Studijní text - MATEMATIKA online

13. L’Hospitalovo pravidlo
Studijní text
13. L’Hospitalovo pravidlo
Markýz de l’Hospital (též l’Hôpital), celým jménem Guillaume Francois Antoine žil v letech 1661– 1704. Zabýval se matematickou analýzou a geometrií. V roce 1696 publikoval učebnici diferenciálního počtu „Analýza
nekonečně malých veličin”. Ve zmíněné knize je poprvé uveřejněno tvrzení, které je v současné době známé
jako l’Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit. Je paradoxní, že autorem tohoto tvrzení je l’Hospitalův učitel
Johann Bernoulli I.
Věta 13.1. (l’Hospitalovo pravidlo) Nechť a ∈ R ∪ {−∞, ∞} a nechť jsou splněny tyto podmínky:
Funkce f, g jsou diferencovatelné v nějakém ryzím okolí bodu a a
buď
Pak je
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→a
x→a
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
,
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
nebo
lim |g(x)| = +∞.
x→a
existuje-li limita vpravo.
Analogická tvrzení platí pro limitu zprava v bodech a < +∞ a zleva v bodech a > −∞.
A. l’Hospitalovo pravidlo pro limitu funkce typu | 00 |.
Základní metodický postup je následující. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, má tvar zlomku.
Určíme nejprve limitu čitatele a limitu jmenovatele. Tyto limity často zjistíme pouhým dosazením. Je-li
limita čitatele i jmenovatele rovna nule, lze aplikovat l’Hospitalovo pravidlo. Při výpočtu je pak mnohdy
nuté provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Pravidlo lze rovněž použít pro výpočet jednostranných limit.
Postup nyní demonstrujme na příkladech.
Příklad 13.2. Spočtěte následující limity:
x
a) lim 1−cos
.
x2
x→0
ex −e−x
sin x .
x
lim x−sin
.
x3
x→0
2x
e −2x−1
lim
.
2
x→0 sin 3x
b) lim
x→0
c)
d)
Řešení.
a) lim
sin x
= | 00 | = lim cos2 x = 12 .
x→0 2x
x→0
x
x
ex −(−1)e−x
0
+e−x
1+1
−e−x
=
|
|
=
lim
=
lim e cos
lim e sin
x
0
cos
x
x = 1 = 2.
x→0
x→0
x→0
x
x
x
lim x−sin
= | 00 | = lim 1−cos
= | 00 | = lim sin
= | 00 | = lim cos6 x = 16 .
2
x3
x→0
x→0 3x
x→0 6x
x→0
2x
2x
2(e2x −1)
−2
4·e2x
lim e sin−2x−1
=
lim
=
| 00 | = lim 18·cos
= | 00 | = lim 2·sin2e3x·cos
2 3x
3x·3
3·sin
6x
6x
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
b)
c)
d)
1−cos x
x2
= | 00 | = lim
=
4·1
18·1
= 29 .
B. l’Hospitalovo pravidlo pro limitu funkce typu | ∞
|.
∞
Postup při výpočtu je analogický jako v případě limit typu | 00 |. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme
počítat, je ve tvaru zlomku. Určíme limitu absolutní hodnoty jmenovatele. Je-li tato limita rovna ∞, lze
aplikovat l’Hospitalovo pravidlo. Při výpočtu je v řadě případů opět nuté provést aplikaci pravidla vícekrát
po sobě. Zdůrazněme skutečnost, že limita čitatele ani jmenovatele nemusí sama o sobě existovat. Dále
a
připomeňme, že výraz ∞
= 0 pro libovolné reálné číslo a.
ÚM FSI VUT v Brně
56
13. L’Hospitalovo pravidlo
Studijní text
Příklad 13.3. Spočtěte následující limity:
2
a) lim 3xx .
x→∞
ln sin x
ln tg x .
ln x
lim cotg
x.
x→0+
cotg 2x
.
lim
x→π/2 tg x
b) lim
x→0+
c)
d)
Řešení.
a) lim
b)
c)
d)
∞
2x
∞
2
x2
2
x = | ∞ | = lim 3x ·ln 3 = | ∞ | = lim 3x ·ln 2 3 = ∞·ln 2 3 = 0.
x→∞
x→∞
x→∞ 3
cos x
cos x
∞
sin x
sin x
sin x
lim ln
= lim
= lim cos2 x = 1.
cos x
ln tg x = | ∞ | = lim+ tg1 x · 12
x→0+
x→0
x→0+ sin x·cos2 x
x→0+
cos x
1
− sin2 x
∞
− sin 2x
ln x
x
= lim
= 0.
lim cotg x = | ∞ | = lim −1 = lim
x
1
x→0+
x→0+ sin2 x
x→0+
x→0+
−1
2
·2
2x
cos x
cos2 x
= |∞
| = lim sin212x = −2 lim sin
lim cotg
2 2x = −2 lim
2 x sin2 x
tg
x
∞
4
cos
2
x→π/2
x→π/2
x→π/2
x→π/2
cos
1
2
x→π/2 sin x
= − 21 lim
=
x
= − 12 .
C. Další typy limit.
Nejprve zjistíme, jakého je limita typu. Typ určíme většinou snadno dosazením, nebo krátkým výpočtem.
Potom volbou vhodné úpravy podle typu převedeme výpočet zadané limity na výpočet limity, při němž lze
l’Hospitalovo pravidlo použít. Na l’ Hospitalovo pravidlo jsou převoditelné následující typy limit:
0 · ∞,
∞ − ∞,
00 ,
1∞ .
∞0 ,
Pro typ 0 · ∞ používáme nejčastěji jednu z úprav
lim f (x)g(x) = lim
x→a
která výpočet převede na typ
0
0
nebo
∞
∞.
x→a
f (x)
1
g(x)
= lim
x→a
g(x)
1
f (x)
,
Pro limitu typu ∞ − ∞ lze použít úpravy
lim f (x) − g(x) = lim
x→a
x→a
1
g(x)
−
1
f (x)
1
f (x)g(x)
.
V řadě případů lze u typu ∞−∞ postupovat jinou cestou. V případě, že funkce f (x) a g(x) mají tvar zlomků,
stojí za pokus provést jejich rozdíl převedením na společného jmenovatele. V jiných případech lze realizovat
vytknutí některé části a převést limitu rozdílu na limitu součinu funkcí. U limit typu 00 , ∞0 , 1∞ lze použít
následující úpravy:
lim g(x) · ln f (x)
lim f (x)g(x) = lim eg(x) · ln f (x) = ex→a
.
x→a
x→a
Příklad 13.4. Spočtěte následující limity:
a) lim xln x = |0 · ∞|.
x→0+
b) lim (π − 2arctg x) · ln x.
x→∞
1
c) lim x(x+1)
− ln (x+1)
.
x2
x→0
d) lim ex − x.
x→∞ √
e) lim x x.
x→∞
tg x
f) lim x1
.
x→0+
g) lim 1 +
x→∞
1
x
x 2
ÚM FSI VUT v Brně
.
57
13. L’Hospitalovo pravidlo
Studijní text
Řešení.
a) lim xln x = |0 · ∞| = lim
x→0+
ln x
x→0+
1
x
= |∞
∞ | = lim
x→0+
1
x
− x12
= lim (−x) = 0.
x→0+
−2
2
π − 2arctg x
+1 =
= | 00 | = lim x −1
b) lim (π − 2arctg x) · ln x = |0 · ∞| = lim
1
x→∞
x→∞
x→∞
ln x
xln 2 x
1
ln 2 x+2xln x·
2
x
∞
x = lim ln 2 x+2ln x = lim 2(ln x ·
= lim 2 · xln
=
|
|
=
lim
2
·
2
x→∞
= lim 2 ·
x→∞
c) lim
x→0
x +1
∞
ln x
lim 2
x = x→∞
1
x(x+1)
·
x→∞
1
x = 0.
2x
x→∞
x
x→∞
1
x
+ x2 ) =
1
1
−
1
ln (x + 1)
x(x + 1)
x2
=
− ln (x+1)
= |∞ − ∞| = lim
2
x
1
x→0
1
ln (x + 1)
·
x(x + 1)
x2
x2
− x(x + 1)
x2 − x(x + 1) · ln (x + 1)
ln (x + 1)
x − (x + 1) · ln (x + 1)
= lim
= lim
= | 00 | = lim
=
3
x→0
x→0
x→0
x (x + 1)
x3 + x4
x2 + x3
ln (x + 1)
1
1
1 − ln (x + 1) − (x + 1) ·
−
−ln (x + 1)
−1
0
x
+
1
x
+
1
= lim
= lim
2 = | 0 | = lim 2 − 6x = 2 .
x→0
x→0
x→0 2x − 3x
2x − 3x2
x
x
d) lim ex − x = |∞ − ∞| = lim x · ( ex − 1) = lim x · lim ( ex − 1) = lim x · lim ex = ∞ · ∞ = ∞.
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
1
ln x
1
x
lim
lim
·
ln
x
√
1
∞
e) lim x x = lim x x = |∞0 | = lim e x
= |0 · ∞| = ex→∞ x = | ∞
| = ex→∞ 1 =
x→∞
x→∞
x→∞
1
lim
1
x→∞
x = e ∞ = e0 = 1.
=e
1
− lim tg x · ln x
tg x
tg x · ln
x = lim e−tg x · ln x = e x→0+
f) lim x1
=
= |∞0 | = lim e
x→0+
x→0+
x→0+
1
x
− lim
ln x
sin x
sin2 x
1
x→0+
− lim
lim sin x · lim
lim
−
2
+ cotg x
+
+
+
∞
x→0
x
x =
x→0
x→0
x→0
sin x = e
=e
=e
= |∞| = e
= e0 · 1 = e0 = 1.
1
1
2
lim x2 · ln (1 + )
x2 · ln (1 + )
1 x
∞
x =
x = ex→∞
g) lim 1 + x
= |1 | = lim e
x→∞
x→∞
1
−1
1 · x2
ln (1 + x1 )
1+ x
1
lim
lim
lim
1
−2
lim x2 · ln (1 + )
x→∞
x→∞
x = ex→∞
x2
x3
= ex→∞
= | 00 | = e
=e
x3
3x2
6x
lim
lim
lim
x→∞ 2x(x + 1)
∞
x→∞
4x + 2 = ex→∞ 4 = e∞ = ∞.
= |∞| = e
=e
ÚM FSI VUT v Brně
−1
x(x+1)
−2
x3
=
58