Nove poznatky

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN
EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
NOVÉ POZNATKY VE FYZICE
RENATA HOLUBOVÁ
OLDŘICH LEPIL
ROMAN KUBÍNEK
MIROSLAV MAŠLÁŇ
Repronis 2007
Seminární materiál projektu Učíme fyziku moderně
Další vzdělávání učitelů fyziky Olomouckého kraje
Slovanské gymnázium Olomouc
© Slovanské gymnázium Olomouc, 2007
ISBN 987-80-7329-155-6
Environmentální fyzika – projekt „VODA“
RENATA HOLUBOVÁ
Environmentalistika (ang.: environment – prostředí, okolí, ovzduší) –
interdisciplinární věda o problematice životního prostředí a praktických aspektech. Zahrnuje poznatky z ekologie, přírodních věd, lékařství, techniky a společenských věd. Je to tedy pojem s mnohem širším záběrem. Problém je
v nalezení českého ekvivalentu tohoto slova, protože hlavně z jazykových důvodů je tento termín v širším použití odmítán.
Environmentální vzdělání pokrývá širší spektrum, zahrnuje všechny přírodovědné i společenskovědní a technické discipliny, týkající se životního prostředí člověka. Rozvíjí jeho poznání a porozumění procesům, které jej formují.
Na jeho základě realizovaná výchova má za cíl zvýšit odpovědnost lidí za jejich
jednání a přístupy k životnímu prostředí .
Environmentální fyzika (EF): cílem tohoto oboru je poukázat na význam
fyzikálních faktorů pro člověka a živé organismy v životním prostředí pro jeho
existenci. Ale také ho varovat před neuváženým zaváděním fyzikálních poznatků do praxe přes různé technické aplikace a takto v něm vypěstovat environmentální myšlení. Nejde tedy pouze o fyziku životního prostředí, ale je to
předmět v duchu koncepce TUR. EF čerpá z mnoha oblastí fyziky, medicíny,
technické praxe a ekologie. Umožňuje nám chápat, analyzovat a hodnotit vztahy mezi člověkem a jeho životním prostředím na základě pochopení ekologických a fyzikálních procesů, kterými se řídí život na Zemi. EF se ve velké míře
zabývá tzv. globálními problémy lidstva, tedy hlavně jejich fyzikální podstatou
a možnostmi jejich technického řešení. Ovšem zabývá se i ostatními fyzikálními procesy a problémy souvisejícími nějakým způsobem s životním prostředím
a nemusí jít vždy o jeho ochranu či poškozování (např. základy meteorologie,
vznik blesků a duhy, poznatky z akustiky, …).
EF se tedy zabývá např. globálním oteplováním a skleníkovým efektem,
ozonovou dírou, znečištěním atmosféry, hydrosféry i litosféry, mechanismem
přenosu znečištění (s tím souvisí různé druhy proudění jak vzduchu tak vody),
obnovitelnými a neobnovitelnými zdroji energie – výhody, nevýhody (sluneční,
větrné, vodní elektrárny, energie z biomasy, …), výkonem a účinností energetických zařízení, úsporami energie, vlivy technických zařízení na životní prostředí, na organismy a především na člověka (účinek elektromagnetického
vlnění na zdraví člověka, vliv nadměrné produkce energie na životní prostředí…).
3
Environmentální fyzika nezahrnuje jen studium fyzikálního prostředí, ale
její součástí jsou aspekty fyziky atmosféry, půdy, různé aspekty aplikované
fyziky apod. Je definována jako fyzika odhalování a měření environmentálních
problémů s využitím přístrojového zabezpečení různých oblastí fyziky a využitím metod matematické fyziky. Řešené problémy úzce souvisí se společností
a s ekonomickým systémem společnosti.
a) Souvislost s ekonomickým systémem: zdroje energie a jejich přeměna
v mechanickou energii a elektřinu jsou zdrojem znečištění na své cestě
k využití v zemědělství, průmyslu, domácnosti. Je třeba měřit míru znečištění
ve všech oblastech (hluk, znečištění vzduchu – změny klimatu, transport odpadů do míst vzdálených od zdroje jejich vzniku).
b) Většina problémů řešených environmentální fyzikou souvisí s problémem
energie.
c) Život ve skleníku: život je ovlivněn určitými danými fyzikálními podmínkami- povrch Slunce má teplotu asi 5 800 K, emisní spektrum má maximum při
vlnové délce 500 nm odpovídající energii fotonů 2,48 eV (vznik fotochemických reakcí), vzdálenost Země – Slunce (1,49.1011 m) a poloměr Země
(6,4.106 m) vede k zachycení 0,46.10–9 části sluneční energie. Předpokládámeli, že Slunce září jako absolutně černé těleso o poloměru 6,96.108 m a teplotě
5 800 K, lze zjistit, že na Zemi dopadá 1 399 W.m–2 energie. Aktuální hodnota
solární konstanty je málo nižší S ≈ 1 370 W.m–2. Je to hodnota, která zajistí
průměrnou teplotu povrchu zemského 288 K (15 °C).
d) Hmotnost Země (6.1024 kg) a její poloměr je právě taková, že je schopna
udržet atmosféru.
Za stacionárního stavu je energie absorbovaná od Slunce stejná jako energie
vyzářená Zemí, považujeme-li Zemi za AČT o teplotě asi 255 K. Část energie
Slunce je však odražena zpět do prostoru - tzv. albedo a (difuzní koeficient
reflexe). Rovnice energetické rovnováhy má potom tvar
(1 − a ) πR 2 S = 4 πR 2σT 4 ,
(1)
kde a = 0,34.
Průměrná teplota povrchu Země je 288 K, atmosféry 255 K. Relativně vysoká teplota povrchu Země je způsobena přítomností plynů v atmosféře (vodní
pára, CO2, O3, N2O, CH4). Tyto plyny absorbují větší část teplotní radiace Země a odrážejí ji zpět na zemský povrch. Atmosférou prochází záření kratších
vlnových délek, dlouhovlnné záření je pohlcováno – tento jev je tzv. skleníkový
4
efekt. Změna koncentrace těchto výše uvedených skleníkových plynů ovlivňuje
změny klimatu na Zemi.
Většina problémů řešených environmentální fyzikou souvisí s ekonomickým systémem společnosti a s problémem energie. Zdroje energie
a jejich přeměna v mechanickou energii a elektřinu jsou zdrojem znečištění na
své cestě k využití v zemědělství, průmyslu, domácnosti. Důsledkem jsou takové jevy, jako globální oteplování, a tím změna klimatu, které přináší celou řadu
dalších důsledků pro život na naší planetě.
Základem života na Zemi je existence vody. Protože voda je látka, jejíž
vlastnosti se studují ve všech přírodovědných předmětech a problémy trvale
udržitelného života úzce s touto látkou souvisejí, uvádím příklady, jak propojit
výuku o vodě v jednotlivých vyučovacích předmětech s environmentální problematikou.
Projekt voda
Voda vždy cirkuluje mezi povrchem země, rostlinami, zvířaty a vzduchem,
proto se vždy pohybuje, mění pozice a fyzikální stavy. Průběžná výměna vody
mezi mořem a pevninou se nazývá hydrologický cyklus nebo vodní cyklus,
který je řízen sluneční energií. Při analýze cyklu můžeme začít u oceánů, které
jsou základním zdrojem vody. Molekuly vody, zahřáté Sluncem přejdou do
plynného stavu, a dorazí do vyšších vrstev atmosféry. Zde se voda vypařuje,
ochlazuje, kondenzuje a způsobuje srážení. 85 % tohoto srážení padá opět zpátky do oceánu, zatímco zbytek se dostává na zemský povrch. Jakmile jednou
dopadne na zem může voda vytvářet řeky a jezera a poté odcházet zpět do oceánů, nebo může být filtrována do půdy a vyplňovat podložní otvory a vytvářet
podzemní vody a prameny.
Příspěvky jednotlivých předmětů
Fyzika – fyzikální vlastnosti vody (skupenství, hustota, koloběh vody, objemové jednotky, spotřeba vody, vodní nádrže, srážky).
Biologie – život a voda, život ve vodě, znečištění vodních toků.
Zeměpis – mapa světa a voda, řeky, moře, oceány, jezera.
Chemie – chemické složení vody, vody pitná, závadná, destilovaná, čistírny
odpadních vod, voda jako rozpouštědlo.
Matematika – výpočty fyzikálních příkladů, statistika.
Český jazyk – vodní pohádkové bytosti, četba, vlastní povídky.
Výtvarná výchova - voda ve výtvarných dílech.
5
Hudební výchova – zvuk vydávaný vodou jako inspirace hudebních děl
(B. Smetana - Vltava).
Tělesná výchova – vyjádření vlastností vody pohybem.
Voda jako pojem:
• Nezastupitelná složka přírodního prostředí.
• Chemická látka.
• Podmínka pro život živočichů a rostlin.
• Přírodní zdroj.
• Vyskytuje se v přírodě ve 3 skupenstvích.
• Součást lidské společnosti – zboží, dopravní prostředek, výrobní prostředek,
medium.
• Světový Den vody 22. březen.
• Rok 2003 – byl vyhlášen Rokem vody.
Rozlišení některých základních pojmů
Hydrosféra je část fyzicko-geografické sféry, kterou tvoří veškeré zásoby
vody na Zemi. Hydrologie je věda zabývající se zákonitostmi oběhu vody,
jejího výskytu v přírodě se zřetelem na její množství, kvalitu a účinek v přírodě
a ve společnosti (hydrologie moří a hydrologie pevnin a souše). Existují části
světa, které se potýkají s katastrofickým deficitem vody, naopak v některých
oblastech je vody nadbytek.
Rozložení zásob vody na Zemi
Moře a oceány zaujímají 70,7 % povrchu Země, což představuje 361 milionů km2 . Moře tvoří jen 0,1 % a oceány 0,24 % hmotnosti Země. Světový oceán
se podílí na objemu zemské hydrosféry 97 %. Na severní polokouli připadá na
moře a oceány 60,7 % plochy, na jižní polokouli je to celkem 80,9 % plochy.
Střední hloubka oceánů je 3 790 m. Kdyby se oceánské vody rozprostřely po
celém zemském povrchu, vytvořily by vrstvu mocnou 2 440 m.
Oběh vody na Zemi
Rozlišujeme tzv. malý koloběh vody, který probíhá jen nad pevninou nebo
pouze nad oceánem. Naproti tomu velký koloběh vody, probíhá mezi pevninou
a oceánem. Veškerý oběh je možno vyjádřit pomocí bilanční rovnice. Hlavním
zdrojem vláhy v atmosféře je výpar světového oceánu. Největší výpar v oceánu
je spojen s velkou suchostí vzduchu v pásmu pasátů, i přes menší intenzitu
slunečního záření než na rovníku je v oblasti obratníků vyšší výpar. Maximum
6
srážek nad světlovým oceánem spadne v rovníkovém pásmu, v průměru
2 280 mm za rok. Ve vrstvě atmosféry do výšky 7 km se nachází 12 400 km3
vody, z nichž nad pevninou je 3 100 km3. Přitom jako účinné srážky jsou považovány ty, které skutečně dopadnou na zem a účastní se odtoku. Odtok rozlišujeme povrchový a podpovrchový (závisí na klimatu, infiltraci, geologickém
podkladu, vegetaci, akumulaci vody v povodí, sklonu, antropogenní činnosti).
Základní hydrologické ukazatele odtoku
Specifický odtok představuje množství vody odtékající za jednotku času
z jednotky plochy povodí. Udává se v jednotkách l.s–1.km–2.
Odtoková výška – představuje vrstvu vody, rovnoměrně rozloženou na
ploše povodí, která odtekla za určité období; umožňuje porovnávat odtok
s množstvím srážek spadlým na povodí ze stejné období. Jednotkou odtokové
výšky je mm.rok–1.
Koeficient odtoku udává poměr mezi odtokovou výškou a výškou srážek
nebo objemem odtoku a srážek spadlých na plochu povodí.
Biologická funkce vody
• základ života,
• obsah vody je tím větší, čím mladší je živý tvor a čím nižší je pozice
v Darwinově řadě,
• voda se v živé hmotě vyskytuje jako volná (lze ji vyloučit vysušením nebo
vytlačením) nebo jako vázaná (lze vyloučit pouze usmrcením hmoty),
• funkce vody v organismu – odplavování škodlivých látek, chladící kapalina,
rozvod minerálních látek, stopových prvků atd.,
• denní ztráta vody u člověka 2–3 litry, z toho močí 1,5 litru,
• fotosyntéza – z vody, CO2 a jiných látek se vytváří organická hmota, podmínka přítomnost chlorofylu, světla a tepla,
• transpirace – přebytečná voda se z rostliny odpařuje,
• procesu fotosyntézy se zúčastňuje asi 225 km3 vody ročně, což činí 0,33 %
z výparu pevniny, ¼ tohoto množství se do oběhu nevrací a zůstává součástí
živé hmoty.
Chemie vody
Vzorec vody je H2O, chemicky čistá voda je složena z 11,19 % hmotnostního množství molekul H2 a 88,81 % hmotnostního množství molekul O2, úhel
mezi atomy je roven 104,5°.
7
Voda jako fyzikální látka:
Voda je čirá, bezbarvá kapalina, bez chuti a zápachu, teplota tání vody je
0 °C, teplota varu vody je 100 °C, pH = 7. Jednou z nejdůležitějších charakteristik je anomálie vody, mrznutím vody se její objem zvětšuje asi o 1/11.
Vzhledem k anomálii vody je studován také vliv globálního oteplování na tání
ledovců, problém zvyšování hladiny moří.
Měrné teplo vody klesá s růstem teploty od 0 °C do 40 °C, při teplotách nad
40 °C měrné teplo roste, měrné teplo mořské vody se zmenšuje s poklesem
teploty a zvětšením salinity. Vysoké skupenské teplo vody má význam pro
energetickou bilanci Země. Další důležitou vlastností vody je nízká tepelná
vodivost vody. Voda je téměř nestlačitelná a je neelastická, což má význam pro
zachování tvaru živočišného a rostlinného těla. Voda se barví vlivem příměsí.
Ekologické hledisko
V dnešní době 1/5 lidí nemá přístup k nezávadné vodě, 2,6 miliard lidí postrádá základní hygienické zázemí, ve 20. století zmizelo 50 % světových mokřadů, 3 miliony lidí ročně umírají na choroby způsobené kontaminovanou vodou a špatnou hygienou (http://www.who.int).
Tabulka 1 Podíl vody v lidském těle a vybraných potravinách v procentech
lidské embryo
94
máslo
18
kojenec
75
sýr
30–60
dítě
65
chléb
40
dospělý
63
maso
60-75
starý člověk
55
jablko
85
krev
83
hruška
85
kosti
22
jogurt,mléko
87,5
svaly
76
mrkev, rajčata
94,98
mozek
75
meloun
90
Voda a ekonomické faktory
Za vodu platíme. Cena vody se skládá ze dvou částí, je to vodné a stočné.
Vodné platíme za vodu z veřejného vodovodu (výroba a distribuce pitné vody),
stočné za vodu odváděnou veřejnou kanalizací.
Spotřeba vody neustále roste. Je třeba si uvědomit, že pojem spotřeba je
odlišný od pojmu potřeba. Hygienické minimum denní osobní spotřeby vody
deklarované Světovou zdravotnickou organizací je 100 litrů. Přitom v západoevropských zemích se spotřeba běžně pohybuje v rozmezí 150–200 litrů,
8
v USA je to až 300 litrů, v České republice asi 120 litrů na osobu. Přitom
v některých afrických zemích se spotřeba pohybuje na úrovni 10–20 litrů na
osobu a den.
Balená voda
Na přelomu 18. a 19. století začalo stáčení minerálních pramenů do lahví.
V 70. letech 20. století, v souvislosti s výrobou obalů PVC, PET lahví byl odstartován rozvoj prodeje balené vody.
Voda v historii lidstva
Lidé odpradávna osidlovali oblasti v blízkosti vodních toků. Voda byla
základní podmínkou pro přežití – zprostředkovala dopravu, byla zdrojem obživy (rybaření), teprve později lidé zakládali vlastní studny. V antice již existovaly vodovody a kanalizace, a tím i vazba na Středozemní moře. Ve středověku
s rozvojem měst se objevují hygienické problémy, zakládají se městské lázně.
Ty se však později stávají zdrojem infekcí. Vodovody se budují od 15. století.
Novověk lze charakterizovat jako období zdokonalování sítě kanalizací a vodovodů, v 17. a 18. století se místo očisty používají parfémy. V této době se hygiena přesouvá z lázní do domácnosti.
Voda jako živel
Lidstvo se potýká jak s katastrofickým suchem, tak s povodněmi. Nejhorší
sucho 20. století zažila Afrika v letech 1991-1992, zasaženo bylo území o rozloze 6,7 milionů km2 a ovlivnilo život 24 milionů lidí. Povodně v České republice!
Tabulka 2 Spotřeba vody při výrobě
produkt
spotřeba(litrů)
1 l piva
25
1 l mléka
865
1 kg pšenice
1000
1 kg rýže
1400
1 kg hov.masa
13000
1 kg sýru
5500
1 kg papíru
300
1 kg vlny
150
1 kg oceli
200
1 kg umělých vláken 56
9
Tabulka 3 Spotřeba vody při běžné domácí činnosti:
činnost
spotřeba (l)
spláchnutí toalety 10 – 12
koupel ve vaně
100 – 150
sprchování
60 – 80
mytí v myčce
15 – 30
praní v pračce
40 – 80
mytí rukou
3
mytí automobilu 200
pití každý den
1,5
kapající kohoutek 4 l/hod
netěsnící WC
80 l/hod
Vývoj vodního hospodářství na našem území
• 8. – 11. st.- odvodňování bažin, stavba rybníků (Třeboňsko – Štěpánek
Netolický, Jakub Krčín z Jelčan – Zlatá stoka, rybník Svět, Rožmberk)
• 80. léta 18. st. – první systém kanalizace v Praze, 1902 uvedena do provozu
kanalizační soustava s čistírnou odpadních vod v Bubenči
• 1857 – závlahový systém
• od 8. stol. pohon hamrů, mlýnů, pil
• 20. st. – výroba el.energie (1903 na Horní Vltavě), moderní stavba – Dlouhé
Stráně (650 MW)
• doprava od r. 750
• necitlivé zásahy do krajiny, meliorace, pokles zásob podzemních vod
Hlavní evropské rozvodí se nachází na Kralickém Sněžníku (Severní, Baltské a
Černé moře), 3 povodí – Labe, Moravy, Odry.
Využití energie vody – obnovitelný zdroj energie
Energie mořského vlnění:
Energie mořského vlnění vzniká jako kombinace vodní a větrné energie. Je
třeba si uvědomit, že délkový metr větší mořské vlny nese výkon 80 kW – je to
číslo obrovské, ale energie je nestálá a nepravidelná.
Jednoduchý výraz pro výpočet rychlosti vlny zapíšeme ve tvaru
v2 =
10
g
.
k
Tlak P, tj. energie, která projde rychlostí metr za sekundu kolmo ke směru
šíření vlny, vyjadřuje vztah
P=
1
ρgva 2 .
4
Praktiky lze využít jen část energie, nikoliv energii celého sloupce vody.
V mnoha oblastech se výsledná hodnota využitelné energie pohybuje v rozmezí
20 – 60 kW.m–1.
Zařízení využívající energie vln navrhl Masuda. Mořská voda vytváří vertikální pohyb s(x, t). Bóje plovoucí na vodě má uprostřed otevřenou trubici,
kterou dovnitř proudí voda. Vlny míjející bóji způsobují vertikální harmonický
pohyb bóje Z(x, t) a podobný pohyb uvnitř bóje s1(x, t). Tyto tři pohyby nejsou
ve fázi a mají různé amplitudy
s = a sin k ( x − vt )
Z = Z 0 sin k ( x − vt − δ z ) ,
s1 = s0 sin k ( x − vt − δ 1 )
tzn. vzhledem k bóji uskutečňuje voda v trubici pohyb nahoru a dolů s1-Z. Podobné zařízení bychom mohli najít ve starých rybářských člunech. Skutečná
mořská vlna má amplitudu 2 m, vlnovou délku 200 m. Při z = 0 (povrchová
vrstva) dostáváme na velikost plochy vln jeden metr čtverečný výkon
P = 0,171 W.m–2.
Využití energie skryté v oceánech by bylo možné i dalšími způsoby. Jednou
z možností je využití energie Golfského proudu nebo výstavby oceánských
tepelných elektráren.
Golfský proud – mezi mysem Heterras a Floridou má průměrnou rychlost
3,2 km/h ve spodních vrstvách a 8,8 km/h na povrchu. Každou sekundu tudy
proteče 70 milionů m3 vody, celkový energetický výkon proudu je asi 25 tisíc
MW. Existuje projekt použít velkých turbín o průměru 170 m s oběžným kolem
otáčejícím se rychlostí 1 otáčky za minutu. Turbíny by byly ukotveny v hloubce
30 až 130 m pod hladinou. Projekt musí vyřešit řadu technických problémů,nezanedbatelná jsou i ekologická rizika, mezi která patří možnost zpomalení proudu, což by mělo nedozírné následky pro klima. Jako bezpečnější řešení
se nabízí představa disků zakotvených do mořského dna, které by se otáčely
s mořským proudem (Morion). Tento projekt se zkouší u Sicílie.
11
Oceánské tepelné elektrárny
V tropických pásmech oceánů je rozdíl mezi teplotou vody v hlubinách
a sluncem ohřívanou vodou při hladině 20–30 °C. Objevuje se snaha sestavit
tepelný motor, v němž by ohřívačem byla hladinová vrstva mořské vody
a chladičem voda z hlubiny oceánu. Podle Carnota cyklu je účinnost takového
zařízení 10 %. Přesto fakt, že 60 milionů km2 tropických moří absorbuje denně
sluneční energii ekvivalentní 40 miliardám litrů topného oleje, nedává spát
nadšencům ani energetickým společnostem – projekty OTEC (Ocean Thermal
Energy Conversion) se dále diskutují. Ekologové varují – kdyby se touto cestou
měl v budoucnu produkovat výkon odpovídající současné energetické spotřebě
světa (10 TW), poklesla by teplota v tropických oceánech asi o 1 °C – nepříznivý vliv na mořské proudění a život v moři i na souši.
Vodní elektrárny
Ekologicky čistá, levná energie, vodní turbíny jsou motory s nejvyšší účinností.
Voda je nositelka tří druhů energie v přírodě – mechanické, vnitřní energie
tepelného pohybu molekul, chemické (vznik solných roztoků – řeky odnesou
27 milionů tun rozpuštěných látek do moře). Nevýhodou je malá koncentrace
energie.
Využití vnitřní energie tepelného pohybu je založeno na teplotních rozdílech různých vrstev vody – tím vznikají rozdíly v hustotách, nositeli energie
jsou mořské proudy.
Mechanickou energii vody lze využít v podobě kinetické energie proudící
vody, potenciální energie dané tíhou vody a tlakové energie (přetlak vody vůči
okolí).
Vodní kola – lopatková (využívají kinetickou energii vody působící na rovné
lopatky), účinnost 20–65 %
- korečková (využívají polohovou energii vody – otáčení využívá tíhy vody
nateklé do korečků, což jsou dřevěné truhlíky po obvodě kola s horním nebo
středním nátokem. Kola mají vysokou účinnost 60-80%, ale náročná je stavba
náhonu).
Vodní turbíny
Využívají kinetickou i tlakovou energii vody. Existují různé konstrukce
vodních turbín, např. Segnerovo kolo (sestrojené r. 1750 prof. Gőttingenské
univerzity J. A. Segnerem) – pohyb kola se děje vlivem reaktivní síly vody
vytékající z trubek nasazených na dutém hřídeli. Za první turbínu lze považovat
rotační vodní motor francouzského inženýra C. Bourdina z roku 1826, nazval
jej turbínou (turbo = latinsky kroužiti). Vyznačoval se velkou účinností až
80 %. K dalším typům turbín patří Peltonova (malé průtoky a velké spády),
12
Bánkiho (výkony do 100 kW), Kaplanova – vrtulová s regulovatelnými rozváděcími lopatkami.
Vodní turbíny jsou technicky nejdokonalejší mechanické motory vůbec –
dosahují až 95 % účinnosti a jejich provoz je ekologicky čistý. Nejvýkonnější
Francisova turbína je v USA s výkonem 836 MW s rotorem o hmotnosti 800 t,
průměr statorového věnce je 22 m.
Mechanická energie vody je využívána již od pradávna (Blízký východ –
vodní kola pro zavlažovací zařízení z roku 600 př. n. l.).
Nejznámějším systémem vodních elektráren v Čechách je Česko-Vltavská
kaskáda.
Samostatná práce:
Význam vodních elektráren jako zásobáren vody při živelných pohromách –
záplavy v r. 2002.
Můžeme se zmínit o největších vodních elektrárnách světa – na hranici
Brazílie a Paraguaye o výkonu 12 600 MW a od roku 1996 budovaná hydroelektrárna Tři rokle na řece Jang-c´Tiang v Číně o výkonu 18 200 MW (spuštěna
v roce 2006).
Z hlediska fyziky je podstatné technické vybavení vodní elektrárny, které
tvoří turbína, generátor (přeměňují mechanickou energii otáčení turbín na energii elektrickou, regulátory otáček - snímače, servomotory). Opět lze diskutovat
různé možnosti konstrukce turbín (Francisova. Peltonova, Bánkiho, Kaplanova).
Stále větší význam mají přečerpávací elektrárny – na každou akumulovanou kWh, kterou odebíráme, je nutné k načerpání vody do horní nádrže vynaložit asi 1,4 kWh. V České republice najdeme přečerpávací elektrárny např. v
Dalešicích (450 MW) nebo Dlouhé Stráně (650 MW). Snad největší na světě je
elektrárna Dirnowic v severním Walesu – je vestavěna hluboko ve skále a při
spádu 534 m je schopna během 16 s dodávat výkon 1 800 MW.
Funkce vody v živé hmotě:
Rozpouštědlo – rozpouští značnou část anorganických i organických sloučenin,
sloužících jako živiny nebo potrava
Chemický aktivátor – voda způsobuje štěpení molekul; difúzní pohyb rozštěpených molekul umožňuje přiblížení a vzájemnou reakci molekul různých sloučenin.
13
Tepelný regulátor – má vysoké měrné teplo a jím pomáhá udržovat organismu
jeho teplotu; vypařováním vody, při kterém se teplo spotřebovává, udržuje
organismus svou teplotu na potřebné optimální úrovni.
Regulátor tlaku a tvaru – voda je téměř nestlačitelná, takže udržuje tvar buněk
i těla; tlak se ve vodě šíří všemi směry rovnoměrně, což umožňuje udržování
a regulaci buněčného tlaku i tlaku krve.
Rozvodné médium – výživné látky se prostřednictvím vody rozvádějí a vylučované odpadní látky odvádějí; prostřednictvím vody se rozvádí i teplo z míst
svého vzniku (svaly, játra) na místa ochlazovaná, kde je teplota nižší (kůže).
Úspornostní činitel pro vodní organismy – vodní organismy mají stejnou měrnou hmotnost jako voda; ve vodě tedy na ně nepůsobí gravitace, což umožňuje
úsporu jejich energie.
Environmentální problémy – znečištění hydrosféry
Kyselé deště
Jedná se o přítomnost silných anorganických kyselin ve srážkové vodě.
Produkty spalovacích procesů, zejména SO2 a NOx, postupně a atmosféře oxidují a reagují s vodou na kyselinu sírovou a dusičnou a v podobě sněhu, deště,
rosy a námrazy dopadají na zem jako kyselé srážky. Následkem existence kyselých dešťů je především ohrožení lesů, okyselování půdních organismů, změna
chemismu půdy. Účinky kyselých srážek mohou být sníženy pouze za předpokladu, že bude do ovzduší vypouštěno méně oxidů síry a dusíku – výrazně
k tomu přispívá odsíření elektráren. Mezi hlavní a největší antropogenní znečištění vzduchu patří spalování fosilních paliv, při kterém vznikají především oxid
uhličitý, oxid siřičitý a oxidy dusíku, právě tyto plyny následně tvoří známé
kyselé deště (tvoří se kyselina sírová a dusičná). Kyselé deště poškozují rostliny, snižují pH vodních toků a nádrží, což ovlivňuje život v nich, degradují půdu
(vymývají živiny a některé ionty z půdy), samozřejmě kyselé deště poškozují
i materiály.
Kvalita vody se sleduje v několika skupinách ukazatelů (podle povahy ukazatele rozlišujeme fyzikální, kyslíkové, organické a anorganické).
Fyzikální ukazatele
Teplota má vliv na kyslíkový režim ve vodní složce – čím vyšší je teplota, tím
nižší je obsah kyslíku, a tím se snižují i samočisticí procesy v toku a odbourávání organických látek; teplotní znečištění se projevuje především na malých
tocích; optimální teplota pitné vody je 8–12 °C.
14
pH vody má vliv na rozpouštění a průběh geochemických procesů ve vodě.
Zásadním problémem je acidifikace kyselými srážkami (například ve Švédsku
vysledovali v 70. letech výraznou acidifikaci i přesto, že se jedná o velmi čistou
oblast – došlo k přenosu z oblasti ČR, Polska a Německa). Imisním limitem pro
vodárenský tok je pH 6–8, pro ostatní toky 6–9.
Obsah rozpuštěných látek - odpovídá celkové zátěži cizorodými látkami.
Konduktivita neboli schopnost vést elektrický proud, jedná se o převrácenou
hodnotu odporu a závisí na teplotě a přímo úměrně na obsahu rozpuštěných
látek (obsah anionů a kationtů způsobuje vodivost).
Tvrdost udává množství Ca a Mg ve vodě.
Pach, zákal atd.
Kyslíkové ukazatele
Jsou nejdůležitější pro určování míry znečištění v toku.
Ukazatele anorganického znečištění
Sloučeniny dusíku spolu se sloučeninami fosforu se řadí mezi nutrienty
(živiny).
Dusičnany ( NO 3− ) – konečný stupeň rozkladu organických látek nitrifikačním
procesem, v nízkých koncentracích jsou ve všech vodách; zdrojem je především zemědělství, splachy z rostlinné výroby, průmyslová hnojiva; s rostoucím
průtokem rostou, protože závisí na množství vypláchnuté vody z půdy.
Fosfor - prvek limitující produkční procesy ve vodním ekosystému. Fosforečnany jsou jediná dostupná forma fosforu pro organismy, dobře se váží na pevné
částice v půdě i sedimentu; přírodním zdrojem je geologické podloží, antropogenním zdrojem komunální odpad (prací prostředky, fyziologické procesy),
odpadní vody z chemického, textilního apod. průmyslu, zemědělská hnojiva.
Halogeny - sleduje se především chlor, fluor a jejich sloučeniny. Chlor se
používá pro úpravu vody, jelikož je to prudké okysličovadlo hubící bakterie,
jsou dány jeho limity jak minimální tak maximální.
Těžké kovy - sloučeniny s hustotou menší než 5 t/m3, v malém množství potřebné pro životní pochody, ve velkém toxické; nebezpečí v oblastech těžebního průmyslu, úpravnách kovů, chemického průmyslu, spalování fosilních paliv,
dopravy apod.
Faktory způsobující znečištění vody
Mezi hlavní znečišťující faktory řadíme patogenní organismy, netoxické
organické látky, nadměrný obsah živin (eutrofizace), toxické kovy, toxické
organické látky, vysoká kyselost, pevné látky, zvyšování teploty odpadním
teplem, radioaktivita:
15
• patogenní organismy: viry, bakterie, prvoci a některé další organismy,
např. plísně, jsou přítomny v odpadních vodách z lidských sídel, v odpadech ze
zemědělské výroby či ze skládek tuhého komunálního odpadu; takto znečištěná
voda je nevhodná k pití a často i k zavlažování;
• netoxické organické látky: tuky, bílkoviny, polysacharidy a zbytky rostlinných i živočišných tkání, které jsou součástí většinou textilního, potravinářského, papírenského průmyslu a zemědělství; tyto jinak netoxické látky jsou ve
vodě dále rozkládány, při rozkladu je spotřebováván kyslík rozpuštěný ve vodě;
ve vodě bez kyslíku nemohou žít rostliny ani živočichové; je vhodná pouze pro
některé druhy bakterií, schopných žít v bezkyslíkatých (anaerobních) podmínkách;
• nadměrný obsah živin: za živiny jsou považovány látky potřebné pro růst
rostlin, jde většinou o rozpustné soli – dusičnany a fosforečnany, které jsou
obsaženy v zemědělských hnojivech, ať už průmyslových nebo statkových; tyto
látky se dostávají do vod v podobě smyvů z polí a pastvin, dusičnany také ze
septiků a hnojišť; významným zdrojem látek obsahujících fosfor jsou mycí
a prací prostředky, dostávají se do vod především jako sloučeniny splaškových
vod z lidských sídel;
• toxické kovy a především jejich rozpustné a nerozpustné sloučeniny se
dostávají do vodního prostředí z různých technologických procesů, při těžbě
rud nebo z průmyslu a hromadí se v ekosystémech, působí chronické otravy;
• toxické organické látky přicházejí do vody při zpracování ropy a uhlí, při
výrobě barev a laků i při produkci a aplikaci pesticidů přecházejí do vody různé
organické látky; jsou většinou ve vodě nerozpustné nebo rozpustné jen minimálně; patří sem především polychlorované bifenyly (PCB), polyaromatické
uhlovodíky, ropné látky, DDT a další pesticidy, organická rozpouštědla atd.; již
při malých koncentracích jsou velmi nebezpečné.
Chemické znečištění vody nelze převařením odstranit, bakteriologické znečištění odstraníme povařením aspoň 5 minut, viry se usmrtí až po 30 minutách.
Požadavky na jakost vody pro koupání ve volné přírodě upravuje vyhláška
Ministerstva zdravotnictví č. 464/2000 Sb.
Znečištění světového oceánu
Mezi příčiny znečištění světového oceánu můžeme řadit např. transport
organických a anorganických škodlivin řekami do moří a oceánů, přímé zavádění znečištěných nebo nedostatečně čištěných komunálních a průmyslových
odpadních vod na pobřeží, lodní doprava, přenos škodlivých látek přes atmosféru, ukládání vysoce toxických odpadů na mořském dně v sudech a kontejne-
16
rech, ukládání radioaktivních látek a odpadů z jaderných elektráren. Znečištění
se do oceánů dostává především řekami, odpadními vodami přímo do moře,
vymýváním zemědělské půdy či přes atmosféru .
Ropné látky
Odhaduje se, že na hladině světového oceánu se vznáší asi 150 000 tun
dehtových látek, přičemž se jedná průměrně o koncentrace kolem 0,1 mg/m2 ve
volném oceánu až po 20 mg dehtu/m2 ve středozemních mořích. Do světového
oceánu se v posledních letech dostává přibližně 6 milionů tun ropy ročně
(z toho asi 10 % připadá na znečištění bez zavinění člověka, tzn. na průsaky
a samovolné úniky z naftonosných oblastí mořského dna).
Havárie ropných tankerů nejsou největšími znečišťovateli oceánu, větší
objem ropných látek pochází z provozu lodí, z řek a z atmosféry. Ropa a těžké
oleje vytvářejí na povrchu velmi rychle hustou vrstvu, tlustou asi 2 mm, a zůstávají na hladině. Ropný film na hladině pak snižuje výměnu plynů a omezuje
fotosyntézu, zvláště v produktivních oblastech zálivů, kde je malá dynamika
vodních mas.
Jestliže se ročně dostane 6 milionů tun ropy do oceánů – 1 tuna ropy znečistí 6 km2 vodní plochy (v roce 1989 na Aljašce – Exxon Valdez – 10 mil. galonů
ropy, znehodnoceno 5 000 km pobřeží).
Chlorované uhlovodíky
Odhaduje se, že do oceánu se dostává cca 25 % roční produkce; jejich nebezpečí spočívá v možnosti kombinování toxicity s jinými látkami, ve značné
stálosti (rezistenci) a velkou schopností akumulovat v biomase. Zpomalují
fotosyntézu, růst a dělení buněk u fytoplanktonu – ten vytváří až 70 % produkce kyslíku.
Pevné odpady
Mnoho oblastí světového oceánu, a to jak pláže, dno okrajových i středozemních moří, ale i pobřežní oblasti vzdálených ostrovů je pokryto předměty
z plastů, dřeva, skla apod. Poslední odhady hovoří o 10 – 11 mil. tun pevných
odpadů, které se ročně dostávají do oceánu.
Jednoduché experimenty
Pokus 1
Pomůcky: 1 lihový kahan, 1 trojnožka, 1 tyčka, 1 láhev, 1 kovové sítko, 1 sklenice, led, líh, 1 zahnutá skleněná trubička s uzávěrem
17
Postup:
Na Zemi je asi 1 500 000 km3 vody v různých podobách (pevná, kapalná,
plynná).
Nalijte vodu asi do poloviny láhve. Do jejího hrdla vložte trubičku
s uzávěrem. Sestavte zařízení. Zapalte kahan.
Co se děje uvnitř trubičky?
Co můžete vidět na spodní straně tyče?
Zakreslete fázové přechody vody.
Pokus 2
Pomůcky: 1 lahvička, 1 lihový kahan, 1 plexisklová deska, 1 kovové sítko,
1 trojnožka, líh
Postup:
Nalijte troch vody do lahvičky umístěné na trojnožce s kovovým sítkem a
zapalte kahan. Plexisklovou desku držte nad lahvičkou a položte na ni led.
Dokončete následující věty:
Když voda začne vařit, vodní pára…
Déšť je …
Otázky:
Co jsou mraky? Proč se z deště někdy stává sníh nebo kroupy?
18
Aby se zjistilo kolik centimetrů vody spadlo za určité období, používají
někdy meteorologové měřič deště (srážkoměr), který si můžete vyzkoušet
v následujícím pokusu:
Pokus 3
Pomůcky: 1 trychtýř, 1 kalibrační válec, 1 pravítko, 1 víčko s otvorem
Postup:
Změřte průměr válce a vložte do něj trychtýř. Spočítejte plochu otvoru
trychtýře pomocí vzorce pro výpočet kruhu. Když prší, zachytí trychtýř déšť,
který dopadá na jeho povrch. Umístěte zařízení ven během deštivého dne a
zachyťte déšť, který spadl za 24 hodin. Zapište si objem vody uvnitř kalibračního válce.
Pozorování a zachycené údaje:
Povrch trychtýře je …. cm2
Objem zachycené vody v cm3 ….
Abyste zjistili, kolik centimetrů vody spadlo, stačí vydělit objem zachycené
vody plochou otvoru trychtýře. Provádějte tento postup několik dní a výsledky
zapište do následující tabulky:
Den v týdnu
Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Sobota
Objem spadlé vody v cm3
Výška spadlé vody (cm)
Vodní pára ve vzduchu
Ve vzduchu se vyskytuje vodní pára a to proto, že při kondenzaci ve vyšších
nadmořských výškách , kde je teplota nižší, se tvoří srážky. Přítomnost vodní
páry ve vzduchu se nazývá atmosférická vlhkost. Stupeň vlhkosti ve vzduchu
závisí na množství přítomné vodní páry.
Díky našim smyslům jsme schopno cítit přítomnost vodní páry ve vzduchu.
Mnoho běžně používaných látek jako je vlna, mouka, sůl jsou hydroskopické,
tzn. že snadno absorbují vodní páru. Zvláště v případě vlasů, většina lidí
s blond vlasy je senzitivních na atmosférickou vlhkost, při suchém vzduchu se
vlasy zkracují, když je velmi vlhký, prodlužují se. Na základě tohoto principu
byl vytvořen vlasový vlhkoměr, který, i když není příliš přesný, umožňuje
zjišťovat odchylky atmosférické vlhkosti. Jednoduchý vlasový vlhkoměr si
můžete sestavit pomocí tohoto pokusu:
19
Pokus 4
Pomůcky: 1 vlhkoměr, 1 10g závaží, 3 blond vlasy, líh
Postup:
Vezměte tři blond vlasy o délce minimálně 30 cm. Očistěte je vatovým
tamponem namočeným v lihu , a poté je umístěte na malý svazek se dvěma
uzly na koncích. Zavěste svazek na hák přístroje, srolujte ho nahoru ke kladce a
na druhý konec zavěste 10 g závaží. Umožněte, aby během ne deštivého, ale ne
zcela suchého dne, byl ukazatel přístroje ve středu stupnice.
Pokud atmosférická vlhkost stoupá, vlas se prodlužuje a ukazatel se otáčí
směrem k vrcholu, naopak, když se vlas zkracuje, ukazatel se otáčí dolů.
Relativní vlhkost, vlhkoměr
Množství vodní páry uvnitř masy vzduchu (např. 1 m3 vody) roste se stoupající teplotou. Proto v oblastech okolo rovníku, kde je vysoká teplota, je atmosférická vlhkost vyšší než v mírných regionech. Každopádně, v souladu
s teplotou, množství vodní páry v 1 m3 nemůže překročit určenou hodnotu.
Například při 20 °C , nemůže obsahovat více než 17,2 g vodní páry.
Pokud je vzduch naplněný vodní párou, nazývá se nasyceným vzduchem. Je
důležité zapamatovat si tyto definice:
- absolutní vlhkost je hmotnost vodní páry v gramech v 1 m3 vzduchu
- relativní vlhkost je poměr mezi množstvím vodní páry ve vzduchu a maximálním množství páry, které by mohl vzduch obsahovat při stejné teplotě.
Jestliže například v den, kdy je okolní teplota 20 °C, bylo v 1 m3 vzduchu
10 g vodní páry, bude relativní vlhkost:
Relativní vlhkost = 10 g/17,2 g = 0,58 = 58 %
Přístroje, které se nazývají hygrometry, měří relativní vlhkost. Nejpřesnější
z nich je vlhkoměr, který je vytvořen ze dvou teploměrů, jeden se suchou baňkou a druhý s vlhkou baňkou. Voda, která zvlhčuje tkaniny se vypařuje, ale jak
pára absorbuje teplo, a tak vytváří chlad, bude teplota na druhém teploměru
nižší než teplota na prvním teploměru.
Rozdíl mezi těmito dvěma teplotami bude tím vyšší, čím větší bude vypařování, tzn. čím sušší bude vzduch. Níž je uvedena tabulka pro zjišťování hodnoty relativní vlhkosti, pokud znáte rozdíl teplot ukázaných oběma teploměry:
Teplota na vlhkém teploměru 10 °C.
Teplotní rozdíl
mezi dvěma tep0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
loměry v °C
Relativní vlhkost
100 87 76 66 57 48 41 34 28 23 18 14 10 6
v%
20
Pokus 5
Pomůcky: 1 vlhkoměr, 1 malý hřebík, 1 sklenice, 1 trychtýř
Postup:
Pověste vlhkoměr na venkovní zeď, kde teplota nikdy neklesne pod 0 °C ,
protože pokud je vlhká baňka pokrytá sklem, nebyl by vztah uvedený v tabulce
platný. Pomocí trychtýře a sklenice naplňte nádobu na spodní straně přístroje.
Jakmile začne voda stoupat do látky a dosáhne baňky pravého teploměru, uvidíte, že její teplota, která byla na obou teploměrech stejná, začne klesat. Nyní
přístroj pracuje. Dávejte pozor, aby byla nádoba vždy naplněna vodou, jinak by
přístroj nepracoval správně.
Každý den si zaznamenávejte relativní vlhkost a výsledky zapisujte do
tabulky.
Atmosférické srážky
Vodní pára ve vzduchu je velmi důležitá pro všechny živé formy, ale
v určitých limitech. Je to pravda, zvláště pro naše tělo, které dokáže snášet
změny teploty, ale pouze v určitých intervalech, i když se to u jednotlivých
osob liší.
Pokud je vzduch příliš suchý, tzn. bez vodní páry, provokuje pocení a dráždí dýchací systém. Pokud je vzduch příliš vlhký, a tak i velmi horký, zabraňuje
naopak pocení a způsobuje ochlazení kůže. Může způsobit úpal. Člověk nemůže ovlivnit povětrnostní podmínky jako jsou teplota, tlak a atmosférická vlhkost, protože není možné je žádným způsobem ovládat.
Ale uvnitř obytných místností člověk používá různé zdroje tepla, zvlhčovače a klimatizaci, díky nimž dokáže regulovat teplotu a vlhkost. Abyste se na
těchto místech cítili dobře, je ideální nastavit teplotu okolo 18 – 20 °C, výměnu
vzduchu a správný stupeň vlhkosti.
Předpověď počasí
Od pradávna se lidé snaží zjistit, jaké bude počasí. Je to proto, že mnoho
lidských aktivit je podmíněno počasím: cestování, létání, války, zemědělství…Výzkum je důležitý v souvislosti s pokrokem – věda a technika vyvíjí
přístroje, které poskytují spolehlivější informace.
V současné době meteorologické stanice používají pro výzkum atmosférických podmínek balónové sondy a satelity, které obsahují přístroje pro zaznamenávání hodnot týkajících se podnebí, atmosférického tlaku, vlhkosti, teploty… v různých nadmořských výškách.
Elektronika tato data zpracovává, vytváří předpověď počasí, zhotovuje
tabulky, ve kterých je pro každé místo zaznamenána oblačnost, rychlost a směr
21
větru, teplota, atmosférický tlak, množství spadlé vody v přesném časovém
intervalu apod.
Pomocí přístrojů, které máte k dispozici, můžete pro každý den vyplnit
tabulku níže a předpovídat počasí na další den, pokud se budete držet následujících doporučení:
• Pokles atmosférického tlaku všeobecně označuje příchod cyklonové oblasti
a proto může pršet.
• Přítomnost tmavých mraků v nižších vrstvách atmosféry znamená déšť.
• Vzestup relativní vlhkosti kolem 100 % hodnoty znamená více vodní páry
ve vzduchu, jejíž výsledkem je déšť při snížení teploty.
• Kombinace všech těchto faktorů téměř jistě znamená déšť.
• Směr a rychlost větru typické pro váš region, vám umožní předpovídat
vývoj větru.
• Severní vítr např. slibuje pěkné počasí v mnoha oblastech Itálie, jižní vítr
znamená zvýšení teploty.
Týden od… do…
Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Sobota Neděle
Průměrná teplota °C
Maximální teplota
°C
Minimální teplota
°C
Tlak (Pa)
Relativní vlhkost %
Spadlá voda (cm)
Směr větru
Rychlost větru km/h
Přirozené prostředí, život ve vodě
Život byl zrozen ve vodě. Voda znamená život, bez vody by nemohli existovat lidi, zvířata ani rostliny.
Pokus 6
Pomůcky: nádoba na vzorky, kapátko, provzdušňovač, mikroskopická sklíčka,
Petriho miska, akvárium, mikroskop, mikroskopická krycí sklíčka
Postup:
Nechte asi hodinu vařit vodu, abyste usmrtili všechny živočichy, kteří v ní
byli přítomni. Vezměte trochu trávy a vody z potoka nebo ze studny. Nalijte do
22
akvária sterilní vodu a přidejte trochu trávy a vody z potoka. Pomocí kapátka
naberte trochu vody z akvária a kápněte ji na sklíčko. Pozorujte ji pod mikroskopem. Tento postup zopakujte po několika hodinách a po několika dnech.
Poznámka: Nezapomeňte akvárium pravidelně provzdušňovat.
A. Při prvním pozorování zaznamenáte neuvěřitelně živý svět tvořený především bakteriemi.
B. Při druhém pozorování uvidíte bičíkovce, ze kterých se brzy stane nejběžnější druh.
C. Po několika dnech zaznamenáte nálevníky.
D. Nakonec dojde k poklesu počtu bičíkovců. Objeví se améby, zelené řasy a
další živočichové podobné malým krevetám, kteří vytvoří rozmanité a stálé
komunity.
Otázky:
Jaká je příčina posloupnosti živých bytostí?
Proč se posloupnost v určitém bodě zastaví?
Proč je nezbytné akvárium provzdušňovat?
Co si myslíte, že by stalo se živými organismy v akváriu, kdyby byl přerušen
přívod kyslíku?
23
Pitná voda a její rozvod
Pitná voda je voda, kterou můžeme pít, aniž by poškodila naše zdraví. Měla
by být čerstvá, čistá, bezbarvá, bez chuti, chemicky a bakteriologicky nezávadná. Voda, kterou používáme v domácnosti, může být čerpána z podzemních
zdrojů, řek, jezer nebo pramenů. Záleží to na zeměpisné poloze a podzemní
morfologii. Vždy je vybrán ekonomicky nejvýhodnější systém zajišťující stabilní dodávku vody. Voda získaná z pramenů nebo podzemních zdrojů je obvykle čistá, oproti vodě čerpané z řek nebo jezer. Proto jsou akvadukty vybaveny moderními čistícími systémy (písek, štěrk, chlor, filtry), které přeměňují tuto
vodu na pitnou.
Otázky:
Jaké jsou hlavní stupně čištění vody od jejího čerpání po distribuci? Deratizace
pomocí chlóru se používá pro: a) čištění vody, b) slazení vody, c) ochucení
vody, d) zvýšení odpařování.
Proč je voda skladována ve vysokých nádobách?
Znečištění vody
Voda je nevhodná pro určené použití. Změny jsou způsobeny především
lidskou činností. Tyto činnosti lze rozdělit do tří skupin:
a) občanské – Díky výtokům vody z domovů, škol, kanceláří atd. Tyto výtoky
vody obsahují látky pocházející z lidského metabolismu, a proto jsou schopny
rozkladu a jisté množství tuků, čisticích prostředků atd.
b) průmyslové – látky obsažené v průmyslových výtocích vody se mění podle
druhu průmyslu tj. podle druhu materiálů, které daný průmysl zpracovává.
Většina těchto látek není schopna rozkladu. Dochází rovněž k vypouštění chladící vody. Ke znečištění dochází vlivem její vysoké teploty.
c) zemědělské – způsobené používáním hnojiv a pesticidů. Tyto látky, všeobecně toxické, jsou filtrovány přes půdu do vody, jak do podzemní tak do říční.
Pokus 7
Pomůcky: 1 nádoba s víkem, strouhanka, plastové uzávěry, několik kousků
jablečné slupky, několik kousků skla
Schopnost rozkladu odpadního materiálu
Postup:
Odpadní materiál vzniklý při lidských činnostech se vždy dostává do vody.
Mikroorganismy přítomné ve vodě, stejně jako v půdě, mají schopnost absorbovat a rozkládat organické látky. Velké množství vody je přetíženo organic24
kými látkami, proto mikroorganismy využijí všechen dostupný kyslík. Pokud
k tomu dojde, není se již voda schopna sama čistit a dochází ke zhoršení jejího
okolního prostředí.
Naplňte nádobu vodou (nesmí to být pitná voda). Vložte do vody vzorky
odpadů. Zkontrolujte stav vody po 14 dnech a po měsíci.
Otázky:
Proč jste měli použít vodu, která není pitná?
Které vzorky odpadu jsou schopny rozkladu?
Které vzorky odpadu nejsou schopny rozkladu?
Hledání hlavních škodlivin
Jak jsme viděli, znečištění závisí především na člověku a jeho činnostech:
občanských, průmyslových a zemědělských. Hlavní škodlivé látky přítomné ve
vodě jsou čpavek, dusitany, chloridy, sulfáty, fosfáty, tenzidy.
Zjistěte stupeň znečištění řek, potoků, studní, pramenů pomocí následujícího
pokusu:
Pokus 8
Pomůcky: kolektor vody, skleněné míchadlo, kádinka 100 cl, pevný hydroxid
sodný, 2 zkumavky s uzávěry, Nesslerova sloučenina, 1 stříkačka
Test na čpavek.
Čpavek je toxická látka, která není přítomna v neznečištěné vodě.
Postup:
Seberte vzorek vody. Promíchejte ve 3 ml zkumavce Nesslerovu sloučeninu
a kapku hydroxidu sodného. Roztok míchejte tak dlouho, dokud se hydroxid
sodný nerozpustí.
Nalijte 5 ml testované vody do druhé zkumavky. Přidejte 3 kapky z první zkumavky do vody a dobře promíchejte.
Výklad výsledků:
A. Vzorek neobsahuje čpavek – nejsou viditelné změny barvy.
B. Vzorek obsahuje stopy čpavku – roztok se zbarví do světle žluta.
C. Vzorek obsahuje znatelné množství čpavku – roztok se zbarví do žlutohněda.
D. Vzorek obsahuje velké množství čpavku – na dně je cihlově červená usazenina.
25
Otázky:
Kolik čpavku obsahuje váš vzorek?
Je voda znečištěná nebo ne?
Pokud ano, proč si myslíte, že tomu tak je?
Pokus 9
Pomůcky: 1 kolektor vody, 1 zkumavka s uzávěrem, Griessova sloučenina,
1 kapátko, 1 kádinka 100 ml, 1 stříkačka
Test na dusitany.
Přítomnost dusitanů ve vodě je známkou jejího znečištění.
Postup:
Nalijte 20 ml testované vody do zkumavky. Přidejte 1 ml Griessovy sloučeniny.
Nechte roztok stát 10 minut.
Výklad výsledků:
A. Vzorek neobsahuje kyselinu dusitou – nejsou tu žádné barevné změny
B. Vzorek obsahuje kyselinu dusitou – roztok se zbarví do červena, intenzita
zbarvení je závislá na koncentraci.
Otázky:
Jaký je obsah kyseliny dusité ve vašem vzorku?
Je voda znečištěna nebo ne?
Pokud ano, proč si myslíte, že tomu tak je?
Pokus 10
Pomůcky: 1 kolektor vody, 1 zkumavka s uzávěrem, 1 kádinka 100 cl, chlorid
barnatý 10 % roztok, 1 kapátko, 1 míchadlo, kyselina solná 10 % roztok, 1 stříkačka
Test na sulfáty.
Přítomnost sulfátu v přírodní sladké vodě nemusí vždy znamenat znečištění.
Jejich přítomnost může být způsobena chemickými vlastnostmi kamenů
v blízkosti vody.
Postup:
Nalijte 10 ml testované vody do zkumavky. Přidejte 4 kapky kyseliny solné
a 2 kapky roztoku chloridu barnatého. Dobře promíchejte, nechte chvilku stát
a podívejte se do děje uvnitř zkumavky.
26
Výklad výsledků:
A. Vzorek neobsahuje sulfáty – nedošlo ke změně barvy.
B. Vzorek obsahuje sulfáty v normálním/přípustném množství – roztok se po
několika minutách zakalí.
C. Vzorek obsahuje velké množství sulfátů často nekompatibilních – okamžitě
se vytvoří bílá prášková usazenina.
Otázky:
Jaký je obsah sulfátů ve vašem vzorku?
Je voda znečištěná nebo ne?
Pokud ano, proč si myslíte, že tomu tak je?
Pokus 11
Pomůcky: 1 kolektor vody, 1 zkumavka s uzávěrem, 1 kádinka 100 cl, metylová
modř, 1 kapátko, 1 míchadlo, chloroform, 1 stříkačka
Test na tenzidy.
Tenzidy jsou toxické a jejich přítomnost je známkou vysokého znečištění.
Postup:
Nalijte 10 ml testované vody do zkumavky. Přidejte 2 ml chloroformu
a kapku metylové modře. Dobře promíchejte a nechte stát asi 10 vteřin, aby
došlo k oddělení vody a chloroformu.
Výklad výsledků:
A. Vzorek neobsahuje tenzidy – chloroform na dně zůstane bílý.
B. Vzorek obsahuje tenzidy –chloroform zmodrá ve větším či malém rozsahu
v závislosti na koncentraci.
Otázky:
Kolik tenzidů obsahuje váš vzorek?
Je voda znečištěná nebo ne?
Pokud ano, proč si myslíte, že tomu tak je?
Biologické indikátory
Často různé faktory určují typy organismů žijících v jistém prostředí. Díky
tomu jsme schopni posoudit typ prostředí podle živočichů, kteří se v něm vyskytují. Tyto živočichy lze považovat za „biologické indikátory“.
27
Pokus 12
Pomůcky: 1 kolektor vody, 1 mikroskop, 1 okulár, 1 Petriho miska, 1 nádoba na
vzorky
Hledání bezobratlých obzvláště citlivých na znečištění.
Postup:
Seberte vzorek vody z potoka. Tento vzorek bude obsahovat bezobratlé
(plankton). Nalijte vzorek pomalu do Petriho misky. Pozorujte vzorek pomocí
okuláru pod mikroskopem. Pokuste se rozpoznat jednotlivé živočichy za pomoci níže uvedených obrázků.
Výklad výsledků:
A. Pokud je voda čistá, najdete v ní všechny bezobratlé popsané výše.
B. Pokud je voda znečištěná, nejcitlivější druhy vymizí.
28
Otázky:
Je vzorek bohatý na živočichy?
Co můžete uvést o kvalitě vzorku vody?
Jaké jsou hlavní zdroje znečištění v oblasti, kde jste vzorek vody odebírali?
Několik zajímavostí na závěr
Vysychání Aralského jezera…
Pokrývání ledovců – v letech 1985-2000 se plocha Alpských ledovců zmenšila o 1/5, proto se pokrývají ledovce ochrannou fólií.
Čtvrté skupenství vody – superionizovaná voda (v nitru planety Neptun) –
podmínky existence jsou: enormně vysoká teplota (1 000 °C), tlak (100 000×
větší než na Zemi). Vlastnosti této žlutě světélkující vody jsou: dobrá elektrická
vodivost, tvrdost podobná železu (uměle vytvořeno v Kalifornii).
Voda ve vesmíru – Mars – voda v oblasti pólu, v r. 2005 – odhaleno podzemní zamrzlé jezero o rozloze 720 tisíc km2 v oblasti rovníku.
Z historie – 18. stol. H. Cavendish objevil, že voda se skládá z vodíku
a kyslíku, roku 1783 A. Lavoisier vodu z kyslíku a vodíku poprvé složil, v roce
1804 – Gay-Lussac a Humboldt – H2O.
29
Deterministický chaos
OLDŘICH LEPIL
Úvodem
Modernizační hnutí ve fyzice ve 2. polovině 20. století se soustředilo na
inovace středoškolské fyziky poznatky z „extrémních“ oblastí jevů v přírodě.
To znamená, že v učivu fyziky přibyly poznatky z fyziky mikrosvěta atomů
a subatomárních částic a megasvěta vesmírných objektů nebo jevy spojené
s relativistickými rychlostmi fyzikálních objektů. Mimo pozornost však dosud
zůstala řada jevů pozorovatelných ve světě běžných rozměrů a rychlostí, které
vykazují do jisté míry podivný průběh. Jde o jevy, které mají na první pohled
nepravidelný, chaotický průběh a vyskytují se nejen u objektů neživé přírody
(vývoj počasí, turbulentní proudění tekutin, šum v elektronických obvodech
aj.), ale i v biologických systémech (nepravidelnosti v činnosti srdce, rozmnožování živých systémů, chování přírodních systémů) nebo i v ekonomice (vývoj
cen) a v životě společnosti (kolapsy v dopravě a energetice, chování velkých
mas lidí). Tyto jevy se souhrnně označují jako deterministický chaos a interpretaci řady jevů s chaotickým průběhem umožnilo až použití počítačů.
Z hlediska fyzikálního vzdělávání jsou poznatky o deterministickém chaosu
významné v tom, že ukazují omezenou platnost klasické mechaniky, která
vytvářela deterministický obraz světa. Podle těchto představ zákony Newtonovy dynamiky umožňují přesně předpovídat průběh fyzikálního děje, popř. vytvořit matematický model reálného systému, jsou-li s dostatečnou přesností
známy počáteční podmínky. Vytváření takových modelů by usnadňovalo
zejména použití počítačů, poněvadž jedině ty umožňují řešit soustavy rovnic
s mnoha proměnnými veličinami. Samy počítače však ukázaly svoje omezené
schopnosti při řešení konkrétního modelu.
Ve výuce fyziky se zabýváme převážně zjednodušenými fyzikálními jevy,
které vesměs patří mezi děje v konzervativních systémech blízko rovnovážného
stavu, v nichž nedochází ke ztrátám (disipaci) energie. To především znamená,
že se při daném ději zachovává mechanická energie, kterou má systém
v počátečním okamžiku. Abychom mohli uplatnit zjednodušený pohled na tyto
systémy, zavádíme určité abstrakce, jako je např. izolovaná soustava, hmotný
bod apod. Typickým reprezentantem takového konzervativního systému je
např. sluneční soustava, v níž se planety pohybují trvale bez ztráty mechanické
energie. Podobným systémem je také ideální mechanický oscilátor se zanedbatelným tlumením, který kmitá dostatečně dlouho se stálou amplitudou.
30
V každém reálném systému však nutně dochází k určité ztrátě mechanické
energie, avšak z hlediska časového intervalu, v němž je systém zkoumán, může
být úbytek mechanické energie považován za zanedbatelný. Jestliže pak známe
počáteční podmínky a všechny síly, které v systému působí, můžeme
s dostatečnou přesností popsat děje v systému i poměrně jednoduchými matematickými prostředky. Např. pohyb planety v centrálním gravitačním poli
Slunce můžeme popsat jako relativně jednoduchý pohyb po elipse, jejíž parametry můžeme považovat za konstantní.
Interpretaci dějů, které popisuje klasická Newtonova dynamika, označujeme
jako mechanicko-deterministickou. Tento přístup slavil od dob Newtonových
mnoho úspěchů a na něm postavený obraz světa přetrvával až do 20. století.
Značnou trhlinu tohoto pohledu na svět znamenal vznik kvantové fyziky
a zejména objev Heisenbergova principu neurčitosti. Z něj vyplývá, že
v mikrosvětě principiálně nelze s libovolnou přesností určit všechny parametry
pohybu částice, a to i v případě, že ji zkoumáme izolovaně. Nepřesnost znalosti
počátečních podmínek pak vede k neurčitosti jejího pohybu v prostoru. To
ovšem neznamená, že by pohyb takové částice byl nahodilý a že by tím byla
popřena kauzalita dějů v přírodě. Chování nejen částic mikrosvěta, ale i mnoha
jiných systémů v přírodě probíhá podle exaktních zákonitostí, i když se nám
průběh děje může jevit jako chaotický.
Tyto odchylky od deterministicky daného průběhu pozorujeme u systémů
s nelineárními vlastnostmi (nelineární dynamické systémy – viz dále). Tyto
systémy jsou v přírodě velmi časté a lze mezi ně zařadit i děje, které
v omezeném časovém intervalu a při malé odchylce od rovnovážného stavu
vnímáme jako deterministické. Děje v těchto systémech se popisují diferenciálními rovnicemi, jejichž řešení je závislé na dostatečně přesné znalosti počátečních podmínek. I malá nepřesnost nebo změna v hodnotách počátečních podmínek má za následek podstatnou změnu celkového průběhu děje v nelineárním
systému.
Příkladem takového systému, který byl poměrně důkladně zkoumán již
v 19. století, je proudění tekutiny, v níž za jistých podmínek vznikají turbulence, které jsou projevem chaotického chování. Toto chování dnes považujeme za
vlastní všem přírodním dynamickým systémům, které se nacházejí dostatečně
daleko od jejich statického rovnovážného stavu. Za těchto podmínek se uplatňuje nelineární průběh změn veličin charakterizujících vlastnosti zkoumaného
systému a to zákonitě vede k jeho chaotickému chování. Konkrétně si to ukážeme na příkladu turbulence ovzduší, jehož výzkum přímo vedl v 60. letech
minulého století ke vymezení deterministického chaosu jako nové vědní disciplíny.
31
Motýlí efekt
V populární literatuře se závěry z výzkumu turbulence ovzduší obvykle
ilustrují tzv. motýlím efektem, který je vyjádřen metaforou: „Jestliže nad Brazílií zamává motýl křídly, může se to v Texasu projevit jako tornádo“. Touto
větou je zdůrazněn poznatek, že nepatrná změna stavu ovzduší na jednom místě
zeměkoule se vlivem nelinearit ve vlastnostech proudícího vzduchu může natolik zvětšit, že v proudění vzduchu vznikne extrémní stav v jiném, i značně
vzdáleném místě.
Autorem uvedeného výroku je americký meteorolog E. N. Lorenz, působící
na Massachusetts Institute of Technology, který v roce 1972 přednesl na shromaždění American Association for the Advancement of Science ve Washingtonu prednášku s názvem: Predictability: Does the flap of a Butterfly's Wings in
Brazil set off a Tornado in Texas? V přednášce se zabýval výsledky řešení
úkolu: vytvořit jednoduchý matematický model zemské atmosféry, který by
umožňoval studovat počasí, především proudění vzdušné hmoty.
Model, který Lorenz zkoumal v roce 1961, původně tvořila soustava 12ti
rovnic, což kladlo značné nároky na výpočetní techniku, kterou měl tehdy
k dispozici. Výpočty prováděl s přesností na 6 číslic, takže řešení bylo značně
zdlouhavé. Když pak kontroloval výsledky, začal výpočet pro usnadnění nikoliv od začátku, ale od středu řešení, a data zaokrouhlil na tři platné číslice. Zjistil však, že nové řešení se postupně stále více odchyluje od řešení původního.
Tím bylo prokázáno nejen to, že předpověď počasí nemůže být vzhledem
k možným nepatrným odchylkám počátečních hodnot nikdy zcela přesná, ale
i obecnější poznatek, že ani nejdokonalejší počítače neumožňují přesně simulovat děje, které probíhají v některých i poměrně jednoduchých soustavách.
Lorenz model dále zjednodušil a v roce 1963 publikoval v časopisu Journal
of the atmospheric science (roč. 20, s. 130) článek s názvem Deterministic
Nonperiodic Flow, v němž popsal dnes všeobecně známý model se třemi navzájem závislými diferenciálními rovnicemi
dx
= σ ( y − x ),
dt
dy
= − xz + rx − y,
dt
dz
= xy − bz.
dt
32
Model popisuje konvekci a přenos tepla v zemské atmosféře, která je zahřívána velmi vzdáleným zdrojem tepla – Sluncem. To způsobuje vznik teplotního
gradientu mezi horní vrstvou s nižší teplotou T1 a vrstvou bližší k zemskému
povrchu, která má vyšší teplotu T2 (obr. 1). Za těchto podmínek vzniká rotační
pohyb vzduchu, při němž teplý vzduch stoupá vzhůru, ochlazuje se a začíná
klesat, znovu se ohřívá a pokračuje v cirkulaci. I když je model do značné míry
idealizován, řešení rovnic dokumentuje nestabilitu ovzduší, která se projevuje
změnami směru cirkulace vzduchu.
Obr. 1
Proměnné x, y, a z v rovnicích nepředstavují, jak bychom předpokládali,
prostorové souřadnice, ale mají do jisté míry abstraktní význam. Proměnná
x charakterizuje rychlost rotace a při kladné hodnotě vzduch rotuje ve směru
pohybu hodinových ručiček. Proměnná y určuje rozdíl teplot stoupajícího
a klesajícího vzduchu a proměnná z vyjadřuje odchylku teploty ve svislém
směru od lineárního průběhu. Pro výsledný průběh proudění mají značný význam hodnoty parametrů v rovnicích, které definuje teorie proudění. Parametr r
je Rayleighovo číslo, ρ je Prandtlovo číslo (o těchto číslech podrobněji viz [1])
a b je geometrický faktor, který vyjadřuje poměr délky a průměru uvažovaného
válce cirkulujícího vzduchu. V obvyklých atmosférických podmínkách mají
tyto parametry hodnoty r = 28, ρ = 10, b = 8/3.
Lorenzovy rovnice nejsou z formálně matematického hlediska nijak pozoruhodné. Překvapení přinesly až snahy o jejich řešení. I když v sobě zahrnují
méně výrazné nelinearity, nepodařilo se je vyřešit analyticky a numerické řešení vedlo k již uvedeným odchylkám od čistě deterministického průběhu.
33
Počítačem vytvořený graf proměnných pro uvedené hodnoty parametrů
představuje charakteristický obrazec, který svým tvarem jednak evokuje motýlí
efekt, jednak se stal přímo grafickým symbolem charakterizujícím disciplínu
deterministického chaosu. Graf je označován jako Lorenzův atraktor (termín
atraktor je vysvětlen dále) a existuje mnoho apletů, které umožňují vytvoření
Lorenzova atraktoru jak v rovině, tak v podobě 3D, s možností měnit směr os
jednotlivých proměnných (viz např. [2]). Jedno takové řešení je na obr. 2 [3].
Ve vodorovném směru jsou zobrazeny body odpovídající proměnné x a ve
směrech y a z jsou veličiny, jejichž hodnoty určují teplotní odchylky.
V podstatě to znamená vyjádření souvislosti rychlosti proudění vzduchu
(v pravé části kladným směrem a v levé části záporným směrem) a teplotních
odchylek.
Obr. 2
34
Z grafu je zřejmé že se směr proudění chaoticky mění, přičemž se hodnoty
proměnných udržují v určitých mezích. Na prostorově zobrazeném grafu je
patrné, že neprotíná sám sebe, nekříží se a jeho křivky se neopakují. Lorenzův
atraktor je reprezentantem charakteristické skupiny grafů proměnných veličin
při chaotických dějích, které se označují jako podivné atraktory (strange acttractor). Je to neuzavřená, nekonečně dlouhá čára, která nevybočuje z jisté
ohraničené části prostoru a je neperiodická. Vykazuje výraznou pravidelnost,
ale i značnou neuspořádanost. Analýza Lorenzových rovnic ukázala, že systém
se začíná chovat chaoticky v případě, že Rayleighovo číslo r > 27,74.
Pochopení fyzikálního smyslu Lorenzova atraktoru napomáhá jeho mechanický model, tzv. Lorenzovo vodní kolo (obr. 3). Je tvořeno nádobkami připevněnými k otáčivému kruhovému rámu. Nádobky mají ve dnu otvor. Na kolo
přitéká shora rovnoměrně proud vody, která otvory v nádobkách zčásti odtéká.
Proměnná hmotnost nádobek, daná rozdílem hmotností přitékající a odtékající
vody, způsobuje otáčení kola, jehož směr se však chaoticky mění tak, že po
několika otáčkách jedním směrem se pohyb zpomalí a kolo se začne otáčet
směrem opačným. Závislost rychlosti určité nádobky na její poloze napodobuje
svým tvarem podivný atraktor.
Obr. 3
I když je možné najít na webu několik velmi zdařilých apletů zobrazujících
Lorenzův atraktor, pro zkoumání atraktoru je vhodné vytvořit si jeho počítačový model některým z programů pro dynamické modelování. V našem případě
je model vytvořen programem Coach 5, který je podrobně popsán v publikaci
[4]. V následující tabulce je program pro modelování Lorenzova atraktoru a na
obr. 4 je výsledek.
35
Model
dx=d*(y-x)
dy=r*x-y-x*z
dz=x*y-b*z
x=x+dx*h
y=y+dy*h
z=z+dz*h
wait(0.01)
Proměnné, počáteční hodnoty
r=28
b=2.7
d=10
h=0.01
x=3.5
y=0
z=7.5
t=0.01
Obr. 4
36
Kmitání ve fázovém prostoru
Ve středoškolské fyzice je vhodným východiskem seznámení žáků
s vybranými pojmy deterministického chaosu učivo o mechanickém kmitání,
které modelujeme kmitáním pružinového oscilátoru, popř. kyvadla. Jsou to
jednoduché systémy, na nichž lze dobře ukázat postup od idealizovaného konzervativního systému, který kmitá s konstantní amplitudou, k reálnému disipativnímu systému, jehož amplituda se exponenciálně zmenšuje, až oscilátor
zaujme rovnovážný stav, který měl před tím, než mu byla vnějším působením
dodána energie.
Pohyb těchto jednoduchých oscilátorů je popsán diferenciálními rovnicemi
d2 x
+ ω02 x = 0 ,
dt 2
popř.
d2 x
dx
+ 2δ
+ ω02 x = 0 ,
dt
dt 2
které můžeme snadno napsat ve středoškolákovi dostupnější podobě pohybových rovnic
ma = −kx, popř. a = −ω 02 x
ma = −kx − bv.
Součinitel tlumení kmitavého pohybu δ a konstanta b, která vyjadřuje závislost
b
tlumící síly na rychlosti kmitavého pohybu, souvisejí vztahem 2δ = .
m
Tyto rovnice používáme také jako východisko pro vytváření počítačových
modelů (viz [4]), které budeme dále používat i k modelování dějů v systémech
s chaotickým průběhem oscilací.
Poměrně úplnou informaci o kmitání uvedených oscilátorů podává fázový
diagram, který zobrazuje vzájemnou závislost polohy (souřadnice) kmitajícího
objektu a její první derivace, tedy rychlosti, jejíž hodnota v podstatě určuje
hybnost soustavy (m = konst.).
Jestliže budeme pružinový oscilátor považovat za konzervativní systém,
znamená to, že se jeho celková mechanická energie nemění a tedy jak amplitu37
da výchylky xm, tak amplituda rychlosti vm = ωxm jsou konstantní a systém
kmitá harmonicky. Fázovým diagramem takového systému je při malé hodnotě
amplitudy kružnice, popř. elipsa (obr. 5a). Takový oscilátor je ovšem reálně
neexistující abstrakce a na každý skutečný oscilátor působí tlumící síla, která
způsobuje, že pohyb oscilátoru je tlumený a jeho fázový diagram má podobu
spirály (obr. 5b). Stav systému tak postupně směřuje do rovnovážného stavu,
kterému na fázovém diagramu odpovídá koncový bod spirály. Systém je pak
v ustáleném stavu, jehož obrazem je ve fázovém diagramu bod. Vidíme, že
tlumený oscilátor je disipativní systém, který je k ustálenému stavu jakoby
přitahován (anglicky attracted). Podle toho je cíl, k němuž systém při pohybu
směřuje, označován jako atraktor systému.
Může ovšem nastat i situace, kdy na oscilátor kromě tlumící síly působí
ještě vnější síla, která kmitání vynucuje a eliminuje tak ztráty, které při kmitání
oscilátoru vznikají tlumením pohybu. Jestliže energie dodávaná vnější silou je
větší než ztráty tlumením, amplituda oscilátoru bude narůstat a fázový diagram
systému bude mít tvar rozvírající se spirály (obr. 5c). Křivku ve fázovém prostoru označujeme jako fázovou trajektorii a je vlastně vyjádřením chování celého systému v delším časovém úseku, jeho „fázovým portrétem“.
Obr. 5
Dosud jsme se zabývali jen oscilátory, které kmitaly s malou amplitudou
a jejich pohybová rovnice byla lineární funkcí výchylky. Fázový diagram takového oscilátoru pak má jednoduchý tvar. Podívejme se, jak bude vypadat fázový diagram systému, který je tvořen kuličkou o hmotnosti m, která je upevněna
na konci lehké tyčky o délce l, jejíž hmotnost nebudeme uvažovat. Druhým
koncem tyčky prochází osa O, kolem které se může systém (označíme ho rotátor) otáčet (obr. 6a).
38
Obr. 6
Výchylku rotátoru vyjádříme úhlem ϕ, který tyčka svírá s osou y, a druhou
kinematickou veličinou charakterizující pohyb rotátoru bude úhlová rychlost ω.
Pohyb rotátoru budeme popisovat v polárních souřadnicích, takže jedna souřadnice bude l = konst. a druhá úhel ϕ (vyjádřený v radiánech). Délka oblouku,
který rotátor při pohybu opíše je lϕ.
Z obr. 6 je patrné, že na rotátor působí síla F = –mg sin ϕ, která již není
lineární funkcí výchylky, jak tomu bylo u oscilátorů kmitajících s malou výchylkou z rovnovážné polohy, kdy sin ϕ ≈ ϕ. Diferenciální rovnice popisující
pohyb rotátoru je nelineární a má tvar
ml
d 2ϕ
= −mg sin ϕ .
dt 2
Pro úhlové zrychlení rotátoru platí
d 2ϕ dω
g
=
= − sin ϕ = −ω02 sin ϕ .
dt 2
dt
l
Jestliže tedy výchylka rotátoru bude velká, nebude již průběh kmitání harmonický a fázový diagram systému se bude lišit od kružnice (popř. elipsy).
Takové kmitání označujeme jako anharmonické. V krajním případě, při výchylce ϕ = π bude rotátor v nestabilní poloze (obr. 6b), takže není zřejmé, kterým směrem bude jeho pohyb pokračovat.
39
Průběh fázového diagramu rotátoru můžeme snadno modelovat dynamickým modelem (viz [4]) a získáme soubor fázových diagramů pro různě velké
počáteční výchylky rotátoru (obr. 7, okno nahoře vlevo). V dolních oknech jsou
časové diagramy okamžitých hodnot úhlové dráhy ϕ rotátoru a jeho úhlové
rychlosti pro různé počáteční výchylky (0,5 rad, 1 rad, 2 rad a 0,99π).
Obr. 7
Na rotátor ovšem může působit také vnější síla, takže může přejít bod nestability a podle působení síly se bude otáčet oběma možnými směry
v závislosti na působící síle. Pokud by to byl jen dostatečně velký počáteční
impuls, pak by se rotátor začal otáčet jedním směrem (změnu směru pohybu by
mohlo způsobit tlumení systému). Kdyby však na rotátor působila periodická
vnější síla, byl by směr otáčení závislý na vzájemném vztahu periody vlastního
kmitání a periody vnější síly.
Fázový portrét možných pohybových stavů rotátoru je na obr. 8. Křivky
procházející bodem A odpovídají pohybu rotátoru v situaci, kdy se systém nachází v nestabilním stavu (rotátor je v labilní poloze a má nulovou rychlost).
40
O jeho dalším pohybu pak rozhodují i nepatrné fluktuace silového působení na
rotátor. Rozvětvení fázových trajektorií v bodě A tedy odpovídá dvěma možnostem dalšího pohybu – otáčení ve stejném nebo v opačném směru. Křivky
blíže k počátku souřadnicové soustavy reprezentují stacionární stav a vnější
zvlněné křivky charakterizují otáčení rotátoru větší rychlostí, než je rychlost
potřebná k dosažení nestabilního stavu.
Obr. 8
Tyto poznatky o oscilátorech můžeme zobecnit. Fázové diagramy na obr. 5
zachycují tři možné stavy systému. Obr. 5a představuje stabilní stav, kterému
na obr. 8 odpovídá bod O (stabilní střed), na obr. 5b je tzv. stabilní ohnisko
(rovnovážný stav ke kterému směřuje disipativní systém) a na obr. 5c je nestabilní ohnisko (systém směřuje mimo rovnovážný stav). Okolí bodu A na obr. 8
se označuje jako nestabilní sedlo, kdy nelze jednoznačně rozhodnou o dalším
pohybu systému. Jak bylo uvedeno, o pohybu v nestabilním stavu rozhodují
neparné fluktuace působících sil nebo parametrů systému. Tyto fluktuace mohou mít náhodný, stochastický ráz, avšak děj, který způsobí je již deterministický, řídí se příslušnou fyzikální zákonitostí. Tak je tomu v případě, kdy je
systém ve stavu dostatečně vzdáleném od rovnovážné polohy a náhodná fluktuace pak může vyvolat kvalitativní změnu celého systému.
Pochopení fyzikálního smyslu fázového diagramu rotátoru mohou napomoci aplety, které zobrazují pohyb rotátoru, na který působí vnější periodická síla
(nucené kmitání), popř. je pohyb rotátoru tlumený. Jeho pohyb popisuje diferenciální rovnice
41
F
d 2ϕ
dϕ
+ 2δ
+ ω02 sin ϕ = m cos ωt .
dt
m
dt 2
Fázový diagram pro různé parametry systému a počáteční podmínky zdařile
simuluje např. aplet [5].
Rotátor byl interpretován jako konzervativní systém a popis jeho pohybových stavů byl jednoduchý – deterministický. Existují však soustavy oscilátorů,
které jsou při pohybu nestabilní a jejich fázový diagram svědčí o chaotickém
pohybu. Jako příklad mohou posloužit oscilátory v podobě pružinového kyvadla nebo kyvadla s gumovým vláknem, které jsou popsány v [4]. Např. na
obr. 9 je vlevo trajektorie pružinového oscilátoru a vlevo fázový diagram pohybu ve směru osy x.
Obr. 9
Chaotické kyvadlo můžeme snadno sestavit pomocí trojice feritových magnetů, které upevníme (např. přilepíme) na vodorovnou podložku ve vrcholech
rovnostranného trojúhelníku (obr. 10). Magnety musejí mít souhlasnou orientaci pólů. Nad středem trojúhelníku zavěsíme kyvadlo v podobě malého feritového magnetu zavěšeného na vlákně (vzdálenost od roviny s magnety nastavíme
zkusmo). Při malé počáteční výchylce se kyvadlo pohybuje po trajektorii, jejíž
poloha se nemění. Při větší amplitudě výchylky se projeví vliv složitého magnetického pole a kyvadlo začne kmitat chaoticky. Tento typ chaotického kyvadla s více magnety je vyráběn i jako učební pomůcka (obr. 11 [6]).
Podobných chaotických kyvadel existuje celá řada. Např. na obr. 12 je zajímavá soustava, prodávaná jako hračka. Studium pohybu tohoto kyvadla metodou videoanalýzy je popsáno v [7]. Pro demonstraci chaotického pohybu
kyvadla existují také další pomůcky různé konstrukce (např. na obr. 13 [8]).
42
Obr. 10
Obr. 11
Obr. 12
Obr. 13
Často uváděným příkladem je dvojité kyvadlo (obr. 14). Teorii kmitání této
soustavy kyvadel viz např. [9]. Podstatné je, že řešení diferenciálních rovnic
popisujících pohyb těchto oscilátorů nelze vyjádřit analyticky. K popisu pak
používáme diferenční rovnice, jejichž numerické řešení realizujeme metodou
dynamického modelování pomocí počítače. Pro simulaci dvojitého kyvadla
(double pendulum) lze na webu najít řadu apletů (např. [10], [11], [12]).
Na obr. 15a je fázový diagram kyvadla l1 při malé počáteční výchylce a na
obr. 15b při výchylce ϕ1 = π/2.
43
a
Obr. 14
b
Obr. 15
Jak jsme ukázali, je pro systémy, které se mohou pohybovat chaoticky,
charakteristické, že jejich fázová trajektorie prochází body nestability. Pak
i malá změna počátečních podmínek nebo parametrů systému vede
k nepředvídatelným změnám v systému, což se projeví v podobě atraktoru,
který je celkových obrazem chování systému v delším časovém intervalu. Ukážeme si to na zajímavém příkladu zařízení, schematicky znázorněném na
obr. 16.
Obr. 16
Ocelový pásek je uchycen v držáku, v jehož spodní části jsou dva magnety
a celý držák je rozkmitáván periodickou silou F. Periodická síla vynucuje kmitání pásku, které je ovlivňováno působením magnetické síly v poli dvou magnetů. Popsané zařízení se označuje jako Duffingův oscilátor podle německého
inženýra Duffinga, který teoreticky popsal kmitání takového oscilátoru již
v roce 1914.
44
Zařízení slouží jako „stroj na katastrofy“, což znamená, že se vlivem nelinearit při postupných malých změnách parametrů v určitém okamžiku skokem
změní pohybový stav soustavy a pásek začne kmitat kolem jiné rovnovážné
polohy. Názorně ukazuje kmitání Duffingova oscilátoru za různých podmínek
aplet [13]. Z teoretického hlediska je kmitání ocelového pásku popsáno tzv.
Duffingovou rovnicí (podrobněji o ni viz např. [14])
(
)
d2 x
dx
+ b + cx 3 ± ω02 x = A cos(ωt + ϕ ) ,
2
dt
dt
v níž je koeficienty vyjádřen vliv tlumící síly (b), vlastností pružiny s ohledem
na deformaci magnetickou silou (c) a amplitudy síly (A = Fm/m), která vynucuje kmitání systému s úhlovou frekvencí ω. Kladné znaménko u lineárního členu
v závorce odpovídá anharmonickým kmitům oscilátoru. Když je znaménko
záporné, znamená to, že při x = 0 je systém v nestabilním stavu (ocelový pásek
je přitahován stejnou silou oběma magnety a při malé fluktuaci se přitáhne
k jednomu nebo ke druhému magnetu).
Fázový diagram tohoto systému si ukážeme na zjednodušeném příkladu,
kdy ω0 = 1, c = 1 a ϕ = 0 a ve výrazu v závorce dáme znaménko minus. Rovnice pak bude mít tvar, který použijeme k modelování fázového diagramu pohybu Duffingova oscilátoru
a = x − x 3 − bv + A cos ωt ,
dx
d2 x
je zrychlení a v =
je rychlost pohybu pásku. Model vytvoříme
dt 2
dt
pomocí programu Coach 5 pro hodnotu b = 0,25 a případ rezonance (ω = ω0).
Volíme různé, ale poměrně blízké hodnoty amplitudy nuceného kmitání A
(0,23; 0,25; 0,27). Model je v tabulce a získané výsledky jsou na obr. 17a–c.
(V modelu je amplituda označena Am, poněvadž program Coach 5 nerozlišuje
malá a velká písmena a došlo by k záměně s a.)
Vidíme, že při nejmenší amplitudě nuceného kmitání se po krátké době
kmity pásku ustálí kolem počáteční polohy a při malém zvětšení amplitudy
systém přejde skokem do kmitání kolem symetricky položeného druhého středu
kmitání. Při dalším zvětšení amplitudy se však kmitání pásku mění na chaotické a oscilátor chaoticky střídá kmitání kolem obou rovnovážných poloh.
kde a =
45
Model
a=x-x^3-b*v+Am*cos(omega*t)
x=x+v*h
v=v+a*h
t=t+h
Obr. 17
46
Proměnné a počáteční hodnoty
omega=1
Am=0.27
b=0.25
t=0
x=1
v=0
h=0.02
Pro pochopení vlastností Duffingova oscilátoru a obecnějších závěrů, které
z jeho kmitání vyplývají, si ukážeme souvislost s potenciální energií oscilátoru.
U jednoduchého pružinového oscilátoru je potenciální energie oscilátoru vyjádřena vztahem
Ep =
1 2
kx ,
2
což odpovídá práci vykonané silou F = –kx, která je tedy lineární funkcí výchylky. Graf závislosti potenciální energie je na obr. 18a. Graf bychom mohli
interpretovat jako potenciálovou jámu s parabolicky zakřivenými stěnami,
podél nichž se pohybuje kulička. Vlivem tření o stěny bude kulička vystupovat
do stále menší výšky, až nastane rovnovážný stav, při němž spočívá na dně
jámy.
U Duffingova oscilátoru silové pole magnetů způsobuje, že k síle, která je
lineární funkcí výchylky, přibude síla závisející na třetí mocnině výchylky, tzn.
F = kx – cx3. Pro potenciální energii Duffingova oscilátoru platí vztah
Epd = ±
1 2 1 4
kx + cx .
2
4
Graf je na obr. 18b (byl vytvořen programem Coach 5 pro {k} = – 20
a {c} = 40). Vidíme, že křivka má dvě minima odpovídající dvěma možným
rovnovážným polohám, tzn. blíže k levému, resp. pravému magnetu.
Obr. 18
Z hlediska potenciální energie můžeme Duffingův oscilátor znázornit modelem potenciálové „dvojjamky“, která kmitá ve vodorovném směru (obr. 19).
Jestliže do pravé jamky vložíme kuličku, bude se v jamce pohybovat podél stěn
47
jamky a získá odpovídající potenciální energii. Pokud tato energie nepostačuje
k překonání vrcholu střední části dvojjamky, bude setrvávat na jedné straně,
což odpovídá fázovému diagramu na obr. 17a. Při větší amplitudě může přeskočit do levé jamky, ale vlivem tření už nezíská dostatek energie k přeskoku
na druhou stranu. Teprve při dalším zvětšení amplitudy nucených kmitů jsou
splněny podmínky pro vznik chaotického pohybu, při němž kulička nahodile
přeskakuje z pravé jamky do levé a naopak.
Volbou parametrů kmitání Duffingova oscilátoru můžeme nastavit situaci,
kdy při určitých hodnotách úhlové frekvence budící síly, její amplitudy a tlumení oscilátoru může nastat stacionární stav charakteristický dvěma stabilním
frekvencemi kmitání oscilátoru. Dochází tedy k jakémusi rozdvojení frekvence
s níž oscilátor kmitá. To se projeví na tvaru fázového diagramu, který sice tvoří
uzavřená křivka, ale je dvojitá (obr. 20). Toto rozdvojení se v teorii deterministického chaosu označuje jako bifurkace a podrobněji se jí budeme zabývat dále.
Obr. 19
Obr. 20
Existuje samozřejmě celá řada dalších nelineárních systémů, jejichž pohyb
můžeme charakterizovat jako deterministický chaos. Poměrně širokou nabídku
simulací pohybu nejrůznějších typů oscilátorů lze najít na stránkách [15].
Na příkladech různých typů oscilátorů jsme si ukázali, že jevy, které při
malých odchylkách systému od rovnovážného stavu můžeme považovat za
deterministické, mění se při větších odchylkách vlivem nelinearit v děje chaotické. I když jsou popsány poměrně jednoduchými matematickými vztahy, jsou
to nelineární diferenciální rovnice, které se nedají řešit analyticky. Proto se
v praxi přechází od diferenciálních rovnic k rovnicím diferenčním, kdy jsou
nekonečně malé změny veličin nahrazovány změnami konečnými (diferencemi), i když velmi malými. Příslušné vztahy se pak řeší numerickými metodami,
které umožňují získat souvislé řady dat o stavu systému. Je tedy pochopitelné,
48
že k rozvoji výzkumu dějů charakterizovaných jako deterministický chaos
došlo až s možnostmi, které poskytuje moderní výpočetní technika.
Děje odpovídající deterministickému chaosu mohou vznikat i v elektrických
obvodech a vysvětluje se takto např. vznik šumu v elektronických soustavách.
Jako příklad může posloužit obvod na obr. 21, který je sériovým spojením
cívky s indukčností, rezistoru a usměrňovací diody. Obvod v podstatě představuje sériový oscilační obvod, v němž funkci kondenzátoru plní polovodičová
dioda. Při polaritě napětí v závěrném směru se v ní hromadí elektrický náboj,
jehož zdrojem je indukce napětí v cívce, a polarita v propustném směru odpovídá vybíjení kondenzátoru. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí u1
měnitelné frekvence. Napětí u2 na rezistoru je obrazem proudu i v obvodu.
Voltampérová charakteristika obvodu je analogií fázového diagramu (napětí
odpovídá výchylce oscilátoru a proud je analogií rychlosti) a tvoří atraktor
systému. Při nízké frekvenci má podobu jednoduché uzavřené křivky, která se
při určité frekvenci zdvojí a dochází k bifurkaci. Při zvyšování frekvence dochází k dalšímu zdvojování voltampérové charakteristiky, až se soustava rozkmitá chaoticky.
Obr. 21
Poznali jsme příklady nelineárních dynamických systémů, jejichž chování
se jeví jako náhodné, ale model systému je „deterministický“ v tom smyslu, že
neobsahuje žádné náhodné parametry. Je tedy třeba v přírodě rozlišovat děje
s náhodným, stochastickým průběhem v souladu s představami o neuspořádanosti a neorganizovanosti. Na rozdíl od takto chápaného chaosu představuje
deterministický chaos stav, kdy jednoduchý systém vykazuje složitý, ale přesně
matematicky popsaný průběh, přičemž nutně nemusí jít o mechanický pohyb.
49
Z matematického hlediska neexistuje jednotná definice chaosu. Obecně
systémy s chaotickým chováním charakterizují následující vlastnosti:
1. Chaotické systémy jsou nelineární a lze je popsat nelineárními diferenciálními rovnicemi.
2. Chaotické systémy jsou deterministické v tom smyslu, že pro dané počáteční podmínky poskytují příslušné diferenciální rovnice jen jediné řešení.
3. Pokud existuje neurčitost ve stanovení počátečních podmínek, nelze
dlouhodobě předvídat chování systému.
Při rozhodování, zda systém bude stabilní, nebo jeho chování bude chaotické, je důležitá znalost tzv. Ljapunovova exponentu λ, který v podstatě vyjadřuje
rychlost, s jakou se rozbíhají blízké trajektorie systému ve fázovém diagramu.
Pokud se k sobě přibližují (viz např. obr. 5b), je λ < 0 a systém směřuje do
stabilního stavu. Naopak při λ > 0 se trajektorie od sebe vzdalují (obr. 5c),
systém je nestabilní a může přejít do chaotického stavu. Rozbíhavost neboli
divergence fázových trajektorií je jedním z charakteristických rysů chaosu.
Nestabilitu složitých systémů si uvědomoval francouzský matematik Henri
Poincaré, který v 80. letech 19. století zásadním způsobem přispěl k řešení
problému tří těles, tzn. soustavy tří hmotných objektů ve vesmíru, které na sebe
navzájem působí gravitačními silami. Zatím co pohyb dvojice těles
v gravitačním poli se děje po stabilních trajektoriích, které lze popsat velmi
přesně pomocí Newtonových a Keplerových zákonů, v případě tří těles nelze
trajektorii pohybu popsat analyticky a problém je z pozice klasické dynamiky
neřešitelný. Poincaré zjistil, že v systému tří těles mohou existovat uzavřené
trajektorie (orbity), které jsou neperiodické a nejsou ani neustále se zvětšující,
ani nesměřují k jednomu bodu. Prokázal, že v určité malé oblasti fázového
prostoru existují trajektorie systému, které projdou touto malou oblastí nekonečněkrát často a vyslovil domněnku, že pro omezený systém existuje nekonečně mnoho periodických řešení
Studium pohybu soustavy tří těles a mnoha dalších soustav se složitým
silovým působením ukázalo, že pohyb částečně probíhá po chaotických trajektoriích, přičemž jsou tělesa přitahována k určitým bodům prostoru. Úvahy
o problému tří těles tak vedly ke vzniku nového oboru mechaniky, kterým je
nelineární dynamika. Schopnost nelineárních dynamických systémů generovat
děje s chaotickým průběhem dlouho unikala obecné pozornosti a pokud byla
zjištěna experimentální data o těchto dějích, byla interpretována pomocí pravděpodobnostních modelů, podobně jako např. Brownův pohyb. Zlom v těchto
přístupech znamenala až možnost získávání a interpretace dat pomocí moderní
výpočetní techniky, odstartovaná Lorenzovým „motýlím efektem“.
50
Logistická rovnice
Názornou ilustrací použití diferenční rovnice pro řešení děje, který vede
k deterministickému chaosu, najdeme v živočišné říši. Existují společenství
živočichů, v nichž jeden druh je lovcem (predátorem) a druhý kořistí (např. rysi
a zajíci nebo drobné rybky a štiky aj.). Použití diferenčních rovnic je zde na
místě i proto, že rozmnožování těchto živočichů probíhá v časových cyklech
např. jednoho roku. Lze zkoumat, jak se počet jedinců každého druhu
v jednotlivých cyklech mění v závislosti na životních podmínkách, zejména
vzhledem k omezenému prostoru, v němž populace živočichů setrvává, k dostatku či nedostatku potravy. Předpokládá se, že v přírodě je dostatek potravy
pro živočichy, kteří v tomto systému představují kořist (pro zajíce je dostatek
trávy, pro drobné rybky planktonu).
Matematickým popisem reprodukce takového společenství živočichů se
zabýval v polovině 19. století belgický matematik P. F. Verhulst. Uvažoval, že
přírůstek Δxn jedinců v určitém reprodukčním cyklu bude záviset na jejich počtu xn v předcházejícím cyklu, čili Δxn = axn, kde a je činitel, který vyjadřuje
fertilitu populace, schopnost samic rodit mláďata. Kdyby záleželo jen na počtu
živočichů v populaci, pak při počátečním počtu živočichů x0 by jich v prvním
cyklu přibylo x1 = ax0, ve druhém x2 = ax1 = a2x0 atd. Počet jedinců v ntém
cyklu by pak byl xn = anx0. Proměnná x je zde vyjádřena relativním počtem
jedinců v populaci, tzn. poměrem daného stavu a největšího možného počtu,
takže relativní počet jedinců leží v intervalu 0 < x < 1. Hodnota 0 odpovídá
vymření populace a 1 platí pro saturovaný stav. Při menším stavu populace jsou
tedy předpoklady pro její růst, který však nepřesáhne určitou mezní hodnotu,
kdy by v omezeném prostoru bylo příliš mnoho živočichů. Charakteristické je,
že takový systém nemá dlouhodobou „paměť“, vývoj není určen vzdálenými
stavy systému, ale jen jeho předešlým stavem.
Verhulst si povšiml, že v přírodě vztah xn = anx0 zřejmě nemůže platit, poněvadž by populace živočichů rostla nad možnosti dané omezeným životním
prostorem a neomezený růst živočišných druhů v podstatě nenastává. Dospěl
k závěru, že počet jedinců určující pro reprodukci v dalším cyklu bude menší.
Na základě těchto úvah popsal již v roce 1846 nelineární dynamický proces
(Verhulstův proces), jehož základem je jednoduchý matematický model reprezentovaný vztahem, který se dnes nazývá logistická rovnice:
xn + 1 = rxn(1 – xn)
51
Výraz (1 – xn) reprezentuje vliv okolí a „pravděpodobnost přežití“ již narozených jedinců, která je v (n + 1)-ním reprodukčním cyklu tím menší, čím větší
byla populace v n-tém cyklu. Je tak vyjádřeno jisté vyčerpání potravinových
zdrojů. Průběh reprodukce dále významně ovlivňuje řídicí parametr r, který lze
interpretovat jako rychlost růstu. Některá samice nemusí mít v následujícím
cyklu potomka, ale jiná jich může mít více. Podle toho se pak mění hodnota
řídicího parametru. Pokud populace má malý počet jedinců (nachází se daleko
od stavu saturace), lze součin rxn2 zanedbat a růst populace je přibližně lineární.
Jestliže živočichů přibývá a zvětšuje se řídicí parametr, začne se projevovat
nedostatek potravy, životního prostoru, popř. vliv působení škůdců a populace
se částečně redukuje. To se nejprve projeví zpomalením růstu populace, kterému odpovídá rovnovážný stav. Počet jedinců se po přechodném zakolísání
ustálí na určité hodnotě, kolem níž jen dochází k fluktuacím. Logistická rovnice
má jedno stacionární řešení, kterému odpovídá stav, kdy xn + 1 = xn.
Při dalším zvětšování řídicího parametru však situace již tak jednoduchá
není. Negativní vlivy vyvolají zmenšení populace vlivem kvadratické závislosti
na počtu jedinců, kteří se přemnožili, a pro něž již nelze zachovat příznivé
podmínky pro život. Přemnožení dravců vede ke zmenšení počtu jedinců kořisti, tím ubude potravy pro dravce, takže se populace dravců zmenší, což
umožní větší rozmnožení kořisti atd.
Jak tyto změny probíhají ukážeme nejlépe matematickým modelem logististické rovnice při různých hodnotách řídicího parametru. Pro grafické zobrazení
x = f(r) použijeme opět program Coach 5. Model má podobu uvedenou
v tabulce:
Model
n=1
repeat
x=r*x*(1-x)
n=n+1
until n=500
r=r+dr
if r>4 then stop endif
Proměnné, počáteční hodnoty
x=0.01
r=1
dr=0.0002
Graf logistické rovnice je na obr. 22a zobrazen od hodnoty r = 1 a v detailu na
obr. 22b od hodnoty r ≈ 2,9.
52
Obr. 22a
Obr. 22b
Vidíme, že až do hodnoty r1 = 3,0 odpovídá vývoj systému uvedenému
popisu. Zobrazením tabulky hodnot r a x se přesvědčíme, že pro r ∈ (1, 3) se
1
stav populace ustálí na hodnotě x = 1 − . Avšak při r > 3,0 se situace zásadr
ním způsobem mění a počet jedinců v populaci může periodicky nabývat dvou
hodnot. Bod, v němž dochází ke zdvojení funkční závislosti, se označuje jako
bifurkace a graf na obr. 22 se nazývá také bifurkační diagram.
K dalším bifurkacím dochází při hodnotách r2 = 3,4495… (teoreticky
1+ 6 ), r3 = 3,5441…, r4 = 3,5644…, atd., takže počet jedinců může mít periody 4, 8, 16, … Bifurkace tedy vznikají s periodou 2k, kde k = 2, 3, 4, … a ve
stále kratších intervalech až do hodnoty r∞ = 3,569 945 K , kdy se x již mění
chaoticky, tzn. s nekonečnou periodou. Hodnota r∞ představuje tzv. akumulační bod. V chaotickém režimu se však vyskytují malé oblast, v níž může dojít
k ustálení vývoje s konečnou periodou. Tato situace nastává např. při
53
r = 1 + 8 = 3,8284 , kdy vzniká cyklus s periodou 3 a při dalším růstu r také
s periodou 6, 12, ... Logistická rovnice má tedy tři charakteristické režimy:
ustálený, periodický a chaotický.
Zdojování period (tzv. period doubling) se řídí přesnou zákonitostí. Jestliže
zdvojování period nastává při po sobě jdoucích hodnotách řídicího parametru
rn – 1, rn a rn + 1, pak poměr
rn − rn−1
= 4,669 201 ...
rn+1 − rn
představuje konstantu. Tato konstanta se nazývá Feigenbaumovo číslo a má
univerzální platnost pro všechny dynamické systémy vykazující zdvojování
period. Její teoretické vysvětlení však dosud chybí.
Kolísání počtu jedinců v jednotlivých periodách je dobře patrné z grafu,
který zobrazuje jejich počet v jednotlivých reprodukčních cyklech. Grafy na
obr. 23 byly vytvořeny rovněž programem Coach 5 pro 50 cyklů a různé hodnoty řídicího parametru. Modelováním cyklů se můžeme přesvědčit, že pro
x0 = 0,1 se při r ≤ 1 populace zmenšuje a teprve při r ≥ 1,1 se začíná zvětšovat.
Obr. 23
54
Z matematického hlediska je logistická rovnice kvadratická funkce
f (x ) = rx − rx 2 ,
jejímž grafem je část paraboly mezi hodnotami x1 = 0 (populace přestává existovat) a x2 = 1 (počet jedinců v populaci dosáhl maxima). Veličina r je volitelný
parametr. Největší hodnotu funkce f(x), tzn. polohu vrcholu paraboly určíme
pomocí první derivace funkce f(x), kterou položíme rovnou 0:
f ′(x ) =
dxn+1
= r − 2rx = r (1 − 2 x ) = 0
dxn
Odtud vyplývá, že xn + 1 nabývá největší hodnoty pro xn =
1
, takže maximální
2
1
r a r leží v intervalu (0, 4). Graf paraboly pro r = 2 je na
4
obr. 24 a je proložen přímkou (osou prvního kvadrantu), která představuje
rovnici xn + 1 = xn. To nám umožní řešení logistické rovnice grafickou iterací,
což vede k vytvoření tzv. pavučinového diagramu (cobweb diagram) na
obr. 25.
hodnota xn+1 =
Obr. 24
Zvolíme první hodnotu x1 a vztyčením kolmice k ose x najdeme jí odpovídající bod na parabole. Hodnota jeho souřadnice na svislé ose odpovídá vztahu
mezi xn a následující hodnotou xn+1. Získáme tak počáteční hodnotu x2 pro následující cyklus, kterou přeneseme na přímku. V daném bodě přímky opět vztyčíme kolmici a v průsečíku s parabolou určíme hodnotu x3. Tak pokračujeme až
55
do společného bodu, v němž se protíná přímka s parabolou. Pokud dospějeme
přímo do tohoto průsečíku, má logistická rovnice jediné řešení. Pokud do něho
nedospějeme, je řešení více a dochází k bifurkacím, popř. k chaosu.
Pro grafickou iteraci existuje na webu řada apletů. Pomocí apletu [16] byly
vytvořeny grafické iterace logistické rovnice (obr. 25) pro případy zobrazené na
obr. 23. Vidíme, že při řídicím parametru r = 2,8 se po několika periodách
řešení ustálí na hodnotě dané průsečíkem paraboly s osou 1. kvadrantu. Při
r = 3,2 však již grafickou iterací do tohoto průsečíku nedospějeme a řešení
osciluje mezi dvěma hodnotami, došlo ke zdvojení period. Při hodnotě r = 3,5
má diagram čtyři průsečíky s parabolou, což odpovídá další bifurkaci, a při
r = 3,8 počet průsečíků roste a hodnoty period se chaoticky mění.
Obr. 25
56
Že tento průběh není tak zcela chaotický ukážeme postupem, při němž do
logistické rovnice budeme postupně dosazovat hodnotu x z předcházejícího
cyklu. Pro přehlednost provedeme výpočet jen pro čtyři po sobě jdoucí hodnoty. Model pro tento výpočet pomocí programu Coach 5 je v tabulce. Získáme
tak křivky, jejichž průsečíky s osou 1. kvadrantu určují řešení logistické rovnice
pro zvolené hodnoty řídicího parametru (obr. 26): 2,8; 3,2; 3,5; 3,8.
Model
x0=x
x1=a*x*(1-x)
x2=a*x1*(1-x1)
x3=a*x2*(1-x2)
x4=a*x3*(1-x3)
x=x+dx
if x>=1 then stop endif
Proměnné, počáteční hodnoty
x=0
a=2.8
dx=0.001
Obr. 26
Zajímavé a pro pochopení vlastností bifurkačního diagramu je podstatné, že
když zobrazíme jeho detaily v místě rozdvojení, dostaneme opakující se obrázek jako při větším měřítku. Zvětšený diagram je velmi podobný originálu, ze
kterého jsme výsek zobrazení získali. Tato vlastnost mnoha geometrických
zobrazení chaotických dějů je pro ně typická a označujeme ji jako soběpodobnost (viz dále).
57
Podivné atraktory
S problematikou deterministického chaosu těsně souvisí problematika tzv.
fraktálů, k nimž patří i složité atraktory některých systémů, označované jako
podivné atraktory. Soběpodobnost, tzn. invariantnost vůči transformacím spočívajícím ve změně měřítka, je pro ně charakteristická. Z tohoto pohledu můžeme tedy bifurkační diagram považovat za příklad fraktálu a podobně má
vlastnosti fraktálu zřejmě nejznámějším podivný atraktor, kterým je Lorenzův
atraktor (viz obr. 2). Obecně je možné uvést, že podivné atraktory generují
systémy popsané nejméně třemi navzájem souvisejícími diferenciálními rovnicemi. Takové atraktory vykazují současně znaky pravidelností i chaotičnosti.
Problematika fraktálů je spíše matematického rázu a zabývá se jí velké
množství informačních pramenů na webu. Proto uvedeme pro zajímavost jen
dva příklady, které ve škole můžeme ilustrovat vytvořením jednoduchých modelů na počítači s použitím modelovacího softwaru Coach 5. K tomu jsou
vhodné fraktály typu IFS (iterated function system), jejichž generování může
být jak deterministické, tak stochastické. Oboje však vede při dostatečném
počtu iterací ke stejnému výsledku.
K nejznámějším ukázkám fraktálů tohoto typu patří Sierpinského trojúhelník, jehož autorem je polský matematik W. Sierpinski. Je to obrazec, který
vznikne tak, že se z trojúhelníku vyřízneme trojúhelník tvořený středními příčkami trojúhelníku původního. Stejným postupem se pak upravují tři zbylé trojúhelníky. Tím vznikne postupně velké množství (záleží na počtu iterací) stále
menších trojúhelníků (obr. 27).
Obr. 27
Základní rovnice pro vytvoření fraktálu jsou
xn +1 = axn + byn + e
yn +1 = cxn + dyn + f
58
.
Hodnoty koeficientů a až f se mění podle hodnoty náhodně zvoleného čísla r
v intervalu 0 < r < 1. Program pro vytvoření Sierpinského trojúhelníku je
v tabulce a výsledek dosažený s maximálním počtem cyklů, který program
Coach 5 umožňuje (16 300), je na obr. 28.
Model
r=rand
if r<0.33 then
a=0.5 b=0 c=0 d=0.5 e=0 f=0
else if r<0.66 then
a=0.5 b=0 c=0 d=0.5 e=1 f=0
else if r<1 then
a=0.5 b=0 c=0 d=0.5 e=0.5 f=0.8660254
endif endif endif
novex=(a*x)+(b*y)+e
novey=(c*x)+(d*y)+f
x=novex
y=novey
Obr. 28
59
Stejným způsobem vygenerujeme jiný velmi populární fraktál ve tvaru listu
kapradiny, označovaný podle autora, amerického matematika M. Barnsleye,
Bransleyova kapradina (Barnsley's Fern). Na obr. 29 je kapradina vytvořená
200 tisíci iterací [17]. Stačí jen změnit hodnoty konstant v počítačovém modelu
podle tabulky a postupným výpočtem nevznikne trojúhelník, ale kapradina
(detailní pohled na její generaci by ale ukázal, že vznikne rovněž z postupně se
zmenšujících a odlišně orientovaných trojúhelníků (viz [18]). Ve výsledném
obrázku se však více než u Serpinského trojúhelníku projeví omezený počet
cyklů v programu počítače (obr. 30).
Zkuste sami změnou koeficientů prozkoumat výsledný tvar fraktálu.
Model
…
if r<0.45 then
a=0.85 b=0.04 c=-0.04 d=0.85 e=0 f=0.3
else if r<0.55 then
a=-0.15 b=0.28 c=0.3 d=0.25 e=0 f=0.09
else if r<0.9 then
a=0.2 b=-0.26 c=0.23 d=0.22 e=0 f=0.3
else
a=0 b=0 c=0 d=0.16 e=0 f=0
endif endif endif
…
Obr. 29
Obr. 30
60
Závěr
Cílem tohoto seminárního materiálu je naznačit možnosti, jak seznámit
středoškoláky v rámci výuky fyziky s relativně novým vědním oborem, který
zasahuje do řady dalších disciplín. Jde samozřejmě o složitější problematiku,
než bylo možné postihnout v tomto základním přehledu, a zájemci o deterministický chaos si najdou zejména na webu další informační zdroje. Z knižních
publikací lze doporučit knihu prof. L. Eckertové [19], která věnuje této problematice jednu kapitolu. Ta mne inspirovala k tomu, abych se pokusil najít možnosti, jak tyto zajímavé poznatky, které sice vycházejí z problémů řešených
významnými fyziky a matematiky již od 18. století, ale rozvinuté až po nástupů
počítačů v 60. letech 20. století, převést do podoby sdělitelné středoškolákovi.
Struktura stati také ukazuje, jak poznatky o deterministickém chaosu postupně do učiva fyziky zařazovat, aby žák pochopil rozdíl mezi zjednodušenými modely, idealizacemi a systémy v rovnovážném stavu, na nichž je založena
tradiční výuka fyziky, a reálnými ději, které jsou ovlivňovány proměnlivými
počátečními podmínkami, odchylkami od rovnovážného stavu atd. Za didakticky cenné lze považovat vytváření počítačových modelů přímo z výchozích
matematických rovnic a ne jen pomocí apletů, které mají pro žáka podobu
„černé schránky“. Proto je více pozornosti věnováno jednoduchým modelům
vytvářeným programem Coach 5.
Učivo fyziky lze obohatit informacemi a poznatky o deterministickém chaosu dílčími poznámkami v různých tématech v mechanice (determinismus,
pohyb v odporujícím prostředí, zákon zachování energie v konzervativním
a disipativním systému, problém tří těles), při výkladu proudění tekutin (laminární a turbulentní proudění, motýlí efekt) a zejména v učivu o mechanickém
kmitání, které se dosud omezuje převážně jen na kmitání ideálního oscilátoru
bez tlumení v okolí rovnovážného stavu. Zde je možné i kvalitativními prostředky, s využitím počítačových modelů a apletů dostupných na webu ukázat
postup od netlumeného oscilátoru, přes oscilátor s tlumením a nucené kmitání
až k vybraným ukázkám pohybu nelineárních systémů.
Nabízí se pochopitelně i vazba na další předměty, např. biologii (Verhulstův
model společenství živočichů) a zejména na matematiku, s níž souvisí nejen
řešení logistické rovnice, ale zejména problematika fraktálů, kterou se široce
zabývá samostatný obor matematiky – fraktální geometrie. Současně jde o
problematiku velmi atraktivní a i bez detailní matematické interpretace motivující zájem o deterministický chaos estetickým působením nejrůznějších, počítačem generovaných fraktálních obrazců.
61
Literatura
[1] http://www.it.cas.cz/modelovani/cesky/princip/cisla.htm
[2] http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/ ~kanamaru/Chaos/e/Lorenz/
[3] http://www.cbi.dongnocchi.it/ glossary/Actractor.html
[4] Lepil, O. – Richterek, L.: Dynamické modelování, Repronis, Ostrava 2007.
[5] http://www.ct.infn.it/cactus/applets/chaotic-pendulum.html
[6] http://www.physlink.com/estore/cart/Romp.cfm
[7] Lepil, O.: Videoanalýza kmitání mechanických oscilátorů, MFI 14 (2004),
č. 4, s. 214. Dostupné na webu
http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/Veletrh_09/09_07_Lepil.html
[8] http://demoroom.physics.ncsu.edu/html/demos/193.html
[9] http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html
[10] http://cinderella.de/files/HTMLDemos/5P03_DoublePendulum.html
[11] http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html
[12] http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/DP/
[13] http://www.math.udel.edu/~hsiao/m302/JavaTools/osduffng.html
[14] http://mathworld.wolfram.com/DuffingDifferentialEquation.html
[15] http://www.myphysicslab.com/index.html
[16] http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Logits/
[17] http://www.cs.wisc.edu/~richm/cs302/applets/fern.html
[18] http://www.cs.wisc.edu/~ergreen/honors_thesis/ani_fern.html
[19] Eckertová, L.: Cesty poznávání ve fyzice, Prometheus, Praha 2004.
62
Mikroskopie skenující sondou
ROMAN KUBÍNEK – MILAN VŮJTEK
1 Úvod
Mikroskopie využívající skenující sondu (SPM – Scanning Probe
Microscopy) je soubor experimentálních metod určených ke studiu struktury
povrchu s atomárním rozlišením s možností stanovení trojrozměrných (3D)
obrazů povrchu a jejich parametrů v souřadnicích x, y, z. Tato unikátní mikroskopická technika zaznamenala bouřlivý rozvoj po objevení metody skenovací
tunelové mikroskopie, která je mezi odbornou veřejností známá pod zkratkou
STM (Scanning Tunneling Microscopy).
Počátek metody STM je datován roku 1981, kdy u jejího zrodu stáli Gerd
Binnig a Heinrich Rohrer z laboratoří IBM v Curychu (obr. 1). O pět let později
získali za svůj objev Nobelovu cenu.
Heinrich Rohrer
Gerd Binnig
Obr. 1 Autoři metody STM
Přístroje STM byly první, které vytvářely obraz povrchu s rozlišením na
atomární úrovni. Teoretický popis metody vychází z poznatků kvantové fyziky,
konkrétně tunelového jevu. STM je jedna z mála metod, která je schopna po-
63
skytnout tak vysoké rozlišení při rutinním měření. Oproti ostatním metodám,
např. elektronové mikroskopii nevyžaduje náročnou přípravu vzorků. Na druhou stranu ale poskytuje jen informace o povrchu. Nevýhodou rovněž je, že
neposkytuje okamžitý a vizuální obraz, ale snímání je postupné a je nutno pro
zobrazení využít počítače.
Experimentální počátek metod SPM bychom mohli datovat už od roku
1972, kdy Young sestrojil svůj Topografiner, zařízení schopné mapování povrchu ze vzdálenosti 100 nm. Atomárního rozlišení však zde nebylo dosaženo
z důvodu značné nestability vzdálenosti hrotu od povrchu. Dosahované rozlišení bylo vertikálně 3 nm a laterálně 400 nm.
1.1 Obecné vlastnosti metod SPM
• Rozlišení, jehož hodnota je nezávislá na vlnové délce λ objektu zprostředkovávajícího interakci, ale pouze na parametrech sondy. Rozlišení může u vybraných metod dosáhnout atomární úrovně.
• Hodnota měřené veličiny silně klesá se vzdáleností (exponenciálně či mocninně – uplatňuje se vliv poklesu interakce i zakřivení sondy), jde o metodu
v blízkém poli, využívající zpětné vazby k polohování sondy.
• Trojrozměrný obraz v (téměř) reálném čase umožňuje studium dynamických procesů.
• Aplikace v různých prostředích (vzduch, vakuum, voda, elektrolyty) –
vhodné pro zobrazování nativních biologických vzorků.
• Mnohdy není třeba speciálních úprav vzorku (fixace, odvodnění, vysoušení,
nutnost nanesení vodivé vrstvy, apod.) jak to zpravidla vyžadují některé metody elektronové mikroskopie.
• Vzhledem k malé velikosti lze vestavět do zařízení pro jiné typy mikroskopických technik (světelný a elektronový mikroskop).
• Pouze lokální interakce. Většina ostatních metod měří veličiny středované
přes plochu, která je velká vzhledem k velikosti atomu.
• „Blízkost“ operace se může projevit v nežádoucí interakci s povrchem
v podobě jeho modifikace.
• Velký rozsah zvětšení. Nicméně při velkých zvětšeních nese obraz informaci
pouze o místě těsně pod hrotem (u jiných technik se při menším zvětšení roztáhne plocha, z níž se informace snímá).
• Obraz neobsahuje informaci o zbytku povrchu. V důsledku omezené analyzované lokality nelze závěry zjištěné z lokálně vyskytujícího se jevu rozšířit na
celý vzorek.
• Vyšší citlivost k vibracím a teplotním driftům.
64
• Metody SPM jsou citlivé pouze na jednu povrchovou vrstvu, případně
u speciálních metod na blízké povrchové vrstvy.
• Velké množství artefaktů :
1. Zejména v případě metod, kdy si hrot se vzorkem mohou vyměnit roli
(v STM není principiální rozdíl mezi hrotem a vzorkem, měří se vždy jejich
společný vliv a oba se v něm podílejí stejnou měrou).
2. Vliv adsorbované vody na povrchu vzorku na tvorbu obrazu (zkreslení
povrchu, změna přitažlivých sil či vodivosti).
3. STM může být necitlivá k některým typům adsorbátů na povrchu (nemají-li
vhodné energetické hladiny).
4. Metoda registruje změnu nějaké „vlastnosti“ (např. oblasti konstantní hustoty náboje), která ovšem klesá se vzdáleností od povrchu.
• Obtížnost opětovného zobrazení téhož místa na vzorku, došlo-li mezitím
k vyzvednutí hrotu či odebrání vzorku z mikroskopu (obejít lze jen vyrytím
orientační značky do vzorku).
• SPM není obecně citlivá na chemickou podstatu atomů. Určit typ atomu lze
jen z doplňujících metod a úvah.
Pokud se Vám z uvedeného výčtu obecných vlastností metod SPM zdá, že je
zde více negativních než pozitivních faktorů, nenechte se zmást. V dalším textu
se budeme snažit přesvědčit čtenáře o unikátních možnostech SPM metod,
které není možné dosáhnout tradičními mikroskopickými metodami.
Po uvedení základní metody STM došlo k mohutnému rozvoji této techniky. Objevila se celá řada variací (klonů viz Tab. 1), vhodných pro studium
různých typů a vlastností povrchů. Vývoj rovněž směřoval ke zjednodušení
konstrukce. Byly vyvíjeny algoritmy na zpracování získaných obrazů, sestavován odpovídající teoretický popis a v neposlední řadě byly hledány vhodné
materiály a technologie pro vytváření ramének, hrotů a pohybových zařízení.
Jednotlivé klony už nejsou většinou založeny na tunelovém jevu, ale všechny využívají princip přesného polohování a velmi těsného přiblížení sondy
k povrchu vzorku. Mnohdy jsou tyto metody sdruženy v jednom přístroji a umožňují i současný sběr více druhů signálů.
1.2 Základní uspořádání
Schematický nákres uspořádání mikroskopu SPM je vidět na obr. 2, kde
jsou znázorněny jeho hlavní funkční části. Mikroskop je sestaven z mechanické
části, která zajišťuje mechanickou stabilitu a polohování ve třech rozměrech,
z raménka s hrotem (konkrétní typ raménka a hrotu závisí na použité metodě)
a z elektronické části, která zajišťuje napájení, součinnost všech částí, zpětnou
vazbu, ovládání a sběr naměřených dat. Důležitou vnější částí mikroskopu je
65
vybavení k tlumení mechanických vibrací, a to jak šířících se budovou, tak
vzduchem. Mikroskop může být dále vybaven dalším pomocným vybavením,
jako je např. vakuová komora, kryostat apod., popřípadě zařízením pro úpravu
vzorku (čištění, relaxace, …).
Další uspořádání mikroskopu a vlastnosti používaných součástí se mění
podle toho, pro jakou konkrétní odnož mikroskopie SPM je daný mikroskop
určen.
Obr. 2 Princip metod SPM
V tabulce 1 je demonstrován dynamický vývoj základních SPM metod
s jejich autory a datem zavedení během prvních deseti let od objevu STM.
66
Tabulka 1 Přehled základních SPM metod (do roku 1990)
Typ mikroskopie
Rok, autoři
Tunelovací mikroskopie
1981 Binnig, Rohrer
Optická blízkého pole
1982 Pohl
Kapacitní
1984 Matey, Blanc
Tepelná
1985 Williams, Wickramasinghe
Atomárních sil
1986 Binnig, Rohrer
Přitažlivých sil
1987 Martin, Williams, Wickramasinghe
Magnetických sil
1987 Martin, Wickramasinghe
Třecích sil
1987 Mate, McClelland, Chiang
Elektrostatických sil
1987 Martin, Abraham, Wickramasinghe
Laserem řízený STM
1987 Arnold, Krieger
Emise balistických elektronů
1988 Kaiser
Akustická blízkého pole
1989 Takata, Hasegawa, Hosoki, Komoda
Šumová
1989 Moller, Esslinger, Koslowski
Spinová
1989 Manassen, Hamers, Demuth, Castellano
Iontová
1989 Hansma, Drake, Marti, Gould, Prater
Elektrochemická
1989 Husser, Craston, Bard
Absorpční
1989 Weaver, Wickramasinghe
Fotonová absorpční
1989 Wickramasinghe, Weaver, Williams
Chemického potenciálu
1990 Williams, Wickramasinghe
Fotonapěťová
1990 Hamers, Markert
67
2 Skenovací tunelovací mikroskopie
STM užívá ostrý vodivý hrot se spádem napětí mezi hrotem a povrchem
vzorku. Pokud je hrot umístěn do vzdálenosti ≈ 1 nm od povrchu vzorku, jsou
elektrony „tunelovány“ přes tuto mezeru z hrotu k povrchu a obráceně, a to
v závislosti na polaritě a velikosti napětí, viz obr. 3. Výsledný tunelový proud
závisí na vzdálenosti mezi hrotem a povrchem a je nositelem signálu, který se
podílí na vzniku STM obrazu. Tunelování se uskuteční jen v případě, kdy hrot
i vzorek jsou z vodivého materiálu, případně polovodiče.
hrot
V
ed
90%
proudu
99%
proudu
vzorek
Obr. 3 Schematické znázornění interakce mezi hrotem a vzorkem
2.1 Tunelový jev
Abychom pochopili princip metody STM, je třeba „zabrousit“ do oblasti
fyziky, která je standardně středoškolákům utajena, a to fyziky kvantové. Jedním ze základních přínosů kvantové fyziky je popis tunelového jevu. Dochází k
němu v případech, kdy částice (elektron) nemá dostatečnou energii na proniknutí bariérou, a tedy by měla podle klasické fyziky zůstat uvnitř oblasti ohraničené bariérou. V kvantové fyzice, kde je částice popisována vlnovou funkcí,
tato funkce v oblasti bariéry (s konečnou energií) pouze exponenciálně klesá
a v případě dostatečně tenké bariéry je i po průchodu bariérou nenulová. Vzhledem k tomu, že pravděpodobnost výskytu částice v daném místě je dána druhou
mocninou velikosti vlnové funkce v daném bodě, existuje nenulová pravděpodobnost proniknutí částice přes bariéru. Tato pravděpodobnost je ovšem velmi
malá a přibližně se dá vyjádřit vztahem
68
⎡ 2
P ≈ exp ⎢−
h
⎣⎢
⎤
2m[E − V ( x)]dx ⎥ ,
⎦⎥
l
∫
0
kde V(x) je potenciální energie (tvar bariéry), E energie částice, m hmotnost
částice a l šířka bariéry.
U bariéry pravidelného tvaru lze vždy vyjádřit integrál jako součin efektivní
výšky a šířky bariéry. Ze vztahu je patrné, že s narůstající šířkou bariéry pravděpodobnost přechodu exponenciálně klesá a právě tato vlastnost je základem
tunelové mikroskopie. Tunelový jev byl experimentálně pozorován nejprve na
PN přechodu, poté na struktuře kov – izolant – kov (MIM) a struktuře kov –
vakuum – kov. Všechny lokální metody tunelování před SPM mohly pracovat
pouze s pevným bodovým kontaktem, tedy v jednom bodě. Při tunelování elektronů bariérou se měří tunelový proud, jehož velikost souvisí s atomární strukturou povrchu vzorku. Typický příklad aplikace STM je na obr. 4.
3 Mikroskopie atomárních sil
Mikroskopie AFM je založena na mapování atomárních sil na povrchu
vzorku. Poprvé byla uskutečněna roku 1986. Dnešní metoda AFM využívá
sondu, která rastruje povrch vzorku ostrým hrotem. Parametry hrotu představují
několik mikrometrů v jeho délce, s průměrem špičky hrotu okolo 10 nm. Hrot
je umístěn na volném konci raménka (cantileveru), které je dlouhé 100 až 200
μm. Vzájemné silové působení mezi hrotem a povrchem vzorku způsobuje
ohyb a odklon raménka.
Na počátku této mikroskopické techniky byl poznatek z STM, že ke správnému měření je nutno započítat i síly, které mění vzájemnou polohu hrotu
a vzorku. K tomu přistupoval i požadavek na zobrazování i nevodivých vzorků
(pokrytí izolantu vodivým filmem není vhodné, protože snižuje rozlišení).
Povrchové síly jsou mapovány těsným přiblížením hrotu k povrchu, přičemž
přitažlivé nebo odpudivé síly ohýbají raménko. Toto ohnutí je snímáno citlivým, zpravidla laserovým snímačem a vytváří měronosnou veličinu, jejímž
prostřednictvím je počítačem generována povrchová topografie vzorku.
69
Obr. 4 STM obraz vrstevnaté struktury arsenidu galia (GaAs). Nahoře krystalická mřížka a dole odpovídající obraz atomů v STM
Podstatné pro další aplikace je to, že tyto síly působí u jakéhokoliv vzorku
nezávisle na jeho vodivosti. Další výhodu poskytuje AFM v elektrochemii,
protože je možno použít nevodivý hrot. Narozdíl od STM, mohou být tedy
AFM přístroje použity ke studiu izolantů a polovodičových materiálů (samozřejmě i ke studiu vodičů). Některé síly přispívají zásadním způsobem
k výchylce AFM raménka. Síly ohýbající raménko mohou být různé fyzikální
podstaty, především se však uplatňuje van der Waalsova přitažlivá síla působící
mezi dvěma atomy (dipól–dipólová interakce) a síla odpudivá, plynoucí z Pauliho principu, je-li vzájemná vzdálenost menší než součet atomových poloměrů.
Jejich výsledný průběh je ukázán na obr. 5.
70
síla (N)
odpudivá síla
přerušovaný
kontakt
kontakt
vzdálenost (hrot–povrch vzorku)
1nm
bez kontaktu
přitažlivá síla
Obr. 5 Závislost meziatomových sil na vzdálenosti hrotu od povrchu vzorku
3.1 Přehled působících sil
Z obr. 5 je vidět, že v závislosti na vzdálenosti hrotu může být působící síla
jak odpudivá, tak i přitažlivá. Matematicky lze van der Waalsovy síly popsat
závislostí F ≈ r–7 pro dva atomy a F ≈ r–2 pro sílu mezi atomem a rovinou.
Vzhledem k pozvolnému spádu těchto sil nelze očekávat, že by bylo možno
zanedbávat strukturu hrotu, jak to bylo možné u STM. Dále se mohou uplatňovat síly elektrostatické, které u nevodivých vzorků, u nichž nelze odvést náboj,
způsobují horší rozlišení. Při malých vzdálenostech se začnou uplatňovat lokální interakce nejbližších atomů např. charakteru chemické vazby či překrytí
dvou elektronových oblaků, které vede k nedokonalému odstínění jader a coulombovskému odpuzování.
Pro korektní vyšetřování sil mezi hrotem a vzorkem nestačí znát pouze
interakce mezi dvěma molekulami, ale interakci mezi tělesy. Ta je zpravidla
dána integrací (sumací) předchozí interakce, přičemž mnohdy se musí započítat
i vícečásticové interakce, vliv prostředí (permitivita) či vazba mezi hrotem
a vzorkem. Rovněž je nutno si uvědomit, že skenování je dynamický proces,
vznikají třecí síly, apod.
1. Van der Waalsovy síly – jsou nejvýznamnější v intervalu od desetin nm do
desítek nm. Umožňují rozlišení několik nm, ale dosažení atomárního rozlišení
71
je diskutabilní, protože síly v důsledku svého původu způsobují rozmazání již
na atomární škále.
2. Kapilární síly – hrot poblíž vzorku vytváří mikrokontakt, působící jako
zárodek kondenzace kapaliny. Je-li poloměr hrotu menší než kritický, dojde
k vytvoření menisku. Maximální hodnota síly pro vodu a hrot s R = 100 nm je
9,3.10–8 N, tedy poměrně dost velká.
Síly krátkého dosahu - (zpravidla označované jako Pauliho) – obecně vzato,
při atomárních velikostech je třeba mít na paměti následující jevy: Pauliho
a iontové odpuzování, fyzikální sorpci a chemosorpci (vazba mezi hrotem
a vzorkem), kovovou adhezi (při těsném přiblížení dvou kovů dojde k přesunu
elektronů a vzniku přitažlivé síly), tření, elasticitu (hlavně u vrstevnatých materiálů), plastickou deformaci (změna tvaru hrotu apod.).
V grafu na obr. 5 jsou tučně vyznačeny dva režimy lišící se vzdáleností –
kontaktní a nekontaktní režim. V kontaktním režimu udržuje hrot raménka od
povrchu vzorku vzdálenost menší než několik desetin nm a síla mezi atomy
přicházejícími do interakce (mezi hrotem a povrchem) je odpudivá.
V nekontaktním režimu je hrot udržován ve vzdálenosti řádově jednotek až
desítek nm od povrchu vzorku, kdy je již síla mezi atomy vzorku a hrotu přitažlivá. Oba režimy detailněji rozebereme v dalších kapitolách.
3.2 Kontakní režim AFM
V kontaktním (odpudivém) režimu udržuje AFM hrot jemný „mechanický
kontakt“ se vzorkem. Hrot je připojen ke konci raménka, které má tuhost nižší
než je vazebná síla mezi atomy vzorku. Kontaktní síly způsobují během skenování hrotu po povrchu vzorku ohyb a výchylky raménka v korespondenci se
změnami topografie povrchu vzorku. Odpudivé síly eliminují síly usilující
o přitlačení atomů blíže k sobě. V AFM to znamená, že když raménko tlačí hrot
proti povrchu vzorku, dochází spíše k ohybu raménka než k posuvu atomů
vzorku a hrotu. Pouze v případě užití tuhého raménka s hrotem se projeví síla
mezi hrotem a povrchem vzorku, což pravděpodobně způsobí deformaci povrchu. Toho může využít například nanolitografie.
Kromě odpudivé síly (vyplývající zejména z Pauliho principu), vznikají
v průběhu kontaktního AFM režimu další dvě síly: síla kapilární (vlivem povrchového napětí), uplatňující se v tenkých vrstvách kapaliny a obvykle daná
okolním prostředím a síla vytvářející se v raménku samotném. Kapilární síly
vycházejí z přítomnosti vody v okolí hrotu. Při silách, které udržují hrot
v kontaktu s povrchem (okolo 10–8 N), závisí velikost kapilární síly na vzdálenosti hrotu od povrchu vzorku. Síly vycházející z vlastního raménka souvisí
s tuhostí raménka a jeho ohybem. Velikost výsledné síly hrotu na vzorek kolísá
72
od 10–8 N (např. je–li při tažení raménka přes vzorek hrot přitahován vodou) do
obvyklejších operačních mezí 10–7 až 10–6 N.
Kontaktní režim lze provozovat ve dvou modifikacích, a to sice:
1. s konstantní výškou, při němž je udržována určená hodnota výšky z0 a měří
se ohnutí raménka. Správně jsou zde zobrazeny struktury s časovou frekvencí
(závisí na rychlosti skenování) menší než je frekvence raménka,
2. s konstantní silou, kdy se udržuje konstantní ohnutí raménka a posunuje se
vzorkem (či hrotem) ve směru osy z. Tato modifikace je častěji používaná,
protože se vyvarujeme závislosti prohnutí na kapilárních silách a pružnosti
raménka. Je ovšem pomalejší.
Při dotykovém měření se zpravidla projevuje hystereze. Při přibližování
k povrchu je nejprve síla konstantní, při určité vzdálenosti d1 prudce vzroste
a přitáhne hrot skokově k povrchu. Teprve potom zvolna narůstá odpudivá síla.
Při oddalování nejprve klesá odpudivá síla, zvolna přechází v rostoucí sílu
přitažlivou a v jisté vzdálenosti d2 > d1 prudce klesne a raménko odskočí. Těchto nelinearit využívá AFM spektroskopie.
Na hysterezi může mít vliv i povrchové napětí zkondenzované vody, pokud
je nutno hrot z ní vytahovat.
Na obr. 6 je zřetelná struktura stop na CD zaznamenaných laserovým paprskem do podkladového materiálu. Tato struktura byla zobrazena v kontaktním režimu AFM Explorer (AFM mikroskop instalovaný na PřF UP).
Obr. 6 Stopy na CD zobrazené v AFM. Skenovaný rozsah 20 × 20 µm
73
3.3 Nekontaktní režim AFM
Nekontaktní režim představuje další z aplikací AFM. Spočívá v tom, že
raménko s hrotem vibruje v blízkosti povrchu vzorku. Rozestup mezi hrotem
a vzorkem u nekontaktního režimu je v řádu jednotek až desítek nm. Stejně
jako kontaktní režim, i nekontaktní režim AFM může být využit k měření povrchu izolantů, polovodičů i elektrických vodičů. Celková síla mezi hrotem
a vzorkem v nekontaktním režimu je velmi malá a pohybuje se okolo 10–12 N.
Tato malá síla je výhodou při studiu měkkých nebo pružných povrchů. Další
výhoda je, že povrch vzorku (např. typu křemíkových destiček) není kontaminován dotykem hrotu.
Protože síla mezi hrotem a vzorkem v nekontaktním AFM režimu je ve
srovnání s kontaktním režimem malá, je měření obtížnější. Hrot je ke vzorku
u bezkontaktní metody přitahován, a proto musí být raménko tuhé tak, aby
nedošlo k poškození vzorku. Zároveň však na něj v této vzdálenosti působí
malé síly a ohnutí raménka je tedy velmi malé. Z tohoto důvodu je i měřicí
signál velmi malý (je špatný poměr signál/šum). Proto se převážně používá
střídavého měření.
V nekontaktním AFM režimu raménko s hrotem kmitá poblíž rezonanční
frekvence, která je u tuhého raménka zpravidla od 100 do 400 kHz,
s amplitudou několika nm. Detekovány jsou změny v rezonanční frekvenci
nebo amplitudě kmitů raménka při přibližování či vzdalování hrotu od povrchu.
Metoda je tak citlivá, že poskytuje nanometrová vertikální rozlišení v obrazu,
podobně jako kontaktní AFM. Vzdálenost mezi hrotem a vzorkem je udržována
v strmé části vzestupné závislosti působících sil (velikost řádově 10–12 N).
Vztah mezi rezonanční frekvencí raménka a změnami topografie vzorku
mohou být vysvětleny následovně. Rezonanční frekvence raménka se mění
s druhou odmocninou jeho tuhosti. Navíc, tuhost raménka se mění s narůstající
silou a gradient síly, který je odvozen z křivky závislosti síly na vzdálenosti
hrotu (obr. 5) se mění se vzdáleností hrotu od vzorku. Změny v rezonanční
frekvenci raménka mohou být tedy použity k detekci změn gradientu síly, který
odráží změny vzdálenosti hrotu a vzorku, potažmo topografii povrchu vzorku.
V bezdotykovém případě se interakce zúčastní velké množství atomů, ale
charakter sil je v této oblasti vcelku dobře znám. Vlivem velkého počtu atomů
vstupujících do interakce však nelze očekávat dosažení velkého rozlišení.
Tato metoda je vhodná k měření drsných povrchů, či biologických (obecně
měkkých) vzorků.
Metoda kontaktní a nekontaktní se výrazně liší v případech, kdy je zkoumaný povrch částečně pokryt zkondenzovanou vodou. Bezdotyková metoda bude
snímat reliéf odpovídající povrchu vodní kapky, ale dotyková metoda bude
74
sledovat povrch vzorku (samozřejmě se zde může nepříznivě projevit vliv kapilarity). U bezdotykového hrozí nebezpečí, že bude náhodně vtažen do vrstvy
vody a nebude mít energii na uvolnění, viz obr. 7.
nekontaktní AFM obraz
kontaktní AFM obraz
vzorek
kapka vody
Obr. 7 Schematické znázornění vzniku topografie povrchu u kontaktního a NK
režimu AFM
V bezkontaktním režimu systém monitoruje rezonanční frekvenci (amplitudu kmitů) raménka s využitím zpětné vazby. Zpětnovazebním členem je zajištěn pohyb skeneru nahoru a dolů a rezonanční frekvence se udržuje na konstantní hodnotě. Udržováním konstantní rezonanční frekvence nebo konstantní
amplitudy je zajištěna stálá průměrná vzdálenost mezi hrotem a vzorkem. Podobně jako kontaktní AFM režim (v režimu konstantní síly), pohyb skeneru
generuje soubor dat potřebných k rekonstrukci obrazu.
V bezkontaktním AFM režimu se hrot neopotřebovává (tedy ani se neporušuje povrch vzorku), jak je to běžné po několika analýzách v kontaktním režimu. Zejména u zobrazení biologických preparátů může dojít k jeho ušpinění.
Hrot je křehčí a bezkontaktní režim je obecně náchylnější k okolním rušivým
vlivům.
Jak bylo uvedeno dříve, je tento režim upřednostňován před kontaktním
AFM zejména při měření měkkých vzorků. V případě tuhých, nepoddajných
75
materiálů, mohou obrazy povrchů vypadat stejně. Nicméně, jestliže na povrchu
tuhého vzorku kondenzuje několik tenkých vrstev vody, obrazy se budou určitě
lišit, viz předchozí obrázek 7.
Trojrozměrný obraz povrchu pořízený v bezkontaktním režimu (AFM Explorer) je na obr. 8. Je něm patrná pórovitá stavba měkké kontaktní čočky
z hydrofilního gelu, který by byl v případě kontaktního režimu „poškrábán“.
Vzorek je navíc ponořen do kapaliny, která zabraňuje vysušení gelu, který
obsahuje víc než 60 % vody.
Obr. 8 Povrch kontaktní čočky z pórovitého hydrofilního gelu (rozměr skenované oblasti je 20 × 20 µm)
3.4 Poklepový režim (tapping mod)
Je velmi podobný předchozímu, jen rozkmit je tak velký, že dochází k občasnému dotyku hrotu s povrchem (vibrující raménko je v těsnější blízkosti
povrchu vzorku a ve spodní části své dráhy občas lehce udeří – klepe do povrchu vzorku). Povrch je zde opět mapován ze změny rezonanční frekvence.
Tato modifikace je výhodnější než dotyková v případech, kde by hrozilo poškození povrchu třením nebo tažením a je rovněž vhodnější než bezdotyková,
je-li nutno snímat větší plochy zahrnující větší rozpětí v ose z.
Tento režim se používá zejména v případě biologických vzorků. Na obr. 9
je vidět rozdíl v obraze endoteliálních buněk pořízeném v kontaktním režimu
(a) a poklepovém režimu (b). Zde je důležité připomenout, že buňky byly ponořeny do živného média a pozorovány „in vivo“.
76
(a)
(b)
Obr. 9 Endoteliální buňky zobrazené v AFM v kontaktním režimu (a) a poklepovém „tapping“ módu (b)
3.5 Detekce pozice raménka nad vzorkem
Většina stávajících AFM přístrojů dostupných na trhu, detekuje pozici raménka s hrotem optickou cestou. Nejběžnější schéma je na obr. 10.
kvadrantový
fotodetektor
zrcátko
piezoelektrický
skener
povrch vzorku
Obr. 10 Detekce pozice raménka s hrotem
77
Laserový svazek se odráží od raménka na fotodetektor, který je schopen
registrovat změny pozice dopadajícího laserového svazku. Jakmile se raménko
odkloní, pozice stopy laserového paprsku na detektoru se změní. Citlivé fotodetektory mohou registrovat změny posunutí menší než 1 nm. Poměr optické
dráhy mezi raménkem a detektorem k délce samotného raménka vytváří geometrické zesílení. Výsledkem je, že systém detekuje (sub)nanometrové vertikální posuny hrotu raménka.
Jiné metody detekce ohybu raménka jsou založeny na interferenci světla.
Jedna z dílčích elegantních technik je konstrukce raménka z piezoelektrického
materiálu, který detekuje ohyb raménka na základě změny elektrického napětí.
V tomto případě laser a fotodetektor není nutný.
4 Odvozené mikroskopické techniky se skenující sondou
V této kapitole budou uvedeny méně rozšířené metody skenovací sondové
mikroskopie. Většina těchto metod je používána s některým standardním typem
přístroje SPM. Metody nejsou řazeny ani chronologicky ani podle využitelnosti
či jiných kritérií.
4.1 Mikroskopie elektrostatických sil
Mikroskopie elektrostatických sil (Electrostatic Force Microscopy – EFM)
vychází z pohybu nabitého hrotu nad povrchem vzorku tvořeného oblastmi
s různým nábojem. K reakci raménka dojde, když se pohybuje nad místem
s kladným nebo záporným plošným nábojem, jak je patrné z obr. 11.
Obr. 11 Schematické znázornění principu EFM
EFM tedy mapuje lokální změny nabitých oblastí (domén) na povrchu
vzorku. Podobně je tomu u MFM (zde se však detekují magnetické domény
78
v magnetických materiálech, viz následující kapitola). Velikost výchylky raménka s hrotem je úměrná hustotě náboje a může být měřena standardním
detekčním systémem užívajícím laserový svazek.
EFM se požívá především ke studiu prostorových změn hustoty povrchového náboje. Tímto způsobem může být mapováno např. elektrostatické pole
elektronických obvodů při zapnutí a vypnutí přístrojů. Tato technika, známá
jako „napěťová sonda“ je cenným nástrojem pro testování aktivních mikroprocesorových čipů v submikronových mezích nebo v nanotechnologických aplikacích, viz obr. 12.
Obr. 12 Barium titanátové nanovlákno a rozložení elektrického pole podél jeho
délky v různých případech (šipky vyznačují směr polarizace)
4. 2 Mikroskopie magnetické síly
Mikroskopie magnetické síly (Magnetic Force Microscopy – MFM) umožňuje prostorově zobrazit změny magnetické (Lorentzovy) síly ve vzorcích
z magnetických materiálů. Pro MFM je třeba hrot potáhnout tenkou feromagnetickou vrstvou. Systém pracuje v nekontaktním režimu a detekuje změny rezonanční frekvence raménka způsobené magnetickým polem vzorku v závislosti
na vzdálenosti hrotu od povrchu, viz obr. 13. MFM může být použit ke zobrazení povrchu přírodních magnetických materiálů, případně laboratorně připravených (doménových struktur) magnetických materiálů.
Obraz získaný s použitím speciálního magnetického hrotu obsahuje informaci nejen o topografii, ale také o magnetických vlastnostech povrchu. Která
informace bude dominující, to závisí na vzdálenosti mezi hrotem a povrchem.
Magnetické síly se uplatňují i ve větších vzdálenostech hrotu od povrchu vzorku, než je vzdálenost kde působí van der Waalsova síla. Pokud je hrot blíže
povrchu, tj. v oblasti, kterou standardně využívá nekontaktní AFM režim, bude
79
převládat topografický kontrast. Zvýšíme-li vzdálenost mezi hrotem a vzorkem,
bude převládat efekt magnetické síly a získáme obraz s magnetickým kontrastem. Pořízením série obrazů při různých výškách nad povrchem, je počítačově
možné oba efekty oddělit. Na obr. 14 je obraz povrchu harddisku pořízeného
v režimu MFM.
Obr. 13 MFM mapování domén v magnetických materiálech
Obr. 14 MFM obraz znázorňující zakódovanou informaci v paměťovém magnetickém médiu (skenovaná oblast 30 µm)
4.3 Mikroskopie laterálních sil
Mikroskopie laterální síly (Lateral Force Microscopy – LFM) vychází z vyhodnocení příčného ohybu (krutu) raménka, ke kterému dochází v důsledku
rozložení sil na raménku umístěném rovnoběžně k rovině povrchu vzorku.
LFM je užitečný pro zobrazení změn, vyplývajících z nehomogenit povrchu
(změna koeficientu tření), a také pro získání obrazu povrchů tvořených stupňovitými nerovnostmi (hranami).
80
Jak je naznačeno na obr. 15, laterální ohyb raménka obvykle vyplývá ze
dvou příčin: změny tření a změny náklonu.
Obr. 15 Znázornění příčin vzniku laterální síly – třením (nahoře) a sklonem
(dole)
V prvním případě (obrázek 15 nahoře) hrot prochází přes oblasti z odlišných materiálů, charakterizovaných různými koeficienty tření. Ve druhém
případě (obr. 15 dole) se může raménko zkroutit v důsledku kontaktu se strmým náklonem. Pro oddělení obou efektů by měl být obraz v LFM a AFM
režimech pořizován současně.
LFM užívá k detekci ohybu raménka pozičně-citlivý fotodetektor, podobně
jako AFM. Rozdíl je v tom, že u LFM je detektor schopen registrovat i zkroucení raménka, tedy změnu příčné síly. Obr. 16 znázorňuje rozdíly mezi oběma
způsoby detekce u obou metod (vertikální změny – AFM, příčné – LFM). Systémy na odpovídající úrovni jsou schopny snímat současně signály generované
oběma metodami (AFM a LFM).
Působící třecí síly jsou vlastně vedlejším projevem v AFM. Zkrut raménka
při tažení hrotu po povrchu můžeme využít jako mikroskopickou techniku,
protože tyto torzní síly jsou závislé jak na mechanických vlastnostech povrchu,
tak na tvaru povrchu (úhel mezi hrotem a povrchem). Úhlovou závislost lze
využít k zobrazování bočních stěn a výstupků. Důležitou vlastností je ortogonalita sil třecích a přitažlivých (v AFM), což umožňuje současný sběr obou signálů z jednoho raménka a jedním upraveným detektorem (např. polohově citlivým).
81
Obr. 16 Principy detekce v AFM s detekcí LFM (dole)
Při analýze dat získaných LFM je nutno rozlišit kontrast plynoucí z rozdílných materiálových vlastností (změna třecího koeficientu) a z topografie (korelují s oblastmi změny spádu povrchu).
Na obr. 17 můžeme v režimu laterální síly odlišit dvě oblasti na vyleštěné
ploše kovového vzorku, které znázorňují přechod mezi základním materiálem
a vrstvou nanesenou laserovou depozicí.
Obr. 17 Přechod vrstvy nanesené po laserové depozici, zobrazený v režimu
LFM
82
4.4 Teplotní skenovací mikroskopie
Teplotní skenovací mikroskopie (Scanning Thermal Microscopy – SThM)
je metoda, která slouží k mapování teploty či teplotní vodivosti. Při měření se
nad povrchem pohybuje mikrotermočlánek, který je tvořen spojením dvou kovů
(např. W a Ni). Jeden z kovů je nosný a tvoří vnitřek hrotu. Na něm je nanesena
izolační vrstva, která hrot pokrývá s výjimkou špičky. Přes tuto vrstvu je nanesen druhý kov, takže ke spojení obou kovů dochází jen na vrcholku hrotu.
Termočlánek je ohříván průchodem stejnosměrného proudu a provádí skenování v blízkosti povrchu. Protože okolní vzduch má značně menší tepelnou
vodivost než vzorek, nastane při přiblížení k povrchu značný pokles termoelektrického napětí. Změna termoelektrického napětí podél povrchu odpovídá změnám v tepelné vodivosti. Aby se zabránilo teplotním driftům a vlivu okolní
teploty, kmitá hrot ve směru kolmém k povrchu. Tím dochází ke změně tepelného odporu a změně ochlazování, takže při stejnosměrném vyhřívání dostáváme střídavý signál. Tato metoda poskytuje rozlišení asi 30 nm, reakční doba
je 1 μs a citlivost na změnu teploty 1 mK.
Druhou variantou této metody je vytvoření raménka ze dvou tepelně dilatujících pásků, přičemž koeficienty jejich roztažností jsou různé. Změna okolní
teploty způsobí prohnutí nosníku, které lze detekovat opticky. Materiály ramének reagují na změny tepelné vodivosti různě a způsobují ohyb raménka. Zobrazovací systém vytváří SThM obraz, který je tepelnou mapou, reprezentující
místa s různou teplotou nebo tepelnou vodivostí. Topografický kontrast přitom
může být oddělen od obrazu lokálních teplotních změn, a oba signály mohou
být snímány současně.
4.5 Mikrotermální analýza
Vizualizace povrchu a jeho teplotní charakteristika je spojena
v mikrotermální analýze (Micro–Thermal Analysis – µTA). Ta sdružuje submikronové mapování teploty povrchu a lokální kalorimetrická měření. Pro tato
studia je sonda upravena do podoby Wollastonova drátku a působí jako aktivní
tepelný zdroj. Odpor sondy je úměrný její teplotě. Změny proudu vyžadované k
udržení sondy na konstantní teplotě vedou ke vzniku teplotních map. Rovněž
změny elektrického odporu sondy při konstantním proudu vedou ke generaci
teplotních map. Navíc se může u sondy měnit teplota.
Sonda může být umístěna do různých bodů, ve kterých se provádí termální
analýza. Teplota narůstá lineárně a současně se přidává střídavá teplotní modulace. Zdroj přizpůsobený ke sledování tohoto teplotního režimu poskytuje možnosti některých kalorimetrických měření, jako je např. mikrodiferenciální termální analýza (µDTA). Současně jsou měřeny ohyb sondy a křivka změny
83
teploty. Je možné sledovat roztažnost, tloušťku vrstvy, teplotu fázových přechodů, změny tvrdosti, včetně popisu procesů tání, tuhnutí, měknutí apod.
Obr. 18 Schematické znázornění µTA uspořádání
5 Raménka a hroty pro AFM
Obr. 19 Snímek ramének s hrotem
V počátcích AFM byl hrot a raménko AFM tvořeno zahnutým W drátkem.
Později se začal používat Au pásek, na jehož konci byl upevněn diamantový
hrot. V současné době se hroty i raménka vyrábějí litograficky nebo jinou technologií.
84
Raménko v AFM slouží jako senzor působící síly. Jsou na něj kladeny požadavky vysoké rezonanční frekvence (ovlivňuje dobu měření a vliv tepelných
driftů) a malé setrvačnosti. Oba požadavky lze splnit zmenšením hmotnosti. Při
vlastním měření se rezonanční frekvence zvětší, protože konec raménka už není
volný. Kvalita odezvy na náhlé změny však je stále určována hmotností a tuhostí a závisí tedy na původní rezonanční frekvenci. Aby byl senzor dostatečně
citlivý na malé síly, musí být raménko snadno ohebné a musí tedy mít malou
tuhost. Její minimální hodnota je však omezena stabilitou měření (aby se hrot
nepřilepil k povrchu). Protože v dotykovém režimu působí velké boční síly,
musí být raménko odolné proti zkroucení, nejvhodnější se jeví tvar V a X, viz
obr. 19.
Hrot by vždy měl být nejnižším místem celého raménka. Vlastnosti raménka závisí na jeho použití. Pro dotykové režimy se používají pružná, pro bezdotykové naopak tvrdá raménka. Hrot ani raménko AFM obecně nemusí být vodivé, ale raménko musí být vhodně upraveno k detekci (odrazná či vodivá strana odvrácená od vzorku). Velikost litografií vyrobeného raménka bývá v rozmezí 100 - 200 μm délka, šířka 10 - 40 μm a tloušťka do 2 μm.
5.1 Výroba ramének s hroty pro AFM
AFM hroty jsou vyráběny obvykle z křemíku nebo nitridu křemíku. Způsob
přípravy je pro oba druhy materiálu odlišný. Tvar hrotu je pro každý materiál
závislý na výrobním procesu, stejně jako na vlastnostech materiálu, ze kterého
je hrot vyroben.
Křemíkové kuželové hroty jsou vyráběny odleptáním křemíku kolem čepičky z oxidu křemičitého. Vysoký průřezový poměr kuželových hrotů umožňuje
jejich použití při zobrazení hlubokých ostrých prohlubní. Jsou ale bohužel
náchylnější ke zlomení než hroty s pyramidální nebo tetraedrální geometrií.
Výhoda křemíku spočívá v tom, že může být doplněn příměsemi, což je výhodné v případě elektrických aplikací AFM (měření vodivosti). Vodivé hroty jsou
užitečné pro řízení toku mezi hrotem a vzorkem, případně k prevenci proti
nežádoucímu náboji na hrotu.
Nejnázornější příklad výroby pyramidálního hrotu je výroba hrotu z nitridu
křemíku (Si3N4) naneseného nad odleptanou pyramidální prohlubní v krystalické křemíkové desce, jak je patrné z obr. 20. Tato metoda se používá pro přípravu hrotů s pyramidální a tetraedrální geometrií. Pro drsné povrchy je nutno
vyrobit raménko i s hrotem. V případě Si3N4 se nejprve do Si s orientací (100)
vyleptá pyramidální prohlubeň. Povrch se pokryje SiO2, odkryje se čtvercové
nebo kruhové okno, anizotropně se Si vyleptá a odstraní se zbylý oxid. Na
křemík se nanese nitrid, vyžíhá se a litograficky se vytvaruje. Hrot však nyní
85
směřuje do materiálu, musíme jej tedy přenést na jiný substrát. Průřezový poměr hrotů z nitridu křemíku je limitován krystalografickou strukturou odleptaného materiálu (křemíku). Pyramidální hroty jsou širší než kuželové, takže
z důvodu jejich robustnosti jsou méně vhodné pro zobrazování hlubokých a ostřejších povrchových struktur. Nitrid křemíku je tvrdší materiál než křemík,
a tak vytváří hroty trvanlivější než křemíkové.
raménko s hrotem
pyramidální prohlubeň
nitrid křemíku
Obr. 20 Postup výroby hrotu z nitridu křemíku
Vrstva nitridu křemíku nicméně obsahuje zbytková pnutí a ta mohou vést
k pozdější deformaci. Pro aplikace, které vyžadují tenčí raménka nebo raménka
s vyšší rezonanční frekvencí se z tohoto důvodu používá křemík. Tloušťka
ramének z nitridu křemíku může být menší než 1 μm, zatímco křemíková raménka mají tloušťku několik μm.
5.2 Speciální typy hrotů
Speciálnější typy ramének mají hroty „narostlé“ pod kontrolou ve skenovacím elektronovém mikroskopu. Některé hroty jsou dokonce připravené „obráběním“ existujícího hrotu fokusovaným iontovým svazkem. Skenovací elektronový mikroskop může být použit pro jiný netradiční postup výroby, který využívá usazování nečistot v tubusu EM. Hroty tak nejsou připraveny z objemného
bloku. Rostou na konci raménka a mají výhodu v tom, že mohou mít prakticky
neomezený průřezový poměr. Jsou však nepravidelně zaostřené, ohýbají se
a jsou křehké.
Někdy se rovněž vytváří tzv. "superhroty", které jsou vytvořeny elektronovým svazkem v SEM na běžném pyramidálním hrotu pro AFM. Jsou vytvořeny
z uhlíkatého materiálu a dosahují poloměrů až 10 nm.
Jeden ze způsobů přípravy hrotu, pro změnu pro MFM (magnetickou) mikroskopii, je na obr. 21.
86
Obr. 21 Příprava hrotu pro MFM
Závěr
Problematika spojená s mikroskopií skenující sondou je velmi různorodá.
Pochopení fyzikálních principů těchto mikroskopických technik značně překračuje fyzikální znalosti získané na střední škole. Proto je třeba brát tento příspěvek jako orientační, pro získání přehledu o těchto moderních mikroskopických
technikách, které se vymykají běžným představám o mikroskopech.
Srdcem těchto mikroskopů jsou skenery, které řídí skenování hrotu nad
povrchem vzorku, případně vzorku pod hrotem. Jsou to prvky vyrobené
z piezorezistivní keramiky a v tomto příspěvku nebyl prostor pro jejich popis.
Další informace může čtenář získat v doporučené literatuře.
Doporučená literatura
Kubínek, R., Vůjtek, M.: Mikroskopie skenující sondou. Vydavatelství UP,
Olomouc 2003.
87
Nanotechnologie a nanověda na prahu 21. století
MIROSLAV MAŠLÁŇ
V oblasti nanometrových rozměrů, cca. v intervalu od 1 nm do 100 nm, se
objevují nové neobyčejné vlastnosti hmoty. Mnohé fyzikální a chemické vlastnosti se mění, nikde jinde fyzika, chemie a biologie nedosáhly takové blízkosti
jako při studiu nanobjektů. Mezi světem elementárních částic, atomů, molekul,
popisovaném kvantovou mechanikou a standardním modelem částic, a reálným
světem bezprostředně vnímaným našimi smysly, který popisuje klasická fyzika,
leží oblast nanosvěta. Oblast kde se objekty nanometrových rozměrů projevují
zajímavými, neobvyklými vlastnostmi.
Přibližně v posledních 30 letech se objevila celá řada termínů s předponou
nano. Hovoříme o oblastech nanosvěta, tento svět je studován nanovědou, získané znalosti jsou využívány k přípravě nanomateriálů pomocí nanotechnologií
a tyto společně s nanoroboty zasahují do našeho života. Diskutují se sociálněekonomické, etické dopady nanotechnologií. Kde je realita a kde začíná fantazie? Historie nás učí, že mnohé ve své době fantastické myšlenky se
v budoucnu staly realitou. Zcela opodstatněnými se jeví následující základní
otázky: V čem spočívá příčina jiných fyzikálních a chemických vlastností nanoobjektů? Našly nanotechnologie praktické využití a kde se s nimi můžeme
setkat? Začala všechna ta nano koncem 20. století nebo se s nimi můžeme setkat i dříve?
1 Pohled do historie a přírody
Široký zájem o oblast nanosvěta, který doprovází konec 20. století, je do
jisté míry spojen s objevem relativně jednoduché techniky pozorování nanobjektů tzv. mikroskopie skenující sondou [1]. Tato technika společně
s transmisní elektronovou mikroskopií [2] umožnila vědcům a technikům pozorovat nanostruktury, pozorovat uspořádání jednotlivých atomů. Důležitost těchto mikroskopických technik podtrhuje fakt, že v roce 1986 pánové Gerd Binning a Heinrich Rohrer za skenující tunelovou mikroskopii a Ernst Ruska za
elektronovou mikroskopii obdrželi Nobelovu cenu. Elektronová mikroskopie
k získání zobrazení využívá vlnových vlastností částic. De Broglieho vlna
urychlených elektronů (vlnová délka elektronů o energii 200 keV je asi 6 pm)
má kratší vlnovou délku než světelné vlny (viditelná oblast 380 – 800 nm)
a dovoluje zobrazit mnohem menší objekty. Mikroskopie skenující sondou je
88
založena na plošném skenování zkoumaného vzorku hrotovou sondou
s nanometrovými rozměry vrcholu hrotu přitom v každém bodě hrot sondy
interaguje s povrchem vyšetřovaného vzorku. Odezva na příslušnou interakci
(elektrickou, magnetickou, …) se využívá ke konstrukci počítačového zobrazení povrchu zkoumaného vzorku. Mikroskopie skenující sondou poskytuje třírozměrné zobrazení povrchu vzorku, třetí rozměr je určován intenzitou příslušné interakce hrotu sondy se vzorkem. Použití transmisní elektronové mikroskopie a mikroskopie skenující sondou (mikroskopie atomárních sil) je demonstrováno snímky nanočástic na obr. 1.
Obr. 1 Snímek nanočástic oxidu železitého získaný mikroskopií atomárních sil
(vlevo), snímek nanočástice železa s uhlíkovou slupkou získaný transmisní
elektronovou mikroskopií (vpravo). Snímky pořízeny v Centru výzkumu nanomateriálů Univerzity Palackého v Olomouci
Skenování povrchu zkoumaného vzorku hrotem s využitím příslušné interakce dovoluje na jedné straně zobrazení povrchu vzorku až s atomárním
rozlišením (obr. 2 vlevo). Na straně druhé je možné interakci hrotu s jednotlivými atomy využít k manipulaci s nimi a k jejich uspořádání (obr. 2 vpravo).
Takové fyzikální vytváření struktur tvořených jednotlivými atomy můžeme
nazvat nanotechnologií, kdy vytváříme objekt jehož některé rozměry jsou nanometry nebo desítky nanometrů. Cílená manipulace s atomy je jen jedním
příkladem nanotechnologií, v tomto případě je nanobjekt organizován tzv. „ze
spodu-nahoru“ (bortom to up). Mezi tento typ nanotechnologií můžeme zařadit
celou řadu chemických syntéz (srážecí postupy, sol-gel metody, depoziční
techniky, …), které se využívají k vytváření nanostrukturovaných materiálů,
nanočástic, nanopovrchů. Na druhé straně se můžeme setkat s nanotechnologiemi využívajícími postupné zmenšování daného objektu až do dosažení nanometrových rozměrů, jsou to například tepelné rozklady, mletí, leptání.
Pro tyto technologie se používá názvu „z hora-dolů“ (up to down). Obr. 3, kde
89
jsou ukázány nanočástice mědi získané kryomletím, demonstruje takový typ
technologie.
Užitím určitého zobecnění můžeme definovat pojem nanotechnologií jako
cílené postupy vedoucí k vytvoření užitečných funkčních materiálů, zařízení
a systémů v oblasti nanometrických rozměrů, materiálů, zařízení a systémů,
které mají nové fyzikální, chemické, biologické vlastnosti.
Obr. 2 Zobrazení atomů jódu na povrchu platiny pomocí skenovaní tunelové
mikroskopie (vlevo), logo IBM vytvořené atomy xenonu uspořádanými na
povrchu niklu (vpravo)
Obr. 3 Snímek z transmisního elektronového mikroskopu nanočástic mědi
připravených kryomletím. Snímky pořízeny v Centru výzkumu nanomateriálů
Univerzity Palackého v Olomouci
90
Nanotechnologie je z historického pohledu nové slovo, poprvé jej použil
Taniguchi v roce 1974 při popisu výrobních způsobů k dosažení nanometrové
přesnosti při výrobě součástek. Impulsem bouřlivého zájmu o nanotechnologie
a jejich rozvoje se stala přednáška Feynmana na výročním zasedání American
Physical Society v Pasadeně, kde hovořil o možnostech manipulace s objekty
atomárních rozměrů [4]. Dalším impulsem byly knihy Drexlera [5, 6], ve kterých rozvíjel technologie vytváření komplexních struktur na molekulární úrovni
a nazval je molekulárními nanotechnologiemi. Slovo nanotechnologie i impulsy, které vyvolaly její bouřlivý a systematický rozvoj je pár desítek let staré.
Z nevědomým používáním nanotechnologií v lidské činnosti se však můžeme
setkat mnohem dříve, již ve starém Egyptě. A v přírodě řada základních životních procesů probíhá v nanorozměrech odpradávna.
Celá řada technologií v minulosti lidmi používaných může být na základě
definice nanotechnologií mezi ně zařazena. Řemeslníci, dnes bychom řekli
materiáloví a chemičtí inženýři, v celé řadě výrobních postupů, aniž by to tušili,
pracovali s nanobjekty a bez znalosti podstaty využili jejich vlastností ve svých
výrobcích. Ve starém Egyptě se můžeme setkat s barvením vlasů nanočásticemi
PbS, pomocí kterých bylo dosahováno jejich dlouhodobě stálého černého zbarvení.
Středověcí skláři dosahovali zajímavých barevných efektů přidáním do
skloviny prášků kovů, především zlata, stříbra, zinku, kadmia. Tyto částice
manometrických rozměrů způsobovaly jedinečnou barevnost skel. Asi nejznámější jsou tzv. Lykurgovy poháry pocházející ze 4. století našeho letopočtu,
které jsou uloženy v Britském muzeu v Londýně. Na pohárech je zobrazen
Lykurgos, mytologický thrácký král, jak je lákán do podsvětí Ambrosií, která
se proměnila ve vinnou révu. Poháry v závislosti na osvětlení nabývají neobvyklých barev. Je-li pohár pozorován v odraženém světle je žluto-zelený, je-li
však světelný zdroj umístěn dovnitř, je pohár červený (obr.4). Chemické analýzy ukázaly, že chemické složení skla je podobné složení současných moderních
skel. Sklo pohárů však obsahuje velmi malé množství zlata (cca 40 ppm)
a stříbra (cca 300 ppm), tyto částice se ve skle nacházejí ve formě nanokrystalů
o rozměrech asi 70 nm. Technologie výroby těchto pohárů a dosahování podobných vlastností římskými skláři není známa.
91
Obr. 4 Lykurgův pohár při vnějším osvětlení (vlevo) a osvětlení uvnitř poháru
(vpravo)
Jiným příkladem užití nanotechnologií jsou lesklé glazované keramiky z 13.
– 16. století. Lesk těchto keramik vyvolává dekorativní film o tloušťce 200 500 nm, obsahující stříbrné sférické nanokrystaly rozptýlené v matrici bohaté
na křemík, přičemž vnější vrstva filmu o tloušťce 10 – 20 nm částice stříbra
neobsahuje. Kompozitní struktura má optické vlastnosti závislé jak na rozměru
částic stříbra, tak na matrici. Tyto vrstvy jsou zřejmě prvním nanostrukturním
filmem reprodukovatelně vyráběným člověkem.
V roce 1861 Thomas Graham, britský chemik popsal suspenzi obsahující
částice o rozměrech 1 – 100 nm, kterou nazval koloidním systémem. Tímto
položil základ oboru nazývaném koloidní chemie, která se tedy už více jak 100
let nanočásticovými systémy zabývá.
Příkladem průmyslového využití nanomateriálu jsou saze. Již více jak 100
let se vyrábějí spalováním organických látek jako nanočástice amorfního uhlíku
o velikostech 10 – 500 nm a dominantně se používají jako plnivo při výrobě
pneumatik.
I když dnes rozumíme celé řadě vlastností nanostrukturovaných materiálů
a cíleně směřujeme k jejich využití, i když jsme relativně dlouhou historickou
dobu vlastnosti nanomateriálů bez znalosti jejich postaty využívali, nedokáže92
me ani z malé části to co dokáže příroda. Příroda dokáže vytvářet nanometrové
funkční systémy a to jak v živé tak i v neživé oblasti. Mnohé námi konstruované systémy a funkční celky jen nedokonale kopírují přírodu.
Celá řada biologických materiálů a objektů může být zařazena mezi nanočástice. Tak jsou to například viry jejichž rozměry se pohybují v intervalu 10 –
200 nm, bílkoviny s rozměry 4 – 50 nm. Základními stavebními prvky proteinů
je 20 aminokyselin rozměry kterých jsou kolem 0,6 nm. Při vytváření proteinu
jsou aminokyseliny vázány do dlouhých polypeptidických řetězců, které můžeme považovat za nanodrátky. Dvojitá šroubovice DNA (deoxy-ribonukleová
kyselina), tvořící genetický materiál, může být rovněž považována za nanodrátek, který je stočen do chromozomu s rozměry cca 5 μm.
Příroda své struktury a funkční systémy konstruuje hierarchicky. Takové
struktury využitím interakcí na rozhraní mezi různými úrovněmi hierarchie
dosahují velké účinnosti. Příkladem takové struktury může být šlacha. Funkcí
šlachy je přichytit sval ke kosti. Z biologického hlediska je základním stavebním kamenem šlachy seskupení aminokyselin (0,6 nm), které tvoří protein
podobný želatině, zvaný kolagen (1 nm), který se stáčí do trojité šroubovice
(2 nm). Pak následuje trojitá sekvence fibrilárních nanostruktur či nanostruktur
podobným vláknům; mikrofibrila (3,5 nm), subfibrila (10 – 20 nm) a samotná
fibrila (50 – 500 nm). Poslední dva konečné kroky ve výstavbě šlachy představují svazek vláken zvaný fascikulus (50 – 300 μm) a samotná šlacha (10 –
50 cm), které jsou daleko za nanometrickou škálou rozměrů [7]. Přírodou využívanou nanotechnologií je biomineralizace.
Příkladem jsou tzv. biogenní magnetické nanočástice. V roce 1975 objevil
Blakemore magnetotaktické bakterie [8]. Tyto bakterie si vytvářejí sférické
krystality magnetitu (Fe3O4) o rozměru cca 50 nm (obr.5), které jsou přesně
orientované a předávají jí magnetický moment rovnoběžný s její osou pohyblivosti. Řetízky částic nazývaných magnetosomy slouží jako jednoduché střelky
kompasu, které pasivně zkrucují buňky bakterie, aby byly vyrovnány souběžně
se zemským magnetickým polem a bakterie tak mohla snáze najít její nejpřirozenější prostředí - mikroaerofilní zónu na rozhraní kal/voda. Je zajímavé, že
tyto bakterie plavou na severní polokouli vždy k severnímu magnetickému pólu
a na jižní polokouli k jižnímu magnetickému pólu.
93
Obr. 5 Snímky magnetotaktických bakterií s řetízky magnetických nanočástic
z transmisního elektronového mikroskopu: bakterie byly vypěstované v Centru
výzkumu nanomateriálů Univerzity Palackého v Olomouci (vlevo), bakterie
z Plešného jezera na Šumavě
2 Proč mají nanostruktury jiné vlastnosti
Již v úvodu bylo zmíněno, že z fyzikálního pohledu popisujeme svět prostřednictvím klasické fyziky a kvantové fyziky. Kvantová fyzika popisující svět
na úrovni atomů a elementárních částic sebou přinesla řadu důsledků, jejichž
využití se stalo základem nanotechnologií a otevřelo nám okno do oblasti, kterou nazýváme nanosvětem. Prvním takovým důsledkem je tunelování potenciálovou bariérou, tj. možnost průchodu částice oblastí, vůči které má částice menší energii. Pravděpodobnost, že částice o hmotnosti m a energii E takovou potenciálovou bariérou projde se charakterizuje tzv. koeficientem průchodu T,
který je pro bariéru o šířce L a výšce Ep0 dán výrazem
T ≈ e −2κL , κ =
2m( Ep0 − E )
h2
,
(1)
kde ħ je redukovaná Planckova konstanta. Závislost T je exponenciální a tudíž
je T velmi citlivá k hodnotám všech proměnných, na kterých závisí: na hmotnosti částice m, na šířce bariéry L a rozdílu energií Ep0 – E. Jedna z aplikací
tunelování je skenující tunelový mikroskop, který dovoluje zobrazit povrchy
s detaily atomových rozměrů a umožnil nám taktéž manipulovat s jednotlivými
atomy [9] (obr. 2).
Druhým důsledkem je skutečnost, že prostorové omezení de Broglieho vlny
přiřazené částici vede ke kvantování energie, tj. k povolení jen vybraných dis-
94
krétních stavů s diskrétními hodnotami energie. Takové prostorové omezení
reprezentuje například atom, kde je elektron držen kladně nabitým jádrem
a kvantování energie se projevuje diskrétní strukturou optických spekter.
K jednoduchému popisu chování částice nacházející se v omezené části prostoru můžeme využít popis pomocí potenciálové jámy (jednorozměrné pasti), kde
můžeme dospět k vyjádření možných diskrétních energií En částice o hmotnosti
m.
⎛ h2
E n = ⎜⎜
2
⎝ 8mL
⎞ 2
⎟⎟n , n = 1, 2, 3, …,
⎠
(2)
kde L je šířka jámy a h je Planckova konstanta [9].
Takovou potenciálovou jámu můžeme vytvořit v laboratoři například tak, že
připravíme polovodičový materiál ve formě prášku jehož zrna mají rozměry
řádově nanometry a mají stejnou velikost. Každé takové zrno, nanokrystal
působí jako potenciálová jáma pro elektrony, které jsou v ní uvězněny. Výše
uvedený vztah (2) říká, že nejnižší možnou energii elektronu vázaného
v potenciálové jámě můžeme zvýšit zmenšením její šířky. Tento vztah platí i
pro jámy tvořené jednotlivými nanokrystaly, tj. čím menší je nanokrystal, tím
vyšší je prahová energie fotonu, který může být absorbován, resp. emitován.
Příkladem takovéto struktury jsou tzv. kvantové tečky, které se projevují UV
zářením buzenou fluorescencí, kdy vlnová délka emitovaného světla závisí na
rozměru kvantové tečky. Čím je struktura (rozměr nanokrystalu) menší, tím
více se fluorescence posouvá do modré části spektra – modrý posuv. Na obr. 6
je uveden příklad fluorescence nanočástic CdSe.
Obr. 6 Snímek nanočástice CdSe z transmisního elektronového mikroskopu
(vlevo), fluorescence koloidního roztoku nanočástic CdSe (vpravo)
95
Ve výše uvedeném příkladu jsme hovořili o kvantových tečkách. Kvantové
tečky, u kterých jsou redukovány všechny tři prostorové rozměry na nanometrovou úroveň (3D nanostruktury), jsou jen jedním příkladem nanostruktury.
Nanostruktury, kde jsou dva rozměry redukovány na úroveň nanometrů, resp.
desítek nanometrů (2D nanostruktury), se nazývají kvantové drátky. Objekty
s jedním rozměrem v nanometrové oblasti (1D nanostruktury) pak nesou název
kvantové stěny. Dimenze nanostruktur má „drastický“ dopad na vlastnosti,
protože omezuje jak koncentraci nosičů náboje, tak i jejich pohyblivost. Schopnost látky vést elektrický proud závisí na tom kolik kvantových stavů ve vodivostním pásu a jakými energiemi mohou elektrony obsadit. Tyto energetické
kvantové stavy jsou různé v izolantech, vodičích či polovodičích a jak bylo
řečeno dříve závisí na rozměrech (dimenzi) struktury.
Volný atom má charakteristicky diskrétně rozložené energetické hladiny.
Přibližujeme-li atomy navzájem (vznik molekuly), dochází k rozštěpení energetických hladin. Kromě elektronových přechodů existují v molekulách také
rotační a vibrační přechody (hladiny), které souvisejí s rotačním a vibračním
pohybem atomů vázaných molekulovými silami. Všem těmto pohybům přísluší
energie a tak energetické spektrum musí tedy obsahovat další hladiny, jejichž
energetické rozdíly jsou menší než u elektronových přechodů. Hlavní energetické hladiny jsou rozmazány vibračně rotační soustavou čar, výsledné energetické spektrum potom obsahuje oblasti s vysokou a nízkou hustotou možných
energetických stavů. Jestliže k danému atomu přidáváme další atomy a to
v nějaké pravidelné architektuře, vznikne krystal. V důsledku velkého počtu
různých vazeb a pravidelného uspořádání atomů dojde k dalšímu jemnému
rozštěpení energií tak, že výsledný tvar energetického spektra je tvořen pásy
dovolených energií (z hlediska vodivosti elektronů jsou důležité dva od jádra
nejvzdálenější energetické pásy: valenční a vodivostní), v jejichž rámci se
energie mění spojitě, a pásy energií zakázaných. Pásová struktura určuje vlastnosti látky.
Změna v pásové struktuře nastává pokud je elektron omezován v některém
směru rozměrem menším nebo rovným vlnové délce volného elektronu, začne
se měnit charakter látky a to tak, že se nejdříve rozšíří zakázaný pás, při dalším
omezování se začnou objevovat nové hladiny na kterých může elektron existovat. V kolika energetických stavech na určitém intervalu energií ve vodivostním pásu se může elektron nacházet nám udívá tzv. hustota energetických stavů
D(E), a tato závisí na dimenzi struktury. Tato hustota stavů klesá s rostoucí
energií u 1D nanostruktur, je konstantní u 2D nanostruktur a roste s rostoucí
energií u 3D nanostruktur. Toto je příčinou „drastického“ rozdílu ve vlastnos-
96
tech 1D, 2D a 3D nanostruktur, hustota stavů určuje elektrické, tepelné aj.
vlastnosti.
Závěrem můžeme konstatovat, že omezení pohybu elektronů v nějakém
rozměru vede na jedné straně k diskrétnímu rozložení energií, na straně druhé
hustoty stavů vodivostních elektronů závisejí na dimenzi struktury, ve které se
tyto elektrony pohybují. Existuje tedy jednoznačná vazba mezi vlastnostmi
a typem nanostruktury.
3 Příklady nanostruktur a jejich aplikace
3.1 Bioaplikace kvantových teček
Výše byl uveden příklad kvantových teček CdSe, které mají velmi zajímavé
optické vlastnosti. Kvantové tečky tohoto typu postupně nahrazují organická
barviva v biologických aplikacích, kde se využívají ke sledování buněčných
pochodů. Oproti klasickým barvivům mají několik základních výhod: vysoký
fluorescenční kvantový zisk (poměr mezi absorbovanými a emitovanými fotony), vysoký jas (až 20 : 1), úzkou pološířku spektrální čáry, vysokou časovou
stabilitu. Kvantové tečky lze
použít např. jako umělé fluorofory (funkční skupiny v molekule,
které jsou zodpovědné za její
fluorescenci) pro zobrazování
určitých buněk pomocí fluorescenční spektroskopie, resp.
mikroskopie (obr. 7). Fluorescenční spektroskopie využívá
elektromagnetické záření (většinou ultrafialové) k excitaci elektronů v molekule, registrováno je
při deexcitaci emitované záření
o nižší energii (většinou ve viditelné oblasti).
Obr. 7 Zobrazení krysích nervových buněk pomocí CdSe/CdS
kvantových teček fluorescenčním
mikroskopem
97
3.2 Uhlíkové nanostruktury
Uhlík je jedním z nejrozšířenějších prvků. Elementární uhlík vykazuje tzv.
alotropii, což je zvláštní případ polymorfie některých prvků, které se mohou
vyskytovat ve více modifikacích s odlišnou strukturou a fyzikálními vlastnostmi, ale chemicky se chovají podobně. Běžně známé alotropické modifikace
elementárního uhlíku jsou grafit a diamant. Struktura grafitu je tvořena grafenovými vrstvami, což dvojrozměrně uspořádaná periodická planární síť uhlíkových atomů, která je analogická uspořádání uhlíkových atomů v polycyklických aromatických uhlovodících. Tyto vrstvy jsou mezi sebou vázány
slabými silami, ale jsou na sebe nakladeny tak, že tvoří trojrozměrnou periodickou strukturu. Ve struktuře diamantu jsou uhlíkové atomy uspořádány tak, že
každý atom uhlíku, ležící ve středu pravidelného tetraedru má ve svém nejbližším okolí čtyři další uhlíkové atomy, které obsazují vrcholy tetraedru. Vzájemným propojením tetraedrů vzniká pevná periodicky uspořádaná struktura.
V roce 1985 byla objevena další modifikace elementárního uhlíku, spočívající v ikosaedrickém uspořádání 60 atomů uhlíku, které tvoří samostatnou molekulu. Tato forma byla označena jako fulleren a je považována za třetí alotropickou modifikaci uhlíku. Za uspořádanou strukturu jsou považovány také
uměle připravené nanotubulární formy, tzv. nanotrubičky, jejichž cylindrická
struktura je tvořena svinutými grafenovými vrstvami. Tato forma byla objevena
v roce 1991 S. Iijimou a z hlediska strukturního uspořádání je nanotubulární
uhlík dělen na jednovrstevný (SWNT – singlewalled carbon nanotube) a vícevrstevný (MWNT – multiwalled carbon nanotube) strukturní typ [10] (obr. 8).
Obr. 8 Vícevrstvé uhlíkové nanotrubičky: model dvouvrstvé nanotrubičky
(vlevo), snímek vícevrstvých uhlíkových nanortubiček z transmisního elektronového mikroskopu (uprostřed), uhlíkové nanotrubičky, snímek ze skenujícího
elektronového mikroskopu (vpravo)
98
V roce 2005 se objevila nanostrukturní forma uhlíku, která je nazývána
grafen. Je to vlastně rozvinutá nanotrubka, či jedna grafenová vrstva grafitu.
Také je tento materiál nazýván dvourozměrným fullerenem. S jistou nadsázkou
můžeme říci, že byla vytvořena tkanina o jednoatomové tloušťce.
Uhlíkové nanomateriály se jeví jako perspektivní materiál pro celou řadu
aplikací. Uhlíkové nanotrubičky jsou charakterizovány zajímavými elektrickými, pevnostními vlastnostmi. V závislosti na orientaci uhlíkových šestiúhelníků
vůči podélné ose se uhlíková nanotrubička projevuje jako vodič či polovodič.
V roce 2001 byl zkonstruován na bázi uhlíkových nanotrubiček první logický
obvod (negátor) [11], tranzistor řízený polem na bázi grafenu pracující při pokojové teplotě byl postaven o čtyři roky později [12]. Byly syntetizovány uhlíkové nanotrubičky emitující světelné záření (light-emitting nanotube, LEN),
které mohou najít své využití v optických komunikačních systémech,
v zobrazovacích jednotkách.
Nanotrubičky jsou charakterizovány také excelentními mechanickými
vlastnostmi, tak pevnost v tahu těchto nanotrubiček dosahuje 100 GPa při hustotě 1,34 g/cm3 (vysoko pevnostní oceli mají pevnost v tahu okolo 1 GPa při
hustotě 7,8 g/cm3). Byla vytvořena nanotextilie, přesněji pásek o šíři 5 cm,
délce několik metrů a tloušťce 50 nm, s pevností větší něž ocel. Tato fólie je
velmi pevná, současně vodivá a opticky průzračná. Uhlíkové nanotrubičky se
již dnes využívají ve výrobě tenisových raket, které takto získávají lepší pevnostní a pružnostní vlastnosti.
3.3 Magnetické nanočástice a jejich využití
Velké pole potenciálních aplikací se otvírá před magnetickými nanočásticemi v oblasti paměťových médií o vysoké hustotě záznamu, spintronice, především však v oblasti biologie a medicíny. Setkáváme se s jejich, většinou ještě
potenciálním využitím, jak oblasti terapie tak i v oblasti diagnostiky. Magnetické částice zaznamenávají vzestup v bioaplikacích. Magnetické nanočástice
v tzv. superparagentickém stavu dávají velkou magnetickou odezvu a jsou
velmi snadno ovlivnitelné vnějším magnetickým polem. Magnetické nanočástice oxidu železitého vykazují navíc biokompatibilu (tj. jsou pro lidské tělo netoxické), lze jej zavést do těla a použít jako kontrastní látky při zobrazování magnetickou nukleární resonancí (zkracují tzv. relaxační čas).
Mezi další bioaplikace patří magnetické isolace a separace označených
tkání, cílená donáška léků do postižených oblastí, hypertermie atd. Magnetická
částice slouží jako nosič, na jeho povrch je nanesena chemická látka (dextran,
PVA, silika, atd.), která slouží jednak jako štít pro magnetický nosič před nežádoucím prostředím (chrání magnetickou nanočástici před chemickými vlivy
99
okolí) a jednak jako látka, na níž se přichytí funkční bioaktivní skupiny (protinádorové látky atd.) [13, 14].
3.3.1 Použití magnetických nanočástic při zobrazování magnetickou rezonancí
Zobrazování s použitím magnetické rezonance je dnes již běžnou medicínskou diagnostickou metodou. Intenzita signálu SI při zobrazování magnetickou
rezonancí může být vyjádřena vztahem
SI = p ⋅ e
⎛ TR ⎞
−⎜
⎟
⎝ T1 ⎠
⎛ TE ⎞ ⎤
⎡
−⎜
⎟
⎢
⋅ 1− e ⎝T2 ⎠ ⎥ ,
⎢⎣
⎥⎦
kde p reprezentuje počet protonů, T1 a T2 relaxační doby, Te, Tr jsou technické
parametry. Pro zlepšení kontrastu mezi různými tkáněmi se používají tzv. kontrastní látky, které ovlivňují relaxační doby T1 a T2. Látky které prodlužují
relaxační dobu se nazývají pozitivní, ty které ji zkracují negativní. Nejlepšími
negativními kontrastními látkami jsou superparamegnetické nanočástice oxidů
železa (γ-Fe2O3 – maghemit, Fe3O4 – magnetit), které zkracují relaxační dobu
T2. Používané superparamagnetické oxidy železa se liší jak svou velikosti tak
i typem a tloušťkou povlaku. Sférické částice o rozměrech 300 – 400 nm tvořené aglomeráty nanočástic maghemitu a magnetitu zapouzdřených do siloxanu
se používají ke znázornění žaludku a střev. Nanočástice maghemitu o rozměrech 60 – 150 nm pokryté dextranem se aplikují intravenózně a užívají se
k zobrazení jater a sleziny. Na obrázku 9 je na fantomu ukázán kontrastní účinek nanočástic maghemitu o rozměrech 20 – 40 nm rozptýlených ve vodě.
Obr. 9 Kontrastní účinek nanočástic maghemitu
3.3.2 Magnetické nanočástice a hypertermie
Jednou z metod léčby nádorových onemocnění je metoda hypertermie,
založená na lokálním zahřátí tkáně nádoru na teploty 41 – 45 °C, což vede
k smrti nádorových buněk. Magnetické nanočástice mohou být zavedeny
100
do krve a následně pomocí magnetického pole nebo biochemicky navedeny
do nádorové oblasti. Tyto částice jsou posléze vystaveny působení vnějšího
střídavého magnetického pole, které zapříčiňuje jejich neustálou remagnetizaci,
při níž se uvolňuje teplo v důsledku hysterezních ztrát. Teplota okolí nanočástice se tak zvětšuje, což vede při dosažení určité teploty k nekróze nádorových
buněk.
4 Perspektivy nanotechnologií
Nanotechnologie mohou být všude. Již nyní se s nanotechnologickými
produkty setkáváme v pneumatikách automobilů, v zubních pastách, v krémech
proti slunci, v tenisových raketách a tenisových míčích, v tričkách a kalhotách,
v přehrávačích CD a dokonce v površích koupelnových van, záchodových mís
a umyvadel. Nanoprodukty mají nové vlastnosti, jsou menší, lehčí, rychlejší,
levnější, jsou odolné vůči vodě, špíně a skvrnám, což je pro spotřebitelské
výrobky obohacením.
Znamenají snad tyto výrobky rozlet do nanotechologické budoucnosti, jak
mnoho odborníků předpovídá? Jsou to první kroky směrem k vývoji „nanorobotů“ a „ kompilátorů hmoty“, je to snad cesta ke světu, kde vládne věčný život
a nevyčerpatelné zdroje?
Dnešní nanotechnologie se pohybuje stále na hranici mezi vědeckou realitou a ambiciózními představami, mezi prvními úspěchy a očekáváním plným
naděje, mezi dynamickým pokrokem a razantními inovacemi. Tento okruh
možností lze nalézt výslovně nebo nepřímo v mnoha odhadech a analýzách
pokračujícího a budoucího vývoje nanotechnologií. Tyto názory zastávají vědci
stejně tak jako novináři, výzkumní manažeři i političtí činitelé, investoři a také
nátlakové skupiny. Mnohá tvrzení zabíhají buď do jednoho nebo druhého extrému, ale často dochází ke změnám orientačních bodů a tyto změny často probíhají na nevědomé úrovni. Mnohé tyto analýzy mají obvykle společné to, že
hovoří o nanotechnologii jako o jediném konceptu. V současné době je široce
přijímán názor, že nanotechnologie je soubor různých technologií a postupů,
které všechny využívají fyzikálních vlastností rozměrů v nanometrické škále,
jež jsou odlišné od vlastností pozorovaných v mikro a makro světě. Abychom
mohli nastínit správný a ucelený obraz technologie a dobře vyhodnotit její stav,
možnosti i nedostatky, je potřeba se tam, kde je to možné, podívat na dílčí
oblasti nanotechnologie jako jsou nanomateriály a nanoelektronika, nanobiotechnologie a nanomedicína nebo nanometrické nástroje, instrumenty a nanozařízení.
101
Očekává se, že nanomateriály budou mít velký vliv na prakticky všechny
sféry, kde materiály hrají roli. Zahrnují ultra tenké povlaky a aktivní povrchy
a rovněž i novou generaci chemické technologie. Nanoelektronika má významný vliv na informační a komunikační technologie tím, že stále překonává (s pomocí kvantové elektroniky) Moorův zákon, který hovoří o tom, že každých 18
měsíců dochází ke zdvojnásobení paměti dat a kapacit procesorů. Nanobiotechnologie bude prospěšná v lékařství, ve farmaceutickém průmyslu a v diagnostice, v nesčetných průmyslových postupech, v zemědělství a v potravinářství.
Literatura
[1] Kubínek, R., Vůjtek, M., Mašláň, M.: Mikroskopie skenující sondou, Vydavatelství Univerzity Palackého v Olomouci, 145 s. (2003).
[2] Ludvík, J.: Elektronová mikroskopie. V: Prosser, V. a kol.: Experimentální
metody biofyziky. Academia Praha, (1989).
[3] Taniguchi, N.: On the Basic Koncept of Nanotechnology“, Proc. Int. Conf.
On Production Engineering, part 2, JSPE, Tokyo (1974).
[4] Feynman, R. P.: Engineering and Science 23, 22 (1960).
[5] Drexler, K. E.: Engines of Creation – The Dominy Era of Nanotechnology“,
Anchor Books, New York (1986).
[6] Drexler, K. E.: Nanosystems – Molecular Machinery, Manufacturing and
Production Engineering, J. Wiley&Sons., Inc., New York (1992).
[7] Poole Jr., Ch. P., Owens, F. J.: „Introduction to Nanotechnology“, WileyInterscience, Hoboken, NJ, str. 311 (2003).
[8] Blakemore, R.: Science, 190, 377 (1975).
[9] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Moderní fyzika (část 5), VUTIUM
a PROMETHEUS, Praha, str. 1046-1065 (2000).
[10] Weiss, Z., Simka-Martynková, G., Šustai, O.: Nanostruktura uhlíkatých
materiálů, Repronis, Ostrava, 132 s. (2005).
[11] Liu X.L., Lee C., Zhou C.W., Han J.: Carbon nanotube field-effect inverters, Appl. Phys. Lett. 79, 3329-3331 (2001).
[12] Novoselov, K. S., Geim, A. K., Morozov, S. V., et al.: Two-dimensional gas
of massless Dirac fermions in graphene, NATURE 438, 7065 (2005).
[13] An-Hui Lu, Salabas, E. L., Ferdi Schuth: Magnetic Nanoparticles: Synthesis, Protection, Functionalization, and Application, Angewandte Chemie
46, 1222-1244 (2007).
[14] Prnka, T., Šperlink, K.: Bionanotechnologie, Nanobiotechnologie, Nanomedicína, Repronis, Ostrava, 179 s. (2006).
102
Obsah
R. Holubová: Environmentální fyzika – projekt „VODA“
5
O. Lepil: Deterministický chaos
32
R. Kubínek: Mikroskopie skenující sondou
64
M. Mašláň: Nanotechnologie a nanověda na prahu 21. století
90
103
NOVÉ POZNATKY VE FYZICE
Seminární materiál projektu Učíme fyziku moderně
Další vzdělávání učitelů fyziky Olomouckého kraje
Slovanské gymnázium Olomouc
Autoři:
RNDr. Renata Holubová, CSc.
doc. RNDr. Oldřich Lepil, CSc.
doc. RNDr. Roman Kubínek, CSc.
prof. RNDr. Miroslav Mašláň, CSc.
Vydal Repronis v roce 2007 jako svou 260. publikaci.
Počet stran:
Náklad:
Vydání:
Tisk:
104
120 výtisků
první
Repronis s. r. o., Ostrava
ISBN 987-80-7329-155-6
Publikace je neprodejná.