Základní kurz speciální teorie relativity

Základní kurz speciální teorie relativity
Stanislav Minárik
Copyright © iStudium, 2008, http://www.istudium.cz
Žádná část této publikace nesmí být publikována a šířena žádným způsobem a v žádné podobě
bez výslovného svolení vydavatele.
Ilustrace, vnitřní úprava: Stanislav Kliment
Produkce, technický redaktor: Roman Bartoš
OBSAH
Obsah ........................................................................................................................................................1 Základní kurz speciální teorie relativity ...................................................................................................2 Úvod ............................................................................................................................................2 1 Newtonovy zákony ......................................................................................................................3 2 Michelsonův pokus ......................................................................................................................6 3 Dva principy relativity .................................................................................................................9 4 Lorentzova transformace ...........................................................................................................10 5 Relativnost současnosti .............................................................................................................11 6 Dilatace času ..............................................................................................................................12 7 Transformace rychlosti ..............................................................................................................13 8 Princip kauzality a jeho důsledky v STR...................................................................................15 9 Kontrakce délek .........................................................................................................................16 10 Závislost hmotnosti na rychlosti ................................................................................................17 11 Ekvivalence hmotnosti a energie ...............................................................................................20 12 Fotony v STR ............................................................................................................................22 13 Závěrečné poznámky .................................................................................................................23 14 Příklady .....................................................................................................................................24 Obtížnější příklady ....................................................................................................................26 15 Řešené příklady .........................................................................................................................28 Literatura ................................................................................................................................................37 1
ZÁKLADNÍ KURZ SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
ÚVOD
Tento text byl zpracován jako studijní materiál pro studenty, kteří si další rozšiřující vzdělání ve fyzice
vybrali dobrovolně; předpokládám proto, že kromě nadání mají také chuť zabývat se fyzikou důkladněji. To je důvod, proč se text nevyhýbá ani složitějším odvozením. Na druhé straně je třeba říci, že ne
všechno, co je na těchto stránkách napsáno, je nutno chápat jako látku určenou ke zkoušení. Zejména
1. kapitola je míněna jako stručný přehled historického vývoje názorů na možnost nalezení absolutně
klidné vztažné soustavy. Tento přehled pokračuje i v 2. a 3. kapitole. Rozdíl je v tom, že zatímco
1. kapitolu si stačí přečíst k vytvoření ucelenější představy o tomto vývoji, kapitoly 2. a 3. už obsahují
poznatky, jejichž znalost je bezpodmínečně nutná (Michelsonův pokus, dva principy relativity). Další
kapitoly jsou už budováním tradiční soustavy poznatků z úvodu do speciální teorie relativity (dále
STR). To, co považuji za důležité, je osvojení si myšlenkových postupů při odvozování jednotlivých
vzorců, přičemž samotné odvození např. Lorentzovy transformace, závislosti hmotnosti na rychlosti
a ekvivalence hmotnosti a energie si není nutno detailně osvojovat.
K osvojení si probrané látky je určena malá sbírka příkladů na konci textu. Obsahuje jednak příklady
neřešené, různé obtížnosti, řazené od nejjednodušších po poměrně obtížné, jednak příklady řešené.
Výběr osmi řešených příkladů je volen tak, aby pokryl látku, která studentům při seznamování se
s STR tradičně dělá potíže. Postup řešení, doufám, umožní čtenáři lépe proniknout do probírané problematiky a pochopit, jak s nástroji (vzorci), které STR nabízí, zacházet. Obtížnější příklady doporučuji řešit až po prostudování řešených příkladů.
Nedostatkem tohoto textu je skutečnost, že se nezabývá věcí pro STR zcela zásadní, totiž zda a jak je
možno v inerciální vztažné soustavě měřit délky a synchronizovat hodiny. Zde předpokládáme, že tyto
úkony provádět umíme. Podrobné poučení o tomto problému lze najít zejména v [6] (viz Literatura).
Doufám, že tento text neodradí příliš mnoho studentů od studia STR. Úmyslem autora to rozhodně
nebylo.
Autor
2
1
NEWTONOVY ZÁKONY
Obvyklá formulace 1. Newtonova zákona (setrvačnosti) zní: „Hmotný bod setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, právě když výslednice vnějších sil na něj působících je nulová.“ Tato
formulace je chybná a vyžaduje dvojí upřesnění.
Předně, Newton rozlišuje síly pravé a síly jiné. Pravá síla je vždy taková, jejímž původcem je hmotný
objekt. Například gravitační síla působící na čtenáře je síla pravá, způsobená Zemí. Naopak síla, která
vmáčkne řidiče do sedadla při rozjíždění auta, není síla pravá, neboť hmotný objekt, který by touto
silou působil, neexistuje, jde o sílu setrvačnou. V zákonu setrvačnosti se výslovně hovoří o výslednici
vnějších pravých sil.
Druhá námitka proti výše zmíněné formulaci zákona setrvačnosti je následující. Vůči čemu je hmotný
bod v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu? Pojem pohyb je relativní, vždy je nutno uvést
vztažné těleso. Zvolíme-li za vztažné těleso např. sedačku otáčejícího se kolotoče, pak výslednice
vnějších pravých sil působících na přihlížejícího diváka je nulová, ale divák se přesto vůči sedačce
otáčí, není tedy vůči ní ani v klidu, ani v rovnoměrném přímočarém pohybu.
Zákon setrvačnosti má formu existenčního výroku a je formulací víry v platnost extrapolace zkušeností s pohyby těles, na něž působí čím dál menší tření, na situaci, kdy tření zcela zanikne.
Zákon setrvačnosti by tedy měl být formulován takto: „Existuje aspoň jedno vztažné těleso a s ním
spojená vztažná soustava, v níž platí, že hmotný bod setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém
pohybu, právě když výslednice vnějších pravých sil na něj působících je nulová.“
Vztažná soustava, v níž zákon setrvačnosti platí, se nazývá inerciální.
Nevyžaduje-li se příliš velká přesnost, lze za inerciální soustavu považovat vztažnou soustavu geocentrickou. Heliocentrická soustava vyhovuje požadavkům na inerciální vztažnou soustavu téměř
přesně. Je třeba také upozornit, že rovněž platnost zákona síly a zákona akce a reakce se předpokládá
pouze v inerciální vztažné soustavě a týká se jen pravých sil.
Formulace pohybových zákonů souvisí se dvěma základními představami I. Newtona o prostoru
a čase. Newton předpokládal existenci tzv. „absolutního prostoru“, tj. prostoru, jehož vlastnosti jsou
nezávislé na čemkoli, co se v tomto prostoru vyskytuje, tedy například na přítomnosti a koncentraci
hmoty. Mezi praktické důsledky tohoto pojetí prostoru patří kupříkladu tvrzení:
ƒ „Nejkratší spojnice dvou bodů je úsečka, tj. má-li světlo dorazit z bodu A do bodu B za nejkratší
čas (ve vakuu), musí se pohybovat po úsečce AB.“
ƒ „Délka tyče, tj. také vzdálenost dvou bodů v prostoru, je veličina jednoznačná, nezávisle na tom,
kým a za jakých podmínek byla změřena.“
Newtonovou inerciální vztažnou soustavou, tou aspoň jednou, je právě vztažná soustava nehybná vůči
absolutnímu prostoru, jehož existenci předpokládal.
Druhou základní představou I. Newtona je předpoklad o existenci tzv. „absolutního času“, tj. času,
který plyne pravidelně a nezávisle na čemkoli, tedy opět např. nezávisle na přítomnosti a koncentraci
hmoty nebo vzájemné rychlosti pozorovaných objektů a měřicích přístrojů. Mezi praktické důsledky
tohoto pojetí času patří např. tvrzení:
ƒ „Délka trvání děje je pro všechny pozorovatele stejná, nezávisle na jejich pohybovém stavu vůči
pozorovanému ději.“
ƒ „Jsou-li dvě události současné pro jednoho pozorovatele, jsou současné i pro každého dalšího pozorovatele.“
Matematická formulace uvedených představ o prostoru a čase je shrnuta v Galileiho transformaci.
Jde o toto: Dva pozorovatelé pracující v různých vztažných soustavách změří polohu a čas určité události, tj. dostanou čtveřici údajů (tři souřadnice x, y, z a čas t), každý jinou. Transformací pak rozumíme systém tzv. transformačních rovnic udávajících vztah mezi souřadnicemi naměřenými jedním
a druhým pozorovatelem a časy naměřenými jedním a druhým pozorovatelem.
3
V celém dalším textu se budeme zabývat speciální dvojicí vztažných soustav S a S' (viz obr. 1), pro
něž platí:
ƒ Soustava S (O, x, y, z, t) je inerciální.
ƒ Soustava S' (O', x', y', z', t') se vůči S pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí v.
ƒ Pro osy souřadnic platí x = x', y je rovnoběžná s y' a z je rovnoběžná se z'.
ƒ Čas začínáme měřit v okamžiku, kdy O = O'.
Obr. 1
Pro souřadnice události A zřejmě platí:
;
;
;
.
Bod A je libovolný, platí tedy obecně:
ƒ z S do S':
ƒ z S' do S:
x' = x − vt,
y' = y,
z' = z,
x = x' + vt',
y = y',
(1)
(2)
z = z',
t' = t.
t = t'.
Soustava rovnic (1), (2) je zmíněná Galileiho transformace a je, jak již bylo uvedeno, matematickým
vyjádřením představ o prostoru a čase v klasické fyzice.
Zabývejme se nyní otázkou, kolik inerciálních soustav může existovat.
Nechť S je ta inerciální soustava, jejíž existence je zaručena zákonem setrvačnosti. Pro S' platí dle
Galileiho transformace soustava rovnic (1). Nechť x, y, z jsou okamžité souřadnice bodu pohybujícího
se vůči S rychlostí u = (ux, uy, uz). Rychlost téhož bodu v S' se určí derivováním souřadnic x', y', z'
podle času, tedy:
;
4
a obdobně
.
Je vidět, že byla-li u konstantní, potom i u' = (ux', uy', uz') je konstantní vektor.
Závěr č. 1: Platí-li zákon setrvačnosti v S, pak platí i v S'.
Pro sílu působící na náš bod platí v S: F = m · a (předpokládáme pro jednoduchost m = konst.), tj.
Fx = max, Fy = may, Fz = maz.
Až do 19. století nebyly ve fyzice známy jiné síly než ty, které závisely jen na vzájemné vzdálenosti
interagujících objektů (nebo síly z těchto sil odvozené – např. tření v kapalinách). Vzdálenost dvou
objektů je však podle Galileiho transformace stejná v S i v S' (viz [6]). Tudíž F = F'.
Pro zrychlení bodu v S' platí:
;
;
obdobně
.
Celkem tedy v S i v S' má náš bod stejné zrychlení a působí na něj stejná síla. Protože v klasické fyzice
neexistoval žádný důvod pro předpoklad, že hmotnost v S' je jiná než v S, dostáváme se k následujícímu zjištění.
Závěr č. 2: Platí-li zákon síly v S, platí i v S'. Totéž (jde o síly), lze říci i o zákonu akce a reakce.
Uvážíme-li, že až do vzniku Maxwellovy teorie elektromagnetického pole vládlo přesvědčení, že pomocí tří Newtonových zákonů lze vysvětlit libovolný fyzikální jev, pak výsledky našeho předchozího
zkoumání vedou k formulaci tzv. Galileiho principu relativity, který říká: „Je-li S inerciální vztažná
soustava, pak každá vztažná soustava S', která se vůči S pohybuje rovnoměrně přímočaře, je rovněž
inerciální.“
Jinak řečeno, zákony mechaniky platí stejně v S i v S' a žádným mechanickým pokusem nelze rozhodnout, která z obou vztažných soustav je v absolutním klidu a která se pohybuje. Tedy tvrzení, že S'
se pohybuje vůči S je rovnocenné s tvrzením, že S se pohybuje vůči S'.
5
2
MICHELSONŮV POKUS
První poznatek, který narušuje naše předchozí závěry, je objev magnetické síly, kterou magnetické
pole působí na pohybující se částici s nábojem
Fm = q · u · B · sin α, kde u = rychlost částice.
Tato síla nezávisí na vzdálenosti těles, ale na rychlosti nabité částice vůči magnetickému poli. Řekněme, že u je rychlost, kterou se částice pohybuje v daném okamžiku podél osy x v soustavě S. Pak
ovšem v témž okamžiku se v soustavě S' pohybuje podél osy x' rychlostí u' = u − v, tudíž v S' bude na
částici působit síla o jiné velikosti.
Ještě významnější byl poznatek Maxwellovy teorie, že elektromagnetická energie se v prostoru přenáší
prostřednictvím elektromagnetických vln. Rychlost těchto vln, jak vyplývá z teorie, je ve vakuu ve
všech směrech stejná a má hodnotu přibližně c = 300 000 km/s.
Je zřejmé, že tuto rychlost může mít elektromagnetická vlna jen ve speciální vztažné soustavě, neboť
v jiné vztažné soustavě bude: a) jiná; b) v různých směrech různá. Nazvěme vztažnou soustavu, v níž
platí, že elektromagnetická vlna (tudíž i světlo) se vůči ní šíří ve vakuu ve všech směrech rychlostí c,
inerciální vztažnou soustavou v elektromagnetickém smyslu (značení Sm).
Vznikla otázka, v jakém prostředí se šíří elektromagnetická vlna, jestliže každé tehdy známé vlnění se
šířilo v nějakém prostředí. Toto hypotetické prostředí bylo nazváno éter a předpokládalo se, že soustava Sm je v klidu vůči éteru, tedy že elektromagnetické vlny mají rychlost c právě vůči éteru.
O vlastnostech éteru byla vyslovena řada domněnek (viz [1]). Nás bude dále zajímat, že (kromě jiných) americký fyzik (litevského původu) A. A. Michelson vymyslel, sestavil a provedl pokus, kterým
chtěl změřit rychlost Země vůči éteru. K pochopení podstaty tohoto pokusu probereme nejprve tento
příklad:
Po jezeře plují tři lodě L1, L2, L3, všechny stejným směrem
a stejnou rychlostí v, přičemž úsečky L1L2 a L1L3 mají stejnou
délku d (viz obr. 2). Z L1 současně začnou plavat k L2 i k L3
dva naprosto stejní plavci rychlostí u (u > v). Po dostižení L2
a L3 se otočí a okamžitě plavou zpět. Máme zjistit, který se na
L1 vrátí dříve. (Rychlosti u, v jsou rychlosti vůči břehu, tedy
též vůči vodě v jezeře.)
Řešení:
První plavec plave po dobu t1 z L1 do L2,
·
,
tudíž
Obr. 2
a po dobu t2 zpět,
·
,
tudíž
.
Celkem mu plavba trvala dobu tc = t1 + t2, po úpravách
2
1
6
.
Druhý plavec plave z L1 do L3 po dobu t3, ale protože se po celou
dobu L3 pohybuje, musí plavat do L3' (viz obr. 3),
·
·
,
tudíž
.
√
Protože cesta z L3 do L1 probíhá obdobným způsobem, je celkový
čas druhého plavce tc' = 2 · t3, což je po úpravách
2
1
.
Obr. 3
Závěr:
Podíl
0; 1 ,
proto také
1
0; 1 ,
a tudíž
1
1
1
1
takže
,
.
Plavec č. 2 se vrátí dříve o dobu
∆
2
1
1
·
1
1
.
Poznámka: Výsledek lze ověřit pokusem, v němž roli plavců může nahradit např. zvukový signál.
Michelson sestavil svůj pokus podle obr. 4.
Svazek rovnoběžných paprsků ze zdroje Z dopadne na polopropustné zrcadlo PZ. Část, svazek 1, projde k zrcadlu Z2, část, svazek 2, se
odrazí k zrcadlu Z3. Po odrazu od Z2, Z3 se oba
svazky vrátí na PZ. Nás budou z obou svazků
zajímat jen složky 1', 2', které po návratu k PZ
pokračují v cestě k interferometru I.
Michelsonův pokus a předchozí příklad jsou
obdobné, přičemž existují některé analogie.
Obr. 4: Michelsonův pokus
7
Tabulka 1: Analogie mezi Michelsonovým pokusem a příkladem s plavci
Příklad s plavci
Michelsonův pokus
jezero
L1
L2
L3
plavci
u
v
éter
PZ (+ Země s ním spojená)
Z2
Z3
svazky paprsků 1, 2
c
v (rychlost Země vůči éteru)
V souladu s předchozím příkladem se očekávalo, že 2' dorazí k I dříve než 1' a dojde k interferenci,
protože 1' i 2' vznikly z téhož původního svazku a jsou koherentní. Ze vzhledu interferenčního obrazce
bylo možno určit dráhový rozdíl ∆x mezi svazky 1', 2'. Protože x = c · ∆t, je v této rovnici jediná neznámá v (rychlost Země vůči éteru). (Uvedený postup měření je podán velmi zjednodušeně, přesný
výklad lze najít v [6].)
Výsledek měření byl v naprostém rozporu s očekáváním. Žádná interference nebyla pozorována. To
znamená, že mezi svazky 1', 2' žádný dráhový rozdíl nevznikl. Zdá se, že rychlost světla vůči Zemi
byla ve směru PZ–Z2 i PZ–Z3 stejná! Po celé řadě pokusů o vysvětlení tohoto neuvěřitelného výsledku
(viz [1]), jež všechny selhaly, se ukázalo, že východiskem ze situace je teorie navržená Albertem Einsteinem. Tato teorie, dnes známá jako Speciální teorie relativity, tvrdí, ve vztahu k Michelsonovu
pokusu, že úvaha použitá (a správná) pro plavce je nepoužitelná pro světlo.
8
3
DVA PRINCIPY RELATIVITY
Speciální teorie relativity (STR) je vybudována na dvou principech. Než je vyslovíme, zavedeme nejprve pojem inerciální vztažná soustava (v relativistickém slova smyslu).
Vztažná soustava S je inerciální, právě když je inerciální v původním i elektromagnetickém smyslu.
První princip relativity: Jestliže je soustava S inerciální, pak každá soustava S', která se vůči ní pohybuje rovnoměrně přímočaře, je rovněž inerciální a žádným pokusem nelze rozhodnout, která z nich je
v absolutním klidu a která v absolutním pohybu. (Jinak řečeno, všechny, tj. i dosud neobjevené zákonitosti, a to nejen fyzikální, ale i každé jiné, platí v S i v S' naprosto stejně.)
Druhý princip relativity: „Rychlost světla ve vakuu je v každé inerciální vztažné soustavě ve všech
místech a ve všech směrech stejná a rovna c.“
Zatímco význam 1. principu objevuje čtenář jen pozvolna, pak 2. princip říká něco velmi srozumitelného, ale současně velmi překvapivého. Jestliže rychlost světla, např. ve směru osy x, je v S rovna c,
pak v S' není c − v, ale rovněž c! Jinými slovy, Galileiho transformace (z níž vztah c' = c − v plyne)
není správným vystižením vztahů mezi dvěma inerciálními soustavami. Na druhé straně použití Galileiho transformace vedlo v obrovském počtu případů k naprosto správným výsledkům. V Michelsonově pokusu však výklad s využitím této transformace selhává. Naším nejbližším úkolem je nalézt transformaci, která bude v souladu s oběma principy relativity a navíc bude schopna uspět i tam, kde Galileiho transformace vyhovovala.
9
4
LORENTZOVA TRANSFORMACE
Při odvození hledané transformace se budeme řídit pravidlem, které lze formulovat takto: „Jestliže dvě
teorie popisují stejně dobře danou skutečnost, pak se rozhodneme pro tu, která je jednodušší.“
V našem případě budeme tedy předpokládat, že hledaná transformace se od Galileiho transformace liší
co nejméně. Předpokládejme, že správný tvar hledané transformace je:
a) x' = γ · (x − v · t), kde γ = konstanta,
b) y' = y,
c) z' = z.
Ve směru os y, z jsou obě vztažné soustavy S, S' vůči sobě v klidu, proto předpokládáme stejné souřadnice. Ve směru osy x jsme Galileiho transformaci rozšířili jen o konstantu γ.
1. V čase t = t' = 0 vyšleme z počátku O paprsek světla ve směru osy x. V libovolném čase platí pro
polohu místa, do něhož světlo dorazilo, x = c · t. Paprsek však byl současně vyslán také z bodu O'
podél osy x'. Protože S' je rovněž inerciální, musí platit, podle 2. principu relativity, x' = c · t'.
·
Po dosazení do a) ·
·
·
d)
·
·
·
·
;
;
, ale
.
Dostáváme první důležitý závěr. Při respektování 2. principu relativity už neplatí t' = t, čas už není
absolutní (tj. nezávislý na volbě vztažné soustavy), ale platí d). Zbývá zjistit hodnotu γ.
2. První princip relativity se uplatní takto: S a S' se navzájem liší pouze v tom, že S' se vůči S pohybuje rychlostí +v, kdežto S vůči S' rychlostí −v. Z rovnocennosti obou soustav plyne, že transformační vzorce z S do S' a obráceně musí být (až na znaménko u rychlosti) stejné. Tedy:
·
·
;
·
·
.
Speciálně, pro případ, že x = c · t (x' = c · t'), dostáváme
·
·
· ; ·
·
· .
Vynásobením obou rovnic dostaneme
· ·
·
· · ,
po úpravě
1
1
1
, pokud
1
,
!
Závěr: Hledaná transformace (nazývaná po svém objeviteli Lorentzova transformace) má tvar:
·
·
·
,
,
·
·
, kde
1
1
,
,
(1')
,
·
(2')
,
·
.
10
·
, kde
1
1
.
Poznámka: Zevrubněji zdůvodněné odvození této transformace lze najít v [1].
Z odvození je patrné, že Lorentzova transformace vychází ze dvou principů relativity. Je také vidět, že
má smysl jen v případě v < c. To znamená pouze tolik, že vztažná soustava pohybující se vůči S rychlostí v ≥ c není inerciální. To ale také znamená, že na oblíbenou otázku studentů („Jak vypadá svět
z pohledu fotonu?“) nelze pomocí STR odpovědět, neboť se tato teorie zabývá pouze inerciálními
soustavami (proto speciální), což letící foton není.
Za jakých okolností lze místo Lorentzovy transformace použít Galileiho transformaci?
1, tj.
ƒ Když
ƒ Když
·
. Potom
· ,
,
, ale
·
·
.
0, tj. je-li x malé.
Závěr:
Galileiho transformace vyhovuje pro inerciální vztažné soustavy, jejichž vzájemná rychlost je velmi
malá v porovnání s c, a pro objekty nepříliš vzdálené od O nebo O'. Za těchto podmínek není nutno
užívat vzorců STR.
Dva principy relativity a jejich důsledek – Lorentzova transformace – mají za následek revizi celé řady
ustálených představ, zejména o tom, co je absolutní (na volbě vztažné soustavy nezávislá) a co relativní (závislá) fyzikální veličina.
10
5
RELATIVNOST SOUČASNOSTI
Představme si, že v čase t = 0 v počátku O blikla žárovka. Pak se světlo šíří (v S) v kulových vlnoplochách se středem v bodě O. V čase t = 0 však splýval počátek O s počátkem O'. Z důvodu rovnocennosti obou soustav (1. princip relativity) musíme připustit, že světlo se šíří i v S' v kulových vlnoplochách, ovšem tentokrát se středem v O'. Je však vyloučeno, aby jedna a táž kulová vlnoplocha měla
dva různé, od sebe se vzdalující středy. Kde je chyba?
Analýzou předchozího textu lze dospět k formulaci problému. Kulová vlnoplocha se středem O je
množina bodů, do nichž světlo dorazilo současně v čase t. Obdobně, kulová vlnoplocha se středem O'
·
je množina bodů, do nichž světlo dorazilo současně v čase t'. Uvážíme-li, že
·
, pak je
zřejmé, že jednotlivé body vlnoplochy se středem O, jež byly dosaženy současně v čase t, nejsou současné z hlediska pozorovatele v S', neboť mají různé x-ové souřadnice. To však znamená, že když
pozorovatel v S bude tvrdit, že světlo se šíří ve vlnoplochách se středem O, pak pozorovatel v S' namítne, že uváděné množiny bodů nejsou vlnoplochy, neboť světlo do těchto bodů nedorazilo současně.
Obdobná argumentace se dá použít i obráceně pozorovatelem v S vůči vlnoplochám se středem O'.
Početně:
Nechť události A, B se odehrály podle pozorovatele v S současně v místech o x-ových souřadnicích xA,
xB. Pro časy obou událostí v S' platí
γ ·
·
·
γ ·
;
.
Protože tA = tB, je
·
·
.
(3')
Pokud xA ≠ xB, je t' ≠ 0, tj. události A, B nejsou současné v soustavě S'.
Závěr:
Současnost dvou událostí je pojem relativní, je třeba vždy uvést vztažnou soustavu, v níž o současnosti
událostí mluvíme.
11
6
DILATACE ČASU
Představme si osobu, která je v klidu vůči inerciální soustavě S. Tato osoba sedí za stolem a v jistém
okamžiku tA rozsvítí stolní lampu. Po určité chvíli, v čase tB, ji zase zhasne. Tato osoba může říci, že
podle jejích hodinek lampa svítila po dobu t = tB − tA. Důležité je to, že obě události (rozsvícení i zhasnutí lampy) se odehrály v soustavě S na témž místě s x-ovou souřadnicí xL.
Jak dlouho bude lampa svítit podle pozorovatele, vůči němuž se pohybuje rovnoměrně přímočaře
rychlostí −v (tj. v soustavě S') podél osy x'?
·
·
∆
·
·
∆
·
·
·
S ohledem na to, že xA = xB = xL, dostáváme
∆
·∆ .
(4')
Uvážíme-li, že γ > 1 (ověřte!), pak
∆ ,
∆
kde ∆t je tzv. vlastní čas děje (ve vztažné soustavě, v níž děj proběhl na témž místě) a ∆t' je čas děje.
Závěr:
ƒ Délka trvání děje je veličina relativní (závislá na volbě vztažné soustavy, v níž tuto dobu měříme).
ƒ Vlastní čas děje je ze všech časů děje nejkratší, tj. čas děje plyne nejpomaleji v té vztažné soustavě,
v níž děj probíhá na daném místě.
ƒ Čím rychleji se pozorovatel (soustava S') vůči místu děje pohybuje, tím delší čas děje naměří (ověřte, že γ je rostoucí funkce v).
Této skutečnosti, popsané vzorcem (4'), se říká dilatace času.
Poznámka: Vzorec (4') neplatí, pokud počátek a konec děje neproběhl v S na témž místě. Je-li v
tj. γ 1, je dilatace nepozorovatelná.
12
c,
7
TRANSFORMACE RYCHLOSTI
Mějme hmotný bod pohybující se vůči soustavě S konstantní rychlostí u = (u1, u2, u3). Určíme jeho
rychlost v soustavě S'. Pro jednoduchost předpokládejme, že v čase t = 0 byl tento hmotný bod v počátku O. Potom x = u1 · t, y = u2 · t, z = u3 · t.
V S' je:
a)
·
·
·
·
·
·
·
·
.
Po úpravách dostaneme vztah
1
·
ověřte .
·
·
1
Je zřejmé, že konstanta
·
1
·
1
je hledaná rychlost hmotného bodu ve směru osy x' (v S'), tedy:
1
·
1
·
.
(5')
,
(5'')
Pokud bychom z rovnice (5') vyjádřili u1, zjistili bychom, že
1
·
·
1
což jsme mohli, s ohledem na 1. princip relativity, napsat rovnou.
b)
·
·
· ·
,
po dosazení
·
·
1
1
·
·
a po úpravách (proveďte) dostaneme
·
·
1
1
· ,
·
což opět znamená, že
·
·
13
1
1
·
(6')
a obdobně
·
1
·
.
·
1
(6'')
Je zřejmé, že vzorce pro u3', u3 budou, s ohledem na symetrii os y, z vůči směru pohybu soustavy S',
obdobné. Tedy:
·
·
·
·
1
1
·
1
1
·
,
(7')
.
(7'')
Zabývejme se nyní speciálním případem, kdy u = (u1, 0, 0), tj. pohybem hmotného bodu po ose x.
Rozlišíme tři případy:
a) u1 < c;
b) u1 = c;
c) u1 > c.
Na rovnici (5') můžeme pohlížet
jako na lineární lomenou funkci
proměnné u1. Graf této funkce pro
v = 0,5 · c je na obrázku 5 (ověřte).
Z grafu je zřejmé, že v případě
a) je u1' < c; v případě b) je u1' = c
a v případě c) je u1' > c. Naše odvození se týkalo pouze pohybu ve
směru osy x, platí však obecně pro
libovolný směr pohybu (viz [5]).
Závěr:
Zjištění, že nějaký objekt se pohybuje podsvětelnou, světelnou nebo
nadsvětelnou rychlostí, je zjištění
absolutní, tj. nezávislé na tom, ve
které inerciální vztažné soustavě
bylo učiněno.
Obr. 5
14
8
PRINCIP KAUZALITY A JEHO DŮSLEDKY V STR
Začněme příkladem: u = (2c, 0, 0), v = 0,6c. Pak, podle (5'), je u' = (−7c, 0, 0). Tedy, ačkoli se objekt
pohyboval podle pozorovatele v soustavě S vpravo a rychleji než soustava S', pozorovatel v S' zjišťuje,
že týž objekt se pohybuje doleva. To je velmi neobvyklé zjištění a dává tušit, že v našich dosavadních
úvahách něco není v pořádku.
Nejprve jedno konstatování. Heliocentrická vztažná soustava je, s velkou přesností, inerciální. V této
heliocentrické soustavě získalo lidstvo zkušenost, která je známa jako princip kauzality (lat. causa –
příčina). Princip kauzality bývá formulován různě, jedna z možných formulací zní:
a) Stejné příčiny mají stejné následky.
b) Příčina nastává dříve než její následek.
Podle 1. principu relativity platí princip kauzality ve všech inerciálních vztažných soustavách. Ověříme, zda STR automaticky zaručuje splnění principu kauzality, speciálně části b).
Nechť jev A o souřadnicích xA, tA je příčinou jevu B (následku) o souřadnicích xB, tB. Z principu kauzality plyne, že tA < tB. Za jakých okolností by v soustavě S' byl princip kauzality porušen, tj. platilo by
tA' ≥ tB'?
Zápis tA' ≥ tB' znamená podle (1'), že
·
·
·
·
,
odtud
·
musí tedy být
0,
, načež
!
Výraz
(8')
má rozměr rychlosti. O jakou rychlost se jedná?
Příklad 1: Událost A – hráč kopl do míče, událost B – míč rozbil okno. Je zřejmé, že okno se nerozbilo dříve, než k němu míč doletěl.
Příklad 2: Čočkou soustředíme sluneční světlo na kus papíru – událost A, událost B – papír začne
hořet. Opět, papír nezačne hořet dříve, než k němu dorazí světlo od čočky a než se nakumuluje dostatek energie ke spuštění chemické reakce – hoření.
Příklad 3: Paní A se narodil syn – událost A, událost B – otec, toho času na montáži v Číně, jde s přáteli oslavit narození dítěte. Znovu, otec mohl začít oslavovat, až když se o narození syna dozvěděl –
dopisem, telefonicky, telegramem ap.
Všechny tyto případy mají jedno společné. Událost B se začala odehrávat až ve chvíli, kdy z místa
události A dorazila do místa události B informace, že k události A došlo. Tato informace (signál) však
měla vždy hmotného nositele – míč, světlo, dopis ap. Můžeme tedy prohlásit, že výraz
udává
průměrnou rychlost pohybu nosiče informace.
Závěr: Žádný hmotný objekt se nemůže pohybovat rychleji než světlo.
V opačném případě by takový hmotný objekt mohl být použit jako nosič informace a podle (8') by pak
v soustavě S' byl pozorován nejprve následek a teprve později příčina. Z platnosti principu kauzality
ve všech inerciálních soustavách je však taková možnost vyloučena.
15
9
KONTRAKCE DÉLEK
Poslední kinematickou veličinou,
jíž se budeme zabývat, je vzdálenost dvou bodů, neboli délka úsečky. Mějme tyč, která leží v klidu
vůči S na ose x. Měříme-li délku
této tyče v S', lze postupovat různě.
Vzhledem k tomu, že tyč se vůči S'
pohybuje, je jednou z možností to,
že změříme polohy obou konců tyče
současně (v S'!). Dostaneme souřadnice obou konců tyče x1', x2' a délkou tyče v S' budeme rozumět
| (viz obr. 6).
|
Podle pozorovatele v S nebyla sice
měření obou konců současná, to
však nevadí, neboť tyč je vůči S
v klidu. Polohy obou konců tyče
mají v S souřadnice x1, x2 a délkou
|.
|
tyče v S rozumíme
Vztah mezi l a l' spočteme užitím
Lorentzovy transformace:
|
|
| ·
·
Obr. 6
·
·
|, ovšem
, takže
·|
|, neboli
· .
(9')
Protože γ > 1, je také l > l'.
Pokud je tyč kolmá na osu x, pak
.
(9'')
Nazvěme l – vlastní délka tyče, tj. délka tyče v inerciální soustavě, vůči níž je tyč v klidu; l' – délka
tyče.
Závěr:
ƒ Vlastní délka tyče je ze všech délek tyče největší.
ƒ Čím rychleji se tyč vůči pozorovateli (S') pohybuje, tím je vůči němu kratší, podle vzorce (9').
ƒ Vzdálenosti (délky úseček) se zkracují pouze ve směru pohybu, viz (9'').
Umístěme nyní v S kvádr tak, že jeho hrany jsou rovnoběžné s osami x, y, z. Pro objem tohoto kvádru
v S platí V = a · b · c. Jestliže hrana rovnoběžná s osou x je například a, pak objem téhož kvádru v S' je
·
·
·
·
1
· ,
neboli
·
Vzorec (10') platí obecně pro objem libovolného tělesa.
16
.
(10')
10 ZÁVISLOST HMOTNOSTI NA RYCHLOSTI
V klasické fyzice je hmotnost tělesa považována za konstantu nezávislou na tom, v které inerciální
vztažné soustavě jsme ji měřili, neboli, což je totéž, nezávislou na tom, jak rychle se těleso vůči měřicí
aparatuře pohybuje.
Představme si nějaké těleso, na které v soustavě S působí konstantní síla F. Pokud nedochází k úbytku
nebo přírůstku počtu částic, z nichž je těleso složeno, pak platí: F = m · a, tj.
.
Protože v našem případě F = konst., m = konst., dostáváme, že těleso se pohybuje v S rovnoměrně
zrychleným pohybem s konstantním zrychlením. Jeho rychlost se tudíž mění podle vzorce v = v0 + a · t.
To ale znamená, že bude-li působení síly F trvat neomezeně dlouhou dobu, překročí časem jeho rychlost jakoukoli hranici. Těleso by se tedy mohlo začít pohybovat nadsvětelnou rychlostí, což je spor
s 2. principem relativity.
Protože konstantní sílu si představit lze, znamená to, že předpoklad konstantní hmotnosti těles je
chybný. Máme-li dosáhnout toho, že rychlost tělesa nikdy nepřekročí c, pak to značí, že s rostoucím
časem bude zrychlení tělesa klesat, což je možné jen tak, že s rostoucí rychlostí hmotnost tělesa poroste.
Než přikročíme k odvození vzorce pro závislost hmotnosti tělesa na jeho rychlosti, vyřešme nejprve
pomocný problém:
Jsou dány inerciální vztažné soustavy S, S' a S'' (viz obr. 7). Je
známa rychlost v soustavy S' vůči
S i rychlost u' soustavy S'' vůči S'.
Najděme tvar Lorentzovy transformace pro převod souřadnic z S
do S''.
Pro rychlost u soustavy S'' vůči S
platí podle (5'')
1
·
;
(*)
Obr. 7
tedy, jsou-li u', v konstanty, je i u konstantní. Proto
·
·
,
(**)
kde
1
.
1
Dosadíme-li do (**) za u (*), pak po delších a poměrně složitých úpravách (zkuste si) dospějeme ke
vzorci
·
·
· 1
(11')
,
kde
1
1
;
1
1
17
.
Příslušnou transformaci z S do S'' si jistě čtenář už dokáže napsat sám.
Nyní odvodíme vztah m = m(v).
Byly vyrobeny dvě naprosto stejné koule, které se pohybují rychlostmi u', −u' po ose x' vzhledem
k soustavě S'.
Po dokonale nepružné srážce zůstanou vůči S' v klidu. V celém odvození předpokládáme, že v každé
inerciální soustavě platí zákon zachování hmotnosti i zákon zachování hybnosti izolované soustavy
těles. (Předpoklad neprotiřečí STR a dodnes není znám jediný důvod k jeho zpochybnění.)
Z pohledu soustavy S se:
1. koule pohybuje rychlostí
·
1
a 2. koule rychlostí
.
·
1
Vzhledem k tomu, že koule nemají vůči S stejnou rychlost, nemusí mít v S ani stejnou hmotnost.
Označme m1 hmotnost 1. koule, m2 hmotnost 2. koule. Pak platí:
konstanta,
·
·
· .
Dosadíme-li do 2. rovnice za M z 1. rovnice, dostaneme
·
·
·
·
1
,
·
,
·
1
po úpravě dostaneme (ověřte)
· 1
·
·
· 1
,
podle vzorce (11'') je však
1
Zřejmě je
·
·
;1
·
·
.
, tudíž
·
·
;
po úpravě
;
což znamená, že
·
;
·
.
Pokud by se koule nepohybovaly, tj. u1 = u2 = 0, pak by m1 = m2 = m0, což je samozřejmé, neboť koule
byly vyrobeny jako stejné a jejich pohybový stav vůči S je také stejný.
18
Výsledek lze interpretovat tak, že hmotnost koule závisí na její rychlosti vztahem:
· ,
kde m0 je klidová hmotnost koule,
1
,
1
kde v je rychlost koule vůči měřicímu zařízení (které je v klidu vůči soustavě S).
Tento výsledek zobecníme na libovolné těleso.
Závěr: Hmotnost tělesa v soustavě S závisí na jeho rychlosti vůči S podle vzorce
· .
(12')
Poznámka:
Uvedené odvození vzorce (12') se v literatuře uvádí jako Lewis-Tolmanovo odvození. Je dobré si uvědomit, že je založeno na předpokladu platnosti dvou zákonů zachování (hmotnosti a hybnosti) v STR.
Dále, jak z odvození vyplývá, vzorec (12') se týká hmotnosti setrvačné. Zda se podle tohoto vzorce
mění také gravitační hmotnost, je nutno ověřit pokusem. Zde jen poznamenejme, že výsledky pokusů
potvrzují, že mezi gravitační a setrvačnou hmotností není rozdíl a tudíž (12') platí i pro gravitační
hmotnost.
Pro ilustraci významu vzorce (12') je vhodné sestrojit graf závislosti m = m(v); (viz obr. 8).
Tabulka 2
0,01
0,05
0,1
2
15
0,2
0,5
0,8
0,9
0,95
0,99
0,999
0,999 9
1,000 05
1,001 25
1,005
1,009
1,020 6
1,154 7
1,666 6
2,294
3,203
7,088 8
22,366
70,7
Obr. 8
*
· = 40 000 km · s−1 – až při této rychlosti se hmotnost tělesa zvýší o 1 % oproti klidovému stavu.
· se zpravidla při výpočtech používá vzorců klasiPrakticky se postupuje tak, že pro rychlosti
cké fyziky, neboť chyba, které se dopouštíme, je pod 1 %, ale výpočty jsou podstatně jednodušší.
19
11 EKVIVALENCE HMOTNOSTI A ENERGIE
Vraťme se v Lewis-Tolmanově odvození do soustavy S'. I zde platí oba zákony zachování. Protože
vůči této soustavě měly obě koule stejnou velikost rychlosti, platí pro ně:
;
·
·
0,
tedy
·
.
Nepříjemnost nastane až teď. Po srážce se obě koule zastaví, avšak ze zákona zachování hmotnosti
plyne, že
2·
2·
·
2·
.
Tedy, koule si po zastavení ponechají původní hmotnost, ačkoli by se jejich hmotnost měla snížit. Je
tu i jiný problém. Koule měly před srážkou kinetickou energii, ta po srážce zanikla. Předpokládáme-li,
že v inerciální vztažné soustavě platí i zákon zachování celkové energie, pak v našem případě se kinetická energie obou koulí přeměnila na jejich vnitřní energii. Víme, že koule se deformovaly a ohřály –
vzrostla tedy rychlost jednotlivých molekul. Zdá se tedy, že platí závislost: nezmění-li se celková
energie izolované soustavy těles, nemůže se změnit ani její celková hmotnost. Platí mezi celkovou
energií a celkovou hmotností tělesa (těles) nějaký vztah?
Označme rozdíl mezi skutečnou a klidovou hmotností obou koulí
2·
2·
2·
·
1 .
Matematická vsuvka: Mějme funkci
1
:
Lze dokázat, že pro
√1
1 platí přibližně
1
.
0,5 · .
Jestliže ve vzorci
2·
1
·
1
1
označíme
,
pak
1
1
0,5 ·
1
pro
1.
Za těchto podmínek dostáváme
2·
2 · 0,5 ·
· 0,5 ·
20
·
,
to jest
,
kde
2 · 0,5 ·
·
je kinetická energie soustavy obou koulí (podle klasické fyziky).
Výsledek získaný v předchozím odstavci nyní zobecníme:
Mají-li být v inerciální vztažné soustavě současně splněny zákony zachování hmotnosti, hybnosti
a celkové energie izolované soustavy hmotných objektů, pak mezi celkovou energií těchto objektů
a jejich hmotností (jednotlivě i celkově) musí platit
(13')
nebo
·
.
(13'')
Vzorce (13') a (13'') říkají přesně vzato každý něco jiného:
ƒ (13') – jakýkoli hmotný objekt, má-li energii, má nutně i hmotnost.
Například nabijeme-li kondenzátor, vznikne mezi deskami elektrické pole, které má energii
0,5 · · . Podle (13') má toto elektrické pole také hmotnost
, tudíž působí na ně
gravitace, klade odpor změně pohybového stavu atd.
ƒ (13'') – jakýkoli hmotný objekt, má-li hmotnost, pak má také energii.
To nové, co je v (13'') obsaženo, je možnost určit přesně množství této energie.
Teprve uvědomíme-li si tyto významy vzorců (13') a (13''), můžeme na ně hledět jako na jediný zákon – zákon ekvivalence hmotnosti a energie.
Kolem interpretace zákona ekvivalence hmotnosti a energie byly zpočátku spory. Kupříkladu někteří
fyzikové se domnívali, že se jedná o vzájemné přeměny hmoty v energii a obráceně. Dnešní pohled
(a plyne z celého odvození) je ten, že celková hmotnost a celková energie hmotného objektu jsou dvě
charakteristiky tohoto objektu, které nejsou nezávislé, ale jsou svázány vztahem (13'), resp. (13'').
Například koná-li jeden hmotný objekt práci a ztrácí tudíž energii, pak ztrácí i hmotnost. Konáním
práce se však přenáší energie na jiné hmotné objekty, jejichž hmotnost proto roste. Vezmeme-li
v úvahu všechny hmotné objekty, které se této „transakce“ zúčastnily, pak celková hmotnost a celková
energie této soustavy byla po celý průběh „transakce“ konstantní, došlo jen k „přerozdělení“ této
hmotnosti a energie mezi jednotlivé objekty.
21
12 FOTONY V STR
Zvláštní postavení fotonů je dáno tím, že se pohybují rychlostí c. Již bylo řečeno, že vztažná soustava,
která je vůči fotonu v klidu, není inerciální, neboť pro v = c není definováno γ. To však znamená, že
vzorec (12') rovněž nemá v případě fotonů smysl.
Zvyšuje-li se stále rychlost tělesa, pak v blízkosti c se hmotnost tělesa blíží nekonečnu. To by nás
ovšem každý foton při srážce rozmačkal. Místo toho jsme bez úhony na zdraví zasahováni v každém
okamžiku triliony fotonů. Formálně tento rozpor řešíme slovy:„Klidová hmotnost fotonu je nulová.“
Co to znamená ve skutečnosti?
Jednou z vlastností fotonů je, že buď neexistují (pak nemá smysl o jejich hmotnosti mluvit), anebo
existují (pak mají rychlost c). Pokud foton existuje, má energii Ef = h · f, kde h = 6,625 · 10−34 J · s
a f je jeho frekvence.
Podle (13') je hmotnost fotonu
, tedy
·
.
(14')
Hmotnost fotonu v dané inerciální soustavě je tedy plně určena jeho frekvencí. Otázku, zda týž foton
má v S i S' tutéž frekvenci (a tudíž i hmotnost) vyřešíme v příkladu 3. b) (kapitola 15).
Závěr:
Vzorec (12') je v případě fotonů nepoužitelný. Termín klidová hmotnost fotonu nemá skutečný fyzikální obsah.
U fotonů ztrácejí smysl také vzorce (4') a (9'). Pro nás to bude znamenat, že v STR nemá smysl hovořit
ani o rozměrech fotonů, ani o plynutí času v soustavě spojené s fotonem.
U fotonů lze předpokládat, že mají hybnost, neboť je známo, že elektromagnetické záření působí při
dopadu na překážku tlakem. To lze vysvětlit změnou hybnosti jednotlivých fotonů při dopadu na překážku:
·
·
·
·
,
protože
,
dostáváme
.
22
(15')
13 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY
ƒ Výsledky STR, k nimž jsme v předchozích kapitolách dospěli, lze ve většině případů považovat za
experimentálně ověřené. Za vůbec nejlépe ověřené lze dnes pokládat vzorce (4'), (12'), (13'), (13''),
(14') a (15'). Popis příslušných experimentů lze najít v [1], [3], [6] a prakticky v každé odborné literatuře zabývající se STR. Popis některých experimentů je také součástí některých řešených příkladů.
ƒ Je známo, že kolem vodičů s proudem (tj. kolem pohybujících se nábojů) vzniká magnetické pole.
V inerciální vztažné soustavě, vůči níž jsou tyto náboje v klidu, však magnetické pole registrovat
nebudeme. Hovořit tedy zvlášť o elektrickém a zvlášť o magnetickém poli nemá v STR hlubší
smysl. Z hlediska STR se vždy jedná o pole elektromagnetické, jehož rozdělení na složku magnetickou a elektrickou je relativní. Podrobněji viz např. [3] a hlavně [1].
ƒ V STR platí také zákon zachování elektrického náboje izolované soustavy nábojů. Speciálně platí,
že elementární náboj je veličina absolutní, nezávislá na pohybovém stavu elektronu (protonu), tj. ve
všech inerciálních vztažných soustavách stejná.
23
14 PŘÍKLADY
Ke kapitolám 3 a 4
1. Dva fyzikové, jeden na Zemi, druhý v raketě letící od Země, si ve své laboratoři sestavili (každý
z nich) pomocí stejných přístrojů stejné pokusy.
a) Každý z nich pečlivě zapisuje pozorování svého pokusu do svého deníku. Po čase se sejdou
a porovnají své zápisy. Co zjistí?
b) Každý z nich pečlivě zapisuje pozorování kolegova pokusu do svého deníku. Co zjistí při porovnání zápisů nyní?
c) Co zjistí při porovnání zápisů z případu a), b)?
2. Ze Země byl vyslán k raketě světelný signál. Jakou rychlostí se raketa pohybuje, jestliže kosmonaut volnou chůzí stačí světlu prolétajícímu raketou?
3. V čase t = 0 byl podél osy x vyslán v obou směrech světelný signál. Za jednu minutu dorazí signál do míst A, B ležících na opačných poloosách osy x (bod A leží na kladné poloose). Určete,
kdy dorazil signál do bodů A, B podle hodin v S', která se vůči S pohybuje rychlostí v = 0,2 · c.
49 s;
73,5 s]
[
4. Dvě události A, B mají v S souřadnice [xA, yA, zA, tA], [xB, yB, zB, tB]. Ukažte, že tzv. časoprostorový interval sAB, pro který platí
·
,
je veličina nezávislá na volbě inerciální vztažné soustavy.
Ke kapitolám 5 a 6
5. Dvě události A, B se v S odehrály současně na ose x ve vzájemné vzdálenosti 106 km (xB > xA).
a) Určete rychlost v soustavy S', v níž se událost A odehrála o jednu sekundu dříve.
b) Jaké je časové pořadí obou událostí v soustavě S'', která má vůči S rychlost −0,5 · v?
[v = −8,62 · 104 km · s−1; v S'' nastane událost B dříve o 0,483 s]
6. V S má událost A souřadnice xA = −105 km, tA = 0 s a událost B má souřadnice xB = 105 km,
tB = 0,5 s. Jakou rychlostí se musí pohybovat soustava S', v níž jsou obě události současné?
[v = 2,25 · 105 km · s−1]
7. Ve svazku nestabilních částic pohybujících se rychlostí 0,8 · c vůči laboratoři dojde během průletu vzdálenosti 48 m k přeměně 75 % částic. Určete poločas přeměny částic:
a) v soustavě laboratoře;
b) v soustavě spojené s letícími částicemi.
[T0' = 10−7 s; T0 = 0,6 · 10−7 s]
8. U žárovek je uvedena průměrná životnost 60 hodin. Jak dlouho budou v průměru svítit v raketě
pohybující se vůči Zemi rychlostí v = 0,5 · c:
a) podle hodin v raketě;
b) podle pozemských hodin?
[a) 60 h; b) 69,28 h]
Ke kapitolám 7 a 8
9. Kolem rakety vzdalující se od Země rychlostí 0,2 · c prolétá jiná raketa vracející se k Zemi. Vzájemná rychlost obou raket je 0,35 · c. Určete rychlost vracející se rakety vůči Zemi.
[−0,161 3 · c = 48 390 km · s−1]
10. Hmotný objekt se pohybuje vůči Zemi rychlostí u = (0,2 · c; 0,5 · c; 0,6 · c). Určete:
a) velikost rychlosti objektu vůči Zemi;
b) rychlost objektu vůči raketě vzdalující se od Země rychlostí v = (0,4 · c; 0; 0);
c) velikost rychlosti objektu vůči raketě.
[a) u 0,806 · c; b) u' (−0,217 4 · c; 0,498 · c; 0,598 · c); c) u −0,808 · c]
24
11. Ve 23 h 15 min 14 s dne X došlo ke srážce kosmické lodi s malým planetoidem ve vzdálenosti
380 milionů km od Země. Ve 23 h 27 min 35 s téhož dne spadl na Zemi, v ložnici manželky kapitána kosmické lodi, ze stěny portrét jejího manžela. V místních spiritistických klubech byla
mezi oběma událostmi spatřována příčinná souvislost. Právem?
[Neprávem! Signál přenášející informaci o srážce by se musel pohybovat nadsvětelnou rychlostí.]
12. Dvě rakety se vzdalují od Země stejným směrem rychlostmi v1 = 0,4 · c vůči Zemi, v2 = 0,7 · c vůči první raketě. Kolem raket prolétají stejným směrem protony kosmického záření, jejichž rychlost vůči Zemi je 0,98 · c. Určete rychlost protonů vůči 1. a 2. raketě.
[u1' = 0,954 · c; u2' = 0,76 · c]
Ke kapitolám 9 a 10
13. Pravoúhlý trojúhelník ABC o stranách a, b, c je v klidu
vůči soustavě S (viz obr. 9). Vyjádřete závislost úhlu α'
a obsahu P' trojúhelníka v soustavě S' na vzájemné
rychlosti obou vztažných soustav.
[tg α' = γ · tg α; P' = γ · P]
14. Na ose x leží (viz obr. 10) kosočtverec ABCD, přičemž
e = |AC| = 24; f = |BD| = 10. Kolem kosočtverce prolétá, ve směru osy x, pozorovatel, který však místo kosočtverce zaregistroval čtverec. Určete rychlost pozorovatele vůči kosočtverci.
[v = 0,91 · c]
Obr. 9: K příkladu 13.
15. Určete závislost hustoty tělesa na
jeho rychlosti vůči pozorovateli. Při
jaké rychlosti bude hustota hliníku
stejná jako klidová hustota železa?
[ρ = γ2 · ρ0, kde ρ0 je klidová hustota; v = 0,81 · c]
16. Při jaké rychlosti se hmotnost tělesa
o klidové hmotnosti 1 tuna zvětší
o 1 gram?
[v = 424,264 km · s−1]
Obr. 10: K příkladu 14.
Ke kapitolám 11 a 12
17. Jak velká energie je k dispozici v 1 kg látky? Jak dlouho by tuto energii vyráběla elektrárna s výkonem 400 MW?
[9 · 1016 J; 2,25 · 108 s = 7,13 roku]
18. Voda v jezeře má objem 300 milionů m3. O kolik se změní hmotnost vody, jestliže teplota vody
klesne o 1 K? Změnu objemu a hustoty zanedbejte.
[zmenší se o 14 g]
19. Elektron o kinetické energii 1 MeV vletí do homogenního magnetického pole o indukci 0,1 T
kolmo na indukční čáry.
a) Jaká je celková energie elektronu před vstupem do magnetického pole?
b) Dojde při vstupu do magnetického pole ke změně hmotnosti a energie elektronu?
c) Určete poloměr dráhy elektronu v magnetickém poli.
[a) 1,51 MeV; b) nedojde; c) asi 4,7 cm]
20. Jakou rychlostí se pohybuje těleso, jehož kinetická energie je rovna jeho celkové klidové energii?
[0,866 · c]
25
21. Určete energii, hmotnost a hybnost fotonu o vlnové délce:
a) 600 nm;
b) 100 nm;
c) 10 pm.
[a) 2,07 eV; 3,68 · 10−36 kg; 1,1 · 10−27 kg · m · s−1; b) 12,4 eV; 2,21 · 10−35 kg;
6,6 · 10−27 kg · m · s−1; c) 0,124 MeV; 2,21 · 10−31 kg; 6,6 · 10−23 kg · m · s−1]
Obtížnější příklady
22. Dvě rakety letící za sebou od Země mají rychlosti (vůči Zemi) v1 = 0,2 · c, v2 = 0,35 · c. V okamžiku, kdy druhá raketa byla 106 km za první raketou, byl z druhé rakety vyslán rádiový signál
k první raketě. Za jak dlouho ji dostihne:
a) podle pozemských hodin;
b) podle hodin v 1. raketě;
c) podle hodin v 2. raketě?
[a) 4,17 s; b) 3,4 s; c) 2,89 s]
23. Dvě hodiny po průletu rakety pohybující se rychlostí 0,4 · c kolem Země byl k raketě vyslán ze
Země rádiový signál. Po dostižení rakety byl 10 minut (podle hodin v raketě) zpracováván, načež
byla odeslána odpověď. Jak dlouhá doba uplynula od vyslání signálu po návrat odpovědi:
a) podle pozemských hodin;
b) podle hodin v raketě?
[a) 10 516,5 s; b) 11 474,5 s]
24. He-Ne laser (kontinuální provoz) má zářivý výkon 20 mW a vyzařuje na vlnové délce 632,8 nm.
Laserový paprsek dopadá kolmo na bílou plochu o průřezu 0,5 mm2.
a) Jakým maximálním tlakem může působit dopadající světlo na odraznou plochu?
b) Jak by se změnil výsledek, kdyby tato plocha byla černá?
[a) 0,267 mPa; b) poloviční tlak]
25. Atom vodíku vyzáří foton o vlnové délce 436 nm. Určete změnu hmotnosti atomu. Jakou rychlost
získal atom? (Předpokládáme, že atom byl původně v klidu. Klidová hmotnost atomu
m0 = 1,672 91 · 10−27 kg.)
[úbytek o 5,06 · 10−36 kg; asi 0,91 m · s−1]
26. Při štěpení jádra
U se uvolňuje energie 200 MeV. V reaktoru se rozpadne 10 g uranu za
24 hodin. Účinnost reaktoru je 26 %. Kolik tepla se uvolňuje v reaktoru každou sekundu?
[0,24 MJ · s−1]
27. V soustavě S má přímka rovnici :
·
. Zjistěte, zda pozorovatel v S' vnímá tuto množinu bodů opět jako přímku. Jestliže ano, jakou má směrnici? Jaká je závislost y-ové souřadnice
průsečíku přímky p' s osou y' na čase?
[Ano, opět jako přímku, která se vůči němu posouvá! Jestliže má tato přímka rovnici
:
·
, pak
· ;
· · ·
.]
28. Na společné přímce se nacházejí tři pozorovatelé P1, A, P2, přičemž P1 i P2 se od A vzdalují na
opačné strany. Pozorovatel A prováděl ve své laboratoři experiment, který podle jeho hodinek trval 10 s. Pozorovatel P1 zjistil na svých hodinkách, že experiment trval 12 s, pozorovatel P2 změřil na svých hodinkách 15 s. Určete vzájemnou rychlost pozorovatelů P1, P2.
[0,92 · c]
29. Na zemi dopadá na každý 1 m2 plochy kolmé ke spojnici Země–Slunce zářivý výkon 1 360 W.
Odhadněte energii vyzářenou Sluncem za 1 s. Jak velký úbytek hmotnosti Slunce za 1 s to představuje?
[3,83 · 1026 J · s−1; 4,25 · 109 kg · s−1]
26
30. Těleso o klidové hmotnosti 1 kg se pohybuje po ose x rychlostí 0,6 · c. Určete jeho celkovou
energii a hybnost:
a) v soustavě S;
b) v S', která se vůči S pohybuje rychlostí 0,5 · c.
[a) E = 11,25 · 1016 J, p = 2,25 · 108 kg · m · s−1; b) E' = 9,09 · 1016 J, p' = 0,43 · 108 kg · m · s−1]
31. Na Zemi kmitá kulička na pružině s periodou T (změny hmotnosti a tuhosti pružiny během kmitu
zanedbáváme). Podle pozorovatele v S' kmitá táž kulička s periodou T'. Najděte vztah mezi tuhostí pružiny v S a v S'.
32. Vysvětlete, proč v STR nemá pojem „tuhé těleso“ smysl.
27
15 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
1. Řešte příklad s plavci a lodí (kapitola 2) v inerciální vztažné soustavě spojené s lodí L1.
Řešení:
a) První plavec plave nejprve z L1 do L2. Z pohledu cestujících na lodi musí plavec uplavat vzdálenost d, přičemž se vzhledem k lodi pohybuje rychlostí u1 = u − v. Podobně při cestě zpět se
pohybuje rychlostí u2 = u + v. Doba tc, za kterou se vrátí na loď, je tedy
2·
1
·
.
1
b) Druhý plavec plave z pohledu cestujících po přímce L1L3, protože je však odnášen proudem rychlostí −v, musí při plavbě mířit šikmo ke spojnici L1L3, máli se výsledně pohybovat po této spojnici (viz obr. 11).
· 1
.
Při cestě tam i zpět je popsaná situace analogická, proto doba tc', za kterou se
plavec vrátí na loď, je
2·
2·
1
·
.
1
Obr. 11
Pro tc i tc' jsme dostali stejné výsledky jako v kapitole 2. Výpočet byl proveden
bez použití STR, neboť pro plavce zcela jistě platí (u, v c!).
2. Ukažte, že výsledek Michelsonova pokusu je v souladu s STR jak z pohledu pozorovatele na
Zemi, tak také z pohledu pozorovatele, vůči němuž se Země pohybuje rychlostí v = konst.
Řešení:
a) Pro pozemského pozorovatele je |PZ, Z2| = |PZ, Z3| = d (viz obr. 4, s. 7), rychlost světla je ve
všech směrech stejná, tudíž oba paprsky se k PZ vrátí současně, dráhový rozdíl mezi nimi nevznikne, k interferenci nedojde.
b) Pro pozorovatele vůči němuž se Země pohybuje rychlostí v např. ve směru PZ–Z2 platí:
|PZ, Z2| = γ−1 · d; |PZ, Z3| = d.
Pro 1. paprsek (z PZ do Z2) platí
·
·
;
po úpravě
;
·
na zpáteční cestě (ze Z2 do PZ) platí
·
·
28
;
po úpravě
;
·
celkový čas
2·
…
· .
Pro 2. paprsek (z PZ do Z3 a zpět) se úvaha z příkladu o plavcích (z kapitoly 2) nemění, takže
t c' = t c.
Ani v tomto případě nedojde k interferenci, příčinou je kontrakce ramene |PZ, Z2|.
3. Na kazetě je uvedena doba trvání písně 7 minut. Pozemská stanice zařadila tuto píseň do svého
vysílání, které bylo zachyceno raketou vzdalující se od Země rychlostí 80 000 km · s−1.
a) Jak dlouho trvá vysílání písně podle pozorovatele v raketě?
b) Jak dlouho trvá píseň podle posluchače v raketě?
Řešení:
a) Označme S – vztažná soustava spojená se Zemí; S' – vztažná soustava spojená s raketou.
Vysílání proběhlo v S na témž místě, lze použít vzorec pro dilataci času
∆
·∆
435,8 s
Má-li posádka rakety stejnou kazetu s sebou, může prohlásit, že pozemské vysílání je zpomalené.
b) Označme t1 – počátek vysílání na Zemi; t2 – konec vysílání na Zemi; t11 – počátek příjmu
v raketě; t22 – konec příjmu v raketě; x11 – poloha rakety v čase t11; x22 – poloha rakety v čase
t22. Všechny uvedené souřadnice jsou souřadnice v S!
Podle hodin v raketě byl počátek příjmu t1' a konec příjmu t2'. Doba příjmu podle hodin v raketě je
·
·
∆
·
·
Zřejmě je
·
·
∆
.
·
· ∆ , kde ∆
·
.
Je tedy
·
∆
·
·
…
·∆ .
Zbývá vyjádřit tx.
Příjem rádiového signálu v raketě probíhal podle pozemských hodin v intervalu (t11; t22), pro
jehož krajní hodnoty platí:
·
; ·
;
;
.
· ∆ , dostaneme
S ohledem na to, že
∆
·∆
, kde ∆
29
.
Celkem:
∆
·
·∆
.
(*)
V našem případě je ∆t' = 552 s.
V raketě uslyší zhruba totéž, jako když gramofonovou desku pustíte omylem na nižší otáčky.
Poznámka:
Vzorec (*) si zaslouží pozornost. Představme si, že ∆t = T je perioda zdroje elektromagnetických vln v inerciální vztažné soustavě, vůči níž je zdroj v klidu. Pak ∆t' = T' je perioda tohoto vlnění podle přístrojů v S'.
1
·
·
· ,
nebo pro frekvence
· .
(**)
Skutečnost, že frekvence zdroje vlnění je odlišná od frekvence zjišťované příjemcem se nazývá Dopplerův jev a pro elektromagnetické vlnění je tento jev popsán vzorcem (**). Pokud se
příjemce vlnění pohybuje ke zdroji, změníme v (**) znaménko u rychlosti v. V případě, že
v c, přechází vzorec (**) na tvar
· ,
což je v souladu se vzorcem pro klasický Dopplerův jev (platný pro libovolné vlnění)
· ,
kde v je rychlost příjemce vůči zdroji vlnění; u je rychlost šíření vlnění vůči zdroji.
4. Dvacet minut poté, co kolem pozemského stanoviště prolétla raketa rychlostí 0,3 · c, prolétla týmž
směrem druhá raketa rychlostí 0,45 · c (rovněž vůči Zemi). Za jak dlouho po průletu kolem Země
dostihne druhá raketa první raketu podle hodin:
a) na Zemi;
b) v 1. raketě;
c) v 2. raketě?
Řešení:
a) t0 = 20 min = 720 s; t – hledaný čas; v = 0,3 · c; u = 0,45 · c.
V okamžiku, kdy 2. raketa dostihne první, urazí obě stejnou vzdálenost od Země, tj.
·∆
· ∆
a po úpravě
∆
·
;
v našem případě ∆t = 40 min.
b) Zjišťujeme vlastně časovou odlehlost dvou událostí; A – průlet 2. rakety kolem Země,
B – 2. raketa dostihla 1. raketu.
30
V soustavě 1. rakety nenastaly události A, B na témž místě, proto k výpočtu hledaného času
nelze použít vzorec pro dilataci času.
1. varianta:
Z pohledu posádky 1. rakety se Země vzdaluje rychlostí −v, 2. raketa se přibližuje rychlostí u'
a samotná 1. raketa je v klidu. V okamžiku tA' je vzdálenost 2. rakety od 1. rakety
·
1
·
·
;
konkrétně l' = 1,132 · 108 km;
její rychlost
· ;
1
konkrétně u' = 52 023 km · s−1.
Z pohledu posádky tedy řešíme banální problém – za jak dlouho překoná 2. raketa pohybující
se rychlostí u' vzdálenost l'.
;
∆
konkrétně ∆t' = 2 176 s.
2. varianta:
Určíme tA, xA, tB, xB a pomocí Lorentzovy transformace určíme ∆t'.
0;
∆
;
·
·
∆
·
1
·∆ ;
·
∆;
·∆
·
· ∆
·
·
,
což po dosazení dá opět ∆t' = 2 176 s.
c) Z pohledu posádky 2. rakety jsou události A, B soumístné (proběhly na témž místě), tudíž lze
použít vzorec pro dilataci času.
Čas ∆
je vlastní čas děje, a tedy
·∆
∆
∆
1
;
· ,
∆t'' = 2 143,3 s.
5. Částice s nábojem q a klidovou hmotností m0 byla z klidu urychlena napětím U, načež vlétla do
homogenního magnetického pole o indukci B kolmo na indukční čáry. Určete poloměr kružnice
opisované částicí v magnetickém poli. Pro která napětí se poloměry vypočtené klasicky a relativisticky liší nejméně o 1 %? Spočtěte pro elektron a proton.
Řešení: Úlohu řešíme v dané inerciální soustavě (např. laboratoře).
31
a) Předpokládejme, že veškerá energie, kterou částice získala od elektrického pole, se použila na
růst energie částice
·
·
·
·
·
1 ,
odtud
·
·
.
·
(α)
Protože
1
,
1
dostáváme po úpravách (proveďte)
·
·
2·
·
·
·
·
·
.
(β)
Pro hledaný poloměr platí
·
·
· ·
.
·
(γ)
Uvažme, že q není na rychlosti závislé a B je daná veličina, která se pohybu částice neúčastní
(magnetické pole je vůči laboratoři v klidu). Dosazením (α), (β) do (γ) a po úpravě dostáváme
(podrobně odvoďte)
2·
·
·
.
(δ)
b) Pokud výpočet provedeme klasicky, platí
·
0,5 ·
·
,
tedy
2·
·
,
dále
·
·
a dostaneme
·
2·
·
.
Je vidět, že r > r'.
Zajímá nás případ:
1,01 ·
,
po dosazení z (δ), (ε) dostaneme po úpravách
·
2·
·
32
1
1,01
(ε)
a po dalších úpravách
0,020 1 · 2 ·
·
·
.
c) Pro elektron je U ≥ 20 551,7 V. Pro proton je U ≥ 37 760 900 V.
6. Částice se pohybuje translačním pohybem ve směru osy x rychlostí u. V inerciální soustavě S má
energii E a hybnost p. Určete její energii a hybnost v soustavě S'.
Řešení:
V S' má částice rychlost
· ;
1
·
·
·
;
·
·
·
.
Ze vzorce (11') a z 1. principu relativity plyne, že
·
· 1
·
· 1
·
.
Po dosazení dostaneme
·
·
·
;
ale
·
;
·
·
·
,
ovšem
·
;
·
,
takže
·
·
,
to jest
·
(α)
.
1
Obdobně
·
·
·
·
·
1
·
·
· 1
·
·
·
·
·
·
.
1
33
(β)
7. Dokažte, že mezi energií a hybností tělesa (v dané inerciální soustavě) platí vztah
·
·
.
Řešení:
· ;
;
·
,
1
kde v je rychlost tělesa v dané vztažné soustavě.
·
;
1
·
;
1
·
·
·
·
;
1
·
·
.
(*)
Poznámka:
Speciálně pro foton platí
·
·
· ,
což lze formálně získat i tak, že ve vzorci (*) položíme m0 = 0.
8. Při srážce fotonu s volným elektronem se mění vlnová délka odraženého fotonu (Comptonův
jev).
a) Vysvětlete proč.
b) Jak se změní vlnová délka fotonu λ = 20 pm v případě, že po srážce s elektronem svírá úhel π
s původním směrem šíření?
c) Jakou rychlost má po srážce elektron?
Řešení:
a) Při srážce získá elektron kinetickou energii. Ze zákona zachování energie plyne, že energie fotonu musela klesnout. Protože
·
·
,
znamená to, že vlnová délka fotonu bude po srážce větší.
b) Ze zákona zachování hybnosti plyne
;
kde pe je hybnost elektronu;
(α)
34
1
·
1
.
Ze zákona zachování energie dostaneme
·
·
·
;
kde Ee je celková energie elektronu,
1
· ·
1
·
·
(β)
.
Podle výsledku předchozího příkladu je
·
·
.
Po dosazení do (β) a umocnění na druhou dostaneme
·
·
1
1
2·
·
·
1
·
1
·
·
·
.
Po dosazení z (α) za pe dostaneme
·
·
1
1
2·
·
·
·
1
1
1
1
·
·
1
1
a po úpravě
2·
·
·
·
4·
·
·
.
Obě strany rovnice vynásobíme výrazem
·
2·
·
a po úpravě dostaneme konečný výsledek
2·
;
·
pro λ = 20 pm dostaneme λ' = 24,85 pm.
Poznámka:
Protože
·
·
4,85 pm, je zřejmé, že větší efekt v procentech je pozorovatelný pro malé vl-
nové délky dopadajících fotonů (tedy rtg. záření nebo γ-záření). Podobně je možno usoudit, že
Comptonův jev bude na těžších částicích pravděpodobně nepozorovatelný. (Proč?)
c) Pro hybnost elektronu po srážce platí jednak
1
·
1
,
jednak
·
·
.
1
Z posledního vzorce dostaneme
·
·
35
.
Dosadíme-li za pe z (α), pak
· ·
·
1
h ·
1
1
.
1
V našem případě je v = 600 km · s−1.
Poznámka:
V obecném případě, kdy rozptýlený foton svírá s původním směrem šíření úhel (viz obr. 12),
lze pro vlnovou délku λ' rozptýleného fotonu odvodit (viz [2]) vzorec
·
Obr. 12
36
· 1
cos
.
(Comptonův vztah)
LITERATURA
[1]
Václav Votruba: Základy speciální teorie relativity (Academia, Praha, 1977).
[2]
Arthur Beiser: Úvod do moderní fyziky (Academia, Praha, 1977).
[3]
Josef Fuka: Doplněk k učivu fyziky pro 4. ročník gymnázia (SPN, Praha, 1974).
[4]
R. A. Gladkovová a kol.: Sbírka úloh a otázek z fyziky (HAYKA, Moskva, 1980).
[5]
Miroslav Kružík: Sbírka úloh z fyziky (SPN, Praha, 1969).
[6]
Karel Bartuška: Kapitoly ze speciální teorie relativity (SPN, Praha, 1989).
37