Deterministické a náhodné signály

Transkript

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO
Garant předmětu:
Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc.
Autor textu:
BRNO * 2013
Vznik těchto skript byl podpořen projektem č. CZ.1.07/2.2.00/28.0062
Evropského sociálního fondu a státním rozpočtem České republiky.
2
FEKT Vysokého učení technického v Brně
Autor
Název
pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO
Vydavatel
Vysoké učení technické v Brně
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
Ústav komunikací
Technická 12, 616 00 Brno
Vydání
první
Rok vydání
2013
Náklad
elektronicky
ISBN
978-80-214-4826-1
Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.
Deterministické a náhodné signály pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO
3
Obsah
1 Úvod
1.1 Příklady signálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Signál EKG . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Řečový signál . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definice signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bližší vymezení pojmu signál . . . . . . .
1.3 Dělení signálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Základní operace se spojitými signály . . . . . . .
1.4.1 Časové posunutí . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Obrácení časové osy . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Obrácení časové osy s posunutím . . . . .
1.4.4 Zesílení, zeslabení a inverze signálu . . . .
1.4.5 Změna časového měřítka . . . . . . . . . .
1.4.6 Součin, součet, rozdíl a podíl dvou signálů
1.4.7 Konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.8 Korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Základní spojité signály . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
8
8
9
13
13
13
13
14
14
14
15
17
18
2 Periodické signály a jejich spektrum
2.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definice Fourierovy řady a její tvary . . . .
2.3 Komplexní model harmonického signálu . . .
2.4 Komplexní tvar Fourierovy řady . . . . . . .
2.5 Příklad výpočtu koeficientů Fourierovy řady
2.6 Gibbsův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
23
27
28
29
31
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Fourierova reprezentace jednorázových spojitých signálů
3.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Definice Fourierovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Příklad výpočtu spektrální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Souvislost mezi spektrem Fourierovy řady a spektrální funkcí Fourierovy
transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. 33
. 34
. 34
. 35
4 Vzorkování signálu se spojitým časem
37
4.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Ideální vzorkování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Obnovení spojitého signálu s(t) z jeho vzorku s[nT ] . . . . . . . . . . . . . 40
5 Signály s diskrétním časem
5.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Základní jednorozměrné diskrétní signály
5.3 Základní dvojrozměrné diskrétní signály
5.4 Lineární diskrétní konvoluce . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
50
53
54
4
5.5
5.6
Periodická diskrétní konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Rychlá diskrétní konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Fourierova reprezentace diskrétního signálu
6.1 Fourierova transformace diskrétního signálu . . .
6.2 Diskrétní Fourierova transformace . . . . . . . . .
6.2.1 Definice diskrétní Fourierovy transformace
6.3 Vlastnosti diskrétní Fourierovy transformace . . .
6.3.1 Obraz kruhové (cyklické) konvoluce . . . .
6.3.2 Rychlá Fourierova transformace . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Náhodné signály, náhodné veličiny a náhodné procesy
7.1 Definice náhodného procesu se spojitým časem . . . . . . . . . . .
7.2 Množina realizací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Distribuční funkce a funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti .
7.4 Momenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Stacionarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Ergodicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Spektrální hustota výkonu náhodného procesu se spojitým časem
8 Transformace Z a její vlastnosti
8.1 Definice jednostranné transformace Z . . . . . . . .
8.2 Vlastnosti jednostranné transformace Z . . . . . . .
8.2.1 Linearita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Zpoždění posloupnosti (posunutí doprava) .
8.2.3 Předsunutí posloupnosti (posunutí doleva) .
8.2.4 Derivace obrazu . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Konvoluce diskrétních signálů . . . . . . . .
8.2.6 Sumace n hodnot posloupnosti . . . . . . . .
8.2.7 Součin s reálnou exponenciální posloupností
8.2.8 Věta o počáteční hodnotě . . . . . . . . . .
8.2.9 Obraz reálné posloupnosti . . . . . . . . . .
9 Signály přenosových soustav
9.1 Přenos v základním pásmu . . .
9.2 Signály pro přenos v přeloženém
9.2.1 Analogové modulace . .
9.2.2 Číslicové modulace . . .
. . . .
pásmu
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
62
62
63
63
64
.
.
.
.
.
.
.
71
71
72
73
74
74
75
76
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
79
80
81
81
82
82
83
83
83
84
84
.
.
.
.
85
85
95
95
98
5
Seznam použitých symbolů a zkratek
C množina komplexních čísel
N množina přirozených čísel
N0 množina přirozených čísel s nulou
R množina reálných čísel
Z množina celých čísel
BER (Bit Error Rate) chybovost
BIBO (Bounded Input Bounded Output) omezené hodnoty vstupního a výstupního
signálu
DFS (Discrete Fourier Series) diskrétní Fourierova řada
DFT (Discrete Fourier Transform) diskrétní Fourierova transformace
DIF (Decimation In Frequency) kmitočtový výběr
DIT (Decimation In Time) časový výběr
EKG (Electrocardiography Signal) signál elektrokardiografu
FFT (Fast Fourier Transform) rychlá Fourierova transformace
FIR (Finite Impulse Response) konečná impulzní odezva
Hi-Fi (High Fidelity) vysoká věrnost např. zvuku
HW (Hardware) hardware, technické vybavení
IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) zpětná rychlá Fourierova transformace
IIR (Infinite Impulse Response) nekonečná impulzní odezva
JPEG (Joint Photographic Experts Group) formát pro kompresi digitálních fotografií
(statického obrazu)
LTI (Linear Time Invariant) lineární časově invariantní
mf mezifrekvenční
nf nízkofrekvenční
NRZ (NonReturn-to-Zero) bez návratu k nulové úrovni
PCM (Pulse Code Modulation) pulzně kódová modulace
PSD (Power Spectral Density) výkonová spektrální hustota
Sa/s (Sample per Second) vzorků za sekundu
SNR (Signal to Noise Ratio) odstup signálu od šumu
SW (Software)
vf vysokofrekvenční
2D (2 Dimensional) dvojrozměrný
6
1
Úvod
V názvu skript se vyskytují dva pojmy: signál a soustava. Jsou to pojmy velmi obecné
a používají se ve více významech. Ve sdělovací technice se signálem rozumí fyzikální nositel
informace. Informace je každá zpráva, sdělení, údaj. Soustavou je téměř každý objekt, se
kterým se v technické praxi setkáváme.
Nejprve budou uvedeny příklady konkrétních signálů, pak bude pojem signál blíže
vymezen.
1.1
1.1.1
Příklady signálů
Signál EKG
Signál EKG poskytuje lékaři důležité informace o činnosti a stavu lidského srdce. Signál
zdravého člověka je přibližně periodický s periodou asi 1 s, obr. 1.1. Nápadným prvkem v
časovém průběhu EKG je zpravidla útvar charakteristického tvaru známý pod označením
QRS komplex. V něm nejvíce vyniká R vlna.
Obrázek 1.1: Signál EKG.
V moderních přístrojích se signál EKG vzorkuje, aby pak mohl být vyjádřen posloupností čísel a následně číslicově zpracován. Standardní rychlosti vzorkování signálu EKG
jsou 250 vzorků (samples) za sekundu a 500 vzorků za sekundu (Sa/s).
Vlastní signál EKG je doprovázen různými rušivými složkami. Patří k nim například
napětí s kmitočtem 50 Hz naindukované ze síťových rozvodů kapacitními vazbami a mag-
7
netickou indukcí. Další rušivé signály, které jsou součástí snímaného napětí, jsou vyvolány svalovými stahy. Přítomnost rušivých signálů může být nepříjemná, protože užitečná
složka signálu má rozkmit jen asi 1 mV.
1.1.2
Řečový signál
Řečový signál je akustickým signálem. Má celou řadu specifických vlastností a nese
rozličné informace. Především má nějaký obecný věcný obsah, sdělení, které by bylo možné
vyjádřit písmem. Z řečového signálu jsme zpravidla schopni rozpoznat, zda mluví muž,
žena nebo dítě, jakým jazykem mluvčí mluví, jakou má náladu a pod. Také jsme schopni
na základě hlasového projevu rozpoznat nám známou osobu, což je využíváno v bezpečnostních systémech.
Obrázek 1.2: Řečový signál.
Při přenosu řeči na velkou vzdálenost můžeme klást různé nároky na kvalitu přenosu
podle toho, jaké informace chceme z přijatého signálu získat. Jakost řečového signálu
je dána především kmitočtovým pásmem propustnosti sdělovacího systému. V praxi se
ustálila telefonní kvalita (telephone speech) s pásmem 300 Hz až 3 400 Hz, v USA 200 Hz
až 3 200 Hz, rozhlasová kvalita (wideband speech) s pásmem 50 Hz až 7 kHz a konečně
CD kvalita (wideband audio) s pásmem 10 Hz až 20 kHz stereo.
Časový průběh napětí získaného z mikrofonu odpovídající části hlásky [s] a hlásky [i]
je znázorněn na obrázku 1.2.
8
Promluva může být členěna na jednotlivé fonémy. Foném je část řečového signálu s
následující definiční vlastností: změnou fonému se mění význam slova. Foném je pojem
blízký pojmu hláska, je však přesněji vymezen. Například krátká samohláska a dlouhá
samohláska představují dva různé fonémy. Fonémy mohou být tříděny podle druhu buzení
vokálního traktu.
Pro číslicové vyjádření telefonního řečového signálu se klasicky používá vzorkovací kmitočet 8 kSa/s (kiloSample/sec). Např. při pulzně kódové modulaci (PCM) je jeden vzorek
vyjádřen 8 bity, to znamená, že potřebujeme zajistit přenosovou rychlost 64 kbitů/s. Signál s horním mezním kmitočtem 7 kHz se vzorkuje se vzorkovacím kmitočtem 16 kSa/s.
Řečový signál a jeho vnímání člověkem mají řadu vlastností, které jsou využívány pro
úsporné vyjádření řečového signálu posloupností čísel. Nepříjemným doprovodným efektem je zpoždění zaváděné kódováním a dekódováním. Vývoj v této oblasti dosud není
uzavřen.
Významnou oblastí výzkumu je rozpoznávání slov. Některé výsledky výzkumu jsou již
aplikovány v praxi, například volba telefonního čísla hlasem. Nikdo by si však asi zatím
nedovolil bez zvláštních opatření nasadit do praxe hlasové ovládání jeřábu zvedajícího
těžké náklady.
1.2
1.2.1
Definice signálu
Bližší vymezení pojmu signál
Představy o významu slova signál jsou různé. Dokonce ani inženýři elektrotechnici
nejsou ve výkladu obsahu pojmu signál moc jednotní. Pohled na slovo signál je závislý
na jejich zaměření. Názory se mohou lišit zejména v hodnocení vzájemné vázanosti či
nezávislosti signálu a systému. Pro obvodáře či odborníka na automatické řízení je signál nástrojem pro popis systému, jeho stavu a chování vůči okolí. Naopak pro odborníka
na zpracování signálů je systém, ve kterém signál vzniká mnohdy vzdálený a neznámý
nebo nezajímavý, případně nepopsatelný. Tento odborník se zabývá především hledáním
efektivních a realizovatelných algoritmů zpracování signálu např. s cílem zjistit některé informaci nesoucí parametry užitečné složky signálu. Teprve sekundárně, v případě potřeby,
navrhuje systémy algoritmus realizující.
My budeme signálem rozumět veličinu, zpravidla fyzikální, nesoucí informaci. Pojem
informace bude chápán velmi obecně jako každá zpráva, sdělení nebo údaj. S případem,
kdy signálem bude elektrické napětí nebo elektrický proud, se budeme setkávat nejčastěji. To souvisí se skutečností, že jsou k dispozici technické prostředky, které umožňují
elektrické signály zpracovávat rychle a levně. Také jsou k dispozici prostředky, které převádějí jiné typy signálu na signály elektrické, například mikrofon, různá čidla, snímače.
Nejčastěji se také budeme zabývat signály, u kterých se bude informaci nesoucí veličina
měnit v závislosti na čase.
Informace je obecně každá zpráva, sdělení nebo údaj, který nás zajímá, který má
pro nás nějaký význam. Informace sama o sobě je nehmotná. Fyzikální veličinu, která
nám dovolí přenášet nebo uchovávat informace, označujeme obecně jako signál. Signál je
9
hmotným nositelem informace. Může to být například elektrické napětí, elektrický proud
nebo výkon, tlak, teplota apod. Pro přenos informace se převážně používají elektrické a
optické signály. Pro uchování informace se používají CD a DVD nosiče, paměti USB RAM
apod.
Skutečné signály jsou vždy náhodné. Pro popis dějů, které probíhají v reálných systémech, je nutné vytvořit jejich matematické modely. Na obr. 1.8a vidíme část pravoúhlého
periodického signálu, který můžeme např. vidět na obrazovce osciloskopu. Na obr. 1.8b je
nakreslen jeho matematický model, který můžeme definovat takto:
Obrázek 1.3: a) Skutečný signál, zobrazený na obrazovce osciloskopu, b) matematický
model skutečného signálu.
s(t) = 0,
pro t < 0 ∧ t ≥ 6,
s(t) = 3,
pro 0 ≤ t < 1 ∧ 2 ≤ t < 3 ∧ 4 ≤ t < 5,
s(t) = −3,
(1.1)
pro 1 ≤ t < 2 ∧ 3 ≤ t < 4 ∧ 5 ≤ t < 6.
Existuje určitá domluva, že okamžité hodnoty signálu (napětí u(t), proud i(t) apod.)
značíme malými písmeny psanými šikmo (psanými kurzívou). Konstantní hodnoty píšeme
velkými písmeny stojatě (konstanta K, velikost U apod.). Symbol ∧ značí, že podmínky
platí současně (konjunkce).
1.3
Dělení signálů
Signály (jejich matematické modely) můžeme dělit podle jejich určitých vlastností.
Základní dělení signálů podle náhodnosti jejich průběhu je:
10
- signály deterministické,
- signály náhodné.
Deterministické (determinované, regulární, určené) signály jsou takové, které
mají známou hodnotu závislé proměnné pro každou hodnotu nezávislé proměnné. Jejich
průběh je definován známou funkcí nebo posloupností, např. cosx, lnx apod. Dále se
deterministické signály dělí na:
- deterministické signály periodické,
- deterministické signály neperiodické.
Signál (funkce) s(t) je periodický, když existuje kladné číslo T1 z oboru reálných
čísel, tj. T1 ∈ R a T1 > 0, takové, že pro všechna reálná t ∈ R platí:
s(t + T1 ) = s(t).
(1.2)
Tento periodický signál pak značíme jako sp (t) nebo s̃(t). Nejmenší hodnota T1 , pro kterou
je podmínka (1.2) splněna, se nazývá základní perioda. Periodický signál sp (t) lze dále
dělit na:
- harmonický signál,
- neharmonický signál.
Harmonický signál je definován pomocí funkce kosinus nebo sinus:
u(t) = Um cos
2π
t + ϕ1 .
T1
(1.3)
Maximální hodnota Um se nazývá amplituda, fázový rozdíl mezi počátkem funkce cos x
a počátkem souřadnic je počáteční fáze ϕ1 a kmitočet je roven f1 = 1/T1 . Úhlový
kmitočet ω1 = 2πf1 = 2π/T1 . Na obrázku 1.9 vidíme časový průběh harmonického
signálu.
Náhodné (neregulární, stochastické) signály jsou takové, u nichž nelze přesně
stanovit jejich hodnotu jako u deterministických signálů, ale lze ji pouze odhadnout s určitou pravděpodobností. Vlastnosti náhodných signálů a náhodných procesů se určují
pomocí distribuční funkce, funkcí rozdělení pravděpodobnosti a pomocí tzv. momentů
(střední hodnota, rozptyl, korelace, koeficient šikmosti, koeficient špičatosti apod.). Náhodné procesy je možné dále dělit na:
11
Obrázek 1.4: Harmonický signál u(t) definovaný rovnicí (1.3).
- stacionární náhodné procesy,
- nestacionární náhodné procesy.
Stacionární náhodné procesy mají tu vlastnost, že statistické parametry stacionárního
náhodného procesu nezávisí na umístění počátku časové osy. Stacionární náhodné procesy
se dál dají dělit na:
- ergodické náhodné procesy,
- neergodické náhodné procesy.
Náhodné procesy jsou reprezentovány pomocí souboru realizací (měření) náhodného procesu. U ergodických náhodných procesů lze jejich statistické parametry určit pouze
z jedné realizace.
V praxi při měření periodických signálů se často používá střední a efektivní hodnota.
Výpočet střední hodnoty periodického signálu je vidět na obr. 1.10.
Střední hodnota je definována jako:
Ia
1
=
T1
ZT1
i(t)dt.
(1.4)
0
Index a je odvozen od anglického slova average (průměr). Střední hodnota Ia je rovna délce
strany obdélníka, který má stejnou plochu, jako je plocha pod křivkou i(t). Harmonický
signál má v rámci jedné periody T1 střední hodnotu Ia = 0. Proto je zavedena střední
hodnota harmonického signálu za půl periody:
12
Obrázek 1.5: Způsob výpočtu střední hodnoty periodického signálu i(t).
Ia/2 =
2
Im ,
π
(1.5)
kde Im je amplituda harmonického signálu i(t).
Výpočet efektivní hodnoty periodického signálu je zobrazen na obrázku 1.11. Efektivní hodnota je definována vztahem:
Obrázek 1.6: Způsob výpočtu efektivní hodnoty periodického signálu i(t).
Ief
v
u
u ZT1
u1
= t
i2 (t)dt.
T1
13
(1.6)
0
Způsob výpočtu je podobný výpočtu střední hodnoty s tím rozdílem, že průběh i(t)
je nejprve umocněn na druhou, a nakonec je hodnota odmocněna. Efektivní hodnota
harmonického signáluje rovna:
Im .
Ia = √ = 0, 707 Im ,
2
(1.7)
kde Im je opět amplituda (maximální hodnota) harmonického signálu.
1.4
Základní operace se spojitými signály
Základní operace se spojitými signály si rozdělíme na dvě skupiny. Do první skupiny
patří operace s jedním signálem: změna časového měřítka, obrácení časové osy, posunutí,
obrácení časové osy s posunutím a zesílení nebo zeslabení signálu. Druhou skupinu tvoří
operace se dvěma signály: součet, rozdíl, součin a podíl dvou signálů, konvoluce a korelace.
1.4.1
Časové posunutí
Časové posunutí (obr. 1.12) je operace s jedním signálem, která signálu s(t) přiřazuje
signál s(t − τ ), kde τ je reálná konstanta, τ ∈ R, τ 6= 0. Příkladem zpoždění signálu
je přenos signálu od televizní kamery ve studiu k domácímu televiznímu přijímači nebo
přenos signálu přes satelitní družici apod.
1.4.2
Obrácení časové osy
Obrácení časové osy (obr. 1.13) znamená operaci, kdy signál s(t) je nahrazen signálem
s(−t). Znamená to otočení časové osy kolem počátku.
1.4.3
Obrácení časové osy s posunutím
Obrácení časové osy s posunutím (obr. 1.14) přiřazuje signálu s(t) signál s(τ − t), kde
τ ∈ R, τ 6= 0. Tato operace se používá u konvoluce, kdy jeden signál zůstává beze změny
a druhý signál má otočenou časovou osu a je postupně posunován vůči prvnímu signálu.
14
Obrázek 1.7: Příklad operace časového posunutí signálu s(t). Pokud τ > 0, jedná se o
zpoždění, a pokud τ < 0, tak se jedná o časové předsunutí signálu s(t).
1.4.4
Zesílení, zeslabení a inverze signálu
Velikost signálu lze měnit pomocí konstanty a, a ∈ R, která zmenší signál s(t) (a < 1),
zvětší signál s(t) (a > 1) nebo provede jeho inverzi (a < 0). Tyto operace jsou vidět na
obr. 1.15.
1.4.5
Změna časového měřítka
Změna časového měřítka (obr. 1.16) je operace, pomocí níž signál s(t) je nahrazen
signálem s(mt), m ∈ R, m 6= 1. Jestliže m > 1, tak se jedná o časovou expanzi (roztažení
časového měřítka). Příkladem této operace může být změna rychlosti otáček u gramofonu
nebo magnetofonu (a s tím spojená změna výšky hlasu apod.).
1.4.6
Součin, součet, rozdíl a podíl dvou signálů
Mějme dva signály x(t) a y(t). Jejich součet je roven:
z(t) = x(t) + y(t).
(1.8)
15
Obrázek 1.8: Příklad operace obrácení časové osy.
To znamená, že hodnoty obou signálů jsou sečteny pro stejné t. Podobně součin dvou
signálů je roven:
v(t) = x(t) y(t).
(1.9)
Na obr. 1.18 vidíme příklad součinu a součtu dvou signálů. Podobně lze vytvořit rozdíl
a podíl dvou signálů. Operace součinu dvou signálů se také používá při výběru krátkého
úseku dlouhého signálu s(t) pomocí signálu okna w(t). Příklad této operace násobení
oknem je vidět na obr. 1.19. Pro tuto operaci se používají různé typy oken: pravoúhlé
okno, Hannovo, Hamingovo, Kaiserovo, Blackmanovo, Bartletovo okno apod. S operací
násobení dvou signálů se také potkáme v rádiových zařízeních, například v modulátorech
a demodulátorech mobilních telefonů apod.
1.4.7
Konvoluce
Konvoluce dvou spojitých signálů (obr. 1.19) x(t) a h(t) je operace, která je definována
(v případě, že integrál konverguje) vztahem:
16
Obrázek 1.9: Příklad operace obrácení časové osy s posunutím.
Z∞
y(t) = h(t) ∗ x(t) =
h(τ )x(t − τ )dτ
−∞
Z∞
= x(t) ∗ h(t) =
x(τ )h(t − τ )dτ.
−∞
(1.10)
17
Obrázek 1.10: Příklad operace zesílení a inverze signálu s(t).
Na obrázku 1.19 je vidět příklad získání hodnoty konvoluce pro jednu hodnotu posunutí
a je také ukázán výsledek operace konvoluce. Konvoluce patří mezi základní operace
se dvěma signály. Pokud h(t) např. reprezentuje impulzní charakteristiku kmitočtového
filtru, pak konvoluce (1.10) provádí operaci kmitočtové filtrace vstupního spojitého signálu
x(t) kmitočtovým filtrem s impulzní charakteristikou h(t).
1.4.8
Korelace
Operace korelace se podobá operaci konvoluce. Korelace ukazuje míru podobnosti
průběhu dvou signálů. Korelace γxy (τ ) dvou spojitých signálů x(t) a y(t) (za předpokladu,
že integrál konverguje) je rovna:
Z∞
γxy (τ ) =
x(t) y(t + τ )dτ,
τ ∈ R.
−∞
Na obrázku 1.20 vidíme příklad výpočtu korelace.
(1.11)
18
Obrázek 1.11: Příklad operace změny časového měřítka signálu s(t). Pokud m > 1, tak
dochází k časové kompresi a je-li m < 1, tak se jedná o časovou expanzi.
1.5
Základní spojité signály
Kromě harmonického signálu existují ještě další dva základní signály (matematické
modely), a to signál jednotkového skoku a Diracova impulzu.
Jednotkový skok je definován:
σ(t) = 0,
pro t < 0,
1
,
2
pro t = 0,
σ(t) = 1,
pro t > 0.
σ(t) =
(1.12)
Obrázek 1.12: Příklad operace součtu a součinu dvou signálů x(t) a y(t).
19
20
Obrázek 1.13: Příklad signálu s(t) a okna w(t).
Obrázek 1.14: Příklad operace konvoluce mezi signálem x(t) a signálem h(t) (může např.
představovat impulzní charakteristiku systému).
Je označován různými symboly jako σ(t), u(t) nebo 1(t). Jeho časový průběh můžeme
vidět na obr. 1.21a.
Diracův impulz je definován:
δ(t) → ∞,
δ(t) = 0,
pro t = 0,
pro t 6= 0.
(1.13)
Obrázek 1.15: Příklad výpočtu korelace (míry podobnosti) signálů x(t) a y(t).
Obrázek 1.16: Základní spojité signály: a) jednotkový skok, b) Diracův impulz.
21
22
Diracův impulz je zobecněnou funkcí (distribucí), která je v čase spojitá a má definovánu
mohutnost (plocha pod křivkou δ(t)):
Z∞
δ(t)dt = 1.
(1.14)
−∞
Vztah mezi Diracovým impulzem a jednotkovým skokem je popsán rovnicemi:
δ(t) =
dσ(t)
,
dt
Z∞
σ(t) =
δ(t)dt.
(1.15)
0
Grafické zobrazení Diracova impulzu je vidět na obr. 1.21b. Diracův impulz má důležitou
vzorkovací vlastnost, která se pak využívá při ideálním vzorkování spojitého signálu:
Z∞
s(t)δ(t − τ )dt = s(τ ).
−∞
(1.16)
2
23
Periodické signály a jejich spektrum
2.1
Úvod
V příspěvku Královské akademie v roce 1672 Isaac Newton použil poprvé pojem spektrum. Nazval tak spojité pásmo barev, produkované skleněným hranolem. Z fyziky víme,
že každá barevná složka světla má svůj kmitočet a je reprezentována harmonickým signálem. Proto analýze spektra říkáme také harmonická analýza. Tuto analýzu nemusíme
provádět jen se světlem, ale můžeme vybrat jakýkoliv jiný signál jako funkci času (obrazový nebo znakový signál, signál z čidel apod.).
Harmonická analýza (syntéza) je operace, při níž je periodický signál (1.2) rozkládán
na dílčí harmonické složky (nebo skládán z harmonických složek),
- jejichž kmitočet je dán celistvým násobkem základního kmitočtu f1 = 1/T1 , ω1 =
2πf1 . To znamená, že kmitočet základní a vyšších harmonických složek je 1 f1 , 2 f1 ,
3 f1 , 4 f1 , · · ·,
- amplituda dílčích harmonických složek je dána spektrem amplitud (modulů),
- počáteční fáze dílčích harmonických složek je dána spektrem fází.
Harmonická analýza periodického signálu (neboli rozklad do složek Fourierovy řady) a
vyjádření signálu v kmitočtové oblasti se používá z několika důvodů:
- jsme zvyklí posuzovat a porovnávat spíše kmitočtové vlastnosti signálu, než jeho
časové změny, neboť v kmitočtové oblasti lze snáze odhadnout očekávané vlastnosti
signálu (nf signál, vf signál, šířka pásma apod.),
- u lineárních systémů platí princip superpozice a my můžeme sledovat vliv jednotlivých harmonických složek na celkovou odezvu.
Na obrázku 2.1 je vidět příklad periodického pilovitého signálu. Na obr. 2.2 je vidět způsob,
jak jsou jednotlivé harmonické složky (sinusovky) postupně skládány a pro nekonečný
počet harmonických složek je získán průběh periodického pilovitého signálu z obr. 2.1.
2.2
Definice Fourierovy řady a její tvary
Existuje několik tvarů Fourierovy řady [REK-02, PAP-77, SKR-90]. Postupně si všechny
známé tvary Fourierovy řady popíšeme. Začneme matematickou definicí, která je uvedena
v pramenu [REK-02]:
Nechť f (x) je periodická funkce s periodou 2π, tj. f (x + 2π) = f (x) pro všechna x, a
nechť f (x) a f ´(x) jsou po částech spojité funkce v intervalu < −π, π >. Označme:
24
Obrázek 2.1: Příklad periodického pilovitého signálu se základní periodou T1 .
an
1
=
π
Zπ
f (x) cos nxdx (n = 0, 1, 2, 3, · · ·),
(2.1)
f (x) sin nxdx (n = 0, 1, 2, 3, · · ·).
(2.2)
−π
bn
1
=
π
Zπ
−π
Pak v každém bodě x, v němž f (x) je spojitá, platí:
∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx) = f (x),
2
n=1
(2.3)
a v každém bodě, kde f (x) není spojitá, platí:
∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx) =
2
n=1
f (x+0)+f (x−0)
,
2
(2.4)
kde f (x + 0) = f (x+ ) je limita zprava v bodě x, a f (x − 0) = f (x− ) je limita zleva v bodě
x. Protože chceme využít i jinou periodu než 2π, tak zavedeme úhlový kmitočet ω1 = 2π
T1 ,
kde T1 je nová perioda periodického signálu s(t). Dostaneme tak první tvar Fourierovy
řady:
25
Obrázek 2.2: Postupné skládání dílčích harmonických složek při harmonické syntéze.
∞
a0 X
s(t) =
+
ak cos (kω1 t) + bk sin (kω1 t),
2
k=1
(2.5)
26
a0
2
=
T1
ZT1
s(t)dt,
(2.6)
s(t) cos (kω1 t)dt,
(2.7)
s(t) sin (kω1 t)dt,
(2.8)
0
ak
2
=
T1
ZT1
0
bk
2
=
T1
ZT1
0
k = 1, 2, 3, 4, · · · .
Jestliže nyní použijeme vztah:
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
tak můžeme získat druhý tvar Fourierovy řady:
∞
C0 X
s(t) =
+
Ck cos (kω1 t + ϕk ),
2
k=1
(2.9)
kde
Ck cos (kω1 t + ϕk ) = Ck cos ϕk cos kω1 t − Ck sin ϕk sin kω1 t,
|{z}
ak
ak = Ck cos ϕk ,
Ck
q
=
a2k + b2k ,
(2.10)
|{z}
−bk
−bk = Ck sin bk ,
ϕk = arctg
−bk
.
ak
(2.11)
2.3
27
Komplexní model harmonického signálu
Pro harmonický signál je možné vytvořit model s komplexními čísly:
s(t) = C1 cos (ω1 t + ϕ1 ) = C1
=
ej(ω1 t+ϕ1 ) + e−j(ω1 t+ϕ1 )
2
C1 jϕ1 jω1 t C1 −jϕ1 −jω1 t
e e
+
e
e
2
2
= c1 ejω1 t + c−1 e−jω1 t ,
c1 ∈ C, c−1 ∈ C.
(2.12)
K výpočtu jsme použili Eulerovy vztahy:
ejx = cos x + j sin x,
cos x =
ejx + e−jx
,
2
e−jx = cos x − j sin x,
sin x =
ejx − e−jx
.
2j
(2.13)
Koeficienty c1 a c−1 jsou komplexní čísla:
c1 =
C1 jϕ1
e = |c1 |ej arg c1 ,
2
|c1 | =
C1
,
2
c−1 =
C1 −jϕ1
e
= |c−1 |ej arg c−1 ,
2
|c−1 | =
C1
,
2
arg c1 = ϕ1 ,
arg c−1 = −ϕ1 .
(2.14)
Snaha zavést do výpočtu funkci ex má opodstatnění v tom, že platí:
dex
= ex
dx
Z
a
ex dx = ex .
(2.15)
Na obr. 2.3a vidíme spektrum modulů a spektrum argumentů (fází) komplexního modelu harmonického signálu a na obr. 2.3b je komplexní model, vyjádřený v komplexní
(Gaussově) rovině.
28
Obrázek 2.3: Komplexní model harmonického signálu: a) spektrum modulů a spektrum
fází, b) zobrazení modelu v komplexní rovině.
2.4
Komplexní tvar Fourierovy řady
Použijeme-li Eulerovy vztahy na druhý tvar Fourierovy řady (2.9), tak po úpravě
dostaneme komplexní tvar Fourierovy řady, který se v praxi nejvíce používá:
∞
X
s(t) =
ck ejkω1 t ,
ck ∈ C, ω1 ∈ R, t ∈ R, s ∈ R, k ∈ Z.
(2.16)
k=−∞
T1
ck =
1
T1
Z2
−
Ck e−jkω1 t dt,
k = 0, ±1, ±2, ±3, · · · .
(2.17)
T1
2
ck = |ck |ejϕk ,
c0 =
a0
C0
=
,
2
2
|ck | =
Ck
,
2
k 6= 0.
(2.18)
2.5
29
Příklad výpočtu koeficientů Fourierovy řady
Na obrázku 2.4 vidíme periodický signál ve tvaru pravoúhlých impulzů, jejichž výška
je D, šířka ϑ a perioda je T1 . Máme vypočítat a zobrazit koeficienty Fourierovy řady
v komplexním tvaru:
Obrázek 2.4: Periodický signál sp (t) ve tvaru pravoúhlých impulzů se střídou 1:2.
T1
ck =
1
T1
Z2
−
sp (t)e−jkω1 t dt
T1
2

1 

=
T1 
−ϑ
2
Z
−
0.e
T1
2
T1
2
−ϑ
2
−jkω1 t
Z
dt +
−ϑ
2
D.e
−jkω1 t
Z
dt +
ϑ
2


0.e−jkω1 t dt

30
ϑ
D
=
T1
Z− 2
e
−jkω1 t
ϑ
ϑ
ϑ
D e−jkω1 t 2
D
dt =
=
e−jkω1 2 − ejkω1 2
T1 −jkω1 − ϑ
−jkω1 T1
2
−ϑ
2
ϑ
ϑ
2D ejkω1 2 − e−jkω1 2
2D
ϑ
=
.
=
sin(kω1 )
kω1 T1
2j
kω1 T1
2
=
ϑ
Dϑ sin(kω1 ϑ2 )
Dϑ
.
sin c(kω1 ).
=
ϑ
T1
T1
2
kω1 2
(2.19)
Funkce sinus cardinalis je definována takto:
sin c(x) = 1,
sin c(x) =
pro x = 0,
sin x
,
x
pro x 6= 0.
(2.20)
Zvolíme-li konkrétní hodnoty, např. D = 10, ϑ = 1s, T1 = 3s, pak dostaneme pro
koeficienty Fourierovy řady výsledek:
ck = |ck |ejϕk =
π
10
sin c(k ),
3
3
c0 =
10
.
3
Na obr. 2.5 je znázorněno spektrum modulů a spektrum fází pro případ, že T1 = 3ϑ.
Protože funkce sin c(x) má i záporné hodnoty, ale modul |ck | musí být vždy kladný, tak
záporné hodnoty modulu změníme na kladné násobením −1. Aby se ale nezměnila hodnota
ck jako celku, musíme pro hodnoty změněného modulu změnit odpovídající hodnoty fáze
ϕk přidáním ±π. To je proto, že platí (−1) = e±jπ . Opakování nulových hodnot modulu
ck závisí na poměru šířky impulzu a šířky mezery (střída). Hodnoty kmitočtu nulových
bodů ωz určíme takto:
ϑ
2π
sin(ωz ) = iπ, ωz = i , i ∈ Z,
2
ϑ
2π
ω1 T1
, ωz = i
.
ω1 =
T1
ϑ
Pro náš případ T1 = 3ϑ dostaneme:
ωz = i3ω1 ,
i = 1, 2, 3, · · · .
(2.21)
31
Obrázek 2.5: Spektrum modulů |ck | a spektrum fází ϕk koeficientů Fourierovy řady
(2.19) pro signál na obr. 2.4, když platí T1 = 3ϑ.
Z toho plyne, že v tomto případě vymizí každá třetí složka modulu. Index z je odvozen
od slova zero (nula).
2.6
Gibbsův jev
Dá se dokázat, že částečné součty Fourierovy řady při zadaném pevném K:
sΣ (t) =
K
X
ck ejkω1 t ,
(2.22)
k=−K
představují optimální aproximaci signálu sp (t) ve smyslu minimální střední kvadratické
odchylky. Pokud by nebyly koeficienty ck počítány podle vztahu (2.17), nebyla by aproximace tak dokonalá. Částečné součty Fourierovy řady (2.22) pro K = 1, 3, 5 a 21
32
jsou vidět na obr. 2.6. V sousedství okamžiků, kdy má signál sp (t) skokové změny, vytváří součtový signál sΣ (t) překmity. Tyto vymizí až při nekonečném součtu podle vztahu
(2.16). Výskyt překmitů je znám pod názvem Gibbsův jev.
Obrázek 2.6: Částečné součty Fourierovy řady podle vztahu (2.22).
3
3.1
33
Fourierova reprezentace jednorázových spojitých
signálů
Úvod
Na obr. 3.1 vidíme periodický sled pravoúhlých impulzů, u nichž se postupně zvětšuje
střída (poměr šířky impulzu ku šířce mezery v rámci jedné periody T1 ). Z obrázku vidíme,
že jak se zvětšuje perioda T1 , tak se spektrální složky stále přibližují, až budou splývat a
je nutné místo diskrétních hodnot úhlových kmitočtů zavést spojitě se měnící veličinu ω.
Dále při zvětšující se periodě T1 klesají hodnoty modulů koeficientů ck , až pro T1 → ∞
budou nekonečně malé, protože v definičním vztahu (2.17) je člen 1/T1 . Tyto jednorázové
(neperiodické, aperiodické) signály je výhodnější analyzovat pomocí spektrální funkce
S(ω), která představuje obraz Fourierovy transformace signálu s(t).
Obrázek 3.1: Periodický sled pravoúhlých impulzů a jejich spektrum modulů pro
různé střídy: 1:1, 1:3, 1:7 a 1:∞.
34
3.2
Definice Fourierovy transformace
Fourierova transformace je lineární integrální transformace, u níž se předpokládá,
že funkce s(t), která je podrobena transformaci, je absolutně integrovatelná v intervalu
(−∞, ∞), tj. musí platit:
Z∞
|s(t)|dt < ∞.
(3.1)
−∞
Přímá Fourierova transformace (Fourierův obraz) signálu s(t) je dána vztahem:
Z∞
S(ω) =
s(t)e−jωt dt,
(3.2)
−∞
kde ω je úhlový kmitočet, tj. ω = 2πf .
Zpětná (inverzní) Fourierova transformace (časová funkce) je definována vztahem:
1
s(t) =
2π
Z∞
S(ω)ejωt dω.
(3.3)
−∞
Definice S(ω) je určena v bodech spojitosti s(t). V bodech nespojitosti konverguje integrál
k aritmetickému průměru limity zprava a limity zleva. Vztahy (3.2) a (3.3) se ve vzájemné
souvislosti mohou vyjádřit i takto:
S(ω) = F{s(t)}, s(t) = F −1 {S(ω)}, s(t) ⇔ S(ω).
3.3
(3.4)
Příklad výpočtu spektrální funkce
Naším úkolem je vypočítat a nakreslit spektrální funkci jednorázového pravoúhlého
impulzu na obr. 3.2. Dosadíme-li do definičního vztahu (3.2), tak dostaneme:
35
Obrázek 3.2: Jednorázový pravoúhlý impulz: a) jeho obraz na obrazovce osciloskopu,
b) matematický model impulzu.
Z∞
S(ω) =
ϑ
s(t)e−jωt dt =
−∞
Z− 2
ϑ
0.e−jωt dt +
−∞
Z2
D.e−jωt dt +
−ϑ
2
Z∞
0.e−jωt dt
ϑ
2
ϑ
Z2
=D
−ϑ
2
e
−jωt
e−jωt
dt = D
−jω
ϑ2
−ϑ
2
2D
=
ω
ϑ
ϑ
ejω 2 − e−jω 2
2j
sin(ω ϑ2 )
2D
ϑ
ϑ
=
sin(ω ) = Dϑ
= Dϑ sin c(ω ).
ωϑ
ω
2
2
2
!
(3.5)
Na obrázku 3.3 vidíme modul a argument spektrální funkce S(ω) jednorázového impulzu
z obr. 3.2. Vidíme, že zde nastává stejný problém, který byl u modulu Fourierovy řady.
Spektrální funkce (3.6) má tvar sin c(x), ale modul spektra musí být vždy nezáporný.
Z toho důvodu musí být k argumentu S(ω) přidána hodnota ±π, aby modul S(ω) byl
právě nezáporný.
3.4
Souvislost mezi spektrem Fourierovy řady a spektrální funkcí
Fourierovy transformace
Chceme-li dát do souvislosti spektra Fourierovy řady a Fourierovy transformace, musíme zavést podmínku: jednorázový impulz s(t) tvoří jednu periodu periodického signálu
36
Obrázek 3.3: Spektrální funkce S(ω) pravoúhlého impulzu z obr. 3.2.
sp (t). Tato situace je vidět na obr. 3.4. Na obr. 3.5. vidíme srovnání modulu spektrální
funkce signálu s(t) a spektra modulů Fourierovy řady signálu sp (t).
Koeficienty Fourierovy řady určíme pomocí spektrální funkce takto:
ck =
1
S(ω),
T1
pro ω = kω1 .
(3.6)
Vidíme, že modul spektrální funkce tvoří (až na konstantu T1 ) obálku pro spektrum
1
modulů koeficientů Fourierovy řady.
37
Obrázek 3.4: Porovnání periodického a jednorázového signálu, kdy jednorázový signál
tvoří jednu periodu T1 periodického signálu.
Obrázek 3.5: Srovnání spekter signálů sp (t) a s(t) z obr. 3.4.
4
Vzorkování signálu se spojitým časem
4.1
Úvod
Převod signálu se spojitým časem na číslicový signál (analogově - číslicový převod)
sestává ze tří kroků:
• vzorkování, tj. převod signálu se spojitým časem na signál s diskrétním časem
(diskrétní signál).
• kvantování, cílem je vyjádřit diskrétní vzorky pomocí konečné množiny čísel (čísel
o konečné délce). Vzniká při tom kvantovací šum.
• kódování, tj. převod kvantovaných vzorků na binární čísla v určitém kódu (inverzní,
doplňkový kód, apod.).
Vzorkování můžeme rozdělit do tří skupin (obr. 4.1):
• ideální vzorkování,
38
• vzorkování 1. druhu a
• vzorkování 2. druhu.
Obrázek 4.1: Typy vzorkování.
Jestliže chceme signál se spojitým časem (analogový signál) zpracovat diskrétním nebo
číslicovým systémem, musíme použít A/Č (analogově – číslicový) a Č/A (číslicově – analogový) převodník, jak je ukázáno na obr. 4.2.
Obrázek 4.2: Zpracování analogového signálu diskrétním nebo číslicovým systémem.
4.2
Ideální vzorkování
Signál se spojitým časem s(t) je přeměněn na posloupnost veličin, vyjádřených okamžitými hodnotami signálu s(t). Této posloupnosti říkáme diskrétní signál s[n] a postup
nazýváme ideální vzorkování nebo diskretizace.
Operaci ideálního vzorkování si lze představit jako součin signálu s(t) s nekonečnou
posloupností Diracových impulzů, které jsou od sebe vzdáleny rovnoměrně o vzorkovací
interval T :
sid (t) = s(t) sδ (t) = s(t)
∞
X
δ(t − nT )
n=−∞
=
∞
X
n=−∞
s(nT )δ(t − nT ).
(4.1)
39
Pro odvození spektrální funkce Sid (ω), která je Fourierovou transformací sid (t), použijeme
tyto vlastnosti:
∞
X
∞
2π X
2π
δ(ω − k ),
T k=−∞
T
δ(t − nT ) ⇔
n=−∞
fvz =
1
,
T
ωvz = 2πfvz .
(4.2)
Součinu v časové oblasti odpovídá konvoluce ve spektrální oblasti:
s1 (t) s2 (t) ⇔
=
1
S1 (ω) ∗ S2 (ω)
2π
Z∞
1
S1 (ξ)S2 (ω − ξ)dξ.
2π
(4.3)
−∞
Vzorkovací vlastnost Diracova impulzu platí i ve spektrální oblasti:
Z∞
S(ω) ∗ δ(ω − Ω) =
S(ξ)δ(ω − Ω − ξ)dξ = S(ω − Ω).
−∞
Při odvození spektrální funkce Sid (ω) použijeme postupně všechny tři vlastnosti:
sid (t) = s(t) sδ (t),
1
Sid (ω) =
S(ω) ∗ F
2π
sid (t) ⇔ Sid (ω),
(
∞
X
)
δ(t − nT ) ,
n=−∞
∞
1
2π X
2π
Sid (ω) =
S(ω) ∗
δ(ω − k )
2π
T k=−∞
T
= S(ω) ∗
∞
1 X
δ(ω − kωvz )
T k=−∞
kde s(t) ⇔ S(ω).
(4.4)
40
=
1
S(ω) ∗ {· · · + δ(ω + 2ωvz ) + δ(ω + ωvz ) + δ(ω) +
T
+ δ(ω − ωvz ) + δ(ω − 2ωvz ) + · · ·}
=
1
{· · · + S(ω + 2ωvz ) + S(ω + ωvz ) + S(ω) +
T
+ S(ω − ωvz ) + S(ω − 2ωvz ) + · · ·}.
Sid (ω) =
∞
1 X
S(ω − kωvz ).
T k=−∞
(4.5)
Spektrální funkce ideálně vzorkovaného signálu s(t) s periodou T je rovna superpozici
rovnoměrně posunutých spekter původního signálu, násobených konstantou 1/T . Na obr.
4.3 jsou zobrazeny časové průběhy a spektra spojitého signálu s(t) a ideálně vzorkovaného signálu sid (t). Spektrum diskrétního signálu je vždy periodické, s periodou rovnou
vzorkovacímu kmitočtu!
Aby se nepřekrývala sousední spektra ideálně vzorkovaného signálu, tak musí platit nerovnost:
π
(4.6)
> ωmax , neboli fvz > 2fmax ,
T
kde fmax je kmitočet složky spektra S(ω), která má nejvyšší hodnotu kmitočtu. Vztah je
nazýván vzorkovací poučka (Nyquistův teorém, Shannon – Kotelnikovova věta apod.).
Pokud vzorkovací poučka neplatí, dojde k překrývání sousedních spekter, a pak už nelze
bez chyb obnovit původní spektrální funkci S(ω), takže také nelze obnovit původní časový
průběh signálu s(t). Tato situace je vidět na obr. 4.4. Nesplnění vzorkovací poučky (5.6)
má za následek překrývání sousedních spekter ideálně vzorkovaného signálu Sid (ω). Tento
jev se nazývá aliasing. Pokud chceme překrývání zabránit, tak spojitý signál s(t) musí
mít omezeno spektrum S(ω) antialiasingovým kmitočtovým filtrem typu dolní propusti.
4.3
Obnovení spojitého signálu s(t) z jeho vzorku s[nT ]
Získání spektrální funkce S(ω) původního signálu s(t) ze spektra ideálně vzorkovaného
signálu (pokud nenastává aliasing) je možné dosáhnout odstraněním postranních složek
pomocí ideální dolní propusti (obr. 4.4), jejíž kmitočtová charakteristika je rovna:
π
ωvz
H(ω) = T, pro |ω| ≤ =
,
T
2
41
Obrázek 4.3: Ideální vzorkování: a) signál se spojitým časem s(t), b) posloupnost Diracových impulzů sδ (t), c) ideálně vzorkovaný signál sid (t),
d) modul spektra spojitého signálu S(ω), e) modul spektra ideálně vzorkovaného signálu Sid (ω).
42
Obrázek 4.4: Spektrální funkce vzorků při nesplnění podmínky (4.6).
pro |ω| >
H(ω) = 0,
ωvz
.
2
(4.7)
Obrázek 4.5: Kmitočtová charakteristika rekonstrukční ideální dolní propusti.
Spektrum původního spojitého signálu získáme takto:
S(ω) = Sid (ω) H(ω).
(4.8)
Součinu ve spektrální oblasti (4.8) odpovídá konvoluce v časové oblasti:
s(t) = sid (t) ∗ h(t),
(4.9)
kde h(t) je impulzní charakteristika ideální rekonstrukční dolní propustí. Impulzní charakteristika h(t) ⇔ H(ω) je rovna:
1
h(t) =
2π
Z∞
−∞
− ω2vz
1
H(ω)e dω =
2π
jωt
Z
−∞
0 ejωt dω +
ωvz
Z2
1
+
2π
1
T e dω +
2π
jωt
− ω2vz
ωvz
Z2
T
2π
0 ejωt dω =
ωvz
2
ωvz
=
Z∞
43
ejωt dω =
− ω2vz
1
ωvz
Z2
ejωt dω.
(4.10)
− ω2vz
Výpočet integrálu v rovnici (4.10) rozdělíme na dvě části. Pro t = 0 platí:
ωvz
h(0) =
1
ωvz
ωvz
Z2
ej0ω dω =
− ω2vz
1
ωvz
Z2
dω = 1.
(4.11)
− ω2vz
Pro t 6= 0 platí:
ωvz
1
h(t) =
ωvz
Z2
− ω2vz
1 ej
=
ωvz
jωt ω2vz
1
e
=
ejωt dω =
ωvz jt − ωvz
ωvz
t
2
2
− e−j
jt
ωvz
t
2
=
ω 2
vz
sin
.t =
ωvz t
2
sin( ω2vz .t)
=
.
ωvz
.t
2
(4.12)
Jestliže dáme dohromady výsledky (4.11) a (4.12), tak dostaneme:
h(t) = sinc
ω
vz
2
t .
Nyní již můžeme řešit rovnici (4.9):
(4.13)
44
(
s(t) = sid (t) ∗ h(t) =
∞
X
)
s[nT ]δ(t − nT )
∗ sinc
n=−∞
=
Z∞ X
∞
s[nT ]δ(τ − nT )sinc
−∞ n=−∞
=
∞
X
n=−∞
Z∞
s[nT ]
hω
vz
sinc
2
ω
vz
2
ω
vz
2
t
(t − τ ) dτ
i
(t − τ ) δ(τ − nT )dτ.
−∞
Výsledný rekonstrukční vztah je roven:
s(t) =
∞
X
n=−∞
s[nT ] sinc
ω
vz
2
(t − nT ) .
(4.14)
Na obrázku 4.6 vidíme způsob, jak jsou vyplňovány mezery mezi diskrétními vzorky a je
obnoven původní signál s(t).
45
Obrázek 4.6: Způsob obnovení signálu s(t) z jeho vzorků s[nT ] pomocí ideální rekonstrukční dolní propusti.
5
Signály s diskrétním časem
5.1
Úvod
Časová osa signálů s diskrétním časem (diskrétních signálů) je tvořena konečnou nebo
spočetnou množinou okamžiků. V technické praxi je to nejčastěji {nT, n ∈ Z}, nebo její
podmnožina, kde Z je množina celých čísel. Na obrázku 5.1 vidíme několik způsobů, jak
získáme diskrétní signál.
Můžeme také zavést relativní čas nT
= n, kde T je např. perioda vzorkování. NormoT
vaný čas n je potom bezrozměrná veličina. Diskrétní signály budou podle potřeby značeny
jako s[n] nebo s[nT ]. Nebude-li řečeno jinak, tak budeme dále předpokládat, že diskrétní
signály mají konečnou absolutní hodnotu pro všechna přípustná n. Grafické vyjádření
diskrétních signálů je vidět na obr. 5.2.
Diskrétní signály můžeme vyjádřit několika způsoby:
46

0, 9




−0, 8




 0, 7
1, 5
s[n] =


2




1



0
pro
pro
pro
pro
pro
pro
pro ostatní
n = −4
n = −3
n = −2, 3
n = −1, 1
n=0
n=2
n
s[n] = {0, 9; −0, 8; 0, 7; 1, 5; 2; 1, 5; 1; 0, 7}.
↑
(5.1)
(5.2)
Obrázek 5.1: Možné způsoby získání diskrétního signálu.
47
48
Obrázek 5.2: Různé možnosti zobrazení diskrétních signálů.
49
Šipka ve vztahu (5.2) určuje hodnotu pro n = 0. Také lze popsat diskrétní signál tabulkou:
n
s[n]
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
0,9 −0,8 0,7 1,5 2 1,5 1 0,7
(5.3)
Diskrétní signál s[n] má definovánu energii Es jako součet čtverců absolutních hodnot:
Es =
∞
X
|s[n]|2 .
(5.4)
n=−∞
Je-li hodnota Es konečná, tj. platí Es < ∞, pak nazýváme diskrétní signál s[n] energetickým signálem.
Některé diskrétní signály mají Es → ∞, ale mají konečnou hodnotu středního výkonu
Ps , který je definován vztahem:
Ps
N
X
1
|s[n]|2 ,
= lim
N →∞ 2N + 1
n=−N
pokud limita existuje.
(5.5)
Těmto signálům říkáme výkonové signály (např. harmonický signál).
Periodický jednorozměrný diskrétní signál sp [n] = s̃[n] je takový signál, u něhož lze
najít pravidelně se opakující úsek hodnot o délce N1 . Periodický signál značíme buď
indexem p nebo vlnovkou nad proměnnou podle situace:
s̃[n] = sp [n + N1 ] = sp [n] pro všechna n.
(5.6)
Nejmenší nenulová hodnota N1 , pro kterou platí podmínka (5.6), se nazývá základní
perioda jednorozměrného signálu sp [n].
Nechť diskrétní signál s[n] je reálný signál, to znamená, že jeho hodnoty jsou reálná čísla. Potom tento signál označujeme jako symetrický (sudý) signál, když platí
podmínka:
s[−n] = s[n],
s ∈ R.
(5.7)
50
Podobně reálný diskrétní signál označujeme za antisymetrický (lichý) signál, když
platí:
s[−n] = −s[n],
s[n] ∈ R,
n ∈ Z.
(5.8)
Libovolný reálný diskrétní signál je možné reprezentovat pomocí sudé složky (even):
se [n] =
s[n] + s[−n]
,
2
(5.9)
a liché složky (odd):
so [n] =
s[n] − s[−n]
,
2
(5.10)
takže platí:
s[n] = se [n] + so [n].
5.2
(5.11)
Základní jednorozměrné diskrétní signály
Jednotkový impulz s diskrétním časem je posloupnost definovaná rovnicí (obr. 5.3a):
δ[n] = 1 pro n = 0,
δ[n] = 0 pro n 6= 0.
(5.12)
Libovolnou posloupnost s[n] můžeme vyjádřit jako:
s[n] =
∞
X
m=−∞
s[m]δ[n − m].
(5.13)
51
V rovnici (5.13) bychom správně celou posloupnost měli značit ve složených závorkách jako
{s[n]}. Existuje určitá úmluva, že pokud označíme s[n], x[n], y[n] apod. s argumentem n,
tak hovoříme o celé posloupnosti. Pokud použijeme s[i], s[10] x[j], y[−3], tak uvažujeme
pouze jednotlivé hodnoty (pokud nebude označeno jinak).
Obrázek 5.3: Základní jednorozměrné diskrétní signály: a) jednotkový impulz; b) zpožděný jednotkový impulz; c) předsunutý jednotkový impulz; d) jednotkový
skok; e) reálná mocninná posloupnost; f) reálný harmonický signál.
Jednotkový skok s diskrétním časem je definován rovnicí (obr. 5.3d):
σ[n] = 1 pro n ≥ 0,
σ[n] = 0 pro n < 0.
(5.14)
52
Jestliže použijeme rovnici (5.13), tak lze napsat vztah mezi jednotkovým impulzem a
jednotkovým skokem:
σ[n] =
∞
X
δ[n − m].
(5.15)
m=0
Platí také:
σ[n] − σ[n − 1] = δ[n].
(5.16)
Reálný mocninný diskrétní signál je roven:
s[n] = an ,
s[n] = 0,
pro n ≥ 0, a ∈ R,
(5.17)
pro n < 0,
neboli
s[n] = an σ[n].
Harmonickým reálným diskrétním signálem nazveme posloupnost, definovanou
vztahem:
s[n] = C1 cos[ω1 n + ϕ1 ],
(5.18)
C1 je amplituda, C1 > 0, C1 ∈ R, ω1 je normovaný úhlový kmitočet, ω1 > 0, ω1 ∈ R,
ϕ1 je počáteční fáze, ϕ1 > 0, ϕ1 ∈ R.
Jestliže budeme chtít vyjádřit skutečný úhlový kmitočet, nikoliv normovaný kmitočet,
pak píšeme:
s[nT ] = C1 cos[Ω1 nT + ϕ1 ],
kde Ω1 T = ω1 , T = 1/fvz .
(5.19)
53
Komplexní harmonický signál je zobrazen na obr. 5.4 a je definován jako:
s[n] = Cej[ωn+ϕ] = C cos[ωn + ϕ] + jC sin[ωn + ϕ].
(5.20)
Reálný harmonický signál (5.18) je možné vyjádřit pomocí komplexního harmonického
signálu takto:
s[n] = C1 cos[Ω1 n + ϕ1 ] = C1
=
C1 jψ1 jω1 n C1 −jψ1 −jω1 n
e e
+
e
e
2
2
= c1 ejω1 n + c−1 e−jω1 n ,
5.3
ej[ω1 n+ϕ1 ] + e−j[ω1 n+ϕ1 ]
2
c1 , c−1 ∈ C,
C1 , ω1 , ψ1 ∈ R.
(5.21)
Základní dvojrozměrné diskrétní signály
Protože obraz a zvuk se v multimédiích zpracovává společně, tak nestačí pouze popsat
jednorozměrné diskrétní signály, ale musíme také definovat některé dvojrozměrné diskrétní
signály. Tyto signály označujeme zkratkou 2D (2 Dimensional).
Jednotkový 2D impulz (obr.5.5b):
δ[n1 , n2 ] = 1,
pro n1 = n2 = 0,
δ[n1 , n2 ] = 0,
pro ostatní n1 a n2 .
(5.22)
Libovolnou 2D posloupnost lze reprezentovat jako lineární kombinaci posunutých a vážených 2D jednotkových impulzů:
s[n1 , n2 ] =
∞
X
∞
X
m1 =−∞ m2 =−∞
s[m1 , m2 ] δ[n1 − m1 , n2 − m2 ].
(5.23)
54
Obrázek 5.4: Komplexní harmonický signál.
Jednotkový 2D skok (obr.5.5c) je definován jako:
5.4
σ[n1 , n2 ] = 1,
pro n1 a n2 ≥ 0,
σ[n1 , n2 ] = 0,
pro ostatní n1 a n2 .
(5.24)
Lineární diskrétní konvoluce
Lineární diskrétní konvolucí posloupností s1 [n] a s2 [n] rozumíme posloupnost z[n]
danou vztahem:
55
Obrázek 5.5: Dvojrozměrné základní diskrétní signály: a) obecný signál s[n1 , n2 ];
b) jednotkový impulz; c) jednotkový skok; d) reálný harmonický signál.
z[n] = s1 [n] ∗ s2 [n] = s2 [n] ∗ s1 [n] =
N
−1
X
s1 [m]s2 [n − m].
(5.25)
m=0
Jestliže posloupnost s1 [n] má délku N1 a posloupnost s2 [n] má délku N2 , pak výsledná
konvoluce z[n] má délku N = N1 +N2 −1. Na obr. 5.6 vidíme vytvoření lineární konvoluce
z[n] posloupností s1 [n] a s2 [n].
5.5
Periodická diskrétní konvoluce
Periodická konvoluce je operace, která se děje mezi dvěma periodickými signály s̃1 [n]
a s̃2 [n]:
56
Obrázek 5.6: Lineární diskrétní konvoluce z[n] = s1 [n] ∗ s2 [n].
z̃[n] =
N
−1
X
s̃1 [m]s̃2 [n − m] = s̃1 [n] ∗ s̃2 [n].
(5.26)
m=0
Jestliže perioda posloupnosti s̃1 [n] je N1 a perioda posloupnosti s̃2 [n] je N2 , tak aby
výsledek měl nějaký smysl a nenastávalo překrytí, měly by mít obě posloupnosti periodu
N = N1 + N2 –1. Toho dosáhneme tak, že periodu N1 a N2 rozšíříme vzorky s nulovou
hodnotou na periodu N . Na obr. 5.7 vidíme provedení periodické diskrétní konvoluce dvou
periodických posloupností s̃1 [n] a s̃2 [n], jež byly vytvořeny z jednorázových posloupností
s1 [n] a s2 [n], které jsou zobrazeny na obr. 5.6. Periodické signály byly získány pomocí
operace modulu N :
s̃1 [n] = sp1 [n] = s1 [mod7 (n)],
s̃2 [n] = sp2 [n] = s2 [mod7 (n)].
(5.27)
Poznámka: Hodnota modN (x) je číslo z intervalu < 0, N − 1 >, které vznikne přičtením vhodného celistvého násobku N k číslu x, N ∈ N, x ∈ R. Periodickou posloupnost
sp [n] s periodou N pak můžeme k posloupnosti s[n] délky N přiřadit vztahem:
57
Obrázek 5.7: Periodická diskrétní konvoluce dvou periodických diskrétních signálů s̃1 [n]
a s̃2 [n].
sp [n] = s[modN (n)],
kde s[n] je konečná posloupnost o délce N .
Poznámka: Pravoúhlá okénková posloupnost RN [n] je definována vztahem:
RN [n] = 1 pro n ∈< 0, N − 1 >,
RN [n] = 0 pro n ∈<
/ 0, N − 1 > .
Pomocí této posloupnosti můžeme libovolnou posloupnost převést na posloupnost délky
N . Můžeme například udělat opačnou operaci k operaci modulo N , tj. převedeme periodickou posloupnost sp [n] s periodou N na jednorázovou posloupnost s[n] délky N tím, že
posloupnost sp [n] vynásobíme pravoúhlou okénkovou posloupností:
58
s[n] = sp [n] RN [n].
Obrázek 5.8: Princip výpočtu rychlé konvoluce dvou jednorázových posloupností s1 [n]
a s2 [n].
5.6
Rychlá diskrétní konvoluce
Lineární diskrétní konvoluce (5.25) pro dlouhé posloupnosti s1 [n] a s2 [n] není výpočtově příliš efektivní. V roce 1964 publikovali Cooley a Tukey svůj efektivní algoritmus
pro výpočet diskrétní Fourierovy transformace [COO-65]. Tento algoritmus byl označen
jako FFT (Fast Fourier Transform). Na obr. 5.8 je vidět princip výpočtu rychlé diskrétní
konvoluce. Pro asi N > 32 je tento algoritmus výpočtově méně náročný, než přímý výpočet lineární diskrétní konvoluce podle vztahu (5.25). Princip výpočtu diskrétní Fourierovy
transformace (DFT) bude vysvětlen v následující kapitole. Za to, že získáme efektivnější
algoritmus výpočtu lineární diskrétní konvoluce, platíme složitějším postupem výpočtu,
kterému říkáme kruhová nebo cyklická konvoluce.
6
59
Fourierova reprezentace diskrétního signálu
6.1
Fourierova transformace diskrétního signálu
Fourierovská zobrazení signálů se spojitým časem se osvědčila, a proto byla snaha zobrazit v kmitočtové doméně také signály s diskrétním časem. Na obr. 6.1 je vidět srovnání
fourierovských zobrazení pro signály se spojitým a diskrétním časem. Na obr. 6.1a vidíme
jednorázový spojitý signál a jeho spektrální funkci, kterou získáme provedením Fourierovy
transformace. Na obr. 6.1b vidíme periodicky spojitý signál a jeho spektrum Fourierovy
řady. Pokud je perioda T1 tak velká, že pojme jednorázový impulz z obr. 6.1a, pak tvoří
spektrální funkce (až na konstantu) obálku koeficientů Fourierovy řady. Provedeme-li ideální vzorkování, tak dostaneme spektrum ideálního vzorkovaného signálu (obr.6.1c). Tato
reprezentace se nazývá Fourierova transformace diskrétního signálu, kdy čas je diskrétní a
kmitočet je spojitá veličina. Protože chceme pro výpočet spektra použít také číslicový počítač, tak musíme také spektra diskretizovat. Výsledkem je definice diskrétní Fourierovy
řady a diskrétní Fourierovy transformace, které jsou zobrazeny na obr. 6.1d.
Při ideálním vzorkování signálu se spojitým časem jsme dostali výsledek:
sid (t) =
∞
X
s[nT ] δ(t − nT ).
(6.1)
n=−∞
Tomuto vztahu odpovídá spektrální funkce:
Sid (ω) =
∞
1 X
S(ω − kωvz ),
T k=−∞
když sid (t) ⇔ Sid (ω),
ωvz =
(6.2)
2π
T
a fvz =
1
T
.
Definiční vztah Fourierovy transformace po dosazení sid (t) za s(t) ze vztahu (6.2), má
tvar:
Z∞
F (ω) =
s(t)e−jωt dω
−∞
=
Z∞ X
∞
−∞ n=−∞
s[nT ]δ(t − nT ) e−jωt dt.
(6.3)
60
Obrázek 6.1: Fourierovská reprezentace spojitého a diskrétního signálu: a) vyjádření
Fourierovy transformace; b) reprezentace pomocí Fourierovy řady;
c) reprezentace Fourierovy transformace diskrétního signálu; d) vyjádření
spektra pomocí diskrétní Fourierovy transformace (plné kroužky) a
pomocí diskrétní Fourierovy řady (plné i prázdné kroužky).
61
V případě stejnoměrné konvergence řady platí:
Z∞
∞
X
F (ω) =
s[nT ]
n=−∞
δ(t − nT ) e−jωt dt.
−∞
Použijeme vzorkovací vlastnost Diracova impulzu:
Z∞
δ(t − nT )e−jωt dt = e−jωnT .
−∞
Potom:
∞
X
F (ω) =
s[nT ]e−jωnT .
(6.4)
n=−∞
Vlivem jádra e−jωnT je funkce (6.4) periodická s periodou 2π. Na základě rovnice (6.4)
můžeme definovat Fourierovu transformaci diskrétního signálu:
−jω
S̃(e
) =
∞
X
s[n]e−jωn ,
n=−∞
1
s[n] =
2π
Zπ
S̃(e−jω )ejωn dω.
(6.5)
−π
V anglické literatuře je tato definice označována jako DTFT (Discrete Time Fourier Transform).
62
6.2
6.2.1
Diskrétní Fourierova transformace
Definice diskrétní Fourierovy transformace
Diskrétní Fourierovu transformaci (Discrete Fourier Transform, DFT) zavedeme prostřednictvím diskrétní Fourierovy řady. Je to z toho důvodu, že v opačném případě lze
obtížně vysvětlit některé vlastnosti DFT.
Diskrétní Fourierova transformace přiřazuje konečnou posloupnost délky N jiné konečné posloupnosti délky N . Nalezení obrazu DFT S[k] posloupnosti s[n] může být rozděleno do tří kroků:
1. Posloupnosti s[n] délky N přiřadíme periodickou posloupnost s̃[n] s periodou N :
(6.6)
s̃[n] = s[modN (n)].
2. Nalezneme obraz diskrétní Fourierovy řady:
S̃[k] =
N
−1
X
2π
s̃[n]e−jk N n ,
k = 0, 1, · · · , N − 1.
n=0
3. Z periodické posloupnosti S̃[k] vybereme jednu periodu o délce N :
S[k] = RN [k].S̃[k].
Z výpočtového hlediska je výraz RN [k] nadbytečný, a proto se v literatuře často vynechává.
To ovšem může vést k mylnému dojmu, že obraz DFT je periodický. V literatuře se
objevuje tato definice přímé a zpětné diskrétní Fourierovy transformace:
S[k] =
N
−1
X
2π
s[n] e−jk N n ,
k = 0, 1, · · · , N − 1.
(6.7)
n=0
N −1
2π
1 X
S[k] ejk N n ,
s[n] =
N k=0
n = 0, 1, · · · , N − 1.
(6.8)
6.3
63
Vlastnosti diskrétní Fourierovy transformace
Uvažujme posloupnosti o konečné délce N , označené jako s1 [n] a s2 [n] a jejich obrazy
DFT o délce N , označené jako S1 [k] a S2 [k], tj. platí:
s1 [n] ⇔ S1 [k] a s2 [n] ⇔ S2 [k].
Linearita DFT
Obrazem lineární kombinace posloupností délky N je lineární kombinace obrazů:
as1 [n] + bs2 [n] ⇔ aS1 [k] + bS2 [k],
kde a, b jsou konstanty, a ∈ C, b ∈ C. (6.9)
Obraz reálné posloupnosti
Obraz S[k] reálné posloupnosti s[n] délky N vykazuje tuto vlastnost:
S[k] = S ∗ [N − k],
k = 0, 1, · · · , N − 1.
(6.10)
Obraz kruhové (cyklicky posunuté) posloupnosti
Obraz cyklicky posunuté posloupnosti RN [n] s[modN (n − m)], kde m je celé číslo,
tj. m ∈ Z je obraz:
2π
S[k]e−jk N m ,
2π
neboli RN [n]s[modN (n − m)] ⇔ S[k]e−jk N m .
(6.11)
Pro lineárně posunutou posloupnost žádná jednoduchá poučka neplatí.
6.3.1
Obraz kruhové (cyklické) konvoluce
Kruhová konvoluce je definována:
z[n] = s1 [n] ∗ s2 [n] = RN
N
−1
X
s̃1 [m]s̃2 [n − m].
m=0
Jejím DFT obrazem je:
z[n] ⇔ Z[k] = S1 [k].S2 [k].
(6.12)
64
6.3.2
Rychlá Fourierova transformace
Rychlá Fourierova transformace (RFT, Fast Fourier Transform, FFT) byla publikována v roce 1964 jako rychlý algoritmus pro výpočet koeficientů Fourierovy řady [COO65]. Jedná se však o rychlý algoritmus pro výpočet diskrétní Fourierovy transformace a
právě objevení FFT vedlo k vybudování teorie DFT.
Princip efektivity výpočtu FFT
Ukažme si, v čem spočívá rychlost výpočtu FFT. Vezměme konečnou posloupnost
s[n] o délce N = 4 a definujme její obraz DFT:
S[k] = RN [k]
N
−1
X
2π
s[n]e−jk N n ,
k = 0, 1, · · · , N − 1.
n=0
S[k] = R4 [k]
3
X
s[n]e−jk
2π
n
4
,
k = 0, 1, 2 a 3.
(6.13)
n=0
Nyní tento vztah rozepíšeme pro jednotlivé hodnoty k = 0, 1, 2 a 3:
k = 0:
S[0] = s[0] + s[1] + s[2] + s[3].
k = 1:
S[1] = s[0] + s[1]e−j 2 + s[2]e−jπ + s[3]e−j 2 .
k = 2:
S[2] = s[0] + s[1]e−jπ + s[2]e−j2π + s[3]e−j3π .
k = 3:
S[3] = s[0] + s[1]e−j 2 + s[2]e−j3π + s[3]e−j 2 .
π
3π
3π
(6.14)
9π
Z matematiky je znám Eulerův vztah:
ejx = cos x + j sin x.
(6.15)
65
Komplexní exponenciální funkce ejx je periodická, a tudíž lze provést přepočet některých členů:
3π
e−j 2
π
π
π
= e−jπ e−j 2 = (−1)e−j 2 = −e−j 2 .
e−j3π = e−j2π .e−jπ = 1 e−jπ = e−jπ = −1.
9π
e−j 2
6π
3π
π
(6.16)
π
= e−j 2 e−j 2 = e−j3π (−e−j 2 ) = e−j 2 .
Proto díky vlastnostem (6.16) můžeme rovnici (6.14) přepsat takto:
S[0] = s[0] + s[1] + s[2] + s[3].
π
π
S[1] = s[0] + s[1]e−j 2 − s[2] − s[3]e−j 2 .
S[2] = s[0] − s[1] + s[2] − s[3].
(6.17)
π
π
S[3] = s[0] − s[1]e−j 2 − s[2] − s[3]e−j 2 .
Sdružíme-li některé členy v rovnicích (6.17) a změníme pořadí členů:
S[0] = s[0] + s[2] + s[1] + s[3].
π
S[1] = s[0] − s[2] + {s[1] − s[3]}e−j 2 .
S[2] = s[0] + s[2] − {s[1] + s[3]}.
(6.18)
π
S[3] = s[0] − s[2] − {s[1] − s[3]}e−j 2 .
66
Vidíme, že rovnice (6.18) mají podstatně jednodušší tvar než rovnice (6.14). Pro získání
π
všech čtyř spektrálních složek potřebujeme pouze vypočítat činitel e−j 2 = cos π2 −j sin π2 =
−j. Na obrázku 6.2 vidíme základní operace sečítání a násobení pro grafy signálových toků,
které použijeme pro grafické zobrazení výpočtu algoritmu FFT.
Obrázek 6.2: Algebraické operace vyjádřené pomocí grafů signálových toků.
Pomocí symbolů na obr. 6.2 zapíšeme rovnice (6.18) do grafu signálových toků na obr.
6.3.
Obrázek 6.3: Rovnice (6.18) vyjádřené v grafu signálových toků.
Abychom dostali hodnoty spektra S[k], k = 0, 1, 2, 3 v přirozeném pořadí, tak
musíme vstupní posloupnost s[0], s[1], s[2] a s[3] seřadit do tzv. bitově-reverzovaného
pořadí: s[0], s[2], s[1] a s[3]. Zapíšeme-li indexy vstupní posloupnosti v lineárním tvaru,
tak dostaneme:
67
(0)10 → (00)2
(1)10 → (01)2
(2)10 → (10)2
(3)10 → (11)2
Jestliže zapíšeme lineární číslo v opačném pořadí, dostaneme indexy v bitově-reverzovaném
pořadí:
00 → 0
10 → 2
01 → 1
11 → 3
V případě N = 8 bude bitově-reverzovaná posloupnost indexů vypadat takto:
0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7.
2π
Činitel e−j N r se někdy v grafu signálových toků vyznačuje jako:
2π
WNr = (e−j N )r .
(6.19)
Na obr. 6.4 vidíme výsledný algoritmus typu DIT (Decimation in Time). Název vyplývá z toho, že posloupnost vstupních dat dělíme na dvě posloupnosti, jedna má členy se
sudými indexy a druhá s lichými indexy. Tyto dílčí posloupnosti dále dělíme stejným způsobem, až nám v případě, že N je mocninou o základu 2, zůstanou dvoubodové základní
posloupnosti. Základní dvoubodová DFT operace se nazývá motýlek (butterfly). Existují
také základní motýlky pro 3 bodové nebo 5 bodové posloupnosti apod. Největší efektivitu
výpočtu má však algoritmus, když N je mocninou 2, jako např. 16 = 24 , 1024 = 210
apod. Na obr. 6.5 je ukázán příklad algoritmu FFT pro N = 16.
68
Obrázek 6.4: Algoritmus FFT o základu 2 typu DIT pro N = 4.
Kromě velké skupiny algoritmů FFT typu DIT, existuje i druhá velká skupina algoritmů, která je označovaná jako algoritmy typu DIF (Decimation In Frequency). Vstupní
datová posloupnost se nedělí podle sudých a lichých indexů, ale přímo na dvě poloviny.
Dílčí posloupnosti se opět dělí na poloviny atd. Porovnání základních operací (motýlku)
pro algoritmy typu DIT a DIF je vidět na obr. 6.6.
Chceme-li zjistit úsporu počtu součinů a součtů při výpočtu FFT vůči přímému výpočtu DFT, tak určíme počet operací motýlků v jednotlivých stupních. Uvažujme algoritmus
FFT o základě 2. Protože násobení je při realizaci časově náročnější, tak budeme srovnávat počet součinů. Počet stupňů algoritmu FFT je m = log2 N , v každém stupni je N/2
motýlků a motýlek obsahuje v průměru 1 součin. Celkem operací násobení je u algoritmu
FFT m.N/2. Přímý výpočet DFT obsahuje podle definičního vztahu N 2 součinů. Úsporu
počtu operací můžeme vyjádřit pomocí činitele:
αm =
2N
N2
2N
=
=
.
m
log2 N
m N2
(6.20)
Obrázek 6.5: Algoritmus FFT o základu 2 typu DIT pro N = 16.
69
70
Obrázek 6.6: Základní 2bodová operace DFT (motýlek, butterfly): a) pro algoritmus
typu DIT; b) pro algoritmus typu DIF.
Obrázek 6.7: Porovnání počtů součinů potřebných pro DFT a pro algoritmus FFT.
7
71
Náhodné signály, náhodné veličiny a náhodné procesy
Signály, které jsme až dosud probírali, byly prvky množiny determinovaných signálů.
Tyto signály byly jednoznačně definované a popsané rovnicemi s konstantními parametry. Každá rovnice signálu nám umožňovala vypočítat okamžitou hodnotu signálu s(t)
v libovolném okamžiku t v minulosti či v budoucnosti vhledem k danému počátku časové
osy.
Některé signály mají zjevně nepravidelné chování a pokusy o jejich deterministický
popis zřejmě nebudou příliš úspěšné. Příkladem signálu s náhodným chováním je signál
hlásky ”s” , který znázorňuje obr. 1.2.
S deterministickými modely signálu se loučíme neradi. Teorie determinovaných signálů
je účinným nástrojem pro řešení řady praktických úloh. Výpočty jsou zpravidla rychlé a
poměrně snadné, dávají jednoznačný výsledek. Jsou však úlohy, kde s teorií determinovaných signálů nevystačíme. Jednou z úloh je určení pravděpodobnosti chybného přenesení
znaku při dálkovém přenosu dat. Důvodem nepoužitelnosti teorie determinovaných signálů
je výrazně nepravidelné chování rušivého signálu. Jinou úlohou je určení charakteristik
filtru pro zpracování směsi užitečného náhodného signálu a rušivého náhodného signálu.
Cílem je dosažení maximálního poměru výkonu užitečné složky a výkonu náhodné složky
zpracovávaného signálu. Zde je příčinou nepoužitelnosti teorie determinovaných signálů
náhodný charakter jak užitečné, tak i rušivé složky zpracovávaného signálu. Obě shora
uvedené úlohy se mohou stát řešitelnými, když jako matematické modely náhodných signálů použijeme náhodné procesy.
7.1
Definice náhodného procesu se spojitým časem
Při definici náhodného procesu můžeme s výhodou využít pojmu náhodná veličina.
Systém {ξt } náhodných veličin ξt , definovaných pro všechna t ∈ R se nazývá náhodný
proces (continuous - time random process) a označuje se ξ(t). Veličina t přitom zpravidla
označuje čas.
Jak mohou být definovány náhodné veličiny ξt , vytvářející náhodný proces? Musí být
plně popsány nejen každá zvlášť, ale definovány musí být i vztahy a souvislosti mezi nimi.
Chování jednotlivých náhodných veličin by mohlo být popsáno distribuční funkcí nebo
funkcí hustoty rozdělení pravděpodobnosti. Vzájemné závislosti jsou popsány vícerozměrnými distribučními funkcemi, korelačními funkcemi nebo údaji o statistické nezávislosti.
Náhodný proces může být definován například takto: Náhodný proces ξ(t) má normální rozdělení se střední hodnotou nula a směrodatnou odchylkou σ = 4 pro všechna
t ∈ R, přitom hodnoty náhodného procesu v libovolných dvou různých časových okamžicích jsou nezávislé.
72
7.2
Množina realizací
Pro náhodný proces bývá kromě označení ξ(t) používáno také označení typu ξt (ω) nebo
ξ(t, ω), kde ω je prvek množiny Ω náhodných jevů. Pro fixní ω je ξ(t, ω) tzv. realizací nebo
trajektorií náhodného procesu. Je to obyčejná determinovaná funkce reálné proměnné t,
její analytické vyjádření pro všechna reálná t je však zpravidla obtížné vzhledem k nepravidelnosti jejího průběhu. Pro výklad si nejprve zvolíme realizace se zcela pravidelným
průběhem.
Poznámka: Zde symboly ω a Ω výjimečně neoznačují úhlové kmitočty, jak je jinak obvyklé.
Obrázek 7.1: Realizace náhodného procesu se spojitým časem s normálním rozdělením
pravděpodobnosti.
Uvažujme přenos zprávy vyjádřené abecedou obsahující právě 4 prvky A, B, C a D.
Prvkům A, B, C a D, vyskytujícím se náhodně, odpovídají po řadě signály cos t, sin t,
− cos t a − sin t. Při dostatečně dlouhém trvání těchto signálů můžeme na funkce cos t, sin t,
− cos t a − sin t nahlížet jako na realizace náhodného procesu, matematického modelu
signálu, sloužícího k přenosu zprávy. Zde Ω = {A, B, C, D}. Např. pro ω =B je ξ(t) =
ξ(t, B) = sin t. Zde byl počet realizací konečný. Průběhy všech realizací spolu s pravděpodobnostmi jejich výskytu dávají úplný popis náhodného procesu.
Častěji se setkáváme s případy, kdy počet realizací je nekonečný. Tak tomu je zejména
u modelů šumových signálů. I tehdy je však představa vyjádření náhodného procesu
73
množinou realizací velmi užitečná a slouží nám k zavedení řady důležitých pojmů, funkcí a
veličin charakterizujících náhodný proces. Nástroje matematické statistiky nám umožňují
učinit si alespoň přibližnou představu o chování náhodného procesu i v případě, že je
znám průběh jen části realizací.
Úseky pěti realizací náhodného procesu graficky znázorňuje obr. 7.1. Proces je nízkofrekvenční s mezním kmitočtem asi 0,018 Hz.
Na grafické či jiné záznamy náhodných signálů nahlížíme jako na realizace náhodných
procesů.
7.3
Distribuční funkce a funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti
Pro pevné t se náhodný proces ξ(t) stává náhodnou veličinou. To nám umožňuje
definovat distribuční funkci (distribution function) náhodného procesu obdobně, jako byla
definována distribuční funkce náhodné veličiny.
Distribuční funkci F (x, t) náhodného procesu ξ(t) definujeme vztahem:
F (x, t) = P {ξ(t) < x},
(7.1)
kde P {ξ(t) < x} označuje pravděpodobnost toho, že náhodný proces ξ(t) v okamžiku t
nabude hodnoty menší než x.
Odhad F̂ (x, t) hodnoty funkce F (x, t) je pro pevný okamžik t dán vztahem:
F̂ (x, t) =
qx,t
,
n
(7.2)
kde qx,t je počet případů, kdy xr (t) < x, n je celkový počet realizací, které máme k
dispozici a r je index, představující identifikační číslo realizace.
Na základě distribuční funkce můžeme snadno definovat funkci hustoty rozdělení pravděpodobnosti (probability density function) náhodného procesu.
Existuje-li parciální derivace:
f (x, t) =
δF (x, t)
,
δ(x)
(7.3)
nazývá se tato funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu.
Jsou zavedeny i vícerozměrné distribuční funkce a vícerozměrné funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti. Jako příklad nám může posloužit dvourozměrná hustota p(x1 , x2 ,
t1 , t2 ). Hodnota x1 se vztahuje k okamžiku t1 , hodnota x2 odpovídá okamžiku t2 . Náhodný
proces se nazývá normální, je-li jeho libovolné rozdělení normální.
74
7.4
Momenty
Popis náhodného procesu pomocí momentů je zpravidla méně úplný, než popis pomocí distribučních funkcí či funkcí hustoty rozdělení pravděpodobnosti, zato ale bývá
jednodušší. Výhodou je také snazší stanovení odhadů momentů.
Každá možná hodnota x náhodného procesu ξ(t) v okamžiku t je násobena elementární
pravděpodobností p(x, t)dx. Součet (integrál je v podstatě součet) těchto příspěvků pak
dává průměrnou hodnotu, kterou nazýváme střední hodnota (mean, first moment) a
označujeme a(t):
Z∞
a(t) =
xf (x, t) dx.
(7.4)
−∞
Odhad â(t) střední hodnoty a(t) můžeme stanovit jako aritmetický průměr z hodnot
jednotlivých realizací v okamžiku t.
Teoretická hodnota střední hodnoty náhodného procesu, který zadává obr. 7.1, je rovna
nule. Odhad z pouhých čtyř realizací bude velmi nespolehlivý.
Disperze neboli rozptyl (variance, dispersion) D(t) slouží k hodnocení rozptýlenosti
hodnot náhodného procesu v okamžiku t kolem střední hodnoty a(t). Může být zavedena
vztahem
Z∞
D(t) =
[x − a(t)]2 f (x, t) dx.
(7.5)
−∞
Směrodatnou odchylku δ(t) zavádíme, stejně jako u náhodných veličin, jako odmocninu
z disperze:
σ(t) =
7.5
p
D(t).
(7.6)
Stacionarita
Přibližně lze říci, že stacionární náhodný proces (stationary random process) je proces
se stálým chováním. Na obrázku 7.2 je znázorněno několik realizací náhodného procesu,
který patrně není procesem stacionárním. Zdá se totiž, že jak střední hodnota, tak i
směrodatná odchylka procesu se mění s časem. Obrázek 7.1 průběhem realizací náhodného
75
procesu naznačuje, že by snad mohlo jít o stacionární náhodný proces. Moc jisti si tím
ovšem být nemůžeme, počet realizací je malý a doba jejich pozorování je příliš krátká.
Přesněji formulováno, stacionární náhodný proces je takový náhodný proces, jehož
libovolné statistické charakteristiky nejsou závislé na libovolném přemístění počátku časové osy. Tato vlastnost se projevuje zjednodušením funkcí popisujících náhodný proces.
Funkcím a veličinám F (x, t), f (x, t), a(t), D(t) a σ(t) po řadě odpovídají veličiny
F (x), f (x), a, D a σ. Dále můžeme v případě zkoumání stacionárního náhodného procesu pro libovolné t0 reálné psát: f (x1 , x2 , t1 , t2 ) = f (x1 , x2 , t1 + t0 , t2 + t0 ). Při označení
τ = t2 −t1 , můžeme funkci f (x1 , x2 , t1 , t2 ) nahradit funkcí f (x1 , x2 , τ ). I v tomto případě
je zjednodušení popisu náhodného procesu dobře patrné.
7.6
Ergodicita
Ani vlastnost stacionarity náhodného procesu nás neosvobodila od nutnosti zpravidla
nesnadného získávání početné množiny realizací v případě, že chceme na základě experimentu odhadovat funkce nebo veličiny popisující náhodný proces. Proto často zavádíme
předpoklad ergodicity náhodného procesu. Ergodický náhodný proces (ergodic process)
se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti, stejné chování. To nám pak umožňuje při zkoumání náhodného procesu odhadovat funkce a veličiny
náhodný proces popisující z průběhu jediné, a to libovolné realizace.
Obrázek 7.2: Nestacionární náhodný proces se spojitým časem.
76
Nejprve si povšimněme odhadu střední hodnoty. U ergodického náhodného procesu
můžeme odhad získat jako aritmetický průměr z posloupnosti vzorků realizace:
K
1 X
x(ti ),
â(t) =
K i=1
(7.7)
kde K je počet vzorků a x(ti ) je i-tý vzorek, hodnota realizace v okamžiku ti .
Lze také použít odhadu využívajícího všech hodnot realizace x(t) v určitém intervalu:
1
â =
T
ZT
x(t) dt.
(7.8)
0
Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší. Fyzikálně vzato je odhad vlastně
stejnosměrnou složkou realizace x(t) náhodného procesu ξ(t).
Obdobně lze odhadnout i disperzi D:
1
D̂ =
T
ZT
[x(t) − a(t)]2 dt.
(7.9)
0
√
Směrodatná odchylka σ = D má u procesů s nulovou stejnosměrnou složkou význam
efektivní hodnoty procesu. Může být v tomto případě měřena voltmetry RMS (root mean
square, true root mean square). Tyto voltmetry udávají pravdivou efektivní hodnotu i při
neharmonickém průběhu napětí.
7.7
Spektrální hustota výkonu náhodného procesu se spojitým
časem
Vyjádření determinovaných signálů funkcemi kmitočtu se plně osvědčilo. Je proto
přirozené, že byla snaha popsat i náhodné procesy jako funkce kmitočtu. Hledání harmonických složek náhodného procesu není perspektivním přístupem. Amplitudy a počáteční
fáze složek stanovených z jednoho úseku realizace budou mít jiné hodnoty než amplitudy
a počáteční fáze stanovené z jiného úseku. Užitečným nástrojem pro popis stacionárního
nebo ergodického náhodného procesu v kmitočtové oblasti se ukázala být spektrální hustota výkonu (Power Spectral Density, PSD). Budeme ji označovat G(ω). Omezíme se na
případ procesů stacionárních ergodických.
77
Obrázek 7.3: Měření spektrální hustoty výkonu.
Střední výkon P náhodného procesu, připadající na pásmo úhlových kmitočtů
< ω1 , ω2 > může být při platnosti nerovnice 0 < ω1 < ω2 stanoven pomocí integrálu:
Zω2
P =
ω1
−ω1
Zω2
Z
G(ω) dω = 2 G(ω) dω.
G(ω) dω +
−ω2
(7.10)
ω1
Spektrální hustota výkonu může být definována i jinak, například jako dvojnásobek
námi zavedené hustoty s tím, že je používána jen v oblasti kladných úhlových kmitočtů.
V praktických aplikacích se navíc místo úhlových kmitočtů používají obyčejné kmitočty
a příslušná spektrální hustota výkonu se pak udává ve wattech na hertz.
Průběh spektrální hustoty výkonu je významným nástrojem popisu náhodných procesů. Nejznámějším případem je tzv. bílý šum, u kterého je spektrální hustota výkonu
konstantní, G(ω) = G.
Abychom si přiblížili fyzikální význam spektrální hustoty výkonu, seznámíme se s nejjednodušším principem jejího měření. Představme si, že máme k dispozici přeladitelnou
pásmovou propust se středním kmitočtem ωc , s šířkou pásma propustnosti b a s modulem
přenosu rovným jedné v pásmu propustnosti. Přivedeme-li na vstup filtru zkoumaný náhodný proces, můžeme na výstupu filtru naměřit výkon P (b, ωc ) rovný hodnotě výrazu
2G(ωc )b, až na případnou malou chybu způsobenou tím, že uvnitř pásma propustnosti
není spektrální hustota výkonu konstantní. Přibližná hodnota spektrální hustoty výkonu
je pak dána vztahem:
G(ωc ) =
P (b, ωc )
.
2b
(7.11)
78
V současné době se pro odhad spektrální hustoty výkonu často používá číslicové zpracování signálu a diskrétní Fourierova transformace. V Matlabu je k dispozici standardní
funkce psd.
8
8.1
79
Transformace Z a její vlastnosti
Definice jednostranné transformace Z
Laplaceova transformace umožňuje zobrazit spojité signály jako funkci komplexní
proměnné p = σ + jω v obrazovém prostoru roviny p. Používá se často pro řešení integrodiferenciálních rovnic a je známa operátorová metoda pro řešení přechodných dějů u
elektrických obvodů.
Pro oblast diskrétních signálů se používá transformace Z. V teoretických úlohách se
převážně používá dvojstranná transformace Z, ale pro praxi má větší význam jednostranná transformace Z:
Nechť {s[n]}, n = P
0, 1, 2, · · · je posloupnost komplexních čísel a nechť je definován
∞
−n
| je konvergentní}. Symbol C značí množinu všech
obor O1 = {z ∈ C,
n=0 |s[n]z
komplexních čísel. Potom zobrazení:
S(z) = Z{s[n]} =
∞
X
s[n]z −n ,
z ∈ O1 , s[n] ⇔ S(z),
(8.1)
n=0
se nazývá jednostrannou transformací Z posloupnosti s[n]. Oblast konvergence je určena
poloměrem konvergence R, pro který platí |z| > R.
Nechť obraz S(z) je racionální lomenou funkcí, tj. jedná se o poměr dvou polynomů
s proměnnou z:
S(z) =
P (z)
.
Q(z)
(8.2)
Kořeny polynomu P (z) = 0, neboli S(z) = 0 se nazývají nulové body a značíme je
s nulovým indexem, např. z0 . Kořeny polynomu Q(z) = 0, neboli 1/S(z) = 0, se nazývají
póly. Oblast konvergence je ohraničena póly. Značíme je křížkem, např. zx .
Uvažujme posloupnost jednotkového skoku s[n] = σ[n] a chceme určit její obraz
v transformaci Z:
S(z) =
∞
X
n=0
= 1+
s[n]z
−n
=
∞
X
1.z −n
n=0
z
1
1
1
1
+ 2 + 3 + ··· =
.
1 =
z z
z
z−1
1 − (z)
(8.3)
80
Činitel q = z1 je kvocient, kterým násobíme členy mocninné řady (8.3). Aby tato řada
konvergovala, tak musí platit |q| < 1. Z toho plyne oblast konvergence | z1 | < 1, neboli
|z| > 1. Oblast konvergence je na obr. 8.1a vyznačena šrafovanou oblastí. Nulový bod
obrazu (8.3) je z0 = 1 a pól zx = 1.
Obrázek 8.1: a) Oblast konvergence obrazu transformace Z jednotkového skoku,
b) oblast konvergence obrazu transformace Z reálné mocninné posloupnosti.
Nyní uvažujme reálnou mocninnou posloupnost s[n] = an σ[n], kde a je reálné číslo,
tj. a ∈ R. Obraz je roven:
S(z) =
∞
X
n
a σ[n]z
n=0
=
z
,
z−a
−n
∞
X
1
a
=
( )n =
z
1−
n=0
a
z
a
kde | | < 1, |z| > a.
z
(8.4)
Oblast konvergence obrazu (8.4) a jeho nulový bod a pól jsou vidět na obr. 8.1b.
8.2
Vlastnosti jednostranné transformace Z
Nechť existují diskrétní signály s1 [n] a s2 [n] a jejich obrazy:
s1 [n] ⇔ S1 (z),
|z| > Rs1 ,
poloměr Rs1 určuje oblast konvergence O1 ,
s2 [n] ⇔ S2 (z),
|z| > Rs2 ,
poloměr Rs2 určuje oblast konvergence O2 .
(8.5)
8.2.1
81
Linearita
Jestliže a, b jsou komplexní konstanty, tj. a, b ∈ C, tak protože jednostranná transformace Z je lineární transformací, tedy platí:
Z{a.s1 [n] + b.s2 [n]} = aS1 (z) + bS2 (z).
|z| > O1 ∩ O2 .
(8.6)
Máme definovánu posloupnost sinusovky a chceme určit její obraz:
s[n] = sin[ωn],
ω ∈ R.
(8.7)
Obraz určíme s využitím Eulerova vztahu:
∞ jωn
∞
X
X
e − e−jωn
−n
sin[ωn].z =
z −n
S(z) =
2j
n=0
n=0
=
1
1
Z{ejωn } − Z{e−jωn }
2j
2j
1
=
2j
z
z
−
z − ejω z − e−jω
(8.8)
=
z sin ω
,
z 2 − 2z cos ω + 1
|z| > |e±jω |.
8.2.2
Zpoždění posloupnosti (posunutí doprava)
s[n − m] ⇔ S(z)z −m ,
|z| > Rs , m ∈ N.
(8.9)
Máme určit obraz transformace Z posloupnosti s[n − 2], když s[n] = eαn , α ∈ R. Podle
vlastnosti (8.9) je obraz roven:
Z{eα[n−2] } = z −2 Z{eαn } = z −2
z
1
=
,
α
z−e
z(z − eα )
|z| > eα .
(8.10)
82
8.2.3
Předsunutí posloupnosti (posunutí doleva)
m
s[n + m] ⇔ z S(z) −
m−1
X
s[i]z m−i ,
|z| > Rs .
(8.11)
i=0
Chceme určit obraz posloupnosti s[n + 2], když s[n] = eαn , α ∈ R:
Z{s[n + 2]} = z 2 S(z) − s[0]z 2 − s[1]z.
s[n] = eαn , s[0] = 1, s[1] = eα , Z{eαn } =
Z{s[n + 2]} = z 2
z
− z 2 − eα z
z − eα
= z2(
8.2.4
z
.
z − eα
z
z, e2α
α −1
−
1
−
e
z
)
=
,
z − eα
z − eα
(8.12)
|z| > eα .
Derivace obrazu
−z
dS(z)
⇔ ns[n].
dz
(8.13)
Máme určit obraz posloupnosti s[n], když víme, že platí σ[n] ⇔
takto:
Z{n} = Z{n σ[n]} = −z
= −z
z
. Obraz určíme
z−1
d
Z{σ[n]}
dz
d z
z−1−z
z
= −z
=
,
2
dz z − 1
(z − 1)
(z − 1)2
|z| > 1.
(8.14)
8.2.5
83
Konvoluce diskrétních signálů
∞
X
w[n] = s1 [n] ∗ s2 [n] =
s1 [n − m]s2 [m]
m=−∞
⇔ W (t) = S1 (z)S2 (z).
(8.15)
Oblast konvergence O je dána průnikem oblastí O1 a O2 konvergence S1 (z) a S2 (z).
8.2.6
Sumace n hodnot posloupnosti
v[n] =
n
X
s[m] = σ[n] ∗ s[n] ⇔
m=0
8.2.7
z
S(z).
z−1
(8.16)
Součin s reálnou exponenciální posloupností
an s[n] ⇔ S
z a
,
a ∈ R, a 6= 0.
Jako příklad použití (8.17) určíme obraz posloupnosti n.an , když víme, že n ⇔
n
n
a n = a s[n] ⇔ S
=
z
a
z
a
z a
(8.17)
z
:
(z−1)2
=
az
,
2 =
(z − a)2
−1
|z| > a.
(8.18)
84
8.2.8
Věta o počáteční hodnotě
Jestliže s[n] = 0 pro n < 0, pak platí:
s[0] =
(8.19)
lim S(z),
z→∞
když obraz S(z) je transformací Z posloupnosti s[n]. Jako příklad vezměme obraz:
S(z) =
z−1
.
(z + 1)(z − 0.5)
(8.20)
Počáteční hodnota s[0] se vypočítá takto:
s[0] =
=
8.2.9
z−1
z→∞ (z + 1)(z − 0.5)
lim S(z) = lim
z→∞
1
z2
lim
z→∞ 12
z
1
− z12
z−1
z
= lim
(z + 1)(z − 0, 5) z→∞ (1 + z1 )(1 −
0,5
)
z
= 0.
(8.21)
Obraz reálné posloupnosti
Jestliže je posloupnost s[n] reálná, pak pro její obraz S(z)platí:
s[n] ⇔ S(z),
S(z ∗ ) = S ∗ (z),
kde symbol * znamená komplexní sdružení.
(8.22)
9
85
Signály přenosových soustav
9.1
Přenos v základním pásmu
V tomto odstavci se budeme zabývat číslicovými signály z hlediska jejich přenosu
v základním pásmu, tedy bez použití modulace a demodulace.
a) Binární signál
Příklad binárního signálu naleznete na obrázku 1.5. Nechť jsou u tohoto signálu jedničky zobrazeny kladnými impulzy a nuly impulzy zápornými. Pak na obrázku znázorněný
signál představuje zprávu 01000110. Tento typ signálu je vhodný pro dálkové přenosy, protože při stejném počtu jedniček a nul ve zprávě má signál nulovou stejnosměrnou složku.
Méně výhodné jsou jeho spektrální vlastnosti. Strmé hrany impulzů znamenají velkou
šířku spektra. Proto se v praxi většinou signálové prvky tvarují speciálními filtry.
b) Čtyřstavový signál
Snaha zvýšit přenosovou rychlost nás přivedla k používání vícestavových signálů. Příklad čtyřstavového signálu naleznete na obrázku 9.1.
V daném případě jsou pomocí dvou výšek impulzů a dvou polarit vyjádřeny dvojice
bitů (dibity) 00, 01, 10 a 11. Přenášená zpráva má znění 0110001110 a obsahuje celkem
deset bitů. Kdybychom chtěli použít binární signál, stejnou dobu trvání zprávy a stejný
celkový počet bitů, museli bychom pracovat s poloviční šířkou impulzů. Poloviční šířka
impulzů ale v podstatě znamená zdvojnásobení praktické šířky spektra oproti praktické
šířce spektra čtyřstavového signálu.
Pro praktickou šířku spektra není přímo určující přenosová rychlost, ale šířka impulzů
a s ní svázaná modulační rychlost (modulation rate):
M =
1
.
T
(9.1)
Udává se baudech (Bd). Modulační rychlost M je s přenosovou rychlostí R svázána vztahem:
R = M log2 Q,
(9.2)
kde Q je počet možných stavů signálu.
Uvedené pojmy a jednotky se v praxi mnohdy zaměňují, používají se nesprávně buď
z nedostatku pečlivosti, nebo dokonce i záměrně, s cílem vytvořit příznivější obraz prodávaného zařízení. Je však třeba říci, že např. v systémech s kódováním jisté názvoslovné
problémy objektivně existují.
86
Obrázek 9.1: Čtyřstavový signál.
Pro binární signál je modulační rychlost číselně rovna přenosové rychlosti.
Použití vícestavových signálů je limitováno úrovní rušení, protože při stejném středním
či špičkovém výkonu signálu jsou dva prvky lépe vzájemně rozeznatelné než 4 a více prvků.
Čtyřstavový signál v základním pásmu se označuje 2B1Q a používá se například na
účastnických přípojkách úzkopásmové ISDN.
c) Šířka spektra
Většina sdělovacích kanálů má charakter dolní propusti nebo pásmové propusti. Parametr, který nejjednodušším způsobem popisuje kmitočtovou charakteristiku dolní nebo
pásmové propusti, je šířka kmitočtového pásma propustnosti. Ta se nejčastěji definuje
pomocí bodů 3 dB poklesů na okrajích pásma propustnosti.
Šířka kmitočtového pásma propustnosti nedává úplný popis kmitočtových charakteristik kanálu, a proto neexistuje jednoznačný přesný vztah mezi šířkou pásma a modulační
rychlostí. Abychom získali alespoň přibližný vztah, budeme uvažovat ideální dolní propust
s šířkou pásma propustnosti B [Hz]. Šířka pásma propustnosti B je u dolní propusti rovna
hornímu meznímu kmitočtu fk propusti.
d) Modulační rychlost a šířka pásma
Jako binární signál si zvolíme signál NRZ dvojí polarity. Nejširší spektrum bude mít
signál při přenosu periodické binární posloupnosti 01010101. . . . . . Bude tvořeno lichými
harmonickými složkami s kmitočty:
fk = k f1 ,
k = 1, 3, 5, · · · ,
(9.3)
kde základní kmitočet
f1 =
1
.
2π
(9.4)
87
Zvolíme-li dobu trvání signálového prvku T dostatečně velkou, bude několik harmonických
složek binárního signálu ležet uvnitř kmitočtového pásma propustnosti. Odezva dolní
propusti na vysílaný binární signál bude blízká obdélníkovému průběhu.
Obrázek 9.2: Spektrum amplitud a přenosová funkce.
Postupným zvětšováním přenosové rychlosti (a tudíž zmenšováním doby T trvání signálového prvku) může být dosaženo stavu:
f1 < B < 3f1 .
(9.5)
V tomto případě bude odezvou ideální dolní propusti právě základní harmonická složka
budicího NRZ signálu. Tato odezva nám ještě umožňuje rozeznat, ve kterém časovém
intervalu byla vysílána nula a ve kterém byla vysílána jednička.
Obrázek 9.3: Signál před (hnědě) a za (zeleně) dolní propustí.
Další postupné zvyšování přenosové rychlosti nás dovede k meznímu stavu, kdy bude
f1 = B, tj., kdy bude modulační rychlost vázána na šířku pásma jednoduchým vztahem:
M = 2B.
(9.6)
88
Pokud bychom tuto hranici překročili, tj. pokud by bylo M > 2B, za dolní propustí by
již nebylo nic, přenos signálu a tudíž i přenos informace by skončil.
Vztah (9.6) je nutno chápat jako první přiblížení, i když mnohdy zcela postačující, při
základních systémových úvahách. U skutečných kanálů může být dosažitelná přenosová
rychlost ovlivněna úrovní rušení, nelineárním zkreslením, průběhem celé kmitočtové charakteristiky, zejména však nelinearitou fázové kmitočtové charakteristiky uvnitř pásma
propustnosti.
Přenos číslicových signálů sdělovacím kanálem je spojen s řadou navzájem provázaných
problémů. Jsou to zejména aditivní rušení, mezisymbolové přeslechy jako důsledek konečné
šířky pásma propustnosti kanálu, nedokonalost taktové synchronizace. My se při jejich
popisu zpočátku budeme snažit nahlížet na ně jako na problémy vzájemně izolované a
ukážeme si na obvyklá řešení prvních dvou problémů pro binární signál.
e) Signál a rušení
Začneme s problémem přenosu binárního signálu v základním pásmu (baseband channel) kanálem s rušením. Budeme předpokládat, že je znám tvar signálových prvků, a že je
známa jejich pozice na časové ose. Detekovat budeme každý prvek zvlášť (single-symbol
detection). Systém pro rozpoznávání binárních signálových prvků je znázorněn na obrázku 9.4. Předpokládáme, že signál x(t), signál na vstupu systému, je dán následujícím
vztahem:
x(t) = s(t) + n(t),
(9.7)
kde s(t) je užitečný signál a n(t) je rušivý signál, šum.
Obrázek 9.4: Příjem binárního signálu.
Signál x(t) je nejprve upraven filtrem. Ten má za úkol potlačit rušivou složku signálu
a zvýraznit užitečnou složku signálu tak, aby bylo usnadněno rozhodování v následující
části obvodu. Příklad signálu z výstupu filtru je nakreslen na obrázku 9.5. Je na něm
nakreslen časový úsek odpovídající době trvání T jednoho signálového prvku a modrými
křivkami několik průběhů signálu, tak jak by je zobrazil osciloskop s příslušně nastavenou
periodikou základnou. Žlutou čarou je znázorněna rozhodovací hladina h, svislou fialovou
čárkovanou čarou je vyznačen okamžik, ve kterém jsou odebírány vzorky.
89
Obrázek 9.5: Diagram oka.
Spínač (obr. 9.4) je spínán v okamžicích rozhodnutí a odebírá vzorky z[nT ] signálu
z(t) na výstupu filtru. T je doba trvání signálového prvku. Okamžiky rozhodnutí jsou
odvozovány z v příjímači obnoveného taktového signálu. V komparátoru jsou hodnoty
z[nT ] porovnávány s vhodně volenou hranicí h. Na obrázku jsou hodnoty z[nT ] dány
průsečíky modrých křivek se svislou fialovou čarou. Pro výstup komparátoru platí:
y[nT ] =
+1 pro z[nT ] > h a
−1 pro z[nT ] ≥ h.
(9.8)
Signál y[nT ] je tedy signálem binárním. Rozdělení hodnot signálu z[nT ] je popsáno
dvěma podmíněnými hustotami pravděpodobnosti, p(z|0) a p(z|1). Jejich příklad naleznete na obrázku 9.6, kde střední hodnota užitečného signálu při vysílání nuly byla –2V,
střední hodnota užitečného signálu při vysílání jedničky byla +2V a efektivní hodnota
šumu byla 1V. Žlutá čára vyznačuje rozhodnovací hladinu 0V. Je viditelné, že zelená
křivka zasahuje do oblasti vlevo od žluté čáry a červená křivka zasahuje napravo od žluté
čáry. Tyto dva jevy ukazují, že při přenosu bude občas docházet k chybám.
Pokud by užitečná složka přijímaného signálu byla signálem NRZ dvojí polarity a
aditivní rušivý signál měl charakter bílého šumu, byl by optimálním filtrem pro příjem
signálu filtr s impulzovou charakteristikou ve tvaru jednoho signálového prvku. Filtr je
znázorněn na obrázku 9.7.
Obrázek 9.8 znázorňuje zpracování zarušeného signálu. Průběhy odpovídající nezarušeným signálům jsou zakresleny černě čárkovaně. Rozhodovací úroveň je 0V, okamžiky
90
Obrázek 9.6: Podmíněné hustoty pravděpodobnosti.
Obrázek 9.7: Přizpůsobený filtr.
rozhodnutí jsou 0s, 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, . . . . Okamžiky rozhodnutí leží vždy na konci signálového prvku.
Je zřejmé, že pravděpodobnost chyby je velmi malá.
Poznamenejme, že obecně mají tzv. přizpůsobené filtry impulzovou charakteristiku
rovnu časově posunutému užitečnému signálu s obrácenou časovou osou. Časovým posunutím se zajišťuje, aby byl filtr kauzální. Vlastnosti přizpůsobených filtrů vyniknou u
užitečných signálů se složitým tvarem. Přizpůsobený filtr je možné s výhodou realizovat
jako číslicový.
Poznámka: Nejedná se o výkonové či impedanční přizpůsobení, ale o přizpůsobení
vlastností filtru zpracovávanému signálu.
e) Mezisymbolové přeslechy
Možné uspořádání sdělovací soustavy s vysílacím filtrem a přijímacím filtrem je nakresleno na obrázku 9.9. Datový signál je upraven vysílacím filtrem, aby se zmenšila šířka
spektra vysílaného signálu. Další lineární zkreslení přenášeného signálu může způsobit
91
Obrázek 9.8: Signály v přizpůsobeném filtru.
blok označený Vedení. Toto zkreslení může být i velmi výrazné a určující. My budeme
předpokládat, že vedení je idedálně širokopásmové, nebo že jsou kmitočtové charakteristiky skutečného bloku Vedení zahrnuty do charakteristik vysílacího nebo přijímacího
filtru. Úkolem přijímacího filtru je omezit vliv aditivního rušení.
Obrázek 9.9: Vysílací a přijímací filtr.
Přítomnost filtrů se projeví tím, že se doba trvání signálových prvků prodlouží. Jednotlivé signálové prvky se budou překrývat v čase, což v obecném případě způsobí, že
se v okamžicích rozhodnutí bude uplatňovat nejen aktuální signálový prvek, ale i doznívání či náběh sousedních signálových prvků. Odezvy sousedních signálových prvků se jeví
komparátoru (obr.9.9) jako signály rušivé a znehodnocují více či méně jeho rozhodování.
Pro zmíněné odezvy se používá název mezisymbolové přeslechy (intersymbol interference,
ISI). Filtrace se vzdát nechceme, nutným důsledkem je prodloužení signálových prvků.
Řeší se to tak, že se volí taková filtrace, při které se sice signálové prvky prodlužují,
ale právě v okamžicích rozhodování příslušných sousedním signálovým prvkům je jejich
odezva na aktuální signálový prvek rovna nule. Filtrace s touto vlastností pak nezavádí
mezisymbolové přeslechy.
92
Obrázek 9.10: Kmitočtová charakteristika filtru Raised-Cosine (RC).
Aby byl popis ideální filtrace jednoduchý, budeme předpokládat, že zdroj datového
signálu dodává signálové prvky ve formě jednotkových impulzů. Kaskáda filtru vysílače a
filtru přijímače představuje jediný pomyslný filtr s kmitočtovou charakteristikou popsanou
rovnicí:
HRC (Ω) = 1 pro 0 < Ω < 1 − α,
ω−1+α
π
HRC (Ω) = 0, 5 + 0, 5 cos
2α
HRC (Ω) = 0 pro Ω > 1 + α,
pro 1 − α < Ω < 1 + α,
(9.9)
kde Ω je normovaný úhlový kmitočet:
Ω=
ωT
.
π
(9.10)
Pomyslný filtr popsaný rovnicí (9.9) se nazývá Nyquistův filtr, nebo také, podle tvaru
kmitočtové charakteristiky, Raised-Cosine filtr (RC filtr). Symbol α označuje tzv. roll-off
faktor. Roll-off faktor nabývá hodnot od 0 do 1 a určuje plynulost přechodu kmitočtové
charakteristiky z pásma propustnosti do pásma nepropustnosti, a tím také rozšíření spektra. V USA se v buňkové telefonii používá hodnoty 0,35, v Japonsku 0,5. Hodnota 0,15 se
ve spojení s klíčováním 64QAM používá při kabelovém přenosu televizního signálu. Impulzová
charakteristika
Nyquistova
filtru
prochází
nulami
při
t = · · · , −2T, −T, T, 2T, 3T, 4T, · · · .
93
Obrázek 9.11: Impulzová charakteristika filtru RC.
Příklad modulové kmitočtové charakteristiky RC filtru je nakreslen na obrázku 9.10,
impulzová charakteristika je znázorněna na obrázku 9.11. Odezvu filtru na jeden signálový
prvek najdete na obrázku 9.12. Okamžiky rozhodnutí jsou zde označeny křížkem.
Zpravidla je optimální rozdělit filtrační účinek pomyslného filtru RC mezi vysílací filtr
a přijímací filtr. Pak mají filtr vysílače a filtr přijímače stejnou kmitočtovou charakteristiku popsanou vztahem:
HSRRC (Ω) =
p
HRC (Ω).
(9.11)
Filtr s touto kmitočtovou charakteristikou se nazývá square root raised-cosine filter (SRRC),
half-Nyquist, případně root Nyquist. Používá se mnoha sdělovacích soustavách.
Číslicová realizace obou filtrů je znázorněna na obrázku 9.13. Datový signál d[nT ] má
formu číslicového signálu. Vložením M −1 nul mezi každé dva prvky posloupnosti d[nT ] je
získána posloupnost d[mTvz ] , kde Tvz = T /M . Při rozumně velkých hodnotách M představuje signál d[mTvz ] sérii diskrétních jednotkových impulzů, násobených hodnotami prvků
posloupnosti d[nT ]. Tím jsou vytvořeny dobré podmínky pro konstrukci a činnost číslicového vysílacího filtru. Jeho impulzovou charakteristiku h[mTvz ] můžeme získat navzorkováním významné části impulzové charakteristiky analogového square root raised -cosine
filtru, navrženého pro modulační rychlost 1/T . Číslicový square root raised - cosine filtr
vyplní mezery mezi impulzy v signálu d[mTvz ] plynule se měnícími čísly. Posloupnost čísel
produkovaná vysílacím filtrem je přeměněna převodníkem Č/A na elektrický signál, který
94
Obrázek 9.12: Odezva na signálový prvek.
Obrázek 9.13: Číslicová filtrace.
je transportován dál. Za blokem Vedení je elektrický signál opět převeden na posloupnost
čísel převodníkem A/Č, pracujícím se vzorkovacím intervalem T . Číslicový signál je zpracován číslicovým filtrem přijímače. Signál na výstupu filtru je vzorkován se vzorkovacím
intervalem T . Tento postup vede ke zmenšení počtu prvků v posloupnosti a nazývá se
decimace (podvzorkování). Vzorky jsou vyhodnoceny číslicovým komparátorem, který na
svém výstupu dává binární posloupnost představující zprávu.
9.2
9.2.1
95
Signály pro přenos v přeloženém pásmu
Analogové modulace
Modulace je ovlivňování parametru nosného signálu signálem modulačním. V našem
případě je nosným signálem harmonický signál:
sc (t) = Sc cos(ωc t + ϕc ).
(9.12)
Signál má tři parametry. Amplitudu Sc , úhlový kmitočet ωc a počáteční fází ϕc . Tomu
odpovídají tři základní druhy modulací: amplitudová (AM), kmitočtová (FM) a fázová
(PM).
Modulační signál je signál v základním pásmu. Může to být například analogový signál z mikrofonu, televizní kamery, nebo číslicový signál v základním pásmu, například
signál NRZ dvojí polarity. Je-li modulačním signálem signál číslicový, používáme často
pro označení modulace slova klíčování (keying).
a) Amplitudová modulace
Amplitudově modulovaný signál s(t) je popsán rovnicí:
s(t) = [Sc + ∆Sf (t)] cos ωc t = Sc [1 + mf (t)] cos ωc t,
(9.13)
kde Sc je amplituda nosných kmitů,
∆S je amplitudový zdvih,
ωc je úhlový kmitočet nosných kmitů,
t je čas a
f (t) je modulační funkce, normovaný modulační signál,
f (t) =
smod (t)
,
max|smod (t)|
(9.14)
m je hloubka modulace,
m =
∆S
.
Sc
(9.15)
Hloubka modulace u obyčejné amplitudové modulace nabývá hodnot od nuly do jedné.
V praxi se udává v procentech.
96
Obrázek 9.14: Amplitudová modulace.
Pro vyšetření spektrálních vlastností amplitudově modulovaného signálu volíme za
modulační funkci funkci harmonickou:
f (t) = cos Ωt.
(9.16)
Skutečný modulační signál většinou harmonický nebude. S námi uvažovaným harmonickým signálem se však analýza stává jednoduchou. Její výsledky přitom budou do značné
míry obdobné výsledkům, které bychom získali s jinými modulačními signály. Pro modulovaný signál můžeme psát:
s(t) = Sc [1 + m cos Ωt] cos ωc t =
1
1
= Sc cos ωc t + mSc cos(ωc + Ω)t + mSc cos(ωc − Ω)t.
2
2
(9.17)
V uvažovaném případě tedy modulovaný signál obsahuje 3 harmonické složky: nosnou
(harmonickou složku), horní postranní (harmonickou) složku a spodní postranní (harmonickou) složku. Šířka spektra amplitudově modulovaného signálu je rovna dvojnásobku
horního mezního kmitočtu spektra modulačního signálu. To platí i při neharmonickém
modulačním signálu.
Pro demodulaci amplitudově modulovaného signálu můžeme použít součinový demodulátor (viz obr. 9.16). Signál za násobičkou je popsán rovnicí:
97
Obrázek 9.15: Spektrum AM signálu.
Obrázek 9.16: Součinový demodulátor.
s(t) = {Sc [1 + mf (t)] cos ωc t} 2 cos ωc t =
= Sc [1 + mf (t)] + Sc [1 + mf (t)] cos 2ωc t.
(9.18)
Dolní propustí projde pouze signál:
s2 (t) = Sc [1 + mf (t)].
(9.19)
Po oddělení stejnosměrné složky dostáváme signál shodný, až na velikost, s původním
modulačním signálem.
Právě popsaná amplitudová modulace obyčejná se používá při rozhlasovém vysílání
na středních a dlouhých vlnách. Koncepčně je zastaralá, její úloha při rozvoji oboru však
byla obrovská. Levné přijímače umožnily rychlý rozvoj radiotechniky v jejich počátcích.
Amplitudová modulace má, oproti signálu v základním pásmu, dvojnásobnou šířku spektra. Ještě horší je, že většina výkonu modulovaného signálu připadá na signál nosný, který
98
se u AM přímo nezúčasňuje přenosu informace. V důsledku toho jsou systémy s obyčejnou
AM málo odolné proti rušení.
Obyčejná amplitudová modulace se někdy označuje zkratkou DSB (double-sideband).
Částečným nebo úplným potlačením jednoho z postranních pásem nebo nosné můžeme
získat nové typy modulací, které již většinou nejsou čistě amplitudové. Podnětem pro
zavádění nových modulací byla snaha zúžit spektrum modulovaného signálu a přerozdělit
výkon tak, aby jeho podstatná část ležela na postranních pásmech, protože nosná složka
se u AM přenosu informace nezúčastňuje.
Modulace SSB (single-sideband) má jen jedno postranní pásmo. Pro případ harmonického modulačního signálu můžeme psát pro modulovaný signál:
s(t) = Sc cos ωc t + S1 cos(ωc + Ω)t.
(9.20)
Modulace SSB-SC (single-sideband suppressed carrier) má jedno postranní pásmo a
úplně potlačenou nosnou:
s(t) = S1 cos(ωc + Ω)t.
(9.21)
Šířka spektra modulovaného signálu je stejná, jako šířka spektra signálu modulačního. Veškerý výkon připadá na složky nesoucí informaci. Modulace SSB je tedy relativně
výhodná, jak z hlediska šířky spektra, tak i z hlediska odolnosti vůči šumu. Operace
realizovaná up-convertorem je v podstatě také modulací SSB.
b) Kmitočtová modulace
Při kmitočtové modulaci (frequency modulation, FM) je modulačním signálem řízen
okamžitý kmitočet modulovaného signálu. Kmitočtová modulace se používá při rozhlasovém vysílání. Šířka spektra je několikrát větší než šířka spektra modulačního signálu.
Smiřujeme se s tím, protože kmitočtová modulace má velmi dobrou odolnost proti vlivu
rušivých signálů. Pod jistou prahovou hodnotou poměru signál šum, asi 12 dB, však kvalita
výstupního signálu demodulátoru prudce klesá. Říká se tomu prahový jev. Kmitočtová
modulace se také používá při přenosu televizního signálu přes družici. I o kmitočtové
modulaci lze říci, že je koncepčně zastaralá a je na ústupu.
9.2.2
Číslicové modulace
a) Amplitudové klíčování
Amplitudové klíčování se označuje zkratkou ASK (Amplitude Shift Keying). Amplitudové klíčování nepatří mezi moderní modulační metody. Do skript je zařazeno především
99
z metodických důvodů, ušetří nám práci při zkoumání kmitočtového klíčování. Nosný
signál zapíšeme ve tvaru:
sc (t) =
1
1
Sc exp(jωc t) + Sc exp(−jωc t).
2
2
(9.22)
Při modulačním signálu typu unipolárního NRZ zobrazujícího posloupnost 010101. . . .
a orientovaného jako sudá funkce budou koeficienty Fourierovy řady tohoto periodického
signálu dány vztahem (2.19):
ck = D
ϑ
ϑ
T
2π T
1
π
sinc(kω1 ) = 1
sinc(k
) = sinc(k ).
T1
2
2T
2T 2
2
2
(9.23)
Obrázek 9.17: ASK - časové průběhy.
Modulační signál g(t) proto může být zapsán vztahem:
∞
X
1
π
g(t) =
sinc(k ) exp(jkω1 t).
2
2
k=−∞
Klíčovaný signál lze zapsat jako součin:
(9.24)
100
s(t) = g(t)sc (t).
(9.25)
Po dosazení z (9.24) a (9.22) za g(t) a sc (t) do (9.25) dostáváme:
∞
X
1
π
Sc
s(t) =
sinc(k ) exp[j(ωc + kω1 )t] +
4 k=−∞
2
∞
X
1
π
+
Sc
sinc(k ) exp[j(ωc − kω1 )t].
4 k=−∞
2
(9.26)
Praktická šířka spektra signálu ASK v Hz je číselně rovna přenosové rychlosti v bitech
za sekundu.
Obrázek 9.18: Spektrum ASK.
b) Kmitočtové klíčování
Kmitočtové klíčování se označuje se zkratkou FSK (Frequency Shift Keying). Signálové prvky jsou tvořeny úseky délky T kosinusovky. Nule může odpovídat signálový prvek
s vyšším kmitočtem, jedničce signálový prvek s nižším kmitočtem. Číselně se praktická
šířka spektra přibližně rovná přenosové rychlosti zvětšené o rozdíl kmitočtů obou signálových prvků. Vyplývá to z pomocné představy, že kmitočtově klíčovaný signál přenášející
posloupnost 010101. . . . je v podstatě součtem dvou amplitudově klíčovaných signálů.
Na rozhraních signálových prvků mohou vznikat ostré špičky a strmé hrany. Takovýto jev je provázen rozšířením spektra klíčovaného signálu. Ostré přechody lze odstranit
vhodnou volbou kmitočtů nuly a jedničky.
101
Obrázek 9.19: Kmitočtové klíčování.
V praxi se používá i vícestavové kmitočtové klíčování. Pro demodulaci signálu FSK
můžeme použít dvojici pásmových propustí následovanou dvojicí amplitudových demodulátorů (ty mohou být i obálkové, tj. nekoherentní) a obvodu pro porovnávání velikosti
výstupních signálů demodulátorů.
c) Fázové klíčování
Fázové klíčování (PSK, Phase Shift Keying) je v praxi používáno často. Budeme se
mu proto věnovat podrobněji.
Dvoustavové fázové klíčování BPSK (Binary Phase Shift Keying), klíčování reverzací
fáze, patří k základním druhům klíčování. Označuje se také 2PSK. Nula je vyjádřena
signálovým prvkem:
s0 (t) = −Sc cos ωc t = Sc cos(ωc t + π),
t ∈ h0, T i,
(9.27)
kde t je čas, Sc je amplituda nosného harmonického signálu a ωc je úhlový kmitočet
nosného signálu. Signálový prvek má dobu trvání T . Jednička se vyjadřuje signálovým
prvkem:
s1 (t) = Sc cos ωc t,
t ∈ h0, T i.
(9.28)
102
Obrázek 9.20: Fázové klíčování.
Obrázek 9.21: Signály v součinovém demodulátoru.
Signálové prvky nuly a jedničky se liší znaménkem, proto jsou dobře rozlišitelné. Díky
tomu se BPSK vyznačuje dobrou odolností vůči rušení.
Modulovaný signál s(t) můžeme získat tak, že modulačním signálem NRZ nabývajícím
hodnot +1 a -1 násobíme nosnou Sc cos ωc t.
Příklad časových průběhů modulačního signálu f (t) a jemu odpovídajícího fázově klíčovaného signálu s(t) je uveden na obrázku 9.20 pro případ T = 0, 5 s a fc = 4 Hz. Na
některých rozhraních signálových prvků jsou patrné skokové změny počáteční fáze o π.
103
Obrázek 9.22: Spektrum signálu BPSK.
Praktická šířka spektra B je u BPSK, při jistém zjednodušení, číselně rovna modulační
rychlosti M i přenosové rychlosti R. Spektrum amplitud signálu BPSK je pro případ periodické datové posloupnosti 01010101010. . . . . , ta představuje nejhorší případ, znázorněno
na obrázku 9.22. Teoreticky je spektrum nekonečně široké. Šířka kmitočtového pásma
obsahujícího nezbytné složky je B = 1/T . Je zjevné, že spektrální složky modulovaného
signálu ležící mimo pásmo šířky B působí jako rušivé signály v kmitočtově sousedních
kanálech.
Obrázek 9.23: Příjem zarušeného signálu.
Demodulaci signálu BPSK nám může zajistit součinový demodulátor. Jeho schéma je
nakresleno na obrázku 9.16. Vstupním signálem je v tomto případě signál BPSK. Signál
za násobičkou je popsán rovnicí:
s1 (t) = f (t) cos(ωc t) 2 cos(ωc t) = f (t) + f (t) cos(2ωc t).
(9.29)
104
Za dolní propustí pak signál s2 (t) nabývá v ideálním případě v intervalech délky T
jedné ze dvou možných hodnot +1 a -1. Časové průběhy signálů za násobičkou a za dolní
propustí jsou nakresleny na obrázku 9.21. Na vstup demodulátoru byl v daném případě
přiveden modulovaný signál s z obrázku 9.20. V okamžicích označených ”x” můžeme
porovnávat hodnoty signálu s2 s rozhodovací hladinou h = 0, a tak zjišťovat, zda vyslaným
symbolem byla nula nebo jednička.
Příklad zašuměného signálu BPSK a odpovídajícího signálu za demodulátorem je nakreslen na obrázku 9.23.
105
Literatura
[BRI-74] BRIGHAM, E.O.: The Fast Fourier Transform. Englewood Cliffs, Prentice - Hall
1974.
[COO-65] COOLEY, J.W. - TUKEY, J.W.: An algorithm for the machine computation
of complex Fourier series. Mathematics of Computation, 19, pp. 297-301, April
1965.
[LEV-65] LEVIN, B.R.: Teorie náhodných procesů a jejich aplikace v radiotechnice. SNTL,
Praha 1965. ISBN 04-017-65
[LIM-90] LIM, J.S.: Two-dimensional Signal and Image Processing. Prentice Hall PTR,
Upper Saddle River, New Jersey 1990. ISBN 0-13-935322-4
[MIT-06] MITRA, S.K.: Digital Signal Processing - A Computer Based Approach. Fourth
Edition. McGraw Hill, Higher Education, New York 2010. ISBN 0-07-286546-6
[OPP-99] OPPENHEIM, A.V., SCHAFER, R.W., BUCK, J.R.: Discrete-Time Signal processing. Prantice Hall, New Jersey, 1999. ISBN 0-13-754920-2
[PAP-77] PAPOULIS, A.: Signal Analysis. McGraw-Hill Book Company, New York, 1977.
[PRO-96] PROAKIS, J.G., MANOLAKIS, D.G.: Digital Signal Processing - Principles,
Algorithms and Applications. Third Edition. Prentice Hall, New Jersey 1996.
ISBN 0-13-373762-4
[RAB-75] RABINER, L.R., GOLD, B.: Theory and Application of Digital Signal Processing. Prentice Hall, New Jersey 1975. ISBN 0-13-914101-4
[REK-02] REKTORYS, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2002. ISBN
80-7196-180-9
[ROB-87] ROBERTS, R.A., MULLI, C.T.: Digital Signal Processing. Addison-Wesley
Publishing Company, Massachusetts 1987. ISBN 0-201-16350-0
[SEB-03] ŠEBESTA, V., SMÉKAL, Z.: Signály a soustavy. Skripta FEKT VUT, Brno
2003. ISBN 80-214-2434-6 (také elektronické texty)
[SKR-90] ŠKRÁŠEK, J., TICHÝ, Z.: Základy aplikované matematiky III. SNTL, Praha
1990. ISBN 80-03-00111-0
[UHL-02] UHLÍŘ, J., SOVKA, P.: Číslicové zpracování signálů. Vydavatelství ČVUT,
Praha 2002. ISBN 80-01-02163
[VICH-00] VÍCH, R., SMÉKAL, Z.: Číslicové filtry. Academia, Praha 2000. ISBN 80-2000761-X
106
[VICH-79] VÍCH, R.: Transformace Z a některá její použití. Praha, Matematický seminář
SNTL 1979.
[VICH-87] VÍCH, R.: Z Transform Theory and Applications. D. Reidel Publishing Company. Dordrecht 1987. ISBN 90-277-1917-9

Deterministické a náhodné signály

Transkript

Podobné dokumenty

stáhnout - Tre-fa

České akustické společnosti ročník 9, číslo 4 prosinec 2003 Obsah

t - B324.COM

Automatic Digital Calculators Electronic Equipment in

Signály, časové řady a lineární systémy

Zpracování signálu a obrazu Pracovní verze skripta v tisku pro

Matematika 2 (Biomedicínská technika a bioinformatika)

Matematické základy digitálního zpracování obrazu

ARBO s.r.o. slaví 25 let Stavební stroje nám zůstávají

Prodejní katalog (37.38 MB, PDF)

Školní vzdělávací program - ZŠ Jablonec nad Nisou, 5.května 76

Zde - Ústav matematiky

rozklad ZTM

Operaèní výzkum

Operační výzkum

EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA