INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd

Transkript

INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ
Fakulta sociálních věd University Karlovy
OBLIGACE
Studijní text č. 3 k předmětu Nástroje finančních trhů
Oldřich Dědek, Česká národní banka
2
A. OBLIGACE
1. Klasifikace obligací
a) podle kupónu
- konvenční obligace (straight, plain vanilla, bullet bond)
vyplácí pravidelný (roční, pololetní) kupón po předem stanovenou dobu,
při dospělosti jednorázová splátka jistiny
- obligace s nulovým kupónem (zero-coupon bond)
veškerý hotovostní tok soustředěn do okamžiku splatnosti
bezkupónové obligace často vznikají porcováním (stripováním) kupónové
obligace
- obligace s variabilním kupónem
velikost kupónu je odvozena od referenční veličiny, což může být pohyblivá
úroková sazba (FRN, floating rate note), inflace (indexovaná obligace),
akciový index, cena suroviny, aj.
- kolateralizovaná obligace
hotovostní tok obligace je odvozen od stanoveného balíku podkladových
aktiv (ABS, asset-backed securities)
- jednorázové (bullet b.) vs. rozvržené (amortised b.) splácení jistiny
b) podle termínu splatnosti
- pevný termín splatnosti
pětiletá (5R) obligace, desetiletá (10R) obligace, apod.
- bez stanoveného termínu splatnosti
konzol, perpetuita
- variabilní termín splatnosti
přivolatelná obligace (callable bond)
termín splatnosti může dle uvážení zkrátit emitent obligace
tato opce bývá využívána, lze-li stávající obligaci nahradit obligací
vyplácející nižší kupón
odvolatelná obligace (puttable bond)
termín splatnosti může dle uvážení zkrátit držitel obligace
- konvertibilní obligace
3
při splatnosti lze danou obligaci vyměnit za jinou obligaci nebo za akcii
c) podle emitenta
- vládní, komunální, podniková (korporátní) obligace
- domácí (emitent je rezident) vs. zahraniční (emitent je nerezident) obligace
barvité názvy: Samurai (Japonsko), Yankee (USA), Bulldog (UK), Matador
(Španělsko), Kiwi (Nový Zéland), Alpine (Švýcarsko)
v obou případech je obligace denominována v rezidentní měně
- euroobligace (obligace emitovaná v nerezidentní měně)
d) podle rizika úvěruhodnosti (default risk, credit risk)
stupnice ratingových agentury pro kreditní riziko emitenta
Standard & Poor's, Moody's, Fitch
stupně: investiční, spekulační, póvl obligace (junk bond)
2. Oceňování obligací
korektní cena (fair price) je definována jako současná hodnota budoucího hotovostního
toku obligace
P ... cena obligace, M ...nominální hodnota (jistina), c ... kupónová sazba,
C ( = cM ) ... velikost kupónu, r … diskontní sazba (výnosová míra),
T …doba do splatnosti
a) roční diskontování ročních kupónových plateb:
T
P=
cM
∑ (1 + z )
t =1
t
t
+
M
(1 + z T )T
plochá výnosová křivka ( z t = r )
T
P=
cM
∑ (1 + r )
t =1
t
+
M
(1 + r )T
= cM
1 − (1 + r )−T
M
+
r
(1 + r )T
inverzní vztah ceny a diskontní sazby (výnosu do splatnosti)
c = r ⇒ P = M (obligace s prodává za pari čili za svoji nominální
hodnotu)
zohlednění narostlého kupónu (τ … počet dní do nejbližší výplaty kupónu)
P=
1
(1 + r )
τ
360
⎛
CT
C
× ⎜C +
+ ... +
⎜
1+ r
(1 + r )T
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
4
perpetuita (perpetuity, console)
∞
P=
cM
∑ (1 + r )
t
t =1
=M
c
r
b) pololetní diskontování pololetních kupónových plateb
P=
C/2
C/2
C/2+ M
+
+K+
2T
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞2
⎛ r⎞
⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟
1
+
⎜
⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
c) pololetní diskontování ročních kupónových plateb (kupón vyplácen na konci roku,
úročí se pololetně)
P=
C
⎛
⎜1 +
⎝
r⎞
⎟
2⎠
2
+
C
⎛
⎜1 +
⎝
r⎞
⎟
2⎠
4
+ K+
C+M
r⎞
⎛
⎜1 + ⎟
2
⎝
⎠
2T
d) roční diskontování pololetních kupónových plateb (kupón vyplácen pololetně, úročí
se ročně)
P=
C/2
(1 + r )
1/ 2
+
C/2
C/2+ M
+K+
(1 + r )
(1 + r )T
3. Narostlý kupón
plná cena (full price, dirty price) je cena obligace stanovená na bázi diskontované
hodnoty veškerého budoucího hotovostního toku z obligace (tržní cena obligace)
čistá cena (clean price) je plná cena snížená o narostlý kupón (kótovaná cena obligace)
narostlý (naběhlý) kupón (accrued coupon) je částka, kterou je při směně obligace
kompenzován prodávající resp. kupující za neobdržení alikvotní části kupónu
Ct ... dny výplaty kupónu, celý kupón vyplacen zaregistrovanému držiteli
obligace
Xt ... den bez dividendy (ex-dividend day), je důležitý pro určení příjemce
narostlého kupónu
a) obligace prodána v čase t1 (před dnem bez dividendy)
celý příští kupón C2 připadne kupujícímu (obligace je prodána
s dividendou), prodávající proto musí být kompenzován za držení obligace v
období (C1, t1)
5
⇒ zaplacená cena bude vůči čisté ceně vyšší o cM ×
t1 − C1
365
b) obligace prodána v čase t2 (po dni bez dividendy)
celý příští kupón C2 připadne prodávajícímu (krátká doba pro přeregistraci),
kupující proto musí být kompenzován za držení obligace v období (t2, C2)
⇒ zaplacená cena bude nižší o cM ×
C2 − t 2
365
t2
X1
C1
X2
t1
X3
C2
C3
čistá cena
4. Měření výnosů obligace
a) výnos do splatnosti (yield to maturity, YTM)
diskontní sazba, při které se diskontovaný hotovostní tok rovná ceně obligace
je dána řešením rovnice
T
P=
cM
∑ (1 + r )
t
t =1
+
M
(1 + r )T

Obligace má plnou cenu 96,50 $ a anualizovaný kupón (vyplácený pololetně) 8,75 $. Zbývá jí
právě jeden rok do splatnosti. Jaký je její výnos do splatnosti?
96,50 =
8,75 / 2 100 + 8,75 / 2
+
2
r
r⎞
⎛
1+
⎜1 + ⎟
2
⎝
2⎠
⇒ r = 12,58 %

omezení: i) ignorováno reinvestiční riziko
P(1 + r ) = C(1 + r )
T
T −1
+ C(1 + r )
T −2
+ ... + C + M
levá strana: výnos ze zainvestované částky ve výši ceny obligace
pravá strana: koncová hodnota průběžně reinvestovaných kupónů
ekvivalence obou investičních příležitostí nastává pouze v případě, že
všechny kupóny lze reinvestovat za YTM sazbu
6
ii) výnos do splatnosti nezajímavý v případě prodeje obligace před
splatností
b) faktický výnos obligace
výnos do splatnosti je nahrazen explicitním odhadem budoucích reinvestičních
sazeb
PB (1 + r )T = C (1 + r1 )T −1 + C (1 + r2 )T − 2 +K+ C + PS
PB ... kupní cena obligace, PS ... očekávaná prodejní cena obligace, rt ...
očekávané reinvestiční sazby
omezení: nejistota odhadů budoucích úrokových sazeb
c) běžný výnos (current yield)
r=
kupón
čistá cena
omezení: nebere v úvahu kapitálový zisk/ztrátu, proto je vhodný pro obligace s
dlouhou dobou do splatnosti, kdy je kapitálový zisk méně významný
d) jednoduchý výnos do splatnosti
kupón +
r=
odkupní cena − čistá cena
roky do splatnosti
čistá cena

Obligace s kupónem 8,75 $ na 100 $ nominále je zakoupena za 95,3 $ a držena dva roky do
splatnosti.
jednoduchý výnos =
8,75 +
100 − 93,5
2
= 9,18 (běžný výnos) + 3,41 (kapitálový zisk)
95,3
= 12,59 %

e) výnos peněžního trhu
obligace krátce před splatností představuje krátkodobou investiční příležitost, jejíž
výnosnost je třeba porovnat s ostatními instrumenty peněžního trhu
použity konvence peněžního trhu (přesný počet dní v měsíci, jednoduché úročení, aj.)
7
f) paritní výnos
kupónová sazba, při které se cena obligace rovná své nominální hodnotě
paritní výnos pro T-letou splatnost se získá řešením rovnice
T
P=
rT M
∑ (1 + z )
t =1
t
+
t
M
(1 + zT )T
kupón pari obligace je současně jejím výnosem do splatnosti
odvození pari sazeb z nulových sazeb:
dt =
1
(1 + z t )
t
; rT =
1− dT
T
∑d
;
t
t =1
dt je diskontní faktor t-leté bezkupónové obligace
8
B. ANALÝZA VÝNOSOVÉ KŘIVKY
1. Empirická výnosová křivka
Výnosová křivka (yield curve) resp. splatnostní struktura úrokových sazeb (term
structure of interest rates) je funkční vztah mezi výnosovou mírou a splatností
je konstruovaná z existujících obligací téže třídy rizika (vládní dluhopisy, podnikové
obligace, apod.)
rostoucí
výnos do splatnosti
klesající
(revertovaná)
plochá
s hrbem
doba do splatnosti
nedostatky:
- implicitní předpoklad, že kupón je reinvestován při úrokové sazbě rovné výnosu
do splatnosti (abstrahováno od reinvestičního rizika)
- souběžná existence obligací se stejnou splatností ale rozdílným kupónem a tržní
cenou (proto i s odlišným výnosem do splatnosti)
2. Křivka nulových sazeb (zero-coupon yield curve)
t-letá nulová sazba (zt) je výnos t-leté bezkupónové obligace
P=
M
(1 + z t )t
⎛M ⎞
⇒ zt = ⎜ ⎟
⎝ P⎠
1/ t
−1
výnosy bezkupónových obligací nejsou vždy přímo pozorovatelné, odvozují se však
z výnosů dostupných obligací metodou extrakce (bootstrapping)
porcování obligace (stripping)
při absenci arbitrážových příležitostí by se současná hodnota obligace vyplácející
kupón měla rovnat současné hodnotě souboru bezkupónových obligací, jejichž
hotovostní tok je replikou hotovostního toku podkladové obligace
9
Obligace
C
C
C
CP1
CP2
CP3
C
C
C
C+M
CPT
C+M
formulace problému:
na trhu lze odpozorovat výnosy r1 , r2 ,..., rT kupónových pari obligací se
splatnostmi 1, 2, …, T
pari obligace je taková obligace, která se prodává za svoji nominální
hodnotu, takže její kupón se současně rovná výnosu do splatnosti (obecně se
dá použít jakákoli sada obligací, výsledek porcování však bude tímto
arbitrárním rozhodnutím ovlivněn)
hledá se soubor nulových sazeb z1 , z 2 ,..., zT jako výnosů hypotetických
bezkupónových obligaci
• nulová sazba pro jednoletou splatnost
jednoletá obligace je bezkupónová obligace
z1 = r1
⇒
• nulová sazba pro dvouletou splatnost
současná hodnota pari obligace:
r2
r +1
+ 2
=1
1 + r2 (1 + r2 )2
současná hodnota rozporcované pari obligace:
r2
r +1
+ 2
1 + z1 (1 + z 2 )2
absence arbitrážových příležitostí zajišťuje rovnost obou výrazů, což implikuje
jednu rovnici pro neznámou z2
1=
r2
r +1
+ 2
1 + z1 (1 + z 2 ) 2
10
alternativní odvození: zakoupení dvouleté pari obligace a současně emitování jednoleté
obligace o nominální hodnotě rovné diskontované hodnotě prvního kupónu dvouleté
obligace
t = 0 : − 1 + r2 (1 + z1 )
t = 1 : r2 − r2
t = 2 : r2 + 1
výnos investice do syntetické dvouleté bezkupónové obligace
1 + z2 =
r2 + 1
(shodný výsledek s předchozím postupem)
r2
1−
1 + z1
• nulová sazba pro T-letou splatnost
při postupné znalosti sazeb z1 , …, zT-1 lze zT získat řešením rovnice
rT
rT + 1
+
(1 + z t ) t (1 + zT ) T
T −1
1= ∑
t =1

Stanovení nulových sazeb pro zadanou splatnostní strukturu
Splatnost
rt
zt
1
10,00
10,00
2
10,25
10,26
3
10,75
10,83
z1 = r1 = 10,00 ,
1=
0,1075
0,1075
1=
(1 + 0,10)
1
+
0,1025
(1 + 0,10)
(1 + 0,1026 )
1
2
+
+
1 + 0,1025
(1 + z 2 )2
,
1 + 0,1075
(1 + z 3 ) 3

praktické problémy. - volba reprezentanta mezi kupónovými obligacemi dané splatnosti
(pari výnosy nemusí být vždy k dispozici)
- mezery ve splatnostech (použity techniky interpolace výnosů a
prokládání výnosové křivky ¨
11
3. Implikované forwardové sazby
implikovaný forwardový výnos (forward-forward yield) je teoretický výnos
bezkupónové obligace dané splatnosti zakoupené ve stanoveném budoucím
okamžiku
tft+p
... výnos p-leté bezkupónové obligace nabyté ode dneška za t období
(symbolika FRA: 3*6, 6*12, apod.)
vztah nulových a forwardových sazeb
investiční alternativy:
- zakoupení dvouleté bezkupónové obligace o dnes známém výnosu z2
- zakoupení jednoleté obligace o dnes známém výnosu z1 a reinvestování výtěžku
opět do jednoleté obligace o dnes neznámém výnosu 1f2
absence bezrizikové arbitráže:
(1 + z1 ) × (1+1 f 2 ) = (1 + z 2 )2
(1 + z 2 ) = (1+ 0 f1 ) × (1+1 f 2 )
nulová sazba je geometrickým průměrem forwardových sazeb (z1 = 0f1)
obecný vztah nulových a forwardových sazeb
(1 + zT )T = (1+ 0 f1 ) × (1+1 f 2 )× ...× (1+ T −1 f T )
t
T −t
= (1 + z t ) × (1+ t f T )
zt ... nulová sazba t-leté bezkupónové obligace (t = 1,...,T)
tf T
... (T-t)-letá forwardová sazba očekávaná ode dneška za t období
predikování úrokových sazeb
expektační hypotéza: implicitní forwardová sazba je nejlepším odhadem budoucí
úrokové sazby
E (t zt+ p ) = t f t+ p
rostoucí výnosová křivka (z1 < z2) implikuje očekávání růstu úrokových sazeb
(1 + z1 ) × (1+1 f 2 ) = (1 + z 2 )2 > (1 + z1 )2
E ( 1 z 2 ) = 1 f 2 > z1
klesající výnosová křivka (z1 > z2) implikuje očekávání na pokles sazeb

12
Na trhu lze pozorovat výnos jednoleté, resp. dvouleté obligace ve výši 6,5 %, resp. 7 %. Jaký
jednoletý výnos trh momentálně očekává ode dneška za rok?
1,065 * (1+ 1 f 2 ) = 1,07 2
1 f2 =
1,07 2
− 1 = 7,5 %
1,065
Trh očekává růst výnosů čili pokles cen obligací.

nulové sazby
sazby očekávané za rok
sazby očekávané za dva roky
1
2
3
T-1
4. Oceňování obligací s pohyblivým kupónem
hotovostní tok obligace s pohyblivým kupónem je odvozen od budoucích (dnes
neznámých) sazeb
lze aplikovat forwardové sazby jako nejlepší dostupnou prognózu
⇒ očekávaný hotovostní tok = r1 M , 1 f 2 M , 2 f 3 M ,...,
diskontován nulovými sazbami zt
r1 = z1
(1 + z t ) t (1+ t f t +1 ) = (1 + z z +1 ) t +1
f M +M
T −1 T
T
13
a) hodnota obligace bezprostředně po vyplacení kupónu
Pfloat =
z1 M
f M
f M
M
+ 1 2 2 +K+ T −1 T T +
(1 + z1 ) (1 + z 2 )
(1 + zT ) (1 + zT )T
T −1
⎡ z1
⎡ (1 + z t +1 )t +1 ⎤ ⎤
1
M
= M⎢
+∑
− 1⎥ ⎥ +
t
T
t +1 ⎢
⎥⎦ ⎥⎦ (1 + z T )
⎣⎢ (1 + z1 ) t =1 (1 + z t +1 ) ⎢⎣ (1 + z t )
T −1 ⎡
⎡ z
⎤⎤
1
1
M
+
= M ⎢ 1 + ∑⎢
−
T
t
t +1 ⎥ ⎥
⎢⎣ (1 + z1 ) t =1 ⎢⎣ (1 + z t ) (1 + z t +1 ) ⎥⎦ ⎥⎦ (1 + z T )
⎤
⎡ z
1
1
M
+
= M⎢ 1 +
−
T ⎥
T
⎣ (1 + z1 ) (1 + z1 ) (1 + z T ) ⎦ (1 + z T )
M
M
=M−
+
=M
T
(1 + zT ) (1 + zT )T
obligace s pohyblivým výnosem se prodává za nominální hodnotu
rovnost ceny a jistiny vyplývá i z ocenění obligace na bázi výnosu do splatnosti
jestliže c = r (kupónová sazba se rovná aktuální výnosové sazbě), potom
T
P=∑
t =1
rM
(1 + r )
t
+
M
(1 + r )
T
= rM
⎡
1
−T
= M ⎢1 − (1 + r ) +
(1 + r )T
⎣
1 − (1 + r )
r
−T
+
M
(1 + r )T
⎤
⎥=M
⎦
b) hodnota obligace v mezidobí mezi dvěma platbami kupónu
τ
0
∆
6
12
18
∆ … okamžik výplaty nejbližšího kupónu
τ … okamžik propočtu ceny obligace
z ∆ … nulová sazba pro časový interval (0, ∆)
zτ … nulová sazba pro časový interval (τ, ∆)
Pfloat =
∆
z ∆ × 360
×M +M
−τ
1 + zτ × ∆360
blíží-li se okamžik τ k nule (stanovení ceny se provádí bezprostředně po výplatě
kupónu), cena Pfloat se blíží k nominální hodnotě
♦
14
Obligace o nominální hodnotě 100 mil EUR vyplácí kupón v pravidelných šestiměsíčních
intervalech indexovaný sazbou 6M Libor. Jakou hodnotu má obligace, jestliže k nejbližší
výplatě kupónu zbývají 2 měsíce? Aktuální 2M Libor činí 6,5 % a 6M Libor platný před 4
měsíci byl 7,5 %.
Pfloat = 100 ×
1 + 0,07 × 126
= 102,39 mil EUR
1 + 0,065 × 122
5. Indexovaná obligace (index-linked bond)
vlastnosti: - velikost výplaty kupónu i jistiny je vázána na hodnotu určitého indexu
(index spotřebitelských cen, index cen komodit, akciový index, apod.)
- velikost kupónu má charakter konstantního reálného výnosu (nižší
hodnota ve srovnání s kupónem tradiční obligace)
platba kupónu = kupónová sazba × jistina ×
It
Ib
IT
Ib
Ib, It , IT …hodnota indexu v okamžiku emise obligace, výplaty
splátka jistiny = jistina ×
kupónu a splátky jistiny
při indexaci pomocí CPI se aplikují zpožděné hodnoty indexu (v UK platné před 8
měsíci)
důvod: - zpoždění ve statistickém vykazování (v červnu publikován index o
inflaci za květen)
- po celé kupónové období je nutné znát velikost narostlého kupónu
(pololetní vyplácení vyžaduje zpoždění 6 měsíců)
- zvládnutí administrativy s vyplácením kupónu
nominální a reálný výnos
r… nominální výnos, ρ … reálný výnos, π … míra inflace
Fisherova rovnice: (1 + r ) = (1 + ρ ) × (1 + π )
15
Pfloat =
(C + M )(I T I b )
C ( I 1 I b ) C (I 2 I b )
+
+ ... +
2
1+ r
(1 + r )
(1 + r )T
(C + M )(1 + π )
C (1 + π )
C (1 + π )
+ ... +
=
+
2
2
(1 + ρ )(1 + π ) (1 + ρ ) (1 + π )
(1 + ρ )T (1 + π )T
a +1
a+2
a +T
C
C+M ⎤
a⎡ C
= (1 + π ) ⎢
+
+
+
...
2
(1 + ρ )T ⎥⎦
⎣1 + ρ (1 + ρ )
(1 + π ) a je inflace v období mezi okamžikem emitování indexované
obligace a okamžikem propočtu ceny obligace
vyrovnávací inflace (break-even inflation)
hypotetická míra inflace, která vyrovnává nominální výnos indexované obligace
s výnosem konvenční obligace téže splatnosti
indikátor očekávané inflace v případě, že ve výnosech obou typů obligací
je inflace správně ohodnocena
přizpůsobovací mechanismus: vyrovnávací inflace < očekávaná inflace
⇒ investoři preferují indexované obligace před konvenčními
(indexovaná obligace bude vyplácet vyšší kupón ve srovnání
s kupónem, který indexovanou obligaci činí stejně výhodnou
jako neindexovanou obligaci)
vyšší poptávka po indexované obligace zvyšuje její cenu (a
snižuje její výnos), což přibližuje vyrovnávací inflaci
k očekávané inflaci
16
C. MĚŘENÍ ÚROKOVÉHO RIZIKA
1. Rizika spojená s držením obligace
- úrokové riziko (cenové riziko, tržní riziko)
riziko kapitálové ztráty v důsledku nepříznivého vývoje úrokových sazeb
(nepřímý vztah mezi výnosem a cenou obligace)
nevztahuje se na držení obligace do doby splatnosti
- reinvestiční riziko
riziko, že průběžně přijímané kupónové platby budou reinvestovány za nižší
úrokové sazby
- riziko nedodržení závazků (kreditní riziko, riziko finančního selhání)
riziko, že emitent nedostojí závazkům z obligace (neplacení kupónu nebo
jistiny)
- riziko přivolání
riziko, že emitent využije přivolatelnou doložku (call provision) opravňující ke
dřívějšímu splacení obligace (vyšší sazby snižují placenou cenu přivolané
obligace, nižší sazby umožňují nahradit původní obligaci novou obligací platící
menší kupón)
- inflační riziko
riziko, že inflace znehodnotí realizovaný výnos obligace
(7 % výnos při 10 % inflaci není zajímavý)
- kurzové riziko
relevantní pro obligace, jejichž platby jsou denominovány v zahraniční měně
(zahraniční obligace)
- likviditní riziko
riziko, že na nelikvidním trhu větší obchodovaný objem může podstatně
rozhýbat ceny a vést k velkým kapitálovým ztrátám
mírou likviditního rizika je dealerský spread
není relevantní pro investora držícího obligaci do splatnosti
17
2. Durace obligace (duration)
durace představuje průměrnou dobu čekání na hotovostní tok obligace
okamžik přijetí hotovostního toku je vážen podílem současné hodnoty tohoto toku
na celkové současné hodnotě (což je cena obligace)
Macaulayova durace (D)
T
D=∑
t =1
=
M / (1 + r )
C / (1 + r )
×t +
×T
P
P
t
T
C T
t
M
T
+
×
∑
t
P t =1 (1 + r )
P (1 + r )T
součet vah =
1⎡T
C
M
+
⎢∑
t
P ⎣ r =1 (1 + r ) (1 + r )T
modifikovaná durace (DM) =
⎤ 1
⎥ = × P =1
⎦ P
Macaulayova durace
1+ r

Nechť P = M = 100 Kč, C = 10 Kč, T = 3 roky, r = 10 %.
D=
10 ⎡ 1
2
3 ⎤ 100 3
+ 2 + 3⎥+
⋅
⎢
100 ⎣1,1 1,1 1,1 ⎦ 100 1,13
= 2,74 let
Průměrná doba hotovostního toku obligace (Macaulayova durace) činí 2,74 let. Modifikovaná
durace je 2,49 let.

a) durace je menší nebo rovna splatnosti obligace
D≤T
rovnost definičně nastává u bezkupónové obligace, která veškerý
hotovostní tok soustřeďuje do okamžiku splatnosti obligace
b) durace portfolia obligací je váženým součtem durací jednotlivých obligací
(váženo podílem hodnoty obligace na celkové hodnotě portfolia)
D( B1 + B2 ) = w1 D( B1 ) + w2 D( B2 )
18
c) durace je mírou úrokového rizika (rovná se elasticitě ceny obligace vzhledem k
výnosové míře obligace)
T
P=∑
t =1
C
(1 + r )
t
+
M
(1 + r )T
T
dP
t
M ×T
= −C ∑
−
t +1
d (1 + r )
(1 + r )T +1
t =1 (1 + r )
dP / P
dP
1+ r
=
×
= −D
d (1 + r ) / (1 + r )
P
d (1 + r )
resp.
∆P = − P ×
∆r
× D = P × ∆r × D M
1+ r
čím nižší je durace (tj.obyčejně čím kratší je splatnost), tím méně je cena obligace
citlivá na fluktuace úrokových sazeb

O kolik procent se sníží cena obligace s parametry převzatými z předchozího příkladu, zvýšíli se požadovaný výnos u obligací téže třídy z 10 na 10,5 %?
∆P
D
=−
× ∆r
P
1+ r
2,74
=−
× 0,005 = −1,25 %
1,1
Cena obligace klesne o 1,25 %.

ln P
ln P+
D
ln (1+ r*)
ln (1+r)
19
d) grafické znázornění
durace je mírou úrokového rizika prvního řádu (při větších změnách úrokových
sazeb se chyba aproximace zvyšuje)
D=−
d ln P
dP / P
=−
d (1 + r ) / (1 + r )
d ln (1 + r )
3. Konvexnost obligace
míra úrokového rizika druhého řádu
ln P
A
B
B
A
ln (1+r)
obligace A a B mají stejnou duraci (stejný sklon tečny) a přesto je B
atraktivnější (B vykazuje větší růst ceny při poklesu a menší pokles ceny
při růstu úrokových sazeb)
∆P = f ′(1 + r )d (1 + r ) + 12 f ′′(1 + r )d (1 + r ) + K
2
dP
dr 1 d 2 P
dr 2
∆P
=
× +
×
P
d (1 + r ) P 2 d (1 + r ) 2
P
=−
K=
d 2P
d (1 + r )
2
D
1
∆r + K∆r 2
1+ r
2
⋅
1 C T t (t + 1)
M T (T + 1)
+
= ∑
t +2
P P t =1 (1 + r )
P (1 + r ) T + 2

O kolik procent se sníží cena obligace s parametry převzatými z předchozího příkladu,
vezme-li se navíc v úvahu konvexnost obligace?
20
K=
10 ⎡1 × 2 2 × 3 3 × 4 ⎤ 100 3.4
+
+ 5 ⎥+
×
= 8,76
100 ⎢⎣ 1,13 1,14
1,1 ⎦ 100 1,15
∆P
1
2,74
=−
× 0,005 + × 8,76 × 0,005 2
P
2
1,1
= −0,01245 + 0,00011 = −1,234 %
Cena obligace poklesne o 1,234 %, tj. o 1,1 p.b. méně ve srovnání s propočtem, který
nepřihlíží ke konvexnosti obligace.

4. Imunizace portfolia obligací
Imunizace je technika zajištění hodnoty portfolia obligací proti pohybu úrokových
sazeb
růst sazeb ⇒ i) cenové riziko (pokles cen obligací způsobující kapitálovou ztrátu
ii) reinvestiční riziko (vyšší výnos z reinvestovaných kupónů)
pokles sazeb ⇒ opačné důsledky
pravidlo imunizace: durace portfolia se rovná okamžiku zajištění portfolia proti pohybu
úrokové sazby (vzájemná kompenzace cenového a reinvestičního rizika)

Je dána obligace s těmito parametry: cena P = 114,28 , splatnost T = 5 let, kupón C = 13,77,
výnos r = 10 %, jistina M = 100.
D=
=&
2
3
4
5 ⎞ M
5
C⎛ 1
⎜⎜
⎟+
+
+
+
+
×
2
3
4
5 ⎟
P ⎝ (1 + r ) (1 + r )
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r ) ⎠ P (1 + r ) 5
13,77
500
× 10,69 +
× 0,62 =& 4 roky
114,28
114,28
roky
CF
1
13,77
13,77*(1,09)3
13,77*(1,11)3
2
13,77
13,77*(1,09)2
13,77*(1,11)2
3
13,77
13,77*(1,09)
13,77*(1,11)
4
13,77
13,77
13,77
5
113,77
∑
9%
11 %
113,77/(1,09)
113,77/(1,11)
167,30
167,30
21
reinvestiční výnos = 13,77 [(1 + r)3 + (1 + r)2 +(1 + r) + 1]
kapitálový výnos
= 113,77 / (1 + r)
fixovaná výnosová míra
4
167,30
− 1 = 10 %
114,28

imunizační riziko: vzniká při neparalelním posunu výnosové křivky, načež reinvestiční a
úrokové riziko není vzájemně kompenzováno
s pohybem tržních úrokových sazeb se mění také durace portfolia, na
což reagují techniky přeskupování (znovuvyvažování, rebalacování)
portfolia
prodlužování a zkracování durace (duration trading)
očekávaný růst úrokových sazeb ⇒ zkracování durace obligačního portfolia (při
kratší duraci růst úrokových sazeb vyvolá menší pokles celkové hodnoty obligací)
očekávaný pokles úrokových sazeb ⇒ prodlužování durace obligačního portfolia (při
delší duraci pokles úrokových sazeb vyvolá vyšší růst celkové hodnoty obligací)
i) užití spotového trhu
zkracovat duraci lze prodejem delších a nákupen kratších splatností
prodlužovat duraci lze nákupem delších a prodejme kratších splatností
VP = VK + VD
D P = wK D K + wD D D
VP resp. DP … hodnota resp. durace obligačního portfolia
VK resp. DK … hodnota resp. durace krátkodobých obligací ( wK = VK VP )
VD resp. DD … hodnota resp. durace dlouhodobých obligací ( wD = VD VP )
krátkými prodeji lze docílit hodnoty vah menší než 0 či větší než 1
ii) užití futuritního trhu
sestavení kombinovaného portfolia (VP) z portfolia obligací (VB) a futuritních
kontraktů (n×vP)
22
VP = VB ± n × v F
⎛
D ⎞
DP = wB DB ± wF DF = DB + θ × DF , θ = wF ⎜⎜ ± 1 − B ⎟⎟
DF ⎠
⎝
kladné resp. záporné znaménko značí nákup resp. prodej futuritních kontraktů
prodloužení durace (θ > 0): nákup futuritních kontraktů s durací delší než je
durace obligačního portfolia
zkrácení durace (θ < 0): nákup futuritních kontraktů s durací kratší než je durace
obligačního portfolia nebo prodej jakýchkoli futuritních kontraktů
23
D. REPO
1. Standardní repo
repo (sale and repurchase agreement) je dohoda o prodeji cenného papíru a současně o
jeho pozdějším odkupu (v jednom kontraktu jsou svázány dvě transakce)
rozdíl mezi prodejní a odkupní cenou podkladového aktiva je odvozen z dohodnuté
úrokové sazby (repo sazby)
Obligace
Hotovost
Dealer
Investor
Hotovost + úrok
Obligace
právní obsah: cenný papír je předmětem úplatné směny, čemuž odpovídá transfer
vlastnictví CP mezi účastníky transakce (prodávající vs. kupující)
ekonomický obsah: cenný papír má charakter zástavy za poskytnutou peněžní půjčku
(zapůjčovatel vs. vypůjčovatel)
terminologie (řídí se pohledem cenného papíru)
prodávající repa (vypůjčovatel) je prodávající obligace
kupující repa (zapůjčovatel, investor) je kupující obligace
reverzní repo: nákup a zpětný prodej cenného papíru (repo operace z pohledu
druhého účastníka transakce)
vlastnictví
právní nárok na kupón v průběhu repo operace má vlastník obligace, který však
kupón transferuje prodávajícímu obligace, neboť z ekonomického hlediska
obligace plní funkci zástavy (zapůjčovatel je kompenzován repo sazbou)
ekonomickému (a nikoli právnímu) vlastníkovi náleží i kapitálový zisk/ztráta
z cenového pohybu obligace
24
netting při úpadku dlužníka (věřitel si ponechává zastavený cenný papír)
motivace repo operace
motivace hotovostí (cash-driven repo): primárním důvodem je potřeba vypůjčit si či
zapůjčit hotovost
motivace cenným papírem (security-driven repo): primárním důvodem je potřeba
vypůjčit si určitý cenný papír, tzv. speciál (obyčejně vyjednání výhodnější repo
sazby pro poskytovatele speciálu)
♦
Doba repa = 28 dní, repo sazba = 4,0 %, kolaterál = marková obligace s 8,5 % kupónem
vypláceným ročně, součástí ceny je narostlý kupón za 111 dní, tržní cena obligace (čistá) =
108,95 (na 100 DEM nominále), motivace repa = vypůjčení obligací o nominálu DEM
60.000.000.
zahájení repa:
narostlý kupón =
111
x 8,5 = 2,621 DEM
360
plná cena = 108,95 + 2,621 = 111,571 DEM
protihotovost za obligace = 60.000.000 x
111,571
= 66.942.600 DEM
100
DEM 60.000.000 obligace
Vypůjčovatel
Zapůjčovatel
DEM 66.942.600 hotovost
ukončení repa:
úrok = 66.942.600 x 0,04 x
28
= 208.266 DEM
360
protihotovost za obligace = 208.266 + 66.942.600 = 67.150.866 DEM
DEM 60.000.000 obligace
Vypůjčovatel
Zapůjčovatel
DEM 67.150.866 hotovost
♦
tržní aktualizace
25
tržní hodnota obligace = zápůjčka proti obligaci × (1 ± zástřih)
zástřih (haircut) je forma počáteční zálohy
kladný zástřih ⇒ přezajištění peněžní zápůjčky (např. o 2 %)
záporný zástřih ⇒ podzajištění peněžní zápůjčky (dáno úvěruhodností a
negociační silou protistran)
přeceňování hodnoty CP v zájmu udržení adekvátního jištění peněžní půjčky
pokles ceny obligace ⇒ zapůjčovatel provádí výzvu k doplnění zálohy (margin
call) a vypůjčovatel je povinen zvýšit jištění dodáním většího počtu CP nebo
dorovnáním hotovosti
zvýšení ceny obligace ⇒ vypůjčovatel provádí výzvu a zapůjčovatel musí vrátit
nadbytečný počet obligací
substituce
právo prodávajícího měnit v průběhu repo kontraktu pokladový kolaterál, pokud je
protistranou akceptovatelný
maximální počet substitucí obyčejně dopředu dohodnut
netting při bankrotu dlužníka
možnost realizace
křížové měnové repo (cross-currency repo)
odlišná měnová denominace CP a hotovostního toku (např. jištění půjčky v EUR
pomocí obligaci denominované v USD)
vyšší nároky na doplňování zálohy v důsledku kurzových pohybů
ukončení repo operace
termínové repo ... doba mezi prodejem a zpětným nákupem je předem dohodnuta
(jeden den až několik měsíců)
otevřené repo ... možnost některé z protistran kdykoliv ukončit repo operaci
(rolování repa na denní bázi)
2. Účastníci repo operací
a) obchodníci s obligacemi
i) financování dlouhé pozice (zakoupení obligace)
26
obvyklé situace: obchodník spekuluje na růst ceny obligace, zájem protistrany o
prodej obligace, selhání kompenzačního obchodu, uskladnění (dočasné
zajištění) otevřené pozice
Zakoupená obligace
Obligace
Dealer
Repo
Výdaj hotovosti
Hotovost
průchodnost operace umožněna souběžným vypořádáním repa a
nákupu obligace
ii) krytí krátké pozice (prodej obligace)
zrcadlově analogické situace (zejména při spekulaci na pokles ceny obligace)
Prodej obligace
Obligace (speciál)
Dealer
Reverzní repo
Příjem hotovosti
Hotovost
iii) spekulace na pohyb úrokových sazeb (případ očekávaného růstu)
idea shodná s řízením výnosové křivky
Obligace
Obligace
Reverzní repo
Dealer
2M za 5,7 %
(výdaj hotovosti,
obdržení úroku)
Repo
5M za 5,9 %
(příjem hotovosti,
placení úroku)
požadavek na minimální nárůst rolovací sazby 3M
⎛ 1 + 0,059 ×
⎜
⎝ 1 + 0,057 ×
153
360
61
360
⎞ 360
= 5,97 %
− 1⎟ ×
⎠ 92
iv) jištění futuritních obchodů
a) termínový prodej
základní logika držebného: vypůjčení hotovosti na spotové zakoupení obligace
27
termínový prodej obligace (nárok na alikvotu kupónu)
držení obligace do dospělosti futuritního kontraktu
splacení půjčky z termínového prodeje obligace
užití repa: nákup obligace na spotovém trhu financovaný pomocí repa (zakoupená
obligace dána do zástavy a za vypůjčenou částku uhrazena spotová
cena)
termínový prodej obligace
držení obligace do splatnosti futuritního kontraktu
ukončení repa (z repa uvolněná obligace použita k plnění termínového
prodeje, termínovým prodej získána hotovost k financování
zpětného odkupu obligace)
b) termínový nákup obligace:
zrcadlově opačný průběh transakcí
dodaná obligace z futuritního kontraktu ale nemusí být současně obligace
vypůjčená v repu, čímž vznikají dodatečné transakční náklady
b) investoři
repo je vhodný instrument pro krátkodobé investování (alternativa k bankovnímu
depozitu, vkladovému certifikátu, vládnímu papíru,...)
výhody: zdvojené jištění kreditního rizika (úvěruhodnost dlužníka + vlastnictví
podkladového cenného papíru)
strukturování repo operací podle potřeb zákazníka (splatnost, velikost
investice, ...)
alternativní pohledy na netting v případě bankrotu dlužníka
c) správci fondů
i) posilování výnosů
použití vybraných cenných papírů ve spravovaném portfoliu jako speciál při
zachování kreditního rizika
Speciál
Repo
Výpůjčka za 7 %
Obecný kolaterál
Správce
fondu
Reverzní repo
Zápůjčka za 8 %
28
ii) zvýšení finanční páky
spekulační technika hedgeových fondů
Investice 100
CP 100
0. kolo
Navýšení portfolia
Hotovost 100
CP 100
Repo
CP 98
1. kolo
Hotovost 98
Hotovost 98
CP 98
Repo
CP 96
2. kolo
Hotovost 96
Hotovost 96
CP 96
CP 94
Repo
3. kolo
Hotovost 94
Hotovost 94
při 2 % zástřihu lze teoreticky dosáhnout až 50 násobného zvětšení počáteční
investice (princip multiplikátoru)
značně riziková strategie při eventuálním poklesu cen cenných papírů
(předkládány výzvy k doplnění zálohy, které nutí ve stresu likvidovat
vybudované pozice)
d) centrální banky
i) řízení likvidity
stahovací repo: CB odebírá z ekonomiky nadbytečnou likviditu prodejem cenných
papírů (1D, 1T, 2T, 3M)
dodávací repo: CB přidává do ekonomiky dodatečnou likviditu nákupem cenných
papírů (vládní dluhopisy) nebo neobnovováním vlastních splatných závazků
(nerolování repa)
29
ii) úroková politika
repo sazba představuje základní instrument, jehož změny signalizují zpřísňování
resp. uvolňování měnové politiky (nejistý a proměnlivý transmisní
mechanismus úrokové politiky)
iii) rozvoj finančních trhů
rozvinutý repo trh je podmínkou pro rozvoj dalších finančních trhů (derivátové
trhy, trh s obligacemi)
iv) snižování systémového rizika
systémové riziko: nesolventnost či jiná porucha jednoho subjektu ohrožuje
lavinovitě zdravou část daného segmentu ekonomiky
přednosti repa: - kolateralizované zapůjčování hotovosti
- efektivní a rychlé jištění dlouhých i krátkých police na
spotovém a derivátovém trhu
30
E. CENNÉ PAPÍRY PENĚŽNÍHO TRHU
cenné papíry se splatností zpravidla ne delší než jeden rok (mezibankovní depozitum,
vkladový certifikát, poukázky MF, dlouhodobá obligace krátce spřed splatností, aj.)
patří do rodiny pevně úročených CP (fixed-income securities)
1. Způsoby kotace
a) na výnosové bázi: emitování cenného papíru za nominální hodnotu, při splatnosti
držiteli vyplacena nominální hodnota plus kupón
c ... kupónová sazba (anualizovaná), M ... nominální hodnota, T ... splatnost (počet
T
)
dní), C ... velikost úroku (= c × M × 365
⎛ M + C ⎞ 365 C 365
anualizovaný výnos = ⎜
− 1⎟
=
=c
M T
⎝ M
⎠ T
různé konvence pro délku roku: ACT/360 (USA), ACT/365 (UK)
b) na diskontní bázi: emitování cenného papíru za nominální hodnotu sníženou o
diskont, při splatnosti držiteli vyplacena nominální hodnota
T
)
d ... diskontní sazba (anualizovaná), D ... diskont (= d × M × 365
D
365
d
⎞ 365
⎛ M
=
×
=
− 1⎟
anualizovaný výnos = ⎜
M −D T
1− d
⎝M −D ⎠ T
T
365
= ekvivalentní (efektivní) výnosová míra (re)
efektivní sazba = hypotetická sazba ročního složeného úročení, která zaručuje stejné
zhodnocení vložené investice jako porovnávaná investiční příležitost
vztah výnosové a diskontní sazby:
d = re [1 − d (T 365)] < re × 1 = re

Tříměsíční vládní dluhopis je prodáván s 10 % diskontem. Jak velká je ekvivalentní výnosová
míra?
re =
0,1
= 0,1026 = 10,26%
1 − 0,1 ×(91 / 365 )

31
2. Výnosová křivka
vodorovná výnosová křivka odráží očekávání na pokles úrokových sazeb (dáno
technikou úročení)
podmínka neexistence arbitrážové příležitosti (např. pro sazby 1M a 2M):
(1 + r )× (1+ f
N1
1 365
N2
1 2 365
1
odtud
) = (1 + r
2
N1 + N 2
365
)
+ N2
⎛ 1 + r2 N1365
⎞ 365
⎜
⎟×
1
f2 =
−
⎜ 1 + r N1
⎟ N2
1 365
⎝
⎠
r1 = r2 ⇒ 1 f 2 =
r1
1 + r1
N1
365
< r1
alternativní tvrzení: neočekávají-li se změny úrokových sazeb, potom vodorovná
výnosová křivka implikuje existenci arbitrážové příležitosti (vyplatí se rolovat
depozitum před vytvářením delšího depozita)
stejná rovnice úrokové parity v logice oceňování obligací
(1 + r1 )
N1
365
× (1+ 1 f 2 ) 365 = (1 + r2 )
N2
N1 + N 2
365

Při vodorovné výnosové křivce (r1 = r2 = 9,25% ) investor neočekává změnu úrokových
sazeb. K dispozici má 1 mil $.
i) rolování 1M depozita (N1 = 31, N2 = 28)
31
28
) × (1 + 0,0925 × 365
)
budoucí hodnota = 1 000 000 × (1 + 0,0925 × 365
= 1015008
ii) vytvoření 2M depozita
+ 28
budoucí hodnota = 1000000 × (1 + 0,0925 × 31365
)
= 1014 952$
arbitrážní zisk = 56 $

32
3. Finanční aritmetika obchodovatelných dluhopisů
E
K
emise
koupě
P
S
prodej
splatnost
P ... tržní cena CD, c ... kupónová sazba, M ... jistina, r ... aktuální tržní výnos
kupní a prodejní cena CD:
PK =
M × (1 + c(TES / 365))
M × (1 + c(TES / 365))
, PP =
1 + rP (TPS / 365)
1 + rK (TKS / 365)

Vkladový certifikát o nominálu 1 mil. Kč a s dospělostí 91 dnů vyplácí 8 % kupón. Jaká je
jeho tržní cena, jestliže trh momentálně požaduje 9 % výnos a dluhopisu zůstává 61dnů do
splatnosti?
1 + 0,08(91 / 365)
1 + 0,09(61 / 365)
= 1004831,44 Kč
P = 1000000 ×

výnosová míra za dobu držení CD :
rh =
PP − PK 365
×
PK
TKP
⎡1 + rK (TKS / 365) ⎤ 365
=⎢
− 1⎥ ×
⎣ 1 + rP (TPS / 365) ⎦ TKP

Investor zakoupil 91denní CD (kupón 10 %, nominále 1 mil. Kč) v okamžiku, kdy do
splatnosti zbývalo 50 dnů a trh požadoval 10 %. O 30 dnů později CD prodal, přičemž trh
stále požadoval 10 %. Jaký je výnos za dobu držení dluhopisu?
⎡1 + 0,1× (50 / 365) ⎤ 365
rh = ⎢
− 1⎥ ×
⎣1 + 0,1× (20 / 365) ⎦ 30
= 9,95%
výnos za dobu držení je nižší než tržní výnos

33
cena CD s větším počtem kupónů:
P=
C 01
N 01
1 + r 365
+
C12
(1 + r )(1 + r )
N 01
365
N12
365
+ .... +
CT −1,T + M
(1 + r )...(1 + r
N 01
365
C t −1,t … velikost kupónu za kupónové období (t-1, t)
N t −1,t … počet dní v kupónovém období (t-1, t)
N T −1,T
365
)
34
F. HYPOTÉKY
1. Hypotéka s pevnými splátkami
hotovostní tok z obligace: menší dílčí platby v průběhu života obligace (platby kupónu)
a vysoká jednorázová platba při splatnosti obligace (splátka jistiny)
T
cM
M
+
t
(1 + r ) T
t =1 (1 + r )
P=∑
hotovostní tok z hypotéky (pevné splátky): průběžné splácení jistiny po celou dobu
života hypotéky tak, aby dílčí splátky byly stále stejné
1 − (1 + r ) − T
A
=A
H0 = ∑
t
r
t =1 (1 + r )
T
A = H0
r (1 + r ) T
= H0 * aT
(1 + r ) T − 1
H0 ... velikost hypotéky, T ... splatnost hypotéky (počet měsíců), A ... velikost měsíční
splátky, r … hypoteční sazba, aT ... anuitní faktor

Jak velké budou měsíční splátky z 30leté hypotéky poskytnuté ve výši 100 000$ při hypoteční
sazbě 9,5%.
T = 30*12 = 360, H0 = 100 000$, r = 0,095/12 = 0,0079167
A = 100000
0,0079167(1,0079167) 360
= 840,85 $
(1,0079167) 360 − 1

dekompozice měsíční splátky na platbu úroku a částečnou splátku jistiny:
At = A = platba úroku + splátka jistiny
=
rHt-1
+ (Ht-1 - Ht)
velikost zůstatku hypotéky (důkaz matematickou indukcí):
(1 + r ) T − (1 + r ) t
r (1 + r )
+ H t −1 (1 + r ) = H 0
Ht = H0
(1 + r ) T − 1
(1 + r ) T − 1
T
velikost měsíční splátky jistiny (v období t):
H t −1 − H t = H 0
r (1 + r )
t −1
(1 + r ) T − 1
35
velikost úrokové platby (v období t):
rH t −1 = H 0
[(1 + r )
T
− (1 + r ) t
]
(1 + r ) − 1
T

Jak vypadá splátkový kalendář hypotéky s parametry předchozího příkladu (T = 30 let,
r = 9,5% (měsíční sazba 9,5/12 = 0,79167 %, H0 = 100 000$)?
Měsíc
1
Počáteční Měsíční Platba Splátka Koncový
zůstatek
splátka úroku
jistiny
zůstatek
100000,00
840,85 791,67
49,18 99950,82
2
99950,82
840,85
791,28
49,57
99901,25
3
99901,25
840,85
790,89
49,96
99851,29
4
.....
.....
.....
.....
.....
5
.....
.....
.....
.....
.....

alternativní konstrukce splátkového kalendáře
A = H 0 aT = H 1 aT −1 = K = H t aT −t
každoměsíční splácení a současné poskytování hypotéky ve výši nesplacené
jistiny vždy na zbývající období života hypotéky
Měsíc
1
Počáteční
zůstatek
100000,00
Anuitní
faktor
0,0084085
Měsíční
splátka
840,85
Koncový
zůstatek
99950,82
2
99950,82
0,0084126
840,85
99901,25
3
99901,25
0,0084168
840,85
99851,29
4
.....
.....
.....
.....
5
.....
.....
.....
.....
36
2. Inovace hypotečních instrumentů
i) první problém tradiční hypotéky: hypoteční banka vystavena časovému nesouladu
aktiv a pasiv (mismatch problem)
strana pasiv: nutnost platit variabilní tržní sazby za poskytnuté zdroje
strana aktiv: dlouhodobě konzervovaný výnos z poskytnutých hypoték
problém vyostřen v období zvýšené inflace (150 mld USD záchranný plán na
ozdravění S&L)
řešení: častější úprava hypoteční sazby korespondující vývoji tržních úrokových
sazeb
- hypotéka s uzpůsobitelnou sazbou (adjustable-rate mortgage)
v pravidelných intervalech (1M, 6M, 1R,...) dochází k novému nastavení sazby
v souladu s vybraným referenčním indexem (sazby peněžního trhu, náklady
fondů hypotečních bank, aj.)
ochranné prvky: strop na maximální změnu hypoteční sazby nebo velikosti
splátky při znovunastavení sazby
strop na změnu hypoteční sazby za celou dobu splácení
hypotéky
- hybridní hypotéka
kombinuje prvky hypoték s pevnou a variabilní sazbou
- dlužník má opci, která umožňuje přeměnu variabilní hypotéky na hypotéku
s pevnou sazbou (konvertibilní hypotéka)
- hypoteční sazba se změní pouze tehdy, jestliže referenční index překročí
předem stanovenou hodnotu
ii) druhý problém tradiční hypotéky: znehodnocování jistiny v důsledku inflace (tilt
problem)
inflace permanentně ujídá z kupní síly zapůjčené jistiny (po 20 letech a při 10%
inflaci klesá kupní síla nesplacené jistiny na 15% = 1/1,120 původní hodnoty), což
demotivuje investování do hypoték
hypotéka s variabilním výnosem tento problém zcela neřeší (zřejmé při konstantní
inflaci)
37
inflačně indexovaná hypotéka (price-level-adjusted mortgage, PLAM)
zadána požadovaná reálná výnosová míra (úroková sazba při nulové inflaci)
faktická splátka a faktický nesplacený zůstatek jistiny odvozen z míry inflace

Splátkový kalendář hypotéky PLAM při požadované reálné sazbě 4%, velikosti hypotéky
100000$ a splatnosti 20 let.
Rok Počáteční Referen- Úrok Amorti- Koncový
zůstatek ční anuita
zace
zůstatek
1
100000
7358 4000
3358
96642
Index Faktická Faktický
inflace
splátka zůstatek
1,0628
7820 102711
2
96642
7358
3866
3492
93150
1,1466
8437
106806
3
93150
7358
3726
3632
89518
1,2546
9231
112309
4
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
5
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....

vlastnosti: - efekt negativní amortizace na začátku splácení (růst zadluženosti
namísto splácení dluhu)
- vysoké splátky ke konci života hypotéky (za 20 let při 10% inflaci
jde o 572 násobek)
- nehledě na možnost negativní amortizace bude hypotéka za stanovenou
dobu splacena (definiční pokles nesplaceného zůstatku k nule)
dvousazbová hypotéka (dual-rate mortgage, DRM)
pevná (anuitní) sazba pro stanovení velikosti měsíční splátky (analogie reálné
sazby u hypotéky PLAM)
pohyblivá (faktická) sazba pro určení velikosti nesplacené jistiny (kopíruje inflaci)

Splátkový kalendář hypotéky DRM se 4% anuitní sazbou, velikostí hypotéky 100000$ a
splatností 20 let. Faktická sazba je požadována ve výši inflace (shodně s předchozím
příkladem).
38
Rok Počáteční Anuitní
zůstatek
faktor
Roční
Faktická
splátka
sazba
Úrok
Amorti-
Koncový
zace
zůstatek
1
100000
0,07358
7358
0,0628
6280
1078
98922
2
98922
0,07613
7531
0,0789
7805
-274
99196
3
99196
0,07899
7835
0,0942
9344
-1509
100705
4
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
5
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....

vlastnosti: - možnost negativní amortizace při inflaci
3. Finanční inženýrství s hypotékami
a) portfolio hypotečních půjček
Dlužník
Portfolio
Investor
hypoték
Dlužník
skladba hotovostního toku: - úrok
- plánovaná splátka jistiny
- předsplátka (prepayment)
důvody předsplátky: - při prodeji nemovitostí (změna zaměstnání, stěhování, rozvod)
- změna tržních podmínek (pokles úrokových sazeb)
- neplnění závazků dlužníka (splacení hypotéky z tržeb za prodej
nemovitosti a pojištění hypotéky)
- zničení nemovitosti životní událostí (splacení hypotéky z
39
pojištění nemovitosti)
⇒ rizikový faktor při investování do hypoték
b) cenné papíry jištěné hypotékou (mortgage-backed securities)
cenné papíry, jejichž hotovostní tok je odvozen z podkladových hypoték umožňují
vytvářet atraktivnější a rozmanitější investiční parametry
sekuritizace hypoték: zprostředkovatel (banka) shromažďuje individuální hypoteční platby,
proti nimž emituje cenné papíry, takže závazky z těchto cenných papírů jsou
kryty hypotečními pohledávkami
Plátce
hypotéky
Portfolio
hypoték
Držitel
MBS
Zprostředkovatel
Plátce
hypotéky
Držitel
MBS
i) postupový cenný papír (passthrough)
majitel postupového CP dostává proporcionální podíl na všech třech složkách
hypoteční platby
výhoda: lepší rozložení rizika předsplátek (investice do 1 milionové hypotéky je
rizikovější než milionová investice do postupových CP v důsledku efektu
diverzifikace)
ii) kolateralizovaná hypotekární obligace
proti hypotečním pohledávkám jsou emitovány obligace různých tříd,
které vytvářejí systém prioritního postavení investorů
např.: emise obligací rozdělena do třídy A (40%), B (35%) a C (25%)
platba úroku: obligace všech tříd vyplácejí úrok ve vazbě na velikost
nominální hodnoty (nediferencovaný přístup)
platba jistiny: vypláceni nejprve majitelé třídy A, pak majitelé třídy B a
nakonec majitelé obligací třídy C
40
výhoda: vytváření nových CP, které lépe reflektují preference
různých tříd investorů, lepší obchodovatelnost
iii) rozporcované cenné papíry (stripping)
proti hypotečním pohledávkám (držbě postupových CP) emitovány CP, které
rozdělují platbu úroku a jistiny
třída A. nárok na splátky jistiny
třída B: nárok na úrokové platby