8 Urcitý integrál, krivkový integrál a Cauchyovy integráln´ı vety

KMA/SKA
TEORIE 8
analyza.KMA.zcu.cz
8 Určitý integrál, křivkový integrál a Cauchyovy integrálnı́ věty
8.1 Definice (primitivnı́ funkce).
Necht’ funkce f je definována na oblasti Ω ⊂ C.
Holomorfnı́ funkce F se nazývá primitivnı́ funkcı́ k funkci f na Ω, pokud platı́
∀z ∈ Ω : F 0 (z) = f (z).
R
Množina všech primitivnı́ch funkcı́ k funkci f se značı́ f (z) dz.
8.2 Věta (vlastnosti primitivnı́ch funkcı́).
i) Je-li F primitivnı́ funkce k f na Ω, potom také F + c je primitivnı́ funkcı́ k f na Ω pro
libovolné c ∈ C.
ii) Jsou-li F, G primitivnı́ funkce k f, g na Ω, potom αF + βG je primitivnı́ funkce k αf + βg
na Ω pro libovolné α, β ∈ C.
iii) Integrace per partes: Jsou-li F, G primitivnı́ funkce k f, g v Ω a H je primitivnı́ k f G,
potom (F G − H) je primitivnı́ k F g.
8.3 Definice (určitý integrál).
Má-li funkce f v oblasti Ω ⊂ C primitivnı́ funkci F , pak pro z1 , z2 ∈ Ω definujeme určitý integrál
Zz2
f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ).
z1
Poznámka.
i) Obecně neplatı́, že ke každé funkci spojité na Ω existuje funkce primitivnı́ (jako je tomu u
reálných funkcı́).
ii) Pro existenci primitivnı́ funkce k funkci f na Ω je třeba holomorfnosti funkce f na Ω a
navı́c integračnı́ množina Ω musı́ být jednoduše souvislá oblast.
posledn
zm
ena: 30.11.2009
1
KMA/SKA
TEORIE 8
analyza.KMA.zcu.cz
8.4 Definice (křivkový integrál).
Necht’ (ϕ, ha, bi) je křivka, D : a = t0 < t1 < · · · < tn = b je dělenı́ intervalu ha, bi, n ∈ N. Dále
necht’ kDk = max (tk − tk−1 ) je norma dělenı́ D, zk = ϕ(tk ), k = 0, 1, . . . , n, a τk ∈ htk−1 , tk i
k=1,2,...,n
jsou libovolně zvolené body.
Pak Riemannovým integrálnı́m součtem z funkce f po křivce ϕ nazveme hodnotu
J(D, {τk }) =
n
X
f (ϕ(τk ))(zk − zk−1 ).
k=1
Pokud pro každou posloupnost dělenı́ {Dn }, pro kterou platı́ kDn k → 0 pro n → ∞ a při každé
volbě bodů {τk } existuje konečná limita
lim J(Dn , {τk }) = J,
kDn k→0
nazveme hodnotu limity J křivkovým integrálem funkce f podél křivky ϕ.
R
R
R
f (z) dz.
Křivkový integrál značı́me f (z) dz nebo také f dz nebo přesněji
ϕ
ϕ
hϕi
8.5 Věta (existence křivkového integrálu).
Necht’ (ϕ, ha, bi) je rektifikovatelná křivka a necht’ f je komplexnı́ funkce definovaná, konečná a
spojitá na množině hϕi. Pak existuje křivkový integrál a platı́
Z
Z
Z
f (z) dz = u(x, y) dx − v(x, y) dy + i
v(x, y) dx + u(x, y) dy,
ϕ
ϕ
ϕ
kde integrály na pravé straně jsou křivkové integrály II. druhu.
Poznámka.
i) Pokud křivka (ϕ, ha, bi) splňuje ϕ(t) = t, a, b ∈ R a funkce f je reálná, tj. f (z) = f (x) + i 0,
potom
Z
Zb
n
X
f (z) dz = lim
f (τk )(xk − xk−1 ) = (R) f (x) dx.
n→∞
ϕ
k=1
a
ii) Pokud křivka (ϕ, ha, bi) splňuje ϕ(t) = t, a, b ∈ R a funkce f je komplexnı́ funkce reálné
proměnné, tj. f (z) = u(x) + i v(x), potom
b
Z
b
Z
Z
n
X
f (z) dz = lim
(u(τk ) + i v(τk ))(xk − xk−1 ) = (R) u(x) dx + i (R) v(x) dx.
n→∞
ϕ
posledn
zm
ena: 30.11.2009
k=1
a
a
2
KMA/SKA
TEORIE 8
analyza.KMA.zcu.cz
8.6 Věta (o výpočtu křivkového integrálu).
Je-li f (z) integrovatelná po (po částech) hladké křivce (ϕ, ha, bi), potom
Zb
Z
f (z) dz =
ϕ
f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt.
a
Poznámka.
i) Integrovatelná funkce f (z) je podle věty o existenci křivkového integrálu každá konečná a
spojitá funkce.
ii) Integrál na pravé straně je Riemannův nebo Newtonův integrál reálné funkce reálné proměnné.
8.7 Věta (vlastnosti křivkového integrálu).
Pro libovolnou (po částech) hladkou křivku (ϕ, ha, bi) a integrovatelné funkce f, g platı́:
i) Linearita integrálu:
Z
Z
(αf + βg)(z) dz = α
ϕ
Z
f (z) dz + β
ϕ
g(z) dz;
ϕ
ii) Integrál přes opačně orientovanou křivku:
Z
Z
f (z) dz = − f (z) dz;
ϕ
−̇ϕ
iii) Integrál přes po částech hladkou křivku: Je-li ϕ = ϕ1 +̇ϕ2 +̇ . . . +̇ϕn , potom
Z
f (z) dz =
n Z
X
f (z) dz;
j=1 ϕ
j
ϕ
iv) Substituce: Necht’ g : C → C je funkce se spojitou a nenulovou derivacı́ na okolı́ množiny
hϕi. Pak definuji ψ(t) = g(ϕ(t)) a (ψ, ha, bi) je také hladká křivka v C a platı́
(substituce w = g(z))
Z
Z
f (w) dw = f (g(z)) g 0 (z) dz.
ψ
posledn
zm
ena: 30.11.2009
ϕ
3
KMA/SKA
TEORIE 8
analyza.KMA.zcu.cz
8.8 Věta (vztah křivkového integrálu a primitivnı́ funkce).
Je-li f : C → C spojitá funkce v oblasti Ω ⊂ C, potom následujı́cı́ tvrzenı́ jsou ekvivalentnı́:
i) f má primitivnı́ funkci v Ω.
R
ii) f (z) dz = 0 pro každou uzavřenou křivku ϕ ležı́cı́ v Ω (tj. hϕi ⊂ Ω).
ϕ
iii) Křivkový integrál nezávisı́ na integračnı́ cestě. Tj. jsou-li (ϕ1 , ha1 , b1 i) a (ϕ2 , ha2 , b2 i) dvě
křivky splňujı́cı́ hϕ1 i , hϕ2 i ⊂ Ω a ϕ1 (a1 ) = ϕ2 (a2 ), ϕ1 (b1 ) = ϕ2 (b2 ), potom
Z
Z
f (z) dz = f (z) dz.
ϕ1
ϕ2
8.9 Věta (Cauchyova fundamentálnı́ věta).
Je-li Ω ⊂ C jednoduše souvislá oblast a funkce f je holomorfnı́ v Ω, potom pro každou Jordanovu
křivku ϕ ležı́cı́ v Ω platı́
I
f (z) dz = 0.
ϕ
8.10 Věta (Cauchyova-Goursatova věta).
Necht’ ϕ je Jordanova křivka v C a Ω je vnitřnı́ oblast (vnitřek) křivky ϕ (tj. Ω = Int ϕ).
Jestliže funkce f je holomorfnı́ v Ω, konečná a spojitá v uzávěru Ω = Ω ∪ hϕi, potom platı́
I
f (z) dz = 0.
ϕ
8.11 Věta (Cauchyova-Goursatova věta pro vı́cenásobně souvislou oblast).
Necht’ ϕ, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , n ∈ N, jsou souhlasně orientované Jordanovy křivky v C takové, že
Int ϕj ⊂ Int ϕ pro j = 1, 2, . . . , n a Int ϕj ∩ Int ϕi = ∅ pro i 6= j.
Jestliže funkce f je holomorfnı́ v Ω = Int ϕ − ∪nj=1 Int ϕj , konečná a spojitá v uzávěru Ω, potom
platı́
I
n I
X
f (z) dz =
f (z) dz.
ϕ
posledn
zm
ena: 30.11.2009
j=1 ϕ
j
4
KMA/SKA
TEORIE 8
analyza.KMA.zcu.cz
8.12 Věta (Cauchyův integrálnı́ vzorec).
Necht’ ϕ je kladně orientovaná Jordanova křivka v C a Ω je vnitřek křivky ϕ (tj. Ω = Int ϕ).
Jestliže funkce f je holomorfnı́ v Ω, konečná a spojitá v uzávěru Ω = Ω ∪ hϕi, potom platı́
(Cauchyův integrálnı́ vzorec)
I
f (z)
1
dz.
∀z0 ∈ Ω : f (z0 ) =
2πi
z − z0
ϕ
Navı́c má potom funkce f v Ω derivace všech řádů a platı́ pro ně vyjádřenı́ (zobecněný Cauchyův
integrálnı́ vzorec)
I
n!
f (z)
(n)
∀n ∈ N ∀z0 ∈ Ω : f (z0 ) =
dz.
2πi
(z − z0 )n+1
ϕ
8.13 Věta (existence derivacı́ všech řádů pro holomorfnı́ funkci).
Je-li funkce f holomorfnı́ v otevřené množině M ⊂ C, potom má v M derivace všech řádů
a všechny jejı́ derivace jsou také holomorfnı́ v M .
posledn
zm
ena: 30.11.2009
5