Výroková a predikátová logika --

Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Výroková a predikátová logika — část 1
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
1/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
1
Proč formální jazyk?
1
2
2
Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné.
Komunikace s formálními nástroji musí být formální (logické
databáze, umělá inteligence . . . )
Rysy formálního jazyka:
1
2
3
Syntaxe (prvotní) — jak se tvoří fráze jazyka.
Sémantika — co vytvořené fráze znamenají.
Syntaxe řídí sémantiku.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
2/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Výroková a predikátová logika.
1
2
Společné rysy: jde o formální jazyky, v obou lze formalizovat
(některé) české věty.
Základní rozdíly:
1
2
3
4
Výroková logika má malou vyjadřovací schopnost.
Predikátová logika je vícesortová: mluví o objektech a jejich
vlastnostech, umožňuje práci s proměnnými.
Sémantické úvahy o konečně mnoha formulích výrokové logiky
lze plně algoritmizovat (ovšem neefektivně).
Sémantické úvahy o predikátové logice algoritmizovat nelze.
Jde to pro úvahy o konečně mnoha sentencích.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
3/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Dáno:
neprázdná množina At (atomické formule)
(smíme volit: dává vyjadřovací sílu)
s ní disjunktní množina spojek {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬} (u každé
spojky arita)
(nesmíme volit: standardní část)
Syntaxe formulí (Backusova-Naurova forma):
ϕ ::= a | tt | (ϕ ∧ ϕ) | (ϕ ∨ ϕ) | (ϕ ⇒ ϕ) | (ϕ ⇔ ϕ) | (¬ϕ)
kde a ∈ At
Relaxujeme: nepíšeme vnější závorky a ¬ váže nejsilněji.
Zkratka: ff je zkratka za ¬tt.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
4/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Příklad (v relaxované syntaxi)
Je řetězec (x ∨ (z ∧ a)) ⇒ (E ⇔ ¬y ) formule?
NE: x, y , z, a, E jsou neznámé symboly.
MOŽNÁ ANO: musí být x, y , z, a, E ∈ At a řetězec musí být
vytvořen podle pravidel (relaxované) syntaxe: ke zjištění používáme
syntaktické stromy (parsing trees).
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
5/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Definice
Ohodnocení jazyka výrokové logiky je funkce u, definovaná na
všech formulích a mající hodnoty 0 nebo 1. Přitom musí být (pro
libovolné formule ϕ, ψ) splněno:
1
u(tt) = 1.
2
u(ϕ ∧ ψ) = 1 iff u(ϕ) = 1 a současně u(ψ) = 1.
3
u(ϕ ∨ ψ) = 0 iff u(ϕ) = 0 a současně u(ψ) = 0.
4
u(ϕ ⇒ ψ) = 0 iff u(ϕ) = 1 a současně u(ψ) = 0.
5
u(ϕ ⇔ ψ) = 1 iff u(ϕ) = u(ψ).
6
u(¬ϕ) = 1 iff u(ϕ) = 0.
Zápis ohodnocení: pravdivostní tabulka.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
6/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Příklad
Pravdivostní tabulka pro ϕ = (b ⇒ ¬c) ⇔ ((a ∧ c) ⇒ b), kde
a, b, c ∈ At.
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
ϕ
1
1
1
0
1
0
1
0
Jde o (rekursivní) algoritmus!
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
7/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Lemma
Ať formule ϕ obsahuje n atomických proměnných. Potom její
pravdivostní tabulka má 2n řádků.
1
Jiný zápis pravd. tabulky: Karnaughovy mapy — viz cvičení.
2
Jakoukoli sémantickou otázku (o konečně mnoha formulích)
ve výrokové logice lze řešit prohlížením pravd. tabulky (obecně
neefektivní).
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
8/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Definice
Formule ϕ a ψ jsou sémanticky ekvivalentní (jsou synonyma),
pokud platí rovnost u(ϕ) = u(ψ) pro všechna pravdivostní
ohodnocení u. Značíme ϕ |=| ψ.
Příklad
Ať a, b ∈ At. Pak platí a ⇒ b |=| ¬a ∨ b.
Sestavíme pravdivostní tabulku obou formulí (má 22 = 4 řádky):
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a⇒b
1
1
0
1
¬a ∨ b
1
1
0
1
Pro zjištění ϕ |=| ψ nutno projít celou pravd. tabulku!
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
9/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Věta (Vlastnosti sémantické ekvivalence)
1
Je to relace ekvivalence, tj.
1
2
3
2
reflexivita: pro vš. formule α platí α |=| α
symetrie: pro vš. formule α, β platí: jestliže α |=| β, pak β |=| α
tranzitivita: pro vš. formule α, β, γ platí: jestliže α |=| β a
současně β |=| γ, pak α |=| γ
Platí sémantické zákony, například
1
2
spojka ∧ je sémanticky komutativní: pro vš. formule α, β platí:
α ∧ β |=| β ∧ α
sémantický absorpční zákon spojky ∧: pro vš. formule α, β
platí: α ∨ (α ∧ β) |=| α
. . . a řada dalších. Podrobně: skripta z logiky (JV),
věta 2.1.12.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
10/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Definice (Další sémantické pojmy)
1
Formule ϕ je tautologie, když platí ϕ |=| tt
2
Formule ϕ je kontradikce, když platí ϕ |=| ff
3
Ohodocení množiny formulí M: u(M) = 1 iff u(ϕ) = 1 pro
všechna ϕ ∈ M
4
Množina M formulí je splněna v ohodnocení u, když platí
u(M) = 1.
5
Množina M formulí je splnitelná, když existuje ohodnocení u,
ve kterém je splněna.
Pozor na terminologii: splněna vs. splnitelná.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
11/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Příklad
Ať a, b ∈ At a ať M = {a ⇒ b, a ∨ b}.
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a⇒b
1
1
0
1
a∨b
0
1
1
1
1
Druhý řádek tabulky: u(a) = 0, u(b) = 1. Platí u(M) = 1.
Zde je M splněna.
2
Třetí řádek tabulky: u(a) = 1, u(b) = 0. Platí u(M) = 0. Zde
M není splněna.
3
Celkově: M je splnitelná. (Druhý řádek tabulky je svědkem.)
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
12/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Definice (Sémantický důsledek)
Ať M je množina formulí výrokové logiky a ať ϕ je formule
výrokové logiky. Řekneme, že sémantický důsledek M |= ϕ platí,
pokud
pro všechna ohodnocení u platí: u(M) ≤ u(ϕ).
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
13/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Příklad
Ať a, b ∈ At, ať M = {a ⇒ b, a ∨ b} a ϕ = a ∧ b. Platí M |= ϕ ?
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a⇒b
1
1
0
1
a∨b
0
1
1
1
a∧b
0
0
0
1
Tj.: platí u(M) ≤ u(ϕ) na každém řádku?
1
První řádek: 0 = u(M) ≤ u(ϕ) = 0.
2
Druhý řádek: 1 = u(M) 6≤ u(ϕ) = 0.
3
Třetí řádek: 0 = u(M) ≤ u(ϕ) = 0.
4
Čtvrtý řádek: 1 = u(M) ≤ u(ϕ) = 1.
M |= ϕ neplatí (druhý řádek je svědkem).
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
14/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Věta
Ať M je množina formulí výrokové logiky a ať ϕ je formule
výrokové logiky. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:
1
Sémantický důsledek M |= ϕ platí.
2
Množina M ∪ {¬ϕ} není splnitelná.
Důkaz.
Pro lib. ohodnocení u platí: u(M) ≤ u(ϕ) iff u(M ∪ ¬ϕ) = 0.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
15/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Sémantika
Neadekvátnost výrokové logiky
Příklad
Zformalizujte: Nebude-li pršet, nezmoknem.
Příklad
Zformalizujte: Ne každý, kdo hraje na housle, je Sherlock Holmes.
Potíže:
1
Nutnost zavedení proměnných (kvantifikace).
2
Atomické entity dvou typů: objekty a jejich vlastnosti.
Tyto dvě obtíže odstraňuje predikátová logika.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
16/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Jazyk predikátové logiky má dvě sorty:
1
Termy: to jsou objekty, o jejichž vlastnostech chceme hovořit.
Mohou být proměnné.
2
Formule: jsou opět vytvářeny z atomických, ale složitěji, než
ve výrokové logice.
Spojky: ∧, ∨, ⇒, ⇔ a ¬. Nové jsou: ∀ (obecný kvantifikátor)
a ∃ (existenční kvantifikátor).
Navíc: značka = pro rovnost.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
17/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Definice (Jazyk L predikátové logiky)
Je dán:
1
Množinou Var standardních proměnných.
2
Množinou Pred predikátů.
U každého predikátu musí být dána arita, což je přirozené
číslo (smí být i nula).
Množina Pred smí být prázdná.
3
Množinou Func funkčních symbolů.
U každého funkčního symbolu musí být dána arita, což je
přirozené číslo (smí být i nula).
Množina Func smí být prázdná.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
18/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Definice (Termy a formule jazyka L predikátové logiky)
Jsou vytvářeny takto:
1
Termy: t ::= x | f (t1 , . . . , tn ), kde x ∈ Var, f ∈ Func arity n.
2
Formule:
ϕ ::= (t1 = t2 ) | P(t1 , . . . , tn ) | (ϕ1 ∧ ϕ2 ) | (ϕ1 ∨ ϕ2 ) |
(ϕ1 ⇒ ϕ2 ) | (ϕ1 ⇔ ϕ2 ) | (¬ϕ1 ) |
(∀x.ϕ1 ) | (∃x.ϕ1 )
kde t1 , t2 , . . . tn jsou termy, P ∈ Pred arity n, x ∈ Var.
Relaxujeme: nepíšeme vnější závorky a ¬ váže nejsilněji. Další relax
později.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
19/20
Logika jako formální jazyk
Výroková logika
Predikátová logika
Syntaxe
Syntaktická analýza: jako ve výrokové logice (syntaktické stromy).
Každý list úspěšného stromu je obsazen buď standardní proměnnou
nebo funkčním symbolem arity 0 nebo predikátovým symbolem
arity 0.
Jiří Velebil: X01DML
1. října 2007: Logika
20/20