Ukázkové příklady k zápočtového testu č. 1

Ukázkové příklady k zápočtového testu č. 1
ZS 2012-13
1) Vypočítejte limity následujících posloupností:
a) lim ( n2 + n −
p
p
b) lim ( n2 + 3 −
p
p
p
p
n2 + 4),
n→∞
2n2 + n),
n→∞
c) lim ( n2 + 6 −
n→∞
n2 + 7).
2) Vypočítejte limity následujících funkcí:
sin x
,
x−π
tan 2x
,
b) lim
x→π sin 3x
x3 − x2 + 2
c) lim
.
x→−1
x2 − 1
a) lim
x→π
3) Nalezněte všechny asymptoty grafu dané funkce, načrtněte části grafu v blízkosti asymptot.
3x2 + x
,
x2 + 1
x−1
b) f (x) =
,
x+1
x3 + x
.
c) f (x) = 2
x +2
a) f (x) =
4) Nalezněte rovnici tečny ke grafu funkce f v bodě T,
a) f (x) = ln (x2 + 2x), T = [2, ?],
√
b) f (x) = x3 − 2x, T = [2, ?],
x+1
a tečna je rovnoběžná s přímkou y = −2x + 11.
c) f (x) =
x−1
Výsledky
1a) 1/2, 1b) −∞, 1c) 0.
2a) -1, 2b) -2/3, 2c) -5/2.
3a) vodorovná asymptota y = 3, v +∞ se funkce blíží k asymptotě shora, v −∞ zdola,
průsečík funkce s asymptotou je P [3, 3],
3b) vodorovná asymptota y = 1, v −∞ se funkce blíží k asymptotě shora, v +∞ zdola, svislá
asymptota x = −1,
lim f (x) = ∓∞,
x→−1±
3c) šikmá asymptota y = x, v −∞ se funkce blíží k asymptotě shora, v +∞ zdola.
4a) T [2, ln 8], rovnice tečny: y − ln 8 = 3/4(x − 2),
4b) T [2, 2], rovnice tečny: y − 2 = 5/2(x − 2),
4c) S danou přímkou jsou rovnoběžné 2 tečny. T1 [2, 3], T2 [0, −1], rovnice tečen:
t1 : y − 3 = −2(x − 2), t2 : y + 1 = −2x.
V testu budou 3 příklady, z každé skupiny nejvýš jeden. Takže test by mohly tvořit např.
příklady: 1b), 2b), 4a)
Prosím o upozornění na případné chyby, které objevíte.