kd lx100

Transkript

kd lx100

Nelineární optika
Zdroj: Bahaa E.A. Saleh, Malvin Teich
Základy fotoniky, MATFYZPRESS 1994 kap. 19, 21.3
Fundamentals of Photonics, Wiley 2007, kap. 21, 22.5, 23.4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Nelineární optická prostředí
Nelineární jevy 2. řádu
Nelineární jevy 3. řádu
Teorie vázaných vln
Anizotropní nelineární prostředí
Disperzní nelineární prostředí
Parametrické a neparametrické jevy
Optická bistabilita
Optické echo, samoindukovaná transparence, optický soliton,
superradiance
Lineární vs. nelineární optická prostředí
Lineární prostředí: n ≠ f(I), κ ≠ f(I),
princip superpozice, ω=konst,
paprsky se neovlivňují, nelze řídit
jeden svazek druhým ani zesilovat
Laser 1960, vysoké intenzity I,
nelineární odezva?
Nelineární prostředí: n = f(I), κ = f(I),
neplatí princip superpozice, ω → 2ω
jeden svazek lze ovládat druhým,
zesílení, autofokusace, optická paměť apod.
ω
2ω
NLC
Maxwellovy rovnice → jsou lineární!
∂D
∇× H =
, ∇ ⋅ D = 0,
∂t
∂B
∇×E = −
, ∇ ⋅ B = 0,
∂t
V lineárním dielektriku platí materiálové vztahy
D = εE a B = µH , takže z MR dostaneme
∂E
, ∇ ⋅ E = 0,
∂t
∂B
∇×E = −
, ∇ ⋅ B = 0,
∂t
odtud vlnová rovnice (lineární) :
∇ × B = εµ
1 ∂ 2E
∇ E = 2
, ∇ ⋅ E = 0,
c ∂t 2
c
1
kde c =
= 0 značí rychlost světla
εµ n
2
Spektrální rozklad → Helmholtzova rovnice :
∇ 2 E (ω ) + k 2 E (ω ) = 0,
Bajer: Nelineární optika
kde k =
ω
c
strana 2
V lineárním prostředí je
V nelineárním prostředí je
D = ε 0E + P
D = ε 0E + P
P = ε 0 χE
→ index lomu n =
P = f (E )
→ index lomu n = f (I )
εµ
= 1 + χ = konst
ε 0 µ0
Záření interaguje s druhým zářením přes nelineární prostředí !
Předpokládejme pro jednoduchost homogenní, izotropní, bezdisperzní nelineární prostředí
(neuvažujeme polarizaci)
P (r, t ) = f (E (r, t )) = ε 0 χE + 2dE
2
+ 4 χ ( 3) E
3
+ ... ← Taylorův rozvoj
typicky : d ≈ 10 − 24 až 10 − 21 C/V 2
typicky : χ (3) ≈ 10 −34 až 10 − 29 Cm/V 3
Požadujeme silnou nelinearitu ε 0 χE ≈ 2dE 2 ,
proto potřebujeme E ≈ ε 0 χ / d ≈ 1011 až 1014 V/m
obvykle postačí již E ≈ 10 6 až 10 8 V/m
strana 3
jiní autoři také píší symetričtější rozvoj :
(
P (r, t ) = ε 0 χ (1) E + χ ( 2) E
2
E
E
E
P = f ( ) = c1
+ c 2 
E0
E0
 E0
χ (1) χ ( 2)
řádově platí :
≈
χ ( 2 ) χ ( 3)
+ χ ( 3) E
2
3
)
+ ...

E
 + c3 

 E0
3

 + ...

V
≈ ... ≈ E 0 ≈ 1010
m
←
jednotlivé členy klesají pro E ≈ 10 6 V/m s faktorem
Taylorův rozvoj
E
≈ 10 − 4
E0
Atomární elektrické pole
E
E0 ≈ 1010
V
m
strana 4
Nelinearita ve fyzice:
rázové jevy v akustice
přílivová vlna
solitony na vodě
zkreslení signálu
anharmoničnost
anizochronnost kyvadla
hystereze, paměť prostředí
multistabilita
saturace
usměrnění napětí
demodulace signálu
deterministický chaos
turbulence
synergie, samoorganizace
perturbace a nestabilita
gravitačních orbit, prstenců, os
…
disperze v lineárním prostředí
solitony v nelineárním prostředí
přívalová (rázová) vlna
strana 5
Nelinearita ve fyzice
Nelinearita → zkreslení signálu x = A sin ωt , nové kmitočty 2ω , 3ω , ω1 ± ω 2 ,...
např.
1 2 1 2
A − A cos 2ωt
2
2
1
3
y = y + x 3 vede na 3ω → y = A sin ωt + A 3 sin 3 ωt = A sin ωt − A 3 sin 3ωt + A 3 sin ωt
4
4
y = x + x 2 vede na 2ω → y = A sin ωt + A 2 sin 2 ωt = A sin ωt +
Zkreslení harmonického signálu
odchylka od harmonického signálu
kvadratická nelinearita
y = x + x2
signál
x = A sin ωt
amplituda
A =1
A = 0.5
A = 0.25
odchylka od harmonického signálu
kubická nelinearita
y = x + x3
signál
x = A sin ωt
amplituda
A =1
A = 0.5
A = 0.25
strana 6
fraktály
chaos
strana 7
turbulence
strana 8
demodulace AM
saturace
I
výstup
U
vstup
hystereze
a saturace
strana 9
Intenzita a amplituda světla
E (t ) = Re{E (ω )e iωt } =
ε
E
I =E ×H =
µ
2
1
1
( E (ω )e iωt + E (ω ) * e -iωt ) = ( E (ω )e iωt + E (−ω )e -iωt )
2
2
ε
=
=n 0 E
η
µ0
E
2
2
=n
E
2
η0
=n
E
2
E
2η 0
kde η 0 ≈ 377 Ω je impedance vakua
η=
µ 1 µ0 η0
=
=
n
ε n ε0
H
pro E ≈ 3 × 10 3 V/m vychází I ≈ 10 4 W/m 2 ≈ 1 W/cm 2
pro E ≈ 1010 V/m (pole v atomu) → I ≈ 1017 W/m 2 ≈ 1013 W/cm 2
nelinearita významná již pro A ≈ 3 × 10 6 V/m → I ≈ 1010 W/m 2 ≈ 1 MW/cm 2
k,I
sluneční světlo (1050 W/m * 93 lm/W = 98000 lx) :
2
I ≈ 1400 W/m 2 = 0.14 W/cm 2 → E ≈ 1000 V/m
100 W žárovka ve vzdálenosti r = 1 m :
I = Φ / S = Φ / 4π r 2 ≈ 8 W/m 2 → E ≈ 80 V/m (100 lx )
Energie fotonu E = hω
foton 555 nm v dutince 1mm 3 :
I = Φ / S ≈ hω c / a 3 ≈ 0.1W/m 2
(70 lx )
hustota fotonového toku φ =
I
hω
[fotonů/s]
strana 10
Stručná historie nelineární optiky:
1875 John Kerr (DC Kerr effect)
1890 Friedrich Pockels
1922 Léon Brillouin BS
1928 Chandrasekhara Venkata Raman RS
1960 Theodore H. Maiman - laser
1961 Peter Franken SHG
1961 2 photon absorption
1962 sum and difference frequency generation SFG and DFG
1962 Raman laser
1962 Woodbury a Ng (stimulovaný Ramanův rozptyl SRS)
1962 optická rektifikace
1964 stimulovaný SBS (Chiao et al.)
1965 OPA and OPO
1967 THG (New et al.)
1980 rozmach NLO, technologie krystalů
1973 temporal soliton (by Hasegawa and Tappert)
1974 space soliton (by Ashkin and Bjorkholm)
1987 dark soliton in fiber
1988 soliton pulses over 4 000 km by Raman gain (Mollenauer et al.)
strana 11
Franken ozařoval roku 1961 pulzním rubínovým laserem křemennou destičku
a spektroskopem prokázal, že v destičce vzniká světlo dvojnásobné frekvence.
Šipka u 347 nm označovala slabou šedou tečku vytvořenou procesem SHG.
Obraz čerpacího svazku u 694 nm je tak velký vlivem přesvětlení fotografické desky.
Ironií osudu je, že editor Phys. Rev. Lett. vymazal šedý flíček v místě šipky
v domnění, že jde o nepatřičnou šmouhu, a tak přelomový důkaz SHG smazal.
strana 12
Vlnová rovnice
∂ 2P
1 ∂ 2E
∇ E − 2
= µ0 2
2
c0 ∂t
∂t
2
P = ε 0 χE + PNL
PNL = 2dE
2
+ 4 χ ( 3) E
3
+ ...
∂ 2PNL
1 ∂ 2E
∇ E − 2
= µ0
= −S
c ∂t 2
∂t 2
c0 = 1 / ε 0 µ 0
2
c = 1 / εµ 0 = c0 / n
1. Bornova aproximace
Malá nelinearita, malá korekce k lineární vlnové rovnici
E 0 → S(E 0 ) → E 1
E 1 → S(E 1 ) → E 2
...
2. Teorie vázaných vln
Omezený počet vln, silná interakce, ostatní zanedbáme
(později se jí věnuje celá kapitola)
strana 13
Nástin kolineárního řešení vlnové rovnice
∂ 2PNL
1 ∂ 2E
Vlnová rovnice
∇ E − 2
= µ0
= −S
2
2
c ∂t
∂t


dosadíme za E = Re ∑ E m e iωmt  a vypočteme S a porovnáme stejné frekvenční složky ω m
 m

2
∇ 2 E m + k m2 E m = − S m = − µ 0ω m2 PNL (ω m ),
kde
km =
ωm
cm
=
soustava Helmholtzových rovnic
nmω m
c0
pro koherentní zdroj S m = Se −ik S z
a malé rozladění
∆k = k m − k S
očekáváme synchronní řešení : E m = Ee −ik S z , po dosazení máme :
− 2ik S
(
)
dE
dE
+ k m2 − k S2 E ≈ −2ik S
+ 2k S ∆kE = − S ,
dz
dz
mimorezonanční řešení osciluje :
S
S2
∆kz
−i∆kz
E=−
1− e
→ I = 2 2 sin 2
2k S ∆k
2
k S ∆k
(
)
rezonanční řešení (∆k → 0) monotónně roste :
Sz
S 2z2
ER =
→ IR =
2ik S
4k S2
∆k=0
I(z)
∆k=1
∆k=2
z
strana 14
Nelineární optické jevy druhého řádu
PNL = 2dE
2
1
( E (ω )e iωt + E (ω ) * e -iωt )
2
PNL (t ) = PNL (0) + Re{PNL ( 2ω )e 2iωt }
E (t ) = Re{E (ω )e iωt } =
PNL (0) = d E (ω ) E (ω ) * ← optické usměrnění
PNL (2ω ) = d E (ω ) E (ω ) ← generace druhé harmonické
Generování druhé harmonické
E ( 2ω ) ∝ S (2ω ) L
I (2ω ) ∝ S L2 ∝ PNL (2ω ) L2 = d 2 L2 I 2
2
2
P
I (2ω )
= C 2 L2 I = C 2 L2
I (ω )
A
účinnost roste s interakční délkou L, intenzitou I , a nelinearitou d
η SHG =
Optimalizace poměru L2/A fokusací (problém s difrakcí)
strana 15
strana 16
Optická rektifikace OR, optické usměrnění
Průchodem impulzu řádu 1 MW se generuje ss napětí řádu 0.1 mV
PNL (0) = d E (ω ) E (ω )* ← optické usměrnění
strana 17
Elektrooptický jev (Pockelsův jev)
Světelný svazek ovládáme ss napětím
PNL = 2dE
2
E (t ) = E (0) + Re{E (ω )e iωt }
PNL (t ) = PNL (0) + Re{PNL (ω )e iωt } + Re{PNL (2ω )e 2iωt }
(
PNL (0) = d 2 E (0) 2 + E (ω )
2
)
PNL (ω ) = 4d E (0) E (ω ) ← Pockelsův jev
PNL ( 2ω ) = d E (ω ) E (ω )
Obvykle předpokládáme
E (ω ) << E (0) → PNL (2ω ) << PNL (ω )
Nelineární polarizaci lze chápat jako korekci
PNL (ω ) = 4d E (0) E (ω ) = ε 0 ∆χE (ω )
k lineární polarizaci
PL (ω ) + PNL (ω ) = ε 0 ( χ + ∆χ ) E (ω )
∆χ značí změnu susceptibility lineární polarizace
n 2 = 1 + χ → 2n∆n = ∆χ
∆n =
∆χ
2d
=
E (0)
2n nε 0
Přiloženým napětím E (0) lze měnit index lomu prostředí o ∆n
strana 18
Třívlnové směšování TWM
Frekvenční konverze (generace součtové a rozdílové frekvence) SFC,DFC
PNL = 2dE
2
E (t ) = Re{E (ω1 )e iω1t } + Re{E (ω 2 )e iω2t }
PNL obsahuje 5 frekvenčních složek s amplitudami
(
PNL (0) = d E (ω1 ) + E (ω 2 )
2
2
)
PNL (2ω1 ) = d E (ω1 ) E (ω1 ) ← SHG
PNL (2ω 2 ) = d E (ω 2 ) E (ω 2 ) ← SHG
PNL (ω1 + ω 2 ) = 2d E (ω1 ) E (ω 2 ) ← up - conversion (SFG)
PNL ( ω1 − ω 2 ) = 2d E (ω1 ) E * (ω 2 ) ← down - conversion (DFG)
strana 19
Fázová synchronizace
E (ω1 ) = A1e-ik 1 ⋅r , E (ω2 ) = A2e-ik 2 ⋅r
pak
PNL (ω1 + ω2 ) = 2d E (ω1 ) E (ω2 ) = 2d A1 A2e-ik 1 ⋅r -ik 2 ⋅r
PNL (ω3 ) = 2d A1 A2e-i (k 3 − ∆k )⋅r ,
kde k3 = n3ω3 / c a ∆k = k 3 − k 1 − k 2
ω3 = ω1 + ω2 ← frekvenční podmínka
k 3 = k 1 + k 2 ← fázová podmínka → n3ω3n 3 = n1ω1n1 + n2ω2n 2
Tyto podmínky zaručí koherentnost všech 3 vln a jejich silnou vzájemnou interakci
Fázová synchronizační podmínka ∆k = 0 se dosahuje vhodnou volbou polarizace,
natočením krystalu nebo změnou teploty
strana 20
Třívlnový proces - Třívlnové směšování TWM
Směšování dvou svazků ω1 a ω2 generuje třetí svazek ω3 =ω1 + ω2, pokud je splněna fázová
podmínka. Pak současně běží i konverze dolů ω2 =ω3 – ω1 a ω1 =ω3 – ω2
interagují tedy 3 vlny
Speciálně degenerovaný proces ω1 =ω2 a ω3 =2ω1 dává druhou harmonickou ω3 =2ω1 nebo
subharmonickou ω1 =ω3 – ω1 =ω3 /2
interagují tedy pouze 2 vlny ω + ω = 2ω
Třívlnový proces = Parametrická interakce:
OFC Frekvenční konvertor: vzestupná konverze ω3 =ω1 + ω2
sestupná konverze ω2 =ω3 – ω1
OPA Parametrický zesilovač ω1, čerpací vlna ω3, signálová vlna ω1 a jalová vlna ω2
OPO Parametrický oscilátor ω1, zesilovač se zpětnou vazbou
SPDC Spontánní parametrický downkonvertor (generátor fotonových párů ω1 + ω2)
strana 21
strana 22
Třívlnový proces jako interakce fotonů
hω3 = hω1 + hω2 ← zákon zachování energie
hk 3 = hk 1 + hk 2 ← zákon zachování hybnosti
Energetický diagram
up-conversion
down-conversion
laser
Zákon zachování počtu fotonů ∆φ3 = −∆φ1 = −∆φ 2
dφ3
dφ
dφ
=− 1 =− 2
dz
dz
dz
Manley-Roweovy relace
Fotonový tok
a protože I = hωφ
d  I3 
d  I1 
d  I2
  = −   = − 
dz  ω 3 
dz  ω1 
dz  ω 2



odtud také Zákon zachování energie
I 1 + I 2 + I 3 = hω1φ1 + hω 2φ 2 + hω 3φ3 = konst
strana 23
ω3
Fázová synchronizace FM a ladící křivky
V disperzním prostředí synchronizační podmínka obecně :
n3ω 3 n 3 = n1ω1n1 + n2ω 2 n 2
po umocnění n32ω 32 = n12ω12 + n22ω 22 + 2n1 n2ω1ω 2 n1 ⋅ n 2 , odtud
(
)
(
)
n32ω 32 − n12ω12 − n22ω 22
n32 − n12 ω12 + n32 − n22 ω 22 + 2n32ω1ω 2
n1 ⋅ n 2 =
,
=
2n1 n2ω1ω 2
2n1 n2ω1ω 2
ω1
ω2
k3
k1
k2
kde jsme dosadili za ω 3 = ω1 + ω 2
(
)
(
)
Pro normální disperzi je ale n32 − n12 > 0 a n32 − n22 > 0 a n32 > n1 n2 , tedy
n1 ⋅ n 2
(n
=
2
3
)
(
)
− n12 ω12 + n32 − n22 ω 22 + 2n32ω1ω 2
2n32ω1ω 2
n32
>
=
>1
2n1 n2ω1ω 2
2n1 n2ω1ω 2 n1 n2
Pro normální disperzi nelze
synchronizační podmínku
splnit!
takže synchronizační podmínku nelze splnit!
Je v rozporu s
trojúhelníkovou nerovností
k1+k2>k3
Pro bezdisperzní prostředí je n1 = n2 = n3 , takže
V bezdisperzním prostředí
n1 ⋅ n 2 = 1 → splňuje pouze kolineární konfigurace n1 = n 2
jen při
kolineární konfiguraci!
Pro anomální disperzi však lze splnit synchronizační podmínku.
Pro anomální disperzi lze
synchronizační podmínku
splnit!
strana 24
Fázová synchronizace dvojlomem v kolineárním případě
Podmínka n3ω 3 = n1ω1 + n 2ω 2
je automaticky splněna v bezdisperzním prostředí ω 3 = ω1 + ω 2
ale nelze ji splnit v monotónně disperzním prostředí :
Opravdu, podmínku n3ω 3 = n1ω1 + n2ω 2 lze upravit
n3ω 3 − n 2ω 3 = n1ω1 + n2ω 2 − n2ω 3
(n3 − n2 )ω3 = n1ω1 − n2 (ω3 − ω 2 ) = n1ω1 − n2ω1
(n3 − n2 )ω3 = (n1 − n2 )ω1
ovšem (n3 − n 2 ) > 0 a (n1 − n 2 ) < 0 mají opačná znaménka!
→ V disperzním prostředí proto nutno použít anizotropní krystal a různé polarizace
Pro jednoosý krystal platí :
o řádný paprsek n(ω ) = n0 (ω ) = konst
e mimořádný paprsek
cos 2θ sin 2θ
=
+
n 2 (θ , ω ) no2 (ω ) ne2 (ω )
1
Směšování typu I
– stejné polarizace s+i (o+o e pro negativní ne<no a e+e
Směšování typu II
– kolmé polarizace s+i (o+e
e pro negativní ne<no a o+e
o pozitivní ne>no krystal)
o pozitivní ne>no krystal)
strana 25
Kolineární typ I generace druhé harmonické pozitivní krystal (e+e
o)
Pro ω1 = ω 2 a ω 3 = 2ω1 vede synchronizační podmínka na n3 = n1
neboli na
1
cos 2θ sin 2θ
=
+
no2 ( 2ω ) no2 (ω ) ne2 (ω )
odtud
Např. pro eeo KDP 694 nm
nebo pro ooe KDP 1060 nm
1
1
−
no2 (ω ) no2 ( 2ω )
2
sin θ =
1
1
−
no2 (ω ) ne2 (ω )
347 nm je θ = 52º
530 nm je θ = 41º
Indexové plochy ω a 2ω
strana 26
Kolineární optický parametrický oscilátor OPO
Synchronizační podmínky :
ω 3 = ω1 + ω 2
ω 3 n(θ , ω 3 ) = ω1 no (ω1 ) + ω 2 no (ω 2 ) ← typ I ooe
e
o+o
nebo
ω 3 n(θ , ω 3 ) = ω1 n(θ , ω1 ) + ω 2 no (ω 2 ) ← typ II eoe
e
e+o
tj. 2 rovnice pro 3 neznámé θ, ω1, ω2
jeden parametr volný, např. θ
řešení pouze numericky nebo graficky
Ladící křivky pro BBO krystal
ooe
eoe
strana 27
Analýza synchronizační podmínky :
Vliv natočení krystalu ∆θ ← pro typ I ooe e o+o
ω 3 = ω1 + ω 2 = konst
ω 3 n3 (θ ) = ω1 n1 + ω 2 n2
∆ω 3 = ∆ω1 + ∆ω 2 = 0 → ∆ω 2 = − ∆ω1
ω 3 ∆n3 = ∆ω1 n1 + ∆ω 2 n2 + ω1 ∆n1 + ω 2 ∆n 2
ω3
∂n3
∂n
∂n
∆θ = ∆ω1 n1 − ∆ω1 n2 + ω1 1 ∆ω1 − ω 2 2 ∆ω1
∂θ
∂ω1
∂ω 2
∂n3
∆θ
∂θ
∆ω1 =
= − ∆ω 2
∂n1
∂n2
n1 − n 2 + ω1
− ω2
∂ω1
∂ω 2
ω3
∆ω a ∆λ roste lineárně s natočením ∆θ
Speciálně pro degenerovaný případ ω 2 = ω1 však bude ∆ω1 → ∞
Podobně možno řešit vliv změny teploty ∆T
strana 28
Nekolineární typ II (oee) generátor druhé harmonické SHG
Fázové synchronizační podmínky obecně :
ω1 + ω 2 = ω 3
ω1 n1 sin θ1 = ω 2 n2 sin θ 2
ω1 n1 cos θ1 + ω 2 n2 cos θ 2 = ω 3 n3
Fázové podmínky speciálně pro SHG :
ω1 = ω 2 = ω
ω 3 = 2ω
no (ω ) sin θ1 = n(θ + θ 2 , ω ) sin θ 2
no (ω ) cos θ1 + n(θ + θ 2 , ω ) cos θ 2 = 2n(θ ,2ω )
2 rovnice pro 3 neznámé θ, θ1, θ2
jeden parametr volný, např. θ1
o+e e
strana 29
Spontánní parametrický downkonvertor SPDC
Fázové podmínky :
ω1 + ω 2 = ω 3
ω1 n1 sin θ1 = ω 2 n2 sin θ 2
ω1 n1 cos θ1 + ω 2 n2 cos θ 2 = ω 3 n3
3 rovnice pro 4 neznámé θ1, θ2 a ω1, ω2
jeden parametr volný, např. ω1
Ladící křivky - typ I ooe pro BBO 351.5 nm (SH Ar laser)
strana 30
Obecné úvahy o řešení NLO
Maxwellovy rovnice :
∂D
∇× H =
, ∇ ⋅ D = 0,
∂t
∂B
∇×E = −
, ∇ ⋅ B = 0,
∂t
pro pevné ω :
Protože D = ε 0 E + PNL a ∇ ⋅ D = 0, máme ∇ ⋅ E = −
a protože ∇(∇ ⋅ E ) ≈
∇ ⋅ PNL
ε0
,
λ
k PNL
≈ µ 0ω 2 PNL ≈ 0,
W ε0
W
platí zhruba Helmholtzova rovnice :
∇ × H = iωD, ∇ ⋅ D = 0,
∇ × E = −iωB, ∇ ⋅ B = 0,
∇ 2 E + k 2 E ≈ − µ 0ω 2 PNL
vyloučením B = µ 0 H dostaneme
Helmholtzovu rovnici :
Helmholtzova rovnice
∇ × (∇ × E ) = µ 0ω 2 D,
∇2 E + k 2 E = −S
nebo
má obecné řešení :
∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = µ 0ω 2 D = εµ 0ω 2 E + µ 0ω 2 PNL
odtud
− ik r − r '
e
E (r ) = ∫ S (r ')
dr '3
4π r − r '
V
∇ 2 E + εµ 0ω 2 E = − µ 0ω 2 PNL + ∇(∇ ⋅ E )
Pro r ' << r platí aproximace
nebo
r − r ' = r 2 + r '2 −2r ⋅ r ' ≈ r − r ⋅ r ' / r + ...,
∇ 2 E + k 2 E = − µ 0ω 2 PNL + ∇(∇ ⋅ E ),
kde k = εµ 0 ω =
nω ω
=
c0
c
takže
i r ⋅r '
e − ikr
E (r ) ≈
S (r ')e r dr '3
∫
4πr V
k
strana 31
Fázová podmínka a prostorová selektivita generovaného záření
Pro harmonický zdroj S (r ') = S 0 e − ik S ⋅r ' a konečný kvádr objemu V = L x L y L z
e −ikr
E (r ) ≈ S 0
4πr
∫∫∫ e
k 

−i  k S − r ⋅r '
r 

dr ' 3
Koherentní
L
L
L
k
k
k

 x

 y

 z
vlna
−
−
−
sin
sin
sin
z
k
y
x
k
k






Sz
Sx
Sy
− ikr
e
r  2
r  2
r  2

ve směru kS
× 
× 
E (r ) ≈ S 0
Lx L y Lz
k L
k  Lx
4πr


k  Ly

 k Sx − x 
 k Sz − z  z
 k Sy − y 
r  2
r  2
r  2



tj. součin 3 sinc funkcí, záření se prakticky pozoruje pouze ve směru k S ,
směrovost a rezonance
neboť, aby sinc nebyl malý, musí být
a současně musí být
kS
r
≈ = 1,
k
r
r kS
≈
r
k
a mimo tento směr E (r ) a I (r ) velmi rychle klesá!
neboli ∆k ≈ k S − k
r
≈0
r
Limitně pro V >> λ3 vede integrál pro harmonický zdroj S (r ') = S 0 e −ik S ⋅r ' přímo na 3D delta funkci

k 
e −ikr −i  k S − r r ⋅r ' 3
e −ikr 
k 
e −ikr  r k S 
2
2
δ  k S − r  ≈ 2π S 0
δ −
e
dr ' ≈ 2π S 0
E (r ) ≈ S 0

4πr ∫
r 
r 
kr  r k 
∞
protože
± ikx
e
∫ dx = 2πδ (x )
−∞
δ (x ) = lim
sinAx
A→ ∞ πx
a dále δ (ax ) =
1
δ ( x ) a δ (− x ) = δ (x )
a
Koherentní
vlna
ve směru kS
a
strana 32
Fázové rozladění ∆k
E (ω1 ) = A1e − ik1 ⋅r , E (ω 2 ) = A2 e − ik 2 ⋅r ,
PNL (ω 3 ) = 2dA1 A2 e −i (k1 +k 2 )⋅r = 2dA1 A2 e i∆k ⋅r e −ik 3 ⋅r ,
zatímco E (ω 3 ) = A3 e −ik 3 ⋅r (jiná vlna než k 3 = ω 3n 3 / c se nemůže šířit)
takže máme obecně fázové rozladění ∆k = k 3 − k 1 − k 2
S (ω 3 ) ∝ PNL ∝ dA1 A2 e i∆k ⋅r ,
A3 ∝ ∫ dA1 A2 e
i∆k ⋅r
L/2
dr ∝ dA1 A2
3
−L / 2
V
I 3 (L ) ∝ A3 ∝
2
i∆kz
e
∫ dz =
d 2 A12 A22 L2c
π
2
sin 2
πL
2dA1 A2
∆kL
sin
∆k
2
I 3 ( L)
Lc
kde směšovací koherenční délka
2π
Lc =
∆k
Např. pro SHG je
∆k =
4π
λ
n3 − n1
a proto
Lc =
2π
λ
=
≈ 50λ
∆k 2 n3 − n1
L
0
Lc
3Lc
nebo také
I 3 (∆k ) ∝ d 2 A12 A22 L2 sinc 2
kde sinc x =
2 Lc
sin πx
πx
I3 (∆k)
∆kL
,
2π
∆k
strana 33
Šířka pásma fázového rozladění
Při daném ∆k bude světlo účinně generováno
na L < Lc =
2π
∆k
Podobně při pevném L bude účinně generováno světlo
jen pro rozladění ∆k <
2π
L
Například pro SHG je ∆k (ω ) = k 3 − 2k1
dokonalá synchronizace ∆k (ω 0 ) = 0 platí jen pro ω 0 (kdy platí n3 = n1 )
d∆k
d
(k 3 (2ω ) − 2k1 (ω ))∆ω
∆ω + ... ≈
dω
dω
 2 2
dk 
2
 dk
=  2 3 − 2 1 ∆ω =  − ∆ω =
N 3 − N1 ∆ω
ω
ω
d
d
u
u
c


1 
0
 3
∆k (ω ) =
odtud ∆k =
∆ω <
2
2π
N 3 − N 1 ∆ω <
, takže
c0
L
πc0
L N 3 − N1
nebo ∆ν =
dω
dk
c
dk
Grupový index lomu: N = 0 = c0
u
dω
Grupová rychlost:
u=
c0
∆ω
<
2π 2 L N 3 − N 1
→ široké pulzy jsou účinně generovány jen pro malá L
strana 34
Fázová kvazisynchronizace QPM (quasi phase-matching)
Nelze - li odstranit fázové rozladění ∆k , lze použít periodickou strukturu s koeficientem
d (r ) = d 0 e -iG⋅r , která funguje jako harmonická fázová mřížka (podélná Braggova mřížka),
synchronizační podmínka se změní na k 1 + k 2 + G = k 3
a synchronizace dosáhneme pro G ≈ ∆k .
Fázová kvazisynchronizace s periodickou změnou znaménka koeficientu d
Technologie:
Litografické napařování metodou
periodického pólování optické osy,
feroelektrické krystaly LiNbO3 , LiTaO3,
KDP nebo polovodiče GaAs
Pokud nemáme harmonickou mřížku, pracujeme s anharmonickou mřížkou d ( z )
prostorové periody Λ, její Fourierova řada je dána součtem d ( z ) = ∑ d m e
m
2πm
Λ
2πm 2π
Synchronizace TWM dosáhneme pro Gm ≈ ∆k , tj. pro
≈
Λ
Lc
mřížka má tedy celé spektrum prostorových frekvencí Gm =
→ volíme Λ ≈ mLc =
2πm
∆k
(nejlépe rovnou m = 1 a Λ ≈ Lc )
-i
2πmz
Λ
,
Skokově periodicky
pólované prostředí :
hodnota d = ± d 0 alternuje
s periodou Λ / 2
→ Fourierovy koeficienty
2d
d m = 0 pro m liché
πm
a d m = 0 pro m sudé
strana 35
kvazisynchronizace pro m=1 a Λ=Lc
Λ
2
Λ
2
Λ
2
2
2L
 2L 
Konverzní účinnost oproti homogennímu médiu lepší   krát, kde
značí počet vrstev
Λ
Λ
 
homogenní médium :
I 3 ( L) ∝ d 02 L2c sin 2
πL
Lc
< d 02 L2c
periodické médium :
Λ
Λ
πΛ
πm
jedna vrstva šířky → I 3 ( ) ∝ d 02 L2c sin 2
≈ d 02 L2c sin 2
= d 02 L2c pro m = 1, 3, 5, ... liché
2
2
2 Lc
2
Λ  2L 
2L
2L
 2L 
vrstev →
krát vyšší amplituda → I 3 ( L) ∝   I 3 ( ) ≈   d 02 L2c
Λ
Λ
2
 Λ
 Λ
1
Protože Λ ≈ mLc , bude I 3 ( L) ∝ 2 , proto nejraději volíme m = 1 a Λ ≈ Lc
m
2
2
strana 36
Závislost amplitudy generovaného světla
na délce krystalu z=L
směrnice π
směrnice 2
směrnice 0
strana 37
Nelineární optické jevy třetího řádu
P (r, t ) = 4 χ ( 3) E
3
Pokud je krystal středově symetrický
d=0 a dominantní nelinearita je třetího řádu
kerrovské prostředí
Tato nelinearita je zodpovědná za generaci 3. harmonické nebo obecné kombinace tripletů
vstupních frekvencí
Elektrooptický Kerrův jev
PNL = 4 χ ( 3) E
3
E (t ) = E (0) + Re{E (ω )e iωt }
PNL (t ) = PNL (0) + Re{PNL (ω )e iωt }
PNL (0) = 4 χ ( 3) E (0) 3
PNL (ω ) = 12 χ ( 3) E (0) 2 E (ω ) ← elektrooptický Kerrův jev
P(ω ) = PL (ω ) + PNL (ω ) = ε 0 χ E (ω ) + 12 χ
( 3)

χ ( 3)
E (0) E (ω ) = ε 0  χ + 12
E ( 0) 2
ε0

2

 E (ω )

χ ( 3)
E (0) 2
∆χ = 12
ε0
∆χ 6 χ ( 3 )
E ( 0) 2
∆n =
=
nε 0
2n
strana 38
Generace třetí harmonické THG
PNL = 4 χ ( 3) E
3
E (t ) = Re{E (ω )e iωt }
iωt
PNL (t ) = Re{PNL (ω )e } + Re{PNL (3ω )e
3iωt
fázově synchronizační podmínka :
}
PNL (ω ) = 3χ ( 3) E (ω ) E (ω ) ← optický Kerrův jev
2
PNL (3ω ) = χ ( 3) E (ω ) 3 ← generace třetí harmonické
Optický Kerrův jev
n(3ω ) = n(ω ) →
kombinace normální a anomální
disperze vhodné směsi dvou plynů,
malá účinnost,
lépe ω + ω → 2ω a ω + 2ω → 3ω až 20 %
PNL (ω ) = 3χ (3) E (ω ) E (ω ) ← optický Kerrův jev
2
P(ω ) = PL (ω ) + PNL (ω ) = ε 0 χ E (ω ) + 3χ
∆χ =
3χ ( 3)
ε0
E (ω ) =
2
6ηχ ( 3)
ε0
( 3)
I neboť I =

3χ ( 3)
2
E (ω ) E (ω ) = ε 0  χ +
E (ω )
ε0

2
E (ω )

 E (ω )

2
2η
∆χ 3ηχ ( 3)
∆n =
=
I = n2 I
nε 0
2n
n(I ) = n + n2 I ← optický Kerrův jev
obecně závisí na λ a polarizaci, typické hodnoty :
n 2 ≈ 10 −16 až 10 −14 cm 2 /W pro skla
n 2 ≈ 10 −14 až 10 −7 cm 2 /W pro dopovaná skla
samoindukovaný jev, fáze svazku se moduluje vlastní intenzitou
n 2 ≈ 10 −10 až 10 −8 cm 2 /W pro organické materiály
3ηχ ( 3)
přitom n2 =
nε 0
n 2 ≈ 10 −10 až 10 − 2 cm 2 /W pro polovodiče
strana 39
Automodulace fáze SPM
∆ϕ = ∆kL = ∆nk 0 L = n 2 Ik 0 L = 2πn 2
L
P
λ0 A
Například nelineární posun fáze o π nastane pro dopované skleněné vlákno
(n2 ≈ 10 −10 cm 2 /W) délky L = 1m, průřezu A = 10 -2 mm 2 již při P = 0.5W.
Fázová modulace se dá změnit na intenzitní :
1. Mach - Zehnderův interferometr
2. dvojlom
3. integrovaný optický směrový kapler
Autofokuzace SP
I = I 0e
−
x2 + y 2
W2
E = E0 e −ink0 d
= E0 e −ink0 d e
 x2 + y2 

≈ I 0 1 −
2
W


= E0e −i (n + n2 I )k0 d = E0 e −ink0 d e −in2 Ik0 d
 x2 + y2
−in2 I 0  1−
W2


 k0 d


= E0e −ink0 d e −in2 I 0 k0 d e
in2 I 0
x2 + y2
k0 d
W2
Protože amplitudová propustnost tenké čočky
ik 0
Nelineární kerrovské médium
funguje jako čočka
x2 + y2
2f
s ohniskovou vzdáleností f je T = e
,
bude optická mohutnost kerrovské čočky
1
2d
= n2 I 0 2
f
W
strana 40
Samozachycení světla (self-trapping)
Při dostatečném výkonu P, je svazek veden Kerrovským prostředím jako tenkým vláknem o průměru d .
Samovedení světla je ale nestabilní, vlákno se obvykle nejprve rozpadá v dílčí vlákna a nakonec zase zcela difraguje.
Je - li intenzita ve svazku I , pak nelineární index v něm vzroste o ∆n = n2 I ,
takže dokáže vést světlo podobně jako optické vlákno s maximální divergencí θ ,
která se najde z podmínky mezního úhlu lomu cos θ =
n
,
n + ∆n
1
∆n
2∆n 2n2 I
odtud 1 − θ 2 = 1 −
→ θ2 =
=
2
n
n
n
λ
Současně divergence vlivem difrakce světla je θ ≈ 1.22 , takže srovnáním dostaneme rovnici
d
2n I 
λ
θ = 2 ≈ 1.22  ,
n
d

odtud kritický výkon svazku :
2
2
Pkrit =
πId 2
4
≈ 1.22 π
2
λ2 n
8n 2
Například pro CS 2 a λ ≈ 1 µm je Pkrit ≈ 33 kW
a pro typická skla a krystaly je Pkrit ≈ 0.2 až 2 MW
strana 41
Prostorový soliton
Samofokuzace působí proti difrakci a v Kerrovském médiu vzniká samovedený svazek
= prostorový soliton
Helmholtzova rovnice : ∇ 2 E + n 2 (I )k 02 E = 0 pro E = Ae − ikz = Ae − ink0 z , kde A( x, z ) značí obálku vlny
[
]
∂2 A
∂A
k
−
2
i
+ k 02 n 2 (I ) − n 2 A = 0
2
∂z
∂x
po dosazení dostaneme rovnici
2
∂2 A
∂A
+ 2nk 02 n 2 IA = 0 nebo
nebo 2 − 2ik
∂z
∂x
2
A
A
∂2 A
∂A
2
−
k
nk
n
A
neboť
I
2
i
+
=
0
,
=
0 2
η
∂z
2η
∂x 2
2
A
η
∂2 A
∂A
nebo 2 − 2ik
A = 0, neboť η = 0
+ n 2 k 02 n 2
η0
n
∂z
∂x
Nelineární Schroedingerova rovnice :
∂ 2 A n2 2 2
∂A
k
A
A
k
+
=
2
i
∂z
∂x 2 η 0
z
x −i 4 z0
Solitární řešení : A( x, z ) = A0 sech
e
, kde
W0
n2
1
2
A0 = 2 2
2η 0
k W0
a
πW02
1
2
z 0 = kW0 =
2
λ
strana 42
Řešení ve tvaru solitární vlny : A( x, z ) = A( x )e − iβz ,
n
dosadíme do Schroedingerovy rovnice : A' '+ 2 k 2 A 2 A = 2 β kA
η0
A' ' = (2 βk −
n2
η0
k 2 A2 ) A
zintegrujeme přes dA : A' ' dA =
n
1
dA' 2 = (2 βk − 2 k 2 A 2 ) AdA
2
η0
pro x = ±∞ je A(±∞) = 0, a proto také
A' (±∞) = 0, takže
n
A' 2 = (2 βk − 2 k 2 A 2 ) A 2
2η 0
A( x )
A0
navíc pro x = 0 je A(0) = A0 = max, a proto také A' (0) = 0,
takže 2 βk =
n2 2 2
n
k A0 a A' 2 = 2 k 2 ( A02 − A 2 ) A 2
2η 0
2η 0
separace proměnných a integrujeme (dA < 0)
dA
A
1
A02 − A 2
substitucí A =
→u =
=−
x
n2
kdx
2η 0
A0
du
, dostaneme
=
cosh u
A0
n2
kdx
2η 0
A0
n2 2 2
e − iβ z
k A0 = 2 β k x, takže máme řešení : A( x, z ) =
2η 0
cosh 2 β k x
z
1
1
x −i 4 z0
Pokud zavedeme
=βa
= 2 βk dostaneme řešení podle Saleha, Teicha A( x, z ) = A0 sech
e
4z0
W0
W0
strana 43
Ramanovské zesílení
(3 )
(3 )
Nelineární koeficient χ (3) je obecně komplexní, tj. χ (3) = χ R + iχ I
Automodulační fáze ∆ϕ = ϕ R + iϕ I je rovněž komplexní, neboť
∆ϕ = n2 Ik 0 L = 2πn2
L
6πηχ
P=
λ0 A
nε 0
( 3)
L
3ηχ
P, kde n 2 =
λ0 A
nε 0
( 3)
takže příspěvek imaginární části ϕ I lze interpretovat jako zesílení
 6πηχ I ( 3) L 
1

P  ≥ 1,
e = exp γ R L  = exp −
nε 0 λ0 A 
2


kde koeficient γ R Ramanova zesílení závisí na frekvenci ω
χ R (3 )
χ I (3 )
iϕ I
a čerpacím výkonu P
γR = −
12πηχ I
nε 0
( 3)
12πη 0 χ I
P
=−
λ0 A
n 2ε 0
pro ω ≈ ω S ≈ ω L − ω v je χ I
(3 )
( 3)
ω L − ωv ω L ω L + ωv
ramanovské zesílení
P
λ0 A
χ I (3 ) < 0 a γ R ≥ 0
≤ 0aγR ≥ 0
Ramanův jev má původ ve vazbě záření a vf vibračních módů prostředí,
zdrojem energie ramanovského zesílení je čerpací laser.
Ramanovské vláknové zesilovače :
Ramanovo zesílení může kompenzovat absorbci v optickém vlákně
a zesilovat užitečný signál.
Pomocí zpětné vazby lze realizovat i vláknový ramanovský laser.
strana 44
Spektrální závislost ramanovského zesílení
pro křemenné vlákno dopované germániem
největší zisk se pozoruje pro Stokesovu složku
o frekvenci v0 − v R , kde v R ≈ 13 THz
Vláknové zesilovače, zapojení
strana 45
Křížová fázová modulace XPM
dva svazky se vzájemně fázově ovlivňují :
PNL = 4 χ (3) E
3
E (t ) = Re{E (ω1 )e iω1t } + Re{E (ω 2 )e iω2t }
[
]
PNL (ω1 ) = χ (3) 3 E (ω1 ) + 6 E (ω 2 ) E (ω1 ) ← XPM
2
2
protože PNL (ω1 ) = ε 0 ∆χE (ω1 ) = 2ε 0 n∆nE (ω1 )
kde změna indexu lomu prvního svazku je ∆n = n 2 (I 1 + 2 I 2 )
a druhého svazku je ∆n = n2 (2 I 1 + I 2 )
a dále
E (ω1 )
E (ω 2 )
3Zχ ( 3 )
n2 =
, I1 =
, I2 =
2η
2η
ε 0n
2
2
V případě tří svazků bude analogicky
změna indexu lomu prvního svazku je ∆n = n2 (I 1 + 2 I 2 + 2 I 3 )
strana 46
Čtyřvlnové směšování FWM
injektujeme do NL prostředí tři svazky
PNL = 4 χ ( 3) E
3
E (t ) = Re{E (ω1 )e iω1t } + Re{E (ω 2 )e iω2t } + Re{E (ω 3 )e iω3t }
PNL bude mít (3 + 3) = 216 harmonických členů
3
o frekvenci n1ω1 + n2ω 2 + n3ω 3 , kde n1 , n2 , n3 = 0,±1,±2,±3
například člen o frekvenci ω 4 = ω1 + ω 2 − ω 3
bude mít amplitudu PNL (ω 4 ) = 6 χ ( 3) E (ω1 ) E (ω 2 ) E * (ω 3 )
frekvenčně a fázově synchronizační podmínka :
ω1 + ω 2 = ω 3 + ω 4
k1 + k 2 = k 3 + k 4
Bude - li PMC splněna, bude se generovat nejen vlna ω 4 ,
ale i všechny tři zbývající, protože stejná PMC podmínka platí např. pro proces
PNL (ω1 ) = 6 χ (3) E (ω 3 ) E (ω 4 ) E * (ω 2 )
proto název čtyřvlnové směšování
Interakce 4 fotonů
strana 47
Třívlnové (čtyřfotonové) směšování
Speciální degenerovaný případ FWM ω 3 = ω 4 = ω 0
PNL (ω1 ) = 3χ (3) E 2 (ω 3 ) E * (ω 2 )
PNL (ω 2 ) = 3χ (3) E 2 (ω 3 ) E * (ω1 )
PNL (ω 3 ) = 6 χ ( 3) E (ω1 ) E (ω 2 ) E * (ω 3 )
3 vlny, ale pořád interagují 4 fotony!
často se využívá např. jako OFC (frekvenční konvertor),
OPA (parametrický zesilovač), OPO (parametrický oscilátor)
nebo SPDC (spontánní parametrický downkonvertor)
nepotřebuje χ ( 2) , běží i v optickém vlákně
OPA (parametrický zesilovač) :
ω1 signál
ω 2 jalový mód
ω 0 = ω 3 čerpání
strana 48
Optická fázová konjugace OPC
Degenerované čtyřvlnové směšování DFWM
ω1 = ω 2 = ω 3 = ω 4 = ω
Dále uvažujme protiběžné rovinné čerpací vlny
E3 (r ) = A3 e −ik 3 ⋅r , E 4 (r ) = A4 e −ik 4 ⋅r , kde k 4 = −k 3
obyčejné zrcadlo
fázově konjugující
Ze vstupního signálu E1 se bude díky DFWM generovat
fázově sdružená vlna E 2 (r ) ∝ A3 A4 E1* (r )
Fázový konjugátor je zvláštní zrcadlo,
které odráží signální vlnu zpět beze změny vlnoplochy!
rovinná vlna : E1 (r ) = Ae −ik ⋅r → E 2 (r ) ∝ E1* (r ) = Ae +ik ⋅r
1
1
sférická vlna : E1 (r ) = e −ikr → E 2 (r ) ∝ E1* (r ) = e ikr
r
r
Fázová konjugace = časová reverze
E 2 (r, t ) = Re{E 2 (r )e iωt } ∝ Re{E1* (r )e iωt }
současně ale
Re{E1* (r )e iωt } = Re{E1 (r )e -iωt }
tedy
E 2 (r, t ) ∝ E 1 (r,−t )!
Fázově konjugující zrcadlo
může odrážet i více než 100 %
strana 49
Fázově konjugující zrcadlo PCM
strana 50
DFWM jako holografie v reálném čase
Princip holografie :
předmětová vlna E1 interferuje s referenční vlnou E3
záznam E1 E3* + E1* E3 na fotoemulzi se prosvítí rekonstrukční vlnou E 4 ,
a pak se pozoruje obraz předmětu E 2 ∝ E1 E3* E 4 nebo
jeho sdružený (konjugovaný) obraz E 2 ∝ E1* E3 E 4
Totéž může probíhat v reálném čase v nelineárním prostředí (DFWM)
dvě vlny spolu interferují, tak vytvářejí optickou mřížku,
na níž se třetí vlna ohýbá a generuje vlnu čtvrtou.
transmisní mřížka 4 2
reflexní mřížka 3 2
strana 51
Rekonstrukce vlny pomocí fázové konjugace
strana 52
Vlevo:
obraz kočky po odrazu v normálním zrcadle, před kterým se nachází matné sklo
Vpravo:
obraz kočky po odrazu od fázově konjugujícího zrcadla, před kterým se nachází matné sklo
strana 53
Teorie vázaných vln TWM
Degenerovaný proces SHG
Interakce tří rovinných vln ω 3 = ω1 + ω 2
PNL = 2dE
ω1 = ω 2 = ω a ω3 = 2ω
2
(∇
(∇
Helmholtzova rovnice pro každou složku
(∇
(∇
(∇
)
)E
)E
2
+ k12 E1 = − S1 = −2µ 0ω12 dE3 E 2*
2
+ k 22
2
+ k 32
2
= − S 2 = −2µ 0ω 22 dE3 E1*
3
= − S 3 = −2µ 0ω 32 dE1 E 2
TWM kolineární konfigurace
3 rovinné vlny ve směru z
− ik q z
= 2ηhω q a q e
+ k12 E1 = − S1 = −2µ 0ω12 dE3 E1*
2
+ k 32
3
= − S 3 = − µ 0ω 32 dE1 E1
da1
= −iga3 a1* e −i∆kz
dz
da3
g
= −i a12 e i∆kz
dz
2
kde ∆k = k 3 − 2k1 a g 2 = 4η 3 hω 3 d 2
rovnice vzájemně provázány přes nelinearitu
E q = Aq e
)
)E
2
− ik q z
význam a q (amplituda fotonového toku), neboť
Iq =
φ=
Eq
2
=
2η
Iq
hω q
Aq
2η
= aq
2
= hω q a q
2
2
Aproximace pomalu se měnící obálky Aq (z )
(∇
2
)
+ k q2 Aq e
− ik q z
≈ −2ik q
dAq
dz
e
− ik q z
da1
dz
da 2
dz
da 3
dz
kde
= −iga3 a 2* e −i∆kz
= −iga1 a 2 e i∆kz
∆k = k 3 − k1 − k 2 a g 2 = 2η 3 hω1ω 2ω 3 d 2
strana 54
Integrály pohybu
da1
= −iga3 a 2* e −i∆kz
dz
da 2
dz
da 3
= −iga1 a 2 e i∆kz
dz
Odtud snadno ukážeme, že platí
(1)
Degenerovaný proces SHG
Platí ZZE
d
(I1 + I 3 ) = d hω1 a1 2 + hω 3 a3
dz
dz
neboli
(
(
)
d
(I1 + I 2 + I 3 ) = d hω1 a1 2 + hω 2 a 2 2 + hω3 a3 2 = 0
dz
dz
neboli (I 1 + I 2 + I 3 ) = konst ← zákon zachování energie
2
)= 0
I 1 + I 3 = konst ← zákon zachování energie ZZE
nebo také
a1 + 2 a3
2
2
= konst
(2)
d
d
2
a1 =
a2
dz
dz
2
=−
a tedy, že a1 − a 2
2
a 2 + a3
2
2
2
d
a3
dz
2
← Manley - Roweovy relace
= konst, a1 + a3
2
2
= konst a
= konst jsou invarianty procesu
Pokud je disperze
g 2 = 2η1η 2η 3 hω1ω 2ω 3 d 2
místo
g 2 ≈ 2η 3 hω1ω 2ω 3 d 2
strana 55
Citlivost TWM procesu na fázi :
Pro a1 = r1e iϕ1 , a 2 = r2 e iϕ 2 a a3 = r3 e iϕ3
odtud dostaneme reálné rovnice
rr
dr1
dϕ 1
= gr2 r3 sin θ ,
= − g 2 3 cos θ
dz
dz
r1
dr2
= gr1 r3 sin θ ,
dz
rr
dϕ 2
= − g 1 3 cos θ
dz
r2
dr3
= − gr1 r2 sin θ ,
dz
dϕ 3
rr
= − g 1 2 cos θ
dz
r3
kde θ = ϕ 3 − ϕ1 − ϕ 2
tedy
pro sinθ > 0 probíhá frekvenční konverze dolů ω 3 → ω1 + ω 2
pro sinθ < 0 probíhá frekvenční konverze nahoru ω1 + ω 2 → ω 3
 rr
 1 dr3 1 dr1 1 dr2  cos θ
r r rr 
dθ

= g  − 1 2 + 2 3 + 1 3  cos θ = 
+
+
r
r
r
r
z
r
z
r
d
z
dz
d
d
3
1
2 
1
2

 3
 sin θ
d
neboli ln(r1 r2 r3 cos θ ) = 0
dz
Platí zákony zachování :
r12 + r32 = konst, r22 + r32 = konst, r1r2 r3 cos θ = konst
Pro θ = ±π / 2 nebo rk = 0 bude θ = konst a řešení se výrazně zjednoduší, vede na Jacobiho eliptické funkce,
např. pro r3 (0 ) = 0 :
dr3
2
2
= gr1 r2 = g r1 (0 ) − r32 r2 (0 ) − r32 → r3 = r2 (0 ) sn k gzr1 (0), kde k = r2 (0) / r1 (0 ) < 1
dz
strana 56
A Generace druhé harmonické SHG
da1
dz
da 3
g
= −i a12 e i∆kz
dz
2
kde ∆k = k 3 − 2k1 a g 2 = 4η 3 hω 3 d 2
pro dokonalé sladění ∆k = 0
da1
= −iga3 a1*
dz
da 3
g
= −i a12
dz
2
navíc platí a1 + 2 a3
2
2
= konst
řešení
ga1 (0)z
2
a (0 )
ga (0 )z
a3 ( z ) = −i 1 tgh 1
2
2
řešení
ga (0 )z
γz
φ1 (z ) = a12 (0) sech 2 1
= a12 (0) sech 2
2
2
a12 (0)
a12 (0 )
γz
2 ga1 (0 )z
tgh
=
tgh 2
φ3 (z ) =
2
2
2
2
a1 ( z ) = a1 (0 )sech
strana 57
Odvození řešení SHG pro dokonalé sladění ∆k = 0 a a 3 (0 ) = 0
da1
= −iga3 a1*
dz
da 3
g
= −i a12
dz
2
navíc platí a1 + 2 a3
2
2
= konst,
předpokládejme a1 = α
a a3 = −iβ , kde α , β jsou reálná, pak
dα
= − gβα
dz
dβ g 2 g
1

2
2
= α = a1 (0 ) − 2 β 2 = g  a1 (0 ) − β 2 
dz 2
2
2

(
navíc platí α 2 + 2 β 2 = a1 (0 )
)
2
separace proměnných dává :
β
z
dβ
=
∫0 1 2 2 ∫0 gdz
a1 (0) − β
2
β
1
argtgh
= gz
1
1
a1 (0 )
a1 (0 )
2
2
ga (0 )z
1
takže β =
a1 (0 )tgh 1
a odtud
2
2
ga (0 )z
1
a3 = −iβ = −i
a1 (0 )tgh 1
2
2
a1 = a1 (0 ) − 2 β 2 = a1 (0 ) 1 − tgh 2
2
ga1 (0 )z
2
= a1 (0 )sech
ga1 (0 )z
2
strana 58
Účinnost SHG
η SHG =
I 3 (L ) hω 3φ3 (L ) 2φ3 (L )
ga (0 )L
=
=
= tgh 2 1
→1
I1 (0) hω1φ1 (0 )
φ1 (0 )
2
2
g 2 a1 (0 ) L2
3 2 2 2
3 2 2 L
= 2η ω d L I 1 (0 ) = 2η ω d
P << 1
η SHG ≈
2
A
velká účinnost :
* pulzní lasery P
2
* optimalizace poměru L2 / A → například optická vlákna nebo planární vlnovody
typické parametry : L = 1cm, A = 10 µm × 10µm, P = 3W, I = 3MW/cm 2 → η SHG ≈ 10 %
Fázové rozladění u SHG
pro fázové rozladění ∆k ≠ 0 malá účinnost
a1 ≈ a1 (0 ) = konst
da 3
g
= −i a12 e i∆kz
dz
2
odtud
L
(
)
g
g 2
a3 (L ) = −i a12 (0 )∫ e i∆kz dz = −
a1 (0 ) e i∆kL − 1
2
2∆k
0
účinnost konverze
2
I 3 (L ) 2φ3 (L ) 2 g 2 2
g 2 L2 2
2 ∆kL
2 ∆kL
3 2 2 L
2 ∆kL
(
)
(
)
=
≈
a
0
sin
≈
a
0
sinc
≈
2
d
P
sinc
η SHG =
η
ω
1
1
φ1 (0 ) ∆k 2
I1 (0 )
2
2
2π
A
2π
∆kL
L
liší se opět o faktor sinc 2
= sinc 2
2π
Lc
strana 59
Maker et el.: Phys.Rev.Lett. 8 (1962) 21
Otáčeli křemenným krystalem a pozorovali druhou harmonickou v závislosti na natočení
U křemene nelze splnit synchronizační podmínku (disperze silnější než anizotropie)
no(690 nm)=1.541, ne(690 nm)=1.550
no(345 nm)=1.565, ne(345 nm)=1.575
Silná závislost I2 na interakční délce L/cosθ a tedy na θ.
účinnost konverze
I 3 (L ) 2 g 2 2
2 ∆kL
(
)
≈
a
0
sin
η SHG (θ ) =
1
I1 (0 ) ∆k 2
2 cos θ
kde ∆k ≈ konst
strana 60
Stabilita SHG
Inverzní proces: 2ω
ω+ω
generace 2. subharmonické
degenerovaný parametrický zesilovač
Pro a1 (0) = 0 bude řešení SHG konstantní a1 = 0 a a3 = a3 (0),
ale nestabilní! Díky šumu je vždy a1 (0 ) ≠ 0,
a proto pro silné a3 ≈ a3 (0) dostaneme
da1
da1*
*
= −iga3 (0)a1 ,
= iga3* (0)a1
dz
dz
d 2 a1
2
2
=
g
a
0
a1 = γ 2 a1
(
)
3
2
dz
kde γ = g a3 (0) , odtud řešení
a1 = a1 (0) cosh γz − ie iθ a1* (0)sinh γz ,
φ1 (θ )
kde θ = arg a3 (0),
takže řešení exponenciálně rychle roste
a brzy přestane platit počáteční předpoklad a3 ≈ a3 (0 )
θ
π
π
Fázově citlivý zesilovač
π
−π −
0
Pro fotonový tok platí
2
2
φ1 = φ1 (0)(cosh 2γz + sinh 2γz sin θ ) ← fázově citlivý zesilovač = výstupní výkon závisí na fázi signálu φ1 (θ )
např. pro θ = ±π / 2 bude φ1 = φ1 (0)(cosh 2γz ± sinh 2γz ) = φ1 (0 ) exp(± 2γz )
strana 61
B Optická frekvenční konverze OFC
ω1 → ω 3 , ω 2 čerpání, a 2 ≈ a 2 (0 ) = konst
ω 3 = ω1 + ω 2 , ∆k = 0
da1
γ
= −i a3
dz
2
da 3
γ
= −i a1
dz
2
kde γ = 2 ga 2 (0 ) je reálná konstanta
Řešení :
a1 ( z ) = a1 (0 ) cos
γz
2
a3 ( z ) = −ia1 (0 )sin
γz
2
a fotonové toky :
φ1 ( z ) = φ1 (0 ) cos 2
γz
2
γz
φ3 ( z ) = φ1 (0) sin 2
2
účinnost konverze
I (L ) ω 3
γL
=
sin 2
>1
η OFC = 3
I1 (0 ) ω1
2
Optimální účinnost konverze ω1 → ω 3 pro L =
π
γ
pro γL << 1
η OFC
2
ω 3 γ 2 L2
3 2 2
2
3 2 2 L
≈
= 2η ω 3 d I 2 (0)L = 2η ω 3 d
P2
A
ω1 4
neboť g 2 = 2η 3 hω1ω 2ω 3 d 2
strana 62
V případě rozladění ∆k ≠ 0 se řešení pozmění na

γ2
2 gz 
,
sin
φ1 (z ) = φ1 (0 )1 − 2
2
2
k
+
∆
γ


γ2
2 gz
sin
,
φ3 ( z ) = φ1 (0 ) 2
2
γ + ∆k 2
kde g 2 = γ 2 + ∆k 2 ,
účinnost konverze je proto o faktor γ 2 / g 2 ≈ γ 2 / ∆k 2 menší
φ3 (z )
φ1 (0)
Fázové rozladění u OFC
∆k = 0
∆k = γ
∆k = 4γ
strana 63
C Optický parametrický zesilovač OPA
ω 3 → ω1 , ω 2 , ω 3 čerpání, a3 ≈ a3 (0 ) = konst
ω 3 = ω1 + ω 2 , ∆k = 0
da1
γ *
= −i a 2
dz
2
da 2
γ
= −i a1*
dz
2
kde γ = 2 ga3 (0) je reálná konstanta
Řešení obecně :
a1 (z ) = a1 (0) cosh
γz
− ia 2* (0 )sinh
γz
← signál
2
2
γz
γz
a 2 (z ) = a 2 (0 ) cosh − ia1* (0)sinh ← jalový mód
2
2
Pro a 2 (0) = 0 vyjdou fotonové toky :
φ1 ( z ) = φ1 (0 ) cosh 2
γz
1
≈ φ1 (0)e γz
2 4
γz 1
φ 2 (z ) = φ1 (0)sinh 2 ≈ φ1 (0)e γz
2 4
zisk konverze
I (L )
γL 1 γL
GOPA = 1
= cosh 2
≈ e , kde γ = 2 ga3 (0) = 8η 3ω1ω 2 d 2 I 3 (0)
I1 (0)
2 4
strana 64
Optický parametrický oscilátor OPO
dvojitý rezonátor
jednoduchý rezonátor
Parametrický oscilátor dostaneme z OPA zavedením zpětné vazby
pro signálovou nebo jalovou vlnu SRO nebo pro obě současně DRO
Musí být splněny synchronizační podmínky :
ω 3 = ω1 + ω 2 , n3ω 3 = n1ω1 + n2ω 2
navíc ω1 , ω 2 musí být rezonančními frekvencemi rezonátoru
a zisk musí převyšovat ztráty v rezonátoru
předpokládejme stejná zrcadla R1 a R1 a délka nelineárního média L
SRO prahová podmínka :
a1 (L )R1 = a1 (0)
R1 cosh
γL
= 1 → pro malá γL → R1 ≈ 1 −
γ 2 L2
a protože γ = 2 2η 3ω1ω 2 d 2 I 3 (0 )
2
8
P
1 − R1
I 3 (0) ≈ 3 ≈ 3
, kde R1 ≈ 1 značí odrazivost zrcadla rezonátoru
A η ω1ω 2 d 2 L2
strana 65
DRO prahová podmínka :
a1 (L )R1 = a1 (0) a a 2 (L )R2 = a 2 (0 )
dává
γL
γL 

R1 a1 (L ) = R1  a1 (0 ) cosh − ia 2* (0 )sinh  = a1 (0)
2
2

γL
γL 

R2 a 2 (L ) = R2  − ia1* (0 )sinh + a 2 (0) cosh  = a 2 (0 )
2
2

to dává pro malá γL soustavu rovnic
1 − R1
γL
a1 (0 ) = −ia 2* (0 )
2
R1
- ia1* (0 )
γL
2
=
1 − R2
a 2 (0 )
R2
odtud podělením dostaneme v absolutních hodnotách podmínku
1 − R1
γL
-i
R1
2
=
γL
1 − R2
i
2
R2
neboli
1 − R1 1 − R2 γ 2 L2
=
= 2η 3ω1ω 2 d 2 I 3 (0 )L2
R1
R2
4
I 3 (0 ) =
P3
1 − R1 1 − R2 (1 − R1 )(1 − R2 )
1
= 3
≈
← prahová podmínka
A 2η ω1ω 2 d 2 L2 R1
R2
2η 3ω1ω 2 d 2 L2
strana 66
Teorie vázaných vln FWM
A. Čtyřvlnové směšování FWM
Interakce tří rovinných vln ω 3 + ω 4 = ω1 + ω 2
PNL = 4 χ ( 3) E
3
Helmholtzova rovnice pro každou složku
(∇
(∇
(∇
(∇
)
)E
)E
)E
2
+ k12 E1 = − S1 = − µ 0ω12 χ ( 3) {6 E3 E 4 E 2* + 3E1 ( E1 + 2 E 2 + 2 E3 + 2 E 4 )}
2
+ k 22
2
2
+ k 32
+ k 42
2
2
2
2
2
= − S 2 = − µ 0ω 22 χ ( 3) {6 E3 E 4 E1* + 3E 2 (2 E1 + E 2 + 2 E3 + 2 E 4 )}
3
= − S 3 = − µ 0ω 32 χ (3) {6 E1 E 2 E 4* + 3E3 (2 E1 + 2 E 2 + E3 + 2 E 4 )}
4
= − S 4 = − µ 0ω 42 χ ( 3) {6 E1 E 2 E3* + 3E 4 (2 E1 + 2 E 2 + 2 E3 + E 4 )}
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
rovnice vzájemně provázány přes nelinearitu
S1 = S1 + k12 ∆χ 1 E1
S1 = µ 0ω12 χ (3) 6 E3 E 4 E 2* → FWM
∆χ 1 = 2n∆n1 =
6η
ε
χ (3) ( I 1 + 2 I 2 + 2 I 3 + 2 I 4 ) → optický Kerrův jev
∆χ 1 3η (3)
χ ( I 1 + 2 I 2 + 2 I 3 + 2 I 4 ) = n2 ( I1 + 2 I 2 + 2I 3 + 2 I 4 )
=
2n
nε
3η (3)
n2 =
χ
nε
∆n1 =
strana 67
B. Částečně degenerované čtyřvlnové směšování TWM
ω3 = ω 4 = ω0
(∇
(∇
(∇
)
)E
)E
2
+ k12 E1 = − S1 = − µ 0ω12 χ ( 3) {3E 02 E 2* + 3E1 ( E1 + 2 E 2 + 2 E 0 )}
2
+ k 22
2
+ k 02
2
2
2
2
= − S 2 = − µ 0ω 22 χ ( 3) {3E 02 E1* + 3E 2 (2 E1 + E 2 + 2 E0 )}
0
= − S 0 = − µ 0ω 32 χ ( 3) {6 E1 E 2 E 0* + 3E3 (2 E1 + 2 E 2 + E 0 )}
2
2
2
2
2
2
Aproximace pomalu se měnící obálky pro ω 0 ≈ ω1 ≈ ω 2
Pro rezonanci ∆k = 0 vyjde řešení
(Teich, Saleh mají řešení 21.5.20 špatně!)
i
a1 ( z ) = a1 (0 ) cos γ 3 z −
a 2* (0 ) + 2a1 (0 ) sin γ 3 z
3
i
a 2 (z ) = a 2 (0 ) cos γ 3 z −
a1* (0 ) + 2a 2 (0 ) sin γ 3 z
3
da1
2
2
2
= −ig{a 02 a 2* e −i∆kz + a1 ( a1 + 2 a 2 + 2 a 0 )}
dz
da 2
2
2
2
= −ig{a 02 a1* e −i∆kz + a 2 (2 a1 + a 2 + 2 a 0 )}
dz
da 0
2
2
2
= −ig{2a 0* a1 a 2 e i∆kz + a 0 (2 a1 + 2 a 2 + a 0 )}
dz
kde ∆k = 2k 0 − k1 − k 2 a g = hω 0 k 0 nn2 = 3hω 02η 2 χ ( 3) a n 2 =
pro silné čerpání a 0 ≈ a 0 (0 ) = konst
da1
= −iγ (a 2* e −i∆kz + 2a1 )
dz
da 2
= −iγ (a1* e −i∆kz + 2a 2 )
dz
kde γ = g a 0 .
2
(
)
a (z ) = (a (0 ) cosh γz − ia (0 )sinh γz )e
a1 (z ) = a1 (0 ) cosh γz − ia 2* (0 )sinh γz e −2iγz
2
*
1
)
(
)
3η ( 3)
χ
nε
Pro rezonanci ∆k = 4γ vyjde
2
(
− 2 iγz
Pro rezonanci ∆k = 2γ vyjde
(
)
a ( z ) = (a (0 )(1 − iγz ) - iγza (0 ))e
a1 (z ) = a1 (0 )(1 − iγz ) - iγza 2* (0 ) e −iγz
2
2
*
1
− iγz
strana 68
C. Optická fázová konjugace OPC
DFWM : ω 1 = ω 2 = ω 3 = ω 4 = ω a silné čerpání I ≈ I 3 + I 4
(∇
(∇
)
)E
2
+ k 2 E1 = −ξE 2*
2
+ k2
2
= −ξE1*
kde ξ = 6µ 0ω 2 χ (3) E3 E 4 = 6 µ 0ω 2 χ (3) A3 A4 a k =
nω
a n ≈ n + n 2 I ≈ n + n 2 (I 3 + I 4 )
c0
Uvažujme vstřícnou konfiguraci signálové a jalové vlny
E1 = A1e −ikz a E 2 = A2 e +ikz a E3 = A3 e −ik ' z a E 4 = A4 e +ik ' z
dokonalé sladění k1 + k 2 = k 3 + k 4 a pomalu se měnící obálku
dA1
= −iγA2*
dz
dA2
= +iγA1* ← zde opačné znaménko!
dz
3η 0ωχ (3)
ξ 3µ 0 ω 2 χ ( 3 )
( 3)
=
kde γ =
A3 A4 = 3ηωχ A3 A4 =
A3 A4
2k
k
n
pro A1 (− L ) = A a A2 (0 ) = 0 je řešení :
A1 (z ) =
A
cos γz
cos γL
A*
A2 ( z ) = i
sin γz
cos γL
odražená vlna AR = A2 (− L ) = −iA* tan γL ← konjugovaná vlna pro γL > π / 4 zesílená vlna
prošlá vlna AT = A1 (0 ) =
A
> A ← zesílená vlna, pro γL = π / 2 → máme oscilátor
cos γL
strana 69
Pokud ponecháme Kerrovské členy
dA1
= −iγ ( A2* + 2 A1 )
dz
dA2
= +iγ ( A1* + 2 A2 )
dz
pro A1 (− L ) = A a A2 (0 ) = 0 bude řešení jen fázově posunuto :
cos γz
exp(− 2iγ (L + z ))
cos γL
sin γz
A2 ( z ) = iA
exp(2iγ (L + z ))
cos γL
A1 ( z ) = A
strana 70
D. Generace třetí harmonické THG
ω1 = ω 2 = ω 3 = ω a ω 4 = 3ω
S1 = µ 0ω12 χ ( 3) {3E 4 E1*2 + 3E1 ( E1 + 2 E 4 )}
2
2
S 4 = µ 0ω χ {E + 3E 4 (2 E1 + E 4 )}
2
4
(3)
3
1
2
2
pro silné a1 = a1 (0) → THG
→ problém se synchronizací, malá účinnost
da 4
≈ −iga13 e i∆kz
dz
3η 4 2 2 (3)
kde ∆k = k 4 − 3k1 a g = h
η 4 ω4 χ
4η1
fázově synchronizační podmínka :
n(3ω ) = n(ω ) →
kombinace normální a anomální disperze
vhodné směsi dvou plynů,
směs Xe a Rb, účinnost až 10 %,
strana 71
Anizotropní nelineární prostředí
( 3)
Pi = ε 0 ∑ χ ij E j + 2∑ d ijk E j E k + 4∑ χ ijkl
E j E k E l + ... ← Taylorův rozvoj
j
jk
jkl
( 3)
( 3)
( 3)
tenzory χ ij = χ ji , d ijk = d ikj , χ ijkl
= χ iklj
= χ iljk
← permutační symetrie posledních indexů
Stažená notace : d ijk ≡ d iJ
záměna dvojice indexů jk = 11,22,33,23,31,12 za jeden index J = 1,2,3,4,5,6
například d 25 = d 231 = d 213
( 3)
( 3)
podobně χ ijkl
= χ IK
tj. 6 × 6 indexů IK
jen 2 parametry!
strana 72
strana 73
TWM v anizotropní nelineárním prostředí
Pi (ω 3 ) = 2∑ d ijk E j (ω1 )E k (ω 2 )
jk
Alternativně ve stažené notaci:
Efektivní hodnota d
protože E j (ω1 ) = E (ω1 ) cos θ1 j a E k (ω 2 ) = E (ω 2 ) cos θ 2 k
Pi (ω 3 ) = 2 E (ω1 )E (ω 2 )∑ d ijk cos θ1 j cos θ 2 k
jk
ke generaci ω 3 přispívá jen příčná složka P⊥ polarizace P kolmá na k 3
P⊥ (ω 3 ) = ∑ Pi (ω 3 )sin θ 3i = 2d eff E (ω1 )E (ω 2 )
i
kde d eff = ∑ d ijk sin θ 3i cos θ1 j cos θ 2 k
ijk
strana 74
Kolineární TWM typu I v krystalu KDP o+o e
o.o.
Obecná geometrie
o.o.
Geometrie s maximálním deff
strana 75
Disperzní nelineární prostředí
Disperze je důsledek setrvačnosti optického prostředí
Omezíme se opět na izotropní prostředí
lineární odezva
t
∞
−∞
0
P (t ) = ε 0 ∫ χ (t − t ')E (t' )dt ' = ε 0 ∫ χ (t ')E (t − t' )dt ' ← konvoluce
kde ε 0 χ (t ≥ 0) značí impulzní odezvovou funkci
podobně nelineární odezva
P (t ) = ε 0
t
∫
t
(2)
χ
∫ (t − t ' , t − t ' ')E (t' )E (t' ')dt ' dt ' '
− ∞− ∞
kde ε 0 χ ( 2) (t ' ≥ 0, t ' ' ≥ 0) značí impulzní odezvovou funkci
Protože E (t ) = Re{E (ω )e iωt } a P (t ) = Re{P (ω )e iωt },
platí
P (ω ) = ε 0 χ (ω )E (ω ),
∞
χ (ω ) = ∫ χ (t ')e -iωt ' dt ' = FT(χ (t ))
kde
−∞
podobně pro SFG platí
kde χ
P (ω 3 ) = ε 0 χ ( 2 ) (ω1 , ω 2 )E (ω1 ) E (ω 2 ) = 2d (ω 3 ; ω1 , ω 2 )E (ω1 ) E (ω 2 )
∞
( 2)
(ω1 , ω 2 ) = ∫ χ ( 2) (t ' , t ' ')e -i(ω t '+ω t '')dt ' dt ' ' = FT2 (χ ( 2) (t ' , t ' '))
1
2
−∞
1
ε 0 χ ( 2 ) (ω , ω )E (ω ) E (ω ) = d (2ω ; ω , ω )E (ω ) E (ω )
2
pro elektrooptický jev platí podobně P(ω ) = 2ε 0 χ ( 2) (ω ,0)E (ω ) E (0) = 4d (ω; ω ,0)E (ω ) E (0)
pro SHG platí
P (2ω ) =
1
ε 0 χ ( 2) (ω ,−ω )E (ω ) E (ω )* = d (ω ; ω ,0 )E (ω ) E (ω ) *
2
Není - li setrvačnost P (t ) = ε 0 χ 0 E (t ), bude χ (t − t ') = χ 0δ (t − t ') a χ (ω ) = χ 0 = konst
optická rektifikace
P(ω ) =
strana 76
Lorentzův model nelineární disperze :
d 2P
dP
+
+ ω 02P + ω 02 ε 0 χ 0 bP 2 = ω 02 ε 0 χ 0 E
σ
2
dt
dt
d 2P
dP
+
+ ω 02P = ω 02 ε 0 χ 0 E -bP 2
σ
2
dt
dt
parametr nelinearity b
(
lineární odezva pro b = 0 je
)
ω 02
P (ω )
= χ0 2
χ (ω ) =
ε 0E (ω )
ω 0 − ω 2 + iωσ
nelineární odezva pro malá b iteračně, na pravé straně nahradíme E → E -bP
E -bP
2
2
= Re{E (ω )e iωt } − b Re 2 {ε 0 χ (ω )E (ω )e iωt }
1
1
2
2
2
2
= Re{E (ω )e iωt } − b Re{ε 0 χ (ω ) E (ω ) e i2ωt } − b ε 0 χ (ω )E (ω )
2
2
tyto členy mají postupně frekvence ω ,2ω ,0
1
2
2
2
odtud např. disperze nelineární polarizace PNL (2ω ) = −ε 0 χ (2ω ) bε 0 χ (ω ) E (ω )
2
1
3
2
d (2ω ; ω , ω ) = − bε 0 χ (ω ) χ (2ω )
2
podobně platí Millerovo pravidlo
1
3
d (ω 3 ; ω1 , ω 2 ) = − bε 0 χ (ω1 )χ (ω 2 )χ (ω 3 )
2
pro efektivní konverzi (propustné prostředí) musí ležet všechny tři frekvence ω1 , ω 2 , ω 3 ≠ ω 0
mimo rezonanci ω 0 . Bude - li navíc ω1 , ω 2 , ω 3 hluboko pod rezonančním kmitočtem ω 0 ,
1
3
3
bude χ (ω ) ≈ χ 0 a d (ω 3 ; ω1 , ω 2 ) ≈ − bε 0 χ 0
2
strana 77
Anizotropní + disperzní prostředí
Pi (ω ) = ε 0 ∑ χ ij (ω )E j (ω ) ← lineární polarizace
j
Pi (ω 3 ) = 2∑ d ijk (ω 3 ; ω1 , ω 2 )E j (ω1 )E k (ω 2 ) ← kvadratická polarizace
jk
( 3)
(ω 4 ; ω1 , ω 2 , ω3 )E j (ω1 )E k (ω 2 )El (ω3 ) ← kubická polarizace
Pi (ω 4 ) = 6∑ χ ijkl
jkl
strana 78
( 3)
Obecné symetrie d ijk a χ ijkl
reálné veličiny E a P :
Ei* (ω ) = E i (− ω ), Pi* (ω ) = Pi (− ω )
χ ij* (ω ) = χ ij (− ω )
*
(ω 3 ; ω1 , ω 2 ) = d ijk (− ω3 ;−ω1 ,−ω 2 )
d ijk
vnitřně permutační symetrie :
d ijk (ω 3 ; ω1 , ω 2 ) = d ikj (ω 3 ; ω 2 , ω1 ) ← komutace j , k a ω1 , ω 2
d ijk (ω 3 ; ω1 , ω 2 ) = d *jki (ω1 ;−ω 2 , ω 3 ) ← cyklická záměna i, j, k a ω1 , ω 2 , ω 3
( 3)
( 3)
(ω 4 ; ω1 , ω 2 , ω3 ) = χ ijlk
(ω 4 ; ω1 , ω3 , ω 2 )
χ ijkl
( 3)
( 3)
( 3)
(ω 4 ; ω1 , ω 2 , ω3 ) = χ (jkli3) (ω1 ;−ω 2 ,−ω 3 , ω 4 ) = χ klij
(ω 2 ;−ω 3 , ω 4 ,−ω1 ) = χ lijk
(ω 3 ; ω 4 ,−ω1 ,−ω 2 )
χ ijkl
bezztrátová prostředí :
d ijk , χ ij reálné veličiny proto
d ijk (ω 3 ; ω1 , ω 2 ) = d jki (ω1 ;−ω 2 , ω 3 ) = d kij (ω 2 ; ω 3 ,−ω1 )
bezdisperzní prostředí :
Kleinmanovy symetrie d ijk = d jki = d kij = d ikj = d kji = d jki
prostředí s centrální symetrií :
d ijk = 0
strana 79
Kvantově-optický formalismus
Hermitovský Hamiltonián H = f (a, a + )
anihilační a kreační operátor [a,a + ] = 1
H = hcg (a1 a 2 a3+ + a1+ a 2+ a3 ) ← TWM
Heisenbergova pohybová rovnice (plyne ze Schroedingerovy rovnice)
iha&1 = [a1 , H ] = hgca 2+ a3
iha& 2 = [a 2 , H ] = hgca1+ a3
iha& 3 = [a3 , H ] = hgca1 a 2
hω1
hω 3
tedy pro TWM
da1 da1 1
=
= a&1 = −iga 2+ a3
dz
cdt c
da 2
= −iga1+ a 3
dz
da 3
= −iga1 a 2
dz
Podobně pro SHG
hω 2
1
H = hcg (a12 a3+ + a1+ 2 a 3 ) ← SHG
2
Heisenbergova pohybová rovnice :
da1
= −iga1+ a3
dz
da 3
1
= − iga12
dz
2
hω1
hω 3
hω 2
strana 80
Stlačené světlo
Degenerovaný parametrický zesilovač
(SHG pro ω1 = ω 2 a silné čerpání a3 ≈ iβ ),
šumová elipsa
pak bude
da1
da
= gβa1+ nebo
= gβ a +
dz
dz
a řešení a( z ) = a cosh gβz + a + sinh gβ z
Odtud kvadratury (homodynní detekce)
koherentní stav
α
Y
stlačený stav
chaotický stav
X ( z ) = a( z ) + a + ( z ) = X exp( gβz )
a(z ) − a + (z )
Y (z ) =
= Y exp(− gβz )
i
∆2 X (z ) = ∆2 X exp(2 gβz )
X
vakuum
∆2Y ( z ) = ∆2Y exp(− 2 gβz ) ≤ 1 → stlačený stav
∆2 X (z ) ∆2Y ( z ) = ∆2 X ∆2Y = 1 → TCS
Pro koherentní stav α je a α = α α , a proto ∆2 X = ∆2Y = 1, např.
∆2 X = X 2 − X
2
= a 2 + a + 2 + aa + + a + a − a + a +
2
= α 2 + α *2 + α + 1 + α
2
2
− α +α *
2
=1
také pro vakuum ∆2 X = 1
pro Fockův stav n je ∆2 X = 1 + 2n
pro termální chaotický stav s n je ∆2 X = 1 + 2 n
strana 81
Homodynní detekce
iθ
Signál a směšujeme s lokálním oscilátorem β e stejné frekvence
A1, 2 = Ta ± Rβe
iθ
(
iθ
I 1, 2 = A1+, 2 A1, 2 = T 2 a + a + R 2 β ± RTβ ae - + a + e
2
iθ
)
homodynní
detekce
diferenciální zesilovač měří rozdíl fotoproudů
(
I = I 1 − I 2 = 2 RTβ ae
-iθ
+
+a e
iθ
) = 2RTβ X (θ )
lokální oscilátor
signál
výstup 1
kde X (θ ) = ae - + a + e značí obecnou kvadraturu,
iθ
iθ
která dá pro θ = 0 in - phase kvadraturu X = a + a +
a − a+
a pro θ = π / 2 dá out - of - phase kvadraturu Y = −ia + ia =
i
Pro žádný vstup (vakuum) a = 0 je
+
∆2 I
vac
= 4 R 2T 2 β 2 ∆ 2 X (θ )
vac
výstup 2
= 4 R 2T 2 β 2
zatímco pro stlačené světlo je
∆2 I = 4 R 2T 2 β 2 ∆2 X (θ ) < ∆2 I
vac
strana 82
Parametrické procesy:
Virtuální hladiny, k popisu stačí reálné susceptibility, platí zákony zachování
Generace druhé a vyšší harmonické, optická konverze, parametrický proces,
automodulace fáze, samofokuzace,
koherentní anti-Stokesův Ramanův rozptyl (CARS)
Neparametrické procesy:
Skutečné hladiny, komplexní susceptibilita, neplatí zákony zachování,
energie přechází do atomárních systémů
Saturovatelná absorbce, optická bistabilita, dvou a vícefotonová absorbce,
spontánní Ramanův rozptyl
Ramanův rozptyl
strana 83
Ramanův rozptyl (na molekulách)
obvykle organické kapaliny a plyny
Hamiltonián H = hc( ga L a S+ aV+ + κa L a A+ aV + h.c.)
tedy
da L
= −iga S aV − iκa A aV+
dz
typicky :
da S
= −iga L aV+
hωV ≈ hω / 40 až hω / 7
dz
da A
(500 až 3000 cm -1 )
= −iκa L aV
dz
daV
= −γ V aV − iga L a S+ − iκa L+ a A
dz
Nejprve spontánní Ramanův rozptyl (slabý g ≈ 10 −3 cm -1 ) :
silné čerpání a L ≈ konst, ale slabé termální nekoherentní fonony
aV+ ( z1 )aV ( z 2 ) = nV δ ( z1 − z 2 ),
da S
= −iga L aV+
dz
z
ω S , A = ω L m ωV
aV ( z1 )aV+ ( z 2 ) = (1 + nV )δ ( z1 − z 2 )
da A
= −iκa L aV
dz
+
V
a S = −iga L ∫ a ( z1 )dz1
z
a A = −iκa L ∫ aV ( z1 )dz1
0
0
n S = a S a S ≈ g 2 z a L (1 + nV ) ≈ g 2 z a L
+
2
+
2
2
n A = a A a A ≈ κ 2 z a L nV ≈ 0
tedy
nA
1
1
<< 1, protože nV ≈
≈
nS
exp(hωV / kT ) − 1 100
typická konfigurace
strana 84
Spontánní Ramanův rozptyl
Nekoherentní proces
přes rychlostní rovnice
H = hc( ga L a S+ aV+ + κa L a A+ aV + h.c.)
Hamiltonián
frekvenční konvertor
parametrický proces
amplituda pravděpodobnosti procesu ∝ f H i
p∝∑ f H i
2
= i H +H i
f
tedy pravděpodobnost emise S a A fotonu
pro počáteční n S ≈ 0, n A ≈ 0, nV ≈ 0
(1 + n S )(1 + nV ) ≈ g 2 a L 2 (1 + nV )
2
2
≈ κ 2 a L (1 + n A )nV ≈ κ 2 a L nV
PS ∝ g 2 i a L+ a S aV a L a S+ aV+ i ≈ g 2 a L
PA ∝ κ 2 i a L+ a A aV+ a L a A+ aV i
odtud
dn S
2
= g 2 a L (1 + nV ) ≈ g 2 a L
dz
dn A
2
= κ 2 a L nV ≈ 0
dz
nS ≈ g 2 z a L
2
2
2
n A ≈ κ 2 z a L nV ≈ 0
2
strana 85
Aplikace ramanovské spektroskopie
Ramanova spektra virů
chemie, biologie, lékařství,
policie, obrana
Ramanova spektra drog
Ramanovo spektrum TNT
strana 86
Stimulovaný Ramanův rozptyl
Při dostatečně silném čerpání 100 MW/cm 2 se vybudí vibrační mody
→ stimulovaný Ramanův rozptyl (práh)
daV
= −γ V aV − iga L a S+ − iκa L+ a A ≈ 0
dz
aV = −i
odtud adiabatická aproximace :
g
γV
a L a S+ − i
κ +
aL a A
γV
po dosazení za aV a a L ≈ konst
da S
g2
gκ 2 +
= −γ S a S +
a L a L+ a S +
aL a A
dz
γV
γV
da A
gκ 2 +
κ2
= −γ A a A −
a L a L+ a A −
aL aS
dz
γV
γV
Čistě Stokesova interakce κ = 0
a S ( z ) = a S (0 ) exp(−γ S +
g2
γV
2
a L ) z,
práh generace a L
2
>
γ Sγ V
Čistě rotační ekvidistantní spektrum
lineárních molekul CO2 a N2O
g2
Čistě anti - Stokesova interakce g = 0
κ2
2
a A ( z ) = a A (0 ) exp(−γ A −
a L ) z,
γV
kS
jen tlumení!
kA
Koherentní Ramanův rozptyl (CARS)
obecně g ≠ 0 a κ ≠ 0 (parametrický proces),
práh čerpání vzroste! a L
2
n S ( z ) ≈ n A ( z ) ≈ n L (z ) → I S ( z ) ≈ I A ( z ) ≈ I L ( z )
kL
γ S γ Aγ V
γ Sγ V
>
>
γ A g 2 − γ Sκ 2
g2
kL
2k L = k S + k A
CARS
2ω L = ω S + ω A
strana 87
Koherentní Ramanův rozptyl
zisk g ≈
Koherentní Ramanův rozptyl CARS
obecně pro rozladění
∆k
∆k = 2ω L − ω S − ω A ≠ 0
vyjde
da S 
g2
= − γ S +
aL
dz 
γV
da A 
κ2
= −γ A −
aL
dz 
γV
odtud práh čerpání :
aL
2
2
2

gκ 2 + i∆kz
a S +
aL a Ae
γ
V

rezonance

gκ 2 + i∆kz
a A −
a L aS e
γ
V

∆k
γ S γ A − i∆k (γ S − γ A ) + ∆k 2
= γV
γ A g 2 − γ S κ 2 − i∆k (g 2 + κ 2 )
pro γ A g 2 − γ S κ 2 ≈ 0 vyjde a L (∆k → 0 ) → ∞ a zisk g(∆k → 0) ≈ 0
2
Při dokonalé rezonanci vlivem SA interakce A - složka zatlumí S - složku!
Také pro velké rozladění vyjde a L (∆k → ∞ ) → ∞ a zisk g(∆k → ∞ ) ≈ 0
2
Optimální rozladění ∆k ≠ 0 !
logIS
logΙA
∆k
strana 88
Koherentní Ramanův rozptyl
LASER
benzol
k S + k A = 2k L
ω S + ω A = 2ω L
→
koherentní Ramanův rozptyl
srovnatelné intenzity S a AS složek
θ S,A ≈
2
dn
ωV
nω L dω
koherentní Ramanův rozptyl
rubínového laseru v benzenu
strana 89
hyper-Ramanův rozptyl
ωV
ωV
ωL
ωS
ωL
ω HS 2
ω HS 3
ωV
ω S = ω L − ωV
ω HS 2 = ω L − 2ωV
ω HS 3 = ω L − 3ωV
...
strana 90
Mandelštam-Brillouinův rozptyl
rozptyl na akustických vlnách (fononech)
Braggův typ rozptylu
k S,A = k L m K
ωS,A = ωL m Ω
ale přestože platí K ≈ k L ≈ k S , A ≈ 10 4 cm −1 ,
v
platí Ω = vK ≈ ω L ≈ 10 −5 ω L ≈ 1010 Hz << ω L
c
(v ≈ 1500 m/s je rychlost zvuku ve vodě)
→ ωS,A ≈ ωL → kS,A ≈ k L
Brillouinův vzorec → k S , A − k L ≈ 2k L sin
θ
=K
2
Kmitočet Stokesovy a anti - Stokesovy složky :
ω S , A = ω L m Ω = ω L m vK = ω L m 2vk L sin
Brillouinův trojúhelník
k S,A
θ
±K
kL
θ
vn
θ

= ω L 1 m 2 sin 
2
c
2

strana 91
Srovnání Ramanova a Brillouinova rozptylu:
ω ≈ 1015 Hz (vlnočet 10 4 cm −1 )
Ω ≈ 1010 Hz (vlnočet 10 −1 cm −1 )
ω ≈ 1015 Hz (vlnočet 10 4 cm −1 )
Ω ≈ 1013 Hz (vlnočet 10 2 cm −1 )
Brillouinův rozptyl
strana 92
Stimulovaný Brillouinův rozptyl
zpětná konfigurace, zrcátko
stojatá akustická vlna vznikne vlivem intenzívní stojaté světelné vlny
fázová konjugace
ω ≈ 1015 Hz (vlnočet 10 4 cm −1 )
Ω ≈ 1010 Hz (vlnočet 10 −1 cm −1 )
kS = kL −K
Brillouinův trojúhelník
kS
kL
K
ωS = ωL − Ω
ale přestože platí K ≈ 2k L ≈ 2k S ≈ 10 4 cm −1 ,
2ω L
≈ 10 −5 ω L ≈ 1010 Hz << ω L
c
Kmitočet Stokesovy složky :
ω S = ω L − Ω = ω L − vK
platí Ω = vK ≈ v
strana 93
Optická bistabilita
Nelinearita + zpětná vazba
Optické paměti, přepínače
Disperzní a disipativní bistabilita
Ii =
Io
T (I o )
tečny procházející počátkem vymezují oblast bistability
strana 94
Vnější zpětná vazba:
Disperzní bistabilita
Mach-Zehnderův interferometr
1 1
+ cos ∆ϕ
2 2
1 1
 d

T = + cos 2π n + ϕ 0 
2 2
 λ

n = no + n 2 I o
T =
T (I o ) =
1 1
 d

+ cos 2π n2 I o + ϕ 
2 2
 λ

Fabry-Perotův etalon
T =
kde
T max
1 + (2F / π ) sin 2 (ϕ / 2)
2
T max =
1
(1 − ρ )2
,
F =
π ρ
1− ρ
ρ = R1 R2 e −αd
ϕ = k 2d = 4π
n = no + n 2 I o
d
λ
n
strana 95
Vnitřní zpětná vazba
Fabry-Perotův etalon
Io = T oI
T o ← propustnost výstupního zrcadla
I ← vnitřní intenzita světla
n = no + n 2 I = no + n 2 I o / T o
I
strana 96
Disipativní nelinearita
saturovatelný absorbér α =
α0
1+ I / IS
Fabry − Perot délky d , maximální propustnost je funkcí I o
T max =
T1
(1 − ρ )2
=
(1 -
T1
R1R 2 e −αd
≈
) (1 2
T1
)
R1R2 (1 − αd )
2
a protože α = α (I ) = α (I o ), dostaneme opět pro určitá α 0 , I S a R1R2 bistabilitu
nebo
zesilující aktivní médium se saturací γ =
γ0
1+ I / IS
→ laser nad prahem pro R1R2 e γ 0 d > 1
a protože γ = γ (I ) = γ (I o ), může vykazovat bistabilitu i laser
strana 97
Optický soliton (časový soliton)
Automodulace fáze působí proti disperzi a v Kerrovském optickém vlákně vzniká
samovedený optický pulz = optický soliton
Disperze
roztažení pulzu
Časové zpoždění mezi dvěma pulzy s různými centrálními frekvencemi po ujití vzdálenosti z
∆t =
d 1
d  dk 
z
z
−
=z
  ∆ω = z

∆ω = zk''∆ω = zβ ''∆ω = zD∆ν
dω  u 
dω  dω 
u1 u 2
λ30 d 2 n
disperzní koeficient D = 2πβ'' = 2
c0 dλ20
strana 98
Nelinearita
stlačení pulzu
Automodulace fáze ∆ϕ (t ) = -n 2 I (t )k 0 z → ∆ω i (t ) =
(
např. pro gaussovský pulz I (t ) = I 0 exp − 2t 2 / τ 2
)
d
dI
∆ϕ (t ) = -n2 k 0 z
dt
dt
≈ I 0 1 − 2t 2 / τ 2
(
bude pulz pro n 2 > 0 čerpovaný nahoru ∆ω i (t ) = n 2 I 0 k 0 z 4t / τ 2
)
takže v prostředí s anormální disperzí bude B - složka dohánět R - složku
→ pozorujeme kompresi pulzu
čelo
týl pulzu
Schroedingerova rovnice (podobně jako u prostorového solitonu)
2
2
 ∂A 1 ∂A  β 0 ' ' ∂ A
γ
+
=
−
i
A
A

−i
2 ∂t 2
 ∂z u ∂t 
ω
3µ ω
3µ ω c
3ηω 0 (3 )
χ = 0 n2
kde u = 1 / β 0 ' je grupová rychlost a γ = 0 0 χ (3 ) = 0 0 χ (3 ) =
2β 0
2
2
2c0η
2
Solitární řešení : A( z , t ) = A0 sech
t−
τ0
z
z
i
u e 4 z0 , kde
β ''
1
= 02
2 z0
τ0
a
β0 ''
= −γA02
2
τ0
strana 99
strana 100
Helmholtzova rovnice : ∇ 2 E + β 2 (ω )E = − µ 0ω 2 PNL
Odvození rovnice časového solitonu
pro E ( z , ω ) = A(z , Ω )e -iβ 0 z , kde A( z , Ω ) značí obálku pulzu a ω = ω 0 + Ω
2
1


β (ω )A ≈  β 0 + β 0 ' Ω + β 0 ' ' Ω 2  A ≈ β 0 2 A + 2β 0 β 0 ' ΩA + β 0 β 0 ' ' Ω 2 A
2


∂A
∂2 A
protože
→ iΩA(z , Ω ) a
→ −Ω 2 A(z , Ω ) lze převést HR zpět do časové domény pro obálku A(z , t )
2
∂t
∂t
∂A
∂2 A
2
2
β (ω )A → β 0 A − 2iβ 0 β 0 ' − β 0 β 0 ' ' 2
∂t
∂t
2
dále protože PNL ≈ 4 χ (3 )E
má Kerrovskou obálku 3χ (3) A A
2
3
− µ 0ω 2 PNL → − µ 0ω 2 3χ (3 ) A A
2
konečně v paraxiální aproximaci platí
∂A  -iβ 0 z

2
∇ 2 E ≈ ∇ 2 A(z , Ω )e -iβ 0 z ≈  − β 0 A − 2iβ 0
e
z
∂


tak dostaneme
∂2 A
∂A
∂A
2
2
2
− β 0 β 0 ' ' 2 = − µ 0 ω 0 3 χ (3 ) A A
− β 0 A − 2iβ 0
+ β 0 A − 2iβ 0 β 0 '
∂z
∂t
∂t
∂2 A
 ∂A 1 ∂A 
2
(3 ) 2
β
β
µ
ω
χ
'
'
3
+
−
=
−
A A
− 2iβ 0 

0 0
0
0
2
z
u
∂
t
∂
∂
t


tj. Schroedingerova rovnice (podobně jako u prostorového solitonu)
2
2
2
 ∂A 1 ∂A  β 0 ' ' ∂ A
+
= −iγ A A

−i
2
2 ∂t
 ∂z u ∂t 
ω
3µ ω
3µ ω c
3ηω 0 (3 )
χ = 0 n2
kde u = 1 / β 0 ' je grupová rychlost a γ = 0 0 χ (3 ) = 0 0 χ (3 ) =
2β 0
2
2
2c0η
2
Solitární řešení : A( z , t ) = A0 sech
t−
τ0
z
z
i
u e 4 z0 , kde
β ''
1
= 02
2z0
τ0
a
β0 ''
= −γA02
2
τ0
musí být β 0 ' ' < 0
(anomální disperze grupové rychlosti),
a γ > 0 neboli n2 > 0
strana 101
Dvou a vícefotonová absorbce
lineární prostředí, pravděpodobnost absorbce p1 ∝ a + a ≈ I
nelineární prostředí, k-fotonová absorbce p k ∝ a + k a k ≈ I k
dvou a vícefotonová spektroskopie vysokého rozlišení, vidí i zakázané přechody
→ koherentní stav p k ∝ a + k a k ≈ I k → filtr vysokých výkonů
→ chaotický stav p k ∝ a + k a k ≈ k! I k → regularizace fotonové statistiky, antishlukování
E2
P (I )
Změna rozdělovací funkce P(I)
pravděpodobnosti intenzity světla
po dvou a třífotonové absorbci
E1
I
Srovnání rozlišení jedno a
dvoufotonové mikroskopie
strana 102
přirozená šířka čáry
hω
Spektroskopie se super-rozlišením
vidí i zakázané přechody (čáry)
není zpětný ráz
hω
dopplerovsky
rozšířená čára
1
ω
dI
= -γI → I = I 0 exp(- γz ) ← Lambert - Beerův zákon 1
dz
dI
nelineární dvoufotonová absorbce
= -βI 2
dz
2
I0
1
→I =
≈
← omezovací efekt, prakticky nezávisí na I 0 ≈ 1 GW/cm 2
1 + β zI 0 βz
lineární prostředí
Efekt saturace absorbce : (pikosekundové pulzy)
γ0
γ 0I
dI
, tedy
tj. přibližně ≈ -γ 0 I + βI 2
= -γI = γ =
1+ I / IS
dz
1+ I / IS
(
odtud integrací I − I 0 + I S ln
I
= -γ 0 I S z ← pouze implicitně I (z )
I0
pro silná nasycení I 0 >> I S bude
dI
≈ -γ 0 I S → I ≈ I 0 − γ 0 I S z ≈ I 0
dz
)
2
3
3
strana 103
Nestacionární optika
Atom v elektrickém nebo magnetickém poli, dipólová interakce
Blochovy rovnice
Hamiltonián interakce H = E1 1 1 + E 2 2 2 − d12E (t )( 1 2 + 2 1 )
obecný stav matice hustoty ihρ& = [H , ρ ]
Základní stav :
Místo ρ se užívá Blochův vektor R, jehož složky jsou
R x = 2 Re ρ12
ψ =1
ρ=1 1
R y = 2 Im ρ12
R = (0,0,1)
R z = ρ11 − ρ 22
základní stav
z , ω12
Ze Schroedingerovy rovnice lze odvodit Blochovy rovnice :
R& x = −ω12 R y
R& y = ω12 R x − ΩR z
R& z = ΩR y
neboli
& = A × R, kde A = (Ω,0, ω ),
R
12
R
Ω = 2d12 E (t ) / h je okamžitá Rabiho frekvence
ω12 = (E 2 − E1 ) / h je frekvence přechodu 1 → 2
protože platí R x2 + R y2 + R z2 ≤ 1 (pro čistý stav R 2 = 1), lze zobrazit
Blochův vektor R na Blochově sféře jako precesi R kolem vektoru A
→ Bez světla Ω = 0 volná precese rychlostí ω12 kolem osy z
y
Blochova
sféra
x, Ω
→ Rychlý světelný pulz θ = Ωt pootočení o Ωt kolem osy x
ρ
ρ =  11
 ρ 21
ρ12 
=
ρ 22 
1  1 + Rz

2  R x − iR y
R x + iR y 

1 − R z 
strana 104
z
Fotonové echo (ozvěna)
1. aplikace silného koherentního θ = π/ 2 − pulzu způsobí sklopení Blochova
vektoru R kolem osy x = Ω o π/ 2, tedy z polárního směru z do směru y
2. atomové dipóly R spontánně konají precesi kolem osy z, ale vlivem
nehomogenního rozšíření každý jinou rychlostí ω 0 , vzniká vějíř dipólů
R
y
3. po uběhnutí doby τ aplikujeme druhý koherentní π − pulz,
všechny dipóly R se otočí kolem vektoru Ω o 180°
4. dipóly R opět konají precesi stejně jako předtím, ale tentokrát se sbíhají v -y,
takže v čase τ po aplikaci π − pulzu se všechny dipóly R sejdou a
vyzáří gigantický pulz = fotonové echo
Ω
Animace fotonového echa (připojení na web?)
R
y
Ω
R
y
Ω
strana 105
Interakce atomu se světlem
Pokud bude elektrické pole harmonicky proměnné
1
1
E (t ) = Ecosωt = E exp(iωt ) + E exp(- iωt ),
2
2
pak Blochovy rovnice nabudou tvaru :
R& x = −∆ωR y
z , ∆ω
R
R& y = ∆ωR x − ΩR z
θ
R& z = ΩR y
y
kde ∆ω = ω12 − ω je rozladění, neboli
& = R × A, kde A = (Ω,0, ∆ω ),
R
kde Ω = d12 E / h je Rabiho frekvence
x, Ω
Pro rezonanci bude ∆ω = 0 a tedy
R& x = 0
R& y = −ΩR z
světlo
R& z = ΩR y
atom
řešení pro počáteční základní stav R (0) = (0,0,1)
Blochova
sféra
Pootočení Blochova vektoru :
(plocha pulzu)
E (t , z )
θ (t , z ) =
je možno psát ve tvaru : R x ≈ 0, R y = − sin θ a R z = cos θ
kde θ& = Ω = d12 E / h je Rabiho frekvence
d
veličina θ = ∫ Ω(t )dt = 12
−∞
h
t
∫
t
−∞
t
E (t )dt má význam úhlu pootočení Blochova vektoru
d12
h
∫
t
−∞
E (t , z )dt
t →∞
strana 106
∂ 2P
1 ∂ 2E
= µ0
Z vlnové rovnice ∇ E − 2
∂t 2
c ∂t 2
pro pomalu se měnící amplitudy E bude E = E e i (ω t − kz ) a P = P e i (ω t − kz ) a tedy
2
atom
světlo
∂E
∂E
1
 ∂E 1 ∂E 
2
− 2 2i ω
= − 2i k 
+
 = − µ 0ω P
∂z c
∂t
 ∂z c ∂ t 
2
µ cω
 ∂E 1 ∂ E  µ 0 ω
+
P= 0
P

=
∂
∂
z
c
t
k
2i
2i


světlo se šíří ve směru osy z a je polarizová no ve směru osy x ,
− 2i k
polarizace jednoho atomu je P = d 12 1 2 = d 12 (R x + iR y ) ≈ i d 12 R y
a hustota polarizace je proto P ≈ i Nd 12 R y , kde N je hustota atomů a
R y = − sin θ , kde θ& = Ω = d 12 E / h , neboli také E = h θ& / d 12
 ∂ 2θ 1 ∂ 2θ

+
2
 ∂t∂z c ∂ t
 µ 0 cω d 12
µ 0 c ω d 122 N
 =
P=−
sin θ
2i h
2h

světlo
světlo
atom
světlo
z
∂θ
∂θ
∂θ
1 ∂θ

=−
=
Hledáme řešení ve tvaru stacionárn í vlny θ = f (τ ) = f  t − , pak bude
a
, takže
∂z
∂t
v
v ∂τ
∂τ

2
µ 0 c ω d 122 N
1 1 ∂ θ
sin θ
 −  2 =−
2h
 c v  ∂τ
odtud máme rovnici pro plochu pulzu
vω d N
∂ θ
=
sin θ = γ 2 sin θ
2
2ε h (c − v )
∂τ
jedno speciální řešení θ = 2 arcsin (tanh γτ ) + π dává 2π − pulz , odtud solitární řešení :
d A
2hγ
z
h θ&
E=
=
= A sech γτ = A sech 12  t − 
d 12
d 12 cosh γτ
2h 
v
2
2
12
ω d 122 N
c
2hω N
a pro rychlost pulzu platí = 1 +
= 1+
= 1 + kL 2 ,
2
2
v
2ε h γ
ε0A
vω d 122 N
γ =
2εh (c − v )
2hγ
A=
d 12
2
zpomalené světlo
což může dávat i silně zpomalené světlo v ≈ c / 100 nebo zastavené světlo v ≈ 1 cm/s
strana 107
Samoindukovaná transparence
Šíření intenzivního koherentního pulzu E ( z, t ) = E ( z, t ) cos(ωt − kz )
plocha pulzu
d
F ( z ) = 12
h
∫
∞
−∞
E ( z , t ) dt
z Maxwellových a Blochových rovnic plyne pro plochu pulzu :
dF
γ
= − sin F
dz
2
Teorém plochy
(odvození dále)
F0 − γ2 z
F
řešení je : tan = tan e
2
2
stabilní stacionární řešení F = 2mπ , nestabilní stacionární řešení F = (2m + 1)π ,
slabé intenzity F0 < π zeslabuje na F = 0, silné F0 > π zesiluje na F = 2π → soliton, žádné ztráty
pro slabé intenzity
zesilovač
dF
γ
= − F dostaneme Lambert - Beerův zákon
dz
2
γ <0
F
γ >0
F
= F0 e −γz
2
atenuátor
3π
2π
F0
2
Plocha není energie !
nemusí se zachovávat
formování pulzu
π
z
strana 108
Počítačová simulace šíření pulzu
Zánik pulzu (vlevo)
a
přetvarování pulzu
v soliton (vpravo)
Rozpad 4π pulzu
na dva 2π pulzy
šířící se dále
beze změny
různými
rychlostmi
strana 109
2π - pulz : žádné ztráty, ale formování pulzu (soliton)
a zpomalení pulzu až o několik řádů
absorbce
stim. emise
F = 2π
(spomalené nebo zastavené světlo)
rychlost pulzu v =
c
, kde L je délka pulzu
1 + kL2
L
Experimentální data
3 solitony
samoindukovaná
transparence
světelných pulzů
v parách Rb
F ≈ 23
F ≈ 17.5
F ≈ 10.5
F ≈ 8.7
F ≈ 6.28
2 solitony
strana 110
Teorém plochy
Plocha pulzu :
µ cωNd12
 ∂E 1 ∂E  µ 0 c0ω
+
P= 0
Ry

=
∂
∂
z
c
t
2i
2


Definujeme plochu pulzu :
F (z ) = θ (∞, z ) =
d12
h
∫
∞
−∞
d12
h
∫
∞
−∞
E (t , z )dt
E (t , z )dt
d12 ∞  µ 0 cωNd12
d12 µ 0 cωNd12
∂E
1 ∂E 
=
−
=
d
t
R
d
t


y
∫−∞ ∂z
h ∫−∞ 
h
2
c ∂t 
2
a protože podle Blocha R& = − ∆ωR ,
dF d12
=
h
dz
F (z ) = θ (∞, z ) =
∞
x
∫
∞
−∞
R y dt
y
d µ cωNd12 ∞ 1 ∂R x
d12 µ 0 cωNd12 1
dF
= − 12 0
t
=
−
R x (t → ∞ )
d
∫−∞ ∆ω ∂t
h
h
∆ω
dz
2
2
přibližné řešení pro velká t > t 0 >> 0 (pouze precese ∆ω neboť zde již Ω = 0) :
R x ≈ R x (∆ω , t 0 ) cos ∆ω (t − t 0 ) − R y (∆ω , t 0 )sin ∆ω (t − t 0 )
přeintegrujeme přes spektrum g (∆ω )d∆ω
d µ cωNd12 ∞ 1
d12 µ 0 cωNd12
dF
(
)
(
)
ω
ω
= − 12 0
R
t
→
∞
g
∆
d
∆
=
−
x
∫−∞ ∆ω
h
h
dz
2
2
∞ sin ∆ωt
∫−∞ ∆ω d∆ω = π
R x (∆ω , t 0 ) ≈ 0, R y (∆ω , t 0 ) ≈ − sin F
∫
∞
R x (∆ω ) cos ∆ωt − R y (∆ω )sin ∆ωt
−∞
∆ω
g (∆ω )d∆ω
πµ 0 cωNg (ω12 )d122
dF d12 µ 0 cωNd12
γ
πR y (∆ω , t 0 )g (ω12 ) = −
=
sin F = − sin F
h
dz
2
2h
2
dF
γ
= − sin F
dz
2
teorém plochy
strana 111
Superluminiscence
Superluminiscence intenzita I ∼ N2 trvání ∆t ∼ 1/N2
normální luminiscenční zdroje I ∼ N trvání ∆t ∼ 1/N
kde N značí počet zářicích atomů
Superradiance θ = π/2,
makroskopický dipólový moment,
kooperativní jev, atom. koh. stav,
bez prodlevy, popis klasicky,
Dicke 1954
Superfluorescence θ = π,
nulový dipólový moment,
časová prodleva, popis kvantově,
Bonifacio et al. 1970s
I
základní stav
I ∼ N2
0,0
Blochova sféra
π
2
superradiance
,φ
excitovaný stav
superfluorescence
∆t
∼ 1/N2
t
π ,0
strana 112
Superfluorescence, kooperovaná stimulovaná emise,
ASE - zesílená spontánní emise (pomocí stimulované emise)
laser bez rezonátoru (nutno ošetřit, nesmí být žádná zpětná vazba, ani parazitní odrazy)
krátký ∆t ≈ 1 / N 2 superintenzívní pulz I ≈ N 2
vyzařovací diagram
superluminiscenční diody SLED = SLD
výkon a jas spíše jako laser, koherence spíše jako LED
výkon > 1 mW, širokospektrální → málo koherentní l c ≈ 1 µm
fluorescence
Aplikace :
vláknové gyroskopy, senzory, optická koherenční tomografie
log I
superfluorescence
10
superfluorescence
8
6
čerpací pulz π/2
4
2
fluorescence
0
log t [ s ]
−8
−6
−4
−2
0
strana 113
Superradiance a atomové koherentní stavy
n2
E2
Systém N atomů interaguje s elmg. polem
dvojhladinový systém, hladiny E1 a E 2
a 2 a1+
Schwingerův popis pomocí bosonových operátorů a1 a a 2
n1
Hamiltonián interakce s elmg. polem popsaným operátorem a
(
H = hωa a + E a a + E 2 a a 2 + hg aa a + a a a 2
+
+
1 1 1
+
2
pro klasické elmg. pole a = α
+
1 2
(
+
H = E1 a1+ a1 + E 2 a 2+ a 2 + hg αa1 a 2+ + α * a1+ a 2
+
1
)
E1
)
Působení elmg. pole odpovídá změně stavu ψ 0 → ψ = exp(Ht / ih ) ψ 0
Atomové koherentní stavy :
θ , φ = exp(Ht / ih ) 0 ,
kde θ = 2 gαt , φ =
Atomové koherentní stavy
na Blochově sféře
π
2
Operátor M − = a1 a 2+ = 2 1 představuje absorbci fotonu
θ ,φ
a přeskok elektronu na horní hladinu
+
+
1
podobně operátor M = a a 2 = 1 2 představuje emisi fotonu
a přeskok elektronu na dolní hladinu
základní stav systému atomů min = N ,0 ,
π
maximálně vybuzený max = 0, N
2
obecný stav systému atomů ψ = n1 , n2 = n1 , N − n1
0,0 = N ,0
θ
základní stav
,φ
π ,0 = 0, N
strana 114
p(n1 )
p max =
superradiance
1
(N + 2)N
4
p0 = N
tma
běžný zdroj
Fockův stav systému atomů ψ = n1 , n2 = n1 , N − n1
pravděpodobnost emise fotonu je
n1 = 0
n1 = n2 =
excitovaný
stav
N
2
p = M − M + = a1 a 2+ a1+ a 2 = n1 , n2 a1 a1+ a 2+ a 2 n1 , n2 = (n1 + 1)n2 = (n1 + 1)(N − n1 )
pN = 0
n1
n1 = N
základní
stav
Systém v základním stavu N ,0 emituje světlo o intenzitě I ∝ p = 0 ← tma
Systém v excitovaném stavu 0, N emituje I ∝ p = N ← běžné zdroje
N N
1
N2
← superradiance
Systém v superradiačním stavu
,
emituje I ∝ p = (N + 2 )N ≈
2 2
4
4
π
π
1
N2
Atomový koherentní stav θ = , φ =
emituje jen o trochu méně I ∝ p = ( N + 1)N ≈
,
2
2
4
4
dá se přitom mnohem snadněji připravit.
strana 115

kd lx100

Transkript

Podobné dokumenty

letáček - 1

KoPREtina č. 7

True to Life Intermediate slovníček