sbirka_uloh
Transkript
sbirka_uloh
Jiří Přibyl & spol. Sbírka úloh ze všeho možného Ústí nad Labem 2010 2 Obsah Obsah 1 Determinanty 1.1 Determinanty druhého řádu . 1.2 Determinanty třetího řádu . . 1.3 Determinanty čtvrtého řádu . 1.4 Determinanty vyšších stupňů 1.5 Vandermondův determinant . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 7 9 10 2 Výsledky 2.1 Determinanty . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Determinanty druhého řádu . 2.1.2 Determinanty třetího řádu . . 2.1.3 Determinanty čtvrtého řádu . 2.1.4 Determinanty vyšších stupňů 2.1.5 Vandermondův determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 11 11 11 11 . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 OBSAH KAPITOLA 1 Determinanty 1.1 Determinanty druhého řádu a + 1 a 1. a a − 1 3 4 2. 7 5 12527 14027 3. 25055 26555 3 4 4. −5 8 −1 −3 5. −2 5 4 −5 6. 7 1 2 3 7. 4 9 √ √ 1 + 2 2 − 3 √ √ 8. 2 + 3 1 − 2 √ √ 1 + 3 3 − 5 √ √ 9. 3 + 5 1 − 3 a − b a + b 10. a + b a − b 3 + 2i 2 − 5i 11. 2 + 5i 3 − 2i 1 logb a 12. log b 1 a cos ϕ sin ϕ 13. −r sin ϕ r cos ϕ cos ϕ sin ϕ 14. sin ϕ cos ϕ sin x − cos x 15. sin x cos x b c − di 16. c + di a √ √ 2 + 2i 2 √ 17. 4 2 − 2i 1 cos u + i sin u 18. cos u − i sin u 1 5 2 19. 3 7 1 2 20. 3 4 3 2 21. 8 5 6 9 22. 8 12 2 a ab 23. ab b2 n + 1 n 24. n n − 1 a + b a − b 25. a − b a + b 2 a + ab + b2 a2 − ab + b2 26. a+b a−b cos α − sin α 27. sin α cos α sin α + sin β cos β + cos α 28. cos β − cos α sin α − sin β 2 sin ϕ cos ϕ 2 sin2 ϕ − 1 29. 2 cos2 ϕ − 1 2 sin ϕ cos ϕ 1 − t2 2t 1 + t2 1 + t2 30. 1 − t2 −2t 1 + t2 1 + t2 (1 − t)2 2t 1 + t2 2 1 + t 31. (1 − t)2 2t − 1 + t2 1 + t2 5 6 KAPITOLA 1. DETERMINANTY 1 + t2 1 − t2 32. 2t 1 − t2 2t 1 − t2 1 + t2 1 − t2 33. 34. 35. 36. a + bi b 2a a − bi cos ϕ + i sin ϕ 1 1 cos ϕ − i sin ϕ a + bi c + di −c + di a − bi 1 cos ϕ3 + i sin ϕ3 cos ϕ + i sin ϕ −1 3 1.2 3 Determinanty třetího řádu 2 1 3 1. 5 3 2 1 4 3 3 2 1 2. 2 5 3 3 4 2 4 −3 5 3. 3 −2 8 1 −7 −5 3 2 −4 4. 4 1 −2 5 2 −3 3 4 −5 5. 8 7 −2 2 −1 8 4 2 −1 6. 5 3 −2 3 2 −1 1 1 1 7. 1 2 3 1 3 6 0 1 1 8. 1 0 1 1 1 0 5 6 3 9. 0 1 0 7 4 5 2 0 3 10. 7 1 6 6 0 5 1 5 25 11. 1 7 49 1 8 64 1 1 1 12. 4 5 9 16 25 81 1 2 3 13. 4 5 6 7 8 9 0 a 0 14. b c d 0 e 0 a x x 15. x b x x x c 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. a + x x x x b+x x x x c + x 2 3 1 −1 2 4 1 −2 3 331 433 333 1091 553 453 353 775 675 1 a bc 1 b ca 1 c ab x y 2x + 3y 2x 3y 4x + 9y 3x 2y 6x + 6y 2 sin x sin2 y sin2 z 1 1 1 2 cos x cos2 y cos2 z x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 3 1 3 4 2 1 5 6 −3 ax a2 + x2 1 ay a2 + y 2 1 az a2 + z 2 1 3 1 0 4 2 −3 5 6 −8 1 x x2 1 −x −x2 1 y y2 4 3 2 1 −2 0 3 5 7 1 1 1 tg x tg y tg z 2 tg x tg2 y tg2 z u + v z 1 v + z u 1 z + u v 1 9 −7 2 1 −2 0 3 5 7 1.3. DETERMINANTY ČTVRTÉHO ŘÁDU 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. a + kd b + ke c + kf d e f m p n 1 a a3 1 b b 3 3 1 c c 1 1 1 x y z 2 2 2 x y z 5 6 3 3 5 6 6 3 5 1 2 3 2 1 3 1 4 5 4 2 6 2 6 4 6 4 2 2 3 7 1 2 1 −4 −5 −19 2 5 0 −1 7 1 4 1 −4 0 2 2 2 0 2 2 2 0 1 2 4 1 3 9 1 5 25 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 1 0 3 2 1 1 1 1 a b c 2 2 2 a b c 1.3 7 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. x y z z x y y z x a y y y b y y y c 2 0 1 3 7 −1 −1 3 4 1 1 1 −1 0 1 −1 −1 0 5 3 0 2 5 3 0 2 5 1 + i 0 1 i 1 0 1 −i i − 1 1 + i 2 − i i 0 1 − i 2 − 3i 2 + i −i 5 2 −3 2 4 −5 3 −3 4 −3 sin x 1 cos x sin y 1 cos y sin z 1 cos z 1 cos x cos y cos x 1 cos z cos y cos z 1 √ √ 3−i ( √3 − i)2 √ 1 ( 3 − i)2 3 − i √ √ 1 2 3−i ( 3 − i) 1 cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϑ −r sin ϕ cos ϑ r cos ϕ cos ϑ 0 −r cos ϕ sin ϑ −r sin ϕ sin ϑ r cos ϑ Determinanty čtvrtého řádu 1 3 7 1 1. 6 8 2 1 5 0 −2 1 −14 2 0 1 5 10 4. −5 0 3 2 2 −2 6 8 1 −1 4 10 5 1 0 2 2. 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 35 42 5. 43 29 59 70 68 49 52 54 52 50 2 0 3. 1 3 0 1 3 2 1 3 2 0 3 2 0 1 10 5 6. −2 d 0 3 a 0 b 0 c 8 13 0 0 0 71 77 72 65 8 a 5 0 9 0 b 0 12 7. 7 8 c −3 0 0 0 d a b c d −b a d −c 8. b −c −d a −d c −b a 2 −3 4 1 a b c d 9. 1 −2 5 2 4 3 −1 3 0 1 1 a 1 0 1 b 10. 1 1 0 c a b c d 6 1 a 1 8 1 b 7 11. 3 7 c −1 2 1 d −1 1 0 −1 1 0 −1 1 1 12. b c d a 1 0 −1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 13. 1 1 3 1 1 1 1 3 1 x 2 3 2 x2 0 1 14. y 7 −1 3 2 3 4 −1 y 1 0 2 0 3 0 −1 0 15. 4 1 5 1 −3 −1 0 −2 1 0 −1 2 2 3 2 −2 16. 1 2 4 2 3 1 5 −3 0 x y z x 0 z y 17. y z x 0 z y x 0 −x a b c a −x c b 18. c −x a b c b a −x 1 1 1 + sin α 1 + sin β 31. 2 sin α + sin α sin β + sin2 β 2 sin α + sin3 α sin2 β + sin3 β KAPITOLA 1. DETERMINANTY 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1 1 + sin γ sin γ + sin2 γ sin2 γ + sin3 γ 1 1 2 3 1 2 − x2 2 3 2 3 1 5 2 3 1 9 − x2 1 + x 1 1 1 1 1−x 1 1 1 1 1+z 1 1 1 1 1 − z 2 1 1 x 1 2 1 y 1 1 2 z 1 1 1 t 1 0 −1 −1 0 −1 −1 −1 a b c d −1 −1 1 0 6 −2 0 5 −1 0 3 −4 7 10 1 8 −9 0 6 0 1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 −1 −1 0 0 2 4 3 2 0 0 2 3 2 0 0 2 3 2 0 0 2 3 3 0 4 0 0 2 0 1 5 0 6 0 0 7 0 8 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 2 −5 4 3 3 −4 7 5 4 −9 8 5 −3 2 −5 3 1 2 4 8 1 −1 1 −1 1 3 9 27 1 4 16 64 x 2 1 x 1 x 1 3 2 3 x x 1 1 2 x 1 1 + sin δ sin δ + sin2 δ sin2 δ + sin3 δ 1.4. DETERMINANTY VYŠŠÍCH STUPŇŮ 1.4 9 Determinanty vyšších stupňů −4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 −4 1 1 1. 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4 24 11 13 17 19 51 13 32 40 46 2. 61 11 14 50 56 62 20 7 13 52 80 24 45 57 70 a x x x x x b x x 1 3. x x c x x x x x d x x x x x e 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 4. 1 1 4 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 5. 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2 3 0 1 2 1 −1 0 3 6. 1 1 0 5 1 0 2 0 0 3 1 2 −3 0 0 1 0 0 0 1 1 a1 0 0 0 7. 1 1 a2 0 0 1 0 1 a3 0 1 0 0 1 a4 1 2 0 0 0 3 4 0 0 0 1 1 1 8. −1 1 2 3 −1 1 0 4 −2 1 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 3 9. −2 1 1 1 −3 5 2 3 4 1 1 −1 2 −1 5 1 2 3 4 5 −1 0 3 4 5 4 5 10. −1 −2 0 −1 −2 −3 0 5 −1 −2 −3 −4 0 2 3 3 3 3 5 2 3 3 3 11. 5 5 2 3 3 5 5 5 2 3 5 5 5 5 2 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 3 4 3 6 4 7 1 6 9 1 3 5 2 8 2 7 6 5 1 3 6 7 3 1 0 2 −3 2 4 −5 −3 2 −4 −3 4 4 −5 3 6 −7 5 −6 4 7 −8 −4 3 −3 −2 3 1 0 1 0 1 1 a 0 0 1 1 1 b 0 0 1 0 1 c 0 1 0 0 1 d 3 −1 0 0 0 3x 3 −1 0 0 2 3x 3 −1 0 3 3x4 3x 3x 3x 3 −1 4 3x 3x3 3x2 3x 3 a + b ab 0 0 0 1 a+b ab 0 0 0 1 a+b ab 0 0 0 1 a+b ab 0 0 0 1 a + b 1 x x2 x3 x4 1 2x 3x2 4x3 5x4 1 4x 9x2 16x3 25x4 1 y y2 y3 y 4 1 2y 3y 2 4y 3 5y 4 2 cos α 1 0 0 0 1 2 cos α 1 0 0 0 1 2 cos α 1 0 0 0 1 2 cos α 1 0 0 0 1 2 cos α x 0 −1 1 0 1 x −1 1 0 1 0 x − 1 0 1 0 1 −1 x 1 0 1 −1 0 x 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 1 x 1 2 3 4 1 x x 1 2 3 1 x x x 1 2 1 x x x x 1 10 KAPITOLA 1. DETERMINANTY 1 2 3 22. 4 5 6 2 3 4 5 6 6 3 4 5 6 6 6 4 5 6 6 6 6 1 0 23. 0 .. . 0 0 2 0 .. . 0 0 3 .. . ... ... ... .. . 0 0 ... a11 a21 24. a31 .. . an1 5 6 6 6 6 6 0 0 a33 .. . ... ... ... .. . an2 an3 ... 0 0 0 0 .. .. . . 0 1 1 0 0 0 a b 26. b .. . b 1 2 27. 4 8 16 3 1 28. 1 1 1 b b ... a b ... b a ... .. .. . . . . . b b ... 1.5 1 1. 1 1 2. 1 1 1 3. ... 1 1 1 3 1 1 ... ... ... 1 1 1 2 1 30. ann 0 0 0 .. . 0 1 1 0 .. .. . . 0 0 0 0 0 0 ... ... .. . 1 1 3 4 9 16 27 64 81 256 29. 0 0 0 .. . n 0 a22 a32 .. . 0 0 .. 25. . 0 0 1 1 2 1 1 1 6 6 6 6 6 6 31. 32. 33. b b b .. . a 1 1 5 6 25 36 125 216 625 1296 1 1 1 1 3 34. 35. Vandermondův determinant x y x x2 y y 2 z z2 x1 · · · .. .. . . xn · · · xn−1 1 .. . xn−1 n 1 2 3 . . . n 2 3 4 . . . 1 3 4 5 . . . 2 .. .. .. . . .. . . . . . n 1 2 . . . n − 1 a 10 7 0 −5 0 b 0 0 −4 0 15 c 0 −3 3 7 8 d −2 0 0 0 0 0 x + a1 a2 a3 ... an a1 x + a2 a3 ... an a1 a2 x + a3 . . . an .. .. .. .. .. . . . . . a1 a a . . . x + an 2 3 1 2 3 . . . n − 1 n 1 3 3 . . . n − 1 n 1 2 5 . . . n − 1 n .. .. .. . . .. .. . . . . . . 1 2 3 . . . 2n − 3 n 1 2 3 . . . n − 1 2n − 1 2 2 2 . . . 2 2 1 2 2 2 . . . 2 2 2 2 2 2 . . . 3 2 2 .. .. .. . . . .. . . .. .. .. . . 2 2 n − 2 . . . 2 2 2 2 n − 1 2 . . . 2 2 2 n 2 2 . . . 2 2 2 1 1 1 ... 1 2 3 n 1 ... 1 1 1 3 4 n+1 ... 1 2 2 2 . . . . . .. .. .. .. .. n n+1 n+2 2n−2 . . . n−1 n−1 n−1 n−1 1 1 1 ... 1 x1 x2 x3 xn 1 ... 1 1 1 x1 x2 x3 xn ... 2 2 2 2 . . . .. .. .. .. .. . . x1 x x x 2 3 n n−1 ... n−1 n−1 n−1 KAPITOLA 2 Výsledky 2.1 2.1.1 Determinanty Determinanty druhého řádu 1. −1 2. −13 3. −18792000 4. 44 5. −11 6. 39 7. 6 8. −2 9. −6 10. −4ab √ 11. −16 12. 0 13. r 14. 2 cos2 ϕ − 1 15. sin 2x 16. ab − c2 − d2 17. 6 − 4 2 18. 0 19. 29 20. −2 21. −1 22. 0 23. 0 24. −1 4 +(2t)2 25. 4ab 26. −2b3 27. 1 28. 0 29. 1 30. 1 31. − (t−1) 32. 1 (t2 −1)2 33. (a − b)2 2.1.2 34. 0 35. a2 + b2 + c2 + d2 ϕ 36. −1 − e2i 3 Determinanty třetího řádu 1. 40 2. −3 3. 100 4. −5 5. 0 6. 1 7. 1 8. 2 9. 4 10. −8 11. 6 12. 20 13. 0 14. 0 15. 2x3 − x2 (a + b + c) + abc 16. x(ab + ac + bc) + abc 17. 49 18. −25728000 19. (c − b)(a2 − a(b + c) + bc) 20. 0 21. 0 22. x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y3 ) 23. 23 24. a(y − x)(z − x)(z − y) 25. 23 26. 2xy(x − y) 27. −55 28. −(tg x − tg y)(tg x − tg z)(tg y − tg z) 29. 0 30. −55 31. −cem + bf m + cdn − af n − bdp + aep 32. (a − b)(a − c)(c − b)(a + b + c) 33. (x − y)(x − z)(y − z) 34. 98 35. 3 36. −164 37. 14 38. −58 39. 16 40. 6 41. 1 42. 1 43. (a − b)(a − c)(c − b) 44. x3 + y 3 + z 3 − 3xyz 45. y 2 (−b − c + 2y) + a(bc − y 2 ) 46. 78 47. 1 48. 65 49. −2 50. −2 51. −1 52. cos z(sin x − sin y) + cos x(sin y − sin z) + cos y(− sin x + sin z) 53. 2 cos x cos y cos z 54. −63 + 16i 55. r2 cos ϑ 2.1.3 Determinanty čtvrtého řádu 1. 360 2. −48 3. 0 4. −570 5. 10 6. abcd 7. abcd 8. (a2 + b2 + c2 + d2 )2 9. 16a+33b+28c−45d 10. a2 −a(2b+2c)+b2 −2bc+c2 +2d 11. −124a+46b−20c+218d 12. −3a − b − 2c + d 13. 48 14. −64x + 11x2 − y + 45y 2 15. −7 16. −72 17. −(x − y − z)(y − z)2 (x + y + z) 18. (a − b − c − x)(a + b + c − x)(a + b − c + x)(a − b + c + x) 19. −3(x2 − 4)(x2 − 1) 2.1.4 Determinanty vyšších stupňů 23. n! 2.1.5 24. Πi=1...n aii 30. 0 Vandermondův determinant 1. y − x 11 12 2. (z − x)(z − y)(y − x) 3. (x2 − x1 )(x3 − x1 ) . . . (xn − xn−1 ) KAPITOLA 2. VÝSLEDKY