Dynamika

Dynamika
Hybnost:
p=m v .
Newtonův zákon síly: F=
dp
, pro m=konst platí
dt
F =m
dv
=m a .
dt
t2
Impulz síly: I =∫t F  t d t .
1
Zákon akce a reakce:
F 1 =−F 2
Newtonovy pohybové rovnice:
d2 rt  F
=
.
m
d t2
i =N
Výsledná síla:
F= ∑ F i ,
i =1
Moment síly:
M=
dL
=r ×F , ∣M ∣=r F sin  ,
dt
i= N
Výsledný silový moment: M = ∑ M i .
i=1
.
Moment hybnosti hmotného bodu s konstantní hmotnosti m, rychlosti v a polohovém vektoru r je
L=m r×v .
Velikost momentu hybnosti L je
L=m r v sin  .
Dokonale pružná srážka: zachovává se hybnost a energie systému.
Dokonale nepružná srážka: zachovává se pouze hybnost systému.
Řešený příklad č.1: Ukažte, že v poli centrální síly se zachovává moment hybnosti L hmotného bodu.
Řešení: V poli centrální síly platí
r∥F c ⇒ r×F c =0 ,
současně je moment hybnosti L a moment síly M svázán vztahem
dL
= M =r ×F c .
dt
Odtud a z předchozího vztahu ihned plyne, že
dL
=0⇒ L=konst .
dt
Řešený příklad č.2: Najděte pohybovou rovnici kuličky o průměru D=6mm a hmotnosti 1g, kterou
ponoříme do odměrného válce s glycerinem a upustíme ji. Určete od kterého okamžiku se bude
pohybovat prakticky rovnoměrným pohybem. Jakou celkovou dráhu urazí za dobu t=5s?
Řešení: Na kuličku pohybující se prostředím působí odpor prostředí silou která je úměrná rychlosti
kuličky a má opačný směr, tj. F o =−k v . Dále na kuličku působí gravitační síla F g =m g , která
směřuje ve směru rychlosti kuličky. Dostáváme potom následující pohybovou rovnici
m
dv
=m g−k v . (1)
dt
Když vydělíme obě strany rovnice (1) hmotností kuličky m a zavedeme nový parametr
=
k
m
dostaneme rovnici
dv
g
= −v 

. (2)
dt
Je snadné určit, že jednotkou veličiny g/ jsou m/s . Zavedeme další parametr v1 =g/ , což je
maximální rychlost kterou v odporujícím prostředí kulička dosáhne. Snadno se o tom přesvědčíme
dosazením v=v1 do rovnice (2). V takovém případě totiž je zrychlení kuličky a=dv/dt = 0 .
Řešíme následující rovnici
dv
= v 1 −v 
.(3)
dt
Abychom obdrželi jednoznačné řešení musíme specifikovat počáteční podmínky pohybu. V našem
případě ze zadání plyne, že počáteční rychlost kuličky je v0=0 m/s, počáteční čas je t0=0s a položíme-li
počátek souřadnic do ŕovně hladiny glycerinu, tak počáteční dráha je s0=0m. Zavedeme substituci
z=v 1 −v ⇒
a řešíme rovnici
d z −d v
=
d t dt
dz
dz
=− z ⇒ ∫ =∫ d t ,
dt
z
která má řešení
ln z−ln z 0= t ,(4)
kde z 0=v 1 , protože
v 0 =0 . Z rovnice (4) dostaneme výsledek
v  t=v 1  1−e− t  . (5)
Z tohoto výsledku je ihned vidět, že pro dostatečně velký exponent se kulička bude prakticky
pohybovat rovnoměrným pohybem rychlostí v=v1.
Koeficient k je dán výrazem
k=6  R ,
kde R je poloměr kuličky a  je koeficient viskozity prostředí. Pro glycerin je kg m-1 s-1. Ze
zadání je R=D/2=3mm=0.003m a m=1g=0.0001kg. Vezmeme-li za hodnotu gravitačního zrychlení
g=9.81 ms-2 bude koeficient = 83.7 s-1. Řekněme, že se kulička bude pohybovat téměř rovnoměrně
když dosáhne rychlosti v=0.995 v1 .Z rovnice (5) potom dostaneme, že
t=
−1 v 1 −0.995v 1 −1
ln
=
ln 0.005=0.06 s .

v1

Dráhu s(t) jako funkci času určíme integrací
t
s t =∫ v  t '  d t ' =v 1 t
0
v 1 −t v 1 .
e −


Rychlost v1=g/ = 0.12 m/s. Dráhu, kterou urazí kulička za 5 s z klidové polohy je potom s(t=5s)=59.8
cm. Pokud bychom nechali kuličku od začátku pohybu se pohybovat rovnoměrně rychlostí v1, tak by
urazila dráhu s=60 cm.
Příklad č.1: Určete vektor síly působíci na hmotný bod o hmotnosti m=0.6kg, jehož polohový vektor
je dán rovnicí r  t=13t 2 i2−t 3  jt 4 k . Určete směr a velikost této síly v čase t=1s.
Řešení:
cos =
Ft =3.6 i−3.6t j7.2t 2 k , ∣Ft=1s ∣=8.8N , cos =
F y −3.6
F 7.2
=
=−0.41 , cos = z =
=0.818 .
F
8.8
F 8.8
F x 3.6
=
=0.41 ,
F 8.8
Příklad č.2: Jaká síla působí hmotný bod s hmotností m pohybující se v rovině X-Y podle rovnic
1 2
x  t=ac t , y  t=b− d t ? Určete po jaké trajektorii se hmotný bod pohybuje.
2
Řešení: F=−m d j . Trajektorie je parabola
y =b−
1b
 x −a2 .
2c
Příklad č.3: Najděte závislost polohového vektoru r hmotného bodu, o hmotnosti 1kg, na čase t, který
se v čase t=0s nacházel v bodě A=(0,1) a komponenty rychlosti byli v0=(1,0) m/s a na který působí síla
daná rovnicí F  t= 10 N  i−5 t N  j .
Řešení:
r  t=t 15t  i1−5 /6 t 3  j .
Příklad č.4: Ukažte, že zákon zachování hybnosti plyne z 2. a 3. Newtonova pohybového zákona.
Pomůcka:
F i =d p i / d t , F 1=−F 2 .
Příklad č.5: Dvě koule se pohybují před srážkou rychlostmi v 1 =−3 i4 j−k m /s a v 2 . Po
srážce se pohybují rychlostmi v ' 1= 2i j2 k m /s a v ' 2= 4 i−3 jk m /s . Jakou rychlostí se
pohybovala koule č.2 před srážkou? Hmotnosti koulí jsou m1=1kg a m2=0.5kg.
Řešení: v 2 =14 i−9 j7 k m/ s .
Příklad č.6: Dva mladí fyzikové Einstein a Newton se rozhodli uspořádat následující experiment. V
tělocvičně umístnili dva míče následujícím způsobem. Míč E položili dorostřed tělocvičny na zemi a
míč N byl odvážně zavěšen ve výšce 3m nad podlahou a jeho kolmo vržený stín 10 m od míče E. Ve
smluvený okamžik Newton přeřízne lano a uvolní míč N a Einstein vykopne míč E tak aby zasáhl
padající míč N. Jaký musí být poměr x-ové a y-ové složky rychlosti vykopnutého míče, aby se
experimet povedl?
Řešení:
v 0X 10
=
v 0Y 3
.
Příklad č.7: Einstein a Newton provádějí experiment jehož konfigurace je stejná jako v příkladu č.6.
Nyní se bude Einstein snažit zasáhnout míč N v okamžiku kdy bude 0.5 m nad podlahou. Pod jakým
úhlem (sevřený vektorem rychlosti a tečným vektorem k podlaze) a jakou rychlostí musí být míč E
vykopnut?
Řešení: =ArcTan

h
=16.7 ˚
s
, v0=

g
 h2 s2 =14.6 m /s .
2 h− y2 
Příklad č.8: Bruslař, vážící 70 kg, stojí v klidu na ledové dráze. Na zádech má připevněno speciální
zařízení, které vystřeluje puky rychlostí 25 m/s vůči bruslaři s frekvencí 1 s-1. V zásobníku jich má 5 a
každý váží 0.2 kg. Jakou rychlostí v se bude bruslař pohybovat v čase t=2 s? Jakou urazí dráhu za dobu
3 s?
Řešení: v=0.17 m/s, s=0.37m .
Příklad č.9: Automobil o hmotnosti 1000 kg se pohybuje konstantní rychlostí v=50km/h ve směru osy
x. V určitém okamžiku řidič přidá plyn a tím efektivně způsobí, že na auto působí výsledná síla o
velikosti 1200 N ve směru pohybu auta. Jakou rychlostí se bude automobil pohybovat 10s po začátku
akcelerace a jakou dráhu za těch 10 s urazí?
Řešení:v(t=10s)=25.9 m/s = 93.2 km/h, s=199m .
Příklad č.10: Automobil jede z kopce, jehož úhel klesání je 12 . V okamžiku, kdy auto začalo sjíždět
z kopce ukazoval jeho tachometr rychlost 60 km/h.Ridič vyřadil rychlostní stupeň a pohybuje se na
volnoběh. Jakou rychlostí v se bude pohybovat v okamžiku, kdy sjede z kopce v případě, že převýšení
je 40m? Jak dlouho bude trvat než auto sjede z kopce dolů?
Řešení: v=118.3km/h, t=7.7s .
Příklad č.11: Kulečníková koule o hmotnosti 0.2 kg narazila na mantinel stolu pod úhlem 40
rychlostí 4 m/s a odrazila se stejně velkou rychlostí jak je naznačeno na obrázku. Náraz trval po časový
interval o velikosti t = 0.1s .
Určete:
1. změnu hybnosti koule p,
2. střední sílu Fs, kterou působí mantinel na kouli,
3. střední sílu F's, kterou půsbí koule na mantinel.
Řešení: 1.  p= p2 − p 1=−1.23 i[ kg m s−1 ] , 2. F s =
p
=−12.3 i [ N ] , 3. F ' s =−F s .
t
Příklad č.12: Výtahová zdviž má hmotnost m=1200 kg.
1. Zdviž se pohybuje zrychleně směrem vzhůru s konstantním zrychlením a=2m/s. Jakou silou T
působí lano na zviž?
2. Jaké je v laně napětí T v případě, že zviž zrychluje směrem dolů se zrychlením a=2m/s.
Řešení: 1) T = 14 400 N, 2) T = 9 600 N.
Příklad č.13: Hokejista vypálí svou hokejkou puk o hmotnosti 170g. Urychlí jej z klidu na rychlost 20
m/s na dráze 0.5 m. Jakou silou F působí hokejista na puk za předpokladu, že tření mezi pukem a
ledem je zanedbatelné a zrychlení puku je konstantní?
Řešení: F = 68 N.
Příklad č.14: Chlapec táhne vláček silou F=10N, který se skládá ze dvou vozíků. První vozík má
hmotnost m1=4kg a druhý vozík má hmotnost m2=2 kg. Šňůra, která spojuje oba vozíky má
zanedbatelnou hmotnost.
Určete:
1) normálovou sílu, kterou působí podlaha na každý
vozík,
2) napětí T je v provázku,
3) zrychlení vláčku
Řešení: 1) N1=40 N, N2=20 N, 2) T=m2/(m1+m2) F=3.33N, 3) a=F/(m1+m2)=1.67 m/s2.
Příklad č. 15: Kvádr o hmotnosti m1=20 kg se může volně pohybovat po horizontálním povrchu je
pomocí lana spojen přes kladku s druhým kvádrem o hmotnosti m2=10kg (viz. obr) . Za předpokladu,
že hmotnosti lana i kladky jsou zanedbatelné určete:
1)
síly působící na kvádry,
2)
jejich zrychlení,
3)
za předpokladu, že byly na začátku v klidu, kam se
posunou za 2 s.
Řešení: 1) N1=Fg1=200N, Fg2=100N, T=m1m2 g /(m1+m2) = 66.7 N, 2) a1=a2=a=T/m1=3.33 m/s2, 3) l=6.7
m.
Příklad č. 16: Síla F=1.5y i3x 2 j−0.2  x 2 y 2  k N působí na částici o hmotnosti 1 kg. Při t = 0
má částice polohový vektor r =2 i3 j metrů a pohybuje se rychlostí v =2 jk m/s . Při t = 0
určete
1)
sílu, která působí na částici,
2)
zrychlení částice,
3)
kinetickou energii částice,
4)
rychlost změny kinetické energie.
Řešení: 1) F t=0=4.5 i12 j−2.6 k N, 2) a t=0=4.5 i12 j−2.6 k m/s2, 3)
4) d E k / d t=21.4 J / s .
E k =5/2 J,
Příklad č.17: Automobil má hmotnost 1 t. Maximální výkon jeho motoru je 120 kW. Nechť automobil
dosahuje tohoto maximálního výkonu při rychlosti 60 km/h. Jaké je zrychlení automobilu při této
rychlosti?
Řešení: a = 7.2 m/s2 .
 =2600 N , působící po dobu
Příklad č. 19: Golfový míček je odpálen střední silou F
−3
=1.25×10 s . S jakou rychlostí je míček odpálen, je-li jeho hmotnost m=0.047 kg ?
Řešení: v=69.1 m/s = 248.9 km/h.
Příklad č. 20: Proveďme následující experiment. Máme dva kvádry o hmotnostech 3 kg a 2 kg, které
se pohybují takřka bez tření v koridoru na vzduchovém polštáři. Rychlost prvního je 1 m/s a kvádr
jedoucí za prvním v témže směru jede rychlostí 2 m/s. Jakými rychlostmi (velikost a směr) se budou
pohybovat oba kvádry po dokonale pružné srážce? Jaké budou rychlosti obou kvádrů po dokonale
pružné srážce v případě, že rychlost druhého kvádru je 7 m/s?
Řešení:
a)
m2 P−  m1 m2 [2m1m2 K −P 2 ] 1
m1 P m1 m2 [2 m 1m2  K −P 2 ]
v2 =
= m/s , v 1=
=1,1 m/s ,
m2  m1 m2 
10
m1 m1m2 
kde je K celková kinetická energie soustavy a P celková hybnost soustavy.
b) v 2 =
−1
29
m/s , v 1= m/s .
5
5
Příklad č. 21: Jakou rychlostí se musí druhé těleso, z předchozího příkladu, pohybovat, aby se po
srážce zastavilo?
Řešení: v 02=
2P01
=6 m/s .
m1−m 2
Příklad č.22: Umělý satelit se pohybuje po eliptické dráze se Zemí v jednom ohnisku (viz obr.) . V
bodě A je márychlost v a jeho vzdálenost od středu Země je r. V bodě B je jeho vzdálenost od středu
Země 2r. Jaká je rychlost satelitu v bodě B?
Řešení: v B=v /2 .
Příklad č.23: V Bohrově modelu atomu vodíku má elektro na své nejnižší kruhové dráze moment
hybnosti 1.005×10−34 kg m 2 / s . Poloměr této orbity je 5.29×10−11 m a hmotnost elektronu je
−31
9.11×10 kg .
Určete:
a) rychlost eletronu na této orbitě,
b) určete poměr v/c, kde c=3×108 m/s je rychlost světla.
Řešení: a) v =2.1×10 6 m/s , b) v / c=0.007 .