Podzimn´ı soutezˇCˇCF

Podzimnı́ soutěž ČČF
Zadánı́: Vazebná energie elektronu v atomu helia je 24,6 eV. Vypočtěte, kolik energie je
třeba k úplné ionizaci heliového atomu. Uved’te nejen výsledek, ale i postup výpočtu.
Řešenı́: Úplnou ionizacı́ atomu hélia se rozumı́ odtrženı́ dvou elektronů. Tento proces lze
rozepsat na dva podprocesy:
He → He+ + e− ,
He+ → He2+ + e− .
(1)
(2)
Zadaná vazebná energie odpovı́dá energii nutné k provedenı́ podprocesu (1). Energii
potřebnou na odejmutı́ elektronu v podprocesu (2) lze snadno“ určit pomocı́ řešenı́
”
vodı́kového, resp. vodı́ku–podobného atomu (jádro s nábojem Z a pouze jeden elektron v
elektronovém obalu). Pro jejich energetické hladiny platı́ vztah
1
m0 e4
Z2
,
En = −
2 2 2
n2
32ε0 π h̄
(3)
kde n je tzv.hlavnı́ kvantové čı́slo a m0 značı́ redukovanou hmotnost elektronu
m0 =
me mHe
,
me + mHe
(4)
kde me je hmotnost elektronu a mHe hmotnost jádra atomu He (2 protony a 2 neutrony).
Po dosazenı́ fyzikálnı́ch konstant (n = 1) dostaneme pro energii elektronu na hladině 1s
v iontu He+
E(He+ ) = −8, 72 × 10−18 J = −54, 4 eV.
(5)
Tento výsledek znamená, že potřebujeme dodat iontu He+ 54,4 eV energie, aby došlo k
ionizaci na iont He2+ . Spolu s vazebnou energiı́ elektronu, která je rovna energii nutné k
provedenı́ podprocesu (1), dostáváme celkovou energii potřebnou k úplné ionizaci atomu
He
E(He → He2+ ) = |E(He+ )| + 24, 6 = 79, 0 eV.
(6)
Tato energie odpovı́dá (až na znaménko) energii základnı́ho stavu atomu He, kterou lze
určit kvantově mechanickým výpočtem.
1
Podzimnı́ soutěž ČČF
Zadánı́: Určete dobu, za kterou by elektron pohybujı́cı́ se kolem jádra atomu vodı́ku
původně po kruhové dráze s poloměrem 52,9 pm spadl do jádra, pokud by ztrácel energii
zářivě v souladu s klasickou elektrodynamikou, tj.
dE
e2
=
a2 ,
dt
6πε0 c3
(1)
kde vektor zrychlenı́ ~a směřuje vždy do středu atomu. Je to řádově: (a) 1 ns, (b) 10 ps
nebo (c) 100 fs?
Řešenı́: Celková energie atomu je součtem kinetické energie obı́hajı́cı́ho elektronu a elektrostatického působenı́ mezi elektronem a protonem v jádře:
1 e2
1
E = mv 2 −
.
2
4πε0 r
(2)
Na elektron působı́ dostředivá sı́la (coulombická)
FC =
1 e2
,
4πε0 r2
(3)
která zodpovı́dá za dostředivé zrychlenı́
FC = ma = m
v2
.
r
(4)
Kombinacı́ vztahů (3) a (4) dostaneme
1 e2
1 2
mv =
2
8πε0 r
(5)
a po dosazenı́ do (2) a s využitı́m vztahu pro klasický poloměr elektronu
re =
1 e2
4πε0 mc2
dostaneme pro celkovou energii E (2)
E=−
1 e2
1
re
= − mc2 .
8πε0 r
2
r
(6)
Nynı́ za zrychlenı́ a dosadı́me ze (4) do vztahu (1) a upravı́me
dE
e2
e2
2
=
a =
dt
6πε0 c3
6πε0 c3
1 e2
4πε0 r2
!2
1
.
m2
(7)
Opět využijeme vztahu pro klasický poloměr elektronu a po úpravě máme
dE
2 r3
= − e4 c3 m.
dt
3r
(8)
Tento vztah se musı́ rovnat časové derivaci E popsané rovnicı́ (6) (jediná na čase závislá
proměnná je poloměr dráhy r = r(t))
dE
1
re dr
2 r3
= mc2 2
= − e4 c3 m.
dt
2
r dt
3r
1
(9)
Po snadné úpravě dostaneme diferenciálnı́ rovnici
r2
dr
4
= − cre2 .
dt
3
(10)
Rovnici (10) ještě upravı́me pomocı́ derivace složené funkce (r = r(t) je z pohledu derivace
složená funkce)
dr
dr3
= 3r2
dt
dt
a zı́skáme jednoduchou diferenciálnı́ rovnici
dr3
= −4cre2 .
dt
(11)
Řešenı́m této rovnice (integracı́) dostaneme
r(t)3 = C(t = 0) − 4cre2 t,
(12)
kde C(t = 0) je třetı́ mocnina poloměru dráhy v čase t = 0 s, ale to je zadaný Bohrův
poloměr a0 = 52, 9 pm. Doba života atomu v Rutherfordově modelu pak odpovı́dá času,
pro který je r(t) = 0, tj.
r(t) = 0 → t =
a30
.
4cre2
(13)
Pro hodnoty c = 3 × 108 m.s−1 a re = 2, 82 × 10−15 m dostáváme hodnotu života atomu
t = 1, 55 × 10−11 s ≈ 16 × 10−12 s = 16 ps.
Odpověd’ (b) je správně.
2
(14)