ĆõÀÖõ 1 (Price of Anarchy) ŽÂõ ø ŽÂû ĆĂþÃû 2

ĆõÀÖõ 1 (Price of Anarchy) ŽÂõ ø ŽÂû ĆĂþÃû 2

ĆõÀÖõ
1
üãĺ ĆœŚûŘĄąćĄą ŰďĄň ĆŞ öŚĂØþ쌪 Ćî ťÆœŊ ÂŞ ŋÂê ,ÝČĂîüõ üĺď ÂŞ Śûý쌪 ĆþÂÑœ ű¡śõ ďć Śõ Ćî üþŚûý쌪 ďć
.ÀĂłŚŞ ĆţłŘć üúŻĄŮ þÂþŚĺ ýÀĂÞţþŚőď öŘÃČõ Śþ ý쌪 üÜî éÀû ĆŞ ĆØĂþŘ öøÀŞ ÀĂþŚÞœ ĆĂČúŞ Řď 楹 ćĄĺ Ćî ÀĂĂîüõ
ČČãŮ Řď öŚĂØþ쌪 ĆÞû ýÄŮŘÂţĺŘ ,ñĄßÆõ É£ł Œþ Ćî ÀþŊüõ ťĺć ĆŞ üţìø üœŚÚÞû ćĄĺ þÂţúŞ Śûý쌪 þŘ ďć
ťĺć ĆŞ üŮøŚÔţõ ćĄĺ ,ÀþŚÞœüõ ŠŚ£ţœŘ Řď 楹 ýÄŮŘÂţĺŘ þÂþŚĺ ěŘ ÛÖţÆõ Øþ쌪 Âû üţìø ÛŞŚÖõ éÂÏ ďć .ÀþŚÞœ
price of ø price of anarchy ôĄúÔõ øć Śõ ťÞÆì þŘ ďć .ťĺŘ ñŊùÀþŘ ďŚţêď ŚŞ öŊ ĆÆþŚÖõ ø ĆãóŚÎõ Śõ éÀû Ćî ÀþŊüõ
.ťĺŘ ďŘÁð ÂČŹŚŮ ÝţÆČĺ Ûî ďŚţêď ÂŞ À§ Ćİ ŚŮ öŚĂØþ쌪 ĆœŚûŘĄąćĄą ďŚţêď Ćî ÝČûć öŚÈœ ŚŮ ÝČĂîüõ ÓþÂãŮ Řď stability
(Price of Anarchy) ŽÂõ ø ŽÂû ĆĂþÃû
2
ø ŽÂû ĆĂþÃû ťÖČÖ§ ďć .ťĺŘ ý쌪 Œþ ďć ñćŚãŮ ŕŚÖœ üþŘďŚî ôÀä öŘÃČõ ýÂČðùěŘÀœŘ ýŘÂŞ üĺŚČÖõ ŽÂõ ø ŽÂû ĆĂþÃû
.楳üõ ÓþÂãŮ ĆĂČúŞ ďŘÀÖõ ø üóćŚãŮ ŕŚÖœ ťśÆœ ěŘ ÛňŚ§ ďŘÀÖõ þÂŮÀŞ ŰďĄň ĆŞ ŽÂõ
Ű良 ň ĆĽ Ş ĆĽ î ťĽ ĺŘ social utility ôŚĽ œ ŚĽ Ş üĽ œŚĽ ÚĽ ÞĽ û 楼 ĺ âĽ ŞŚĽ Ů ŒĽ þ öćÂĽ î ĆĽ ĂĽ ČĽ úĽ Ş ŚĽ úĽ þ 쌼 Ş ďć éÀĽ û ŰŚĽ ìøŘ ěŘ ý ČĽ ÆĽ Ş
Œþ ĆŞ Řď S ĄÌä ýÄŮŘÂţĺŘ Âû f ⪌٠.ťĺŘ ćĄŻĄõ ýŚûýÄŮŘÂţĺŘ ĆäĄÞźõ S öŊ ďć Ćî ćĄÈČõ ÓþÂãŮ f : S → R+
ý쌪 Œþ ďć Ćî ÝČĂî ŋÂê .ÀĂØČõ ÂÒŚĂţõ ťĺŘ ýÄŮŘÂţĺŘ öŊ ěŘ ÛňŚ§ üœŚÚÞû ćĄĺ ÂÚœŚČŞ Ćî ťśůõ üÖČÖ§ ćÀä
,ťĺŘďŘć Řď f ĆĂČúŞ ďŘÀÖõ Ćî ÀłŚŞ ýŘýÄŮŘÂţĺŘ S ∗ ø ÀłŚŞ NE Œþ S ÂðŘ .ÀĂĂî ý쌪 NE ğŚĺŘ ÂŞ Śû Øþ쌪 üõŚÞŮ
.ÀłŚŞ NE Œþ S ∗ Ćî ćďŘÀœ üõø Ãó Ćî ÀČĂî ťìć .楪 ÀûŘĄą Âþě ŰďĄň ĆŞ ŽÂõ ø ŽÂû ĆĂþÃû ùŚÚœŊ
⎧
⎫
⎨ minimization : max f (S ) ⎬
∗
f (S )
P riceof Anarchy =
∗
⎩ maximization : max f (S ) ⎭
f (S )
ĆÎÖœ þÂţúŞ Ćî ťĺŘ řÜÎõ þŘ ÂÚœŚČŞ Ćî ćĄÈČõ ÓþÂãŮ Price of Stability ôŚœ ŚŞ ýÂÚþć ďŚČãõ ÛŞŚÖõ éÂÏ ďć
:ÂÚþć Űä ĆŞ .ćďŘć
⎧
⎨ minimization : min f (S )
f (S ∗ )
P riceof Stability =
∗
⎩ maximization : min f (S )
f (S )
ĆĂČúŞ ŠŘĄŻ ěŘ üţśÆœ Ćİ ñćŚãŮ
⎫
⎬
⎭
ÂČąŚŮ Ćî ťÆĂþŘ Øþ쌪 Âû éÀû .ÀĂţĺÂÔŞ y ĆŞ x ěŘ Řď üœŚþÂŻ ÀĂûŘĄąüõ v ø u Øþ쌪 2 ÀČĂî ŋÂê :ñŚůõ
ěŘ üãŞŚŮ ñŚþ Âû ÂČąŚŮ ø ćĄÈČõ ÓþÂãŮ ùÀł ŠŚ£ţœŘ ÂČÆõ ýø ď ýŚúóŚþ ÂČąŚŮ ŰďĄň ĆŞ Øþ쌪 Âû ÂČąŚŮ .ÀłŚŞ þÂţÞî
ÂČąŚŮ ÝÞþÃîŚõ ŰďĄň ĆŞŘď social utility .ÀłŚŞ f (le ) = le Ćî ÀČĂî ŋÂê .ťĺŘ (f (le )) ñŚþ öŊ ýø ď ÂŞ 楯Ąõ 
.ťĺŘ ùÀł ùćŘć öŚÈœ Âþě ďć ÓÜţ£õ ŰĎŚ§ ďć ŚûñŚþ ÂČąŚŮ .ťĺŘ öŊ öćÂî ĆĂČÞî éÀû ø ÝþÂČðüõ ÂÑœ ďć ŚûØþ쌪
:ÀþÂČÚŞ ÂÑœ ďć Řď ø ÂŞø ď ÍÜţ£õ ýÄŮŘÂţĺŘ
{(1/2 : A, 1/2 : B), (1/2 : A, 1/2 : B)}
ÅĽ Ţ ťĽ ĺŘ 1 ÂĽ ŞŘÂĽ Ş ÂĽ ČĽ ąŚĽ Ů ťĽ óŚĽ § Ľ þÂĽ ţĽ úĽ Ş ďć öĄĽ İ ø ťĽ ĺŘ 1/2 ∗ 2 + 1/2 ∗ 1 = 1.5 ÂĽ ŞŘÂĽ Ş ťĽ óŚĽ § Ľ þŘ ďć ÂĽ ČĽ ąŚĽ Ů
.P oA = 1.5
1
ŚûŒĂČó þŘ ýø ď ěŘ Řď 1 öŚþÂŻ ÀĂûŘĄąüõ Øþ쌪 m ø ćďŘć 楯ø ŒĂČó m ,Ûśì ñŚůõ ďć Ćî ÀČĂî ŋÂê :ñŚůõ
ÂÑœ ďć Řď S ÍÜţ£õ ýÄŮŘÂţĺŘ .f (S ∗ ) = 1 Ćî ťĺŘ łø ď .ÀþÂČÚŞ ÂÑœ ďć 1 ÂŞŘÂŞ ŘďŚûŒĂČó ĆÞû ťäÂĺ .ÀĂĂî ÛÖţĂõ
Balls and Beans ĆČÌì ÕśÏ ŰďĄň þŘ ďć .ÀþŚÞœ ŠŚ£ţœŘ Řď ŒĂČó Œþ öŚÆØþ ñŚÞţ§Ř ŚŞ Øþ쌪 Âû Ćî ÀþÂČÚŞ
P oA = f (S ) =
v
A
x
u
A
A
2
1
1
2
y
B
log m
log log m
:ÝþďŘć
B
B
ŚûŤĄŮ ćŘÀãŮ þÂţÈČŞ X Ćî ÀČĂî ŋÂê .ÝþěŘÀœŘüõ Àśĺ m ďć öŚÆØþ ñŚÞţ§Ř ŚŞ Řď ŤĄŮ m :Balls & Beans ĆČÌì
:ùŚÚœŊ .ÀłŚŞ Àśĺ Œþ ďć
E(X) = θ(
log m
)
log log m
Maximum Latency
Total Latency
general
2 links
same speed
PoA=1.5
f (le ): Linear
different speed
2.618
PoA=1.618
f (le ): Polynomial of degree d
O(2d ∗ dd+1 ) = Ω(dd/2 )
Řď üþŚûďŚî ŚûČłŚõ Ćî ťĺŘ þŘ éÀû ø ťĺŘ ďŚČţąŘ ďć ČłŚõ m ø ďŚî n ÀČĂî ŋÂê :(Load Balancing) ñŚůõ
ÃČœ ŚûČłŚõ ôŚÞŮ ťäÂĺ .ćďŘć ěŚČœ öŚõě wi ùěŘÀœŘ ĆŞ ôŘi ďŚî .ÀĂûć ôŚźœŘ Řď ùÀł ùćŘć ÉČÊ£Ů ŚúœŊ ĆŞ ýĄ¡œ ĆŞ Ćî
k ČłŚõ ÂČąŚŮ Ćî ÝČĂîüõ ÓþÂãŮ řČŮÂŮ þŘ ĆŞ Řď ĆóŚÆõ Ćî ÀČĂî ŋÂê .楳üõ ĆţêÂð ÂÑœ ďć öŚÆØþ ťóŚ§ þŘ ďć
öŊ ýø ď ÂŞ i ďŚî Ćî ťĺŘ üĂČłŚõ ÂČąŚŮ ÂŞŘÂŞ i ďŚî ÂČąŚŮ ø ÀœĄłüõ ŘÂŻŘ öŊ ýø ď Ćî ťĺŘ üþŚûďŚî ñĄÏ áĄÞźõ ÂŞŘÂŞ
.P oA ≤ 2 −
۲
m+۱
Ćî ÀČĂî ťŞŚŹ .ÝČûćüõ ÇþŚÞœ si ŚŞ Řď ČłŚõ þŘ .ťĺŘ ùÀł ŘÂŻŘ
,1 ČłŚõ ýŚûďŚî ČŞ ďć .l۱ ≥ l۲ ≥ · · · ≥ lm Ćî ÀČĂî ŋÂê .ÝČĂîüõ řŮÂõ öŚłÂČąŚŮ ğŚĺŘÂŞ Řď ŚûČłŚõ ŘÀţŞŘ
:ťłŘć ÝČûŘĄą þŘÂŞŚĂŞ .ÀþÂČÚŞ ÂÑœ ďć ñĄÏ þÂţÞî ŚŞ ďŚî öŘĄĂä ĆŞ Řď w۱
l۱ ≥ l۱ , l۲ + w۱ ≥ l۱ , l۳ + w۱ ≥ l۱ , · · · , lm + w۱ ≥ l۱
2
:þŘÂŞŚĂŞ
li + (m − 1)w۱ ≥ ml۱ => l۱ ≤
i
i li
m
+
m−1
w۱
m
:öĄİ ø
li =
i
wi ≤ m ∗ OP T
i
:ťłŘć ÝČûŘĄą ÅŢ
l۱ ≤ OP T +
m−1
w۱
m
:ťĺŘ ďĄÊœ ÛŞŚì Âþě ťóŚ§ øć
:楳 ôŚźœŘ w۱ ÍÖê 1 ČłŚõ ďć :ñøŘ ťóŚ§
•
OP T ≥ w۱ , f (s) = w۱ => OP T = w۱ => P oA = 1
:楳 ôŚźœŘ 1 ČłŚõ ďć Ýû ýÂÚþć ďŚî w۱ ěŘ ÂČè :ôøć ťóŚ§
l۱ ≥ 2w۱ , l۱ ≤ OP T +
=> l۱ ≤ OP T +
m−۱
m w۱
ÀĽ ČĽ ĂĽ î ŋÂĽ ê :ñŚĽ ůĽ õ .ťĽ ĺŘ 2 −
۲
m+۱
m−۱
l
۲m ۱
=> (1 −
•
m−۱
)l۱ ≤ OP T => P oA =
۲m
l۱
۲m
۲
OP T ≤ m+۱ = 2 − m+۱
ÂĽ ŞŘÂĽ Ş ŽÂĽ õ ø ŽÂĽ û ĆĽ ĂĽ þÃĽ û ŚĽ ÖĽ ČĽ ìć öŊ ďć ĆĽ î ÀĽ ûćüĽ õ öŚĽ ÈĽ œ Řď üĽ ţĽ óŚĽ § ÂĽ þě ñŚĽ ůĽ õ
ýø ď ÂŞ ŚûďŚî þŘ Ćî ťĺŘ ďŘÂì ø ÀĂłŚŞ ĆţłŘć 1 ñĄÏ ĆČÖŞ ø m ñĄÏ ŚúœŊ ěŘŚŮ 2 Ćî ÝČłŚŞ ĆţłŘć ďŚî m(m − 1) + 2
m ñĄÏ ŚŞ ďŚî Œþ1 ČłŚõ Ćî ÀþŊüõ ťĺć ĆŞ üţìø ø ťĺŘ f (S ∗ ) = m + 1 ÂŞŘÂŞ ĆĂČúŞ ťóŚ§ .ÀœĄł ŘÂŻŘ ČłŚõ m
Řď 1 ñĄÏ ŚŞ ďŚî m + 1 ŚûČłŚõ ÂþŚĺ .ÀĂî ÛÞä ñøŘ ČłŚõ ÀĂœŚõ Ýû ôøć ČłŚõ .Àûć ôŚźœŘ Řď 1 ñĄÏ ŚŞ ďŚî Œþ ø
((a) ťóŚ§ ÀĂœŚõ).ÀĂûćüõ ôŚźœŘ
1 1
m
m
m
1
...
m
1
...
1
...
...
1 1
...
1
(a)
(b)
ČŞ 1 ñĄÏ ŚŞ ýŚûďŚî ø ÀœĄł ŘÂŻŘ ñøŘ ČłŚõ ďć m ñĄÏ ŚŞ ďŚî øć öŊ ďć Ćî ÀþÂČÚŞ ÂÑœ ďć Řď (b) üóćŚãŮ ŠŘĄŻ
.P oA =
۲m
m+۱
=2−
۲
m+۱
ø ù楪 f (s) = 2m ŰďĄň þŘ ďć .ÀœĄł âþěĄŮ ŚûČłŚõ ÂþŚĺ
3