Roční zpráva o stavu řešení projektu

Projekt TE01020229 (Centrum digitální optiky) je řešen s finanční podporou TA ČR
Roční zpráva o stavu řešení projektu
2012
Dílčí výstup projektu TE01020229 (Centrum digitální optiky)
Pracovní balíček: Management projektu
Identifikační číslo výstupu: TE01020229DV001
Datum dosažení dílčího výstupu: 31. 12. 2012
Předkládá: doc. Mgr. Jaroslav Řeháček, Ph.D., řešitel projektu
Průběh řešení projektu v roce 2012
Projekt Centrum digitální optiky byl zahájen 1. března 2012 v souladu s návrhem projektu. Byla ustavena organizační struktury centra, nastaveny mechanizmy komunikace, vytvořeny intranetové i veřejné webové stránky, bylo zahájeno řešení projektu ve všech pěti pracovních balíčcích, byla prováděna
kontrola stavu řešení 2x ročně na jednáních Řídícího výboru Centra, byl organizován Technický seminář Centra, kde byly prezentovány dosažené výsledky, byla důsledně implementována pravidla pro
publicitu projektů financovaných TA ČR.
Postup prací.
Řešení projektu v roce 2012 probíhalo v souladu s plánem. Výsledky projektu byly prezentovány na
prestižní konferenci SPIE Defense, Security, and Sensing 2012 v Baltimore. Některé výsledky
dosažené nad rámec plánu byly publikovány. Týká se to zejména podpůrného teoretického a experimentálního výzkumu nových metod manipulace, detekce a zpracování optického signálu. Tyto nové
ideje budou v dalších letech využity při aplikovaném výzkumu v rámci jednotlivých pracovních
balíčků projektu. Výsledky jsou prezentovány v této zprávě. Podrobný popis postupu prací v roce 2012
je uveden níže v členění po jednotlivých pracovních balíčcích. Za zmínku stojí, že plnění plánu strategické výzkumné agendy pracovního balíčku Digitální zobrazování s podporou technologií PMS v roce
2012 naznačilo možnost nových technických a konstrukčních alternativ. V návrhu projektu se předpokládalo, že prostorová modulace světla bude realizována pomocí počítačem řízených optoelektronických
zařízení, která využívají elektrooptického jevu v kapalných krystalech. V průběhu řešení projektu byly
navrženy nové způsoby provedení PMS, které otevírají prostor pro náhradu dosud používaných modulátorů světla difraktivními prvky vyrobenými standardními technologiemi. Tato změna by měla
zásadní význam pro konstrukci celého systému a kromě výrazného snížení nákladů by vedla k mnohem
jednoduššímu a kompaktnějšímu technickému řešení. Pozitivní výsledek těchto aktivit nelze s dostatečnou jistotou zaručit, jejich význam je ale natolik zásadní, že bude vhodné možnost změny technologie
PMS prověřit, i když tato činnost nebyla v návrhu projektu plánována.
Čerpání prostředků.
Plánované náklady projektu v roce 2012 byly 39 mil Kč, z toho 26 mil. Kč hrazených z veřejné podpory a 13 mil. Kč hrazených z neveřejných prostředků. V průběhu roku došlo k některým přesunům
nákladů mezi pracovními balíčky a mezi jednotlivými kategoriemi nákladů v mezích povolených
poskytovatelem. Tyto změny byly prováděny ve snaze využít prostředky projektu co nejúčelněji. V
důsledku výše zmíněného pozdějšího než předpokládaného poskytnutí podpory došlo u některých
účastníků projektu k mírnému nedočerpání prostředků. V dalších letech lze očekávat, že budou
prostředky čerpány v plné výši. U účastníka Meopta-optika, s.r.o. došlo v průběhu roku ke změně druhu
pořizované investice a výrazné změně pořizovací ceny investice. Tato změna neměla vliv na rozložení
uznaných nákladů projektu. Změna byla oznámena poskytovateli a následně poskytovatelem schválena.
Řešitelský tým.
V průběhu roku nedošlo v řešitelském týmu k podstatným změnám s výjimkou změny zodpovědné osoby balíčku Multi senzorické a hyperspektrální zobrazovací systémy. Ukázalo se, že vlastní výzkumná
činnost Dr. Radka Čelechovského bude úzce souviset s výzkumem prováděným v rámci balíčků Digitální ramanova spektroskopie a Ramanova optická aktivita a Digitální zobrazování s podporou technologie PMS. Dr. Čelechovský rozšíří své působení i do výzkumné a vývojové činnosti dalších dvou
balíčků, čímž byla významně posílena provázanost těchto třech balíčků. Úvazek Dr. Čelechovského u
společnosti Pramacom-HT, spol. s r.o. pokrývá jeho činnosti v balíčku Multi senzorické a hyperspektrální zobrazovací systémy, jak byly uvedeny v návrhu projektu, neumožňuje mu však převzít odpovědnost za celý balíček, který proniká do působení dalších pracovišť. Proto byl zodpovědnou osobou nově
určen Mgr. Filip Chlup, který s Dr. Čelechovským dlouhodobě spolupracuje a nadále se problematice
bude věnovat plným úvazkem. Mgr. Filip Chlup pracuje ve společnosti Pramacom-HT od ukončení studia na Přírodovědecké fakultě UP v Olomouci, specializace optoelektronika v roce 2008. Věnuje se
problematice optických měření v IR oblasti, optické konstrukci a rádiové komunikaci. Byl zapojen do
řešení projektů TIP a POTENCIÁL, publikoval v odborných časopisech a je spoluautorem knihy
Fyzikální základy radaru. Na zasedání Řídícího výboru Centra byla tato změna prodiskutována a
odsouhlasena.
Řídící výbor.
Byl ustaven Řídící výbor Centra digitální optiky ve složení:
doc. Mgr. Jaroslav Řeháček, Ph.D. (UP), řešitel – manažer projektu
Mgr. Petr Přikryl (Meopta – optika, s.r.o.)
Mgr. Jiří Oulehla (PRAMACOM-HT, spol. s r.o.)
Lukáš Kapitán (ZEBR s.r.o.)
prof. RNDr. Zdeněk Hradil, CSc. (UP)
doc. RNDr. Radim Chmelík, Ph.D. (VUT Brno)
Mgr. Roman Burianec (Meopta – optika, s.r.o.)
Ing. Kamil Odstrčil (Meopta – optika, s.r.o.)
Mgr. Filip Chlup (PRAMACOM-HT, spol. s r.o.)
Mgr. Vladimír Chlup (PRAMACOM-HT, spol. s r.o.)
Ing. Lubomír Husák (ZEBR s.r.o.)
RNDr. Josef Kapitán, Ph.D. (UP)
prof. RNDr. Zdeněk Bouchal, Dr. (UP)
Ing. Martin Antoš, Ph.D. (VUT Brno)
prof. RNDr. Pavel Zemánek, Ph.D. (Ústav přístrojové techniky AV ČR, v.v.i.)
doc. Mgr. Kamil Postava, Dr. (VŠB-TU Ostrava)
Složení Výboru a jeho status je přílohou Smlouvy o spolupráci na řešení programového projektu
č. TE01020229 ze dne 20. července 2012. Účast v Řídícím výboru přijali dva externí odborníci z
významných institucí podílejících se na aplikovaném výzkumu a vývoji v ČR.
Pro účely interní komunikace bylo zřízeno internetové rozhraní s využitím technologie Wiki se
zabezpečeným
přístupem
(omezeným
na
členy
řešitelského
týmu)
na
adrese
http://intra.optol.cz/Wiki/CentrumDigitalniOptiky/. Dále byly zřízeny internetové stránky pro veřejnost http://cdo.optol.cz. Komunikace uvnitř Centra dále probíhá prostřednictvím pravidelných jednání
Řídícího výboru a písemných zápisů z těchto jednání, a prostřednictvím pravidelných technických seminářů.
Plnění plánu
Management projektu
Činnosti
• Ustavování organizační struktury centra, nastavování mechanizmů komunikace. Ukončeno.
• Průběžné řízení projektu. Probíhá.
Milníky
• Pravidelné zasedání řídícího výboru 2x. Splněno.
• Pravidelný technický seminář. Splněno.
Dílčí cíle
• Webové rozhraní Centra digitální optiky. Splněno.
• Dosažení deklarovaných cílů a milníků projektu pro rok 2012. Splněno.
Dílčí výstupy
• Roční zpráva o stavu řešení projektu. Splněno
Digitální Ramanova spektroskopie a Ramanova optická aktivita
Činnosti
• Provádění analýzy komplexního optického uspořádání spektrometru. Probíhá.
• Volba materiálů a technologií opracování pro stavbu objektivů v UV oblasti. Probíhá.
• Provádění analýzy využití různých typů polohovacích zařízení pro pohyblivé části spektrometru. Probíhá.
Milníky, dílčí cíle a dílčí výstupy nebyly plánovány.
Multi senzorické a hyperspektrální zobrazovací systémy
Činnosti
• Aplikovaný výzkum v oblasti analýza a syntéza optických soustav pro IR oblast. Probíhá.
• Aplikovaný výzkum opracování netradičních optických materiálů pro zobrazovací pásmo (1,0
μm až 15 μm). Probíhá.
• Aplikovaný výzkum tenkých optických vrstev pro spektrální pásma (1,0 μm až 15 μm).
Probíhá.
Milníky, dílčí cíle a dílčí výstupy nebyly plánovány.
Digitální zobrazování s podporou technologie PMS
Činnosti
• Teoretická analýza technik zobrazování pomocí PMS a metod digitální rekonstrukce obrazu.
•
•
•
•
•
Probíhá.
Návrh metod pokročilé holografické rekonstrukce. Probíhá.
Vývoj softwaru pro řízení PMS. Status: Probíhá.
Návrh numerických modelů pro simulaci zobrazování pomocí PMS. Probíhá.
Realizace experimentů pro ověření zobrazovacích vlastností systémů pracujících s využitím
PMS. Probíhá.
Návrh optimalizovaných systémů pro holografický záznam a digitální rekonstrukci obrazu.
Probíhá.
Milníky, dílčí cíle a dílčí výstupy nebyly plánovány.
Zpracování dat S-H senzoru v metrologii a zobrazování.
Činnosti
• Analyzování současné technologické špičky v oblasti S-H detekce po hardwarové a softwarové
stránce. Ukončeno.
• Aplikovaný výzkum v oblasti informačních protokolů pro S-H detekci. Probíhá.
• Programování software pro kontrolu dat z S-H senzoru a diagnostiku intenzity a vlnoplochy.
Probíhá.
• Aplikovaný výzkum možností měření kvality optických ploch pomocí S-H technologie.
Probíhá.
Milníky nebyly plánovány.
Dílčí cíle
• Analýza současné technologické špičky v oblasti S-H detekce po hardwarové a softwarové
stránce. Splněno.
Dílčí výstupy
• Výzkumná zpráva: Analýza současné technologické špičky v oblasti S-H detekce. Splněno.
Závěr: Bylo dosaženo všech plánovaných milníků, dílčích cílů a dílčích výstupů.
Pracovní balíček: Digitální Ramanova spektroskopie a Ramanova optická aktivita
Analýza komplexního optického uspořádání spektrometru.
Ramanův rozptyl je neelastický rozptyl fotonů vznikající při interakci dopadajícího záření s vibračními
nebo rotačními stavy molekul. Rozptýlené záření má obecně jinou vlnovou délku než záření dopadající
a na základě jeho analýzy můžeme získat velké množství informací o charakteru a struktuře studovaného systému. Ramanova optická aktivita (ROA) spočívá v měření velmi malého rozdílu v intenzitě Ramanova rozptylu z chirálních molekul odpovídající levotočivě a pravotočivě kruhově polarizovanému záření. Toto rozšíření techniky Ramanova rozptylu o citlivost k optické aktivitě molekul pak
informační obsah ve spektrech ještě dále významně rozšiřuje, obzvláště o data týkající se prostorového
uspořádání, konformačního chování a případně i dynamiky studovaných molekul. Ramanův rozptyl je
dvoufotonový proces a je tedy možné volit vlnovou délku excitačního záření, geometrii rozptylu, tj.
úhel mezi dopadajícím a rozptýleným zářením, a v případě Ramanovy optické aktivity i tzv. modulační
schéma, kdy je detekován rozdíl v odezvě molekuly vůči dopadajícímu levo- a pravotočivě kruhově polarizovanému záření a/nebo se detekuje rozdíl mezi kruhově polarizovanými složkami rozptýleného
záření.
Obr. 1: Základní schéma Ramanova spektrometru. Spektrální analyzátor může být jak disperzní spektrograf vybavený např. difrakční mřížkou, tak i interferometr.
Na UP je v rámci projektu je prováděna komplexní analýza optické soustavy Ramanova spektrometru a
spektrometru pro měření ROA. Jde o komplexní proces zahrnující optiku pro přenos excitačního záření
na vzorek, přenos rozptýleného záření ze vzorku na vstup spektrografu a optiku samotného
spektrografu zobrazující spektrum na plošný detektor. Analýza optické soustavy Ramanova
spektrometru je prováděna za účelem zjištění optimálního experimentálního uspořádání spektrometru
za účelem maximalizace poměru signál/šum se zohledněním optimálního spektrálního rozlišení,
maximální intenzity ozáření (W/m2) vzorku, která ještě nezpůsobí jeho degradaci, množství vzoru
potřebného experiment a jeho koncentrace, možnosti měnit fyzikální parametry vzorku (teploty),
možnosti minimalizovat degradaci vzorku zářením pomocí rotující nebo průtočné kyvety apod.
Vlnová délka excitačního záření ovlivňuje především intenzitu Ramanova rozptylu, který je nepřímo
úměrný její čtvrté mocnině (v případě ROA dokonce její páté mocnině). S klesající vlnovou délkou
ovšem také často výrazně roste intenzita nežádoucího fluorescenčního pozadí buď vzorku samotného
nebo stopových nečistot. To představuje velký experimentální problém především díky tomu, že
fluorescence má o mnoho řádů vyšší účinný průřez a často i intenzitu než Ramanův rozptyl. V případě
biologicky zajímavých molekul (proteinů, nukleových kyselin, sacharidů apod.) je obvykle jako volena
excitační vlnová délka záření v oblasti kolem 532 nm (historicky také 488 nebo 514 nm) jako dobrý
kompromis mezi intenzitou Ramanova rozptylu a nepříliš velkou úrovní fluorescenčního pozadí. Je-li
naproti tomu excitační vlnová délka záření nižší než cca 260 nm, tedy v hluboké ultrafialové spektrální
oblasti (DUV), dochází k spektrálnímu oddělení fluorescence a Ramanova rozptylu a fluorescence tak
přestává být experimentální omezením při záznamu spekter. Kromě vyšší intenzity Ramanova rozptylu
je také velkou motivací rezonanční zesílení Ramanových spekter, ke kterému dochází v případech, kdy
je energie dopadajícího záření vyšší nebo alespoň srovnatelná s rozdílem mezi elektronovými stavy
molekul. Změnou excitační vlnové délky je tak možné studovat signál z vybraných částí molekuly
(chromoforů).
Obr. 2: Závislost Ramanových spekter myoglobinu na vlnové délce excitačního záření. Při excitační vlnové délce 415 nm dochází k rezonančnímu zesílení vibračních módů poryrinového kruhu, při vlnové
délce 229 nm postranních skupin tryptofanu a při vlnové délce 206 nm peptidových vazeb (Asher et al.
Chem. Rev. 2012, 112, 2604-2628) .
Při návrhu optické sestavy Ramanova spektrometru je nutné respektovat zákon zachování optického
rozsahu (étendue, Abbého invariant) s cílem optimálně využít tok záření vycházející ze vzorku. Situace
je komplikovanější v tom, že záření vychází z objemu vzorku (a nikoliv plochy) odpovídajícímu např.
fokusovanému Gaussovskému svazku, přičemž osa svazku není obecně paralelní se vstupní rovinou
spektrografu. Intenzita Ramanova rozptylu i Ramanovy optické aktivity závisí na geometrii rozptylu,
přičemž Ramanův rozptyl má největší intenzitu v pravoúhlém uspořádání. Optimální poměr signálu a
šumu se u ROA naproti tomu dosahuje ve zpětném rozptylu, což je právě případ, kdy osa svazku není
paralelní, ale kolmá na štěrbinu spektrografu.
Svazek rozptýleného záření je v případě geometrie zpětného (popř. i přímého) rozptylu nutné
transformovat tak, aby nedocházelo ke ztrátám záření na štěrbině spektrografu. Tento úkol je
z optického hlediska velmi náročný, jednoduchých optických prvků (např. válcové čočky) není možné
využít, neboť díky zákonu zachování étendue by došlo k nežádoucí změně výstupního úhlu záření
v jednom směru a výsledný kužel záření by pak nebyl dobře navázán na spektrální analyzátor
(spektrograf).
Obr. 3: Porovnání části optické sestavy Ramanova spektrometru v a) pravoúhlé geometrii a b) geometrii zpětného rozptylu. V druhém případě je osa svazku kolmá na vstup spektrografu.
V rámci prováděné analýzy se pokoušíme vyhodnotit parametry několika řešení tohoto problému, které
byly v minulosti navrženy a případně vybrat to, které by bylo nejvhodnější pro Ramanovu spektroskopii. Mezi ně patří sestavy několika multimódových optických vláken (W. Hug, J. Raman Spectrosc. 1999, 30, 841), využití sestavy úzkoprofilových zrcadel metodou krájení štěrbiny (I. S. Bowen,
Astrophys. J., 1938, 88, 113) nebo pomocí kódovaných apertur (např. Hadamardovy masky, M. E.
Germ, Appl. Optics, 2006, 45, 2965) a následného matematického zpracování zaznamenaného obrazu.
V poslední době se také ukazuje použití speciálních interferometrů (J. Harlander et. Al, Astrophys. J.,
1992, 396, 730) jako velmi zajímavé a slibné řešení spektrálních analyzátorů pro Ramanovu spektroskopii. Výsledkem prováděné analýzy bude v březnu 2013 protokol, který bude sloužit jako zadávací specifikace pro optické soustavy vyvíjené v rámci projektu.
Jedním z možných spektrálních analyzátorů vhodný pro záznam Ramanových spekter v hlubohé ultrafialové oblasti spektra je spektrograf v Czerny-Turnerově uspořádání vybavený reflexní difrakční
mřížkou, v němž jsou zrcadla nahrazena objektivy. V rámci analýzy optického uspořádání spektrometru bylo ve firmě Meopta, s.r.o. provedeno detailní testování již dříve vyvinutých a zhotovených
UV objektivů se světelností F/2 a ohniskovou délkou 100 mm. Objektivy byly navrženy tak, aby
poskytovaly rozlišení 80 čar/mm s kontrastem vyšším než 50%. Z materiálů, použitelných pro DUV a
umožňující spektrální korekci objektivů, byla zvolena kombinace taveného křemene a CaF2.
Nejprve bylo provedeno měření optických parametrů samostatného UV objektivu. Naměřená hodnota
průměru vstupní pupily byla 53,6±0,1mm. Ohnisková vzdálenost byla měřena pro předmětový úhel 1°
pro vlnové délky 234, 242, 254, 262, 266 a 270nm. Výsledky ukazují, světelnost objektivu je oproti
jmenovité přibližně o 6% vyšší, což příznivě ovlivňuje energetickou bilanci. Funkce přenosu kontrastu
byla měřena na optické ose objektivu pro tytéž uvedené vlnové délky. Hodnoty kontrastu pro prostorovou frekvenci 80č/mm a polohy zaostření odpovídající použitým vlnovým délkám jsou v intervalu
0,66 – 0,73. Protože nebylo možné provést současné měření v tangenciální a radiální orientace objektivu, bylo měření opakováno pro otočení objektivu o 90° dle optické osy se srovnatelnými naměřenými
hodnotami. Dosažené výsledky dosahují dobrou stablitu pro celé sledované spektrum. Rovněž
prakticky shodné výsledky pro tangenciální a radiální orientaci objektivu svědčí o výborné realizaci
z hlediska dosažené centricity optiky.
Výsledky měření spektrální propustnosti jsou pro celou funkční oblast 229÷274nm vyšší než 70% ,
přičemž maximální hodnota na 265nm je 88%. Pro devítičočkový netmelený objektiv vyrobený z taveného křemene (celková tloušťka 43,3mm) a CaF2 (celková tloušťka 50,2 mm) lze tento
výsledek považovat za velmi dobrý. AR vrstvy byly optimalizovány pro oblast 229–274 nm s
požadovanou zbytkovou reflexivitou Ravg < 0.2%.
Obr. 4: Naměřená spektrální propustnost UV objektivu pro osový bod.
Dalším krokem bylo měření optických parametrů dvojice UV objektivů v sestavě s difrakční mřížkou
s 3600 vrypy/mm (typ Richardson 53009BK01-170R).
Obr. 5: a) Schéma optické soustavy spektrografu, b) sestava objektivů a difrakční mřížky použitá pro
testování.
Nejdříve byla proměřena účinnost difrakční mřížky pro zjištění její správné orientace. Difrakční účinnost v +1. řádu (ve směru blazovacího úhlu) byla 33%, v -1. řádu pak 9%. První difrakční řád byl proto
využíván v měřících sestavách, které jsou popsány dále. Požadované spektrální rozlišení celé sestavy
bylo řádově 0,045 nm. Dosažitelné spektrální rozlišení uvedené difrakční mřížky o využitém rozměru
50×50 mm je řádově vyšší, kolem 0,0014 nm. Výsledné spektrální rozlišení je tedy určováno geometrickou šířkou štěrbiny a zobrazovacími parametry objektivu.
V první fázi určování spektrálního rozlišení sestavy byly použity dva zdroje záření: nízkotlaká argon-rtuťová výbojka poskytující intenzivní spektrální čáru kolem 265,2 nm a Nd:YAG laser s vlnovou
délkou 266nm. Nízkotlakou výbojkou Hg (Ar) Oriel model 6035 byla prosvětlena štěrbina o šířce 5 um
a výšce několika mm, která byla umístěna v předmětové rovině objektivu 1. Štěrbina byla nastavena
tak, aby z objektivu 1 vycházel kolimovaný svazek. Tento svazek dopadal téměř kolmo na difrakční
mřížku. Pomocí goniometru, na němž byla upevněna difrakční mřížka, byl do požadovaných úhlů nastaven objektiv 2, který zobrazuje svazek záření vystupující z difrakční mřížky. Obraz byl snímán za pomoci UV CCD kamery s mikroskopovým objektivem o zvětšení 15x. Pro ideální objektivy by spektrální šířka obrazu štěrbiny byla 0,014 nm, s uvážením, že přirozená spektrální šířka atomové čáry rtuti
je mnohem nižší, než tato hodnota. Naměřená spektrální pološířka profilu napříč obrazem štěrbiny
(tedy ve směru difrakce) byla přibližně 0,027nm.
Obr. 6: a) Intenzitní profil spektrální čáry rtuti ve směru difrakce (řez kolmo na obraz štěrbiny).
Pološířka profilu napříč obrazem štěrbiny (tedy ve směru difrakce) je přibližně 90pixelů, což ve skutečnosti odpovídá 0,028 mm. To dává hodnotu spektrální pološířky přibližně 0,027nm. b) Zvětšený obraz difrakcí rozšířené štěrbiny (snímáno pomocí kamery s mikroskopovým objektivem 15x ).
Další měření spektrální pološířky bylo provedeno s laserovým zdrojem o střední vlnové délce 266 nm.
Laserový svazek byl nejprve pomocí mikroskopového objektivu 40x0,3 zaostřen do bodu, který tvořil
předmět objektivu 1 sestavy spektrografu. UV objektiv 1 byl vůči předmětu nastaven tak, aby předmět
byl na optické ose objektivu a přitom z objektivu vycházel kolimovaný svazek, podobně, jako
v předchozím případě. Obraz objektivu 2 byl opět sledován pomocí UV CCD kamery
s mikroskopovým objektivem se zvětšením 15x. Spektrální šířka laserového zdroje byla určena jako
0,09 nm a je tedy limitujícím faktorem určujícím rozlišení. Jelikož bylo předmětem objektivu 1
fokusovaný pas laserového svazku o šířce řádově jednotek um, vertikální profil obrazu difraktovaného
laserového zdroje udává prostorové rozlišení optické sestavy spektrografu ve vertikální směru.
Jak měření samotného objektivu, tak měření v předpokládané tandemové sestavě s difrakční mřížkou
nasvědčují, že může být dobrým základem pro stavbu Ramanova spektrometru, pracujícího v UV
oblasti. V další období bude probíhat další testování optických parametrů spektrografu ve spektrální
oblasti 229-270 nm.
Obr. 7: a) Intenzitní profil laserového svazku ve směru difrakce. Pološířku svazku ve směru difrakce je
přibližně 300 pixelů. Z velikosti pixelu použité kamery 4,65 um a zvětšení mikroskopu 15 vychází
skutečná pološířka svazku přibližně 0,093 mm. Tento úhel odpovídá spektrální pološířce zdroje 0,09
nm. b) Obraz nasnímaný kamerou s mikroskopovým objektivem 15x zaostřeným do obrazové roviny
Probíhá také patentová rešerše v oblasti aplikací optických soustav pro UV Ramanovu spektroskopii.
Cílem je podání patentu, jehož součástí je vyvinutá soustava dvojice UV objektivů v uspořádání
určeném pro UV Ramanovu spektroskopii.
Volba materiálů a technologií opracování pro stavbu objektivů v UV oblasti.
Provádění činností ve firmě Meopta-optika, s.r.o. se v rámci vývoje technologií opracování materiálů
pro UV oblast prolíná s pracovním balíčkem č. 3 „Multisenzorické a hyperspektrální systémy“ a
činností „Aplikovaný výzkum opracování netradičních optických materiálů pro zobrazovací pásmo
(1,0um až 15um)“, neboť použité materiály jsou v některých případech shodné (např. fluorid
vápenatý).
Prvním úkolem a základem prováděných činností bylo vytipovat vhodné materiály pro UV, IR oblast
pro první zkoušky technologie opracování. V roce 2012 probíhalo také řešení základního strojního
vybavení pro úvodní zkoušky a testování technologií opracování neskleněných materiálů pro UV a IR
oblasti.
Došlo k seznámení se s materiály doporučenými pro UV a IČ oblast, při výběru materiálů byly
zohledněny otázky škodlivosti materiálů pro lidské zdraví. Pro technologické zkoušky opracování byly
vybrány pro UV oblast materiály fluorid vápenatý (CaF 2) a tavený křemen (fused silica), přičemž
tavený křemen se v Meoptě standardně používá pro výrobu optických elementů. Technologii pro
opracování CaF2 je teprve nutné v rámci řešení projektu vyvinout. Pro IČ oblast byly vybrány
materiály s minimem zdravotní závadnosti CaF2, germánium (Ge), tavený křemen a ZnS.
Obr. 8: Křivka propustnosti desek o tloušťce 10 mm z materiálu CaF2 a tavený křemen v UV oblasti
(dle katalogu firmy Linos). Křivky propustnosti výrazně 0závisí na kvalitě použitého matriálu.
Obr. 9: Degradace materiálů pro UV oblast po aplikaci UV záření o vlnové dílce 193 nm a 8000 J/cm2
(250000 pulsů). (zdoj: katalog firmy Linos) Tavený křemen je mnohem více náchylný k degradaci než
CaF2.
Byly stanoveny tvary a rozměry vhodných polotovarů a jejich množství pro technologické zkoušky
(byl proveden návrh na nákup 30-ti kusů kotoučků průměru = 35±0,5 mm, tloušťky 8 ± 0,5 mm od
každého z materiálů, nebo jejich násobků s přídavky 3mm na prořez pily). Byla provedena poptávka
polotovarů vybraných materiálů (kromě taveného křemene, který se v Meoptě standardně používá) u
dodavatelských firem s ohledem na orientaci krystalů a jejich využití pro UV a IČ oblast. Materiál CaF 2
byl poptán u firmy Hellma Materials, Ge a ZnS u firmy Korth Kristalle. Byly dodány polotovary Ge
(10x tyč o průměru 35mm, tloušťka 30mm, monokrystal s osou růstu v ose kotoučku), ZnS Flir Grade
(10x tyč o průměru 35mm, tloušťka 30mm, monokrystal s osou růstu v ose kotoučku). Byl proveden
výběr vhodných brusiv a leštiv.
Vzhledem k jednoznačné výhodě při opracování rovinných ploch, rychlosti, spolehlivosti a
reprodukovatelnosti v tvorbě lešticích nástrojů bylo dohodnuto, že úvodní základní zkoušky a testování
leštiv, podložek a metody bude probíhat na substrátech s rovinnými plochami. Proto byly v této úvodní
fázi zajišťovány zvolené materiály: germanium, CaF 2, tavený křemen (fused silica), křemík (Si) a ZnS
v podobě kotoučků s rovnoběžnými rovinnými plochami.
Byl proveden návrh na nákup hmotného investičního majetku a dalších provozních nákladů pro
Centrum digitální optiky za rok 2012. Pro provádění leštění byl vytipován v první polovině roku 2012
rovinný lešticí stroj Lapmaster 36“, který by měl být zakoupen v roce 2013. Všechny důležité
parametry jako je geometrická přesnost, čistota povrchů, drsnost ploch a celková propustnost včetně
vrstev budou po dodání tohoto stroje a vakuové aparatury v roce 2013 prakticky vyvíjeny a testovány.
Práce na opracování materiálů ale započaly již v r.2012 na provizorní technice.
Pro následné zkoušky opracování (především leštění) daných materiálů byl poptán Laserový analyzátor
velikosti částic FRITSCH Analysette 22- NanoTec plus, umožňující granulometrický rozbor
vybraných leštiv. Druhým zařízením je Planetový kulový mlýnek p-5/2 FRITSCH pro mletí (zjemnění
zrn) leštiv (v optické výrobě se zjemněná leštiva běžně používají).
Pro další testy s ohledem na připravované vývoje přímo na sférických plochách byly nárokovány
klasické stroje od fy. Optotech. Jsou to stroje s klasickou autorotační kývavou kinematikou umožňující
v operaci broušení použití brousicích litinových nástrojů a v leštění nástrojů zejména smolné povahy,
ale též použití nástrojů z moderních materiálů jako je polyuretanová lešticí fólie a též fólie typu
Desmopan, Desmoflex a další. Tyto relativně jednoduché stroje Optotech jsou pod dodávány tímto
výrobním označením:
HM 300.1 NC-P
HM 300.2 Lapping Machine 20-400 rpm – weights
HM 300.2 Traditional Polisher 5-50 rpm – weights
HM 500.1 Traditional Machine with Excenter (n=150/min)
HM 500.1 Traditional Machine with Excenter (n=50/min)
K těmto strojům byly korespondenčně získány další technické parametry a rovněž cenové nabídky.
Pro leštění především CaF2 a podobných materiálů byly dále vytipovány stroje od firmy Stock
Konstruktion GmbH. Vhodnost těchto strojů se dále potvrdila po návštěvě firmy Hellma Materials,
které jsou zde používány. Provedli jsme dále zjištění ceny této technicky lepší techniky a zjistili, že
jsou lacinější než alternativní stroje firmy Optotech. Místo strojů HM 300.2 a HM 500.1 firmy Opatech
budou pro nákup zvoleny výhodnějších stroje NLP 220 DAS, NLP 330 DAS a NLP 400 DAHS firmy
Stock Konstruktiv Gmbh.
Byla uskutečněna návštěva firmy Hellma Materials, kde byly diskutovány otázky týkající se
specifikace materiálu CaF2 pro UV a IČ oblast, včetně odpovídající orientace krystalu, homogenity,
pnutí i laserové odolnosti. Probrána byla i technologie opracování surového „ingotu“ pro potřeby
zorientování krystalu, nařezání polotovarů a jejich měření. Dále byl předveden strojní park a
poskytnuty základní informace a rady týkající se opracování tohoto materiálu (viz. Prezentace firmy
Hellma Materials HMAT – Meeting Meopta).
Obr. 10: Monokrystal CaF2. a znázornění osy (111) krystalu. Při leštění ploch orientovaných kolmo na
tento směr dochází k nejlepším výsledným parametrům po opracování povrchu.
Přímo na místě u firmy Hellma Materials bylo zjištěno, že v oblasti technologie opracování se firma
pohybuje v základních polohách a kvalitách. Jde jim jen o to materiál uřezat, frézovat, zjemnit
broušením či lapováním a zprůhlednit leštěním. Tato operace leštění je z našeho pohledu a našich
potřeb bez patřičné kvality, geometrie, čistoty a drsnosti povrchu. Přesto zde byly získány cenné
informace a bylo možné se fyzicky seznámit se stroji, na kterých probíhá leštění. Tyto stroje původně
dodávala firma Naicotec, nyní jsou dodávány výrobcem Stock Konstruktion GmbH.
Obr. 11: Zlomová struktura na leštěných rovinných plochách materiálu CaF2 s náhodnou orientací
krystalu.
Uskutečněná návštěva fy. Helma umožnila dále zadat správné technické specifikace a v současné době
probíhá nákup materiálu CaF2 s určenou osou růstu krystalu ve směru 111. Takto orientovaný materiál
umožňuje získání vyšší finální kvality z titulu geometrického tvaru a drsnosti povrchů u takto tvořené
optiky.
Byly zahájeny zkoušky opracování materiálu Ge, CaF2 na prvních polotovarech „předskokanech“, které
byly již dříve objednány k prvním zkouškám vrstvení. Polotovary – kotoučky o průměru 20mm a
tloušťce 2mm byly nakoupeny od firmy MaTecK GmbH, Ge - monokrystal s orientací (111), CaF2 - IR
grade, monokrystal s náhodnou orientací. Zkoušky opracování byly započaty klasickou brousicí a
lešticí technologií na smole i umělých podložkách standardními optickými leštivy.
Po leštění Ge, CaF2 klasickou technologií byla dosažena drsnost a rovinnost u germánia: Sq = 1,5nm,
3/0,5(0,7) a u CaF2: Sq = 3,7nm, 3/0,5(0,1 až 1). Měřením na interferometru Zygo byla u CaF 2
odhalena zlomovitá struktura vzniklá opracováním materiálu nařezaného bez ohledu na osu (111) tedy
s náhodnou orientací os krystalu
Byly zahájeny zkoušky opracování Ge, CaF 2 technologií CNC na umělých podložkách. Dále byly
dodány stroje Laserový analyzátor velikosti částic FRITSCH Analysette 22- NanoTec plus, planetový
kulový mlýnek p-5/2 FRITSCH a bylo provedeno zaškolení obsluhy.
V roce 2013 budou po obdržení konkrétní specifikace sférických čoček a výše uvedených strojů zahájeny zkoušky opracování a testování sférických ploch na žádaných materiálech.
Provádění analýzy využití různých typů polohovacích zařízení pro pohyblivé části spektrometru.
V rámci projektu byly testovány a porovnávány možnosti polohovacích zařízení, které jsou používány
na výrobních linkách firmy ZEBR s.r.o. Díky poptávce po plně automatizovaných strojích je kladen
stále větší důraz na spolehlivost, rychlost a přesnost výroby, zároveň však i na jednoduchost obsluhy a
ekonomičnost provozu. Proto v rámci technického zdokonalování a nabídky lepších parametrů zařízení
byly hledány varianty náhrady jednotlivých prvků dosavadního technického řešení. Zásadní vliv na
přesnost a rychlost výroby mají prvky vytvářející na stroji mechanický pohyb a tím ovládající
jednotlivé mechanizmy stroje.
Obecně používané prvky v automatizaci vytvářející pohyb můžeme rozdělit z našeho pohledu na dvě
kategorie. První kategorii tvoří prvky založené na principu energie uložené ve formě stlačeného
vzduchu nebo tlaku hydraulického oleje. Celá soustava je pak tvořena vždy zdrojem natlakovaného
média (kompresor případně hydraulické čerpadlo), prvky rozvádějícími médiu (hadice, trubky),
řídicími a spínacími členy (ventily, senzory) a samozřejmě vlastními akčními členy, které převádí
energii na lineární, rotační nebo kyvný pohyb (pneumatické a hydraulické válce, pneumotory). Druhou
kategorii akčních prvků vytvářející pohyb tvoří elektrické pohony. Elektrický pohon je souhrnem
zařízení, která zajišťují ovládání přeměny elektrické energie v mechanickou energii. Hlavní součástí
elektrického pohonu je elektrický motor, který je však doplněn ovládacími a řídicími přístroji, které
ovládají motor řiditelnými zdroji elektrické energie. Řízením elektrického pohonu rozumíme změny
rychlosti, momentu, výkonu a dalších požadovaných proměnných parametrů.
Automatizované stroje firmy ZEBR jsou již řadu let osazovány pneumatickými prvky renomované
firmy FESTO. Díky pravidelnému školení a množství realizovaných aplikací, byla získána řada
zkušeností v nasazování celé škály různých typů ovládacích ventilků a pneumatických válců, vždy
specializovaná pro konkrétní úlohu. Díky požadavku zvyšování rychlosti a spolehlivosti mechanických
pohybů ovládaných pneumatikou se otevřela problematika vyhodnocení a seřízení průběhu
pneumatického cyklu. Porovnání jednotlivých prvků a zvolení optimální varianty je vždy vázáno na
měření časových průběhů jednotlivých veličin. Zde je potřeba ale vždy převést neelektrickou veličinu
na elektrickou pomocí převodníků/snímačů. Byly proto pořízeny převodníky průtoku a tlaku vzduchu
na elektrickou veličinu, monitorující spotřebu a časové průběhy tlaku v měřených částech
pneumatického systému. Dále byla zakoupena vysokorychlostní kamera typu SBOx, která je schopna
díky pořízení velkého množství snímků za sekundu zaznamenat rychlé pohyby a zpětně připojeným PC
na časové ose analyzovat jednotlivé snímky průběhu. Díky tomuto vybavení byly pozorovány rozdíly
rychlostí pohybu při použití různých typů pneumatických válců (průměry pístnic, typy plynulých
dorazů válců), způsobu přívodu vzduchu (tloušťka hadiček, škrtící a zpětné klapky) a typů řídicích
ventilů. Pro nejvíce časově náročnou aplikaci, kdy bylo potřeba pomocí pneumatiky vykonat rychlý
pohyb sevření v co nejkratším čase, bylo dosaženou vhodnou volbou pneumatických prvků, reakční
doby daného pohyb do 5 ms od vystavení elektrického povelu. Při takto rychlých aplikacích dochází v
pneumatickém systému k jevům, které ovlivňují správnou činnost systému, snižují jeho spolehlivost
pro práci ve výše uvedených krátkých časech. Tyto jevy aktuálně zkoumáme, konzultujeme s
vývojovým oddělením německého výrobce pneumatických prvků, provádíme testování. Po pořízení
nových měřících a testovacích zařízení jsme ovšem zjistili, že problém sestává z většího množství
okolností, které činnost systému ovlivňují, všechny jevy nám zatím nejsou zcela srozumitelné.
Specialisté od výrobce pneumatiky se s obdobnými aplikacemi, kde velké množství pneumatických
prvků má vykonat přesnou práci v krátkém čase, ještě nesetkali a celou problematiku řešíme
s výrobcem společně. Jsme na začátku cesty a následující období bude věnováno dalšímu zkoumání
této problematiky. Dalším z problémů, se kterými se potýkáme, je vhodné měřící, zaznamenávací a
vyhodnocovací zařízení, které dále na trhu hledáme. Doposud pořízený soubor zahrnutý do měřící
stolice nedostačuje všem našim potřebám.
Elektrické pohony nacházejí v automatizaci stále větší oblibu při řízení pohybů díky své komfortnosti,
variabilitě, jednoduché řiditelnosti a ekonomické výhodnosti. Protože stroje firmy ZEBR jsou
vybavovány asynchronními a servomotorickými pohony několika předních světových výrobců, je
získávání odborných znalostí v této oblasti prioritou. Problematika elektrických pohonů se ovšem
neomezuje jen na samotný výběr vhodného typu servomotoru a servozesilovače (jeho řízení), ale
zahrnuje kompletní integraci do mechaniky stroje a zároveň napojení na nadřazený řídicí systém stroje
(PLC - Programmable Logic Controller) s příslušným softwarovým vybavením. Právě možnosti
softwaru na straně PLC i servozesilovače prochází neustálým vývojem a výrobci se snaží co nejvíce
usnadňovat integraci motorických pohonů tvorbou pomocných SW nástrojů a ladících prostředků.
Kromě základních funkcí servozesilovače, kdy slouží jako regulátor proudové, rychlostní a polohové
smyčky se zpětnou vazbou, je trendem výrobců využít výpočetní výkon servozesilovačů na přídavné
funkce, kterým může být řízení pomocí integrovaných vstupně-výstupních portů. Takto lze realizovat
rychlé odezvy procesu v řádu mikrosekund v návaznosti na koordinaci s řízeným pohybem
servomotoru. Pro srovnání, při řízení procesu pomocí PLC dosahujeme odezvy „jen“ v řádech
milisekund.
V našich aplikacích používáme víc typů servozesilovačů, ale pro nejrychlejší polohovací úlohy byl
vybrán digitální, typ AKD firmy Kollmorgen. Ten díky digitální proudové (0,67 µs), rychlostní (62,5
µs) a polohové regulační smyčce (125 µs) zajišťuje vysokou dynamiku pohonu a opakovatelnost
nastavených pracovních pohybů. Zde využíváme i přídavné funkce zastavení na značku, tj. zachycení
nástupné hrany digitálního vstupu a dopolohování o definovanou vzdálenost. Zde proběhl dlouhodobý
vývoj SW jak na straně řídicího PLC, tak i firmwaru servozesilovače, kdy byly s výrobcem
komunikovány naše návrhy pro dokonalejší funkce systému, které jsme získali důkladným zkoumáním
procesů, analýzami a testováním. Tyto činnosti vedly k dosažení požadované přesnosti a
opakovatelnosti. Díky tomu mohla být zvýšena nejen produktivita strojů firmy ZEBR, ale zároveň i
přesnost výrobků. Do paměti servozesilovače lze jednoduchým způsobem zapsat krátký uživatelský
program, který může v sobě zahrnout příkazy a parametry využívané vlastním firmwarem
servozesilovače. Tím se doba odezvy v řízené technologii zkracuje pod dobu 1 mikrosekundy!
V minulosti se pro pohon válcovacích tratí používaly AC servomotory v kombinaci se
servozesilovačem, jehož výstupní proud se pohyboval okolo 6A. Starší typy motorů díky svojí
konstrukci měly velmi nízký koeficient Ke – což je konstanta udávající točivý moment na hřídeli v Nm,
při proudu servozesilovače 1A. Pokud tedy byl zapotřebí v aplikaci větší krouticí moment, přistupovalo
se ke snižování provozní rychlosti např. z 3000 rpm na 2000 rpm i méně.
Tabulka používaných typů AC motorů
typ AC motoru
koeficient Ke
SBL40750560
1,5 Nm/A
BSH 1003
1,2 Nm/A
BDH 1082
1,4 Nm/A
N4-0960-30-560
1,6 Nm/A
Max. otáčky Nmax
3000 rpm
4000 rpm
3000 rpm
3000 rpm
Tyto na pohled stejné motory však dosahují při budícím proudu 6A, což je trvale možný dodávaný
proud servozesilovačem, rozdílné krouticí momenty při provozních otáčkách v rozmezí od 7,2 do 9,6
Nm. Je zde větší rezerva pro špičkový krouticí moment a také energetická úspora při běžném provozu.
Nejnovější typy střídavých synchronních servomotorů mají ve statoru rozložené trojfázové vinutí a
permanentní magnety na rotoru. Tenká vrstva magnetů ze vzácných zemin neodym/železo/bór je
umístěna na povrchu rotorové hřídele, čímž je dosažen malý moment setrvačnosti motoru. Vyšší
krouticí moment, tedy i vyšší výkon motorů nové řady je dosažen zlepšením odvodu tepla ze statoru
motoru do přední příruby spolu s optimalizovaným magnetickým obvodem. Zkrácení statorových
svazků použitím segmentového vinutí spolu s dosažením vyššího plnění vinutí má za důsledek zkrácení
délky celého motoru. Uvedené přednosti zvyšují poměr krouticího momentu k zastavěnému objemu
servomotoru a rozšiřují oblasti použití z konstrukčního hlediska.
Jednou z důležitých částí komplexních strojů vyráběných ve firmě Zebr jsou válcovací trati. Již z
principu válcování je patrné, že u tvářeného materiálu procházejícího tratí dochází k prokluzům mezi
válcovacími koly a materiálem. Vzhledem k tomu že potřebujeme válcovaný materiál polohovat s
přesností do 0,2 mm na jednom metru, je nutné na polohu válcovaného materiálu navázat přesné
externí odměřování. Nastává zde nárok na servozesilovač, aby jeho externí zpětná vazba mohla být dle
potřeby aktivována (v provozu válcování) a deaktivována (když v trati není materiál, nebo je právě
zaváděn obsluhou a externí odměřování je neaktivní). Většina výrobců servozesilovačů toto přepínání
vazby neumožňuje – vyžadují pouze jednu a to trvalou vazbu. Někteří dokonce neumožňují ani tuto
trvalou externí zpětnou vazbu. Z tohoto důvodu nebylo možné používat servozesilovače, byť nové
generace, výrobců jako je Schneider Electric nebo Beckhoff. Výrobce Kollmorgen má ve výrobním
programu servozesilovače které vyhovují jak po stránce připojení odměřování, tak i po stránce doby
odezvy v regulačních smyčkách. Předpokládáme proto použití těchto prvků, přičemž budeme aktivně
sledovat jejich vývoj s ohledem na naše požadavky.
V návaznosti na inovaci servomotorických pohonů bylo hledáno řešení k zvýšení výkonu řídicího
systému, který díky své omezené rychlosti datové komunikace, takto nepřímo ovlivňuje reakční dobu
celého systému. To bylo docíleno tím, že byl vytipován nový vizualizační operátorský panel, který díky
svým vlastnostem ulehčí výpočetní výkon PLC, který pak může být využit více pro řízení pohonů.
V rámci plánovaných činností pro rok 2013 bude firma Zebr provádět další zkoumání činnosti rychlých
pneumatických systémů, vzájemné ovlivňování prvků, nežádoucí tlakové spády a další nežádoucí jevy,
které činí pneumatiku nespolehlivou pro rychlé a přesné polohování při použití většího množství prvků
na malém prostoru. Podobná činnost bude prováděna na hydraulických systémech, kde předpokládáme
zahájení činností v druhé polovině roku.
Nadále budou pokračovat práce na vylepšení funkcí nových řad servozesilovačů a to jak na straně námi
požadovaných úprav firmwarů výrobce, tak na straně obsluhy servozesilovače z řídicího PLC.
Dosažené parametry a výsledky budou dokumentovány měřeními. V rámci inovace a zlepšení
spolehlivosti strojů budou nahrazeny vytipované mechanizmy, poháněné současně pneumatikou,
servomotorickými pohony.
Na UP dochází v rámci prováděné činnosti k výběru vhodných motorizovaných polohovacích zařízení
s ohledem na jejich využití v Ramanově spektrometru a ve spektrometru pro měření Ramanovy optické
aktivity. Bylo zahájeno zjišťování dostupných možností pro provedení rotačních nebo lineárních
posuvů, jejich specifických vlastností, se zaměřením na použití výsledků pro polohování komponent
spektrometru.
Použití motorizovaných posuvů je plánováno především pro:
- polohování polarizačních komponent,
- pro rotaci a/nebo lineární posuv kyvety se vzorkem (pro polohování vzorku i snížení jeho degradace
intenzivním UV/VIS zářením).
Obr. 12: Základní schéma spektrometru pro měření Ramanovy optické aktivity (ROA) s vyznačením
motorizovaných jednotek (podklad pro obr. převzat a upraven z Disertační práce J. Haeslera, Fribourg
2006).
Základem pro vývoj spektrometrů pro měření Ramanovy optické aktivity je spektrometr vyvinutý prof.
Wernerem Hugem (H. Hug, Measurement of Raman optical aktivity, Comprehensive Chiroptical
Spectroscopy Vol. 1, 2012, 147-177), který je základem komerčně dostupného přístroje, v současné
době vyráběném pouze jedinou firmou Biotools. Ve spektrometru se nachází motorizované jednotky
trojího druhu (viz obr.):
1. Kontinuálně rotující jednotky: rychlý lineární rotátor 1 a 2 (LR1, LR2) a pomalý lineární rotátor
3 (LR3). Lineární rotátor je rotující půlvlnná deska. Je-li na vstupu lineárně polarizované záření,
výstupem je taktéž lineárně polarizované záření, jehož směr polarizace rotuje v závislosti na
úhlu otočení motoru. Doba rotace LR1 udává časovou jednotku (TU, time unit), u komerčního
přístroje je 1 TU = 4,59 ms (odpovídající rychlosti rotace asi 13000 rpm). Doba rotace LR2 je
15/16 TU a doba rotace LR3 je 16 TU, takže orientace všech rotátorů se zopakuje za 16 TU
(LR1 provede 16 otáček, LR2 15 otáček a LP3 jednu otáčku). Důležitá je rovnoměrná rotace
s přesně definovanou frekvencí. Není-li rotace rovnoměrná, určité polarizační stavy záření
(polohy polarizačního prvku) se vyskytují s nerovnoměrnou četností a dochází k vytváření
systematických chyb při měření. Přesně definovaná frekvence určuje časování ostatních
událostí měřicího cyklu.
2. Jednotky pro přesné opakované polohování polarizačních optických komponent: čtvrtvlnné
desky. Dopadá-li na čtvrtvlnnou desku kruhově polarizované záření, výstupem je záření
lineárně polarizované. Ortogonálně lineárně polarizované záření je možné generovat otočením
čtvrtvlnné desky o +/- 90°. Cílem jednotky je velice přesné a co nejrychlejší polohování fázové
desky pro minimalizaci nevyužitelné doby měření.
3. Jednotky zasouvající a vysouvající optické prvky do optické dráhy: cirkulární převodník 1
(CP1) a cirkulární převodník 2 (CP2). Cirkulární převodník je půlvlnná deska, která má tu
vlastnost, že dopadající pravotočivě kruhově polarizované záření mění na levotočivě kruhově
polarizované záření a naopak.
V rámci činnosti byly provedeny přípravné práce a základní měření na motorizovaných jednotkách
dostupných na katedře optiky ve všech třech uvedených kategoriích. Bylo započato testování DC
motorů firmy Faulhaber s dutou hřídelí s ohledem na rovnoměrnost rotace s přesně definovanou
frekvencí. Byly provedeny první testy PID řízení těchto kontinuálně rotujících jednotek.
Byly provedeny první testy polohování čtvrtvlnných desek pomocí krokových motorů s dutou hřídelí o
průměru 40 mm od firmy Precistep. Ovládání je prováděno pomocí jednotek (driverů) firmy
Technosoft umožňující přesný, plynulý chod a provádění polohování v mikrokrocích. Řízení motorů
bylo vyvinuto v jazyku C++ s využitím knihoven dodávaných firmou Technosoft. Výsledky prvních
testů jsou velice slibné a toto řešení bude nadále podrobně zkoumáno a rozvíjeno.
Byly provedeny testy lineární motorizované jednotky M-683 firmy Physik Instrumente založené na
piezomotorech. Tyto jednotky umožňují rychlost posuvu řádově 350 mm/s a délku posuvu 50 mm.
Řízení jednotek bylo vyvinuto v jazyku C++ s využitím knihoven dodávaných výrobcem lineárních
piezomotorů. Tyto jednotky jsou benchmarkem pro další vývoj lineárních posuvů.
V roce 2012 docházelo k pravidelným konzultacím s partnerem projektu firmou Zebr s.r.o. Zkušenosti
firmy Zebr s.r.o. s použitím elektrických pohonů i jejich integrací do komplexních zařízení se ukazují
jako nedocenitelné a bylo navrženo několik inovativních řešení ve zmiňovaných oblastech. Byly
diskutovány možnosti synchronizace rotačních zařízení. K vzájemné úzké spolupráci bude docházet i
v následujícím období, budou zkoumány další možnosti realizace jednotlivých polohovacích jednotek.
Pracovní balíček: Multi senzorické a hyperspektrální zobrazovací systémy
Analýza a syntéza optických soustav pro IR oblast.
Bylo detailněji analyzováno pět nových US patentů optických soustav, které jsou určeny pro sledovaná
spektrální pásma – SWIR, eSWIR, MWIR, LWIR, případně jejich kombinace. Konstrukční analýza
probíhala pomocí software OSLO Premium. Program OSLO byl doplněn několika vlastními
podprogramy, které umožní snadnější zacházení s analyzovanými daty. Konstrukční syntéza byla
prováděna na základě aberační teorie prvního a třetího řádu s následným využitím řady optimalizačních
algoritmů. Byly sledovány limitní možnosti dosažení fyzikálně dokonalého zobrazení soustavami
pouze s refraktivními kulovými plochami a rotační symetrií. První konstrukční zkušenosti byly
prováděny i s cílem budoucího využití jak refraktivních asferických ploch, tak i difraktivních ploch. Je
zřejmé, že použití těchto typů ploch v optických systémech pro LWIR a MWIR je velmi efektivní a
výzkum i vývoj systémů s těmito prvky uskutečňovaný v rámci tohoto projektu zreální možnosti jejich
nasazení. Důležitou roli hrají dostupné refraktivní materiály pro všechny čtyři uvažované spektrální
oblasti. Byla studovány odborné publikace k tomuto tématu stejně, jako příslušné materiálové listy
jednotlivých výrobců a potenciálních dodavatelů. Databáze využívaného programu OSLO byla
částečně doplněna o optické konstanty vztahujících se k těmto materiálům. Byly zvoleny základní
materiály vhodné pro refraktivní či difraktivní zobrazovací optické IR systémy, které budou v rámci
tohoto úkolu dále vyvíjeny a používány.
V pásmu LWIR se analýza zaměřuje zejména na materiály: Ge, ZnSe, ZnS a chalkogenní sklo AMTIR
1, případně jeho alternativy od jiných výrobců vyráběné pod různými obchodními názvy. Úzká vazba
mezi vlastním detektorem a optickým systémem vyžaduje efektivní napojení parametrů. V oblasti
LWIR je vzhledem k velké vlnové délce záření nutné zajistit, aby optický systém byl fyzikálně
dokonalý. Spojíme-li požadavek dokonalého zobrazení ve smyslu Rayleighova kritéria s Nyquistovou
vzorkovací frekvencí, dostaneme pro oblast LWIR mezní frekvenci νR-N (bod nulového kontrastu křivky
MTF), kterou musí fyzikálně dokonalý optický systém dosáhnout. Tyto hodnoty uvádíme v následující
tabulce společně s údaji o některých nechlazených LWIR čipech, které jsou na trhu (regulovaném státy
výrobců) k dispozici. V tabulce je také uvedeno k nim odpovídající krajní clonové číslo cR-N. Je zřejmé,
že v oblasti LWIR miniaturizace velikosti pixelů dosáhla z hlediska rozlišovací schopnosti své
praktické meze a další zmenšování velikosti pixelů nemá podstatný smysl. Z teoretického hlediska má
mezní velikost pixelu pro střední vlnovou délku 10 μm velikost 12,5 x12,5 μm. Pro názornost uvádíme
i dva příklady optimalizovaných dvou optických systémů LWIR.
První příklad LWIR objektivu, znázorněný na obr. 1A představuje jednoduchý triplet se sférickými
plochami, v kombinaci materiálů AMTIR1- ZnS-AMTIR1, který rámcově splňuje požadavky
odpovídající prvnímu řádku v tab. 1. Opomeneme-li další důležité požadavky na konstrukci IR
objektivu, jako jsou atermalizace a odstranění narcisismu, je zřejmé, že i jednoduchá stavba tripletu je
schopna, na rozdíl od optických soustav určených pro VIS oblast, dosáhnout korekčního stavu, který
odpovídá fyzikálně dokonalému systému a splňuje požadavky na kvalitu zobrazení celého systému.
počet pixelů
320 x 240
velikost pixelu velikost senzoru úhlopříčka νR-N krajní clonové f' pro 2τ =20°
[μm]
[mm]
[mm]
[č/mm] číslo cR-N
[mm]
50
16 x 12
20
50
2
57
160 x 120
30
4,8 x 3,6
6
83
1,2
17
384 x 288
25
9,6 x 7,2
12
100
1
34
384 x 288
17
5,9 x4,9
7
147
0,68
20
640 x 480
25
16 x 12
20
100
1
57
640 x 480
17
10,9 x 8,2
13,6
147
0,68
39
1024 x768
17
17,5 x 13,1
21,8
147
0,68
62
Tab. 1: Nechlazené detektory na bázi amorfního Si a optické systémy v pásmu LWIR
Obr. 1A: Objektiv LWIR 1,7/57 pro zorné pole 20°
Při přechodu k vyšším světelnostem je problematika optické konstrukce složitější. Vysoké požadavky
na kvalitu zobrazení a vysoké světelnosti jsou protichůdné a v případě použití jen kulových ploch
vedou k mnohačlenným systémům. Použití asférických nebo difraktivních ploch jeproto téměř
nezbytné pro zachování „jednoduchosti“ systému s malým počtem ploch. Obr. 1B ukazuje alternativu
dvojčlenného objektivu jen ze dvou germániových čoček, který vychází z patentu US7848015. Na
první pohled jednoduchá dvojčlenná stavba je ovšem jak konstrukčně, tak i technologicky a výrobně
značně sofistikovaným systémem. Každá ze čtyř ploch je rotačně symetrická asférická plocha až do
stupně y12. Soustava je sice fyzikálně dokonalá, ale pro případ čipu s velikosti pixelů 17 x17 μm , který
je uveden na čtvrtém řádku tabulky 1, má nízkou světelnost. V tomto případě je clonové číslo příliš
nízké a bude výrazně omezovat kvalitu zobrazení celého systému. Použijeme-li čip se stejným počtem
pixelů 384x288, ale s jejich větší velikostí, to je 25 x 25 μm , musíme dle tabulky 1 použít objektiv o
ohniskové vzdálenosti 34mm. Výsledky pro stejnou stavbu objektivu jsou zobrazeny na obr. 1C. V
tomto případě je objektiv téměř fyzikálně dokonalý a svými parametry jen mírně překračuje meze pro
dosažení úrovně, kdy neomezuje rozlišení dané vzorkovací frekvencí čipu.
Obr. 1B: Objektiv LWIR 1,1/20 pro zorné pole 20°
Obr. 1C: Objektiv LWIR 1,1/34 pro zorné pole 20°
V pásmu MWIR se v optických systémech nejčastěji používají materiály: germánium, CaF2, AMTIR 3,
IG5, ZnSe , ZnS v úpravě Cleratran, tavený křemen a Si. Nejčastější rozměry čipů a velikosti jejich
pixelů v současnosti nabízených systémů jsou uvedeny v tab. 2 současně s mezní frekvenci ν R-N a
krajním clonovým číslem cR-N.
počet pixelů
velikost pixelu velikost senzoru úhlopříčka
νR-N krajní clonové
[μm]
[mm]
[mm]
[č/mm]
číslo cR-N
f' pro 2τ
=20°[mm]
320 x 256
30
16 x 12
12,3
83
3
35
640 x 512
15
16 x 12,8
20,5
165
1,5
58
1280 x 1024
15
19,2 x 15,4
24,6
165
1,5
70
Tab. 2: Chlazené detektory a optické systémy v pásmu MWIR na bázi Hg-Cd-Te
Příklad objektivu MWIR 3/150 s pevnou ohniskovou vzdáleností je uveden na obr. 2. Objektiv je určen
pro úzké zorné pole 4,7°. Je zřejmé, že z hlediska rozlišovací schopnosti splňuje požadavky uvedené v
tab. 2 v prvním řádku. Významné je i to, že aperturní clona je za optickými členy v obrazovém prostoru
a lze ji ztotožnit se studenou clonou, která je u MWIR objektivů většinou nutná. Oproti pásmu LWIR
více jak dvakrát kratší vlnová délka neklade z hlediska kvality zobrazení na světelnost objektivu již tak
velké požadavky. Pro větší zorná pole a vyšší světelnosti diktované nyní zdůrazněním požadavku na
zvýšení poměru S/N začíná převažovat omezení kvality působené aberacemi optické soustavy.
V pásmu SWIR (alespoň v pásmu kratšího SWIR – 0,9 až 1,7 μm) lze z hlediska spektrální
propustnosti použít většinu obvyklých optických skel. Negativem ovšem je, že disperzní vlastnosti
mnohých skel se v pásmu SWIR poněkud unifikují a neposkytují již tak velké možnosti ke korekci
barevných vad jak tomu je v pásmu VIS. Rozšířené pásmo eSWIR (0,9 až 2,5 μm) představuje téměř 3
oktávy spektra a barevná korekce je tak obzvlášť komplikovaná. Pro konstrukční činnost má proto
velký význam krystalický CaF2.
Obr. 2: Objektiv MWIR 2/150 pro zorné pole 4,7°; studená clona v zadní části objektivu
Vzhledem k následujícím milníkům s konkrétními výstupy, byla oblasti SWIR věnována největší
pozornost a byly studovány možnosti dosažení širokopásmové achromatizace. V tomto bodě činnost
navazuje výzkum na výsledky získané v rámci řešení projektu TIP FR-TI1/364, který byl v roce 2012
ukončen. V tabulce 3 jsou uvedeny čtyři typy detektorů InGaAS, které se uplatňují v oblasti 0,9 až 1,7
μm . V tabulce již neuvádíme údaje hodnoty pro krajní clonové číslo cR-N , ani mezní frekvenci ν R-N ,
protože v oblasti SWIR již většinou neurčují kvalitu zobrazení.
počet pixelů
velikost pixelu velikost senzoru
[μm]
[mm]
úhlopříčka
[mm]
f' pro 2τ =40°
[mm]
f' pro 2τ =20°
[mm]
320 x 256
30
12,3
17
35
16 x 12
640 x 512
25
16 x 12,8
20,5
28
58
320 x 240
40
12,8 x 9,6
16
22
45,4
1280 x 1024
15
19,2 x 15,4
24,6
374
70
Tab. 3: Nechlazené detektory a optické systémy v pásmu SWIR na bázi In-Ga-As
Některé nejnovější výsledky optické konstrukce (US2012/0243114) naznačují, že významným prvkem
pro širokopásmové zobrazovací systémy mohou být tvarově svobodné nesymetrické odrazné plochy,
které se také stávají předmětem našeho studia.
Část výsledků z konstrukční analýzy optických systémů pro IR oblast byla shrnuta v příspěvku
na semináři v Meoptě, jehož prezentační část je k dispozici na webu k projektu. Tam jsou také rámcově
uvedeny dosažené výsledky s objektivy SWIR.
Opracování netradičních optických materiálů pro zobrazovací pásmo (1,0 μm až 15 μm)
V rámci řešení ve firmě Meopta-optika, s.r.o. proběhla v první fázi poptávka polotovarů vybraných
optických materiálů (kromě Fused silici, která se ve společnosti Meopta-optika, s.r.o. standardně
používá pro výrobu opt. elementů) u dodavatelských firem s ohledem na orientaci krystalů a jejich
využití pro IČ oblast. Materiál CaF2 byl poptán u firmy Hellma, Ge a ZnS u firmy Korth Kristalle. Ve
druhé fázi došlo k dodání polotovarů Ge (10x rod průměr 35mm, tloušťka 30mm, monokrystal s osou
růstu v ose kotoučku), ZnS Flir Grade (10x rod průměr 35mm, tloušťka 30mm, monokrystal s osou
růstu v ose kotoučku)
Pro následné zkoušky opracování (především leštění) daných materiálů byl poptán LASEROVÝ
ANALYZÁTOR VELIKOSTI ČÁSTIC FRITSCH Analysette 22- NanoTec plus, umožňující
granulometrický rozbor vybraných leštiv. Druhým dodaným zařízením byl Planetový kulový mlýnek p5/2 FRITSCH pro mletí (zjemnění zrn) leštiv.
Dále proběhly zkoušky opracování materiálu Ge, CaF2 na polotovarech tzv. „předskokanech“, které
byly objednány RNDr. Jankujem k jeho prvním zkouškám vrstvení. Polotovary – kotoučky o průměru
20 mm a tloušťce 2 mm byly nakoupeny od firmy MaTecK GmbH, Ge - monokrystal s orientací (111),
CaF 2 - IR grade, monokrystal s náhodnou orientací. Zkoušky opracování byly započaty klasickou
brousicí a lešticí technologií na smole i umělých podložkách standardními optickými leštivy.
Proběhla návštěva firmy Hellma Materials, kde byly diskutovány otázky týkající se specifikace
materiálu CaF2 pro IČ oblast, včetně odpovídající orientace krystalu, homogenity, pnutí i laserové
odolnosti. Probrána byla i technologie opracování surového „ingotu“ pro potřeby zorientování krystalu,
nařezání polotovarů a jejich měření. Dále byl předveden strojní park a poskytnuty základní informace a
rady týkajicí se opracování tohoto materiálu (viz. Prezentace firmy Hellma Materials HMAT –
Meeting Meopta). O této cestě byla pro potřeby projektu vytvořena cestovní zpráva.
V následujících testech byla zvyšovaná přesnost rovinnosti pro Germánium. Kontrolní měření
probíhala na interferometru Zygo. Dále bylo testováno opracování Ge technologií CNC na umělých
podložkách. V závěru roku byl dodán stroj pro opracování LASEROVÝ ANALYZÁTOR VELIKOSTI
ČÁSTIC FRITSCH Analysette 22- NanoTec plus.
Tenké optické vrstvy pro spektrální pásma (1,0 μm až 15 μm).
V rámci řešení projektu zavedení IR technologii v Meoptě-optice byla v roce 2012 pozornost zaměřena
zejména na specifikaci vakuové aparatury vhodné pro tuto činnost, studiu literatury k dané
problematice, vytipování a nákupu potřebných napařovacích materiálů, lodiček a podložných
materiálů. Přestože vakuové aparatury byla specifikovány ve spolupráci s firmami LO a Umicore byla
v rámci minimalizace nákladu rozhodnuto o nákupu již použité vakuové aparatury Bak 760, která bude
přestavena Vakuum servisem Rožnov za cca 3 miliony korun. Vzhledem k opožděnému finálnímu
objednání vakuové aparatury z důvodu diskusí v Meoptě Přerov a nepřítomností majitele k
závěrečnému souhlasu s tímto řešením se nepodařilo vakuovou aparatury zajistit do konce roku, a proto
plánovaný termín dodávky do Meopty je až 3-4 měsíc roku 2013. Současně s objednávkou vakuové
aparatury se řešil i problém jejího umístění a rozsah potřebných úprav nového pracoviště. Vzhledem k
nedostatku řešitelských kapacit v oblasti technologií vrstvení byl v 10 měsíci uvolněn 1 pracovník z
výroby, který pracoval jako obsluha obdobné vakuové aparatury Bak 760 a je postupně zaškolován
jako pracovník oddělení tenkých vrstev. Po dodání nové vakuové aparatury převezme hlavní
technologickou odpovědnost za její činnost.
Pracovní balíček: Digitální zobrazování s podporou technologie PMS
Teoretické i experimentální činnosti probíhaly v koordinaci UP a VUT s aplikačním pracovištěm firmy
Meopta-optika, s.r.o. Toto pracoviště rovněž provedlo rešerši přístupů k aplikaci PMS v optické
metrologii a aktuální průzkum trhu. Na tomto základě vyhodnotilo vhodné přístupy k metrologické
aplikaci PMS a s tím související nutné vybavení laboratoře. Bylo vytvořeno potřebné technické zázemí
pro plánované činnosti.
Zobrazování pomocí PMS a metod digitální rekonstrukce obrazu.
Prostorová modulace světla (PMS), která představuje základní techniku pracovního balíčku, je moderní
optoelektronickou technologií s širokým aplikačním potenciálem. PMS je založena na elektrooptickém
jevu v kapalných krystalech, umožňujícím řízenou změnu indexu lomu jednotlivých buněk. Podle
konstrukčního typu zařízení je změna indexu lomu využita k modulaci amplitudy nebo fáze
dopadajícího záření. Index lomu jednotlivých buněk lze měnit pomocí vhodného softwaru téměř v
reálném čase, takže metoda je z hlediska praktického využití dostatečně operativní a univerzální.
Schválený program balíčku se zaměřuje na zobrazovací a metrologické aplikace PMS.
V průběhu řešení projektu byla hlavní pozornost zaměřena na metody digitálního zobrazování s
podporou PMS. Pracovní činnost byla rozdělena do dvou základních aktivit orientovaných na vlastní
výzkum digitálního korelačního zobrazení a na systematické studium principů a vlastností metod PMS
zobrazování, založené na mezinárodních odborných publikacích.
Digitální korelační zobrazování s nekoherentním světlem
Aktivita byla zaměřena na výzkum metody, jejíž teoretické a experimentální základy byly ve spolupráci
VUT Brno a UP Olomouc vytvořeny před zahájením projektu (P. Bouchal et al, Opt. Express 19,
15603, 2011). Metoda pracuje s korelačními záznamy zobrazovaného objektu, které jsou pomocí PMS
pořízeny v prostorově nekoherentním světle. Digitální 3D rekonstrukce obrazu je provedena
zpracováním korelačních záznamů pomocí vhodných algoritmů.
V roce 2012 byly získány výsledky, které metodu rozvíjejí jak z hlediska využívaných
fyzikálních mechanismů, tak i nových experimentálních konfigurací a modifikací. Získané výsledky
mají praktický význam a vedou ke zvýšení výkonu metody a rozšíření spektra možných aplikací.
Prokazatelnými výstupy jsou odborné publikace, vytvořené teoretické a technické zázemí a funkční
experimenty, které poskytují základ pro následující etapy řešení projektu. Hlavní výsledky teoretické
analýzy lze shrnout následovně:
•
Byl vytvořen matematický model metody, který umožňuje kompletní popis záznamu a
rekonstrukce pozorovaných objektů a určení základních parametrů zobrazení.
•
Na základě matematického modelu bylo vytvořeno zázemí pro numerické simulace používané k
ověřování nových principů zobrazení a návrhů optimalizovaných experimentálních sestav.
•
S využitím výpočetních modelů a provedených experimentů byl ověřen hybridní koherenční
charakter metody. Ten kombinuje záznam objektu provedený v prostorově nekoherentním
záření s jeho následnou digitální rekonstrukcí, která probíhá v plně koherentním režimu. Tento
mechanismus umožňuje s kvazimonochromatickými prostorově nekoherentními zdroji
dosáhnout efektů, které jsou v plně optických experimentech dostupné jen s koherentním
zářením.
•
Byla navržena a experimentálně ověřena metoda, která pro rekonstrukci obrazu využívá
vírových stavů světla. V realizovaných experimentech byly světelné víry implementovány
opticky při záznamu hologramů pomocí PMS, nebo digitálně při rekonstrukci standardních
záznamů. Vírové stavy světla umožňují dosažení izotropního i anizotropního zvýraznění hran
rekonstruovaných objektů. Proti dříve známým technikám je metoda originální tím, že pracuje s
nekoherentním zářením a umožňuje zvýšení kontrastu hran u 3D objektů [1].
•
Byly navrženy a experimentálně ověřeny modifikace sestavy zajištující maximální optický
výkon z hlediska rozlišení, velikosti zorného pole [2] a spektrální odolnosti.
Rešerše známých metod zobrazování s využitím PMS
Součástí řešení bylo vytvoření systematického přehledu metod využívajících technologií PMS. K
průniku PMS do zobrazovacích a metrologických aplikací dochází teprve v posledních letech, takže
informace bylo nutné získávat z aktuálních odborných publikací v mezinárodních časopisech. Cílem
rešeršní práce bylo rozšíření dosavadních poznatků o možnostech PMS a nalezení vhodných principů
využitelných v oblastech digitální mikroskopie a průmyslové metrologie. S ohledem na rozsáhlost této
problematiky, byla pozornost věnována zejména metodám jednocestného korelačního zobrazování a
filtrace prostorového spektra, které při zachování kompaktnosti systému poskytují informaci nad rámec
klasického zobrazení. Základní zobrazovací metodou aktivně rozvíjenou v průběhu řešení projektu je
digitální korelační zobrazování s nekoherentním světlem. Porovnání jednotlivých metod provedené
v rešerši bude využito pro další rozvoj a modifikace této metody, a to jak z hlediska využívaných
principů, tak i optimální volby parametrů experimentu. V rámci metrologických aplikací je hlavní
pozornost zaměřena na střihovou interferometrii realizovanou pomocí PMS. Návrhy dalších možných
metod budou provedeny s ohledem na předpokládané využití pro kontrolu optických ploch. Výsledky
teoretické analýzy principů zobrazování pomocí PMS, včetně poznatků provedené rešerše, budou
zpracovány ve výzkumné zprávě s plánovaným termínem dokončení 03/2013.
Návrh metod pokročilé holografické rekonstrukce.
Při holografickém zobrazování v některých případech vznikají v rekonstruované obrazové komplexní
amplitudě optické víry, tedy singularity, které se vyznačují nenulovou hodnotou fázového rozdílu na
uzavřené křivce obsahující bod nulové intenzity. Tyto víry způsobují problémy při navazování fáze
(odstranění skoků fáze s hodnotou 2π). Pokud je sama funkce propustnosti vzorku vírová, pak je
případný vír přenesen i do zobrazení. Při zobrazení reálných vzorků, kdy fázové posuvy závisejí na
rozdílu optických drah daných rozdíly v rozložení indexu lomu vzorku, však obvykle signální svazek
tyto singularity neobsahuje. Případné víry v obrazové fázi pak mají původ v koherentním
zobrazovacím procesu, případně vznikají při rozptylu svazku v difuzním prostředí, které může
obklopovat vzorek. Cílem činnosti je vytipovat vhodné metody navazování fáze, které jsou odolné vůči
přítomnosti vírů v obrazové fázi, jednak najít možnost rekonstrukce nevírové funkce propustnosti
vzorku. Z testovaných známých algoritmů navazování fáze se jako nejvhodnější nyní jeví
modifikovaný Goldsteinův algoritmus, který je nyní testován z hlediska maximální rychlosti a
adaptován pro použití v holografické rekonstrukci. Vznik vírů během zobrazení lze objasnit a
simulovat pomocí teoretického popisu zobrazení v holografickém mikroskopu, který byl rozpracován
[3]. Příklad vzniku vírů při zobrazení modelového vzorku s nevírovou funkcí propustnosti je na
obrázku 1. Tento teoretický popis byl zobecněn také pro přítomnost difusního prostředí v zobrazovací
cestě [4]. Bylo zjištěno, že vznik a vývoj optických vírů při změně parametrů simulovaného zobrazení
je ve shodě se známou teorií (viz např. Allen et al. Ultramicroscopy 88 (2001) 85–97).
Obr. 1: Příklad simulace vzniku optických vírů při holografickém zobrazení fázového
objektu s bezvírovou funkcí propustnosti, jejíž fáze je znázorněna na obrázku a). Optické
víry (vyznačeny šipkami) v obrazové fázi na obrázku b) vznikly v důsledku omezeného
rozlišení optické soustavy.
Činnost bude pokračovat zobecněním teoretických poznatků a ověřením vhodné metody rekonstrukce
bezvírového předmětového pole na základě naměřené obrazové fáze. Za vhodný přístup považujeme
korekci obrazové fáze pomocí fitování teoretických dat na výsledky experimentu. Tento přístup je
aktuálně testován.
Software pro řízení PMS
Základem řešení je technologie prostorové modulace světla (PMS), která využívá elektrooptického jevu
v kapalných krystalech. V laboratořích UP Olomouc jsou k dispozici systémy firem Hamamatsu,
Boulder a Holoeye, které umožňují energeticky efektivní fázovou modulaci vstupního záření.
Požadovaná změna fáze světelné vlny je určena elektrickými signály, které mění index lomu
jednotlivých buněk LCD. Provedení PMS vyžaduje realizaci fázových hologramů a jejich přenos na
LCD. Příprava počítačem generovaných hologramů je realizována pomocí algoritmů připravovaných v
prostředí Matlab, jejich přenos na LCD byl řešen pomocí jednoduchého uživatelského softwaru.
V průběhu roku 2012 probíhal podle stanoveného plánu vývoj řídícího softwaru jak na úrovni
algoritmů pro přípravu hologramů, tak i automatizace jejich přenosu na LCD. V digitálním zobrazování
vyvíjeném v pracovním balíčku je rekonstrukce obrazu prováděna ze tří korelačních záznamů, které
vyžadují odeslání tří rozdílných fázových hologramů na LCD. Tyto operace nelze dostatečně rychle a
efektivně provést pomocí standardního uživatelského softwaru. Pro řízení experimentu byl proto využit
systém LabView, který je na VUT běžně užíván a na UP Olomouc byla pořízena akademická licence z
prostředků projektu. V průběhu řešení projektu bylo úspěšně vyřešeno automatické odesílání počítačem
generovaných hologramů na LCD a načítání korelačních záznamů ze CCD do počítače. V následném
období bude řešena komunikace se softwarem pro rekonstrukci obrazu z pořízených korelačních
záznamů. Řešení probíhá v souladu s původním plánem a ukončení vývoje softwaru ve stanoveném
termínu je reálné.
Návrh numerických modelů pro simulaci zobrazování pomocí PMS.
Prostorová modulace světla (PMS) je v zobrazovacích aplikacích nejčastěji využívána pro realizaci
strukturovaného osvětlení, filtraci prostorového spektra, nebo dělení vlnoplochy. Korelační zobrazovací
metody vyvíjené v balíčku jsou založeny na interferenci vln, které vznikají rozdělením vstupní vlny
pomocí PMS. Zobrazovací systém představuje jednocestný interferometr, který může pracovat s
prostorově nekoherentním zářením a pro korelační záznam využívá časovou koherenci. Zobrazení má v
tomto případě část optickou, ve které je proveden záznam objektu, a část digitální, ve které jsou
záznamy numericky zpracovány a následně rekonstruovány. Celý proces je závislý na velkém počtu
experimentálních parametrů, jejichž vlivy je nutné vyšetřit pomocí numerických simulačních modelů.
Pro návrhy a optimalizaci systémů byly v prostředí Matlab vytvořeny virtuální experimenty, které byly
použity k řešení následujících problémů:
•
•
•
•
Určení impulzní odezvy při záznamu a rekonstrukci bodových objektů v monochromatickém
záření.
Určení parametrů experimentu pro optimální rozlišení systému a kvantifikace subdifrakčního
rozlišení. Subdifrakční rozlišení bylo experimentálně prokázáno a příspěvek k diskuzi
překročení difrakčního limitu je v přípravě k publikaci.
Analýza korelačních záznamů při použití záření s proměnnou šířkou spektra a stanovení
závislosti rozlišení detailů na koherenční délce použitého zdroje. Analýza umožnila určení
parametrů, se kterými byla experimentálně ověřena možnost záznamu a rekonstrukce 3D
objektů v bílém světle. Výsledky jsou originální jak z hlediska základní teorie, tak i aplikací a
připravují se k publikaci.
Ověření rotace obrazu při diskrétní spirální filtraci prostorového spektra. Výsledky byly
publikovány [5] a je zvažováno jejich další využití v metodách umožňujících přesnou lokalizaci
pozorovaných objektů.
Úkoly, které byly pro simulační aktivity stanoveny v původním návrhu projektu, jsou již v této fázi
řešení splněny. V průběhu řešení projektu se ale objevila řada nových námětů, a je zřejmé, že optické
simulace budou významnou aktivitou i po stanoveném termínu 03/2013. Jedním z důležitých podnětů
je ověření možnosti realizace PMS pomocí standardních difraktivních elementů. Tuto možnost je nutné
prověřit pomocí přesných virtuálních experimentů a mohla by mít zásadní význam pro další průběh
řešení projektu. Nahrazení prostorových modulátorů prvky vyrobenými metodami elektronové
litografie by zvýšilo kompaktnost systému a výrazně snížilo náklady konstruovaného systému.
Realizace experimentů pro ověření zobrazovacích vlastností systémů pracujících s využitím PMS.
Ověřovací experimenty, které byly v průběhu řešení projektu realizovány, demonstrují nestandardní
vlastnosti a široký aplikační potenciál digitálních zobrazovacích metod využívajících technologie
prostorové modulace světla (PMS). Návrhy ověřovacích experimentů vycházely jak z vlastních
teoretických podnětů, tak i studia nových odborných publikací. Realizaci ověřovacích experimentů
předcházely návrhy a optimalizace parametrů provedené v připravených simulačních modelech. Na
ověření základního principu záznamu a rekonstrukce 3D objektů v kvazimonochromatickém prostorově
nekoherentním záření navázaly pokročilé experimenty, které prokázaly možnost vírového záznamu a
rekonstrukce obrazu, dosažení subdifrakčního rozlišení a zobrazení s využitím širokospektrálního
záření. Ověřovací experimenty byly zaměřeny i na dílčí úkoly, které jsou motivované aplikacemi a
návrhy výhodného konstrukčního uspořádání systému. Tyto činnosti budou pokračovat a v optimálním
případě by mohly vést k realizaci PMS pomocí difraktivních prvků připravených standardními
technologiemi.
Zvýraznění kontrastu amplitudových přechodů 3D objektů v nekoherentním světle
Hybridní koherenční režim digitálního zobrazování, umožňující nekoherentní záznam a koherentní
rekonstrukci objektů, se stal základem experimentů založených na využití koherentních vírových stavů
světla. Vírové zobrazení je používáno v mikroskopii pro zvýšení kontrastu hran transparentních
objektů. Tato metoda byla navržena v roce 2005 a její princip vyžaduje použití koherentního záření.
Spirální mikroskopie využívá efektů konstruktivní a destruktivní interference, které při zobrazování s
vírovou impulzní odezvou vedou ke zvýraznění gradientů amplitudy nebo fáze pozorovaných objektů.
Obr. 2: Standardní a vírové digitální zobrazení USAF testu: a) standardní způsob záznamu
a rekonstrukce hologramů, b) rekonstrukce hologramů zaznamenaných pomocí vírové
referenční vlny, c) rekonstrukce standardních záznamů provedená pomocí digitální spirální
filtrace.
Obr. 3: Trojrozměrné zobrazení jehly umístěné před kruhovou clonou: a) přímý optický
obraz, b) vírová rekonstrukce obrazu při zaostření na jehlu, c) vírová rekonstrukce s
numerickým přeostřením na clonu. Srovnání různých režimů zobrazení blechy: d) přímý
optický obraz, e) standardní rekonstrukce korelačních záznamů, f) rekonstrukce s digitální
spirální filtrací.
Ověřovací experimenty provedené v balíčku prokázaly možnost vytvořit vírovou impulsní odezvu i
v digitálním korelačním zobrazení při použití prostorově nekoherentního světla. Pro dosažení vírového
režimu zobrazení byly navrženy dvě rozdílné techniky, realizované buď v optické, nebo digitální části
experimentu. Optická realizace je založena na korelačním záznamu, ve kterém je standardní referenční
vlna nahrazena vírovou vlnou se šroubovitou vlnoplochou. Realizace takové referenční vlny byla
provedena návrhem vhodného počítačem generovaného hologramu a jeho odesláním na LCD.
Hologramy objektu vytvořené pomocí vírových korelačních záznamů jsou potom rekonstruovány
obvyklým způsobem. V digitální realizaci se pracuje se standardními korelačními záznamy objektu a
vírová impulsní odezva je získána spirální modulací prostorového spektra, provedenou při rekonstrukci
záznamů. Rekonstrukce získané diskutovanými postupy jsou uvedeny v obrázku 2.
Optická i digitální alternativa vírového zobrazení byla realizována a funkčnost a použitelnost návrhu
byla ověřena na rozlišovacích testech i reálných objektech. Metoda je specifická tím, že umožňuje
zvýraznění amplitudových gradientů v nekoherentním světle, a jejím hlavním přínosem je možnost
použití i v trojrozměrném zobrazování – viz obrázek 3.
Podle našich informací se jedná o první demonstraci tohoto typu zobrazení. Získané výsledky
prezentované v obrázcích 2 a 3 byly publikovány v prestižním optickém časopise [1] s impaktním
faktorem.
Korelační holografické zobrazení v bílém světle
Zobrazovací systém, který byl v průběhu řešení projektu analyzován a rozvíjen, představuje
jednocestný interferometr s dělením vlnoplochy pomocí prostorové modulace světla (PMS). Tento
systém poskytuje interferenční záznamy jednotlivých bodů pozorovaného objektu, které jsou vzájemně
zcela nekorelované. Takový způsob záznamu nevyžaduje prostorovou koherenci použitého záření, ale
pracuje s koherencí časovou. Korelační bodové záznamy mohou vzniknout pouze tehdy, když rozdíl
optických drah interferujících vln nepřesáhne koherenční délku použitého záření. V základní
experimentální konfiguraci byly pro záznam používány vlny vyžadující šířku spektra použitého zdroje
10 až 20 nm. V odborných publikacích zveřejněných v roce 2012 (X. Lai et al, Opt. Lett. 37, 2445,
2012) byl proveden návrh geometrie interferujících vln, která vede k výraznému zmenšení rozdílu
optických drah. Na základě těchto publikačních podnětů byla v rámci řešení projektu provedena série
experimentů, která prokázala možnost výrazného rozšíření spektra použitého záření. Bylo tak možné
pracovat s LED o šířce spektra 60 nm bez použití spektrálních filtrů. V optimalizovaném systému byl
úspěšně proveden záznam a rekonstrukce objektů v podmínkách extrémně nízké časové koherence
odpovídající bílému světlu. Výsledky získané v experimentální konfiguraci poskytující nejvyšší
odolnost z pohledu snížené koherence světla jsou v obrázku 4.
Obr. 4: Rekonstrukce korelačních záznamů pořízených při rozdílné časové koherenci světla
určené spektrálními filtry o pološířce: a) 10 nm, b) 40 nm a c) 70 nm. d) Rekonstrukce
korelačních záznamů vytvořených v bílém světle halogenové žárovky.
Pro záznamy bylo v tomto případě použito bílé světlo halogenové žárovky v kombinaci se spektrálními
filtry. Porovnání výsledků získaných při záření o spektrální šířce 10 nm a v bílém světle ukazuje zřejmý
pokles rozlišení. Pro vysvětlení tohoto efektu byl navržen výpočetní model, který umožňuje najít
přímou souvislost mezi koherenční délkou použitého zdroje a dosaženým rozlišením. Teoretické
výsledky jsou v dobrém souladu s experimenty a jsou připraveny k publikaci. Závěry provedené
analýzy jsou příslibem pro rozvoj PMS interferometrie v bílém světle a zejména pro využití vyvíjené
zobrazovací metody ve fluorescenční mikroskopii.
Návrh optimalizovaných systémů pro holografický záznam a digitální rekonstrukci obrazu.
V průběhu řešení projektu byla realizována řada experimentů rozvíjejících digitální zobrazovací
technologie s ohledem na nové netradiční principy a vlastnosti zobrazení. Na základě odborných
publikací a vlastních návrhů byly ale také provedeny experimenty, jejichž cílem bylo vytvoření sestav,
které budou optimální jak z hlediska optického výkonu, tak i technických a konstrukčních řešení. Byla
nalezena a úspěšně experimentálně prověřena konfigurace zajištující optimální rozlišovací schopnost
systému, při které je překročen difrakční limit použitého mikroskopového objektivu. Dále byl vytvořen
a úspěšně experimentálně testován nový návrh sestavy zajištující úplné korelační překrytí
interferujících vln, které vedlo k výraznému zvětšení využitelného zorného pole.
Optimalizace systému z hlediska rozlišovací schopnosti a ověření subdifrakčního rozlišení
Při standardním optickém zobrazování je rozlišení detailů omezeno difrakčním limitem, který je
jednoznačně daný pracovní vlnovou délkou a numerickou aperturou systému. V digitálním zobrazování
je situace složitější a dosažené rozlišení závisí nejen na parametrech použitého mikroskopového
objektivu, ale také na geometrii, ve které je proveden záznam hologramů. V sestavě studované v
projektu jsou klíčovými parametry ohnisková vzdálenost čočky vytvořené pomocí PMS a poloha CCD
při záznamu hologramů. Souvislost mezi parametry použitého optického systému, záznamovou
geometrií a dosaženým rozlišením byla podrobně studována ve vytvořených modelech a správnost
výpočtů byla ověřována experimentálně. Tento postup umožnil provést optimální nastavení systému a
prokázal možnost dosáhnout v předmětovém prostoru rozlišení detailů, které jsou za hranicí
difrakčního limitu použitého mikroskopového objektivu. V tomto smyslu lze tedy hovořit o
subdifrakčním rozlišení, které je významnou vlastností zobrazovacích systémů. Ve zkoumané metodě
digitálního zobrazování plyne možnost překonání difrakčního limitu přímo z vlastností systému a lze jí
dosáhnout vhodnou kombinací parametrů PMS a geometrických parametrů použitých při záznamu
hologramů.
Dvoustupňový proces zobrazení, který kombinuje optickou a digitální část, nemá předmětovou a
obrazovou aperturu vázanou s příčným měřítkem zobrazení prostřednictvím Lagrangeova invariantu,
jak je tomu v čistě optickém zobrazení. Tato vlastnost umožňuje měnit rozlišení systému volbou jeho
základních parametrů a v optimálním případě překročit difrakční limit optického zobrazení
vytvořeného použitým objektivem.
Obr. 5: Demonstrace subdifrakčního rozlišení: a) přímý difrakčně limitovaný optický obraz
s rozlišením 40,3 č/mm, b) digitálně rekonstruovaný obraz s rozlišením 57 č/mm.
Experimentální demonstrace subdifrakčního rozlišení v popsaném systému digitálního zobrazení je na
obrázku 5. Experiment byl proveden s nízkou numerickou aperturou objektivu, při které se neprojeví
optické vady a systém pracuje jako fyzikálně dokonalý. Tímto způsobem byla ověřena možnost
překonání difrakčního limitu, ale pro praktické použití je nutné experiment realizovat s vyšším
obrazovým výkonem. Tento úkol bude dále řešen s ohledem na technické a konstrukční problémy.
Zvětšení korelačního zorného pole
Velikost využitelného zorného pole a rozlišovací schopnost jsou nejdůležitějšími optickými parametry
každého zobrazovacího systému. V klasických optických systémech je zorné pole vymezeno
mechanicky v rovině obrazu nebo meziobrazu a jeho velikost určují rozměry účinné plochy detektoru
nebo clony zorného pole. V korelačním zobrazování o velikosti oblasti, ve které je obraz úspěšně
rekonstruován, navíc rozhoduje míra překrytí signálního a referenčního pole. Přestože korelační
překrytí má zásadní význam, v dostupné odborné literatuře nebyla tato problematika dosud
systematicky zpracována. Při řešení projektu byla pozornost zaměřena jak na teoretickou analýzu, tak i
na experimentální ověření korelačně podmíněného zorného pole.
Obr. 6: Demonstrace zvětšení zorného pole: a) zorné pole redukované nedostatečným
korelačním překryvem ve standardní konfiguraci, b) zvětšené zorné pole v sestavě s
přizpůsobovacím optickým systémem – dostupné zorné pole je omezené účinnou plochou
detektoru, c) rekonstrukce korelačního záznamu v plném zorném poli objektivu při použití
optimalizovaného systému.
Výsledky ukázaly, že ve známých konfiguracích je korelační překrytí signální a referenční vlny
zajištěno jen v omezené části zorného pole použitého mikroskopového objektivu. Pro určení míry
korelačního překrytí byl zaveden faktor, který umožnil jednoduchou kvantifikaci překrytí ve
všech používaných experimentálních konfiguracích. Analýzou bylo prokázáno, že zmenšení zorného
pole mikroskopového objektivu způsobené nedostatečným korelačním překrytím se projevuje
nevýrazněji při použití objektivu s velkým zvětšením a při nastavení parametrů, které vedou
k optimálnímu rozlišení. V návaznosti na provedenou analýzu byla navržena modifikace systému, která
zabezpečuje úplné korelační překrytí signální a referenční vlny v celém zorném poli použitého
objektivu.
Tohoto efektu bylo dosaženo pomocí dvoučlenného přizpůsobovacího optického systému, který byl
vřazen mezi PMS a CCD. Po této úpravě bylo možné provést rekonstrukci obrazu v zorném poli, které
bylo ve srovnání s dříve užívaným systémem až několikanásobně větší. Průkazné experimentální
výsledky jsou demonstrovány v obrázku 6 a jsou zpracovány v publikaci, která je v recenzním řízení
[2].
Literatura
[1] P. Bouchal and Z. Bouchal, Selective edge enhancement in three-dimensional vortex imaging with
incoherent light, Opt. Lett. 37, 2949-2951 (2012).
[2] P. Bouchal and Z. Bouchal, Wide-field common-path incoherent correlation microscopy with
perfect overlaping of interfering beams, J. Europ. Opt. Soc.Rap. Public (zasláno).
[3] R. Chmelík, Coherent Imaging with Incoherent Light in Digital Holographic Microscopy. Proc.
SPIE (v tisku).
[4] M. Henzlová, Theoretical study of coherence-controlled holographic microscopy in the presence of
scattering media. Proc. SPIE (v tisku).
[5] M. Baránek and Z. Bouchal, Rotating point spread function in spiral phase contrast imaging with
discrete phase modulation, Proc. SPIE (v tisku).
Pracovní balíček: Zpracování dat S-H senzoru v metrologii a zobrazování
Analyzování současné technologické špičky v oblasti S-H detekce.
Tato činnost měla za úkol přehledně zmapovat technologickou úroveň nejnovějších S-H detektorů na
světovém trhu a dát tak řešitelům informace o tom, jaké technologie jsou dnes komerčně dostupné, jaké
možnosti tyto systémy nabízí a kde je potencionální prostor pro aplikaci nově vzniklých technologií
v rámci projektu. Na trhu se vyskytují i uzavřené jednoúčelové metrologické systémy, jejichž základem
je S-H detekce, ty ovšem nebyly do analýzy zahrnuty, protože v projektu jde o technologii S-H jako
takovou.
S-H systémy mají svou hardwarovou a softwarovou část, proto se při analyzování senzoru musí brát
v potaz obě složky. Softwarová část má obecně na výkon systému větší vliv, což je dáno různou úrovní
použitých algoritmů. Jelikož žádný výrobce neposkytne přímé informace o druhu jím využívaných
algoritmů, byly udávané vlastnosti systémů konfrontovány se současnou odbornou literaturou a byly
tak vytipovány nejpravděpodobněji využívané algoritmy. Hardwarová část S-H detektoru má dva
základní prvky a to CCD kameru a mikročočkové pole. Jelikož většina výrobců S-H detektorů tyto
klíčové prvky nakupuje, byly do analýzy zahrnuty i možnosti výrobců těchto jednotlivých komponent a
bylo sledováno, kteří výrobci nejčastěji poskytují své komponenty pro S-H detektory.
Pro přímý kontakt s výrobci byly navštíveny veletrhy v Baltimore-USA a Frankfurtu-Německo.
Zejména u nějvětších výrobců S-H detektorů, což jsou Imagine Optics a Optocraft, byl zachycen trend
využívání velkých CCD čipů, což umožňuje konstrukci detektorů s velkým prostorovým rozlišením. Je
to dáno zejména rozvojem čipů na kinofilmový formát. Nevýhodou takovýchto čipů je velké množství
přenášených dat a tím malá frekvence snímkování, velké nároky na výpočetní techniku a velká
pořizovací cena. Přes tyto nevýhody bylo rozhodnutu zakoupit takovouto kameru pro potřeby projektu
a sestavit tak systém s co možná nejvyšším prostorovým rozlišením.
Nejlepším zdrojem informací byly získané manuály systémů firem Imagine Optics, Thorlabs a Flexible
Optical. Z těchto manuálů jde vyčíst důležité informace a používaných algoritmech a toku dat
v senzoru. Tyto informace jsou zvláště cenné pro sestavování Meopta software pro S-H detektor.
Některé již byly v průběhu roku zapracovány, větší část bude zapracována v roce příštím v rámci
činnosti „Programování software pro kontrolu dat z S-H senzoru a diagnostiku intenzity a vlnoplochy“.
O S-H detekci je velký zájem i výzkumné sféře a tato problematika se často vyskytuje i v současné
odborné literatuře. Zejména se jedná o nové typy algoritmů pro zlepšení dynamického rozsahu a
citlivosti senzoru. Některé z těchto algoritmů byly vybrány a budou se realizovat v Meopta software
v následujícím roce.
Obecně lze říci, že úroveň současných SH systémů pro optickou metrologii se blíží úrovni dosud
dominantní digitální interferometrie, což je dáno zejména rozvojem CCD prvků a velkému pokroku
v digitálním zpracování obrazu v posledních letech. Z analýzy též vyplývá, že u všech systémů
podstatnou část ceny tvoří vždy software. Meopta jako člen řešitelského týmu již svůj základní
software vlastní, ten ovšem ještě úrovně software zavedených firem nedosahuje. Závěry učiněné při
této analýze dávají jasný přehled potřebných vylepšení a lze říci, že všechny cíle jsou dosažitelné. Ze
zkušeností učiněných na vlastních sestavách jsme narazili též na problém s maskováním signálu pro
výpočet aberací, který ani v konkurenčních software není spolehlivě vyřešen. Významnost tohoto
problému je diskutována i v literatuře. Zde se tedy nabízí možnost předstihnout konkurenci.
Informační protokoly pro S-H detekci.
Cílem našeho snažení je prozkoumat možnosti detekce netradičního stavu světla pomocí S-H senzoru.
Proces detekce je úzce spjatý s digitální rekonstrukcí stavu analyzovaného optického signálu. Výzkum
na katedře optiky se zaměřil na statistickou analýzu detekovaného signálu S-H detektoru z hlediska
informačních protokolů využívaných ve kvantové informatice. Bylo vyjasněno, že informace
odpovídající detekci za jednotlivými ohraničenými mikročočkami odpovídá navzájem se
nepřekrývajícím (ortogonálním) detekcím. Z tohoto pohledu neposkytuje měření tomograficky
kompletní informaci na neomezeném prostoru signálních stavů. Byla studována otázka, za jakých
dodatečných omezujících podmínek je možné získanou informaci považovat za úplnou. Tento výzkum
je nezbytnou součástí pro následnou úspěšnou praktickou aplikaci tomografické rekonstrukce na reálný
signál.
Výzkum v oblasti nových informačních protokolů se dále zabýval otázkou výsledné meze
rozlišitelnosti jednotlivých parametrů. V rámci vypsané bakalářské práce je ve zjednodušeném modelu
studovaná difrakční mez S-H detekce pro úhlové rozlišení s využitím Fisherovy informace. Následné
rozšíření pak povede k vyjasnění meze rozlišení pro další detekovatelné parametry, např. stupeň
koherence mezi dvěma překrývajícími se rovinnými vlnami. Popis S-H detekce úzce souvisí s aperturní
syntézou a proto se činnost zaměřila i na studium a modifikací metod využívaných v této oblasti.
Jako základní stav optického pole pro tyto úvahy byla vybrána superpozice rovinných vln.
Z fourierovského popisu optiky víme, že ze superpozice rovinných vln jde připravit jakýkoli stav pole a
tyto vlny je možno navíc jednoduše připravovat laboratorně. Příkladem stavu světla, který není možné
detekovat tradičními S-H metodami je částečně koherentní superpozice dvou a více vzájemně
nakloněných rovinných vln. Takto připravený stav světla lze popsat pomocí koherenční matice, což je
hermitovská matice, která pro výše zmíněnou superpozici d vln má hodnost d a obsahuje d(d+1)/2
nezávislých elementů.
V první fázi úvah jsme zanedbali interferenci mezi jednotlivými mikročočkami. Proces měření S-H
senzoru lze popsat jednoduchým vztahem, který je založený na výpočtu stopy součinu koherenční
matice a matice měření. Matice měření charakterizuje proces měření intenzity na konkrétním pixelu
detektoru při využití určité mikročočky. Našim cílem bylo nejprve uvážit za jakých podmínek je možné
z libovolné známé superpozice nakloněných rovinných vln rekonstruovat z daného měření S-H senzoru
koherenční matici a diskutovat, jak je tato rekonstrukce odolná vzhledem k případnému šumu na
detektoru.
Za účelem další diskuze byly odvozeny matice měření pro mikročočky s čtvercovou a kruhovou
propustností. Tyto matice obsahují podle typu propustnosti sinc nebo jinc funkce doplněné o příslušné
fázové faktory.
Dobrou mírou odolnosti daného měření vzhledem k šumu se ukazují být tzv. singulární hodnoty matice
měření. Aby bylo možné rekonstrukci provést, je nutné mít k dispozici stejný počet nenulových
singulárních hodnot matice měření, jako je počet nezávislých elementů koherenční matice. Pro vyšší
singulární hodnoty bude rekonstrukce odolnější.
Z numerické analýzy tohoto problému vyplynula výrazná závislost singulárních hodnot na volbě
konkrétní superpozice rovinných vln. Z tohoto důvodu byly numericky zjištěny singulární hodnoty
v závislosti na volbě daných náklonů. Grafy na obr. 1 znázorňují nejnižší singulární hodnotu
v závislosti na volbě superpozice náklonů rovinných vln. Obrázek vlevo demonstruje situaci pro 2
mikročočky a 10 pixelů za každou z nich. Pro srovnání je na obrázku vpravo stejný graf pro 40
mikročoček a 15 pixelů za každou z nich. Z obou grafů je patrné výrazné zlepšení napříč celým
prostorem nakloněných vln po přidání mikročoček a pixelů.
Obr. 1: Singulární hodnoty matice měření pro systém rovinných vln o různém náklonu.
V blízké budoucnosti bude provedena optimalizace počtu a velikosti mikročoček a velikosti pixelů s
ohledem na singulární hodnoty. V současné době probíhá analýza vlivu interference mezi jednotlivými
mikročočkami.
Za účelem ověřování nových informačních protokolů pro SH detekci byla v laboratoři Univerzity
Palackého vytvořena experimentální sestava, na které se provádí základní experimenty a současně
analyzují technologické problémy vyplývající ze zcela nového pohledu na S-H detekci, viz. obr. 2.
Protože obecně se bude zkoumat signál částečně koherentní, obsahuje sestava dva nezávislé laserové
zdroje, které umožňují vytvářet současně nekoherentní i koherentní superpozice vln. Dále sestava
obsahuje prostorový modulátor světla pro vytváření různých typů optických signálů, jako například
optických vortexů. Jako S-H senzor se používá systém firmy Flexible Optical, který má hexagonální
pole mikročoček a 1/2palce USB CCD. Ten bude v příštím roce řešení nahrazen vhodnějším senzorem
vlastní konstrukce, kde parametry budou určeny na základě současných poznatků s novými detekčními
technikami a výsledky první výzkumné zprávy balíčku. Pro matematické zpracování jsou využívány
programy v systému OCTAVE.
Základním kamenem nových metod po technologické stránce je věrný matematický popis měřícího
zařízení, který determinuje rozlišení metody a její přesnost. Prvním poznatkem při uplatnění protokolů
kvantové tomografie na reálný signál byl velký vliv šumu a vzorkování na rozlišitelnost jednotlivých
stavů světla. Pro vyřešení problému šumu lze s výhodou uplatnit na signál frekvenční propusti, hrozí
zde ale distorze užitečného signálu, proto jsou v současnosti studovány možnosti sofistikovanějších
algoritmů. Pro problém vzorkování a také vzájemné orientace mikročoček a CCD je vyvíjena vlastní
metoda kalibrace pomocí základní vlny studovaného systému. Může to být například rovinná vlna nebo
základní gaussovský svazek. Při této kalibraci jsou určovány posuvy intenzitních težišť za každou
mikročočkou jako při klasické rekonstrukci, mohou zde tudíž najít uplatnění existující algoritmy. Také
tvar apertur jednotlivých mikročoček hraje významnou roli, proto bylo potřeba u stávající sestavy
pracovat s difrakcí na hexagonální apertuře.
Obr. 2: Experimentální sestava pro výzkum v oblasti informačních protokolů: SM1-jednomodové
vlákno s navázaným He-Ne laserem, f1- kolimační čočka, SLM- prostorový modulátor světla, 4ffiltrační 4f systém s prostorovou filtrací, BS- dělič svazku, SM2- jednomodové vlákno s navázanou
laserovou diodou, f2- kolimační čočka, S-H- Shack-Hartmann detektor . Dva nezávislé zdroje
umožňují vytváření částečně koherentních signálů.
Aplikovaný výzkum nových informačních protokolů ve firmě Meopta-optika, s.r.o. byl zaměřen na
možnost měřění paraxiálních ohnisek optických systémů pomocí S-H detektoru. Při klasickém způsobu
měření ohnisek je přístupná pouze efektivní hodnota tohoto parametru, protože jsou přítomny vlnové
aberace vyšších řádů. Komplexní detekce pomocí S-H senzoru může tento problém vyřešit. Metoda
navíc nevyžaduje nejdražší část konvečních systémů-kolimátor. Může tak poskytnout cenově výhodné
řešení.
Vlastní experiment je proveden v následujícím uspořádání. Svazek laseru je navázán do optického
vlákna, jehož konec slouží jako bodový zdroj sférické vlny. Tento bodový zdroj je umístěn přibližně do
předmětového ohniska měřené čočky. V obrazovém prostoru v dané vzdálenosti od čočky jsou
následně pomocí S-H senzoru detekovány Zernikovy koeficienty vlnoplochy. Speciálně nás zajímá
Seidelův koeficient rozostření. Abychom ho určili, je nutné znát dva Zernikovy koeficienty (Z3 a Z8).
Změnou vzdálenosti předmětového bodu v kombinaci se souběžným měřením koeficientů získáváme
postupně závislost, kterou fitujeme teoreticky odvozeným vztahem. Ohnisko čočky měříme nepřímo,
jako jeden z parametrů získaných fitováním.
Aby bylo možné měření optimalizovat vzhledem k různému počtu poloh bodového zdroje a jejich
vzájemným vzdálenostem, byl vytvořen numerický model v programu Mathematica popisující proces
měření. Tento model je schopný pro určitou ohniskovou vzdálenost čočky odhadnout nejistotu měření
ohniska. Hlavní úlohu hraje v modelu nejistota měření polohy a nejistota měření daných Zernikových
koeficientů.
S problematikou úzce souvisí znalost základních parametrů S-H senzoru, popřípadě metody jejich
zjišťování. Mezi základní parametry patří vzdálenost L matice mikročoček od detektoru, velikost pixelu
a vzdálenost mikročoček. Jestliže o těchto parametrech nemáme přesnou informaci, výsledné měření
ohniska bude vykazovat systematickou odchylku. Existují dvě metody, jak tyto parametry měřit.
Doposud bylo provedeno měření vzdálenosti L pomocí nakloněné rovinné vlny. S-H senzor je umístěn
na goniometru, který mění náklon rovinné vlny vytvořené kolimátorem. Výsledky byly zpracovány
numericky v program Mathematica. V blízké době plánujeme předchozí výsledek porovnat s metodou,
která využívá sférické vlny, jejíž poloměr křivosti je v průběhu měření postupně měněn. Poloměr
křivosti je současně měřen na S-H senzoru a výsledná závislost fitována teoreticky odvozeným
vztahem.
Jestliže bodový zdroj sférické vlny neleží na ose měřené čočky, bude vlna za čočkou vykazovat určité
zklenutí. Tento příspěvek je v průběhu detekce vlnoplochy započítán do Zernikova koeficientu Z3, což
může negativně ovlivnit přesnost metody měření paraxiálního ohniska. V programu Oslo byly zjištěny
pro zvolené čočky koeficienty vlnových aberací charakterizující zklenutí. V současnosti probíhá
závěrečná fáze analýzy vlivu náklonu čočky na výpočet ohniska.
Teoretické úvahy jsou doprovázeny paralelně probíhajícími experimenty, které ověřující teoreticky
nabyté zkušenosti. Pro tyto účely jsme vytvořili experimentální sestavu. Z výsledků experimentů
měření ohniska tří vybraných čoček jsou patrny poměrně velké systematické odchylky (půl procenta až
procento) od hodnoty paraxiálního ohniska, které bylo vypočítáno v programu Oslo. Našim cílem je
v nejbližší době tyto odchylky vysvětlit. Pokud by byly způsobeny zklenutím čočky, bude nutné
diskutovat vhodný způsob justáže čočky do měřící sestavy.
Software pro kontrolu dat z S-H senzoru a diagnostiku intenzity a vlnoplochy.
Firma Meopta-optika, s.r.o. disponovala vlastním software pro vyhodnocování vlnoplochy již před
začátkem projektu, jeho vlastnosti ovšem nebyly optimální a to jak v otázce použitých algoritmů, tak
ve vnitřní organizační struktuře. V rámci této činnosti je proto rozvíjen zcela nový software, který bude
obsahovat všechny prvky moderních konkurenčních řešení a přitom bude maximálně otevřený a
modulární, tak aby ho bylo snadné využívat pro nové postupy a aplikace při řešení celého pracovního
balíčku.
Předně bylo rozhodnuto vytvořit celý systém jako přísně objektový, tzn. podle principů objektového
programování. V tomto systému je každá část procesu zpracování dat z S-H senzoru koncipována jako
samostatná jednotka a celý systém je pak kompozicí těchto základním jednotek. Po naprogramování
těchto jednotek je stavba nového systému velice rychlá a je tak snadné sestavit zcela nový S-H software
podle aktuálních potřeb. Při jakékoli inovaci některé části kódu je také snadné provést aktualizaci všech
existujících aplikací. Třetí velkou výhodou je snadný přístup k datům v kterémkoli místě měřícího
řetězce. To je důležité pro rozvoj nových detekčních postupů, což je náplní řešení pracovního balíčku
v příštích letech. Během prvního roku se podařilo naprogramovat všechny základní jednotky a
v současnosti je tedy možno využít všech výše uvedených výhod.
Obr. 3: Mapa zpracování dat v S-H senzoru.Diagram zhruba odpovídá objektové struktuře problému a
každá činnost znamená určitý algoritmus.
Obr. 4: Vliv decentralizace masky a optického svazku obsahujícího sférickou vadu velikosti 1λ na
aberační Zernikův koeficient C31. Parametr a je relativní posun masky vůči poloměru masky a C31 je
v λ. Je vidět že i pro malou chybu decentralizace 2% je vygenerován chybný koeficient 0,15λ.
Vzorkování svazku mikročočkami je přitom na úrovni chyby decentralizace 4-10%.
Pro nalezení možných vylepšení a analyzování konkurenčního software byla sestavena mapa
zpracování dat v S-H senzoru, viz. obr. 3. Řešitelský se pak zaměřil na jednotlivé kroky a snažil se
nalézt v dostupné odborné literatuře současný trend řešení příslušného problému. Inspirací je též řešení
daného problému komerčními výrobci. V prvním roce se pozornost zaměřila především na konec
celého řetězce tj. na problémy rekonstrukce OPD, maskování a výpočet aberací. V oblasti rekonstrukce
OPD byl naprogramován nový postup, tak aby bylo možno snadno využívat jak modální tak zonální
rekonstrukci. V rámci výpočtu vlnových aberací byla provedena zásadní inovace. Současný systém
umožňuje vyčíslování Zernikových polynomů různých řazení a jejich převod na Seidlovy aberace a
také umožňuje vyčíslovat Strehl koeficienty pro jednotlivé aberace. Vzhledem k neortogonalitě dat z SH senzoru je plánován přechod na SVD algoritmus, což je u komerčních systému standard, v našem
software zatím chybí.
Problém maskování je zvlášť zajímavý, protože není uspokojivě řešen u žádného komerčního výrobce
S-H senzorů a nabízí se zde tedy možnost inovačního náskoku. Problém umísťování masky do
optického svazku je u S-H senzoru velmi důležitý kvůli nízkému vzorkování a tudíž malé přesnosti
tohoto úkonu. Přitom vliv na koeficienty aberací je velmi značný, jak ukazuje obr.4 na příkladu komy a
svazku obsahujícího sférickou vadu. V Meoptě byl implementován postup, který umožňuje zpřesnit
maskování až o jeden řád. V plánu jsou další zpřesnění tohoto postupu a pro zákazníky Meopty-optika
by to měla být zvláště zajímavá součást S-H software.
Měření kvality optických ploch pomocí S-H technologie.
Tato činnost má podpůrný charakter pro jeden z výstupů projektu a to měřící stanice tvaru optických
prvků rovinné a sférické optiky. V prvních třech letech řešení by prováděné činnosti měly dát podklad
pro finální návrh, nákupy a montáž stanice. V prvním roce se řešitelé zaměřili především na vztah
hardwarových parametrů senzoru a metrologických parametrů jako je dynamický rozsah, přesnost a
rozlišení. Na základě těchto úvah byly navrženy první nákupy klíčových komponent- CCD kamery a
mikročočkových polí.
Byl proveden průzkum systémů využívajících S-H senzor pro měření optických prvků. Komerčně
dostupné systémy S-H senzorů představují po softwarové stránce uzavřená řešení použitelná na
omezený okruh aplikací. Jen zřídka jsou nabízena ucelená řešení pro měření optických prvků (např.
Trioptics, Optocraft). Takový systém je vzhledem ke značné různorodosti měřených součástí náročný
z hlediska své stavby a rozsahu dodávaného příslušenství.
Je zpracován přehled porovnávající možnosti měření optických prvků interferometricky a pomocí S-H
senzoru. Uvedené metody si konkurují jen částečně, v některých ohledech se doplňují. Orientační
měření ukazují, že při použití S-H senzoru je důležité, aby kontrolovaná apertura byla zobrazena na
vstupní otvor S-H senzoru, což u zařízení, které má pokrýt širší sortiment optických prvků, vede ke
komplikovanější optické konstrukci. Byla navržena první sestava pro měření rovinných ploch do
průměru 190 mm pomocí S-H senzoru. Pro tuto sestavu byly zakoupeny její základní součásti a
pokračuje se v návrhu sestavy mechaniky.
Seznam prezentací a publikací
Prezentace:
1. B. Stoklasa, J. Řeháček, Z. Hradil, Adaptive IR and VIS image fusion, SPIE Defense, Security +
Sensing 2012, Baltimore, USA
2. B. Stoklasa, J. Řeháček, Z. Hradil, L.L. Sanchez-Soto, Shack-Hartmann tomography and
Laguerre-Gaussian beam characterization, Fifth International Conference "Singular Optics
SO'2012", Sevastopol, Ukrajina
Publikace:
1. B. Stoklasa, J. Řeháček, Z. Hradil, Adaptive IR and VIS image fusion, Multisensor, multisource
information fusion: Architectures, algorithms and applications 2012 Book Series: Proceedings
of SPIE 8407, 84070Y (2012).
2. P. Bouchal and Z. Bouchal, Selective edge enhancement in three-dimensional vortex imaging
with incoherent light, Opt. Lett. 37, 2949-2951 (2012).
3. P. Bouchal and Z. Bouchal, Wide-field common-path incoherent correlation microscopy with
perfect overlaping of interfering beams, J. Europ. Opt. Soc. Rap. Public (zasláno).
4. R. Chmelík, Coherent Imaging with Incoherent Light in Digital Holographic Microscopy, Proc.
SPIE (v tisku).
5. M. Henzlová, Theoretical study of coherence-controlled holographic microscopy in the
presence of scattering media, Proc. SPIE (v tisku).
6. M. Baránek and Z. Bouchal, Rotating point spread function in spiral phase contrast imaging
with discrete phase modulation, Proc. SPIE (v tisku).
7. Y.S. Teo, B. Stoklasa, B.-G. Englert, et al., Incomplete quantum state estimation: A
comprehensive study, Phys. Rev. A 85, 042317 (2012).
8. D. Mogilevtsev, J. Řeháček, Z. Hradil, Self-calibration for self-consistent tomography, New
Journal of Physics 14, 095001 (2012).
9. D. Sych, J. Řeháček, Z. Hradil, et al., Informational completeness of continuous-variable
measurements, Phys. Rev. A 86, 052123 (2012).
July 15, 2012 / Vol. 37, No. 14 / OPTICS LETTERS
2949
Selective edge enhancement in three-dimensional
vortex imaging with incoherent light
Petr Bouchal1 and Zdeněk Bouchal2,*
1
Central European Institute of Technology, Brno University of Technology, Technická 10, 616 00 Brno, Czech Republic
2
Department of Optics, Palacký University, 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc, Czech Republic
*Corresponding author: [email protected]
Received March 30, 2012; revised May 27, 2012; accepted May 29, 2012;
posted May 30, 2012 (Doc. ID 165784); published July 13, 2012
We demonstrate a new imaging method enabling a selective edge contrast enhancement of three-dimensional amplitude objects with spatially incoherent light. The imaging process is achieved in a spiral modification of Fresnel
incoherent correlation holography and uses a vortex impulse response function. The correlation recordings of the
object are acquired in a one-way interferometer with the wavefront division carried out by a spatial light modulator.
Two different methods based on applying a helical reference wave in the hologram recording and a digital spiral
phase modulation in image reconstruction are proposed for edge enhancement of amplitude objects. Results of both
isotropic and anisotropic spiral imaging are demonstrated in experiments using an LED as an incoherent source of
light. © 2012 Optical Society of America
OCIS codes: 090.1995, 260.6042, 110.3010.
Contrast enhancement of the edges is an operation that is
often used in optical image processing. Previously, the
edge contrast enhancement of amplitude objects was
performed in a coherent imaging using the radial Hilbert
transform to modulate the Fourier spectrum [1]. This filtering technique acts isotropically so that all the edges in
a sample are highlighted independently of their local direction. The anisotropic spiral filtering resulting in an
apparent shadow effect was also demonstrated [2,3].
All the methods based on a spiral filtering create the image by the convolution of a complex function representing the sample with a vortex impulse response function
of the optical system. Since the edge enhancement is a
consequence of constructive and destructive interference of individual vortices, the use of coherent light is
required [4,5].
In this Letter, we propose and experimentally demonstrate a new imaging technique enabling the edge
contrast enhancement of amplitude objects using incoherent light. Our method is based on the Fresnel incoherent correlation holography (FINCH) technique, which
was modified to operate with a vortex imaging. In its
basic form, FINCH includes both optical and digital steps
and allows reconstruction of three-dimensional (3D)
objects. This method requires quasi-monochromatic
spatially incoherent light and utilizes a spatial light modulator (SLM) to perform correlation recordings of the
object. The holograms are then processed and reconstructed using suitable numerical algorithms [6]. We
modified the experiment to ensure that the FINCH imaging created with an incoherent light will have some benefits of the spiral contrast methods previously presented
with a fully coherent light. This is possible due to special
coherence properties of the FINCH configuration that result from a combination of optical and digital imaging
techniques [7]. Object information is contained in optical
correlation recordings that are created using an incoherent light. Subsequent digital reconstruction takes place in
a fully coherent regime [7] and allows interference of vortex structures required to emphasize edges of amplitude
objects [5]. We propose two different methods that allow
0146-9592/12/142949-03$15.00/0
switching from standard FINCH to the spiral contrast
imaging operation. The first method relates to changes
in the optical recording of the object being based on application of a helical reference wave. The second method
works with standard FINCH recordings, and the vortex
imaging is achieved by a digital spiral phase modulation
during their processing.
A basic principle of the method is shown in Fig. 1. A
source emitting quasi-monochromatic spatially incoherent light illuminates the object. Its individual points
represent secondary sources that emit spherical waves.
These light waves are collimated by the lens CL and directed to the SLM. By the SLM operation, each incident
wave is doubled and the signal and reference waves are
formed. Because the waves originate from the same
point, they are spatially coherent. If the optical path difference of the waves does not exceed the coherence
length of the source, they can interfere. At the CCD,
the complex amplitude of the light emitted by a single
point of the object is given as A0j ar expiΦr as expiΦs − iϑj , j 1, 2, 3, where as , Φs and ar , Φr denote amplitudes and phases of the signal and reference
waves, respectively, and ϑj are constant phase shifts imposed on the signal wave by the SLM. Intensity records
I 0j jA0j j2 are repeated three times for different phase
shifts of the signal wave allowing the elimination of
the holographic twin image [6]. The basic difference between the standard FINCH and its optical spiral modification consists in preparation of the phase maps to
generate the signal and reference waves. While in the
Fig. 1. (Color online) Standard and spiral configurations for a
correlation imaging with incoherent light.
© 2012 Optical Society of America
2950
OPTICS LETTERS / Vol. 37, No. 14 / July 15, 2012
standard configuration Φs and Φr correspond to the
phases of spherical and plane waves, respectively, in
the optical spiral method, a helical reference wave is generated by the SLM. Its phase involves a term depending
on the azimuthal angle φ and integer parameter m called
the topological charge, Φr ≈ mφ. The phase maps that
drive the SLM to create the signal and reference waves
are shown in the middle part of Fig. 1, where (a) and (b)
correspond to the plane and helical reference waves, respectively. Intensities I 0j represent the point correlation
records, and their shape is shown in the right panel of
Fig. 1. The upper snapshot is obtained in the standard
configuration being similar to the Fresnel zone plate.
For the spiral contrast, the point correlation record
has a typical shape of the spiral pattern, known from
the interference of optical vortices. Before digital image
reconstruction, three intensity records I 0j are processed
[6], and a complex function T is created, T ≈ exp
iΦs − Φr . In [7], it was shown that T corresponds
to the quadratic phase of a diffractive lens whose parameters depend on both the experiment geometry and a position of the object point. For the helical reference wave,
T corresponds to the vortex diffractive lens having a
spiral phase with the topological charge m. In the point
imaging, the complex amplitude is obtained using the
Fresnel transform, A00 ≈ FrfTg. For a plane reference
wave, the point spread function (PSF) with the shape
of the Airy pattern is obtained. If the reconstruction is
performed from the spiral correlation records, the vortex PSF with an annular shape appears in the digital
image (Fig. 1).
The vortex imaging can be achieved even if the reconstruction is performed using standard recordings taken
with a plane reference wave. Here the reconstruction
is carried out in the frequency domain and a spiral phase
mask modulates the spatial spectrum of the complex
function T. This effective and operational technique
represents a digital analogy of the spiral contrast previously used in a coherent optical imaging [1,5].
Edge enhancement of real incoherently illuminated objects with the transmission t is possible because the image is formed in a hybrid mode of spatial coherence. As
separate object points are mutually uncorrelated, the intensity records of the whole object are given by a convolution, I j ≈ t I 0j . It shows that the intensity records of
individual object points I 0j are superimposed incoherently to obtain the final intensity. Before the digital image
reconstruction, three intensity records of the object point
are processed to create the phase function T, which represents a diffractive lens. As demonstrated in [7], its
transmission, focal length, and lateral axis position carry
information about the amplitude and the spatial position
of the recorded point of the observed object. Information
about the entire object is encoded in the coherent superposition of individual diffractive lenses [7]. This is why
the resulting complex amplitude of the digitally reconstructed image A0 is obtained in a coherent mode as a
convolution A0 ≈ t A00 . The complex amplitude A00 has
a typical vortex structure with an annular amplitude
and a spiral phase given by the term expimφ. Each
point of the digital image has a vortex phase so that a
phase difference of mπ appears at a symmetric position
in any radial line with respect to the vortex core. This
Fig. 2. (Color online) Scheme of the experiment. SF, spectral
filter; CL, collimating lens; D, diaphragm; P, polarizer; BS, beam
splitter; SLM, spatial light modulator.
property allows interference effects leading to the edge
enhancement of amplitude objects [1,5].
The proposed method has been experimentally verified in the system illustrated in Fig. 2. The collimated
LED (Thorlabs, 625 nm) with the spectral filter (FWHM
3 nm) was used as a light source. To create object correlation records, the achromatic lens (f 150 mm) and
the SLM (Hamamatsu, 800 × 600 pixels) were used. Two
lenses (f 1 470 mm and f 2 523 mm) were randomly
multiplexed on the SLM to realize the dual lens FINCH
with spherical signal and reference waves [8,9]. The
CCD (Retiga 4000 R) was placed at a distance 495 mm
behind the SLM to capture holograms of the object. Results obtained using both optically and digitally implemented spiral contrast methods are shown in Fig. 3.
Three intensity patterns representing correlation records
of a point object I 0j are shown in the FINCH column. The
image obtained by a direct reconstruction of standard records of the United States Air Force (USAF) test is in the
left panel (label DR). If the spiral phase mask (m 1) is
applied during processing of the standard records, the
image with an apparent edge contrast enhancement is
obtained (left panel, label SM). The PSF obtained by
the direct and spiral reconstruction of standard records
of a point object is shown at the bottom of Fig. 3. The
spiral correlation records of a point object created by
using a helical reference wave (m 1) are shown in
the S-FINCH column. The PSF obtained by their direct
reconstruction is at the bottom. The image of the USAF
test obtained by a direct reconstruction of its spiral records is in the right panel. Edge enhancement is comparable with results of the digital spiral phase modulation.
The anisotropic edge enhancement of a pinhole is shown
in Fig. 4. The results were obtained by a sine-modulated
Fig. 3. (Color online) Demonstration of the standard and spiral imaging in the FINCH configuration. Images labeled DR and
SM were obtained by the direct reconstruction and the digital
spiral phase modulation, respectively.
July 15, 2012 / Vol. 37, No. 14 / OPTICS LETTERS
Fig. 4. (Color online) Demonstration of isotropic and anisotropic edge contrast enhancement: (a) standard FINCH reconstruction, (b) isotropic spiral FINCH, (c)–(e) anisotropic
spiral FINCH with preferred directions.
Fig. 5. (Color online) Needle placed some distance in front of
a pinhole: (a) optical imaging, (b) spiral reconstruction with the
needle in focus, and (c) spiral reconstruction numerically refocused on the pinhole. Images of a flea: (d) optical imaging,
(e) standard FINCH, and (f) isotropic spiral reconstruction.
spiral modulation [3] during reconstruction of the standard FINCH records. In Fig. 5, the edge enhancement
in 3D spiral imaging is demonstrated. As an object,
eye of a needle placed in front of a pinhole was used.
Though the needle and the pinhole are slightly longitudinally shifted, the sharp edges can be successively
reconstructed from the same recordings provided that
the reconstruction distances are appropriately chosen.
In the top row, the optical image (a) is compared with
the spiral reconstruction, where the needle (b) and the
pinhole (c) are in focus. In the bottom row, three different images of a flea are shown. The optical imaging (d),
the standard FINCH imaging (e), and the spiral reconstruction (f) are demonstrated there.
In conclusion, we proposed and experimentally verified a vortex image reconstruction in FINCH based on
a spiral modulation of light. The spiral imaging carried
2951
out optically or digitally, either in the space or frequency
domain, was demonstrated. The main advantage of the
method is the edge contrast enhancement of the 3D objects that can be achieved even when incoherent light is
used. In experiments, both the isotropic and anisotropic
edge enhancement were demonstrated. The proposed
spiral modification of FINCH extends the variability
and application potential of the method. The digital spiral
modulation seems to be especially advantageous. It
works with standard correlation FINCH recordings so
that imaging conditions can be changed even during
reconstruction.
Though FINCH is a holographic method, the initial
phase related to the refractive index of the object cannot
be reconstructed. The reason is that the correlation recordings are made in a one-way interferometer so that
a constant reference phase is not available. There are
two ways to reconstruct the phase objects: to do a phase
conjugation of the reference wave or to operate with a
partial spatial correlation of light during the object reconstruction. These ideas are a challenge for the future and
are subject to further research.
This work was supported by the Czech Ministry of
Education, project MSM6198959213, the Technology
Agency of the Czech Republic, project TE01020229,
IGA project of the Palacký University PrF 2012-05, and
the project Central European Institute of Technology
(CEITEC) CZ.1.05/1.1.00/02.0068 from European Regional Development Fund. Adrian Bradu from University
of Kent is acknowledged for valuable comments on
the manuscript.
References
1. J. A. Davis, D. E. McNamara, D. M. Cottrell, and J. Campos,
Opt. Lett. 25, 99 (2000).
2. A. Jesacher, S. Furhapter, S. Bernet, and M. Ritsch-Marte,
Phys. Rev. Lett. 94, 233902 (2005).
3. M. K. Sharma, J. Joseph, and P. Senthilkumaran, Appl. Opt.
50, 5279 (2011).
4. S. Bernet, A. Jesacher, S. Furhapter, Ch. Maurer, and M.
Ritsch-Marte, Opt. Express 14, 3792 (2006).
5. C. Maurer, A. Jesacher, S. Bernet, and M. Ritsch-Marte,
Laser Photon. Rev. 5, 81 (2011).
6. J. Rosen and G. Brooker, Opt. Lett. 32, 912 (2007).
7. P. Bouchal, J. Kapitán, R. Chmelík, and Z. Bouchal, Opt.
Express 19, 15603 (2011).
8. B. Katz, J. Rosen, R. Kelner, and G. Brooker, Opt. Express
20, 9109 (2012).
9. X. Lai, Y. Zhao, X. Lv, Z. Zhou, and S. Zeng, Opt. Lett. 37,
2445 (2012).
Wide-field common-path incoherent
correlation microscopy with perfect
overlapping of interfering beams
∗
Petr Bouchal1 and Zdeněk Bouchal2
1
Central European Institute of Technology, Brno University of Technology,
Technická 10, 616 00 Brno, Czech Republic
2
Department of Optics, Palacký University, 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc,
Czech Republic
∗
Corresponding author: [email protected]
Keywords: spatial light modulator, digital holography, optical microscopy
Incoherent correlation microscopy is recently discovered technique for digital imaging of
three-dimensional objects in a quasi-monochromatic spatially incoherent light. Its operation is based on wavefront division carried out by a spatial light modulator and capturing
correlation recordings of the observed scene. To achieve image reconstruction, at least a
partial overlapping of the signal and reference waves created by the spatial light modulator is necessary. In the known experimental configurations, the overlapping of interfering
beams is strongly reduced in off-axis areas of the object and the image can be reconstructed only in a very small portion of the field of view provided by the used microscope
objective lens. Here we propose and successfully demonstrate modified experimental system working with two-component relay optics inserted between the microscope objective
and the spatial light modulator and providing full overlapping of correlated beams in
all areas of the field of view of the objective lens. The benefits and applicability of the
proposed system design are clearly demonstrated on the imaging of the USAF resolution
targets.
1
1
Introduction
Digital holographic microscopy is a powerful imaging technique suitable for both metrology and bio-photonic applications including surface analysis or marker-free dynamic live
cell imaging [1, 2]. It is based on the principles of optical holography, which are advantageously combined with the recording of the holograms by a digital image sensor. The
subsequent reconstruction of the holograms is performed numerically with a computer,
and enables three-dimensional imaging without scanning. The digital holographic reconstruction was also used in the coherence-controlled microscope, where a quantitative
phase contrast imaging and a coherence gating optical sectioning were demonstrated [3].
In recent years, the development of microscopy was favorably influenced by modern technologies enabling light shaping by a spatial light modulator (SLM). The SLM can be
used in both illuminating and imaging paths of the optical microscope, where it ensures
a structured specimen illumination, or amplitude and phase modulation of the spatial
spectrum, respectively [4]. Using these phase modulation techniques, the spatial light
interference microscopy (SLIM) [5, 6] and the spiral phase contrast imaging [7] were presented as powerful techniques capable of measuring nanoscale structures and dynamics
in live cells or enhancing standard phase contrast methods. A variability of operations
provided by the SLM was also used to design the universal microscope, that operatively
combines the standard techniques of optical microscopy [8,9]. Light shaping by the SLM is
also useful for digital microscopy. In the common-path phase-shifting lensless holographic
microscopy, the SLM was used for a wave multiplexing ensuring a holographic recording
and digital reconstruction of the specimen [10].
In its basic configuration, the digital holographic microscopy is limited to applications
operating with coherent light needed to create holograms. Such a requirement is not necessary in the recently proposed Fresnel incoherent correlation holography that utilizes a
SLM for holographic recording of observed objects illuminated by a quasi-monochromatic
spatially incoherent light [11]. This technique removes many barriers for practical development of holography using incoherent light and is especially attractive for fluorescence
microscopy. Recently, new modifications of the original system improving signal to noise
2
ratio and allowing the use of sources with a broader spectrum have emerged [12, 13]. The
potential of the incoherent correlation microscopy has been further demonstrated by the
imaging beyond the Rayleigh diffraction limit and by the spiral recording and reconstruction of holograms resulting in selective edge contrast enhancement of three-dimensional
objects [14]. The spiral edge contrast enhancement was successfully verified due to a
hybrid coherence regime of the method leading to a fully coherent vortex reconstruction
of the correlation records even though they were created in spatially incoherent light [15].
Although the incoherent correlation microscopy was presented in several experiments
as a promising method with the wide application potential, the available field of view
(FOV) of the method has not yet been investigated in any approach. In this paper,
the FOV is studied in detail both theoretically and experimentally. In the investigated
common-path incoherent correlation microscopy, the FOV is not directly determined by
the microscope objective lens, but some restrictions due to the correlation overlapping
of interfering beams must be taken into account. Here we show that a reduction of the
FOV caused by the insufficient correlation overlapping becomes particularly critical when
using the microscope objective with a high magnification. The overlapping coefficient was
defined by ray optics calculations and used to quantify the FOV in known experimental
configurations. We also showed that a significant extension of the FOV is possible in the
modified system using a two-component relay optics to achieve a perfect overlapping of the
correlated beams. In the improved configuration, the common-path incoherent correlation
microscopy allows image reconstruction in the full FOV of the used microscope objective.
Theoretical predictions were successfully verified by the experiments demonstrating image
reconstruction of the USAF resolution targets illuminated by a light-emitting diode.
2
FOV in basic configurations of the common-path incoherent
correlation microscopy
In the correlation microscopy, the FOV is not uniquely determined by geometric conditions
for the passage of light as in the direct imaging, but a correlation overlapping of the
3
interfering beams associated with the basic principle of the method must also be taken
into consideration. A simplified scheme of the method is in Fig. 1. To explain its
operation, it is reasonable to assume that the observed object is composed of an infinite
number of point sources that emit mutually uncorrelated light. Light waves originating
Figure 1: Demonstration of the image reconstruction in the common-path incoherent
correlation microscopy.
from separate object points are collimated by a microscope objective (MO) and directed
towards the SLM. Each wave incident on the SLM is divided into two waves, called the
signal and reference wave. These waves are spatially correlated because originate from
the same object point. If their optical path difference does not exceed the coherence
length of the used source, they can interfere. The interference pattern has a shape of the
Fresnel zone plate and carries information about the amplitude and the three-dimensional
position of the relevant object point. A final record of the observed object is created by
the addition of intensities of individual interference patterns because different points of
the object are mutually uncorrelated. Information about the object is extracted by the
processing and reconstruction of three object recordings acquired with different phase
shifts of the signal wave.
Experimental setup shown in Fig. 1 allows both direct and correlation imaging. In the
direct imaging, the SLM produces a quadratic phase modulation and operates as the lens
with a focal length fd . The image on the CCD is then created by a two-lens system
consisting of the MO and the SLM lens with the focal lengths f0 and fd , respectively.
4
The FOV is determined by a ray tracing shown in Fig. 2a.
Figure 2: Illustration of ray trajectories in (a) the direct imaging and the common-path
incoherent correlation microscopy with (b) standard and (c) dual lens configurations.
In the correlation imaging, each point of the object must be recorded as the Fresnel
interference pattern. This is achieved in a common-path interferometer based on the
wave splitting implemented by the SLM. Using the control software, the SLM transmission
function tj = a exp(iθr ) + b exp(iθs + iϑj ) is set, where a and b are coefficients providing
desired power distribution between the reference and signal waves, ϑj , j = 1, 2, 3, are
constant phase shifts imposed on the signal wave, and θr and θs are phase functions for
a wavefront transformation of the signal and reference wave. Three object recordings
implemented with different phase shifts ϑj allow to eliminate the holographic twin image
[16]. The phase functions θr and θs enable two different modes of imaging, here called
the standard and dual lens imaging. In the standard common-path correlation imaging,
5
θr corresponds to a constant phase shift. For object points located near the focal plane
of the MO, the reference wave corresponds to a collimated beam. The signal wave is
generated by the quadratic phase function θs that represents a lens with the focal length
fd . In the dual lens imaging, both θr and θs are quadratic phase functions representing
lenses with the focal lengths fd 1 and fd 2 , respectively [12,13]. In this case, the correlation
record of the object point is produced by interference of two spherical waves.
In the case of the correlation imaging, the FOV must be determined with respect to
the desired overlapping of the signal and reference waves. The situation is illustrated in
Fig. 2b for the standard correlation imaging working with the plane reference wave and
the spherical signal wave. Capturing the signal and reference waves on the CCD is not
sufficient for imaging of the examined off-axis point. It can be successfully reconstructed
only when the signal and reference waves are at least partially overlapped on the CCD. In
the known configurations of the correlation imaging this condition can hardly be satisfied,
especially if the best resolution is required. This is due to significant differences in the
direction of propagation of the signal and reference waves. In the correlation imaging, the
FOV is reduced in comparison with the direct imaging. This effect is remarkable when
the MO with a high magnification is used.
Reduction of the FOV caused by the lack of correlation overlapping is estimated for both
the standard and dual lens configurations using simple ray optics calculations.
Standard configuration
In the standard configuration, the SLM acts as a beam splitter, which transforms the signal
wave as a lens with the focal length fd , while the reference wave transmits unaffected.
To estimate the degree of overlapping of interfering beams, the chief rays of the signal
and reference waves must be traced and their positions on the CCD determined. The
transverse coordinates of the intersections xs and xr are calculated by geometry shown in
Fig. 2b and can be written as
x0
∆1 ∆1
+
,
xs = ∆2 1 −
f0
fd
∆2
x0
∆1
xr = ∆2 1 +
,
f0
∆2
(1)
where f0 is the focal length of the MO, ∆1 is the separation distance between the MO
6
and the SLM, ∆2 is a position of the CCD with respect to the SLM and 2x0 is the FOV of
the used MO. The FOV of the MO is given by the field number F and the magnification
m0 ,
2x0 =
F
.
m0
(2)
A separation of the signal and reference waves on the CCD can be conveniently defined
by a distance of the spot centers and can be written as
∆x = |xs − xr | = x0
∆1 ∆2
.
f0 fd
(3)
The correlation overlapping also depends on the spot size of the detected signal and
reference beams Ds and Dr given as
Ds =
|∆2 − fd |
D0 ,
fd
Dr = D0 ,
(4)
where D0 is the diameter of the exit pupil of the MO. It can be expressed by its numerical
aperture NA as D0 = 2NAf0 . If we distinguish the beam spots according to their size as
DM = max{Ds , Dr } and Dm = min{Ds , Dr }, a measure of the area overlapping of the
interfering beams can be simply quantified by a coefficient P defined as



1,
for ∆x ≤ D− ,



P =
∆S/Sm , for D− < ∆x < D+ ,





0,
for ∆x > D+ ,
where
∆S =
X
∆Sj ,
Sm =
j=m,M
2
πDm
,
4
q
Dj2
2hj
Dj
∆Sj =
arccos 1 −
−
− hj
hj (Dj − hj ),
4
Dj
2
hm =
(D+ − ∆x)(∆x + D− )
,
2∆x
D+ =
hM =
DM + Dm
,
2
(D+ − ∆x)(∆x − D− )
,
2∆x
D− =
7
j = m, M,
DM − Dm
.
2
(5)
A partial overlapping of beams is determined by 0 < P < 1, whereas the limit value
P = 1 stands for a full overlapping of beams and P = 0 for fully separated beams.
Dual lens configuration
In the dual lens configuration, the SLM splits an input wave into the signal and reference
waves and transforms them as a dual lens with two different focal lengths fd 1 and fd 2 ,
respectively. In this case, the signal and reference waves are spherical waves and the
positions of their chief rays on the CCD are determined by
∆1 ∆1
x0
+
,
xs = ∆2 1 −
f0
fd 1 ∆2
x0
∆1 ∆1
xr = ∆2 1 −
+
.
f0
fd 2 ∆2
(6)
The geometrical separation of beam spots ∆x is obvious from Fig. 2c and can be expressed
as
∆x = x0
∆1 ∆2 ∆f
,
f0 fd 1 fd 2
(7)
where ∆f = |fd 1 − fd 2 |. The spot size of the signal and reference beams is given as
Ds =
|∆2 − fd 1 |
D0 ,
fd 1
Dr =
|∆2 − fd 2 |
D0 .
fd 2
(8)
The overlapping coefficient P can again be determined by (5) as a ratio of the overlapping
area of the signal and reference beams ∆S and the beam spot area Sm . For object points
close to the optical axis, the signal and reference waves have a full overlapping, P = 1. For
off-axis points, the overlapping is reduced and P rapidly decreases with the distance x of
the object point from the axis. A smaller beam overlapping causes a quality degradation
of the correlation imaging and the image reconstruction is impossible when the signal and
reference beams are completely separated, P = 0. The coefficient P can thus be used to
define the usable FOV of the correlation imaging. In numerical calculations, the relative
FOV x/x0 is used, where 2x denotes the evaluated FOV in correlation microscopy and
2x0 is the maximal FOV provided by the field number F of the MO (in our analysis
F = 26.5 mm is used). With both the standard and dual lens configurations, a required
beam overlapping strongly limits the FOV and the correlation imaging utilizes only a
fraction of the FOV available in a direct imaging provided by the MO. In Fig. 3, the
dependence of the coefficient P on ∆2 is illustrated for both the standard and dual lens
8
configurations. The distance ∆2 determines the position of the CCD owing to the SLM
and represents an important parameter of the correlation imaging. With the positioning
of the CCD, the magnification of the correlation imaging can be changed. If the observed
object is placed near the focal plane of the MO with the focal length f0 , the magnification
is simply given by m = ∆2 /f0 [15]. The CCD position ∆2 also significantly affects the
resolution of the correlation imaging. In the standard configuration, the best resolution is
achieved with the condition ∆2 = 2fd , where fd is the focal length of the lens realized by
the SLM. In the double lens configuration, the best resolution is achieved in the setting
∆2 = 2fd 1 fd 2 /(fd 1 + fd 2 ), where fd 1 and fd 2 are the focal lengths of the SLM lenses [13].
The correlation overlapping significantly changes with the CCD position ∆2 and reaches
its minimum just in the most important positions, where the best resolution is achieved.
This is clearly demonstrated for both standard Fig. 3a and double lens configuration
Fig. 3b. On the plane of the best resolution, the correlation coefficient P has the same
value in both configurations. For the MO with NA = 0.28 and f0 = 20 mm its value is
P ≈ 0.6 for the relative FOV x/x0 = 0.05 and P ≈ 0.3 for x/x0 = 0.1. For the MO
with higher magnification (NA = 0.55, f0 = 4 mm), the FOV is further reduced. For the
relative FOV x/x0 = 0.05, the coefficient P ≈ 0.15 is obtained, while for x/x0 = 0.1 the
signal and reference beams are completely separated, P = 0. If we assume with regard to
the experimental experience that the overlapping P ≈ 0.3 is sufficient for reconstructing
the image with acceptable quality, the FOV for the correlation imaging is approximately
10× smaller than in the direct imaging when the MO with f0 = 20 mm is used. In
the case of the MO with f0 = 4 mm, the correlation FOV is more than 20× smaller
than in the direct imaging realized by the MO. The size of the correlation FOV can be
extended by shortening the distance ∆1 between the MO and the SLM. In Fig. 4, the
dependence of P on the relative FOV is demonstrated for two different settings ∆1 = 150
and 250 mm. The situation is identical for both standard and dual lens configurations and
corresponds to the CCD positions ∆2 ensuring the best resolution. In terms of theory, ∆1
shortening leads to a steady overlapping improvement of the interfering beams and in the
limit ∆1 → 0, the full overlapping is achieved. Unfortunately, the shortening of ∆1 has
9
Figure 3: Dependence of the correlation overlapping of interfering beams on the distance
∆2 for different parameters of the MO (NA = 0.28, f0 = 20 mm and NA = 0.55, f0 = 4
mm) and different parts of the relative FOV (x/x0 = 0.05 and x/x0 = 0.1): (a) standard
configuration with ∆1 = 250 mm, fd = 247.5 mm, (b) dual lens configuration with
∆1 = 250 mm, fd 1 = 400 mm and fd 2 = 649 mm.
technical limitations. In most cases, a reflective SLM is used and a sufficient distance ∆1
is required for an insertion of the beam splitter and the polarizer or for an implementation
of angular separation of incident and reflected beams. The distance ∆1 used in numerical
simulation corresponds to real experimental possibilities.
Figure 4: Dependence of the correlation overlapping of interfering beams on the relative
FOV for different parameters of the MO (NA = 0.28, f0 = 20 mm and NA = 0.55, f0 = 4
mm) and various settings ∆1 .
10
3
FOV in the common-path incoherent correlation microscopy
with relay optics
As was demonstrated, the overlapping of interfering beams is negatively influenced by
increasing the distance between the MO and the SLM. As is clear from (3) and (7), an
ideal beam overlapping is achieved in both standard and dual lens configurations when
the SLM is placed just behind the objective lens, ∆1 = 0. In this case, the chief rays
Figure 5: Demonstration of a perfect correlation overlapping of interfering beams in the
setup with two-component relay optics.
of the signal and reference waves coincide so that ∆x = 0 for all points of the FOV of
the used MO. Unfortunately, this condition cannot be met neither in the standard nor
dual lens configurations for technical reasons. Here we present a novel setup modification
where effects requiring the setting ∆1 = 0 are effectively achieved using two-component
relay optics. An operation of the system is obvious from the ray paths illustrated in Fig.
5. The setup is supplemented by two lens system that is placed between the MO and
the SLM and ensures imaging of the exit pupil of the MO on an active area of the SLM.
This is achieved when the inserted relay optics is configured as the 4F system operating
with the unitary magnification. The exit pupil of the MO is then placed at the front
focal plane of the lens L1 and the SLM is positioned at the back focal plane of the lens
L2 . Such a configuration is adequate to the technically unattainable setting ∆1 = 0 in
the standard and dual lens experiments. The relay optics ensures that the chief rays of
the signal and reference waves coincide and a perfect overlapping of interfering beams
is achieved in the full FOV of the used MO. This modification of the system is of great
practical importance, because the FOV of the correlation imaging is as large as the FOV
11
of the used MO regardless of the experimental parameters and the CCD positioning. The
benefits of this method are evident from the experimental results.
The common-path correlation microscopy is essentially a digital holography method in
which the continuous spatial distribution of optically generated holograms is sampled
by the discrete sensitive pixels on a CCD array. In these systems, the space-bandwidth
product (SBP) is introduced as a quantity that is directly related to the information
capacity of the hologram [17]. To compare the demands imposed on detection devices,
the SBP was determined for standard and dual lens configurations, and consequently also
for both systems supplemented by the relay optics. In accordance with the traditional
definition, the SBP was calculated as SW = Lx Wx , where Lx is the transverse size
of the detector needed to capture the hologram and Wx stands for the highest spatial
frequency contained in the hologram. In all examined configurations, Lx = max{xs , xr }
was used, where xs and xr are the transverse positions of the spot centers of the signal
and reference waves on the CCD. The maximal spatial frequency Wx was determined by
evaluating the relationship for a local frequency of the hologram. It can be written as
Wx = (1/2π)(∂∆Φ/∂x)|x=xm , where ∆Φ is the phase difference of the signal and reference
wave at the hologram plane and xm denotes the transverse coordinate where the local
spatial frequency reaches its maximal value. In all examined configurations, the SBP was
evaluated for the full FOV of the MO and the CCD positions for the best resolution. It
was verified that the SBP becomes minimal in the dual lens configuration with the relay
optics. In comparison with earlier experiments, the use of the relay system provides not
only full correlation overlapping, but it also reduces the SPB at the same object size. In
such a manner the relay optics reduces demands on the hologram detection.
4
Experimental results
Reduction of the FOV in standard and dual lens configurations and the proposed modification for the full overlapping of interfering beams were verified experimentally in the
setup illustrated in Fig. 6. The collimated LED (Thorlabs, 625nm) with the spectral filter
SF (FWHM 10 nm) was used as an incoherent source of light. The FOV was examined
12
Figure 6: Set-up for the common-path incoherent correlation microscopy using the relay
optics for a perfect correlation overlapping and an extended FOV: SF - spectral filter,
MO - microscope objective, P - polarizer, L1 , L2 - two-component relay optics, BS - beam
splitter, SLM - spatial light modulator.
using USAF resolution targets placed at the front focal plane of the Melles Griot MO
(NA = 0.28, f0 = 20 mm and NA = 0.55, f0 = 4 mm). The signal and reference waves
were created using the SLM (Hamamatsu, 800 × 600 pixels) and the correlation records
were captured on the CCD (Retiga 4000 R). The polarizer was used to achieve an optimal
phase modulation by the SLM.
In initial experiments, the setup was used without relay optics to demonstrate a reduction
of the FOV of the MO due to the lack of the correlation overlapping of the signal and
reference waves. Subsequently, the experimental system was supplemented by the relay
optics for a perfect overlapping of interfering beams. It was composed of two identical
achromatic doublets with the focal length 150 mm. As is evident from Fig. 7, the
correlation recordings made in the standard setup and the modified experiment with
relay lenses are fundamentally different. When using the relay optics, the defocused
correlated images of the USAF target created by the signal and reference waves are in
a perfect overlapping and coincide (Fig. 7a). In the standard configuration, a sufficient
overlapping is reached only in the center of the FOV indicated by a dashed line in Fig.
7d. For off-axis parts of the object, the images created by the signal and reference waves
are mutually shifted by a large distance ∆x and are almost separated. The correlation
recordings can not be successfully reconstructed in this part of the FOV. In the dual
lens imaging, the shift of interfering waves can be positively influenced by reducing the
13
distance ∆f , which is the difference of the focal lengths of the SLM lenses. This effect is
evident from Figs. 7b and 7c illustrating the correlation recordings taken with ∆f1 = 53
mm and ∆f2 = 249 mm, respectively. Unfortunately, the reduction of ∆f does not
lead to an increase of the FOV, because the signal and reference waves reduce not only
their lateral separation but also the areas of their spots and the overlapping area remains
unchanged. The correlation recordings shown in Fig. 7 were taken by the Melles Griot
Figure 7: Correlation recordings of the USAF resolution targets demonstrating various
degrees of overlapping of the signal and reference waves in different experimental configurations: (a) perfect overlapping in the setup with relay optics, (b) dual lens configuration
with ∆f1 = 53 mm and (c) ∆f2 = 249 mm, (d) insufficient overlapping in standard
configuration.
MO with NA = 0.28 and f0 = 20 mm. The separation distance between the MO and the
SLM was set to the minimal achievable value ∆1 = 270 mm. The best resolution of the
system was ensured by the fixed position of the CCD, ∆2 = 495 mm, which was combined
with the focal length of the SLM lens fd = 247.5 mm in the standard configuration and
fd1 = 470 mm and fd2 = 523 mm in the dual lens configuration.
The final images of the USAF resolution targets created by the processing and reconstruction of the demonstrated correlation recordings are shown in Fig. 8. Advantages of
the proposed modification of the setup are more apparent there, because the image is not
reconstructed in areas with insufficient overlapping of interfering beams. The images of
the groups 6 and 7 of the USAF target obtained by the reconstruction of the correlation
recordings acquired in the standard and dual lens configurations are shown in Figs. 8a
14
and 8c, respectively. The FOV specified by the correlation overlapping is approximately
2x ≈ 0.3 mm and remains the same in both the standard and dual lens configurations.
This experimental finding is consistent with the theoretical results demonstrated in Fig.
3. Significant improvement of the FOV arises in both configurations when the relay lenses
are used. The reconstructed images are shown in Figs. 8b and 8d. As is obvious, the FOV
completely fills a detection area of the CCD in this case. Although the benefits of the relay system are indisputably demonstrated, the images 8b and 8d still cannot demonstrate
the full potential of the modified setup, because the correlation field used in the image
reconstruction is not fully captured by a single CCD frame. In order to demonstrate the
full FOV when using the relay system, nine records were carried out at different lateral
positions of the CCD while other system settings remained unchanged. The resulting
correlation record used in the image reconstruction was then created by a fusion of the
partial CCD records. The obtained wide-field image is shown in Fig. 8e. Compared with
the image reconstructed from a single CCD frame, the groups 4 and 5 additionally may
be seen there. Thus, the correlation FOV obtained in known configurations (Figs. 8a and
8c) is only a fraction of the FOV available in the proposed system with the relay optics
(Fig. 8e).
To demonstrate a full functionality of the system modification in the conditions of digital
microscopy, the experiment was also performed using the Melles Griot MO with higher
magnification (NA = 0.55, f0 = 4 mm). The results obtained are presented in Fig. 9.
Here, the finest elements of the groups 8 and 9 of the USAF target were reconstructed in
the dual lens configuration that was adjusted to achieve the best resolution. Extension of
the FOV in the system using the relay optics Fig. 9b is again significant in comparison
with usual arrangement Fig. 9a. Moreover, the reconstructed image 9b still does not
show all the available FOV, because the correlation field exceeded a detection area of the
CCD and it was not fully captured by a single CCD frame.
15
Figure 8: Images of the USAF resolution target reconstructed from the correlation recordings captured in different experimental configurations using the Melles Griot MO with
NA=0.28 and f0 = 20 mm: (a) standard configuration (SC), (b) SC with relay optics, (c)
dual lens configuration (DLC), (d) DLC with relay optics, (e) DLC with relay optics and
image reconstructed from the correlation recordings obtained by a fusion of nine partial
CCD frames.
5
Conclusions
In the paper, the basic configurations of incoherent correlation microscopy were examined
in a connection with the available FOV. As the main result, the new modification of experiments was proposed that provides a perfect overlapping of interfering beams and allows
a significant extension of the FOV. The partial results of the paper may be summarized
as follows:
• It was first demonstrated that in the common-path incoherent correlation microscopy the image is reconstructed in the FOV determined by the conditions of
16
Figure 9: Images of the USAF resolution target reconstructed from the correlation recordings captured in the dual lens configuration (DLC) using the Melles Griot MO with a
higher magnification (NA=0.55 and f0 = 4 mm): (a) usual DLC and (b) DLC with the
relay optics.
the correlation overlapping of interfering beams.
• Ray optics calculations were performed allowing a simple estimation of the FOV by
the conveniently defined correlation coefficient.
• It was shown that the correlation FOV depends on the parameters of the experiment
and significantly reduces the FOV of the used MO in both the standard and dual
lens configurations. We verified that the reduction of the FOV caused by the lack of
the correlation overlapping occurs mostly in the settings ensuring the best resolution
and when the MO with higher magnification is used.
• The use of relay lenses was proposed to ensure a perfect correlation overlapping
of interfering beams in all known configurations of the common-path correlation
microscopy regardless of used parameters of the experiment.
The common-path incoherent correlation microscopy is a promising imaging technique
supported by modern light shaping technologies. It allows numerical reconstruction of
three-dimensional objects from the correlation recordings acquired in spatially incoherent quasi-monochromatic light. Recently, the special properties of the method including
sub-diffraction resolution, improved signal to noise ratio [12], extension of the permissible spectral bandwidth of the used light sources or spiral edge enhancement [14] were
successfully demonstrated and considered for application in fluorescence microscopy. The
17
proposed modification of the setup resulting in a full correlation overlapping and extension of the FOV considerably increases optical parameters and application potential of
the method.
Acknowledgment
This work was supported by the Czech Ministry of Education, project No.
MSM6198959213, the Technology Agency of the Czech Republic, project No.
TE01020229, the IGA project of the Palacký University PrF 2012-05 and the project
CEITEC - ”Central European Institute of Technology” No. CZ.1.05/1.1.00/02.0068 from
European Regional Development Fund.
REFERENCES
[1] P. Marquet, B. Rappaz, P. J. Magistretti, E. Cuche, Y. Emery, T. Colomb, and
Ch. Depeursinge, ”Digital holographic microscopy: a non invasive contrast imaging technique allowing quantitative visualization of living cells with sub wavelength
accuracy,” Opt. Lett., 30(5), 468-470 (2005).
[2] L. Lovicar, J. Komrska, and R. Chmelı́k, ”Quantitative-phase-contrast imaging of
a two-level surface described as a 2D linear filtering process,” Opt. Express 18(20),
20585-20594 (2010)
[3] P. Kolman, and R. Chmelı́k, ”Coherence-controlled holographic microscope,” Opt.
Express 18(21), 21990-22003 (2010).
[4] C. Maurer, A. Jesacher, S. Bernet, and M. Ritsch-Marte, ”What spatial light modulators can do for optical microscopy,” Laser Photonics Reviews 5, 81-101 (2011).
[5] Z. Wang, L. Millet, M. Mir, H. Ding, S. Unarunotai, J. Rogers, M. U. Gillette, and
G. Popescu, ”Spatial light interference microscopy (SLIM),” Opt. Express 19(2),
1016-1026 (2010).
18
[6] Z. Wang, I.S. Chun, X. Li, Z.Y. Ong, E. Pop, L. Millet, M. Gillette, and G. Popescu,
”Topography and refractometry of nanostructures using spatial light interference
microscopy,” Opt. Lett. 35(2), 208-210 (2010).
[7] S. Furhapter, A. Jesacher, S. Bernet, M. Ritsch-Marte, ”Spiral phase contrast imaging in microscopy,” Opt. Express 13(3), 689-694 (2005).
[8] M.Warber, S. Zwick, T. Haist, and W. Osten, SLM-based phase-contrast filtering for
single and multiple image acquisition, Optics and Photonics for Information Processing III, Proceedings of SPIE 7442, 74420E-74420E-12 (2009).
[9] M. Hasler, T. Haist, W. Osten, ”SLM-based microscopy,” Optical Micro-and
Nanometrology, Proceedings of SPIE 8430 84300V-84300V-8 (2012).
[10] V. Micó, and J. Garcı́a, ”Common-path phase-shifting lensless holographic microscopy,” Opt. Lett. 35(23) 3919-3921 (2010).
[11] J. Rosen and G. Brooker, ”Fluorescence incoherent color holography,” Opt. Express
15(5), 2244-2250 (2007).
[12] X. Lai, Y. Zhao, X. Lv, Z. Zhou, and S. Zeng, ”Fluorescence holography with improved signal-to-noise ratio by near image plane recording,” Opt. Lett. 37(13), 24452447 (2012).
[13] B. Katz, J. Rosen, R. Kelner, and G. Brooker, ”Enhanced resolution and throughput
of Fresnel incoherent correlation holography (FINCH) using dual diffractive lenses
on a spatial light modulator (SLM),” Opt. Express 20(8), 9109-9121 (2012).
[14] P. Bouchal, and Z. Bouchal, ”Selective edge enhancement in three-dimensional vortex
imaging with incoherent light” Opt. Lett. 37(14), 2949-2951 (2012).
[15] P. Bouchal, J. Kapitán, R. Chmelı́k, and Z. Bouchal, ”Point spread function and twopoint resolution in Fresnel incoherent correlation holography,” Opt. Express 19(16),
15603-15620 (2011).
19
[16] I. Yamaguchi and T. Zhang, ”Phase-shifting digital holography,” Opt. Lett. 22(16),
1268-1270 (1997).
[17] L. Xu, X. Peng, Z. Guo, J. Miao, and A. Asundi, ”Imaging analysis of digital holography,” Opt. Express 13(7), 2444-2452 (2005).
20
Coherent Imaging with Incoherent Light
in Digital Holographic Microscopy
Radim Chmelika,b
a
CEITEC – Central European Institute of Technology,
Brno University of Technology, Technicka 10, Brno, 616 00, Czech Republic;
b
Institute of Physical Engineering, Faculty of Mechanical Engineering,
Brno University of Technology, Technicka 2, Brno, 616 00, Czech Republic
ABSTRACT
Digital holographic microscope (DHM) allows for imaging with a quantitative phase contrast. In this way it becomes an
important instrument, a completely non-invasive tool for a contrast intravital observation of living cells and a cell drymass density distribution measurement. A serious drawback of current DHMs is highly coherent illumination which
makes the lateral resolution worse and impairs the image quality by a coherence noise and a parasitic interference. An
uncompromising solution to this problem can be found in the Leith concept of incoherent holography. An off-axis
hologram can be formed with arbitrary degree of light coherence in systems equipped with an achromatic interferometer
and thus the resolution and the image quality typical for an incoherent-light wide-field microscopy can be achieved. In
addition, advanced imaging modes based on limited coherence can be utilized. The typical example is a coherence-gating
effect which provides a finite axial resolution and makes DHM image similar to that of a confocal microscope. These
possibilities were described theoretically using the formalism of three-dimensional coherent transfer functions and
proved experimentally by the coherence-controlled holographic microscope which is DHM based on the Leith
achromatic interferometer. Quantitative-phase-contrast imaging is demonstrated with incoherent light by the living
cancer cells observation and their motility evaluation. The coherence-gating effect was proved by imaging of model
samples through a scattering layer and living cells inside an opalescent medium.
Keywords: holographic microscopy, quantitative phase contrast, coherence of light, coherence gate, imaging in turbidmedia
1. DIGITAL HOLOGRAPHIC MICROSCOPY
The reason of still growing interest in digital holographic microscopes is their quantitative-phase-contrast (QPC) imaging
mode1. Unlike standard light microscopy techniques including the Zernike phase contrast or the Nomarski DIC, the QPC
image directly represents phase shifts introduced by an object. This allows for applications of a variety of advanced
image-processing algorithms such as numerical focusing1, or complex-field deconvolution2.
Digital holographic microscopes (DHM) are usually based on the classical off-axis holographic setup1,3 following that
proposed in 1966 by Van Lighten and Osterberg4 (cf. Fig. 1). Microscope optics is built into one arm of a conventional
(i.e. Mach-Zehnder or Michelson) interferometer. Advantage of this setup in comparison with phase-shifting techniques
is a high frame rate especially when it is completed with the Fourier reconstruction algorithms5. This enables a stable
record even of very fast processes to carry out.
DHM is applied frequently as a living-cells-observation tool providing a strong imaging contrast by a completely noninvasive intravital method3,6-11. In addition, QPC images are interpreted as the signal proportional to the density
distribution of a cell dry-mass11,12. Living cells’ motility and growth can be optically measured11 by processing of QPC
signal, as well as their reactions to external stimuli10, which makes DHM an excellent tool for cytopatogenicity and
cytotoxicity tests. Digital image focusing can be accomplished using a single hologram record and cells can be thus
traced in 3D by processing of holographic time-lapse series13. Reflected-light DHMs are typically applied for surface
topography measurements1 including measurements of dynamical systems (MEMS, MOEMS)14. Subnanometer
resolution can be achieved in z-axis8,15.
At present, DHM is often combined with another imaging modalities or manipulation techniques: epifluorescence
microscopy16,17, optical tweezers18, and second-harmonic generation19. However, the basis of the holographic optical
system itself has remained in principle unchanged since 1966.
M
D
BS
O
Sp
C
S
BS
M
Figure 1. Typical set-up of a contemporary digital holographic microscope: S…source (laser diode), BS…beam splitters,
M…mirrors, C…condenser lens, Sp…specimen, O…objective lens, D…detector (CCD camera).
This classical off-axis holographic system works properly with a coherent illumination, which brings some substantial
disadvantages about: images are impaired with a coherence noise (speckles) and unintended interference patterns.
Moreover, the lateral resolution for a coherent light is twice the value for an incoherent illumination (cf. Section 3
below). For this reason, partially coherent light is a preferable option for DHM imaging20–23. It is known that the
reduction of spatial coherence attenuates the region of numerical refocusing20, but, on the other hand, it suppresses the
influence of scattering media surrounding an observed object, whilst simultaneous reduction of temporal coherence
makes this effect stronger21,23. For these reasons, to have an off-axis holographic system working perfectly with
completely incoherent illumination is strongly desirable.
2. COHERENCE-CONTROLLED HOLOGRAPHIC MICROSCOPY
The incoherent off-axis holography concept has been proposed by Leith and Upatnieks24 in 1967. A conventional
interferometer is replaced by the so-called achromatic interferometer24,25, which exhibits also the feature of spatial
invariance26. As interference fringes are also the image of a diffraction grating, the fringe pattern is independent of inputbeam direction and wavelength. This means that incoherent off-axis holography is feasible with arbitrarily broad and
broadband light sources27. Use of this concept in microscopy promises the image quality and the resolving power typical
for a wide-field microscopy with incoherent illumination. Moreover, a strong reduction of light coherence is expected to
result in the coherence-gating effect. Light scattered outside the object plane is suppressed in the output image, which
makes the incoherent-holography imaging process similar to that of a confocal microscope28,29.
The first off-axis DHM with the achromatic Leith interferometer was built and experimentally verified in 1999 by
Chmelik and Harna for reflected light30–32. Optical sectioning with a broad source was demonstrated30 becoming stronger
with a broad and broadband source31.
DHM based on the Leith interferometer (at present called “coherence-controlled holographic microscope” – CCHM) has
been then designed and completed for transmitted-light33. A new generation of CCHM34 designed for the attachment of
classic condenser lenses, infinity-corrected objective lenses and with multimodal imaging capability is presently
developed.
Figure 2. Optical setup of the transmitted-light coherence-controlled holographic microscope: S...light source, L...relay lens,
M...mirrors, G...diffraction grating, C...objective lenses used as condenser ones, R...reference plane, Sp...specimen,
O...objective lenses, OP...output plane, OL...output lens, D...detector (CCD camera).
The optical setup of the transmitted-light CCHM is explained in Fig. 2. Light beam emitted by the source S (typically
a halogen lamp, with an interference filter or a stop possibly attached to) is split by the diffraction grating G to the
interferometer arms. The specimen Sp and the reference object R are imaged to the output plane OP, where a highcontrast image-plane hologram is formed for both coherent and incoherent illumination. The interference pattern is
recorded by a camera D and numerically processed by an attached PC. Image processing is based on the method of
carrier removal in the Fourier plane5. Image intensity and quantitative phase are on-line computed with the rate of 12 fps.
The capability of a high-quality QPC imaging in CCHM has been verified on living cancer cells10. A time-lapse study
accomplished by CCHM has shown differences in dry mass dynamics between cells of diverse malignancy stressed by
nutritional and energy deprivation10. The coherence-gating effect was proved experimentally by applying a diffuser over
a specimen and illumination with a broad source. Fig. 3a shows that a conventional bright-field image of a model
amplitude specimen is destroyed by scattering of light within the diffuser, while CCHM intensity still clearly reveals its
features33. The coherence gating effect exhibited by CCHM allowed for QPC imaging of living cells in a medium
containing active phospholipids (Fig. 3b) which caused strong scattering of light. It was experimentally proved that in
the presence of this turbid medium the classic Zernike phase contrast was not applicable.
Figure 3. a) Images of a Cu foil with rectangular openings covered by a diffuser demonstrate coherence-gating by CCHM:
bright field (BF) image is destroyed by scattering of light within the diffuser, while CCHM intensity signal still clearly
reveals the object features. Halogen-lamp illumination with a narrow-band filter at 650 nm (FWHM 10 nm), and objective
lenses 10x/NA = 0.25 were used. b) Quantitative phase contrast CCHM images of living cells of human breast carcinoma,
cell line G3S2 in vitro, in two moments of a time-lapse observation (the times are indicated). Halogen-lamp illumination
with a narrow-band filter at 650 nm (FWHM 10 nm), and objective lenses 20x/NA = 0.40 were used.
The images in Fig. 3 were formed by ballistic light separated from diffuse one by the effect of coherence gating. The
diffuse light is usually assumed to be only ballast light decreasing the image contrast (cf. e.g. Ref. 35). However, CCHM
allows obtaining images also by diffuse light. This light hits the image plane out of the relevant Gaussian image points
being deflected by a scattering medium. All the diffuse light which is laterally shifted by a certain distance  in the
image plane can be collected and separated from the remaining part of diffuse and ballistic light by introduction of the
same lateral shift  to the reference wave36.
3. THEORY OF IMAGING BY CCHM
3.1 Fundamentals of 3D imaging theory, the influence of coherence on imaging
The numerically reconstructed complex image signal of CCHM is described (with the help of the linear-systems theory
and in the 1st Born approximation of the scattering theory) by the inverse Fourier transform29
u i ( x i , y i , z i )   T (m, n, s)c(m, n, s) exp[ 2 i(mxi  ny i  sz i )] dmdnds .
(1)

The transverse position of an image point is described by the Cartesian coordinates xi, yi of the conjugated point in the
object plane, zi is the defocus of an object measured positively towards an objective lens, and m, n, s are spatial
frequencies in the directions of Cartesian coordinate axes. The object is described by the Fourier transform T(m,n,s) of its
three-dimensional (3D) scattering potential, c(m,n,s) is a 3D coherent transfer function (CTF), which depends29 on the
numerical apertures of objective and condenser lenses, and on the coherence properties of a source. Integrations in (1)
are carried out over the interval (-∞, ∞).
It is obvious from the form of (1) that imaging by CCHM is coherent for any degree of coherence of illumination.
However, the range of object spatial frequencies transferred by CCHM strongly depends on the coherence of light. This
dependence is demonstrated with the help of CTF supports (spatial-frequency passbands) calculated according (1) and
depicted in Fig. 4. Objective and condenser lenses are assumed to be aplanatic with the same numerical aperture NA.
Figure 4. Cross-sections of CCHM passbands (i.e. support of c(m,n,s), in grey), for a reflected-light set-up (a-c) and for
a transmitted-light set-up (d, e), for a point monochromatic source (a, d), for a broad monochromatic source (b, e), and for
a broad broadband source (c). 3D CTFs have cylindrical symmetry about the s axis; s, m are axial and transverse spatial
frequencies, respectively, NA is the numerical aperture both of condenser and objective lenses, and λv is a wavelength in
vacuum.
For a point monochromatic (i.e. coherent) source (Fig. 4a, d), the transverse cut-off frequency of CCHM equals to NA/λv,
where λv is a wavelength in vacuum. As the 3D point spread function (PSF) of CCHM is the 3D Fourier transform of its
3D CTF and the CTF support has a zero width in the axial direction for a coherent source (see Fig. 4a, d), the axial
resolution approaches infinity in this case. This means CCHM (or any other DHM) has no capability to resolve in axial
direction with a coherent illumination despite of the possibility to numerically refocus. This is why coherent-light DHM
imaging completed with numerical refocusing is sometimes classified not as 3D, but as 2½D imaging37.
The use of a broad monochromatic source filling the aperture of condenser lenses increases the transverse cut-off
frequency to 2NA/λv, which is twice the value for a coherent illumination (Fig. 4b, e). Moreover, the passband for
a reflected-light set-up (Fig. 4b) has a non-zero width in the axial direction, which means that the axial resolution has
now a finite value (the microscope is capable of optical sectioning), which can be further decreased by broadening of the
source spectrum (Fig. 4c).
3.2 Fundamentals of 2D imaging theory, point spread function and two-point resolution
A two-dimensional (2D) object is characterized by the function T2D(m,n), which is the 2D Fourier transform of the object
transmission function t2D(x,y). It follows from (1) that the complex signal of CCHM for an in-focus object is then
expressed by the 2D inverse Fourier transform
u i ( x i , y i ,0)   T2D (m, n)c2D (m, n) exp[ 2 i(mxi  ny i )] dmdn ,
(2)

where 2D CTF c2D(m,n) is the projection of 3D CTF c(m,n,s) along the s axis
c2D (m, n)   c(m,n,s) ds .
(3)

According to the convolution theorem, the signal (2) can be expressed also by the convolution
u i ( x i , y i ,0)  t 2D ( x i , y i )  h2D ( x i , y i ) ,
(4)
where h2D(xi,yi) denotes 2D PSF of CCHM, which is the 2D Fourier transform of 2D CTF c2D(m,n). 2D PSF can be
derived analytically in the paraxial approximation from 3D CTF29. For a point monochromatic source
h2 D ( x i , y i ) 
2J1 (v)
NA
, where v  2
( xi )2  ( yi )2 ,
v
v
(5)
where NA is the numerical aperture of both condenser and objective lenses, λv is a wavelength in vacuum, and J1 is the
Bessel function of the first kind and of the first order. For a broad monochromatic source, 2D PSF of CCHM is identical
with that for incoherent (bright-field) imaging
2
NA
 2 J (v ) 
h2 D ( x , y )   1  , where v  2
(xi )2  ( yi )2 .
v
 v 
i
i
(6)
The substantial difference follows from the fact that imaging in CCHM is coherent, described by Eq. (4). This is why we
have to consider possible phase shifts introduced by an object. For example, a two-point object is described by the
transmission function
t 2D ( x i , y i )   ( x i ) ( y i )  exp(i ) ( x i  x i ) ( y i ) ,
(7)
where δ denotes the Dirac delta function, φ is the phase shift introduced by one of the point objects, and Δxi is its
transverse shift. Then, according to (4),
u i ( x i , y i ,0)  h2D ( x i , y i )  exp(i )h2D ( x i  x i , y i ).
(8)
For a broad monochromatic source and in the paraxial approximation, 2D PSF is expressed by Eq. (6). Then, it is evident
from (8) that the Rayleigh criterion is appropriate for two-point resolution assessment in the case of a zero phase shift φ.
Otherwise, the resolution is better than indicated by the Rayleigh criterion. The extreme case corresponds to φ = π, when
two principal maxima of |ui| are separated by a line of its zero value for any Δxi.
4. CONCLUSIONS
A great potential of a digital holographic microscopy consists in the fact that imaging parameters depend considerably on
the coherence of illumination. One extreme corresponds to classic coherent-illumination off-axis holography including
full possibility of numerical focusing and the other to confocal-microscopy-like imaging without coherence noise and
artifacts and with the quality and resolution comparable with a wide-field microscopy. The coherence can be made a free
parameter controlling the nature of imaging by means of a specific DHM design based on the Leith achromatic and
spatially invariant interferometer.
This possibility was proved experimentally by the coherence-controlled holographic microscope (CCHM), which is
DHM based on the Leith achromatic interferometer. Quantitative phase contrast provided by CCHM is a promising
instrument of future evaluation of living cancer cells behavior, particularly, from the point of view of intracellular
motility. Coherence gating was demonstrated by CCHM imaging of a model sample through a scattering obstacle as well
as of living cells in a turbid medium.
It has been proved theoretically that the overall imaging process of CCHM is coherent for any degree of coherence of
illumination. 3D spatial-frequency passbands of CCHM were studied theoretically in dependence on coherence
properties of a source. It is evident that lower coherence of illumination corresponds to better transverse and axial
resolution of CCHM. Point spread functions (PSF) for 2D objects were derived in the paraxial approximation. For
a broad monochromatic source 2D PSF of CCHM is identical with that for classic incoherent imaging. This is why the
two-point resolution limit of CCHM is given by the Rayleigh criterion assuming that two point objects introduce the
same phase shift.
ACKNOWLEDGEMENT
This work is supported by the project “CEITEC – Central European Institute of Technology” (CZ.1.05/1.1.00/02.0068)
from European Regional Development Fund, by MIT CR (project FR-TI4/660), and by TA CR (project TE01020229).
REFERENCES
[1] Cuche, E., Bevilacqua, F., and Depeursinge, C., “Digital holography for quantitative phase-contrast imaging,”
Opt. Lett. 24, 291-293 (1999).
[2] Cotte, Y., Toy, M. F., Pavillon, N., and Depeursinge, C., “Microscopy image resolution improvement by
deconvolution of complex fields,” Optics Express 18, 19462 (2010).
[3] Cuche, E., Marquet, P., and Depeursinge, C., “Simultaneous amplitude-contrast and quantitative phase-contrast
microscopy by numerical reconstruction of Fresnel off-axis holograms,” Appl. Opt. 38, 6994-7001 (1999).
[4] Van Lighten, R. F., Osterberg, H., “Holographic Microscopy,” Nature 211, 282 (1966).
[5] Kreis, T., “Digital holographic interference-phase measurement using the Fourier-transform method,” JOSA A
3, 847-855 (1986).
[6] Carl, D., Kemper, B., Wernicke, G., and von Bally, G., “Parameter-optimized digital holographic microscope
for high-resolution living-cell analysis,” Appl. Opt. 43, 6536 -6544 (2004).
[7] Ikeda, T., Popescu, G., Dasari, R .R., and Feld, M. S., “Hilbert phase microscopy for investigating fast
dynamics in transparent systems,” Opt. Lett. 30, 1165-1167 (2005).
[8] Marquet, P., Rappaz, B., Magistretti, P. J., Cuche, E., Emery, Y., Colomb, T., and Depeursinge, C., “Digital
holographic microscopy: a noninvasive contrast imaging technique allowing quantitative visualization of living
cells with subwavelength axial accuracy,” Opt. Lett. 30, 468-470 (2005).
[9] Kemper, B., Carl, D., Schnekenburger, J., Bredebusch, I., Schäfer, M., Domschke, W., and von Bally, G.,
“Investigation of living pancreas tumor cells by digital holographic microscopy,” J. Biomed. Opt. 11, 034005
(2006).
[10] Janeckova, H., Vesely, P., and Chmelik, R., “Proving Tumour Cells by Acute Nutritional/Energy Deprivation as
a Survival Threat: A Task for Microscopy,“ Anticancer Research 29, 2339-2346 (2009).
[11] Sridharan, S., Mir, M., and Popescu, G., “Simultaneous optical measurements of cell motility and growth,”
Biomed. Opt. Expr. 2, 2815-2820 (2011).
[12] Barer, R., “Interference microscopy and mass determination,” Nature 169(4296), 366-367 (1952).
[13] Langehanenberg, P., Ivanova, L., Bernhardt, I., Ketelhut, S., Vollmer, A., Dirksen, D., Georgiev, G., von Bally,
G., and Kemper, B., “Automated three-dimensional tracking of living cells by digital holographic microscopy,”
J. Biomed. Opt. 14, 014018 (2009).
[14] Emery, Y., Cuche, E., Marquet, F., Aspert, N., Marquet, P., Kühn, J., Botkine, M., Colomb, T., Montfort, F.,
Charrière, F., Depeursinge, C., Debergh, P., and Conde, R., “Digital Holographic Microscopy (DHM) for
metrology and dynamic characterization of MEMS and MOEMS,” Proc. SPIE 6186, 61860N (2006).
[15] Kühn, J., Charrière, F., Colomb, T., Cuche, E., Montfort, F., Emery, Y., Marquet, P., and Depeursinge, C.,
“Axial sub-nanometer accuracy in digital holographic microscopy,” Meas. Sci. Technol. 19, 074007 (2008).
[16] Pavillon, N., Benke, A., Boss, D., Moratal, C., Kühn, J., Jourdain, P., Depeursinge, C., Magistretti, P. J., and
Marquet, P., “Cell morphology and intracellular ionic homeostasis explored with a multimodal approach
combining epifluorescence and digital holographic microscopy,” J. Biophoton. 3, 432–436 (2010).
[17] Makhlouf,H., Perronet,K., Dupuis,G., Lévêque-Fort, S., and Dubois, A., “Simultaneous optically sectioned
fluorescence and optical coherence microscopy with full-field illumination,” Opt. Lett. 37, 1613-1615 (2012).
[18] DaneshPanah, M., Zwick, S., Schaal, F., Warber, M., Javidi, B., and Osten, W., “3D Holographic Imaging and
Trapping for Non-Invasive Cell Identification and Tracking,“ J. Display Technol. 6, 490-499 (2010).
[19] Shaffer, E., Moratal, C., Magistretti, P., Marquet, P., and Depeursinge C., “Label-free second-harmonic phase
imaging of biological specimen by digital holographic microscopy,” Opt. Lett. 35, 4102-4104 (2010).
[20] F. Dubois, L. Joannes, and J.-C. Legros, “Improved three-dimensional imaging with a digital holography
microscope with a source of partial spatial coherence,” Appl. Opt. 38, 7085-7094 (1999).
[21] Dubois, F., Yourassowsky, C., Monnom, O., Legros, J.-C., Debeir, O., Ham, P. V., Kiss, R., and Decaestecker,
C., “Digital holographic microscopy for the three-dimensional dynamic analysis of in vitro cancer cell
migration,” J. Biomed. Opt. 11, 054032-054037 (2006).
[22] Dubois, F., Callens, N., Yourassowsky, C., Hoyos, M., Kurowski, P., and Monnom, O., “Digital holographic
microscopy with reduced spatial coherence for three-dimensional particle flow analysis,” Appl. Opt. 45, 864871 (2006).
[23] Dubois, F., Yourassowsky, C., Callens, N., Minetti, C., and Queeckers, P., “Applications of digital holographic
microscopes with partially spatial coherence sources,” Journal of Physics: Conference Series 139, 012027
(2008).
[24] Leith, E. N., and Upatnieks, J., “Holography with Achromatic-Fringe Systems,” JOSA 57, 975-980 (1967).
[25] Leith, E. N., and Swanson, G. J., “Achromatic interferometers for white light optical processing and
holography,” Appl. Opt. 19, 638-644 (1980).
[26] Leith, E. N., and Chang, B. J., “Space-Invariant Holography with Quasi-Coherent Light,” Appl. Opt. 12, 19571963 (1973).
[27] Leith, E. N., Chien, W.-C., Mills, K. D., Athey, B. D., and Dilworth, D. S., “Optical sectioning by holographic
coherence imaging: a generalized analysis,” JOSA A 20, 380–387 (2003).
[28] Sun, P.-C., and Leith, E. N., “Broad-source image plane holography as a confocal imaging process,” Appl. Opt.
33, 597-602 (1994).
[29] Chmelík, R., “Three-dimensional scalar imaging in high-aperture low-coherence interference and holographic
microscopes,” J. Mod. Opt. 53, 2673-2689 (2006).
[30] Chmelík, R., and Harna, Z., “Parallel–mode confocal microscope,” Opt. Eng. 38, 1635-1639 (1999).
[31] Chmelík, R., “Holographic confocal microscopy,” Proc SPIE 4356, 118-123 (2000).
[32] Chmelík, R., and Harna, Z., ”Surface profilometry by a parallel-mode confocal microscope,” Opt. Eng. 41, 744745 (2002).
[33] Kolman, P., and Chmelík, R., “Coherence-controlled holographic microscope,” Opt. Expr. 18, 21990 (2010).
[34] Slabý, T., Antoš, M., Dostál, Z., and Chmelík, R., “Coherence-controlled holographic microscope,” Proc. SPIE
7746, 77461R-1-77461R-8 (2010).
[35] Kempe, M., Genack, A. Z., Rudolph, W., and Dorn, P., “Ballistic and diffuse light detection in confocal and
heterodyne imaging systems,” JOSA A 14, 216-223 (1997).
[36] Lošťák, M., Kolman, P., Dostál, Z., Chmelík, R., “Diffuse light imaging with a coherence controlled
holographic microscope,” Proc. SPIE 7746, 77461N-1-77461N-9 (2011).
[37] Kou, S. S., and Sheppard, C. J. R., “Imaging in digital holographic microscopy,” Opt. Expr. 15 13641-13648
(2007).
Theoretical study of coherence-controlled holographic
microscopy in the presence of scattering media
Michala Henzlová∗a,b , Martin Lošt’áka,b and Radim Chmelı́ka,b
a CEITEC-Central
European Institute of Technology, Brno University of Technology,
Technická 10, Brno, 616 00, Czech Republic;
b Institute of Physical Engineering, Faculty of Mechanical Engineering, Brno University of
Technology, Technická 2, Brno, 616 00, Czech Republic
ABSTRACT
In this paper the theoretical description of the imaging process of a coherence-controlled holographic microscope
(CCHM) is carried out for the case when the object beam is influenced by a scattering medium (a diffuser)
present between an observed object and an objective lens of the microscope. The calculation is based on the
decomposition of the diffuser transmission function into its frequency components. The complete holographic
image is then computed as the superposition of holographic images for individual frequency components. The
dependence of fundamental imaging characteristics on the coherence state of an illumination is demonstrated.
Keywords: holographic microscopy, coherence gate, turbid-media imaging
1. INTRODUCTION
The Coherence-Controlled Holographic Microscopy (CCHM)1 is a novel holographic-microscopy technique for
a quantitative-phase-contrast observation of living cells with the illumination of arbitrarily low coherence. In
conventional digital holographic microscopes with a coherent illumination (e.g. laser-diode one), a speckle field
is usually generated by the presence of any obstacle (dust particles, scratches etc.) in the optical system. In the
CCHM, the generation of the coherent noise is prevented by a low-coherence illumination. In addition, a coherence
gate separates a ballistic light from a diffuse one, allowing to reveal structures hidden behind a diffusive medium.
A coherent transfer function (CTF), which is the function describing the transfer of spatial frequencies of an
object by an optical system, has already been derived for CCHM.2 In this paper, a similar approach is used for
the calculation of CTF for CCHM with a diffuser placed in the object space. An observed object, a reference
object and the diffuser are assumed to be two-dimensional planar objects. Thus, the geometric factor2 (necessary
for the calculation) C = 1 for each of these objects.
2. COHERENCE-CONTROLLED HOLOGRAPHIC MICROSCOPE
The coherence-controlled holographic microscope3 (see Fig.1) is a two beam interferometer completed with an
imaging optics. It consists of two optically equivalent arms – an object arm and a reference arm. The light from
a source is split by a beamsplitter (BS) into these two arms. The source is imaged to the front focal planes of
condenser lenses thus forming the Köhler illumination. In the object arm the light passes through a specimen
(Sp) while in the reference arm it passes through a reference object (R). Both the specimen and the reference
object are imaged into the output plane. The essential component of CCHM is a diffraction grating, which is
placed in the reference arm and imaged also into the output plane. In this way, a contrast off-axis image-plane
hologram is generated with an illumination of arbitrarily low coherence. The interference pattern of the hologram
is recorded in the output plane by a CCD camera. The image intensity and phase are then obtained from the
recorded image by numerical processing.3
The object planes, the image planes and the output plane are optically conjugated planes in the both of the
arms. Then, we can express the image amplitude in the output plane by the help of the object-space coordinates.
Let o (r t , κ) be a complex amplitude of the object wave and r (r t , κ) a complex amplitude of the reference wave
∗[email protected];
phone +420 541 142 833
C
R
O
TL
BS
a
Diffraction
grating
M
Reference beam
Output lens
Light
source
BS
b
M
M
Output
plane
M
Lens
Output lens
Object beam
M
M
Sp D O
C
TL
BS
Figure 1. Scheme of the transmitted-light coherence-controlled holographic microscope3 with diffuser in the object space:
(BS) beamsplitters, (M) mirrors, (C) condenser lenses, (Sp) specimen, (R) reference object, (D) diffuser or diffraction
grating in the object space, (O) infinity-corrected objective lenses, (TL) tube lenses, (α, β) angles of diffraction and
interference.
in the output plane, where κ = (κx , κy , κz ) is a reduced wavevector (|κ| = 1/λ, λ is a wavelength) corresponding
to a plane wave in the object space, and r = (r t , z) = (x, y, z) is a position vector in the Cartesian coordinate
system in the object space with the origin at the intersection of the optical axis and the object plane. The signal
resulting from the numerical reconstruction of the recorded hologram can be described by the expression2
∫ ∫∞∫
u (r) =
o (r, κ) r∗ (r, κ) κz κ−3 d3 κ ,
(1)
−∞
where an asterisk marks a complex conjugate function in the whole text.
2.1 Imaging characteristics of CCHM
In the 1st Born approximation of a scattering theory, the numerically reconstructed signal is given by the inverse
Fourier transform2
∫ ∫∞∫
u (r) =
T (µ) c (µ) exp (2πiµ · r) d3 µ ,
(2)
−∞
where µ = (µx , µy , µz ) is a vector of spatial frequencies – a scattering vector, T (µ) is the Fourier transform
of a scattering potential t (r) of an object and c (µ) is a 3D coherent transfer function (CTF) given by the
expression2
∫ ∫∞∫
{
[
]1/2 } κ
z 3
2
2
2
d κ , (3)
i (κ) |Pc (κ)| P (κ) P (κ + µ) δ (κz + µz ) − κ − (κx + µx ) − (κy + µy )
κ3
2
c (µ) =
−∞
∗
where P (κ) and Pc (κ) are 3D pupil functions2 of the objective and the condenser lenses in the κ-space, i (κ) is
the spectral intensity of a source in the κ-space (κ is the reduced wavevector of a plane wave in the object space
corresponding to one point and one wavelength of the source) and δ (κz ) denotes the Dirac delta function.
For a monochromatic light with a wavelenght λ0 , the projections of the supports of the 3D pupil functions
P (κ), Pc (κ) to the µx -µy plane are circles of radii NAo /λ0 , NAc /λ0 , where NAo and NAc are numerical apertures
of the objective and the condenser lenses,2 respectively. As the relation (3) has the form of 3D pupil functions
correlation, the projection of the support of 3D CTF to the same plane µx -µy (the transverse passband of CCHM,
i.e. the area of transferred transverse spatial frequencies) is a circle with the radius µt,max = (NAc + NAo ) /λ0 .
See Fig. 4a for illustration.
3. THE EFFECT OF A DIFFRACTION GRATING
In this section, we suppose that a diffraction grating with a single spatial frequency g = (gx , gy , 0) in its spectrum
is placed between the observed object and the objective lens of the microscope, and describe its influence on the
imaging process. Results are then used in the Section 4 for the calculation of CTF with the presence of a diffuser
in the object space. The calculation is based on the decomposition of the diffuser transmission function into its
frequency components. Also the possibility of a mutual shift of beams in the object and the reference arm is
taken into account.
3.1 Scattering potential of a diffraction grating
The diffraction grating located in a plane z = zg (see Fig. 2) can be described2, 4 by the scattering potential
tg (x, y, z) = exp [2πi (gx x + gy y)] δ (z − zg ) ,
(4)
where gx , gy are spatial frequencies
of the diffraction grating. For the following calculation it is useful to derive
( )
the Fourier transform Tg µg of the function tg (r)
( )
Tg µ g =
∫ ∫∞∫
(
)
tg (r) exp −2πiµg · r d3 r = δ (µg,x − gx ) δ (µg,y − gy ) exp (−2πiµg,z zg ) ,
(5)
−∞
where µg = (µg,x , µg,y , µg,z ) is a scattering vector corresponding to the diffraction grating. An angular spectrum
U3 (κ3,t ) of a scattered wave can then be expressed2 by the relation
U3 (κ3,t ) = U2 (κ3,t − g) exp [−2πi (κ3,z − κ2,z ) zg ] ,
where U2 (κ2,t ) is the angular spectrum of a primary wave, and
√
2
2κ3,t · g t − |g t |
.
κ3,z − κ2,z = κ3,z − κ3,z 1 +
κ23,z
Object
(6)
(7)
Objective
lens
Diffraction
grating
Condenser
lens
Figure 2. Configuration of elements in the object space.
3.2 Approximation
In the following text we will suppose
|g| ≪ κ3,z ,
|κ3,t | ≪ κ3,z .
(8)
Then we can approximate the expression (7) as follows
2
κ3,t · g t
|g |
− t ,
κ
2κ
and in this way modify the argument in the exponential function in Eq. (6).
κ3,z − κ2,z ≈
(9)
3.3 Shift of the reference beam
The diffraction grating in the object space causes that the rays coming from the sample are focused into different
points of the output plane than undeviated rays. This suggests an assumption that a convenient transverse
displacement of the reference beam in the output plane will allow interference of the reference beam with equally
deviated rays of the object beam. See Fig. 3 for illustration.
b)
a)
Image plane
Object
beam
Image plane
Ao
Ao
Object Diffuser
Condenser lens
Object Diffuser
Condenser lens
Objective lens
Objective lens
Image plane
Reference
beam
Image plane
Ar
Ar
Ar
Reference object
Reference object
Figure 3. Effect of the reference beam shift in the output (image) plane. For the sake of simplicity, the arms are depicted
separately. a) If no shift of the reference beam is introduced, rays of the reference beam coincide with the rays of the
object beam, which are undeviated by the diffraction grating (diffuser). b) If a shift ∆r t of the reference beam (in the
image plane) is introduced, rays of the reference beam coincide with the rays of the object beam, which are deviated by
the diffraction grating by the same ∆r t .
Suppose the shift ∆r t of the reference beam with respect to the object beam in the output plane. The shift
is expressed in the object-space coordinate system. Now, we have to modify Eq. (1) by the substitution of the
vector r t in the argument of the reference-wave complex amplitude for the vector r t − ∆r t . Then the resulting
signal is expressed by the relation
∫ ∫∞∫
u (r) =
o (r t , κ) r∗ (r t − ∆r t , κ) κz κ−3 d3 κ .
(10)
−∞
3.4 Coherent transfer function
The CTF is calculated by an approach similar to that used previously for the description of CCHM imaging
without a diffraction grating in the object space.2 Scattering by the diffraction grating is described by Eq. (5)
and the approximation (9) is applied. The resulting CTF is then described by the relation
∫ ∫∞∫
)]
[
( z
g
2
i (κ) |Pc (κ)| P ∗ (κ) P (κ + µ + g) exp 2πiκ · g − ∆r t ×
κ
−∞
{
)
[
]1/2 } κ
(
zg
z 3
2
2
2
d κ ; (11)
× exp 2πi µ · g δ (κz − µz ) − κ − (κx + µx + gx ) − (κy + µy + gy )
κ
κ3
cg (µ, g) = exp (2πig · r t )
the resulting signal is given by Eq. (2) with cg (µ, g) inserted instead of c (µ).
4. THE EFFECT OF A DIFFUSER
4.1 Diffuser as a superposition of diffraction gratings
Consider a diffuser to be a random medium described by a complex transmission function a (r t ). This function
is zero outside a finite diffracting aperture A and the probability density of its phase is uniform in the interval
(−π, π⟩.5 The scattering potential of the diffuser placed in the plane z = zg is then2 td (r) = a (r t ) δ(z − zg ),
and its Fourier transform Td can be written as
∞
∫∫
Td (µd ) = exp (−2πiµd,z zg )
(
)
(
)
a (r t ) exp −2πiµd,t · r t d2 r t = exp (−2πiµd,z zg ) A µd,t ,
(12)
−∞
which, according to Eq. (5), we can write as the superposition of diffraction gratings with spatial frequencies g
∞
∫∫
(
∞
∫∫
)
A (g) δ µd,t − g exp (−2πiµd,z zg ) d g =
Td (µd ) =
2
−∞
A (g) Tg (µd ) d2 g .
(13)
−∞
4.2 Coherent transfer function
With respect to Eq. (13), the relation for CTF of CCHM with a defocused diffuser can be derived as
∞
∫∫
A (g) cg (µ, g) d2 g .
cd (µ) =
(14)
−∞
After the substitution of the formula (11) for cg (µ, g) to (14) we obtain
∞
∫∫
cd (µ) =
∫ ∫∞∫
[
( z
)]
g
2
i (κ) |Pc (κ)| P ∗ (κ) P (κ + µ + g) exp 2πiκ · g − ∆r t ×
κ
−∞
−∞
(
) {
[
]1/2 } κ
zg
z 3
2
2
× exp 2πi µ · g δ (κz − µz ) − κ2 − (κx + µx + gx ) − (κy + µy + gy )
d κ d2 g . (15)
κ
κ3
A (g) exp (2πig · r t )
The following calculations are made for a monochromatic source with a wavelength λ0 . We express its
spectral intensity by the relation
i (κ) ∝ i2 (κt ) δ (κ − κ0 ) ,
(16)
where κ0 = 1/λ0 and i2 (κt ) describes the spatial distribution of the intensity. The function i2 (κt ) will be
specified later. Then, CTF for a monochromatic source is described by the expression
)]
[
(
zg
2
− ∆r t ×
i2 (κt ) |Pc (κ)| P ∗ (κ) P (κ + µ + g) exp 2πiκ · g
κ0
−∞
−∞
) {
}
(
[
]1/2
zg
2
2
d2 κt d2 g , (17)
× exp 2πi µ · g δ (κz − µz ) − κ20 − (κx + µx + gx ) − (κy + µy + gy )
κ0
√
2
where κz = κ20 − |κt | . The resulting signal is again given by Eq. (2).
cd (µ) =
κ−2
0
∞
∫∫
∞
∫∫
A (g) exp (2πig · r t )
4.3 A point monochromatic source
A point source is described by the function
i2 (κt ) = δ (κx /κ) δ (κy /κ) = κ2 δ (κx ) δ (κy ) .
(18)
After the substitution of (18) for i2 (κt ) in the expression (17) we can integrate over the variables κx and κy . In
this way we obtain
2
∗
∞
∫∫
cd (µ) = |Pc (κ0 )| P (κ0 )
−∞
)
zg
P (κ0 + µ + g) A (g) exp (2πig · r t ) exp 2πi µ · g ×
κ0
{
[
]1/2 }
2
2
2
× δ (κ0 + µz ) − κ0 − (µx + gx ) − (µy + gy )
d2 g , (19)
(
where κ0 = (0, 0, κ0 ). We can modify the Dirac delta function as follows
{
[
]1/2 }
2
2
δ (κ0 + µz ) − κ20 − (µx + gx ) − (µy + gy )
=
[
(
)]
√
κ0 + µz
=√
δ gy − −µy + −2 (κ0 µz + gx µx ) − (µ2x + µ2z + gx2 )
. (20)
−2 (κ0 µz + gx µx ) − (µ2x + µ2z + gx2 )
The integration over the spatial frequency gy then gives the expression
∫∞
−∞
κ0 + µ z
×
−2 (κ0 µz + gx µx ) − (µ2x + µ2z + gx2 )
]
[
zg
× A [f (gx , µ, κ0 )] exp [2πif (gx , µ, κ0 ) · r t ] exp 2πi µ · f (gx , µ, κ0 ) dgx , (21)
κ0
|Pc (κ0 )| P ∗ (κ0 ) P [κ0 + µ + f (gx , µ, κ0 )] √
2
cd (µ) =
where the vector function f (gx , µ, κ0 ) is defined as follows
)
(
√
f (gx , µ, κ0 ) = gx , −µy + −2 (κ0 µz + gx µx ) − (µ2x + µ2z + gx2 ) .
(22)
In Eq. (21) we shall notice the function A [f (gx , µ, κ0 )] integrated over gx . This function is random being the
Fourier transform of another random function (see Eq. (12)) and also it is a function of spatial frequencies
µ. This is why the result of the integration, CTF for coherent light source, must be another complex random
function. Finally, a point spread function is then given by the inverse Fourier transform of a random function
– so it is a random function, too. This result corresponds to the formation of a coherent noise (speckles) when
a coherent light source is used.
4.4 A broad monochromatic source
Start again with Eq. (17), while assuming now that the source image fills the aperture of condenser lenses with
a constant intensity. Then we can set
i2 (κt ) = const. > 0,
(23)
because the illumination-beam aperture is limited by the condenser-lens pupil function Pc (κ) in the integrand
in Eq. (17). The integration over κt in this equation can be written as
∞
∫∫
−∞
)]
[
(
zg
− ∆r t
d2 κt ,
ξ (κt ) exp 2πiκ · g
κ0
(24)
where ξ (κt ) is a slowly varying function within the supports of the 3D pupil functions. This is why we suppose
that this expression differs significantly from zero only for
zg
g
≈ ∆r t .
(25)
κ0
Then, the expression (17) can be roughly approximated by the following formula
cd (µ) ≈
κ−2
0
∞
∫∫
∞
∫∫
A (g) exp (2πig · r t )
−∞
−∞
(
)
zg
2
− ∆r t ×
|Pc (κ)| P ∗ (κ) P (κ + µ + g) δ g
κ0
(
) {
[
]1/2 }
zg
2
2
2
× exp 2πi µ · g δ (κz − µz ) − κ0 − (κx + µx + gx ) − (κy + µy + gy )
d2 κt d2 g , (26)
κ0
where a constant factor has been omitted. Finally, after the integration over g we get the formula for CTF
(
)
(
)
κ0
κ0
1
exp 2πi ∆r t · r t ×
cd (µ) ≈ 3 2 exp (2πiµ · ∆r t ) A ∆r t
κ0 zg
zg
zg
∞
(
)
[
]
∫∫
√
κ0
2
2
×
|Pc (κ)| P ∗ (κ) P κ + µ + ∆r t
κ3z δ (κz + µz ) − κ20 − |κt + µt + ∆r t κ0 /zg | d2 κt , (27)
zg
−∞
where
κz =
√
κ20 − κ2x − κ2y .
In the expression (27), the random function A (∆r t κ0 /zg ) plays the role of a factor independent of the spatial
frequency µ. That means CTF itself is not a random function of µ. Consequently, the object structure is revealed
in the CCHM image, which is in agreement with the experimental results.6
The insertion of the relation (27) into the relation (2) for the resulting image signal makes it clear that:
• The resulting image is laterally shifted by ∆r t .
• The linear phase term 2πir t · ∆r t κ0 /zg is added to the image phase.
• The image signal is multiplied by the random factor A (∆r t κ0 /zg ), which is however a constant for a given
beam shift ∆r t .
• The transverse passband (area of transferred transverse spatial frequencies or the projection of the support
of 3D CTF to the plane µx -µy ) of the microscope has the same circular form and radius as for the case
without a diffuser, but it is shifted in the κ-space by ∆µt = ∆r t κ0 /zg , which means that higher spatial
frequencies are transferred than in the case of the zero shift (ballistic-light imaging). This result is illustrated
in Fig. 4.
CONCLUSIONS
In this paper we demonstrate theoretically the ability of CCHM to image a specimen through a defocused thin
plane diffuser in the object space using a broad (spatially incoherent) monochromatic source. This result is in
agreement with the experiment.6 The approximate formula for the related CTF has been derived in the paraxial
approximation. The transverse passband of CCHM has unchanged form in this case, but it is possibly shifted
by ∆µt = ∆r t κ0 /zg , according to the vector ∆r t of the reference-beam shift in the output plane. The imaging
with the shift allows for the transfer of frequencies with the maximum value greater than in the case of imaging
with the zero shift (Fig. 4). Nevertheless the possible achievement of superresolution effects by a numerical
processing of images with different ∆r t is complicated by the presence of the random factor A (∆r t κ0 /zg ) in
(27).
Imaging with a coherent illumination (a point monochromatic source) through a diffuser is destroyed by
a coherent noise which precludes the observation of a specimen.
a)
b)
Figure 4. The transverse passband of CCHM (the projection of the support of 3D CTF to the plane µx -µy ) for imaging
with a broad monochromatic source a) without a diffuser in the object space, b) with the diffuser and the reference beam
shifted by ∆r t . The size of the area is limited by the numerical apertures of condenser lenses (NAc ) and objective lenses
(NAo ): µt,max = (NAc + NAo ) /λ0 according to the section 2.1. The passband is shifted proportionally to the shift ∆r t .
ACKNOWLEDGMENTS
This work is supported by MIT CR (project FR-TI4/660), by TA CR (project TE01020229), by the project
”CEITEC - Central European Institute of Technology” (CZ.1.05/1.1.00/02.0068) from European Regional Development Fund, and by MEYS CR (project CZ.1.07/2.2.00/28.0250).
REFERENCES
1. P. Kolman and R. Chmelı́k, “Coherence-controlled holographic microscope,” Optics Express 18(21),
pp. 21990–22003, 2010.
2. R. Chmelik, “Three-dimensional scalar imaging in high-aperture low-coherence interference and holographic
microscopes,” Journal of Modern Optics 53(18), pp. 2673–2689, 2006.
3. T. Slabý, M. Antoš, Z. Dostál, P. Kolman, and R. Chmelı́k, “Coherence-controlled holographic microscope,”
in Proceedings of SPIE, 7746, p. 77461R, 2010.
4. E. Leith and G. Swanson, “Achromatic interferometers for white light optical processing and holography,”
Applied Optics 19, pp. 638–644, 1980.
5. J. C. Dainty, “An introduction to ’Gaussian’ speckle,” in Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng, 243, pp. 2–8,
1980.
6. M. Lošt’ák, P. Kolman, Z. Dostál, and R. Chmelı́k, “Diffuse light imaging with a coherence controlled
holographic microscope,” in Proceedings of SPIE, 7746, p. 77461N, 2010.
Rotating point spread function in spiral phase contrast imaging
with discrete phase modulation
M. Baránek and Z. Bouchal*
Department of Optics, Palacký University in Olomouc,
17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc, Czech Republic
ABSTRACT
Spiral phase contrast imaging is one of the modern methods of optical microscopy applicable to edge contrast
enhancement of amplitude and phase samples. The method is based on modulation of the spatial spectrum realized by a
spiral phase element at the focal plane of the Fourier lens. In this paper, the results of a paraxial wave model of the spiral
imaging are presented which allow to calculate the point spread function for real parameters of the spiral modulation and
to analyze defocusing effects. A particular attention is given to the analysis of the spiral imaging implemented by a phase
mask with a finite number of discrete phase levels. As the main result, a defocusing-induced rotation of the point spread
function is discovered and analyzed in detail. Theoretical predictions are verified in experiments using a spatial light
modulator for generation of the discrete spiral phase mask.
Keywords: Rotating point spread function, phase modulation, spatial light modulator, discrete spiral phase mask,
spiral phase contrast imaging
1. INTRODUCTION
Recently, many different imaging methods and techniques aided by a spatial light modulator (SLM) has emerged in
optical microscopy. The SLM technology is used to control and shape the sample illumination, or it can be utilized for
Fourier filtering of the spatial spectrum of observed objects in the imaging path of microscope1 . The spiral phase
contrast imaging was proposed as one of the promising methods based on a phase modulation of the object spatial
spectrum2. By this technique, a strong edge contrast enhancement for both amplitude and phase samples was achieved
due to the Fourier plane filtering of the microscopic image with a spiral phase element displayed at a high resolution
SLM. The spiral phase contrast method was subsequently improved for quantitative reconstruction of both amplitude and
phase of the complex microscopic samples based on processing of a sequence of the CCD records acquired with different
rotational orientations of the spiral phase plate3. The spiral phase contrast imaging realized using a commercially
available filter was also demonstrated in the upgraded version of a standard optical microscope4.
Recently, new methods of optical imaging allowing depth estimation from diffracted rotation were discovered5. It was
shown that depth estimation can be improved relative to the classical methods by exploiting three-dimensional
diffraction effects. In optical imaging, the required effects are achieved by a spatially rotating point spread function
(PSF) which shows increased sensitivity to defocusing. Usability of the rotating PSF was subsequently demonstrated
both theoretically and experimentally. The PSF rotation was also used for 3D super-localization of single molecules6
and 3D tracking of fluorescent microparticles7.
In this paper, the rotating PSF in spiral phase contrast imaging is first demonstrated both theoretically and
experimentally. It is verified that the defocusing-induced rotation of the PSF occurs naturally when the spiral phase
mask with a suitable number of phase levels is used. An exception is also found and explained, in which the PSF remains
rotationally invariant under defocusing even if the discrete phase mask is used. This situation is determined by the exact
relation between the intrinsic topological charge of the mask and the number of its phase levels. A paraxial wave model
of the experiment is proposed in order to describe the rotational effect mathematically and explore it thoroughly. In
calculations, the real experimental parameters and a Gaussian aperture of optical components are considered. The
proposed mathematical treatment allows analytical calculation of the PSF for both image defocusing and the spiral
filtering implemented by a discrete phase structure. Dependence of the PSF rotation on image defocusing is studied in
*
email: [email protected]
detail for various parameters of the experiment. Theoretical predictions are then verified in the set-up that uses the SLM
to realize the spiral phase modulation of the spatial spectrum.
2. IMAGE FORMATION IN SPIRAL PHASE CONTRAST MICROSCOPY
2.1 Calculation model of the spiral phase contrast imaging with defocusing
In spiral phase contrast microscopy, the spatial spectrum of an observed sample is modulated in the 4F optical system
using the spiral phase mask. Here, we propose a paraxial computational model which operates with real parameters of
the experimental set-up and allows determination of the PSF taking into account both aperture bounding of light waves
in optical system and defocusing effects. The PSF is initially determined for a general phase modulation and then the
calculation model is modified to be valid for a realizable mask consisting of a finite number of discrete phase levels. The
calculation is based on the scheme shown in Fig. 1.
Figure 1. Spiral phase contrast imaging implemented by a phase modulation in the 4F optical system.
Observed 2D sample with a transmittance t is located at the distance z = f1 − ∆z from the lens L1 with the focal length
f1 . To take into account lateral bounding of light waves, a Gaussian aperture of the lens L1 is considered. If the object
is illuminated by a monochromatic plane wave with unitary amplitude and the wavelength λ , L1 performs the Fourier
transformation. If the half width of the Gaussian aperture w0 is much larger than λ , the spatial spectrum at the focal
plane of the lens (xF , yF ) can be written as
[
]
where G j = exp a j (xF2 + yF2 ) ,
x y 
x y 
U F  F , F  = GPH (xF , yF ) G A (xF , y F ) T  F , F ,
 λf1 λf1 
 λf1 λf1 
j = PH , A ,
(1)
t denotes the Fourier
a PH = iπ∆z λf12 , a A = − z 2 w02 f12 , and T = FT {}
transform of the object transmittance t . In the focal plane of the lens L1 , the object spatial spectrum U F is modulated
by the spiral mask given by a general function S (xF , yF ) which will be specified later. The modulated light propagates
towards the lens L2 and the complex amplitude U L , just before it, can be written as a convolution U L = (U F S ) ⊗ h f 2 ,
where h f 2 denotes the impulse response function for light propagation through the distance f 2 . The lens L2 affects the
[ (
) ]
incident light by a quadratic phase, PL = exp − iπ xL2 + yL2 / λf 2 . The complex amplitude U´ at the distance z´= f 2 + ∆z´
behind the lens L2 is then given as a convolution of the light field transformed by the lens and the impulse response
function for a free propagation of light to the distance z´, U´= (PLU L ) ⊗ hz´. Performing the Fourier transformation of a
Gaussian function and taking into account the Fresnel approximation of the impulse response function, we can write
U ´(x´, y´, ∆z´) =
(
 π  ∆z ∆z´ 
x y 
T  F , F S ( xF , y F )G A ( xF , y F )exp i  2 − 2  xF2 + y F2

− ∞  λf1 λf1 
f 2 
 λ  f1
∫∫
∞
)

(2)


x´
y´ 
 dxF dyF .
× exp − i 2π  xF
+ yF
λf 2 
 λf 2

Eq. (2) describes imaging of a general 2D object implemented by the spiral phase modulation S in the 4F optical system.
The calculation considers a Gaussian lens aperture resulting in a bounding of the spatial spectrum G A and is valid for an
arbitrary longitudinal position of the object and detector. The image is in focus when the quadratic phase in the integral
is eliminated. This is achieved if the condition ∆z´= ( f 2 f1 )2 ∆z is fulfilled. In this paper, Eq. (2) is used to discuss the
PSF rotation that occurs as a result of defocusing when a discrete spiral phase modulation is used.
2.2 PSF for the spiral imaging with a continuous phase mask
To determine the PSF, we consider imaging of a point object that is placed on the optical axis to simplify notation. In this
case, t is expressed by the Dirac delta function as t = δ (x, y ) . The Fourier transformation T = FT {t} then can be
simply calculated and substituted into (2). Using the cylindrical coordinates in both the Fourier plane (rF , ϕ F ) and the
image plane (r´,ϕ´) , the transparency of the continuous spiral phase mask can be written as S = exp(imϕ F ) , where
m = 1,2K , represents the topological charge of the mask. After integration, the complex amplitude of the point image
can be written using the modified Bessel functions as
U ´(r´,ϕ´, ∆z´) = A´i m exp(imϕ )
2 R´
)[
(
( )
( )]
exp − R´2 I (m −1) 2 R´2 − I (m +1) 2 R´2 ,
πγ
where A´ denotes an unimportant amplitude and R´ and γ are given by
m > −2,
(3)
2
π  ∆z ∆z´ 
1  ∆z 
1 −  − i 
−
.
2

f1 
λ  f12 f 22 
w0 
The PSF determines the spatial distribution of the normalized intensity obtained for a point object. It is defined as the
ratio I N' = | U ´ |2 | U 0´ |2 , where |U 0´ |2 is the maximal intensity at the center of the image spot. The PSF calculated by (3)
includes image scaling given by geometrical parameters of the 4F system and diffraction effects associated with the
Gaussian bounding of light and enables analysis of the image degradation caused by defocusing. The PSF is independent
of ϕ´ and the image spot expands while keeping its rotational symmetry under defocusing. This property is exactly valid
only for the continuous spiral modulation. In the case of a discrete spiral phase modulation, the PSF becomes rotationally
unsymmetrical, and in some cases it rotates due to defocusing.
R´=
πr´
,
2γ λf 2
γ =
2.3 Defocusing-induced PSF rotation in the spiral imaging with a discrete phase mask
In the previous section, a spiral modulation of the Fourier spectrum realized by the continuous phase mask
S = exp(imϕ F ) was considered. In experiments, the mask is generated by the SLM, or can be prepared using
photolithography techniques. In both cases, a mask with a finite number of discrete phase levels is created. If we
consider l -th segment of a mask defined by the interval of angles ϕ F ∈ 2π (l − 1) L, 2πl L , its transparency is given as
Sl = exp[im2π (l − 1) L ] , where m is the intrinsic topological charge of the mask, L is the total number of phase levels
and l = 1,2,K L, denotes the sequence number of the phase segments. Because the mask is periodic in the angle ϕ F , it
can be written using the Fourier series,
S (ϕ F ) =
∞
∑c
n
exp (inϕ F ).
n = −∞
If the transparency of the mask is known, the Fourier coefficients can be obtained by
(4)
1
cn =
2π
When the mask S =
∑S
l
l
2π
∫ S (ϕ
F
)exp (− inϕ F )dϕ F .
(5)
0
composed of L segments is inserted into (5), its Fourier coefficients can be calculated and
8
arranged to the form
cn = exp(i nπ L )sin c(n L ), n = m − sL, s = 0,±1,±2,K,
0,
others.
(6)
To facilitate calculations, it is appropriate to adjust (4) so that only positive indices are included. If the Fourier series of
a discrete phase mask is inserted into (3) and then integration is performed, we get
U ´(r´,ϕ´, ∆z´) = A´i m exp(imϕ )
×
∞
∑ i [c
n
n =1
−n
2 R´
πγ
(
exp − R´2
)
[
( )
( )]
(7)
exp(− inϕ´) + c− n exp(− inϕ´)] I (m −1) 2 R´ − I (m +1) 2 R´ ,
2
2
where c− n and cn denote the Fourier coefficients of the discrete phase mask given by (5). Normalized intensity
calculated by the complex amplitude (7) represents the PSF for spiral imaging implemented by a discrete phase mask.
Unlike the case with a continuous mask, the PSF does not have rotational symmetry and the intensity profile depends on
the azimuthal angle ϕ´. The argument of the Bessel function R´ depends on the parameter γ , which becomes complex
in the case of defocusing with ∆z´≠ ( f 2 f1 )2 ∆z. In this case, the Bessel functions are also complex and their phase leads
to a change in the azimuthal profile of the PSF under defocusing. This effect was first studied using approximate
analytical calculations and subsequently simulated numerically. The calculation of the PSF can be simplified by the fact
that the discrete spiral mask may be represented in a good approximation by only two dominant members of the Fourier
series. It can be shown that the spiral phase mask with the intrinsic topological charge m and the number of phase
levels L is represented with a sufficient accuracy by the terms cm and cm − L . The normalized intensity that determines
the PSF can then be written in the form
 π 2ℜ{γ }r ´2 
 [P + Q cos(Lϕ´+ ∆ϕ´+π )] ,
I ´N ≈ r ´2 exp −
(8)
 λ2 f 2 γ 2 
2


where P and Q are the functions depending on both the radial coordinate and the defocusing shift. The image intensity
(8) is determined by a product of the radial coordinate r´ , the rotationally symmetric Gaussian function whose width
varies with defocusing, and the rotationally unsymmetrical expression, whose form resembles the interference law. The
rotation angle ∆ϕ´ is given by amplitudes and phases of the modified Bessel functions and depends on the defocusing.
Due to this dependence, the PSF exhibits azimuthal changes that can be interpreted as the defocusing-induced rotation of
the PSF. To study this effect in more detail, P , Q and ∆ϕ´ were examined as complicated functions of the intrinsic
topological charge of the used discrete spiral phase mask, m , and the number of phase levels, L . Analysis of the
discrete spiral modulation showed that the PSF remains invariant under defocusing only when the number of phase
levels is twice the intrinsic topological charge, L = 2m . In this case, the PSF expands but does not rotate under
defocusing. In all other numbers of phase levels of the spiral mask, the PSF rotates and becomes a sensitive indicator of
the defocusing. Numerical analysis of (7) shows that the angle of rotation of the PSF increases linearly with defocusing,
if small shifts are used. Positive and negative defocusing causes inverse PSF rotation of the same size. At larger shifts,
the rotation slows down, and when exceeding a certain critical value of the shift, the PSF does not rotate with increasing
defocusing. This means that for each experimental configuration, there is a maximal rotation of the PSF, which can be
achieved through defocusing. These theoretically predicted effects are in good agreement with experimental results.
3. EXPERIMENTAL DEMONSTRATION OF THE PSF ROTATION
Experimental verification of the rotational effects appearing in the spiral imaging with a discrete phase modulation was
performed in the set-up shown in Fig. 2. The beam of He-Ne laser coupled into a single-mode fiber FC was used as a
point source. The Fourier transform of an input optical signal was created by the microscope objective MO and
subsequently transferred on an active display of the SLM using relay optics composed of the lenses L1 and L2. The
spatial spectrum was modulated by a discrete spiral phase mask displayed on the SLM. Only the first diffraction order
reflected by the SLM was used in the imaging experiment. The inverse Fourier transform was implemented by the lens
L3 and the examined PSF was detected on the CCD.
Figure 2. Set-up for experimental verification of the PSF rotation in the spiral imaging with a discrete phase modulation:
FC - optical fiber NA=0.1 (He-Ne laser, 20 mW, 632.8 nm), MO - microscope objective (Melles Griot NA=0.55, 50x),
SLM - spatial light modulator (Hamamatsu X 10468, 800x600), BS - beam splitter, M - mirror, L1, L2, L3 - lenses
(f1=f2=200 mm, f3=400 mm), CCD - Olympus, F-View II.
Comparison of theoretical and experimental results is shown in Fig. 3 and 4. The defocusing-induced rotation of the PSF
is demonstrated for the discrete spiral mask with the intrinsic topological charge m = 1 and the number of phase levels
L = 3 and L = 4 , respectively. Theoretical results (top row) were obtained by numerical simulations using Eq. (7),
experimental verification (bottom row) was carried out in the set-up shown in Fig. 2. The object-side numerical aperture
of the microscope objective MO ( 50×, NA = 0.55 ) was limited by the output numerical aperture of the used optical fiber
( NA = 0.1 ). Defocusing was performed in the object space by a longitudinal shift of the fiber ( ∆z = ±40µm ), the CCD
was located at the paraxial focal plane of the lens L3 ( ∆z´= 0 ). As is obvious, the number of phase levels of the mask L
determines the number of side lobes of the PSF. The PSF expands and rotates in a direction dependent on the orientation
of the defocusing shift in a very good agreement with the numerical simulation.
Figure 3. Numerical simulations (top row) and experimental verification (bottom row) of a defocusing- induced rotation of
the PSF in the spiral imaging with the discrete phase mask (object-side numerical aperture NA=0.1, intrinsic topological
charge m=1, number of phase levels L=3, defocusing shift ∆z=40 µm, ∆z´=0).
Figure 4. The same as in Fig. 3, but for the topological charge m=1 and the number of phase levels L=4.
In Fig. 5, a validity of the theoretically determined condition for a rotational invariance of the PSF is verified both
numerically and experimentally. In the case demonstrated, the discrete mask with the intrinsic topological charge m = 2
and the number of phase levels L = 4 is used. The PSF has four lobes again but under defocusing it expands and remains
without any rotation because the condition L = 2m is fulfilled. Dependence of the PSF rotation on defocusing ∆z is
demonstrated in Fig. 6. In some range of distances, the PSF rotation is a linear function of the defocusing. A sensitivity
of the defocusing-induced rotation increases with increasing numerical aperture of the microscope objective. For given
experimental parameters, there is a rotational saturation meaning that the PSF does not rotate when a certain critical
value of the defocusing is exceeded.
Figure 5. Numerical simulations (top row) and experimental verification (bottom row) of a rotation invariant defocusing of
the PSF guaranteed by the sampling condition of the discrete phase mask L=2m (object-side numerical aperture NA=0.1,
intrinsic topological charge m=2, number of phase levels L=4, defocusing shift ∆z=40 µm, ∆z´=0).
Figure 6. Theoretical and experimental dependence of the PSF rotation on object-side defocusing ∆z for the spiral mask with
m=1 and L=3 and different numerical apertures of the microscope objective.
4. CONCLUSIONS
The paper presents the main results of a paraxial wave model of the spiral phase contrast imaging, which in good
approximation takes into account real experimental conditions. Using the analogy between spatial and spectral bounding
of light, the PSF valid for both in focus and out of focus images is obtained analytically. The PSF is expressed by the
modified Bessel functions, and allows analysis not possible with previous results based on the use of the Struve functions
[9]. The main results obtained by the presented simulation model can be summarized as follows:
• The spiral phase contrast imaging realized with the helical mask specified by the intrinsic topological charge,
m , and the chosen number of phase levels, L , was analyzed.
• The defocusing - induced rotation of the PSF was discovered and analyzed in detail using approximate
analytical relations and numerical simulations.
• It was shown that the PSF is rotationally invariant under defocusing only if the continuous spiral mask is used
or parameters of the discrete mask satisfy condition L = 2m .
• Dependence of the PSF rotation was studied numerically for the mask with m = 1 and L = 3 and various input
numerical apertures of the microscope objective. The PSF rotation is linear in a well-defined range of
defocusing shifts and the rotation sensitivity significantly increases with the input numerical aperture.
• Rotation of the PSF has a saturation limit - it does not continue when defocusing exceeds a certain critical
value.
The discrete spiral phase modulation was verified to be a simple and effective tool to achieve the PSF rotation, which
can be used as a sensitive method of three-dimensional localization of micro objects in optical microscopy.
ACKNOWLEDGEMENTS
This work was supported by the Technology Agency of the Czech Republic, project No. TE01020229, and IGA project
of the Palacký University PrF 2012-05.
REFERENCES
[1] Maurer, Ch., Jesacher, A., Bernet, S. and Ritsch-Marte, M., "What spatial light modulators can do for optical
microscopy," Laser Photonics Rev. 5, 81-101 (2011).
[2] Furhapter, S., Jesacher, A., Bernet, S. and Ritsch-Marte, M., "Spiral phase contrast imaging in microscopy,"
Opt. Express 13, 689-694 (2005).
[3] Jesacher, A., Furhapter, S., Bernet, S. and Ritsch-Marte, M., "Shadow effects in spiral phase contrast
microscopy," Phys. Rev. Lett. 94, 233902 (2005).
[4] Maurer, C., Jesacher, A., Furhapter, S., Bernet, S. and Ritsch-Marte, M., "Upgrading a microscope with a spiral
phase plate," Journal of Microscopy 230, 134-142 (2007).
[5] Greengard, A., Schechner, Y. Y. and Piestun, R., "Depth from diffracted rotation," Opt. Lett. 31, 181-183
(2006).
[6] Pavani, S. R. P., DeLuca, J. G. and Piestun, R., "Polarization sensitive, three-dimensional, single molecule
imaging of cells with a double-helix system," Opt. Express 17, 19644-19655 (2009).
[7] Pavani, S. R. P. and Piestun, R., "Three dimensional tracking of fluorescent microparticles using a photonlimited double-helix response system," Opt. Express 16, 22048-22057 (2008).
[8] Guo, Ch.S., Xue, D.M. and Han, Y.J., "Optimal phase steps of multi-level spiral phase plates, " Opt. Commun.
268, 235-239 (2006).
[9] Situ, G., Pedrini, G. and Osten, W., ”Spiral phase filtering and orientation-selective edge detection
enhancement,” J. Opt. Soc. Am. A 26, 1788–1797 (2009).
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
Incomplete quantum state estimation: A comprehensive study
Yong Siah Teo,1,2 Bohumil Stoklasa,3 Berthold-Georg Englert,1,4 Jaroslav Řeháček,3 and Zdeněk Hradil3
1
2
Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore, Singapore 117543, Singapore
Graduate School for Integrative Sciences and Engineering, National University of Singapore, Singapore 117597, Singapore
3
Department of Optics, Palacky University, 17. listopadu 12, 77146 Olomouc, Czech Republic
4
Department of Physics, National University of Singapore, Singapore 117542, Singapore
(Received 8 February 2012; published 16 April 2012)
We present a detailed account of quantum state estimation by joint maximization of the likelihood and the
entropy. After establishing the algorithms for both perfect and imperfect measurements, we apply the procedure
to data from simulated and actual experiments. We demonstrate that the realistic situation of incomplete data
from imperfect measurements can be handled successfully.
DOI: 10.1103/PhysRevA.85.042317
PACS number(s): 03.67.−a, 03.65.Ud, 03.65.Wj
I. INTRODUCTION
Quantum state preparation is the first important step for any
protocol that makes use of quantum resources. Examples of
such protocols are quantum state teleportation and quantum
key distribution, which require entangled quantum states.
In order to verify the integrity of the quantum state of the
source prepared, one carries out quantum state tomography
on the source. Measurements are performed on a collection of
identically prepared copies of quantum systems (electrons,
photons, etc.) that are emitted from the source. Then, the
quantum state of the source is inferred from the measurement
data obtained from this ensemble. The measurements are
generically described by a set of positive operators j that
compose a probability operator measurement (POM). The
procedure of state inference, which shall be our main focus
in this article, is also known as quantum state estimation. If
the size of the ensemble is infinite, the estimation procedure
will yield the unique true quantum state of the source; this is
the frequentist’s definition of the true state, which we accept
as the best description of what the source prepares. However,
such an ensemble is never achievable in any laboratory setting,
as one can only perform measurements on a finite ensemble of
quantum systems. As a result, the state estimator obtained will
be different from the true state and depends on the details of
the estimation procedure. To make statistical predictions, the
corresponding operator ρ̂ describing this estimator must be a
statistical operator, which is positive. This will ensure that the
estimated probability p̂j = tr{ρ̂j } for an outcome j of any
set of POM is positive. We shall denote all estimated quantities
with a hat symbol.
There are two popular methods for quantum state estimation: Bayesian and maximum-likelihood (ML). The Bayesian
state estimation method [1–3] constructs a state estimator
from an integral average over all possible quantum states.
The likelihood functional, which yields the likelihood of
obtaining a particular sequence of measurement detection with
a given quantum state, serves as a weight for the average.
This approach includes all the neighboring states near the
maximum of the likelihood functional as possible guesses
for the unknown ρtrue . These neighboring states are given
especially significant weight when N is small, in which
case the likelihood functional is only broadly peaked at the
maximum. However, the integral average unavoidably depends
1050-2947/2012/85(4)/042317(9)
on how one measures volumes in the state space, and there is no
universal and unambiguous method for that. The ML approach
[4–7], on the other hand, simply chooses the estimator as the
statistical operator that maximizes the likelihood functional.
Rather than identifying a unique estimator, as the Bayesian
approach always does, the ML method may only yield a convex
set of estimators if the estimated probabilities p̂j are consistent
with more than one statistical operator. If the ML estimator
is unique and the number of copies is sufficiently large,
both approaches give the same estimator since the likelihood
functional peaks very strongly at the maximum.
When the measurement outcomes form an informationally
complete set, the measurement data obtained will contain
maximal information about the source. Thus, a unique state
estimator can be inferred with ML. Unfortunately, in tomography experiments performed on complex quantum systems with
many degrees of freedom, it is not possible to implement such
an informationally complete set of measurement outcomes.
As a result, some information about the source will be missing
and its quantum state cannot be completely characterized. The
ML estimator obtained from these informationally incomplete
data is no longer unique and there will in general be infinitely
many other ML estimators that are consistent with the data. In
Ref. [8], we briefly reported an iterative maximum-likelihoodmaximum-entropy algorithm (MLME) to estimate unknown
quantum states from incomplete measurement data by maximizing the likelihood and von Neumann entropy functionals.
In that Letter, we assumed that the measurement
detections
are perfect with no detection losses (that is, j j = 1). The
application of this algorithm was illustrated with examples of
homodyne tomography and we concluded that, together with
a more objective Hilbert space truncation, this approach can
serve as a reliable and statistically meaningful quantum state
estimation with incomplete data.
In this article, we will present more details on the recently
proposed MLME algorithm and apply it to various other
situations. First, we give a brief review of the mathematical
formalism for quantum state estimation in Sec. II to set the
stage for the subsequent discussions. Next, we derive the
numerical MLME algorithms respectively for both perfect
and imperfect measurement detections in Sec. III, with the
latter being particularly useful for actual experiments. We
illustrate applications of the two algorithms with two examples
in Sec. IV and conclude in Sec. V.
042317-1
©2012 American Physical Society
YONG SIAH TEO et al.
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
II. FORMALISM OF QUANTUM STATE ESTIMATION
In a tomography experiment, an ensemble of N copies of
quantum systems, identically prepared, is measured using a
POM, which consists of positive measurement outcomes j .
For simplicity, we first assume that all measurement detections
are perfect and hence j j = 1. The problem of imperfect
detections will be dealt with in Sec. III B. For each
outcome, its
number of occurrences is denoted by nj such that j nj = N .
The likelihood functional L({nj }; ρ), for a particular sequence
of independent detections, is then
nj
L({nj }; ρ) =
pj .
(1)
j
As
a consequence of perfect measurement detections,
j pj = 1. The ML procedure searches for the estimator ρ̂ML ,
which maximizes L({nj }; ρ). For a D-dimensional Hilbert
space, when a POM comprises D 2 or more measurement
outcomes, of which D 2 of them are linearly independent,
it is informationally complete. In this case, there exists a
unique estimator ρ̂ML for a given set of measurement data
{nj }. One can also define the outcome frequencies
fj = nj /N
out of these measurement data such that j fj = 1. The corresponding functional L({nj }; ρ) due to this informationally
complete POM will peak at the unique global maximum ρ̂ML
over the space of ρ, whereby ρ̂ML is solely determined by the
frequencies fj and does not depend on the total number N of
measured copies.
The situation is different when the POM is informationally
incomplete. In this case, there will be infinitely many ML
estimators satisfying a smaller set of linearly independent
constraints imposed by the incomplete measurement data.
These ML estimators form a convex set of operators that
maximize the convex functional L({nj }; ρ). Geometrically,
L({nj }; ρ) possesses a convex plateau structure hovering over
the space of ρ. The task, now, is to select one of these estimators
for future statistical predictions. To do this, we adopt the
well-known maximum-entropy (ME) principle advocated by
Jaynes [9]. That is, we look for the estimator with the largest
von Neumann entropy
S(ρ) = −tr{ρ ln ρ}
(2)
among the convex set of ML estimators. This supplementary
step introduces a small and smooth convex hill over the
plateau structure so that a unique maximum can be obtained.
The corresponding MLME estimator ρ̂MLME is the least-bias
estimator for the given set of incomplete measurement data; it
can be regarded as the most conservative guess of the unknown
quantum state out of the convex set of ML estimators.
At this point, we would like to comment on the distinction
between this MLME technique and the conventional ME
technique [10,11]. The ME technique takes the outcome
frequencies fj as bona fide estimates for the probabilities pj
and tries to search for the positive operator
ρ̂ME =
e
tr{e
j
λj j
j
λj j
}
(3)
that maximizes S(ρ), subjected to the probability constraints
which are mediated by the Lagrange multipliers λj . The
fundamental problem with this scheme is that fj cannot always
be treated as probabilities since there may not be any statistical
operator ρ for which fj = tr{ρj }. This is due to the statistical
noise that is inherent in the outcome frequencies arising from
measuring a finite ensemble of quantum systems. Therefore,
in such cases, the ME technique fails as there simply is no
positive operator that is consistent with the measurement data
to begin with. The MLME algorithm, on the other hand, looks
for the unique MLME estimator by confining the search within
the plateau region inside the space of statistical operators.
Thus, positivity is ensured. In cases where fj are probabilities,
both the ME and MLME schemes yield the same estimator
by construction since the estimated probabilities p̂j = fj
correspond to a statistical operator.
III. NUMERICAL ALGORITHMS
A. Perfect measurements
Assuming that the measurement detections are perfect, the
likelihood functional L({nj }; ρ) in Eq. (1) gives a complete statistical description of all possible sequences of detections for
the N measured copies of quantum systems. Equivalently, one
can consider the optimization of the normalized log-likelihood
functional ln[L({nj }; ρ)]/N to simplify the subsequent calculations, in view of the monotonic nature of the logarithmic
function. The motivation for introducing the normalization will
become clear soon. The MLME scheme can then be perceived
as a standard constrained optimization problem: maximize
ln[L({nj }; ρ)]/N subjected to the constraint that S(ρ) takes
the maximal value Smax . This is equivalent to maximizing
S(ρ) with the constraint that ln[L({nj }; ρ)]/N is maximal, as
discussed above. The Lagrange functional for this optimization
problem is defined as
1
ln L({nj }; ρ),
(4)
N
where λ is the Lagrange multiplier corresponding to the
constraint for S(ρ). We denote the estimator that maximizes
I(λ; ρ) by ρ̂I,λ . Incidently, the functional I(λ; ρ) is a sum
of two different
types of entropy, up to an irrelevant additive constant
j fj ln fj : the von Neumann entropy S(ρ)
that quantifies the lack of information,
and the negative
of the relative entropy S({fj }|{pj }) = j fj ln(fj /pj ) that
quantifies the gain of information from the measurement
data. The scheme can now be interpreted as a simultaneous
optimization of two complementary aspects of information,
with an appropriately assigned constant relative weight λ. In
addition, the normalization of ln L({nj }; ρ) renders the optimal
value of λ to be independent of N .
When λ = 0, we recover the Lagrange functional for the
log-likelihood functional alone. Owing to the informational
incompleteness of the measurement data, there exists a convex
plateau structure for the log-likelihood functional. As λ →
∞, the von Neumann entropy becomes increasingly more
significant and the resulting estimator ρ̂I,λ→∞ approaches the
maximally-mixed state 1/D. Naturally, when λ takes on a very
small positive value, the contribution from λS(ρ) becomes
much smaller than ln[L({nj }; ρ)]/N and the variation of the
von Neumann entropy functional is only significant over the
plateau region in which the likelihood is maximal. Figure 1
illustrates all the aforementioned points. This means that, in
042317-2
I(λ; ρ) = λ[S(ρ) − Smax ] +
INCOMPLETE QUANTUM STATE ESTIMATION: A . . .
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
are satisfied. Therefore, to solve these extremal equations
numerically, we iterate the equation
†
ρk+1 =
†
(Ak + δAk )(Ak + δAk )
†
†
tr{(Ak + δAk )(Ak + δAk )}
(11)
starting from some statistical operator ρ1 , until k = k such
that the norm of ρk Rk is less than some prechosen value.
We then take ρ̂MLME ≡ ρk as the MLME estimator. Maximizing I(λ → 0; ρ) will require δI(λ → 0; ρ) to be positive
whenever I(λ → 0; ρ) is less than the maximal value. A
straightforward way to enforce positivity is to set
†
δAk ≡ (δAk )† ≡ Ak Rk ∝ FIG. 1. (Color online) Schematic diagrams of I(λ,ρ) on the space
of statistical operators. The maximally mixed state resides at the
center of the square base which represents the Hilbert space. At
the extremal points of λ, I(λ = 0; ρ) = ln[L({nj }; ρ)]/N , with a
convex plateau at the maximal value, and I(λ → ∞; ρ) = λS(ρ).
Plot (c) shows the functional with an appropriate choice of value for
λ for MLME. An additional hill-like structure resulting from S(ρ)
is introduced over the plateau, so that the estimator with the largest
entropy can be selected from the convex set of ML estimators within
the plateau.
general, λ should be chosen so small that S(ρ̂I,λ ) is very close
to the minimum, and below which there are only very slight
changes in the two entropy functionals [8].
Let us derive the iterative algorithm for maximizing I(λ →
0; ρ) with respect to ρ. After varying I(λ → 0; ρ), we have
δI(λ → 0; ρ) = −λ tr{δρ ln ρ} +
fj
δpj .
pj
j
(5)
The variations δpj , or δρ, have to be such that ρ stays positive
after these variations. To choose their appropriate forms, we
first parametrize the positive operator ρ = A† A/tr{A† A} with
an auxiliary complex operator A. Under this parametrization,
δρ =
δA† A + A† δA − ρ tr{δA† A + A† δA}
.
tr{A† A}
Substituting δρ in Eq. (6) into Eq. (5), we have
δA† A
A† δA
δI(λ → 0; ρ) = tr
R
+
R
,
tr{A† A}
tr{A† A}
(6)
(7)
where
R = R − 1 − λ(ln ρ − tr{ρ ln ρ})
(8)
with
R=
fj
j .
pj
j
(9)
When I(λ → 0; ρ) is maximal, we have δI(λ → 0; ρ) = 0
and the extremal equations
ρ R = Rρ = 0
(10)
∂I(λ; ρ)
,
∂Ak
(12)
with being a small positive constant. This is the steepestascent method. We have thus established a numerical MLME
scheme as a set of iterative equations (11) and (12) to search
for the MLME estimator using the measurement data obtained
from perfect measurement detections. More compactly, the
relevant iterative equations are
ρk+1 =
(1 + Rk ) ρk (1 + Rk )
,
tr{(1 + Rk ) ρk (1 + Rk )}
Rk = Rk − 1 − λ (ln ρk − tr{ρk ln ρk }) .
(13)
We note that a more efficient algorithm, using the conjugategradient method, can be derived from this steepest-ascent
algorithm, which is the subject of a separate discussion.
B. Imperfect measurements
In actual experiments, the measurement detections will
usually be imperfect in the sense that the detection efficiency
ηj of a particular measurement outcome j is less than unity.
In this case, the overall outcome probabilities
p̃j ≡ ηj pj
(14)
will not sum to unity. Hence, we have aset of POM
˜ j ≡ ηj j such that G ≡ j ˜ j < 1. A
with outcomes consequence of this is that the true total number M of
copies received is not known, since only N < M are detected
(N = M when all ηj = 1 as in Sec. III A).
The likelihood functional that accounts for all M copies of
quantum systems in an experiment with imperfect detections
is given by
⎞
⎛
nj
M!
⎝ p̃j ⎠ (1 − η)M−N , (15)
L̃({nj }; ρ) =
N ! (M − N )!
j
where η = j p̃j < 1. The additional combinatorial prefactor
arises from the indistinguishability in the ordering of the
detection sequence resulting from losses. With the help of
Stirling’s approximation for the factorials, the variation of the
corresponding log-likelihood functional is given by
M −N
δ ln L̃({nj }; ρ) = tr N R̃ −
G δρ
1−η
(1 − η)M
,
+ δM ln
M −N
042317-3
YONG SIAH TEO et al.
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
˜ j /p̃j . Adopting the concept of maxiwhere R̃ = j fj mum likelihood, we derive an expression for M such that
ln L̃({nj }; ρ) is maximized for any given ρ. This implies
that the coefficient of the arbitrary δM must vanish and we
have M = N/η as the most-likely value of M. With this, the
expression for L̃({nj }; ρ) reduces to the simple form
pj nj
(16)
L̃({nj }; ρ) =
η
j
up to an irrelevant multiplicative factor, with its corresponding
logarithmic variation
G
δρ .
(17)
δ ln L̃({nj }; ρ) = N tr R̃ −
η
The additional term −δρG/η in the argument of the trace
accounts for copies that have escaped detection.
Defining I(λ → 0; ρ) for the new POM and its L̃({nj }; ρ)
in Eq. (16), one can derive the iterative equations
(1 + R̃k )ρk (1 + R̃k )
,
tr{(1 + R̃k )ρk (1 + R̃k )}
(18)
G
R̃k = R̃k − (k) − λ(ln ρk − tr{ρk ln ρk }),
η
(k)
with η(k) = j p̃j .
To highlight the importance of a proper treatment of
imperfect measurement detections, we perform a simulation
on 103 randomly generated qubit states. Figure 2 compares
the performance of the MLME algorithm derived in Sec. III A,
with which we search for the MLME estimator by assuming
that the measured data {nj } are all we have while ignoring
ρk+1 =
1.0
Dtravg
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
tr{ρ2true }
FIG. 2. (Color online) A comparison of two different schemes
with 103 random qubit true states distributed uniformly with respect
to the Hilbert-Schmidt measure. Fifty experiments were simulated
for every true state, with N = 5000 for each experiment, and the
avg
respective average trace-class distances Dtr were computed. The
entire simulation was done with a set of randomly generated, informationally incomplete POM consisting of two imperfect measurement
outcomes. The plot markers denoted by “+” represent reconstructed
states using the algorithm in Eq. (13) while ignoring the imperfection
of the measurements, and those denoted by “” represent the
reconstructed states using the algorithm in Eq. (18) that accounts
for this imperfection. The significant improvement in tomographic
efficiency with the latter algorithm is a strong indication of the
importance of a proper treatment of imperfect measurements.
the possible missing data, with that of the MLME algorithm
derived in this section. The trace-class distance
Dtr = 12 tr{|ρ̂MLME − ρtrue |}
(19)
is used as the figure of merit to quantify the distance between
ρ̂MLME and ρtrue . The lesson to be learnt here is that if
one neglects the consequence of imperfect measurements in
performing state reconstruction, the quality of the resulting
reconstructed state estimator will typically be much lower
than that obtained from a scheme that accounts for this
imperfection.
IV. APPLICATIONS
A. Time-multiplexed detection tomography
First, we apply the MLME technique to simulation experiments on time-multiplexed detection (TMD) tomography [12].
For experiments of this type, photon pulses of a particular
quantum state containing more than one photon are sent
through a series of beam splitters [13], each associated with
a certain transmission probability. Behind each of the output
ports of such a series is a single-photon detector that either
registers a click from an incoming split photon pulse, with
some detection efficiency, or does nothing. Thus, each output
port has a certain overall efficiency η̃j , which is related to
the relevant transmission probabilities and detection efficiency
(see Fig. 3).
As a consequence, the POM outcomes
|ncj n n|
(20)
j =
n
will be a mixture of Fock states, with the coefficients cj n
related to ηj [14]. If there are Nports output ports, where all
ηj are different, there will be 2Nports distinct POM outcomes
due to the binary nature of the single-photon detectors. In
2Nports
Nports
binary sequences
addition,
j =1 j = 1 since the 2
of detection configurations constitute all possible events. By
counting photon pulses with the POM of Fig. 3, information
about the unknown quantum state can be obtained. However,
these POM outcomes commute and a measurement of these
outcomes only gives information about the diagonal entries
of the statistical operator of the true state in the Fock basis.
In order to obtain information about the off-diagonal entries,
one can, for instance, displace the current set of 2Nports POM
outcomes in phase space with some complex value αk away
from the origin using the displacement operator
†
∗
D(αk ) = eαk A −αk A ,
ρ
T1
T2
1 − T1
1 − T2
η1
η2
(21)
...
TK
ηK+1
1 − TK
ηK
FIG. 3. A schematic diagram representing the time-multiplexed
setup with K + 1 output ports. The Tj are the respective transmission
probabilities for the j th beam splitter. The overall efficiency
for, say,
the kth port is given by η̃k = ηk (1 − Tk + TK+1 δk,K+1 ) jk−1
=1 Tj .
042317-4
INCOMPLETE QUANTUM STATE ESTIMATION: A . . .
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
where A is the standard photon annihilation operator. Then,
the new set of outcomes
1
j (αk ) = D(αk )j D† (αk ),
(22)
N
with N being the total number of such displaced set of 2Nports
outcomes, does not commute with the undisplaced set. These
displaced outcomes are suitable for a measurement that is
designed to obtain information about the unknown true state by
sampling over multiple αk s. Experimentally, these displaced
POM outcomes can be realized with unbalanced homodyne
detection [15].
In the simulations, four output ports, corresponding to a
total of 24 = 16 POM outcomes, are considered. Two different
true states are selected to illustrate the results of MLME. The
first true state is chosen to be a stationary state of a laser given
by
ρss = e−μ
∞
n=0
|n
μn
n|,
n!
(23)
where μ is the mean number of photons [16]. For the second
true state, the statistical operator ρα = |M(α )M(α )|, where
|α + |−α |M(α ) = 2(1 + e−2|α |2 )
(24)
is the superposition of the coherent states |α and |−α , is
chosen. Quantum states of this kind, introduced in Ref. [17],
have been studied experimentally in various situations [18,19].
The notation |M(α ) is used to denote the ket for the male
Schrödinger’s cat state [20]. See, for example, Ref. [21] for a
survey of the family of cat states. Statistical operators are first
reconstructed from the simulated data. For this reconstruction,
one has to decide on the dimension Dsub of the truncated
Hilbert space for the reconstructions. This procedure, also
commonly known as state-space truncation, depends on the
prior information about the unknown state. In our case, suppose
one knows that the mean number of photons of the source is
μ ≈ 4, which is the value assigned in the simulation. Then,
one may anticipate that all the relevant information about the
true state should be contained in a Hilbert space of a dimension
which is close to μ. In fact, it is a common practice to choose
Dsub , compatible with this information, such that the displaced
operators form an informationally complete POM. Then, the
standard ML method can be applied to state estimation. We
shall compare the result of this approach with another, perhaps
more objective, methodology in which we select a larger
subspace compatible with this prior information and estimate
the state with MLME.
After obtaining the reconstructed statistical operators, the
Wigner functions W (x,p) of the dimensionless position and
momentum quadrature values, x and p respectively, are
calculated in accordance with
∞ ∞
−|α|2
W (x,p) = 2e
m|ρ|n
⎡
× ⎣(−1)j<
m=0 n=0
⎤
2j> j< !
(|m−n|)
(x + i sgn(n−m) p)|m−n| Lj<
(2|α|2 )⎦,
2j< j> !
(25)
where α = x + ip and L(ν)
n (y) is the degree-n associated
Laguerre polynomial in y of order ν, for all the statistical operators. Here, we define j< ≡ min{m,n} and j> ≡ max{m,n}.
To quantify the nonclassicality of the statistical operators,
we make use of the concept of nonclassicality depth introduced
in Ref. [22]. Let us define the function
√
1
|α/ 2 − w|2
R(α,τ ) =
(dw) exp −
P (w), (26)
πτ
τ
where w is a complex variable, (dw) denotes the integral
measure over the real and imaginary parts of w, P (w) is the
Glauber-Sudarshan P function, and the parameter τ is in the
range 0 τ 1. From the above definition, it follows that
R(α,τ ) is a continuous interpolating function of
√ τ from the
typically singular, as well as nonpositive, P (α/ 2) (τ → 0),
to the Wigner function W (α) (τ = 1/2),
to the posi√
√ and finally
tive Husimi Q function Q(α) = α/ 2|ρ|α/ 2/π (τ → 1).
The nonclassicality depth is then defined as the smallest
value τ = τ̃ , above which R(α,τ ) 0. Any mixture of
coherent states is therefore a classical state since, in this case,
τ̃ = 0. A quantum state with τ̃ > 0 is a nonclassical state. This
measure of nonclassicality captures the nonclassical nature of
quantum states through a one-parameter family of functions,
which can otherwise be invisible to measures involving a fixed
value of τ , such as the conventional negativity of the Wigner
function. Although quantifying nonclassicality with τ̃ is a
somewhat arbitrary procedure, we adopt it here as a measure
of nonclassicality that is not worse than other proposals.
The generalization of (25) to arbitrary τ values,
j>
|α|2
∞ ∞
e− 2τ j< j< ! 1 − τ
R(x,p,τ ) =
m|ρ|n (−1)
τ m=0 n=0
j> !
τ
|m−n|
|α|2
x + i sgn(n−m) p
(|m−n|)
×
Lj<
, (27)
√
2τ (1 − τ )
2(1 − τ )
is useful for the numerical computation of τ̃ . For the stationary
state in Eq. (23), Eq. (27) simplifies to
Rss (x,p,τ )
=
e−
|α|2
2τ
τ
∞
−μ μn
(−1)
n!
n=0
n
1−τ
τ
n
Ln
|α|2
.
2τ (1 − τ )
(28)
The performances of both MLME and the standard ML
method on the true states defined in Eqs. (23) and (24) are
illustrated by the Wigner function plots of the respective
statistical operators obtained from both methods. These are
shown in Figs. 4 and 5. The respective nonclassicality depths
are also computed for Fig. 4. For the state ρα , all the
corresponding reconstructed statistical operators are highly
nonclassical, with τ̃ = 1 [23] for all of them. Hence, rather than
comparing the τ̃ values, the structure of the Wigner functions
for various reconstruction subspaces will be briefly analyzed
instead in Fig. 5.
B. Light-beam tomography
Finally, we make use of the MLME algorithm to reconstruct
states of classical light beams that are measured using the
042317-5
YONG SIAH TEO et al.
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
(a) True state
(b) 5-dimensional ML estimator
(c) 11-dimensional MLME
estimator
FIG. 4. (Color online) Density plots of the Wigner functions,
in phase space, of various statistical operators for (a) the true
state (twenty-dimensional stationary state of a laser, μ = 4) with
τ̃ ≈ 0.394, (b) the five-dimensional ML estimator with τ̃ ≈ 0.921
and (c) the eleven-dimensional MLME estimator with τ̃ ≈ 0.489.
Here, brighter regions indicate the locations of larger Wigner function
values, and vice versa. The statistical operator for (b) is obtained using
ML by assuming a five-dimensional subspace in which the displaced
POM outcomes are informationally complete. The statistical operator
for (c) is obtained by assuming a larger subspace of dimension 11
using MLME. Numerous artificial nonclassical features of the ML
estimator, a signature of its highly oscillatory Wigner function, are
manifested as an abnormally large value of τ̃ , an inevitable byproduct
of state-space truncation. One can see that with MLME, extraneous
artifacts of the Wigner function resulting from such a truncation can
be largely removed.
Shack-Hartmann (SH) wave front sensor. An incoming light
beam is transformed by a regular array of microlens apertures
and detected in its rear focal plane by a charge-coupled device
(CCD) camera (see Fig. 6). A plane wave traversing in the
transverse plane of the SH sensor gives rise to a detection,
where the individual diffraction patterns are centered at
the corresponding optical centers of the microlenses. For a
distorted wave front, the observed diffraction pattern behind
the kth microlens aperture will be deflected by an angle θk .
Since the set of angles θk is related to the local wave front
tilts with respect to the transverse plane of the SH sensor, the
shape of the wave front can be inferred. Clearly, this standard
technique of wave front reconstruction fails in the presence
of imperfect coherence, where the notions of wave front and
optical phase are no longer well defined and a more general
description of the state of the light beam is necessary.
Recently, an alternative theory for SH detection, based
on the principles of quantum state tomography, has been
introduced. It was shown that a complete characterization of a
beam of light is possible from the measurement data obtained
with the SH sensor under certain assumptions with regard
(a) True state
(b) 8-dimensional ML estimator
(c) 10-dimensional MLME
estimator
(d) 15-dimensional MLME
estimator
FIG. 5. (Color online) Density plots of the Wigner functions, in
phase space, of various statistical operators for (a) the true state
(ρα , α = 5), (b) the eight-dimensional ML estimator, (c) the tendimensional, and (d) fifteen-dimensional MLME estimators. In this
case, the Wigner function of the ML estimator differs greatly from
that of the true state, an example of misleading information obtained
via state-space truncation. A transition in the structure of the Wigner
function occurs at Dsub = 10, with the MLME estimator for Dsub =
15 giving a more accurate estimated picture of the Wigner function
of the true state.
FIG. 6. Schematic diagram of the diffraction patterns of an
incoming light beam that is obtained from a SH wave front sensor.
The light beam is transformed by an array of microlenses (apertures).
A CCD camera is placed at the rear focal plane of the array. The
measurement data consist of the measured intensities of the beam.
The intensity at the j th pixel, located at position xj , behind the kth
microlens aperture is denoted by Ik (xj ).
042317-6
INCOMPLETE QUANTUM STATE ESTIMATION: A . . .
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
to the aperture profiles [24]. Analogously to quantum states,
we can describe a coherent beam (mode), with a complex
amplitude ψ(x), by a ket |ψ, such that ψ(x) = x|ψ. It
should be understood, that this ψ(x) is not a quantummechanical probability amplitude, but a mathematical symbol
with analogous properties that we exploit. At the focal plane
of the kth microlens aperture, the amplitude ψk (x) of the
transformed beam is given by
ψk (x) = dx hk (x − x )ak (x )ψ(x ),
(29)
where ak (x) is the aperture function of the kth microlens
aperture and the response function hk (x) describes the free
propagation from the kth microlens to the SH sensor.
Now, suppose a generic partially coherent beam is detected
by the SH sensor. We can describe the state of such a beam
with a coherence operator ρcoh . When using a computational
basis of orthonormal modes |ψn , we have
coh
ρcoh =
|ψm ρmn
ψn |.
(30)
mn
By defining the aperture operator
(a)
Mk = dx |x ak (x )x |
(31)
for the kth microlens aperture and the unitary propagation
operator Uk , where x|Uk |x = hk (x − x ), that describes the
free propagation from the kth microlens to the SH sensor, the
representation of the corresponding transformed state ρcoh
,
†
ρcoh
= Uk Mk(a) ρcoh Mk(a) Uk
†
coh
=
Uk Mk(a) |ψm ρmn
ψn |Mk(a) Uk
mn
=
≡|ψm ≡ψn |
coh
|ψm ρmn
ψn |,
(32)
mn
on the focal plane of the apertures follows from the linearity of
optics transformations. The intensity Ik (xj ) at position xj [25]
on the rear focal plane of the kth aperture is
Ik (xj ) ≡ xj |ρcoh
|xj coh
= xj |
|ψm,j ρmn ψn,k | |xj =
mn
coh
ρmn
ψm,k
(xj )ψn,k
(xj )∗ ,
(33)
mn
where ψn,k
(xj ) = xj |ψn,k
are the complex amplitudes of
the transformed light beam obtained from the amplitudes
ψn (xj ) = xj |ψn of Eq. (29). Since ρcoh possesses all the
properties of a statistical operator, the MLME technique can be
true
used to estimate the true coherence operator ρcoh
of a partially
coherent beam. To this end, we need to compute the corresponding POM describing the measurement outcomes of the
SH sensor. By relating Ik (xj
) to the corresponding probabilities
of the outcomes k (xj ) =
mn |ψm k,nm (xj )ψn |, we have
Ik (xj ) = tr{ρcoh k (xj )}
coh
ρmn
k,nm (xj ).
=
mn
(34)
FIG. 7. (Color online) Experimental setup involving a singlemode fiber (SMF), a spatial light modulator (SLM), an aperture stop
(A), and a Shack-Hartmann (SH) sensor.
Comparing Eqs. (33) and (34), the positive operator describing
the detection outcome at the j th pixel of the CCD camera
behind the kth aperture has matrix elements given by
(xj )ψn,k
(xj )∗ .
k,nm (xj ) = ψm,k
(35)
As an illustrative example, the POM outcomes considered
in this section are commuting operators in the infinitedimensional Hilbert space with regard to the coherence operators. Equivalently, the aperture functions for the respective
microlenses do not overlap in position. This is a special case
of a more general theory on Shack-Hartmann detection, which
is a subject for future study.
In the experiment, a controlled preparation of optical beams
is realized using the principles of digital holography [26].
Figure 7 shows the setup. The essence of the beam preparation
lies in the numerical construction of a digital hologram that is
programmed to produce a superposition of a reference plane
true
of interest. This is
wave and a beam with the true state ρcoh
achieved with the help of an amplitude spatial light modulator
(OPTO SLM) with a resolution of 1024 × 768 pixels. The
hologram is then illuminated by the reference plane wave that
is considered in the superposition. To approximately produce
this plane wave, a collimated Gaussian beam is generated by
placing the output of a single-mode fiber at the focal plane of a
collimating lens. In this way, the digital hologram can be fully
situated at the center of the collimated Gaussian beam of a
larger beam waist, where this beam can then be approximated
to be a plane wave with high accuracy. The resulting diffraction
spectrum, after illuminating the digital hologram with the
collimated Gaussian beam, involves several diffraction orders,
true
of which only one contains useful information about ρcoh
.
To filter out the unwanted diffraction orders, a 4-f optical
processor, with a small circular aperture stop placed at the rear
focal plane of the second lens, is used for this purpose (the
aperture stop in Fig. 7). The resulting light beam with the state
true
ρcoh
is then focused at the rear focal plane of the third lens.
This completes the preparation stage.
The measurement of the light beam involves a Flexible
Optical SH sensor with 128 microlenses that form a hexagonal
array. Each microlens has a focal length of 17.9 mm and a
hexagonal aperture with a diameter of 0.3 mm. The signal at
the focal plane of the array is detected by a uEye CCD camera
that has a resolution of 640 × 480 pixels, with each pixel being
9.9 μm × 9.9 μm in size.
The aforementioned setup is used for generating and
analyzing low-order Laguerre-Gaussian (LG) modes. The
LG modes can serve as important resources in quantum
information processing [27]. In this experiment, only LG
042317-7
YONG SIAH TEO et al.
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
modes with no radial nodes are considered. Such modes
form a one-parameter orthonormal basis, where the modes are
specified by the orbital angular momentum quantum number l.
In polar coordinates, the relevant part of the complex amplitude
of a LG mode, for a fixed l, is given by
s,ϕ|LGl ∝ s l eilϕ e−s .
2
(36)
Nonzero values of l give rise to helical wave fronts, for which
each photon carries an orbital angular momentum of lh̄.
For the source of light beams, we would like to prepare the
sup
true
state ρcoh
= ρcoh = |ψsup ψsup |, where
1
|ψsup = (|LG0 − |LG1 i − |LG2 ) √ ,
3
(37)
using the OPTO SLM. In the presence of experimental
true
prepared this way
imperfections, however, the true state ρcoh
sup
will not be exactly the same as ρcoh . After measuring this beam
with the SH sensor, the data are processed using the MLME
true
MLME
for ρcoh
,
algorithm in Eq. (18) to obtain the estimator ρ̂coh
MLME
since G < 1. To quantify the quality of ρ̂coh , we investigate
sup
MLME
and ρcoh .
the fidelity between ρ̂coh
true
Figure 8 shows the CCD image for the state ρcoh
. Each
aperture gives rise to a bright spot in the CCD image. To
maximize the signal-to-noise ratio, only the pixel with the
highest intensity within each spot is selected as a measurement
datum. The set of intensities, corresponding to maximumintensity pixels, constitutes the measurement data to be used
for state reconstruction. In our case, the corresponding POM
consists of 35 linearly independent outcomes described by
Eq. (35). This measurement is, therefore, informationally
complete for Dsub 5. In cases where state reconstruction
on informationally complete subspaces gives unsatisfactory
results, the MLME approach can be used on the informationally incomplete data to give reasonable estimators on a larger
subspace, as illustrated in Fig. 9.
So far, the procedure of state-space truncation is performed
true
in the basis of the LGl modes. In this basis, when ρcoh
is
sup
known to be quite close to ρcoh , the truncation of modes of
higher orders will not result in a great loss of reconstruction
sup
information, as implied by the structure of ρcoh in Eq. (37).
The situation will be very different when there is no such prior
true
knowledge about ρcoh
, except for the fact that the possible
values of l lie in a certain range. In this situation, there is
no appropriate strategy to choose a computational basis in
which the state-space truncation can be done effectively and
true
justifiably. More generally, estimating the unknown state ρcoh
on a truncated subspace will, as a rule, result in missing
important reconstruction information and this will lead to
FIG. 9. (Color online) MLME state estimation from informationally incomplete data for Dsub = 9. The real (left) and imaginary (right)
MLME
are shown.
parts of the reconstructed coherence operator ρ̂coh
The reconstruction subspace is spanned by the modes LGl , with
l = 0,1, . . . ,8. In this case, 56 out of 91 independent outcomes,
true
, are not accessible,
required for complete characterization of ρcoh
sup
MLME
is close to ρcoh , with a fidelity of
yet the MLME estimator ρ̂coh
92%.
strongly biased estimators. A remedy for this problem is to
perform state reconstruction on a sufficiently large subspace
that is compatible with the knowledge about the range of values
of l.
To emphasize this point, we simulate the following scenario.
(1) The set of measurement data, obtained from the CCD
image shown in Fig. 8, is distributed to 50 parties. The possible
true
values of l for the true state ρcoh
are known to lie in the range
l ∈ [0,7].
(2) Each party selects a computational basis and estimates
the state of the beam for Dsub = 3,4, . . . ,8 using either the
ML (for Dsub 5) or the MLME algorithm (for Dsub > 5).
(3) The reconstructed estimators for the six values of Dsub
are reported by each party and the average fidelity of the
estimators for every value of Dsub are calculated.
A typical outcome of this scenario is shown in Fig. 10.
As can be seen, performing state-space truncations in order to
true
reconstruct ρcoh
with an informationally complete set of data
generally leads to low fidelities in the estimators. Increasing the
number of degrees of freedom and using the MLME algorithm
fidelity
true
FIG. 8. CCD image for the state ρcoh
. The relevant part of the
SH readout used for the beam reconstruction is shown. Contributions
from the individual SH apertures are indicated by bright spots, with
each spot made up of multiple pixels. Note that the two void regions
sup
correspond to the phase singularities of the state ρcoh . This hints that
sup
true
≈ ρcoh .
ρcoh
Dsub
FIG. 10. Average fidelities, computed over 50 random choices
of computational bases, of the estimators for different dimensions
Dsub of the reconstruction subspace. The unfilled (filled) circular
plot markers correspond to informationally complete (incomplete)
tomography, respectively.
042317-8
INCOMPLETE QUANTUM STATE ESTIMATION: A . . .
PHYSICAL REVIEW A 85, 042317 (2012)
to cope with the completeness issue seems to be a much better
strategy.
V. CONCLUSION
additional unsampled degrees of freedom, that is compatible
with any prior information about a given unknown state. Such
a more objective way of state estimation results in a much
better tomographic quality of the reconstructed estimator.
We derived the iterative algorithms for informationally incomplete quantum state estimation respectively for perfect and
imperfect measurements. Next, we applied these algorithms
to time-multiplexed detection tomography and light-beam
tomography. From these two applications, we learned that
one should not restrict the state reconstruction to a subspace
in which the relevant measurements are informationally
complete. Doing so can result in reconstruction artifacts that
originate in the state-space truncation and may result in
inaccurate estimators for the unknown true state. Instead, one
should perform the reconstruction on a larger subspace, with
This work is supported by the National University of
Singapore Graduate School for Integrative Sciences and
Engineering and the Centre for Quantum Technologies, which
is a Research Centre of Excellence funded by Ministry of
Education and National Research Foundation of Singapore, as
well as the Czech Ministry of Education, Project No. LC06007,
IGA Project No. PRF_2011_005, and the Czech Ministry of
Industry and Trade, Project No. FR-TI1/364.
[1] R. Schack, T. A. Brun, and C. M. Caves, Phys. Rev. A 64, 014305
(2001).
[2] R.
Blume-Kohout
and
P.
Hayden,
e-print
arXiv:quant-ph/0603116 (2006).
[3] R. Blume-Kohout, New J. Phys. 12, 043034 (2010).
[4] R. A. Fisher, Phil. Trans. R. Soc. London A 222, 309 (1922).
[5] C. W. Helstrøm, Quantum Detection and Estimation Theory
(Academic Press, New York, 1976).
[6] M. Paris and J. Řeháček, Lecture Notes in Physics-Quantum
State Estimation (Springer, Berlin, 2004).
[7] J. Řeháček, Z. Hradil, E. Knill, and A. I. Lvovsky, Phys. Rev. A
75, 042108 (2007).
[8] Y. S. Teo, H. Zhu, B.-G. Englert, J. Řeháček, and Z. Hradil,
Phys. Rev. Lett. 107, 020404 (2011).
[9] E. T. Jaynes, Phys. Rev. 106, 620 (1957); 108, 171 (1957).
[10] V. Bužek, G. Adam, and G. Drobny, Ann. Phys. (NY) 245, 37
(1996).
[11] A. R. Rossi and M. G. A. Paris, Eur. Phys. J. D 32, 223 (2005).
[12] D. Achilles, C. Silberhorn, C. Śliwa, K. Banaszek, and I. A.
Walmsley, Opt. Lett. 28, 2387 (2003); O. Haderka, M. Hamar,
and J. Peřina, Eur. Phys. J. D 28, 149 (2004).
[13] The word beam splitter, used in this context, represents a class of
possible apparatuses for splitting photon pulses, which includes
conventional beam splitters, optical fibers, etc.
[14] J. Řeháček, Z. Hradil, O. Haderka, J. Peřina Jr., and M. Hamar,
Phys. Rev. A 67, 061801(R) (2003).
[15] S. Wallentowitz and W. Vogel, Phys. Rev. A 53, 4528 (1996).
[16] H. M. Wiseman and J. A. Vaccaro, Phys. Rev. A 65, 043605
(2002).
[17] V. V. Dodonov, I. A. Malkin, and V. I. Man’ko, Physica 72, 597
(1974).
[18] A. Ourjoumtsev, H. Jeong, R. Tualle-Brouri, and P. Grangier,
Nature (London) 448, 784 (2007).
[19] S. Deléglise, I. Dotsenko, C. Sayrin, J. Bernu, M. Brune, J.-M.
Raimond, and S. Haroche, Nature 455, 510 (2008).
[20] This is a regrettably popular abuse of terminology. Such
superpositions of two coherent states are, at best, a poor
metaphor of Schrödinger’s cat example [28], for which the
entanglement of a few quantum degrees of freedom with the very
many degrees of freedom of a macroscopic object is essential.
[21] J. Janszky, I. Földesi, S. Szabo, P. Adam, and M. S. Kim, Acta
Phys. Slov. 46, 269.
[22] C. T. Lee, Phys. Rev. A 44, R2775 (1991).
[23] M. Takeoka, M. Ban, and M. Sasaki, J. Opt. B 4, 114 (2002).
[24] Z. Hradil, J. Řeháček, and L. L. Sánchez-Soto, Phys. Rev. Lett.
105, 010401 (2010).
[25] In order to talk about a physical position ket |xj , it is important
to understand that the specification of xj comes with a certain
finite precision. As such, these physical kets now normalize to
the Kronecker delta, that is xj xj = δjj .
[26] N. R. Heckenberg, R. McDuff, C. P. Smith, and A. G. White,
Opt. Lett. 17, 221 (1992); Z. Bouchal and R. Čelechovský, New
J. Phys. 6, 131 (2004).
[27] A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, and A. Zeilinger, Nature (London)
412, 313 (2001).
[28] E. Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935); 23, 823
(1935); 23, 844 (1935); [English translation J. D. Trimmer,
Proc. Am. Philos. Soc. 124, 323 (1980)].
ACKNOWLEDGMENTS
042317-9
PHYSICAL REVIEW A 86, 052123 (2012)
Informational completeness of continuous-variable measurements
D. Sych,1 J. Řeháček,2 Z. Hradil,2 G. Leuchs,1,3 and L. L. Sánchez-Soto1,4
1
Max-Planck-Institut für die Physik des Lichts, Günther-Scharowsky-Straße 1, Bau 24, 91058 Erlangen, Germany
2
Department of Optics, Palacký University, 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc, Czech Republic
3
Universität Erlangen-Nürnberg, Staudtstraße 7/B2, 91058 Erlangen, Germany
4
Departamento de Óptica, Facultad de Fı́sica, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
(Received 17 August 2012; published 30 November 2012)
We justify that homodyne tomography turns out to be informationally complete when the number of
independent quadrature measurements is equal to the dimension of the density matrix in the Fock representation.
Using this as our thread, we examine the completeness of other schemes when continuous-variable observations
are truncated to discrete finite-dimensional subspaces.
DOI: 10.1103/PhysRevA.86.052123
PACS number(s): 03.65.Wj, 03.65.Ta, 42.50.Dv
I. INTRODUCTION
Measurement lies at the very heart of quantum information.
It is an indispensable tool for identifying how well one can
prepare or can create a particular quantum state. Such an
assessment is achieved by performing suitable measurements
on a sequence of identically prepared systems. A set of
measurements, whose outcome probabilities are sufficient to
determine an arbitrary quantum state, is called informationally
complete (IC) [1], whereas, the process of reconstructing the
state itself is broadly called quantum tomography [2].
Investigations on IC measurements have been extensively
carried out for discrete Hilbert spaces [3]. For continuous
variables, the archetypical example is homodyne tomography,
first suggested in the seminal paper of Vogel and Risken [4] and
implemented by Smithey et al. [5]. Still, the reconstruction of
the measured state is inexorably accomplished in some finite
subspace chosen by an educated guess.
In many experimental situations, one has some additional
prior information that can be efficiently used for reducing
the number of relevant unknown parameters, making the
reconstruction much simpler. For example, the knowledge
about the Gaussian character of the state reduces the problem to
the evaluation of its 2 × 2 covariance matrix, which is formally
analogous to the estimation of a spin 1/2 [6]. In the same vein,
if the system can be represented (say, in the Fock basis) by a
finite density matrix, the number of quadratures needed for an
accurate reconstruction in homodyne tomography is precisely
equal to the dimension of that matrix [7]. Note, in passing, that
this is indeed very closely related to the quantum version of
the sampling theorem [8].
With the advent of powerful nonlinear estimation techniques that offer amazing performance and robustness in most
applications, matching the signal space used for coding the
information in an experimental setup is more relevant than
ever. This is, in fact, a dual problem: One is interested not
only in what can be reconstructed from a particular scheme,
but also in identifying the best option for a given signal.
Any measurement is represented by an operator, and what
matters for tomography is the number of linearly independent
operators required for the reconstruction. Keeping in mind the
lesson from homodyne detection, the question of how to select
those operators appears far from trivial.
In this paper, we examine the informational completeness of
various schemes. We derive a surprisingly simple connection
1050-2947/2012/86(5)/052123(4)
between the different measurement settings and the number
of linearly independent elements induced by them. In addition, the analysis displays the information provided by each
acquired piece. Such knowledge is certainly of great interest
both for the optimization of feasible tomographic protocols
and for the design of new ones.
II. PRELIMINARIES
A d-dimensional quantum system is represented by a
positive semidefinite d × d density matrix that requires d 2 − 1
independent real numbers for its specification. A von Neumann
measurement fixes at most d − 1 real parameters, so d + 1
tests have to be performed to reconstruct the state. This means
that d 2 + d histograms have to be recorded: The approach is,
thus, suboptimal for this number is higher than the number of
parameters in the density matrix. The von Neumann strategy
can be further optimized regarding this redundancy when the
bases in which the measurements are performed are mutually
unbiased [9].
Besides, it is known that more general measurements exist.
Such generalized measurements appeared as positive operatorvalued measures (POVMs) in the quantum theory of detection
in the early 1970s. It was soon realized that, for numerous
reasons, they provided greater efficiency [10–14].
In short, a POVM is described by a set of linear operators
{Ên } furnishing the correct probabilities in any experiment (we
assume, for simplicity, discrete outcomes) through the Born
rule,
pn = Tr(ρ̂ Ên )
(1)
for any state described by the density operator ρ̂. Here, Tr
denotes the trace of a complex matrix. Compatibility with the
properties of ordinary probability imposes the requirements of
positivity, Hermiticity, and resolution of the identity,
Ên 0,
Ên = 1̂.
Ên = Ên† ,
(2)
n
The case of the projective von Neumann test is recovered when
all the operators in set {Ên } commute.
A quite general way of implementing a POVM is to
properly combine the system to be tested with an auxiliary
system whose initial state is known and then to perform a von
Neumann test on the combined system [15]. When the coupling
with the auxiliar system and the von Neumann measurement
052123-1
©2012 American Physical Society
D. SYCH et al.
PHYSICAL REVIEW A 86, 052123 (2012)
are judiciously chosen, one can get IC POVMs, which, in
addition, are optimal in the sense that minimize the number
of independent detections that must be obtained during the
tomographic process [16]. Below, we will exploit a similar
idea to perform IC measurements from incomplete ones by
cutting the dimensionality of the signal space [17].
III. QUADRATURE MEASUREMENT
To get the backbone of our proposal, we start with states
that can be written as a finite sum in the Fock basis.
We wish
to characterize a d-dimensional subspace 1̂d = d−1
n=0 |nn|
from projections onto the quadrature eigenstates |xθ , which
can be expressed as
n|xθ ∝ Hn (x)e
−x 2 /2 inθ
e
.
(3)
Our task is to find out how many different phase settings θ (also
referred to as cuts) are needed to make the scheme complete.
It is clear that the complex argument of n|xθ is independent
of x, so one quadrature can never generate a complete
POVM. For example,
the three states (|00| + |11|)/2
√
and (|0 ± i|1)/ 2 have the same position distribution, and
hence, the position measurement (θ = 0) cannot discriminate
among them. Obviously, since n|xθ=0 is real for all x, such
projections fail to generate the σy component. This difficulty
persists in higher dimensions.
Fortunately enough, this topic can be fully analyzed in
a closed form. Indeed, the probability distribution of the
homodyne detection can be written, up to a normalization
factor, as
p(x,θ ) ∝
d−1
ρk Hk (x)H (x)e−x ei(k−)θ ,
2
(4)
k,=0
where x is the measured amplitude. Let us take all matrix
elements ρk to be nonzero and calculate the number N of
linearly independent combinations of the density matrix (4)
that can be generated from different choices of x and θ . For
every polynomial term with a maximum power x n , we have
the following different combinations of Hermite polynomials
[omitting, for brevity, the associated factor ei(k−)θ ]:
x0:
x1:
x2:
x3:
H0 H0 ,
H0 H1 ,H1 H0 ,
H0 H2 ,H2 H0 ,H1 H1 ,
H0 H3 ,H3 H0 ,H1 H2 ,H2 H1 ,
...
x 2d−4 : Hd−2 Hd−2 ,Hd−1 Hd−3 ,Hd−3 Hd−1 ,
x 2d−3 : Hd−2 Hd−1 ,Hd−1 Hd−2 ,
x 2d−2 : Hd−1 Hd−1 .
(5)
TABLE I. The number of linearly independent POVM elements
induced by m different quadrature measurements in a d-dimensional
Fock subspace. The bold font indicates IC POVMs.
d
2
3
4
5
6
7
8
m=1
3
5
7
9
11
13
15
m=2
4
8
12
16
20
24
28
m=3
4
9
15
21
27
33
39
m=4
4
9
16
24
32
40
48
m=5
4
9
16
25
35
45
55
m=6
4
9
16
25
36
48
60
An alternative way to get the same result is by noticing
that, after measuring the first quadrature, 2d − 1 linear
combinations of ρk are fixed, and there remain d 2 − 1 −
(2d − 1) = (d − 1)2 − 1 free parameters entering the probability (4). This effectively lowers the dimension of the
problem by one. Thus, N2 = 2(d − 1) − 1 = 2d − 3, N3 =
2(d − 2) − 1 = 2d − 5, etc. The procedure can be repeated
until the number of cuts m equals d when N reaches its
maximum value of d 2 . One can draw an important conclusion
from this discussion: By measuring each new quadrature, the
prior information is updated in such a way that the dimension
of the unknown part of the system becomes one unity less.
mIn consequence, m different phase settings induce N =
k=1 Nk linearly independent POVM elements; that is,
⎧
⎨m(2d − m), m < d,
N=
(6)
⎩d 2 ,
m d,
which can be conveniently summarized as in Table I. This
relation is the main achievement of this paper as it provides a
full description of the IC for the problem at hand.
As we can see, to fully characterize a d-dimensional Fock
subspace, one needs d different quadratures. For a fixed m, the
number N scales quadratically with d until d = m due to the
completeness of the generated POVMs. For d > m, the size of
the POVM grows only linearly, hence, in the asymptotic case
of sufficiently large dimensionality, the measurement becomes
more and more incomplete.
In this respect, we wish to highlight that our results
do not rely on a particular reconstruction scheme as in
Ref. [7], but rather, they emerge from the properties of the
measurement itself and pervade all the continuous-variable
detection schemes.
IV. PHYSICAL DISCUSSION
For a single quadrature θ1 , the number N1 is determined
by the term Hd−1 Hd−1 with the highest polynomial power
and is equal to N1 = 2d − 1 (the total number of first
elements Hk H in all rows of the above array). Since we
have all the polynomial powers from 0 up to 2d − 2, there
are no more linearly independent elements. The second value
θ2 additionally gives us N2 = 2d − 3 linearly independent
combinations of ρk (the total number of second elements
Hk H in all rows), the third value θ3 gives N3 = 2d − 5, and
so on.
The analysis presented so far has significant consequences;
some of which are explored here. Notice that the IC quadrature
operators with d phases approximate the structure of mutually
unbiased measurements. Without the Hilbert-space truncation,
the projectors with the same phase setting are orthogonal,
whereas, for different phases, they overlap. These complementary properties become modified in a finite-dimensional
subspace, although they approach their continuous-variable
counterpart as long as the cutoff d is sufficiently large.
Loosely speaking, the orthogonal measurements always
bring a completely new bit of information, whereas, the
052123-2
INFORMATIONAL COMPLETENESS OF CONTINUOUS- . . .
PHYSICAL REVIEW A 86, 052123 (2012)
overlapping ones verify the previously acquired information
and add a new piece thereof. This is the essence of the
tomography where afterwards, all the space is covered by
an “operator” mesh. Since the homodyne detection on finitedimensional subspaces is feasible, this gives an excellent
opportunity to investigate the information gained in the process
of the measurement.
We emphasize that even a single quadrature actually
generates IC POVMs, provided that the signal space is
properly matched to such a detection. For example, Table I
shows that, in a five-dimensional Fock subspace, a single
quadrature generates nine independent POVM elements. These
are IC in a suitably chosen three-dimensional subspace. Put
differently, a single quadrature provides characterization of
a qutrit in a five-dimensional space or two entangled qubits
in a nine-dimensional space. Similarly, all Pauli matrices are
induced by just two quadratures (say, x and p). Such kinds
of prior knowledge about the signal space can significantly
reduce the number of measurements required for the complete
state reconstruction. A particularly natural situation is the case
of symmetric and antisymmetric subspaces [18]: A complete
characterization of an arbitrary two-qutrit state requires nine
different quadratures, whereas, an antisymmetric two-qutrit
state can be inferred with just one quadrature measurement.
The previous results can be simplified in some cases where
prior information is available. For instance, some elements of
the density matrix can be known to vanish, and we can reach
the complete POVM with less settings. Let us consider an
analog of a squeezed vacuum of the form
| = c0 |0 + c1 |4 + c2 |8 + · · · + ck |4k + · · · .
H0 H0 ,
H0 H4 ,H4 H0 ,
H4 H4 ,H0 H8 ,H8 H0
H4 H8 ,H8 H4 ,
H8 H8 .
V. PHOTON-NUMBER RESOLVING DETECTION
To obtain our main result (6), we have essentially relied on
the polynomial representation of the quadrature (3), namely,
that the probability distribution (4) can be written with the help
of polynomials up to a certain power, defined by dimensionality of the quantum state. This property also holds for many
other situations; indeed, almost any physical measurement
satisfies this property [12]. For example,√an approximation
2
n
of coherent state |α = e−|α| /2 ∞
n=0 α / n!|n by a finite
sum, neglecting tiny contributions of sufficiently high n, is
essentially the same situation as above: Linearly independent
POVM elements can be obtained from projections of a finitedimensional state onto a properly matched basis.
In the simplest scenario, the strategy can be photon-numberresolving detection. In fact, instead of (4), we now have
(7)
The coefficients ck gradually decrease with k, which makes
setting them to zero at some threshold value ck = 0 for k d
possible. The resulting state lives in a d-dimensional subspace,
so one may think that m = d phase settings would be needed to
characterize that subspace. Surprisingly, the prior information
about photons being generated in quadruples modifies the
structure of the induced POVM, and the number of linearly
independent measurements is found to be different from that
calculated before. Let us take a look at the case d = 3.
The coefficients in Eq. (4) contain polynomial powers up to
4(d − 1) × 4(d − 1) = 16,
x0:
x4:
x8:
x 12 :
x 16 :
where [ ] denotes the integer part. Hence, the family of states
(7) can be characterized with roughly half as many quadratures
that would be required for a truncated Fock subspace of the
same dimension.
As our last contention, we insist that proper matching
conditions are essential [19]. Particularly, without a deeper
understanding, too dense binning of quadratures may be
useless, whereas, the quadrature phase may easily become
undersampled. In other words, the number of quadrature
bins multiplied by the number of phase settings does not, in
general, equal the number of free parameters in the homodyne
detection.
(8)
By explicitly writing the power expansion of the coefficients H0 H8 = 256x 8 − 3584x 6 + 13 440x 4 − 13 440x 2 +
1680 and H4 H4 = (16x 4 − 48x 2 + 12)2 , we see that they
are linearly independent. Indeed, H0 H8 cannot be written
as a linear combination of H0 H0 , H0 H4 , and H4 H4 due
to the lack of all needed polynomial powers in contrast
to the general case. Hence, the number of linearly independent POVM elements is much higher now: Instead
of N1 = 2d − 1, N2 = 2d − 3, N3 = 2d − 5, etc., we have
the modified expressions N1∗ = N1 + N3 + N5 + · · · , N2∗ =
N2 , N3∗ = N4 , N4∗ = N6 , . . . . The number of different phase
settings for the scheme to be complete is m∗ = [d/2] + 1,
p(α,n) = |n|α|2 = e−|α|
2
|α|2n
.
n!
(9)
An obvious drawback of this choice is phase insensitivity
since coherent states with the same amplitude and different
phases give identical statistics. To avoid this degeneracy,
the photon-number detection can be preceded by a suitable
displacement [20] or even more complicated “steering” operation. A detailed examination of this point is out of the scope
of the present paper.
VI. CONCLUDING REMARKS
We have addressed the fundamental question of how many
independent measurements can be generated by a given experimental setup. The analysis clarifies the issue of necessary
and sufficient complexity for tomographical schemes. It turns
out that the effective size of quantum tomography for any
finite-dimensional system can be related to the number of
different quadratures observed, which illustrates an exciting
link between discrete and continuous-variable systems. We
stress that such a reconstruction cannot be accomplished
without the appropriate delimitation of the reconstruction
space since the space touched by the observation then exceeds
the amount of available data.
Our central result indicates that for a d-dimensional system
a single quandrature can be discretized up to 2d − 1 bins.
This appears to be very similar to the classical Nyquist
frequency in the Kotelnikov-Shannon coding theorem. By
finding a simple analytical rule, we have provided a full
characterization of informational completeness for a wide class
052123-3
D. SYCH et al.
PHYSICAL REVIEW A 86, 052123 (2012)
of continuous-variable measurements and made a step towards
a better understanding of quantum resources in quantum optics
and quantum information processing.
The analysis is applicable for arbitrary dimensionality
and, thus, serves as a good alternative to other traditional
approaches based, e.g., on mutually unbiased bases and
symmetric IC POVMs.
Finally, note that only data-acquisition issues have been
addressed here: The subsequent reconstruction must be capable of dealing with generic nonequivalent detections. The
mathematical method best suited for this purpose is the
maximum likelihood estimation; however, even in this case,
the continuous data are discretized due to the very nature
of the measurement and the finite amount of memory and
computational time available. We believe that our theory
can be helpful in future optimizations of continuous-variable
measurements.
[1] E. Prugovečki, Int. J. Theor. Phys. 16, 321 (1977); P. Busch and
P. J. Lahti, Found. Phys. 19, 633 (1989).
[2] Quantum State Estimation, edited by M. G. A. Paris and
J. Řeháček, Lecture Notes in Physics Vol. 649 (Springer, Berlin,
2004).
[3] G. M. D’Ariano, P. Perinotti, and M. F. Sacchi, J. Opt. B 6, S487
(2004); S. T. Flammia, A. Silberfarb, and C. M. Caves, Found.
Phys. 35, 1985 (2005); S. Weigert, Int. J. Mod. Phys. B 20, 1942
(2006); T. Durt, Open Syst. Inf. Dyn. 13, 403 (2006).
[4] K. Vogel and H. Risken, Phys. Rev. A 40, 2847 (1989).
[5] D. T. Smithey, M. Beck, M. G. Raymer, and A. Faridani, Phys.
Rev. Lett. 70, 1244 (1993).
[6] J. Řeháček, S. Olivares, D. Mogilevtsev, Z. Hradil, M. G. A.
Paris, S. Fornaro, V. D’Auria, A. Porzio, and S. Solimeno, Phys.
Rev. A 79, 032111 (2009).
[7] U. Leonhardt and M. Munroe, Phys. Rev. A 54, 3682 (1996);
U. Leonhardt, J. Mod. Opt. 44, 2271 (1997).
[8] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, and S. Hamid, Signals and
Systems, 2nd ed. (Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2010).
[9] J. Schwinger, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 46, 570 (1960);
W. K. Wootters and B. D. Fields, Ann. Phys. 191, 363 (1989);
A. B. Klimov, J. L. Romero, G. Björk, and L. L. Sánchez-Soto,
J. Phys. A: Math. Theor. 40, 3987 (2007); A. B. Klimov, D. Sych,
L. L. Sánchez-Soto, and G. Leuchs, Phys. Rev. A 79, 052101
(2009); T. Durt, B.-G. Englert, I. Bengtsson, and K. Zyczkowski,
Int. J. Quantum Inf. 8, 533 (2010).
[10] R. L. Stratonovich, J. Stochastics 1, 87 (1973).
[11] B. A. Grishanin, Tekn. Kibernetika 11, 127 (1973) [arXiv:
quant-ph/0301159v1].
[12] C. W. Helstrom, Quantum Detection and Estimation Theory
(Academic, New York, 1976).
[13] A. S. Holevo, Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum
Theory, 2nd ed. (North-Holland, Amsterdam, 2003).
[14] V. B. Braginski and F. Y. Khalili, Quantum Measurement
(Oxford University Press, Oxford, 1992).
[15] C. W. Helstrom, J. W. S. Liu, and J. P. Gordon, Proc. IEEE 58,
1578 (1970).
[16] J. M. Renes, R. Blume-Kohout, A. J. Scott, and C. M.
Caves, J. Math. Phys. 45, 2171 (2004); D. M. Appleby, S. T.
Flammia, and C. A. Fuchs, ibid. 52, 022202 (2011); R. Salazar,
D. Goyeneche, A. Delgado, and C. Saavedra, Phys. Lett. A 376,
325 (2012).
[17] J. Řeháček, Z. Hradil, Z. Bouchal, R. Čelechovský, I. Rigas,
and L. L. Sánchez-Soto, Phys. Rev. Lett. 103, 250402
(2009).
[18] D. Sych and G. Leuchs, New J. Phys. 11, 013006 (2009); 11,
113040 (2009).
[19] A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat, and P. Grangier,
Science 312, 83 (2006).
[20] C. Wittmann, U. L. Andersen, M. Takeoka, D. Sych, and
G. Leuchs, Phys. Rev. Lett. 104, 100505 (2010); Phys. Rev.
A 81, 062338 (2010).
ACKNOWLEDGMENTS
Financial support from the EU FP7 (Grant Q-ESSENCE),
the Spanish DGI (Grant No. FIS2011-26786), the UCMBSCH program (Grant No. GR-920992), the Czech Technology Agency (Grant No. TE01020229), the Czech Ministry
of Trade and Industry (Grant No. FR-TI1/384), and the
IGA of Palacký University (Grant No. PRF-2012-005) is
acknowledged.
052123-4