skula_2002_mala_fermatova_veta... - Hal-SHS

Malá Fermatova věta
Ladislav Skula
To cite this version:
Ladislav Skula. Malá Fermatova věta. Cahiers du CEFRES, Centre Français de Recherche
en Sciences Sociales (CEFRES), 2002, Matematik Pierre de Fermat, pp.163-171. <halshs01244017>
HAL Id: halshs-01244017
https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01244017
Submitted on 15 Dec 2015
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Cahiers du CEFRES
N° 28, Matematik Pierre de Fermat
Alena Šolcová, Michal Křížek, Georges Mink (Ed.)
_______________________________________________________________
Ladislav SKULA
Malá Fermatova věta
_______________________________________________________________
Référence électronique / electronic reference :
Ladislav Skula, « Malá Fermatova věta », Cahiers du CEFRES. N° 28, Matematik Pierre de Fermat (ed.
Alena Šolcová, Michal Křížek, Georges Mink).
Mis en ligne en / published on : mai 2010 / may 2010
URL : http://www.cefres.cz/pdf/c28/skula_2002_mala_fermatova_veta.pdf
Editeur / publisher : CEFRES USR 3138 CNRS-MAEE
http://www.cefres.cz
Ce document a été généré par l’éditeur.
© CEFRES USR 3138 CNRS-MAEE
Malá Fermatova věta
Ladislav Skula, Brno
1. Formulace věty
Malou Fermatovou větou rozumíme následující tvrzení ([Ri], s. 16):
Jestliže a je celé číslo a p je prvočíslo, pak a p ≡ a (mod p ) .
Speciálně, jestliže p nedělí a , pak a p −1 ≡ 1 (mod p ) .
L.E. Dickson ([Di], s. 59) uvádí, že je možné, že toto tvrzení znali
již staří Číňané v 5. století př. n. l. pro a=2 . Paolo Ribenboim ([Ri],
s. 86) to považuje za nesprávné, protože staří Číňané nikdy
neformulovali pojem prvočísla. Tato chyba se poprvé objevila
v článku J. H. Jeanse (viz [Je]) a vznikla nepřesným překladem
starého čínského textu z díla „Matematika v devíti knihách“. Tato tzv.
„čínská věta“ bývá často uváděna jako test na prvočíselnost, přesněji:
přirozené číslo n je prvočíslo, jestliže n dělí 2 n − 2 . Toto tvrzení je
však nesprávné, jak ukázal Pierre V. Sarrus (1819) protipříkladem
přirozeného čísla 341=11⋅31, které dělí číslo 2 341 − 2 .
První, kdo publikoval důkaz Malé Fermatovy věty, byl Leonhard
Euler ([Eu], 1732-3). Euler použil tvrzení, že prvočíslo p dělí
 p
kombinační číslo   pro 1 ≤ k ≤ p − 1 . Jakýsi náznak důkazu této
k
věty uvádí Fermat ve svém dopise Fréniclovi de Bessy z 18. října
1640.
Obr. 1. Pierre de Fermat.
2. Důkaz amerických fyziků
Malá Fermatova věta byla dokazována nesčetněkrát různými způsoby.
V této kapitole předložíme důkaz amerických teoretických fyziků
H.Gutfreunda a W.A. Littleho z roku 1981 ([GL]), jenž je modifikací
Mac Mahonova „kombinatorického“ důkazu ([Mh]). Důkaz těchto
fyziků je zajímavý tím, že pojmy v něm vystupující mají fyzikální
interpretaci. Pro jednoduchost se omezme jen na případ a = 2 pro
liché prvočíslo p . Na tomto případě je nejlépe vidět myšlenka důkazu
a obecný případ se provede snadnou modifikací.
Nechť S je množina všech p-tic (s1, s2, . . . , sp) , kde si = 0 nebo
si = 1 ( 1 ≤ i ≤ p ) . V teoretické fyzice se p-tice s nazývá Isingspinová proměnná (Ising-spin variable) a index i poloha (site). Pro
Ising-spinovou proměnnou si položíme
0 pro si = 1,
1 pro si = 0.
si = 
Dále definujme zobrazení T množiny S do sebe následujícím
způsobem: Pro konfiguraci s = (s1, s2, . . . , sp)∈S položíme
T ( s ) = ( s p , s1 , s 2 , . . . , s p −1 ) ∈ S.
Zobrazení T : S → S se nazývá operátor translace (translation
operator) a snadno nahlédneme, že T je bijekce S na S . Položme
o=(0, 0, . . . , 0) ∈ S, e=(1, 1, . . . , 1) ∈ S. Pak {o, e} tvoří cyklus na S
vzhledem k T délky 2, který nazveme triviální cyklus. Jelikož pro
každé s ∈ S máme T 2p(s) = s , všechny cykly na S vzhledem k T
mají délky 1, 2, p, 2p. Snadno nahlédneme, že pak všechny
netriviální cykly mají délku 2p. Jelikož počet prvků množiny S je
2p, dostáváme 2p = 2 + 2pc, kde c je počet netriviálních cyklů. Odtud
plyne, že 2 p −1 − 1 = pc .
3. Fermatův kvocient
Předpokládejme, že a je celé číslo nedělitelné prvočíslem p . Podle
Malé Fermatovy věty je podíl
a p −1 − 1
= q p (a )
p
celé číslo, které se nazývá Fermatův kvocient prvočísla p
základem a . Ve výše uvedeném důkazu malé Fermatovy věty
teoretických fyziků je počet netriviálních cyklů c na množině
roven Fermatovu kvocientu qp(2). Fermatův kvocient splňuje
obecné zákony objevené G. Eisensteinem ([Ei], 1850):
(E1) Jestliže prvočíslo p je liché, pak platí
p −1
2q p (2) ≡ ∑ (−1) n −1
n =1
1
n
(mod p ) ≡ −
( p −1) / 2
∑
n
=1
1
n
(mod p ).
(E2) Jestliže a, b jsou celá čísla nedělitelná prvočíslem p , pak
se
od
S
tři
q p (ab) ≡ q p (a ) + q p (b) (mod p)
(tzv. logaritmická vlastnost Fermatova kvocientu).
(E3) Jestliže a,b
prvočíslem p , pak
jsou celá čísla taková, že
q p (a + pb) ≡ q p (a ) −
a
je nedělitelné
b
(mod p ).
a
První Eisensteinův zákon (E1) zobecnil M. Lerch ([Le], 1905) pro
obecný základ a (a je přirozené číslo nedělitelné prvočíslem p )
následovně:
p −1
(L1)
aq p (a ) ≡ ∑
x=1
1  ax 
(mod p ).
x  p 
Lerch (viz [Le]) také ukázal souvislost Fermatových kvocientů
( p − 1)! + 1
s Wilsonovým kvocientem W ( p ) ≡
:
p
p −1
(L2)
W ( p) ≡ ∑ q p (a ) (mod p).
a =1
4. Wieferichovo kritérium
Pro další rozvoj a studium Fermatových kvocientů mělo velký
význam kritérium týkající se prvního případu Velké Fermatovy věty
(the first case of Fermat’s Last Theorem) objevené A. Wieferichem
([Wi], 1909):
Wieferichovo kritérium: Nechť p je liché prvočíslo a x, y ,z celá
čísla nedělitelná prvočíslem p vyhovující rovnici
xp+yp=zp.
Pak 2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) , neboli q p (2) ≡ 0 (mod p ) .
Wieferichovo kritérium bylo tak překvapující a tak silné, že se v té
době mnozí matematikové domnívali, že první případ Fermatovy
hypotézy je dokázán. Ověřovala se neplatnost kongruence
q p (2) ≡ 0 (mod p) pro lichá prvočísla až do 1000. Velkým
překvapením ale bylo, když Meissner ([Me, 1913]) nalezl prvočíslo p
= 1093 Meissnerem ([Me], 1913) a brzy na to Beeger ([Be], 1922)
prvočíslo p = 3511, pro něž je qp(2) dělitelné p.
Liché prvočíslo p se v dnešní době nazývá Wieferichovo
prvočíslo, jestliže q p (2) ≡ 0 (mod p ) . Přes mnohé intenzívní pokusy
matematiků s použitím nejmodernější techniky nebylo nalezeno žádné
další Wieferichovo prvočíslo kromě dvou zmíněných prvočísel 1093 a
3511. R. Crandall, K. Dilcher a C. Pommerance v roce 1997 v práci
[CDP] dosáhli posledního známého výsledku v tomto směru:
Liché prvočíslo
p<4⋅1012
Wieferichovo prvočíslo.
různé od 1093 a 3511 není
Tento výsledek byl vylepšen v dosud nepublikované práci [MB]
Brownem a McIntoshem na hranici 4,2⋅1013.
5. Další rozšíření Wieferichova kritéria
V následujícím období byl Wieferichův výsledek rozšiřován i pro
další základy 3, 5, . . . různé od základu 2. Nejefektivnější a také
nejkorektnější
(bezchybný)
výsledek
patří
matematikům
A.Granvilleovi a M.B. Monaganovi (viz [GM], 1988):
Věta (Granville, Monagan).
Wieferichova kritéria. Pak
Nechť
platí
předpoklady
q p (m) ≡ 0 (mod p)
pro všechna prvočísla m ≤ 89 .
Tento výsledek byl pak ještě doplněn Suzukim ([Su], 1994) na
prvočísla m ≤ 113 .
Pro rozšíření těchto výsledků v jiném směru zavedeme následující
označení:
Nechť p je liché prvočíslo, N, k celá čísla, 1 ≤ N ≤ p − 1 a
0 ≤ k ≤ N − 1 . Položme
s ( k, N ) =
 ( k +1) p 
 N 


∑
kp
 
j =   +1
N
1
j
.
Pak Lerchovu větu (L1) můžeme formulovat pomocí zavedených
sum s(k, N) následovně:
N −1
Nq p ( N ) ≡ ∑ k s(k, N ) (mod p) .
k =0
K. Dilcher a L. Skula ([DS], 1995) se zabývali otázkou, co lze říci
o těchto sumách s , jestliže neplatí první případ Fermatovy hypotézy,
a rozšířili Wieferichovo kritérium následovně:
Věta (Dilcher, Skula).
Wieferichova kritéria. Pak
Nechť jsou splněny předpoklady
s(k, N ) ≡ 0 (mod p)
pro všechna celá čísla N, k, 1 ≤ N ≤ 46 a 0 ≤ k ≤ N − 1 .
Podobný výsledek získal P. Cikánek ([Ci], 1994):
Věta (Cikánek). Nechť jsou splněny předpoklady Wieferichova
2
2
kritéria a nechť p > 5 ( N −1) ( N −2 ) / 4 . Pak
s(k, N ) ≡ 0 (mod p)
pro všechna celá čísla N, k, 11 ≤ N ≤ 89 a 0 ≤ k ≤ N − 1 .
Obr. 2. Fermatova ulice v Paříži.
Literatura
[Be] N.G.W.H. Beeger, On a new case of the congruence
2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) , Messenger of Math. 51 (1922), 149-150.
[CDP] R.E. Crandall, K. Dilcher, and C. Pomerance, A search for
Wieferich and Wilson primes, Math. Comp. 66 (1997), 433-449.
[Ci] P. Cikánek, A special extension of Wieferich criterion, Math.
Comp. 62 (1994), 923-930.
[Di] L.E. Dickson, History of the theory of numbers, vol. I, Divisibility
and primality, Chelsea, New York, 1919.
[DS] K. Dilcher and L. Skula, A new criterion for the first case of
Fermat’s last theorem, Math. Comp. 64 (1995), 363-392.
[Ei] G. Eisenstein, Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen,
welche von zwei Elementen abhaengen und durch gewisse lineare
Funktional-Gleichungen definiert werden, Math. Werke, Gotthold
Eisenstein, Band II, Chelsea, New York, 2nd ed., 1989, 7-10, 705-711.
[Eu] L. Euler, Comm. Ac. Petrop., 6, 1972-3, 106.
[GL] H. Gutfreund and W.A.Little, Physicist’s proof of Fermat’s
theorem of primes, Amer. J. Phys. 50 (3) (1982), 219-220.
[GM] A. Granville and M.B. Monagan, The first case of Fermat’s last
theorem is true for all prime exponents up to 714, 591, 416, 091, 389.
Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988), 329-359.
[Je] J.H. Jeamse, Messenger of Mathematics 27 (1897/98).
[Le] M. Lerch, Zur Theorie des Fermatschen
(a p −1 − 1) / p = q (a ) , Math. Ann. 60 (1905), 471-490.
Quotienten
[Lp] K. Lepka, Historie Fermatových kvocientů (Fermat-Lerch),
Ph.D. thesis, Masaryk Univ., Brno, 1998.
[Mh] P.A. MacMahon, Applications of a theory of permutations in
circular proccesion to the theory of numbers, Proc. London. Math.
Soc. 23 (1891/2), 305-313.
[MB] R. McIntosh, personal communication to K. Dilcher, March 4,
2001.
[Me] W. Meissner, Ueber die Teibarkeit von 2p-2 durch quadrat der
Primzahl p=1093, Sitzungsber. Akad. der Wiss., Berlin (1913), 663667.
[Ri] P. Ribenboim, The book of prime number records, SpringerVerlag, New York, 1988.
[Su] J. Suzuki, On the generalized Wieferich criteria, Proc. Japan
Acad. Ser. A Math. Sci. 70 (1994), 230-234.
[Wi] A. Wieferich, Zum letzten Fermat’schen Theorem, J. Reine
Angew. Math. 136 (1909), 293-302.
Poděkování. Tato práce vznikla v rámci grantu č. 201/01/0471
(Algebraické, analytické a kombinatorické metody teorie čísel) GA
ČR.
Adresa: Prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc., katedra aplikované
matematiky, Přírodovědecká fakulta Masarykovy university,
Janáčkovo náměstí 2a, 662 95 Brno, e-mail: [email protected]