Přednášky - verze 2013

Mechanika kompozitů pro design
KME-DMK
© 2006 – 2013
Robert Zemčík
1
• Historie
• Základní pojmy a vlastnosti
• Klasifikace kompozitních materiálů.
Kompozitní materiál
•
•
•
•
skládá se ze dvou nebo více různých složek
každá složka má jiné vlastnosti (mechanické, chemické)
každá složka plní jinou funkci
výsledné vlastnosti (výhody i nevýhody) jsou dány
kombinací vlastností dílčích složek
Historie
• první písemná zmínka o použití kompozitů:
Bible kniha Exodus o Odchodu Izraelitů z Egypta
1.116
„Protož ustanovili nad ním úředníky, kteříž by plat vybírali, aby je trápili
břemeny svými. I vystavěl [lid Izraelský] Faraonovi města skladů, Fiton
a Ramesses.“
1.14
„A k hořkosti přivodili život jejich robotami těžkými, v hlině a cihlách a
ve všelijakém díle na poli, mimo všelikou potřebu svou, k níž práce
jejich užívali nenáležitě a bez lítosti.“
5.6-7
„I přikázal Farao v ten den úředníkům nad lidem a šafářům jeho, řka:
Nedávejte již více slámy lidu k dělání cihel jako prvé; nechať jdou sami
a sbírají sobě slámu.“
Hlína + sláma = vepřovice
• sláma působí jako zpevňující složka
• navíc kyseliny uvolněné ze slámy hlínu vytvrzují
• až 3x vyšší pevnost oproti samotné nepálené hlíně
břeh Dunaje, Rumunsko
ADOBE
Stavby z nepálené hlíny
Tambo Colorado, Peru
Huaca del Sol, Peru, 450 AD
Huaca de la Luna, Peru
Citadela Arg-e Bam, Írán, 500 BC – 2003 AD
Přírodní kompozity
• tkáně živočichů
svaly, cévy,
kosti, schránky
• pletivo rostlin
dřevo
kmen ořešáku
ulita loděnky
srdeční céva
Kompozity na bázi dřeva
• dřevovláknité desky (dřevotříska, sololit)
lisované, lepené třísky, piliny
• překližky
lepené vrstvy dřeva
Egypt 3500 BC
• pykrete
piliny v ledu
2. světová válka
De Havilland Mosquito
sendvič (překližka + balza)
Habakkuk
Kompozity na bázi keramiky
• keramická matrice + kovová výztuž
keramika – tepelná odolnost
kov – tažnost (nikl, molybden, kobalt)
zubní výplně protézy, elektronické součástky,
povrch raketoplánu, jaderné reaktory
Atlantis
CERMET
Kompozity na bázi kovů
• matrice: hliník, hořčík, titan, ocel
tepelná vodivost
• výztuha: vlákna z uhlíku, boronu, SiC
tuhost, pevnost
auto-brzdy, bloky motoru,
vrtáky, rámy kol
Specialized S-Works
MMC
Porsche Boxter
Organické kompozity
• asfalt (+ písek, kamínky)
kostel J. z Arku, Nice
• železobeton (1848)
• zubní protézy (+ keramika)
• syntaktická pěna
(duté skleněné kuličky v matrici)
• ulita
Kompozity na bázi polymerů
• matrice
FRP
(s různými příměsmi)
termoplasty
(lze opakovaně tepelně zpracovávat)
polyetylen, polystyren, PVC, PET
termosety
(nelze opakovaně tepelně zpracovávat,
pevnější, použití za vyšších teplot)
epoxidová, polyimidová, polyesterová, fenolická pryskyřice, bakelit (1907)
• výztuha
(s různými povlaky)
Airbus A380
dřevo, sklo (1922), uhlík (1964),
kevlar / aramid (1965), hliník, bor
vlákna – krátká, dlouhá (kontinuální)
částice
tkaniny – (1D), 2D, 3D
Aston Martin DBR9
Speciální kompozity
• uhlík-uhlík (RCC)
vysoká tepelná odolnost
• uhlíková nanovláka (CNT)
vylepšují vlastnosti matrice
Bugatti Veyron
BMC
Columbia
1 kg = $8000
Výhody a nevýhody FRP
+
+
+
+
+
+
nízká hmotnost
vysoká tuhost a pevnost
směrově orientované vlastnosti
tepelná, chemická odolnost, ohnivzdornost
nižší tepelná roztažnost
elektrická a tepelná vodivost
–
–
–
–
cena
konstrukční návrh, výroba
spoje, opracovatelnost, recyklace
defektoskopie, opravy
Rozdělení FRP kompozitů
•
částicové
orientované
neorientované
•
vláknové
jednovrstvé
krátkovláknové
dlouhovláknové
vícevrstvé
lamináty
hybridní lamináty
sendviče
orientované
neorientované
(rohože)
jednosměrové
dvousměrové
(tkaniny)
3D tkaniny
Jednosměrové kompozity
• vlákno = výztuha
– přenáší především tahové namáhání
– určuje podélný směr L (longitudinal)
– Ø cca 5-15 µm
– tvoří 40-60% objemu kompozitu
T
L
• matrice = pojivo
– přenáší především tlakové namáhání ve směru (směrech)
kolmém (příčném) na vlákna T (transverse)
– drží vlákna (popř. jednotlivé vrstvy) pohromadě
– rozkládá lokální namáhání do okolí
2
• Výroba a použití kompozitních materiálů
(desky, skořepiny, sendviče, trubky).
Produkty
Produkty
Produkty
Produkty
Caesar's Palace Dome, Las Vegas
Buckminster Fuller
Geodesic Dome
fontána ve Staples Center, L.A.
Futuro houses, orig. ve Finsku
Schwerin, Německo
Vlákna
Typ vlákna
vysokopevnostní
(high-strength)
sklo
Modul pružnosti v podélném směru
aramid
HS - uhlík
vysokotuhostní
(high-modulus)
HM - uhlík
hliník
ocel
74 000
130 000
230 000
390 000
75 000
210 000
74 000
5 400
15 000
6 000
75 000
210 000
30 000
12 000
50 000
20 000
30 000
81 000
2 100
3 000
5 000
3 800
500
1 800
2 500
1 500
1 600
1 700
2 700
7 850
100 %
$30
800 %
$250
600 %
$185
1800 %
$600
6%
$2
<3%
< $1
EfL [MPa]
Modul pružnosti v příčném směru
EfT [MPa]
Modul pružnosti ve smyku
GfLT [MPa]
Pevnost v tahu
SfL [MPa]
Hustota
ρf [kg/m3]
Cena
[USD/kg]
index f = fiber
Pozn. díky nižší hustotě a váze konstrukce se výsledný poměr cen zkoriguje
Dále nutno zohlednit sekundární úspory (palivo, seriová výroba, manipulace...)
Volba vláken
Konstrukční požadavky – Volba vlákna
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Pevnost - Uhlík
Tuhost - Uhlík
Houževnatost - Aramid
Creep - Uhlík
Únava - Uhlík
Nízká cena - E sklo
Prostup světla - E sklo
Korozivzdornost - Sklo
Radioprůzračnost - D sklo
Nejvyváženější mechanické vlastnosti - E sklo
Matrice
Druh pryskyřice
Modul pružnosti
epoxidové
polyesterové
fenolové
polyimidové
4 500
4 000
3 000
4 000 - 19 000
0.4
0.4
0.4
0.35
1 600
1 400
1 100
1 100
130
80
70
70
1 200
1 200
1 300
1 400
90 - 200
60 - 100
120 - 200
250 - 300
Em [MPa]
Poissonovo číslo
νm
Modulu pružnosti ve smyku
Gm [MPa]
Pevnost v tahu
σpm [MPa]
Hustota
ρm [kg/m3]
Maximální teplota
Tmax [oC]
index m = matrix
Matrice – vlastnosti
Ve vytvrzeném kompozitu jsou požadovány tyto
vlastnosti:
•
•
•
•
•
adhezivní pevnost (spojení matrice – vlákna)
teplotní odolnost
únavová pevnost (dlouhodobé, cyklické zatížení)
chemická odolnost
odolnost proti vlhkosti
Volba matrice
Konstrukční požadavky – Volba pojiva
•
•
•
•
•
•
•
Ohnivzdornost - Fenol
Korozivzdornost - Bismaleid
Teplotní odolnost - Fenol, Polyimid
Prostup světla - Polyester
Nízká cena - Polyester
Houževnatost - Epoxid, termoplast
Nejvyváženější mechanické vlastnosti - Epoxid
Matrice – vlastnosti
Většina namáhaných kompozitových struktur je v
současnosti vyráběna z epoxidových pryskyřic.
Proč jsou epoxidy tak široce používané?
•
•
•
•
•
•
•
dobrá adheze k vláknům
nízké smrštění během vytvrzování
dobrá chemická odolnost
různé pevnostní a tuhostní charakteristiky
creepová a únavová odolnost
neobsahují styrén, nejsou toxické
mohou být samozhášivé
Technologie výroby – postup
• matrice + vlákna
• impregnace, prosycení
• umístění směsi (laminát) do formy
(+ separační vrstvy, atp.)
• vytvrzení (možno za zvýšené teploty, ozářením)
(příčné propojení polymerových řetězců, exotermická reakce)
• demontáž z formy
• konečná úprava
Kontakní formování
Váleček
Výztuž + matrice
Separátor + gel coat
Lisování
Výztuž + matrice
protikus
Forma (negativ)
Separátor + gel coat
Vakuování
Těsnicí tmel
Krycí fólie (plachetka)
Atmosférický tlak
Vakuum
Plsť
Laminát
Strhávací síťka
Separátor
snaha o co největší % podíl vláken
Vývěva
+
Jímač pryskyřice
Lamináty
výroba prepregu
desky do lisu
ruční nebo strojové řezání (CAD)
skořepiny do formy a do autokoávu
Lamináty
pěnové jádro
aplikace vláken, tekuté matrice, kompresoru, plachetky
vakuová oprava letadla
hotový výrobek
Navíjení vláken (1)
Trn
Vlákno, tkanina
Topné těleso
(polymerizace)
Navíjení vláken (2)
Trn
Sklo,
kevlar
Pryskyřice
Navíjení vláken (3)
Tváření profilů - pultruze
Pryskyřice
Skelná
tkanina,
vlákno
Polymerizační pec
Vstřikování (termosety)
Vyhřívaná forma
Protikus
formy
Směs vláken +
termosetická pryskyřice
Vstřikování (termoplasty)
Topné
těleso
Směs vláken +
termoplastická pryskyřice
3
• Ortotropní materiál
• Principy určování materiálových vlastností
Materiály
• homogenní
• heterogenní
•
•
•
•
anizotropní
ortotropní
kubický
hexagonální
E
• izotropní
periodicky se opakující struktura
zdánlivě periodicky se opakující struktura
Ortotropní materiál
• orthos – přímý, kolmý
• tropo – otáčet, měnit
• v každém místě existují 3 na sebe kolmé roviny symetrie
• směry kolmé k těmto rovinám jsou
tzv. hlavní materiálové osy
ozn. většinou 1, 2, 3
Ortotropní materiál
• deformace ve směru zatížení
• různé deformace v příčných směrech
F3
F1
F2
Ortotropní materiál
• deformace ve směru zatížení
• různé deformace v příčných směrech
původní tvar
zdeformovaný tvar
∆l3
l3
l2
l1
∆l2
∆l1
Ortotropní materiál
• určení materiálových charakteristik (konstant)
změříme siloměrem (zvážíme)
∆l1
ε1 =
l1
ε2 =
∆l2
l2
∆l3
ε3 =
l3
F1l1
σ1
E1 =
=
ε 1 A1∆l1
F1
σ1 =
= E1ε 1
A1
+
σ2 =
F2
=0
A2
F3
=0
σ3 =
A3
změříme opticky (pravítkem)
změříme elektronicky (tenzometry)
=
ν 12 = −
ε2
ε1
ε3
ν 13 = −
ε1
E – modul pružnosti
ν – Poissonovo číslo (koeficient, poměr)
Ortotropní materiál
• určení materiálových charakteristik (konstant)
• pro určení konstant E1, ν12 a ν13 musí být těleso zatíženo
ve směru osy 1.
• analogicky se určí ostatní konstanty
• celkem tedy můžeme určit 9 různých materiálových
konstant pro případ prostého tahu ve směrech 1, 2 a 3:
E1, ν12, ν13, E2, ν23, ν21, E3, ν31 , ν32
Optická metoda měření
• pracuje na principu korelace digitálního obrazu
= porovnání dvou obrázků
• umožňuje měřit posunutí, natočení a deformace
na povrchu tělesa
náhodný
nástřik
těleso před deformací
těleso po deformaci
Optická metoda měření
zkoumaná oblast před deformací
detail středu tělesa před deformací
nalezená oblast a její tvar po deformaci
detail středu tělesa po deformaci
4
• Hookeův zákon = konstitutivní vztah
pro materiály s různou strukturou
Hookeův zákon
• vztah mezi napětím a deformací
• předpokládáme homogenní materiál
• 1D (jedna složka napětí – jedna složka deformace)
σ = Eε
nebo
tah, tlak (ohyb)
• svázány jednou konstantou
τ = Gγ
krut
Hookeův zákon (1D)
σ = Eε
σ 1 = E1ε 1
ε3 = −ν13ε1
σ1 =
∆l3 = −ν13ε1l3
3
F1
A1
σ2 = 0
σ3 = 0
A
F
1
2
1
1
∆l2 = −ν12ε1l2
ε2 = −ν12ε1
∆l1 = ε1l1 = (σ1 / E1) l1
ε1 = σ1 / E1
Zatížení ve směru 1
ε1 = σ1 / E1
ε1 = (1 / E1) σ1
ε1 = (1 / E1) σ1
ε2 = −ν12ε1
ε2 = −ν12 (1 / E1) σ1
ε2 = (−ν12 / E1) σ1
ε3 = −ν13ε1
ε3 = −ν13 (1 / E1) σ1
ε3 = (−ν13 / E1) σ1
ε 1   1 / E1
ε  −ν / E
 2   12 1
ε 3   −ν 13 / E1
 =
.
. 
. 
.
  
.
 .  
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
maticový zápis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. σ 1 
.  . 
.  . 
⋅ 
.  . 
.  . 
  
.  . 
+ zatížení ve směru 2
ε1 = −ν21ε2
ε2 = σ2 / E2
ε3 = −ν23ε2
ε 1   1 / E1
ε  −ν / E
 2   12 1
ε 3   −ν 13 / E1
 =
.
. 
. 
.
  
.
 .  
−ν 21 / E2
1 / E2
−ν 23 / E2
.
.
.
maticový zápis
σ2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. σ 1 
. σ 2 
.  . 
⋅ 
.  . 
.  . 
  
.  . 
+ zatížení ve směru 3
σ3
ε1 = −ν31ε3
ε2 = −ν32ε3
ε3 = σ3 / E3
ε 1   1 / E1
ε  −ν / E
 2   12 1
ε 3   −ν 13 / E1
 =
.
. 
. 
.
  
.
 .  
−ν 21 / E2
1 / E2
−ν 23 / E2
.
.
.
−ν 31 / E3
−ν 32 / E3
1 / E3
.
.
.
maticový zápis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. σ 1 
. σ 2 
. σ 3 
⋅ 
.  . 
.  . 
  
.  . 
+ smyková zatížení
τ31
τ23
γ12 = τ12 / G12
γ23 = τ23 / G23
γ31 = τ31 / G31
τ12
ε 11   1 / E1
ε  −ν / E
 22   12 1
ε 33  −ν 13 / E1
 =
.
γ 23  
γ 31  
.
  
.
γ 12  
−ν 21 / E2
−ν 31 / E3
.
.
1 / E2
−ν 32 / E3
.
.
−ν 23 / E2
1 / E3
.
.
.
.
1 / G23
.
.
.
.
1 / G31
.
.
.
.
maticový zápis
 σ 11 
.  σ 22 
.  σ 33 
⋅ 
.  τ 23 
.   τ 31 
  
1 / G12   τ 12 
.
Hookeův zákon (3D)
• pro homogenní ortotropní materiál
• v souřadnicovém systému hlavních materiálových os
• navíc platí:
ν21/E2 = ν12/E1 ν31/E3 = ν13/E1 ν32/E3 = ν23/E2
ε 11   1 / E1
ε  −ν / E
 22   12 1
ε 33  −ν 13 / E1
 =
.
γ 23  
γ 31  
.
  
.
γ 12  
−ν 21 / E2
−ν 31 / E3
.
.
1 / E2
−ν 32 / E3
.
.
−ν 23 / E2
1 / E3
.
.
.
.
1 / G23
.
.
.
.
1 / G31
.
.
.
.
 σ 11 
.  σ 22 
.  σ 33 
⋅ 
.  τ 23 
.   τ 31 
  
1 / G12   τ 12 
.
Hookeův zákon (3D)
ε 11   1 / E1
ε  −ν / E
 22   12 1
ε 33  −ν 13 / E1
 =
.
γ 23  
γ 31  
.
  
.
γ 12  
vektor deformace
−ν 21 / E2
−ν 31 / E3
.
.
1 / E2
−ν 32 / E3
.
.
−ν 23 / E2
1 / E3
.
.
.
.
1 / G23
.
.
.
.
1 / G31
.
.
.
.
matice poddajnosti materiálu
(vždy symetrická)
ε=Sσ
kde
nebo
C = S–1
 σ 11 
.  σ 22 
.  σ 33 
⋅ 
.  τ 23 
.   τ 31 
  
1 / G12   τ 12 
.
vektor napětí
σ=Cε
je matice tuhosti materiálu
(vždy symetrická)
Ortotropní materiál
• 3 roviny symetrie (12,23,31)
• 9 nezávislých materiálových konstant:
E1, E2, E3, ν12, ν23, ν31, G12, G23, G31
 C11 C12
C
 21 C22
C31 C32
C=




C13
C23
C33
C44
C55








C66 
Hexagonální materiál
• 1 rovina symetrie a současně izotropie (23)
• 5 nezávislých materiálových konstant:
E1, E2 = E3, ν12 = ν13, ν32, G12 = G31
• dopočítá se
jako izotropní materiál,
G23 = E2/2/(1+ν32)
∆
∗

∗
C=




∗ ∗
⊕ ×
× ⊕





Φ


⊗

⊗
proto se také ozn. jako
příčně izotropní materiál
Kubický materiál
• 3 roviny symetrie (12,23,31)
• 3 nezávislé materiálové konstanty:
E = E1 = E2 = E3, ν = ν12 = ν23 = ν31, G = G12 = G23 = G31
∆
∗

∗
C=




∗
∆
∗
∗
∗
∆





⊗


⊗

⊗
Izotropní materiál
• každá rovina je rovinou symetrie
• 2 nezávislé materiálové konstanty:
E = E1 = E2 = E3, ν = ν12 = ν23 = ν31
• dopočítá se
G = G12 = G23 = G31 = E/2/(1+ν)
∆
∗

∗
C=




∗
∆
∗
∗
∗
∆





⊗


⊗

⊗
5
• Jednosměrové kompozity
• Určení efektivních parametrů
Jednosměrové kompozity
• vlákno = výztuha
– přenáší především tahové namáhání
– určuje podélný směr L (longitudinal)
– Ø cca 5-15 µm
– tvoří 40-60% objemu kompozitu
T
L
• matrice = pojivo
– přenáší především tlakové namáhání ve směru (směrech)
kolmém (příčném) na vlákna T (transverse)
– drží vlákna (popř. jednotlivé vrstvy) pohromadě
– rozkládá lokální namáhání do okolí
Objemové podíly
•
•
•
•
určení efektivních parametrů
homogenizace materiálu
z mikropohledu heterogenní Objemové podíly vláken a matrice:
z makropohledu homogenní
vf = Vf / V = Af / A
vm = Vm / V = Am / A
protože
AV
Vf + Vm = V
a také
T’
Af + Am = A
Af Vf
T
Am Vm
potom platí
vf + vm = 1
Hmotnost – hustota kompozitu
hmotnost vláken
mf = ρf Vf
hmotnost matrice
mm = ρm Vm
ρV
hmotnost kompozitu
m = mf + mm
T’
ρf Vf
T
ρm Vm
hustota kompozitu
ρ = m / V = ρf vf + ρm vm
Jednosměrové kompozity
• deformace vyvolaná zatížením ve směru L
• předpokládáme, že deformace vláken a matrice je
v podélném směru stejná!
l
l+∆l
EL
F
T
F
Af
L
Em
Ef
Am
platí pro homogenní materiál s modulem EL platí:
Fl
∆l =
EL A
Napětí v tahu ve vlákně a matrici
σ L f = E f ε L f , σ L m = Em ε L m
Tahová síla je dána vztahem
F = A f σ L f + Am σ L m
Tahové napětí v kompozitu
σL =
F
= v f σ L f + vm σ L m = (v f E f + vm E m ) ε L
A
Modul pružnosti ve směru vláken je
EL =
σL
= v f E f + vm E m
εL
Jestliže je E f >> Em , pak je možno vztah zjednodušit. Dostaneme
EL = v f E f
Jednosměrové kompozity
• deformace vyvolaná zatížením ve směru T
• předpokládáme, že normálové napětí pro směr zatížení
je ve vláknech i matrici stejné!
l
l+∆l
EL
F
F
L
T
l f Ef
l m Em
platí pro homogenní materiál s modulem ET platí:
Fl
∆l =
ET A
σT = σT f = σT m
Poměrné příčné prodloužení vlákna a matrice ε Tf =
Změna délky ve směru T
σT
,
Ef
εT m =
σT
Em
∆l = ∆l f + ∆lm = l f ε Tf + lm ε Tm
Poměrné prodloužení ve směru T
v f
∆l
v m 

εT =
= v f ε Tf + v m ε Tm = 
+
 σT
l
E
E
m 
 f
Příčný modul pružnosti ET kompozitu je definován
E f Em
ε
1
Em
= T ⇒ ET =
=
ET σ T
v m E f + v f Em v + v Em
m
f
Ef
Pro případ, že E f >> Em , pak
ET =
Em
vm
6
• Hookeův zákon v pootočeném souřadnicovém systému
• Transformace složek napětí a deformace
• Transformace matic tuhosti a poddajnosti
Hookeův zákon (3D)
ε 11   1 / E1
ε  −ν / E
 22   12 1
ε 33  −ν 13 / E1
 =
.
γ 23  
γ 31  
.
  
.
γ 12  
vektor deformace
−ν 21 / E2
−ν 31 / E3
.
.
1 / E2
−ν 32 / E3
.
.
−ν 23 / E2
1 / E3
.
.
.
.
1 / G23
.
.
.
.
1 / G31
.
.
.
.
matice poddajnosti materiálu
(vždy symetrická)
ε=Sσ
kde
nebo
C = S–1
 σ 11 
.  σ 22 
.  σ 33 
⋅ 
.  τ 23 
.   τ 31 
  
1 / G12   τ 12 
.
vektor napětí
σ=Cε
je matice tuhosti materiálu
(vždy symetrická)
Jednosměrové kompozity
• pro popis chování potřebujeme konstitutivní vztah,
tj. Hookeův zákon
• popis je někdy nutné provést vzhledem k
souřadnicovému systému, který není totožný se směry
hlavních materiálových os
• jednosměrové kompozity jsou často ve formě tenkých
struktur – desky, skořepiny
• jsou namáhané tahem v rovině a ohybem
• tento stav lze považovat za rovinnou napjatost
(zanedbáváme např. lokální tlak vyvolaný normálovou
silou v místě jejího působiště)
Hookeův zákon (3D)
ε 11   1 / E1
ε  −ν / E
 22   12 1
ε 33  −ν 13 / E1
 =
.
γ 23  
γ 31  
.
  
.
γ 12  
−ν 21 / E2
−ν 31 / E3
.
.
1 / E2
−ν 32 / E3
.
.
−ν 23 / E2
1 / E3
.
.
.
.
1 / G23
.
.
.
.
1 / G31
.
.
.
.
rovinná napjatost:
 σ 11 
.  σ 22 
.  σ 33 
⋅ 
.  τ 23 
.   τ 31 
  
1 / G12   τ 12 
σ 33 = τ 13 = τ 23 = 0
Platí např. pro tenká tělesa (desky) namáhané
• v rovině tahem, tlakem
• ohybem, krutem
Nikoliv tlakem po tloušťce !!! To by způsobilo σ33<>0
.
Hookeův zákon (RN)
0  σ 11 
−ν 21 / E2
ε 11   1 / E1
ε  = −ν / E
 ⋅ σ 
1
/
E
0
2
 22   12 1
  22 
γ 12   0
0
1 / G12   τ 12 
nebo
−ν TL / ET
1 / ET
0
 ε L   1 / EL
 ε  = −ν / E
 T   LT L
γ LT  
0
ε=Sσ
nebo
C=
S–1
0  σ L 
0  ⋅ σ T 
1 / GLT  τ LT 
σ=Cε
σT
σL
τLT
Transformace napětí (RN)
•
•
•
•
stav napjatosti v bodě tělesa je dán 3 složkami napětí
složky se pro různě natočené systémy mění
lze zakreslit pomocí Mohrovy kružnice
nezáleží na materiálu!
σy
τxy
y
α
x
σx
Transformace napětí (RN)
2
 σ L   cos α
 σ  =  sin 2 α
 T 
τ LT  − sin α cos α
2 sin α cos α  σ x 
  
− 2 sin α cos α  ⋅ σ y 
cos 2 α − sin 2 α  τ xy 
sin 2 α
cos 2 α
sin α cos α
τ
L
x
σ = Tσ σ´
2α
σy
σT
σL
y
σx
α
x
τxy
y
τLT
T
σ
Transformace deformace (RN)
• obdobně jako napětí
cos 2 α
 εL  
ε  = 
2
sin
α
 T  
γ LT  − 2 sin α cos α
sin 2 α
cos 2 α
2 sin α cos α
ε = Tε ε´
sin α cos α   ε x 
  
− sin α cos α  ⋅  ε y 
cos 2 α − sin 2 α  γ xy 
Transformace Hookeova zákona
• transformace napětí
• transformace deformace
σ = Tσ σ´
ε = Tε ε´
• Hookeův zákon v s.s. hlavních materiálových os L,T
σ=Cε
(Tσ σ´) = C (Tε ε´)
Tσ-1(Tσ σ´) = Tσ-1C (Tε ε´)
• Hookeův zákon v pootočeném s.s. x,y
σ´ = (Tσ-1C Tε) ε´ = C´ ε´
• Matice tuhosti v pootočeném systému x,y
C´ = Tσ-1C Tε
7
• Mechanizmy porušení vláknových kompozitů
• Podmínky pevnosti = kriteria porušení
Mechanizmy porušení
příčný řez jednosměrovým kompozitem
pod mikroskopem
detail jednosměrového kompozitu
po vytržení vláken z matrice
80
Mechanizmy porušení (vláken)
porušení vlákna
porušování vláken
(vláknové přemostění)
nestabilní ztráta adheze
porušování vláken
(ztráta adheze)
nestabilní porušení vláken
81
Mechanizmy porušení (matrice)
porušení matrice
šíření trhliny zastaveno
ztráta adheze
další šíření trhliny
82
Porušení tahem
83
Mechanizmy porušení (delaminace)
84
Podmínky pevnosti
• u izotropních materiálů (ocel) předpokládáme, že
existuje jedna pevnost = jedna materiálová konstanta
– v případě jednoduchého namáhání – jedna podmínka ve formě
σ < σD
nebo
σ /σD < 1
– v případě obecné napjatosti – jedna hypotéza = funkce (např.
Guest, Von Mises,:)
f(σ) < σD
nebo
f(σ, σD) < 1
Podmínky pevnosti
• u jednosměrových kompozitů existuje 5 konstant
pevnosti pro základní typy namáhání vhledem k
materiálovým osám
(lze je nejsnáze změřit experimentálně)
podélná tahová pevnost FLt
podélná tlaková pevnost FLc
příčná tahová pevnost FTt
příčná tlaková pevnost FTc
smyková pevnost FLT
Kritéria pevnosti
Pro jednosměrové kompozity lze rozdělit:
a) Neinteraktivní kritéria
•
Kritérium maximálního napětí
•
Kritérium maximální deformace
b) Interaktivní kritéria
•
Hillovo kritérium pevnosti
•
Tsai-Hillovo kritérium pevnosti
•
Hoffmanovo kritérium pevnosti
•
Tsai-Wu kritérium pevnosti
•
Puckovo kritérium pevnosti
atd.
více funkcí, každá
pro jednu složku napětí
a odpovídající pevnost
jedna nebo více funkcí, každá
obecně více složek napětí a pevností:
fi(σL, σT, τLT, FLt, FLc, FTt, FTc, FLT, ) < 1
Kritérium maximálního napětí
• předpokládá, že k poruše dojde, pokud kterákoli ze
složek napětí překročí dovolenou mez, tj.
− FLc < σ L < FLt
(porušení vláken)
− FTc < σ T < FTt
(porušení matrice)
− FLT < τ LT < FLT
(porušení matrice)
Kritérium maximálního napětí
• graficky lze bezpečnou oblast (oblast hodnot, kdy
nedojde k porušení) vyjádřit v systému složek napětí
jako kvádr se stěnami kolmými k osám
řez bezpečnou oblastí v rovině τLT = 0
Porovnání kriterií
• různě formulované podmínky (funkce) pevnosti – jinak predikovaná nosnost materiálu pro obecné namáhání
• všechny mají stejné průsečíky s osami (experimentálně snadno měřitelné hodnoty)
Max. napětí
Tsai-Wu
Max. deformace
Puck
8
• Analogie nosníkové teorie a CLT (izotropní případ)
• Analogie teorie desek a CLT (izotropní případ)
9
• Lamináty = vrstevnaté kompozity
• CLT – klasická laminátová teorie
• Vliv skládání vrstev na výsledné vlastnosti
Izotropní nosník
w0(x) – průhybová čára
α
h/2
h/2
z
w0 = w
x
u0
∂w
α=
u ( z ) = u0 − α z
∂x
∂u ∂u0 ∂ 2 w
ε ( z) =
=
− 2 z = ε0 + κ z
∂x ∂x ∂x
σ ( z ) = E ε = E (ε 0 + κ z ) = E ε 0 + E κ z
u – posunutí ve směru x
w – posunutí ve směru z
Matematický model
h
l
OHYB
b
R = 1/κ
TAH
M
N
M
N
l+∆l
M
κ=
, J = 121 bh 3
EJ
M = 121 Ebh 3κ
N
= σ = Eε
bh
N = Ebhε
SUPERPOZICE
 N   A 0 ε 
 M  =  0 D  κ 
  
 
TAH + OHYB
A = Ebh
Tuhost v tahu
D = 121 Ebh 3
Tuhost v ohybu
Teorie desek
Nxy
My
Ny
Mxy
Mx
Nx
Nx
Mx
Mxy
Ny
My
Nxy
všechny uvažované způsoby namáhání laminátové desky
Lamináty – značení
• Orientace vrstev (úhel natočení od základního směru)
[0/45/-45/90]
• Symetrie
[0/90/0]S = [0/90/0/0/90/0]
• Opakování vrstev
[0/903/45] = [0/90/90/90/45]
• Dvě vrstvy s opačnou orientací u sebe
[0/±45/0] = [0/45/-45/0]
• Označení materiálu
[0G/0C/90C/90K] – Glass, Carbon, Kevlar
Lamináty – příklady značení
[04]
L
[02/902]
α
x
[452/-452]
[45/-45]S
CLT – klasická laminátová teorie
konstitutivní rovnice laminátové desky
Tahová síla
Tahová síla
Smyková síla
Ohybový moment
Ohybový moment
Ohybový moment
 N x   A11
N  
 y   A21
 N xy   A61
 M  = B
 x   11
 M y   B21

 
M
xy

  B61
A12
A22
A16
A26
B11
B21
B12
B22
A62
B12
A66
B16
B61
D11
B62
D12
B22
B62
B26
B66
D21
D61
D22
D62
B16 
B26 
B66 
D16 

D26 
D66 
 ε x0 
 0
ε y 
γ xy0 
 
κx 
κ y 
 
κ xy 
Protažení
Protažení
Zkos
Ohyb (křivost)
Ohyb (křivost)
Ohyb (křivost)
 N   A B  ε 0 
M  =  B D   
  
 κ 
matice A, B a D se vypočítají zvlášť pro každou vrstvu materiálu pomocí
‘integrace přes tloušťku vrstvy’ příslušné matice C’ ve společném
referenčním systému xy a poté se všechny příslušné matice sečtou
CLT – klasická laminátová teorie
konstitutivní rovnice laminátové desky
(zjednodušený zápis)
 N   A B  ε 0 
M  =  B D   
  
 κ 
N – vektor sil
M – vektor momentů
ε0 – vektor deformace (střední roviny)
κ – vektor křivosti (střední roviny)
A – matice tahové tuhosti
B – matice vazbové tuhosti
D – matice ohybové tuhosti
Symetrické lamináty
• Eliminují vazbu mezi tahem a ohybem, tahem a krutem
• Každé vrstvě nad odpovídá stejná pod střední plochou
• tj. B = 0
 A11
A
 21
 A61

 0
 0

 0
A12
A16
0
0
A22
A62
A26
A66
0
0
0
0
0
0
D11
D12
0
0
0
0
D21
D61
D22
D62
0 
0 

0 

D16 
D26 

D66 
Vyvážené lamináty
• Eliminuje vazbu mezi normálovými silami a smykem
• Každé vrstvě odpovídá stejně tlustá s opačnou orientací
• tj. A16 = A26 = 0
 A11
A
 21
 0

 B11
 B21

 B61
A12
0
B11
B12
A22
0
0
A66
B21
B61
B22
B62
B12
B16
D11
D12
B22
B62
B26
B66
D21
D61
D22
D62
B16 
B26 

B66 

D16 
D26 

D66 
Vyvážené symetrické lamináty
• Kombinace výše uvedených
rovina symetrie
 A11
A
 21
 0

 0
 0

 0
A12
0
0
0
A22
0
0
A66
0
0
0
0
0
0
D11
D12
0
0
0
0
D21
D61
D22
D62
0 
0 

0 

D16 
D26 

D66 
Symetrické křížené lamináty
• Jsou symetrické a vyvážené
• Vrstvy jsou kladeny pouze pod úhly 0° a 90°
• Májí vlastnosti jako čistě ortotropní materiál
 A11
A
 21
 0

 0
 0

 0
A12
0
0
0
A22
0
0
0
0
A66
0
0
0
0
0
0
D11
D21
D12
D22
0
0
0
0
0 
0 

0 

0 
0 

D66 
Literatura
• Laš V.: Mechanika kompozitních materiálů,Skripta ZČU,
Plzeň, 2004.
• The Free Dictionary, www.tfd.com, Farlex Inc., 2007.
• Gay D.: Reinforced Plastics. Matériaux composites,
Hermes, Paris, 1997