Obsahy a obvody rovinných útvarů

Obsahy a obvody rovinných útvarů
vzorce:
čtverec:
S = a2
obdélník:
S = a.b
o = 4a
o = 2.(a +b)
a  v a b  vb c  v c


trojúhelník: S 
2
2
2
(a  c)  v
lichoběžník: S 
, kde a, c jsou rovnoběžné základny, v-výška lichoběžníku
2
kruh: S = π.r2
o = 2.π.r
Řešené příklady:
1) Délky stran dvou čtverců jsou v poměru 3 : 5. Vypočítejte jejich obsahy, jestliže větší
čtverec má stranu délky 20 cm, a určete jejich poměr.
1. čtverec:
(větší)
a1 = 20 cm
S1 = 202 = 400 cm2
3
2. čtverec:
a2 = a1 = 12 cm
5
(menší)
S2 = 122 = 144 cm2
S2 : S1 = 144 : 400 = 36 : 100 = 9 : 25
Obsahy obou čtverců jsou v poměru 9 : 25.
2) Bod A má od středu kružnice s poloměrem r = 5 cm vzdálenost 13 cm. Vypočítejte
délku tětivy spojující body dotyku T1 aT2 tečen vedených z bodu A ke kružnici k.
Označení dle obrázku: SX = a, XY = b, TA = y, TX = x
y2 = 132 + 52
a+b=5
y = 12
a=5–b
Z trojúhelníku SXT vyplývá:
x2 = 52 – a2 = 25 – (5 – b)2
Z trojúhelníku TXA vyplývá:
x2 = 122 – (b + 8)2
Sestavíme rovnici:
25 – (5 – b)2 = 144 – (b + 8)2
25 – 25 + 10b – b2 = 144 – b2 – 16b
26b = 80
b = 3,1
a = 5 – 3,1 = 1,9
x2 = 52 – 1,92
x = 4,62
Tětiva má délku 9,24 cm.
3) V pravoúhlém lichoběžníku mají základny délky 9 cm a 5 cm. Délka kratšího ramene
je 3 cm. Vypočítejte jeho obsah a obvod.
(9  5)  3
 21 cm2
2
Je nutné vypočítat délku zbývající ramene b. Vyjdeme z Pythagorovy věty:
b2 = 32 + (9 – 5)2
b=5
o = 9 + 5 + 5 + 3 = 22 cm
Obsah lichoběžníku je 21 cm2 a obvod 22 cm.
S=
4) Kolo těžní věže má průměr 1,5 m. O kolik metrů se spustí klec výtahu, když se kolo otočí
25krát?
Je třeba vypočítat obvod kruhu:
o = π . d = 4,71 m
25 . 4,71 = 117,8 m
Klec výtahu se spustí o 117,8 m.
5) V obdélníku je průsečík úhlopříček vzdálen o 4 cm více od kratší strany než od delší.
Obvod obdélníku je 56 cm. Určete obsah obdélníku.
Ze zadání vyplývá: a = b + 8 (průsečík úhlopříček je v polovině stran)
Dále: 56 = 2 .(a + b)
a = 10 + 8 = 18
56 = 2 .(b + 8 + b)
56 = 4b + 16
S=a.b
40 = 4b
S = 180 cm2
b =10
Obsah obdélníku je 180 cm2.
6) 1 m2 ocelového plechu o tloušťce 3 mm má hmotnost 24 kg. Vypočítejte hmotnost
kruhové desky o poloměru 1,2 m, zhotoveného z tohoto plechu.
r = 1,2 m
1 m2 ………… 24 kg
2
S=π.r
4,52 m2 ……... 4,52 . 24 = 108,52 kg
S = 3,14 . 1,22
S = 4,52 m2
Hmotnost kruhové desky je asi 108, 52 kg.
7) Kolem bazénu s obdélníkovým dnem s rozměry 25 m a 12 m byl vytvořen pás ze
čtvercových betonových dlaždic se stranou délky 50 cm. Jedna dlaždice stála 78 Kč.
Jaké byly finanční náklady na nákup dlaždic?
25 : 0,5 = 50
dlaždic: 2 . 50 + 2 . 24 = 148
12 : 0,5 = 24
cena: 148 . 78 = 11 544
Dlaždice stály 11 544 Kč.
8) Pila má dostat takovou kulatinu, aby se z ní daly vyřezat hranoly se čtvercovým
průřezem o délce strany 12 cm. Jaký nejmenší průměr musí mít kulatina na užším
konci?
Potřebujeme vypočítat délku úhlopříčky čtverce u.
u2 = 122 + 122
u = 16,9
Kulatina musí mít nejmenší průměr 17 cm.
9) Obrázek čtvercového formátu je nalepen na tvrdé podložce s rozměry 8 cm a 12 cm a
zaujímá 66,7% plochy podložky. Vypočítejte rozměry obrázku.
Podložka: S = 8 . 12 = 96 cm2
100% ……… 96 cm2
66,7% ……..96 . 66,7 : 100 = 64 cm2
Nyní hledáme délku strany čtverce o obsahu 64 cm2:
a2 = 64, a = 8 cm.
Obrázek má tvar čtverce o hraně 8 cm.
10) Kruhový záhon o průměru 8 m se má rozdělit soustřednou kružnicí na kruh a
mezikruží se stejným obsahem. Určete poloměr této kružnice.
d = 8 m, r = 4 m
S1 = π . r2
S1 = 3,14 . 16 = 50,27 m2
Poloměr kružnice je 2,83 m.
S2 = ½.S1 = 25,13
25,13 = 3,14 . r2
r = 2,83 m
11) Pás plechu 40 cm široký je stočen do tvaru roury a svařen. Jaký je průměr roury, je-li
tloušťka plechu zanedbatelná?
o = 40cm
o=2.π.r
r = 6,37
d = 2. 6,37 = 12,74 cm
Průměr roury je 12,74 dm.
12) Sál obdélníkového půdorysu měl jeden rozměr o 20 m delší než druhý. Po přestavbě se
délka sálu zmenšila o 5 m a zároveň se šířka zvětšila o 10 m. Obsah podlahy se tak
zvětšil o 300 m2. Jaké byly původní rozměry sálu?
S1 + 300 = S2
(b +20).b + 300 = (b+15).(b+10)
b2 +20b + 300 = b2 + 15b + 10b + 150
150 = 5b
b = 30
Původní: 50x30
Po přestavbě: 45x40
13) Vypočítejte obsah rovnoramenného trojúhelníku, jestliže úhel při základně má velikost
45° a základna má délku 10 cm.
cm2
v = 5.tg45° = 5
Obsah trojúhelníku je 25 cm2.
14) V pravoúhlém lichoběžníku mají základny délky 3,2 cm a 62 mm. Kratší rameno má
délku 0,25 dm. Vypočítejte délky úhlopříček u, v a druhého ramene r.
u2 = 2,52 + 6,22
u2= 44,69
u =6,7 cm
v2 = 2,52 + 3,22
v2 = 16,49
v = 4,1 cm
r2 = 2,52 + (6,2 – 3,2)2
r2 = 15,25
r = 3,9 cm
Délky úhlopříček jsou 6,7 cm a 4,1 cm, délky ramene je 3,9 cm.
15) Vypočítejte délku strany rovnostranného trojúhelníku, jehož obsah je 50 cm2.
S
3  a2
4
(vzorec najdeme v tabulkách)
a
50  4
 10,7cm
3
Délka strany je 10,7 cm.
16) Vypočítejte poloměr kruhové dráhy, kterou musí běžec proběhnout třikrát, aby uběhl 2
km.
o = 2 000 : 3 = 666,7 m
o = 2.π.r
r = 666,7 : 6,28
r = 106,1 m
Poloměr kruhové dráhy je 106,1 m.
17) Délka jedné odvěsny pravoúhlého trojúhelníku se rovná 75% délky druhé odvěsny.
Určete obvod tohoto trojúhelníku, je-li jeho obsah 24 cm2.
a = 0,75.b
a = 0,75.8 = 6
S = ½ . a.b
c2 = a2 + b2
S = ½ . 0,75.b.b
c = 10 cm
b = 8 cm
o = a + b +c = 24 cm
Obvod tohoto trojúhelníku je 24 cm.