sebe.
nemít sama sebe nikdy v tabulce nemůže být ⇒ nemít sama sebe vlastně není žádná
vlastnost?
modifikace: v tabulce jenom vlastnosti vyjádřitelné predikáty nějakého jazyka ⇒ jazyk, který
dovoluje vyjádřit vlastnost nemít sama sebe (např. netypovaný λ-kalkul) musí být
nekonzistentní.
4. Neúplnost aritmetiky.
tabulka s chybějícími hodnotami:
0
0
1
.
:
1
1
.
:
1
0
0
.
:
...
...
...
28
kvaziantidiagonála = její hodnota v j-tém řádku se liší od hotnoty j-tého sloupce, ale pokud
hodnota v poli j, j není, nemá ani ona v j-tém řádku hodnotu
0
0
1
.
:
1
1
.
:
1
0
0
.
:
...
...
...
1
1
.
:
kvaziantidianonála může být identická se sloupcem tabulky: ale jedině s takovým, kterému
chybí diagonální hodnota
modifikace tabulky s vlastnostmi: v řádcích a sloupcích pouze vlastnosti vyjádřitelné v
Peanově aritmetice, číslo v průsečíku řádku i a sloupce j bude 1, je-li v PA dokazatelný výrok
tvrdící, že vi má vlastnost vj, a bude 0, je-li dokazatelná negace tohoto výroku (není-li
dokazatelné ani jedno, bude příslušná hodnota chybět) ⇒ (kvazi?)antidiagonála: vlastnost
nemít sebe sama dokazatelně
vlastnost nemít sebe sama dokazatelně lze vyjádřit v jazyce PA ⇒ musí ji odpovídat jeden ze
sloupců tabulky ⇒ protože tento sloupce odpovídá kvaziantidiagonále, musí mu na diagonále
chybět hodnota ⇒ je-li Peanova aritmetika konzistentní, musí v ní existovat výrok, který není
dokazatelný ani vyvratitelný.
5. Neřešitelnost problému zastvení Turingova stroje.
Churchova teze: každá úloha, která je intuitivně vypočitatelná, je vypočitatelná nějakým
Turingovým strojem
Každý Turingův stroj je jednoznačně charakterizován určitým konečným zápisem ⇒
Všechny Turingovy stroje lze seřadit podle nějaké abecedy a anotovat jimi sloupce tabulky.
Pro jednoduchost předpkládejme, že vstupem i výstupem každého Turingova stroje je
přirozené číslo ⇒ Každý Turingův stroj realizuje přiřazení přirozených čísel přirozeným
číslům a Churchova teze říká, že každé takové přiřazení, které je vůbec lidsky vypočitatelné,
je realizováno nějakým Turingovým strojem. Anotujme řádky v tabulce těmito čísly a do
políčka v průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce pišme výsledek práce j-tého stroje pro vstup
i. Označíme-li tedy výstup stroje TSj pro vstup i symbolem TSj[i], máme
1
2
3
.
:
TS1
TS1[1]
TS1[2]
TS1[3]
.
:
TS2
TS3
TS2[1] TS3[1]
TS2[2] TS3[2]
TS2[3] TS3[3]
.
.
:
:
...
...
...
...
29
Ne každý stroj dojde pro každý vstup k nějakému výstupu (výpočet může běžet do
nekonečna) ⇒ v tabulce mohou být prázdná políčka.
definujme nové přiřazení čísel číslům:
F[j] = TSj[j]+1, pokud bude TSj[j] definováno (příslušné políčko není tabulky prázdné);
= 1 jinak.
⇒ antidiagonála (nikoli pouze kvaziantidiagonála!) ⇒ nemůže být sloupcem tabulky ⇒ F
nemůže být realizováno Turingovým strojem
Ale: definuje přiřazení čísel číslům, které se zdá být vypočitatelné ⇒ spor??.
Vysvětlení: F nemusí být vypočitatelná, protože pokud práce stroje TSj na vstupu j nikdy
neskončí, nikdy se nedopracuji k hodnotě pro F[j] – budu muset čekat donekonečna (nikdy si
nebudu moci být jistý, zda se stroj přece jenom ještě k nějakému výsledku nedopracuje).
Univerzální Turingův stroj: pro každý daný Turingův stroj a danou vstupní hodnotu je
schopen spočítat, zda se tento stroj s tímto vstupem zastaví nebo ne ⇒ pokud by existoval,
stala by se F vypočitatelnou ⇒ platí-li Churchova teze, nemůže Univerzální Turingův stroj
existovat
30
Paradoxy typu sorites
Máme lineárně uspořádanou množinu M
•→•→•→•→•→•→•→ ... →•
x1 x2 x3
xn
a množinu M' takovou, o které se zdá platit:
1. x1∈M'
2. kdykoli je xi∈M', je i xi+1∈M'
3. xn∉M'
Přitom 1.+2.+3. jsou zřejmě neslučitelné.
(Např. x1 je nějaký prapředek člověka, xn je nějaký dnešní člověk, xi+1 je vždy syn xi; a M' je
množina pralidí. Nebo x1 je člověk zcela bez vlasů, xn je člověk se spoustou vlasů (tedy určitě
nikoli plešatý, xi+1 je vždy člověk, který má o jeden vlas více než xi; a M' je množina
plešatých lidí.)
Řešení: Nejčastěji přijetí nějakého nestandardního typu množin s tím, že běžným pojmům
odpovídají právě takové množiny (fuzzy teorie množin; Vopěnkova alternativní teorie
množin).
Speciální literatura
Grim, P. (1991): The Incomplete Universe, MIT Press, Cambridge (Mass.).
Hughes, P. and Brecht, G. (1975): Vicious Circles and Infinity: A Panoply of Paradoxes, Garden City, NY:
Doubleday.
Nagel, E. & J.R. Newman (1958): Gödel's proof, New York University Press, New York;
český překlad Gödelův důkaz, Vutium, Brno, 2003.
Russell, B. (1908): 'Mathematical Logic as Based on the Theory of Types', American Journal
of Mathematics XXX, 222-262.
Priest, G.: 'The Structure of the Paradoxes of Self-Reference', Mind 103, 1994, 25-34.
Smullyan, R. (1987): Forever Undecided, Oxford University Press, Oxford; český překlad
Navěky nerodhodnuto, Academia, Praha, 2003.
Vopěnka, P. (1989): Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín , Archa, Bratislava.
31
LOGIKA A ONTOLOGIE
(BESTIÁŘ ENTIT, S NIMIŽ MÁ LOGIKA CO DO ČINĚNÍ)
Jaké druhy entit existují a co nám k tomu může říci logika?
existence v absolutním slova smyslu × existence relativní k teorii
(Quine: 'ontologické závazky' teorií a logik; "být znamená být hodnotou proměnné")
individua
jednotliviny (particularia) × obecniny (universalia)
středověký spor nominalismu s realismem a jeho moderní reinkarnace
z hlediska predikátové logiky jsou individua čímkoli, co tvoří univerzum ⇒ vzhledem k
tomu, že univerza se mohou lišit od teorie k teorie, je pojem individua v tomto smyslu
relativní (množiny: individua z hlediska teorie množin; nikoli třeba z hlediska aritmetiky)
Russell: "individuum" je to, co "postrádá složenost"
× Stalnaker: "Individuum není určitý druh věci. Je to určité postavení, které mohou věci
libovolného druhu zaujímat: postavení subjektu predikace."
Předpokládá logika existenci individuí? - je např. ∃x(x=x) logická pravda? (tj. musí být každé
univerzum neprázdné) – ANO v rámci klasické logiky:
1. ∀x (x=x)
2. x=x
3. ∀x¬(x=x)→¬(x=x)
4. (x=x)→¬∀x¬(x=x)
5. ¬∀x¬(x=x)
6. ∃x (x=x)
axiom predikátového počtu s rovností
z 1. pomocí ∀xF → F
instance ∀xF → F
z 3. pomocí kontrapozice
z 2. a 4. pomocí mp
z 5. v důsledku ¬∀x¬F ↔ ∃xF
Odstranění tohoto předpokladu ⇒ volná logika (připouští individuové konstanty neoznačující
žádný předmět a/nebo prázdné univerzum)
označení individuí: deskripce vs. vlastní jména; 'úřad' vs. to, co ho zastává
G(ιxF(x)) ≡Def. ∃x(F(x)∧G(x)∧∀y(F(y)→(y=x))
množiny
trojí pojetí množin:
(1) množina je cokoli, co vznikne, když 'dáme dohromady' objekty
(2) množina je cokoli, co se dá přepočítat, tj. uspořádat (Cantor: ordinální čísla ['typy
uspořádání'] ⇒ kardinální čísla ⇒ ...)
(3) množinu tvoří objekty splňující nějaké kritérium (Frege, Russell: pojmy ⇒ extenze ⇒
množiny)
např. axiom výběru: zcela neproblematický z hlediska (1), problematičtější z hlediska (2) [jak
z toho, že všechny množiny daného souboru dokážeme uspořádat, vyplývá, že dokážeme
uspořádat i příslušnou výběrovou množinu?], zásadně problematický z hlediska (3) [je-li
každá z množin daného souboru určena kritériem, neplyne z toho, že musí existovat kritérium
určující příslušnou výběrovou množinu – viz soubor párů ponožek]
32
'logický' pojem množiny (relativní k univerzu) vs. kumulativní hierarchie (předpokládající
potenciálně problematický pojem všech podmnožin dané množiny)
je množina 'logický objekt'? (= je teorie množin součástí logiky?)
logiky vyšších řádů: teorie množin v beránčím rouše (Quine)?
funkce
z jednoho pohledu speciální případ množin (funkce je určitá množina uspořádaných dvojic)
z jiného pohledu je množina korelátem specifického případu funkce (kritérium můžeme
chápat jako funkci přiřazující nějakým objektům pravdu a ostatním nepravdu)
Je funkce jakákoli množina uspořádaných dvojic neobsahující dvě různé dvojice s totožnými
prvními prvky (nebo jenom taková, která je dána kritériem)?
vlastnosti, propozice
význam predikátu nemůžeme ztotožnit s množinou aktuálních individuí, na které je
aplikovatelný; a význam výroku s jeho pravdivostní hodnotou ⇒ potřebujeme v logice
vlastnosti (jako významy predikátů) a propozice (jako významy výroků)?
fakty
fakt: pravdivá propozice, nebo to, co činí propozici pravdivou?
prak (Frege, Gödel):
(1) A
(2) ιx(x=d) = ιx(x=d ∧ A)
(3) ιx(x=d) = ιx(x=d ∧ B)
(4) B
(1) a (2), a stejně tak (3) a (4), jsou logicky ekvivalentní, takže by měly vyjadřovat tentýž
fakt. Navíc jsou-li A a B pravdivé, pak (3) vzniká z (2) náhradou jména jiným jménem téhož
objektu, a (2) a (3) by tedy opět měly vyjadřovat tentýž fakt. Takže A a B, a tudíž jakékoli dva
pravdivé výroky, by měly vyjadřovat tentýž fakt (můžeme mu říkat Velký fakt, nebo prostě
pravda). Podobně pro jakékoli dva nepravdivé (Velký nefakt, nepravda).
možné světy
s jejich použitím můžeme rekonstruovat vlastnosti, propozice atd. už jenom s použitím
individuí a pravdivostních hodnot
dvojí pojetí: metafyzické ("chceme-li možné světy v logice používat, musíme nejprve říci, co
to možný svět je") × instrumentalistické ("možný svět je prostě cokoli, k čemu je relativní
pravdivost výroků, a my se v logice nemusíme zabývat jejich povahou o nic více než povahou
individuí")
Speciální literatura
Kolář, P (1999): Argumenty filosofické logiky, Filosofia, Praha.
Neale, S. (2001): Facing facts, Clarendon Press, Oxford.
33
Peregrin, J. (1998): Úvod do teoretické sémantiky, Karolinum (skripta FF UK), Praha.
Quine, W.V. (1948): 'On What There Is', Review of Metaphysics 2, 21-38.
Quine, W.V.O. (1963): Set Theory and its Logic (revised edition), Harvard University Press, Cambridge
(Mass.).
34